S1P– Příklady – 02 Náhodná proměnná (veličina) Mějme krabičku o rozměrech 1 x 2 x 3 cm. Na stranách jsou obrázky: :
Ω ={strom, houba, kytka, slunce, dům, ryba} Pravděpodobnost jednotlivých elementárních jevů odpovídá velikosti plochy. Nechť je nadefinovaná náhodná proměnná X následovně: X(strom)=1, X(houba)=3, X(kytka)=-1, X(slunce)=π, X(dům)=10, X(ryba)=7. Spočtěte pravděpodobnostní a distribuční funkci, E(X), D(X), medián, modus. Náhodná veličina X udává počet líců při hodu 3. mincemi. Stanovte pravděpodobnostní prostor, základní soubor, pravděpodobnostní a distribuční funkci. X je diskrétní náhodná proměnná s pravděpodobnostní funkcí : -3 -2 -0 1 2 x c 2c 3c 2c c p(x) Určete: c, F(x), graf(F), E(X), D(X), medián, modus.
4 4c
6 2c
Náhodná proměnná X popisuje náhodný generátor čísel, která generuje čísla v intervalu 1, . Pravděpodobnost, že bude vygenerováno číslo z intervalu k , k 1, k N je
2 3k Spočtěte pravděpodobnostní a distribuční funkci. Jsou charakteristiky E(X), D(X) konečná čísla? Pokud ano, spočtěte je s přesností na 1. deset. místo. Dále spočtěte medián, modus, pravděpodobnost, že bude vygenerováno číslo z interval 5, 10 .
Mějme terč o poloměru
první kruh má poloměr:
1
,
1
2 1 (k-1)-tý kruh má poloměr: k atd. Ω ={1,2,3,4,5,6, …}=N. Na terč házíte šipky. Pravděpodobnost jednotlivých elementárních jevů (zásahu do mezikruží) odpovídá velikosti jejich plochy. Spočtěte pravděpodobnostní a distribuční funkci. Jsou charakteristiky E(X), D(X) konečná čísla? Pokud ano, spočtěte je s přesností na 1. deset. místo. Dále spočtěte medián, modus.
Mějme nadefinovanou následující hustotu pravděpodobnosti:
Spočtěte c, hustotu pravděpodobnosti a distribuční funkci. X je spojitá náhodná proměnná, jejíž hustota je popsána na následujícím obrázku:
Spočtěte a vyjádřete: c, f(x), F(x), E(X), D(X), medián, modus
. X je spojitá náhodná proměnná, jejíž hustota je popsána na následujícím obrázku:
Spočtěte a vyjádřete: c, f(x), F(x), E(X), D(X), medián, modus. [12 bodů] X je spojitá náhodná proměnná s hustotou pravděpodobnosti: cos( x) x 0, 2 f ( x) jinak 0 Spočtěte a vyjádřete: F(x), E(X), D(X), medián, modus X je spojitá náhodná proměnná s hustotou pravděpodobnosti: 4 x 3 x 0, 1 f ( x) jinak 0 Spočtěte a vyjádřete: F(x), E(X), D(X), medián, modus
X je spojitá náhodná proměnná s hustotou pravděpodobnosti: 1 x x 1, ) f ( x) jinak 0 Spočtěte a vyjádřete: F(x), E(X), D(X) (pokud existují), medián, modus X je spojitá náhodná proměnná s hustotou pravděpodobnosti: 2e 2 x x 0, ) f ( x) jinak 0 Spočtěte a vyjádřete: F(x), E(X), D(X) (pokud existují), medián, modus
Funkce náhodné veličiny Mějme náhodné proměnné: a) X je diskrétní náhodná proměnná s pravděpodobnostní funkcí: -3 -2 0 1 2 x 1/15 2/15 3/15 2/15 1/15 p(x)
4 4/15
6 2/15
b) X je diskrétní náhodná proměnná s pravděpodobnostní funkcí: 2 p( x) x , x N 3 2 3 x x N p( x) jinak 0 c) X je spojitá náhodná proměnná s hustotou pravděpodobnosti: 1 4 x 1, 3 f ( x) jinak 0 d) X je spojitá náhodná proměnná s hustotou pravděpodobnosti: x 1 2 x 1, 3 f ( x) jinak 0 e) X je spojitá náhodná proměnná s hustotou pravděpodobnosti: x 1 8 x 1, 3 f ( x) jinak 0 f) X je spojitá náhodná proměnná s hustotou pravděpodobnosti: 1 x x 1, ) f ( x) jinak 0 Mějme funkci y g (x) :
7 x 2 1) g ( x) 3 x 2 2) g ( x) 3x 2 3) g ( x) x 2 Spočtěte distribuční funkci, pravděpodobnostní funkci (hustotu pravděpodobnosti) náhodné proměnné: Y g (X ) pro a) až f) a 1) až 3). Dále spočtěte E(Y), D(Y) (u b) existence), medián, modus.
Diskrétní náhodná proměnná Binomické rozdělení Při přijímacích zkouškách na lesnickou fakultu psali studenti test z biologie s padesáti otázkami. U každé otázky byly uvedeny tři možné odpovědi, z toho právě jedna správná. Za každou správnou odpověď získal student jeden bod (bylo tedy možno získat nejvýše padesát bodů). Jestliže student získal méně než deset bodů, nebyl doporučen ke studiu. Předpokládejme, že student se na zkoušku vůbec nepřipravil, a volil proto odpovědi zcela náhodně. a) Jaký počet získaných bodů je při tomto postupu nejvíce pravděpodobný? b) Jaká je pravděpodobnost, že student při psaní testu uspěl (tj. získal alespoň deset bodů)? Tisíc turistů vyrazilo na dvacet kilometrů dlouhou túru. Každý z nich dostal na cestu od pořadatelů po jednom jogurtu. Během túry odhodili turisté všechny kelímky od jogurtů podél cesty. Sto metrů dlouhý úsek cesty vede územím kmene Apačů. Každého turistu, který na jejich území odhodí kelímek, Apačové skalpují. Jestliže předpokládáme, že turisté odhazují kelímky v průběhu túry zcela náhodně, jaká je pravděpodobnost, že alespoň dva z nich přijdou o skalp?
Test obsahuje 10 otázek, ke každé z nich jsou uvedeny 4 možnosti: a, b, c, d. U každé otázky je právě jedna odpověď správná. Předpokládejme, že student zaškrtává odpovědi zcela náhodně. Označme X počet správně zodpovězených otázek. 1 Jaké rozdělení veličiny X? 2 Jaký je očekávaný počet správně zodpovězených otázek? 3 Na úspešné napsání testu je nutné správně zodpovědět alespoň 8 otázek. S jakou pravděpodobností se to studentovi povede? 4 Jaká je pravděpodobnost, že student zodpoví alespoň jednu otázku správně? Ve městě jsou čtyři křižovatky se světelnými semafory. Každý z nich uvolňuje nebo uzavírá dopravu se stejnou pravděpodobností 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že auto: a) projde první křižovatkou bez zdržení b) projde prvními dvěma křižovatkami bez zdržení c) projde všemi čtyřmi křižovatkami bez zdržení
Geometrické rozdělení Negativní binomické rozdělení Pravděpodobnost, že při přenosu bitu nastane chyba, je 0,1. Předpokládáme, že jednotlivé bity jsou přenášeny nezávisle na sobě. Náhodná veličina X udává, kolik bitů bylo správně přeneseno, než došlo k třetí chybě. Ve třídě je 20 žáků, prav., že otázka bude správně zodpovězena u každého žáka je 0,2. Učitel bude tak dlouho zkoušet od začátku abecedy, dokud nedostane správnou odpověď na tři otázky. a) s jakou prav. mu zodpoví správně třetí žák? b) s jakou prav. dojde až k poslednímu v abecedě?
Střelec má 4 náboje. Střílí na cíl tak dlouho, pokud ho nezasáhne nebo nevystřílí všechny náboje. Pravděpodobnost zásahu cíle při každém výstřelu je 0,8. Náhodná veličina X značí počet vystřílených nábojů. Stanovte pravděpodobnostní funkci p(x) a distribuční funkci F(x) náhodné veličiny X a nakreslete grafy těchto funkcí. Dále vypočtěte F(2), F(2,5), E(X), D(X), (X), x0,5, xˆ , P(1 X 3).
Poissonovo rozdělení Stopujete u silnice a během 1. hodiny kolem Vás projede 150 aut. a) s jakou pravděpodobností během 1. minuty kolem Vás projedou právě 3. auta, b) s jakou pravděpodobností během 1. minuty kolem Vás projedou nejvýše 3. auta, c) s jakou pravděpodobností během 1. minuty kolem Vás projedou alespoň 3. auta. Telefonní ústředna přepojuje průměrně 10 hovorů za hodinu. Vypočtěte pravděpodobnost, že a) během hodiny bude přepojeno právě 8 hovorů, b) během hodiny budou přepojeny alespoň 3 hovory, c) během deseti minut bude přepojen nanejvýš jeden hovor. Pokusy se zjistilo, že radioaktivní látka vyzářila během 7.5 sekundy průměrně 3.87 α-částice. Určete pravděpodobnost toho, že za 1 sekundu vyzáří tato látka alespoň 1 α-částici. Předpokládejme, že během léta uhynou z dané věkové třídy určité populace v průměru tři jedinci denně, přičemž úmrtnost je během celého léta stejná. Označme X počet jedinců, kteří uhynou během jednoho dne. a) Popište rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny X a určete jeho modus. b) Jaká je pravděpodobnost, že během jednoho dne uhyne nejvýše jeden jedinec?
Spojitá náhodná proměnná Rovnoměrné rozdělení 2a) Házíte mince o průměru 2 cm na soustavu rovnoběžek, které jsou od sebe vzdáleny 8 cm. Spočtete pravděpodobnost, že mince leží (nebo se dotýká) na nějaké rovnoběžce. 2b) Házíte jehly o délce 2 cm na soustavu rovnoběžek, které jsou od sebe vzdáleny 8 cm. Spočtete pravděpodobnost, že jehla leží (nebo se dotýká) na nějaké rovnoběžce. 2c) Házíte čtverce o straně 2 cm na soustavu rovnoběžek, které jsou od sebe vzdáleny 8 cm. Spočtete pravděpodobnost, že čtverec leží (nebo se dotýká) na nějaké rovnoběžce. 2d) Házíte obdélník o stranách 1 a 3 cm na soustavu rovnoběžek, které jsou od sebe vzdáleny 8 cm. Spočtete pravděpodobnost, že obdélník leží (nebo se dotýká) na nějaké rovnoběžce.
Exponenciální rozdělení Výrobní zařízení má poruchu v průměru jednou za 2000 hodin. Předpokládejme, že "doba čekání" na poruchu je náhodná veličina s exponenciálním rozdělením. Určete pravděpodobnost poruchy za 3000 hodin. Určete pravděpodobnost poruchy od 1000 do 2000 hodin. Určete pravděpodobnost poruchy od 1000 do 2000 hodin, když víte, že porucha dosud nenastala. Určete hodnotu t tak, aby pravděpodobnost, že přístroj bude pracovat delší dobu než t, byla 0.99. Doba čekání hosta na pivo je v restauraci U Lva průměrně 5 minut. Určete: a) hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny, která je dána dobou čekání na pivo b) pravděpodobnost, že budeme čekat na pivo déle než 12 minut c) dobu čekání, během které bude zákazník obsloužen s pravděpodobností 0,9
Normální rozdělení Náhodná proměnná X má normální rozdělení N(3,7). Spočtěte: a) P(X<4) b) P(X≥2) c) pro jaké x platí P(X≥x) = 0.3
Jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina X, která má rozdělení N(10, 9), nabude hodnoty a) menší než 16,
b) větší než 10, c) v mezích od 7 do 22?
V letech 1977 - 1982 byli všichni studenti přijatí do 1. ročníku PedF UK v Praze psychologicky vyšetřováni. V Amthauerově testu struktury inteligence byl průměr hrubého skóre HS u studentů všeobecně vzdělávacích předmětů 115 a směrodatná odchylka 16. Za předpokladu normálního rozdělení statistického znaku HS určete pravděpodobnost, že a) HS je menší nebo rovno 125, b) HS je větší než 100, c) HS je mezi 105 a 135.
Aproximace Vysypala se Vám pokladnička, kde jste měli 1000 Kč v korunách. S jakou pravděpodobností je počet mincí s lvem nahoře mezi 200 a 300.
1000 krát hodíte kostkou. S jakou pravděpodobností Vám padne 6 alespoň 100 krát. Pro jaké x Vám padne 6 nejvýše x krát s pravděpodobností 0.6.
Vysypala se Vám pokladnička, kde jste měli 1000 Kč v korunách. - s jakou pravděpodobností je počet mincí s lvem nahoře mezi 480 a 550 - s jakou pravděpodobností je počet mincí s lvem nejvýše 480 nebo alespoň 550 - pro jaké x platí: pravděpodobnost, že počet mincí s lvem nahoře je alespoň x, je rovna 0,7. Hodíte 1200x kostkou. a) s jakou pravděpodobností je počet padnutí 6 od 190 do 215 b) pro jaké x platí: pravděpodobnost, že kostka padne nejvýše x-krát je rovna 0,4 c) Kolikrát musíte hodit kostkou (n =?), aby pravděpodobnost, že kostka padne nejvýše 100krát je rovna 0,4
Náhodný vektor Diskrétní NV (X,Y) je diskrétní náhodný vektor popsán pravděpodobnostní funkcí p(x,y): x
0
1
2
3
1/15 0 1/15
3/15 2/15 0
0 2/15 0
1/15 2/15 3/15
y 1 3 5
Spočtěte a vyjádřete: px(x), py(y), závislost, F(x,y), E(X,Y), D(X), D(Y), ρ(X,Y) (X,Y) je diskrétní náhodný vektor popsán pravděpodobnostní funkcí p(x,y): x y 0 1 2 3 4
0
1
2
1/20 0 1/20 0 0
3/20 2/20 4/20 3/20 1/20
0 2/20 1/20 0 2/20
Spočtěte a vyjádřete: px(x), py(y), závislost, F(x,y), E(X,Y), D(X), D(Y), ρ(X,Y)
(X,Y) je diskrétní náhodný vektor popsán pravděpodobnostní funkcí p(x,y): x y 1 2
3
5
7
c/12 2c/12
2c/12 3c/12
0 c/12
Spočtěte a vyjádřete: c, px(x), py(y), závislost, F(x,y), E(X,Y), D(X), D(Y), ρ(X,Y)
. (X,Y) je diskrétní náhodný vektor popsán pravděpodobnostní funkcí p(x,y): x
0
1
3
5
7
y 1/20 2/20 0 2/20 0 0 1/20 0 3/20 1/20 2/20 2 2/20 3/20 1/20 2/20 0 4 Spočtěte a vyjádřete: px(x), py(y), závislost, F(x,y), E(X,Y), D(X), D(Y), ρ(X,Y).
Spojitý NV 0 x1 1 kx x x 2 0 x 1 2 Je dána funkce f ( x1 , x 2 , x3 ) 1 2 3 , 0 x 3 3 0 jinak a) stanovte k tak, aby funkce f byla hustotou pravděpodobnosti. b) vypočtěte marginální hustoty c) spočtěte pravděpodobnost P0 X 1 0.5 1 / 3 X 2 1 1 X 3 2 .
X 1 , X 2 je spojitý náhodný vektor s hustotou pravděpodobnosti: 0 x1 2 c f ( x1 , x 2 ) 1 x 2 6 , 0 jinak Spočtěte c, F ( x1 , x2 ) , marginální funkce: f X 1 ( x1 ) , f X 2 ( x2 ) , FX 1 ( x1 ) , FX 2 ( x2 ) , nezávislost,
X , Y T je spojitý náhodný vektor s hustotou pravděpodobnosti: 0 x2 c f ( x, y ) 1 y 6 , 0 jinak Spočtěte c, F ( x, y) , marginální funkce: f X (x) , f Y ( y) , FX (x) , FY ( y) , nezávislost, E ( X , Y ) , D(X), D(Y), C(X,Y), ( X , Y ) .
X , Y T je spojitý náhodný vektor s hustotou pravděpodobnosti: 0 x 1 c 0 y 1 f ( x, y ) , x y 1 0 jinak Spočtěte c, F ( x, y) , marginální funkce: f X (x) , f Y ( y) , FX (x) , FY ( y) , nezávislost, E ( X , Y ) , D(X), D(Y), C(X,Y), ( X , Y ) .
X , Y T je spojitý náhodný vektor s hustotou pravděpodobnosti: 0 x 1 c 0 y 1 f ( x, y ) , x y 1 0 jinak Spočtěte c, F ( x, y) , marginální funkce: f X (x) , f Y ( y) , FX (x) , FY ( y) , nezávislost, E ( X , Y ) , D(X), D(Y), C(X,Y), ( X , Y ) .
X , Y T je spojitý náhodný vektor s hustotou pravděpodobnosti: 0 x 1 c 0 y 1 f ( x, y ) , x y0 0 jinak Spočtěte c, F ( x, y) , marginální funkce: f X (x) , f Y ( y) , FX (x) , FY ( y) , nezávislost, E ( X , Y ) , D(X), D(Y), C(X,Y), ( X , Y ) .
X , Y T je spojitý náhodný vektor s hustotou pravděpodobnosti: 0 x 1 c 0 y 1 f ( x, y ) , x y0 0 jinak Spočtěte c, F ( x, y) , marginální funkce: f X (x) , f Y ( y) , FX (x) , FY ( y) , nezávislost, E ( X , Y ) , D(X), D(Y), C(X,Y), ( X , Y ) .
X , Y T je spojitý náhodný vektor s hustotou pravděpodobnosti: 0 x2 cx f ( x, y ) 1 y 6 , 0 jinak Spočtěte c, F ( x, y) , marginální funkce: f X (x) , f Y ( y) , FX (x) , FY ( y) , nezávislost, E ( X , Y ) , D(X), D(Y), C(X,Y), ( X , Y ) .
X , Y T je spojitý náhodný vektor s hustotou pravděpodobnosti: 0 x2 cy f ( x, y ) 1 y 6 , 0 jinak Spočtěte c, F ( x, y) , marginální funkce: f X (x) , f Y ( y) , FX (x) , FY ( y) , nezávislost, E ( X , Y ) , D(X), D(Y), C(X,Y), ( X , Y ) .
X , Y T je spojitý náhodný vektor s hustotou pravděpodobnosti: 0 x2 cxy f ( x, y ) 1 y 6 , 0 jinak Spočtěte c, F ( x, y) , marginální funkce: f X (x) , f Y ( y) , FX (x) , FY ( y) , nezávislost, E ( X , Y ) , D(X), D(Y), C(X,Y), ( X , Y ) .
Funkce náhodného vektoru Mějme náhodné vektory: a) X , Y je spojitý náhodný vektor s hustotou pravděpodobnosti: 0 x2 c f ( x, y ) 1 y 6 , 0 jinak T
b) X , Y je spojitý náhodný vektor s hustotou pravděpodobnosti: 0 x2 cx f ( x, y ) 1 y 6 , 0 jinak T
c) X , Y je spojitý náhodný vektor s hustotou pravděpodobnosti: 0 x2 cy f ( x, y ) 1 y 6 , 0 jinak T d) X , Y je spojitý náhodný vektor s hustotou pravděpodobnosti: 0 x2 cxy f ( x, y ) 1 y 6 , jinak 0 T
x Mějme zobrazení g : R 2 R 2 definované pomocí matice A: g ( x, y ) A . y 0 1 1) A 1 0 3 0 2) A 0 2 3 1 3) A 2 5 Spočtěte hustotu pravděpodobnosti náhodného vektoru: Z g( X , Y ) pro a) až d) a 1) až 3).
X , Y T je diskrétní náhodný vektor popsán pravděpodobnostní funkcí p(x,y): x y 0 1 2 3 4
0
1
2
1/20 0 1/20 0 0
3/20 2/20 4/20 3/20 1/20
0 2/20 1/20 0 2/20
Mějme zobrazení g : R 2 R 1) g ( x, y) x 2) g ( x, y) y 3) g ( x, y) x y 4) g ( x, y) xy 5) g ( x, y) maxx. y Spočtěte základní soubor, distribuční funkci a z ní pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny: Z g ( X , Y ) pro 1) až 5).
X , Y T je spojitý náhodný vektor s hustotou pravděpodobnosti: 0 x 1 1 f ( x, y ) 0 y 1 , 0 jinak Mějme zobrazení g : R 2 R 1) g ( x, y) x 2) g ( x, y) y 3) g ( x, y) x y 4) g ( x, y) xy 5) g ( x, y) maxx. y Spočtěte distribuční funkci a z ní hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny: Z g ( X , Y ) pro 1) až 5).
