Schrödinger vergelijking Tous Spuijbroek | Cursus Quantumwereld | Najaar 2013
Inhoud presentatie • Algemene opmerkingen • ‘Aannemelijk maken’ van de vergelijking • Oplossingen van de vergelijking
De situatie rond 1925 – Stand van zaken • Electromagnetisme (Maxwell ±1865) • Quantisatie van energie (Planck 1900) • Relativiteit (Einstein 1905) • Golf/deeltje dualisme (Einstein 1905, De Broglie 1924) • Spectraallijnen waterstof (Balmer 1885, Lyman ±1910, Paschen 1908) • ‘Oude quantum theorie’: Bohr atoom, gequantiseerde ‘banen’
De situatie rond 1925 - Heisenberg (1901-1976) • zocht een consistent quantum-atoommodel • formuleerde en publiceerde in 1925 de basis van de moderne quantummechanica. • observabelen zijn (niet-commuterende) operatoren werkend op toestandsvectoren. • herkende zijn formalisme niet als ‘matrix mechanics’ maar Max Born wel. • het ‘magische artikel’, de basis van de moderne quantum mechanica, staat tot op de dag van vandaag bekend als tamelijk ondoorgrondelijk. • kreeg in 1933 de 1932-Nobelprijs: ‘…. for the creation of quantum mechanics…..’.
De situatie rond 1925 - Schrödinger (1889-1961) • formuleerde in 1925 en publiceerde in 1926 een toegankelijker formulering van QM, op basis van een (soort) golfvergelijking
• Formalisme werd bekend als ‘wave mechanics’. • de concepten die Schrödinger hanteerde werden beter herkend door de toenmalige fysici. • liet in 1926 zien dat WM mathematisch equivalent was aan MM. • kreeg samen met Dirac de 1933-Nobelprijs voor natuurkunde: "for the discovery of new productive forms of atomic theory"…..’.
Achtergrond van de Schrödinger vergelijking (1) • ‘De Schrödinger vergelijking komt uit de geest van Schrödinger en de enige justificatie ervoor is dat hij werkt’ (Feynman).
• deeltjes gedragen zich als golven • we zoeken dus een golfvergelijking, iets als
• lineaire vergelijking (dus: superpositie) • energievergelijking: E totaal = E kin + E potentieel
• 𝐸=
𝑝2 2𝑚
+ 𝑉 met V een potentiaal zodat 𝐹 = −
𝜕𝑉 𝜕𝑥
Achtergrond van de Schrödinger vergelijking (2) • complexe golf: Ψ 𝑥, 𝑡 = 𝑒 𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) • ω is de hoekfrequentie 𝜔 = 2𝜋𝑓 en k is het golfgetal 𝑘 = 2𝜋/𝜆 • de Broglie: 𝜆 = ℎ / 𝑚𝑣 = ℎ / 𝑝 𝑑𝑢𝑠 𝑝 = ℎ /𝜆 = ℏ𝑘 • partiële afgeleide naar x:
𝜕Ψ 𝜕𝑥
= 𝑖𝑘Ψ
• nogmaals partiële afgeleide naar x :
• 𝐸Ψ =
𝑝2 Ψ 2𝑚
+ 𝑉Ψ
geeft
𝐸Ψ =
𝜕2 Ψ 𝜕𝑥 2
=
−𝑘 2 Ψ
ℏ2 𝜕 2 Ψ − + 𝑉Ψ 2𝑚 𝜕𝑥 2
=
𝑝2 − 2Ψ ℏ
(TISE)
Achtergrond van de Schrödinger vergelijking (3) • 𝐸Ψ =
ℏ2 𝜕 2 Ψ − + 2𝑚 𝜕𝑥 2
𝑉Ψ
of met ‘Hamiltonian’ H: 𝐻Ψ = 𝐸Ψ (TISE)
We kunnen nog een stapje verder gaan: • Planck/Einstein 𝐸 = ℎ𝑓 = ℏ𝜔
• partiële afgeleide naar t: • 𝐸Ψ = ℏ𝜔Ψ = iℏ • Invullen:
iℏ
𝜕Ψ 𝜕𝑡
𝜕Ψ 𝜕𝑡
= −𝑖𝜔Ψ
𝜕Ψ 𝜕𝑡
=
ℏ2 𝜕 2 Ψ − + 2𝑚 𝜕𝑥 2
𝑉Ψ
(TDSE)
Achtergrond van de Schrödinger vergelijking (4) • in 3 dimensies:
𝜕Ψ(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) 𝑖ℏ 𝜕𝑡
=
ℏ2 2 − 𝛻 Ψ 2𝑚
𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 + 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∙ Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
• één spinloos deeltje in potentiaal V • meerdere deeltjes: meerdere (gekoppelde) vergelijkingen • Ψ moet een complexe functie zijn
• Niet helemaal een golfvergelijking: eerste afgeleide naar de tijd i.p.v. tweede • EM-golven: |𝐸|2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 is de elektrische energie per volume • Deeltjes-golven: |Ψ|2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 is de kans om een deeltje in het volume aan te treffen • Normalisatie:
∞ −∞
Ψ 2 𝑑𝑥 = 1
Oplossen van de Schrödinger vergelijking (1) • slechts in een handvol gevallen analytisch oplosbaar, vaak met ‘moeilijke’ functies Voorbeelden: • Vrij deeltje (complexe golf) • Delta-potentiaal (bij scattering problemen) • Potentiaalputje, deeltje in een doosje, tunneling (sinus, e-macht) • Bolsymmetrische potentiaal/H-atoom (spherical harmonics, Legendre polynomen)
• Harmonische oscillator
Oplossen van de Schrödinger vergelijking (2) Als je niet analytisch kunt oplossen: • Benaderingen (bijvoorbeeld bij de periodieke potentiaal, bandenstructuur) • Storingsrekening (kleine wijziging op analytische oplossing) • Slimme tot zeer slimme wiskunde (WKB methode) • Numerieke methodes (voor in de klas: APPLETs)
Oplossingen van de Schrödinger vergelijking (1) 1: vrij deeltje. • Oplossing: Ψ 𝑥, 𝑡 = 𝑒 𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) want zo hadden we de vergelijking gemaakt! 2: deeltje in een tijds-onafhankelijke potentiaal V(x) • Separatie van variabelen mogelijk: Ψ 𝑥, 𝑡 = 𝜓 𝑥 × 𝑓(𝑡) • Neem 𝑓 𝑡 = 𝑒 −𝑖𝐸𝑡/ℏ ; de vergelijking reduceert tot de TISE • de ‘separatieconstante’ E blijkt de energie van de stationaire oplossing te zijn
• omdat de Schrödingervergelijking lineair is zijn lineaire combinaties van oplossingen (ψi , Ei) ook goed maar die zijn niet meer stationair.
3: Deeltje in een doos (potentiaalput)
4: Tunnelbarrière :
V(x) = V0 voor 0 < x < a; V(x) = 0 elders
5: Double slit experiment. Lijkt simpel: • vlakke golf • potentiaal V= ∞ overal maar V = 0 tussen (a+δ) en -(a+δ) • voor zover ik heb kunnen nagaan is er géén analytische oplossing bekend • het probleem is (pas) in 1979 numeriek opgelost door Hiley, Philippidis en Dewdney
