Schatten van reserve-risico voor niet-levensverzekeringen bij Solvency II

Schatten van reserve-risico voor niet-levensverzekeringen bij Solvency II

J.P. Kunst

ABSTRACT Met de invoering van Solvency II is de nadruk voor het bepalen van reserves van een ultieme horizon

naar

een

eenjarige

horizon

verschoven.

Dit

artikel

beschrijft

enkele

schattingsmethoden voor het volschatten van een schadedriehoek. Vervolgens worden enkele simuleringsmethoden besproken. Op basis van de nieuwe regelgeving van de Europese Commissie voor het bepalen van de kapitaalvereisten wordt een predictieverdeling van het eenjarige Claim Development Result gesimuleerd. Deze gesimuleerde verdeling komt goed overeen met analytisch bepaalde waarden van het Claim Development Result en is een goede basis voor een benadering van de complexe berekening van kapitaalvereisten.

Universiteit van Amsterdam

Opleiding: Actuariële Wetenschappen

Juni 2012

Begeleider: dr. K. Antonio

Bachelorscriptie Jasper Kunst

In samenwerking met Lianne Westinga

Studentnummer: 6065082

Schatten van het reserve‐risico voor niet‐levensverzekeringen bij Solvency II

Inhoud 1.

Inleiding ........................................................................................................................................... 1

2.

Technieken voor schadereservering: ultieme tijdshorizon ............................................................. 3 2.1

Introductie ............................................................................................................................... 3

2.2

Chain‐ladder ............................................................................................................................ 5

2.2.1

Chain‐laddermethode ..................................................................................................... 5

2.2.2

Mack ................................................................................................................................ 6

2.3

2.3.1

De exponentiële familie .................................................................................................. 8

2.3.2

Schatters vinden met GLM ............................................................................................ 10

2.3.3

Een schadedriehoek met GLM ...................................................................................... 10

2.3.4

Uitbreiding van het multiplicatieve model .................................................................... 11

2.4 3.

5.

Bootstrapping ........................................................................................................................ 12

Van ultieme naar éénjarige tijdshorizon ....................................................................................... 14 3.1

Solvency Capital Requirement .............................................................................................. 15

3.2

Het Claim Development Result ............................................................................................. 17

3.2.1

Bepalen van het Clain Development Result .................................................................. 17

3.2.2

Schattingsfouten van het claim development result .................................................... 18

3.2.3

Simulatie van het claim development result ................................................................. 18

3.2.4

Simuleren met ontwikkelingsfactoren .......................................................................... 19

3.3

4.

Gegeneraliseerde Lineaire Modellen ...................................................................................... 8

SCR voor het reserve risico .................................................................................................... 21

3.3.1

De Cost‐of‐Capital marge .............................................................................................. 21

3.3.2

Risicomarge volgens QIS5 .............................................................................................. 23

Numeriek voorbeeld ...................................................................................................................... 24 4.1

Ontwikkelingsfactoren met de chain‐laddermethode .......................................................... 25

4.2

Coëfficiënten met de GLM methode ..................................................................................... 25

4.3

Volschatting met chain‐ladder en GLM ................................................................................. 26

4.4

Het werkelijke claim development result ............................................................................. 28

4.4.1

Berekening werkelijk CDR ............................................................................................. 29

4.4.2

Prediction error van het CDR ........................................................................................ 29

4.5

Simulering van de reserve met de bootstrapmethode ......................................................... 30

4.6

Predictieverdeling van de reserve ............................................. Error! Bookmark not defined.

4.7

Simulatie van het eenjarige CDR ........................................................................................... 32

Conclusie ....................................................................................................................................... 34 2

Schatten van het reserve‐risico voor niet‐levensverzekeringen bij Solvency II Bibliografie ............................................................................................................................................ 36 Bijlage I ...................................................................................................... Error! Bookmark not defined.

3


1. Inleiding Om een langdurig stabiel financieel systeem te krijgen legde in 2002 de Europese Unie regels vast voor de solvabiliteitsmarge die banken en verzekeraars aan moeten houden. Deze regels stonden in de richtlijnen Solvency I. Na de bankencrisis in 2008 en de daaropvolgende onzekerheid in de financiële sector heeft de Europese Commissie de regels herzien en 1 januari 2012 zullen daarom de Solvency II richtlijnen ingevoerd worden. In Solvency II zal meer nadruk liggen op de solvabiliteit van verzekeraars. Het inschatten, kwantificeren en managen van risico’s wordt daarmee veel belangrijker (European Commission, 2009). Voor een goede bepaling van de solvabiliteit is het voor de verzekeraar essentieel zijn verplichtingen op de juiste manier te waarderen. In dit artikel zal onderzocht worden hoe volgens de nieuwe richtlijnen het risico bepaald moet worden dat de voorzieningen van een schadeverzekeraar ontoereikend zijn. Dit zal gebeuren aan de hand van het schatten van toekomstige betalingen van schadeverzekeringen. Verplichtingen van de verzekeraar dienen boekhoudkundig verwerkt te worden onder het jaar waarin de schade zich heeft voorgedaan. De premies in dit jaar moeten dus toereikend zijn voor al deze verplichtingen tot uitkeren. Omdat nog niet alle uitkeringen bekend zijn moet de verzekeraar voldoende geld reserveren. Voor deze reservering worden de toekomstige schades geschat. Onder Solvency I was het voldoende dat verzekeraars een vrij eenvoudige schatting maakten van het uit te keren bedrag: het ultimate viewpoint. Solvency II vereist dat verzekeraars naast de totale betalingen ook naar een projectie van de cash flows kijken met een eenjaarshorizon kijken: het one-year viewpoint. Naast de meerjarige risico’s is nu dus ook het eenjarige risico van belang. Het doel van dit artikel is om op basis van een literatuurstudie technieken voor te stellen die aangewend kunnen worden om een predictieverdeling van de uitstaande schadelast te bepalen. Het bepalen van de verwachte betaling gebeurt door middel van het volschatten van een schadedriehoek. Dit is het zogenaamde ultimate viewpoint, waarbij gekeken wordt naar de volledige afwikkeling van de openstaande schades. Gebruikt worden de chain-ladder en vervolgens de Mack, bootstrap en verschillende Generalized Linear Model (GLM) technieken (England & Verrall, 2002). Daarna worden de nieuwe richtlijnen volgens Solvency II belicht om dan van een ultieme horizon naar een eenjaarshorizon te gaan.

1


Een verzekeraar loopt het risico dat haar reserveringen onvoldoende zijn om aan het eind van jaar aan haar verplichtingen te voldoen: het reserverisico. De Europese Commissie legt regels op om dit risico te ondervangen. Deze Solvency Capital Requirements (SCR) worden in Solvency II beschreven. Met de predictieverdeling van de reserveringen kan een risicomaat voor het reserverisico bepaald worden. Met de regels voor kapitaalvereiste kan uit deze risicomaat het SCR bepaald worden. Hoofdstuk 2 bespreekt aan de hand van een literatuurstudie de theorie rond het bepalen van de reserve. In hoofdstuk 3 wordt vervolgens overgegaan van de ultieme naar de eenjaarshorizon. In paragraaf 3.2 wordt het eenjarige resultaat bepaald waarna in paragraaf 3.3 de kapitaalvereisten volgens Solvency II worden besproken. Ten slotte beschrijft hoofdstuk 4 de technieken in een numeriek voorbeeld en in hoofdstuk 5 worden conclusies en aanbevelingen voor verder onderzoek besproken.

2


2. Technieken voor schadereservering: ultieme tijdshorizon 2.1 Introductie In dit artikel wordt het reserveren voor niet-levensverzekeringen zoals brand-, auto- en andere schadeverzekeringen besproken. Het doel is om een juiste inschatting te kunnen maken van de onzekerheid in toekomstige betalingen. Bij de afwikkeling van een schade bij een nietlevensverzekering zijn een aantal momenten te onderscheiden. In figuur 1 is de ontwikkeling van een individuele claim weergegeven. Het eerste jaar, waarin premie betaald wordt en een schade gemeld wordt heet het schadejaar. Vanuit het premie-inkomen van dit schadejaar moeten alle betaling voor deze schade gedaan worden. De jaren na dit schadejaar tot de sluiting van de claim worden ontwikkelingsjaren genoemd. Uiteindelijk eindigt de ontwikkeling van de claim met de afsluiting.

Figuur 1 Tijdlijn die afwikkeling van een individuele claim geeft (Antonio & Plat, 2011).1

Er kan niet alleen naar jaarlijkse incrementele betalingen gekeken worden maar ook naar de cumulatieve betalingen. Voor een bepaald schadejaar worden de bekende betalingen opgeteld tot een cumulatieve betaling. De cumulatieve betalingen kunnen in een schadedriehoek of afwikkelingsdriehoek zoals in tabel 1 gezet worden.

1

IBNR: Incured But Not Reported; RBNS: Reported But Not Settled.

3

Schatten van het reserve‐risico voor niet‐levensverzekeringen bij Solvency II Tabel 1 Cumulatieve betalingen

Ontwikkelingsjaar j

Schadejaar i

1

2

3

4

01

02

03

04

. k

.

.

.

.

k

.

.

.

.

.

.

D in de bovendriehoek weergegeven. Het

In tabel 1 zijn de cumulatieve betalingen schadejaar wordt i genoemd met 1 ook van 1

. Het ontwikkelingsjaar j op de verticale as loopt

. De jaarlijkse betalingen zijn

schadejaar i, met betalingen tot jaar j wordt

, en de cumulatieve betaling van

genoemd en berekend zoals in formule 1.

∑

(1)

Op de diagonalen van deze tabel staan de betalingen in een bepaald kalenderjaar. Het kalenderjaar wordt berekend door

1. Tot jaar k zijn de groottes van de betalingen

bekend. Voor toekomstige jaren na k in de benedendriehoek zijn deze onbekend. Dit zijn dus de verplichtingen waarvan de waarde nog onbekend is. Een verzekeraar wil voor de nog onbekende betalingen een reserve bepalen die nodig is om aan deze verplichtingen te kunnen voldoen. Met de informatie over betalingen van eerdere jaren, de bovendriehoek van de schadedriehoek, wil de verzekeraar tabel 1 verder invullen om zo een schatting te maken van de toekomstige betalingen. Met de geschatte toekomstige betalingen kan voor elk schadejaar een reserve bepaald worden die nodig is om de verwachte betalingen te kunnen uitkeren. De reserve is de totale hoeveelheid betalingen minus het reeds uitgekeerde bedrag. (2)

,

4


In de volgende paragrafen worden twee methodes besproken om deze reserve te bepalen aan de hand van het schatten van de betalingen.

2.2 Chain‐ladder 2.2.1 Chain‐laddermethode

Als eerste wordt de chain-ladder techniek besproken aan de hand van een voorbeeld. Om de onbekende benedendriehoek te schatten wordt bij de chain-laddertechniek aangenomen dat de kolommen evenredig zijn (England & Verrall, 2002). De chain-laddermethode maakt gebruik van die evenredigheid door een ontwikkelingsfactor λj te berekenen voor elk ontwikkelingsjaar j vanuit voorgaande

1 cumulatieve betalingen.

∑ ∑

(3)

,

Voorbeeld 1 Als voorbeeld wordt hier de berekening volgens de chain-laddertechniek gegeven voor 3 van schadejaar

de cumulatieve betalingsgrootte in ontwikkelingsjaar

3 van

tabel 2. Tabel 2 Voorbeeld schadedriehoek

Schadejaar i

Ontwikkelingsjaar j 1

2

3

01

02

03

04

Dit is kalenderjaar bovendriehoek tot

1

5 dus wordt alleen informatie uit de

4 gebruikt. De schatting volgens de chain-laddertechniek voor

is dan

5

4


∑ ∑

∗

∗

∗

Op deze manier wordt de gehele onderdriehoek van onbekende betalingen berekend. In de laatste kolom tot

staan dan de totale betalingsgroottes. In dit voorbeeld zijn dat

.

Voor een schadedriehoek kunnen op dezelfde manier als in voorbeeld 1 de ontwikkelingsfactoren geschat worden. Met bekende betalingen tot ,

∗λ

,

∗λ

geeft dit:

∗ …∗ λ

(4)

Hiermee kan de reserve voor toekomstige betalingen bepaald worden door het totale bedrag minus het al uitgekeerde bedrag te berekenen: ∗λ

,

∗λ

∗ …∗ λ -

=

,

,

λ

∗λ

∗ …∗ λ

1 (5)

2.2.2 Mack

Mack (1993) vult de chain-laddermethode aan door een schatting te maken van de standaardfout van de geschatte reserves. Hij specificeert hiervoor de onderstaande aannames -

zijn random variabelen.

-

Er is een bovendriehoek van betalingen bekend.

-

Er zijn ontwikkelingsfactoren

,…,

zodanig dat het verwachte betalingsbedrag

gelijk is aan de met de chain-laddertechniek berekende ontwikkelingsfactor maal de bekende betalingen, ,

,…,

∗

voor 1

en 1

1.

De ontwikkelingsfactoren berekent Mack met de chain-laddertechniek (formule 3). -

De bedragen voor verschillende jaren

zijn onafhankelijk.

Met bovengenoemde aannames bewijst hij dat de ontwikkelingsfactoren

zuiver en

onderling ongecorreleerd zijn. Deze ongecorreleerdheid is verrassend omdat elke schatter van geschat is vanuit dezelfde informatie van bekende betalingen. Voor één paar factoren geldt dus

6


En voor alle geschatte factoren geldt: ∗ …∗

∗ …∗

Dit laatste laat direct zien dat formule 4

en formule 5 als schatters voor betalingen

respectievelijk reserves zuiver zijn. Vervolgens beschrijft Mack de conditionele variantie van Dij en gebruikt hiervoor weer de bovengenoemde aannames. Neem de tot zover bekende informatieset

|

1

, de bekende bovendriehoek. Dan is de mean squared error (mse) van de cumulatieve betalingen Dij geconditioneerd op de bekende informatie

:

|

(6)

Mack laat met een eenvoudige stap zien dat de mse ook gelijk is aan de mse van de geschatte reserve. Voorlopig wordt hier gerekend met de mse van de betalingsgrootte. Later wordt ook de mse van de reserves bepaald (formule 9). Met een rekenregel uit de statistiek kan formule 6 worden herschreven naar (7) De mse is dus procesvariantie plus de parameter estimation error van schatting voor de procesvariantie ,

∑ Voor het geval er na

∗

. Mack geeft als

met

, met 1

2

(8)

2 nog betalingen komen moet er een

voor

1 gevonden

worden. Dit kan bijvoorbeeld door eenvoudig de verhouding tussen de voorlaatste twee 3 en

varianties (

2) ook te gebruiken voor de verhouding tussen de laatste

twee varianties. Deze verhouding is dan

/

/

. Daarna kan de schatter van

de variantie van de reserve voor jaar i en de totale reserve worden berekend zoals in het artikel van Mack (1993). ∑

(9)

∑

7


2.3 Gegeneraliseerde Lineaire Modellen De methode van Mack schat alleen de eerste twee momenten van de verdeling van de betalingen. Hieronder wordt een methode beschreven om met een stochastisch model een volledige predictieverdeling van de betalingen te verkrijgen. Hierbij wordt de driehoek met incrementele betalingen in plaats van cumulatieve betalingen gebruikt en een Generalised linear model (GLM) opgesteld. Een GLM is een uitbreiding van gewone lineaire regressie waarmee een schatting met Maximum Likelihood kan worden gedaan. De keuze voor GLM komt door de twee bruikbare mogelijkheden die dit model heeft. Ten eerste vereist GLM, anders dan bij gewone lineaire modellen, geen normale verdeling van de residuen. Ten tweede kan door een transformatie van beschikbare informatie een model voor het gemiddelde opgesteld worden (in plaats van rechtstreeks het gemiddelde modelleren). Met GLM kan dan een multiplicatief model opgesteld worden. Van dit model kan onder bepaalde aannames bewezen worden dat dit dezelfde voorspelling van betalingsgroottes berekent als het chainladder model (Kaas et al., 2001). De GLM-voorspelling is dan volgens het bewijs van Mack ook zuiver. Eerst wordt hieronder het gegeneraliseerde model algemeen beschreven en geïllustreerd met een voorbeeld. Daarna wordt uitgelegd hoe de schatters gevonden worden. Vervolgens wordt beschreven hoe met GLM een schadedriehoek volgeschat kan worden. 2.3.1 De exponentiële familie

Een Generalised Linear Model werkt als een normale lineaire regressie maar met de volgende drie kenmerken (Renshaw & Verrall, 1998) 1. Een stochastische component, uit de familie van exponentiële verdelingen. Deze geeft van onafhankelijke variabelen de eerste twee momenten weer. en waarbij

een schaalfactor voor dispersie, w een factor voor weging en V(.) een

(gekend veronderstelde) variantiefunctie. Deze worden samengevoegd in 2.

.

Een systematische component. Dit is een lineaire voorspeller die zorgt dat de informatie over de onafhankelijke variabelen in het model terecht komt. Vaak gebruikte notatie hiervoor is

∑

3. Een linkfunctie, deze verbindt het gemiddelde van de verdelingsfunctie aan de lineaire voorspeller. Noem de linkfunctie g(.). Als

8

, dan


De familie van exponentiële verdelingen heeft de volgende dichtheid: ; ,

exp

;

(10)

waarbij y behoort tot de drager van

0 dus de dichtheid meegewogen wordt).

(daar waar

is de parameter die het gemiddelde bepaalt en

de linkfunctie.

De functie c(y) zorgt ervoor dat de dichtheid optelt tot 1. is de dispersion factor. Deze geeft informatie over de variantie. Voorbeeld 2 Als voorbeeld voor het gebruik van formule 10 wordt hier de veel gebruikte Poissonverdeling bekeken. De Poissonverdeling is lid van de exponentiële familie, dus kunnen voor formule 10 de verschillende onderdelen van de exponentiële dichtheid geïdentificeerd worden (Antonio & Kling, 2011). Gekozen wordt voor log

, ,

1,

de parameter

wordt de logaritmische transformatie van .

als linkfunctie wordt de exponentiële functie gekozen. als wegingsfactor van schaalfactor voor de variantie worden 1 en

log ! ,

De dichtheid exp

1 gekozen zodat

om te zorgen dat

uitintegreert tot 1.

voor een Poissonverdeling wordt dan: log y!

!

9

.

.

Schatten van het reserve‐risico voor niet‐levensverzekeringen bij Solvency II 2.3.2 Schatters vinden met GLM

Alle verdelingen uit de exponentiële familie hebben een dichtheidsfunctie zoals hierboven bekend is kan vervolgens met Maximum Likelihood (ML)

beschreven. Als de dichtheid

de likelihoodfunctie l(.) gemaximaliseerd worden. log

, ;

log ∏ L

∗

, ,

∗. .

∑ log

, ;

, ,

log

, ,

, ;

, ;

,

,

,…

,…,

(11)

2.3.3 Een schadedriehoek met GLM

In hoofdstuk 2.2 werd de benedendriehoek van betalingen met de chain-laddertechniek ingevuld. Hier wordt een schatting voor de betalingsgroottes gemaakt met een GLM-model. Voor de schadedriehoek wordt het volgende multiplicatieve model opgesteld voor incrementele betalingen. ∗

(12)

Neem aan dat de betalingsgroottes een bepaalde verdeling volgen. De parameters

en

worden vervolgens met de GLM methode geschat zodat de schadedriehoek in tabel 3 net zoals bij de chain-laddertechniek gevuld wordt. Tabel 3 Jaarlijkse betalingen

Ontwikkelingsjaar j

Schadejaar i

1

2

3

Schatter

∗

∗

02

∗

∗

03

∗

n

.

∗

.

10

.

n

01

.

.


1 zodat

Verder wordt aangenomen dat

gelijk is aan de schatting van de totale

betalingen voor jaar i (zie laatste kolom tabel 3). Het is gebruikelijk om een logaritmische of exponentiële transformatie toe te passen op de factoren die geschat worden. Voor de verdeling wordt vaak de over-dispersed2 ∗

Poissonverdeling gebruikt. De betalingen zijn dan

~

en

met

1. exp

(13)

Met de geschatte parameters kunnen de verwachte betalingen en hun variantie berekend worden: ∗

exp

,

∗

∗

(14)

De verwachte betalingen en hun variantie kan de verzekeraar gebruiken om een goede inschatting van de betalingsgroottes te maken. 2.3.4 Uitbreiding van het multiplicatieve model

Aan het multiplicatieve model voor

(formule 12) kan nog een extra factor voor een

jaarlijkse trend toegevoegd worden om bijvoorbeeld inflatie of nieuwe regelgeving die in een ∗

bepaald kalenderjaar geldt te modelleren. Het model waarbij uitgebreid met de factor

. Deze heeft een waarde die voor alle betalingsgroottes op een

diagonaal k dezelfde bijdrage geeft.

Tabel 4 Kalenderjaren

Schadejaar i

Ontwikkelingsjaar j Schatter

1

2

3

4

01 02

03

04

.

2

Poissonverdeling waarbij de variantie proportioneel aan maar wel groter dan het gemiddelde is.

11

wordt dan


Met betalingen op de diagonaal (zie tabel 4) worden betalingen 1. De betaling

een factor

en de betalingen

krijgt in het model dus een extra factor

, enzovoort. Geschat wordt dan

∗

bedoeld waarvoor

∗

en

. Door aannames over de

verdeling van de betalingen kunnen met Maximum Likelihood verschillende schatters voor , en

bepaald worden. Het model bevat op deze manier erg veel parameters. Gekeken wordt

of dit teruggebracht kan worden. Uiteraard is er voor Gekozen kan worden voor bijvoorbeeld

in toekomstige jaren weinig bekend.

1 of

.

Voor de ontwikkelingsjaren kan ook een vast patroon gemodelleerd worden. Vaak zijn de betalingen in het eerste jaar veel groter dan bijvoorbeeld in het laatste jaar. Dit kan in het model terugkomen door de parameters voor ontwikkelingsjaren te laten afnemen. Dan kunnen tot

teruggebracht worden tot twee parameters

en

waarbij

voor

1 wordt

gekozen (Kaas et al., 2001). England & Verrall (2002) gaan nog uitgebreider in op de modellering van de verschillende verdelingen, gebruikelijk zijn de (over-dispersed) Poisson, lognormaal, gamma en negatief binomiaal. Kaas et al. (2001) vergelijken verschillende mogelijkheden van invulling van , en

en het effect van meer of minder parameters op de variantie.

2.4 Bootstrapping Om een predictieverdeling van de reserve te bepalen wordt de hierboven beschreven GLMmethode in combinatie met de bootstraptechniek gebruikt. England en Verrall (2006) beschrijven de voordelen van deze methode, namelijk dat bootstrapping trekkingen uit de predictieverdeling geeft zodat risicomaten van de benodigde reserve berekend kunnen worden, maar vooral dat bootstrapping eenvoudig is en zelfs in een spreadsheet is toe te passen. Het bootstrapproces Gebruikt wordt een schadedriehoek van bekende betalingen en een bovendriehoek waarvan een eerste schatting met GLM is gemaakt. Noodzakelijke voorwaarde voor het toepassen van de bootstraptechniek is het trekken met teruglegging uit onafhankelijke en identiek verdeelde observaties. Omdat er geen identieke verdeling is in de schadedriehoek wordt niet naar de betalingen maar naar residuen gekeken. Deze zijn bij benadering wel identiek verdeeld. England en Verrall (2006) en Kaas et al.

12


(2001) vermelden dat het gebruikelijk is een trekking te doen uit de Pearsonresiduen dus dat wordt in dit artikel ook gedaan. De Pearsonresiduen zijn (15)

,

een betaling uit de bekende bovendriehoek is en ̂ het gemiddelde van de eerste

Waarbij

GLM-schatting. Van elke betaling wordt het residu bepaald. Vervolgens worden de residuen geschaald om te corrigeren voor onzuiverheid op dezelfde manier als bij het bepalen van een zuivere schatter voor de variantie. ′

,

(16)

,

Hier is

het aantal bekende betalingen en

het aantal geschatte coëfficiënten.

Voor elke cel uit de bovendriehoek wordt random een residu

,

getrokken. Met het

geschatte gemiddelde ̂ van de waargenomen betalingen wordt een nieuwe geschiedenis van gecreëerd.

betalingen ,

∗

̂

̂

(17)

(afhankelijk van welke verdeling wordt gebruikt bij het schatten van factoren moeten negatieve waarden van

op nul gezet worden)

Met deze driehoek van bootstrapbetalingen wordt opnieuw een inschatting gemaakt van de benedendriehoek. De benedendriehoek wordt door middel van puntschattingen gevuld. Vervolgens wordt nog rekening gehouden met de procesonzekerheid ten gevolge van de onderliggende verdeling die voor onzekerheid zorgt. In het GLM-voorbeeld in paragraaf 4.5 gebeurt dit door voor elke onbekende betaling een trekking te nemen uit de Poissonverdeling met als gemiddelde de bovengenoemde puntschatting. Op deze manier wordt een schatting verkregen van de benodigde reserve. Door deze werkwijze een groot aantal keer te herhalen wordt een predictieverdeling verkregen van de openstaande reserve (Lowe, 1994).

13


Stappen van de bootstrapmethode Stap 1. Maak een eerste schatting met een bekende bovendriehoek. Stap 2. Bepaal de Pearsonresiduen. Stap 3. Sample uit de residuen een nieuwe bovendriehoek. Stap 4. Vorm uit de residuen in de nieuwe bovendriehoek bootstrapbetalingen. Stap 5. Maak voor de bovendriehoek een schatting van de toekomstige betalingen. Stap 6. Voeg procesonzekerheid toe. Stap 7. Herhaal stap 3 tot 6 een groot aantal keren om tot een predictieverdeling te komen.

De gemiddelde kwadratische predictiefout Nu de predictieverdeling van de reserve bepaald is, kan een verzekeraar verschillende risicomaten bereken aan de hand van de gesimuleerde waarden uit de predictieverdeling van de openstaande reserve. De verzekeraar kan bijvoorbeeld de standaard deviatie of een hoog kwantiel berekenen. Een maat voor dit risico bij de bootstrapmethode is de prediction error van de reserve. De mean squared error of prediction van de bootstrapschatting wordt eenvoudig bepaald door de standaarddeviatie van de schatting van de reserve te nemen (England, 2010). Een andere maat voor reserverisico is de eerder genoemde mean squared error van Mack (zie paragraaf 2.2).

3. Van ultieme naar éénjarige tijdshorizon Hierboven is beschreven hoe de benodigde totale reserves bepaald worden via het inschatten van de ultieme schadelast. Dit ultimate viewpoint is niet meer voldoende volgens de nieuwe solvabiliteitsrichtlijnen van de Europese Unie (vanaf hier Solvency II genoemd). In artikel 101 van Solvency II over het berekenen van de solvabiliteitskapitaalvereisten staat: “ Het [solvabiliteitskapitaalvereiste] stemt overeen met de Value at Risk (VaR) van het kernvermogen

van

een

verzekerings-

of

herverzekeringsonderneming

met

een

betrouwbaarheidsgraad van 99,5 % over een periode van één jaar.” (European Commission, 2009, p. 51)

14


Het kernvermogen van de verzekeraar moet dus zodanig zijn dat de verzekeraar met 99,5% zekerheid aan haar verplichtingen over een periode van één jaar kan voldoen. Het kernvermogen is modulair opgebouwd. Een van deze modules is de uitstaande reserve voor een schadeverzekering. De verzekeraar loopt het risico dat de reserves voor deze uitstaande schades één jaar later onvoldoende blijken, het reserverisico. Solvency II legt een kapitaalvereiste op, de Solvency Capital Requirement (SCR), zodat de verzekeraar voldoende kapitaal heeft om (onder andere) het reserverisico te ondervangen over een horizon van één jaar.

Hieronder volgt eerst een algemene bespreking van de SCR. Vervolgens wordt het Claim Development Result, het verschil tussen twee opeenvolgende inschattingen van de ultieme schadelast, besproken. Daarna wordt in paragraaf 3.3 beschreven op welke manieren vanuit het Claim Development Result de SCR voor het reserverisico bepaald kan worden.

3.1 Solvency Capital Requirement Het kapitaal dat nodig is voor de afwikkeling van de uitstaande verplichtingen in het kader van schadeverzekeringen is maar één component van de totale kapitaalvereiste van de verzekeraar. Hieronder wordt kort uitgelegd met welke aspecten de verzekeraar rekening dient te houden. De regels voor de Solvency Capital Requirement (SCR) staan in de Solvency II richtlijnen. Artikel 104 van Solvency II zegt dat de SCR voor een verzekeraar uit de risicomodules weergegeven in figuur 2 moet bestaan (European Commission, 2009).

Figuur 2 Modulaire opbouw van de SCR

Dit zijn de vijf basismodules:

15


-

Tegenpartijrisico (SCRDefault)

-

Marktrisico (SCRMarket)

-

Ziektekostenverzekeringstechnisch risico (SCRHealth)

-

Schadeverzekeringtechnisch risico (SCRNon Life)

-

Levensverzekeringstechnisch risico (SCRLife)

Deze basismodules kunnen indien nodig aangevuld worden met de module Operationeel risico. Het SCR wordt dan berekend met de formule uit bijlage IV van de Solvency II richtlijnen: ∑, met

en

∗

∗

(18)

de risicomodules en voor

de correlatiecoëfficienten 3 uit de bijlage van

Solvency II (European Commission, 2009, p. 124). Elk van deze risico’s wordt bepaald met een VaR4-maatstaf met 99,5% betrouwbaarheid voor een interval van één jaar. Voor het berekenen van het schadeverzekeringstechnische risico, SCRschade, worden ondermodules gebruikt namelijk: -

SCRschade

-

SCRpremie

-

SCRreserve

-

SCRschade ramp

Deze ondermodules kunnen dan voor en ingevuld worden in ∑,

∗

∗

(19)

Als aangetoond kan worden dat de hierboven beschreven standaardberekening niet passend is vanwege de “aard, omvang of billijkheid van de risico’s” dan mag de standaardformule vereenvoudigd worden (artikel 109). Ook mogen door de toezichthouder goedgekeurde interne modellen gebruikt worden (artikel 112). In artikel 129 worden tenslotte nog enkele absolute minima aan kapitaalvereisten van enkele miljoenen euro’s per module genoemd (European Commission, 2009). 3

De correlatiecoëfficiënten van SCRschade zijn 0.25 en 0.5 met de modules marktrisico respectievelijk tegenpartijrisico. VaR: Value-at-Risk is de hoeveelheid kapitaal die met 99.5% kans voldoende is om aan de uitkeringsverplichtingen voor één jaar te voldoen.

4

16


3.2 Het Claim Development Result De basis voor de SCR voor reserverisico onder Solvency II is het Claim Development Result (CDR). Dit resultaat ontstaat als er één jaar extra informatie over betalingen bekend is. In deze paragraaf staan de berekeningen en de schattingsfouten van het CDR beschreven. In paragraaf 3.2.3 wordt de simulatie van het CDR besproken en daarna volgt een voorbeeld van een simulatiemethode.

3.2.1 Bepalen van het Clain Development Result

Noteer met

|

1

de bovendriehoek, waarbij en lopen van 1 tot . Dit

is de informatie die bekend is op tijdstip . Met deze informatie is de reserve ,

. Op analoge manier wordt de reserve

,

1 bepaald. Vervolgens is de

op tijdstip

verwachting dat bij een goede schatting de totale betalingsgroottes dezelfde waarde hebben. De eerste geschatte ultieme schadelast zou gelijk moeten zijn aan de nieuwe schadelast in het ultimate viewpoint. De eerste geschatte reserve geschatte reserve

is echter niet gelijk aan de nieuwe

plus de uitbetalingen in jaar

1. Om dit verschil te berekenen wordt

het CDR bepaald (Merz & Wütrich, 2008). Met formule 20 kan het eenjarige resultaat berekend worden dat verkregen wordt doordat er één jaar aan nieuwe betalingen bekend is. Op de verwachte eerste reserve wordt een jaar aan nieuwe en de nieuwe verwachte reserve in minderinggebracht. Dit kan herschreven worden naar het geschil tussen de ultieme schadelasten met bekende informatie 1

respectievelijk

.

,

,

.

| (20)

Waarbij

,

1, en

de incrementele betalingen zijn in kalenderjaar

betaling in jaar . Als hierbij de geschatte waarden voor

en

,

|

de ultieme

ingevuld worden is het

geobserveerde Claim Development Result: 1

,

,

.

(21) Voor de verwachting van het CDR geldt dat deze gelijk is aan nul:

17

1

0.

Schatten van het reserve‐risico voor niet‐levensverzekeringen bij Solvency II 3.2.2 Schattingsfouten van het Claim Development Result

De precisie van de schatting van het CDR kan op twee manieren bepaald worden. Prospectief door te kijken in welke mate de schatting afwijkt van de verwachte neutrale uitkomst of retrospectief door het verschil tussen het geobserveerde en werkelijke CDR te kwantificeren. Merk op dat voor de retrospectieve msep de werkelijke betalingen voor het volgende kalenderjaar bekend moeten zijn. Voor de prospectieve msep is alleen de schatting van het CDR nodig. Prospectief:

|

Retrospectief:

|

0

1

0 |

1

(22) 1

1

| (23)

Merz en Wütrich (2008) bespreken deze schattingen van de msep voor het CDR. Ze werken een analytische formule uit die gebaseerd is op de aanpak van Mack (1993). Verder merken ze op dat voor long tail business, verzekeringen met een lange periode van ontwikkelingsjaren, het eenjarige reserverisico lager is dan voor short tail business. 3.2.3 Simulatie van het claim development result

Ohlsson, Esbjörn en Lauzeningks (2009) en Diers (2011) stellen dat de analytische methode van Merz en Wütrich (2008) vaak niet voldoende is en dat simulatie nodig is om een beter beeld te krijgen van het reserverisico. Via simulatie kan een predictieverdeling van het CDR bepaald worden. Stel daarvoor het volgende model voor het eenjarige CDR door Ohlsson, Esbjörn en Lauzeningks (2009) op: 1 Waarbij

(24)

de uitkeringen in jaar zijn en

vervolgens de verdeling van

de bijbehorende reserves. Hiermee wordt

gesimuleerd in een aantal stappen. Aan de hand van

figuur 3 uit de paper van Diers (2011) worden deze stappen hieronder uitgelegd.

18


Figuur 3 Simulatie van het Claim Development Result (Diers, 2011)

0 bepaald. Dit is de reserve die bepaald kan worden

Als eerste wordt de openingsreserve

op basis van de betalingen tot op heden. Vervolgens wordt de incrementele betaling

voor

het nieuwe jaar gesimuleerd. Als derde stap wordt aan de hand van deze informatie opnieuw de reserve bepaald met de methode die ook voor

0 gebruikt is. Met formule 24 kan dan de

CDR berekend worden. Deze stappen worden vaak herhaald totdat een verdeling van het CDR bepaald is. 3.2.4 Simuleren met ontwikkelingsfactoren

In het numerieke voorbeeld in hoofdstuk 4 worden de betalingen in het volgende kalenderjaar (de extra diagonaal in figuur 3) gesimuleerd aan de hand van de GLM-methode besproken in paragraaf 2.4 Devineau et al. (2011) bespreken een andere manier om de simulatie uit te voeren, gebaseerd op De Felice en Moriconi (2006). Zij gaan uit van de chain-ladder methode en gebruiken residuen van de ontwikkelingsfactoren in plaats van residuen van de betalingen. De aannames voor dit algoritme (in dit geval zonder staartfactoren) zijn die van de chainladder van Mack (paragaaf 2.2.2). Als eerste worden de ontwikkelingsfactoren de individuele ontwikkelingsfactoren

,

geschat zoals in formule 3. Daarnaast worden

geschat aan de hand van de cumulatieve betalingen

. ∑ ∑

,

λ,

(3)

Met de algemene ontwikkelingsfactoren

,

(25)

wordt de benedendriehoek volgeschat (formule 4)

en een eerste schatting gemaakt van de reserve. Per schadejaar is de reserve de cumulatieve betaling in jaar

minus de cumulatieve betaling op de diagonaal. Deze reserves worden over 19


∑

schadejaren opgeteld:

,

. De procesvariantie

,

wordt bepaald zoals

in formule 8. Vervolgens worden de residuen bepaald en deze worden gecorrigeerd voor onzuiverheid met .

een factor

,

,

∗

(26)

Vervolgens begint het bootstrapproces. Voor een groot aantal iteraties worden de volgende stappen uitgevoerd: (Begin van een iteratie.) De bovendriehoek wordt gevuld met pseudo-ontwikkelingsfactoren (individueel).

,

.

,

(27)

Met de chain-laddertechniek worden de ontwikkelingsfactoren voor alle gesampelde bovendriehoeken opnieuw geschat ( ). Met deze ontwikkelingsfactoren wordt een nieuw jaar aan betalingen gesimuleerd:

∗

,

,

. De totale uitbetaling in dat jaar is dan

de som van de incrementele betalingen op de subdiagonaal. ∑

,

,

∑

(28)

,

Op de bovendriehoek met de gesimuleerde subdiagonaal kan opnieuw de chainladdermethode toegepast worden. Vervolgens wordt uit de geschatte benedendriehoek de nieuwe reserve bepaald. ∑

,

(29)

,

Het CDR is dan

zoals in formule 24.

(Einde van een iteratie.) Op deze manier kan een predictieverdeling van het CDR verkregen worden. Devineau et al. (2011) repliceren met deze bootstrapmethode de analytische predictiefouten van het

20


numerieke voorbeeld van Merz en Wüthrich (2008). Ook bewijzen ze dat de variantie van de gesimuleerde verdeling gelijk is aan de analytische variantie. Voor een uitbreiding van deze techniek met betrekking tot het in rekening brengen van staartfactoren zie Devineau et al. (2011). Vergelijking met de simulatie met tailfactor op de illustratieve schadedriehoek van Merz en Wütrich (2008) levert Devineau et al. (2011) een grotere variantie op. De parameter estimation error wordt groter maar ook de procesvariantie wordt groter doordat er een nieuw ontwikkelingsjaar wordt toegevoegd. De prediction error van de empirische CDR verdeling is dus groter geworden door het toevoegen van een schatting van de staart. Stappen voor het simuleren van het CDR Stap 1. Bepaal de openingsreserve

1 .

Stap 2. Simuleer de betalingen voor eerstvolgende kalenderjaar

.

Stap 3. Bepaal opnieuw de reserve aan de hand van de nieuwe betalingen Stap 4.

1

.

3.3 SCR voor het reserverisico Met de berekende CDR worden de nodige kapitaalvereisten om het reserverisico af te dekken bepaald. Het SCR moet ten eerste voldoende zijn voor de best-estimate van de reserves en daarbij moet het als buffer kunnen fungeren voor schommelingen in het CDR in de komende jaren. Salzmann en Wüthtrich (2010) beschrijven vier manieren om het SCR te berekenen. A. The Regulatory Solvency Approach B. The Split of the Total Uncertainty Approach C. The Expected Stand-Alone Risk Measure Approach D. The Multiperiod Risk Measure Approach Deze manieren worden hieronder kort uitgelegd waarna de bevindingen uit de vijfde Quantitative Impact Study (QIS5) over deze methoden worden beschreven. 3.3.1 De Cost‐of‐Capital marge

Voor de vier methodes (A tot D) van Salzmann en Wüthrich is allereerst een risicomaat ,

voor elk schadejaar en kalenderjaar

bepaald. Deze bepaalt hoe groot het bedrag is dat

wordt aangehouden voor de best-estimate en de buffer. Hierbij drukt de Cost-of-Capital rate 21


c, de kosten uit voor de verzekeraar om dit bedrag vast te houden. De totale kosten van deze risicomarge zijn dan ∏

,

∗

,

. Deze risicomarge wordt de Cost-of-Capital marge

,

genoemd. Naast best-estimate

,

voor de betalingen in kalenderjaar

en schadejaar moet er dus ook

een reserve voor de cashflows horend bij de Cost-of-Capital marge aangehouden worden. De totale technische voorziening is

∗ ,

methodes op een andere manier met

, ,

,

, ,

,

,

en

waarbij de ,

voor elk van de vier

,

bepaald wordt. 0.

De toekomstige risicomaten worden bepaald voor de jaren na jaar Methode A: The Regulatory Solvency Approach neemt voor de risicomaat

,

alleen het risico van het

1 mee. Hiervoor wordt alleen de onzekerheid van het eerst

eerst komende kalenderjaar

komende kalenderjaar gebruikt. Voor de jaren daarna (

1 ) wordt simpelweg deze

onzekerheid herschaald naar de verwachte betalingsgroottes van deze latere jaren. Methode B: De Split of the Total Uncertainty Approach is een uitbreiding van methode A. Deze benadering is gebaseerd op de onzekerheid in het CDR voor élk komend kalenderjaar 1,2,3, … maar baseert

,

alleen op de initiële informatie beschikbaar op

0.

Methode C: The Expected Stand-Alone Risk Measure Approach gebruikt voor

,

net als methode B ook

een aparte schatting voor de onzekerheid van het CDR voor elk komend jaar =1,2,3… maar gebruikt hierbij meer informatie namelijk die tot respectievelijk

0,1,2, …

Methode D: The Multiperiod Risk Measure Approach is de meest uitgebreide methode en de meest technische en complexe. De methode neemt naast de onzekerheid van het CDR ook de onzekerheid in de ontwikkeling van de CoC mee.

,

kan dus alleen recursief bepaald worden

uit de voorgaande jaren.5 5 Voor het formulewerk om de risicomaten te bepalen zie Salzmann & Wüthrich (2010).

22


Salzmann & Wüthrich menen dat methode A geen goede bescherming biedt tegen schokken in het CDR. Methode B, C en D geven alle ongeveer dezelfde schatting van de totale reserve waarbij D prudenter is dan B en B dan C:

,

,

,

. Methode B of C kan dus goed als

benadering voor de uitgebreide berekeningen van methode D dienen. 3.3.2 Risicomarge volgens QIS5

In de vijfde Quantitative Impact Study voor Solvency II (EIOPA, 2011) wordt geschreven dat het volledig berekenen van alle risicomaten voor het bepalen van de SCR vaak te complex is om uit te voeren. De toezichthouder staat daarom vaak vereenvoudigingen in de berekeningen toe. Figuur 4 geeft aan hoe weinig de volledige berekeningen gebruikt worden.

Figuur 4 Frequenties van gebruik van methodes (EIOPA, 2011, p. 49)

Van links naar rechts geeft figuur 4 het gebruik van de benaderingen van de volledige berekening weer. Full calculation is de volledige berekening van alle toekomstige SCR’s zonder vereenvoudigingen (Methode D). Risks approximation gebruikt voor sommige (sub)modules (zie paragraaf 3.1) een benadering. SCR approximation benadert het SCR volgens methode A, de toekomstige SCR wordt proportioneel aan de eerste onzekerheid in het CDR bepaald. Duration is een vereenvoudigde inschatting welke alle SCR’s “in een keer” bepaalt. Als laatste is bij 5% BE de risicomarge 5% van de best-estimate van de reserve (EIOPA, 2010, p. 59). Circa 6% gebruikt de meest uitgebreide methode om het SCR te berekenen. Een vergelijkbaar aantal verzekeraars gebruikt vijf procent van de best-estimate als risicomarge. Het grootste gedeelte (circa 40%) gebruikt de SCR approximation. Toezichthouders claimen dat een risicomarge proportioneel aan de best-estimate (methode A, B en methodes 3 tot 5 uit figuur 3) geen juiste aanname is. Daarom raadt de toezichthouder 23


aan, alleen vereenvoudigingen te gebruiken die meer informatie dan alleen de best-estimate meenemen. Wanneer risicomarges bij verschillende methodes sterk uiteenlopen moet ook opgepast worden dat er geen prikkel ontstaat om de voordeligste methode in plaats van meest passende te kiezen (“regulatory arbitrage”). Uit paragraaf 3.3.1 en 3.3.2 kan geconcludeerd worden dat ondanks dat methode A veel gebruikt wordt, het beter is om een goede benadering (bijvoorbeeld methode B) van de volledige SCR berekeningen te gebruiken om de juiste risicomarge te bepalen.

4. Numeriek voorbeeld Na het uitgebreide literatuuronderzoek in de voorgaande secties worden hier de analytische benadering van Mack en de schatting met GLM van een voorbeeld schadedriehoek bekeken. Met het softwarepakket R6 worden de ontwikkelingsfactoren van het chain-laddermodel en de coëfficiënten van het GLM-model gezocht waarmee vervolgens de schadedriehoek wordt volgeschat. Daarna worden het geobserveerde CDR bekeken met een extra jaar aan schadeclaims. Tenslotte wordt met een de bootstrapmethode een predictieverdeling van de reserve en de eenjarige CDR’s gesimuleerd. De schadedriehoek uit het artikel van Merz en Wütrich (2008) wordt hiervoor gebruikt. Tabel 5 Schadedriehoek van Merz en Wütrich (2008)

Schadejaar i


2

3

4

5

6

9

2202584 3210449 3468122 3545070 3621627 3644636 3669012 3674511 3678633

02

2350650 3553023 3783846 3840067 3865187 3878744 3898281 3902425

03

2321885 3424190 3700876 3798198 3854755 3878993 3898825

04

2171487 3165274 3395841 3466453 3515703 3548422

05

2140328 3157079 3399262 3500520 3585812

06

2290664 3338197 3550332 3641036

07

2148216 3219775 3428335

08

2143728 3158581

09

2144738

R is open-source software en te downloaden via de volgende site: http://www.r-project.org/

24

8

01

6

7


In tabel 5 is de cumulatieve schadedriehoek weergegeven. Hieruit volgt eenvoudig de driehoek met incrementele betalingen. Voor de incrementele driehoek kan een algoritme opgesteld worden dat voor elk schadejaar de incrementele berekent

. Het

,

gebruikte script in R is te vinden in bijlage 1.

4.1 Ontwikkelingsfactoren met de chain‐laddermethode Voor de bovendriehoek in tabel 5 worden met R de ontwikkelingsfactoren en daarmee de schatting van de schadedriehoek volgens de chain-laddermethode bepaald. De gevonden factoren staan in tabel 6. Tabel 6 Ontwikkelingsfactoren volgens de chainladder methode

Ontwikkelings-

2

jaar Ontwikkelings -factor

3

4

5

6

7

8

9

1.4759

1.0719

Tabel 6 toont de factoren

1.0232

1.0161

1.0056

1.4759

1.0013

10011

. Om een schatting te maken van bijvoorbeeld de betalingen in 1.4759 vermenigvuldigd worden.

kolom 2 moet de eerste betalingen met

Met deze factoren kan uit de bovendriehoek de geschatte benedendriehoek verkregen worden. De volgeschatte driehoek wordt in paragraaf 4.3 besproken.

4.2 Coëfficiënten met de GLM‐methode Ook met de GLM-methode wordt een schatting gemaakt van de benedendriehoek. Met behulp van deze methode kunnen de factoren voor schadejaar en ontwikkelingsjaar bepaald worden. Daarvoor moet de schadedriehoek met jaarlijkse (niet-cumulatieve) betalingen gebruikt worden. Als onderliggende verdeling wordt de Poissonverdeling gekozen en als model het eenvoudigste multiplicatieve model (formule 3.3). Van de gevonden waarden voor

en wordt de e-macht genomen (zie formule 13) omdat

deze beter te interpreteren zijn. Dit geeft de factoren in tabel 7 voor de ontwikkelingsjaren en schadejaren

.

Tabel 7 De effecten van ontwikkelingsjaren en schadejaren

en 1

1.000 25

2204910


2

0.4759

2341671

3

0.10612

2342492

4

0.0366

2143882

5

0.0261

2180109

6

0.0104

2249393

7

0.0092

2167021

8

0.0021

2140064

9

0.0019

2144738

Door deze factoren in het multiplicatieve model in te vullen, kan de schatting van de benedendriehoek van tabel 5 verkregen worden. In de volgende paragraaf worden de volgeschatte driehoeken vergeleken.

4.3 Volschatting met chain‐ladder en GLM De chain-laddermethode en GLM-methode geven vergelijkbare (maar niet identieke) volgeschatte driehoeken. De ultieme reserves komen overeen maar per cel kunnen verschillen voorkomen (zie tabel 8 en 9). Tabel 8 Volschatting met de chain‐ladder methode

Schadejaar i


2

3

4

5

6

7

8

9

01

2202584 1007865 257673

76948

76557

23009

24376

5499

4122

02

2350650 1202373 230823

56221

25120

13557

19537

4144

4377

03

2321885 1102305 276686

97322

56557

24238

19832

4968

4379

04

2171487 993787 230567

70612

49250

32719

19837

4547

4007

05

2140328 1016751 242183 101258

85292

22572

20172

4624

4075

06

2290664 1047533 212135

90704

58732

23289

20813

4771

4205

07

2148216 1071559 208560

79368

56581

22436

20051

4596

4051

08

2143728 1014853 227107

78380

55878

22157

19802

4539

4000

09

2144738 1020741 227603

78551

56000

22206

19845

4549

4009

26

Schatten van het reserve‐risico voor niet‐levensverzekeringen bij Solvency II Tabel 9 Volschatting met de GLM methode

Schadejaar i 01

1 2 3 2204910 1049379 233989

Ontwikkelingsjaar j 4 5 6 80755 57571 22829

7 20402

8 4676

9 4122

02

2341671 1114467 248502

85764

61142

24245

21667

4966

4378

03

2342492 1114858 248589

85794

61163

24253

21675

4968

4379

04

2143882 1020334 227512

78520

55977

22197

19837

4547

4008

05

2180109 1037576 231357

79847

56923

22572

20173

4624

4076

06

2249393 1070549 238709

82384

58732

23289

20814

4771

4205

07

2167021 1031346 229968

79368

56581

22436

20052

4596

4051

08

2140064 1018517 227107

78380

55878

22157

19802

4539

4001

09

2144738 1020741 227603

78551

56000

22206

19845

4549

4010

Tabel 8 en 9 geven een totale schatting van de som van de rechthoek van 33.224.633 (de totale betaling van de verzekeraar aan haar klanten) met een geschatte benodigde reserve van 2.237.826 (de schatting van toekomstige betalingen). Deze reserve komt overeen met de reserve die Merz en Wütrich (2008) berekenen. In figuur 5 is de ontwikkeling van de geobserveerde en geprojecteerde betalingen voor de 9 schadejaren geïllustreerd waarbij duidelijk zichtbaar is dat het grootste deel van de totale uitbetaling direct in het eerste jaar valt.

Figuur 5 Chainladder schatting per schadejaar

De ingebouwde chain-ladderfunctie van R geeft ook Mack’s mse (zie formule 2.7)

27


108.401

De mse van Mack per schadejaar wordt in paragraaf 4.7 besproken.

4.4 Het werkelijke claim development result 10 aan

Na de inschatting van de benedendriehoek wordt aan tabel 5 een nieuw jaar

betalingen op de diagonaal toegevoegd. In paragraaf 4.1 tot en met 4.3 is dus de bekende informatie beperkt tot 9 kalenderjaren. Nu wordt ook het tiende bekende kalenderjaar toegevoegd. Wederom worden de waarden van Merz en Wütrich (2008) gebruikt. In tabel 10 zijn de geschatte betalingen uit de vorige paragraaf (4.3 ) en de werkelijke waarden van betalingen van Merz en Wütrich weergegeven. Deze werkelijke waarden zijn pas achteraf bekend, normaal kan het geobserveerde CDR dus alleen geschat worden. Tabel 10 Een jaar geobserveerde betalingen

Geschat in 4.3

1020741 227107

79368

58732

22572

19837

4968

4378

Geobserveerd

1073458 217794

83525

38873

38972

16048

3305

4313

In tabel 11 zijn de nieuwe incrementele waarden opgeteld toegevoegd. In het rood staan op de diagonaal de cumulatieve betalingen. Tabel 11 Nieuwe schadedriehoek

Schadejaar i


2

3

4

5

7

8

9

01

2202584 3210449 3468122 3545070 3621627 3644636 3669012 3674511 3678633

02

2350650 3553023 3783846 3840067 3865187 3878744 3898281 3902425 3906738

03

2321885 3424190 3700876 3798198 3854755 3878993 3898825 3902130

04

2171487 3165274 3395841 3466453 3515703 3548422 3564470

05

2140328 3157079 3399262 3500520 3585812 3624784

06

2290664 3338197 3550332 3641036 3679909

07

2148216 3219775 3428335 3511860

08

2143728 3158581 3376375

09

2144738 3218196

28

6


De som van de geobserveerde betalingen in het nieuwe jaar k is 1.476.288. Voor tabel 10 worden opnieuw de ontwikkelingsfactoren en de verwachte toekomstige betalingen berekend. Hiermee kan dan het CDR bepaald worden. 4.4.1 Berekening werkelijk CDR

Het totaal aan toekomstige betalingen na jaar 10, de nieuwe reserve, is volgens de chainladder methode 801.613. Het CDR volgens formule 24 wordt dan 1

2.237.826

1.476.288

801.613

40.075

Uit deze voorbeeldberekening wordt duidelijk dat ondanks dat het verwachte CDR nul is, het uiteindelijke resultaat over een nieuw kalenderjaar uiteraard van nul af kan wijken. Om dit resultaat beter te analyseren worden twee analytische maten van de eenjarige predictiefout bekeken. 4.4.2 Prediction error van het CDR

Voor het bepalen van de prediction error wordt het resultaat van Merz en Wüthrich (2008) gerepliceerd. Hiervoor wordt het R-script van Lacoume (2009) gebruikt. Met dit script kan de /

msep tussen de werkelijke en geobserveerde CDR (

) bepaald worden. Ook

de geschatte standaard deviatie tussen nul en het geschatte 0

(

/

wordt bepaald

. Deze twee worden in tabel 12 vergeleken met de msep van formule 9 van

Mack (

).

Tabel 12 Analytische predictiefouten (de predictiefouten per schadejaar staan in paragraaf 4.7) /

Prediction error Totaal over alle schadejaren

0

33.856

/

81.081

108.401

In paragraaf 4.4.1 was een CDR van 40.075 gevonden. Vergeleken met de geschatte msep tussen het werkelijke en geobserveerde CDR (33.856) is het negatieve resultaat van dezelfde ordegrootte. Voordat de nieuwe betalingen bekend waren was de verwachting van het CDR nul (zie paragaaf 3.2). De gevonden standaarddeviatie tussen nul en het CDR onderschrijft dit, 40.075 ligt namelijk ruim binnen de

0

29

/

van 81.081.


De mse van Mack als maat voor de totale onzekerheid van de schatting is 108.401. De eenjarige predictiefout van 81.081 is niet veel kleiner dan de 108.401. Dit laat zien dat een groot deel van de onzekerheid in de schatting in het eerste jaar ligt. Om een beter beeld te krijgen van de verdeling van de betalingen, reserves en het CDR worden deze in paragraaf 4.5 en 4.6 gesimuleerd.

4.5 Simulatie van de reserve met de bootstrapmethode Voor het bepalen van een verdeling van de reserve wordt in deze paragraaf de bootstrapmethode uit paragraaf 4.1 uitgevoerd op de schadedriehoek van Merz en Wütrich (2008). In bijlage 1 is het script voor R te vinden dat gebruikt is voor de berekeningen en illustraties hieronder. Eerst worden de betalingen gesimuleerd, hiermee wordt vervolgens de predictieverdeling van de reserve bepaald Als residuen worden de Pearsonresiduen gebruikt en voor de procesonzekerheid wordt een random trekking uit de Poissonverdeling gedaan. De bootstrapsimulatie wordt voor 100, 1000 en 10.000 iteraties uitgevoerd. Er worden dus 100, 1000 en 10.000 driehoeken aan pseudodata gecreëerd welke met de GLM-methode geschat worden waarna de geschatte reserves bepaald worden. Voor de onderliggende verdeling van de betalingsgroottes wordt de overdispersed Poissonverdeling gekozen. Dit levert de volgende histogrammen op voor de dichtheid van de nog komende betalingen.

30


Histogram van betalingen voor n="1000"

0.0e+00

0.0e+00

1.0e-06

2.0e-06

Density 1.0e-06

Density

2.0e-06

3.0e-06

3.0e-06


1900000

2100000

2300000

2500000

1800000

2000000

betalingen

2200000

2400000

2600000

betalingen

0.0e+00

1.0e-06

Density

2.0e-06

3.0e-06


1800000

2000000

2200000 betalingen

2400000

2600000

Figuur 6 Histogrammen van nog komende betalingen

De blauwe lijn is de schatting van de dichtheid en de rode lijn is de dichtheid van een normale verdeling met als gemiddelde en standaarddeviatie het empirische gemiddelde en de empirische standaarddeviatie van de gesimuleerde betalingen. Voor grotere waarden van lijkt de dichtheid van de betalingen steeds meer op de curve van de normale verdeling. Na het bekijken van de betalingen worden de gesimuleerde reserve besproken. Voor 10.000 wordt een histogram van de gesimuleerde reserve bekeken in figuur 7.

31

is


Density

0e+00

1e-06

2e-06

3e-06

4e-06

Histogram van reserves voor n="10000"

1900000

2100000

2300000 reserves

2500000

Figuur 7 Predictieverdeling van reserves

Figuur 7 laat zien dat de predictieverdeling van de reserve een normaal verdeelde klokvorm vertoont. De empirische verdeling (blauw) en de normale verdeling (rood) vallen nagenoeg samen. Het gemiddelde van de simulatie verschilt minder dan 1 procent van de analytisch berekende reserve. 2.245.466 versus 2.237.827 bij de analytische berekening uit 4.3 De prediction error van de reservesimulatie is de standaard deviatie van de predictieverdeling: 91.518. Deze is van vergelijkbare grootte als de mse van Mack (108.401).

4.6 Simulatie van het eenjarige CDR In paragraaf 4.5 zijn de totale reserves gesimuleerd. Dit ultimate viewpoint wordt hier losgelaten. Voor het bepalen van de SCR is de eenjarige CDR nodig (zie 3.3.1). De stappen om het CDR te simuleren staan in paragraaf 3.3.1 beschreven. Voor elk schadejaar wordt het eenjarige CDR gesimuleerd en van deze gesimuleerde predictieverdeling wordt de predictiefout bepaald. Deze worden vervolgens vergeleken met de analytische predictiefouten uit paragraaf 4.4.2. Als eerste wordt de beginreserve met de GLM-methode bepaald, deze is gelijk aan de analytische reserve uit paragraaf 4.3. Vervolgens wordt met de bootstrapmethode uit paragraaf 2.4 een nieuw jaar aan betalingen 1.000 keer gesimuleerd. Met deze extra diagonaal toegevoegd aan de originele driehoek wordt de reserve opnieuw geschat. Hiermee kunnen dan de 1.000 CDR’s bepaald worden. Een histogram van de geschatte CDR’s staat in figuur 8. 32


Gesimuleerde totale CDR

-3e+05

-2e+05

-1e+05

0e+00

1e+05

2e+05

Figuur 8 Gesimuleerde CDR (n=1.000)

Het gemiddelde van de totale CDR die hieruit komt is

24.705 met een geschatte

predictiefout van 81.638. In tabel 13 is de predictie fout van deze schatting weergegeven naast de msep’s uit paragraaf 4.4.2. Tabel 13 Vergelijking van predictiefouten /

Begin-

Gemiddelde

Predictiefout

reserve

CDR

CDR simulatie

0

/

1

0

0

0

0

0

0

2

4.378

40

4.239

406

566

566

3

9.347

49

4.645

899

1.487

1.564

4

28.392

-646

9.112

1.966

3.923

4.157

5

51.444

-748

9.750

4.395

9.723

10.536

6

111.811

-314

14.804

11.804

28.443

30.319

7

187.084

-355

17.523

9.100

20.954

35.967

8

411.864

-4622

29.750

11.131

28.119

45.090

9

1.433.505

-18.084

68.820

18.581

53.321

69.552

Totaal

2.237.826

-24.705

81.638

33.856

81.081

108.401

De totale gesimuleerde predictiefout lijkt erg op de analytische

0

/

. De jaarlijkse

predictiefouten volgen wel een ander patroon. In de eerste jaren is de predictiefout bij de CDR-simulatie veel groter dan de msep. Voor schadejaren 5 tot 9 komen de predictiefout van 33


0

de simulatie en de

/

en de mse van Mack heel goed overeen. Het verschil in

predictiefout kan verklaard worden door de betalingsgroottes en de gebruikte residuen. Voor de eerste schadejaren zijn de betalingsgroottes klein. De residuen worden uit de hele bovendriehoek gesampled en kunnen dus relatief groot zijn in het geval er een residu uit een vroeg ontwikkelingsjaar gesampled wordt. Dit zorgt ervoor dat er een grotere reserve dan nodig wordt aangehouden voor een toekomstige betaling. Dit is geen probleem voor het bepalen van de SCR want dit levert hoogstens een te voorzichtige reserve en de totale predictiefout van het simulatie is wel gelijk aan de analytische predictiefout. De gemiddelde totale CDR van -24.705 valt ruim binnen de geschatte voorspelfout tussen het werkelijke en geobserveerde CDR van 33.856 en is een acceptabele uitkomst ook al is deze verschillend van nul. Door simulatie kan een goede voorspelling van de verdeling van het CDR verkregen worden. De gesimuleerde resultaten komen goed overeen met de analytische resultaten. Met de verdeling van het CDR kan vervolgens de SCR bepaald worden.

5. Conclusie Om risicomaten

voor

het

reserverisico

te

bepalen

is

gekeken

is

een

aantal

schattingstechnieken gebruikt. De chain-laddertechniek en de GLM-methode voor het volschatten van een schadedriehoek leveren beide dezelfde ultieme betalingsgroottes en reserves op. De chain-ladder doet dit zonder een aanname over de verdeling van de betalingen en voor de GLM-methode is aangenomen dat de betalingen een Poissonverdeling volgen. Met de belangrijke analytische formule van Mack kan de mean squared error van de reserves bepaald worden. Door simulatie is een verdeling van het Claim Development Result bepaald. De gesimuleerde verdeling van het CDR is noodzakelijk voor het bepalen van de Solvency Capital Requirement. De gesimuleerde verdeling van het totale CDR komt goed overeen met de analytische waarden gebaseerd op de aanpak van Mack. Vergelijking met de analytische predictiefouten uit het artikel van Merz en Wüthrich (2008) laat zien dat voor de eerste schadejaren een verschil in de predictiefout zit. Door de manier van samplen in het bootstrapproces is er voor de lage schadejaren te voorzichtig gereserveerd. De totale predictiefout komt wel goed overeen met de analytische waarden, dus simulatie kan goed gebruikt worden om de benodigde risicomaten voor de SCR te bepalen. 34


Momenteel worden veel benaderingen van de volledige berekening van de SCR gebruikt. Deze zijn niet altijd geschikt. Hoewel de volledige berekening van het CDR vaak te complex is, kan door middel van simulering en de juiste vereenvoudigingen een goede benadering gevonden worden voor het CDR. De simulatie uit het numerieke voorbeeld kan nog verbeterd en uitgebreid worden. Verbeteringen zijn mogelijk in het bepalen van de predictiefout voor de eerste schadejaren. Hier zit nog verschil tussen de analytische en gesimuleerde waarden. Als aanvulling op de simulatie kan gekeken worden naar de staartfactoren die Devineau et al. (2011) al noemen in hun paper. Verder is bij geen enkele berekening in dit artikel rekening gehouden met het effect van inflatie. Voor er daadwerkelijk gebruik gemaakt kan worden van deze methodes moet het effect van inflatie op de reserveringen nog uitgebreid onderzocht worden. Ook kan verder onderzocht worden hoe verzekeraars op een goede manier hun kapitaalvereiste bepalen als een volledige berekening niet passend is. De Europese regelgeving laat hier veel ruimte hetgeen mogelijk tot te lage reserveringen leidt.

Dankwoord Graag wil ik hier een aantal mensen bedanken die hebben bijgedragen aan deze scriptie. Allereerst dr. Katrien Antonio voor al haar snelle reacties op mijn vragen en haar kritische feedback. Dit heeft het schrijven van deze scriptie zeer leerzaam gemaakt. Daarnaast drs. Rob van Hemert en dr. Jiajia Cui voor hun begeleiding in het proces. Natuurlijk Lianne Westinga voor het overleg en gepuzzel met R. En tenslotte mijn ouders voor een frisse blik van een buitenstaander op mijn stukken en de mentale steun.

35


Bibliografie Antonio, K., & Kling, B. (2011). Stochastische technieken voor schadereservering bij niet‐leven. Utrecht. Antonio, K., & Plat, R. (2011). Micro‐level stochastic loss reserving. Johan de Witt‐prijs. Devineau, L., Angoua, Y., Boisseau, J., & Boumezoued, A. (2011). One‐year reserver risk including a tail factor: closed formula and bootstrap approaches. Working paper. Diers, D. (2011). Stochastic re‐reserving in multi‐year internal models: an approach based on simulations. ASTIN Helsinki. EIOPA. (2011). EIOPA Report on the fifth Quantitative Impact Study (QIS5) for Solvency II. EIOPA. (2010). QIS5 Technical Specifications. England, P. (2010). Bootstrapping: Lessons learnt in the last 10 years. Swiss Association of Actuaries, (pp. 16‐19). England, P., & Verrall, R. (2006). Predictive distributions of outstanding liabilities in general insurance. Annals of Actuarial Science , 1 (2), 221‐270. England, P., & Verrall, R. (2002). Stochastic claims reserving in general insurance. Britisch Actuarial Journal (3) , 443‐544. European Commission. (2009). Directive 2009/138/Ec Of the European parliament and of the council, on the taking‐up and pursuit of the business of insurance and reinsurance (Solvency II). Kaas, R., Goovaerts, M., Dhaene, J., & Denuit, M. (2001). Modern Actuarial Risk Theory. Kluwer Academic Publishers. Lacoume, A. (2009). Risque de réserve sous Solvabilité II (Horizon un an), (pp. 47‐52). Towers Perrin. Mack, T. (1993). Distribution‐free calculation of the standard error of chain‐ladder reserve. ASTIN Bulletin, 23 , 213‐225. Merz, M., & Wütrich, M. (2008). Modelling the claims development result for solvency purposes. CAS E‐Forum, (pp. 543‐568). Ohlsson, E., & Lauzeningks, J. (2009). The one‐year non‐life insurance risk. Insurance: Mathematics and Economics, 45 , 203‐208. Renshaw, A., & Verrall, R. (1998). A stochastic model underlying the chain‐ladder technique. British Actuarial Journal, 4 (4), 903‐923. Salzmann, R., & Wüthrich, M. (2010). Cost‐of‐Capital margin for a general insurance liability runoff. Astin Bulletin, 40 (2), 415‐451. Salzmann, R., & Wüthrich, M. (2010). Cost‐of‐Capital Margin for a General Insurance Liability Runoff. ASTIN Bulletin , 40 (2), 415‐451.

36

Schatten van het reserve‐risico voor niet‐levensverzekeringen bij Solvency II Bijlage I Gebruikte R-Code voor onderzoeksgedeelte ### R script bij scriptie Jasper Kunst mei 2012 ### install.packages("ChainLadder") install.packages("systemfit") suppressPackageStartupMessages(library(ChainLadder))

####### cumulatieve schadedriehoek voor MACKCHAINLADDER------------------------------------------------Xij<-scan(n=45) 2202584 3210449 3468122 3545070 3621627 3644636 3669012 3674511 3678633 2350650 3553023 3783846 3840067 3865187 3878744 3898281 3902425 2321885 3424190 3700876 3798198 3854755 3878993 3898825 2171487 3165274 3395841 3466453 3515703 3548422 2140328 3157079 3399262 3500520 3585812 2290664 3338197 3550332 3641036 2148216 3219775 3428335 2143728 3158581 2144738 n=45 TT <- trunc(sqrt(2*length(Xij))) i <- rep(1:TT,TT:1) j <- sequence(TT:1) #cumulatieve driehoek als matrix Xij.mat.incr <- Xij.mat <- matrix(0,nrow=TT,ncol=TT) for(k in 1:length(Xij)) Xij.mat[i[k],j[k]] <- Xij[k] Xij.mat #incrementele driehoek met NA als matrix for (k in 1:TT) for(h in 2:TT) Xij.mat.incr[k,h] <- (Xij.mat[k,h]-Xij.mat[k,h-1]) for (k in 1:TT) Xij.mat.incr[k,1] <-Xij.mat[k,1] 37

Schatten van het reserve‐risico voor niet‐levensverzekeringen bij Solvency II for (k in 2:TT) for (m in 2:k) Xij.mat.incr[k,11-m]<-NA

#incrementele driehoek als triangle Cij <-as.triangle(Xij.mat.incr,origin="schadejaren",dev="ontwikkelingsjaren",value="Paym") #cumulatieve driehoek met NA als triangle Dij <- incr2cum(Cij)

######## reproductie pagina 562 Merz Wütrich (dev.factors en sqrt(msep))-------------------------------M<-MackChainLadder(Dij,est.sigma="Mack") #Chainladder reserve is te vinden bij " Totals IBNR" M # Paragraaf 4.1/4.3 #volschatten driehoek M$FullTriangle #ontwikkelingsfactoren M$f # Mack SE sqrt(M$Mack.ProcessRisk^2+M$Mack.ParameterRisk^2) # plot(M) # Volschatting om te vergelijken met GLM M$FullTriangle

# Figuur 5

###### Incrementele driehoek voor GLM en CDR------------------------------------------------------------------Cij <- scan(n=45) 2202584 1007865 2350650 1202373 2321885 1102305 2171487 993787 2140328 1016751 2290664 1047533 2148216 1071559

## de incrementele claims 257673 76948 76557 23009 24376 5499 4122 230823 56221 25120 13557 19537 4144 276686 97322 56557 24238 19832 230567 70612 49250 32719 242183 101258 85292 212135 90704 208560 38

Schatten van het reserve‐risico voor niet‐levensverzekeringen bij Solvency II 2143728 1014853 2144738

TT <- trunc(sqrt(2*n)) b <- pmin(((9):(1)),9) i <- rep(1:TT,b) j <- sequence(pmin(((9):(1)),9)) i <- as.factor(i) j <- as.factor(j) #GLM schatting # Paragraaf 4.2/4.3 GLM <- glm(Cij~i+j,poisson) summary(GLM) coef(GLM) coefs <- exp(as.numeric(coef(GLM))) beta <-coefs[1]*c(1,coefs[2:TT]) alpha <- c(1,coefs[(TT+1):(2*TT-1)]) # coëfficiënten alpha beta GLM.schatting <-beta%*%t(alpha) #totals ultimate (vergelijk met Chainladder)van GLM sum(GLM.schatting) #cumulatieve driehoek om te vergelijken met CLdriehoek GLM.schatting.cum <- GLM.schatting for(p in 1:length(Cij)) GLM.schatting.cum[i[p],j[p]]<-GLM.schatting[p] for(p in 1:TT) GLM.schatting.cum[p,]<- cumsum(GLM.schatting[p,]) GLM.schatting.cum # totale reserve met GLM future <- row(GLM.schatting)+col(GLM.schatting)-1 > TT reserve <- sum(GLM.schatting[future]) reserve

####### geobserveerde CDR ----------------------------------------------------------------------------39


diag Fij Fij[diag]

# Paragraaf 4.4.1 <-row(M$FullTriangle)+col(M$FullTriangle)-2 == TT <-Dij <- c(3218196,3376375,3511860,3679909,3624784,3564470,3902130,3906738)

#Lees IBNR af: 801,612.95 MackChainLadder(Fij,est.sigma="Mack") Gij<-cum2incr(Fij) #betalingen in nieuwe jaar sum(Gij[diag]) 801612.95+sum(Gij[diag]) Gij[diag] # het CDR: 2237827-(801612.95+sum(Gij[diag])) ###### BOOTSTRAPPING----------------------------------------------------------------------------------set.seed(1991) # Paragraaf 4.5 # pearsonresiduen resid <- (Cij-fitted(GLM))/sqrt(fitted(GLM)) # corrigeren voor onzuiverheid p <- 2*TT-1; phi.P <- sum(resid^2)/(n-p); adj.resid <-resid*sqrt(n/(n-p)) # aantal loops nBoot <- 1000; betalingen<-reserves<-numeric(nBoot) #bootstrappen for (boots in 1:nBoot) { Ps.Cij <- sample(adj.resid,n,replace=TRUE) ##vullen van driehoeken Ps.Cij <-Ps.Cij*sqrt(fitted(GLM))+fitted(GLM)

## creëeren bootstrapdata

Ps.Cij <-pmax(Ps.Cij,0)

## negatieven op nul zetten

Ps.GLM <- glm(Ps.Cij~i+j, quasipoisson) coefs <- exp(as.numeric(coef(Ps.GLM)))

## schatten

40

Schatten van het reserve‐risico voor niet‐levensverzekeringen bij Solvency II Ps.alpha <- c(1,coefs[2:TT])*coefs[1] Ps.beta <- c(1,coefs[(TT+1):(2*TT-1)]) Ps.fits<-Ps.alpha%*%t(Ps.beta) Ps.reserve <-sum(Ps.fits[future]) ## reserves berekenen Ps.totpayments <-phi.P*rpois(1,Ps.reserve/phi.P)## proces error toevoegen reserves[boots]<- Ps.reserve betalingen[boots] <-Ps.totpayments }

# betalingen mean(betalingen) hist(betalingen,breaks=20,prob=TRUE,main='Histogram van betalingen voor n="1000"') lines(density(betalingen),col="blue",lty="dashed") curve(dnorm(x,mean=mean(betalingen),sd=sd(betalingen)),col="red",lty="dotted", add=TRUE) # reserves # figuur 6 en 7 mean(reserves) (mean(reserves)-2237827)/-2237827 hist(reserves,breaks=30,prob=TRUE,main='Histogram van reserves voor n="10000"') lines(density(reserves),col="blue",lty="dashed") curve(dnorm(x,mean=mean(reserves),sd=sd(reserves)),col="red",lty="dotted", add=TRUE) phi.P*sum(GLM.schatting[future]) # de prediction error van de reserves sd(reserves) #################Simulatie van eenjarige CDR #################################################

################ eerste schatting schadedriehoek k<-0 n<-45 TT <- trunc(sqrt(2*n)) b <- pmin(((9+k):(k+1)),9) ##algemeen definieren van i en j i <- rep(1:TT,b) 41

Schatten van het reserve‐risico voor niet‐levensverzekeringen bij Solvency II j

<- sequence(pmin(((9+k):(k+1)),9))

GLM <- glm(Cij~as.factor(i)+as.factor(j),quasipoisson) coefs <- exp(as.numeric(coef(GLM))) beta <-coefs[1]*c(1,coefs[2:TT]) alpha <- c(1,coefs[(TT+1):(2*TT-1)]) GLM.schatting.nul <-GLM.schatting <-beta%*%t(alpha)

bendriehoek <- row(GLM.schatting.nul)+col(GLM.schatting.nul)-1 > TT bovdriehoek<-row(GLM.schatting.nul)+col(GLM.schatting.nul) -1 <= TT

#################### schatting van de eerste reserve per schadejaar begindriehoek<-GLM.schatting.nul begindriehoek[bovdriehoek]<-0 beginreserve<-numeric(TT) beginreserve<-rowSums(begindriehoek) beginreserve.som<-sum(beginreserve) ### totale reserve

#################### pearsonresiduen resid <- (Cij-fitted(GLM))/sqrt(fitted(GLM)) p <- 2*TT-1; phi.P <- sum(resid^2)/(n-p); adj.resid <-resid*sqrt(n/(n-p)) H <- rev(colMeans(GLM.schatting.nul))

## corrigeren voor onzuiverheid

set.seed(1991) #################### start bootstrap

42

Schatten van het reserve‐risico voor niet‐levensverzekeringen bij Solvency II nBoot <- 1000; CDR.reserve.totaal<-numeric(nBoot) CDRmatrix<-numeric(TT) k <-1

## aantal loops

bendriehoek <- row(GLM.schatting.nul)+col(GLM.schatting.nul) > TT+2 bovdriehoek<-row(GLM.schatting.nul)+col(GLM.schatting.nul) <= TT+2 subdiag <- row(GLM.schatting.nul)+col(GLM.schatting.nul) == TT+2 b <- pmin(((10):(2)),9) i <- rep(1:TT,b) j <- sequence(pmin(((10):(2)),9))

for (boots in 1:nBoot) { ### samples in diagonaal GLM.schatting[subdiag] met samples GLM.schatting[subdiag] betalingen GLM.schatting[subdiag] GLM.schatting[subdiag]

## bootstraploop

<- sample(adj.resid,9-k,replace=TRUE)

##vullen van subdiagonaal

<- GLM.schatting[subdiag]*sqrt(H)+H

## residuen naar

<-rev(GLM.schatting[subdiag]) <-pmax(GLM.schatting[subdiag],0)

### diagonaal aan eerste driehoek plakken GLM.schatting.nul[subdiag]<-GLM.schatting[subdiag] GLM.schatting.nul[bendriehoek]<-NA Cij<-na.omit(as.vector(t(GLM.schatting.nul))) ### nieuwe schatting GLM <- glm(Cij~as.factor(i)+as.factor(j),quasipoisson) coefs <- exp(as.numeric(coef(GLM))) CDR.alpha <- c(1,coefs[2:TT])*coefs[1] CDR.beta <- c(1,coefs[(TT+1):(2*TT-1)]) GLM.schatting<-CDR.alpha%*%t(CDR.beta)

43

## schatten

Schatten van het reserve‐risico voor niet‐levensverzekeringen bij Solvency II ### nieuwe betalingen bepalen CDR.betaling<-numeric(TT) ## betaling subdiagonaal CDR.betaling <-c(0,rev(GLM.schatting[subdiag])) for (m in 2:TT) CDR.betaling[m]<-phi.P*rpois(1,CDR.betaling[m]/phi.P) ## proces error CDR.betaling.som<-sum(CDR.betaling) ### nieuwe reserve bepalen per schadejaar GLM.schatting[bovdriehoek]<-0 CDR.reserve.een<-numeric(TT) CDR.reserve.een<-rowSums(GLM.schatting) CDR.reserve.een.som<-sum(CDR.reserve.een) ### CDR per schadejaar CDR<-numeric(TT) ## CDR in vector per schadejaar CDR<-beginreserve-CDR.betaling-CDR.reserve.een CDRmatrix<- rbind(CDR,CDRmatrix) ### totale CDR

CDR.reserve.totaal[boots]<-beginreserve.som-CDR.betaling.som-CDR.reserve.een.som } ### einde bootstraploops ### resultaten beginreserve c(sd(CDRmatrix[,1]),sd(CDRmatrix[,2]),sd(CDRmatrix[,3]),sd(CDRmatrix[,4]),sd(CDRmatrix[,5]),sd(CDRmatrix[, 6]),sd(CDRmatrix[,7]),sd(CDRmatrix[,8]),sd(CDRmatrix[,9])) c(mean(CDRmatrix[,2]),mean(CDRmatrix[,3]),mean(CDRmatrix[,4]),mean(CDRmatrix[,5]),mean(CDRmatrix[,6]),mean (CDRmatrix[,7]),mean(CDRmatrix[,8]),mean(CDRmatrix[,9])) sd(CDR.reserve.totaal) mean(CDR.reserve.totaal)

44


## histogrammen van CDR

par(mfrow=c(1,1))

# Figuur 8

hist(CDR.reserve.totaal,breaks=31,prob=TRUE, main = paste("Gesimuleerde totale CDR"),xlab=" ",ylab=" ",yaxt="n",) lines(density(CDR.reserve.totaal),col="blue",lty="dashed") abline(v=mean(CDR.reserve.totaal),col="red",lwd=1) for (m in 2:TT) hist(CDR.matrix[,m],breaks=31,prob=TRUE, main = paste(" CDR jaar ", m),xlab=" ",ylab=" ",yaxt="n",)

45

Schatten van reserve-risico voor niet-levensverzekeringen bij Solvency II

Recommend Documents