Sampling, Estimasi dan Uji Hipotesis

Sampling, Estimasi dan Uji Hipotesis Teknik Mesin – FTUI

ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng

Teknik Mesin – FTUI


Tujuan Pembelajaran q q

q

q

q

Memahami perlunya suatu sampling (pengambilan sampel) serta keuntungan- keuntungan melakukannya Menjelaskan pengertian sampel acak untuk sampling tanpa pergantian untuk suatu populasi terhingga dan pengambilan sampel untuk populasi tak terhingga Menjelaskan langkah-langkah yang diperlukan untuk membentuk suatu distribusi sampling dari mean-mean sampel, menghitung mean dan deviasi standard dari distribusi sampling tersebut Menjelaskan langkah-langkah yang diperlukan untuk membentuk suatu distribusi sampling dari proporsi sampel, menghitung mean dan deviasi standard dari distribusi sampling tersebut Menghitung mean dan deviasi standard dari distribusi sampling yang merupakan perbedaan atau penjumlahan dari sampel-sampel yang berasal dari dua populasi



Pokok Bahasan q q q q

Pengertian dan Konsep Dasar Sampling Distribusi Sampling Dari Mean Distribusi Sampling Dari Proporsi Distribusi Sampling Dari Perbedaan dan Penjumlahan



Pengertian dan Konsep Dasar Kebutuhan dan Keuntungan Sampling q Sampling yang baik: q penghematan biaya dan waktu q menjaga keakuratan hasil-hasilnya

q Secara khusus teknik sampling berguna dalam : q Estimasi parameter populasi (seperti mean populasi, varians populasi dll.) yang tidak diketahui berdasarkan pengetahuan tentang statistik sampel (seperti mean sampel, varians sampel, dll.) yang berkaitan q Menentukan apakah perbedaan yang teramati pada dua sampel adalah benar-benar signifikan (berarti) atau karena variasi yang kebetulan sifatnya



Pengertian dan Konsep Dasar Sampling Acak (Random Sampling) q

q

q

Suatu kesimpulan yang diambil berdasarkan sampel harus: q valid q dapat dipercaya Sampel dipilih sedemikian hingga mewakili populasi à sampling acak (setiap anggota populasi memiliki kesempatan yang sama untuk terpilih sebagai sampel) Suatu teknik untuk mendapatkan sampel acak adalah dengan memanfaatkan bilangan acak (random numbers), seperti yang telah dijelaskan dalam modul pertama

Populasi Terhingga dan Tak Terhingga q q

Populasi terhingga (finite population) adalah populasi yang jumlah seluruh anggotanya tetap dan dapat didaftar Populasi tak terhingga (infinite population) memiliki anggota yang banyaknya tak terhingga



Pengertian dan Konsep Dasar Contoh 5.1: q Jika kita memeriksa rata-rata harian banyaknya produk cacat di sebuah pabrik selama 12 bulan terakhir, maka populasi yang diperoleh adalah populasi terhingga yang meliputi produk cacat dari semua jalur produksi di pabrik itu q Jika kita mengukur kecepatan prosesor komputer yang dibuat oleh sebuah perusahaan tertentu maka populasi yang diperoleh adalah populasi tak terhingga, karena produk tersebut akan terus diproduksi dan dikembangkan di masa-masa mendatang



Pengertian dan Konsep Dasar Sampling Dengan dan Tanpa Pergantian q

q

Sampling dimana setiap anggota sebuah populasi bisa terpilih lebih dari sekali (terpilih kembali setelah terpilih sebelumnya) disebut sampling dengan pergantian Jika anggota populasi tidak bisa terpilih lebih dari sekali (yang telah terpilih tidak bisa dipilih lagi) disebut sampling tanpa pergantian

Contoh 5.2: q Dalam memilih sebuah nomor yang mewakili komponen sebagai sampel dari sebuah batch produksi, kita bisa mengembalikan lagi atau tidak mengembalikan kembali nomor yang telah terpilih kedalam batch produksi. Dalam kasus pertama disebut sampling dengan pergantian sedangkan kasus yang kedua adalah sampling tanpa dengan pergantian



Pengertian dan Konsep Dasar Sampling Dengan dan Tanpa Pergantian q

q

Untuk sebuah populasi yang tak terhingga, sehimpunan variabel acak X1, X2, X3, …, Xn-1, Xn, yang dapat mengambil berapa saja nilai yang mungkin akan membentuk sebuah sampel acak dari populasi jika : q Xi saling bebas secara statistik q Masing-masing Xi mengikuti fungsi distribusi probabilitas yang mengatur populasi Untuk suatu populasi terhingga sejumlah N, jika sampling dilakukan tanpa pergantian, sehimpunan variabel acak X1, X2, X3, …, Xn-1, Xn, yang dapat mengambil berapa saja nilai yang mungkin akan membentuk sebuah sampel acak dari populasi jika : q sampling dilakukan dengan cara sedemikian hingga seluruh kombinasi NCn sampel yang mungkin, memiliki probabilitas yang sama untuk bisa terpilih



Pengertian dan Konsep Dasar Distribusi Sampling q q

q

Seluruh kemungkinan sampel berukuran n yang dapat dibentuk dari suatu populasi: untuk masing-masing sampel dapat dihitung sebuah statistik sampel seperti mean, deviasi standard, dll., yang nilainya tentu akan berbeda-beda à bisa diperoleh suatu distribusi dari nilai statistik sampel-sampel tersebut. Distribusi ini dinamakan distribusi sampling. q distribusi sampling dari mean sampel (sampling distribution of the mean) q distribusi sampling dari deviasi standard, varians, median, proporsi, dll Kemudian terhadap masing-masing jenis distribusi sampling inipun dapat dihitung nilai-nilai mean, deviasi standard (error standard), dll.



Pengertian dan Konsep Dasar Contoh 5.3: Suatu populasi terdiri atas lima hasil pengukuran bernilai 2, 3, 6, 8, 11. Jika dari populasi ini hendak digunakan dua hasil pengukuran sebagai sampel, distribusi sampling dari mean sampel yang bisa dibentuk jika: q sampling dengan pergantian dan urutan diperhatikan Kemungkinan sampel yang terbentuk adalah: (2,2) (2,3) (2,6) (2,8) (2,11) (3,2) (3,3) (3,6) (3,8) (3,11) (6,2) (6,3) (6,6) (6,8) (6,11) (8,2) (8,3) (8,6) (8,8) (8,11) (11,2) (11,3) (11,6) (11,8) (11,11) Maka mean sampel yang terbentuk adalah: 2,0 2,5 4,0 5,0 6,5 2,5 3,0 4,5 5,5 7,0 4,0 4,5 6,0 7,0 8,5 5,0 5,5 7,0 8,0 9,5 6,5 7,0 8,5 9,5 11,0



Pengertian dan Konsep Dasar Contoh 5.3 (lanjutan): Sehingga distribusi sampling dari mean sample yang terbentuk adalah : Mean Samp el

2

2,5

3

4

4,5

5

5,5

6

6,5

7

8

8,5

9,5

11

Freku ensi

1

2

1

2

2

2

2

1

2

4

1

2

2

1

Proba bilitas

1/25

2/25

1/25

2/25

2/25

2/25

2/25

1/25

2/25

4/25

1/25

2/25

2/25

1/25



Distribusi Sampling dari Mean Definisi q

Distribusi sampling dari mean-mean sampel adalah distribusi mean-mean aritmetika dari seluruh sampel acak berukuran n yang mungkin yang dipilih dari sebuah populasi

Mean dan Deviasi Standard Distribusi Sampling Mean q

Jika sampling dilakukan tanpa pergantian dari suatu populasi terhinga berukuran N, maka:

m x = mx s sx = x n


q

Jika sampling dilakukan dengan pergantian atau populasinya tak terhingga, maka:

m x = mx N -n N -1

sx sx = n ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng

Distribusi Sampling dari Mean Mean dan Deviasi Standard Distribusi Sampling Mean q

q

q

Untuk nilai n yang besar (n > 30), distribusi sampling mean mendekati suatu distribusi normal terlepas dari bentuk asli distribusi populasinya Jika populasinya memiliki distribusi normal,maka distribusi sampling mean juga terdistribusi secara normal untuk nilai n berapapun (tidak tergantung ukuran sampel) Deviasi standard dari sebuah distribusi sampling mean disebut juga dengan error standard daripada mean



Distribusi Sampling dari Mean Contoh 5.4: Dari contoh 5.3 dapat dihitung mean populasi, mean distribusi sampling mean deviasi standard populasi dan deviasi standard distribusi sampling mean sebagai berikut: mx =

2 + 3 + 6 +8 +11 30 = = 6, 0 5 5

(2 - 6) 2 + (3 -6) 2 +(6 -6) 2 +(8 -6) 2 +(11 -6) 2 + sx = = 3, 29 5 14

å mx =

f i xi

i =1 14

å

= fi

(1)(2) + (2)(2,5) +... +(1)(11) 150 = =6,0 1 + 2 +... +1 25

i =1 14

å sx =

f i ( xi - m x ) 2

i =1 14

å

fi

(1)(2 - 6) 2 + (2)(2,5 -6) +... +(1)(11 -6) 135 = = = 2,32 25 25

i =1

Terlihat bahwa m x = mx dengan n = 2 Teknik Mesin – FTUI

dan dapat ditunjukkan bahwa sx =

sx n


Distribusi Sampling dari Mean Contoh 5.5: Lima ratus cetakan logam memilki berat rata-rata 5,02 N dan deviasi standard 0,30 N. Probabilitas bahwa suatu sampel acak dengan ukuran sampel 100 cetakan yang dipilih akan mempunyai berat total antara 496 sampai 500 N dapat ditentukan sbb. Distribusi sampling mean persoalah diatas memiliki: m x = mx = 5,02 N sx =

sx n

N - n 0,30 = N -1 100

500 -100 = 0,027 500 -1

Seratus sampel cetakan memiliki berat total 496 sampai 500 N jika rataratanya adalah 4,96 sampai 5,00 N. Jadi dengan menggunakan tabel distribusi normal standard skor z adalah: 4,96 - 5, 02 x = 4,96 ® z x = = - 2, 22 0,027 x = 5, 00 ® z x =

5, 00 - 5, 02 = - 0, 74 0, 027

P (4,96 £ x < 5, 00) = P ( -2, 22 £z x £ -0, 74) =(0, 22965 -0, 01321) =0, 2164 =21, 64% Teknik Mesin – FTUI


Distribusi Sampling dari Proporsi Definisi q

Distribusi sampling dari proporsi adalah distribusi proporsiproporsi dari seluruh sampel acak berukuran n yang mungkin yang dipilih dari sebuah populasi

Mean dan Deviasi Standard Distribusi Sampling Mean q

Jika probabilitas sukses populasi adalah p sementara probabilitas gagalnya adalah q =1 - p dan samplingnya tanpa pergantian dari populasi terhinga berukuran N mP = p

sP =

pq n

N -n p(1 - p) N -n = N -1 n N -1


q

Jika sampling dilakukan dengan pergantian atau populasinya tak terhingga, maka:

mP = p sP =

pq p(1 - p) = n n


Distribusi Sampling dari Proporsi Mean dan Deviasi Standard Distribusi Sampling Mean q q q

Untuk nilai n yang besar (n > 30), distribusi sampling proporsi mendekati suatu distribusi normal Sedangkan populasinya mengikuti distribusi binomial Perlu diperhatikan bahwa proporsi adalah variabel diskrit, sehingga diperlukan faktor koreksi (±1/2n ) dalam mengubahnya kedalam skor z untuk menentukan probabilitas (kurang/lebih dari) suatu nilai proporsi tertentu dengan menggunakan tabel distribusi normal



Distribusi Sampling dari Proporsi Contoh 5.6: Divisi pengendalian mutu pabrik perkakas mesin mencatat bahwa 2 % dari mata bor yang diproduksi mengalami cacat. Jika dalam pengiriman satu batch produk terdiri dari 400 mata bor, tentukan probabilitas banyaknya mata bor yang cacat 3 % atau lebih? Distribusi sampling proporsi m P = p = 0,02 dan s P =

p (1 - p ) 0,02(1 - 0,02) = =0, 007 n 400

Koreksi untuk variabel diskrit =1/2n = 1/(2)(400) ==1/800 = 0,00125 Proporsi (3 %) setelah dikoreksi, P = 0,03 - 0,00125 = 0.02875 Skor z untuk P = 0,02875 adalah: zP =

P - m P 0, 02875 - 0, 02 = =1, 25 sP 0, 007

Maka probabilitas mata bor yang cacat dengan proporsi lebih dari 3 %:

P( zP > 1, 25) =1 - P( zP £1, 25) =1 -0,8944 =0,1056 =10,56% Teknik Mesin – FTUI


Distribusi Sampling dari Perbedaan dan Penjumlahan Definisi q q

q

Terdapat dua populasi Untuk setiap sampel berukuran n1 dari populasi pertama dihitung sebuah statistik S1 dan menghasilkan sebuah distribusi sampling dari statistik S1 yang memiliki mean ms1 dan deviasi standard ss1 Dari populasi kedua, untuk setiap sampel berukuran n2 dihitung statistik S2 yang akan menghasilkan sebuah distribusi sampling dari statistik S2 yang memiliki mean ms2 dan deviasi standard ss2

Mean dan Deviasi Standard q

Distribusi sampling perbedaan S1 – S2 memiliki

q

Distribusi sampling penjumlahan S1 + S2 memiliki:

m S1 -S2 = mS1 - mS2

mS1 +S2 = mS1 + mS2

s S1 -S2 = s S21 +s S22

s S1 +S2 = s S21 +s S22



Distribusi Sampling dari Perbedaan dan Penjumlahan Contoh 5.7: Lampu bohlam A memiliki daya tahan rata-rata 1400 jam dan deviasi standard 200 jam, sementara lampu B memiliki daya tahan rata-rata 1200 jam dengan deviasi standard 100 jam. Jika dari masing-masing produk dipilih 125 bohlam sebagai sampel, maka probabilitas bahwa bohlam A memiliki daya tahan sekurang-kurangnya 160 jam lebih lama dibandingkan bohlam B dapat ditentukan sebagai berikut Mean dari distribusi sampling perbedaan daya tahan bohlam A dan B:

m xA - xB = mx A - mxB = mxA - mxB =1400 -1200 =200 Deviasi standardnya adalah:

s x2A

s xA -xB = s x2A +s x2B =

nA

s x2B (100) 2 (200) 2 + = + =20 nB 125 125

Skor z untuk perbedaan mean 160 adalah: z x A - xB =

( x A - xB ) - ( m xA -xB ) s xA -xB

=

( xA - xB ) - 200 160 -200 = = -2 20 20

Jadi probabilitas yang akan ditentukan adalah: P (( x A - xB ) >160) = P( zx -x > -2) =1 -P( z x -x < -2) = 1 - 0,0228 = 0,9772 =97, 72% A


B

A

B




Tujuan Pembelajaran q q

q q q

Menjelaskan konsep-konsep dasar yang mendukung pendugaan rata-rata populasi, persentase dan varians Menghitung dugaan-dugaan (estimates) rata-rata populasi pada tingkat kepercayaan (level of confidence) berbeda-beda jika deviasi standard populasi tidak diketahui ataupun jika diketahui Menghitung dugaan-dugaan persentase populasi pada tingkat kepercayaan yang berbeda-beda Menghitung dugaan-dugaan varians populasi pada tingkat kepercayaan yang berbeda-beda Memahami kapan dan bagaimana menggunakan distribusidistribusi probabilitas yang semestinya, yang diperlukan untuk tujuan-tujuan pendugaan



Pokok Bahasan q q q q

Pengertian dan Konsep Dasar Estimasi Pendugaan Mean Populasi Pendugaan Persentase Populasi Pendugaan Varians Populasi



Pengertian dan Konsep Dasar Dugaan (Estimate), Pendugaan (Estimation) dan Penduga (Estimator) q Dugaan (Estimate) : q nilai spesifik atau kuantitas daripada sebuah statistik misalnya: nilai mean sampel, persentase sampel, atau varians sampel

q Penduga (Estimator) : q setiap statistik (mean sampel, persentase sampel, varians sampel, dan lain-lain) yang digunakan untuk menduga sebuah parameter q Penduga tak-bias (unbiased estimator) : sebuah penduga yang menghasilkan suatu distribusi sampling yang memiliki mean sama dengan parameter populasi yang akan diduga q Penduga terbaik (best estimator): penduga yang memenuhi syarat-syarat sebagai suatu penduga tak-bias dan juga memiliki varians yang terkecil (minimum) Teknik Mesin – FTUI


Pengertian dan Konsep Dasar Dugaan (Estimate), Pendugaan (Estimation) dan Penduga (Estimator) q Pendugaan (Estimation) : Keseluruhan proses yang menggunakan sebuah penduga untuk menghasilkan sebuah dugaan daripada parameter q Pendugaan Tunggal (Point Estimation): angka tunggal yang digunakan untuk menduga sebuah parameter populasi q Pendugaan Interval (Interval Estimation): sebaran nilai-nilai yang digunakan untuk menduga sebuah parameter populasi



Pengertian dan Konsep Dasar Contoh 6.1: Pabrik ban “Stonebridge” ingin menduga penjualan rata-rata perhari. Sebuah sampel harian yang dikumpulkan menghasilkan rata-rata senilai $ 800. Dalam hal ini telah dilakukan pendugaan tunggal (point enstimation), dengan menggunakan penduga (estimator) berupa statistik mean sampel ( x ) untuk menduga parameter mean populasi (m) dan nilai sampel x = $ 800 sebagai dugaan (estimates) dari nilai populasi, m.



Pengertian dan Konsep Dasar Konsep dasar pendugaan interval mean populasi q q

Dalam prakteknya hanya satu sampel dari populasi Untuk menduga parameter populasi harus diketahui sesuatu hal mengenai hubungannya dengan mean-mean sampel



Pengertian dan Konsep Dasar Konsep dasar pendugaan interval mean populasi



Pengertian dan Konsep Dasar Pertimbangan Lebar Interval



Pengertian dan Konsep Dasar Estimasi Mean

1. Ukuran sampel (apakah besar n > 30 atau kecil n < 30) 2. Informasi tentang distribusi populasinya (apakah distribusi normal atau tidak) 3. Deviasi standard populasinya (diketahui atau tidak) 4. Pemilihan jenis distribusi yang menjadi dasar pendugaan



Pengertian dan Konsep Dasar Estimasi Mean



Pengertian dan Konsep Dasar Estimasi Proporsi



Pengertian dan Konsep Dasar Estimasi Varians





Tujuan Pembelajaran q q q q q

Menjelaskan langkah-langkah yang diperlukan prosedur umum uji hipotesis Menghitung uji hipotesis mean sampel tunggal dan ganda Menghitung uji hipotesis proporsi sampel tunggal dan ganda Menghitung uji hipotesis varians sampel tunggal dan ganda Menghitung Uji ANOVA dan Uji Chi-Kuadrat



Pokok Bahasan q q q q q q q q q q

Prosedur Umum Uji Hipotesis Uji Hipotesis Means Sampel Tunggal Uji Hipotesis Persentase Sampel Tunggal Uji Hipotesis Varians Sampel Tunggal Nilai P pada uji hipotesis Uji Hipotesis Means Sampel Ganda Uji Hipotesis Persentase Sampel Ganda Uji Hipotesis Ganda Uji ANOVA Uji Chi-kuadrat



Pengertian dan Konsep Dasar Prosedur Umum Uji Hipotesis



Uji Sampel Tunggal Uji Hipotesis Mean/Proporsi

Uji Dua Ujung

Uji Satu Ujung Teknik Mesin – FTUI


Uji Sampel Tunggal Nilai P pada Uji Hipotesis



Uji Sampel Ganda Uji Hipotesis Varians – Distribusi F

Uji Satu Ujung

Uji Dua Ujung Teknik Mesin – FTUI


Uji Sampel Ganda Uji Hipotesis Mean –Prosedur



Uji Inferensial Lainnya Uji ANOVA



Uji Inferensial Lainnya Uji ANOVA



Uji Inferensial Lainnya Tabel ANOVA satu Faktor



Uji Inferensial Lainnya Uji Chi-Kuadrat



Uji Inferensial Lainnya Uji Keselarasan



Uji Inferensial Lainnya Uji Tabel Kontingensi



Sampling, Estimasi dan Uji Hipotesis

Recommend Documents