Sbírka úloh z fyziky se zaměřením na oborovou problematiku

Sbírka úloh z fyziky se zaměřením na oborovou problematiku

RNDr. František Staněk, Ph.D, Ph.D., Doc. RNDr. Karla Barčová, Ph.D., Doc. Dr. Ing. Michal Lesňák., Mgr. Jana Trojková.

VŠB-TU Ostrava, HGF-Institut fyziky 2012 Učební text byl sepsán za podpory projektu“ FRVŠ2012/1202 Sbírka úloh z fyziky se zaměřením na oborovou problematiku“. ISBN 978-80-248-2942-5 1

Vstupní slovo

Soubor příkladů v textu Sbírka úloh z fyziky se zaměřením na oborovou problematiku je určen pro studenty prezenčního i kombinovaného studia na Fakultě hornicko-geologické a Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB-TU Ostrava. Sbírka je rozdělena do pěti kapitol. Úvodní část je věnována fyzikálním jednotkám a základům vektorového počtu, které jsou použity při řešení úloh v textu. Každá z následujících kapitol resp. podkapitol sestává ze tří částí. V první jsou uvedeny základní pojmy, zákony a principy potřebné pro řešení daných úloh. V druhé části jsou úlohy řešené a v třetí části zadané úlohy k řešení s hodnotami vypočtených výsledků. Řešení předložených úloh vyžaduje znalost středoškolské matematiky a fyziky, vektorové algebry a základů diferenciálního počtu na úrovni Bakalářské matematiky. Předkládaný učební text autorsky za redakce RNDr. Františka Staňka, Ph.D. autorsky zpracovali: Kapitola 1. - kolektiv všech autorů-po vzájemné konzultaci; kapitola 2. Doc. Dr. Ing. Michal Lesňák a RNDr. František Staněk, Ph.D.; kapitola 3. Doc. RNDr. Karla Barčová, Ph.D. a RNDr. František Staněk, Ph.D.; kapitola 4. RNDr. František Staněk, Ph.D.; kapitola 5. Mgr. Jana Trojková, Ph.D. U kapitoly 5 je patrný větší rozsah teoretických informací. Po vzájemné konzultaci s autorkou jsme z důvodů malého povědomí o světle, pojali v tomto duchu. Na formální úpravě textu a nakreslení obrázků se podíleli ing. Igor Hlubina a Bc. Radek Ješko. Ke konečné úpravě po přečtení a přepočítání příkladů svými náměty a postřehy přispěla Doc. RNDr. Karla Barčová, Ph.D. Všem výše jmenovaným za spolupráci upřímně děkuji Fr. Staněk

Učební text byl sepsán za podpory projektu“ FRVŠ2012/1202 Sbírka úloh z fyziky se zaměřením na oborovou problematiku“.

2

OBSAH

STRANA

1.

ÚVOD

1.1

SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT,

5

JEDNOTEK A JEJICH PŘEVODŮ

1.2

5

MATEMATICKÉ MINIMUM, VEKTORY, DIFERENCIÁLNÍ POČET

9

2.

MECHANIKA

11

2.1

KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU

11

2.2

DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU

14

2.3

MECHANICKÁ PRÁCE, VÝKON A ENERGIE

32

2.4

GRAVITAČNÍ POLE

43

2.5

DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA

59

2.6

MECHANICKÉ KMITÁNÍ

74

2.7

MECHANICKÉ VLNĚNÍ

89

3.

TEKUTINY A TERMIKA

107

3.1

TEKUTINY

107

3.1.1

TEKUTINY, TLAK, HYDROSTATICKÝ

A ATMOSFÉRICKÝ TLAK, VZTLAKOVÁ SÍLA

107

3.1.2

PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ KAPALINY

113

3.2

TERMIKA

119

3.3

KALORIMETRICKÁ ROVNICE,

FÁZOVÉ PŘECHODY

126 3

3.4

STAVOVÁ ROVNICE IDEÁLNÍHO PLYNU,

JEDNODUCHÉ DĚJE

132

3.5

TEPLO, PRÁCE, 1. TERMODYNAMICKÝ ZÁKON

138

3.6

SDÍLENÍ TEPLA

145

4.

ELEKTROMAGNETICKÉ POLE

150

4.1

ELEKTROSTATICKÉ POLE

150

4.2

ELEKTRICKÝ PROUD

160

4.3

MAGNETICKÉ POLE A JEHO VLASTNOSTI,

MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU

4.4

STŘÍDAVÉ PROUDY

4.5

ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE,

170 180

ENERGIE MAGNETICKÉHO POLE

194

5.

OPTIKA A MODERNÍ FYZIKA

205

5.1.

SVĚTLO JAKO ELEKTROMAGNETICKÉ VLNĚNÍ

205

5.2

GEOMETRICKÁ OPTIKA

211

5.3

FOTOMETRIE

223

5.4

VLNOVÉ VLASTNOSTI SVĚTLA

228

5.5

KVANTOVÉ VLASTNOSTI SVĚTLA

233

5.6.

STAVBA ATOMU A JEHO JÁDRA

238

LITERATURA

244

4

1.

ÚVOD

1.1

SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT, JEDNOTEK A JEJICH PŘEVODŮ

FYZIKÁLNÍ VELIČINY Fyzikálními veličinami charakterizujeme a popisujeme   

vlastnosti fyzikálních objektů parametry stavů, ve kterých se fyzikální objekty nacházejí parametry fyzikálních jevů (dějů a procesů), které je možno měřit

Měřením fyzikální veličiny určujeme její hodnotu. Hodnotu (velikost) fyzikální veličiny určujeme kvantitativním porovnáváním s určitou, předem zvolenou hodnotou veličiny téhož druhu, kterou volíme za jednotku. Hodnotu fyzikální veličiny X vyjadřujeme její číselnou hodnotou {X} a jednotkou fyzikální veličiny [X]. Hodnota fyzikální veličiny = číselná hodnota · měřicí jednotka X = {X} · [X] Jednotka fyzikální veličiny (měřicí jednotka)je dohodou stanovená hodnota fyzikální veličiny, která je základem pro měření fyzikálních veličin stejného druhu.

ZÁKONNÉ JEDNOTKY Zákonné jednotky v ČR jsou: základní jednotky, jednotky doplňkové, odvozené, dekadické násobky a díly základních a odvozených jednotek a jednotky vedlejší. Základní jednotky SI Základní jednotky jsou vhodně zvolené jednotky základních veličin. Každá základní veličina má pouze jedinou hlavní jednotku, která slouží současně jako základní jednotka. V mezinárodní soustavě jednotek SI je sedm základních jednotek v dohodnutém pořadí: Fyzikální veličina

Značka veličiny

Základní jednotka

Značka jednotky

délka

l

metr

m

hmotnost

m

kilogram

kg

čas

t

sekunda

s

elektrický proud

I

ampér

A

termodynamická teplota

T

kelvin

K

látkové množství

n

mol

mol

svítivost

I

kandela

cd

5

Doplňkové jednotky. Generální konference pro váhy a míry o těchto jednotkách dosud nerozhodla, zda mají být zařazeny mezi základní jednotky nebo jednotky odvozené. Fyzikální veličina

Značka veličiny

Základní jednotka

Značka jednotky

rovinný úhel

např. 

radián

rad

prostorový úhel

např. 

steradián

sr

radián-rovinný úhel sevřený dvěma polopřímkami, které na kružnici opsané z jejich počátečního bodu vytínají oblouk o délce rovné jejímu poloměru steradián-prostorový úhel s vrcholem ve středu kulové plochy, který na této ploše vytíná část s obsahem rovným druhé mocnině poloměru této kulové plochy Odvozené jednotky SI. Tyto jednotky jsou odvozené ze základních jednotek na základě definičních vztahů, v nichž se vyskytuje násobení. Dělení je v zápise odvozené jednotky obvykle nahrazeno násobením se zápornou mocninou. Některé odvozené jednotky mají vlastní názvy, převážně podle jmen významných fyziků. Přehled některých jednotek používaných v mechanice je uveden v následující tabulce: Fyzikální veličina

Fyzikální rozměr jednotky

m2

plošný obsah

m2

m3

objem

m3

m-1

vlnočet

m-1

frekvence

s-1

m/s

rychlost

m·s-1

rad/s

úhlová rychlost

rad·s-1

m/s2

zrychlení

m·s-2

rad/s2

úhlové zrychlení

rad·s-2

Jednotka

hertz

Značka jednotky

Hz

newton

N

síla

m·kg·s-2

joule

J

energie, práce, teplo

m2·kg·s-2

watt

W

výkon

m2·kg·s-3

N·m

moment síly

m2·kg·s-2

kg·m2

moment setrvačnosti

m2·kg

kg/m3

hustota

m-3·kg

tlak, napětí

m-1·kg·s-2

pascal

Pa

6

Násobné a dílčí jednotky Násobné a dílčí jednotky jsou jednotky získané jako násobek nebo díl základní nebo odvozené jednotky. Jejich název je vytvořen přidáním předpony před základní nebo odvozenou jednotku, případně před její značku. Výjimkou je jednotka hmotnosti g (gram), která je dílem základní jednotky kg (kilogram)

Přehled normalizovaných předpon Předpona

Značka předpony

Poměr k základní jednotce

exa-

E

1018

péta-

P

1015

tera-

T

1012

giga-

G

109

mega-

M

106

kilo-

k

103

hekto-

h

102

deka-

da

10

deci-

d

10-1

centi-

c

10-2

mili-

m

10-3

mikro-

μ

10-6

nano-

n

10-9

piko-

p

10-12

femto-

f

10-15

atto-

a

10-18

7

Vedlejší jednotky Vedlejší jednotky nepatří do soustavy SI, ale norma povoluje jejich používání. Jejich užívání v běžném praktickém životě je tradiční a jejich hodnoty jsou ve srovnání s odpovídajícími jednotkami SI pro praxi vhodnější. K vedlejším jednotkám času a rovinného úhlu se nesmějí přidávat předpony. Předpony nelze také používat u astronomické jednotky, světelného roku, dioptrie a atomové hmotnostní jednotky. Lze používat jednotek kombinovaných z jednotek SI a jednotek vedlejších nebo i kombinovaných z vedlejších jednotek, např. km·h-1 nebo l·min-1 apod. Lze používat poměrových a logaritmických jednotek (např. číslo 1, procento, bel, decibel, oktáva). Některé vedlejší jednotky uvádí následující tabulka. Veličina

Jednotka

Značka Vztah k jednotkám SI jednotky

délka

astronomická jednotka parsek světelný rok

UA pc ly

1 UA = 1,49598·1011 m 1 pc = 3,0857·1016 m 1 ly = 9,4605·1015 m

hmotnost

atomová hmotnostní jednotka tuna

u t

1 u = 1,66057·10-27 kg 1 t = 1000 kg

čas

hodina minuta den

h min d

teplota

Celsiův stupeň

rovinný úhel

úhlový stupeň úhlová minuta vteřina

' "

plošný obsah

hektar

ha

1 ha = 104 m2

objem

litr

l

1 l = 10-3 m3

energie

elektronvolt

eV

tlak

bar

b

1 b = 105 Pa

optická mohutnost

dioptrie

D

1 D = 1 m-1

zdánlivý výkon

voltampér

VA

jalový výkon

var

var

0

C

0

8

1 h = 3600 s 1 min = 60 s 1 d = 86400 s 10C=K 1 0 = (π/180) rad 1 ' = (π/10800) rad 1 " = (π/648000) rad

1 eV = 1,60219·10-19 J

MATEMATICKÉ MINIMUM, VEKTORY,

1.2

DIFERENCIÁLNÍ POČET Skalární a vektorové fyzikální veličin Veličiny, se kterými se ve fyzice setkáme, dělíme na:





skalární fyzikální veličiny (skaláry) - jsou zcela určeny jen číselnou hodnotou a měřící jednotkou (patří sem např. čas t, dráha s, energie E, moment setrvačnosti J apod.) vektorové fyzikální veličiny (vektory) - jsou zcela určeny číselnou hodnotou, směrem, orientací a měřící jednotkou (patří sem např. síla F, rychlost v, moment síly M apod.)

Graficky zobrazujeme vektorovou veličinu orientovanou úsečkou, jejíž délka znázorňuje velikost vektoru (značí se |X|), její orientace směr vektoru. Počáteční bod vektoru určuje umístění vektoru. V textu jsou vektorové veličiny vyznačeny tučným písmem nebo šipkou nad veličinou.

S vektory můžeme provádět některé početní operace: násobení a dělení vektoru skalárem   

sčítání a odčítání vektorů (stejného směru, různé orientace) rozkládání vektoru do dvou daných (různoběžných) směrů násobení vektorů (skalární a vektorové)

Pravidla pro počítání s vektory:



Definice: - Každou uspořádanou n – tici čísel (a1,a2,…..an) nazveme n – rozměrným vektorem. Čísla a1, a2, …. an nazveme složky vektoru. Označení ⃗ -

Vektor ⃗⃗

nazýváme nulový vektor.

Pro počítání s n - rozměrnými vektory ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ platí tato pravidla:

⃗

⃗

⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗

⃗

⃗

⃗ ⃗

⃗⃗

⃗ ⃗⃗

komutativní zákon ⃗

asociativní zákon

⃗⃗

distributivní zákon

⃗

⃗⃗

⃗ 9

⃗



⃗

Definice: - Pro dva vektory ⃗

⃗

, ⃗⃗

platí:

⃗⃗

⃗

⃗⃗

⃗ ⃗⃗

⃗

pro

mají vektory ⃗⃗ a⃗⃗stejnou orientaci (vektory souhlasně rovnoběžné ⃗⃗

pro

mají vektory⃗⃗ a⃗⃗ opačné orientace (vektory nesouhlasně rovnoběžné ⃗⃗



⃗⃗); ⃗⃗)

Definice: ⃗⃗

-

Jednotkový vektor⃗⃗⃗⃗

-

Skalárním součinem vektorů ⃗ nazýváme číslo:

⃗ a ⃗⃗

⃗ ⃗⃗

-

→ ⃗

-

a ⃗⃗

Vektorový součinem vektorů (o třech složkách) ⃗ nazýváme číslo: ⃗⃗

|

→

→ | ; ⃗

Velikost vektoru(o třech složkách) ⃗

10

⃗⃗

√

2.

MECHANIKA

2.1

KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU

Slouží k popisu pohybu hmotného bodu v definované soustavě souřadnic (vztažné soustavě). Používané pojmy, které je třeba znát Hmotný bod (HB); vztažné těleso; vztažná soustava; relativnost klidu a pohybu tělesa; kinematický popis pohybu HB; poloha HB; polohový vektor HB; trajektorie HB; dráha HB; klasifikace pohybů dle tvaru trajektorie (přímočaré a křivočaré); klasifikace pohybů dle velikosti rychlosti (rovnoměrné a nerovnoměrné).

Rychlost hmotného bodu

y

 r

 r1

 r2

0

x

z

a) průměrná rychlost: -

velikost průměrné rychlosti:

-

průměrná rychlost je skalár

b) okamžitá rychlost: ⃗

⃗

⃗

→

⃗ ⃗

⃗⃗

⃗ ⃗ ̇

⃗ ̇

⃗

⃗

⃗⃗

⃗⃗ ̇ ̇

→

c) velikost rychlosti: ⃗

√

d) směr rychlosti: -

vzhledem ke zvolené soustavě souřadnic: ⃗ ⃗

( ⃗ ⃗⃗ )

⃗ ⃗

Okamžitá rychlost je vektor, který má směr tečny k trajektorii v místě, v němž okamžitou rychlost určujeme, a je orientován ve směru pohybu. 11

e) jednotka: Zrychlení hmotného bodu

 v2

 v1

 v1

   v  v2  v1

 v2

a) průměrné zrychlení při pohybu přímočarém je skalární veličina: b) okamžité zrychlení: ⃗

⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗̈

→

⃗⃗

⃗

c) velikost zrychlení: ⃗ d) směr vektoru zrychlení:

⃗⃗

⃗ ⃗

-

⃗

⃗̈

⃗ ̈

⃗

⃗

⃗⃗

⃗⃗ ̈

√

vzhledem ke zvolené soustavě souřadnic: ⃗ ⃗

( ⃗ ⃗⃗ )

⃗ ⃗

e) jednotka: f) přirozené složky zrychlení (tečné a normálové): -

velikost tečného (tangenciálního) zrychlení: rychlosti

-

velikost normálového (dostředivého) zrychlení: rychlosti

-

celkové zrychlení: ⃗

⃗

⃗

- udává změnu velikosti - udává změnu směru

√

Grafické vyjádření je na následujícím obrázku a určení směru vektoru zrychlení vzhledem k rychlosti vyjadřuje úhel .

12

Přímočarý pohyb:

Dělení: Rovnoměrný přímočarý: ∫

.

Rovnoměrně zrychlený přímočarý: ∫ ∫

;

∫

.

Rovnoměrně zpomalený přímočarý: . Zastavení:

Nerovnoměrně zrychlený (zpomalený) přímočarý pohyb:

∫

∫

Volný pád: rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb v tíhovém poli Země =0 ;

∫

.

Kruhový pohyb Trajektorie je kružnice a zavádějí se úhlové veličiny.

a) Úhlová dráha:(úhel opsaný průvodičem): 13

; jednotka: rad

.

̇;

b) Úhlová rychlost:

; jednotka: ⃗⃗⃗

⃗⃗

-

směr: leží v ose rotace

-

orientace: na tu stranu, ze které vidíme směr otáčení kladně ⃗

⃗⃗

⃗

rychlost ⃗ nazýváme rychlostí obvodovou (postupnou) ⃗⃗⃗⃗

c) Úhlové zrychlení: ⃗ -

⃗⃗⃗

;

jednotka:

směr: totožný se směrem úhlové rychlosti ⃗

⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗

-

tečné zrychlení:

-

normálové zrychlení:

⃗

⃗

⃗⃗

d) Perioda T: čas jednoho oběhu po kružnici e) Frekvence f: počet oběhů za 1 s;

⃗

⃗

Rovnoměrný pohyb po kružnici: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗ ∫

Rovnoměrně zrychlený a zpomalený pohyb po kružnici: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

∫

∫

Nerovnoměrně zrychlený a zpomalený pohyb po kružnici: ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

∫

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

PŘÍKLADY:

14

⃗

; jednotka: ; jednotka:

Dělení:

⃗

⃗⃗

∫

.

2.1-1.

Při silném kýchnutí zavře člověk oči na . Jakou dráhu urazí auto za tuto dobu jedoucí rychlostí , jakou auto pohotovostní záchranné služby jedoucí rychlostí a kolik metrů uletí stíhačka pohybující se rychlostí ?

Řešení:

Vztah mezi dráhou, rychlostí a časem je dán definicí rychlosti

, odtud pro dráhu platí

. Po dosazení číselných hodnot

Automobil urazí dráhu

, auto záchranné služby

a stíhačka urazila dráhu

.

Automobil projel první třetinu dráhy stálou rychlostí , další dvě třetiny stálou rychlostí . Jeho průměrná rychlost po projetí dráhy byla . Jaká byla rychlost , víte-li že rychlost v druhé části byla ?

2.1-2

Řešení:

?

První třetinu dráhy projel automobil za čas čas . Čas

; čas

; čas

, druhou část za čas

a po úpravě

15

, celou dráhu projel za celkový

odtud pro

:

Po dosazení číselných hodnot

⁄ ⁄

⁄

Automobil projel první část dráhy rychlostí

2.1-3

.

Stanovte, za jak dlouho a jakou rychlostí by dopadla těžní klec na dno jámy po přetržení lana ve výšce h nade dnem jámy v případě, že těžní klec a) sjíždí konstantní rychlostí b) vyjíždí konstantní rychlostí

do jámy z jámy

Řešení:

a)

√

√ b)

√

√

2.1-4

Hmotný bod se pohybuje po kružnici o poloměru tak, že pro jeho dráhu v závislosti na čase platí . Určete absolutní hodnotu jeho zrychlení v čase .

Řešení:

( ) √

√

, ,

16

Zrychlení hmotného bodu ve třetí sekundě je 200,09 m.s-2.

Otáčky setrvačníku klesly z 900 otáček za minutu na 800 otáček za minutu za dobu . Určete jeho úhlové zrychlení a počet otáček, které za tuto dobu vykonal. Kolik času uplyne, než se setrvačník zastaví?

2.1-5

Řešení:

(

)

,

, ,

Velikost úhlového zrychlení setrvačníku je 2,09 a za 45 s došlo k jeho úplnému zastavení.

, setrvačník vykonal 70,83 otáček

Vyšetřete pohyb hmotného bodu, jehož polohový vektor ⃗ závisí na čase podle rovnice ⃗ ⃗ ⃗ kde

2.1-6 a) b) c) d) e) f) g)

Určete vektor rychlosti. Určete velikost rychlosti. Určete směr vektoru rychlosti pomocí jednotkového vektoru. Určete vektor zrychlení a jeho velikost. Určete přirozené složky zrychlení. Určete, o jaký pohyb se jedná. Určete poloměr křivosti R . ( ⃗

⃗

⃗

⃗

) ( ⃗

⃗

[

)

]

17

K tonoucímu v řece ve vzdálenosti vyráží plavec kolmo k břehu rychlostí . Rychlost proudu řeky je . Určete velikost a směr rychlosti plavce vzhledem k rychlosti vody. Jakou vzdálenost musí plavec uplavat, aby se dostal k tonoucímu?

2.1-7

[

] Účastník záchranářského cvičení tvrdil, že dopad kamene na dno propasti Macocha o hloubce slyšel za . Rychlost zvuku je . Měl pravdu?

2.1-8 [

2.1-9

[

]

Motor vykonal po vypnutí během a zastavil se. Určete jeho zpomalení, předpokládáte-li, že bylo rovnoměrné. Stanovte frekvenci otáček v okamžiku vypnutí. ]

2.1-10 Automobil hmotnosti jede po zledovatělé vozovce s kopce o klesání rychlostí . Ve vzdálenosti před automobilem vstoupí kolmo do vozovky chodec. Reakční doba řidiče je . Určete minimální rychlost automobilu v místě možného střetu, je-li maximální rovnoměrné zpomalení pohybu automobilu určeno třecí silou na styku pneumatiky s vozovkou; součinitel tření je . (Použijte hodnotu tíhového zrychlení a výslednou hodnotu uveďte v zaokrouhleně na jedno desetinné místo). [

]

18

2.2 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU Studuje příčiny změn pohybového stavu HB, proč se jeho pohybový stav změnil a za jakých podmínek se tato změna uskutečnila.

Používané pojmy, které je třeba znát: Síla: Vektorová veličina charakterizující vzájemné silové působení těles (resp. HB); je určena velikostí, směrem a působištěm; označuje se ⃗ ; jednotkou je newton: Hybnost: vektor mající směr totožný se směrem okamžité rychlosti HB; ⃗ hybnosti, je hmotnost HB a ⃗ je vektor okamžité rychlosti; jednotka:

⃗ kde ⃗ je vektor

Skládání sil; Interakce (vzájemné silové působení); Účinky silového působení; Volné těleso; Inerciální vztažná soustava (IVS).

1. Newtonův pohybový zákon (zákon setrvačnosti) „Každé těleso setrvává v relativním klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém, dokud není přinuceno silovým působením jiných těles tento svůj pohybový stav změnit.“ Za podmínky, že na HB nepůsobí vnější síly, můžeme tedy tuto formulaci pomocí rovnic zapsat takto: ⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(

⃗

⃗

⃗⃗) ⃗

⃗⃗

Galileův princip relativity: „Klid a pohyb rovnoměrný přímočarý jsou dva rovnocenné stavy, které lze rozlišit jen relativně (tj. ve vztahu k okolí).“ „Všechny IVS jsou z mechanického hlediska ekvivalentní, žádným mechanickým pokusem provedeným uvnitř IVS nelze jednoznačně určit, zda a jakou rychlostí se soustava pohybuje vzhledem k jiné IVS.“

2. Newtonův pohybový zákon (zákon síly) „Časová změna hybnosti tělesa je úměrná působící síle.“ Pomocí rovnice zapíšeme jako: ⃗

⃗

.

V případě konstantní hmotnosti tělesa platí:

19

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

Mění-li se hmotnost tělesa, tak platí:

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

Setrvačná hmotnost: Je hmotnost tělesa určená na základě zrychlení, které těleso získá po působení určité síly ⃗

⃗

Impulz síly (charakterizuje časový účinek síly): ⃗ Jednotkou je

⃗

∫ ⃗

∫⃗

. V případě konstantní síly platí:

⃗∫

⃗

(resp. ⃗

⃗

).

a dle 2. NPZ platí: ⃗

∫⃗

∫

⃗

∫

[

⃗

⃗]

[

⃗]

[

⃗]

⃗

3. Newtonův pohybový zákon (zákon akce a reakce) „Síly vzájemného působení dvou těles jsou stejně velké, stejného směru, ale opačné orientace.“ Platí tedy: ⃗

⃗

⃗

⃗

Pozn.: Síly působí na různá tělesa, proto se ve svém účinku neruší ( atd.)

na první a

na druhé těleso,

Zákon zachování hybnosti Pro izolovanou soustavu obsahující n těles (resp. n HB), které na sebe vzájemně působí (sráží se, atd.), platí: ∑⃗

20

⃗⃗

tedy: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

∑⃗

což je zákon zachování hybnosti v izolované soustavě hmotných bodů.

Axiom o nezávislosti silového působení „Zrychlení tělesa, na které působí současně několik sil, je rovno vektorovému součtu zrychlení, které tělesu udílejí jednotlivé síly“

Newtonova pohybová rovnice pro HB Dle 2. Newtonova pohybového zákona je: ⃗

∑⃗

kde ⃗ jsou jednotlivé síly působící na HB v dané vztažné soustavě. Tuto vektorovou rovnici lze nahradit soustavou tří nezávislých rovnic pro souřadnice, tedy:

ve směru x: ve směru y: ve směru z:

Pohybové rovnice pro jednotlivé typy pohybů Pro přímočarý pohyb:

HB setrvává v pohybu rovnoměrném přímočarém ⃗

⃗

⃗⃗

⃗

⃗⃗

⃗⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

HB se pohybuje rovnoměrně zrychleným přímočarým pohybem ⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Pro křivočarý pohyb:

Pro působící sílu použijeme rozklad na tečnou a normálovou sílu, které jsou na sebe vzájemné kolmé a zapíšeme je jako: tečná síla: 21

normálová síla: Normálová složka má směr do středu křivosti trajektorie a proto se také označuje jako dostředivá síla (síla nutící HB ke křivočarému pohybu); dle 3. NPZ existuje reakce na tuto sílu, tj. síla odstředivá.

Tíha G a tíhová síla FG

Inerciální vztažné soustavy (IVS) Soustavy, v nichž platí Newtonovy pohybové zákony; mechanický pohyb se z hlediska různých vztažných soustav jeví různě; inerciálních vztažných soustav je nekonečně mnoho; vzájemný mechanický pohyb inerciálních vztažných soustav má nulové zrychlení.

Neinerciální vztažné soustavy (NIVS) Vztažné soustavy, které se vzhledem k libovolné IVS pohybují s nenulovým zrychlením; působí zde síly setrvačné nemající původ v reálných tělesech uvnitř NIVS (označujeme je jako síly zdánlivé, fiktivní); síly setrvačné mají směr proti zrychlení dané soustavy; výsledná síla působící na těleso je rovna vektorovému součtu sil skutečných a sil setrvačných ( ). v rotujících soustavách:

PŘÍKLADY:

2.2-1.

Určete velikost a orientaci zrychlení tělesa o hmotnosti , které se pohybuje bez tření v horizontální rovině a na něž působí v této rovině síly síly a svírají v daném pořadí se silou úhly 90° a 180° (obr. 2.2-1.)

22

Obr. 2.2-1 Řešení:

Postupným skládáním sil ⃗ ⃗ ⃗ dostáváme výslednici ⃗ , pro určení její velikosti využijeme Pythagorovu větu (viz. obr. 2.2-1.):

√

√

Z pohybové rovnice pro konstantní hmotnost určíme velikost zrychlení

, odtud

a po číselném dosazení

Orientaci určíme z polohy vektorů síly (viz. obr. 2.2-1.):

po dopočítání:

Těleso se pohybuje se zrychlením úhel . 2.2-2.

orientovaném ve směru svírajícím se silou

Pojízdná stříkačka o hmotnosti má být posunuta po vodorovné dráze, jeli tření tíhové síly. Jaké zrychlení stříkačky dosáhnou dva hasiči, působí-li každý silou ?

Řešení:

23

Z pohybové rovnice pro konstantní hmotnost určíme velikost zrychlení

kde

Po číselném dosazení

Stříkačka dosáhne zrychlení 2.2-3.

.

Kámen, který padá volným pádem kolem římsy nevyššího patra domu (bod A) rychlostí , na parapet okna (bod B) v přízemí dopadne rychlostí . Určete vzdálenost mezi sledovanými body a dobu, za kterou kámen tuto vzdálenost urazí (obr. 2.2-2).


Vzdálenost

, to je

24

Pro dráhu volného pádu platí vztah:

Pro rychlost volného pádu platí vztah:

, odtud pro t:

, dosazením časů dostaneme:

. Doba pádu mezi body A-B

. Vzdálenost mezi sledovanými body je 2.2-4.

a doba pohybu mezi těmito body je

.

S jakým stálým zrychlením se bude rozjíždět autobus o hmotnosti do svahu se a , jestliže se po vodorovné silnici stejnou tahovou silou rozjíždí se zrychlením (obr. 2.2-3)?


25

pro úhel stoupání

je dáno

, odtud

Tahová síla po vodorovné silnici:

Proti pohybu při jízdě do svahu působí (obr. 2.2-3) síla

a síla třecí dána vztahem:

, kde

je tíha autobusu.

Síla udělující zrychlení autobusu

(

)

,

po úpravě:


; . Autobus jede do svahu se stálým zrychlením 2.2-5.

Lyžař sjíždí po svahu s úhlem sklonu . Z místa, v němž byl lyžař původně v klidu, se rozjíždí se stálým zrychlením a ujede po svahu dráhu . Potom přejede na vodorovnou pláň, po které ujede až do zastavení opět dráhu l. Určete součinitel tření mezi lyžemi a sněhem, odpor vzduchu zanedbejte (obr. 2.2-4).

Obr. 2.2-4 Řešení: 26

Výsledná síla působící na lyžaře při sjezdu je:

, odtud:

. Dráha zrychleného pohybu a rychlosti lyžaře na konci svahu je dána vztahy:

po úpravě (vyloučení

√

) dostaneme:

√

Pro zrychlení po pláni

dostaneme:

, znaménko určuje směr zrychlení, odtud:

√

√

porovnáním rychlostí získáme:

√ upravíme

√

,

, odtud:


Součinitel smykového tření mezi skluznicemi lyží a sněhem je 0,087. 2.2-6.

Míč o hmotnosti narazí na svislou stěnu rychlostí a odrazí se od ní rychlostí . Určete jeho hybnost před dopadem a po odrazu, průměrnou velikost síly, kterou míč působil na stěnu, víte-li, že doba trvání nárazu byla .

Řešení:

27

Hybnost je dána vztahem:

. Hybnost míče při dopadu je:

po dosazení číselných hodnot:

Hybnost míče po odrazu je:


Při určení průměrné síly použijeme vztahů pro impulz síly; důsledku 2. N.P.Z.pro tělesa s konstantní hmotností a zrychlení:

dosazením a úpravou dostaneme:

̅ po dosazení číselných hodnot:

Hybnost před dopadem je síla je

2.2-7.

, hybnost po odrazu

N (orientace síly je proti orientaci vektoru rychlosti

a průměrná ).

Jak veliká síla působí na střelu o hmotnosti , která proletěla hlavní délky (pohyb uvažujeme rovnoměrně zrychlený) a dosáhla rychlosti ? Jakou rychlost měla puška při zpětném rázu, váží-li puška ?

Řešení:

28

K řešení použijeme následující vztahy mezi veličinami:

po úpravě a dosazení získáme vztah:


Zákon zachování hybnosti pro danou úlohu můžeme napsat ve tvaru:

,


. ů

š

.

2.2-8. Konec provazu ležícího na desce je prostrčen otvorem v desce (obr. 2.2-5). Celková délka provazu je , jeho hmotnost je . V čase je délka provazu visícího dolů . Vyšetřete průběh pohybu provazu za předpokladu, že je zanedbáno tření.

29

Obr. 2.2-5 Ř š

:

Hmotnost části provazu délky

pod deskou je:

( )

PZ

Pohybová rovnice má tvar:

po úpravě:

je diferenciální homogenní rovnice, která má řešení ve tvaru:

kde

√ ⁄ Konstanty

určíme z počátečních podmínek:

odtud plyne po dosazení počátečních podmínek:

Dráha

je dána vztahem: √

√

(√

)

a pro rychlost pohybu provazu dostáváme:

√

(√

).

30

D rovnice

(√ ⁄ ); rychlost posuvu provazu (√ ⁄ ) . √ ⁄

Řidič automobilu o hmotnosti začne brzdit ve vzdálenosti od hranice křižovatky. Třecí síla při brzdění má velikosti . Určete mezní rychlost, při které může automobil ještě zastavit na hranici křižovatky.

2.2-9

[

]

2.2-10. Bedna se pohybuje působením vlastní tíhy po nakloněné rovině o sklonu z bodu A do bodu B. Určete rychlost tělesa v bodě B, je-li vzdálenost bodů součinitel smykového tření a rychlost tělesa v bodě A byla nulová. [

,

]

2.2-11. Auto o hmotnosti křivosti mostu je [

se pohybuje po klenutém mostě rychlostí . Poloměr Jakou silou auto zatěžuje most při průjezdu jeho vrcholem.

]

2.2-12. Lano vydrží zatížení S jak velkým zrychlením můžeme zvedat břemeno o hmotnost , aniž by se lano přetrhlo. [

]

2.2-13. Vlak o celkové hmotnosti stojí na trati. Určete sklon trati, kdy ještě nedojde k samovolnému rozjetí soupravy, víte-li, že jízdní odpor vlaku je na jednu tunu hmotnosti. [

š

]

2.2-14. Nakreslete schematicky všechny síly, které působí na kabinu výtahu při rozjezdu výtahu a dojezdu výtahu jak směrem dolů, tak směrem nahoru.

31

2.3

MECHANICKÁ PRÁCE, VÝKON A ENERGIE

Mechanická práce Děj, který je spojen s přenosem a přeměnou energie je spojen s konáním práce. Mechanická práce je mírou změny energie. Těleso koná mechanickou práci, jestliže působí silou na jiné těleso, které se působením této síly přemisťuje po určité trajektorii.“ Mechanická práce charakterizuje dráhový účinek síly;

elementární práce: ⃗

⃗

celková práce: ∫ ⃗

⃗

∫

jednotkou je joule, tj.: Definice 1 J: Práce vykonaná tehdy, jestliže silou 1 N přemístíme těleso po dráze 1 m ve směru působící síly.

Výkon Vyjadřuje “jak rychle se koná práce“;

Průměrný výkon

kde W je celková práce síly v intervalu

.

Okamžitý výkon

→

⃗

⃗

⃗

⃗

jednotkou je watt, tj.:

32

⃗ ⃗⃗⃗

Účinnost Je podílem užitečné práce (skutečně vykonané) a práce , kterou by stroj měl vykonat na základě dodané energie. Je tedy podílem užitečného výkonu a dodaného výkonu (příkonu):

Kinetická (pohybová) energie (

)

Je skalární veličina charakterizující pohybový stav HB či tělesa vzhledem ke zvolené IVS. Vyjadřuje schopnost tělesa konat práci, jestliže se nachází v určitém pohybovém stavu. Pro hmotný bod: ⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

za zjednodušených podmínek (konstantní síla působící na HB v klidu jej uvádí do pohybu rovnoměrně zrychleného přímočarého);

Potenciální (polohová) energie Je polohovou energií tělesa (HB) v silovém poli jiného tělesa (HB). Předpokládáme, že v určité oblasti prostoru máme v každém bodě definovánu sílu, která působí na těleso v tomto bodě, tj. máme definováno silové pole.

tíhová potenciální energie:

Zákon zachování mechanické energie Popisuje, že součet kinetické energie tělesa a potenciální energie tělesa neboli jeho celkové energie, zůstává konstantní. Rovnicemi jej můžeme zapsat jako:

; ; (

) 33

Tento zákon platí pro ryze mechanické děje, kdy se neobjevují jiné formy energie; ty však prakticky neexistují.

Konzervativní síly: V konzervativním (potenciálovém) silovém poli se zachovává (konzervuje) mechanická energie. Disipativní síly (nekonzervativní): Práce vykonaná disipativními silami při pohybu HB je záporná; v poli disipativních sil nastává částečná přeměna mechanické energie v jiné druhy energie, například síla smykového tření ( ) působící po dráze se mění v teplo; síla valivého odporu (

) působící po dráze se mění v teplo

atd.

Posuvný pohyb tělesa po nakloněné rovině Pohyb v důsledku vlastní tíhy tělesa. Uvažujeme při něm působení třecí síly, která vzniká při vzájemném ohybu dvou těles, která jsou v neustálém styku. Smykové tření je dáno vztahem:

kde je součinitel smykového tření závisející pouze na materiálu tělesa a podložky a na vyhlazení obou ploch, je součinitel klidového (statického) tření ( ) a je normálová síla. Dále:

∫ d ∫ d

34

PŘÍKLADY:

Hřebík délky byl zatlučen do trámu pěti údery kladiva o hmotnosti . Kladivo mělo dopadovou rychlost . Jaká je třeba síla k vytažení hřebíku (tepelnou energii vzniklou třením zanedbáme)?

2.3-1.

Řešení:

ů

Předpokládáme, že třecí síla je přímo úměrná délce hřebíku. Při vytažení hřebíku byla vykonána práce proti odporové síle trámu:

kde

je maximální odporová síla.

Vykonaná práce je rovna kinetické energii kladiva, tj.:

odtud:

Po dosazení číselných hodnot:

. K vytažení hřebíku je třeba síly

2.3-2.

.

Hydroelektrárna má výkon . Objemový průtok vody je výška přepadu je . Určete účinnost turbogenerátoru.

Řešení:

35

,

Objemový průtok je

potenciální energie vody při přepadu

Příkon vody

Pro účinný výkon platí vztah

odtud pro :


Účinnost turbogenerátorů je přibližně 89,5 %.

2.3-3

Řemenice motoru přenáší řemene tahovou sílu průměr řemenice je přičemž motor má 1440 otáček za minutu. Vypočítejte výkon elektromotoru.

Řešení:

⁄

V případě, že síla

⁄

a rychlost mají stejný směr, můžeme výkon vyjádřit vztahem:

36

,

po úpravě a dosazení můžeme psát


. Výkon motoru je

.

Jak veliký příkon musí mít motor hoblovky, je-li délka pracovního zdvihu čas potřebný na jeden zdvih , řezná síla a účinnost ?

2.3-4. Řešení:

Příkon odvodíme z definičního vztahu pro účinnost

úpravou dostaneme

kde

je dáno vztahem

odtud


. 37

,

Motor hoblovky musí mít příkon

2.3-5.

.

Zjistěte, jakou práci musí vykonat motor, aby součástka o hmotnosti posuvném pásu délky , zvýšila během pohybu svoji rychlost z . Odporová síla působící při pohybu je .

ležící na na

Řešení:

Na těleso působí dvě síly, síla udělující tělesu zrychlení a síla třecí. Změna kinetické energie je rovna práci výsledné síly po dráze. Můžeme psát:

. Síla působící po dráze je úměrná změně rychlosti na této dráze, pro rovnoměrné zrychlení tělesa můžeme psát

po úpravě můžeme psát

po dosazení a úpravě můžeme psát


[

] .

Motor musí vykonat práci

.

38

.

2.3-6.

Lyžař po překonání výškového rozdílu na dlouhé sjezdové dráze dosáhl rychlosti . Jaká je hodnota součinitele smykového tření pro případ, kdy neuvažujeme odpor vzduchu?

Řešení:

Dle zákona zachování energie:

. Dle obr. 3.2-1

, po dosazení

, po úpravě


. Součinitel smykového tření je 0,21.

2.3-7.

Jakou maximální rychlostí může jet nákladní auto o celkové hmotnosti při stoupání , jestliže výkon motoru je ? Součinitel smykového tření je a odpor prostředí zanedbáme.

Řešení:

39

Rychlost vypočítáme dle vztahu

odtud po úpravě

Tažná síla musí překonat sílu pohybovou -

a sílu třecí -

; viz obr. 2.3-1.

Obr. 2.3-1

Výsledná síla

, dosadíme a dostáváme


. Maximální rychlost auta nemůže být větší než

.

40

Do jaké vzdálenosti by se odkutálelo kolo o hmotnosti a průměru , kdyby se uvolnilo z ložiska při rychlosti ? Moment setrvačnosti kola je a třecí síla je .

2.3-8.

Řešení:

Součet kinetických energií translační a rotační se musí rovnat energii, která je shodná s prací třecí síly

po dosazení a úpravě


[

] .

Kolo by se odkutálelo do vzdálenosti

Hmotnost vlaku je 80krát větší než hmotnost letadla. Rychlost letadla je 9krát větší než rychlost vlaku. Porovnejte navzájem jejich kinetické energie.

2.3-9. [

.

]

2.3-10. Letadlo hmotnosti pohybující se konstantní rychlostí, vystoupalo za 4 minuty do výšky . Vypočítejte výkon motoru, jestliže letadlo potřebuje na výstup výkonu motoru. [

]

41

2.3-11. Vozík rovnoměrně naložený sypkým materiálem 1,2 t pohybující se po kolejích má čtyři kola o průměru 40 cm. Zjistěte odporovou sílu jednoho kola a práci, kterou je třeba vykonat při odtlačení vozíku do vzdálenosti 50 m; rameno valivého odporu je 0,5 mm. [

]

42

2.4

GRAVITAČNÍ POLE

V okolí každého hmotného tělesa existuje gravitační pole, které se projevuje silovým působením na jiná hmotná tělesa; gravitační pole zprostředkovává silové působení těles, aniž přitom musí dojít k jejich bezprostřednímu styku; silové působení mezi tělesy je vždy vzájemné (dle 3. Newtonova pohybového zákona) – tzv. gravitační interakce; vzájemné přitažlivé síly, které jsou mírou gravitační interakce – tzv. gravitační síly.

Newtonův gravitační zákon Byl odvozen zobecněním výsledků J. Keplera o kinetice pohybu planet pro dva hmotné objekty. Každé dvě částice o hmotnostech a na sebe vzájemně působí gravitační silou, jejíž velikost je:

kde je vzdálenost mezi částicemi a hodnota byla zjištěna experimentálně.

je gravitační konstanta, jejíž

„Každé dva hmotné body se přitahují silou, která je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti.“

Síla ⃗⃗⃗⃗ leží na spojnici hmotných bodů (částic).

Vektorové vyjádření Newtonova zákona Uvažujme hmotný bod o hmotnosti

v gravitačním poli hmotného bodu o hmotnosti

⃗⃗⃗⃗ kde ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗

⃗⁄ Vektor gravitační síly má opačnou orientaci, než polohový vektor (přitažlivá síla).

Intenzita gravitačního pole Intenzita je vektorová veličina určená podílem gravitační síly, která v daném místě působí na hmotný bod o hmotnosti a této hmotnosti: ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

43

Intenzita popisuje pole v každém bodě jednoznačně; závisí pouze na poloze uvažovaného bodu a na hmotnosti tělesa, které pole vytváří. Jednotka je Je-li pole vytvořeno HB nebo homogenní koulí o hmotnosti :

Vektorové vyjádření: ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

Směr vektoru intenzity ⃗⃗:

a) do daného hmotného bodu, který je zdrojem tohoto pole b) do středu stejnorodé koule, která je zdrojem gravitačního pole ... radiální (centrální) gravitační pole.

Gravitační zrychlení Dle 2. NPZ: gravitační síla při svém působení na tělesa udílí těmto tělesům zrychlení … tzv. gravitační zrychlení ⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

Gravitační zrychlení v určitém bodě je rovné intenzitě gravitačního pole v témže bodě (co do velikosti, směru a orientace): ⃗⃗

⃗

Vektor intenzity gravitačního pole popisuje pole, gravitační zrychlení charakterizuje pohyb konkrétního tělesa, které se v daném místě pole nachází.

Práce gravitační síly Hmotný bod o hmotnosti

posuneme o element dráhy

Práce gravitační síly je poté:

44

podél průvodiče .

⃗

⃗

⃗

Celková práce při přemístění HB o hmotnosti vzdálenosti : ∫

[

⃗

ze vzdálenosti

]

od HB o hmotnosti

(

Gravitační potenciální energie hmotného bodu o hmotnosti hmotnosti :

(

do

))

v gravitačním poli hmotného bodu o

Práce gravitační síly: (

)

Gravitační potenciální energie Skalární veličina, která kvantitativně popisuje chování těles v gravitačním poli jiných těles. Práce gravitační síly a tedy gravitační potenciální energie: ∫ kde

je integrační konstanta.

„Potenciální energie je určena prací, kterou vykoná gravitační síla při přenesení hmotného bodu z daného místa na vztažné místo a nezávisí na cestě, po níž se přenášení děje.“ A tedy:

Potenciál gravitačního pole Potenciál je skalární veličina charakterizující gravitační pole v určitém bodě závisející pouze na vlastnostech tohoto pole (nikoli na vlastnostech tělesa v daném bodě umístěného). Potenciál gravitačního pole v daném bodě prostoru je podíl gravitační potenciální energie, kterou má v tomto bodě pomocné těleso (HB) o hmotnosti , a této hmotnosti:

Jednotkou je vztažný bon v nekonečnu, platí:

Pro gravitační pole HB o hmotnosti

45

a zvolíme-li

Gravitační pole Země Ve vztahu k jiným vesmírným objektům (planety, družice). Zemi považujeme za homogenní kouli o poloměru a hmotnosti (model Země). Ve skutečnosti má země tvar blízký rotačnímu elipsoidu s hlavní poloosou (rovníkový poloměr) 6378 km a vedlejší poloosou (polární poloměr) 6357 km, není homogenní, její hustota roste směrem od středu, její hmotnost je a její střední hustota je

Gravitační zrychlení země Gravitační zrychlení klesá s nadmořskou výškou (zvětšuje se vzdálenost od země). V nadmořské výšce je vzdálenost od středu Země

(

)

Pokud je ( (

)

)

kde

Pozn.: Ve výšce

je gravitační zrychlení jen o 1 promile menší, než při hladině moře (

Potenciální energie těles v zemském gravitačním poli Mějme těleso o hmotnosti poloměr , pak

ve vzdálenosti od středu Země. Hmotnost Země označíme

na povrchu země je

a ve výšce

nad povrchem Země:

46

,

).

Práce vnější síly potřebná k vyzvednutí tělesa z povrchu Země do výšky gravitační síle): ( Pro

(přemisťujeme proti

)

je práce: (

)

(

)

Použijeme-li vztah

pak práce vnějších sil je dána jako: š

Tíhové pole Země Ve vztahu k tělesům na povrchu resp. v blízkosti povrchu Země. Kromě gravitační síly ⃗ působí na tělesa o hmotnosti m síla setrvačná ⃗ Ta je dána vztahem:

kde

Tíhové pole Země je složené z gravitačního pole Země a pole setrvačných (odstředivých) sil. Výslednice sil působících na těleso na Zemi: ⃗

⃗

⃗

kde ⃗ je tíhová síla, ⃗ ⃗ kde ⃗ je tíhové zrychlení. Směr tíhové síly definuje svislý směr. Tíhová síla klesá s nadmořskou výškou stejně jako tíhové zrychlení . Tíhové zrychlení závisí na

47

nadmořské výšce i zeměpisné šířce. Maximální je na zemských pólech a minimální je na rovníku. Tato závislost je dána nejen tvarem zemského elipsoidu, ale zejména rotací Země. Tíhové zrychlení je vektorovým součtem gravitačního zrychlení a zrychlení setrvačného ⃗ ⃗ ⃗ .

Pohyby těles v homogenním tíhovém poli země Pokud jsou parametry trajektorie vrženého tělesa malé ve srovnání s rozměry Země, tíhové zrychlení je podél celé trajektorie tělesa konstantní. Pohybová rovnice volného HB: ⃗

⃗

⃗

Vyjádřeno pomocí souřadnic:

Pro soustavu souřadnic volíme počátek v poloze HB a vektor počáteční rychlosti leží v rovině XY. Úhel, který svírá vektor rychlosti s kladným směrem os X je tzv. elevační úhel (úhel vrhu).

Y

 v0  X

O

Souřadnice síly ve zvolené soustavě souřadnic:

48

Dosazením souřadnic síly do pohybových rovnic:

První integrací těchto rovnic získáme souřadnice rychlosti:

kde

jsou integrační konstanty odpovídající souřadnicím počátečních rychlostí:

Druhou integrací pohybových rovnic získáme souřadnice polohy HB:

kde resp.

jsou integrační konstanty odpovídající souřadnicím počáteční polohy HB pro vodorovný vrh.

Dle počátečních podmínek dostáváme tyto případy:

a) b) c) d) e)

volný pád vrh svislý dolů vrh svislý vzhůru vrh vodorovný vrh šikmý vzhůru.

PŘÍKLADY:

2.4-1.

Intenzita gravitačního pole na povrchu Země je cca . Určete velikost intenzity ve vzdálenosti dvojnásobku poloměru Země od jejího povrchu.

Řešení:

Pro intenzitu gravitačního pole platí vztah

49

Ve výšce

platí:

Úpravou a dosazením dostáváme

Po dosazení číselných hodnot dostaneme

. Ve vzdálenosti dvojnásobku poloměru Země je intenzita gravitačního pole

2.4-2.

.

Určete výšku nad povrchem Země, kde je gravitační síla, která působí na těleso, poloviční .

Řešení:

Gravitační síla na povrchu Země je dána vztahem

gravitační síla na povrchu Země je dána vztahem

Dosadíme

po úpravě dostaneme vztah

Kvadratická rovnice má dva kořeny

√

√ 50

( √

)

z nichž vyhovuje ten, pro který vyjde

(√

kladné:

).


(√

)

Gravitační síla je poloviční ve výšce

2.4-3.

.

Doba oběhu první družice kolem Země na palubě s člověkem byla . Určete výšku družice nad povrchem Země za předpokladu, že trajektorií byla kružnice .

Řešení

Při oběhu kolem Země je dostředivá síla rovna odstředivé a dostředivá síla je síla gravitační

po úpravě

Pro rychlost družice

platí:

po dosazení do rovnice

a úpravě dostáváme

51

√

(

)


√

(

)

. m. . Výška družice nad povrchem Země byla

2.4-4.

km.

Vypočítejte práci, kterou musely vykonat raketové motory, při vynesení rakety o hmotnosti do výšky nad Zemský povrch. Předpokládejme pohyb rakety v homogenním gravitačním poli s intenzitou .

Řešení:

Práce raketových motorů trajektorie.

je rovna gravitační potenciální energii rakety

v nejvyšším bodě


Motory vykonaly práci

2.4-5.

.

Jakou rychlostí vystupuje proud vody z požární hubice směrem svisle vzhůru, jestliže dosahuje výšky a za jak dlouho po výtoku dopadne na úroveň hubice?

Řešení:

52

Rychlost v tíhovém poli Země pro směr svislý je dána vztahem

, kde

je počáteční rychlost.

V nejvyšším bodě (v bodě obratu) se voda “zastaví“, proto

odtud vztah pro rychlost:

Dráha (okamžitá výška) v tíhovém poli Země pro směr svislý je dána vztahem

⁄ a úpravě dostaneme pro počáteční rychlost vztah:

po dosazení

.

√

Celková doba než voda dopadne se skládá ze dvou časů: čas pro let nahoru a čas, kdy voda padá potom platí: . Čas

určíme z dráhy, kterou voda vykoná při pádu z maximální výšky, to je z nejvyššího bodu

√

po úpravě pro

⁄ a současně po dosazení za

√ odtud

√ Po dosazení číselných hodnot dostaneme:

53

je

,

√

, .

√ . Voda u hubice má rychlost

a dopadne na úroveň hubice za

.

Z vysouvacího požárního žebříku vysokého stříká hasič vodu vodorovným směrem, rychlost výtoku vody je . Za jakou dobu, jakou rychlostí, pod jakým úhlem s vodorovným směrem a v jaké vzdálenosti od paty kolmice spuštěné z žebře dopadne voda?

2.4-6.


;

Pro vodorovný vrh platí vztahy: a

,

kde je vzdálenost od paty kolmice (obr. 4.2-1 a), dopadne na zem (odpor prostředí zanedbáme).

výška žebříku a je doba, za kterou voda

Pro dobu dopadu t úpravou z výše uvedených vztahů dostaneme:

54


√ . Rychlost dopadu je určena vektorovým součtem počáteční rychlosti volném pádu (obr. 4.2-1 b).

a rychlosti dopadu při

Dle Pythagorovy věty platí

√ kde

,

je velikost rychlosti dopadu z výšky , tj.:

,

√

po dosazení dostáváme:

√

.


√

, .

Úhel α, který svírá vektor rychlost

s horizontálním směrem určíme dle obr. 4.2-1b

odtud

Vzdálenost dopadu vody od paty kolmice je

Po dosazení číselných hodnot dostaneme:

. Voda dopadla za

, rychlostí

, pod úhlem

55

a ve vzdálenosti

.

2.4-7.

Vodorovně vystřelený projektil letí počáteční rychlostí poklesne projektil od vodorovného směru na vzdálenosti

, o jakou délku ?

Řešení:

Pro vodorovný vrh platí vztahy:

, kde je vzdálenost od místa výstřelu, (odpor prostředí zanedbáme).

délka poklesu od vodorovného směru a je doba doletu

Po úpravě první rovnice a dosazení do druhé rovnice dostaneme:


. Vystřelený projektil poklesne na vzdálenosti

2.4-8.

o

od původního vodorovného směru.

Halleyova kometa, která se pohybuje po eliptické trajektorii, se dostává v periheliu do minimální vzdálenosti od Slunce. Perioda Halleyovy komety je roků. Určete, do jaké největší vzdálenosti od Slunce se dostane.

56


Halleyova kometa společně se Zemí obíhají kolem Slunce. Délku velké poloosy Halleyovy komety (obr. 4.2-2) vypočteme ze třetího Keplerova zákona

odtud

√ je astronomická jednotka, platí:


57

eliptické dráhy

√ . Hledaná maximální vzdálenost Halleyovy komety od Slunce podle (obr. 4.2-1) platí:

Maximální vzdálenost Halleyovy komety od Slunce je

km.

2.4-9.

Pod jakým elevačním úhlem musíme vrhnout těleso šikmo vzhůru, aby se výška jeho výstupu rovnala délce doletu?

[

]

2.4-10. Pohyb dělostřeleckého granátu je popsán rovnicemi; Určete rovnici trajektorie, dobu letu a délku doletu. [

.

]

2.4-11. Volně padající těleso má v místě A rychlost ; v místě B má rychlost . Jaká je vzdálenost mezi body a jaký čas byl třeba k uražení této vzdálenosti? Řešte pomocí zákona zachování mechanické energie. [

]

2.4-12. Jakou počáteční rychlost musíme ve vodorovném směru udělit tělesu, aby délka vrhu byla rovna n-násobku výšky, ze které bylo těleso vrženo? [

√

⁄ ]

2.4-13. Určete trajektorii materiálu, který opustí ve výšce pohybujícího rychlostí . [

]

58

dopravníkový pás vodorovně se

2.5

DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA

Tuhé těleso je těleso, které nelze nahradit hmotným bodem, jeho rozměry a tvar podstatně ovlivňují pohybový stav tělesa a jeho tvar ani objem se působením vnějších sil nemění (nedeformovatelné).

a) pohyb posuvný: všechny body tělesa mají v daném okamžiku stejnou rychlost i zrychlení b) pohyb otáčivý kolem nehybné osy: všechny body tělesa se pohybují se stejnou úhlovou rychlostí a opisují soustředné kružnice, roviny kružnic jsou kolmé na osu otáčení c) pohyb složený: pohyb složený z translace v prostoru a současné rotace kolem osy otáčení

Moment síly Moment síly charakterizuje pohybový účinek síly způsobující otáčivý pohyb tělesa. Závisí na velikosti síly, jejím směru a působišti. Moment síly je:

kde r je rameno síly (nejkratší vzdálenost vektorové přímky od osy otáčení tělesa),

Těžiště tuhého tělesa (působiště tíhové síly) ∫ pro homogenní těleso

∫

∫

: ∫

∫

59

∫

Má-li těleso střed symetrie, je také těžištěm, má-li osu, nebo rovinu symetrie, leží těžiště na tomto prvku symetrie.

Posuvný pohyb tuhého tělesa Rozdělíme si těleso na elementy o hmotnosti

. Hybnost každého elementu je: ⃗

⃗

Kinetická energie každého elementu je:

Celková hmotnost a hybnost tělesa: ∫

⃗

∫ ⃗

⃗

⃗

Celková kinetická energie pohybujícího se tělesa: ∫

∫

Rotační pohyb tuhého tělesa kolem nehybné osy Elementární části tělesa se pohybují s různou obvodovou rychlostí, mají však stejnou rychlost úhlovou. Částice tvořící těleso mající vzdálenost od osy otáčení mají v daném okamžiku rychlost:

Kinetická energie každého elementu je:

Celková kinetická energie tuhého tělesa: ∫ kde ∫

∫

∫

∫

je moment setrvačnosti .

60

Pohybová rovnice pro pohyb tělesa kolem pevné osy

Dle 2. impulsové věty: ⃗⃗

⃗⃗⃗

neboť

⃗⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

.

Pro jednotlivé elementy tuhého tělesa:

Pro celé tuhé těleso: ∫

∫

Vektorově: ⃗⃗

⃗⃗

A po dosazení do druhé impulsové věty: ⃗⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗

⃗

Složený pohyb tuhého tělesa Je složením pohybu translačního s pohybem rotačním. Kinetická energie:

kde

je moment setrvačnosti vzhledem k ose jdoucí těžištěm.

Výpočet momentu setrvačnosti Pro hmotný bod:

Pro soustavu hmotných bodů: ∑

61

Pro tuhé těleso: ∫ Jednotkou momentu setrvačnosti je

Pomocí poloměru setrvačnosti tělesa

pro danou osu:

kde je vzdálenost bodu, ve kterém by musela být soustředěna hmotnost tělesa, aby moment setrvačnosti byl roven momentu setrvačnosti celého tělesa, tj.:

√

∫

∫

Steinerova věta Pro stanovení momentu setrvačnosti tuhého tělesa rotujícího kolem pevné osy těžištěm, kde je její vzdálenost od rovnoběžné osy procházející těžištěm:

62

, která neprochází

moment setrvačnosti vzhledem k ose jdoucí bodem (zvolíme-li počátek soustavy souřadnic v těžišti):

rovnoběžné s osou jdoucí těžištěm

je

„Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k libovolné ose je roven momentu setrvačnosti hmotného bodu v těžišti, jehož hmotnost je rovna hmotnosti tělesa, vzhledem k této ose zvětšené o moment setrvačnosti tělesa vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm.“

Práce a výkon při rotačním pohybu tuhého tělesa Při pootočení tělesa o elementární úhel ⃗

vykoná tangenciální složka síly práci: ⃗

vektorově: ⃗⃗⃗

⃗⃗

Celková práce: ⃗⃗⃗

∫ ⃗⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗⃗

Výkon: ⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ⃗⃗

Fyzické kyvadlo: Každé těleso otáčivé kolem osy, která neprochází těžištěm a není svislá. Setrvačník: Těleso otáčivé kolem osy, vzhledem k níž má velký moment setrvačnosti. Osa roztočeného setrvačníku zachovává svůj směr (př. stálý sklon Země). Volná osa: Těleso rotující kolem ní ji nenamáhá žádnou silou ani momentem sil.

63

Analogie vztahů pro posuvný a otáčivý pohyb

POHYB POSUVNÝ dráha: s rychlost:

v

úhlová dráha:  úhlová rychlost:   d dt

ds dt

2 zrychlení: a  dv  d s 2

dt

hmotnost: síla: hybnost:

úhlové zrychlení:

dt

m

 F



POHYB OTÁČIVÝ

  p  mv 

impuls síly: I   F dt

 



d d 2  2 dt dt

moment setrvačnosti: J  moment síly: M





moment hybnosti: b  J   impuls momentu síly: L   M dt





práce: dW  M d výkon: P  dW  M  dt

práce: dW  F dr



výkon: P  dW  F v

dt

kinetická energie: E  1 mv 2 k 2  pohybová rovnice: F  dp  ma dt  1. impulsová věta:  dp F dt

kinetická energie: E  1 J 2 k

zákon zachování hybnosti:    p  konst , pro F  0

zákon zachování momentu hybnosti:    b  konst , pro M  0

2

  db  pohybová rovnice: M   J dt  2. impulsová věta: M  db dt

PŘÍKLADY:

2.5-1.

Vypočtěte velikosti sil působících na každé lano závěsu na jeřábu, je-li hmotnost kontejneru , délky lan po hák a maximální vzdálenost od konce nosného ramene jeřábu jsou patrny z obrázku (obr. 2.5-1). Hmotnosti lan jsou zanedbatelné.

64


Předpokládejme, že těleso je homogenní a těžiště je hmotným bodem. Použijeme rovnoběžníku pro rozklad sil a tíhovou sílu rozložíme do příslušných směrů. Z obr. 2.5-1 (délky lan musí být zadány v metrech)

√ √

,

√

.

Z rozkladu rovnoběžníku sil

, √ √

65

√ √ Lano délky

2.5-2.

√

je napínané silou

a lano délky b silou

Na homogenním trámu hustoty dvě děti o hmotnosti houpačka byla v rovnováze?

√

.

délky a průřezu se houpou . Ve kterém místě je třeba trám podepřít, aby


K řešení využijeme vztahy pro rovnovážný stav tuhého tělesa, musí platit současně

∑

a ;

∑ ;

;

. .

Zvolíme osu otáčení, přirozený bod otáčení je místo podepření a k ose otáčení vztahujeme velikost ramene otáčení, u kterého bereme v potaz i orientaci momentu dané síly (obr. 2.5-2.).

66

(

)

,

odtud:


. Trám je třeba podepřít ve vzdálenosti

2.5-3.

od konce s dítětem o hmotnosti

.

Kolem o poloměru a hmotnosti je třeba překonat překážku výšky , ale menší než poloměr obr. 2.5-3. Určete minimální sílu v ose kola a současně ve vodorovném směru, kterou je potřeba k překonání překážky. Úlohu řešte obecně a po té pro hodnoty .


67

Při překonávání překážky výšky se kolo otáčí kolem nehybné osy O (na překážce). Aby kolo překonalo překážku, musí být moment působící síly vzhledem k ose O větší než moment síly vzhledem k téže ose. Pro minimální sílu ve vodorovném směru platí:

. Rameno síly

můžeme vyjádřit dle obr. 2.5-3

. Rameno síly

můžeme vyjádřit dle obr. 2.5-3 použitím Pythagorovy věty

odtud:

√

.

Po úpravě a dosazení dostáváme


√

K překonání překážky je třeba sílu větší než

2.5-4.

.

Jakou práci musíme vykonat, abychom překlopili přes hranu žulovou krychli, vímeli, že hrana je dlouhá , hustota žuly a .

68


Při překlopení tělesa z rovnovážné polohy do polohy vratké zvedneme těžiště tělesa a tím vykonáme práci rovnou změně potenciální energie, kterou získáme změnou polohy těžiště tělesa (obr. 2.5-4).

(

)

√

odtud po úpravě a dosazení:

(

√

)


(

√

)

. K překlopení žulové kostky o hraně

je třeba energii

69

.

2.5-5.

Jakou rychlost získá kolo kutálející se z kopce vysokého . Moment setrvačnosti kola o hmotnosti a poloměru vzhledem k ose procházející středem kola, kolmé ⁄ , tíhové zrychlení na rovinu kola je . Tření zanedbejte.

Řešení:

Podle zákona zachování mechanické energie se tíhová potenciální energie ve výšce , přemění na kinetickou energii rotační a translační

, kterou má kolo

( ) kterou má kolo v dolní poloze. Platí tedy:

( ) odtud

√ po dosazení

√

√ Po dosazení číselných hodnot

√ . Kolo získá rychlost přibližně

.

2.5-6. Určete moment setrvačnosti, víte-li, že otáčky setrvačníku klesly po vykonané práci z za minutu na otáček za minutu. Řešení:

70

protože úhlová frekvence je

, bude platit:

odtud


Moment setrvačnosti setrvačníku je

2.5-7.

.

Setrvačník pohonné jednotky byl roztočen motouzem délky , na který bylo působeno silou . Jakou frekvenci získal setrvačník agregátu s momentem setrvačnosti ?

Řešení:

Práce, která se vykoná, je rovna kinetické energii otáčivého pohybu

odtud úpravou dostaneme


√ . Setrvačník získal frekvenci

.

71

2.5-8.

Do jaké výšky svahu by vyjelo auto poháněné pouze setrvačníkem s momentem setrvačnosti ? Setrvačník má frekvenci otáček za minutu. Hmotnost automobilu je . Tření a odpor vzduchu zanedbáme.

Řešení:

? Platí zákon zachování mechanické energie, který využijeme ve tvaru

,

dosadíme a upravíme, potom


. Auto by vyjelo do výšky

.

2.5-9.

Dělník zvedá za jeden konec trám o délce a hmotnosti . Při určité poloze svírá osa trámu s vodorovným směrem úhel . Určete velikost síly , kterou působí dělník na trám v dané poloze. Síla je kolmá k ose trámu.

[

]

2.5-10. Nosník hmotnosti , délky spočívá na dvou podpěrách a je zatížen břemenem o hmotnosti zavěšeným ve vzdálenosti od levého okraje. Určete síly, jimiž působí podpěry na nosník. [

]

2.5-11. Vypočtěte velikosti sil působících na každé lano závěsu (dle obrázku 2.5-5.), je-li hmotnost závaží , hmotnosti lan jsou zanedbatelné. 72

Obr. 2.5-5 √

[

√

]

2.5-12. Hnací hřídel automobilu se otáčí s frekvencí Vypočítejte otáčivý moment, který vyvíjí motor. [

a přenáší výkon

.

]

2.5-13. Rotor elektromotoru hmotnosti má moment setrvačnosti koná otáček za minutu. Jak velikou má kinetickou energii? [

a

] 2.5-13. Vozík se pohybuje rychlostí po koleji s poloměrem zakřivení Vypočítejte funkční závislost pro vzdálenost ve směru vodorovném od přirozené osy otáčení při překlopení vozíku s materiálem v závislosti na výšce těžiště (těžiště vozíku s materiálem). √

[

]

73

2.6

MECHANICKÉ KMITÁNÍ

Je nestacionární děj (děj, jehož charakterizují časově proměnné veličiny). Dělení:

Pohyb HB (soustavy HB nebo tělesa), při němž bod nepřekročí konečnou vzdálenost od tzv. rovnovážné polohy. V rovnovážné poloze jsou všechny síly působící na HB navzájem ve statické rovnováze. Pokud se opakuje průběh kmitavého pohybu po stejném časovém intervalu (periodě) kmitavý periodický pohyb. Charakteristické veličiny lze vyjádřit ve tvaru:

kde

.

Harmonické kmity: charakteristické veličiny:

⁄ je frekvence (kmitočet) – udává, kolikrát se kmit nebo jiný periodický děj opakuje za jednotku času. Jednotka: Kmitající objekty se nazývají oscilátory. Nejjednodušší jsou lineární oscilátory, při nichž se HB pohybuje po přímce (např. těleso na pružině).

Volný netlumený harmonický oscilátor Zdrojem kmitání je harmonický oscilátor = jednoduchý translační elastický oscilátor. Charakteristiky oscilátoru jsou: hmotnost závaží , tuhost pružiny (předpokládáme, že pružina má zanedbatelnou hmotnost oproti závaží, které lze považovat za HB).

74

y

l0

l 0  l

l

 FP

 FP rovnovážná poloha

 FG

0

y

x

 FG

a) dynamický popis kmitů – pohybová rovnice: Dle 2. Newtonova pohybového zákona (pro m=konst.): ⃗

⃗

⃗

pro -nové souřadnice veličin:

vydělíme m a dostaneme:

kde

kde

je vlastní úhlová frekvence oscilátoru: √

√

b) kinematický popis kmitů – rovnice výchylky Rovnice výchylky je řešením pohybové rovnice:

kde je okamžitá výchylka, je maximální možná výchylka, tj. amplituda výchylky, je počáteční výchylka, je počáteční fáze a je okamžitá fáze pohybu. Rychlost kmitů je:

a

je amplituda rychlosti.

75

Zrychlení kmitů je:

a

je amplituda zrychlení.

c) fázový rozdíl

Mezi různými veličinami popisujícími totéž kmitání, nebo mezi stejnými veličinami popisujícími dvě různá kmitání. Je-li

stejná fáze (veličin resp. kmitání).

Je-li

opačná fáze (veličin resp. kmitání).

d) grafické vyjádření

Fázor a jeho vlastnosti: Je to rotující vektor v rovině mající počátek v počátku soustavy souřadnic. Délka fázoru odpovídá amplitudě veličiny, kterou představuje. Průmět fázoru do svislé osy je roven okamžité hodnotě dané veličiny. Úhel, který svírá fázor s vodorovnou osou je roven okamžité fázi této veličiny.

e) energie kmitů U harmonických kmitů se periodicky mění kinetická energie v potenciální energii pružnosti a naopak. Potenciální energie pružnosti je číselně rovna práci, kterou vykonáme při vychýlení oscilátoru z rovnovážné polohy. ∫

∫

76

U netlumeného oscilátoru platí zákon zachování mechanické energie:

[

]

Tlumený oscilátor Jeho amplituda kmitů s časem exponenciálně klesá, což odpovídá pohybu v odporujícím prostředí. Odporová síla prostředí je: ⃗

⃗

a) dynamický popis kmitů – pohybová rovnice: Dle 2. NPZ: ⃗

⃗

⃗

⃗

pro -nové souřadnice veličin:

vydělíme ⁄

a dostaneme:

tedy:

kde

je vlastní úhlová frekvence oscilátoru a je součinitel tlumení.

b) kinematický popis kmitů – rovnice výchylky Rovnice výchylky je řešením pohybové rovnice:

kde amplituda výchylky je

. Při řešení dostaneme úhlovou rychlost tlumeného kmitání: √

77

Nadkritické tlumení (aperiodický děj):

Kritické tlumení (nejrychlejší z aperiodických dějů):

Podkritické tlumení (periodický děj):

c) charakteristické veličiny tlumených kmitů

Útlum (konstantní na čase nezávislá hodnota):

Logaritmický dekrement útlumu:

Relaxační doba amplitudy: Amplituda klesne na „

“, tj.:

d) perioda tlumených kmitů

78

√ Pro dostáváme netlumené kmity s periodou prodlužuje.

. Pokud

doba kmitů se tlumením

Superpozice harmonických kmitů Tj. skládání kmitů. U oscilátorů s jedním stupněm volnosti lze realizovat jen skládání kmitů téhož směru. Řešení jsou analytická (početní), grafická či geometrická (pomocí časového, resp. fázorového diagramu), nebo experimentální. Izochronní kmity jsou kmity stejné frekvence a tedy i periody.

Kyvadla

a) fyzické kyvadlo Je každé zavěšené těleso o hmotnosti , které je otáčivé kolem vodorovné pevné osy a jeho těžiště je pod osou otáčení ve vzdálenosti . Moment setrvačnosti vzhledem k této ose je . Je to tzv. gravitační rotační mechanický oscilátor. V ideálním případě při malých úhlových výchylkách (do 4,5°) produkuje volné netlumené rotační harmonické kmity. Dle pohybové rovnice

dostáváme:

kde zlomek na pravé straně rovnice je vlastní úhlová frekvence Pohybová rovnice fyzického kyvadla pro malé výchylky je:

Vlastní doba kmitu: √

b) matematické kyvadlo

79

Je model fyzického kyvadla. Jedná se o hmotný bod hmotnosti délky .

zavěšený na nehmotném vlákně

√

√

Redukovaná délka fyzického kyvadla je taková délka matematického kyvadla, které má stejnou dobu kmitu jako dané fyzické kyvadlo.

PŘÍKLADY:

Jaká je doba kmitu harmonického oscilátoru, jestliže zavěšené těleso na pružině má hmotnost a síla působící při výchylce je ?

2.6-1. Ř š

:

Souvislost mezi dobou kmitu a úhlovou frekvencí je určena vztahem

⁄ . Zároveň platí

⁄ . Pak použitím obou vztahů je √ ⁄ . Tuhost pružiny je nutno vyjádřit ze vztahu ⁄ dosadíme do jmenovatele předchozího zlomku a pro sílu pružnosti . Pak vztah dostaneme:

√ Po dosazení číselných hodnot

√ . Harmonický oscilátor má dobu kmitu je

Těleso hmotnosti koná netlumený harmonický pohyb. Určete jeho dobu kmitu, víte-li, že při výchylce působí na těleso síla .

2.6-2. Ř š

s.

:

80

Podobně jako u předchozího příkladu

(

)

√

Po dosazení zadaných číselných hodnot je

√ . Doba kmitu je

K protažení pružiny o závaží o hmotnosti závaží po vychýlení.

2.6-3.

Ř š

.

, je třeba vykonat práci . Na pružinu je zavěšeno . Určete tuhost pružiny a frekvenci, s jakou bude kmitat

:

Pro práci platí vztah

odtud

kde je velikost výchylky ( ). Síla potřebná k protažení pružiny je dána vztahem

(

)

(

)

Vztah mezi tuhostí pružiny a sílou

kde

je velikost výchylky, odtud

81

(

)

Frekvenci vypočítáme ze vztahu pro úhlovou frekvenci

po dosazení a úpravě dostaneme

√

√

(

)

(

√

)


√

(

)

(

)

Tuhost pružiny je

.

Na nehmotné pružině visí závaží o hmotnosti . Závaží po vychýlení z rovnovážné polohy o koná harmonický pohyb s frekvencí . Určete tuhost pružiny, sílu, kterou bylo závaží vychylováno a hodnotu kinetické energie závaží.

2.6-4.

Ř š

a frekvence

: (

)g cm

(

)

kg

m

Vyjdeme ze základního vztahu pro pohyb tělesa na pružině, jeho úhlovou frekvenci v tíhovém poli

Po dosazení a úpravě dostaneme

82

Pro sílu platí vztah

Po dosazení a úpravě dostaneme

, . Pro Energie platí

. Po dosazení a úpravě dostaneme

Tuhost pružiny je ⁄ π .

a maximální kinetická energie

Sestavte rovnici harmonického kmitavého pohybu hmotného bodu, víte-li, že maximální zrychlení je , perioda a vzdálenost kmitajícího bodu od rovnovážné polohy je pro čas rovna .

2.6-5.

Ř š

, působící síla

:

Rovnice harmonického kmitavého pohybu je

, úhlová frekvence je definována jako

K určení amplitudy pohybu využijeme vztahu pro maximální zrychlení

83

odtud

Fázový posuv vypočítáme z počátečních podmínek, dosazením hodnot do rovnice pro harmonický pohyb

. Po dosazení a úpravě dostaneme:

, odtud

,

Po dosazení vypočtených hodnot do rovnice pro harmonický pohyb dostaneme (

), což je hledaná rovnice.

Hmotný bod (HB) kmitá s amplitudou . V prvé půlperiodě od počátku v následném časovém rozmezí získá dvakrát za sebou hodnotu výchylky . S jakou frekvencí hmotný bod kmitá?

2.6-6.

Obr. 2.6-1 Ř š

:

84

Vztah pro frekvenci odvodíme z definičního vztahu pro úhlovou frekvenci

Okamžitá výchylka HB (obr. 2.6-1) je dána rovnicí

. Pro

platí

pro

, porovnáním rovnic, úpravou a dosazením dostaneme:

odtud

Pro čas

platí, viz obr. 2.6-1

dostaneme ze vztahu

odtud

po dosazení do první rovnice, úpravě a dosazení dostáváme:

. Hmotný bod kmitá s frekvencí

Jaký je logaritmický dekrement útlumu matematického kyvadla délky li jeho počáteční amplituda výchylky z za minut na ?

2.6-7. Ř š

.

:

85

, klesne-

Doba kmitu matematického kyvadla je dána vztahem

√ logaritmický dekrement vztahem

kde

je koeficient útlumu,

je doba kmitu tlumeného pohybu:

√ kde

je počáteční úhlová frekvence a pro pokles amplitudy s časem je roven

. Po dosazení číselných hodnot a úpravách dostaneme:

√ .

. √(

)

√(

)

. , . Logaritmický dekrement útlumu matematického kyvadla je

86

.

2.6-8.

Mějme matematické kyvadlo o délce (obr. 2.6-2). Je-li hmotnému bodu udělena v nejnižší poloze rychlost , určete, jak daleko se kyvadlo vychýlí, než se zastaví. Odpor prostředí neuvažujte.

Obr. 2.6-2 Ř š : Při řešení tohoto příkladu vyjdeme ze zákona zachování mechanické energie, a to ze závěru, že maximální energie kinetická se změní v maximální energii potenciální

, odtud

Pro maximální výchylku kyvadla z Pythagorovy věty viz obr. 2.6-2 plyne:

po úpravě a dosazení za

dostáváme

√ Kyvadlo se vychýlí o

2.6-9.

⁄

√

.

Určete frekvenci harmonického kmitavého pohybu hmotného bodu, jestliže se za dobu po průchodu rovnovážnou polohou jeho výchylka rovnala polovině amplitudy. Počáteční fáze je rovna nule. 87

[

]

2.6-10. Částice kmitá současně dvěma kolmými kmity dráhu, směr pohybu, rychlost a zrychlení částice v čase [

]

2.6-11. Logaritmický dekrement útlumu kmitavého pohybu je Určete frekvenci pohybu, je-li odstraněno tlumení. [

Určete

a perioda pohybu je

.

]

2.6-12. Jak se změní doba kmitu matematického kyvadla, jestliže jeho délku zkrátíme na původní délky? [

]

88

2.7

MECHANICKÉ VLNĚNÍ

Je časově a prostorově proměnný děj v makroskopicky spojitém prostředí. HB se harmonicky nebo obecně vrací do rovnovážné polohy. Maximální hodnoty výchylek z rovnovážné polohy jsou konečné a kmitání se šíří v látkovém prostředí, tj. v prostředí obsahujícím částice, které jsou spojeny vazebnými silami (nelze ve vakuu).

Vznik vlnění: rozkmitáme jednu částici, díky vazbě se kmitavý rozruch šíří postupně řadou částic. Vlnění dělíme na postupné a stojaté, dále na podélné a příčné.

a) Postupné vlnění Kmitavá soustava je otevřená (teoreticky nekonečných rozměrů) a nedochází k odrazu vlnění. Kmitavý rozruch se šíří od zdroje (generátoru) postupně řadou HB.

b) Stojaté vlnění Probíhá v uzavřených kmitavých soustavách. Je dáno superpozicí dvou postupných vln šířících se proti sobě.

c) Příčné vlnění (transverzální) Body kmitají kolmo ke směru, kterým se vlnění šíří. Vzniká v tělesech pružných při změně tvaru a vyskytuje se tedy u pevných těles a povrchů kapalin.

d) Podélné vlnění (longitudinální) Body kmitají ve směru šíření vlny a nastává zhušťování a zřeďování kmitajících bodů kolem míst, v nichž je okamžitá výchylka bodu nulová. Vzniká v prostředí pružném při změně objemu. Vyskytuje se u pevných látek, kapalin i plynů.

Mechanické postupné vlny v neabsorbujícím prostředí Zdrojem je každá kmitající mechanická soustava elasticky spřažená s nosným prostředím. Kmitání každé částice je zpožděno oproti kmitání částice předchozí.

89

Fázová rychlost: Rychlost, kterou se šíří kmitavý rozruch (fáze vlnění) k následujícím bodům kmitavé soustavy. Značíme ji a jednotkou je . Vlnová délka: Vzdálenost, do které se dostane kmitavý rozruch za dobu jedné periody. Značíme ji a jednotkou je . Je to také vzdálenost dvou nejbližších bodů řady, které kmitají se stejnou fází. Platí vztah:

A) Jednorozměrné příčné postupné vlnění

Vlnění (příčné) je dostatečně určeno pomocí (příčné) výchylky v kterémkoliv okamžiku a v jakémkoliv místě o souřadnici :

kde funkci

nazýváme vlnová funkce.

Odvození vlnové funkce:

90

Zdroj (generátor) vlnění kmitá v počátku zvolené souřadnicové soustavy a jeho rovnice výchylky je ve tvaru:

Bod M kmitá se zpožděním:

(

(

)

( ( (

kde

)

)

) )

⁄ což je fázový rozdíl kmitání bodu prostředí vůči kmitání zdroje vlnění.

Fáze vlnění: (

)

(

)

Fázový rozdíl pro dva body prostředí ve vzájemné vzdálenosti

91

(

)

x v daném čase t:

B) Jednorozměrné podélné postupné vlnění

Vlnová funkce

má stejný tvar jako pro příčné vlnění.

Vlastnosti postupného vlnění: Body kmitají se stejnou frekvencí ale různou fází. V neabsorbujícím prostředí kmitají body se stejnou amplitudou. Dochází k přenosu energie kmitavého pohybu zdroje prostředím, ale nedochází k přenosu látky! C) Odraz vlnění K odrazu dochází na konci bodové řady a to buď na pevném konci (poslední bod nemůže kmitat a reakcí vznikne síla, která změní výchylku posledního bodu v opačnou), nebo na volném konci (poslední bod řady se vychýlí a kmitání postupuje zpět se stejnou fází).

a)

b)

D) Interference vln v přímé řadě Je jev podmíněný skládáním vlnění. Nastává, jestliže se prostředím šíří vlnění ze dvou či více zdrojů, vlnění postupují prostředím nezávisle a v místech, kde se setkávají, dochází ke skládání jednotlivých vlnění. Kmitání bodu v daném místě je určeno superpozicí okamžitých výchylek jednotlivých vlnění a výsledné kmitání je dáno vektorovým součtem jednotlivých fázorů výchylek. Nejjednodušším případem je koherentní vlnění, tj. vlnění mající stejnou frekvenci a stálý fázový rozdíl . Výsledné vlnění můžeme určit:

92

a) graficky

b) algebraicky

V bodě M se skládají izochronní kmitání s různou fází.

Jsou-li tato vlnění koherentní:

a výsledné vlnění obecně charakterizuje funkce:

√ kde

Fázový rozdíl vlnění je:

kde

je dráhový rozdíl.

a) je-li: 93

vlnění se skládá se stejnou fází, tj.:

kde

(dráhový rozdíl je roven celistvému násobku vln)

b) je-li

vlnění se skládá s opačnou fází, tj.:

kde

Stojaté vlnění Je vlnění vzniklé superpozicí dvou izochronních postupných vln (podélných nebo příčných) šířících se proti sobě. V ideálním případě mají vlny stejnou amplitudu A (úplně stojaté vlnění). (

)

(

Výsledná vlnová funkce je algebraickým součtem

94

)

Výsledné vlnění je harmonické, má stejnou frekvenci jako obě vlny a výsledná amplituda nezávisí na čase, pouze na souřadnici (tj. na poloze daného kmitajícího bodu od počátku souřadnic).

Šíření vlnění v prostoru Huygensův – Fresnelův princip: „Dospěje-li vlnění do nějakého bodu prostoru, tento bod se stává zdrojem elementárního vlnění.“ Výsledná vlnoplocha je obalovou plochou elementárních vlnoploch ve směru šíření vlnění. Popis vlnění v prostoru: Uvažujme homogenní (stejnorodé) a izotropní (ve všech směrech stejné fyzikální vlastnosti) prostředí. Vlnění se šíří ve všech směrech stejnou fázovou rychlostí. Vlnoplocha: Je plocha tvořená body, do kterých vlnění dospělo za určitý časový interval, tj. množina bodů kmitajících se stejnou fází Kulová vlnoplocha: Vlnění pocházející z bodového zdroje a). Rovinná vlnoplocha: Máme-li rovinný zdroj vlnění, resp. studujeme-li vlnění ve velké vzdálenosti od bodového zdroje b). Paprsek: Kolmice k vlnoploše a charakterizuje směr šíření vlny.

95

Energie vlnění Je energií jednotlivých hmotných elementů prostředí, kdy každý element má energii kinetickou a energii pružnosti (elastickou). Tato energie se přenáší od zdroje postupně z jednoho elementu prostředí na druhý ve směru šíření vlny. Přenos energie vyjadřuje kvantitativně tok energie a intenzita vlnění.

I. Tok energie: (výkon přenášený vlněním) libovolnou plochou velikosti za určitý časový interval:

Je to energie, která projde zvolenou plochou za jednotku času a jednotkou je watt ( ).

II. Intenzita vlnění:

Je to energie, která prošla za jednotku času jednotkovou plochou postavenou kolmo ke směru šíření vlny a jednotkou je

III. Stanovení intenzity vlnění pro postupnou harmonickou vlnu: Dle vztahu pro celkovou energii harmonického oscilátoru:

kmitá-li s touto energií při šíření vlnění každý bod prostředí, potom energie objemové jednotky je:

Uvedený vztah vyjadřuje hustotu energie vlnění. Intenzita vlnění souvisí s akustickým tlakem: Tlak vyvolaný vlněním šířícím se hmotným prostředím, platí:

Absorpce postupného vlnění Šíří-li se postupná vlna v hmotném prostředí, pak úbytek její amplitudy velikosti:

96

je přímo úměrný její

kde

je součinitel absorpce vlnění v homogenním izotropním absorbujícím prostředí.

Řešením této rovnice je:

kde

je amplituda pro

Protože

.

tak:

což je Lambertův zákon absorpce.

Odraz a lom vlnění na rozhraní dvou prostředí Na rozhraní se část energie dopadajícího vlnění odrazí, část projde do druhého prostředí a část se absorbuje. I. Zákon odrazu

II. Snellův zákon lomu

97

kde

a

jsou fázové rychlosti šíření vlnění v 1. a 2. prostředí.

Při přechodu vlnění z prostředí o větší fázové rychlosti do prostředí s menší fázovou rychlostí se paprsek láme ke kolmici. Při přechodu vlnění do prostředí o větší fázové rychlosti se paprsek láme od kolmice.

Rovina dopadu: Je určena paprsky dopadajícího vlnění a kolmicí k rozhraní v místě dopadu. Odražený a lomený paprsek leží v rovině dopadu.

Úplný odraz (totální reflexe): Dochází k němu při přechodu vlnění z prostředí s menší fázovou rychlostí do prostředí s větší fázovou rychlostí (při lomu od kolmice). Vlna se láme do rozhraní pod úhlem 90°, tj.:

Úhel dopadu, pro který platí:

nazýváme mezním úhlem.

98

Akustické a zvukové vlny Zvuk: Je elastické mechanické postupné vlnění vnímatelné lidským sluchovým orgánem. Což odpovídá mechanickým vlnám s frekvencí 16 Hz – 20 kHz (přibližný rozsah vnímání lidského sluchového orgánu). Největší amplituda výchylek nuceného kmitání a největší citlivost má lidský sluchový orgán pro vlnění ve frekvenčním pásmu 500 Hz – 5 kHz. Dolní mez slyšení je dle uvedeného 16 Hz a horní mez slyšení 20 kHz. Ucho: Přijímač zvuku reagující na změny akustického tlaku. Hlasivky: Mechanický zdroj zvuku. Dutina ústní, nosní, hrtanová a hrudní tvoří rezonanční prostor. Akustické vlny: Patří mezi ně infrazvuk, zvuk, ultrazvuk a hyperzvuk.

Dopplerův jev Christian Doppler (objev r. 1842) Objasňuje vliv pohybu zdroje a přijímače detektoru vlnění na pozorovanou frekvenci zdroje.

„Jestliže se oscilátor, který je zdrojem vlnění a pozorovatel pohybují, pak při vzájemném přibližování je frekvence přijímaného vlnění vyšší a při vzájemném vzdalování naopak nižší.“ I. Zdroj se pohybuje vzhledem ke klidnému pozorovateli v klidném prostředí:

a) zdroj se přibližuje rychlostí

k detektoru

Detektor přijímá vlnění s frekvencí:

99

b) zdroj se vzdaluje rychlostí

od detektoru


II. Detektor se pohybuje vzhledem ke klidnému zdroji v klidném prostředí:

a) detektor se přibližuje rychlostí

ke zdroji


b) detektor se vzdaluje rychlostí

od zdroje


III. Detektor i zdroj vlnění se pohybují: Detektor přijímá vlnění s frekvencí:

Poznámka: Všechny vzorce pro frekvenci

přijímanou detektorem lze odvodit ze vztahu:

Dopplerův jev platí pro všechna vlnění nejen akustická

100

Rezonance Při rezonanci dochází k největšímu přenosu mechanické energie na oscilátor. Proto lze při rezonanci vyvolat i poměrně malou vnější silou velké amplitudy – např. malou silou rozhoupeme i velmi těžký zvon, budeme-li tahat za lano od zvonu v pravidelných časových intervalech, odpovídajících frekvenci jeho vlastního kmitání. Zvuky reprodukované hudby jsou výrazně zesilovány bednami, v nichž jsou zabudované reproduktorové soustavy. Mnohem větší praktický význam má rezonance elektrických kmitů, na níž je založena většina zařízení pro bezdrátovou komunikaci. Závažný dopad má rezonanční kmitání mostů a vysokých budov, které vzniká větry a zemětřeseními. Rezonanci velkých budov se věnuje velká pozornost od události zřícení mostu Tacoma Narrows Bridge 7. listopadu 1940. V roce 1850 způsobila rezonance dokonce zřícení celého mostu v jednom francouzském městě. Po mostě tehdy pochodovala vojenská jednotka a její pravidelný krok byl v rezonanci s vlastní frekvencí mostu. Vojáci svým krokem rozhoupali most natolik, že to jeho konstrukce nevydržela a praskla. Zahynulo přitom 219 lidí. V technické praxi se přihlíží k rezonanci např. při konstrukci továrních hal, strojů a jejich podstavců, trupů letadel, které by se mohly dostat do rezonance s kmitáním vyvolaným chodem motorů apod.

PŘÍKLADY:

2.7-1.

⁄ ⁄ Postupné vlnění je popsáno rovnicí Určete periodu pohybu libovolného bodu, frekvenci, vlnovou délku a fázovou rychlost.

Řešení: (

Srovnáním se základní rovnicí postupné vlny

(

)

)

určíme amplitudu, periodu a vlnovou délku, tj.:

Výpočtem určíme frekvenci podle vztahu

Fázovou rychlost stanovíme z rovnice

Perioda pohybu libovolného bodu je .

; frekvence

101

; vlnová délka

a fázová rychlost

2.7-2.

Napište rovnici postupné vlny, jestliže vlnění má frekvenci , amplitudu výchylky a postupuje rychlostí . Dále určete okamžitou výchylku kmitajícího hmotného bodu ležícího ve vzdálenosti od zdroje vlnění v čase .

Řešení: Hz m

Rovnici postupné vlny určuje vztah

(

)

Jestliže platí

pak

(

Po dosazení dostáváme rovnici ve tvaru

2.7-3.

)

Lidské ucho vnímá frekvence 16 Hz – 20 000 Hz při teplotě 30 C. V jakém intervalu leží příslušné vlnové délky?

Řešení: Hz Hz °C

Pro rychlost šíření zvuku ve vzduchu platí vztah:

Po dosazení číselných hodnot dostáváme:

,

102

Pro vlnové délky zvuku při daných frekvencích platí:

Příslušné vlnové délky leží intervalu

2.7-4.

až

.

Zvuková vlna se vrací do místa rozruchu jakožto ozvěna od kolmé stěny za Jaká je vzdálenost stěny od zdroje zvuku, je-li rychlost zvuku .

Řešení:

Zvuk se šíří v daném prostředí konstantní rychlostí. Pak

Doba potřebná k uražení dráhy k překážce je

Pak po dosazení úpravě a dosazení je

Stěna je vzdálená

2.7-5.

.

Jaký bude největší úhel dopadu, víme-li, že relativní index lomu je

Řešení:

Vyjdeme ze Snellova zákona:

Největší úhel dopadu bude úhel mezný

, kterému odpovídá úhel lomu

103

, odtud

?

.

, po výpočtu

. Největší úhel dopadu, úhel mezný je

2.7-6.

.

Stojaté vlnění vzniklo odrazem postupné vlny s frekvencí 3 kHz o amplitudě 2 mm. Napište jeho rovnici, víte-li, že vlna se šířila rychlostí 333 m.s-1 a určete jeho vlnovou délku.

Řešení:

Stojaté vlnění vzniklo interferencí dvou vlnění postupujících proti sobě, které mají stejné frekvence a amplitudy

kde

(

)

(

)

K úpravě součtu použijeme vztah pro součet sinu úhlů

Po úpravě


. 104

. Vlnovou délku určíme ze vztahu


Rovnice stojatého vlnění je

2.7-7.

a vlnová délka je

.

Vlnění o frekvenci se šíří v nekonečném prostředí. Fázový rozdíl výchylky dvou bodů nacházející se ve vzdálenosti jeden od druhého na přímce se zdrojem rozruch je ⁄ . Určete rychlost vlnění.

Řešení:

Vztah mezi fázovým a dráhovým rozdílem je dán vztahem

, odtud

Pro rychlost platí


⁄ Rychlost vlnění je

.

105

2.7-8.

Zvuková intenzita elektrofonické kytary byla zesílená z . Kolik decibelů představuje zesílení?

na

Řešení:

 Hladiny intenzit zvuku jsou dány vztahy

Pak je rozdíl hladin po úpravě:

Zesílení představuje

2.7-9.

.

Vlny na hladině oceánu pohybují bójkou. Vzdálenost mezi vrcholy vln je , sousední vrcholy vln, jenž dorazí k bójce, jsou v časovém rozestupu . Bójka se klesá a stoupá, její vertikální poloha se mění v rozsahu . Určete amplitudu vlnění; frekvenci vlnění; vlnovou délku; rychlost šíření a počet vln, které dorazí k bójce za .

[

]

2.7-10. Pod jakým úhlem musí dopadnout zvuková vlna na rozhraní vzduch-mosazná deska, aby se od desky úplně odrazila? Rychlost zvuku ve vzduch je a v mosazi . [

]

š

2.7-11. Stojaté vlnění vzniklo interferencí dvou protisměrných vlnění s frekvencí Vzdálenost sousedních uzlů je . Jaká je rychlost původního vlnění? [

]

2.7-12. O kolik procent se musí zvýšit intenzita zvuku, aby hladina intenzity stoupla o [

.

]

106

?

3.

TEKUTINY A TERMIKA

3.1

TEKUTINY TEKUTINY, TLAK, HYDROSTATICKÝ A ATMOSFÉRICKÝ TLAK, VZTLAKOVÁ SÍLA

3.1.1

Tekutiny: kapaliny a plyny Statika kapalin a plynů = Hydrostatika a Aerostatika Tlak v tekutině Definice tlaku: p 

dF , kde dF je kolmá k plošce dS dS

Jednotka: Pa = pascal, P mm Hg) = 133,322 Pa = 400/3 Pa ⃗

Tlaková síla: proměnný:

P (milibar = hektopascal, torr = 1

⃗⃗

⃗ je-li působící tlak všude na ploše stejný:

, je-li tlak

∫

a) tlak vyvolaný vnější silou Pascalův zákon „Tlak v tekutině způsobený vnější silou je ve všech místech stejný (tlak se šíří v tekutině všemi směry, a to rovnoměrně)“

z důvodu nestlačitelnosti kapaliny:

b) tlak vyvolaný vlastní tíhou tekutiny I. Kapaliny hydrostatický tlak (kapalina v klidu, v tíhovém poli Země):

kde

je vnější tlak působící na kapalinu a h je hloubka pod volnou hladinou

107

Pascalův hydrostatický paradox

II. Plyny normální atmosférický tlak: (při 0° C, na hladině moře na 45° severní zeměpisné šířky) barometrická rovnice (závislost atmosférického tlaku na nadmořské výšce): je-li je tlak a hustota vzduchu při hladině moře, pak



určování nadmořské výšky (např. letecké výškoměry)

Archimédův zákon:

Rovnováha: .

PŘÍKLADY: 3.1-1.

Dvě otevřené nádoby tvaru komolého kužele (viz Obr. 3.1-1. A a B), o vnitřních průměrech jsou naplněny dostejné výšky rtutí o hustotě a následně vodou o hustotě .

Určete pro obě kapaliny: a) hydrostatický tlak

u dna nádoby A,

b) hydrostatický tlak

u dna nádoby B,

c) sílu

, kterou kapalina působí na dno nádoby A,

d) sílu

, kterou kapalina působí na dno nádoby B.

108

Obr. 3.1-1 Řešení: Výpis veličin:

Hydrostatický tlak je dán vztahem

, sílu působící na dno nádoby lze odvodit z definičního vztahu pro tlak;

,

, kde

je plocha dna (

resp.

).

Po dosazení:

P ; b)

Rtuť a)

P ; b)

Voda a) 3.1-2.

P ; c)

; d)

P ; c)

. ; d)

.

Čelní betonová stěna požární nádrže má tvar lichoběžníku o rozměrech a výšce . Jakou silou působí voda na stěnu, je-li nádrž naplněna do výše po horní okraj stěny? Předpokládejme, že jedna stěna nádrže je svislá.

Řešení: Výpis veličin:

Elementární síla dF působící na elementární ploch dS v hloubce x pod hladinou je

, je hustota vody.

, je funkcí

(viz obrázek):

.

109

Obr. 3.1-2 Konstanty k a q určíme z okrajových podmínek: Je-li

=>

je-li

=>

.

Odtud:

Tedy

(

)

a celková síla působící na betonovou stěnu je

∫

(

)

(

).

Po dosazení:

F = 173,72 kN. Svislá stěna je namáhána silou F = 173,72 kN.

3.1-3.

Těleso ve tvaru válce o průměru podstavy , výšce a hmotnosti plove v kapalině o hustotě . Zcela ponořené a udržované v klidu je těleso tím, že visí na závěsu v kapalině o hustotě .

Určete: a) vztlakovou sílu b) hustotu

, působící na plovoucí těleso,

jestliže tah v závěsu je

.

110

Obr. 3.1-3 Řešení: Výpis veličin: d = 4 cm h = 5 cm m = 8,8.10-2kg a) Vztlakovou sílu ,určíme z rovnováhy sil;síla tlaková (tíhová síla tělesa)=síla vztlaková (tíha vytlačené kapaliny), Po dosazení:

Vztlaková síla je

.

b) Hustotu určíme z rovnice pro rovnováhu sil; síla tlaková (tíhová síla tělesa)=síla vztlaková (tíha vytlačené kapaliny) + tahová síla , kde vytlačené tělesem=objem tělesa);

,

( )

,

[

(objem kapaliny

( )

]

Po dosazení:

[

(

)

]

Hustota kapaliny pro zadané podmínky je 3.1-4.

.

Cisterna s vodou jela rychlostí . Řidič začal rovnoměrně brzdit a zastavil po . Vypočtěte, jaký úhel s vodorovnou rovinou svírala během brzdění hladina vody v cisterně.

[18º 46´] 111

3.1-5.

Vypočítejte účinnost pohotovostního zvedáku, u něhož při poměru zdvihů 160:1 působí na tlačném pístu síla a na pracovním síla .

[0,876] 3.1-6.

Pohotovostní dřevěný vor hustoty a tloušťce

ve tvaru desky o rozměrech plove po hladině nádrže.

a) Jaká vztlaková síla působí na vor? b) Kolik lidí průměrné hmotnosti chodidla?

může na voru stát, aniž by si namočili

c) Zůstane-li na voru pouze 1 člověk, do jaké hloubky bude vor ponořen? [5,3 kN;5 lidí; 7,6cm] 3.1-7.

Stanovte

a) jakou hmotnost má vzduch v místnosti, b) jakou tíhou působí vzduch na podlahu, c) jakou silou při daném tlaku působí vzduch na podlahu, víte-li, že hustota vzduchu při tlaku

(tlak vzduchu v místnosti) je

[42,7 kg; 419N; 1,5.106N] 3.1-8.

Trajekt tvaru hranolu má délku , šířku a užitnou loubku ponoru , kde je ponor trajektu bez nákladu. Zjistěte:

a) kolik vagonů o celkové nosnosti 50 t převeze při maximálním ponoru, b) jaký bude ponor trajektu s nákladem 120 cisteren jedna o hmotnosti 7 t. [960 vagonů;

]

Pozn.: Do skript není zařazen příklad k řešení naložení a stability lodi na vodní hladině. Ten lze řešit pomoci popisu tělesa s proměnnou polohou těžiště. Tento fyzikální případ však přesahuje rozsah těchto skript.

112

3.1.2

PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ KAPALINY

Dynamika kapalin a plynů =Hydrodynamika a Aerodynamika Ustálené proudění ideální kapaliny  v2

S2 S1 +

 v1

+

Rovnice spojitosti toku (kontinuity)

…… rovnice kontinuity



Objemový tok:

jednotka:

Bernoulliova rovnice



„Objemová hustota energie proudící ideální kapaliny je stálá a ve všech bodech trubice stejná.“ p1

S1  v1

h1

S2 p2 h2

 v2

kde zleva jednotlivé členy levé strany rovnice vyjadřují hustotu tlakové potenciální energie proudící kapaliny, hustotu potenciální tíhové energie a hustotu kinetické energie proudící kapaliny. Z rovnice tedy vyplývá, že: 

to vyjadřuje zákon zachování mechanické energie proudící ideální kapaliny (součet všech mechanických energií obsažených v objemové jednotce kapaliny musí být stálý)

Rovnice pro vodorovnou trubici:



Pozn.: Jestliže při proudění tekutiny ve vodorovné proudové trubici vzrůstá rychlost částic tekutiny, pak klesá její tlak a obráceně.

Výtok kapaliny otvorem v nádobě: výtoková rychlost kapaliny je dána Torricelliho vztahem

113

√



výtoková rychlost nezávisí na hustotě kapaliny a je stejná, jako kdyby kapalina padala volným pádem z výšky h

Ustálené proudění skutečné kapaliny



reálná kapalina není dokonale tekutá, projevuje se vnitřní tření (viskozita), část tlakové energie se mění postupně podél trubice ve vnitřní energii kapaliny W (zvýší se její teplota)

Vnitřní tření síly vnitřního tření mají směr tečen k povrchu jednotlivých vrstev proudící kapaliny



závisejí na druhu kapaliny

kde  je součinitel dynamické viskozity (je funkcí teploty) jednotka: P tečné napětí:

[

kinematická viskozita: 

] [

]

viskozita tekutin je funkcí teploty a tlaku

Proudění laminární a turbulentní a) nevírové (potenciálové) proudění b) proudění skutečné kapaliny:



proudění reálné kapaliny charakterizuje bezrozměrná veličina nazývaná Reynoldsovo číslo pro proudění kapaliny trubicí kruhového průřezu je:

114

kde v je velikost střední rychlosti proudění, d je průměr trubice, je kinematická viskozita a) laminární proudění b) turbulentní proudění  přechod od laminárního proudění k turbulentnímu je dán překročením kritického Reynoldsova čísla , z experimentů bylo stanoveno ̇ .

PŘÍKLADY: 3.1-9.

Vypočítejte, jakou rychlostí proudí voda v potrubí o průměru 20 cm, pro hmotnostní tok , víte-li že, hustota vody je .


Pro hmotnostní tok

a objemový tok

platí vztah

Pro proudovou trubici platí rovnice kontinuity

Po dosazení:

Rychlost vody v potrubí je

.

3.1-10. Trubicí o průměru 12 cm proudí voda rychlostí vytékat z trysky o průměru1 cm? Řešení: Výpis veličin:

Z rovnice kontinuity

plyne:

(

) 115

. Jakou rychlostí bude

Po dosazení:

Rychlost vody vytékající z trysky je

.

3.1-11. Vodorovnou trubicí o průřezu proudí voda rychlostí . Tlak vody je P . Jakou rychlost a jaký tlak má voda v rozšířeném místě trubice, kde má trubice průřez . Hustota vody je . (Vodu považujte za ideální kapalinu.) Řešení: Výpis veličin:

P

Z rovnice kontinuity plyne:

. Z Bernoulliho rovnice:

Získáme vztah

[

( ) ]

Po dosazení:

[ V rozšířeném místě je rychlost

(

) ]

P P , rychlost se snížila a tlak zvýšil.

a tlak

116

3.1-12. Nádoba válcového tvaru, jejíž plošný průřez je , je naplněn do výšky h vodou. Ve dně nádoby je otvor plošného průřezu . Určete čas, za který hladina vody klesne na . (Vodu považujte za ideální kapalinu.) Řešení: Kapalina vytéká rychlostí, která je závislá na výšce její hladiny nad otvorem podle vztahu (Torricelliho vzorec)

√ kde y je výška hladiny v nádobě, měřeno od výtokového otvoru. Za čas

vyteče z nádoby otvorem

objem

(viz obr.)

√

Obr. 3.1-12 Tento objem

je roven úbytku kapaliny v nádobě

Pak

√

.

√

Čas, za který klesne hladina o

√

∫

získáme integrací v mezích

√ (√

)

3.1-13. Jaký minimální výkon musí mít motor důlního čerpadla, které při průměru pístu a zdvihu má dodávat z hloubky objem za minutu? Měrná hmotnost znečištěné vody je a účinnost zařízení je . [

] 117

3.1-14. Do uzavřené nádrže s otvorem ve dně je čerpadlem vháněna voda pod tlakem P . Jakou rychlostí musí vytékat voda otvorem ve dně, aby hladina zůstávala ve výšce nad dnem? [

]

3.1-15. V nádobě je voda s hladinou ve výšce . Jak vysoko nade dnem je třeba umístit ve stěně nádoby otvor, aby voda stříkala co nejdále na vodorovnou rovinu, na které je nádoba umístěna? [

]

118

3.2

TERMIKA TEPLOTA A TEPLO, ROZTAŽNOST LÁTEK

Teplotní roztažnost látek

a) délková roztažnost pevných látek: Přírůstek délky při zahřátí o , kde druhu látky, uspořádání částic a teploty).

je součinitel teplotní délkové roztažnosti (je funkcí

U homogenních a izotropních látek při malých teplotních rozdílech lze považovat součinitel [ ] konstantní – délkový rozměr se mění lineárně:

za

b) objemová roztažnost pevných látek: Pro homogenní a izotropní tělesa je roztažnost ve všech směrech stejná, tj:

kde

Pozn.:Výrazná teplotní změna může způsobit vážné komplikace např. v dopravě při změně rozměrů ocelových kolejnic (viz př. 3.2.1-8), resp. při průhybu rozžhavených nosníků při požárech budov, což významně ovlivňuje zásah hasičů. Bylo experimentálně prokázáno, že průhyb nechráněných prolamovaných ocelových nosníků (na 8 m délky) je při teplotě 480 °C při asi 135 mm, při teplotě 770 °C je to již 378 mm. Průhyb nosníků s vlnitou stojinou potvrzují její větší odolnost: při teplotě 780 °C průhyb činil 256 mm. [Zdroj: http://www.tzb-info.cz/5313-zprava-o-pozarni-zkousce-na-experimentalnim-objektu-v-mokrsku]

c) objemová roztažnost kapalin: Při malých teplotních rozdílech:

kde  je součinitel teplotní objemové roztažnosti kapalin

.

Pro větší teplotní rozdíly vyjadřujeme objem kvadratickou funkcí teploty, tj.:

Pozn.:Anomálie vody • Při zvyšování teploty vody od 0°C do 3,99°C se objem vody zmenšuje a její hustota se zvyšuje. • Hustota vody je největší při teplotě 3,99°C. • Při zvyšování teploty nad 3,99°C dochází ke zvětšování objemu vody (tj. snižování hustoty vody).

d) objemová roztažnost plynů: Při malých teplotních rozdílech a konstantním tlaku:

119

e) závislost hustoty na teplotě u pevných látek: Předpokládejme lineární objemovou roztažnost

Je-li součin

malý vzhledem k jedné, lze zjednodušit na tvar:

Příklady:

3.2-1. Mějme hliníkové těleso, které má při teplotě těleso z hliníku stejného objemu při teplotě hliníku je .

tíhu . Jakou hmotnost má jiné ? Součinitel délkové roztažnosti


N

kg

C C 

K



K



Hmotnost teplejšího tělesa je dána Hmotnost chladnějšího tělesa je analogicky:

, neboť objemy obou těles jsou shodné.

Z těchto rovnic lze vyjádřit objem těles:

Z pravé strany rovnice získáme hledanou hmotnost chladnějšího tělesa:

Při změně teploty tělesa se mění hustota podle přibližného vztahu:

120

Pro zmíněná hliníková tělesa analogicky platí:

Dosaďme vztahy pro závislost hustoty na teplotě do vztahu pro hmotnost

:

Po číselném dosazení je hmotnost chladnějšího tělesa

3.2-2.

Expanzní nádoba v topném okruhu slouží k vyrovnání změn objemu vody. V případě pokojové teploty koluje v okruhu vody. Jak se naplní vyrovnávací nádoba za provozu ústředního topení při teplotě ? Roztažnost topného systému při zvýšení teploty zanedbejte. Součinitel objemové roztažnosti vody je .


kg

 

C

K

C

K

K K

Konečný objem vody v oběhovém systému po zahřátí na provozní teplotu je dán vztahem pro objemovou roztažnost kapalin:

Změna objemu vody vzhledem k původnímu stavu je:

Tento objem vody naplní vyrovnávací expanzní nádobu, po číselném dosazení:

3.2-3.

.

Ve zcela naplněné skleněné baňce s kapilárou je rtuť o objemu při teplotě . Po zahřátí skleněné nádoby i s obsahem na přeteče ven rtuti. Jaký je součinitel objemové roztažnosti rtuti, pokut uvážíme i roztažnost skleněné nádoby, který je označován jako zdánlivý součinitel roztažnosti rtuti. Součinitel objemové roztažnosti rtuti je , součinitel objemové teplotní roztažnosti skla je . 121

Řešení: výpis veličin:

V0 = 100 cm3 = 1.10-4m3 ... počáteční objem rtuti i skleněné nádoby byl totožný V = 1 cm3 = 1.10-6 m3

t = 80 °C

T = 80 K

r =2.10-4 K-1 s =36.10-6 K-1 Změna objemu rtuti je:

Změna objemu skleněné nádoby:

Tyto rovnice od sebe odečteme a dostaneme rovnici:

Výraz na levé straně rovnice představuje objem rtuti, která z nádoby po zahřátí přeteče ven, výraz v závorce na pravé straně (rozdíl skutečných součinitelů obj. roztažnosti) odpovídá hledanému zdánlivému součiniteli objemové roztažnosti rtuti, tedy:

Vyjádřeme neznámou veličinu:

po číselném dosazení je

3.2-4.

= 1,25.10-4 K-1.

Tenká zinková obruč má při teplotě 0 °C průměr 1,5 m. Jak se změní počet otáček, pokud tuto obruč kutálíme po vodorovné dráze v délce 200 m při teplotě 50 °C a 50 °C? Teplotní součinitel délkové roztažnosti zinku je 29.10-6 K-1.


   122

Nejprve si vyjádříme počet otáček, které obruč vykoná při teplotě

Na dráze délky tedy obruč vykoná

, což určíme z obvodu obruče:

otáček:

Po číselném dosazení:

otáček Pokud obruč zahřejeme na teplotu roztažnost:

, změní se obvod obruče podle vztahu pro délkovou teplotní

čímž se změní i počet otáček na stejné dráze délky :

Po číselném dosazení: méně otáček.

otáček, což je vzhledem k výchozímu stavu přibližně o

Analogicky stanovíme změnu obvodu a počtu otáček při teplotě


3.2-5.

otáček, což je vzhledem k výchozímu stavu o

[

3.2-7.

více otáček.

Homogenní ocelový válec má při pokojové teplotě průměr podstavy a výšku . Pokud těleso ponoříme do vodní lázně teploty , o kolik se po vyrovnání teplot změní obsah jeho podstavy, výška válce, celkový objem? Na jakou teplotu by bylo nutné zahřát těleso, aby se jeho objem zdvojnásobil? Je to reálné? Teplotní součinitel délkové roztažnosti oceli je . - je to nereálné, teplota je nad

[ teplotou tání oceli]

3.2-6.

:

Základem bimetalového teploměru jsou dva tenké kovové proužky, které jsou pevně spojeny. Jedná se o proužek ocelový a zinkový, jejichž součinitele teplotní délkové roztažnosti jsou a . Při teplotě má ocelový pásek délku , zinkový a shodné příčné rozměry. Určete: A) při jaké teplotě mají stejnou délku, B) při jaké teplotě mají stejný objem? ]

Skleněná nádoba naplněná až po okraj naftou při teplotě hmotnost . Zahřejeme-li nádobu i s obsahem na teplotu 123

má celkovou , část obsahu

kanystru přeteče a výsledná hmotnost je . Určete součinitel objemové roztažnosti nafty: A) jestliže zanedbáme změnu rozměrů nádoby, B) uvažujeme-li teplotní součinitel délkové roztažnosti technického skla . [

3.2-8.

]

Ocelová kolejnice má při teplotě délku . Jaké bude prodloužení kolejnice na trati délky , jestliže se kolejnice v letních měsících zahřeje až na , resp. jaké bude její zkrácení v zimě, je-li teplota -10 °C. Teplotní součinitel délkové roztažnosti oceli .

[prodloužení o

, zkrácení o

]

3.2 -9.* Železné kyvadlo v hodinách kývá jako fyzické kyvadlo kolem vodorovné osy kolmé na tyč, procházející jedním koncem. Hodiny fungují správně při teplotě . Určete, při jaké teplotě dojde ke zpožďování hodin o za každých , je-li součinitel délkové roztažnosti železa ? [

]

124

3.3 KALORIMETRICKÁ ROVNICE, FÁZOVÉ PŘECHODY Tepelná kapacita. Měrné a molární teplo. Tepelná kapacita tělesa: , kde je měrná tepelná kapacita tělesa d

d d

d

Celkové teplo, které látka o hmotnosti m přijme (za předpokladu z teploty na :

) ohřeje-li se

∫ d

Molární tepelná kapacita:

Kalorimetrická rovnice Pro dvě tělesa, která jsou izolována od okolí a chemicky na sebe nepůsobí (a při tepelné výměně nedochází ke změně skupenství): 1. těleso … a 2. těleso … , kde -

teplo vydané teplejším tělesem je rovno teplu přijatému tělesem chladnějším teplota obou těles se vyrovná …

Obecně pro větší počet těles:

Fázové přechody (změny skupenství) - skupenské teplo tání/tuhnutí, sublimace/desublimace, vypařování/kondenzace:

kde je měrné skupenské teplo daného procesu pro určitou část termodynamické soustavy(TDS). Potom vždy platí:

Příklady:

125

3.3-1.

Na teploměru ve vzduchu je zobrazena teplota , po jeho ponoření do vody se teplota zvýší o . Určete tepelnou kapacitu teploměru, jestliže měření teploty vodní lázně probíhá ve vodě o hmotnosti , jejíž měrná tepelná kapacita je a teplota vody před měřením byla .


C

K

C C g

K

konečná teplota

kg

C

K

Mezi teploměrem a vodou došlo k tepelné výměně, jejíž energetickou bilanci vyjadřuje kalorimetrická rovnice – rovnice rovnováhy mezi teplem přijatým teploměrem a teplem, které odevzdala vodní lázeň: Teplo odevzdané vodou:

Teplo přijaté teploměrem:

Dosazení do kalorimetrické rovnice:

Vyjádření hledané tepelné kapacity teploměru:


.

Tepelná kapacita uvedeného teploměru je

3.3-2.

.

Kolik tepla musíme dodat ledu teploty , abychom z něj získali právě vody, přičemž zbytek bude nadále ledem a soustava voda-led bude v tepelné rovnováze? Měrná tepelná kapacita vody je , měrná tepelná kapacita ledu je

126

,

měrné

skupenské

teplo

tání

ledu

je

. Řešení: Výpis veličin:

Ze zadání vyplývá, že výsledným stavem soustavy bude rovnováha vody a ledu, tedy kapaliny a pevné fáze, která za normálního tlaku odpovídá teplotě . Aby k tomu došlo, musí led projít dvěma procesy: - veškerý led se musí ohřát na teplotu

- část ledu musí při teplotě

, k čemuž potřebuje teplo:

roztát ve vodu:

Celkové teplo je tedy rovno dílčích tepel Po číselném dosazení je teplo

.

.

Zadaná měrná tepelná kapacita vody je v tomto příkladu nadbytečná a při řešení příkladu není potřeba. Ledu je třeba dodat celkově

3.3-3.

tepla.

Do tepelně izolované nádobě bylo vloženo vody o teplotě a ledu teploty . Kolik syté páry teploty je třeba dodat, aby výsledná teplota soustavy po ustálení rovnováhy byla ? Měrná tepelná kapacita vody je , měrná tepelná kapacita ledu je měrné skupenské teplo tání ledu je , měrné skupenské teplo varu vody je . Tepelnou kapacitu nádoby a výměnu tepla s okolím zanedbejte.


127

Pro řešení použijeme kalorimetrickou rovnici, která vyjadřuje rovnováhu mezi přijatým a odevzdaným teplem v termodynamické soustavě. Teplo odevzdává voda a sytá pára při těchto procesech: - voda se ochlazuje na výslednou teplotu 12 °C: - pára kondenzuje při teplotě 100 °C na vodu o téže teplotě: - voda vzniklá kondenzací páry se ochlazuje na 12 °C: Součet těchto tepel vyjadřuje celkové odevzdané teplo v systému.

Teplo přijímá led při těchto procesech: - led se ohřívá na teplotu

:

- led taje při teplotě 0 °C na vodu o téže teplotě: - voda vzniklá z ledu se ohřívá na teplotu

:

Sestavení kalorimetrické rovnice pro tento případ: Q1 + Q2 + Q3 =Q4 + Q5 + Q6 Po dosazení do kalorimetrické rovnice a vyjádření neznámé veličiny (hmotnost syté páry dostáváme rovnici:


.

Aby byla výsledná teplota termodynamické soustavy

3.3-4.

)

, je třeba do systému dodat

syté páry.

Do kalorimetru obsahujícího vody o teplotě , přidáme ledu o teplotě . A) Určete teplotu soustavy v kalorimetru po ustálení rovnováhy a množství ledu a

128

vody, které budou v rovnováze. B) Jak se změní výsledná teplota a poměr fází v případě, že tepelné výměny se účastní i kalorimetr o tepelné kapacitě . Měrná tepelná kapacita vody je , měrná tepelná kapacita ledu je , měrné skupenské teplo tání ledu je . Řešení: Výpis veličin:

A) Teplo, které voda odevzdá do soustavy při ochlazení na

:

, po číselném dosazení vyjde Teplo, které potřebuje led, aby se ohřál na teplotu t0 = 0 °C: , po číselném dosazení Rozdíl těchto tepel (odevzdané

kde

a přijaté

) určuje teplo využité na tání ledu:

je množství ledu, které se roztaví ve vodu při teplotě


.

.

Výsledná teplota soustavy po ustanovení rovnováhy bude systému bude a množství ledu bude .

, přičemž celkové množství vody v

B) Bude-li se tepelné výměny účastnit i nádoba s vodou a ledem, předpokládejme, že její výchozí teplota bude shodná s teplotou vody v této nádobě, tj. . Teplo, které voda odevzdá do soustavy při ochlazení na

129

:

, po číselném dosazení vyjde Teplo, které potřebuje led, aby se ohřál na teplotu t0 = 0 °C: , po číselném dosazení Teplo, které kalorimetr odevzdá do soustavy při ochlazení na , po dosazení vyjde

:

.

Teplo, které je využito na tání ledu:

kde

je množství ledu, které se roztaví ve vodu při teplotě


.

.

Výsledná teplota soustavy po ustanovení rovnováhy bude i v případě účasti kalorimetru 0 °C, přičemž celkové množství vody v systému bude 0, 326 kg a množství ledu bude 0,274 kg.

Do vody o objemu a teplotě vložíme dvě rozžhavená tělesa, ocelové a měděné, jejichž společná teplota je a celková hmotnost obou těles je . Jaká bude výsledná teplota soustavy po ustálení rovnováhy, jestliže proces probíhá v uzavřené nádobě se zanedbatelnou tepelnou kapacitou. Pokud by bylo do vody vloženo pouze ocelové těleso, výsledná teplota soustavy by byla . Měrná tepelná kapacita vody je , oceli , mědi .

3.3-5.

[

]

V tepelně izolované nádobě jsou vody o teplotě . Kolik tepla musíme do soustavy dodat, aby voda začala vřít a během varu se odpařila třetina vody? Měrná tepelná kapacita vody je , měrné skupenské teplo varu vody je . Uvažujte, že se a) nádoba neúčastní procesu, b) tepelné výměně podléhá i kalorimetr o tepelné kapacitě .

3.3-6.

[

]

Do nádoby s vodou teploty se teplota soustavy ustálí na

3.3-7. [

3.3-8.

vložíme ledu o teplotě . Po ustálení rovnováhy . Určete, jaké množství vody bylo na počátku v nádobě.

]

Sada ocelových plátů o celkové hmotnosti ponořena do olejové kalicí lázně

130

o

byla zahřáta na teplotu teplotě . Hustota

a následně oleje je

, měrná tepelná kapacita oleje , měrná tepelná kapacita oceli .Určete, jaký objem musí mít olejová lázeň, aby konečná teplota oleje byla . Uvažujte, že při procesu a) nedochází k tepelným ztrátám, b) dochází k tepelných ztrát zářením. [

3.3-9.

[

]

Máte neomezené množství ledu o teplotě a syté vodní páry o teplotě . Kolik čeho potřebujete na přípravu vody o teplotě ? Měrná tepelná kapacita vody je , měrná tepelná kapacita ledu je , měrné skupenské teplo varu vody je , měrné skupenské teplo tání ledu je . ]

131

3.4 DĚJE

STAVOVÁ ROVNICE IDEÁLNÍHO PLYNU, JEDNODUCHÉ

Kinetická teorie plynů Střední kvadratická rychlost molekul plynu: √ kde

je Boltzmannova konstanta.

Střední energie molekuly jednoatomového plynu: ̅ Tlak ideálního plynu:

Stavová rovnice ideálního plynu:

kde

je molární plynová konstanta,

je Avogadrova konstanta:

Stavová rovnice pro přechod mezi dvěma stavy plynu v uzavřené nebo izolované soustavě: resp.

Stavová rovnice reálného plynu:

Van der Waalsova rovnice pro 1 mol plynu: (

)

132

Van der Waalsova rovnice pro n molů plynu: (

)

Vratné děje v ideálním plynu:

1) izochorický děj: d

Charlesův zákon

2) izotermický děj: ů

d

ů

3) izobarický děj: ů

d

4) adiabatický děj: P

ů

.

Příklady: 3.4-1.

V litrové nádobě je stlačený kyslík při teplotě a tlaku P . Při jaké teplotě dojde ke smrštění nádoby o 1/10 původního objemu a tím ke zvýšení tlaku plynu uvnitř o P ? Jakou hustotu bude mít plyn ve výchozím a koncovém stavu, je-li jeho molární hmotnost ?


133

P P

Stavová rovnice pro přechod mezi dvěma rovnovážnými stavy uzavřené soustavy ideálního plynu je ve tvaru:

Odsud vyjádříme konečnou teplotu Po číselném dosazení Stanovení hustoty kyslíku určíme ze stavové rovnice:

Vyjádření hustoty ve výchozím stavu:

analogicky pro konečný stav:


3.4-2.

.

V nádobě s vadným ventilem je stlačený vodík. Při teplotě je výchozí tlak vodíku P . Plyn je uzavřen v nádobě o objemu . Po určité době má plyn v nádobě teplotu při stejném tlaku. Jaké množství plynu muselo mezitím z nádoby uniknout?


P P

- předpokládejme, že se objem nádoby nemění - protože se mění počet částic v termodynamické soustavě, nelze použít rovnici pro izochorický děj Pro každý stav (výchozí a koncový) platí stavová rovnice:

134

Tuto dvojici rovnic je třeba řešit jako soustavu, např. vydělením rovnic:

Za neznámou koncovou hmotnost dosadíme ze stavové rovnice:

Hledaná veličina je tedy dána:

po číselném dosazení

.

Hmotnost kyslíku, která při ději unikla, je dána rozdílem hmotností plynu ve výchozím a konečném stavu, tedy , což je číselně .

3.4-3.

Tlaková nádoba obsahuje oxidu uhličitého. Po spojení nádoby s evakuovanou baňkou dojde k poklesu tlaku na čtvrtinu původní hodnoty. Jaký objem musela mít připojená baňka? Předpokládejte, že při tomto procesu nedošlo k žádné teplotní změně.

Řešení: výpis veličin:

Po spojení obou nádob bude vnitřní objem Stavová rovnice pro izotermický děj je ve tvaru: Úprava rovnice a vyjádření hledané veličiny:

135


.

3.4-4. V nádobě smísíme vodíku a kyslíku při teplotě za tlaku P . Určete, jakou hustotu bude mít směs plynů v nádobě. Relativní atomová hmotnost vodíku je 1, u kyslíku je to 16. Řešení: Výpis veličin:

P

Stavová rovnice pro rovnovážný stav plynu je dána: resp.: Do rovnice dosaďme vztah vyjadřující souvislost mezi hmotností, objemem a hustotou soustavy: , kde nádobě, tedy

je celková hmotnost a

úhrnné látkové množství směsi plynů v

,

Dosazení do stavové rovnice: Vyjádření hledané veličiny:

Po číselném dosazení je hustota směsi 0,235 kg.m-3.

3.4-5.

[

Plyn uzavřený v nádobě s pružnými stěnami expandoval za konstantního tlaku o svého objemu, přičemž jeho teplota při expanzi dosáhla . Určete počáteční teplotu plynu.

]

3.4-6.

Na dně jezera je vzduchová bublina o poloměru a stoupá z hloubky Jaký bude mít poloměr na hladině, jestliže teplota u dna je a na hladině děje za normálního atmosférického tlaku.

136

k hladině. . Vše se

[

]

V nádobě tvaru válce s pohyblivým pístem je uzavřen vodík za normálního tlaku. Výška nádoby je , při kompresi dojde k posunutí pístu o směrem do nádoby. Jaký bude výsledný tlak plynu, jestliže došlou současně k nárůstu teploty o ?

3.4-7.

[

P ]

vzduchu se při teplotě a tlaku P adiabaticky komprimuje na pětinu svého původního objemu. Určete výsledný tlak a teplotu. Poissonova konstanta pro vzduch je .

3.4-8. [

P

]

137

3.5

TEPLO, PRÁCE, 1. TERMODYNAMICKÝ ZÁKON

První termodynamický zákon: Dle zákona zachování energie:

Matematicky lze první termodynamický zákon vyjádřit také ve formě:

Pozn.: Do 1. termodynamického zákona dosazujeme za včetně znamének: … práci koná termodynamická soustava … práci termodynamická soustava spotřebovává (práci konají okolní tělesa) … přírůstek vnitřní energie … úbytek vnitřní energie … teplo dodané soustavě … teplo odevzdané soustavou okolí

Práce plynu: Celková práce vykonaná při změně objemu z

na

:

∫

Vnitřní energie soustavy ideálního plynu o molekulách (vnitřní energie je rovna součtu kinetických energií molekul ideálního plynu): ̅ kde i = 3, 5, 6 pro 1 – atomové, 2 – atomové a 3 a více – atomové molekuly.

Molární tepelné kapacity ideálního plynu Mayerův vztah:

138

kde tlaku.

je molární tepelná kapacita při stálém objemu a

je molární tepelná kapacita při stálém

Poissonova konstanta:

Tepelné kapacity: plyny

cmV

cmp



jednoatomové

3 Rm 2 5 Rm 2 3Rm

5 Rm 2 7 Rm 2 4 Rm

5 3 7 5 4 3

dvouatomové 3 a víceatomové

Změna vnitřní energie: d kde

⁄

d

, resp.

První termodynamický zákon:

a) pro 1 mol plynu

b) pro m kilogramů plynu

Vratné děje v ideálním plynu:

1) izochorickýděj:

2) izotermický děj: ∫

139

3) izobarický děj: Práce plynu:

∫

∫

4) adiabatický děj: d

d

d resp.

Kruhové děje (cykly) Účinnost Carnotova kruhového děje:

Hasicí přístroje (ČSN EN-3) :

a) práškový: Nejuniverzálnější hasicí přístroj se používá v průmyslu, zemědělství, obchodu, v provozovnách služeb anebo v domácnostech, stejně tak v lékařských ordinacích a muzeích. Hasicí přístroj obsahuje hasicího prášku ABC. Používá se na čerpacích stanicích PHM a LPG, v letištních hangárech, rafineriích ropy, skladech ropných produktů, barev, ředidel apod. b) sněhový (CO2): Hasicí přístroj obsahuje zkapalněný oxid uhličitý, který se po použití odpaří a nezanechá žádné zbytky hasicí látky, čímž nedojde k dalším škodám a zničení zařízení, které nebylo dosud poškozeno požárem (elektrorozvodny, trafostanice, strojovny výtahů, potravinářské provozy atd.). Za dodržení bezpečnostních podmínek lze použít i na elektrické zařízení pod napětím až do 110kV. Speciálním druhem je antimagnetický sněhový prostředek, který je určen k hašení požárů v prostorách s výskytem magnetického pole (např. magnetická rezonance MRI). Veškeré části zařízení jsou vyrobeny z nemagnetických materiálů. Hasicí médium je oxid uhličitý, který při použití nepoškozuje jemnou mechaniku a neznečišťuje okolí. c) vodní:Hasí pevné organické látky, jako je dřevo, papír, seno, sláma, textil atd. Tento hasicí přístroj obsahuje potaš (mrazuvzdornou přísadu), díky níž je možné ho používat při okolní teplotě až do -20 °C. Používá se v archívech, kůlnách, senících a všude jinde, kde hrozí nebezpečí požáru pevných látek apod. Z bezpečnostních důvodů se nesmí tento hasicí přístroj používat na hašení elektrického zařízení pod napětím. d) pěnový: Vhodný pro hašení požárů polárních i nepolárních hořlavých kapalin, jako např.: benzín, nafta, oleje, ředidla, nátěrové hmoty a líh, dále také na pevné organické látky, kde kromě ochlazovacího účinku vody, která tvoří více než 90% náplně, je významný i dusivý účinek vytvořením pěnového „koberce“. Používá se na hašení 140

požárů v drogeriích, lékárnách, příručních skladech hořlavých kapalin apod. Z bezpečnostních důvodů se nesmí tento hasicí přístroj používat na hašení elektrického zařízení pod napětím. Výhřevnost paliv: Výhřevnost je vlastnost paliva udávající, kolik tepelné energie se uvolní během spálení jedné jednotky, která je obvykle udávána v kilogramech. Záleží ale na mnoha jiných faktorech, které během uvolňování tepla působí na výhřevnost. Jde hlavně o vlhkost paliva, vzduchu, místo zdroje a čerpání paliva. Proti spalnému teplu není v hodnotě zahrnuto měrné skupenské teplo páry, obsažené ve spalinách. Předpokládá se, že její teplo je nevyužitelné a uniká v plynném stavu se spalinami.

kde

je uvolněné teplo při spalování a m je hmotnost paliva [

]

Příklady: 3.5-1.

Mějme dusík uzavřený v nádobě o objemu práci plyn vykoná, jestliže za stálého tlaku

. Jak se změní vnitřní energie plynu a jakou P expanduje na objem .


P

1. termodynamický zákon je ve tvaru: vnitřní energie a je práce vykonaná plynem.

, kde

je dodané teplo do soustavy,

změna

Změna vnitřní energie je dána vztahem: Teploty nejsou dány, ale můžeme je vyjádřit ze stavových rovnic pro počáteční a koncový stav plynu:

Při odečtení těchto rovnic získáme:

Dosaďme do rovnice pro změnu vnitřní energie za výraz tedy:

141

levou stranu získané rovnice,

Po číselném dosazení je změna vnitřní energie rovna

.

Vykonaná práce při izobarickém ději je dána rovnicí:

Po číselném dosazení je vykonaná práce plynem rovna

3.5-2.

.

Při izotermickém ději za teploty dochází k expanzi dvou kilomolů ideálního plynu na třetinový tlak. Jakou práci plyn vykoná?


Elementární vykonaná práce při izotermickém ději je dána rovnicí: d

d

Celková vykonaná práce je tedy: ∫ d Za neznámý tlak dosadíme výraz ze stavové rovnice ideálního plynu:

Vykonaná práce: ∫ d

∫

d

∫

d

ln

Poměr objemů výchozího a koncového stavu lze nahradit převráceným poměrem tlaků, což vyplývá ze stavové rovnice pro izotermický děj:

Vykonaná práce: ln

ln

Po číselném dosazení je vykonaná práce rovna

ln3 .

142

3.5-3.

Vzduch o hmotnosti a teplotě se adiabaticky komprimuje o objemu. Určete výslednou teplotu a dodanou práci.

původního


Adiabatický děj popisuje Poissonova rovnice:

Vzduch je považován za ideální dvou-atomový plyn, poissonova konstanta pro adiabatický děj je tedy:

V Poissonově rovnice je nutno nahradit neznámé hodnoty tlaků výchozí a konečnou teplotou, které vyplývají ze stavových rovnic pro oba stavy:

Po dosazení do Poissonovy rovnice

( )

(

:

)

(

)

Po číselném dosazení je konečná teplota 373,4 K

Práce, kterou je nutno dodat pro adiabatické stlačení plynu, je dána:

143

Dosaďme za výrazy v závorce pravé strany stavových rovnic pro výchozí a koncový stav:

Po číselném dosazení je vykonaná práce při adiabatické kompresi rovna

Tepelný stroj, který pracuje na základě ideálního Carnotova cyklu, přijímá během jednoho cyklu od ohřívací lázně o teplotě tepla. Jakou maximální práci může plyn vykonat, jestliže teplota chladicí lázně je ?

3.5-4.

[

]

Kolik tepla je třeba dodat kyslíku o teplotě , aby za konstantního normálního tlaku vykonal práci ? Jaký bude výsledný objem a teplota plynu?

3.5-5. [

]

Kyslík o hmotnosti , teplotě a tlaku P podléhá adiabatickému stlačení na polovinu původního objemu a následné izotermické expanzi na původní objem. Určete konečný tlak, teplotu a objem plynu a práci, kterou plyn při izotermickém ději vykonal.

3.5-6.

[

P

]

Při práci Dieselova spalovacího motoru přijímá pracovní látka od ohřívače teplo a chladiči odevzdá teplo . Teplota ohřívače je , teplota chladicí lázně . Určete skutečnou účinnost motoru a maximální možnou účinnost, jakou by motor mohl mít, kdyby pracoval na základě ideálního Carnotova cyklu.

3.5-8.

[

]

Jaké množství tuhých paliv je potřeba spálit, aby uvolněným teplem bylo možné ohřát vody z pokojové teploty k bodu varu a při této teplotě nechat polovinu vody odpařit, je-li výhřevnost paliva a účinnost kotle pro ohřev . Měrná tepelná kapacita vody je , měrné skupenské teplo varu vody je .

3.5-9.

[

]

Dusík o hmotnosti izotermicky expanduje, přičemž vykonaná práce při teplotě činí . Jaký je poměr výchozího a koncového tlaku plynu?

3.5-7. [

.

]

144

3.6

SDÍLENÍ TEPLA

A) Vedení tepla: Tepelný tok je dán vztahem: d d Hustota tepelného toku je: d d

d d d

⃗⃗

d d d

⃗⃗

Jednorozměrné stacionární vedení tepla homogenní rovinnou stěnou:

B) Přestup tepla (přechod tepla z prostředí, ve kterém se šíří teplo prouděním, do prostředí, ve kterém se šíří teplo vedením (nebo obráceně):

C)Prostup tepla (tepelná výměna mezi dvěma tekutinami oddělenými stěnou z pevné látky):

D) Teplotní záření: Zářivý tok:

Zářivost bodového zdroje:

Intenzita vyzařování plošného zdroje:

Záření absolutně černého tělesa: ů kde

je Stefan - Boltzmannova konstanta.

ienův posunovací zákon:

145

Příklady: 3.6-1.

Mějme dvě homogenní destičky, které jsou položeny těsně na sebe: hliníková destička tloušťky a železná tloušťky . Předpokládejme, že hustota tepelného toku touto dvojicí destiček je konstantní, tj. jedná se o stacionární vedení tepla. Tuto izolační dvojvrstvu je potřeba nahradit destičkou jedinou o celkové tloušťce . Jaký součinitel tepelné vodivosti by tato jednoduchá homogenní vrstva musela mít, aby vedla teplo stejně jako dvojice destiček? Součinitel tepelné vodivosti hliníku je , železa .


mm

mm

m

mm

m m

 konst. (předpokládáme stacionární vedení tepla, hustota tepelného toku je konstantní)

Obr. 3.6-1 Hustota tepelného toku pro vedení tepla je dána vztahem:

Je-li vedení tepla stacionární, platí pro hustotu tepelného toku první a druhou destičkou: resp.:

,

146

kde je teplota hliníkové destičky z vnější strany, je teplota železné destičky z vnější strany a je teplota uvnitř, na rozhraní hliníkové a železné destičky. Teploty vnějších stran destiček jsou neznámé, vyjádří se z předchozích rovnic jako:

a analogicky z druhé části rovnice

Nahradíme-li soustavu jedinou destičkou, musí platit:

Vyjádřené teploty dosadíme do rovnice pro hustotu tepelného toku jedinou destičkou a vyjádříme hledanou veličinu:


.

Jednoduchá homogenní vrstva nahrazující izolační dvojvrstvu musí mít součinitel tepelné vodivosti .

3.6-2.

Cihlová zeď vnějšího pláště domu propustí každou hodinu určité množství tepla. Tloušťka zdi je a její plocha , přičemž vnitřní teplota vzduchu je , vnější teplota . Stanovte teplo, které stěnou uniká a určete teplotu vnitřního a vnějšího povrchu cihlové zdi. Součinitel tepelné vodivosti stěny je , součinitel přestupu tepla mezi stěnou a vzduchem uvnitř v místnosti a venku .


147



Obr. 3.6-2 Hustota tepelného toku pro vedení tepla stěnou je dána vztahem:

Hustota tepelného toku pro přestup tepla mezi tekutinou a stěnou je dána vztahem:

Zapišme rovnice pro všechny tři procesy postupně: - přestup vzduch uvnitř/stěna:

- vedení uvnitř stěny:

- přestup vzduch vně/stěna:

Z uvedené trojice rovnic vyjádřeme teplotní rozdíly:

Sečteme tyto rovnice a získáme vztah: (

)

Odsud vyplývá vztah pro hustotu tepelného toku:

148

Celkové množství tepla, které prostoupí zdí je:


.

Každou hodinu prostoupí přes cihlovou zeď

Určete intenzitu dopadajícího slunečního záření na Zemi, jestliže střední teplota povrchu Slunce je , poloměr Slunce a vzdálenost Země od Slunce je .

3.6-3. [

]

Jaké množství energie vyzáří každou minutou

3.6-4. [

tepla.

povrchu černého tělesa o teplotě

?

]

Jakou teplotu má rozhraní mezi dvěma vrstvami, které přiléhají těsně na sebe, je-li jedna vrstva mosazná o tloušťce a měděná o tloušťce . Vnější strana mosazi je udržována na teplotě a vnější strana skleněné destičky má teplotu . Součinitel tepelné vodivosti mosazi je a mědi .

3.6-5.

[

]

3.6-6.

V ledové kostce o teplotě je zapíchnuta hliníková tyč, jejíž druhý konec je udržován na teplotě . Jaké množství ledu roztaje za dobu ? Tyč má délku , průřez , součinitel tepelné vodivosti hliníku je , měrné skupenské teplo tání ledu je .

[

]

3.6-7.

Na tenkou černou destičku umístěnou ve vakuu kolmo ke směru dopadajících slunečních paprsků dopadá zářivý tok o hustotě . Určete, jakou teplotu bude destička mít v ustáleném stavu.

[

]

149

4.

ELEKTROMAGNETICKÉ POLE

4.1

ELEKTROSTATICKÉ POLE

Náboj Každý náboj je celistvým násobkem elementárního náboje:

kde

a je celé číslo.

Coulombův zákon Mezi dvěma náboji působí elektrostatická síla dána vztahem:

Zde

je konstanta úměrnosti, kde je permitivita prostředí.

Pro vakuum je tato konstanta: , Pro dielektrikum zavádíme relativní permitivitu

Intenzita elektrostatického pole bodového náboje je dána vztahem: ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

:

Elektrická intenzita v poli bodového náboje je:

Intenzita pole soustavy bodových nábojů: ⃗⃗ ⃗ Gaussův zákon elektrostatiky

∑

⃗⃗



Znění zákona: „Tok vektoru intenzity E libovolnou uzavřenou plochou je úměrný náboji uzavřenému v této ploše.“ Jeho tvar je tedy: : Důsledek: uvnitř nabité kulové plochy je elektrické pole

150

Práce sil elektrostatického pole je obecně: ∫ ⃗⃗

kde ⃗ je dráha pohybu náboje

∮ ⃗⃗

⃗

⃗

v poli ⃗⃗ .

Elektrická potenciální energie bodového náboje je:

kde

je jednotkový testovací náboj.

Změna elektrické potenciální energie je dána vztahem: ( Elektrický potenciál Je podíl elektrické potenciální energie

)

a kladného bodového náboje

, tedy:

Potenciál soustavy bodových nábojů je ∑ Potenciál vně vodivé kulové plochy o poloměru se spojitě rozloženým nábojem:

Elektrické napětí Je rovno rozdílu potenciálů mezi dvěma body ∫ ⃗⃗ ⃗

jednotka napětí a elektrického potenciálu je V (volt):

Elektrostatické pole v látkách a) látka obsahující volné elektrické náboje – vodič Pro homogenní pole:

151

kde

⃗⃗

⃗⃗, ⃗⃗ je elektrická indukce ⃗⃗

⃗⃗

b) látka bez volných elektrických nábojů – nevodič (dielektrikum, izolant) Výsledné pole uvnitř dielektrika: prostředí (jehož permitivita je

míra zeslabení pole: ), ⃗⃗

⃗⃗

– relativní permitivita

⃗⃗

Kapacita vodiče: bylo experimentálně prokázáno:

kde konstanta úměrnosti senazývá kapacita vodiče rozměr této jednotky je:

⁄ .Jednotkou kapacity je F (farad) a

Kapacita kondenzátoru: Kondenzátor tvoří soustava dvou vodičů, které jsou od sebe odděleny nevodivým prostředím (dielektrikem). Jeho kapacita je dána vztahem:

deskový kondenzátor Pro deskový kondenzátor platí, že jeho kapacita je:

kde je vzdálenost elektrod a jejich plocha.

Kondenzátory spojené paralelně a sériově

a) Sériové zapojení (za sebou) Obecně pro zapojených kondenzátorů: ∑ Pro napětí na kondenzátorech platí:

152

b) Paralelní zapojení (vedle sebe) Napětí na celé skupině kondenzátorů je stejné jako napětí na každém z nich Pro dvojici kondenzátorů platí:

Obecně pro zapojených kondenzátorů: ∑

Energie elektrostatického pole , kde W-odevzdaná práce;

´-přijatá práce.

Pro zvýšení potenciální energie platí:

Energie elektrického pole kondenzátoru:

V homogenním elektrostatickém poli platí:

energie homogenního pole je:

PŘÍKLADY: 4.1-1.

Dvě stejné kuličky, které jsou nabity stejným elektrickým nábojem , jsou zavěšeny na nitích stejné délky. Nitě spolu svírají úhel 2α (viz Obr. 4.1-1). Vypočítejte hustotu látky, která byla použita na výrobu kuliček, víte-li, že při ponoření kuliček do benzenu o hustotě a jeho relativní permitivitě se úhel nití nezměnil.


153

Na každou kuličku ve vzduchu působí síly: Tíhová

;

Elektrického odpuzování (Coulombův zákon)

Obr. 4.1-1 Podmínka rovnováhy ve vzduchu (A) je: => Pro ponoření do benzenu (B) přibude vztlaková síla

kde

je hustota benzenu.

Síla elektrického odpuzování v benzenu se zmenší

krát, odtud

Porovnáním obou tangent obdržíme vztah

kde

a

je hustota materiálu kuličky.

Dosazením získáme vztah


154

.

. Hustota materiálu každé z kuliček je 4.1-2.

.

Ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka o stranách velikosti jsoucího ve vakuu máme umístěny bodové náboje o velikosti . Jak veliký bodový náboj musíme umístit do středu tohoto trojúhelníka, aby náboje byly v rovnováze? (viz obr. 4.1-2).

Obr. 4.1-2 Řešení: Vybereme si např. náboj ⃗ ⃗ ⃗ , přičemž

v poloze 3, na který působí i náboje .

v polohách 1 a2 silami

Podmínka rovnováhy: ⃗

⃗

⃗

⃗

.

⃗ je síla, kterou působí náboj umístěný v poloze 4 na náboj tedy mít opačné znaménko než náboj .

v místě 3. Náboj musí

Z Coulombova zákona a silových relací nábojů v trojúhelníku plyne √

.

Po dosazení vztahů do podmínky rovnováhy velikost náboje : √

a porovnáním rovnicdostáváme hodnotu pro

.

Stejná úvaha platí pro náboje Q v polohách 1 a2.

4.1-3.

Ve vzdálenosti jsou umístěny náboje a Určete intenzitu a potenciál elektrického pole obecně (obr. 4.1-3. A), poté pro vzdálenosti od obou nábojů (obr. 4.1-3. B), (náboje jsou ve vakuu):

a) mají-li oba náboje stejné velikosti i znaménka, b) mají-li oba náboje stejné velikosti, ale opačná znaménka.

155

Obr. 4.1-3 Řešení: Pro obecný výpočet položme počátek souřadné soustavy do středu vzdálenosti mezi náboje (obr. 4.13. A) a hledáme potenciál v bodě C:

√ [ (

√(

)

)

]

Intenzitu elektrostatického pole získáme ze vztahu ⃗⃗

.

Intenzita ⃗⃗⃗⃗je funkcí x a y a tedy:

(

) )

{[(

( ]

) )

[(

{

] }

}.

[(

)

]

[(

)

]

V případě rovnostranného trojúhelníka (obr. 4.1-3. B) má bod C souřadnice: √

; ; ;

√

.

156

a)

; ; √

;

.

Uvážíme-li, že √

√

;

kde je velikost intenzity v bodě buzeného nábojem .

pole

b)

;

.

Celková intenzita má v případě a) směr osy y v případě b) směr osy x.

4.1-4.

Určete intenzitu a potenciál elektrostatického pole s konstantní plošnou hustotou σ v nekonečné rovině umístěné ve vakuu.

Obr. 4.1-5 Obr. 4.1-4 Řešení: Použijeme Gaussovy věty. Uzavřenou plochu volíme ve tvaru válce se základnami S po obou stranách roviny, které jsou rovnoběžné s rovinou s nábojem (obr. 4.1-4). K celkovému toku intenzity přispívají jen obě základny. Plášť nepřispívá, neboť všude na něm platí: ⃗⃗

⃗

.

Celkový tok můžeme psát

157

. Intenzita a potenciál jsou: ;

.

Vypočtěte kapacitu kulového kondenzátoru vytvořeného dvěma soustřednými vodivými kulovými plochami o poloměrech a mezi kulovými plochami je vakuum.

4.1-5. Řešení:

Napětí mezi kulovými plochami je ∫

∫

.

Kapacita kulového kondenzátoru potom bude .

Dvě

4.1-6.

stejně

veliké kuličky . Určete:

nesou

elektrické

náboje

a

a) Velikost a směr sil působících mezi kuličkami ve vakuu, je-li jejich vzdálenost 6 cm. b) Velikost a směr sil působících mezi kuličkami ve vakuu, když byly předtím uvedeny do vzájemného styku. a)

[kuličky se přitahují silou

b)

[kuličky se odpuzují silou

] ]

Dva stejné bodové náboje umístěné ve vzdálenosti V jaké vzdálenosti by musely být umístěny v oleji o

4.1-7.

působí na sebe ve vzduchu silou . , aby se velikost síly nezměnila?

]

[

Kde na spojnici nábojů a vzdálených je třeba umístit třetí náboj tak, aby na něj nepůsobila žádná síla? Ve kterém místě na spojnici daných nábojů bude intenzita pole nulová?

4.1-8.

[

]

4.1-9.

Elektrické náboje Stanovte:

jsou umístěny viz. obr. 4.1-5.

a

a) intenzitu elektrostatického pole v bodech A, B, C , b) potenciály v bodech A, B, C ,

158

c) potenciální energii bodového náboje A, B, C . a) b) c)

[ [ [

4.1-10.

; ;

[

]

] Tři kondenzátory mají kapacitu a) maximální, b) minimální kapacitu?

[paralelně

4.1-12.

] ;

]

Tři kondenzátory, z nichž jeden má kapacitu , dávají při paralelním zapojení kapacitu , při sériovém zapojení . Jakou kapacitu mají zbylé dva kondenzátory?

[ 4.1-11.

; ;

;

, je-li postupně umístěn v bodech

;sériově

,

a

. Při kterém spojení dávají

]

Napětí mezi bouřkovým mrakem a zemí dosáhlo v okamžiku vzniku blesku hodnoty . Bouřkový mrak měl náboj Jaká energie se uvolnila zábleskem při blesku? V jaké formy se při tom elektrická energie přeměnila? ; světelnou, zvukovou, chemickou, mechanickou, aj.]

159

4.2

ELEKTRICKÝ PROUD

Elektrický proud

Zde (A).

je náboj, který za dobu

projde průřezem vodiče. Jednotkou elektrického proudu je ampér

Hustota proudu Proud (skalár) souvisí s vektorem hustoty proudu ⃗ vztahem:

⃗

∫⃗

kde ⃗ je vektor kolmý k elementu plochy o obsahu a integruje se přes celý průřez vodiče. Orientace ⃗ je stejná jako orientace intenzity elektrického pole, která vyvolává proud.

Driftová rychlost Je-li ve vodiči elektrické pole o intenzitě ⃗⃗ , (kladné) nosiče náboje se pohybují driftovou rychlostí ⃗ ve směru intenzity ⃗⃗ . Rychlost ⃗ souvisí s hustotou proudu vztahem:

⃗ kde

⃗

je objemová hustota náboje.

Odpor vodiče Odpor neboli rezistance

vodiče (součástky) je definován vztahem:

definice odporu kde

je napětí přiložené na vodič a proud procházející vodičem. Jednotkou je ohm ( ):

Rezistivita

a konduktivita

materiálu jsou definovány jako:

definice kde je velikost intenzity elektrického pole. Jednotkou rezistivity je vztahu je vektorová rovnice:

⃗⃗ Odpor

vodiče o délce

⃗

a průřezu určíme podle vztahu:

160

. Zobecněním předchozího

Změna rezistivity s teplotou Rezistivita většiny materiálů se mění s teplotou. Pro řadu materiálů, včetně kovů, lze závislost rezistivity na teplotě aproximovat lineárním vztahem:

kde je rezistivita při teplotě určitém teplotním intervalu).

,

je referenční teplota a

je teplotní součinitel rezistivity (v

Závislost odporu kovu na teplotě

Závislost odporu polovodiče na teplotě:

Ohmův zákon Pro vodič (součástku) platí Ohmův zákon tehdy, jestliže jeho odpor ⁄ nezávisí na přiloženém napětí . vodiče(

definovaný v rovnici pro odpor

Pro materiál platí Ohmův zákon tehdy, jestliže jeho rezistivita definovaná příslušnou rovnicí ( ⁄ ) nezávisí na velikosti a směru elektrické intenzity ⃗⃗ .

Ohmův zákon v diferenciálním tvaru

⃗⃗

⃗

Rezistivita kovů Za předpokladu volně se pohybujících vodivostních elektronů (jako molekuly v plynu) lze odvodit vztah pro rezistivitu kovu:

Zde je objemová koncentrace elektronů a je střední doba mezi srážkami elektronu s atomy kovu. Protože je prakticky nezávislé na , platí pro kovy Ohmův zákon.

Soustava rezistorů zapojených sériově ∑ kde

jsou hodnoty jednotlivých odporů a

je celkový odpor.

Soustava rezistorů zapojených paralelně

161

∑ kde

jsou hodnoty jednotlivých odporů a

je celkový odpor.

Výkon elektrického proudu Výkon přenosu energie v součástce, na níž je napětí

a kterou prochází proud , je roven:

výkon el. proudu Disipace energie rezistorem Je-li součástkou rezistor, lze psát předešlou rovnici pro výkon ve tvaru:

disipace energie rezistorem V rezistoru je elektrická potenciální energie disipována prostřednictvím srážek nosičů náboje s atomy.

Elektromotorické napětí ( Je-li práce, kterou zdroj vykoná při průchodu kladného náboje vnitřkem zdroje od záporného pólu ke kladnému, je jeho elektromotorické napětí (nebo také , tj. práce vztažená na jednotkový náboj) rovno:

definice EMN Jednotkou EMN je volt, tedy stejná jednotka jako napětí. Ideální zdroj EMN má nulový vnitřní odpor. Napětí na jeho svorkách je stále rovno elektromotorickému napětí . Reálný zdroj EMN má nenulový vnitřní odpor. Napětí na jeho svorkách je rovno elektromotorickému napětí pouze v případě, že zdrojem neprochází žádný proud.

Spojování zdrojů elektromotorického napětí:

  1   2

  1   2

Kirchhoffovy zákony

162

Uzlové pravidlo (ze zákona zachování elektrického náboje): Součet proudů vstupujících do uzlu se rovná součtu proudů z uzlu vystupujících. ∑ Smyčkové pravidlo (ze zákona zachování energie): Algebraický součet úbytků napětí při průchodu libovolnou uzavřenou smyčkou je nulový. ∑

∑

Jednoduché obvody Proud v jednoduchém obvodu tvořeném jedinou smyčkou, kde je zapojen rezistor o odporu elektromotorického napětí s vnitřním odporem , je:

V případě ideálního zdroje EMN (

) přecházi tento vztah do tvaru

a zdroj

⁄ .

Obvody stejnosměrného elektrického proudu

Základní pojmy: -

uzel: místo vodivého spojení, ve kterém se setkávají alespoň tři vodiče (proud se rozděluje do jednotlivých větví) větev: část obvodu mezi dvěma uzly jednoduchý elektrický obvod síť (soustava jednoduchých elektrických obvodů)

Zásady a postup výpočtů při řešení stejnosměrných elektrických sítí použitím 1. a 2. Kirchhoffova zákona:

počet rovnic pro řešení elektrické sítě je dán počtem větví rovnice vybíráme tak, aby byly nezávislé zvolit předpokládané směry proudů v jednotlivých větvích (tento směr volíme libovolně, nesmíme ho však v průběhu řešení obvodu měnit) - zvolit směr postupu v jednotlivých vybraných smyčkách (tento směr volíme libovolně, nesmíme ho však v průběhu řešení obvodu měnit) - vyznačíme směr od záporného ke kladnému pólu ve zdrojích napětí (tj. ve směru růstu potenciálu) EMN a úbytková napětí dosazujeme do rovnic včetně znamének: -

163

R

 0

 0

I

RI  0

R

I

RI  0

Výkon a elektromotorické napětí Jestliže reálnou baterií o elektromotorickém napětí s vnitřním odporem protéká proud , pak výkon , který dodává baterie prostřednictvím nosičů náboje do zbytku celého zapojení, je:

kde

je napětí na svorkách baterie.

Ztrátový výkon

(uvnitř baterie) je:

Výkon zdroje EMN

(tj. rychlost, s jakou ubývá chemická energie baterie) je roven:

.

Hmotnost látky vyloučené při elektrolýze

kde m je hmotnost vyloučené látky, je protékající proud a je čas.

je hmotnost iontu vylučované látky,

jeho náboj,

Pozn.: Krokové napětí je elektrické napětí, které vznikne mezi dvěma došlapy v poli s proměnným elektrickým potenciálem (spadlý drát vysokého napětí). Nebezpečí spočívá v tom, že elektrický potenciál se vyrovnává průchodem elektrického proudu přes tělo člověka, který krok učinil. Elektrický generátor (alternátor) přeměňuje kinetickou energii rotačního pohybu na energii elektrickou ve formě střídavého proudu. Elektrický motor je elektrický stroj, který slouží k přeměně elektrické energie na mechanickou práci. Běžné elektrické přístroje a zařízení: žárovka (15-100) W, napětí 230 V, výbojky, „bílá elektronika“pračky, ledničky, žehličky…, spotřební elektronika televize, audio, video, počítač…, elektromotory… Snaha o minimální spotřebu (Pozor na pohotovostní polohu!) a maximální užitečnost.

164

PŘÍKLADY: 4.2-1.

Vodičem protéká stálý proud . Jaký je celkový náboj částic a počet elementárních nábojů, které projdou průřezem vodiče za .


Elektrický proud je dán množstvím náboje, který projde vodičem za jednotku času:

Celkový náboj : po dosazení: Počet elementárních nábojů kde

je elementární náboj

Po dosazení

. .

Vodičem projde celkový náboj

elementárních nábojů.

4.2-2. Když byl spotřebič připojený na napětí , protékal jim proud vedení poklesl proud na . Jaké bylo napětí v síti při poruše? Řešení: Výpis veličin:

Odpor spotřebiče je dán vztahem: ; => Po dosazení číselných hodnot . Při poruše bylo v síti napětí 121 V.

165

. Při poruše elektrického

4.2-3.

Jaké napětí je mezi dvěma body , protéká-li drátem proud

tlustého měděného drátu, které jsou od sebe vzdáleny ?


Odpor vodiče vypočítáme ze vztahu , kde

.

Po dosazení . Napětí vypočítáme z Ohmova zákona . Dosadíme číselné hodnoty: . Napětí mezi body vodiče bylo 4.2-4.

.

Akumulátorová baterie má elektromotorické napětí . Zapnutím přístroje při odběru proudu pokleslo svorkové napětí na . Jakébude svorkové napětí při odběru proudu ?


166

Po zapojení obvodu vznikne úbytek napětí vlivem změny vnitřního odporu akumulátorové baterie. Důsledkem změny odporu se zmenší svorkové napětí . Úbytek napětí na vnitřním odporu akumulátorové baterie lze vyjádři vztahem ;

.

Když obvodem poteče proud vypočítáme podle vztahu

, svorkové napětí bude

, potom svorkové napětí

. Po dosazení: . Při odběru proudu

4.2-5.

bude svorkové napětí

.

Vypočítejte proudy v jednotlivých větvích elektrického obvodu (Obr. 4.2-1. A; B; C), kde odpory jsou ; a a elektromotorická napětí zdrojů jsou . Vnitřní odpory zdrojů zanedbáme.

Obr. 4.2-1 Řešení: Výpis veličin:

167

Pro zadané zapojení si můžeme schéma libovolně upravit; schéma zapojení na obr. 4.2-1. jsou rovnocenná pro požadovaný výpočet (zadané schéma si můžeme libovolně překreslovat při zachování zapojení). Zvolíme!: a) směr ve smyčkách I. a II.; b)pravděpodobný směr toku proudu Vyznačíme směry elektromotorických napětí

; c) uzly A a B.

.

Pro uzel A sestavíme rovnici dle 1. Kirchhoffova zákona: .

(a)

Pro smyčku I. sestavíme rovnici dle 2. Kirchhoffova zákona: .

(b)

Pro smyčku II. sestavíme rovnici dle 2. Kirchhoffova zákona: .

(c)

Poznámka: získali jsme 3 rovnice (a), (b)a (c) pro 3 neznámé . Znaménko mínus (–) u neznámé udává, že orientace toku elektrického proudu je opačná, než jsme zvolili. Dosadíme numerické hodnoty: . . Z rovnice (b) vyjádříme

(b) (c)

a z rovnice (c) vyjádříme

:

. Dosadíme do rovnice (a) a vypočítáme

. má opačný než námi zvolený

směr. Proudy

vypočítáme z rovnic (b) a (c), do nichž dosadíme za proud : ,

(b)

.(c) Z čehož plyne:

. Proudy v uzlu A mají tyto hodnoty: odpovídají původní volbě, proud má opačný směr.

168

, směry proudů

Vodičem o odporu prošel za minuty náboj . Kolik elektronů prošlo vodičem, jaké bylo napětí na koncích vodiče a jaký proud procházel vodičem?

4.2-6. [

] Vodičem délky a průřezu vodiče, je-li napětí na jeho koncích

4.2-7. [

. Jak velký je měrný odpor

] Stanovte vnitřní odpor galvanického článku s napětím naprázdno odporem svorkové napětí .

4.2-8. [

, má-li při zatížení

] Žárovka pro napětí a proud se má připojit k baterii o napětí musíme přidat do obvodu, aby se žárovka nezničila?

4.2-9. [

. Jaký odpor

]

4.2-10. [

Dva rezistory mají při sériovém zapojení odpor odpory mají zapojené rezistory?

a při paralelním odpor

. Jaké

]

4.2-11.

[

prochází proud ?

Akumulátor s napětím dodává v automobilu proud stop – světlům s odporem , houkačce s odporem a reflektoru s odporem . Jaký proud se bude celkově z akumulátoru odebírat, jsou-li uvedené spotřebiče zapojeny paralelně?

]

4.2-12.

Stanovte hodnotu odporu v zapojení podle obr. 4.2-2 tak, aby galvanometrem neprocházel proud. Hodnoty napětí a odporu jsou , a . Vnitřní odpory zdrojů můžeme zanedbat.

Obr. 4.2-2 [

]

4.2-13. Vypočítejte: a) proud jdoucí odporem polaritě napětí .Je dáno Vnitřní odpory zdrojů zanedbáváme. 169

v síti podle obr. 4.2-3., b)při obrácené .

Obr. 4.2-3 ů [

]

4.2-14. V obvodu podle obr. 4.2-4. jsou zapojeny dva články o elektromotorických napětích a vnitřních odporech a odpory Určete celkový proud, proudy ve větvích a svorková napětí jednotlivých článků a baterie.

Obr. 4.2-4 [

]

4.2-15. Stanovte velikost a směr proudu procházejícího odporem v zapojení podle obr. 4.2-5. Hodnoty odporů jsou hodnoty elektromotorických napětí . Vnitřní odpory zdrojů zanedbejte.

Obr. 4.2-5 [

]

4.2-16. Elektromotor byl zapojený , elektroměr ukázal spotřebu výkon daného elektromotoru při účinnosti . 170

. Určete

[

]

4.2-17. Při odchodu z domu jste zapomněli vypnout žárovku. Zbytečně svítila . Určete hmotnost vody, která by se využitím této energie dala vyčerpat čerpadlem s účinností do výšky . [

]

4.2-18. Vlákno svítící žárovky o výkonu při napětí má teplotu teplotní koeficient odporu tohoto vlákna, je-li jeho odpor za studena (při [

. Stanovte )

]

4.2-19. Kolik kilogramů mědi je zapotřebí k instalaci vedení tvořeného dvěma vodiči délky , je-li napětí zdroje , přenášený výkon a úbytek napětí na vedení nemá překročit , když víme, že měrný odpor mědi je a měrná hustota . [

]

171

4.3 MAGNETICKÉ POLE A JEHO VLASTNOSTI, MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU Magnetická indukce Magnetická indukce ⃗⃗ je definovaná pomocí síly ⃗ působící na zkušební částici s nábojem , která se pohybuje rychlostí ⃗ v magnetickém poli:

působící síla na částici ⃗

( ⃗

⃗)

.

Jednotkou indukce v soustavě jednotek SI je tesla (T):

Magnetická intenzita a indukce v izotropním prostředí Vztah mezi magnetickou indukcí a intenzitou magnetického pole v izotropním prostředí je následující:

⃗⃗

⃗⃗

Hallův jev Umístíme-li do magnetického pole ⃗⃗ vodič průřezu a šířky , kterým protéká elektrický proud , usadí se část nosičů náboje na bočních stranách vodiče a tím se vytvoří napětí . Polaritu určuje znaménko nosičů náboje. Počet nosičů náboje v objemové jednotce vodiče (koncentrace nosičů náboje) lze vypočítat ze vztahu: (síla dostředivá)

koncentrace nosičů náboje

Nabitá částice pohybující se v magnetickém poli Nabitá částice o hmotnosti s nábojem , která se pohybuje rychlostí kolmou na indukci homogenního magnetického pole ⃗⃗, koná rovnoměrný pohyb po kružnici. Použijeme-li Newtonova zákona na případ rovnoměrného pohybu po kružnici, dostaneme:

Odtud můžeme určit poloměr kružnice :

Frekvence , úhlová frekvence

a perioda

pohybu jsou spojeny vztahy:

172

Ampérova síla Na přímý vodič délky s proudem , nacházející se v homogenním magnetickém poli ⃗⃗, působí síla:

⃗

( ⃗

⃗);

Síla, kterou působí magnetické pole o indukci ⃗⃗ na element ⃗ vodiče protékaného proudem , je:

⃗

( ⃗

⃗)

Směr vektoru ⃗, resp. ⃗, je souhlasný se směrem proudu .

Moment síly působící na cívku s proudem Na cívku protékanou proudem působí magnetické pole o indukci ⃗⃗ momentem síly ⃗⃗⃗:

⃗⃗⃗

⃗⃗

⃗

Zde ⃗ je magnetický dipólový moment cívky. Jeho směr je dán pravidlem pravé ruky a velikost je , kde je počet závitů cívky a je obsah plochy jednoho závitu.

Potenciální energie magnetického dipólu Magnetický dipól s momentem ⃗ má v magnetickém poli ⃗⃗ potenciální energii orientaci ⃗vůči ⃗⃗:

, která závisí na

⃗ ⃗⃗ kde

je úhel sevřený vektory ⃗a ⃗⃗.

Hopkinsonův zákon: Magnetický odpor: Biotův-Savartův zákon Magnetické pole vodiče, kterým protéká elektrický proud, můžeme určit dle Biotova-Savartova zákona. Podle něj je magnetická indukce ⃗⃗ vytvořená elementem ve vzdálenosti od tohoto elementu dána vztahem: Biotův-Savartův zákon Zde ⃗ je vektor, který směřuje od elementu Veličina

⃗ ⃗

⃗⃗

;

.

⃗ do bodu, v němž určujeme magnetickou indukci. je permeabilita vakua.

Vztah můžeme přepsat do tvaru pro magnetické pole:

173

⃗ ⃗

⃗⃗ kde

;

,

jejednotkový vektor ve směru polohového vektoru.

Magnetické pole dlouhého přímého vodiče Velikost magnetické indukce pole přímého dlouhého vodiče ve vzdálenosti

od něj je:

dlouhý přímý vodič

Magnetické pole vodiče ve tvaru kruhového oblouku Velikost magnetické indukce ve středu kruhového oblouku vodiče se středovým úhlem poloměrem , kterým protéká elektrický proud je:

a

ve středu kruhového oblouku

Síla působící mezi dvěma rovnoběžnými vodiči, kterými protéká proud Rovnoběžné vodiče ( a ), kterými protéká souhlasně orientovaný proud, se vzájemně přitahují. Mají-li proudy opačnou orientaci, vodiče se odpuzují. Velikost síly, která působí na jednotku délky každého z vodičů, je:

kde

je vzdálenost obou vodičů,

jsou proudy tekoucí vodiči

a .

Ampérův zákon Vztah mezi elektrickým proudem a magnetickou indukcí vyjadřuje vedle Biotova-Savartova zákona také Ampérův zákon, který má tvar:

Ampérův zákon ∮ ⃗⃗

⃗

;∮

.

Křivkový integrál počítáme podél uzavřené orientované křivky, která se nazývá Ampérova křivka. Proud je celkový elektrický proud, obepnutý křivkou (to je celkový proud, který prochází libovolnou plochou mající za hranici tuto uzavřenou křivku).

Magnetické pole solenoidu a toroidu Uvnitř solenoidu, kterým protéká elektrický proud I, je v bodech vzdálených od konce solenoidu velikost magnetické indukce:

ideální solenoid (uvnitř) kde

je počet závitů připadající na jednotku délky solenoidu.

174

Uvnitř toroidu s

závity je velikost magnetické indukce:

toroid kde je vzdálenost mezi středem toroidu a bodem, v němž indukci určujeme. Vně toroidu je magnetická indukce nulová.

Pole magnetického dipólu Cívka, kterou protéká elektrický proud, tvoří magnetický dipól. V bodě magnetická indukce:

ležícím na ose cívky je

magnetický dipól kde ⃗ je dipólový moment cívky a je souřadnice bodu

na ose cívky (závitu).

PŘÍKLADY: 4.3-1.

Volný elektron vletí do homogenního magnetického pole s indukcí rychlostí . Směr rychlosti je kolmý na směr indukčních čar. Určete poloměr kruhové dráhy elektronu, víte-li, že náboj elektronu je a hmotnost elektronu je .


Magnetické pole bude na elektron působit silou (Lorencovou), danou vztahem: . Tato síla zakřivuje dráhu elektronu. Poloměr zakřivení určíme porovnáním sil – magnetické a dostředivé, které působí na elektron, tj.: kde

odtud .

175

Po dosazení číselných hodnot: . Poloměr zakřivení dráhy volného elektronu v homogenním magnetickém poli je

4.3-2.

.

Nabitá částice se pohybuje rychlostí po kružnici o poloměru v rovině kolmé na směr indukčních čar magnetického pole o indukci . Pohybová energie částice je . Vypočítejte elektrický náboj částice a hmotnost částice.


Na pohybující se částici v magnetickém poli působí síla . Tato síla zakřivuje dráhu elektronu. Poloměr zakřivení určíme porovnáním sil – magnetické a dostředivé, které působí na elektron kde

odtud .

Hmotnost částice vyjádříme pomocí kinetické energie:

Dosadíme číselné hodnoty:

Po dosazení za

do předešlé rovnice určíme náboj : , číselně

Elektrický náboj částice má hodnotu

. a hmotnost částice je

176

.

4.3-3.

Vypočítejte, jaký proud poteče vodičem délky , který je kolmý na indukční čáry magnetického pole s indukcí , přičemž magnetické pole působí na vodič s proudem silou .


Magnetické pole bude působit na vodič silou danou vztahem

Úpravou pro tekoucí proud dostaneme . Po dosazení . Vodičem poteče proud 25 A.

4.3-4.

Svislým vodičem dlouhým protéká proud . Vypočítejte sílu, jakou na vodič s proudem působí magnetické pole Země. (Horizontální složka magnetické indukce magnetického pole Země je ).


Síla, kterou magnetické pole působí na vodič je dána vztahem . Po dosazení

177

Magnetické pole Země působí na vodič silou

4.3-5.

.

Vypočítejte indukci a intenzitu magnetického pole v okolí dlouhého přímého vodiče s proudem v kolmé vzdálenosti .


Pro indukci magnetického pole v okolí magnetického pole ve vakuu platí vztah: . . Vztah mezi indukcí a intenzitou magnetického pole je následující: . Po dosazení: . Indukce sledovaného magnetického pole je

4.3-6.

. Jeho intenzita je

Vypočítejte průměr závitu, kterým protéká proud středu je .


Magnetická indukce ve středu závitu je dána vztahem . Po úpravě a dosazení

178

.

, víte-li, že magnetická indukce v jeho

. Průměr závitu bude

.

Určete magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole ve středu kruhového vodiče s poloměrem protékaného proudem .

4.3-7.


, ∫

∫

, .

Magnetická indukce je

a intenzita magnetického pole je

.

V homogenním magnetickém poli s magnetickou indukcí v horizontálním směru je kolmo na indukční čáry uložený v horizontálním směru vodič, jehož má tíhu a jímž prochází proud . Jakou hodnotu musí mít magnetická indukce, aby uvažovaný vodič nepadal, ale vznášel se?

4.3-8.


, I

Magnetická indukce musí mít

velikost

179

.

4.3-9.

Určete magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole ve středu kruhového vodiče s poloměrem protékaného proudem .

[

]

4.3-10.

Dva dlouhé rovnoběžné vodiče jsou od sebe vzdálené . Jedním prochází proud a druhým souhlasně orientovaný proud . Ve kterém místě na kolmé spojnici obou vodičů bude magnetická indukce výsledného magnetického pole nulová?

[

]

4.3-11.

Dvěma velmi dlouhými rovnoběžnými vodiči zanedbatelného průřezu umístěnými ve vzduchu ve vzájemné vzdálenosti procházejí elektrické proudy se stejnými hodnotami . Vypočtěte velikost magnetické indukce v bodě, který leží uprostřed mezi vodiči,

a) procházejí-li vodiči proudy stejným směrem, b) procházejí-li vodiči proudy navzájem opačnými směry. [

]

180

4.4 STŘÍDAVÉ PROUDY Obvod s rezistorem Sériový obvod skládající se ze střídavého zdroje elektromotorického napětí(EMN) a rezistoru. Dle 2. Kirchhoffova zákona je:

Napětí na rezistoru se mění harmonicky dle vztahu:

Fázový rozdíl pro zátěž skládající se pouze z odporu je . Z toho vyplývá, že proud a napětí jsou ve fázi, jejich maxima a minima nastávají ve stejných okamžicích, vztah mezi amplitudami je:

a

jsou netlumené.

Obvod s rezistorem, fázorový a časový diagram:

Odporovou zátěž nazýváme rezistance.

Obvod s kapacitou (kondenzátorem) Obvod skládající se z harmonického zdroje EMN a kondenzátoru o kapacitě . Napětí na kondenzátoru je:

kde

je amplituda napětí na kondenzátoru.

Z definice kapacity:

vyplývá, že:

181

Definujme nyní tzv. kapacitanci

kondenzátoru: [ ]

Nahradíme li funkci

funkcí sinus: (

)

dostaneme: ( kde je amplituda proudu, předbíhá napětí o čtvrt periody.

)

(

⁄

) je fázový rozdíl mezi proudem a napětím. Proud tedy

Vztah mezi amplitudami napětí a proudu je:

Obvod s kapacitou, fázorový a časový diagram:

Energie dodaná zdrojem se v první čtvrt periodě spotřebuje na vytvoření elektrického pole kondenzátoru, v další čtvrt periodě elektrické pole mizí a energie se opět do zdroje nezmenšená vrací (ideální kapacita nezpůsobuje ztráty energie). Ve zbývajících dvou čtvrt periodách je proces stejný, jen s opačnou orientací znamének. Průměrný výkon proudu v obvodu v jedné periodě je roven nule.

182

Obvod s indukčností (cívkou) Obvod skládající se z harmonického zdroje EMN a ideální cívky o indukčnosti L (odpor vinutí cívky → ). Napětí na cívce je:

kde

je amplituda napětí na cívce.

Okamžité napětí na cívce , ve které se mění proud s rychlostí

⁄

je:

a z toho vyplývá, že:

Okamžitý proud je roven: ∫ Definujme nyní tzv. induktanci

cívky: [ ]

Nahradíme-li funkci

funkcí sinus fázově posunutou, dostaneme: (

kde je amplituda proudu, předbíhá proud o čtvrt periody.

) ⁄

(

)

je fázový rozdíl mezi proudem a napětím. Napětí tedy

Vztah mezi amplitudami napětí a proudu je:

Obvod s indukčností, fázorový a časový diagram:

183

Energie dodaná zdrojem se v první čtvrt periodě spotřebuje na vytvoření magnetického pole cívky, v další čtvrt periodě se opět do zdroje nezmenšená vrací (ideální cívka nezpůsobuje ztráty energie). Ve zbývajících dvou čtvrt periodách je proces stejný, jen s opačnou orientací znamének. Průměrný výkon v obvodu v jedné periodě je roven nule (nedochází ke ztrátám energie). Přehled výsledků řešení jednoduchých obvodů střídavého proudu PRVEKOBVODU

rezistor

kondenzátor

cívka

SYMBOL

R

C

L

IMPEDANCE

R

FÁZE PROUDU



ve fázi s

předbíhá

o 90°

 zpožděna za

⁄

FÁZOVÝ ROZDÍL VZTAH MEZI AMPLITUDAMI

Sériový obvod RC Náboj při nabíjení kondenzátoru:

kde

je ustálený náboj a

je časová konstanta sériového RC obvodu.

Proud při nabíjení kondenzátoru:

Náboj při vybíjení kondenzátoru (přes rezistor):

a proud při jeho vybíjení:

( )

184

⁄

o 90°

Sériový obvod RL Růst proudu při připojení EMN do obvodu:

kde ⁄ je ustálená hodnota proudu a

⁄ je časová konstanta sériového RL obvodu.

Pokles proudu při odpojení emn od cívky (díky odporu z ustálené hodnoty

Sériový obvod RLC Obsahuje zdroj EMN prochází tentýž proud:

):

a sériově zapojený odpor, cívku a kondenzátor. Všemi prvky

a okamžité napětí se rozdělí mezi tyto prvky tak, aby celkové napětí v obvodu bylo:

Na rezistoru jsou napětí a proud ve fázi (fázor napětí na rezistoru má stejný směr jako fázor proudu v obvodu), na kondenzátoru proud předbíhá napětí o 90° (fázor napětí na kondenzátoru je zpožděn za fázorem proudu o 90°) a na cívce je proud zpožděn za napětím o 90° (fázor napětí na cívce předbíhá o 90° před fázorem proudu). Fázor výsledného napětí je roven vektorovému součtu fázorů napětí na jednotlivých prvcích R, L a C. Fázory na cívce a kondenzátoru mají opačnou orientaci a lze je nahradit jediným fázorem. Dle Pythagorovy věty:

√ kde výraz ve jmenovateli na pravé straně poslední rovnice je celkový odpor série RLC (impedance) a označujeme jej . Pro amplitudu proudu z předchozích vztahů platí:

√

(

)

Pozn.: Veškeré vztahy odpovídají ustálenému harmonickému proudu. Fázový rozdíl mezi napětím a proudem je:

185

Je-li

má obvod induktivní charakter, je-li má obvod kapacitní charakter a je-li obvod je v rezonanci (napěťová rezonance pro sériový RLC obvod).

Sériový RLC obvod, fázorový diagram:

Rezonance: Amplituda proudu v obvodu je maximální, jestliže:

√ kde

je takzvaná rezonanční úhlová frekvence. Impedance je rovna reaktanci (

).

Pozn.: Rezonanční frekvence odpovídá vlastní úhlové frekvenci (netlumených) kmitů v obvodu LC. Platí Thompsonův vztah:

√

Paralelní obvod RLC Obsahuje zdroj EMN prochází totéž napětí:

a paralelně zapojený odpor, cívku a kondenzátor. Všemi prvky

a okamžitý proud vstupující do obvodu se rozdělí mezi tyto prvky tak, aby celkový proud v obvodu byl:

186

Na rezistoru jsou napětí a proud ve fázi (fázor napětí na rezistoru má stejný směr jako fázor proudu v obvodu), na kondenzátoru proud předbíhá napětí o 90° (fázor napětí na kondenzátoru je zpožděn za fázorem proudu o 90°) a na cívce je proud zpožděn za napětím o 90° (fázor napětí na cívce předbíhá o 90° před fázorem proudu). Fázor výsledného napětí je roven vektorovému součtu fázorů napětí na jednotlivých prvcích R, L a C. Fázory na cívce a kondenzátoru mají opačnou orientaci a lze je nahradit jediným fázorem. Výsledná okamžitá hodnota proudu v paralelním RLC obvodu je:

Amplituda proudu je:

√

(

)

√

(

)

kde výraz s odmocninou

je tzv. admitance. Fázový rozdíl mezi napětím a proudem je: (

)

Rezonance: Admitance nabývá extrémních hodnot pro:

kde

je takzvaná rezonanční úhlová frekvence.

Platí Thompsonův vztah pro rezonanci:

√ Admitance je rovna vodivosti RLC obvodu, tj.:

což je tzv. proudová rezonance.

187

Paralelní RLC obvod, fázorový diagram:

Výkon v obvodech se střídavým proudem Okamžitý výkon je dán vztahem:

z kterého po dosazení dostaneme vztah:

a tedy výkon mění periodicky svoji velikost i znaménko. Pokud jsou proud a napětí téhož znaménka, výkon je kladný a do obvodu se přivádí proud, v opačném případě je to naopak.

Efektivní hodnota proudu

√ kde

je amplituda proudu v obvodu.

Efektivní hodnota napětí

√ kde

je amplituda napětí v obvodu.

Efektivní hodnoty jak napětí, tak proudu nám umožňují vyjádřit střední hodnotu ztrát ve střídavém obvodu v ustáleném stavu a to ve stejném tvaru, jako pro stejnosměrné veličiny. Efektivní hodnota

188

střídavého proudu (napětí) v určitém časovém intervalu je definována jako velikost stálého stejnosměrného proudu, který vyvine v téže době stejné teplo.

Úprava vztahů pro okamžitý výkon

kde první člen na pravé straně je složka činná, wattová (nezávislá na čase) a druhý člen je pro složku jalovou, bezwattovou (závislou na čase). Vyjádříme-li předchozí vztah pomocí efektivních hodnot, nabývá tvaru:

Průměrný (skutečný) výkon střídavého proudu

∫

∫

∫∫

Průměrný výkon střídavého proudu je roven součinu efektivních hodnot proudu a napětí a kosinu fázového posunu mezi proudem a napětím. Člen se nazývá účiník, součin je tzv. zdánlivý výkon. Pro střídavé RLC obvody energii dodává generátor střídavého napětí, kdy část energie je uložena v elektrickém poli kondenzátoru, část v magnetickém poli cívky a část spotřebovává rezistor. V ustáleném stavu je časová střední hodnota energie v jedné periodě v cívce a kondenzátoru konstantní. Elektromagnetická energie se přenáší jen od zdroje k rezistoru.

Napětí na rezistoru

̂

̂

Napětí na ideální cívce

̂

̂ ̂

̂ kde

√

̂

̂ ̂

̂ kde

√

Napětí na ideálním kondenzátoru

Ohmův zákon pro obvody střídavého proudu

̂

̂

kde ̂ je tzv. impedance.

189

Soustava prvků zapojených sériově

̂

∑ ̂

kde ̂ je impedance jednotlivých prvků. Soustava prvků zapojených paralelně

̂

∑

̂

kde ̂ je impedance jednotlivých prvků.

PŘÍKLADY: 4.4-1.

Při otáčení závitu v homogenním magnetickém polije amplituda střídavého napětí perioda . Určete hodnotu napětí v časech 0 ; ; ; .

Řešení: Výpis veličin

Okamžitá hodnota střídavého napětí v čase t je dána vztahem: kde

.

Po dosazení pro uvedené časy dostáváme:

Okamžité hodnoty napětí jsou

.

190

a

4.4-2.

Ve spotřebitelské síti je efektivní napětí

. Určete amplitudu střídavého napětí.


Mezi amplitudou napětí

a jeho efektivní hodnotou platí vztah:

.

√

Úpravou a po dosazení dostáváme √

V

V.

Amplituda střídavého napětí v síti je 325 V.

4.4-3.

Ampérmetr je zapojený v obvodu se střídavým proudem a ukazuje hodnotu hodnota střídavého proudu?

. Jaká je


Mezi amplitudou napětí √

a jeho efektivní hodnotou platí vztah:

.

Úpravou a po dosazení dostáváme √

,

Amplituda střídavého proudu je 28,3 A.

4.4-4.

Induktance cívky v obvodě se střídavým proudem o frekvenci jaké frekvenci bude její indukce ?


191

má hodnotu

. Při

Indukčnost cívky určíme ze vztahu po induktanci . Jestliže indukčnost cívky se nemění, porovnáním dostáváme po úpravě

.


Induktance cívky bude

4.4-5.

při frekvenci

.

Vypočítejte kapacitu kondenzátoru, když víme, že v obvodu střídavého proudu o frekvenci byla jeho kapacitance stejně veliká jako induktance cívky s indukčností .


Pro kapacitanci

a induktanci a

platí vztahy

.

Porovnáním dostáváme

a upravíme . Po dosazení číselných hodnot. ,

Kapacita kondenzátoru je

4.4-6.

Žárovku se jmenovitými hodnotami napětí a proudu a chceme připojit ke zdroji střídavého napětí o frekvenci pomocí tlumivky (cívky) zapojené se žárovkou do série. Určete indukčnost tlumivky (odpor zanedbejte).

Řešení:

192

Výpis veličin:

Pro napětí v obvodu platí ž

je napětí na tlumivce.

kde

Induktance tlumivky √ Odtud √

Po číselném dosazení √

Indukčnost tlumivky je

4.4-7.

,

.

Elektrický motor při napětí a proudu odebral z elektrické sítě za dobu hodiny energii . Určete činný příkon ; účiník ; jalový výkon spotřebiče .

[

]

4.4-8.

[

Jaké musí být hodnoty elektrického odporu , kapacity a vlastní indukčnosti L v sériovém RLC obvodě, aby se obvod choval jako: a) elektrický odpor b) ideální kondenzátor o kapacitě c) bezodporová cívka s vlastní indukčností ? →

→ ]

193

ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE,

4.5

ENERGIE MAGNETICKÉHO POLE Magnetický indukční tok Magnetický indukční tok

plochou v magnetickém poli ⃗⃗ je definován vztahem:

magnetický indukční tok

∮ ⃗⃗

⃗

v němž se integruje přes uvažovanou plochu. Jednotka magnetického indukčního toku v jednotkách SI je weber, . Je-li pole B kolmé k uvažované ploše a je-li homogenní, zjednoduší se předešlý vztah na tvar:

⃗⃗

⃗ ⃗⃗je homogenní

Faradayův zákon elektromagnetické indukce Mění-li se v čase magnetický indukční tok plochou ohraničenou uzavřenou vodivou smyčkou, vytvoří se ve smyčce elektromotorické napětí (EMN) a proud. Tento děj se nazývá elektromagnetická indukce. Indukované elektromotorické napětí má hodnotu:

Faradayův indukční zákon Nahradíme-li smyčku hustě navinutou cívkou o

závitech, pak indukované EMN je:

indukované EMN v cívce Kvantitativní vyjádření Faradayova zákona Uvažujme dva rovnoběžné vodiče připojené k voltmetru v homogenním magnetickém poli kolmo k indukčním čarám, jejichž vzájemná vzdálenost je . Po těchto vodičích se příčně rychlostí ⃗ pohybuje další vodič a na volné nosiče náboje ve vodiči působí magnetická síla, která způsobuje pohyb elektronů ve vodiči. Elektrony se ve vodiči tedy pohybují, jako kdyby byly v elektrickém poli o intenzitě ⃗⃗ Indukuje se tedy elektrické pole. Konfigurace popisovaného děje je na následujícím obrázku.

Obr. 4-5.0 Konfigurace pro kvalitativní vyjádření Faradayova zákona.

194

Při pohybu vodiče působí na každý volný elektron ve vodiči síla: ⃗

(⃗

⃗⃗)

Toto silové působení je ekvivalentní působení elektrického pole o intenzitě: ⃗⃗ Intenzita

⃗

tohoto indukovaného elektrického pole je rovna potenciálovému spádu:

Z toho vyplývá, že:

Následně mohou nastat dva obecné případy:

a) Vodič se pohybuje stálou rychlostí: a indukované napětí je tedy: b) Vodič se pohybuje nerovnoměrnou rychlostí, tj.: a indukované napětí je tedy: Což je Faradayův zákon elektromagnetické indukce. Indukované elektromotorické napětí se tedy rovná (jak již bylo zmíněno výše) časové změně indukčního toku procházejícího plochou vymezenou obvodem. Indukovaný proud Uzavřeným vodičem, na kterém se indukovalo elektromotorické napětí, prochází indukovaný elektrický proud.

Lenzův zákon (Lenzovo pravidlo) Indukovaný proud má takový směr, aby jeho magnetické pole brání změně magnetického pole, která tento proud vyvolává.

Přímý vodič: Flemingovo pravidlo pravé ruky „Položíme ruku nad vodič tak, aby indukční čáry vstupovaly do dlaně a odchýlený palec ukazoval směr pohybu vodiče, pak prsty ukazují směr indukovaného proudu.“

195

Indukované elektrické pole Indukované EMN je vytvořeno v čase se měnícím magnetickým indukčním tokem, a to i když smyčka, uvnitř níž se tok mění, není skutečný vodič, ale jen myšlená uzavřená křivka. Měnící se indukční tok indukuje elektrické pole ⃗⃗ v každém bodě takové křivky, a to bez ohledu na to, zda se tento bod sám nachází v magnetickém poli či nikoli (podstatné je, že se mění tok magnetického pole plochou, na jejímž obvodu bod leží). Indukované EMN se váže k ⃗⃗ vztahem:

∮ ⃗⃗

⃗;

∮

,

kde se integruje podél myšlené uzavřené křivky. S užitím této rovnice můžeme Faradayův zákon psát v nejobecnějším tvaru:

Faradayův zákon

∮ ⃗⃗

⃗

Podstata tohoto zákona je, že měnícím se magnetickým indukčním tokem elektrické pole ⃗⃗ .

⁄

se indukuje

Smyčka v homogenním magnetickém poli Indukční tok, který prochází plochou smyčky je roven:

kde

je úhel mezi normálou k ploše smyčky a směrem vektoru magnetické indukce.

Při otáčení smyčky se magnetický tok mění, a tedy dochází k indukci EMN dle rovnice:

Pro konstantní

platí:

kde je maximální hodnota indukovaného elektromotorického napětí – amplituda napětí vztah můžeme psát ve tvaru:

a

Cívka a indukčnost Cívka (induktor) je zařízení, kterým můžeme vytvořit magnetické pole v jisté oblasti. Teče-li elektrický proud každým z N závitů cívky, sčítá se jejich magnetický tok . Indukčnost cívky pak je:

definice indukčnosti Jednotkou indukčnosti v jednotkách SI je henry (H):

196

Indukčnost připadající na jednotku délky dlouhého solenoidu, který má průřez a jednotku délky l (to je v oblasti, kde se neuplatní rozptyl na koncích), je:

závitů na

solenoid

Vlastní indukce (samoindukce) Mění-li se proud v cívce s indukčností , indukuje se v ní EMN. Toto indukované EMN je:

Směr najdeme pomocí Lenzova zákona: indukované elektromotorické napětí brání změně, která jej vyvolává. Sama velikost proudu nemá vliv na indukované EMN, závisí pouze na rychlosti změny proudu v cívce. Indukované EMN má opačnou polaritu vzhledem k EMN zdroje. Vlastní indukčnost jednotlivých cívek závisí na jejich tvaru, rozměrech a magnetických vlastnostech prostředí.

Vlastní indukčnost solenoidu Solenoid délky o přůřezu mající

kde

závitů vytvoří při průchodu proudu vinutím indukční tok

je počet závitů na jednotku délky solenoidu.

Jelikož pro pole uvnitř solenoidu platí:

je indukčnost rovna:

Sériový obvod RL Připojíme-li zdroj konstantního EMN do obvodu s rezistorem o odporu a cívkou o indukčnosti , pak proud roste (exponenciálně se blíží) do ustálené (stacionární) hodnoty ⁄ podle vztahu: ⁄

růst proudu

⁄ určuje rychlost růstu proudu a nazývá se časová konstanta -obvodu. Odpojíme-li kde zdroj konstantního EMN, klesá (exponenciálně) proud z hodnoty k nule podle vztahu:

pokles proudu

⁄

⁄

197

Jevy vlastní indukce se projevují při zapnutí a vypnutí proudu (sepnutí a přerušení obvodu). Při sepnutí spínače se nejprve vytváří magnetické pole v okolí vodiče a proud tedy nenabývá okamžitě své maximální hodnoty. K indukci EMN dochází vlivem vlastní indukce a okamžitá hodnota elektromotorického napětí v obvodu je:

Vzájemná indukčnost

Jsou-li dvě cívky (označené 1 a 2) blízko sebe, pak proměnný proud v jedné z nich indukuje EMN ve druhé cívce. Tato vzájemná indukce je vyjádřena vztahy:

kde (

(měřená v henry) je vzájemná indukčnost daného uspořádání cívek a proto tedy můžeme rovnice zapsat výše uvedeným způsobem).

Energie magnetického pole Magnetická energie odpovídá práci nutné ke vzniku magnetického pole, která se při jeho zániku uvolní. Pokud uvažujeme jednoduchý obvod s cívkou o indukčnosti , tak v důsledku vlastní indukce se v obvodu indukuje EMN:

Celkové EMN v obvodu tedy je:

Práce elektrického proudu za čas

: (

)

kde první výraz na pravé straně rovnice je energie dodaná zdrojem a druhý je energie spotřebovaná na vytvoření mag. pole. Teče-li cívkou o indukčnosti

proud , má vzniklé magnetické pole celkovou energii:

mag. energie cívky

∫

pro Vztah neplatí pro cívky s feromagnetickým jádrem, neboť zde je indukčnost funkcí protékaného proudu ( ). Je-li B velikost magnetické indukce v libovolném bodě, je hustota energie magnetického pole v tomto bodě rovna:

198

hustota energie mag. pole (vakuum)

PŘÍKLADY: 4.5-1.

Magnetická indukce homogenního magnetického pole je . Vypočítejte magnetický indukční tok kruhovou plochou o poloměru pro případ, že svírá se směrem indukce úhel .


Magnetický indukční tok je dán vztahem , kde α je úhel, který svírá normála plochy s vektorem magnetické indukce, proto . Po úpravě , po dosazení číselných hodnot

Magnetický indukční tok danou plochou je

4.5-2.

V homogenním magnetickém poli s intenzitou se kolmo na indukční čáry pohybuje vodič délky rychlostí . Vypočítejte, jaké napětí se indukuje na vodiči, víte-li, že .


199

Indukované napětí je dáno vztahem . Vztah mezi indukcí a intenzitou magnetického pole ve vakuu je

Po úpravě , a po číselném dosazení

Na vodiči se indukuje napětí

4.5-3.

.

Kolik závitů musíme navinout na papírový válec o průměru měla indukčnost


Pro jeden závit platí vztah

Pro N závitů je

z toho . Do vztahu dosadíme: , potom ,kde

je plošný obsah průřezu cívky.

Úpravou získáme

200

a délce

, aby cívka

√

,

Dosazením číselných hodnot získáme √

Musíme navinout 955 závitů.

4.5-4.

Vypočítejte energii magnetického pole válcové cívky, jenž má 500 závitů, délku poloměr . Cívkou protéká proud .

a

Řešení:

Energie magnetického pole je dána vztahem . Za

dosadíme vztah

a tím získáme výraz .

Dosazením číselných hodnot dostáváme m m

Energie magnetického pole cívky je

4.5-5.

A

J

.

Vypočítejte magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole ve vzdálenosti velmi dlouhého vodiče, kterým protéká proud .

201

od

Obr. 4-5.1 Řešení: Výpis veličin:

Vyjdeme z definice pro magnetickou indukci ⃗⃗

∫

d⃗

⃗

Můžeme uvažovat nekonečně dlouhý vodič viz. obr. 4.5-1. V souladu s tímto obrázkem, můžeme psát ∫ , odtud

Potom hodnota magnetické indukce je ∫

∫

Po dosazení číselných hodnot dostáváme

Intenzita magnetického pole v místě A bude

202

d

sin

Indukce je a intenzita magnetického pole je nákresnu v bodě A jejích orientace je ve směru za nákresnu.

. Jsou kolmé na

Nejnápadněji se jevy vlastní indukce projevují při spojení spínače nebo přerušení proudu. Vyjádřete matematicky nárůst proudu při zapojení elektromotorického napětí do sériového obvodu s cívkou o indukčnosti a činném odporu .

4.5-6.

Řešení: Po zapojení

do obvodu se v cívce vlivem vlastní indukce indukuje elektromotorické napětí d d

,

celkové elektromotorické napětí v obvodu bude . Při odporu R prochází obvodem proud

Za předpokladu, že můžeme diferenciál

, vyjádřit ve tvaru

Proto můžeme psát . Po integraci dostáváme , kde

je integrační konstanta. Její hodnotu určíme z počátečních podmínek – pro , tedy ln

je

ln

Platí tedy ln a odtud pro časový průběh proudu vyjádříme (

).

Po zapojení elektromotorického napětí do obvodu, má proud v obvodu časový průběh daný vztahem (

).

203

Přímý vodič délky , kterým protéká proud je umístěn v magnetickém poli s indukcí , kolmo na její směr. Jaká síla působí na vodič?

4.5-7. [

]

Vodič délky se pohybuje kolmo na směr homogenního magnetického pole s indukcí a kolmo na směr své délky rychlostí . Určete elektromotorické napětí, které se ve vodiči indukuje?

4.5-8

[

]

Cívkou, která má 100 závitů s vlastní indukčností indukční tok procházející plochou jednoho závitu.

4.5-9. [

. Určete

]

4.5-10. [

, protéká proud

Jak veliká je energie magnetického pole cívky o 2500 závitech s průměrem při průchodu proudu ?

]

204

a délkou

5. OPTIKA A MODERNÍ FYZIKA 5.1. SVĚTLO JAKO ELEKTROMAGNETICKÉ VLNĚNÍ Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát: Světlo je elektromagnetické vlnění o vlnových délkách ve vakuu cca 380–760 nm (viditelných lidským okem). Jak plyne z Maxwellových rovnic, je to vlnění příčné, v němž vektory ⃗⃗ a ⃗⃗ intenzity elektrického a magnetického pole jsou vždy kolmé na směr ⃗⃗, kterým se vlnění šíří. Vakuem se světlo šíří konstantní rychlostí c = 2,99792458108 ms-1. Rychlost světla ve vakuu je největší mezní rychlostí, kterou se mohou pohybovat hmotné objekty (velikost rychlosti světla ve vakuu nezávisí na žádné jiné fyzikální veličině, je to tzv. univerzální fyzikální konstanta). Platí obecný vztah pro souvislost mezi fázovou rychlostí, vlnovou délkou a frekvencí vlny: . Různé frekvence světla vnímáme jako různé barvy, bílé světlo vzniká jejich složením. Frekvence světla je určena zdrojem světla a nezávisí na prostředí, kterým se světlo šíří. V látkovém optickém prostředí je fázová rychlost světla nižší než ve vakuu a závisí nejen na fyzikálních vlastnostech tohoto prostředí, ale i na frekvenci světla (disperze). Úměrně tomu se zkracuje i vlnová délka vlny. Index lomu n daného prostředí definujeme jako podíl fázové rychlosti monofrekvenční ⁄ . světelné vlny ve vakuu a fázové rychlosti světelné vlny téže frekvence v daném prostředí Index lomu vzduchu je velmi blízký jedné. Vektory ⃗⃗ a ⃗⃗ jsou kolmé i na sebe navzájem a ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ a ⃗⃗ tvoří pravotočivý systém. Protože i poměr velikostí vektorů elektrické a magnetické intenzity je v daném prostředí stálý, obvykle stačí vlnu reprezentovat jen jedním z těchto dvou vektorů, např. pomocí elektrické intenzity. Rovinnou vlnu postupující ve směru osy lze zapsat např. ⃗⃗ kde

0

je amplituda elektrické intenzity,

0 ⃗sin

2

0

2 ⁄ a

0

počáteční fáze.

Obr.5.1-1 Tato vlna je tzv. lineárně polarizovaná ve směru osy x, protože vektor elektrické intenzity kmitá stále v tomto směru (jako na obrázku 5.1-1). Koncový bod vektoru ⃗⃗ se při pohledu ke zdroji pohybuje po úsečce na ose x. Vlna lineárně polarizovaná ve směru osy y by byla např.

205

⃗⃗

0 ⃗sin

0

Vlna s sebou nese energii, která se přenáší ve směru vektoru šíření ⃗⃗, okamžitou hustotu toku energie vyjadřuje tzv. Poyntingův vektor ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . Např. pro rovinnou lineárně polarizovanou vlnu ve vakuu je jeho časová střední hodnota neboli intenzita světla 〈 〉

1 2

2 0 0

To udává průměrný výkon přenesený jednotkovou plochou, jíž vlna prochází. Obecněji bývá světlo polarizované elipticky (viz obr. 5.1-2), koncový bod vektoru ⃗⃗ při pohledu ke zdroji opisuje elipsu.

Obr. 5.1-2

Obr. 5.1-3

206

Dalším speciálním případem je polarizace kruhová (obr. 5.1-3), kdy opisuje kružnici. Otáčí-li se vektor ⃗⃗ při pohledu do zdroje ve směru hodinových ručiček, hovoříme o pravotočivé polarizaci, otáčí-li se v opačném směru, jedná se o polarizaci levotočivou. Světlo může být také nepolarizované, pokud se směr kmitání ⃗⃗ náhodně mění. K částečné polarizaci dochází odrazem, přičemž úplně polarizováno je světlo, které dopadá na ⁄ odraznou plochu pod Brewsterovým úhlem (vůči normále k rozhraní), pro nějž platí B Odražené světlo je polarizováno tak, že vektor ⃗⃗ kmitá kolmo k rovině dopadu. Při lomu světla nastává polarizace částečná. K polarizaci nebo stáčení polarizační roviny dochází i při průchodu některými optickými prostředími (nerosty, plasty pod mechanickým napětím, cukerný roztok apod.). K cílené polarizaci světla se používají polarizační filtry. Po průchodu ideálním lineárním polarizačním filtrem je světlo zcela lineárně polarizováno v daném směru, přičemž pokud na něj dopadá světlo lineárně polarizované v jiném směru, jeho amplituda a intenzita je dána Malusovým zákonem: neboli , kde je úhel mezi oběma polarizačními směry.

Obr. 5.1-4 PŘÍKLADY: 5.1-1. Jako viditelné spektrum se přibližně udává rozsah frekvencí 400–790 THz. Jaké jsou odpovídající vlnové délky světla ve vakuu a ve skle o indexu lomu přibližně =1,5? Jakou rychlostí se světlo tímto sklem šíří?

Řešení: Využijeme vztah mezi fázovou rychlostí, vlnovou délkou a frekvencí vlny: vlnovou délku máme pro vakuum (a přibližně i vzduch) hodnotu

a pro druhou

207

. Odtud pro první

Viditelné světlo má ve vzduchu vlnové délky v rozmezí od 380 nm (fialová) do 750 nm (červená). ⁄ a ve stejném poměru se zkrátí i vlnová délka Ve skle se sníží rychlost šíření světla v poměru ⁄ Rychlost šíření světla sklem tedy bude (frekvence se nemění),

15 a vlnové délky 1 1

750 nm 15

21

500 nm

2

380 nm 15

253 nm

Poznámka: Ve skutečnosti se index lomu pro různé vlnové délky světla mírně liší, tomuto efektu se budeme věnovat v následující podkapitole. 5.1-2. Jaká je amplituda vektoru elektrické intenzity lineárně polarizovaného paprsku laserového zaměřovače ve vzduchu, je-li průměr svazku 2 mm a udávaný výkon 2,8 m ? Pro jednoduchost předpokládejte rovnoměrné rozložení toku energie celým průřezem svazku.

Řešení: Intenzitu vypočteme podle vztahu 3108 ms-1 a permitivita ⁄ je průřez svazku. výkon a Odtud

kde rychlost světla ve vzduchu je přibližně c = ⁄ , kde je . Současně z definice

√

√

√

a po dosazení √

0

8 2 8 10 8 85 10

12

3

V m

3 14

1

820 V m

1

Amplituda vektoru elektrické intenzity ve svazku je přibližně 5.1-3. Co vznikne složením dvou lineárně polarizovaných rovinných vln o stejné amplitudě , postupujících ve směru osy , kde

⃗⃗

⃗⃗

⃗

⃗

(

1

2

)

Řešení: ⃗⃗ V našem případě se jedná V každém bodě se intenzity obou vln sčítají ⃗⃗ ⃗⃗ o skládání kolmých kmitů - ve směru osy a ve směru osy : (

)

Vyloučením času, umocněním obou rovnic na druhou a jejich následným sečtením dostaneme v obou případech rovnici kružnice . Jedná se tedy o kruhově polarizovanou vlnu (pro kladné znaménko pravotočivou a pro záporné levotočivou). 208

Poznámka: Kruhové polarizace využívají mimo jiné některá 3D kina a 3D televizory. Promítají zdvojený obraz, odlišující se polarizací. Bez brýlí vnímáme oba obrazy současně a místo prostorového vnímání máme spíše dojem rozmazaného snímku. Polarizační brýle pro tento typ projekce však propouštějí ke každému oku buď pouze levotočivě, nebo pouze pravotočivě polarizované světlo, každé oko tak vidí jen obraz, který je mu určen, a vzniká tak prostorový vjem. 5.1-4.* Některá kina či TV technologie pracují s lineárně polarizovaným světlem ve dvou na sebe kolmých směrech, jiná se světlem kruhově polarizovaným. Ukažte, že při použití lineárních polarizačních brýlí u 3D televizoru založeného na kruhové polarizaci nedosáhnete žádného žádoucího efektu. Řešení: Pro jednoznačnost předpokládejme šíření ve směru osy . V předchozí úloze jsme viděli, že kruhově polarizované světlo lze vyjádřit jako součet dvou kolmo na sebe lineárně polarizovaných vln o stejné amplitudě, fázově posunutých o . Vzhledem k symetrii lze tyto dva kolmé směry zvolit v rovině kolmé na směr šíření libovolně. Pro určení intenzity po průchodu polarizátorem zvolíme osu (směr ⃗ do směru jednoho polarizátoru, třeba toho pro levé oko, a osu (směr ⃗ do směru druhého, pro pravé oko. Pro pravotočivou vlnu dostaneme: ⃗⃗ ⃗ ⃗ ( ) podle Malusova zákona projde levým polarizátorem pouze vlna popsaná první částí výrazu, protože úhel mezi rovinou kmitu a směrem polarizátoru je pro ni nulový, prošlá vlna bude popsána rovnicí ⃗⃗ ⃗ Pro druhou část je , takže vůbec neprojde. Pravým polarizátorem projde naopak pouze druhá část, tj. ⃗⃗ Pro levotočivou vlnu analogicky dostaneme: ⃗⃗ ⃗ ⃗ (

⃗

(

)

)

Levým polarizátorem v ose projde ⃗⃗ ⃗ pravým polarizátorem v ose projde ⃗⃗ ⃗ ( ) Pro obě kruhové polarizace budou lineárně polarizované brýle propouštět k oběma očím stejně, uvidíme „zdvojený“ obraz stejně jako bez brýlí, pouze temnější. 5.1-5. Jaká je frekvence světla červeného laserového ukazovátka o vlnové délce 633 nm a zeleného o vlnové délce 532 nm? [474 THz, 564 THz] 5.1-6. Zvýšení kapacity záznamových médií je podmíněno použitím dostatečně krátké vlnové délky světla pro jejich čtení. Jaké jsou vlnové délky záření používaného přehrávači CD, DVD a Bluray disků, víte-li, že jejich frekvence jsou 385 THz, 462 THz a 741THz? [780 nm, 650 nm, 405 nm] 5.1-7. Jakou rychlostí se šíří světlo sodíkové výbojky s vlnovou délkou 589,3 nm destilovanou vodou o indexu lomu 1 332 a 30% cukerným roztokem o indexu lomu 1,381? Jaká je vlnová délka tohoto světla, prochází-li jeho paprsek destilovanou vodou a roztokem? Poznámka: Rozdílného indexu lomu cukerného roztoku v závislosti na jeho koncentraci využívají mimo jiné i potravinářské refraktometry.

209

[

2 251 108 m s

1

2 171 108 m s

1

442 4 nm

426 7 nm]

5.1-8. Některé laserové měřiče vzdálenosti pracují na principu měření zpoždění paprsku odraženého o zaměřovaný předmět. Jaké časové zpoždění bude mít puls červeného světla o vlnové délce 660 nm, odrazí-li se o 6 m vzdálený objekt zpět do přístroje? Kolikanásobek své vlnové délky urazí? [

,

1,8 107 ]

5.1-9. Co vznikne složením dvou lineárně polarizovaných rovinných vln, postupujících ve směru osy ⃗⃗ , kde ⃗⃗ ⃗ ⃗

[Lineárně polarizovaná vlna, skloněná o 45° vůči kladné poloose

i ]

5.1-10. Co vznikne složením dvou lineárně polarizovaných rovinných vln, postupujících ve směru osy , kde

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ [Lineárně polarizovaná vlna, skloněná o 90° vůči předchozímu řešení] 5.1-11. Jak se změní amplituda a intenzita lineárně polarizovaného laserového svazku po průchodu vysoce účinným polarizátorem, jehož polarizační rovina je pootočena vůči rovině kmitu dopadajícího svazku o úhel 2 ? [Obě budou nulové] 5.1-12. Jak se změní amplituda a intenzita lineárně polarizovaného laserového svazku po průchodu vysoce účinným polarizátorem, jehož polarizační rovina je pootočena vůči rovině kmitu dopadajícího svazku o úhel 4 ? [

⁄√ a

⁄ ]

5.1-13.* Co pozorujeme, pokud při 3D projekci založené na lineárně polarizovaném světle nakloníme hlavu s polarizačními brýlemi na stranu o 45 ?

[Podobně jako u příkladu 5.1-4.* zdvojený obraz, s intenzitou poloviční než bez brýlí] 5.1-14. Pod jakým úhlem musí dopadat sluneční paprsky na kaluž na vodorovné silnici, aby odražené světlo bylo lineárně polarizované v horizontálním směru (tento směr blokují nasazené polarizační sluneční brýle, viz obrázek 5.1-4)? Index lomu vody je =1,332. [

53°6 ]

210

Obr. 5.1-4

5.2. GEOMETRICKÁ OPTIKA Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát: V geometrické optice nezohledňujeme vlnové vlastnosti světla, v homogenním prostředí předpokládáme jeho přímočaré šíření reprezentované paprskem. Úhel dopadu paprsku na rozhraní dvou prostředí měříme vždy mezi dopadajícím paprskem a normálou k rozhraní. Tyto dva směry určují rovinu dopadu. Dopadající paprsek se částečně odráží a částečně láme do nového prostředí, přičemž odražený i lomený paprsek leží v rovině dopadu. Úhel odrazu a úhel lomu vztahujeme k téže normále k rozhraní. Úhel odrazu

Úhel lomu

kde

1

a

2

je roven úhlu dopadu

je dán Snellovým zákonem

jsou indexy lomu prvního a druhého prostředí.

Je-li 1 < 2 , tj. první prostředí je tzv. opticky řidší než druhé, jedná se o lom ke kolmici, Je-li , viz 1 > 2 , tj. první prostředí je tzv. opticky hustší než druhé, jedná se o lom od kolmice, ⁄ obrázek 5.2-1. V tom případě může pro úhly, pro něž 1 nastat tzv. totální odraz (dopadající paprsek se vůbec nedostává do druhého prostředí a celý se odráží). Úhel m , pro nějž platí 1⁄ , se nazývá mezním úhlem. m

Obr. 5.2-1 Rozklad světla (disperze) – index lomu světla je mírně závislý také na jeho vlnové délce. Tento jev se nazývá disperze, protože za určitých podmínek může vést k rozkladu světla na jeho jednotlivé barevné složky.

211

Při tzv. normální disperzi je index lomu světla o nižší frekvenci nižší než světla vyšší frekvence, např. paprsek červené barvy se takovým prostředím šíří rychleji než paprsek barvy fialové. Při šikmém dopadu paprsku bílého světla na rozhraní dvou prostředí se nejméně odchyluje červená barva, následně pak žlutá, zelená, modrá, indigo a nejvíce barva fialová (viz obrázek 5.2-2). Typickým příkladem tohoto jevu je duha.

Optické prvky

Obr. 5.2-2

Odrazu a lomu paprsků využívají různé optické prvky. Nejjednodušším je rovinné zrcadlo, pro které platí jednoduchý zákon odrazu. Totéž platí u kulových zrcadel dutých (konkávních), kde odraznou plochu tvoří vnitřní část povrchu, a vypuklých (konvexních), kde odraznou plochu tvoří vnější povrch koule. Jak u zrcadel, tak u čoček budeme uvažovat pouze zobrazení paprsky jdoucími blízko optické osy (v tzv. paraxiálním prostoru). U čoček budeme dále předpokládat zjednodušený model tzv. tenké čočky. Základní pojmy u zrcadel: střed křivosti optické plochy , její poloměr křivosti značíme r; optická osa – osa procházející středem křivosti, protíná zrcadlo v tzv. vrcholu zrcadla. Ohnisko předmětové splývá s obrazovým a leží na optické ose v polovině mezi středem a vrcholem ⁄ . Vzdálenost předmětu zrcadla, jeho vzdálenost od vrcholu nazýváme ohnisková vzdálenost, od vrcholu zrcadla nazýváme předmětovou vzdáleností a značíme , vzdálenost obrazu od vrcholu zrcadla nazýváme obrazovou vzdáleností a značíme . Velikost předmětu značíme , velikost ⁄ . obrazu . Zvětšení

Obraz určitého bodu předmětu hledáme jako průsečík jím procházejících význačných paprsků (viz obr. 5.2-3): 1. 2. 3.

paprsek jdoucí středem křivosti se odráží zpět do středu křivosti, paprsek jdoucí ohniskem se odráží rovnoběžně s optickou osou, paprsek jdoucí rovnoběžně s optickou osou se odráží do ohniska.

Obr. 5.2-3

212

Pokud se tyto paprsky protnou, vzniká skutečný (reálný) obraz (lze zachytit na stínítko). Pokud se neprotnou, prodloužíme je v opačném směru, v jejich průsečíku pak vzniká zdánlivý (virtuální) obraz (nelze zachytit na stínítko, ale může sloužit jako předmět pro další optické zobrazení). Pro výpočty používáme následující znaménkovou konvenci:

1. ohnisková vzdálenost u dutého zrcadla je , u vypuklého 2. předmětová a obrazová vzdálenost jsou kladné, jsou-li před zrcadlem, záporné za zrcadlem, 3. předmět předpokládáme vzpřímený a jeho velikost bereme jako kladnou, velikost obrazu je kladná, je-li také vzpřímený, a záporná, je-li převrácený, 4. zvětšení je tedy kladné, je-li obraz vzpřímený (je současně zdánlivý), záporné, je-li převrácený (a reálný). Při dodržení znaménkové konvence platí Gaussova zobrazovací rovnice

Čočky jsou průhledná, stejnorodá tělesa ohraničená dvěma opticky hladkými plochami, na nichž dochází k lomu světla. Rozlišujeme spojky (rovnoběžný svazek paprsků se průchodem čočkou mění na sbíhavý) a rozptylky (rovnoběžný svazek paprsků se průchodem rozptylkou mění na rozbíhavý). Základní pojmy u tenkých čoček: Průsečík hlavní roviny s optickou osou , předmětové ohnisko a obrazové ohnisko leží ve stejné ohniskové vzdálenosti od hlavní roviny čočky, tato vzdálenost je dána tvarem čočky a indexem lomu čočky a okolí. Vzdálenost předmětu od hlavní roviny čočky nazýváme předmětovou vzdáleností a značíme , vzdálenost obrazu od hlavní roviny čočky nazýváme obrazovou vzdáleností a značíme . Velikost předmětu značíme , velikost obrazu ⁄ ⁄ . . Zvětšení

Obraz určitého bodu předmětu opět hledáme jako průsečík jím procházejících význačných paprsků (viz obr. 5.2-4 pro příklad spojné čočky, pro rozptylku by byla poloha ohnisek opačná): 1. 2. 3.

paprsek jdoucí průsečíkem hlavní roviny a optické osy prochází přímo, paprsek jdoucí předmětovým ohniskem se odráží rovnoběžně s optickou osou, paprsek jdoucí rovnoběžně s optickou osou se odráží do obrazového ohniska.

Obr. 5.2-4 Pokud se tyto paprsky protnou, vzniká reálný obraz; pokud se neprotnou, prodloužíme je v opačném směru, v průsečíku jejich prodloužení pak vzniká zdánlivý obraz. Pro výpočty opět používáme následující znaménkovou konvenci:

213

1. ohnisková vzdálenost u spojné čočky je , u rozptylky 2. předmětová vzdálenost jekladná před čočkou (v předmětovém prostoru), záporná za čočkou, obrazová je kladná za čočkou (v obrazovém prostoru), záporná před čočkou. 3. předmět předpokládáme vzpřímený a jeho velikost bereme jako kladnou, velikost obrazu je kladná, je-li také vzpřímený, a záporná, je-li převrácený, 4. zvětšení je tedy kladné, je-li obraz vzpřímený (je současně zdánlivý), záporné, je-li převrácený (a reálný). Při dodržení znaménkové konvence opět platí Gaussova zobrazovací rovnice. Optická mohutnost čočky

⁄ (včetně znaménka, používá se např. v oční optice).

Optické soustavy Optické soustavy jsou tvořeny několika optickými prvky. Nejběžněji používanými jsou oko a lupa, případně čočky brýlí, objektiv fotoaparátu či kamery, mikroskop, dalekohled. Oko má čočku proměnné optické mohutnosti (pro zdravé oko od cca 60 dioptrií pro volné po cca 70 dioptrií pro maximálně akomodované oko). Při určování zvětšení přístrojů se porovnávají zorné úhly nezvětšeného objektu a jeho obrazu po zobrazení danou soustavou. U blízkých předmětů se předpokládá jejich poloha pro porovnání v tzv. zrakové konvenční vzdálenosti od oka. Úhlové zvětšení lupy, dalekohledu či mikroskopu γ definujeme pomocí zvětšení zorného úhlu α na úhel α´, tj.

Při pozorování lupou je předmět mezi ohniskem a hlavní rovinou spojné čočky, nebo přímo v

Obr. 5.2-5 ohnisku, vzniká tak zdánlivý zvětšený a přímý obraz (jako na obrázku 5.2-5), který následně oko promítá na sítnici.

214

Obr. 5.2-6 Za všechny typy dalekohledů uveďme alespoň typ Keplerův, který byl základní součástí prvních teodolitů a v upravené formě se zde používá dodnes. Sestává ze dvou spojných čoček, přičemž obrazové ohnisko první čočky splývá s předmětovým ohniskem druhé čočky (Keplerův dalekohled při zobrazení velmi vzdáleného předmětu, např. hvězd, je na obrázku 5.2-6). Obraz je při pozorování Keplerovým dalekohledem převrácený. Mikroskop sestává také ze dvou spojných čoček, přičemž obraz předmětu za objektivem vzniká v ohnisku okuláru (případně mezi okulárem a jeho předmětovým ohniskem, ovšem velmi blízko k ohnisku). Okulárem jej pak pozorujeme jako lupou. Optický interval  je vzdálenost mezi obrazovým ohniskem objektivu a předmětovým ohniskem okuláru (viz obrázek 5.2-7).

Obr. 5.2-7 PŘÍKLADY: 5.2-1. Jaký úhel spolu budou svírat fialový a červený paprsek z okrajů viditelného spektra po průchodu prvkem tvaru poloviny válce (jako na obrázku 5.2-2), dopadá-li na něj svazek ze vzduchu pod úhlem a materiál je tvořen vysoce disperzním sklem SF5, případně nízko disperzním fluoridem kalcia? Pro SF5 je index lomu při 380 nm: a pro

215

780 nm: 780 nm:

Pro CaF2 je index lomu při 380 nm:

a pro

Řešení: Index lomu vzduchu je přibližně roven jedné, index lomu optického prvku označme zákona lomu bude úhel lomu arcsin (

Podle Snellova

)

Po dosazení pro SF5 dostaneme: (

)

(

)

(

)

(

)

takže rozdíl mezi nimi je

takže rozdíl mezi nimi je

neboli 57,9´, obdobně pro CaF2 dostaneme (

)

(

)

(

)

(

)

neboli 16,8´.

5.2-2. Jak velký obraz vznikne a kde při zobrazení předmětu spojnou čočkou o ohniskové vzdálenosti , je-li předmět umístěn ve vzdálenosti 16 cm před čočkou a měří 0,5 cm? Řešte početně i graficky.

Řešení:

Obr. 5.2-8

Podle zadání je , . Můžeme ponechat tyto jednotky. Grafické řešení je na obrázku 5.2-8. Obraz jsme sestrojili pomocí význačných paprsků. Podle Gaussovy zobrazovací rovnice

Po dosazení (v cm)

Zvětšení

216

Vzniká reálný, převrácený a zvětšený obraz. 5.2-3. Určete zvětšení při zobrazení lupou, je-li její optická mohutnost D předmět je umístěn 4 cm před lupou a oko je těsně za lupou. Kde vznikne zdánlivý obraz? Jaké by bylo zvětšení, pokud by předmět byl umístěn přímo v ohnisku? Řešení:

⁄ Ohnisková vzdálenost lupy je . Předmětová vzdálenost Jedná se tedy o podobné uspořádání jako na obrázku 5.2-5, kdy předmět leží mezi spojnou čočkou a jejím ohniskem. Ze zobrazovací rovnice vyjádříme opět

a velikost obrazu

Tento obraz je pozorován ve vzdálenosti takže úhlové zvětšení ve srovnání s pozorováním nezvětšeného předmětu ve zrakové konvenční vzdálenosti bude

Při umístění předmětu přímo do ohniska bude

(obraz vznikne v nekonečnu) a zvětšení

5.2-4. Určete zvětšení jednoduchého Keplerova dalekohledu při pozorování velmi vzdáleného předmětu, je-li ohnisková vzdálenost objektivu a okuláru . Jaká je jeho minimální celková délka?

Řešení: Z obrázku 5.2-6 je zřejmé, že zvětšení Keplerova dalekohledu je za těchto podmínek

Po dosazení (protože se jedná o poměr stejných jednotek, lze ponechat cm):

Celková délka aktivní části dalekohledu bude (opět podle obrázku 5.2-6)

217

Poznámka: Toto zvětšení je obvyklé i u teodolitů, které však bývají doplněny ještě dalšími prvky (např. hranolem), aby při pozorování byl obraz přirozeně vzpřímený. Také mají možnost zaostřování, takže jimi lze pozorovat i objekty vzdálené už od jednotek metrů, nikoli pouze v nekonečnu. 5.2-5. Určete zvětšení mikroskopu, jehož optický interval je , ohnisková vzdálenost objektivu a okuláru . Jak daleko před objektivem musí být umístěn pozorovaný předmět, aby se zobrazil do předmětového ohniska okuláru (zdánlivý obraz po zobrazení okulárem pak vzniká v nekonečnu)?

Řešení: Má-li se obraz po průchodu objektivem vytvořit v ohnisku okuláru, musí podle obrázku 5.2-7 platit: . Z Gaussovy zobrazovací rovnice

Po dosazení Předmět musí být umístěn 1,06 cm před objektivem. Úhlové zvětšení mikroskopu vyjádříme podobně jako u lupy (příklad 5.2-3)

kde jsme za

dosadili výsledek z předchozí části. Po dosazení numerických hodnot (

25 cm

Mikroskop zvětší obraz 100× a bude převrácený. 5.2-6. Blízký bod oka je nejmenší vzdálenost, na jakou ještě oko dokáže zaostřit obraz na sítnici. U zdravého oka v mládí je cca 10 cm, s věkem se od oka vzdaluje. Pokud se zvětší nad zrakovou konvenční vzdálenost, pořizují si lidé brýle „na čtení“. Jaké brýle (kolik dioptrií) je třeba předepsat dalekozrakému člověku, jehož blízký bod je ve vzdálenosti od oka, aby mohl zaostřit text ve zrakové konvenční vzdálenosti? Jaké brýle je třeba předepsat krátkozrakému člověku, který není schopen volným okem zaostřit na nekonečno (normální tzv. vzdálený bod), ale pouze na vzdálenost 2,5 m?

Řešení: Dalekozraký člověk potřebuje spojku, která vytvoří k předmětu vzdálenému před okem zdánlivý (vzpřímený) obraz ve vzdálenosti před okem (předpokládáme brýle v zanedbatelné vzdálenosti od oka). Z Gaussovy zobrazovací rovnice dostaneme D Bude tedy potřebovat spojky s optickou mohutností 2 dioptrie.

218

Krátkozraký člověk potřebuje brýle, které promítnou obraz z nekonečna do vzdálenosti, na kterou je schopen zaostřit (musí být opět vzpřímený a tedy zdánlivý), tj. , . D Bude potřebovat rozptylky s optickou mohutností -4 dioptrie. 5.2-7*. Je možno zobrazením samotnou rozptylkou získat reálný obraz předmětu? Je možno získat reálný obraz soustavou rozptylky a spojky, umístěné těsně za ní? Za jakých podmínek? Řešení: Označme předmětovou a obrazovou vzdálenost pro rozptylku , její ohniskovou vzdálenost předmětovou a obrazovou vzdálenost pro případnou spojku , její ohniskovou vzdálenost Jak již jsme si z Gaussovy rovnice odvodili, platí pro obrazovou a předmětovou vzdálenost vztah

kde , protože předmět předpokládáme v předmětovém prostoru a ohnisková vzdálenost rozptylky je záporná. Je-li je obraz zdánlivý. To ale bude vždy, protože čitatel zlomku je vždy záporný a jmenovatel kladný. Obraz získaný samotnou rozptylkou je tedy vždy zdánlivý (nelze zachytit na stínítku). Tento zdánlivý obraz ale může sloužit jako předmět zobrazovaný spojkou (tou může být i čočka našeho oka). Bude-li spojka těsně za rozptylkou, bude . Pro spojku vzniká reálný obraz, je-li , přičemž

Dosazením

a využitím první rovnice dostaneme postupně

dostáváme tedy zobrazovací rovnici pro soustavu rozptylky a spojky, kde platí, že

tj. jejich optické mohutnosti se sčítají. Reálný obraz předmětu lze získat, chová-li se soustava jako spojka, tj. neboli . Předmět navíc musí být umístěn ve vzdálenosti před soustavou, neboť pak je výraz

kladný. Poznámka: Podobný výsledek bychom dostali i pro dvojici spojek či složitější systém. Uvažujeme-li tenké čočky velmi blízko za sebou (vzhledem k jejich ohniskovým vzdálenostem), jejich optické mohutnosti se sčítají. Např. okuláry moderních mikroskopů jsou obvykle tvořeny více než jednou čočkou. 5.2-7. Jaká je hloubka rybníka, jeví-li se svislá tyč zapíchnutá do jeho dna a sahající až k jeho hladině při pozorování pod úhlem 45° dlouhá 1,4 metru (viz obrázek 5.2-9)? Index lomu vody je 219

[

]

Obr. 5.2-9

Obr. 5.2-10 5.2-8. Jaká plocha je průhledná pro potápěče, který se dívá nad sebe z hloubky skrz zcela klidnou hladinu jezera (viz obrázek 5.2-10)? Index lomu vody je ⁄ [ (ale vidí celý poloprostor nad hladinou)] 5.2-9. Mimořádný lesk diamantu je způsoben jednak vhodným tvarem výbrusu (viz obrázek 5.2-11), ale také jeho vysokým indexem lomu , díky němuž dochází na spodní straně vybroušeného diamantu k totálnímu odrazu pro mnohem širší interval úhlů dopadajícího světla než u stejně řezaného obyčejného skla. Ukažte, že pro paprsek dopadající kolmo na tabuli diamantu nastává při vrcholovém úhlu pavilionu (tzv. ideální výbrus) k totálnímu odrazu na obou spodních ploškách jak pro diamant, tak pro křemenné sklo. Index lomu křemenného skla je . Porovnejte rozsah úhlů dopadu na rovinné rozhraní sklo – vzduch a diamant – vzduch, pro něž nastává na tomto rozhraní totální odraz. [

57°45´, mezní úhel

MD

24°26

220

MS

40°22 ]

Obr. 5.2-11

Obr. 5.2-12 5.2-10. Totální odraz se využívá také v optických vláknech. Pod jakým úhlem může vstoupit paprsek do vícevidového optického vlákna, tvořeného jádrem o indexu lomu a pláštěm o indexu lomu , aby se uvnitř odrážel totálním odrazem (viz obrázek 5.2-12)? [

0

34°5 ]

5.2-11. Jak vysoké musí být rovinné zrcadlo, aby se v něm člověk výšky 190 cm mohl vidět najednou celý? [95 cm] 5.2-12. Jaké je zvětšení obličeje ve vydutém kosmetickém zrcadle při pozorování ze vzdálenosti 15 cm, mění-li se ve vzdálenosti 0,5 m pozorovaný obraz z přímého na převrácený? [

]

5.2-13. Na silnicích se v nepřehledných zatáčkách používají vypuklá zrcadla (nyní již obvykle spíše parabolická). Jak se zobrazí kulovým zrcadlem automobil ve vzdálenosti 30 m před zrcadlem, je-li poloměr křivosti plochy zrcadla 2 metry? [vznikne zdánlivý, vzpřímený, cca 31× zmenšený obraz 0,96 m za zrcadlem]

221

5.2-14. Jaká musí být optická mohutnost oka, má-li obraz vzniknout na sítnici 1,8 cm za čočkou a pozorovaný předmět je před okem ve vzdálenosti a) 20 cm, b) 2 m, c) 20 m? Jaký obraz vzniká? D

[

D

D reálný, převrácený]

5.2-15. Jaká čočka zobrazí předmět ze vzdálenosti [spojka, ]

do vzdálenosti

.?

5.2-16. Jaký okulár musíme použít u mikroskopu, jehož optický interval je a ohnisková vzdálenost objektivu , abychom pozorovali předmět převrácený a 50× zvětšený? [spojku, ] 5.2-17. Jaké je zvětšení Keplerova dalekohledu, je-li ohnisková vzdálenost objektivu okuláru ? [

]

222

a

5.3. FOTOMETRIE Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát: V této podkapitole se budeme zabývat pouze energií přenášenou viditelnou částí elektromagnetického záření – světelnou energií, nikoli celkovou zářivou energií. Seznámíte se zde s pojmy, s jakými se setkáváte např. na obalech různých světelných zdrojů (svítivost, světelný tok, účinnost), případně v normách pro vybavení různých pracovních ploch (intenzita osvětlení). Budete tak schopni porovnat efektivnost různých světelných zdrojů, navrhnout osvětlení pracoviště nebo třeba i domácí kuchyňské linky. Světelný tok a času :

je výkon světelného záření přenášený danou plochou (podíl přenesené světelné energie

(jednotkou je lumen; lm, zohledňuje i různou citlivost oka na různé barvy). Svítivost zdroje I je definována jako podíl světelného toku vyzařovaného bodovým zdrojem do určitého prostorového úhlu a tohoto úhlu

(jednotkou je kandela; cd, základní jednotka SI). Prostorový úhel je část prostoru vymezená oblastí směrů z pevného výchozího bodu, numericky je roven ploše, jakou tyto směry vytínají na povrchu koule o poloměru , pro jiný poloměr jej lze vypočítat jako

(jednotkou je steradián; sr). Účinnost světelného zdroje vyzářeného světelného toku a příkonu zdroje P

(jednotkou je lm·

; protože

-1

je definována jako podíl celkového

, může být

).

Plošné zdroje světla charakterizujeme veličinou nazvanou jas (jednotkou je nit; nt neboli cd·m-2). Vyjadřuje podíl svítivosti v daném směru a plošky, která se jeví jako její zdroj (skutečná vyzařující plocha je , její normála svírá úhel s daným směrem, viz obrázek 5.3-1).

Běžné povrchy obvykle vyzařují jako kosinové zářiče: jejich jas nemění v závislosti na úhlu .

223

0

(Lambertův zákon). Pak se

5.3-1 Osvětlení (intenzita osvětlení) je podíl světelného toku a plochy, na kterou tento tok dopadá

(jednotkou je lux; lx). PŘÍKLADY: 5.3-1. Bodové LED stropní svítidlo o příkonu vyzařuje tak, že z výšky osvětluje prakticky rovnoměrně pouze kužel o poloměru základny Intenzita osvětlení změřená uprostřed podstavy kužele je Jaká je svítivost a světelná účinnost tohoto zdroje? Řešení: Předpokládáme-li světelný tok bude pro něj platit

kde

rovnoměrně rozložený do kužele vymezeného prostorovým úhlem ,

je plocha vrchlíku koule o poloměru vymezená daným prostorovým úhlem.

Svítivost zdroje uvnitř kužele pak je

Vně kužele dle zadání je svítivost nulová. Pro vyjádření světelné účinnosti zdroje potřebujeme znát jeho celkový světelný tok vyjádříme prostorový úhel , do kterého svítidlo vyzařuje. Pro úhel platí

√

. Nejprve

√

Kužel odpovídá prostorovému úhlu, který lze ve sférických souřadnicích vypočítat prostřednictvím integrálu (viz obrázek 5.3-2)

224

∫∫

[

∫

]

Obr. 5.3-2

Obr. 5.3-2 Předpokládáme-li světelný tok rovnoměrně rozložený do celého kužele, bude platit (

√

)

po dosazení (

)

√

Světelná účinnost zdroje pak je lm

1

5.3-2. Významnou roli z hlediska světelného komfortu místnosti hraje i odrazivost povrchů (poměr intenzity odraženého světla k dopadajícímu), zejména stropu a stěn. Pokud do čtverce o ploše 2 m2 na bílou stěnu s odrazivostí 0,7 dopadá světelný tok 400 lm, jaké je osvětlení a jas stěny za předpokladu, že stěna odráží světlo jako kosinový zářič? Řešení: Za předpokladu rovnoměrného rozložení světelného toku plochu je její osvětlení :

225

dopadajícího na uvedenou

Při odrazivosti 0,7 bude celkový odražený světelný tok . Za předpokladu platnosti Lambertova zákona se směrově rozloží do celého poloprostoru tak, že bude platit: 0 Odražený světelný tok tedy bude ⁄

⁄

∫ ∫

⁄

∫

[

⁄

Svítivost stěny v kolmém směru pak

⁄

Jas stěny při pohledu pod úhlem bude (odrážející plocha je totožná s osvětlenou, 0

]

0

07

)

07

5.3-3. Jaká je svítivost 60 žárovky, je-li její světelný tok vyslaný do celého prostoru 720 lm? Jaká je její světelná účinnost? Jakou kompaktní zářivkou ji můžeme nahradit, předpokládáme-li přibližně stejné směrové charakteristiky a světelná účinnost udávaná výrobcem těchto zdrojů je 60 lm· -1? lm

[

1

´

12

]

Obr. 5.3-3

5.3-4. Při pouličním osvětlení se často používají sodíkové výbojky (mají typické nažloutlé světlo), jejichž světelná účinnost dosahuje vysokých hodnot cca 180 lm· -1 a vyzařují do širokého prostorového úhlu. V současnosti jsou někde nahrazovány LED svítidly, která mají nižší světelnou účinnost kolem cca 80 lm· -1, ale svítí bíle a jen do mnohem menšího prostorového úhlu. Svítí-li LED svítidlo pouze do kužele o vrcholovém úhlu 1 60° a sodíková výbojka má 2 330° (obrázek 5.3-3), porovnejte jejich svítivost v ose kužele při stejném příkonu. Nápověda: pro určení prostorového úhlu můžete použít postup jako v příkladu 5.3-1. [

LED ⁄ Na

65]

226

5.3-5. Jaký je poměr osvětlení zemského povrchu v Ostravě za jasného dne v hvězdném poledni v den zimního a letního slunovratu, je-li Slunce v nejvyšším bodě v létě 1 63°37 nad obzorem a v zimě 2 16°43 nad obzorem (viz obrázek 5.3-4)? Mírně větší vzdálenost Země od Slunce v létě a vliv atmosféry zanedbejte. [

z⁄ L

0 32 ]

Obr. 5.3-4 5.3-6. Do jaké výšky nad stolem je třeba pověsit žárovku o svítivosti 60 cd, aby byl střed stejně osvětlen jako od žárovky se svítivostí 120 cd, visící ve výšce nad stolem? [

]

5.3-7. Jakou minimální svítivost musí mít bodový zdroj, aby jej lidské oko ještě bylo schopno detekovat za tmavé noci na vzdálenost 10 km? Lidské oko registruje nejmenší osvětlení

[

]

5.3-8. Svítivost majáku v určitém směru je Jak by jím byla osvětlena loď, stojící kolmo ve směrudopadajících paprsků ve vzdálenosti 2 km? Jaký by byl jas lodi, pokud by difuzně odrážela polovinu dopadajícího světla (jako kosinový zářič, viz příklad 5.3-2)? [

]

227

5.4. VLNOVÉ VLASTNOSTI SVĚTLA Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát: Optická dráha je vzdálenost, kterou by světlo urazilo ve vakuu za stejnou dobu, jako urazilo svou dráhu v daném optickém prostředí; jestliže v prostředí o indexu lomu n světlo urazí skutečnou dráhu s, je jeho optická dráha . Interference (skládání) světelného vlnění vzniká za předpokladu jeho časové i prostorové koherence (fázový rozdíl skládaných vln je v uvažovaném bodě prostoru v čase konstantní). To se realizuje rozdělením a následným spojením paprsku z jednoho zdroje. Při interferenci se elektrické a magnetické intenzity skládaných vln sčítají.

1. Je-li rozdíl optických drah , kde je vlnová délka světla a celé číslo, tedy celistvému násobku vlnové délky, sejdou se oba paprsky ve fázi a nastává interferenční maximum (konstruktivní interference, světlý proužek na stínítku). 2.

Je-li rozdíl optických drah

tj. lichému násobku půlvln, sejdou se

oba paprsky v protifázi a nastává interferenční minimum (destruktivní interference, tmavý proužek na stínítku). V ostatních případech se vlny částečně zeslabují nebo zesilují. Pozor: Při odrazu paprsku na rozhraní s opticky hustším prostředím se jeho fáze mění na opačnou (jako by se optická dráha změnila o ⁄ )! Možností realizace uspořádání pro interferenci světla je mnoho, zde se seznámíme pouze s interferencí na tenké planparalelní a klínové vrstvě, dvojštěrbině a mřížce (zde dochází současně k ohybu světla (difrakci) mimo oblast přístupnou podle geometrické optiky) a jednoduchým interferometrem. PŘÍKLADY: 5.4-1. Na klínovou vrstvu tvořenou sklem o indexu lomu umístěným ve vzduchu dopadá kolmo k povrchu svazek rovnoběžných paprsků o vlnové délce . Jaký úhel svírají stěny klínu, je-li vzdálenost mezi dvěma sousedními světlými (červenými) proužky ?

Obr. 5.4-1 Řešení: Nápověda: Protože hledaný úhel bude velmi malý, lze zanedbat lom paprsků na rozhraních. Interferovat budou paprsek odražený hned na prvním rozhraní s paprskem odraženým až na druhém rozhraní (paprsky vícenásobně odražené mají mnohem menší intenzitu).

228

První paprsek se odráží o prostředí s větším indexem lomu, převrací se tedy fáze, což odpovídá posunu o ⁄ Dráha druhého paprsku je delší o dvojnásobnou tloušťku klínu v daném místě (prochází tam a zpět), jeho optická dráha zohledňující index lomu skla je delší o . Odráží se o opticky řidší prostředí, jeho fáze se tedy odrazem nemění. Celkově pro rozdíl optických drah v oblasti n-tého světlého proužku musí platit

Pro

1 proužek bude

Odečtením obou rovnic dostaneme ( Z obrázku současně plyne, že

)

, takže (

)

Odtud vrcholový úhel klínu arctan

(

arctan

)

660

̇

76

(Při výpočtu můžeme využít i toho, že pro velmi malé úhly

vyjádřeno v radiánech.)

5.4-2. Jaká je vlnová délka monochromatického světla použitého u Youngova pokusu (obrázek 5.4-2), když na stínítku vzdáleném od štěrbin jsou sousední interferenční maxima od sebe vzdálena o ? Štěrbiny jsou od sebe vzdáleny o a vycházejí z nich koherentní paprsky. Předpokládáme interferenci světla prošlého první a druhou štěrbinou. Rozdíl optických drah je √

(

⁄ )

√

(

⁄ )

Lze jej vyjádřit jako (

⁄ )

⁄ )

(

̇

kde je vzdálenost středu dvojštěrbiny od daného bodu na stínítku a úhel, pod nímž je tento bod vidět při pohledu od dvojštěrbiny. Využili jsme toho, že .

229

Obr. 5.4-2 Podmínka pro interferenční maximum tedy bude stínítku ve vzdálenosti

takže n-té maximum vznikne na

a vzdálenost sousedních maxim bude

Odtud

Bylo použito světlo o vlnové délce 600 nm.

5.4-3. Na vrstvu oleje o tloušťce , která je na vodě, dopadá kolmo bílé světlo. Která barva vyhasne a která bude nejsilnějiodražena, je-li rychlost světla v oleji a ve vodě je větší? [

]

230

Obr. 5.4-3 5.4-4. Na mřížku se 100 vrypy na 1 mm dopadá kolmo rovnoběžný svazek koherentního červeného světla o vlnové délce λ = 700 nm. V jaké vzdálenosti od sebe budou první a třetí světlý proužek na stínítku postaveném ve vzdálenosti od mřížky? Nápověda: interferenční maxima vznikají pod stejnými úhly jako u dvojštěrbiny se stejnou vzdáleností štěrbin, jako je vzdálenost sousedních vrypů mřížky. [

]

5.4-5. Mřížky s vysokou hustotou vrypů se používají k rozkladu světla ve spektrometrech. Pod jakými úhly vzniknou první maxima pro jednotlivé čáry rtuťové výbojky o vlnových délkách 436nm (modrá), 546 nm (zelená) a 578nm (žlutý dublet), má-li mřížka 600 vrypů na mm? [

]

5.4-6. Interferometry jsou velmi citlivá měřicí zařízení. Mohou sloužit mimo jiné k měření indexu lomu vzduchu, který se jen velmi málo liší od indexu lomu vakua (1). Předpokládejme, že interferometr na obrázku 5.4-4 je seřízen tak, že obě ramena jsou stejně dlouhá a je-li v obou celách stejné prostředí, po průchodu interferometrem tedy interferují první a druhý paprsek konstruktivně (v praxi se někdy spíše sledují interferenční proužky na malé plošce za interferometrem). Nyní z první cely vyčerpáme vzduch, takže v ní bude vakuum. Pak pomalu vpouštíme vzduch zpět, až se tlak vyrovná s okolím. Na výstupu z interferometru se střídají maxima a minima. Jaký je index lomu vzduchu, jestliže cela je dlouhá a při pozorování ve světle He-Ne laseru o vlnové délce napočítáme při přechodu z vakua k normálnímu tlaku postupně celkem 44 maxim? Nápověda: rozdíl optických drah v trubici s vakuem a vzduchem musí odpovídat uvedenému násobku vlnových délek použitého světla. [

1 000278 ]

231

Obr. 5.4-4

232

5.5. KVANTOVÉ VLASTNOSTI SVĚTLA Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát: Planckova kvantová hypotéza – byla vyslovena při snaze vysvětlit vlastnosti tepelného záření těles a zní: energie elektromagnetického záření je kvantována, nejmenší kvantum energie , kde 34 6 626 10 J s je Planckova konstanta a je frekvence. Tato kvanta nazýváme fotony. V kvantové fyzice se energie se často udává v jednotkách elektronvolt (je rovna kinetické energii, jakou získá elektron urychlený napětím jednoho voltu): Uveďme alespoň dva jevy, kde se kvantování světla projevuje.

1. Záření zahřátých těles – pro absolutně černé těleso (těleso, které všechno záření na ně dopadající pohltí a vyzařuje v závislosti pouze na své teplotě jako ideální zářič). Planckova hypotéza vede na Planckův vyzařovací zákon pro spektrální hustotu vyzařování (vztah nemusíte znát zpaměti), viz obrázek 5.5-1:

Zde je Boltzmannova konstanta, je rychlost světla ve vakuu a termodynamická teplota tělesa (v kelvinech). Má dva důležité důsledky: a) Wienův posunovací zákon

je

popisující, jak se posouvá vlnová délka, na níž je vyzařováno maximum energie, s teplotou. Vysvětluje mimo jiné to, proč se barva vysoce zahřátých těles se změnou teploty mění. Toho využívají např. barvové pyrometry pro měření vysokých teplot. b) Stefanův-Boltzmannův zákon pro celkový výkon (i mimo viditelnou oblast) vyzařovaný jednotkovou plochou povrchu tělesa (na obrázku odpovídá ploše pod křivkou) je Stefanova – Boltzmannova konstanta. Umožňuje například vypočítat teplotu Slunce nebo měřit teplotu těles infračerveným teploměrem či jasovým pyrometrem. Reálná tělesa nejsou absolutně černá podle výše uvedené definice, část dopadajícího záření odrážejí, a to spektrálně selektivně, to vnímáme jako jejich různé barvy při běžných teplotách. Jsou-li zahřáta, vyzařují zase méně energie, než by odpovídalo Planckovu vyzařovacímu zákonu, , kde spektrální emisivita Je-li spektrální emisivita stejná pro všechny frekvence, mluvíme prostě o emisivitě a těleso označujeme za šedé (většinou lze tuto aproximaci přijmout pouze v určité oblasti). 2. Fotoelektrický jev – dopadá-li světlo (resp. obecněji elektromagnetické záření) na kovový nebo polovodičový vzorek, může být pohlceno elektrony. Při vnitřním fotoelektrickém jevu elektrony uvnitř polovodiče přecházejí z valenčního do vodivostního pásu, čímž vzroste vodivost materiálu - tento princip využívají fotodiody a solární články; pro jeho detailnější pochopení je však třeba určitý základ z oblasti pevných látek, který přesahuje rámec tohoto učebního textu. Další možností je vnější fotoelektrický jev, pozorovaný zejména u kovů, záření zde uvolňuje elektrony ze vzorku do okolí. Elektrony pro opuštění kovu potřebují překonat určitou potenciálovou bariéru, potřebnou energii označujeme jako výstupní práci . Pro každý kov existuje mezní frekvence záření (pro každý kov), při níž ještě dochází k uvolňování elektronů 233

(pro nižší frekvence jev nenastává). Hustota fotoelektrického proudu je pak úměrná osvětlení a kinetická energie uvolněných elektronů (fotoelektronů) roste lineárně s frekvencí světla. Jev lze vysvětlit jako interakci elektronu s jediným fotonem (a je proto potvrzením Planckovy kvantové hypotézy), zákon zachování energie při fotoefektu popisuje tzv. Einsteinův vztah:

Obr. 5.5-2 PŘÍKLADY: 5.5-1. Platnosti Planckova vyzařovacího zákona využívají i v současnosti čím dál oblíbenější bezdotykové infračervené teploměry. Ty nejběžnější snímají celkovou intenzitu vyzařování v infračervené oblasti v rozpětí typicky cca Nalezněte hodnoty maxima vyzařování černého tělesa pro obvykle měřené teploty cca od -50°C do +250°C. Dále ukažte, že při je pro všechny vlnové délky spektrální hustota vyzařování 1 2 , tj. křivky na obrázku 5.5-1 se mimo hodnot 0a neprotínají a uvedený princip měření je tedy skutečně možný. Řešení: Vyjdeme z

ienova posunovacího zákona, kde jen pro lepší názornost převedeme jednotky:

po dosazení

Pro obě hodnoty leží maximum vyzařování buď přímo ve snímaném intervalu, nebo blízko něj, pro vyšší teplotu by byl vhodnější interval kratších vlnových délek. Pro odpověď na druhou otázku použijeme přímo Planckův vyzařovací zákon a vyjádříme podmínku pro případný průsečík křivek 1 2 Dostaneme 2

2 1

5

1 exp

2

2 1

1

5

234

1 exp

2

1

2

odkud je okamžitě zřejmé, že rovnost pro různé teploty nastat nemůže (mimo 0 a vždy 2 . 1

a skutečně bude

5.5-2. Na 1 m2 zemského povrchu dopadá 1360 J tepelné energie za 1 s. Jakou povrchovou teplotu má Slunce, pokud pohltivost zemské atmosféry zanedbáme? Poloměr Slunce je ,

Obr. 5.5-3 vzdálenost Země od Slunce Řešení: Slunce vyzařuje do celého prostoru podle Stefanova-Boltzmannova zákona výkon 2

4

Země leží na myšlené kulové ploše se středem ve Slunci a poloměrem , na níž je tento výkon 2 rovnoměrně rozložen. Povrch této koule je Na 1 m2zemského povrchu tedy dopadá za 1 s energie 2

4

2 4

2

2

a povrchová teplota Slunce tedy bude 4

√

2 2

4

√

2

1360 5 67 10

8

2

K ̇ 5780 K

Teplota povrchu Slunce je nejméně 5780 K (vzhledem k tomu, že část záření se rozptýlí v atmosféře). 5.5-3. Výstupní práci elektronů z kovu a Planckovu konstantu lze měřit tak, že fotonku zapojíme sériově s citlivým ampérmetrem a zdrojem brzdného napětí, působícího proti vylétajícím fotoelektronům. Teče-li při nulovém brzdném napětí obvodem po osvětlení katody fotonky proud, postupným zvyšováním brzdného napětí proud klesá, až zcela ustane. Fotonkou s cesiovou katodou jsme osvětlili téměř monochromatickým zářením o vlnových délkách a (modré a zelené laserové ukazovátko) a zjistili, že proud fotonkou ustane v prvním případě při brzdném napětí , ve druhém pro . Na základě těchto výsledků vypočtěte Planckovu konstantu a vyjádřete výstupní práci pro cesium v elektronvoltech. Řešení: Pro oba světelné zdroje musí platit Einsteinova rovnice fotoefektu, kde navíc uvážíme, že proud ustane pro brzdné napětí, pro něž už fotoelektrony nejsou schopny překonat brzdný potenciál, tj. kde

235

1 602 je náboj elektronu. Dále využijeme vztah mezi rychlostí světla, jeho vlnovou délkou a frekvencí Bude

Odečtením obou rovnic vyloučíme zatím neznámou výstupní práci 1 602 (

)

(

3

)

a po úpravě dostaneme J

6 63

J

Výstupní práci vyjádříme třeba z prvního vztahu (

6 63

Planckovu konstantu jsme určili

3

6 63

1 602 J

0 69)

a výstupní práci Cs fotonky

.

5.5-4. Oko je velmi citlivý detektor světla - udává se, že je schopno za optimálních podmínek detekovat i dopadající světelný výkon cca přičemž až na sítnici projde jen asi 10% dopadajících fotonů. Kolik fotonů o vlnové délce 500 nm by muselo dopadnout do oka a kolik na sítnici, aby oko registrovalo záblesk trvající 100 ms? [asi 100 fotonů do oka a 10 na sítnici] 5.5-5. Kolik energie by v mezihvězdném prostoru ztratil za půl hodiny člověk o povrchové teplotě 35°C, pokud by nebyl dostatečně tepelně izolován skafandrem? Povrch lidského těla je asi 2 m2, záření z okolí neuvažujte. [

]

5.5-6. Bezpečnostní čidla (tzv. čidla pohybu) obvykle nedetekují samotný pohyb, ale spíše změny teploty prozrazující výskyt osob ve střežené oblasti. Na jakou vlnovou délku by mělo být nejcitlivější teplotní bezpečnostní čidlo, předpokládáme-li povrchovou teplotu lidského těla 35 °C? [

]

5.5-7. Jaká je teplota povrchu Slunce, považujeme-li je za absolutně černé těleso a jeho maximum monochromatického vyzařování připadá na vlnovou délku ? [

]

5.5-8. Jaký je příkon elektrického proudu procházejícího wolframovým vláknem klasické žárovky průměru a délky , září-li jako absolutně černé těleso na teplotě ? Ztráty tepelnou vodivostí zanedbejte. [

]

5.5-9. Jaká je největší kinetická energie a rychlost fotoelektronů emitovaných z povrchu stříbrného vzorku ozářeného monochromatickým UV zářením o vlnové délce ? Červená hrana fotoefektu pro tento prvek je nm.

236

[

]

5.5-10. Osamocená niklová koule je osvětlována monochromatickým zářením o vlnové délce Na jaký největší potenciál vůči nekonečnu se tímto světlem může díky fotoefektu nabít, je-li výstupní práce niklu ? [

]

237

5.6. STAVBA ATOMU A JEHO JÁDRA Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát: Na úrovni mikrosvěta platí poněkud jiné fyzikální zákony, než na jaké jsme zvyklí ze světa běžných měřítek. Chování objektů zde popisuje kvantová mechanika, která je však mimo rámec tohoto učebního textu. Seznámíme se zde tedy pouze s několika nejdůležitějšími skutečnostmi, které mají přímé makroskopické důsledky. Atomy jsou tvořeny jádrem, ve kterém se nacházejí protony a neutrony, a elektronovým obalem. Elektrony nacházející se ve stacionárních stavech v atomu splňují tzv. Bohrovy postuláty

1. Elektrony ve stacionárních stavech v atomu se mohou nacházet pouze na určitých energetických hladinách, v těchto stavech nevyzařují energii. Pro vodík je nejnižší energetická ⁄ , kde hladina a pro další hladiny platí je tzv. hlavní kvantové číslo. 2. Elektrony vyzařují energii pouze při přechodu mezi dvěma stacionárními hladinami, pak platí, že energie vyzářeného fotonu je rovna rozdílu energií těchto hladin . 3. Ve stacionárních stavech mají elektrony současně kvantovaný i moment hybnosti, ten je určen vedlejším kvantovým číslem . Z kvantové teorie dále vyplývá i kvantování průmětu momentu hybnosti do význačného směru, odpovídající magnetické kvantové číslo je , a existence vnitřního magnetického momentu elektronu, charakterizovaného spinem

1 . 2

Pro atomy s více elektrony (a systémy s více

elektrony obecně) je zásadní Pauliho vylučovací princip, který říká, že v jednom atomu nemohou mít dva elektrony shodná všechna kvantová čísla – důsledkem je postupné obsazování hladin podle energetické výhodnosti a velmi rozdílné chování atomů různých prvků podle toho, jak jsou zaplněny jednotlivé elektronové slupky a podslupky. Jádro atomu je tvořeno nukleony – protony a neutrony. Prvek je určen počtem protonů v jádře (a protože atom je za normálních podmínek elektricky neutrální, i elektronů v obalu), počty neutronů se mohou mírně lišit – prvek má různé izotopy kde je celkový počet nukleonů v jádře (nukleonové číslo). Nukleony v jádře jsou vázány dohromady tzv. vazebnou energií jádra . Ta udává, jakou práci je třeba vykonat, aby jádro bylo rozloženo na jednotlivé nukleony. Protože platí Einsteinův vztah mezi hmotností a energií odpovídá vazebné energii tzv. hmotnostní schodek jádra – ten představuje rozdíl mezi celkovou hmotností jednotlivých nukleonů a skutečnou (experimentálně zjištěnou) hmotností jádra , které je z nich složeno: [(

)

]

Kde je hmotnost protonu a hmotnost neutronu. Vazebná energie připadající na jeden nukleon se u různých jader liší, největší je u železa – proto lze získávat energii slučováním jader lehkých prvků (jaderná syntéza) nebo štěpením jader prvků těžkých. Některé izotopy jsou přirozeně nestabilní a rozpadají se na izotop jiného prvku, to označujeme jako přirozenou radioaktivitu. Při rozpadu se mohou uvolňovat další částice:

238

1. 2. 3.

záření - jádra záření - elektrony nebo pozitrony záření - elektromagnetické záření (fotony).

U jaderných reakcí platí zákon zachování energie, zákon zachování protonového a nukleonového čísla: ∑ a∑ Jaderné přeměny nazýváme podle uvolňovaných částic  rozpad a  rozpad, přičemž záření oba rozpady provází (jako důsledek zákona zachování energie). Při přirozené radioaktivitě je relativní počet rozpadlých radioizotopů za časovou jednotku stálý (jádra nemají „paměť“). Odtud plyne zákon radioaktivní přeměny

kde je počet dosud nerozpadlých jader v čase je počet jader v čase a je rozpadová konstanta. Přirozené radionuklidy charakterizuje poločas přeměny (rozpadu) , je to doba, za kterou se rozpadne právě polovina původního počtu jader. Lze snadno ukázat, že platí . Při průchodu látkovým prostředím je radioaktivní záření pohlcováno, platí

kde je tzv. součinitel zeslabení pro dané záření (záleží i energii částic) a materiál, je tloušťka materiálu, je intenzita dopadajícího záření a je intenzita prošlého záření. Pro různé typy záření lze materiál charakterizovat různou polovrstvou , což je tloušťka materiálu, která intenzitu redukuje na polovinu. Lze ukázat, že platí . Z hlediska ochrany před radioaktivním zářením je důležitá také aktivita radioaktivního zářiče která udává počet rozpadů za časovou jednotku (jednotkou aktivity je becquerel, Bq, který odpovídá jedné přeměně za 1s)

Kromě přirozené radioaktivity existují i jaderné reakce vyvolané uměle, ty se neřídí výše uvedeným rozpadovým zákonem, ale zákony zachování zůstávají v platnosti. PŘÍKLADY: 5.6-1. Určete vlnové délky spektrálních čar vodíku spadajících do viditelného spektra. Řešení: Energie základního stavu atomu vodíku je obrázek 5.6-1.

, pro další hladiny platí

Energie fotonů viditelného světla 390–760 nm vypočteme podle Planckova vztahu 6 626 min

3

max

239

1⁄

2

, viz

analogicky dostaneme

max

leží v intervalu 〈1 64 3 19〉 eV

Energie fotonů viditelného světla tedy

min

Obr. 5.6-1 Nyní se podíváme, mezi jakými hladinami musí přeskočit elektron, aby uvolněná energie padla do tohoto intervalu. Při přeskoku na první hladinu je rozdíl energií nejméně 21

2

1 ( 2 2

1

1 12

)

1

10 2 eV

tato energie odpovídá ultrafialovému záření. Obdobně můžeme vyloučit emisi fotonu viditelného světla při přeskoku na třetí či vyšší hladinu, ty odpovídají infračervené oblasti. Při přeskoku na druhou hladinu ( 2 se trefíme do viditelné oblasti pro 3 4 5 6, další čáry jsou již na hranici UV oblasti. Platí (

1

1

2)

2

[

1

1

(

1

1

1

2 )]

2

Po dosazení

32

13 605 1 6 10 [ 6 626 3

analogicky další čáry

42

486 nm,

52

19

(

1

1

32

22

434 nm

1

)] 62

m

656 10

19

m

656 nm

410 nm.

5.6-2. Pomocí Pauliho vylučovacího principu určete, jaké je nejvyšší atomové číslo prvku, jehož elektrony v základním stavu obsadí pouze hladiny s 2 Řešení: K hlavnímu kvantovému číslu přísluší vedlejší kvantové číslo a k němu magnetické kvantové číslo . V každém takto určeném stavu jsou navíc dvě možné orientace spinu

1 . 2

240

1. Pro musí být (v chemii se tato podslupka označuje jako 1s) a , na této hladině tedy mohou být pouze 2 elektrony s opačným spinem. 2. Pro může být (podslupka 2s) nebo (podslupka 2p). V podslupce 2s je opět , mohou tu být opět pouze 2 elektrony s opačným spinem. V podslupce 2p může být , celkem zde může být (s uvážením spinu) elektronů. Na první hladině mohou být 2 elektrony, na druhé nejvýše 2+6 elektronů, obě tyto slupky bude mít zaplněny atom s protonovým číslem 10, tedy neon. Poznámka: Dá se obecně ukázat, že na n-té hladině může být celkem 2

2

elektronů.

5.6-3. Jaká část atomů thoria se rozpadne za 1 sekundu, je-li poločas rozpadu tohoto prvku τ 1017 s?

4 416

Řešení: Hledáme poměr

0 0

v čase

1 s. Vyjdeme ze zákona radioaktivní přeměny

odkud pro poločas rozpadu plyne

po dosazení v obecném čase 0

4 416 1017

hodnota v exponentu je ale tak malá, že ji běžné kalkulátory neodliší od jedničky. Pomůžeme si tedy rozvinutím v řadu: 2

1

2

3

3

odkud v našem případě stačí uvažovat první dva členy. Po dosazení 0

(

)

4 416 1017

10

18

nebo také můžeme vyjádřit, z kolika atomů se jeden rozpadne: 4 416 1017

0

6 37 1017

5.6-4. V jaderných elektrárnách se po aktivaci pomalými neutrony štěpí uran v reakci 1 0n

235 U 92

X

Určete neznámý izotop X

241

89 36Kr

3 10n

Řešení: Musí platit zákon zachování protonového a nukleonového čísla, tedy: 1 0

235

89

3 1

144

92

36

3 0

56

V tabulkách k danému protonovému číslu dohledáme prvek, jedná se o baryum 144 56Ba 5.6-5. Jaké množství energie se uvolní při reakci z předchozí úlohy, je-li hmotnost neutronu n = 1,674 927 ⋅ 10–27 kg a atomové relativní hmotnosti uvedených izotopů uranu U 235 043 930 barya Ba 143 922 953 a kryptonu Kr 88 917 631? Atomová hmotnostní konstanta u = 1,660 539 ⋅ 10-27 kg. Řešení: Energii vypočítáme podle Einsteinova vztahu kde představuje rozdíl ve hmotnostech částic do reakce vstupujících (jeden neutron, uran) a z ní vystupujících (baryum, krypton a tři neutrony) , [

po úpravě:

]

.

Po dosazení numerických hodnot dostáváme výsledek 2,78 J = 174 eV. 5.6-6. Určete vlnovou délku spektrálních čar, které se mohou objevit při přechodu atomu vodíku z excitovaného stavu, kdy se elektron nachází na třetí kvantové hladině, do základního stavu. [

31

103nm,

32

659 nm

21

122 nm.]

5.6-7. Pomocí Pauliho vylučovacího principu určete, kolik elektronů v jednom atomu může mít současně hlavní kvantové číslo 3. [

18]

5.6-8. V archeologii se k určování stáří organických materiálů používá detekce rozpadů radioaktivního uhlíku 146C. Ten vzniká ve stratosféře z dusíku vlivem kosmického záření a je součástí potravního řetězce všech živých organismů. Po dobu jejich života je jeho hladina v organismu stálá, po smrti už pouze klesá v důsledku přirozeného radioaktivního rozpadu podle vztahu: 14 6C

14

0 → 7N e Poločas tohoto rozpadu je 5730 let. O kolik procent je nižší aktivita 1e stejně velkého vzorku stromu, který odumřel před 2 tisíci lety, ve srovnání se stromem poraženým dnes?

[o 21,5%] 5.6-9. Po havárii jaderné elektrárny v Černobylu v roce 1986 bylo radioaktivní zamoření detekováno i na našem území. Ze zdravotního hlediska byl rizikový zejména výskyt jódu 131 53I s poločasem 134 137 rozpadu 8 dní, cesia 55Cs s poločasem rozpadu 2 roky, cesia 55Cs s poločasem rozpadu 30,2 let a stroncia 90 38Sr které se ukládá v kostech a má poločas rozpadu 28,8 let. Porovnejte,

242

kolikrát pokleslo zamoření těmito izotopy v důsledku jejich radioaktivního rozpadu za 25 let od havárie. [jod už je (vzhledem k výchozímu počtu jader) dávno zcela rozložen, 134 55Cs 5793×, 1,83×] 5.6-10. Jaký izotop vznikne z

238 92U

137 55Cs

1,77×, 90 38Sr

po dvou rozpadech β a jednom rozpadu α?

[ 234 92U] 208 5.6-11. Konečným produktem radioaktivního rozpadu 232 90Th je 82Pb Kolik α a β částic se při rozpadu uvolní?

[6α, 4β] 5.6-12. Aktivita radioaktivního vzorku klesla za hodinu z 1 30 108 B na 1 15 108 B poločas rozpadu materiálu? [

Jaký je

2 104 s]

5.6-13. Hmotnost deuteria 21D je 3 34447 10 27 kg hmotnost tritia 31T je T 5 00819 27 10 kg. Jedním z perspektivních zdrojů energie je jaderná fúze těchto izotopů vodíku, daná 4

vztahem: 21D 31T → 2He 10n Je i součástí jaderného řetězce probíhajícího ve Slunci. Kolik energie se jednou takovou reakcí uvolní? Hmotnost neutronu = 1,674 927 ⋅ 10–27 kg, 42He helia = 6,64647 ⋅ 10–27 kg. [17,6 eV] 5.6-14. Porovnejte vazebnou energii na jeden nukleon u železa 56 26Fe, jehož atomová relativní hmotnost 238 je 55,93494, a uranu 92U jehož atomová relativní hmotnost je 238,05079. Atomová hmotnostní konstanta u = 1,660 539 ⋅ 10-27 kg, hmotnost protonu = 1,672 62⋅ 10–27 kg, hmotnost neutronu = 1,674 93 ⋅ 10–27 kg [železo

uran

.]

5.6-15. Nejpronikavější ze tří typů radioaktivního záření je záření . Vypočtěte, jaká by musela být tloušťka vrstvy betonu a olověné desky, aby intenzita 1MeV gama záření poklesla 1000 jeli polovrstva betonu 45 mm a olova 9 mm. [cca 45 cm betonu nebo 9 cm olova]

243

Použitá literatura 1.) Friedman, R.: Principles of fire protectiopn chemistery and physics, NFPA Quincy Massachusetts, 1998, ISBN: 0-87765-440-9 2.) Shackelford, R.: Fire behavior and combustion processes, DELMAR CENGAGE Learning,2010, ISBN-13: 978-1-4018-8016-3 3.) Kleinbach, H., Hinrichs, A. .: Energy its use and the enviromental (Fifts edition), BROOKS/COLE GENGAGE Learning 2011, ISBN-13: 978-1-133-10902-0 4.) Monteith, J., Unworth, M.: Principles of enviromental physics (3rd edition), AP ELSEVIER 2010, ISBN 978-12-505103-3 5.) Syed NAeem, A.: Physics & engineering of readiation detection AP ELSEVIER 2007, ISBN-13: 978-0-12-045581-2 6.) Halliday, D., Resnick, R., Walker, R.: Fyzika 1.-5. část, (VUT Brno) VUTIUM a Prometheus Praha, ISBN 80-214-1868-0 7.) Barčová, K., Foukal, J.: Bakalářská fyzika pracovní texty…VŠB-TU Ostrava 2005, ISBN: 80-76634-45-0 8.) Hajko, V. a kol.: Fyzika v príkladoch, SVTL Bratislava (2. vydanie), SNTL Praha 1962 9.) Hanzelik, F. a kol.: Zbierka riešených úloh z fyziky, Alfa Bratislava, 1989, ISBN 8005 00050-2 10.) Fojtek, A.: Bakalářská fyzika, VŠB-TU Ostrava 2005, ISBN 80-248-0950-8 11.) Fojtek, A.: Sbírka příkladů z bakalářské fyziky, VŠB-TU Ostrava 2006, ISBN 80248-1058-1 12.) Novotný, I., Pištora, J.: Fyzika I, VŠB-TU Ostrava 1981, ISBN 80-7078-834-8 13.) Kolektiv katedry fyziky: Sbírka příkladů z fyziky, VŠB-TU Ostrava 1971

244

Sbírka úloh z fyziky se zaměřením na oborovou problematiku

Recommend Documents