Bab 2 Landasan Teori 2.1
Fungsi Salary
Jika suatu program pensiun mengkaitkan salary dalam menentukan besarnyabene…t pensiun ataupun kontribusinya, maka sangat diperlukan suatu asumsi untuk dapat mengestimasi salary dimasa datang. Notasikan, suatu fungsi salary dengan Sx dimana x adalah usia seorang dalam sebuah program pensiun. Pada umumnya Sx adalah fungsi tidak menurun (nondecreasing function) dalam x yang menggambarkan kenaikan salary dalam kaitannya dengan faktor in‡asi dan faktor merit (senioritas). Dalam Actuarial Mathematics (1986), kita melihat bahwa tujuan dari fungsi salary adalah untuk mengestimasi salary yang akan datang dalam valuasi pensiun. Sebagai contoh, jika ASx adalah actual salary dari seseorang berusia x, maka estimasi salary yang akan datang pada usia y, dimana y > x adalah ASx
Sy Sx
Perlu dicatat bahwa kita hanya memerlukan rasio
(2.1) Sy dan dengan demikian Sx Sx
dapat diskala kembali. Jika kita de…nisikan suatu fungsi salary berdasarkan usia adalah sebagai fungsi
5
2.1. Fungsi Salary
6
akumulasi terhadap faktor in‡asi dan faktor merit, dan kita ketahui bahwa fungsi Rx akumulasi dapat dituliskan sebagai expf z dz g, dimana z adalah laju akumulasi 0
(force of accumulation). Maka pada kasus ini dapat dide…nisikan dimana
adalah tingkat in‡asi (konstan) dan
z
z
=
+
z,
adalah tingkat kenaikan sesaat
yang dikaitkan dengan usia. Oleh karena itu, kita mempunyai 8 9 Zx < = Sx = exp x+ z dz : ;
(2.2)
0
dan dengan demikian
8 <
Sy (y = exp : Sx
x) +
Zy
dz
z
x
9 = ;
Sebagai hasil, estimasi salary yang akan datang pada usia y > x adalah sama dengan actual salary pada usia x dikalikan fungsi yang meliputi in‡asi, ditulis Ry sebagai expf (y x)g, dan fungsi merit, yang ditulis sebagai expf z dzg: Dalam x
tesis ini, kita asumsikan bahwa z
z
= e
;
> 0;
(2.3)
>0
Dari persamaan 2.2 dan 2.3 diperoleh Sx = exp
1
x+
(1
x
e
(2.4)
)
Jika dilakukan observasi sebanyak N individu, dimana Nx adalah jumlah orang yang berusia x pada waktu t = 0. Hal ini akan sama dengan jumlah orang yang berusia x + 1 pada waktu t = 1, karena kita mempunyai data hanya untuk orang k yang hidup yang telah diobservasi salary-nya selama periode studi. Ambil ASx+t ,
k = 1; 2; :::; Nx adalah aktual salary dari pegawai k pada usia x+t: Misalkan juga, sk adalah jumlah masa kerja yang dimiliki pada saat t = 0 dan ASx
sk
adalah
aktual salary pada saat mulai masuk kerja. Maka, model perkembangan salary yang realistis adalah: k ASx+t
=
ASxk sk
exp
Z
t z sk
dz +
Z
x+t
x sk
z
dz
"kt
(2.5)
2.1. Fungsi Salary
7
dimana faktor in‡asi: exp
nR t
z
sk
o nR x+t dz ; faktor merit: exp x sk
o dz ; dan fakz
tor error: "kt : Dengan menggunakan persamaan 2.5, diperoleh bahwa Z x+t+1 Z t+1 "kt+1 k k dz + dz ASx+t+1 = ASx+t exp z z "kt t x+t
2.1.1
(2.6)
Age-Based Model
Dalam model berdasarkan usia (age-based model), bahwa fungsi salary yang terdiri dari faktor in‡asi dan faktor merit dipengaruhi oleh variabel usia (x). Misalkan N adalah banyaknya observasi, yang ditandai sebagai [ak ; xk ; ASxkk ; ASxkk +1 ; ASxkk +2 ] untuk k = 1; 2; :::; N: Sebagaimana sebelumnya, ASxkk adalah aktual salary dari pegawai k yang berusia xk pada saat t = 0 dan mulai bekerja pada usia ak saat t = ak
xk . ASxkk +1 adalah aktual salary dari orang yang sama pada saat t = 1,
sementara ASxkk +2 adalah aktual salary dari orang yang sama pada saat t = 2: Dengan menggunakan model statistik dari persamaan 2.6 pada seksi sebelumnya, diperoleh bahwa ASxkk +t+1 = exp ASxkk +t
Z
t+1 z
dz +
t
xk +t+1
"kt+1 "kt
dz
z
xk +t
Selanjutnya, kita evaluasi integral diperoleh Z
Z
R xk +t+1
x+t+1 z
dz =
x+t
dz dimana
z
xk +t
Z
x+t+1
e
x+t
= be
(x+t)
dimana b=
1
(1
e
)
z
dz
; t = 0; 1
z
=
e
z
(2.7)
: Sehingga
2.1. Fungsi Salary
8
Akhirnya, kita de…nisikan Ytk = loge
ASxkk +t+1 ; ASxkk +t
"k "t k = loge t+1 ; "kt Z t+1 rt = z dz:
(2.8)
t
Menggunakan de…nisi tersebut, diperoleh bahwa persamaan 2.7 dapat ditulis sebagai Ytk = rt + be
(xk +t)
+ "t k
(2.9)
untuk t = 0; 1 dan k = 1; 2; :::; N . Persamaan regresi diatas dapat diestimasi dengan metode estimasi parameter statistik regresi nonlinear yaitu dengan pendekatan nonlinear least squares (NLS) dengan diasumsikan residual error ("t k ) tidak berdistribusi normal. Pertama, kita asumsikan bahwa error ("t k ) tidak berkorelasi. Hal ini bukan asumsi yang realistis, tetapi membolehkan kita untuk menguji kebebasan.
2.1.2
Service-Based Model
Sebagai alternatif pendekatan lain dari age-based model, akan diselidiki suatu fungsi salary berdasarkan masakerja yang dinamakan model berdasarkan masa kerja (service-based model). Dalam service-based model, kita tandai Ssrv , menjadi sebuah fungsi berdasarkan masa kerja, dimana srv
0: Kembali, Ssrv adalah
fungsi tidak menurun (nondecreasing function) dalam srv yang menggambarkan kenaikan salary karena in‡asi dan merit (senioritas). Jika ASsrv adalah aktual salary dari seseorang dengan masa kerja s, maka estimasi salary pada saat t, dimana t > srv adalah ASsrv
St Ssrv
(2.10)
2.1. Fungsi Salary
9
Sebelum melanjutkan, kita perlu mende…nisikan fungsi salary dengan servicebased model, yang kita tulis sebagai Ssrv = exp
srv +
Z
srv z
(2.11)
dz
0
Pada de…nisi ini,
adalah konstanta tingkat in‡asi, sementara
z
adalah tingkat
kenaikan sesaat karena masakerja. Sebagaimana sebelumnya, kita asumsikan bahwa z
Perlu dicatat, bahwa
z
:srv
= e
;
> 0;
>0
(2.12)
adalah fungsi menurun (decreasing) dalam z, dan dengan
demikian kenaikan merit akan lebih kecil untuk seseorang yang mempunyai masa kerja yang lebih panjang daripada seseorang yang mempunyai masa kerja pendek. Sebagaimana sebelumnya, kita gunakan N observasi yang sama, yang sekarang k k k kita tandai dengan srvk ; ASsrv ; ASsrv ; ASsrv untuk k = 1; 2; :::; N: Dalam k k +1 k +2
kasus ini, srvk = xk
ak adalah masa kerja pegawai ke k.
Dengan menggunakan model statistik yang sama sebagaimana model age-based, kita peroleh Ytk = rt + be
(srvk +t)
+ "t k
(2.13)
untuk t = 0; 1 dan k = 1; 2; :::; N , dimana Ytk
= loge
k ASsrv k +t+1 ; k ASsrvk +t
"k "t k = loge t+1 ; "kt Z t+1 rt = z dz: t
dan b=
1
(1
e
)
(2.14)
Persamaan regresi diatas dapat diestimasi dengan cara seperti yang dilakukan pada age-based model.
2.2. Metode Estimasi Parameter Model Statistik Nonlinier
2.2
10
Metode Estimasi Parameter Model Statistik Nonlinier
Untuk mengestimasi parameter dari fungsi salary pada persamaan 2.9 dan 2.13 di atas akan digunakan suatu metode estimasi parameter untuk model statistik nonlinier (nonlinier dalam parameter). Secara umum, bentuk dari model statistik nonlinier adalah yt = f (xt ; ) + et
(2.15)
atau dapat menggunakan notasi matrik yang ditulis sebagai y = f (X; ) + e
(2.16)
dimana, jika jumlah observasi N dan banyaknya parameter yang diestimasi adalah K, maka X adalah variabel bebas (exogenous variable) dan merupakan matrik (N x K),
adalah parameter dan matrik vektor (K x 1), y adalah variabel tidak
bebas (endogenous variable) yang merupakan fungsi dari X dan
merupakan
matrik vektor (N x 1), dan e adalah residual error merupakan matrik vektor (N x 1). Untuk mengestimasi parameter
pada model statistik nonlinier dapat menggu-
nakan dua metode, yaitu nonlinear least square dan nonlinear maximum likelihood. Pada kasus ini hanya akan menggunakan metode nonlinear least square (NLS), yang akan diuraikan sebagai berikut:
2.2.1
Nonlinear Least Square
Dengan estimasi nonlinear least square, maka dalam model statistik nonlinier pada persamaan 2.15 : yt = f (xt ; ) + et
(2.17)
2.2. Metode Estimasi Parameter Model Statistik Nonlinier
11
diasumsikan bahwa et berdistribusi bebas dan identik dengan mean 0 dan variance 2
atau et
i:i:d N (0;
2
) atau pada persamaan 2.16: (2.18)
y = f (X; ) + e diasumsikan bahwa E[e] = 0 dan E[ee0 ] = yt
i:i:d N (f (X; ); dan e
N (0;
2
2
2
IN atau e
2
N (0;
IN ). Sehingga,
) dengan f (xt ; ) adalah fungsi nonlinier dalam parameter
IN ):
Untuk menaksir parameter dengan cara mencari nilai
dengan metode nonlinear least square dilakukan yang meminimumkan jumlah kuadrat error (residual
sum of squares): S( ) =
N X
e2t
=
N X
[yt
f (xt ; )]2
t=1
t=1
atau, S( ) = e0 e = [y
f (X; )]0 [y
f (X; )]
Untuk memperoleh min(S( )) digunakan turunan pertama dari fungsi S( ) ter@S( ) hadap sehingga memenuhi …rst order condition (FOC) = 0 sehingga @ diperoleh: @S( ) = @
2
N X
[yt
f (xt ; )]:
t=1
atau, @S( ) @f (X; )0 = 2: [y @ @
@f (xt ; ) @
(2.19)
(2.20)
f (X; )] = 0
@f (X; )0 @f (X; adalah matrik (K x N). Ambil Z( ) = @ @ 0 0 @f (X; ) dari matrik maka @ 2 @f (x1 ; ) @f (x1 ; ) 6 @ 1 @ K @f (X; ) 6 .. 6 .. . .. Z( ) = =6 . . 0 6 @ 4 @f (xT ; ) @f (xT ; ) @ 1 @ K
dimana
=0
)
sebagai tranpose
3 7 7 7 7 7 5
2.2. Metode Estimasi Parameter Model Statistik Nonlinier
12
Sehingga persamaan 2.20 dapat ditulis menjadi Z( )0 [y
(2.21)
f (X; )] = 0
Langkah selanjutnya untuk memperoleh nilai
yang memenuhi FOC dapat di-
lakukan melalui proses algoritma diantaranya dengan metode algoritma GaussNewton Algoritma Gauss-Newton Untuk memperoleh solusi dari 2.21 dengan algoritma Gauss-Newton, dimulaidengan mengaproksimasi f (X; ) dengan menggunakan deret T aylor orde-1 disekitar initial value
yang dinotasikan sebagai
individu ke-t diberikan dengan " @f (xt ; ) (1) f (xt ; ) ' f (xt ; )+ @ 1
(1)
: Aproksimasi untuk observasi
@f (xt ; ) ::: @ K (1)
(1)
#
(1)
:[
]
(2.22)
dan untuk seluruh N observasi diperoleh
f (X; ) ' f (X;
(1)
f (X; ) ' f (X;
(1)
)+
@f (X; ) @ 0 (1)
) + Z(
(1)
[
]
(1)
(1)
)[
]
(2.23)
]+e
(2.24)
Substitusikan 2.23 ke 2.18 sehingga diperoleh y ' f (X;
(1)
) + Z(
(1)
(1)
)[
atau dapat ditulis menjadi bentuk linear pseudomodel y(
(1)
) = Z(
(1)
(2.25)
): + e
dimana y(
(1)
)=y
f (X;
(1)
) + Z(
(1)
):
(1)
(2.26)
2.2. Metode Estimasi Parameter Model Statistik Nonlinier Dari bentuk linier 2.25, estimasi
13
(2)
untuk iterasi kedua
dapat ditaksir
=
dengan menggunakan metode ordinary least squares (OLS), sehingga diperoleh (2)
1
=
Z(
(1) 0
(1)
)
=
Z(
(1) 0
(1)
)
=
(1)
+ Z(
(1) 0
) Z( ) Z(
Z(
(1) 0
Z(
(1) 0
1
(1)
) Z(
(1)
) y( ) (y
1
)
)
f (X; (1) 0
) (y
Z(
(1)
(1)
) + Z( (1)
f (X;
(1)
)
) (2.27)
)
Langkah selanjutnya, dilakukan aproksimasi kembali terhadap f (X; ) disekitar (2)
dengan 2.23, (2)
f (X; ) = f (X;
(2)
= f (X;
)+ )+
@f (X; ) @ 0
(2)
:(
)
(2)
@f (X; ) @ 0
@f (X; ) @ 0
: (2)
:
(2)
(2.28)
(2)
Maka diperoleh, y = f (X; ) + e = f (X; = f (X;
(2)
(2)
)+
@f (X; ) @ 0 (2)
) + Z(
@f (X; ) @ 0
: (2)
):
Z(
(2)
(2)
):
(2)
:
+e
(2)
(2.29)
+e
atau f (X;
y
(2)
(2)
) + Z(
)
y( Dari persamaan 2.30, taksir kembali
= Z(
(2)
) +e
) = Z(
(2)
) +e
(2) (2)
(2.30) (3)
untuk iterasi ketiga
dengan
=
metode ordinary least squares (OLS), diperoleh (3)
= [Z(
(2) 0
= [Z(
(2 0
=
(2)
) Z(
) Z(
+ [Z(
(2) (2)
(2) 0
)] 1 Z(
)] 1 Z(
(2) 0
) Z(
(2)
) y(
(2) 0
) (y
)] 1 Z(
(2)
)
f (X; (2) 0
) (y
(2)
) + Z(
f (X;
(2)
(2)
)
(2)
) (2.31)
)
Sehingga, secara umum dapat diperoleh rumus iterasi ke-n sebagai berikut: (n+1)
=
(n)
+ [Z(
(n) 0
) Z(
(n)
)] 1 Z(
(n) 0
) (y
f (X;
(n)
)
(2.32)
2.2. Metode Estimasi Parameter Model Statistik Nonlinier
14
Iterasi tersebut dilakukan terus secara berulang hingga diperoleh kondisi konvergen, yaitu (n+1)
(n)
(2.33)
sehingga FOC dari masalah min(S( )) pada 2.20 dan 2.21 telah dipenuhi. Dan dari persamaan 2.20 diketahui bahwa @S( ) @f (X; )0 = 2 :(y f (X; )) @ @ 1 @S( ) @f (X; )0 = :(y f (X; )) 2 @ @ = Z( )0 (y f (X; ))
(2.34) (2.35) (2.36)
maka @S( ) @ 1 @S( ) 2 @
=
2
(n)
= (n)
@f (X; )0 @
@f (X; )0 @ (n) 0
= Z(
) (y
:(y
f (X;
(n)
))
(n)
:(y
(n)
f (X;
))
(n)
f (X;
(n)
(2.37)
))
Dengan mensubstitusikan 2.37 ke 2.32 maka diperoleh iterasi Gauss-Newton yang secara umum dapat ditulis menjadi: (n+1)
= = =
+[Z( (n) )0 Z( (n) )] 1 Z( (n) )0 (y @S( ) (n) 1 [Z( (n) )0 Z( (n) )] 1 2 @ (n)
(n)
1 dimana tn = ; Pn = Z( 2
2.2.2
tn Pn (n) 0
) Z(
f (X;
)
(n)
(2.38)
n (n)
(n)
1
)
;
n
=
@S( ) @
(n)
Uji Hipotesa terhadap standard deviasi dan korelasi Error
Untuk menguji apakah kenaikan salary antara tahun t dan t+1 mempunyai variasi atau simpangan baku yang sama atau tidak sama, apakah ada hubungan antara
2.2. Metode Estimasi Parameter Model Statistik Nonlinier
15
kenaikan salary antar pegawai pada tahun t dan t + 1, dan apakah ada hubungan antara kenaikan salary pada tahun t dan t + 1 untuk pegawai yang sama, maka dapat dilakukan uji hipotesa terhadap
t ;. t ;
dan
dari error: Berdasarkan esti-
masi parameter yang telah diperoleh di atas dan dengan menggunakan persamaan 2.9, maka "t k = Ytk
rt
(xk +t)
be
(2.39)
sehingga dapat diperoleh standard deviasi dan korelasi dari error dengan rumus q V ar("t k ) t = t
=
=
Cov("t k ; "t l )
; k 6= l
2 t k ) Cov("t k ; "t+1
(2.40)
t : t+1
Dengan menggunakan estimator standard dan con…dence interval (selang kepercayaan) dengan tingkat keyakinan (1
), akan dilakukan uji hipotesa dimana
hipotesa nol (H0 ) adalah bahwa 0
=
0
= 0
1
= 0; dan
1
= 0 Jika S0 dan S1 masing-masing adalah estimator dari
0
dan
1,
dengan N yang
besar dan mendekati distribusi normal maka con…dence interval dari
0
dan
1
dapat dihitung dengan:
Jika nilai
0
dan
1
S0 2N
S0 < 2N
0
< S0 + Z
=2 : p
S1 < 2N
1
< S1 + Z
=2 : p
S0
Z
=2 : p
S1
Z
=2 : p
S1 2N
berada dalam interval yang sama maka Ho :
diterima dan sebaliknya.
(2.41) 0
=
1
akan
2.3. Program Pensiun
16
Jika r adalah estimator dari ; maka V ar(r) =
2 r
=
1 r2 . Sehingga diperoleh N k
nilai-t dari statistik T yang berdistribusi-t adalah p r N k t0 = p 1 r2 r 1 r2 r = t0 pN k 2 = t0 r maka con…dence interval dari
adalah:
t =2 : 2r < 1 r2 < t =2 : N k r
r
2 =2 : r
=2 :
Jika nilai 0 berada pada con…dence interval dari
1 r2 N k
di atas, maka Ho :
(2.42) = 0 akan
diterima dan sebaliknya
2.3
Program Pensiun
Fungsi utama dari sebuah program pensiun adalah untuk memberikan penghasilan bagi pegawai pada saat mereka pensiun. Di dalam valuasi program pensiun melibatkan beberapa fungsi dasar, yang terdiri dari: 1. Fungsi kehidupan gabungan (composite survival function); 2. Fungsi bene…t (bene…t function); 3. Fungsi bunga (interest function); 4. Fungsi salary (salary function); 5. Fungsi anuitas (annuity function).
2.3. Program Pensiun
2.3.1
17
Fungsi Kehidupan Gabungan
Fungsi kehidupan gabungan memberikan suatu probability bahwa seorang peserta program pensiun akan hidup dalam masa aktif (untuk suatu periode yang telah ditentukan) didasarkan pada semua tingkat penyusutan (decremental rates) yang diperhitungkan. Sedangkan probability kehidupan satu tahun pada penyusutan tunggal (single-decrement) sama dengan komplemen dari tingkat penyusutan, probability kehidupan satu tahun pada berbagai penyusutan kehidupan (multipledecrement) sama dengan hasil komplemen untuk setiap tingkat penyusutan yang digunakan. Asumsi tingkat penyusutan biasanya terdiri dari: mortality, withdrawal, disability, dan retirement decrement yang dinotasikan dengan single– decrement: q 0(m) = mortality rate (tingkat kematian) q 0(w) = withdrawal rate (tingkat pengunduran diri) q 0(d) = disability rate (tingkat cacat/uzur) q 0(r) = retirement rate (tingkat pensiun) Jadi jika seseorang yang aktif berusia x, maka probability kehidupan satu tahun pada kasus multiple-decrement adalah: p(x ) = (1
qx0(m) )(1
qx0(w) )(1
qx0(d) )(1
qx0(r) )
0(d) 0(r) = p0(m) :p0(w) x x :px :px
(2.43)
atau p(x ) = 1
[qx(m) + qx(w) + qx(d) + qx(r) ]
(2.44)
dimana dengan pendekatan asumsi uniform-distribution diketahui bahwa, qx(m) = qx0(m) (1 qx(w) = qx0(w) (1 qx(d) = qx0(d) (1 qx(r) = qx0(r) (1
1 0(w) q )(1 2 x 1 0(m) q )(1 2 x 1 0(m) q )(1 2 x 1 0(m) q )(1 2 x
1 0(d) q )(1 2 x 1 0(d) q )(1 2 x 1 0(w) q )(1 2 x 1 0(w) q )(1 2 x
1 0(r) q ) 2 x 1 0(r) q ) 2 x 1 0(r) q ) 2 x 1 0(d) q ) 2 x
(2.45)
2.3. Program Pensiun
18
Probability kehidupan dalam masa aktif selama n tahun adalah sama dengan ( ) n px
=
n Y1
( )
px+t
t=0
Mortality decrement Mortality yang terjadi pada pegawai aktif biasanya diberikan status pensiun sehingga tetap menerima bene…t pensiun secara lump sum kepada ahli warisnya, sedangkan mortality yang terjadi pada pensiunan akan menghentikan pembayaran bene…t pensiun. Walaupun bene…t pensiun dihentikan, seringkali juga diberikan suatu bentuk bene…t lain kepada ahli warisnya. Usia adalah faktor yang utama sangat berpengaruh dalam mortality rate. Tingkat mortalita secara tahunan akan meningkat seiring dengan bertambahnya usia. Faktor kedua yang mempengaruhi mortality rate adalah jenis kelamin (sex). Wanita cenderung mempunyai mortality rate yang lebih rendah dibandingkan laki-laki pada setiap usia yang sama. Faktor lainnya yang mempengaruhi mortality rate antara lain seperti jabatan/kedudukan, tetapi biasanya diabaikan. Jika mortality rate pada usia x 0(m)
dinotasikan dengan qx
, probability seseorang berusia x akan hidup mencapai
usia x + 1, diasumsikan tidak ada decrement lainnya, adalah dinotasikan dengan 0(m)
px
0(m)
: dimana px
0(m)
+qx
= 1: Secara umum, probability seseorang berusia x akan 0(m)
hidup n tahun dinotasikan dengan n px 0(m) = n px
n Y1
(1
: 0(m)
qx+t ) =
t=0
n Y1
0(m)
px+t
(2.46)
t=0
Jika batas usia pensiun normal adalah r, maka probability seseorang berusia x mencapai usia pensiun normal adalah
0(m) r x px
Withdrawal decrement Withdrawal atau termination decrement, seperti halnya pada mortality decrement, melindungi pegawai bila mengundurkan diri sebelum usia pensiun dengan
2.3. Program Pensiun
19
me-nerima bene…t yang diberikan dalam program pensiun tersebut. Banyak faktor yang mempengaruhi withdrawal rate, tetapi ada dua faktor yang penting yaitu usia dan masakerja. Seseorang yang berusia lebih tua dan atau memiliki masakerja lebih panjang cenderung akan memiliki withdrawal rate yang lebih rendah daripada yang berusia lebih muda dan atau memiliki masakerja lebih pendek. 0(w)
Jika withdrawal rate pada usia x dinotasikan dengan qx ; probability seseorang berusia x tidak mengundurkan diri hingga mencapai usia x + 1, diasumsikan tidak 0(w)
0(w)
ada decrement lainnya, dinotasikan dengan px ; dimana px
0(w)
+ qx
= 1:Secara
umum, probability seseorang berusia x akan bekerja tanpa mengundurkan diri 0(w)
hingga n tahun dinotasikan dengan n px : 0(w) n px
=
n Y1
(1
0(w) qx+t )
=
n Y1
0(w)
px+t
(2.47)
t=0
t=0
sehingga probability seseorang berusia x akan tetap bekerja mencapai usia pensiun normal adalah
0(w) r x px
Disability decrement Disability pada waktu pegawai aktif, seperti halnya pada mortality dan withdrawal, akan diberikan bene…t pensiun. Beberapa faktor yang mempengaruhi disability rate antara lain usia, sex, dan jabatan. Disability rate akan meningkat seiring dengan bertambahnya usia. Jika disability rate pada usia x dinotasikan 0(d)
dengan qx ; probability seseorang berusia x tidak cacat (disable) hingga menca0(d)
pai usia x + 1, diasumsikan tidak ada decrement lainnya, dinotasikan dengan px ; 0(d)
0(d)
dimana px + qx
= 1: Secara umum, probability seseorang berusia x tidak cacat 0(d)
hingga n tahun dinotasikan dengan n px : 0(d) n px
=
n Y1 t=0
(1
0(d) qx+t )
=
n Y1
0(d)
px+t
(2.48)
t=0
sehingga probability seseorang berusia x tidak cacat hingga mencapai usia pensiun normal adalah
0(d) r x px
2.3. Program Pensiun
20
Retirement decrement Retirement sebelum batas usia pensiun normal, disebut pensiun dipercepat (early retirement). Bene…t pensiun dibayarkan kepada pegawai, yang tentunya lebih kecil bila dibandingkan dengan bene…t pensiun normal. Faktor yang menyebabkan seseorang pensiun dipercepat, selain diperbolehkan dalam program pensiun tersebut, adalah faktor ekonomi dan faktor sosial. Batas usia pensiun dipercepat biasanya ditentukan beberapa tahun dari batas usia pensiun normal. Jika early 0(r)
retirement rate seseorang berusia x dinotasikan dengan qx ; probability seseorang tidak pensiun dipercepat hingga usia x+1, diasumsikan tidak ada decrement lain0(r)
0(r)
0(r)
nya, dinotasikan dengan px ; dimana px + qx
= 1:Secara umum, probability
seseorang berusia x tidak pensiun dipercepat hingga n tahun dinotasikan dengan 0(r) n px : 0(r) = n px
n Y1
(1
t=0
0(r)
qx+t ) =
n Y1
0(r)
px+t
(2.49)
t=0
sehingga probability seseorang berusia x tidak pensiun dipercepat hingga mencapai usia pensiun normal adalah
2.3.2
0(r) r x px
Fungsi Bene…t
Suatu program pensiun tidak dibatasi dalam memberikan penghasilan pensiun, dan semua program pensiun sekurang-kurangnya memberikan beberapa macam bene…t lain, antara lain: (1) vested termination bene…ts (bene…t pengunduran diri), (2) disability bene…ts (bene…t cacat atau keuzuran), dan (3) death bene…t (bene…t kematian). Bene…t pensiun biasanya dibayarkan secara periodik (bulanan) selama yang bersangkutan masih hidup. Dalam menentukan besarnya bene…t pensiun dikenal dua istilah penting, yaitu de…ned contribution dan de…ned bene…t. Program pensiun de…ned contribution adalah sebuah program pensiun dimana besarnya kontribusi pensiun telah ditentukan terlebih dulu dan biasanya merupakan persentase dari
2.3. Program Pensiun
21
salary. Kontribusi tersebut baik yang berasal dari pemberi kerja dan atau pegawai, diakumulasi dengan tingkat bunga tertentu selama aktif bekerja hingga menjelang pensiun.dan akan menjadi dana pembayaran pensiun. Sehingga besarnya bene…t tergantung pada besarnya akumulasi kontribusi. Sedangkan program pensiun de…ned bene…t adalah suatu program pensiun dimana besarnya bene…t pensiun telah ditetapkan terlebih dulu sehingga besarnya kontribusi yang harus diakumulasi selama aktif bekerja dihitung berdasarkan bene…t pensiun tersebut. Dalam hal program pensiun menggunakan de…ned bene…t, sebagaimana akan dibahas kali ini, maka dalam menentukan besarnya bene…t didasarkan pada salary tertentu. Salary yang digunakan sebagai dasar dalam pembayaran bene…t antara lain adalah: salary terakhir saat pensiun (…nal salary), rata-rata salary selama bekerja (carreer average salary), atau rata-rata salary beberapa periode terakhir (n-…nal average salary) sebelum pensiun. Jika bx adalah bene…t tahunan yang dihimpun selama satu tahun antara usis x dan x + 1 untuk seseorang yang mulai bekerja pada usia y, sedangkan kumulatif bene…t yang terhimpun dinotasikan dengan Bx yaitu jumlah bene…t tahunan dengan usia x (tidak termasuk usia x). Fungsi ini disebut fungsi accrued bene…t dan dide…nisikan untuk x > y sebagai Bx =
x 1 X
(2.50)
bt
t=y
Hubungan bene…t dan salary adalah sebagai berikut Final Salary Jika k adalah persentase tertentu (konstan), Sr
1
adalah salary terakhir sebelum
pensiun, y adalah usia masuk dan r adalah usia pensiun normal, maka accrued bene…t pada usia x adalah bx = k:Sr Bx = k:(x
1
y):Sr
1
(2.51)
2.3. Program Pensiun
22
dan accrued bene…t pada usia pensiun r adalah Br = k:(r
y):Sr
(2.52)
1
Carreer Average Salary bx = k:
1 r
Bx = k:(x
y
r 1 X
St
t=y
y):
y
r 1 X
y
r 1 X
1 r
St
(2.53)
t=y
dan accrued bene…t pada usia pensiun r adalah Br = k:(r = k
r 1 X
y):
1 r
St
t=y
(2.54)
St
t=y
n-Final Average Salary Jika n adalah jumlah tahun terakhir sebelum pensiun, yang digunakan sebagai dasar perhitungan rata-rata salary, maka bx
r 1 1 X = k: St n t=r n
Bx = k:(x
r 1 1 X y): St n t=r n
(2.55)
dan accrued bene…t pada usia pensiun r adalah Br = k:(r
2.3.3
r 1 1 X St y): n t=r n
(2.56)
Fungsi Salary
Fungsi salary digunakan untuk mengestimasi salary pegawai dimasa mendatang. Estimasi tersebut mempertimbangkan tiga faktor, yaitu (1) kenaikan salary yang berkaitan dengan merit (seniority), (2) kenaikan salary yang berkaitan dengan
2.3. Program Pensiun
23
bagian pegawai dalam menghasilkan gains, (3) kenaikan salary berkaitan dengan in‡asi. Kenaikan merit adalah bahwa pegawai akan menerima kenaikan salary karena karir individu, secara teori adalah karena kemampuan berdasarkan usia dan masakerja. Persentase kenaikan merit akan semakin turun ketika usia pegawai menjadi lebih tua. Skala merit yang digunakan sebagai bagian dalam proyeksi salary pegawai dapat diestimasi dari kelompok pegawai yang homogen, dengan membandingkan perbedaan salary diantara pegawai pada usia yang bervariasi dan dengan variasi periode masakerja di tahun yang diberikan. Produktivitas adalah faktor kedua yang memiliki penurunan yang penting pada suatu tahun, dan hal ini bervariasi diantara industri-industri. Dan faktor ketiga adalah in‡asi, yang menjadi faktor paling penting dalam melakukan proyeksi salary pegawai di masa yang akan datang. Bagian ini tidak seperti faktor merit, yang secara umum menaikkan salary pada tingkat yang semakin menurun, tetapi lebih memungkinkan menaikkan salary pada tingkat konstanta majemuk. Fungsi salary dalam kaitannya dengan bene…t adalah untuk mengestimasi salary yang akan digunakan sebagai dasar pembayaran bene…t pensiun dimasa yang akan datang. Jika aktual salary pada usia x adalah ASx maka untuk mengestimasi salary pada waktu pensiun diperlukan suatu fungsi salary sehingga estimasi salary pada usia pensiun r adalah ASx :
Sr 1 Sx
(2.57)
Sr 1 disebut sebagai skala salary. Fungsi salary yang berkaitan dengan Sx faktor merit dan dan faktor in‡asi telah dibahas pada awal Bab III ini. dimana
2.3.4
Fungsi Bunga
Fungsi bunga digunakan untuk mendiskontokan suatu pembayaran yang akan datang ke waktu sekarang. Jika tingkat bunga pada tahun t dinotasikan dengan
2.3. Program Pensiun
24
it , maka nilai sekarang dari pembayaran sebesar 1 yang akan jatuh tempo n tahun adalah 1 (1 + i1 )(1 + i2 ):::(1 + in ) dan jika i1 = i2 = ::: = in = i, diperoleh 1 (1 + i)n De…nisi sederhana yang digunakan dalam kaitannya dengan fungsi nilai sekarang (present value) adalah v=
1 (1 + i)
(1 + i) adalah faktor akumulasi, v sering disebut faktor diskonto (discount factor), dan d adalah tingkat diskonto (discount rate) d = 1
v
= i:v
2.3.5
Fungsi Anuitas
Ketika seorang pegawai mencapai usia pensiun maka ia akan mulai menerima suatu pembayaran bene…t pensiun secara berkala, biasanya secara bulanan, tetapi untuk mempermudah disini akan diasumsikan dibayar secara tahunan.
Nilai
sekarang dari suatu pembayaran yang dilakukan secara berkala demikian disebut sebagai anuitas. Jika pembayaran bene…t dilakukan selama seseorang tersebut masih hidup (atau dihentikan bila hanya terjadi kematian) maka anuitas ini disebut anuitas seumur hidup dan nilai sekarang dari suatu pembayaran sebesar 1 setiap tahun selama hidup, dengan pembayaran pertama dimulai pada usia x, diberikan sebagai a •x =
1 X
0(m) t :v t px
(2.58)
t=0
Anuitas mempunyai peranan yang penting dalam pembiayaan pensiun, dalam kaitannya dengan multiple-decrement diberikan anuitas hidup berjangka n dari
2.4. Metode pendanaan pensiun
25
orang yang berusia x dengan pembayaran sebesar 1 setiap tahun adalah a •x:nj =
n 1 X
( ) t t px :v
(2.59)
t=0
Dalam hal pembayaran sebesar 1 setiap tahun tersebut dibayarkan m kali setahun 1 sebesar , maka nilai sekarang dari anuitas tersebut menjadi m (m) a •x:nj
=
n 1 X
( ) t t px v
t=0
m 1 2m
( ) t t px v
p(x ) v t+1
t+1
dan jika anuitas tersebut dibayarkan seumur hidup maka dinotasikan menjadi a •x(m) =
! X
( ) t t px v
t=0
=
! X
2.4
( ) t t px v
t+1
m 1X ( ) t t px v 2m t=0
p(x ) v t+1
!
( ) t t px v
t=0
= a •x
m 1 2m
m 1 2m
t+1
p(x ) v t+1
Metode pendanaan pensiun
Untuk mengetahui dampaknya terhadap salary gains dan losses, maka akan kita gunakan masing-masing fungsi salary berdasarkan usia (age-based) dan fungsi salary berdasarkan masa kerja (service-based) dengan menggunakan dua metode pendanaan pensiun, yaitu projected unit credit (PUC) dan entry age normal (EAN) cost level percentage. Secara khusus, akan kita perhatikan pada variance dari salary gains dan losses secara individu. Sebelum berlanjut akan dijelaskan terlebih dahulu kedua metode pendanaan pensiun tersebut.
2.4.1
Projected Unit Credit (PUC) Method
Jika diasumsikan bahwa dalam program pensiun yang sederhana setiap pegawai akan pensiun pada usia r dengan suatu pembayaran manfaat pensiun tahunan (dibayar bulanan) sebesar B(r) selama hidup, maka suatu program pensiun akan
2.4. Metode pendanaan pensiun
26
terdanai dengan baik apabila dana yang diakumulasikan dari setiap pegawai ketika mencapai usia r cukup untuk mendanai pembayaran pensiunnya, yaitu sama den(12)
gan B(r):• ar : Konsep ini yang dipakai oleh metode pendanaan pensiun Unit Credit Method dan sejumlah metode pendanaan pensiun lainnya. Manfaat sebesar B(r) tidak secara tiba-tiba ada pada usia r, tetapi diperoleh atau dihimpun selama pegawai masih aktif bekerja. Pada awal ketika pegawai mulai bekerja, katakan usia y, manfaat yang dihimpun B(y) adalah nol; pada usia r ketika ia pensiun manfaat yang dihimpun sama dengan B(r); dan pada usia antara y dan r, katakan usia x, sebesar B(x) yang kita sebut accrued bene…t dari orang tersebut. Maka present value accrued bene…t pada usia x secara individu adalah r B(xk ):• a(12) r :v
x
:r
(2.60)
x px
dimana, B(xk ) adalah accrued bene…t pada usia x dari orang ke k: Dalam Unit Credit Method, sejumlah dana yang harus ada pada saat valuasi untuk memenuhi pembayaran pensiun pada saat pensiun atau yang disebut accrued liability (AL) dide…niskan sama dengan present value accrued bene…t, yaitu r ALxk = B(xk ):• a(12) r :v
ALx =
N X k=1
ALxk =
N X
x
:r
(2.61)
x px
r B(xk ):• a(12) r :v
x
:r
x px
(2.62)
k=1
Jika manfaat atau bene…t pensiun diatas dikaitkan dengan salary sehingga diperlukan adanya salary scales dalam perhitungannya maka metode ini disebut Projected Unit Credit Method (PUC). Salary pada saat valuasi diproyeksikan ke tanggal pensiun dengan menggunakan salary scales, dalam kasus seperti ini maka besarnya B(xk ) akan berubah sesuai dengan rumus manfaat atau bene…t yang akan diberikan.
2.4. Metode pendanaan pensiun
27
Sebagai contoh, manfaat pensiun bulanan diberikan sebesar 2% dari salary terakhir (…nal salary) untuk setiap tahun masa kerja. Jika y adalah usia mulai bekerja, r usia pensiun, dan x usia saat valuasi, maka B(rk ) = 2% (12) (r
y) Srk
1
B(xk ) = 2% (12) (x
y) Srk
1
(2.63)
sr 1 sr 1 adalah salary terakhir pegawai sebelum pensiun, sx sx adalah salary scales (dalam hal ini bergantung pada usia). dimana Srk
1
= S xk :
Dengan demikian pada saat x: r ALPxkU C = B(xk ):• a(12) r :v
= 2% (12) (x
ALPx U C =
N X
ALPxkU C =
k=1
N X
x
:r
x px
y) Srk
2% (12) (x
1
r a •(12) r :v
y) Srk
x
:r
x px
r a •(12) r :v
1
x
:r
x px
(2.64)
k=1
dan pada saat r : ALPrkU C = B(rk ):• a(12) r = 2% (12) (r ALPr U C
=
N X k=1
2.4.2
ALPrkU C
=
N X
y) Srk
2% (12) (r
1
a •(12) r
y) Srk
1
a •(12) r
(2.65)
k=1
Entry Age Normal (EAN) Cost Method level percentage
Seperti pada metode PUC, maka Entry Age Normal (EAN) cost method juga menggunakan salary scales jika manfaat pensiun yang diberikan didasarkan pada salary (rata-rata salary, rata-rata …nal salary, atau …nal salary). Dalam level
2.4. Metode pendanaan pensiun
28
percentage of salary, normal cost (NC) pada atau setelah usia masuk bekerja (y) menjadi suatu bagian atau prosentase yang tetap (U ) dari salary, sehingga N Cy = U:Sy = U:Sx :
sy sx
(2.66)
N Cx = U:Sx = U:Sy :
sx sy
(2.67)
dan
sehingga N Cx = U:Sx :
sy sx sx : = N Cy : sx sy sy
(2.68)
(12)
P V F By B(r):• ar :v r y :r y py dimana U = = r y 1 P P V F SALy sy+t t :v :t py Sy : sy t=0 Selanjutnya, accrued liability individu dengan metode EAN adalah ALEAN = P V F B xk xk = P V F B xk = P V F B xk = P V F B xk
P V N Cxk rX x 1
t=0 rX x 1
N Cxk :
sx+t t :v :t px sx
U:Sxk :
sx+t t :v :t px sx
t=0 rX x 1
U
t=0
= P V F B xk
2.4.3
S xk :
sx+t t :v :t px sx
P V F SALxk
P V F B yk P V F SALyk
(2.69)
Dampak Age-Based dan Service-Based Model pada Salary Gains and Losses
Untuk melihat dampak kedua model (age-based dan service-based) terhadap salary gains and losses, akan diaplikasikan pada kedua metode pendanaan pensiun (PUC dan EAN). Kita akan menggunakan rumus perhitungan salary gains secara indi-
2.4. Metode pendanaan pensiun
29
vidu sebagai berikut: SALGAINxk +t = ALxk +t = ALxk +t
8 S < S [xk ]+t :ASxk +t [x ]+t 1
1
k
:
ASxk +t
Sxk +t ASxk +t 1 : Sxk +t 1 ASxk +t
9 ASxk +t = 1
;
(2.70)
dimana SALGAINxk +t adalah salary gains untuk orang ke k yang berusia x pada waktu t, sedangkan ALxk +t adalah accrued liabilities yang aktual dari orang ke k yang berusia x pada waktu t. Artinya bahwa salary gains pada waktu t merupakan accrued liabilities aktual dikalikan dengan rasio dari selisih antara expected salary dengan aktual salary terhadap aktual salary pada waktu t. Sxk +t ASxk +t 1 : = 1 maka Sxk +t 1 ASxk +t = 0 dan kita memiliki prediksi yang sempurna. Untuk men-
Selanjutnya, perlu dicatat bahwa jika Qxk +t = SALGAINxk +t
gukur kedekatan dari Qx ke 1, akan digunakan perhitungan mean-squared-error (MSE), variance (Var), dan absolute bias (Bias) dari Qx untuk masing-masing fungsi salary diatas dengan menggunakan dua metode pendanaan pensiun (PUC dan EAN). Ketika membandingkan fungsi salary maka kriteria yang digunakan adalah variance, yaitu bahwa fungsi salary dengan variance paling kecil adalah yang terbaik. Dengan menggunakan suatu bobot wxk +t =
ALxk +t ; N X ALxk +t
(2.71)
k=1
dide…nisikan m1 = m2 =
N X
k=1 N X
wxk +t :Qxk +t ; wxk +t :[Qxk +t ]2 ;
k=1
V ar = m2
Bias = jm1
[m1 ]2 ; 1j ;
(2.72)
2.4. Metode pendanaan pensiun
30
dan M SE = V ar + [Bias]2
(2.73)
Dengan menggunakan ukuran ini, akan diperoleh bahwa M SE = 0 jika dan hanya jika SALGAINxk +t = 0 untuk semua k = 1; 2; :::; N: Karena M SE =
N X k=1
wxk +t :
[SALGAINxk +t ]2 [ALxk +t] ]2
Lebih jauh lagi, M SE = 0 jika dan hanya jika V ar = 0 dan Bias = 0:
(2.74)
