Sbírka maturitních příkladů z matematiky Mgr. Marie Kubíčková Mgr. Radek Nowak
1. Úpravy výrazů
−1
Upravte a udejte podmínky existence výrazů
2 x 1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
( x − 1) ( x + 1) 2 2
1−
1.10.
, 1.11.
a 3 − ab 2 + b 2 b a 2 − 2ab + 2b 2 b − − =, ⋅ 3 a − b a 2 − ab + b 2 a ( a − b) 3 2 3a a 2 + ab + b 2 2a + b : 2 − ⋅ ⋅ =, 3 3 2 a+b a + 2ab + b a + b a − b b − a a2 − x2 1 + 2 a + x2 1 + 2 2 1 − a − x a2 + x2
1 ⋅ 2 1+ a x2
a 2 − x 2 =, + a − x
2 a 2 + a − 2 ( a + 2) − a 2 3 ⋅ − 2 =, n +1 n 2 a − 3a 4a − 4 a − a
(−
3
x 0, 4
)
5
+ − 2 x
a −b a+b 3 a+b a−b m−n 1
5 0 ,1⋅ 3
1
4
4
2 − 3x 3 − x −2 −4 3 3x
a −b a+b :4 3 a+b a−b
3 2
m2 − n2 1.9.
=
2
=, 5
=,
3 2
m −n − =, m−n
1 a 2 4 2 a
1 1 − −1 3x 3 x3 1 − 2x − − =, 2 1 4 1 − 3 x − 2 x 3 − 2x 3 x 3 − x 3 sin x 1 + cos x + =, 1 + cos x sin x 1 − cos 2 x sin 2 x + =. sin 2 x 1 + cos 2 x
2a : 4 4 2a −1
1 2
1 4 52 − ⋅ 3 a ⋅ ( 6a ) 2 6 27
1.12.
2. Funkce 2.1.
x−4 , log( x − 2 )
e)
y = log( cos x ) ,
x−5 , x +1
f)
y = log( cos x ) ,
)
g)
y = 6x 2 − 7x + 2 .
a)
y=
b)
y = 4 − x 2 + log
c)
y = 1 + log x 2 + 1 ,
d)
y = cos x ,
2.2. a)
(
Sestrojte grafy funkcí
c)
y = x 2 , y = x −2 , y = x , y = x −1 , 2 2 y1 = + 3 , y 2 = , x x −1 y = 2x + 3 − x − 1 ,
d)
y = x2 − x ⋅ x − 2 − 4 ,
b)
e) −1
=,
Určete definiční obor funkcí
f) g)
π y = 2 sin x − − 1 , x ∈ − 2π ;2π , 3 1 − cos x , y= 2 y = 2 sin x + 1 ,
h) i) 2.3.
1 sin 2 x , 2 π y = sin x − . 3 y=
2.8. 2.9.
d)
1− x , 1+ x 1 y = 2x ⋅ , x 1 y = ( x +1 + x −1) , 2 y = log 3 ( − x ) ,
e)
y = 2 x −1 ,
a) b) c)
2.4.
2.10.
Určete vlastnosti funkcí a sestrojte jejich graf
y = ln
f)
y = 2 − log x ,
g)
y=
h)
y = 2x − 3 ,
i)
y = 1 + log x .
2.11.
x+3 , x −1
2.12.
Z průběhu exponenciální a logaritmické funkce nahraďte znak „ ⊗ “ znaménkem nerovnosti tak aby výrok byl pravdivý
3.3. 3.4.
1
a) 0,75 2 ⊗ 1,
d) log 1 8.3 ⊗ 0,
3.5.
3
b) 1,2
− 0.3
⊗ 1,2
m
− 0, 7
,
e) log 2 3 ⊗ log 2 5,
3.6.
f) log 0,7 m < log 0,7 n ⇒ m ⊗ n.
3.7. 3.8. 3.9.
n
2 2 c) > ⇒ m ⊗ n, 3 3
x
2.6.
Určete všechna a ∈ R , pro která je funkce
a rostoucí a pro y= a +2
která klesající.
3.10. 3.11.
x
2.7.
Určete, pro která s ∈ R je definovaná funkce která s je funkce rostoucí a pro která klesající.
2 − s . Určete pro y= 3
3.12.
.
Bez použití tabulek a kalkulátorů určete hodnoty ostatních goniometrických
π sin x = 0,6 , x ∈ ; π . 2
Řešte v R rovnici: 3.1. 3e ln x − 2e ln 2 x 3.2.
t − r2
3 cos π + 2 x −π Vypočtěte hodnotu výrazu . 2 , je-li x = 4 2 cos 2 x − cos x
3. Rovnice
Určete inverzní funkci k funkci
g 2
Určete, jak dlouho a z jaké výšky padá těleso volným pádem, jestliže v poslední sekundě svého pádu urazí jednu třetinu celkové dráhy. Odvoďte sin 3α a cos 3α pomocí vhodných goniometrických vztahů.
funkcí , je-li
y = 2 x 2 , x ∈ 1; 4 . 2.5.
r3 ⋅3 Logaritmujte výraz (dekadický logaritmus) x = 2−r
x−2
5+ 2 x
+ 4e = 0 , = 3 2 x −3 − 2 2 + x ,
2 −3 log 35 − x 2 = 3, log( 5 − x )
(
)
log( x + 1) ⋅ log x + 1 − log 2
1 = 2, x +1
sin 2 x − 3 sin x cos x = 0 , 1 tg x + cotg x = 2 , 6 3 sin x − 2 cos x = 1 , cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 , 2 sin 4 x − sin 2 x = 0 , 7 sin x − 2 = 2 cos x , 1 sin 3x + cos 3 x = 1 − sin 2 x , 2 x −1 3
2 3 x −1 = 3 x −7 8 x −3 ,
3.13.
2 x − 3 + 3x + 4 − 2 x − 3 − 3x + 4 = 2 ,
3.14.
x + 1 + 2x + 3 = 1,
3.15. 3.16. 3.17.
3 1 + x − = 2, 2 2 3 24 + x + 12 − x = 6 , 2x + 1 − 2x = 2x − 1 , x+
2
3.18. 3.19. 3.20.
5.2.
x − 2 y + 2 z = −9 , 3 x − 5 y + 4 z = 10 , 5 x + 12 y + 6 z = 29 .
5.3.
3log x + 4 log y = 4 , 3 2 log x − 4 2 log y = 8 . a 2 x + ay = a , x + y =1. 4 1 − = 1, x + 2y x − 2y 20 3 + = 1. x + 2y x − 2y
2
x x + 1 , − 1,5 = x +1 x a+b 1 b +1 + = , 2a − ax + 2 − x a + 1 2 x − x 2
5.4.
5.5.
Parník potřeboval na plavbu dlouhou 48 km proti proudu a 48 km zpět dohromady 5 hodin. Jakou rychlostí by jel parník po klidné vodě , byla-li rychlost proudu 4 km.h-1 ?
4. Rovnice s parametrem
5.6.
Je dána soustava 2 rovnic o dvou neznámých x, y ∈ R s parametrem m ∈ R . Určete hodnoty parametru m tak, aby průsečík grafů byl ve III. kvadrantu, 2 x + 3 y = m ∧ 2 x − y = 1 .
5.7.
Po okruhu dlouhém 2550 m jezdí dva motocykly takovými rychlostmi, že se potkávají každou minutu, jezdí-li proti sobě a dohánějí se každých pět minut, jezdí-li týmž směrem. Určete jejich rychlosti.
5.8.
4x 2 − 4x = y 2 , 2x + y −1 = 0 .
5.9.
Vypočtěte
Řešte v R rovnici s neznámou x a parametrem:
4.1.
4.2. 4.3. 4.4. 4.5.
1 m
−
1 m
=
2m , x − m2
1 1 1 1 − + m x m x a + x 1 − 2a 1− = , a−x a +1 kx + 1 kx − 1 = , x−2 x+2 2−a 2 = + 3a , a x −1 ( m + 1) x 2 + ( 5m + 2) x + ( 6m + 1) = 0 .
5. Soustavy rovnic Řešte v
R 2 soustavu
5.1.
x − 2y + z = 0, 3 x − 5 y − 2 z = −3 , 7 x − 3 y + z = 16 .
2
I1 , I 2 , I 3
v elektrickém
U 2 = 300 V , R1 = 100Ω , R2 = 50Ω , R3 = 75Ω . 6. Nerovnice Řešte v R nerovnici nebo soustavu 6.1.
x + 2 − x ≤ 2x ,
6.2.
x + 2 − x ≥ 3− x −3 ,
I1
obvodu
R1 U1
jeli I2 R2
dáno
U 1 = 250 V , R3
I3 U2
Zobrazte
6.4.
3x − 1 < x < 3x + 1 Řešte graficky sin x > cos x ∧ tg x ≤ 3
6.5.
a
zapište
intervaly
množiny M 1
6.3.
M 2 − { x ∈ R; x + 3 ≥ 1} .
= { x ∈ R; x − 2 < 5}
a
7. Zobrazení 7.1. 7.2.
Sestrojte ∆ABC, je-li dáno va= který využijete při řešení.
V rovnoramenném trojúhelníku o základně r = 72 cm vypočtěte výšky.
8.8.
Ze všech trojúhelníků s danou stranou a a daným úhlem najděte trojúhelník s největším obvodem.
8.9.
Sílu F = 400 N , která působí na hmotný bod A, rozložte na složky
8.10.
Tři síly, jejichž velikosti jsou v poměru 9:10:17 působí v rovině v jednom bodě tak, že jsou v rovnováze. Určete velikosti úhlů mezi jednotlivými silami.
8.11.
Kružnice je rozdělena na dva oblouky, jejichž délky jsou v poměru V jakém poměru jsou obsahy obou úsečí ?
8.12.
Vypočtěte obsah pravidelného dvanáctiúhelníku, je-li délka jeho nejkratší úhlopříčky u = 15 cm.
8.13.
Určete celá čísla udávající velikosti stran pravoúhlého trojúhelníku, jehož obvod i obsah jsou vyjádřeny týmž číslem.
8.14.
Výška a rovnoběžné strany lichoběžníku jsou v poměru 512 cm2. Určete velikost výšky a základen.
8.15.
V pravidelném n-úhelníku je velikost vnitřního úhlu α = 108° a poloměr kružnice vepsané je r = 5 cm. Určete tento n-úhelník a vypočítejte jeho obsah a velikost jeho strany.
z = 80 cm a ramenech
Sestrojte ∆ABC, je-li dáno a:b:c
7.4.
Jsou dány kružnice k1= (S1; 2 cm) a k2= (S2; 4 cm), S1S2= 8 cm. Najděte body z nichž jsou obě kružnice vidět pod stejným zorným úhlem.
7.5.
Vypočtěte délku společné vnitřní tečny kružnic k2 = (S2; 4 cm), S1S2= 8 cm.
= 4:5:6, tc = 7 cm.
k1 = (S1; 2 cm) a
8. Rovinné obrazce 17 pomocí Eukleidových vět a Pythagorovy
8.1.
Sestrojte velikosti úsečky věty.
8.2.
Určete velikosti těžnic pravoúhlého trojúhelníku, je-li odvěsna a α = 24°30´ .
8.3.
Pomocí a) Pythagorovy věty, b) Eukleidovy věty o výšce vypočítejte poloměr mostního kruhového oblouku o rozpětí 2a = 80 m a výšce v = 20 m .
8.4.
Sestrojte úsečku délky
8.5.
Vypočítejte délky stran pravoúhlého trojúhelníku ABC s přeponou c , je-li t a = 10 cm, t b = 4 10 cm .
x = a +b
V trojúhelníku ABC platí úhly.
Vypočtěte výšku kopce, na jehož vrcholu je rozhledna vysoká 25 cm . Její vrchol a patu je vidět ze stanoviště v údolí pod výškovými úhly α = 29°30´ a β = 27°30´ .
5 cm, a:b:c = 2:3:4. Určete typ zobrazení,
7.3.
8.6.
8.7.
2
2
a = 24,5 cm
+ ab , je-li a > b .
α : β = 1 : 2, a : b = 2 : 3 . Určete jeho vnitřní
α ležícím proti ní
tak aby úhel FF1 = 69° , FF2 = 74° .
F1 , F2
1:2.
2:3:5, obsah je
9. Tělesa 9.1.
Podstavou kosého hranolu je trojúhelník, v němž poloměr kružnice opsané je r = 15 cm , úhly α = 52°10´, β = 30° . Pobočná hrana h = 13 cm svírá s rovinou podstavy úhel
ϕ = 73°20´ . Vypočtěte objem hranolu.
9.2.
Kvádr má objem 7,5 dm 3 , jeho rozměry jsou v poměru 3 : 4 : 5 . Vypočtěte jeho povrch a tělesovou úhlopříčku.
9.3.
Kolmý trojboký hranol, jehož podstava je pravoúhlý trojúhelník, má objem 2 300 cm 3 , obsah největší stěny S1 = 130 cm , tělesová výška 10 cm . Vypočtěte délky podstavných hran.
9.4.
[ ]
V = 540 ⋅ 3 j 3 . Délka podstavné hrany a k délce výšky v je v poměru 3 : 5 . Vypočtěte povrch Objem pravidelného 6-tibokého hranolu je
9.14.
Polokulovitá nádoba je zcela naplněná vodou. Nakloníme-li ji o 30° , vyteče z ní
hranolu.
1 5 l vody. Kolik litrů v nádobě zbývá? 2
9.5.
Pravidelný čtyřboký jehlan, jehož podstavné a boční hrany mají tutéž délku, má objem V . určete délky hran a povrch tělesa.
9.15.
Kouli je opsán rotační kužel, jehož výška se rovná šestinásobku poloměru koule.V jakém poměru jsou povrchy obou těles?
9.6.
Pravidelný čtyřstěn má hranu a . Vypočtěte jeho výšku, objem , povrch a odchylku hrany od roviny stěny, v níž neleží.
9.16.
Určete objem kulové vrstvy, která vznikne z polokoule o poloměru r = 5 cm odříznutím úseče o výšce v = 1,5 cm .
9.7.
V nerotačním kuželi je nejdelší strana
9.8.
Podstavou kosého čtyřbokého jehlanu
s1 = 16 cm a nejkratší s1 = 16 cm .
ABCDV je čtverec o straně a = 20 cm , výškou je pobočná hrana VD = 21 cm . Vypočtěte povrch
jehlanu. 9.9.
Rotační kužel a válec mají shodné podstavy o poloměru o poloměru r , stejné velikosti výšek i plášťů. Jak jsou vysoké? (Pozn. vyjádřete výšku v jako funkci poloměru r .)
9.10.
Je dán objem
[ ]
V = 9π 3 j 3 rovnostranného kužele. V jaké vzdálenosti x
od vrcholu kužele je třeba vést řez rovinou rovnoběžnou s podstavou , která rozdělí daný kužel na dvě tělesa se stejnými objemy? 9.11.
Tvrdost materiálu se zjišťuje zkouškami. Jednou z nich je Brinellova zkouška. Při ní se do testovaného materiálu tvaru rovinné desky tlačí konstantní silou po určitou dobu ocelová kulička o průměru d1 . Tím se v materiálu vytlačí prostor tvaru kolové úseče o průměru podstavy a)
Určete, do jaké hloubky byla kulička vtlačena, je-li
d1 = 10 mm a
b) Vypočtěte obsah kulového vrchlíku, který je částí hranice vytlačené kulové úseče. Vypočtěte objem kulové vrstvy a poloměr koule, je-li dáno
ρ 2 = 5 cm a v = 2 cm . 9.13.
[
]
[ ]
Jsou dány body A = 1,1 , B = 2,−1 , C = 3,2 . Určete pomocí vektorů, zda body tvoří trojúhelník, určete délky stran a zjistěte, zda trojúhelník není pravoúhlý.
10.5.
Určete vektor kolmý k vektorům
10.6.
Vyjádřete vztahy mezi m, n, q tak, aby rovnice přímek 3 x − 5 y + 4 = 0, ( 2 − m ) x − 3ny + 3 − q = 0 byly: a) vyjádřením téže přímky, b) vyjádřením dvou rovnoběžných přímek, c) vyjádřením různoběžných přímek.
10.7.
Vypočtěte obsah čtverce, jehož rovnoběžné strany leží na přímkách:
ρ1 = 7 cm ,
Vypočtěte objem a povrch kulové úseče, která vznikne vedením sečné roviny v kouli, o poloměru r = 12 cm , 4 cm od jejího středu.
[ ]
10.4.
d2 .
d 2 = 6 mm ?
9.12.
10. Analytická geometrie přímky a roviny 10.1. Určete úhel vektorů u , v , je-li u = 5, v = 8, u − v = 7 . 10.2. Určete a1 tak, aby vektory a , b , c byly lineárně závislé a vypočtěte úhel vektorů b , c ; a = ( a1 ,0,−9) , b = ( 2,4,3) , c = (1,2,3) . 10.3. Určete v dané rovině vektor v , který je kolmý k vektoru u = ( 5,12 ) a má velikost v = 26 .
a : 12 x + 5 y − 11 = 0 b : 3x − 4 y + 3 = 0
a = (1,−2,1) , b = (1,2,−2) .
10.8.
Pro
které
hodnoty
parametrů
m, n , r ∈ R
vyjadřují
rovnice:
2mx − 3ny + 4r = 0, (1 − 3m ) x + ( 2n + 1) y − r = 0,
10.18.
y = 1 + 3t , z = 2t .
10.10.
ax + 8 y − 5 = 0 určete parametr a , tak aby tato 2 x − 7 y + 21 = 0 přímka pocházela průsečíkem přímek a x = 1 + 2t , y = 14 − 3t . V obecné rovnici přímky
Napište rovnici přímky, která prochází bodem
3 x − 4 y + 10 = 0 svírá úhel α = 10.11.
π . 4
M = [ 7,4] a s přímkou
Určete graficky i početně vzájemnou polohu rovin daných rovnicemi x + y + z = 12 a z = 4 .
10.20.
Napište parametrické vyjádření roviny a obecnou rovnici roviny procházející bodem M = − 1,−1,2 a kolmé k rovinám
10.21.
y = 2 + 4t , z = 3 + t , t ∈ R,
q : x = −4 + 4r , y = 5 − 4r , z = − r , r ∈ R. 10.12.
Zjistěte vzájemnou polohu přímky a roviny. Podle polohy pak určete buď vzdálenost nebo průsečík a úhel:
p : AB : A = [1,−1,3], B = [ − 2,3,−4], q : 7 x − 21y + 15 z + 17 = 0.
Napište rovnici roviny (parametricky i obecně), ve které leží přímka x = 1 + t , y = 1 + 2t , z = −2 + 2t , a která je kolmá k rovině dané rovnicí
11.4.
10.15.
C = [ 7,8,−9] .
2x + 3y − z = 4 .
10.17.
Určete vzdálenost bodu
A = [ 2,2,2] od roviny ρ : 2 x − y − 2 z + 12 = 0 .
α
odchylku 2
Určete
a
kolmou k
σ
:
tečen
vedených
z počátku
ke
kružnici
P = [ − 3,8]
od
kružnice
− 6x − 2 y + 8 = 0 . nejmenší
vzdálenost
bodu
x + y − 10 x − 14 y − 151 = 0 . 2
2
Určete rovnici kružnice, která prochází body na přímce
3x − 4 y − 3 = 0 .
A = [ 5,3] , B = [ 6,2] a střed
Napište rovnici kružnice se středem na přímce p o rovnici jestliže kružnice prochází body A =
[ 3,1] , B = [1,3] .
11.5.
Napište rovnici kružnice procházející body
11.6.
Najděte rovnici elipsy, která prochází bodem
Určete vzájemnou polohu přímek v prostoru :
p : x = 1 + 2t , y = 7 + t , z = 5 + 4t , t ∈ R, q : x = 2 + 3r , y = −3 − 2r , z = −8 + r , r ∈ R.
Určete
x +y
11.3.
Určete rovnici roviny, která je určena body
β veďte rovinu γ α : x + 5 y − z + 2 = 0, β: 4 x − y + 3 z + 1 = 0, γ : ax + by + cz + d = 0, σ : 2 x − y + 5 z + 3 = 0.
Průsečnicí rovin
2
A = [1,−2,3] , B = [ − 4,5,6] a
10.14.
10.16.
11.1.
11.2.
Určete průsečíky přímky a určené body souřadnicovými osami.
]
α
11. Analytická geometrie kuželoseček
A = [ − 1,6,6], B = [ 3,−6,−2] se
10.13.
[
ρ : x − 2 y + z − 4 = 0, σ : x + 2 y − 2 z + 4 = 0.
Dokažte, že přímky p, q jsou rovnoběžné a určete jejich vzdálenost:
p : x = 1 − 4t ,
M = [ 7,9,7] od přímky p : x = 2 + 4t ,
10.19.
tutéž přímku? 10.9.
Jaká je vzdálenost bodu
3x − y − 2 = 0 ,
A = [ 2,3] , B = [ 4,5] ,
C = [ 6,−1] . Nejprve však ověřte, zda dané body určují kružnici.
přímky
M = [ 4,−1] a dotýká se
t : x + 4 y = 10 , (osy na osách souřadnic).
11.7.
11.8.
11.9.
Určete střed, poloosy a excentricitu elipsy o rovnici 5 x 2 − 30 x + y 2 + 10 y + 60 = 0 .
T = [ 9, y 0 ] .
11.11.
11.12.
x + 2 y = 25 v bodě 11.20.
Ohniska elipsy leží na přímce
E = [ 3,−1] je vrcholem vedlejší osy. Napište rovnici této elipsy.
Zjistěte jakou kuželosečku představuje rovnice 4 x 2 + 9 y 2 − 24 x − 18 y + 27 = 0 . Určete rovnice tečen k této kuželosečce v jejích průsečících s osou x .
y 2 − 10 x − 2 y − 9 = 0 najděte bod, který má od přímky x − 3 y + 18 = 0 nejmenší vzdálenost.
x2 y2 + = 1. 25 9
Určete vzdálenost středu hyperboly h od přímky p :
h : 2 x 2 − 3 y 2 − 8 x + 6 y − 1 = 0, p : x − 2 y − 3 = 0.
y + 6 = 0 , jejich vzájemná vzdálenost je 2 a
9 x 2 + 25 y 2 = 900 a x 2 + y 2 = 64 .
11.21.
Určete odchylku křivek
11.22.
k parabole
11.23.
Určete osovou rovnici hyperboly, která má asymptotu
2 x 2 = 9 y veďte tečnu rovnoběžnou s přímkou q : 8 x + 3 y + 12 = 0 .
Na parabole
Do paraboly o rovnici y 2 = 6 x je vepsán rovnostranný trojúhelník, jehož jeden vrchol leží ve vrcholu paraboly a protější strana je kolmá k ose paraboly. Vypočtete obsah tohoto trojúhelníku. Jak dlouhou tětivu utíná parabola
11.14.
Parabolický oblouk má rozpětí l = 120 m a výšku v = 90 m . Vyjádřete rovnici parabolického oblouku.
11.15.
Napište rovnici přímky, která svírá s osou x úhel paraboly
π a prochází vrcholem 4
2 y 2 − 11x + 12 y + 73 = 0 .
Poblíž železniční tratě, která opisuje parabolický oblouk o rovnici y 2 = 150 x , vede přímá silnice o rovnici y = 5 x + 40 . Který bod tratě leží nejblíže k silnici?
11.25.
Napište rovnici kružnice se středem na přímce
Napište
osovou
rovnici
11.18.
Zjistěte, zda rovnice 9 x 2 − 16 y 2 − 90 x − 96 y − 495 = 0 je rovnicí hyperboly. Je-li tomu tak, určete její střed, ohniska a poloosy. Proveďte grafické zobrazení.
F1 = [ − 14,5] , F2 = [14,5]
hyperboly, která má a prochází bodem M =
[
souřadnice 6,20 .
]
ohnisek
p : 5 x − 7 y − 8 = 0 , která se dotýká přímek a : 2 x − y = 0 a b : x − 2 y − 6 = 0 .
12. Maticový počet 12.1.
x a její tečna rovnici x − y − 3 = 0 . 2
11.17.
x a tečnu 2
11.24.
Napište osovou rovnici hyperboly, víte-li, že její asymptoty mají rovnici
y=±
y=
x − y = 3.
y 2 = 9 x na přímce 3 x − 7 y + 30 = 0 .
11.13.
11.16.
Napište rovnici hyperboly, která má vrcholy v ohniscích a ohniska ve vrcholech elipsy
Určete osovou rovnici elipsy, která se dotýká přímky
bod 11.10.
11.19.
12.2.
Určete součin matic
5 0 1 5 1 8 2 3 1 6 3 ⋅ 1 3 0 ⋅ 2 − 6 2 1 − 1 3 1 . 1 − 1 1 0 1 − 1 0 Najděte matici X , pro kterou platí: 1 3 1 1 − 2 − 3 3 ⋅ X + 2 ⋅ 3 − 1 1 = 4 ⋅ X − − 3 2 1 . 1 1 3 2 1 − 3
12.3.
12.4.
12.5.
Určete matici X a její hodnost, je-li dána maticová rovnice:
0 3 1 2 11 0 − 4 5 ⋅ 7 − 2 ⋅ − 4 = X . 8 Ukažte, že pro dané matice A, B platí: 3 A 2 + 2 A − 4 E = B , kde E je jednotková matice stejného stupně jako A . 1 2 0 1 16 12 A = 0 1 2 , B = 6 1 16 . 1 0 1 8 6 1
12.7. 12.8.
2 x1 − x 2 + x3 +
x 4 = 1,
x1 + 2 x 2 − x3 + 4 x 4 = 2, x1 + 7 x 2 − 4 x3 + 11x 4 = a. 12.10.
Rozhodněte, zda daná soustava má řešení
3 x − 2 y + z = 11, x + y − 3 z = 7, 11x − 4 y − 3 z = 10, x − 2 y + z = 0.
Řešte rovnici X ⋅ A − 4 ⋅ B = 2 ⋅ A
2 0 1 2 0 4 A = − 1 1 0 , B = − 1 2 1 . 1 2 1 1 − 3 2 12.6.
Určete číslo a tak, aby soustava měla řešení a pak soustavu řešte:
12.9.
Určete hodnost matice a její determinant:
1 − 3 − 1 2 −4 0 A= − 1 0 − 2 1 7 3 x2 4 9 x 2 3 = 0. Řešte rovnici: 1 1 1 Rozhodněte pomocí determinantu, pro které hodnoty a je matice
1 0 1 a
a 1 0 1
1 a 0 1
0 1 singulární . 0 1
13. Diferenciální počet 13.1.
Vypočítejte limitu
lim
a)
x +1
x → −1
10 + x − 3
=,
g)
lim
x+4 −2 =, sin 5 x cos x − sin x =, 1 − tg x
x →0
b)
lim
2 sin x =, x →0 3x
h)
lim
c)
x 2 − 10 x + 25 lim 3 =, x →5 x − 3 x 2 − 9 x − 5
i)
lim
d)
3x − 4 − 2 x + 1 lim =, x →5 x−5
j)
lim
e)
lim
x 2 − 10 x + 25 =, 3x 2 − 2 x + 5
k)
lim
f)
lim
l)
lim
x →2
13.2.
x →4
3 x − 6x + 2 25 − x 2 + 1
=,
Podle definice vypočítejte derivaci funkce
x→
π 4
x →2
x−2 x+2 −2
=,
x 2 + 3x + 4 =, x →2 2 x 2 + 5 x − 7 x →0
π x→ 4
sin 4 x x +1 −1
=,
sin x − cos x =. cos 2 x
y = 2x 3 .
13.3.
Derivujte funkci
a)
y = ln
b) c)
1+ x , x
f)
axy 3 − x 2 = axy , y = 5x 4 x
2x − 1
y=
e)
4 x 2 + 9 y 2 − 18 y = 1985 .
13.4.
Je dána funkce y
13.5.
V rovině jsou dány body
13.7.
13.8.
x2 +1
13.10. a)
1 + sin x , 1 − sin x
h)
y=e
i)
y=x
sin x
sin x
+ log e
sin x − , 1 + cos x
A = [ 0,3] , B = [ 4,5] . Na ose x najděte bod M tak, aby součet vzdáleností AM + BM byl co nejmenší. Lichoběžníkové koryto nahoře otevřené má základnu i ramena dlouhé 4 dm . Při jakém sklonu α ramen pojme co nejvíce vody a jaká bude jeho horní šířka? Jaké rozměry musí mít uzavřená litrová válcová nádoba, má-li být spotřeba plechu na její výrobu včetně odpadu co nejmenší (předpokládejte, že plech spotřebovaný na podstavu má tvar čtverce opsaného podstavě). Určete lokální extrémy funkce
x4 2 3 3 2 − x − x + 2 a její absolutní 4 3 2
y=
− 2,4 . y=
x konvexní nebo konkávní. 1+ x2
Vyšetřete průběh a graf funkcí:
y=
1− x2
,
y = x 4 − 2x 3 − 2x 2 ,
13.11.
Těleso bylo vrženo svisle vzhůru počáteční rychlostí
e)
y=
f)
y = x ⋅ ln x . v 0 = 40 m⋅ s −1 . Za
g = 10 m⋅ s −2 , vypočtěte okamžitou rychlost v čase t = 2 s , dobu a výšku výstupu, okamžité zrychlení v čase t .
předpokladu, že 13.12.
Napište
rovnici
y = 2 − 4x − x
2
tečny a normály v obecném v bodě T , kde xT = −3 .
tvaru
d)
1 y = ( x 3 − 3 x 2 − 9 x + 27 ) , 4
k parabole
13.13.
Hmotný bod M se pohybuje přímočaře tak, že jeho vzdálenost od výchozího bodu O (počátek soustavy souřadnic) je kubickou funkcí času. Vyjádřete tento pohyb, víte-li, že v čase t = 0 s se začal bod pohybovat z bodu O a v čase t = 10 s se do tohoto bodu opět vrátil, když předtím v čase t = 4 s dosáhl maximální vzdálenosti d = 48 cm od výchozího bodu.
13.14.
Ve které bodě má křivka
a)
se směrovým úhlem 45°,
b) rovnoběžnou s přímkou c)
y = 2 x 2 + 3x − 1 tečnu:
kolmou na přímku
5x − y + 3 = 0 ,
x − 3y + 2 = 0 . = e − x cos x v bodě T = [ 0, yT ] .
13.15.
Napište rovnici tečny a normály y
13.16.
Akumulátor má elektromotorické napětí U e a vnitřní odpor Ri . Jaký vnější odpor je nutno zapojit, chceme-li ve vnějším proudovém okruhu získat největší výkon? Určete jej.
14. Integrální počet
Určete intervaly, ve kterých je funkce
x
c)
+ tg 3 3 x , x2
x2 +1 , x
y = 1+ x +
= 5 − x 2 . Urči rovnici tečny v jejím bodě T = [1, yT ] .
extrémy na intervalu 13.9.
x , 1− x4
y = ln
g) ,
d)
13.6.
y = ln
1 , 3x 2
b)
14.1.
Užitím vhodné metody integrujte
a)
∫ sin ln x ⋅ dx = ,
d)
∫ tg
2
b)
∫ tg x ⋅ dx = ,
e)
∫e
sin x ⋅ dx = ,
c)
∫ cos
f)
∫ 3 ⋅ sin
4
x ⋅ sin 2 x ⋅ dx = ,
x
x ⋅ dx = ,
2
x ⋅ cos x ⋅ dx = .
14.2. a)
Integrujte:
přímou metodou
b) substitucí c)
∫
∫ 2 ⋅ sin ax ⋅ cos bx ⋅ dx = ,
tg x dx = , cos 2 x
metodou per partes
∫ sin
2
x ⋅ dx = .
1 1 1 F ( x ) = − cos 4 x a G ( x ) = sin 2 x − sin 4 x jsou 4 2 4 3 primitivní k funkci f ( x ) = sin x ⋅ cos x a najděte konstantu o kterou se
14.3.
Ukažte, že funkce
liší.
f ( x ) = 3 − 2 x + x 3 primitivní funkci F ( x ) tak, aby její graf procházel bodem B = [1,2] .
14.4.
15.3.
Kolik je možno utvořit součinů dělitelných třemi a obsahujících libovolné tři činitele z čísel : 1,2,3,5,7,9?
15.4.
Kolik prvků je daných, když počet variací třetí třídy z nich utvořených je pětkrát větší než variací druhé třídy?
15.5.
Zvýši-li se počet prvků o jednu, zvýší se počet kombinací třetí třídy o 21 . Kolik je dáno prvků?
15.6.
V rovině je 10 libovolně položených bodů. Kolik jimi lze určit kružnic, jestliže a) žádné 4 body neleží na kružnici, b) 6 bodů leží na jedné kružnici?
15.7.
Kolik značek Morseovy abecedy lze vytvořit maximálně ze 4 prvků?
15.8.
Řešte binomickou rovnici a stanovte její definiční obor:
a)
x x − 1 + = a 2 , a ∈ N , 2 2
b)
y −1 y − 2 + = 16 , y − 2 y − 4
c)
C 3 ( x ) + C 2 ( x ) = 15( x − 1) ,
Určete k
14.5.
Vypočítejte obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí:
a)
x = 0, y = 0,
b)
y = e x , y = e−x , x = 1,
c)
y = 6x − x 2 , y = 0 ,
d)
f ( x) =
14.6.
x + y = 3,
x x + 1 3 d) = 1, x x + 2 2
2 , g ( x) = x 2 . 2 1− x
Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací plochy ohraničené parabolami y = 1 − x 2 a y = x 2 okolo osy x .
e)
7 x + 2 5 x + 1 x − = 10 , 1 x 3 x − 1 0
f)
n + 1 n + 2 n + 1 ⋅ − 9 + 18 = 0 . n − 1 2 2
15. Kombinatorika a pravděpodobnost 15.1. a)
Kolik jedno až čtyřciferných čísel je možno sestavit z cifer 0,
2, 4, 6, jestliže
každá cifra se smí vyskytovat nejvýše jednou,
b) každé číslo je dělitelné šesti? 15.2.
Kolik prvků má množina, z jejichž prvků je variací třetí třídy 10-krát víc než variací druhé třídy?
15.9.
Určete absolutní člen v rozvoji výrazu:
15.10.
Určete x v rozvoji výrazu roven 168.
(
3
(
3
x2 + 5 x3
)
9
)
20
.
4 − 2 x + 6 3 − 2 x tak, aby sedmý člen byl
a 15.11. V binomickém rozvoji výrazu 3 b + a, b mají stejný exponent. 15.12.
b 3 a
15.20.
21
nalezněte člen, v němž
Určete hodnotu třetího reálného členu binomického rozvoje
(x − i 2)
10
, kde
x ∈ R − { 0} . V témž rozvoji vypočtěte x ∈ R tak, aby sedmý člen rozvoje byl roven ( − 105) . 15.13.
V rozvoji výrazu Určete n .
(
)
1 x x + x 4
15.14. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybrané dvojciferné číslo bude: a) sudé, b) sudé nebo mocnina 2, c) prvočíslo nebo dělitelné 3. 15.15.
Test obsahuje 10 otázek a u každé z nich jsou čtyři odpovědi z nichž je jen jedna správná. Jaká je pravděpodobnost, že student zodpoví alespoň na 5 otázek správně, jestliže látku vůbec nezná a odpovědi volí náhodně?
15.16.
Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěmi kostkami padne součet 7 nebo 8?
15.17.
Fotbalista střílí branku z pokutového kopu s pravděpodobností p = 0,8 . Vypočtěte pravděpodobnost jevu, že z desíti pokutových kopů promění alespoň osm.
15.18.
15.19.
16. Posloupnosti a řady 16.1.
Určete aritmetickou posloupnost o 10 členech, jejíž součet všech členů je 80 a součet prostředních dvou členů je 16.
16.2.
Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Určete odvěsny, má-li přepona délku c = 30 cm .
16.3.
Určete čísla tvořící část aritmetické posloupnosti, víte-li, že součet prvních čtyř je 68, součet posledních čtyř je 36 a součet všech je 68.
16.4.
Strany pravoúhlého trojúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Delší odvěsna je 24. Vypočtěte obvod trojúhelníku.
16.5.
Určete čtyři čísla, která jsou 4 po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti a jejichž dekadické logaritmy jsou 4 po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti s d = 1 a součtem 22.
16.6.
Určete počet členů geometrické posloupnosti a kvocient, znáte-li
n
je součet prvních tří koeficientů 67.
Elektrotechnický závod používá k montáži finálního výrobku součástky, které nakupuje od tří dodavatelů. První z nich podílí na dodávání množstvím 50%, ale má 8% zmetků. Druhý z nich se podílí 30% a má 6% zmetků. Třetí se podílí 20% a má 1% zmetků. S jakou pravděpodobností je třeba počítat, že náhodně vybraná součástka k montáži je vadná? Při zkoušce dostane každý student 30 různých otázek, z nichž si náhodně vybere tři. K úspěšnému absolvování zkoušky je třeba , aby dvě z nich dovedl správně zodpovědět. Jaká je pravděpodobnost, že určitý student, který přistupuje ke zkoušce a zvládl před zkouškou jen 70% otázek, si vytáhne 2 otázky , na něž dovede odpovědět?
Bylo zjištěno , že ze 40 rodin v jednom domě má 40% auto i chatu. Přitom auto vlastní o 16 rodin než chatu a není rodina, která by neměla chatu nebo auto. Kolik rodin z domu má auto? Kolik rodin má pouze auto? Určete pravděpodobnost, že namátkou vybraná rodina z domu bude vlastnit jen chatu.
a1 = 18 ,
a n = 13122 , s n = 19674 . 4000 m 3 stojatého dříví. Kolik v něm bude za 15 let, je-li roční přírůstek 2% a kácí-li se ročně 200 m 3 dříví? Stav se bere k 31.12..
16.7.
V lese je
16.8.
V geometrické posloupnosti je součet prvního a čtvrtého členu 18 a součet druhého a třetího členu 12. Vypočtěte součet prvních osmi členů.
16.9.
V lese je
16.10.
Po kolika letech se zdvojnásobí původní vklad při n% úrokování ročně?
16.11.
Vypočítejte
a)
(4
91000 m 3 stojatého dříví. Ročně v lese přibývá 2% dříví a kácí se 3000 m 3 dříví.Kolik dříví bude v lese po 12 letech.
)
(
)
3−2 3 3−2 3 +8 ⋅ 3 3 −2 + + + = , 3 3
2 +1
1 + + + = , 2 −1 2 − 2 2
b) 16.12.
1
1+ 2 + 3 ++ n = . n n n + + + 2 4
c)
∞
2 b) ∑ n =1 x
n −1
4x − 3 . = 3x − 4
17. Komplexní čísla
( 2 + 3i ) z + iz = 1 − i .
Řešte v C:
17.1. 17.2.
Vypočtěte
a = ( 3 + 2i ) − ( − 1 + 3i )
2
26 + 13i + a určete A a A . 2 + 3i
17.3. Pro která reálná x a y je splněna rovnost: a) 4 x( 2 + i ) + y (1 − 4i ) + 7 = x( 3 + i ) − 6 y ( 2i − 1)
x(1 − i ) + 1 = − y + 3i .
b)
2
+ 9i ,
Užitím
17.5.
Převeďte na algebraický tvar, zobrazte v Gaussově rovině, zapište a zobrazte
4π 4π + i sin číslo komplexně sdružené k číslu z = 2 3 cos . 3 3 15 − 5i 1 − 3i − + ( 3 + i )( − 1 + 2i ) . Je dáno komplexní číslo a = 1 + 2i i Vypočítejte a 5 . Určete
(
3 1 − 3+i , je-li z = n z 2
)
a)
zn −
b)
S = 1 + x + x 2 + + x 19 , je-li x =
1+ i 2
.
(− 1 + i 3 ) .
Moivreovy
6
a
binomické
věty
určete
4 pro sin α = . 5
sin 3α
cos 3α
a
D 6 pro D = 3 + 3i .
17.10.
Užitím Moivreovy věty vypočtěte komplexní mocninu
17.11.
Řešte binomickou rovnici v C, kořeny zapište v algebraickém tvaru a zobrazte v Gaussově rovině:
a)
z 6 −1 = 0
d)
x5 −1 = 0
b)
x 3 − 27 = 0
e)
x 8 − x 4 − 20 = 0
c)
35 x 5 + 12 = 0
17.12.
Im
Určete binomickou rovnici, jestliže všechny její kořeny jsou určeny graficky (kořeny tvoří vrcholy šestiúhelníku, jemuž je opsaná kružnice r = 2 ).
18.1.
x2=2i x1
x3
Re x4
18. Výroky a výroková logika
2
Zjednodušte:
17.7.
17.9.
1− i 1+ i . − = 1+ i 1− i
17.4.
17.6.
Vypočítejte
Řešte rovnici:
10 ⋅ 2 x − 4 = 2 x + 2 x −1 + 2 x −2 + ,
a)
17.8.
Vyberte z daných formulí všechny dvojice, které dohromady dávají ekvivalence výroků A a B :
x6 x5=-2i
A ⇒ B, A′ ⇒ B ′, B ⇒ A, B ′ ⇒ A′, A′ ∨ B, A ∨ B ′, A ∧ B, A′ ∧ B ′ .
18.2.
Dokažte, že výroková formule je kontradikcí: p ⇔ q ∧ p ∧ q′ ∨ p′ ∧ q .
18.3.
Přesvědčete se, že platí výroková formule
(
) [(
) (
)]
( A ⇒ B ) ⇔ ( A ∧ B ) a aplikujte
platnost této výrokové formule pro tvrzení: „Není pravda, že je-li trojúhelník rovnoramenný, pak je rovnostranný.
x > 5, x < 5 . Které číslo splňuje
18.4.
Utvořte konjunkci negací těchto tvrzení: tuto konjunkci?
18.5.
Formulujte v logické symbolice: „Jestliže C plyne z A a jestliže z B plyne C, pak C plyne z A nebo B“.Dokažte, že se jedná o tautologii.
18.6.
Zjistěte, zda daná výroková formule je tautologií:
19. Důkazy
( A ∨ B) ⇔ A ∧ B .
19.1.
Dokažte matematickou indukcí
a)
platnost binomické věty,
a)
4 /[ n 2 + ( n + 1) − 1] ,
b)
2 je iracionální číslo,
b)
1 ⋅ 1!+2 ⋅ 2!+3 ⋅ 3!+ n ⋅ n!= ( n + 1)!−1 ,
c)
pro každé n ∈ N je číslo
c)
1 1 1 n + ++ = . 1⋅ 2 2 ⋅ 3 n ⋅ ( n + 1) n + 1
d)
n n n + 1 + = k k + 1 k + 1
2
19.2.
Dokažte
5 n +1 + 6 2 n −1 dělitelné číslem 31 ,
