Segítség és útmutatás az eligazodáshoz (Apróságok IV.)
Mivel nem könnyű eligazodni az euklideszi geometria és a hiperbolikus geometria tulajdonságai és állításai között, ezért – az [1]-ben, [2]-ben és [3]-ban közöltek jobb megértése céljából, Dobó közreműködésével – összefoglalom a fontosabb alapismereteket. 1. Bolyai János az Appendix 15. §-ban S-rendszernek nevezte el a geometriának azt a rendszerét, amelyik Euklidesz XI. axiómájának ellenkező feltevésére épül. Bolyai tárgyalásában a párhuzamossági távolságra vonatkozó hosszúságmetrika euklideszi: az AB szakasz hosszát egy OE „egységszakaszra” vonatkoztatott
hányadossal mérjük
(a klasszikus valós szám-egyenesre némileg emlékeztető módon.) A szögmértéke is azonos az euklideszi geometriában alkalmazotthoz (Riemann-féle), vagyis a szög nagyságát az egységkör középpontjából kiinduló két egyenes („szögszár”) által az egységkörből kimetszett ívnek a hossza adja meg. Belátható, hogy a Bolyai János alkotta geometriában az OX félegyenessel (abszcisszatengellyel) párhuzamos „egyenes” egyenletét a I.
th th ⋅e
kifejezés adja meg, ahol y0 (párhuzamossági távolság) az „egyenes” azon pontjának ordinátája, amelynek O a vetülete. (Ebben a geometriában tehát a „párhuzamos egyenes” egy – euklideszi értelemben véve – görbe vonal lesz!) Most a párhuzamossági szög („elpattanás szöge”, β) és y0 között a kapcsolat: II.
ctg e . β
π
Ha k→∞, akkor β→, ami a párhuzamossági távolság és párhuzamossági szög közötti euklideszi kapcsolatot fejezi ki. A II. alapvető, klasszikus formula, amely szerint minden egyes rögzített k értékhez tartozik egy önmagában ellentmondásmentes hiperbolikus geometria. Ebből, ha k→∞, Euklidész rendszeréhez jutunk. Felhasználva a tangens hiperbolikus függvény hatványsorát, k→∞ esetén I. az y=y0 alakba megy át, amely az euklideszi geometria párhuzamos egyenesének egyenletét adja. Ha egy tétel az euklideszi geometriában is és a hiperbolikus geometriában is érvényes, akkor a bebizonyításához nem szükséges a párhuzamossági axióma. Ilyen tétel például az az állítás, miszerint a hegyesszögű háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. (Ez egyébként az elliptikus geometriában is igaz!) 2. A hiperbolikus sík Cayley-Klein-féle C-K modelljében a távolság mértéke nem euklideszi, hanem hiperbolikus, amit a kettősviszony (ld. [2] és [4]) segítségével 1
fejezünk ki1. Itt a párhuzamos egyenest – euklideszi értelemben véve – nem görbe, hanem euklideszi félegyenes (félhúr) jelenti. Ha O-val jelöljük a kör középpontját, akkor a C-K modellben az O csúcsú szögek hiperbolikus mértéke egyben az euklideszi geometria szerinti mértékű is, ezért az ilyen szögeket „euklideszi szögmérővel” mérhetjük. A csúcs ettől eltérő elhelyezkedése esetén azonban ez már nem áll fönn (ld. következő pont). Az itt közöltekből következik, hogy a C-K modellben a párhuzamosság szöge (β) euklideszi geometria szerinti és hiperbolikus mértéke egyenlő. Ez viszont nem jelenti azt, hogy a Bolyai-féle S-rendszerbeli modell párhuzamossági szöge megegyezik a C-K modell párhuzamossági szögével; hiszen az előbbiben a távolság euklideszi mértékű, a párhuzamos „egyenes” görbe vonal, míg az utóbbiban a távolság hiperbolikus mértékű, a párhuzamos egyenes euklideszi jellegű. Ugyanakkor mindkét modellben β és y0 kapcsolatát a II. alatti formulatípus fejezi ki, adja meg. A C-K modell alkalmazását megkönnyíti, hogy viszonylag egyszerű úton megadható a kapcsolat a szakaszok (ld. [2], [4]) és szögek euklideszi geometria szerinti és hiperbolikus mértéke között. (Mivel eddig nem volt rá szükségünk, ezért itt nem foglalkozunk olyan szögek mérésével, amelyek csúcsa nem O-ban van. Elvileg erre is volna lehetőség – ugyanúgy, mint a szakaszmérés esetében.) Megemlítjük, hogy a C-K modellben az egyenlő szakaszok nem „látszanak” egyenlőknek. Ha valamely szakaszt egymás után sokszor felmérjük, akkor a kör kerületéhez – azaz a „végtelen távoli ponthoz” – egyre közelebb jutunk, de sohasem érjük el. Amennyiben egy szakasz egyik végpontja a modellkör O középpontja, akkor a hiperbolikus értelemben egyenlő szakaszok euklideszi értelemben is egyenlők. Továbbá sohasem szabad elfelejtkezni arról – az euklideszi szemléletünknek meghökkentő – tényről, hogy a hiperbolikus síkban a háromszög szögösszege mindig kisebb π-nél. 3. Hogy a „hiperbolikus szög” mérése mennyire eltér az euklideszi geometriában szokásostól, azt a következőképpen illusztráljuk. Avégből, hogy az 1. Ábrán h-val jelölt C-K modellkör tetszésszerinti A pontjából a g egyenesre f merőlegest bocsássunk, az 1. Ábrán megszerkesztett P segédponttal összekötő egyenest kell megrajzolnunk. Ez az ábrán jól szemlélteti, hogy az f és g közötti euklideszi geometria szerinti derékszög, ha O≠A, akkor mennyire különbözik a hiperbolikus derékszögtől. 1
A C-K modellen alapuló interpretációt 1871-ben F. Klein adta meg „Az úgynevezett nem euklideszi geometriáról” című munkájában. Klein a projektív mértékdefiníciót A. Cayley 1859-ben megjelent „Hatodik értekezés a formákról” című dolgozatából vette át. (Cayley viszont a formák elméletének geometriai értelmezésénél a J. Plücker által felépített analitikus geometriára támaszkodott.) Klein említett dolgozatában bebizonyította, hogy a valós kúpszelettel meghatározott Cayley-féle projektív metrika megegyezik az állandó negatív Gauss-görbületű tér metrikájával. Ezután Klein leképezte a Lobacsevszkij-síkot egy kör belsejére. A hiperbolikus távolság definíciója Kleinnél, mint Cayleynél is, a kettősviszony logaritmusával van kifejezve. Az 1872-ben meghirdetett, Klein-féle „Erlangeni program” új megvilágításba helyezi a geometria és a relativitási elvek fizikai szerepét. Iránta azonban sokáig nem fordult kellő figyelem. Klein 1928-ban „Nicht Euklidische Geometrie” című könyvében ez olvasható: „Világunkban a három ’klasszikus’ geometria valamelyikének – Euklidészének, Riemannénak, avagy Lobacsevszkijének – kell uralkodnia.” Munkáiban a Bolyai geometriáról nem beszél, említést sem tesz.”
2
(Ha O=A, akkor f és g mind euklideszi, mind pedig hiperbolikus értelemben merőlegesek!)
⋅ h g
O
f
P
A ⋅ 1. Ábra
Föntiekből az is kitűnik, [1]-ben tévesen állítottam, hogy „… megmutatható, miszerint a C-Kmodellben – az euklideszi geometria szerint egybevágó szögtartományok közül – a C-K modell O középpontjával egybeeső csúcsú szögtartomány a legnagyobb;…” Ugyanis az 1. Ábrán az f és g metszéspontjában két hiperbolikus derékszög – az euklideszi geometria szerint véve – 90o-nál kisebb (míg másik kettő „szemmel láthatóan” nagyobb.) Ebből viszont az is következik, hogy ha e két „kisebb” szöget az euklideszi geometria szerinti derékszögre növeljük, akkor hiperbolikus értelemben már 90o-nál nagyobbak lesznek – hiperbolikus értelemben nagyobbak tehát, mintha e (euklideszi értelemben tekintett) derékszögek csúcsai az O középpontba esnének. (Ott ugyanis hiperbolikusan is „csak” 90o-ot érnének.) 4. Nemcsak a síkban, a térben is van hiperbolikus geometria. A „hiperbolikus tér” modelljét úgy kapjuk meg, hogy e tér pontjainak, egyeneseinek és síkjainak a közönséges (euklideszi) tér valamely gömbjén belül eső pontokat, egyenes szakaszokat és síkrészeket tekintjük. Két pont távolságát pedig a C-K modell síkváltozatában látottakhoz hasonlóan definiáljuk. 5. A hiperbolikus geometriának számos modellje van. Poincaré kettőt is konstruált. Az egyik egy félgömbön valósul meg, a másik pedig síkon, azáltal, hogy a félgömböt sztereografikusan a síkra vetítjük. Ezáltal a h körlap belsejét fedjük le. Ebben az egyenesek a h-ra merőleges körívek lesznek. A Poincaré-féle modell szögtartó, benne az euklideszi geometria szerinti szögértékek arányosak a hiperbolikus geometria szerinti szögértékekkel. Az arányossági tényező állandó. Mivel a hiperbolikus síkon a 2π teljes szöget a modellben változatlanul látjuk, az arányossági tényező értéke egy! (Ebben a modellben tehát a szögek torzítatlanul fognak látszani!) A matematikusok „kedvenc” modellje a „hiperboloid-modell”, melyben az egyenesek szerepét azok a görbék játsszák, amelyeket az origón áthaladó síkok metszenek ki belőle. Véleményük szerint a hiperbolikus geometria összes modellje közül ez az, amelyik: „a legbővebb lehetőségeket és leghatékonyabb eszközöket adja számítások elvégzéséhez, matematikai tételek bizonyításához.” Dobó a C-K modellt találta céljai eléréséhez a legalkalmasabbnak!
3
6. Euklideszénél jóval bonyolultabb, ugyanakkor sokkal precízebb David Hilbert (18621943.) axiómarendszere. (Lásd: A geometria alapjai; Grundlagen der Geometrie, Leipzig, 1899.) Ez öt axiómacsoportra épül – nevezetesen az összetartozás, a rendezés, az egybevágóság, a párhuzamosság és a folytonosság axiómacsoportjára. Matematikailag egzakt módon bizonyítható, hogy a hiperbolikus geometriában az euklideszi geometriának csak egyetlen axiómája nem érvényes – ez pedig a párhuzamossági axióma. Ez a 2. Ábrán jól látható, ahol a P ponton át nem menő g egyeneshez (húrhoz) a paralel (párhuzamos) és ultraparalel (ultrapárhuzamos) egyenesek (húrok) egész sora található. Ilyen a p1, p2, valamint az e1, e2, e3, e4, egyenes! A közös kerületi ponttal rendelkező p1 és p2 egyenes felel meg a Bolyai felfogásában legelőször elpattanó két egyenesnek.
p2
p1 e4 P
e3 e2 e1
g 2. Ábra
Az elliptikus geometriában a párhuzamossági axiómán kívül az euklideszi rendezési axiómák sem érvényesek. – Az ókorból kiindulva az egész középkoron át a XIX. század elejéig az emberiség legkiválóbbjai sikertelenül fáradoztak azon, hogy a párhuzamossági axiómát Euklidész többi axiómájából levezessék (származtassák). Hogy ez nem sikerült, annak alapvető oka, hogy az függetlennek bizonyult a többitől. A hiperbolikus, az elliptikus és az euklideszi geometriát a következőképpen is jellemezhetjük: a) A hiperbolikus geometriában végtelen sok, az euklideszi geometriában egy olyan egyenes van, míg az elliptikus geometriában egy sincs, amely valamely egyenesen kívüli ponton úgy megy át, hogy nem metszi az adott egyenest. b) A hiperbolikus geometriában a háromszög belső szögeinek összege: < π, elliptikus geometriában: > π, euklideszi geometriában: = π. c) Hiperbolikus geometriában a Gauss-féle görbület: <0, elliptikus geometriában: >0, euklideszi geometriában: =0. 4
*** Egyébként Hilbert volt, aki 1900-ban azt a célt tűzte maga elé, hogy axiomatizálja a fizikát. Hilbert a variációszámítást, a differenciálgeometriát és a végtelen csoportok elméletét használta fel a gravitációs tér általános kovariáns egyenleteinek származtatásához. Ezek a formulák egyenrangúak Einstein 1915. november 25-i egyenleteivel. Einstein véleménye Hilbert elméletének egészéről vitathatatlanul negatív volt. V. P. Vizgin szerint Hilbert törekvését a gravitáció és az elektromágnesesség egységes térelmélete előfutárának kell tekintenünk. Ilyen előzmények után érthető meg igazán, hogy mennyire jelentősek azok az eredmények, amelyeket – Dobóval külön-külön vagy együtt – a k görbületi paraméter alkalmazásával értünk el. Ma már ezek segítik és szolgálják nélkülözhetetlen módon a fizika egzakt – azaz szilárd – alapokra helyezését. Ebben alapvető szerepet játszik a Dobó-Lorentz, illetve a Dobó-Topa transzformáció, amelyek magukba foglalják k-t is. Budapest, 2011. április 10., vasárnap
Topa Zsolt fizikus, szakközgazdász
Hivatkozások [1]
Topa Zsolt: Még egyszer a Cayley-Klein modellről (Apróságok II.) (Kézirat, Budapest, 2011. március 15., kedd)
[2]
Topa Zsolt: Apróságok (Kézirat, Budapest, 2004. július 17.)
[3]
Topa Zsolt: És még mindig a Cayley-Klein modellről (Apróságok III.) (Kézirat, Budapest, 2011. április 1., péntek)
[4]
Dobó Andor: Miért nem lehet k=1? (Kézirat, Budapest, 2009. március 25. /Irén/)
5
