D a g va n d e w i sku n d e 2 2 n o ve m b e r 2 0 1 4
Wiskunde u it h e t dagelijkse le v e n samenstelling Philip Bogaert
Wiskunde uit het dagelijkse leven, een inspiratiebron voor vaardigheden en attitudes 1. Leerplandoelstellingen 1.1. Vaardigheden De leerlingen ontwikkelen (1)
rekenvaardigheid, o.m. -
(2)
meet- en tekenvaardigheid, o.m. -
(3)
het analyseren en opbouwen van een figuur bij een redenering; ruimtelijk voorstellingsvermogen; het gebruik van ICT-hulpmiddelen bij het opbouwen van figuren en grafieken.
wiskundige taalvaardigheid, o.m. -
(4)
het vlot rekenen met getallen, formules en algebraïsche vormen; het oplossen van vergelijkingen, ongelijkheden, stelsels, …; het voorspellen en inschatten van de grootteorde van een resultaat; het gebruik van ICT-hulpmiddelen bij het uitvoeren van bewerkingen.
het begrijpen van wiskundige uitdrukkingen (zowel mondeling als schriftelijk); het lezen van figuren, tekeningen, grafieken en diagrammen; het analyseren, schematiseren en structureren van wiskundige informatie; het verwoorden van hun gedachten en hun inzichten (zowel mondeling als schriftelijk).
denk- en redeneervaardigheid, o.m. -
-
het onderscheid maken tussen hoofd- en bijzaken, gegeven en gevraagde; het begrijpen van een redenering of argumentering bij een eigenschap; het gebruik van ICT-hulpmiddelen bij het opbouwen van een redenering; het opbouwen van een redenering ter verklaring van een eigenschap of de oplossing van een probleem, dit houdt onder meer in: - een hypothese (vermoeden) formuleren en argumenteren; - een eigenschap formuleren op basis van een onderzoek op een aantal voorbeelden, een inductieve redenering; een gegeven redenering op geldigheid onderzoeken.
-p1-
(5)
probleemoplossende vaardigheden, zoals -
-
-
(6)
onderzoeksvaardigheden, o.m. -
(7)
de onderzoeksopdracht formuleren en afbakenen; een aanpak plannen en zo nodig opsplitsen in deeltaken; informatie verwerven en op relevantie selecteren; een doelmatig wiskundig model selecteren of opstellen; een bij het model passende oplossingsmethode correct uitvoeren; de resultaten binnen de context betekenis geven en ze daarin kritisch evalueren; reflecteren op het gehele proces, i.h.b. op de gemaakte keuzen voor representatie en werkwijze; het resultaat van het onderzoek zinvol presenteren, het standpunt argumenteren en verslag uitbrengen van het proces.
leervaardigheden, o.m. -
(8)
een probleem leren ontdekken en behoorlijk leren stellen; een probleem analyseren en vertalen naar een passend wiskundig model; bijv. onderscheid maken tussen gegevens en gevraagde, de relevantie van de gegevens nagaan en verbanden leggen ertussen; probleemoplossende vaardigheden (i.h.b. heuristische methoden) toepassen bij het werken aan problemen, zowel over alledaagse als over wiskundige situaties; bijv. een opgave herformuleren, een goede schets of een aangepast schema maken, notaties invoeren, onbekenden kiezen, voorbeelden analyseren; reflecteren op de keuzen voor representatie, oplossingstechnieken en resultaten; resultaten controleren op hun betrouwbaarheid en volledigheid; ICT-hulpmiddelen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken en wiskundige problemen te onderzoeken.
het verwerken van losse gegevens; het verwerken van samenhangende informatie; het raadplegen van informatiebronnen; het plannen van de studietijd; het sturen van het eigen leerproces.
reflectievaardigheden, o.m. over -
de aanpak van hun werk, hun leren; hun leerproces en hun inzet; de effectiviteit bij het werken, het leren; de sterke en zwakke elementen in de uitvoering van hun opdracht; het concretiseren in een plan tot verbetering; de gezamenlijke aanpak en hert overleg bij een groepsopdracht.
-p2-
1.2. Attitudes De leerlingen ontwikkelen (9)
zin voor nauwkeurigheid en orde, o.m. -
een houding van gecontroleerd uitwerken en terugkijken op uitgevoerde opdrachten.
(10) zin voor helderheid, bondigheid, volledigheid, eenvoud en doelmatigheid van de gebruikte wiskundetaal, o.m. -
-
de ervaring dat gegevens uit een probleemstelling toegankelijker worden door ze doelmatig weer te geven in een geschikte wiskundige representatie; de doelmatigheid van het rekenen, voor een adequate keuze tussen het manuele werken en het gebruik van ICT-hulpmiddelen.
(11) kritische zin, o.m. -
een kritische houding tegenover de eigen berekeningen, beweringen, handelingen, ...; een reflectieve houding ten aanzien van gemaakte keuzen voor representatie en oplossingstechnieken; een kritische houding tegenover de mogelijkheden en de beperkingen van het gebruik van wiskunde.
(12) zelfvertrouwen, zelfstandigheid, doorzettingsvermogen en doelmatigheid bij het aanpakken van problemen en opdrachten. (13) zelfregulatie, o.m. -
een onderzoeksgerichte houding ten aanzien van feiten, opgaven en problemen; het oriënteren, plannen, uitvoeren en bewaken van een oplossingsproces.
(14) zin voor samenwerking en overleg, o.m. -
de ervaring dat ze hun mogelijkheden kunnen vergroten door samenwerking met anderen; appreciatie voor een andere oplossing of aanpak.
(15) waardering voor wiskunde door inzicht in de bijdrage ervan in de culturele, historische en wetenschappelijke ontwikkeling, o.m. -
zin voor de rol van wiskunde bij de ontwikkeling van exacte en humane wetenschappen en de techniek; zin voor de rol van wiskunde bij het beschrijven van reële problemen;
-p3-
-
zin voor verwondering en bewondering voor de elegantie van een redenering of een oplossing.
(16) inzicht in hun studie- en beroepskeuzeproces, o.m. door het inwinnen van informatie over het aandeel van wiskunde in een vervolgopleiding en die vergelijken met hun voorbereiding.
1.3. Onderzoekscompetenties OC1
Zich oriënteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken.
OC2
Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren.
OC3
De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten.
1.4. Mathematiseren MA1
Problemen herkennen, analyseren en de probleemstelling verhelderen met behulp van hun wiskundekennis.
MA2
Heuristische methodes gebruiken om een probleem aan te pakken.
MA3
Resultaten interpreteren binnen de context van het gestelde probleem.
MA4
Een reflecterende houding verwerven door gecontroleerd terugkijken op de oplossingsweg en de uitgevoerde berekeningen.
MA5
Vertrouwen verwerven door hun wiskundekennis zinvol in te schakelen.
1.5. Actieve werkvormen “Van leerlingen van de derde graad mag verwacht worden, dat ze een vorm van zelfstandig leren en werken opbouwen. De opbouw van het leerproces moet er op gericht zijn dat leerlingen actief deelnemen aan de wiskundelessen. Die moeten zo ingericht worden dat leerlingen zelf een deel van het werk aanpakken, weliswaar binnen hun wiskundig kunnen. Door goed gekozen, progressief opgebouwde opdrachten moeten leerlingen vertrouwd gemaakt worden met het opnemen van verantwoordelijkheid voor het eigen leren en werken.”
-p4-
2. Statistiek met een appel 2.1. startpunt In een klas van het zesde jaar wordt een bak appels aangekocht. De leerlingen moeten (thuis) het gewicht (in gram) en het volume (in cl) van de appels bepalen. Het volume wordt bepaald door de appels onder te dompelen in een maatbeker gevuld met water. 23 leerlingen, elk twee appels geeft volgend resultaat: gram 268 229 290 331 328 349 193 271 324 237 252 212 206 241 249 195
cl 36 30 31 42 45 57 26 45 34 36 32 30 32 34 42 32
gram 257 264 285 265 267 265 334 277 273 259 359 315 375 254 346
cl 34 28 39 32 32 28 37 36 35 39 47 36 45 27 46
gram 216 302 316 357 277 259 307 265 310 222 246 219 265 279 281
cl 40 40 46 47 40 36 43 33 40 30 29 29 31 34 41
2.2. onderzoeksopdracht • • • • •
Ga na of het gewicht van de appels normaal verdeeld is. Bepaal het gemiddelde en de standaardafwijking. Ga na of het volume van de appels normaal verdeeld is. Bepaal het gemiddelde en de standaardafwijking. Ga de correlatie na tussen het gewicht en het volume van de appels. Bepaal de regressierechte, neem het gewicht als onafhankelijke veranderlijke. Bepaal het soortelijk gewicht (kg/m³) van elke appel afzonderlijk, bepaal het gemiddelde en de standaardafwijking.
-p5-
2.3. uitwerking Gegevensinvoer in twee lijsten
Is het gewicht van de appels normaal verdeeld?
-p6-
Het gewicht van de appels is normaal verdeel met gemiddelde 276 gram en standaardafwijking 45 gram.
Is het volume van de appels normaal verdeeld?
Het volume van de appels is normaal verdeel met gemiddelde 36,6 cl en standaardafwijking 6,7 cl.
-p7-
Is er een correlatie tussen het gewicht en het volume van de appels?
correlatie:
0,72 m.a.w. er is een goed verband tussen het gewicht en het volume.
regressierechte: y = 0,106 x + 7,384
-p8-
Bepalen van het soortelijk gewicht.
sg ( kg / m3 ) =
massa(kg ) massa( g ) . 100 = volume(m3 ) volume(cl )
-p9-
3. Matrices en de Afrikaanse olifanten 3.1. startpunt Afrikaanse olifanten leven in groepjes, families of kuddes van wijfjes met hun jongen van verschillende leeftijden, onder leiding van een matriach. De draagtijd is ongeveer 22 maanden, waarna er één jong geboren wordt. Tweelingen komen voor, maar zijn uiterst zeldzaam. Een baby wordt 2 jaar gezoogd. Meestal baart een wijfje eens in de 4 jaar een jong. Een Afrikaanse olifant is volwassen na 10 jaar. Rond deze leeftijd verlaat de jonge bull de kudde en zwerft solitair rond. De gemiddelde leeftijd van een olifant in het wild is 60 jaar. Elke jaar wordt, ondanks een totaal jachtverbod, minstens 5% van de populatie door stropers gedood. Een natuurreservaat bevat momenteel 80 olifanten; 10 baby’s (-2 jarigen), 20 jongen (2 tot 10 jarigen) en 50 volwassenen (+10 jarigen). Hoe verloopt onder de gegeven voorwaarden de aantallen binnen deze populatie?
3.2. verwerken van de gegevens De olifanten indelen in klassen, bijvoorbeeld: • • •
klasse I = baby’s = -2 jarigen klasse II = de jongen = 2 tot 10 jarigen klasse III = de volwassenen = 10+ jarigen
Tijdseenheid : bijvoorbeeld tweejarig Verwerken van de gegevens • • • • • •
op 2 jaar tijd wordt er 10% van de populatie weggestroopt; 90% van de baby’s evolueert naar een jong; ¾ van 90% van de jongen blijft jong = 67,5%; ¼ van 90% van de jongen wordt volwassen = 22,5% , hiervan verlaat de helft (= de bulls) de kudde; 4% van de volwassenen sterft van ouderdom. Overlevingskans is dus 86%; om de vier jaar één baby per volwassen (vrouwelijke) olifant, geeft ¼ baby per olifant om de twee jaar.
- p 10 -
3.3. opstellen van de graaf en de Lesliematrix
I L = naar
I II III
van II III
0 0, 25 0 0,9 0,675 0 0 0,225 0,86
0,675 II
0,9
0,225
0,86
0,25 I
III
- p 11 -
3.4. evolutie m.b.v. TI-84 start
na 1j
na 2j
na 3j
na 4j
na 5j
na 6j
na 7j
na 8j
na 9j
na 10j
I
10
13
12
11
11
11
11
12
12
12
12
II
20
23
26
29
30
30
31
31
31
32
32
III
50
48
46
45
45
46
46
47
47
47
48
80
84
84
85
86
87
88
90
90
91
92
3.5. (duo)opdracht Werk een gelijkaardige evolutieschema uit met een ander Afrikaans dier.
- p 12 -
4. Centrale examens Nederland 4.1. info Bij de centrale examens wiskunde in Nederland vind je heel wat realistische contextopgaven voor statistiek en analyse. De HAVO-A en HAVO-B examens omvatten leuke opgaven i.v.m. de pre-calculus reële functies. http://www.wiskunde-examens.nl/ examens op schooljaar gesorteerd havo http://www.alleexamens.nl/alleexamens/welkom/ havo examens wiskunde A of wiskunde B complete examenbundels (in pdf) van 1999-2013
4.2. Centrale examens Nederland als groepswerk Contextopgaven vragen sowieso meer lestijd. Je kan tijd besparen en leerlingen actiever bij de opgaven betrekken door een aantal van deze opgaven als groepswerk aan de leerlingen aan te bieden. Half oktober krijgen de leerlingen in groepjes van drie tien opgaven als groepswerk. Ze leveren dit werkje in voor eind november. De opgaven worden beschouwd als geziene leerstof. Ze omvatten contextopgaven i.v.m. veeltermfuncties, rationale functies, machtsfuncties, exponentiële functies en logaritmische functies. Hier volgt een lijstje van opgaven die de voorbije jaren reeds aan bod kwamen (deelvragen i.v.m. differentiëren (afleiden) liet ik achterwege). • • • • •
havo A – 2013-II : resolutie havo A – 2012-I : supersize me havo A – 2012-II : radioactieve stoffen havo A – 2010-II : haaienpak havo A – 2009-I : volumes
• • • • •
havo A – 2009-II : verf havo A – 2008-II : alcoholgehalte havo A – 2007-II : sprintsnelheid havo A – 2005-II : Jurassic Park havo A – 2004-I : goudvissen - p 13 -
• • • • •
havo A – 2003-II : remweg havo A – 2003-I : teddyberen havo A – 2001-I : schoenveters havo B – 2013-I : tornadoschalen havo B – 2013-II : debiet
• • • • •
havo B – 2012-I : satellieten havo B – 2011-I : toiletpapier havo B – 2011-I : overlevingstijd havo B – 2009-I : diergemeenschappen havo B – 2010-II : hersengewicht
• • • • •
havo B – 2008-I : uitsterven van soorten havo B – 2006-I : windsnelheid en hoogte havo B – 2005-II : weggebruik havo B – 2004-I : geluidsnelheid in atmosfeer havo B – 2004-I : kogelstoten
• • • • •
havo B – 2004-II : bacteriecultuur havo B – 2004-II : asfaltbetonwegen havo B – 2002-II : vliegen havo B – 2001-I : fruitvliegjes havo B – 1999-I : bederf in de koelkast
4.3. gerealiseerde vaardigheden en attitudes V.01
rekenvaardigheid
V.02
meet- en tekenvaardigheid
V.03
wiskundige taalvaardigheid
V.04
denk- en redeneervaardigheid
V.05
probleemoplossende vaardigheden
V.06
onderzoeksvaardigheden
V.07
leervaardigheden
V.08
reflectievaardigheden
A.09
A.13
zin voor nauwkeurigheid en orde zin voor helderheid, bondigheid, volledigheid, eenvoud en doelmatigheid van de gebruikte wiskundetaal kritische zin zelfvertrouwen, zelfstandigheid, doorzettingsvermogen en doelmatigheid bij het aanpakken van problemen zelfregulatie
A.14
zin voor samenwerking en overleg
A.15
waardering voor wiskunde
A.16
inzicht in studie- en beroepskeuzeproces
A.10 A.11 A.12
- p 14 -
4.4. havo B – 2011-I : toiletpapier Toiletpapier zit vaak op een rol. In deze opgave wordt een wiskundig model van een rol toiletpapier bekeken. In dit model is een rol toiletpapier een cilinder waaruit in het midden een cilinder is weggelaten. In de figuur is het model van een volle rol toiletpapier te zien. Deze rol heeft een buitendiameter van 12,0 cm, een binnendiameter van 4,0 cm en een hoogte van 10,0 cm.
(a) Bereken het volume aan toiletpapier op de rol uit de figuur. Iemand beweert dat de helft van het toiletpapier gebruikt is, wanneer de buitendiameter 8,0 cm is (midden tussen 4,0 cm en 12,0 cm). Dit is onjuist. (b) Bereken de werkelijke buitendiameter van de toiletrol als de helft van het toiletpapier gebruikt is. De rol toiletpapier bestaat uit een aantal velletjes. De buitendiameter van de rol toiletpapier hangt af van het aantal velletjes dat nog op de rol zit. Voor de rol waarvan het model in de figuur te zien is, geldt de formule:
d = 2. 0,16 v + 4,0 Hierin is d de buitendiameter in cm en v het aantal velletjes toiletpapier dat nog op de rol zit. Een volle rol heeft een buitendiameter van 12,0 cm. Een velletje toiletpapier is 13,6 cm lang. (c) Bereken hoeveel meter papier er op een volle rol zit.
- p 15 -
4.5. havo-A – 2009-I : volumes Een opgeblazen papieren zak heeft, net als een kussen, een speciale vorm. Pas in 2004 is er een formule gevonden waarmee het volume van die vorm kan worden berekend. Van een platte rechthoekige zak of kussen noemen we de kortste zijde a (in dm) en de langste zijde b (in dm). Het volume V (in liter) van de opgeblazen zak of het kussen kan dan berekend worden met de formule: V = a 3. ( 0,142.0,1r + 0,318 r − 0,142 )
Hierin is r de verhouding tussen de zijden: r =
b . a
(a) Een bedkussen heeft afmetingen van 4 dm bij 6 dm. Bereken het volume van dit kussen. (b) Voor een vierkant kussen met zijden a kan bovenstaande formule vereenvoudigd worden tot V = 0,1902 a 3 . Toon dit aan. (c) Een kussen met een kortste zijde van 3,5 dm heeft hetzelfde volume als een vierkant kussen van 5 bij 5 dm. Bereken de langste zijde van dat kussen. Ook voor vuilniszakken bestaat er een formule om het volume te berekenen. Een volle vuilniszak wordt bovenaan dichtgeknoopt en krijgt daardoor ook een bijzondere vorm. Het volume V (in liter) wordt berekend met:
b−x V = a3 − 0,159 3,142 a Hierin zijn a en b de kortste en de langste zijde (in dm) van een platte, rechthoekige vuilniszak en is x de hoogte van de knoopstrook (in dm). (d) Een vuilniszak met een korte zijde van 6 dm en een knoopstrook van 0,5 dm heeft een volume van 52 liter. Bereken de lange zijde b van de vuilniszak. (e) Voor vuilniszakken met een korte zijde van 5 dm en een lange zijde van 7,5 dm is het volume lineair afhankelijk van de knoopstrook x. De formule voor het volume van een vuilniszak is dus te schrijven in de vorm V = p. x + q . Herleid de formule tot deze vorm.
- p 16 -
4.6. havo-B – 2012-I : satellieten Satellieten zijn objecten die om andere objecten, bijvoorbeeld de aarde, draaien. De tijd die een satelliet nodig heeft om een volledige ronde om de aarde te maken, wordt de omlooptijd genoemd. Bij benadering geldt de volgende formule: T = 0,00995. r 3/2
Hierin is T de omlooptijd in seconden en r de afstand in km van het middelpunt van de satelliet tot het middelpunt van de aarde. De bekendste satelliet van de aarde is de maan. De omlooptijd van de maan is ongeveer 28 dagen. (a) Bereken de afstand tussen het middelpunt van de maan en het middelpunt van de aarde. Geef je antwoord in duizenden kilometers nauwkeurig. In deze opgave wordt de aarde beschouwd als een bol. De straal van de aarde is ongeveer 6400 km. Een weersatelliet draait in een baan om de aarde op een constante hoogte van 800 km boven het aardoppervlak. Weersatellieten zijn klein vergeleken met de afstand tot de aarde. Ze mogen daarom als punten worden beschouwd. (b) Bereken met welke snelheid deze weersatelliet om de aarde draait. Geef je antwoord in duizenden km/uur nauwkeurig. Een satelliet draait in een baan om de aarde, recht boven de evenaar. De satelliet scant een deel van het aardoppervlak aan beide zijden van de evenaar. De totale breedte van de gescande strook is 400 km. Omdat dit klein is ten opzichte van de straal van de aarde, mag de strook als een cilindermantel worden beschouwd. (c) Bereken hoeveel procent van het aardoppervlak door de satelliet wordt gescand. Rond je antwoord af op een geheel aantal procenten.
- p 17 -
4.7. vwo A – 2011-I : dennenhout Een deel van de bossen in Nederland is bestemd voor de houtindustrie. Voordat een bos wordt gekapt, onderzoekt men meestal eerst hoeveel m³ hout het bos op zal leveren. Dit gebeurt aan de hand van de diameter en de hoogte van bomen. De diameter van een boom wordt gemeten op een vaste hoogte. Voor het bepalen van de hoeveelheid hout in één boom wordt gebruik gemaakt van de volgende formule: V = f . d 2 . h met diameter d en hoogte h beide in meter
In deze formule is V het volume aan hout in de boom in m³. De factor f heet de vormfactor. De vormfactor is een getal dat afhangt van de soort boom en de diameter d van de boom. Een voorbeeld van een boom die gebruikt wordt in de houtindustrie is de grove den (Pinus sylvestris). Zie de figuur. Voor de grove den wordt het verband tussen vormfactor f en de diameter d (in m) bij benadering gegeven door de volgende formule: f = 0, 30 d 2 − 0, 36 d + 0, 46
(a) In een bos staat een grove den met een diameter van 0,16 m. Bereken hoeveel procent de vormfactor van deze boom afneemt als de diameter van deze boom met 100% toeneemt. De grootste bekende diameter van een grove den is 1,2 m. Naarmate de diameter van een grove den groter is, is de hoogte ook groter. Voor de grove den geldt bij benadering het volgende verband tussen de hoogte h en de diameter d : h = 44. d 0,65
Ook hier is de diameter en de hoogte in meter. (b) Een grove den van 40 m hoog wordt gekapt. Bereken hoeveel hout deze grove den volgens de formules bevat. Op basis van de formule f = 0, 30. d 2 − 0, 36. d + 0, 46 en de formule h = 44. d 0,65 kan de formule V = f . d 2 . h worden herschreven als V = a . d 4,65 + b . d 3,65 + c . d 2,65
Hierin zijn a, b en c constanten. - p 18 -
(c) Bereken a, b en c in twee decimalen nauwkeurig. Een bos met grove dennen moet worden gekapt. Alvorens tot de kap over te gaan wordt eerst een schatting gemaakt van de houtopbrengst. Hiertoe worden de diameters van de bomen opgemeten en ingedeeld in klassen van verschillende grootte. Zie de tabel.
diameter in meter
0,00 – 0,05 0,05 – 0,10 0,10 – 0,15 0,15 – 0,20 0,20 – 0,25 0,25 – 0,30
klassenmidden (3 decimalen)
frequentie
volume in m³ v/e boom met diameter gelijk aan het klassenmidden (4 decimalen)
totaal volume per klasse (1 decimaal)
2730 1854 1261 874 437 131
(d) Vul bovenstaande tabel verder in en bepaal het totaal volume hout in m³ van de houtopbrengst.
- p 19 -
5. Magische vierkanten 5.1. Een magisch vierkant
x > 58
x > 28
x - 57
14
23
20
x - 27
4
13
10
24
19
x - 56
13
14
9
x - 26
3
18
21
16
x - 55
8
11
6
x - 25
15
x - 54
17
22
5
x - 24
7
12
5.2. Magische vierkanten als begeleide onderzoeksopdracht Een onderzoeksopdracht in het tweede jaar van de derde graad is pas haalbaar als men de leerling al voordien vertrouwd maakt met verschillende stappen uit het onderzoeksproces. Dit kan o.a. door de leerling te confronteren met deelstappen en deelverantwoordelijkheden via kleine deelopdrachten. Een begeleide onderzoeksopdracht, bijvoorbeeld in het eerste jaar van de derde graad, is een afgelijnde opdracht met de bedoeling de leerling zo concreet mogelijk aan het werk te zetten aan deze opdracht.
Fase 1 : oriënteren De leerlingen worden door de leerkracht opgedeeld in groepjes van 3 of 4. Tijdens de les (één lesuur) kiezen ze een onderwerp uit onderstaande en motiveren ze schriftelijk waarom ze juist dit onderwerp hebben gekozen. Elk onderwerp mag slechts eenmaal gekozen worden. Op het einde van de les heeft elke groep zijn onderwerp. Onderwerpen • • • • • • •
Magische Vierkanten Platonische lichamen / regelmatige veelvlakken Derdegraadsvergelijkingen en de ruzie tussen Cardano en Tartaglia Leven en werk van Pythagoras Het onmeetbare getal PI De Gulden Snede Leven en werk van Archimedes
- p 20 -
Fase 2 : voorbereiden (Het maken van een onderzoeksplan) In het onderzoeksplan geef je aan hoe je het onderzoek zal aanpakken. Wat zal je eerst doen? Welke hulpmiddelen heb je nodig? Hoe pak je het onderwerp aan? Wie zal welke taken op zich nemen? Tegen wanneer? Wanneer en waar komen jullie samen?
Fase 3 : informatie verzamelen Ga nu gericht op zoek naar informatie over je onderwerp. Wanneer je bruikbaar tekstmateriaal gevonden hebt op een website, in een tijdschrift of een boek mag je zeker niet vergeten de referenties op te nemen in je bibliografie. Maak hierbij gebruik van een correcte bronvermelding. Leg een individueel logboek aan: iedere actie, hoe klein ook, zal je daarin noteren. Maak ook een groepseigen logboek: d.i. een chronologisch overzicht van geplande en uitgevoerde activiteiten.
Fase 4 : formuleren van de onderzoeksvraag Tijdens het verzamelen van informatie verkrijg je steeds meer inzicht in het door jou gekozen onderwerp. In een volgende fase zal je het gevonden/verzamelde materiaal moeten ordenen en op bruikbaarheid evalueren. Vooraleer je dit kan doen, moet je weten welke richting je precies wil inslaan. Formuleer een (eerste) titel van je onderzoeksopdracht. Deze titel kan/mag je in het verdere verloop nog verfijnen of aanpassen
Fase 5 : informatie verwerken Verwerk het verzamelde materiaal in papervorm tot een begrijpbaar geheel zodat een leerling uit de klas die niet voor dit onderwerp gekozen heeft toch nog de tekst begrijpt. Hierbij maak je best een structuurschema waardoor de inhoud al in grote lijnen vastgelegd wordt. Zo kan je dit gemakkelijk verwerken tot een begrijpbaar geheel. Paper: minimaal 12 blz, maximaal 24 blz.
- p 21 -
Fase 6 : evaluatie van het onderzoeksproces Je paper wordt door de leerkracht beoordeeld: Is de paper vlot leesbaar of is het gewoon knip en plakwerk van gevonden teksten? Is de inhoud begrijpbaar? Is de gebruikte wiskundetaal correct? Is er zekere structuur of opbouw aanwezig? Hoe zit het met de lay-out en de vormgeving? Je beoordeelt de samenwerking in de groep: peerevaluatie.
Praktische info mailadres leerkracht: op het elektronisch leerplatform vind je deze tekst terug + volgende bijlagen: • • • • •
bijlage 1 : keuze onderzoeksopdracht bijlage 2 : individueel logboek bijlage 3 : groepseigen logboek bijlage 4 : evaluatieformulier paper bijlage 5 : P2P evaluatieformulier
tijdslijn: week van 5 – 9 jan 17 – 21 jan 22 – 25 jan 31 jan – 4 feb 5 – 8 feb 9 – 13 feb 14 feb 22:00 28 feb
to do groepsindeling + keuze van het onderwerp voor je groepsopdracht (indienen bijlage 1) eerste check-up: de individuele logboeken en het groepseigen logboek worden een eerste maal doorgemaild naar de leerkracht of op het leerplatform gepost feedback op deze eerste check-up tweede check-up: het groepseigen logboek en een eerste ruw ontwerp van de paper (schematisch) worden doorgemaild naar de leerkracht of op het leerplatform gepost feedback op deze tweede check-up indien nodig kan je steeds extra hulp en of feedback vragen, de P2P formulieren vind je op het leerplatform terug deadline: de paper, logboekformulieren en P2P evaluaties moeten de leerkracht bereiken punten van je oo vind je terug op je rapport
- p 22 -
Magische vierkanten De eerste “vierkantpuzzel” werd 2800 jaar v. Chr. aangetroffen in China. Hij was gekerfd in het schild van een schildpad in de Lo-rivier. De getallen brachten de omstanders in beroering, want hoe je ze ook optelde, ze hadden steeds dezelfde uitkomst. Sinds dit “Lo-Shu” vierkant zijn er in allerlei beschavingen talrijke varianten van het magisch vierkant gevonden. ze werden gedragen als talisman om boze geesten af te weren en om er ziektes mee te genezen. Ook speelden ze een rol in de alchemie en recentelijk werden ze in verband gebracht met de werking van het DNA-molecuul.
Terminologie (a) Wat is een magisch vierkant? Geef een duidelijke definitie van wat een magisch vierkant precies is. (b) Wat bedoeld men met “de magische constante” en hoe bepaal je de “orde” van een magisch vierkant? (c) Wat zijn multimagische vierkanten? Geef een voorbeeld van een bimagisch en een trimagisch vierkant. (d) Wanneer is en magisch vierkant panmagisch? (e) Zijn sudoku’s magische vierkanten of Latijnse vierkanten?
Beroemde magische vierkanten (f) Verhaal kort de legende van Lo-Shu over de overstroming van de rivier de Lo. (g) Melencolia van Albrecht Dürer (h) La Sagrada Familia in Barcelona (i) Magisch vierkant van Franklin (j) Magisch vierkant van Pfeffermann (k) HSA magisch vierkant
- p 23 -
Hoe maak je een magisch vierkant (l) Beschrijf de methode voor het maken van een magisch vierkant van oneven orde. (m)Beschrijf de methode van Strachey
Eigenschappen van magische en Latijnse vierkanten (n) Is de som van twee magische vierkanten weer magisch? (o) Formuleer het vermoeden van Euler omtrent Latijnse vierkanten. Was dit vermoeden juist?
Andere magische vormen (p) Wat is een magische cirkel of tovercirkel? (q) Wat is een magische ster? Geef een voorbeeld van een magisch hexagram, heptagram en/of octagram.
- p 24 -
6. Giscorrectie versus standard setting Bij meerkeuzevragen kunnen studenten een vraag juist beantwoorden door te gokken. Giscorrectie is een verbetervorm waarbij voor elk juist antwoord een punt wordt toegekend en waarbij punten afgetrokken worden voor een fout antwoord, afhankelijk van het aantal antwoordmogelijkheden. Bij het niet invullen van een antwoord worden geen punten toegekend. Bij 'standard setting' daarentegen verliezen studenten geen punten meer als ze een meerkeuzevraag verkeerd beantwoorden, maar ze moeten wel meer dan de helft van de vragen juist beantwoorden om te slagen voor het examen.
6.1. Giscorrectie Professor Iks stelt een examen op bestaande uit 40 meerkeuzevragen met telkens 4 mogelijke antwoorden. Als je het antwoord op een vraag niet kent, en je wilt gokken: (a) Wat is de kans dat je juist gokt? (b) Wat is de kans dat je fout gokt? Heb je een vraag juist, dan krijg je 1 punt. Laat je een vraag blanco, krijg je 0 punten. Heb je een vraag fout beantwoord, krijg je een minscore. Deze minscore (giscorrectie) berekent men meestal als volgt: (kans op juist) . 1 + (kans op fout) . (giscorrectie) = 0 (c) Hoeveel bedraagt de giscorrectie bij professor Ikx?
Lukas is één van de studenten die examen aflegt bij professor Ikx. Hij kent het antwoord op 17 vragen. De overige 23 vragen kent hij totaal niet. (d) Als hij op alle 23 vragen gokt. Wat is de minimale score dat hij kan behalen? (e) Hoeveel vragen van de 23 moet hij minstens juist gokken om 10 (of meer) op 20 te behalen? (f) Wat is de kans dat hij 10 of meer op 20 haalt? (g) Lukas besluit om 4 vragen blanco te laten en op de overige 19 te gokken. Wat is zijn kans op slagen nu?
- p 25 -
Markus kent het antwoord op 17 vragen. Bij 6 vragen twijfelt hij uit twee mogelijkheden en bij 9 vragen twijfelt hij uit drie van de vier mogelijke antwoorden. Van de andere 8 vragen weet hij totaal niets. (h) Wat is de gemiddelde score dat hij mag verwachten bij een vraag waarbij hij twijfelt uit twee mogelijkheden (waaronder sowieso het juiste antwoord). (i) Als hij alle vragen beantwoordt (m.a.w. gokt). Wat is zijn statistisch te verwachten score? (j) Markus beantwoord de 17 vragen die hij kent, en gokt bij de 6 vragen waarbij hij twijfelt uit twee mogelijkheden. De rest laat hij blanco. Wat zijn zijn slaagkansen? (k) Hoe groot zijn zijn slaagkansen als hij ook gokt bij de 9 vragen waarbij hij twijfelt uit drie van de vier mogelijke antwoorden?
Thomas kent het antwoord op 20 van de 40 vragen. Hij zal deze dan ook beantwoorden en de rest, waarvan hij niet zeker is, blanco laten. (l) Is Thomas geslaagd?
6.2. Standard setting Standard setting verhoogt de score die je moet halen om te slagen in die mate dat de kans dat een student slaagt door te gokken even hoog is als bij giscorrectie. Het % aantal vereiste juiste antwoorden nodig om te slagen wordt als volgt berekend: % vereist = 50% + 50% . (kans op een juist antwoord) In het geval van professor Ikx wordt dat: % vereist = 50% + 50% . ¼ = 62,5% Het aantal vragen dat een student juist moet hebben om 10 op 20 te behalen wordt: 62,5% . 40 = 25 m.a.w. een student die 25 vragen van de 40 juist beantwoord haalt 10 op 20. De scores tussen 0 en 10 en tussen 10 en 20 worden herschaald a rato van de juist beantwoorde vragen. Thomas kent het antwoord op 20 vragen. Hij zal deze dan ook juist beantwoorden en de rest gokken.
- p 26 -
(m)Wat zijn Thomas zijn slaagkansen? Zijn deze beter of slechter dan met de giscorrectie? (n) Hoeveel vragen moet Lukas nu juist gokken om te slagen? (o) Wat zijn zijn kansen hierop? Zijn de kansen van Lukas gestegen? (p) Wat is de statistisch te verwachten score van Markus bij standard setting? (q) Zijn de kansen van Markus gestegen t.o.v. (k) ?
Professor Omega heeft ook een examen dat bestaat uit meerkeuzevragen: 30 vragen met telkens 3 mogelijke antwoorden. Hij hanteert het systeem van standard setting. (r) Hoeveel vragen moet een student minstens juist beantwoorden om 10 (of meer) op 20 te halen?
- p 27 -
Giscorrectie versus standard setting Hieronder volgen 40 meerkeuzevragen. Aan jou om ze tweemaal correct te beantwoorden. Je score zal eenmaal berekend worden met de giscorrectie de tweede keer met standard setting. Je krijgt wel een aantal (juiste) tips wat het correcte antwoord betreft. Giscorrectie:
juist = +1 ; blanco = 0 ; fout = -1/3
20/40 wordt 10/20
Standard setting :
juist = +1 ; blanco of fout = 0
25/40 wordt 10/20
De eerste 17 vragen zijn alvast een “makkie”. Je wist het juiste antwoord met zekerheid dus krijg je het correcte antwoord als tip cadeau.
standard setting
giscorrectie Tip = correcte antwoord B D B A A C C C B B D D D C A D C
A
B
C
D
A
B
C
D
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Bij de volgende zes vragen twijfel je tussen twee keuzes. Wat doe je bij giscorrectie? Blanco of gokken?
- p 28 -
standard setting
giscorrectie Tip = correcte antwoord A C A A B A
of of of of of of
D D B C C D
A
B
C
D
A
B
C
D
18 19 20 21 22 23
De twijfel wordt groter. Bij volgende negen vragen kan je slechts één antwoord uitsluiten. Je moet dus kiezen uit drie mogelijkheden of bij giscorrectie al dan niet blanco laten. standard giscorrectie setting Tip = correcte antwoord A, A, B, A, B, A, A, A, A,
B C C B C B B C C
of of of of of of of of of
D D D D D C C D D
A
B
C
D
A
B
C
D
24 25 26 27 28 29 30 31 32
Van de laatste acht vragen weet je helemaal niets. standard setting
giscorrectie Tip = correcte antwoord
A
B
C
D
A
B
C
D
33 34 35 36 37 38 39 40
- p 29 -
