samenstelling Philip Bogaert

D a g va n d e w i sku n d e 2 3 n o ve m b e r 2 0 1 3

Wiskunde u it h e t dagelijkse le v e n samenstelling Philip Bogaert

Wiskundige vaardigheden en attitudes uit het dagelijkse leven 1. Leerplandoelstellingen 1.1. Vaardigheden De leerlingen ontwikkelen (1)

rekenvaardigheid, o.m. -

(2)

meet- en tekenvaardigheid, o.m. -

(3)

het analyseren en opbouwen van een figuur bij een redenering; ruimtelijk voorstellingsvermogen; het gebruik van ICT-hulpmiddelen bij het opbouwen van figuren en grafieken.

wiskundige taalvaardigheid, o.m. -

(4)

het vlot rekenen met getallen; het rekenen met formules en algebraïsche vormen; het oplossen van vergelijkingen, ongelijkheden, stelsels, …; het voorspellen en inschatten van de grootteorde van een resultaat; het gebruik van ICT-hulpmiddelen bij het uitvoeren van bewerkingen.

het begrijpen van wiskundige uitdrukkingen (zowel mondeling als schriftelijk); het lezen van figuren, tekeningen, grafieken en diagrammen; het verwoorden van hun gedachten en hun inzichten (zowel mondeling als schriftelijk).

denk- en redeneervaardigheid, o.m. -

-

het onderscheid maken tussen hoofd- en bijzaken, gegeven en gevraagde; het begrijpen van een redenering of argumentering bij een eigenschap; het gebruik van ICT-hulpmiddelen bij het opbouwen van een redenering; het opbouwen van een redenering ter verklaring van een eigenschap of de oplossing van een probleem, dit houdt onder meer in: - een hypothese (vermoeden) formuleren en argumenteren; - een eigenschap formuleren op basis van een onderzoek op een aantal voorbeelden, een inductieve redenering; een gegeven redenering op geldigheid onderzoeken.

p. 1

(5)

probleemoplossende vaardigheden, zoals -

-

-

(6)

een probleem leren ontdekken en behoorlijk leren stellen; probleemoplossende vaardigheden (i.h.b. heuristische methoden) toepassen bij het werken aan problemen, zowel over alledaagse als over wiskundige situaties; bijv. een opgave herformuleren, een goede schets of een aangepast schema maken, notaties invoeren, onbekenden kiezen, voorbeelden analyseren; reflecteren op de keuzen voor representatie, oplossingstechnieken en resultaten; resultaten controleren op hun betrouwbaarheid en volledigheid; ICT-hulpmiddelen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken en wiskundige problemen te onderzoeken.

leervaardigheden, o.m. -

het verwerken van losse gegevens; het verwerken van samenhangende informatie; het raadplegen van informatiebronnen; het plannen van de studietijd; het sturen van het eigen leerproces.

1.2. Attitudes De leerlingen ontwikkelen (7)

zin voor nauwkeurigheid en orde, o.m. -

(8)

zin voor helderheid, bondigheid, volledigheid, eenvoud en doelmatigheid van de gebruikte wiskundetaal, o.m. -

(9)

een houding van gecontroleerd uitwerken en terugkijken op uitgevoerde opdrachten.

de ervaring dat gegevens uit een probleemstelling toegankelijker worden door ze doelmatig weer te geven in een geschikte wiskundige representatie.

kritische zin, o.m. -

een kritische houding tegenover de eigen berekeningen, beweringen, handelingen, ...; een reflectieve houding ten aanzien van gemaakte keuzen voor representatie en oplossingstechnieken; een kritische houding tegenover de mogelijkheden en de beperkingen van het gebruik van wiskunde.

p. 2

(10) zelfvertrouwen, zelfstandigheid, doorzettingsvermogen en doelmatigheid bij het aanpakken van problemen en opdrachten. (11) zelfregulatie, o.m. -

een onderzoeksgerichte houding ten aanzien van feiten, opgaven en problemen; het oriënteren, plannen, uitvoeren en bewaken van een oplossingsproces.

(12) zin voor samenwerking en overleg, o.m. -

de ervaring dat ze hun mogelijkheden kunnen vergroten door samenwerking met anderen; appreciatie voor een andere oplossing of aanpak.

(13) waardering voor wiskunde door inzicht in de bijdrage ervan in de culturele, historische en wetenschappelijke ontwikkeling, o.m. -

zin voor verwondering en bewondering voor de elegantie van een redenering of een oplossing.

1.3. Mathematiseren MA1

Problemen herkennen, analyseren en de probleemstelling verhelderen met behulp van hun wiskundekennis.

MA2

Heuristische methodes gebruiken om een probleem aan te pakken.

MA3

Resultaten interpreteren binnen de context van het gestelde probleem.

MA4

Een reflecterende houding verwerven door gecontroleerd terugkijken op de oplossingsweg en de uitgevoerde berekeningen.

MA5

Vertrouwen verwerven door hun wiskundekennis zinvol in te schakelen.

1.4. Actieve werkvormen “Van leerlingen van de derde graad mag verwacht worden, dat ze een vorm van zelfstandig leren en werken opbouwen. De opbouw van het leerproces moet er op gericht zijn dat leerlingen actief deelnemen aan de wiskundelessen. Die moeten zo ingericht worden dat leerlingen zelf een deel van het werk aanpakken, weliswaar binnen hun wiskundig kunnen. Door goed gekozen, progressief opgebouwde opdrachten moeten leerlingen vertrouwd gemaakt worden met het opnemen van verantwoordelijkheid voor het eigen leren en werken.” p. 3

2. Thema: grootwarenhuis 2.1. barcodes Een barcode bevat 13 cijfers en maakt deel uit van het EAN-systeem. Het laatste (het dertiende) cijfer is een controlecijfer. De berekeningswijze van dit cijfer gaat als volgt: • • • •

ieder cijfer op een oneven positie wordt met 1 vermenigvuldigd ieder cijfer op een even positie wordt met 3 vermenigvuldigd deze producten worden bij elkaar opgeteld het controlecijfer is het cijfer nodig om van deze som een tienvoud te maken.

voorbeeld: 9789 0395 1394 ? (9 + 8 + 0 + 9 + 1 + 9) + (7 + 9 + 3 + 5 + 3 + 4) x 3 = 129 129 + 1 = 130 dus controlegetal = 1
978-90-395-1394-1

vervolledig nu volgende EAN-codes (a) 5000 1893 2729 … (b) 4003 8791 1002 … (c) 8714 57…5 7262 8 (d) 5410 0…16 7886 9 (e) …789 0899 8037 3

p. 4

2.2. schatten In de supermarkt in het dorp deed ik volgende aankopen: artikel koffie (senseo) melk kaas waspoeder spaghetti mayonaise eieren hesp chocolade chips choco cornflakes cola brood wijn blik soep aardappelen gepelde tomaat suiker diepvriesfriet pizza huishoudrol bananen

eenheidsprijs 1,92 0,55 2,19 8,70 0,61 1,89 0,22 4,34 4,85 1,35 3,40 4,97 0,69 2,10 5,80 1,64 1,36 2,45 1,40 5,99 1,97 0,49 1,88

aantal 2 pakjes 6 liter 1 pakje 1 doos 4 pakjes 1 pot 12 stuks 1 pakje 3 repen 2 zakken 1 pot 1 doos 12 blikjes 1 brood 2 flessen 3 blikken 5 kg 3 blikken 1 kg 1 zak 2 stuks 6 rollen 2 kg

totaal

(a) Probeer te schatten wat je minstens moet betalen. M.a.w. het bedrag dat je schat moet lager liggen dan de werkelijke prijs. (b) Probeer te schatten wat je maximaal moet betalen. M.a.w. het bedrag dat je schat moet hoger liggen dan de werkelijke prijs. (c) Probeer nu zo goed mogelijk te schatten wat het te betalen bedrag is. (d) Bereken het juiste bedrag.

p. 5

2.3. taalvaardigheid Als een brood 2,10 euro kost. Hoeveel kost dan … (a) een pak koekjes dat 30 cent minder kost dan het dubbel van de prijs van een brood? (b) een fles wijn die 40 cent meer kost dan het drievoud van de prijs van een brood? (c) een tijdschrift dat 20 cent meer kost dan de helft van de prijs van een brood?

Een doos eieren kost 2,40 euro en een pakje kaas 5,30 euro. (d) Hoeveel euro kost een pak kaas duurder dan twee dozen eieren? (e) Hoeveel euro kost een pak kaas goedkoper dan drie dozen eieren? (f) Wat is het duurst : zeven dozen eieren of drie pakjes kaas? Wat is het prijsverschil?

Als een reep chocolade 3,20 euro kost en een fles cola 1,90 euro. Wat is dan de prijs … (g) van een pak koffie dat zoveel kost als en reep chocolade en twee flessen cola tezamen. (h) van een diepvriesmaaltijd dat 50 cent minder kost dan 2 repen chocolade en een fles cola tezamen. (i) van een doos waspoeder dat 70 cent meer kost dan 3 repen chocolade en 4 flessen cola tezamen.

p. 6

3. Thema: pretpark Drankjes

Dagtickets •

Normale prijs

28 euro

•

-16 jarigen

24 euro

•

Kleine groepen (tot 12 pers.)

Je eerste frisdrank kost je 3 euro (met gratis refill beker). Elk volgend drankje betaal je 10% goedkoper dan het vorige.

40 euro + 20 euro pp. •

Grote groepen (vanaf 13 pers.) 22 euro pp.

IJsjes • • • • • •

Popcorn

Eén bol Twee bollen Drie bollen Vier bollen Vijf bollen …

2 euro 3 euro 4 euro 5 euro 6 euro

10 cent voor het doosje, 2 cent per gram popcorn

Start bijzondere attracties

duration start hours

wild adventure 65’ 10u00 11u10 12u20 13u30 14u40 15u50

river splash 35’ 10u00 10u40 11u20 12u00 13u00 13u40 14u20 15u00 15u40

exotic walk 45’

mystic lands 55’

birds of prey 40’

10u00 10u50 11u40 12u30 13u20 14u10 15u00 15u50

10u00 11u00 12u00 14u00 15u00 16u00

10u30 11u15 12u00 14u30 15u15 16u00

p. 7

(a) Hoeveel betaalt een gezin bestaande uit twee volwassenen en twee kinderen jonger dan 16 aan de inkom? (b) Bereken de voordeligste prijs voor een groep van zeven jongeren, vier ouder dan 16 en drie jonger dan 16. (c) Bereken de voordeligste prijs voor een groep van acht -16 jarigen. (d) Hoeveel betaal je voor 60 gram popcorn (met doosje)? (e) Hoeveel betaal je voor 110 gram popcorn (met doosje)? (f) Zou je een wiskundige formule kunnen bedenken voor x gram popcorn (met doosje)? (g) Als je 4,30 euro betaalt voor je popcorn (met doosje). Hoeveel gram popcorn heb je dan gekocht? (h) Als je 7 euro betaalt voor je ijsje, hoeveel bollen heb je dan? (i) Zou je een wiskundige formule kunnen bedenken voor x bollen ijs? (j) Hoeveel kost mijn tweede drankje? En mijn derde? En mijn vierde? (prijs steeds afronden op twee decimalen) (k) Als je de prijs van de opeenvolgende drankjes in een wiskunde formule zou zetten, wat voor een functie zou dat dan zijn? (l) Kun je de prijs van het x-de drankje omzetten in een formule? (m)Is het mogelijk om de vijf attracties te bezoeken en de leukste van de vijf tweemaal te doen? (n) Lars is zeventien. Hij kocht een gewoon dagticket, dronk in de loop van de dag zes drankjes, at ‘s middags friet met een hamburger van 8 euro, kocht 300 gram popcorn en een ijsje met drie bollen. Hoeveel geld deed Lars op in het pretpark?

p. 8

4. Realistische functies 4.1. Schaal van Beaufort Beaufort was marinecommandant van het fregat Woolwich van de Royal Navy. Hij maakte een indeling in 13 windsterkten beginnend bij 'kalmte' en eindigend bij 'orkaan'. Zijn meetinstrument was het fregat, het meest gebruikte schip op dat moment binnen de Britse marine. Hij bepaalde de windsterkte aan de hand van de hoeveelheid zeil dat een fregat bij de wind kon voeren en de snelheid van het schip. (bron Wikipedia) In 1946 werd een nieuwe schaal ontwikkeld, gebaseerd op de windsnelheid op een hoogte van 10 meter boven de grond. De schaal telt 17 waardes, boven de 13 van Beaufort nog een aantal waardes voor de snelheid van de wind in een orkaan. De Beaufort Windkrachtschaal werd zo omgezet in de Beaufort Windsnelheidschaal. Het verband tussen de schaal van Beaufort en de gemiddelde windsnelheid (gedurende 10 minuten op 10 meter boven de grond) wordt gegeven door de empirische formule: v = 0,836. B 3/2 [m / s ] waarbij v = gemiddelde windsnelheid B = de waarde op de Beaufort schaal

(a) Bij een waarde van B = 9 op de schaal van Beaufort spreken we van storm. Schoorsteenkappen en dakpannen waaien weg, kinderen moeten moeite doen om te blijven staan, takken breken af, alleen zwaluwen en eenden vliegen nog. Bereken de gemiddelde windsnelheid in m/s dat correspondeert bij deze waarde van B. Kan je deze windsnelheid ook omzetten in km/h? (b) Wat is de gemiddelde windsnelheid in m/s en in km/h bij een zware storm (B = 10). (c) Als de gemiddelde windsnelheid 12 m/s bedraagt. Welke waarde noteren de meteorologen dan op de schaal van Beaufort? (Rond af op een gehele waarde). (d) Als de gemiddelde windsnelheid 110 km/h bedraagt. Welke waarde noteren de meteorologen dan op de schaal van Beaufort? (Rond af op een gehele waarde).

p. 9

4.2. Afkoelingswet van Newton Experimenteel heeft men vastgesteld dat de snelheid waarmee de temperatuur van een voorwerp verandert (bij afkoeling of opwarming) evenredig is met het verschil tussen de constant veronderstelde omgevingstemperatuur A en de ogenblikkelijke temperatuur T van het voorwerp (warmtewet van Newton). Dit leidt tot volgende functie: T (t ) = A + (T0 − A).e − kt

met T (t ) de temperatuur van het voorwerp in functie van de tijd, A de omgevingstemperatuur en k een constante.

(a) Stel dat de begintemperatuur van de koffie die men in de kantine schenkt 90°C is. De temperatuur in de kantine is 20°C en k = 0,1. Na hoeveel minuten bedraagt de temperatuur van de koffie dan 50°C ? (b) In een kamer met temperatuur 21°C vindt men een lijk. De lichaamstemperatuur op dat ogenblik is nog 29°C. Eé n uur later is de lichaamstemperatuur nog slechts 27°C. Wanneer overl eed het slachtoffer? (lichaamstemperatuur bij overlijden mag je 37°C ver onderstellen). (c) In een koelkast houdt de thermostaat de temperatuur constant op 4°C. Een pan met soep wordt in de koelkast gezet. De temperatuur van de soep is op dat moment 60°C. Na 8 minuten is de temperatuur van de soep 6 graden gedaald. Stel een functievoorschrift op die de temperatuur T van de soep weergeeft. Neem hierbij de tijd t in minuten. (d) Een fles cola wordt uit de koelkast gehaald en op het aanrecht gezet. Bij de temperatuur van de cola hoort een functie met functievoorschrift T (t ) = 20 − a.e −0,05t Hierbij is de temperatuur T in °C en de tijd t in minuten. • Bereken de temperatuur in de keuken • Bepaal de waarde van a in het geval de temperatuur van de cola na 10 minuten 15°C is.

p. 10

4.3. C14-datering Er komt in de lucht een kleine hoeveelheid koolstofisotoop 14C voor, waarvan de atoomkern onstabiel is. De 14C verdwijnt spontaan, maar het wordt ook voortdurend bijgemaakt door reacties van kosmische stralingen met de atmosfeer. Daardoor blijft in de lucht een zekere (lage) concentratie 14C aanwezig. Dit isotoop wordt door alle levende organismen (planten, dieren, mensen) opgenomen. Zodra het organisme sterft, neemt de concentratie ten gevolge van het radioactief verval geleidelijk af volgens een exponentiële functie: t

 1  5750 m = m0 .   2

met t in jaren en m0 het oorspronkelijk aantal 14C atomen. (a) Bereken de halveringstijd van 14C. (b) Welk percentage van het oorspronkelijk aantal 14C atomen blijft over als een organisme 7000 jaar geleden gestorven is? (c) Veronderstel dat bij opgravingen fundamenten van hout gevonden worden die 75% C14 hebben ten opzichte van eenzelfde nu nog levende houtsoort. Het tijdstip t = 0 nemen we als tijdstip waarop het hout in de fundamenten werd verwerkt. Hoe lang is het dan geleden dat deze fundamenten werden neergelegd? (d) Op 19 september 1991 ontdekten Duitse wandelaars in de Ötztaler-Alpen op 3210 m hoogte een gletsjermummie, ook wel bekend als “Ötzi”. Uit onderzoek bleek dat de ijsman al duizenden jaren oud was. Hij is nu te bezichtigen in het Zuid-Tirools Archeologiemuseum in Bolzano (Italië) omdat de vindplaats toch net (92 m) in Italië bleek te liggen. Via de 14C methode ontdekte men dat de concentratie 14C in het lichaam van Ötzi ongeveer 52,7% bedroeg van de normale concentratie. Wanneer leefde deze man ongeveer? (e) In 1988 stelden een groep wetenschappers een grondig onderzoek in naar de authenticiteit van de Lijkwade van Turijn met behulp van de Koolstof 14methode. Zij vonden een % C14 tussen de 91,7% en 93,0% t.o.v. de normale concentratie. Geef een schatting over de ouderdom van de Lijkwade in de veronderstelling dat deze wetenschappers gelijk hebben. (Dit onderzoek werd door andere wetenschappers bestreden. Zij zeiden dat de datering geen rekening had gehouden met de brand van 1532 in een Frans klooster, waardoor de Lijkwade beschadigd was geraakt. Rook en gesmolten metaal zouden de moleculaire toestand van de Lijkwade zodanig hebben veranderd, dat de C14–methode tot andere conclusies had kunnen komen).

p. 11

4.4. Hardlopen (inspiratiebron: examens wiskunde NL vwo A1-2 2006 II) In september 2003 won de Keniaan Rono een hardloopwedstrijd over een afstand van 2000 meter. Hij liep deze afstand in 4 minuten en 57,76 seconden. Dat betekent dat Rono die afstand liep met een gemiddelde snelheid van ongeveer 24,18 km/uur. Het is gebruikelijk om tijden als 4 minuten en 57,76 seconden te noteren als 4:57.76. Met deze prestatie behaalde Rono geen wereldrecord. Dat stond op dat moment op naam van de Marokkaan El Guerrouj. Zijn recordtijd op de 2000 meter was 4:44.79. (a) Bereken de gemiddelde snelheid in km/uur waarmee El Guerrouj dit wereldrecord liep. Geef het antwoord in twee decimalen nauwkeurig. In volgende tabel staan de wereldrecords hardlopen bij mannen tot en met juni 2012 op een aantal afstanden. Afstand (in meters) 100 200 400 800 1000 1500 2000 3000 5000 10000

Tijd 9.58 19.19 43.18 1:41.01 2:11.96 3:26.00 4:44.79 7:20.67 12:37.35 26:17.53

Gemiddelde snelheid (in km/uur) 37,6 37,5 33,3 28,5 27,3 26,2 25,3 24,5 23,8 22,8

Het verband tussen de afstanden en de gemiddelde snelheden kunnen we benaderen met de formule:

v=

200.a

( 44.a

2

+ 1)

− 0, 07.a + 23

In deze formule is v de gemiddelde snelheid in km/uur en a de afstand in kilometer. De gemiddelde snelheden volgens deze formule komen niet precies overeen met de uitkomsten uit de tabel. (b) Bereken voor de 3000 meter (dus voor a = 3) hoeveel de gemiddelde snelheid volgens de formule afwijkt van de uitkomst uit de tabel. Met de formule kun je bij elke afstand boven de 100 meter de gemiddelde snelheid berekenen die hoort bij het denkbeeldig gelopen wereldrecord. Voor

p. 12

bijvoorbeeld een afstand van 2283 meter zou het wereldrecord met een gemiddelde snelheid van 24,82 km/uur zijn gelopen. (c) Bereken op welke afstand het denkbeeldige wereldrecord een gemiddelde snelheid van precies 30 km/uur op zou leveren. In de tabel is de gemiddelde snelheid het hoogst bij de 200 meter. De formule van v is niet maximaal bij de 200 meter, maar bij een afstand tussen de 100 en 200 meter. (d) Bepaal in meters nauwkeurig bij welke afstand de gemiddelde snelheid zo groot mogelijk is volgens de formule van v. De formule van v is gebaseerd op wereldrecords die gelopen zijn op afstanden tot 10 km. Het is maar de vraag of de formule ook een goede benadering geeft van de gemiddelde snelheid op een lange afstand zoals de marathon. Bij de marathon wordt een afstand van 42,195 km gelopen. In 2011 was de Keniaan Makau wereldrecordhouder op de marathon met een tijd van 2 uur, 3 minuten en 38 seconden. Deze tijd wijkt af van die hij nodig zou hebben wanneer hij de marathon zou lopen met een gemiddelde snelheid volgens de formule van v. (e) Bereken deze afwijking in seconden nauwkeurig.

4.5. Meeldauw (inspiratiebron: “Wiskunde in werking” door M. de Gee) Meeldauw op bladeren van tarweplanten heeft tot gevolg dat het assimilatievermogen daalt. Het assimilatievermogen a wordt als functie van het percentage door meeldauw aangetast blad m gemodelleerd volgens a (m) = 14 + 25, 25 e−0,136 m (in kg/ha)

(a) Hoe groot is het assimilatievermogen a in een gezond gewas? (b) Tot hoever kan a volgens dit model afnemen? (c) Maak een grafiek van de functie a(m). (d) Welk assimilatievermogen wordt door het model voorspeld als 10% van het bladoppervlak is aangetast door meeldauw?

p. 13

4.6. Fenthion (inspiratiebron: “Wiskunde in werking” door M. de Gee) Vissen hebben veel te lijden van gifstoffen (waaronder bestrijdingsmiddelen) die in het oppervlaktewater worden geloosd. Het gif kan op twee manieren manie door de vis worden opgenomen, namelijk via de maag en via de kieuwen. Als het gif slechts langzaam wordt uitgescheiden of afgebroken, dan hoopt het zich in het lichaam op; dit is bijvoorbeeld het geval bij fenthion. Bij onderzoek naar de opname van gif gif via de kieuwen krijgen de vissen gifvrij voedsel. Voor de concentratie gif in het lichaam geldt dan: Cv (t ) = Cw K (1 − e − kt )

waarin

t de duur van de blootstelling is (in dagen) C w de concentratie van het gif in het water is, k een maat is voor de opnamesnelheid van het gif, K de bioconcentratiefactor is. Uit metingen bij Cw = 2,91 µ g / g volgt dat voor fenthion K = 17000 en k = 0, 006 per dag. Vissen sterven als de concentratie Cv (t ) boven 4,1 mg / g vis komt. (a) Na hoeveel tijd is de concentratie gif in de vis even hoog als de concentratie gif in het water? wate (b) Na hoeveel dagen treedt er bij deze gifconcentratie vissterfte op? (c) Als wordt waargenomen dat de vissen na 5 dagen blootstelling aan een onbekende concentratie fenthion sterven, hoe hoog is dan de concentratie?

p. 14

4.7. Bomen (inspiratiebron: examens wiskunde NL vwo C 2010 I) Naar de groei van bomen is veel onderzoek gedaan. Dat heeft geleid tot een goed inzicht in het verband tussen de hoogte van een boom en de leeftijd van die boom. In de bosbouw wordt voor veel bomen de te verwachten hoogte berekend met de formule van Chapman-Richards: h = a (1 − bt )

c

Hierin is h de hoogte van een boom in meters en t de leeftijd in jaren. De waarden van de getallen a, b en c hangen af van de soort boom. De getallen a, b en c zijn positief. In volgende tabel zijn deze waarden voor enkele boomsoorten weergegeven. boom Japanse lariks zomereik Amerikaanse eik berk grove den

a 23,743 39,143 29,026 43,281 24,426

b 0,9603 0,9867 0,9790 0,9876 0,9656

c 1,22770 0,96667 0,80820 0,95040 1,59980

Het verband tussen de hoogte en de leeftijd van de zomereik wordt dus gegeven door de formule: h = 39,143 (1 − 0, 9867 t )

0,96667

De zomereik wordt op den duur veel groter dan de Amerikaanse eik, maar in de eerste levensjaren groeit de Amerikaanse eik veel sneller. (a) Toon door berekening aan dat volgens de formule van Chapman-Richards de Amerikaanse eik in het vierde levensjaar ruim 20 cm méér groeit dan de zomereik. (b) Pas na een groot aantal jaren is de zomereik groter dan de Amerikaanse eik. Bereken na hoeveel jaren dit volgens de formule van Chapman-Richards voor het eerst het geval is. Voor de formule voor de zomereik hebben we gebruik gemaakt van de waarden van a, b en c uit de tabel. Maar niet alle zomereiken hebben de waarde 39,143 voor a. Factoren zoals klimaat en bodemgesteldheid beïnvloeden de waarde van a. Chapman en Richards gaan er in hun model van uit dat de waarden van b en c uitsluitend afhangen van de boomsoort. Vaak weet men niet van tevoren welke waarde van a een boom heeft. Om de waarde van a voor een boom te bepalen, laat men de boom eerst een aantal jaren groeien.

p. 15

Daarna meet men de boom op en berekent men welke waarde van a past bij de groei van die boom. Men gaat ervan uit dat die waarde van a daarna niet meer verandert. (c) Een zomereik bereikt op de leeftijd van 10 jaar een hoogte van 6,18 meter. Bereken de waarde van a die hierbij hoort.

4.8. Goudvissen (inspiratiebron: examens wiskunde NL vwo) Bij goudvissen doet zich een bijzonder verschijnsel voor. Een goudvis in een kleine bokaal blijft kleiner dan een goudvis die in een grotere bokaal leeft. De grootste lengte L die een goudvis in een bokaal kan bereiken, hangt af van de hoeveelheid water V in de bokaal. Het verband wordt beschreven door de formule: L = 2, 6.V 0,47

met L in cm en V in liter. (a) Een goudvis kan in een bokaal met 8 liter water een bepaalde lengte bereiken. Bereken hoeveel procent langer de goudvis kan worden in een bokaal met 13 liter water. (b) Wat gebeurt er met de lengte als men de hoeveelheid water verdubbelt? (c) Als de maximale lengte van een goudvis in een bokaal 10 cm bedraagt, hoeveel liter water bevat de bokaal dan?

p. 16

5. Meetkunde met sangaku’s (inspiratiebron: http://www.hhofstede.nl/sangakus/sangaku2.htm) Een Sangaku is een ‘wiskunde-opdracht’, opgesteld in Japan in de Edoperiode (1603 – 1868) door meetkundigen uit alle lagen van de bevolking, van boeren tot samoerai … Een Sangaku is meestal heel beknopt weergegeven door een tekening met ernaast meestal een formule die bewezen of opgesteld moet worden. Men bracht deze tekeningen aan op houten tabletten, prachtig gekleurd, en hing ze op onder de daken van tempels.

Dit is het Kaizu Tenma schrijn in de prefectuur Shigu. Men ziet aan de rechterkant, onder de dakrand, een sangaku met afmetingen 620 op 26 cm waarop dertig problemen zijn getekend. Ook nu blijven Sangaku’s leuke uitdagende puzzels. Kun je deze oplossen?

(a) Sangaku opdracht 1 Straal grote cirkel = a Straal kleine cirkel = b Bepaal x in functie van a en b.

p. 17

(b) Sangaku opdracht 2 Straal grootste cirkel = R Bepaal de straal van de kleinste cirkel.

(c) Sangaku opdracht 3 Twee kwartcirkels ingeschreven in een vierkant met zijde a vormen een gotische boog. Bepaal de zijde van het kleinere vierkant.

(d) Sangaku opdracht 4 Twee kwartcirkels ingeschreven in een vierkant met zijde a vormen een gotische boog. Bepaal de stralen van alle cirkels.

(e) Sangaku opdracht 5 Straal grootste cirkel = R Bepaal de stralen van de andere cirkels.

p. 18

(f) Sangaku opdracht 6 Straal van de grootste cirkel = R Bepaal de straal van de kleinste cirkel.

(g) Sangaku opdracht 7 De lengte van de zijde van de gelijkzijdige driehoek is a Bepaal de straal van de kleine cirkels.

(h) Zoek zelf nog minstens 4 Sangaku puzzels. Maak een duidelijke tekening (eventueel m.b.v. Geogebra) en los de puzzel op.

p. 19

6. Thema: bank 6.1. rekeningnummers (IBAN nummers) Een International Bank Account Number (IBAN) wordt gebruikt om internationale transacties tussen rekeningen en banken gelegen in verschillende landen vlotter te laten verlopen. Het IBAN telt maximaal 34 alfanumerieke tekens en heeft een vaste lengte per land. Het IBAN bestaat uit een landcode (twee letters), een controlegetal (twee cijfers) en een nationaal rekeningnummer. Een Belgisch IBAN nummer is 16 tekens lang; 2 letters (BE) gevolg door 14 cijfers. De eerste twee cijfers is een internationaal controlegetal, de twee laatste cijfers een nationaal controlegetal. voorbeeld: gegeven volgend (Belgisch) rekeningnummer : BE … … 7805 4632 07 … … de laatste twee cijfers zijn de rest (modulo) bij deling door 97 van het getal dat gevormd wordt door de 10 voorafgaande cijfers. (indien de rest 0 is, wordt 97 als controlegetal gebruikt) Ga na dat de rest bij deling van 7805463207 door 97 gelijk is aan 83 BE … … 7805 4632 0783 voor de overige twee cijfers ga je als volgt te werk, plaats achter het rekeningnummer de landcode (1) 780546320783BE vervang de letters door hun positie in het Romeinse alfabet, met als basispositie het begincijfer 9 (d.w.z. beginnen bij 10 met A=10, B=11...Z=35) (2) 7805463207831114 voeg twee nullen toe aan het einde (3) 780546320783111400 neem de rest van de deling van het zo bekomen getal door 97 (4) 780546320783111400 mod 97 = 84

p. 20

trek deze rest van 98 af om het controlegetal te krijgen (5) 98 – 84 = 14
BE14 7805 4632 0783 Vervolledig volgende rekeningnummers (a) 860 – 0112905 - …… (b) 833 – 4819287 - …… (c) 780 – 54632 …… - 83 (d) 001 – 42820 …… - 92 (e) BE … … - 8602 - 7 … 48 - … 667 (f) BE … … - 7994 - … 43 … - 7436

In volgende rekeningnummers zit één fout (eerste drie en laatste twee zijn sowieso juist). Kan je het juiste nummer terugvinden? (a) 001 – 1246129 – 42




001 - ………………………… - 42

(b) 680 – 4200678 – 02




680 - ………………………… - 02

(c) 000 – 5544233 – 07




000 - ………………………… - 07

(d) 850 – 4710482 – 77




850 - ………………………… - 77

6.2. gestructureerde mededelingen Een gestructureerde mededeling of OGM is een combinatie van drie groepen van drie, vier en vijf cijfers gescheiden door een schuine streep, zoals: +++090/9337/55493+++ Deze mededeling wordt in België vaak gebruikt om overschrijvingen automatisch te kunnen laten verwerken. Zo weet het computersysteem van de ontvanger onmiddellijk welke factuur betaald wordt. Op deze manier is er geen personeel nodig om te gaan kijken welke rekeningen vereffend werden. De eerste tien cijfers zijn bijvoorbeeld een klantennummer of een factuurnummer. De laatste twee cijfers vormen het controlegetal dat bekomen

p. 21

wordt door van de voorgaande tien cijfers de rest bij deling door 97 te berekenen (modulo 97). Voor en achter de cijfers worden drie plussen (+++) of sterretjes (***) gezet. Uitzondering: Indien de rest 0 bedraagt, dan wordt als controlegetal 97 gebruikt. Als het controlegetal niet overeenstemt met de 10 eerste cijfers, dan wordt de betaling geweigerd. Zo wordt voorkomen dat er willekeurige fouten optreden bij het manueel inleiden van betalingsopdrachten.

Vervolledig volgende gestructureerde mededelingen (a) +++ 568 / 2469 / 654 … … +++ (b) +++ 478 / 8 … … 5 / 25733 +++ (c) +++ 9 … 8 / 721 … / 95735 +++ (d) +++ 201 / 8 … 25 / 787 … 0 +++

6.3. bankbriefjes In tegenstelling tot de euromunten hebben de bankbiljetten geen nationale zijde die de herkomst aangeeft. Deze informatie is wel vervat in de code op de achterkant van het biljet. De letter identificeert het land waar het biljet is uitgegeven. De Checksum wordt bepaald door alle getallen in het serienummer op te tellen. De cijfers in de uitkomst hiervan worden vervolgens ook opgeteld en eventueel wordt dit herhaald bij de uitkomst wat hieruit voorvloeit, teneinde een eencijferig cijfer over te houden. Dit cijfer wordt vervolgens vergeleken met het cijfer behorende bij het land om zo te bepalen of het biljet echt is. Als dat zo is dan is het biljet echt volgens het serienummer.

Code

Land

Uitkomst Checksum

Code

Land

Uitkomst Checksum

Z Y X (W) V U T S R P

België Griekenland Duitsland Denemarken Spanje Frankrijk Ierland Italië Luxemburg Nederland

9 1 2 (3) 4 5 6 7 8 1

N M L (K) (J) H G F E D

Oostenrijk Portugal Finland Zweden GB Slovenië Cyprus Malta Slowakije Estland

3 4 5 (6) (7) 9 1 2 3 4 p. 22

Afgesproken is dat ieder land zijn eigen euro's heeft, herkenbaar aan de landcode. Als een land uit de euro treedt dan zijn de biljetten met de code van dat land geen geldige euro's meer in de andere landen. Tegelijkertijd kunnen de biljetten van het uittredende land bijvoorbeeld gestempeld worden voor extra zichtbaarheid en dan dienen als lokale bankbiljetten zodat er niet gelijk of geen nieuwe lokale bankbiljetten gemaakt hoeven te worden. Weinig mensen blijken hiervan op de hoogte te zijn. voorbeeld: biljetnummer H55805151312 is afkomstig uit Slovenië en heeft als checksum dus 9; 5 + 5 + 8 + 0 + 5 + 1 + 5 + 1 + 3 + 1 + 2 = 36 > 3 + 6 = 9

Vervolledig volgende serienummers (a) Z 6648 … 386393 (b) U 27 … 60155785 (c) M 334846 … 7205

p. 23

7. Thema: verkiezingen 7.1. Zetelverdeling Bij de laatste verkiezingen behaalde partij A 2400 stemmen, partij B 3300, partij C 1600 en partij D 2700. In totaal zijn er 13 zitjes te verdelen. Hoeveel zitjes krijgt elke partij?

stemmen

B

D

A

C

3300

2700

2400

1600

deler

quotiënt

zetel

quotiënt

zetel

quotiënt

zetel

quotiënt

zetel

1

3300

(1)

2700

(2)

2400

(3)

1600

(5)

2

1650

(4)

1350

(6)

1200

(7)

800

(12)

3

1100

(8)

900

(9)

800

(11)

533

(18)

4

825

(10)

675

(13)

600

(15)

400

5

660

(14)

540

(17)

480

(19)

320

6

550

(16)

450

400

7

471

(20)

385

342

8

412

9

366

Bij de meeste verkiezingen in België maakt men bij de zetelverdeling gebruik van de Methode-D'Hondt. De methode is bedacht door Victor D'Hondt (1841– 1901), Belgisch jurist en wetenschapper, en wordt in diverse landen gebruikt (België, Bulgarije, Finland, Portugal, Spanje, Zwitserland, Turkije, …). In ons voorbeeld zouden partij B en D vier zetels krijgen, partij A drie en partij C twee. Bij de gemeenteraadsverkiezingen gebruikt men een soortgelijke methode, de Methode-Imperiali. Deze methode geeft een licht voordeel aan de grotere partijen. Methode-Imperiali is hetzelfde als de Methode D’Hondt waarbij men de eerste rij gewoon weglaat. In ons voorbeeld zou bij de zetelverdeling volgens Methode-Imperiali partij C een zetel moeten inleveren ten gunste van partij B.

p. 24

(a)

In een gemeente zijn er 15 zetels te verdelen. Verdeel deze zetels over de vier partijen A (4000 stemmen), B (3000 stemmen), C (2000 stemmen) en D (1000 stemmen) eenmaal via de methode d’Hondt en eenmaal via de methode Imperiali. A

(b)

B

= 15

Imp

= 15

In een gemeente zijn er 23 zetels te verdelen. Verdeel deze zetels over de vijf partijen A (3200 stemmen), B (2000 stemmen), C (1500 stemmen), D (2500 stemmen) en E (800 stemmen) eenmaal via de methode d’Hondt en eenmaal via de methode Imperiali. B

C

D

E

d’H

= 23

Imp

= 23

In een gemeente zijn er 26 zetels te verdelen. Verdeel deze zetels over de zes partijen A (2400 stemmen), B (2000 stemmen), C (1800 stemmen), D (1600 stemmen), E (1200 stemmen) en F (1000 stemmen) eenmaal via de methode d’Hondt en eenmaal via de methode Imperiali. A

(d)

D

d’H

A

(c)

C

B

C

D

E

F

d’H

= 26

Imp

= 26

In een gemeente zijn er 13 zetels te verdelen. Verdeel deze zetels via de methode Imperiali over de vijf partijen A(3300 stemmen), B(2600 stemmen), C(1900 stemmen), D(1500 stemmen) en E(700 stemmen). Hoe ziet de zetelverdeling eruit als A en E vooraf een Kartel A&E hadden gevormd. Op welke partijen heeft dit invloed? A

B

C

D

E = 13

A&E

B

C

D = 13

p. 25

7.2. Macht Veronderstel dat op een vergadering partij A 18 stemmen heeft, partij B 14 stemmen en partij C 3 stemmen. Personen uit eenzelfde partij hebben dezelfde belangen en stemmen dus hetzelfde. Ze stemmen allemaal voor of allemaal tegen. De personen gedragen zich als een blok. In sommige partijen eist men zelfs dat iedereen hetzelfde stemt. Partij A heeft 6 keer meer stemmen dan partij C, wil dit dan zegen dat partij A 6 keer meer macht heeft dan partij C? Als er afgesproken wordt dat een voorstel aangenomen wordt bij meerderheid van stemmen dan zijn 18 stemmen nodig en voldoende om een voorstel aangenomen te krijgen. Dat getal noemt men het quotum. Het quotum is het minimaal aantal stemmen dat nodig is om een voorstel aangenomen te krijgen. Je ziet onmiddellijk dat partij A op zijn eentje een voorstel kan doen aannemen. Anderzijds kunnen partij B en C samen nooit zonder de medewerking van partij A een voorstel doen aannemen. A heeft dus de absolute macht. aantal stemmen 18 14 3

partij A B C

machtsindex 1 0 0

De machtsindex is een getal groter of gelijk aan nul en kleiner of gelijk aan 1. De som van alle machtsindexen samen is 1.

Banzhaf machtsindex Hoe is de macht verdeeld onder vier partijen als partij A 5 stemmen heeft, partij B 4 stemmen, partij C 3 stemmen en partij D 1 stem als een voorstel wordt aangenomen bij meerderheid? M.a.w. het quotum q ligt hier op 7. Hiervoor bekijken we de mogelijke coalities om het quotum te bereiken: AB AC BC ABC ABD ACD ABCD

9 stemmen 8 stemmen 7 stemmen 12 stemmen 10 stemmen 9 stemmen 13 stemmen

p. 26

Partijen die in sommige van deze coalities niet echt nodig zijn, plaatsen we tussen haakjes (= worden weggestreept): AB AC BC (A) (B) (C) A B (D) A C (D) (A) (B) (C) (D) De Banzhaf machtsindex is nu de verhouding van het aantal keren dat een partij nog overblijft na wegstreping op het totaal aantal niet weggestreepte partijen. partij A B C D

aantal stemmen 5 4 3 1 quotum q = 7

machtsindex 4 / 10 3 / 10 3 / 10 0 / 10

m.a.w. partijen B en C hebben elk evenveel macht, partij D heeft geen enkele macht en is dus een dummy.

Door het quotum te veranderen, verandert ook de machtsindex. Hoe is de macht verdeeld onder vier partijen als partij A 20 stemmen heeft, partij B 15 stemmen, partij C 13 stemmen en partij D 6 stemmen als een voorstel wordt aangenomen bij tweederden meerderheid? M.a.w. het quotum q ligt hier op 36. Winnende coalities zijn: ABC ABD ACD A (B) (C) (D) partij A B C D

aantal stemmen 20 15 13 6 quotum q = 36

machtsindex 4 / 10 2 / 10 2 / 10 2 / 10

p. 27

opmerkingen •

Naast de Banzhaf machtsindex bestaat er en tweede vaak gebruikte machtsindex, de machtsindex van Shapley-Shubik (Google maar even). Beide machtindexen wijken soms lichtjes van elkaar af maar geven allebei een realistisch beeld van hoe de macht eigenlijk is verdeeld.

•

Om het rekenwerk te vereenvoudigen kan je gebruik maken van het programma “windisc” uit de “Peanut-reeks” (math.exeter.edu/rparris/).

Bereken de Banzhaf machtsindex in volgende gevallen: (a) partij A B C D

aantal stemmen 14 12 5 3 quotum q = 17

machtsindex

aantal stemmen 21 17 14 9 quotum q = 35

machtsindex

aantal stemmen 9 7 7 4 4 quotum q = 18

machtsindex

aantal stemmen 9 9 7 7 4 quotum q = 20

machtsindex

(b) partij A B C D

(c) partij A B C D E

(d) partij A B C D E

p. 28

(e) partij A B C D

aantal stemmen 10 8 5 4 quotum q = 14

machtsindex

C en D besluiten nu om een kartel te vormen, de nieuwe verdeling van het aantal stemmen wordt dus: partij A B C&D

aantal stemmen 10 8 9 quotum q = 14

machtsindex

Welke partij wint hierdoor het meest aan macht?

p. 29