Různé přístupy k propedeutice algebry

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky

Bakalářská práce Lucie Prášilová

Různé přístupy k propedeutice algebry

Olomouc 2014

vedoucí práce: doc. PhDr. Bohumil Novák, CSc.

Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracovala samostatně na základě uvedených pramenů a literatury.

V Olomouci dne podpis autora práce

Děkuji doc. PhDr. Bohumilu Novákovi, CSc. za odborné vedení bakalářské práce, kvalitní spolupráci a poskytování cenných rad. Dále děkuji Bc. Lucii Ovčáčkové za anglický překlad anotace, Mgr. Lucii Rychtové za její kontrolu a v neposlední řadě celé své rodině za psychickou podporu.

OBSAH ÚVOD ........................................................................................................................................ 6 1

Historická reminiscence ................................................................................................... 8 1.1

Počátky algebry .......................................................................................................... 8

1.2

Matematika v Egyptě .................................................................................................. 9

1.3

Matematika v Mezopotámii ...................................................................................... 10

1.4

Matematika v Řecku ................................................................................................. 11

1.5

Arabská matematika ................................................................................................. 12

1.5.1 2

Algebra jako součást kurikula ZŠ ................................................................................. 17 2.1

Kurikulární dokumenty............................................................................................. 17

2.2

Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v RVP ZV ........................................ 17

2.2.1

3

Al-Chvárizmího rovnice ..................................................................................... 13

Algebraická propedeutika na 1. a 2. stupni ZŠ ................................................... 18

2.3

Algebraické učivo ve Standardu základního vzdělávání .......................................... 19

2.4

Algebraické pojmy v 8. a 9. ročníku ZŠ ................................................................... 20

2.5

Vymezení vybraných algebraických pojmů ............................................................. 20

2.5.1

Mnohočleny ........................................................................................................ 20

2.5.2

Algebraické výrazy ............................................................................................. 23

2.5.3

Lineární rovnice .................................................................................................. 25

2.5.4

Soustavy lineárních rovnic ................................................................................. 27

Zavedení algebraických pojmů v učebnicích matematiky .......................................... 30 3.1

Učebnice pedagogického nakladatelství Fraus ......................................................... 30

3.1.1

Struktura učebnic ................................................................................................ 30

3.1.2

Výrazy ................................................................................................................ 31

3.1.3

Lineární rovnice .................................................................................................. 37

3.1.4

Lomené výrazy ................................................................................................... 41

3.1.5

Rovnice s neznámou ve jmenovateli .................................................................. 44

3.1.6 3.2

Soustavy lineárních rovnic ................................................................................. 47 Učebnice pedagogického nakladatelství Prodos ....................................................... 50

3.2.1

Struktura učebnic ................................................................................................ 50

3.2.2

Výrazy ................................................................................................................ 51

3.2.3

Lineární rovnice .................................................................................................. 56

3.2.4

Lomené výrazy ................................................................................................... 59

3.2.5

Rovnice s neznámou ve jmenovateli .................................................................. 61

3.2.6

Soustavy lineárních rovnic ................................................................................. 63

ZÁVĚR .................................................................................................................................... 66 SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ ...................................................................................... 68 SEZNAM OBRÁZKŮ ............................................................................................................ 71 SEZNAM TABULEK............................................................................................................. 73

ÚVOD Tématem bakalářské práce je hledání různých přístupů k propedeutice algebry ve školské matematice. Dané téma je aktuální zejména z toho důvodu, že se dnes často setkáváme s žáky, pro něž je matematika zbytečným a tím nejméně oblíbeným předmětem. Matematika je však věda, která nás provází celým životem, a proto je nezbytnou součástí základního vzdělávání. Každá učebnice matematiky se vyznačuje odlišným způsobem zavedení matematického učiva. Velmi obtížné je nalézt takový způsob, jenž by otevřel žákům poutavou cestu do všech tajů matematiky, naučil je matematické vědomosti tak, aby byly uchovány trvale, a rozvíjel jejich schopnost využít nově získané vědomosti v praxi. Hlavním cílem bakalářské práce je charakterizovat algebraické učivo v podmínkách základní školy a demonstrovat odlišné přístupy ve dvou zpracovaných vybraných učebnicových řadách. V práci budeme porovnávat učebnice matematiky pedagogického nakladatelství Fraus a Prodos, které lze považovat za určité reprezentanty dvou odlišných přístupů k dané problematice. Prvním dílčím cílem je na základě prostudované literatury na pozadí vývoje matematiky jako vědní disciplíny ukázat počátky algebry. Druhým dílčím cílem je s oporou o současné kurikulum vymezit algebraické pojmy v učivu základní školy. Třetím dílčím cílem je pokusit se analyzovat algebraické učivo ve dvou učebnicových řadách, zdůraznit a popsat rozdíly v jednotlivých učebnicích. Pro dosažení cílů bakalářské práce je třeba přijmout následující strukturu. V teoreticky zaměřené části práce považujeme za potřebné připomenout podstatné momenty z historie algebry. Dále na základě podrobné analýzy Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání je nutné vymezit stěžejní algebraické učivo a očekávané výstupy žáků a s odkazem na Standard pro základní vzdělávání dokumentovat algebraické učivo na příkladech. Pro zvýšení přehlednosti textu vymezíme základní algebraické pojmy, které se stanou předmětem následné analýzy v učebnicích. V empirické části předložíme způsob zavedení vybraných algebraických pojmů v učebnicích nakladatelství Fraus a následně jej porovnáme se způsobem zavedení týchž algebraických pojmů v učebnicích nakladatelství Prodos. V první, historické části práce se budeme převážně odkazovat na příspěvky skotské webové stránky autorů Johna J. O'Connora a Edmunda F. Robertsona, kteří poskytují přehledný historický vývoj matematické vědy. K vyjádření korektních informací, vymezující matematické učivo a očekávané výstupy žáků na druhém stupni základní školy, využijeme Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání, platný od 1. 9. 2013, a Standard pro základní vzdělávání – Matematika a její aplikace, účinný od 1. 9. 2013. Při definování 6

základních algebraických pojmů nám bude nápomocná publikace od Josefa Poláka - Přehled středoškolské matematiky. Stěžejní součástí bakalářské práce budou učebnice matematiky pro 8. a 9. ročník základní školy pedagogického nakladatelství Fraus a Prodos.

7

1 Historická reminiscence 1.1 Počátky algebry Kořeny prvních matematických úvah sahají přibližně do roku 2000 před naším letopočtem.

V rámci

utváření

čísel

a

řešení

základních

aritmetických

výpočtů

a geometrických úloh se studovaly lineární rovnice, soustavy lineárních rovnic a také kvadratické rovnice, které daly počátek vzniku tzv. numerické algebry (O'Connor, Robertson, 1997). Podle Větrovcové (2010) je však nutné si uvědomit, že algebra před 19. stoletím nebyla vnímána jako samostatná disciplína, ale v historickém pojetí se převážně vyznačovala řešením úloh z praktického života s využitím geometrické představivosti a základních aritmetických znalostí. První zmínky o algebraických rovnicích se objevily po řadě v egyptské, mezopotamské a řecké kultuře. Základy babylonské matematiky se staly východiskem pro řecký nezávislý vývoj, který začal již kolem roku 450 před n. l. a udržel se do roku 200 n. l. Neodmyslitelnými pokračovateli řecké matematiky byly islámské země po dobu více než tisíc let. Zejména se matematice dařilo v dnešním Íránu, Sýrii a Indii. Kolem 11. století anglický filozof Adelard z Bathu a později Fibonacci přinesli islámskou matematiku a své znalosti o řecké matematice zpět do Evropy. Na počátku 16. století matematika v Evropě značně pokročila díky významným italským matematikům, jako byli Luca Pacioli, Girolamo Cardano, Nicolo Tartaglia a Lodovico Ferrari, kteří se proslavili algebraickým řešením kvadratických a kubických rovnic. Pokrok v algebře měl obrovský psychologický účinek a přinesl nadšení pro matematický výzkum, který se dále šířil do Francie, kde se proslavil francouzský matematik François Viète svým zavedením symboliky pro zjednodušení matematických výpočtů (O'Connor, Robertson, 1997). Svízelné počítání Teymour a Osler (2007) píší, že většina základních matematických symbolů je záležitostí přibližně 500 let starou, a proto v nejstarších dobách symbolické zápisy algebraických rovnic téměř neexistovaly. Úlohy, včetně čísel a neznámých, byly vyjádřeny slovně. Pracovalo se pouze s konkrétními čísly, nikoliv s koeficienty, které se dnes ve většině příkladů symbolizují písmeny z počátku abecedy. O'Connor a Robertson (1997) konstatují, že se neužíval symbol „=“, který byl až v roce 1557 představen velšským matematikem a fyzikem Robertem Recordem. Podle Bečváře (1999) se dlouhou dobu počítalo pouze s kladnými čísly. Úlohy vedoucí na algebraické rovnice byly řešeny v oboru přirozených,

8

resp. racionálních čísel, tudíž o záporném řešení algebraických rovnic nebylo vůbec uvažováno. Jediný možný důvod, který vedl k zavedení záporných čísel, byl podle O'Connora a Robertsona (1997) řešit lineární rovnici ve tvaru

.

1.2 Matematika v Egyptě Většina znalostí egyptské matematiky je převzata ze dvou starobylých dokumentů: Rhindův papyrus ze 17. století před n. l., který je dnes uložen v Britském muzeu v Londýně a obsahuje 87 příkladů, a Moskevský papyrus z 19. století před n. l., který je uložen v Muzeu výtvarného umění v Moskvě a obsahuje 25 příkladů. Právě Rhindův papyrus nám mimo jiné nabízí úlohy vedoucí na dnešní lineární rovnice. Než však přistoupíme k vzorové úloze, je třeba si připomenout, že Egypťané nepoužívali poziční zápis čísel. Pracovali s několika znaky symbolizující jednotku, desítku, stovku apod., takže si každý umí představit, jak těžké bylo násobení nebo dělení čísel v tomto zápisu (O'Connor, Robertson, 2000a). Podle Bečváře (1999, s. 162-163), ve snaze vyhnout se operaci dělení, staří Egypťané řešili lineární rovnice pomocí metody chybného předpokladu, která spočívala ve volbě neznámé, jež by mohla být řešením rovnice. Lineární rovnici ve tvaru této metody řešili následovně: „Za neznámou porovnáním součinu aby místo čísla

s číslem

bychom podle

se nejprve dosadí vhodné číslo

pak zjistíme, čím musíme číslo

;

vynásobit,

vyšlo číslo .“ Egyptský matematik jménem Ahmes, žijící okolo roku

1650 před n. l., předložil v Rhindově papyru úlohu vedoucí na lineární rovnici: „Hromada a její čtvrtina dávají dohromady 15 kusů. Kolik kusů je v celé hromadě?“ Úlohu zapíšeme následovně:

„Položíme-li

, abychom se zbavili zlomku jedné čtvrtiny, dostaneme místo čísla 15

číslo 5. Je tedy třeba vzít třikrát tolik, než jsme volili, abychom dostali číslo 15. Proto hledaná hromada bude

kusů.“

9

1.3 Matematika v Mezopotámii Podle Juškeviče (1989) se ve středověké Mezopotámii vrcholným matematickým výsledkem stala šedesátková poziční soustava pro celá čísla i zlomky, jejichž základ numerační soustavy představující čísla 1 až 59 byl symbolizován dvěma speciálními znaky. Vyjádříme-li si např. číslo 1542 v šedesátkové soustavě, dostaneme:

Zápis čísla 1542 by byl tvořen ze znaků symbolizující čísla 25 a 42. Na základě rozdělení dne do 24 hodin, každé hodiny do 60 minut a každé minuty do 60 sekund si lze uvědomit počítání v šedesátkové soustavě. Například číslo

zapíšeme

jako 0; 40; 00 (2/3 z 60 minut je 40 minut, tedy na místě nuly zvažujeme počet hodin, 40 znamená počet minut a 00 počet sekund). V rámci matematických úvah Babylóňané řešili problémy vedoucí na dnešní lineární, kvadratické a kubické rovnice. Ukažme si, jak řešili rovnice lineární. O'Connor a Robertson (2000c) uvádí příklad a jeho řešení. Vezměme

z

celkového množství ječmene. Přidejme

jednotek ječmene

a dostaneme původní množství. Jaké bylo celkové množství ječmene? Úlohu lze zapsat ve tvaru:

Číslo 2/3 odpovídá zápisu 0; 40. Dále počítáme 0; 40 krát 0; 40 a dostaneme 0; 26; 40 (2/3 ∙ 2/3 = 4/9 ∙ 60 = 26,6666666666666667, tedy 26 minut a 0,6666666666666667 ∙ 60 = 40 sekund, proto 0; 26; 40). Od 1 (60 minutám, proto 1; 00 hodina) odečteme 0; 26; 40. Dostaneme 0; 33; 20. Převrácená hodnota čísla 0; 33; 20 je podle babylonských tabulek 1; 48 (dokažme si následovně: 9/5 ∙ 60 = 108, tedy 108 = 60 + 48, proto 1; 48). Nakonec číslo 1; 48 znásobíme číslem 1; 40 (60 minut + 40 minut = 100 minut) a obdržíme číslo 3 zapsané v šedesátkové soustavě (tedy 9/5 ∙ 100 = 180 minut, což jsou 3 hodiny) (O'Connor, Robertson, 2000c). Dnešní výpočet je snadnější. Při řešení lineárních rovnic využíváme tzv. ekvivalentní úpravy:

10

1.4 Matematika v Řecku Významným řeckým matematikem byl Diofantos z Alexandrie. O jeho životě příliš nevíme. Dodnes se například diskutuje o době, ve které Diofantos žil. Datuje se přibližně od roku 150 před n. l. až do roku 350 n. l., což je rozpětí přibližně 500 let. Byl známý svými matematickými úvahami v oblasti teorie čísel a řešením algebraických rovnic. Proto je někdy označován za „otce algebry“. Jeho příspěvky se pravděpodobně staly východiskem pro arabskou, čínskou a indickou matematiku. Diofantovým ústředním dílem je Aritmetika ve 13 knihách, z níž se dochovalo pouze šest knih. Dalších sedm bylo nejspíše hned po vzniku ztraceno. V arabském překladu dochovaných šesti knih se dozvídáme, že pro Diofanta bylo negativní nebo iracionální řešení rovnice naprosto zbytečné. Uvažoval o třech typech kvadratických rovnic,

,

které řešil na základě

a

geometrických úvah o přeměňování obsahů. Je tedy oprávněné říci, že antická matematika dala vznik tzv. geometrické algebře. Důvod stanovení těchto tří typů rovnic namísto jedné, jak ji známe dnes, byl prostý. Diofantos neměl žádnou představu o nule (O'Connor, Robertson, 1999a). Vzhledem k tomu, že řešení kvadratických rovnic bylo obdobným a rozšířeným řešením kvadratických rovnic v arabské matematice, budeme se jím zabývat v následující kapitole.

jiný

Ukážeme

typ

problému

vedoucí

na

soustavy

lineárních

rovnic,

které Diofantos řešil vytvořením jediné kvadratické rovnice o neznámé x. Mějme stále na paměti, že úlohy byly zadávány a řešeny slovně. O'Connor a Robertson (1999a) ukazují, jak Diofantos řešil soustavu dvou lineárních rovnic:

Položíme

a vyjádříme si z rovnice

neznámou , ,

což dosadíme do rovnice

a dostaneme .

Aby byl dodržen vztah

musí platit

Dále tedy

11

1.5 Arabská matematika Existuje názor, že období poté, kdy Řekové položili základy moderní matematiky, je považováno za období ustrnutí matematického myšlení do té doby, než Evropané v 16. století navázali tam, kde Řekové skončili. Mnoho historiků matematiky si myslí, že arabská matematika pouze přetvářela již vynalezené řecké matematické učení, jiní téhož názoru nejsou (O'Connor, Robertson, 1999b). Baštinec a Kubištová (1998) uvádí, že arabská matematika navazuje do jisté míry na řeckou a mezopotamskou matematiku. Nicméně i přes arabské studie věnované překladům antických děl do arabštiny se vytvořila osobitá arabská matematika. V 7. a 8. století nastal zlatý věk arabské kultury a vědy. V hlavním městě chalífátu, Bagdádu, založil chalífa Al-Mamún „Dům moudrosti“, na základě kterého vznikla bagdádská matematická škola. Zde se proslavil Abú Abdalláh Muhammad ibn Músá al-Chwárizmí al-Mádžúsí1, významný perský matematik žijící na konci 8. a v první polovině 9. století. Podle Větrovcové (2010) se zasloužil o pozdější vývoj evropské matematiky a vzdělanosti právě svými spisy: Algebraický traktát a Aritmetický traktát. Aritmetický traktát, v originále Al-Kitab al-jam wa-t-tafriq bi-hisab al-Hind, se často uvádí jako Traktát o indickém počítání, proto není divu, že ve středu jeho zájmu stojí popis algoritmu, jak počítat a pracovat s čísly a to vše promítnout do praktického života každého arabského člověka. Slovo algoritmus se zrodilo z latinského překladu jména Al-Chvárizmí jako Algorizmi. Algebraický traktát, v originále Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabal, je doplňkem Aritmetického traktátu a také jeho předchůdcem, což dokazují výpočty spojené s operacemi násobení, zvětšování, zmenšování nebo hledání kořene (odmocňování). V překladu jej chápeme jako knihu o počítání algebry a almukabaly. Podobá se učebnici lineárních a kvadratických rovnic doplněné aritmetickými a geometrickými výpočty. Veškeré úlohy, které nalezneme ve spise, jsou vyjádřeny slovně a zaznamenávají problémy praktického života v Islámské říši té doby (Větrovcová, 2010). Podle Teymoura a Oslera (2007) se Algebraický traktát stal první algebraickou knihou, starou více než 1200 let, která kdy byla napsána a považována za nejlepší základ algebry až do dob francouzského matematika Vièta, jenž dále v 16. století algebraické poznatky rozšířil. O'Connor a Robertson (2000) se domnívají, že v jistém smyslu je Al-Chvárizmí považován za „otce algebry“ spíše než řecký matematik Diofantos, který se primárně zabýval teorií čísel. Navíc Větrovcová (2010) uvádí, že Algebraický traktát 1

Dále budeme užívat jména Al-Chvárizmí, které je uvedené v překladu díla Algebraický traktát z roku 2008.

12

společně s Aritmetickým traktátem stál na počátku vzniku symbolického počítání a byl důkazem možné proměny geometrického způsobu vyjadřování v jazyk algebry a aritmetiky.

1.5.1 Al-Chvárizmího rovnice Dříve než se Al-Chvárizmí ve svém spise začal zabývat otázkou řešení algebraických rovnic, popisoval přirozená čísla. Podle Al-Chvárizmího se každé číslo skládalo z jednotek. Vyjádřil si čísla od jedné do desíti a domníval se, že číslo 10 lze zdvojnásobit nebo ztrojnásobit na čísla 20, 30 apod. Analogicky uvažoval při zdvojnásobení a ztrojnásobení čísla 100. Tímto způsobem došel až k číslu 1000 a nadefinoval systém přirozených čísel (O'Connor, Robertson, 1999c). Právě tato čísla jsou podle arabského matematika trojího typu: kořen (x), „což je číslo větší nebo rovno jedné, nebo zlomek menší než jedna“, kvadrát (

),

„což je kořen znásobený sám sebou“ a číslo, které se nevztahuje ani ke kořenu, ani ke kvadrátu, často označené písmenem z počátku abecedy (Al-Chvárizmí, 2008, str. 113). Bez ohledu na to, zda řešil Al-Chvárizmí lineární nebo kvadratické rovnice, kořenem rovnice byl kvadrát, který představoval vypočítané části půdy nebo pole, jež by měly být rozděleny mezi dědice (Větrovcová, 2010). Přestože arabský matematik Al-Chvárizmí nepoužíval žádnou symboliku, většina autorů, kteří se ve svých pracích dotýkají jeho způsobů řešení rovnic, používá ve svých výpočtech pro snadnější pochopení symboly pro kořen, koeficienty a umocňování včetně zápisu čísel v desítkové poziční soustavě. Baštinec a Kubištová (1998, s. 128) předkládají šest typů úloh vedoucích na lineární a kvadratické rovnice, jejichž postupy řešení jsou uvedeny v Algebraickém traktátu. 1) Kvadrát roven kořenu 2) Kvadrát roven číslu 3) Kořen roven číslu 4) Kvadrát a kořen roven číslu 5) Kvadrát a číslo rovno kořenu 6) Kvadrát roven kořenu a číslu Protože práce arabského matematika byla omezena tím, že ve svých výpočtech pracoval pouze s kladnými čísly, obecný tvar rovnice

nebyl uvažován.

Tedy každá úloha, která obsahovala záporný člen, musela být převedena na jeden z uvedených základních šesti typů rovnic. K převodu na základní typ rovnice sloužila operace algebra a almukabala (Juškevič, 1977). 13

Operace al-džeber a al-muqábala Větrovcová (2010, s. 102) uvádí latinský překlad Algebraického traktátu podle Roberta z Chesteru jako „Liber al-gebræ et almucabalæ continens demontrationes aequationum regularum Al-gebræ“. Zároveň demonstruje, že arabské slovo al-džebr nám v latinském překladu přináší pojem algebra, který se udržel v matematice až dodnes, i když již v obecnějším a posunutém významu. Podobně překládá arabský výraz al-muqábala jako almucabala neboli krácení. Podle Bečváře (1999, s. 164) tehdejší význam slova al-džebr znamenal „převedení odečítaného členu na druhou stranu rovnice, tj. přičtení stejného členu k oběma stranám rovnice“ a arabské slovo al-muqábala představovalo „slučování členů stejného typu, stejného řádu“. Al-džeber a al-muqábala se tak považovaly za způsoby práce s rovnicemi, které vytvořily teorii řešení rovnic. Kvadrát a kořen roven číslu Pro ilustraci výpočtů Al-Chvárizmího rovnic si předložíme jednu z úloh uvedenou v Algebraickém traktátu. Ve čtvrtém oddílu je psáno: „Co se týče kvadrátu a kořenu rovných číslu; to pokud například řekneš: Kvadrát a deset jeho kořenů je roven třiceti devíti dirhamům, to znamená, jestliže přidáš k některému kvadrátu to, co je rovno deseti kořenům, obdržíš třicet devět. Pravidlo je následující: Rozpul počet kořenů a obdržíš při tomto zadání pět, násob ho sebou samým a máš dvacet pět. Výsledek přidej k třiceti devíti a máš šedesát čtyři. Nalezni z toho kořen, máš osm a odečti od tohoto polovinu [počtu] kořenů, což jest pět a zbydou tři a toto bude kořen kvadrátu, který jsi hledal. A kvadrát je devět. Takto postupuj vždy, když se setkáš s kvadráty a kořeny rovnajícími se číslu, bude-li to Alláhovým přáním.“ (Al-Chvárizmí, 2008, s. 115-116) Úloha vede na kvadratickou rovnici ve tvaru Protože se v rovnici koeficient

, tedy:

rovná jedné, dále budeme pracovat se zápisem rovnice

. Podle Juškeviče (1977) jsou Al-Chvárizmího úlohy řešeny pomocí

ve tvaru

dvou geometrických postupů, které spočívají v metodě doplnění obrazce na čtverec. Navzdory tomu, že jsou Al-Chvárizmího výpočty provedeny na konkrétních číselných příkladech, Juškevič (1977, s. 205) představuje první metodu řešení obecně zapsané rovnice .

14

Nejdříve je třeba sestrojit čtverec o obsahu sestrojit obdélník o výšce

. Dále ke každé straně čtverce musíme

. Nakonec doplnit konstrukci na jeden velký čtverec tak,

že zkonstruujeme čtyři menší čtverce o obsahu

, viz obr. 1. Pak právě řečené

geometrické úpravy lze zapsat následovně:

Obrázek 1: Čtverec, 1. metoda řešení

Obrázek 2: Konkrétní čtverec, 1. metoda řešení

Konkrétní úlohu ze čtvrtého oddílu Al-Chvárizmího traktátu zapsanou pomocí rovnice řešíme analogicky, viz obr. 2:

15

Juškevič (1977) uvádí také druhý postup řešení, při kterém sestrojíme opět čtverec o obsahu

, který rozšíříme o dva obdélníky o délce strany

. Nakonec konstrukci

doplníme na velký čtverec tak, že zkonstruujeme menší čtverec o obsahu

, viz obr. 3.

Pak geometrické úpravy můžeme zapsat následovně:

Obrázek 3: Čtverec, 2. metoda řešení

Rovnici

Obrázek 4: Konkrétní čtverec, 2. metoda řešení

řešíme podle druhého postupu řešení, viz obr. 4:

Al-Chvárizmí nepovažoval za neznámou pouze kořen, ale také jeho násobek, tedy kvadrát. Proto řešením úlohy je číslo 9 (Juškevič, 1977).

16

2 Algebra jako součást kurikula ZŠ 2.1 Kurikulární dokumenty Kurikulární dokumenty jsou rozděleny do dvou úrovní. První úroveň je státní a zahrnuje Národní program vzdělávání a rámcové vzdělávací programy 2 . Druhá úroveň je školní a zahrnuje školní vzdělávací programy 3. „Národní program vzdělávání vymezuje počáteční vzdělávání jako celek. RVP vymezují závazné rámce vzdělávání pro jeho jednotlivé etapy – předškolní, základní a střední vzdělávání.“ Ústřední myšlenkou všech RVP je celoživotní učení. RVP se vyznačují novou koncepcí ve vzdělávání, která zdůrazňuje osvojení si klíčových kompetencí v souladu se vzdělávacím obsahem a uplatnění dosažených vědomostí a dovedností v praktickém životě. ŠVP si jednotlivé školy vypracovávají v souladu s RVP a podle nich realizují vzdělávání (RVP ZV, 2013). Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání 4 , platný od 1. 9. 2013, charakterizuje a stanovuje pojetí a cíle základního vzdělávání. Představuje devět vzdělávacích oblastí, které jsou tvořeny jedním, případně více vzdělávacími obory. Každý vzdělávací obor je typický svým vzdělávacím obsahem, který je tvořen soupisem učiva a očekávanými výstupy žáků. Přijetím vzdělávacího obsahu, jenž je jednotný a nutný v povinném základním vzdělávání žáků, žák získává tzv. klíčové kompetence. Klíčové kompetence reprezentují „souhrn vědomostí, dovedností, schopností, postojů a hodnot důležitých pro osobní rozvoj a uplatnění každého člena ve společnosti“. RVP ZV je též doplněn o tzv. Standardy pro základní vzdělávání. Standardy vznikly jako opora pro všechny učitele. Nalezneme v nich podrobněji rozebrané vzdělávací obsahy jednotlivých vzdělávacích oborů. Staly se minimální úrovní základního vzdělávání, kterou by každý žák během devítileté povinné docházky měl zvládnout (RVP ZV, 2013).

2.2 Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v RVP ZV Jednou z devíti vzdělávacích oblastí v RVP ZV je oblast Matematika a její aplikace, která prolíná celým povinným devítiletým základním vzděláváním. V jádru vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace stojí „práce s matematickými objekty“ a její možné promítnutí do praktického života. Základní úlohou každého žáka je osvojit si základní matematické pojmy a myšlenkové postupy a nalézt souvislosti mezi nimi. Vzdělávací obsah

2

Dále jen RVP. Dále jen ŠVP. 4 Dále jen RVP ZV – „stanoven pro 6. – 9. třídu a také odpovídající ročníky šestiletých a osmiletých gymnázií“ 3

17

je rozvržen do čtyř tematických okruhů, přičemž první je Číslo a početní operace a patří na první stupeň základní školy5. Na něj navazuje druhý tematický okruh Číslo a proměnná, který náleží druhému stupni ZŠ. V těchto dvou okruzích si žáci „osvojují aritmetické operace v jejich třech složkách: dovednost provádět operaci, algoritmické porozumění a významové propojení“ a „seznamují se s pojmem proměnná a s její rolí při matematizaci reálných situací“. Třetí tematický okruh Závislosti, vztahy a práce s daty a čtvrtý tematický okruh Geometrie v rovině a v prostoru jsou součástí prvního a také druhého stupně ZŠ. Čtyři tematické okruhy jsou doplněny o tzv. Nestandardní aplikační úlohy a problémy, které vedou žáka k logickému myšlení. Způsob a nalezení řešení těchto úloh do jisté míry závisí na rozumové vyspělosti každého žáka, tedy nejsou zcela jen podmíněny získanými vědomostmi žáků ze všech čtyř tematických okruhů. Žáci se taktéž učí používat technické prostředky, jako jsou kalkulátory a programové využití počítačů (RVP ZV, 2013).

2.2.1 Algebraická propedeutika na 1. a 2. stupni ZŠ Na základě osvojení si učiva elementární aritmetiky spadající do okruhu Číslo a početní operace a zároveň osvojení si geometrických výpočtů patřících do okruhu Geometrie v rovině a prostoru na prvním stupni ZŠ se v úzké souvislosti s okruhem Číslo a proměnná zavádějí základní algebraické pojmy. V rámci okruhu Číslo a početní operace se žák na 1. stupni seznamuje s přirozenými, celými a racionálními čísly. „Čte a zapisuje čísla v desítkové soustavě. Provádí základní aritmetické operace v oboru přirozených čísel a také sčítá a odčítá zlomky se stejným jmenovatelem v oboru kladných čísel.“ Porovnává přirozená a také racionální čísla, čímž si uvědomuje vztahy rovnosti a nerovnosti daných čísel. Tedy intuitivní představu o rovnosti, která se stává základem pro definování pojmu lineární rovnice vyučovaného na druhém stupni ZŠ v rámci okruhu Číslo a proměnná, žák má již na prvním stupni ZŠ. Stejně tak se žák na 1. stupni v rámci okruhu Geometrie v rovině a prostoru setkává s výrazy s proměnnými, které jsou zařazeny do základního vzdělávání až na 2. stupni v okruhu Číslo a proměnná. Výrazy se například objevují ve vzorcích pro obsahy a obvody základních rovinných obrazců (RVP ZV, 2013). Tematický okruh Číslo a proměnná uvádí žáka do elementární algebry. Žáci si během 6. až 7. ročníku ZŠ prohlubují své znalosti o přirozeném, celém a racionálním číslu včetně operací s těmito čísly. V 8. ročníku ZŠ se zavádí nový pojem proměnná. Ústředním

5

Dále jen ZŠ.

18

algebraickým učivem v okruhu Číslo a proměnná je práce s výrazy, mnohočleny, lineárními rovnicemi a soustavami dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Po prostudování vymezeného algebraického učiva se od žáka očekává, že umí „matematizovat jednoduché reálné situace s využitím proměnných, určit hodnotu výrazu, sčítat a násobit mnohočleny, provádět rozklad mnohočlenu na součin pomocí vzorců a vytýkáním, formulovat a řešit reálnou situaci pomocí rovnic a jejich soustav“ (RVP ZV, 2013).

2.3 Algebraické učivo ve Standardu základního vzdělávání Standard pro ZV - Matematika a její aplikace, platný též od 1. 9. 2013, člení očekávané výstupy žáka v oblasti algebraického učiva na dílčí výstupy. Po prostudování učiva výrazy s proměnnou žák „vypočte hodnotu výrazu pro dané hodnoty proměnných, využívá při úpravě výrazů vytýkání a vzorce

,

a

a vybere odpovídající

výraz, který popisuje jednoduchou reálnou situaci“ (Standard pro ZV, 2013). Tato pasáž je ve Standardu doplněna neřešeným ilustrativním příkladem: Úkolem žáka je zapsat obvod rovnoramenného lichoběžníku pomocí výrazu s proměnnými ,

,

a

, viz obr. 5., dosadit za proměnné konkrétní hodnoty

,

a vypočítat číselnou hodnotu výrazu.

Obrázek 5: Lichoběžník

Standard rovněž uvádí dílčí výstupy žáků v oblasti učiva lineární rovnice a soustavy dvou lineárních rovnic. Žák umí „vyřešit rovnici a soustavu dvou jednoduchých lineárních rovnic pomocí ekvivalentních úprav a ověřit si správnost řešení slovní úlohy“. Součástí Standardu je neřešený ilustrativní příklad: „Rohlík stojí 2,50 Kč a houska 3,20 Kč. Eva zaplatila za nákup 26 Kč. Housek koupila o jeden kus více než rohlíků. Mohla si Eva koupit 4 rohlíky a 5 housek?“ (Standard pro ZV, 2013).

19

2.4 Algebraické pojmy v 8. a 9. ročníku ZŠ Z doporučené učební osnovy pro matematiku z roku 2011 se pojem výrazy s proměnnou a mnohočleny maximálně druhého stupně zařazují do 8. ročníku ZŠ. Učivo lineární rovnice a výpočet neznámé ze vzorce se taktéž řadí do 8. ročníku ZŠ a učivo soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých do 9., posledního povinného ročníku ZŠ. Dílčí výstupy žáka v oblasti řešení lineárních rovnic, které ještě nebyly uvedeny, jsou: „Rozhodovat, zda má rovnice jedno řešení, nekonečně mnoho řešení, nebo nemá řešení.“ V oblasti řešení soustav lineárních rovnic o dvou neznámých žák využívá „metodu dosazovací a sčítací“. V rozšiřujícím učivu lineární rovnice se do výuky může zařadit také „propedeutika využití parametru v matematice“. V rámci rozšiřujícího učiva o soustavách rovnic se žáci mohou seznámit s „grafickým řešením soustavy dvou rovnic“ (Doporučené učební osnovy, 2011).

2.5 Vymezení vybraných algebraických pojmů Definice základních pojmů, které budou analyzovány v kapitole 3, jsou převzaty z publikace POLÁK, J.: Přehled středoškolské matematiky, s. 111- 124, s. 201 – 207, s. 267 – 273, s. 323.

2.5.1 Mnohočleny „Nechť je

dané přirozené číslo nebo nula,

daná reálná čísla (konstanty),

proměnná (písmeno ve významu libovolného reálného čísla), pak součet se nazývá mnohočlen (polynom) proměnné R. Sčítanci

se nazývají členy mnohočlenu,

člen mnohočlenu. Číslo

z číselného oboru

s koeficienty jejich stupeň. Číslo

se nazývá absolutní

se nazývá stupeň mnohočlenu. Mnohočlen nultého stupně je zřejmě

každé číslo různé od nuly. Číslu nula se říká nulový mnohočlen; jeho stupeň se nedefinuje.“ Mnohočleny lze uspořádat vzestupně sestupně

nebo

(Vošický, 2007).

Za jednočlen považujeme mnohočlen, jenž obsahuje jeden člen. Jednočlenem může být také každé číslo různé od nuly nebo samotná nula. Dvojčlen obsahuje dva členy, trojčlen tři členy apod. Tedy například mnohočlen s proměnnou

je čtyřčlen 3. stupně

a koeficienty, jenž patří do oboru celých čísel (Z) a je uspořádán sestupně.

20

Rovnost mnohočlenů „Dva mnohočleny v týchž proměnných jsou si rovny, právě když se sobě rovnají všechny koeficienty odpovídajících si členů obou mnohočlenů (tj. členů obsahujících stejné mocniny proměnných).“ Operace s mnohočleny „Součtem (rozdílem) mnohočlenů je mnohočlen, jehož členy mají koeficienty rovné součtu (rozdílu) koeficientů odpovídajících si členů daných mnohočlenů.“ Než však začneme sčítat nebo odčítat mnohočleny, je třeba odstranit případné závorky. Při odčítání se v závorce u jednotlivých členů mnohočlenu zamění znaménka. Příklad: „Mnohočlen násobíme jednočlenem tak, že jednočlenem vynásobíme každý člen mnohočlenu. Mnohočlen násobíme mnohočlenem tak, že každý člen jednoho mnohočlenu vynásobíme každým členem druhého mnohočlenu. Takto získané součiny jsou členy mnohočlenu, který nazýváme součinem mnohočlenů.“ Příklad:

V rámci operace násobení mnohočlenů často využíváme vzorce pro druhou mocninu součtu, druhou mocninu rozdílu nebo vzorec pro rozdíl druhých mocnin. „Umocnit mnohočlen na

znamená (podle definice mocniny) znásobit vzájemně

-tou

mnohočlenů vesměs rovných danému mnohočlenu.“ Umocňovat mnohočlen můžeme také na třetí. Na základní škole se však setkáme se vzorci umocněnými pouze na druhou:

Mnohdy se vzorci Obecný vzorec

, kde

říká binomický vzorec, z latiny binom znamená dvojčlen. ,

, formulujeme pomocí binomické věty:

neboli

21

Příklad:

„Mnohočlen dělíme jednočlenem tak, že jednočlenem dělíme každý člen mnohočlenu.“ Příklad:

Rozklady mnohočlenů v oboru R Ve svých výpočtech můžeme narazit na mnohočleny, které lze upravit na součin jednodušších mnohočlenů, obvykle mnohočlenů nižšího stupně. Této úpravě říkáme rozklad mnohočlenu v součin. Setkáme se s třemi způsoby rozkladů. 1. V prvním případě se jedná o „vytýkání společného činitele před závorku“. Příklad: Někdy nemusíme najít společného činitele všech členů mnohočlenu. Můžeme však seskupit dohromady takové členy mnohočlenu, jež mají společného činitele. Příklad:

2. V druhém případě lze rozklad provést „užitím binomických vzorců nebo vzorců pro

.“

Příklad:

3. V třetím případě „rozkládáme kvadratický trojčlen v součin dvou lineárních dvojčlenů tvaru

v oboru R, který se můžeme pokusit najít dvěma

způsoby: a) Protože

, musí platit

22

celá čísla, lze čísla

Jsou-li

určit mnohdy zpaměti a to tak, že rozložíme číslo

různými způsoby na součin dvou celočíselných činitelů (je-li kladná nebo obě záporná, je-li

, mají

, jsou

obě

opačná znaménka a určíme,

která dvojice činitelů má součet roven . Příklad: Máme-li rozložit

, musí být

. Součin

a

kladný a součet záporný budou jen tehdy, jsou-li obě čísla

záporná. Rozložíme

; součet

tedy ,

dává dvojice

, a proto “.

b) Může se ale stát, že čísla určit

jsou příliš velká nebo nejsou celočíselná. Pak je třeba

pomocí kořenů kvadratické rovnice, platí

a

.

Příklad: Vraťme se k předchozímu příkladu a rozložme kvadratický trojčlen :

2.5.2 Algebraické výrazy „Algebraický výraz je výraz (zápis) skládající se z čísel a z písmen označujících proměnné, jež jsou spojeny znaky operací sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování, popř. obsahuje též závorky, které určují pořadí provádění naznačených operací.“ Rozlišujeme algebraické výrazy racionální a iracionální. Racionální algebraické výrazy neobsahují odmocniny z proměnných a dělí se na racionální celistvé výrazy neboli mnohočleny a racionální lomené výrazy, které existují ve tvaru zlomku, přičemž čitatel i jmenovatel je vyjádřen mnohočlenem. Vyskytují-li se ve výraze odmocniny z jedné nebo více proměnných, hovoříme o iracionálních algebraických výrazech. Každá proměnná symbolizuje v algebraickém výraze číslo, které náleží určitému číselnému oboru, tzv. oboru proměnné. Čísla náležící jistému oboru hodnot nazýváme hodnoty proměnné. V případě, že není obor stanovený, často pracujeme s množinou reálných čísel (R). 23

Podle Poláka si označíme „algebraický výraz s proměnnou a algebraický výraz s proměnnými

symbolem “. Každý

symbolem

algebraický výraz má svůj definiční obor, což je množina všech hodnot proměnných, pro něž má daný výraz smysl, a označujeme ho D

. V případě lomeného výrazu musí být

jmenovatel různý od nuly a v případě iracionálního výrazu v oboru R musí být výraz pod odmocninou nezáporný. Podívejme se na příklady algebraických výrazů a jejich definiční obory. Podle Poláka za racionální celistvý výraz (mnohočlen) považujeme např. výraz racionálním lomeným výrazem myslíme výraz ve tvaru:

a iracionálním algebraickým výrazem rozumíme výraz ve tvaru: Definujeme „hodnotu algebraického výrazu pro dané hodnoty jeho proměnných jako číslo, které dostaneme dosazením těchto hodnot proměnných do daného algebraického výrazu. Pro

má následující algebraický výraz hodnotu:

Rovnost algebraických výrazů „Dva algebraické výrazy

jsou si rovny (značíme

), právě když pro ně

platí: 1. mají společný definiční obor 2. po dosazení libovolných stejných hodnot proměnných do výrazů

jsou

si rovny hodnoty výrazů.“ Úpravy racionálních lomených výrazů Algebraickou úpravou výrazu rozumíme „provedení sledu operací, jimiž se od daného výrazu

přejde k jinému výrazu

D obou výrazů

, pro který platí

na společném definičním oboru

Tento společný definiční obor se dostane z podmínek, za nichž daný

výraz a jeho provedené úpravy mají smysl“. Při úpravách racionálních lomených výrazů využíváme výše uvedených vzorců pro počítání s mnohočleny a znalostí součtu, rozdílu, součinu, podílu, krácení, rozšiřování a rovnosti zlomků. Předložme si příklad, který zavádí Polák do své publikace: 24

2.5.3 Lineární rovnice „Jsou dány výrazy

a

s proměnnou . Mají se určit hodnoty této proměnné

z daného číselného oboru M, pro něž jsou si rovny hodnoty obou výrazů. Zápis této úlohy ve tvaru se nazývá rovnice. Výrazu Proměnná

se říká levá strana rovnice, výrazu

pravá strana rovnice.

v rovnici se nazývá neznámá. Speciálně může být jedna strana rovnice konstanta;

je-li jí nula, mluvíme o anulovaném tvaru rovnice. Hodnoty neznámé (určitá čísla) je rovnice splněna, tj. platí rovnost

, pro něž

se nazývají kořeny (řešení) rovnice.

Číselný obor M, ve kterém hledáme kořeny (řešení) rovnice, nazýváme oborem řešení rovnice. Podmnožina množiny M, v níž jsou definovány oba výrazy

, neboli průnik

definičních oborů těchto výrazů, se nazývá definiční obor rovnice a značí se D.“ Polák označuje množinu všech kořenů (řešení) rovnice písmenem

a uvádí příklad:

„Rovnice

Oborem řešení této rovnice s neznámou

je množina reálných čísel (

). Jak jsme

si mohli všimnout, levá a pravá stran rovnice se rovnají. Proto kořenem rovnice je libovolné číslo

, rovnice má nekonečně mnoho řešení, „Lineární rovnicí s neznámou

kde

nazýváme každou rovnici tvaru

jsou libovolná reálná čísla. Pro řešení lineární rovnice

v oboru R mohou

nastat právě tři případy: a) Je-li

, je ekvivalentní s rovnicí

, má nekonečně mnoho řešení, jejím řešením je každé reálné číslo.

b) Je-li c) Je-li

, takže má právě jeden kořen

,

, nemá žádné řešení.“

25

Postup řešení lineární rovnice je rozdělen do tří částí. Rozbor, závěr rozboru a zkouška. V rámci rozboru využíváme důsledkové (implikační) úpravy. Úpravy, jimiž získáme rovnici, ze které jsou zřejmé kořeny nebo je lze snadno vypočítat. Mezi nejzákladnější důsledkové úpravy patří ekvivalentní úpravy. „Jsou to takové úpravy dané rovnice, které ji převádějí na rovnici, jejíž množina všech kořenů je rovna množině všech kořenů dané rovnice; obě tyto rovnice se nazývají navzájem ekvivalentní rovnice.“ „Mezi základní ekvivalentní úpravy lineární rovnice řadíme: 1. Vzájemnou výměnu stran rovnice. 2. Nahrazení libovolné strany rovnice výrazem, který se jí rovná v celém oboru řešení rovnice. 3. Přičtení téhož čísla nebo výrazu s neznámou, který je definován v celém oboru řešení rovnice, k oběma stranám rovnice. 4. Vynásobení obou stran rovnice týmž číslem různým od nuly nebo výrazem s neznámou, který je definován a různý od nuly v celém oboru řešení rovnice.“ V závěru rozboru určíme množinu

všech kořenů vyřešené rovnice. Zkouška je

nezbytnou součástí postupu řešení rovnice. Získané kořeny za neznámou do levé

a pravé

strany rovnice. V případě, že

kořenem rovnice. Výsledná množina všech kořen je a postup řešení lineární rovnice. „Řešte rovnici s neznámou

:

Zkouška:

Výsledek:

rovnice po řadě dosadíme

.“

26

, je

. Polák uvádí příklad

2.5.4 Soustavy lineárních rovnic Podle Poláka soustava rovnic se dvěma, resp. více neznámými je několik rovnic, které mají být splněny zároveň. „Řešením soustavy rovnic o se rozumí každá uspořádaná -tice

neznámých

čísel z daného číselného oboru M, která

splňují zároveň všechny rovnice soustavy, tj. po dosazení do každé z rovnic soustavy dostaneme pravdivý výrok (rovnost). Množina všech řešení soustavy rovnic je průnikem množin všech řešení jednotlivých rovnic soustavy.“ Rozlišujeme soustavy lineárních algebraických rovnic, soustavy algebraických rovnic vyšších řádů a soustavy nealgebraických rovnic (exponenciální, logaritmické nebo goniometrické rovnice). Na ZŠ se setkáme se soustavami dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, které lze řešit pomocí metody sčítací, dosazovací a srovnávací. Metoda sčítací spočívá ve vynásobení rovnic takovým číslem, které by po sečtení vynásobených rovnic zajistilo vyloučení jedné neznámé. Metoda dosazovací si žádá vyjádření jedné neznámé z první rovnice a dosazení této neznámé do druhé rovnice. V rámci metody srovnávací „z obou rovnic vyjádříme touž neznámou, výsledky porovnáme a tím získáme rovnici, ve které je tato neznámá vyloučena“. Podívejme se, jak řeší Polák soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých všemi třemi metodami:

Metoda sčítací První rovnici vynásobíme třemi: Nyní sečteme vynásobenou rovnici s druhou rovnicí zadané soustavy, čímž vyloučíme neznámou y:

Analogicky lze vynásobit druhou rovnici mínus dvěma. Sečtením s první rovnicí se zbavíme proměnné x a dostaneme rovnici:

Metoda dosazovací Vyjádříme si z první rovnice neznámou y:

27

a dosadíme ji do druhé rovnice, dostaneme:

Analogicky vyjádříme z druhé rovnice proměnnou : dosazením do první rovnice, dostaneme:

Metoda srovnávací Z první i druhé rovnice vyjádříme neznámou , dostaneme:

Porovnáme-li tyto dvě rovnice, obdržíme rovnici:

Dosazením proměnné Soustavy má v množině

, zjistíme, že

do rovnice právě jedno řešení

. .

Zkouška:

Soustavy lineárních rovnic lze řešit graficky. Grafickým řešením lineární rovnice je přímka, množina všech bodů, jež vyhovují lineární rovnici. Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými může mít právě jedno řešení, jsou-li přímky obou lineárních rovnic různoběžné, viz obr. 6. Žádné řešení v případě, že jsou přímky rovnoběžné, viz obr. 7. Nekonečně mnoho řešení, jestliže obě přímky splývají, viz obr. 8.

28

Obrázek 6: Graf - jedno řešení

Obrázek 7: Graf - žádné řešení

Obrázek 8: Graf - nekonečně mnoho řešení

29

3 Zavedení algebraických pojmů v učebnicích matematiky 3.1 Učebnice pedagogického nakladatelství Fraus Ukázky matematických příkladů, které spadají pod kapitolu 3.1, budou převzaty z učebnice: BINTEROVÁ, H., FUCHS, E., TLUSTÝ, P.: Matematika 8: pro základní školy a víceletá gymnázia. Plzeň: Fraus, 2009, s. 51 - 93 a učebnice: BINTEROVÁ, H., FUCHS, E., TLUSTÝ, P.: Matematika 9: pro základní školy a víceletá gymnázia. Plzeň: Fraus, 2010, s. 16 – 63. Pedagogické nakladatelství Fraus vydalo učebnice matematiky pro 6. – 9. ročníky ZŠ a víceletá gymnázia. Jejich autory jsou Helena Binterová, Eduard Fuchs a Pavel Tlustý. Učebnice jsou vytvořeny v souladu s RVP ZV a opírají se o Standard základního vzdělávání. Ve výuce je lze využít v elektronické podobě jako interaktivní učebnice. K učebnicím existují pracovní sešity, příručky pro učitele a on-line opora, která poskytuje učitelům a žákům další materiály k procvičení učiva. Učebnice jsou charakteristické svou strukturou, pojetím a vizualizací učiva. Geometrické a aritmetické, později algebraické učivo je v každém ročníku zvláště rozděleno do dvou dílů. Učebnice nakladatelství Fraus dávají možnost žákovi samostatně odhalit podstatu učiva, bez předběžného definování pojmů, na základě jeho znalostí a zkušeností z předchozího učiva. Podle autorů je tento přístup časově náročný, ale efektivní. Učebnice motivují žáka k aktivní činnosti, rozvíjí žákovo logické myšlení a osvěžují mezipředmětové vazby. Cílem učebnic je vtáhnout žáka do problematiky tak, aby jí snadno porozuměl, uchoval si své znalosti trvale a uměl je využít v praktickém životě.

3.1.1 Struktura učebnic Pojmy výraz s proměnnou a lineární rovnice jsou zařazeny do učebnice Matematika pro 8. ročník základní školy a víceletá gymnázia - aritmetika 6 . Lomené výrazy, lineární rovnice a jejich soustavy jsou obsaženy v učebnici Matematika pro 9. ročník základní školy a víceletá gymnázia – algebra 7 . Název učebnice je stanoven podle učiva, jež v učebnici převažuje. V úvodu učebnice Aritmetika se žáci seznamují s šedesátkovou poziční soustavou a zápisem čísla římskými číslicemi a egyptskými hieroglyfy. V úvodu učebnice Algebra si žáci mají uvědomit smysl matematické vědy a důležitost její znalosti v životě každého člověka. V závěru je vždy učebnice doplněna složitějšími úlohami a několika stránkami 6 7

Dále jen Aritmetika nakladatelství Fraus nebo jen Aritmetika. Dále jen Algebra nakladatelství Fraus nebo jen Algebra.

30

probraných matematických pojmů přeložených do anglického jazyka. Poslední stránky učebnice jsou věnovány výstupům a kompetencím, vycházejícím z RVP ZV, kterých by měl žák po prostudování učebnice dosáhnout. Každé tematické učivo je označeno logem umístěným v levém a pravém horním rohu učebnice. Po vnějších stranách učebnice se nacházejí lišty, v nichž se žák setkává s dalšími informacemi a otázkami vztahujícími se k ostatním předmětům, úkoly k zamyšlení a navrženými tématy k referátům. Pro lepší orientaci v učebnici žák využívá symbolů, které ho upozorňují na to, co jej čeká. Bude-li se muset zamyslet, hledat souvislosti mezi pojmy, dát si pozor na vybrané pojmy, řešit praktické a zajímavé úkoly nebo úkoly pro chytré hlavy, či jej čeká chvíle oddechu nebo práce s počítačem. Většina kapitol je uvedena v duchu typových úloh, které jsou završeny oddílem Jak na to?, kde je žákům vyložen základní princip problematiky. Poté, co si žáci osvojí tuto část, následuje slovníček, který definuje základní pojmy a postupy pomocí nové matematické symboliky a terminologie.

3.1.2 Výrazy Zavedení pojmu proměnná a výraz Pojem proměnná se v učebnici Aritmetika zavádí v kapitole Výrazy. Žáci se v této kapitole seznamují s pojmem číselný výraz a výraz s proměnnou. Objevují rozdíly mezi těmito pojmy, učí se počítat s výrazy v symbolickém zápise a formulovat slovní úlohy pomocí výrazů. V úvodu kapitoly autoři nedefinují výrazy, ale společně s žáky vzpomínají, kde už se s nimi setkali. Uvádí dva geometrické příklady, jejichž postup řešení je žákům dobře znám. Jen netuší, že jsou v příkladech skryté výrazy. Prvním úkolem žáků je „vypočítat obsah modře ohraničeného čtverce na obr. 9 a svůj výpočet zdůvodnit“. Druhým úkolem je „určit obsah modře ohraničeného čtverce na obr. 10, když x je a) 3 dm, b) 5 dm, c) 10 dm“. V první úloze lze obsah čtverce zapsat pomocí číselného výrazu. Tedy,

,

: nebo sečteme-li jednotlivé obsahy čtverců, dostaneme: Žáci obdrží dva číselné výrazy. Aby získali obsah čtverce, musí vypočítat hodnotu číselného výrazu. Jelikož se hodnoty číselných výrazů sobě rovnají, rovnají se také samotné číselné výrazy:

31

V druhém případě lze obsah čtverce zapsat pomocí výrazu s proměnnou x. Podobně jako u předchozího příkladu zapíšeme obsah čtverce: nebo pomocí součtu jednotlivých obsahů čtverců: Žáci dostanou dva výrazy s proměnnou

Aby získali obsah čtverce, musí vypočítat hodnotu

výrazu s proměnnou x tak, že za x dosadí například za a) 3 dm:

Obrázek 10: Čtverec obsahující proměnnou x

Obrázek 9: Konkrétní čtverec

Aniž by učebnice definovala pojem číselný výraz, výraz s proměnnou, hodnotu výrazu a rovnost dvou výrazů, žák si pojmy, v souvislosti s již probraným geometrickým učivem a učivem o mocninách a odmocninách, osvojí sám. Neopomenutelnou součástí učebnice jsou též početní příklady. Jak správně upravovat závorky a provádět pořadí operací ve výrazech si žáci mohou prostudovat na vzorových příkladech ve slovníčku a vyzkoušet na několika dalších příkladech. Role proměnné ve výrazu S výrazy s proměnnou se žáci setkali již v nižších ročnících, právě když se učili vzorce pro obsahy a obvody základních rovinných útvarů. A proto autoři uvádí příklad, ve kterém využívají Heronova vzorce pro výpočet obsahu trojúhelníku. Záměrně předkládají složitější vzorec. Ne proto, aby si žáci vzorec zapamatovali, ale proto, aby si uvědomili, že k výpočtu obsahu trojúhelníku existuje i jiný vzorec. Vyřešením příkladu žáci pochopí, jakou roli zastává proměnná ve výrazu. Současně si žáci uvědomí rozdíl mezi pojmem výraz s jednou 32

proměnnou a výraz s více proměnnými. Z příkladu můžeme vycházet při následném definování dalšího pojmu, jako je mnohočlen. Úloha zní: „Když známe v trojúhelníku velikosti všech tří stran

můžeme pro výpočet jeho

obsahu použít Heronův vzorec:

, kde

Vypočtěte obsah trojúhelníku, jestliže

,

Určete velikosti

všech výšek.“ Zadaný trojúhelník je pravoúhlý. Je-li si žák vědom této vlastnosti, může jeho obsah spočítat jednodušeji. Řešení:

nebo

Autoři upevňují roli proměnně tím, že popisují situaci, ve které potřebujeme pomocí proměnné vyjádřit určitou veličinu. Vybírá-li pokladník ve třídě od svých spolužáků peníze na divadelní představení, neví ještě, kolik jeho spolužáků půjde. Vstupenka stojí 120 Kč. Pokladník si napíše, že vybere 120 , přičemž proměnnou

si označil počet spolužáků,

kteří se zúčastní divadelního představení. V podkapitole o výrazech v praxi nebo při řešení soustav lineárních rovnic se autoři společně s žáky vracejí k využití uvedeného postupu. Počítáme s mnohočleny Operace sčítání a odčítání Pro lepší představu při počítání s výrazy autoři využívají místo proměnných hrušky a jablka. Obecně nezáleží na tom, jak si označíme proměnné, nicméně pokud je sčítáme nebo odečítáme, musíme vědět, že není možné sčítat hrušky dohromady s jablky. Součástí příkladů jsou též součty a rozdíly proměnných umocněných na druhou nebo na třetí, viz obr. 11. Aniž by autoři uváděli, že struktura

je grupa, postupně ve slovníčku zavádějí

jazykem ZŠ pravidla, která platí pro operaci sčítání s celými čísly. Připomínají komutativní 33

a asociativní zákon, jejž žáci znají už od dob, kdy provádějí operace s čísly. Uvádějí příklady, na kterých dokazují platnost zákonů při sčítání mnohočlenů. Informují žáky o neutrálním prvku a opačném prvku, resp. opačném mnohočlenu. „Odečíst mnohočlen totiž znamená přičíst opačný mnohočlen.“

Obrázek 11: Sčítání a odčítání mnohočlenů

Operace násobení Autoři se vrací zpět ke geometrickým příkladům a usilují o to, aby žáci zcela porozuměli mechanickému způsobu roznásobení mnohočlenu jednočlenem a mnohočlenu mnohočlenem. Úkolem každého žáka je vyjádřit a spočítat obsah zadaného útvaru na obr. 12 pomocí výrazu a rozhodnout o tom, zda jde o číselný výraz nebo výraz s proměnnou.

Obrázek 12: Násobení mnohočlenu mnohočlenem (a)

Obrázek 13: Násobení mnohočlenu mnohočlenem (b)

Ve schématu Jak na to? obsah celého obdélníku na obr. 13 vystihují autoři výrazem Podobně sečtou obsahy všech obrazců v obdélníku, tedy obsah jednoho čtverce

a tří obdélníků

,

. Musí platit rovnost těchto dvou

a

výrazů s proměnnou : 34

Analogicky řeší příklad na obr. 14. Obsah obdélníku lze zapsat jako:

Obrázek 14: Násobení mnohočlenu jednočlenem

Až po této zkušenosti interpretují způsoby roznásobení závorek (distributivnost násobení ke sčítání) pomocí šipek a barevného rozlišení, viz obr. 15.

Obrázek 15: Násobení mnohočlenů

V rámci výkladu učiva o vytýkání si žáci připomínají, co je to největší společný dělitel a jak jej určujeme. Mějme daný výraz 5 - 5. „Číslo 5 je společným dělitelem obou členů výrazu. 5 : 5 = , 5 : 5 = 1. Společného dělitele (5) napíšeme před závorku, říkáme, že jsme 5 vytkli. Výraz 5 – 5 napíšeme jako součin 5 ∙ ( - 1). V závorce zůstal podíl původního výrazu a čísla 5.“ Vzorce pro úpravy mnohočlenu Často se setkáváme s výrazy, které nelze rozložit v součin vytknutím před závorku. Můžeme však využít vzorců pro úpravy mnohočlenů. Úkolem žáků je „vyjádřit obsah čtverců na obr. 16 a 17 a porovnat oba obrázky i výsledky výpočtů“. Navíc „rozhodnout o tom, zda platí vztah

, své tvrzení zdůvodnit a dokázat“. Podobně musí

dokázat vztah

a též rovnost dvou výrazů

. Podstatou úlohy je porozumění vzorcům pro úpravy mnohočlenů na základě geometrické interpretace.

35

Obrázek 16: Druhá mocnina součtu (a)

Obrázek 17: Druhá mocnina součtu (b)

Výrazy v praxi Výpočty spojené s výrazy se mnohdy promítají do úloh, kterými se matematizují reálné životní situace. Autoři v průběhu celé kapitoly několika takovými úlohami přispívají. Vybereme jednu: „V domě je pět bytů, v nichž bydlí: Márovi: 4 osoby, plocha 105 3 osoby, plocha 85

, Síťalovi: 2 osoby, plocha 56

a Papouškovi: 5 osob, plocha 125

, Chlaňovi:

, Novotní: 4 osoby, plocha 97

. Navrhněte takový matematický výraz, aby domovník

Fiala mohl rychle spočítat, kolik peněz měsíčně má od každého majitele bytu vybrat do společného fondu. Připravte přehlednou tabulku (můžete využít Excel). Vybrané částky měsíčně: 12 Kč za

plochy bytu do fondu oprav, 100 Kč na osobu jako záloha na vodu

a 45 Kč na byt jako záloha na elektřinu na osvětlení společných prostor domu.“ n

S

Fond oprav (Kč) S ∙ 12

Záloha na vodu (Kč) n ∙ 100

Záloha na osvětlení spol. prostor (Kč)

Celkem (Kč)

Márovi

4

105

1 260

400

45

1 705

Chlaňovi

3

85

1 020

300

45

1 365

Šítalovi

2

56

672

200

45

917

Novotní

4

97

1 164

400

45

1 609

Papouškovi

5

125

1 500

500

45

2 045

Tabulka 1: Výrazy v praxi

Žáci mohou při řešení slovní úlohy postupovat analogickým způsobem, jejž si osvojili v příkladu o divadelním představení, viz str. 33. Počet osob lze označit proměnnou n, plošné rozpoložení bytu proměnnou S. Tedy hledaný výraz je 12 S + 100 ∙ n + 45, výraz se dvěma proměnnými S a n. Pokud by domovník Fiala chtěl spočítat, kolik peněz má měsíčně vybrat od každého majitele do společného fondu, v případě rodiny Márovy by dosadil za proměnné: n = 4, S = 105. 36

3.1.3 Lineární rovnice V úvodu kapitoly Rovnice autoři záměrně předkládají tři slovně zadané příklady, které mají žáci vyřešit svým způsobem. Poté, co se naučí počítat s rovnicemi, pochopí, jak velkým pomocníkem mohou být rovnice při řešení podobných příkladů. Zmíníme alespoň jeden. „Určete dvě po sobě jdoucí přirozená čísla, jejichž součet je 15. Napište, jak jste postupovali při výpočtu.“ Výsledkem jsou čísla 7 a 8. Příklad lze vyřešit pomocí rovnice . V rámečku Jak na to? se žáci seznamují s definicí pojmu rovnice. „Rovnice není nic jiného než rovnost dvou výrazů. Ale pozor! V takové rovnici musí být aspoň jedna neznámá (někdy ji také nazýváme proměnná). A co znamená řešit rovnici? Najít všechna taková čísla, jejichž dosazením za neznámé dostaneme na obou stranách rovnice stejná čísla!“ Než se autoři přesunou k objasnění podstaty ekvivalentních úprav, uvádí jednoduché slovní úlohy, které lze vyřešit zpaměti a bez rovnic. Na těchto příkladech předvádí, jak se pracuje s rovnicemi. Pro představu si jednu z úloh uvedeme. „Ve finálovém zápasu basketbalové ligy NBA hráli Lakers proti Bostonu. Bryant zaznamenal 36 bodů, což bylo o 16 více než dosáhl Vujačič. Kolik bodů nastřílel Vujačič? Snadno přijdeme na to, že Vujačic nastřílel 20 bodů. Jak si to můžeme znázornit?“

Obrázek 18: Rovnice

Obrázek 19: Úprava rovnice

Při řešení této úlohy se autoři odkazují na obr. 18 a 19. Obr. 18 lze vystihnout rovnicí: Nyní musíme oběma hráčům škrtnout 16 bodů, viz obr. 19. Jednoduchou rovnici pak řešíme následovně:

37

Vujačič nastřílel 20 bodů. Provedeme-li zkoušku dosazením výsledku za proměnnou dostaneme rovnost

,

.

Za nejnázornější způsob řešení lineárních rovnic autoři považují úlohy s váhami. Každý žák si při tomto typu úloh uvědomí levou a pravou stranu rovnice, které může libovolně zaměnit. Každé závaží představuje číslo. Je-li váha v rovnováze, obě strany rovnice se sobě rovnají. Žáci tak mohou přidávat a odebírat totéž závaží na obou stranách váhy, resp. přičítat a odečítat totéž číslo na obou stranách rovnice. Předložme si konkrétní typ úlohy: „Zjistěte z obrázku, kolik kilogramů (kg) váží hnědá bedna se železem; její hmotnost je na obr. 20 označena neznámou

. Zapište matematicky situaci na obrázku, když víte,

že číselné hodnoty uvedené na jednotlivých závažích jsou hmotnosti v kilogramech.“

Obrázek 20: Váha

Obrázek 21: Váha po odebrání kil

Chceme-li matematicky popsat obr. 20, zapíšeme situaci rovnicí: . Odebereme-li na každé straně váhy 7 kg závaží, viz obr. 21, dostaneme:

Tedy bedna s železem váží 10 kg. Nutná je zkouška jako zpětná kontrola pro žáky, , což platí. Autoři využívají geometrickou interpretaci také při řešení lineárních rovnic. Úkolem žáků je si pozorně prohlédnout obrázky, pokusit se situaci na obr. 22 a 23 vyjádřit pomocí rovnice a rovnici vyřešit.

Obrázek 22: Obdélník (a)

Obrázek 23: Obdélník (b)

38

V případě obr. 22 lze zapsat situaci podle vzorce pro obsah obdélníku pomocí rovnice . Žáci obdrží rovnost dvou výrazů. V našem případě rovnost splňuje rovnici, neboť se v ní nachází alespoň jedna neznámá neboli proměnná . Levou i pravou stranu rovnice vydělíme osmi a dostaneme

.

V případě obr. 23 situaci zapíšeme rovnicí

, kterou lze vyřešit

způsobem, jenž je vysvětlený na vzorovém příkladě v rámečku Jak na to?:

Jak poznat, zda má rovnice jedno řešení, žádné řešení nebo nekonečně mnoho řešení, se žáci naučí skrze příklad, který vyžaduje grafické řešení lineárních rovnic. „Řešte rovnice: a) b) c) Prohlédněte si obr. 24a, 24b a přiřaďte je k rovnicím. U jedné rovnice není graf uveden. Odhadněte, jak by tento graf vypadal. Kolik řešení mají uvedené lineární rovnice?“

Obrázek 24: Grafické řešení lineárních rovnic, zleva (a), (b), (c)

39

Na obr. 24a vidíme, že se přímky protínají v jednom bodě, který je řešením rovnice (a). Na obr. 24b jsou přímky rovnoběžné a nemají žádný společný bod, rovnice (b) tedy nemá žádné řešení. V případě poslední lineární rovnice by přímky splývaly, viz obr. 24c, rovnice (c) má nekonečně mnoho řešení. Částečně slouží tento příklad jako příprava ke grafickému řešení soustavy dvou lineárních rovnic. Slovní úlohy Učebnice rovněž zavádí složitější rovnice obsahující zlomek. Neznámá se v tomto případě nachází pouze v čitateli zlomku. Autoři učí žáky dvojímu způsobu řešení. „V případě rovnice

:

1. Číslo 10 převedeme na druhou stranu rovnice a rovnici vynásobíme číslem 2.

2. V rovnici vynásobíme všechny členy dvěma.

Zkouška:

“

Složitější výpočet lineární rovnice se zlomky si žáci mohou vyzkoušet ve slovní úloze o řeckém matematikovi Diofantovi. Úloha zní: „O životě slavného matematika Diofanta se nedochovalo mnoho zpráv. Známá je však hádanka týkající se délky jeho života. Diofantovo mládí trvalo narostly po další

jeho života. Vousy mu

jeho života. Po následující života se Diofantos oženil. Po pěti letech se

mu narodil syn, který žil přesně délky života svého otce. Diofantos zemřel 4 roky po smrti svého syna. Jak dlouho žil? Zjistěte, kdy a kde žil Diofantos. Kterými čísly musí být dělitelný Diofantův věk? Sestavte rovnici a vyřešte ji. Zkuste úlohu vyřešit i bez rovnice a vysvětlete svůj postup.“

40

Diofantův věk musí být dělitelný dvěma, šesti, sedmi a dvanácti, což je evidentní ze zadání. Chceme-li sestavit rovnici, označíme si Diofantův věk proměnnou . Dostaneme rovnici:

Rovnici vyřešíme prvním, výše uvedeným způsobem:

Nejmenší společný násobek čísel, které dělí Diofantův věk, je 84. Diofantos se musel dožít nejméně 84 let. Další společný násobek čísel je 164. Protože se Diofantos reálně nemohl dožít 164 let, dožil se právě 84 let. Vedle příkladů, ve kterých žáci řeší rovnice v symbolickém zápise, se objevují na mnohých stránkách učebnice zajímavé a z reálného života vytvořené slovní úlohy - o pohybu, o společné práci aj.

3.1.4 Lomené výrazy V 9. ročníku ZŠ se žáci vrací zpět k algebraickému učivu a prohlubují vše, co už se naučili o výrazech a rovnicích v 8. třídě. Přehled probraných algebraických pojmů je zmapován v pyramidě na obr. 25. Pyramida na obr. 26 obsahuje přehled základních operací s uvedenými pojmy. Každá pyramida je rozložena do čtyř vrstev, které se stupňují od nejnižší vrstvy po nejvyšší. Pojmy náležící vždy nižší vrstvě je třeba znát k zavedení pojmů náležících vždy vyšší vrstvě. Na vrcholku pyramid se zavádí pro žáky nový pojem lomený výraz. Žáci se učí lomené výrazy poznávat a provádět s nimi základní operace. Protože s lomenými výrazy pracujeme podobně jako se zlomky, autoři často odkazují na již osvojené učivo o zlomcích. V učebnici Algebra si v počátku kapitoly o lomených výrazech žáci společně s autory opakují pojmy číselný výraz a výraz s proměnnou. Seznamují se s novým, komplikovanějším výrazem, jenž je definován jako „výraz ve tvaru zlomku, v jehož jmenovateli je proměnná. Pozor! V čitateli lomeného výrazu se proměnná vyskytovat může, avšak nemusí“. Komplikací při počítání s lomenými výrazy se stává případ, kdy se jmenovatel rovná 0. 41

Autoři uvádí zlomek , který nemá smysl, neboť jmenovatel musí být různý od nuly. Zároveň předkládají lomený výraz

, který existuje za podmínky

. V následujícím

cvičení se žáci učí, jak hledat podmínky, za kterých má daný výraz smysl. „Určete, pro která čísla

se daný výraz rovná nule:

a) b) c) …“

Obrázek 25: Pyramida pojmů

Obrázek 26: Pyramida operací s pojmy

V učebnici jsou zavedeny čtyři charakteristické typy lomených výrazů, se kterými se mohou žáci setkat v příkladech. Lomené výrazy jsou:

42

V prvním případě případě

. V druhém případě

a zároveň

na součin. Vytknutím proměnné tedy

. Ve třetím

, tedy

. Poslední lomený výraz musíme rozložit

, tj.

dostaneme součin

. Pak

a

,

. Dostatečný prostor autoři věnují také krácení a rozšiřování lomených výrazů,

ve kterých se nachází proměnné s exponenty nejvýše rovno 3. Autoři volí dva postupy krácení. 1. Rozložíme čitatele i jmenovatele na součiny a krátíme, co krátit lze.

2. Postupovat však můžeme i jinak. Pokud počítáme správně, dostaneme stejný výsledek.

Než se autoři dostanou k vysvětlení operace sčítání, odčítání, násobení a dělení lomených výrazů, připomínají, jak se provádí tyto čtyři základní operace se zlomky. Jakým způsobem se žáci naučí sčítat a odčítat, můžeme zhlédnout na obr. 27 a 28.

Obrázek 27: Součet lomených výrazů

Obrázek 28: Rozdíl lomených výrazů

Ke složeným výrazům autoři přistupují jako k podílu dvou lomených výrazů. Následující výraz „upravují tak, že hlavní zlomkovou čáru nahrazují symbolem pro dělení:

43

3.1.5 Rovnice s neznámou ve jmenovateli V kapitole o rovnicích s neznámou ve jmenovateli jsou pro snadnější orientaci též uvedeny pyramidy, viz obr. 29 a 30. Dosud se žáci setkávali s jednoduchými lineárními rovnicemi, popřípadě s rovnicemi obsahujícími zlomek, v jehož čitateli se objevovala neznámá. Mezi rovnice také řadíme rovnice s neznámou ve jmenovateli. Úspěšnost řešení těchto rovnic závisí na úrovni získaných vědomostí z předchozí kapitoly o lomených výrazech. Autoři nabízí tři způsoby řešení rovnic s neznámou ve jmenovateli.

Obrázek 29: Pyramida pojmů

Obrázek 30: Pyramida operací s pojmy

44

K využití první metody řešení si žáci musí zopakovat učivo týkající se porovnávání zlomků. Rovnice

jež má smysl za podmínky

, obsahuje dva zlomky. Úkolem žáků je nalézt společného

jmenovatele zlomků. Zlomky se stejným jmenovatelem se rovnají, rovnají-li se sobě jejich čitatelé. Společný jmenovatel zlomků je

musí platit

, tedy

. Obdržíme rovnici

.

Druhou metodou řešení rovnice s neznámou ve jmenovateli je úprava odstraněním zlomků. V této úpravě můžeme zvolit dva postupy. 1.

postup:

2. postup:

Kořen vyhovuje podmínce zkoušku, dostaneme, že

a v obou postupech vyšel stejně. Provedeme-li

. 45

Ve třetí metodě autoři využívají vlastnosti poměru. Při této úpravě rovnice je třeba vědět, že „součin vnitřních členů poměrů je roven součinu vnějších členů poměrů“.

Ověříme-li si výsledek zkouškou, dostaneme Složitější rovnice s neznámou ve jmenovateli, jež je zakomponována do vzorců pro úpravy mnohočlenů, autoři vysvětlují též na vzorových příkladech.

46

3.1.6 Soustavy lineárních rovnic Než se autoři dostanou k vysvětlení pojmu soustavy lineárních rovnic, uvádí tři typy rovnic, jejichž zápisy musí žáci rozpoznat. Jedná se o lineární rovnice s jednou neznámou, lineární rovnice se dvěma neznámými a soustavy několika lineárních rovnic o dvou a více neznámých. Následující úloha připravuje žáky na jeden z možných způsobů řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, a to řešení grafické. „Na obr. 31 jsou grafy následujících funkcí (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Z obrázků určete společné řešení rovnice a) 1 a 4, B) 1 a 2, c) 3 a 5.“

Obrázek 31: Grafické řešení více lineárních funkcí

Z grafu lze vyčíst, že rovnice 1 a 4 mají společné řešení v bodě mají společné řešení v též v bodě

. Rovnice 1 a 2

je řešením rovnice 3 a 5.

. A bod

Před vysvětlením tzv. sčítací a dosazovací metody mají žáci „doplnit do oválu a do kruhu tolik červených koleček, aby byly splněny současně obě rovnosti, viz obr. 32“. Po této zkušenosti dostávají za úkol přepsat obrázky pomocí rovnic, přičemž jim autoři radí, že kolečka v oválu si lze označit proměnnou

a kolečka v kruhu proměnnou .

47

Následně se autoři ptají, zda „můžeme situaci z předchozího příkladu překreslit tak, jak ukazuje obr. 33“. Žáci mají „přepsat obr. 33 pomocí rovnice a zápisy rovnic obr. 32 a 33 porovnat“.

Obrázek 32: Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých

Obrázek 33: Lineární rovnice o jedné neznámé

V rámečku Jak na to? můžeme zhlédnout celý postup řešení v symbolickém zápise. Abychom se dostali k zápisu rovnice, která je znázorněna na obr. 33, obě rovnice sečteme. Této metodě říkáme sčítací metoda.

Zkouška: . Řešením této soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých je uspořádaná dvojice

. Metodu dosazovací autoři zavádí do učebnice v rámci slovní úlohy: „Zdenka chodí na brigádu na zříceninu hradu Dračí kámen, kde vybírá vstupné.

Za dítě vybere 20 Kč a za dospělou osobu 50 Kč. Kolik přišlo v sobotu dětí, když Zdenka napočítala celkem 326 návštěvníků a na vstupném vybrala 13 270 Kč?“ 48

Situaci lze zapsat pomocí obr. 34. Získáváme první rovnici. Druhou rovnici vytvoříme na základě přehledného zápisu, který symbolizuje, kolik od každého dospělého a dítěte Zdenka vybrala a kolik vybrala od

dospělých a

dětí. Aplikujeme postup,

který jsme využili v úloze o divadelním představení na str. 33. Nakonec částky sečteme a sestavíme druhou rovnici. Úlohu vyřešíme pomocí soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých a zvolíme dosazovací metodu.

Obrázek 34: Lineární rovnice o dvou neznámých

„Od každého dospělého vybrala ……………………..…. 50 Kč Od

dospělých vybrala …………………………...…...50 Kč

Od každého dítěte vybrala ……………………….…..…..20 Kč Od

dětí teda vybrala ………………………….….…...20 Kč

Celkem od všech vybrala …………………..….50 + 20 Kč Celkem vybrala ……………………………………...13 270 Kč

Zkouška:

Soustava má jediné řešení

.“ Na zříceninu hradu Dívčí kámen přišlo

v sobotu 225 dospělých a 101 dětí. 49

3.2 Učebnice pedagogického nakladatelství Prodos Ukázky matematických příkladů, které spadají pod kapitolu 3.2, budou převzaty z učebnice: MOLNÁR, J., EMANOVSKÝ, P., LEPÍK, L., LIŠKOVÁ, H., SLOUKA. J. Matematika 8: učebnice s komentářem pro učitele. Olomouc: Prodos, 2000, s. 19 - 58 a učebnice: MOLNÁR, J., LEPÍK, L., LIŠKOVÁ, H., SLOUKA, J., RŮŽIČKOVÁ, B. Matematika 9: učebnice s komentářem pro učitele. Olomouc: Prodos, 2001, s. 17 – 40. Pro 2. stupeň ZŠ byla vydána pedagogickým nakladatelstvím Prodos ucelená řada Matematika 6 – 9, která zahrnuje učebnice a pracovní sešity obsahující učivo od 6. do 9. ročníku ZŠ. Existuje tzv. učitelská podoba učebnic, tedy s komentářem pro učitele, a žákovská podoba učebnic bez komentáře. Ve srovnání s učebnicemi nakladatelství Fraus, ke kterým je zvlášťe vytvořena metodická příručka pro učitele, poskytují učitelské podoby učebnic nakladatelství Prodos učitelům více prostoru pro přímou pedagogickou činnost se žáky. Na rozdíl od učebnic nakladatelství Fraus existuje pro každý ročník 2. stupně ZŠ jedna učebnice matematiky obsahující vždy geometrické učivo a aritmetické nebo později algebraické učivo. Učebnice 6. až 9. ročníku na sebe vzájemně navazují a tvoří jeden celek. Jsou pomocníkem nejen pro učitele, ale také pro rodiče žáků. Vyznačují se přehledným zavedením učiva a jeho odlišnou prezentací ve srovnání s učebnicemi nakladatelství Fraus. Autoři na začátku téměř každé nově probírané látky vysvětlují pojmy a postupy řešení matematických úloh a předkládají několik typových úloh pro procvičení právě naučených způsobů řešení. Pedagogické nakladatelství Prodos také vydalo sbírky příkladů Benjamín a Kadet vycházející z mezinárodní soutěže Matematický klokan.

3.2.1 Struktura učebnic Pojmy výrazy a lineární rovnice se nachází v učebnici Matematika 8. Lomené výrazy a soustavy rovnic jsou obsaženy v učebnici Matematika 9. Učebnice nakladatelství Fraus a Prodos se liší uspořádáním jejich obsahu. V učebnici Aritmetika pedagogického nakladatelství Fraus jsou po řadě kapitoly Výrazy a Rovnice zařazeny až po kapitole Mocniny a odmocniny. V učebnici Matematika 8 pedagogického nakladatelství Prodos jsou nejdříve předloženy po řadě kapitoly Výrazy a Lineární rovnice a teprve poté kapitola Mocniny a odmocniny. Vzhledem k této diferenci každá z učebnic definuje algebraické pojmy odlišně. Co se týče obsahů učebnice Algebra pedagogického nakladatelství Fraus a učebnice Matematika 9 pedagogického nakladatelství Prodos, nenajdeme zde rozdíly. Každá z učebnic 50

začíná kapitolou o lomených výrazech a dále pokračuje s učivem o rovnicích s neznámou ve jmenovateli a soustavách lineárních rovnic.

Uspořádání obsahu Učebnice Matematika pro 8. ročník základní školy a víceletá gymnázia – aritmetika nakladatelství Fraus

Učebnice Matematika 8 nakladatelství Prodos 1. Výrazy s proměnnou 2. Lineární rovnice 3. Mocniny a odmocniny

1. Mocniny a odmocniny 2. Výrazy s proměnnou 3. Lineární rovnice Učebnice Matematika pro 9. ročník základní školy a víceletá gymnázia – algebra nakladatelství Fraus

Učebnice Matematika 9 nakladatelství Prodos

1. Lomené výrazy 2. Soustavy lineárních rovnic

1. Lomené výrazy 2. Soustavy lineárních rovnic

Tabulka 2: Uspořádání obsahu

Podobně jako tomu je v učebnicích nakladatelství Fraus, učebnice nakladatelství Prodos obsahují též postranní lišty, ve kterých žáci nacházejí nové informace, mezipředmětové otázky a úkoly, hádanky, náměty pro zájmové činnosti (uspořádání ankety) a v neposlední řadě historické souvislosti s probíranými pojmy. Učivo je doplněno ilustracemi. Pravidelně se objevují žluté rámečky, ve kterých jsou definovány nejzákladnější pojmy, které by si žáci měli zapamatovat.

3.2.2 Výrazy Zavedení pojmu proměnná a výraz Prvním algebraickým pojmem v kapitole Výrazy je pojem proměnná. Záměrně autoři předkládají po řadě pojem číselný výraz, výraz s proměnnou a mnohočlen. Pojem číselný výraz definují ve žlutém rámečku hned z počátku. Následně uvádí početní úlohy, pomocí kterých se žáci učí poznávat, tvořit, číst a zapisovat číselné výrazy. Tuto část lze považovat za předběžné studium před zavedením pojmu proměnná. Podívejme se na některé z úloh: „Zjistěte, která dvě různá čísla dávají největší a) součet, b) součin, c) rozdíl a d) podíl, a vypočtěte jej. Nabídka čísel je 12, 4, -4, -3, -12, -1, 6, -6.“ Žáci sestaví největší součet 12 + 6 a určí jeho číselnou hodnotu, která je rovna číslu 18. Podobně provedou u součinu (-12) ∙ (-6) = 72 nebo 12 ∙ 6 = 72, rozdílu 12 - (-12) = 24 a podílu (-12) : (-1) = 12.

51

„Umíte zapsat? a) součin čísel 5, 17 a (-2)

5 ∙ 17 ∙ (-2) = -170

b) rozdíl čísel 12 a (-1)

12 - (-1) = 13

c) dvojnásobek součtu čísel 4 a 7

2 ∙ (4 + 7) = 22

…“ „Doplňte znaky početních operací a závorky tak, aby platilo: a) 12 : (-4) + 5 = 2 b) 12 – (-4) – 5 = 11 c) 12 : (-4) ∙ 5 = -15 …“ Až po této zkušenosti se žáci seznamují s pojmem proměnná. Pojem výraz s proměnnou autoři zavádí formou jednoduché úvahy: „ Všimněme si číselných výrazů: 5 ∙ 2 + 1 5∙3+1 5∙4+1 … Umíme pokračovat dál? Věříme, že ano. Všechny tyto číselné výrazy mají tvar 5 ∙ jsme dosazovali čísla 2, 3, 4, … Číselnou hodnotu písmena

+ 1 a za

proměňujeme, proto se

nazývá

proměnná. Z toho důvodu se výraz, ve kterém některé z čísel nahradíme proměnnou, nazývá výraz s proměnnou.“ Pojem proměnná autoři budují na znalosti pojmu číselný výraz. Pozornost bychom měli věnovat také postranním lištám, protože se právě zde objevují odkazy na významné historické osobnosti, jako byl perský matematik Al-Chvárizmí a francouzský matematik François Viète. Role proměnné ve výrazu Porovnáme-li vymezení algebraických pojmů v učebnicích nakladatelství Fraus a Prodos, musíme konstatovat, že učebnice nakladatelství Fraus se nesou v duchu spíše geometrických a slovně zadaných úloh a učebnice nakladatelství Prodos v duchu aritmetických neboli numerických příkladů. Vzpomeňme si na úlohu z učebnice Aritmetika, kde jsme řešili obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce. Smyslem této úlohy bylo porozumět roli proměnné ve výrazu a především si uvědomit, kde a jak lze proměnnou využít k zjednodušení našeho počítání. S podobnou úlohou se žáci v učebnici Matematika 8 mohou setkat až v souhrnném opakování. Učebnice se spíše zaměřuje na aplikaci mechanických 52

pravidel pro počítání s výrazy. Jak si žáci osvojí roli proměnné ve výrazu, odhaluje následující příklad: „Vypočtěte číselnou hodnotu výrazů s proměnnou (zapisujeme

, kde za

dosazujeme čísla

).

a) b) c) Překreslete si následující dvouřádkové tabulky. Další tvořte samostatně.“ t

-2

-1

0

1

2

5t - 1

-11

-6

-1

4

9

Tabulka 3: Číselná hodnota výrazu s proměnnou (a)

t

-2

-1

0

1

2

10 - 4t

18

14

10

6

2

Tabulka 4: Číselná hodnota výrazu s proměnnou (b)

Počítáme s mnohočleny Vedle sčítání, odčítání a násobení mnohočlenů se autoři věnují také dělení mnohočlenu jednočlenem. Vzhledem k neprobrané kapitole o mocninách a odmocninách je veškeré počítání s mnohočleny prováděno s proměnnými s exponenty nejvýše rovno 1. Operace sčítání a odčítání Na místo jablek a hrušek při sčítání a odčítání mnohočlenů využívají autoři symboly hracích karet, viz obr. 35 a 36.

Obrázek 35: Operace sčítání (a)

Obrázek 36: Operace sčítání (b)

53

Operace násobení Oproti

učebnici

Aritmetika,

kde

jsme

roznásobení

mnohočlenů

dokládali

na geometrických obrazcích, v učebnici Matematika 8 autoři znázorňují roznásobení mnohočlenu jednočlenem pouze pomocí šipek, viz obr. 37. V rámci roznásobení mnohočlenu číslem -1 se žáci seznamují s opačným mnohočlenem. Při roznásobení mnohočlenu dvojčlenem používají dvakrát distributivní zákon. Ukažme si vzorový příklad:

nebo

Na obr. 38 autoři demonstrují zkrácený zápis provedené operace.

Obrázek 37: Násobení mnohočlenu jednočlenem

Obrázek 38: Násobení mnohočlenu mnohočlenem

Než se autoři dostanou k samotnému vytýkání, předkládají žákům úlohu: „Jakým číslem (je ukryto pod

) roznásobil Matěj výraz?

a)

(2)

b)

(3)

c)

(4)

…“ Následně se ve žlutém rámečku vracejí zpět k příkladu (a) a informují žáky o tom, že z výrazu

musíme vytknout číslo 2. Tento způsob zavedení operace vytýkání je

odlišný od způsobu zavedení operace vytýkání v učebnici Aritmetika. Tam autoři s žáky opakovali, jak nalézt největší společný dělitel, který vytkneme před závorku.

54

Operace dělení Provádí-li žák operaci dělení mnohočlenu jednočlenem, může podle autorů využít dvou postupů. „Dělte dvojčlen: Postup 1. Vydělíme každý člen dvojčlenu

.

Postup 2. Dělení zapíšeme ve tvaru zlomku, a pokud to lze, vytkneme a krátíme.

Vzorce pro úpravy mnohočlenů Vzorce pro úpravy mnohočlenů jsou zařazeny až v kapitole Mocniny a odmocniny. Podobně jako v učebnici Aritmetika vysvětlují autoři druhou mocninu součtu pomocí geometrického nákresu, viz obr. 39.

Obrázek 39: Druhá mocnina součtu

Obrázek 40: Rozdíl druhých mocnin

Dále následuje žlutý rámeček s tvrzením „Pamatujte si!“ a v něm jsou vypsány vzorce pro druhou mocninu součtu, rozdílu a také rozdílu druhých mocnin. Pokud by někoho z žáků zajímalo, jak si lze dokázat vzorec pro rozdíl druhých mocnin, může zhlédnout geometrický nákres v postranní liště učebnice, viz obr. 40.

55

3.2.3 Lineární rovnice Pojem lineární rovnice autoři budují na základě znalostí pojmů číselný výraz a výraz s proměnnou. Podobně jako v učebnici Aritmetika autoři učebnice Matematika 8 porovnávají formuli

(rovnost číselných výrazů) s formulí

(rovnice). Ve žlutém

rámečku pak vysvětlují, že „rovnice je rovnost výrazů, z nichž alespoň jeden obsahuje proměnnou, která se v rovnici stává hledanou neznámou. Řešit rovnici znamená najít takové číslo (tzv. kořen rovnice), po jehož dosazení se z rovnice stane rovnost číselných výrazů“. K úplnému pochopení rozdílu mezi rovností a rovnicí se v učebnici zavádí úloha: „Rozlišujte, kdy se jedná o rovnost a kdy o rovnici. a)

rovnost

b)

rovnice

c)

rovnice

…“ V prvé řadě nechávají autoři žáky řešit rovnice metodou „pokus – omyl“. V druhém případě žáci vybírají z možností při hledání kořene rovnice. Dosazují tak číselné hodnoty za proměnnou a posuzují, zda se jim rovná levá a pravá strana rovnice. Příklad je zároveň přípravou pro zvládnutí zkoušky, kterou se žák musí vždy přesvědčit o správnosti svého řešení. V třetím případě využívají nákresu dvou os, které znázorňují levou a pravou stranu rovnice, viz obr. 41: „Řešte rovnici

Řešení:

Obrázek 41: Grafické řešení lineární rovnice

Podobně jako v učebnici Aritmetika ekvivalentní úpravy autoři vysvětlují pomocí rovnoramenné váhy. Poté, co si žáci důkladně prohlédnou obr. 42, se mohou přesunout k vzorovým, již vyřešeným příkladům a dále si své vědomosti o ekvivalentních úpravách vyzkoušet na mnoha dalších příkladech. Součástí těchto příkladů jsou také rovnice se zlomky obsahující proměnnou v čitateli. 56

„Řešte rovnici

Ověříme zkouškou: L= P= L = P“ Rovnice má jedno řešení. Rovnice, které nemají žádné řešení nebo nekonečně mnoho řešení, si žáci také mohou osvojit v propočítaných vzorových příkladech. Nicméně ve srovnání s učebnicí Aritmetika, autoři nenabízí grafické řešení.

Obrázek 42: Ekvivalentní úpravy

57

Slovní úlohy Neopomenutelnou součástí učebnici Matematika 8 jsou slovní úlohy v poslední části kapitoly o lineárních rovnicích. Autoři předkládají několik vyřešených slovních úloh a následně několik nevyřešených úloh. Podívejme se, jak řeší úlohu o pohybu: „Tonda a Hynek bydlí 11,5 km od sebe, každý opačným směrem od bazénu. Proto se telefonicky domluvili, že se jako vždy sejdou až před bazénem. Oba vyjíždějí na bruslích současně, Hynek rychlostí 13 km/h a Tonda rychlostí 10 km/h. Za jak dlouho se sejdou před bazénem za předpokladu, že jako obvykle dojedou současně? Jak daleko má Hynek na bazén?

Obrázek 43: Úloha o pohybu

Zvolíme neznámou: x…doba jízdy (obou chlapců) Nyní si sestavíme a doplníme tabulku: v (km/h)

t (h)

s (km)

H

13

x

13x

13 ∙ 0,5 = 6,5

T

10

x

10x

10 ∙ 0,5 = 5,0

Tabulka 5: Úloha o pohybu (a)

zkouška

11,5 Tabulka 6: Úloha o pohybu (b)

Z tabulky dosadíme do rovnice:

Zkouška: Vypočítali jsme, že doba jízdy obou chlapců trvala 0,5 hodin. Dosadíme do tabulky a provedeme zkoušku. Tím také vypočítáme, jak daleko to má Hynek na bazén. Odpověď: Hynek má na bazén 6,5 km, s Tondou se sejde za 0,5 hodiny.“

58

Součástí kapitoly Rovnice je podkapitola o lineárních nerovnicích s jednou neznámou, s čímž se v učebnici Aritmetika ani Algebra pedagogického nakladatelství Fraus nesetkáme. Žáci se učí zapisovat a řešit jednoduché nerovnice. Jsou poučeni pravidlem o obrácení znaménka nerovnosti při vynásobení nerovnice záporným číslem. Ukázkovým příkladem autorů je: „Řešte nerovnici:

3.2.4 Lomené výrazy Pro vytvoření si představy o pojmu lomený výraz je v učebnici Matematika 9 zavedena následující úloha: „Napište dané výrazy ve tvaru zlomků: a) b) c) …“ Podle autorů je lomeným výrazem „výraz zapsaný ve tvaru zlomku, obvykle s proměnnou ve jmenovateli“. Zatímco autoři učebnice Algebra by výraz za výraz s proměnnou a výraz

považovali

za číselný výraz, autoři učebnice Matematika 9 všechny

z předložených výrazů považují za lomené výrazy. Oproti autorům učebnice Algebra autoři učebnice Matematika 9 přesně neinformují žáky o tom, zda se v lomeném výrazu může nebo nemusí vyskytovat proměnná v čitateli. Potvrzením těchto nesrovnalostí je úloha, jejíž zadání zní: „Určete, které z lomených výrazů na okraji učebnice mají smysl vždy a které jen za určitých podmínek. Pokuste se tyto podmínky stanovit.“ Mezi výrazy, které jsou předloženy v postranní liště, se mimo jiné objevují výrazy mající smysl vždy, avšak obecně je nepovažujeme za lomené výrazy, např. také

aj.

59

,

nebo

Podmínky, za kterých má výraz smysl, žáci podle autorů učebnice určují pomocí lineární rovnice v základním tvaru. V případě lomeného výrazu

nesmí platit

. Vyřešením této jednoduché lineární rovnice žák zjistí, pro která

nemá lomený

výraz smysl.

Podmínka, za které má lomený výraz smysl, je

.

Ve srovnání s učebnicí Algebra je učebnice Matematika 9 v kapitole o lomených výrazech strožejší. Autoři přistupují ke sčítání, odčítání, násobení a dělení jako k zcela analogickému postupu při sčítání, odčítání, násobení a dělení zlomků. Tudíž s podrobným vysvětlováním

na

vzorových

příkladech,

jak

se

která

operace

provádí,

se nesetkáme. Před sčítáním a odčítáním lomených výrazů si žáci opakují znalosti o nejmenším společném násobku. Dále následuje jednoduchý vzorový příklad na součet a rozdíl lomených výrazů. Složitější součty, jako je třeba součet lomených výrazů:

již autoři učebnice nevysvětlují. Určení nejmenšího společného násobku výrazů a

není jednoduché a vyžaduje dobré znalosti vzorců pro počítání s mnohočleny.

V tomto případě je nejmenším společným násobkem výraz

. Správnost řešení si žáci

ověřují dosazením čísla 1 za proměnnou . Výsledkem uvedeného součtu lomených výrazu je

V rámci podkapitoly o operaci násobení a dělení s lomenými výrazy se žáci seznamují s pojmem složený výraz. Podobně, jako je tomu v učebnici Algebra, je složený výraz upravován prostřednictvím podílu dvou lomených výrazů. Ve snaze vyhnout se přímé operaci dělení autoři učebnice Matematika 9 uvádí pomůcku, kterou lze při úpravě složeného zlomku využít tak, že do čitatele nově upraveného zlomku zapíšeme součin vnějších složek složeného výrazu a do jmenovatele součin vnitřních složek složeného výrazu, viz obr. 44. S tímto zjednodušením se v učebnici Algebra nesetkáme.

60

Obrázek 44: Složený výraz

Součástí kapitoly o lomených výrazech je podkapitola o umocňování lomených výrazů. Autorům jde především o to, aby žáci využili znalostí, jež získali při úpravách se zlomky. Jelikož se jedná o rozšiřující učivo, učebnice Algebra učivo o umocňování lomených výrazů neobsahuje. Uvedeme si vzorový příklad: „Umocněte:

3.2.5 Rovnice s neznámou ve jmenovateli Protože se autoři v učebnici Matematika 8 v kapitole o rovnicích blíže nevěnují řešení rovnice obsahující zlomek s proměnnou v čitateli, předkládají vzorový příklad až v učebnici Matematika 9 v kapitole o rovnicích (nejen) s neznámou ve jmenovateli. Oproti autorům učebnice nakladatelství Fraus, kteří se k tomuto vysvětlení uchýlili již v učebnici Aritmetika v rámci učiva o lineárních rovnicích a nabídli žákům dva postupy řešení, autoři učebnice Matematika 9 řeší rovnici klasicky, tj. vynásobením celé rovnice společným jmenovatelem. „Řešte v R rovnici:

Zkouška:

Autoři doplňují znalosti žáků o nový číselný obor reálná čísla. Žáci se učí řešit rovnice v číselných oborech. „Řešte rovnice a určete, do kterého nejmenšího číselného oboru řešení patří.

61

Patrně se lze shodnout na tom, že učebnice Matematika 9 nerozebírá tak podrobně metody řešení rovnic s neznámou ve jmenovateli jako učebnice Algebra. Autoři věnují malou pozornost

podmínkám,

za

kterých

má

daná

který nemá řešení, jelikož musí platit podmínka

rovnice

smysl,

a

to

příkladem

. Analogický postup řešení, jejž žáci

zhlédli při řešení rovnice s neznámou v čitateli, mají využít v rovnici s neznámou ve jmenovateli. Úkolem žáků je „řešit v R rovnici:

Zkouška:

Součástí učebnice Matematika 9 je motivační příklad, jehož vyřešením žáci dostanou tajenku. „Řešte rovnice a jejich kořeny uspořádejte vzestupně. Řešení tvoří tajenku – JARO.

62

3.2.6 Soustavy lineárních rovnic Autoři učebnice Matematika 9 řeší soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých odhadem, metodou sčítací a metodou dosazovací. Ve srovnání s autory učebnice Algebra, kteří využívají názorného řešení (doplnění červených koleček do oválu a kruhu, viz str. 47- 48), autoři učebnice Matematika 9 pouze volí ukázkové příklady, na kterých se žáci učí mechanicky aplikovat metodu sčítací a dosazovací. Předkládají soustavy, jež mají právě jedno řešení, nekonečně mnoho řešení nebo žádné řešení. Zavádí také grafické řešení soustav dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. V prvé řadě zakreslují pomocí přímky za proměnnou

dostanou průsečík přímky

lineární rovnici s osou y v bodě

určena nejméně dvěma body, proto dosazením čísla -3 za proměnnou přímky

,

. Dosazením 0 . Přímka musí být dostanou druhý bod

. Nyní zakreslí do kartézského součinu hledanou přímku, jež je

množinou bodů všech řešení lineární rovnice

, viz obr. 45.

Obrázek 45: Grafické řešení lineární rovnice

Graficky řeší soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých:

Přímku

již mají autoři zakreslenou. Nyní musí sestrojit přímku , která bude tvořena body

U a V. Po dosazení čísla 3 za proměnnou

do rovnice přímky

. Bod V získají tak, že do stejné přímky

bod ,

dostanou

,

za proměnnou x dosadí 0 a obdrží

. V této chvíli lze sestrojit přímku . Podíváme-li se na obr. 46, výsledné

přímky obou rovnic jsou rovnoběžné, tedy soustava nemá žádné řešení, neboť se přímky neprotínají ani v jediném bodě.

63

Analogicky řeší soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých:

Přímka a

je tvořena body

. Přímka

a

je tvořena body

. Přímky jsou různoběžné, soustava má právě jedno řešení v bodě

,

ve kterém se přímky protínají, viz obr. 47. Jsou-li přímky totožné, soustava má nekonečně mnoho řešení, s názorným řešením se v učebnici již nesetkáme.

Obrázek 46: Grafické řešení soustavy lineární rovnice - žádné řešení

Obrázek 47: Grafické řešení soustavy lineárních rovnic - jedno řešení

64

Komparace Pedagogické nakladatelství Fraus

Pedagogické nakladatelství Prodos

Uspořádání obsahů 1. Mocniny a odmocniny 1. Výrazy s proměnnou 2. Výrazy s proměnnou 2. Lineární rovnice 3. Lineární rovnice 3. Mocniny a odmocniny Geometrická interpretace Aritmetická interpretace Zavedení pojmu proměnná V souvislosti s názornými geometrickými Výraz s proměnnou se buduje na znalosti obrazci, jež porovnávají číselný výrazu pojmu číselný výraz a výraz s proměnnou Osvojení si role proměnné ve výrazu Skrze vzorce pro obsahy a obvody obrazců Klasický způsob výpočtu číselné hodnoty výrazu s proměnnou Počítáme s mnohočleny Proměnná s exponentem 1 a 2 Proměnná s exponentem nejvýše 1 Vytýkání před závorku Opakování největšího společného dělitele Odhad čísla, kterým lze roznásobit závorku Slovní (kontextové) úlohy Numerické příklady Názorné řešení Klasické způsoby řešení v symbolickém zápisu ---------Rozšiřující učivo o nerovnicích a umocňování lomených výrazů Pyramidy – přehled probraných pojmů ---------Využití rovnoramenných váh při řešení lineárních rovnic

Dva přístupy k propedeutice algebry   

 

samostatná tvořivost, využití znalostí z předchozího učiva, hlubší porozumění



65

přehledné definování pojmů, vysvětlení jednotlivých metod a způsobů výpočtů, mechanická aplikace naučených postupů na několika typových příkladech

ZÁVĚR Hlavním cílem bakalářské práce na téma „Různé přístupy k propedeutice algebry“ bylo charakterizovat algebraické učivo v podmínkách základní školy a demonstrovat odlišné přístupy ve dvou zpracovaných vybraných učebnicových řadách, totiž v učebnicích matematiky pro 8. a 9. ročník pedagogického nakladatelství Fraus a Prodos. Těžiště základního algebraického učiva školské matematiky tvoří pojmy mnohočlen, algebraický výraz, lineární rovnice a soustavy lineárních rovnic. Jejich rozdílné zavedení do učebnic uvedených dvou nakladatelství se stává východiskem pro nalezení dvou odlišných přístupů k propedeutice algebry. Práce je rozdělena do tří částí, jež odpovídají třem dílčím cílům. Prvním dílčím cílem bylo vzhledem k neodmyslitelnému vývoji matematiky jako vědní disciplíny ukázat počátky algebry. Na základě prostudované literatury jsme se v této části práce stručně seznámili s významnými matematickými osobnostmi a dokumenty tehdejší egyptské, mezopotamské, řecké a arabské kultury, které se vyznačují prvními algebraickými úvahami. Zmínili jsme se o možném zakladateli „algebry“ a došli jsme k závěru, že spíše než řeckého matematika Diofanta, který se přednostně zabýval studiem teorie čísel, za otce „algebry“ považujeme arabského matematika Al-Chvárizmího, v jehož Algebraickém traktátu se prvně setkáváme s pojmem algebra. Zjistili jsme, že se v učebnicích objevují připomínky osobností významných matematiků, jako byl Al-Chvárizmí a Françoise Viète. Druhým dílčím cílem bylo na základě podrobné analýzy RVP ZV vymezit algebraické učivo a očekávané výstupy žáků a s odkazem na Standard pro ZV dokumentovat algebraické učivo na příkladech. Algebraické pojmy jsou zařazeny do matematického učiva 8. a 9. ročníku ZŠ v rámci tematického okruhu Číslo a proměnná. Z důvodu absence více vzorových příkladů zavedených ve Standardu ZV byla dokumentace algebraického učiva provedena pouze na dvou příkladech. Z hlediska středoškolské matematiky byly vymezeny vybrané algebraické pojmy. Třetím dílčím cílem bylo pokusit se analyzovat algebraické učivo v učebnicích pedagogického nakladatelství Fraus a Prodos a popsat odlišnosti v jednotlivých učebnicích. Shledali jsme tři zásadní odlišnosti. První rozdíl vnímáme v uspořádání obsahu učebnic uvedených dvou nakladatelství. V učebnici Aritmetika je na rozdíl od učebnice Matematika 8 před kapitolou o výrazech a lineárních rovnicích zavedena kapitola o mocninách a odmocninách. Tato skutečnost se promítá do odlišného způsobu definování pojmu výraz s proměnnou. Zatímco autoři 66

učebnice Aritmetika zavádí proměnnou v souvislosti s názornými geometrickými obrazci, jež porovnávají pojem číselný výraz a výraz s proměnnou, viz str. 31-32, autoři učebnice Matematika 8 nejdříve definují pojem číselný výraz a na základě znalosti tohoto pojmu budují pojem výraz s proměnnou, viz str. 51-52. Také vzhledem k probrané kapitole o mocninách se v rámci studia o operacích s výrazy s proměnnými v učebnici Aritmetika oproti učebnici Matematika 8 setkáváme s příklady, v nichž se objevují proměnné s exponenty 2 a 3. V druhém případě je nutné poznamenat, že autoři učebnic nakladatelství Fraus využívají často geometrické interpretace (roznásobení mnohočlenů na str. 34-35) a nesou se v duchu slovních (kontextových) úloh, kterými se matematizující reálné životní situace (výrazy v praxi na str. 36). Nabízí názorné řešení, např. řešení lineární rovnice na str. 37-38 nebo

vysvětlení

metody

sčítací

v rámci

řešení

soustav

dvou

lineárních

rovnic

o dvou neznámých na str. 47 - 48. Naproti tomu učebnice nakladatelství Prodos se vyznačují spíše aritmetickou interpretací a příklady, v nichž téměř vždy volí klasické způsoby úprav v symbolickém zápise. Třetí odlišností je zavedení rozšiřujícího učiva o nerovnicích a učiva o umocňování lomených výrazů v učebnicích nakladatelství Prodos, s čímž se v učebnicích pro 8. a 9. ročník nakladatelství Fraus nesetkáme. Poté, co jsme provedli analýzu učebnic, můžeme konstatovat, že autoři učebnic matematiky nakladatelství Fraus bez jakéhokoliv přednostního definování vyžadují po žácích samostatnou tvořivost a využití znalostí z předchozího učiva. Usilují o hlubší porozumění jednotlivých metod a postupů při práci s algebraickými pojmy. Mluvíme o jednom z možných přístupů k propedeutice algebry. Druhý přístup nabízí autoři učebnic matematiky nakladatelství Prodos, kteří naopak volí přehledné definování pojmů, vysvětlení jednotlivých metod a způsobů výpočtů a následně mechanickou aplikaci naučených postupů na několika typových početních příkladech. Hlavní cíl jsme splnili. Bakalářskou práci je možné rozšířit. V podmínkách základní školy lze provést výzkumné setření, které by porovnalo matematické výsledky žáků, jenž se učí podle učebnic nakladatelství Fraus a Prodos, a odhalilo, který z přístupů, vzhledem k trvalému uchování znalostí a patřičnému užití vědomostí v praxi, je efektivnější.

67

SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ LITERATURA AL-CHVÁRIZMÍ. Aritmetický a algebraický traktát. 2. vyd. Nymburk: OPS, 2009, 139 s. BAŠTINEC, J., KUBIŠTOVÁ, Z. Muhammad IBN Músa Al- Chorezmi. In Matematika v proměnách věků I. Praha: Prometheus, 1998, s. 125-142. Dějiny matematiky, 11. svazek. ISBN 80-7196-107-8. BEČVÁŘ, J. Algebra v 16. s 17. století. In Matematika v 16. a 17. století. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1999. s. 161-236. Dějiny matematiky, 12. svazek. ISBN 80-7196-150-7. BINTEROVÁ, H., FUCHS, E., TLUSTÝ, P. Matematika 8: pro základní školy a víceletá gymnázia. Plzeň: Fraus, 2009, 127 s. ISBN 978-80-7238-684-0. BINTEROVÁ, H., FUCHS, E., TLUSTÝ, P. Matematika 8: pro základní školy a víceletá gymnázia – příručka pro učitele. 1. vyd. Plzeň: Fraus, 2009. ISBN 978-80-7238-688-8. BINTEROVÁ, H., FUCHS, E., TLUSTÝ, P. Matematika 9: pro základní školy a víceletá gymnázia. 1. vyd. Plzeň: Fraus, 2010, 112 s. ISBN 978-80-7238-689-5. JUŠKEVIČ, A., P. Dějiny matematiky ve středověku. 1. vyd. Praha: Academia, 1977, 448 s. MOLNÁR, J., EMANOVSKÝ, P., LEPÍK, L., LIŠKOVÁ, H., SLOUKA, J. Matematika 8: učebnice s komentářem pro učitele. 1. vyd. Olomouc: Prodos, 2000, 159 s. ISBN 80-7230061-X. MOLNÁR, J., LEPÍK, L., LIŠKOVÁ, H., SLOUKA, J., RŮŽIČKOVÁ, B. Matematika 9: učebnice s komentářem pro učitele. Olomouc: Prodos, 2001, 127 s. ISBN 80-723-0108-X. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 9. vyd. Praha: Prometheus, 2008. 659 s. ISBN 978-807-1963-561. VĚTROVCOVÁ BENEDIKTOVÁ, M. Al-Chvárizmího počty – prameny algebry a aritmetiky. In Matematika v proměnách věků VI. Praha: Matfyzpress UK, 2010, s. 86-119. Dějiny matematiky. ISBN 978-80-7378-146-0.

68

VOŠICKÝ, Z. Matematika v kostce. Matematika a fyzika: matematika, cvičení z matematiky, fyzika. 1. vyd. Havlíčkův Brod: Prometheus, 2007, s. 5 – 208. ISBN 978-80-253-0523-2.

ELEKTRONICKÉ ZDROJE O'CONNOR, J., J., ROBERTSON, E., F. An overview of the history of mathematics [online]. 1997. [cit.2013-11-23]. Dostupné z: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/History_overview.html O'CONNOR, J., J., ROBERTSON, E., F. An overview of Egyptian mathematics [online]. 2000a. [cit.2013-11-22]. Dostupné z: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Egyptian_mathematics.html O'CONNOR, J., J., ROBERTSON, E., F. Mathematics in Egyptian Papyri [online]. 2000b. [cit.2013-11-22]. Dostupné z: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Egyptian_papyri.html O'CONNOR, J., J., ROBERTSON, E., F. An overview of Babylonian mathematics [online]. 2000c. [cit.2013-11-22]. Dostupné z: http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics.html O'CONNOR, J., J., ROBERTSON, E., F. Diophantus of Alexandria [online]. 1999a. [cit.2013-11-23]. Dostupné z: http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Biographies/Diophantus.html O'CONNOR, J., J., ROBERTSON, E., F. Arabic mathematics : forgotten brilliance? [online]. 1999b. [cit.2013-11-23]. Dostupné z: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Arabic_mathematics.html O'CONNOR, J., J., ROBERTSON, E., F. Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi [online]. 1999c. [cit.2013-11-23]. Dostupné z: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Khwarizmi.html MŠMT: Doporučené učební osnovy předmětů ČJL, AJ a M pro základní školu [online]. Praha, 2011, s. II. M-10 – M-22 [cit. 2013-12-07]. Dostupné z: http://www.vuppraha.cz/wpcontent/uploads/2011/03/Doporucene-ucebni-osnovy-predmetu-CJL-AJ-a-M-pro-zakladniskolu.pdf 69

MŠMT: Opatření_Standardy_2013_příloha3_M.pdf [online]. 1. 9. 2013, 102 s. [cit. 2013-1208].

Dostupné

z:

http://www.msmt.cz/vzdelavani/zakladni-vzdelavani/opatreni-ministra-

skolstvi-mladeze-a-telovychovy-kterym-se-4 MŠMT: Upravený_RVPZV_s_barevně_vyznačenými_změnami.docx [online]. Praha, 1. 9. 2013, 146 s. [cit. 2013-12-07]. Dostupné z: http://www.msmt.cz/vzdelavani/zakladnivzdelavani/upraveny-ramcovy-vzdelavaci-program-pro-zakladni-vzdelavani TEYMOUR, M., OSLER, T. The Quadratic Equation as Solved by Persian Mathematicans of the Middle Ages. [online]. Mathematical Spectrum. 2007, roč. 39, č. 3, s. 115 - 118 [cit. 201311-22]. Dostupné z: http://eds.b.ebscohost.com/eds/pdfviewer/pdfviewer?sid=595750aa-f8074b69-ba07-b3a72a60b276%40sessionmgr198&vid=8&hid=115 Učebnice [online]. Plzeň: Fraus, 2014 [cit. 2014-12-01]. Dostupné z: http://ucebnice.fraus.cz/ucebnice-2-stupen-2/ Učebnice: Matematika 8. [online]. Olomouc: Prodos, 2009 [cit. 2014-01-29]. Dostupné z: http://ucebnice.org/matematika-2st/8/rada

70

SEZNAM OBRÁZKŮ Obrázek 1: Čtverec, 1. metoda řešení (Baštinec et al, 1998, s. 130) ........................................ 15 Obrázek 2: Konkrétní čtverec, 1. metoda řešení (Baštinec et al, 1998, s. 130) ........................ 15 Obrázek 3: Čtverec, 2. metoda řešení (Juškevič, 1977, s. 205) ................................................ 16 Obrázek 4: Konkrétní čtverec, 2. metoda řešení (Juškevič, 1977, s. 205) ............................... 16 Obrázek 5: Lichoběžník (Standard ZV, 2013, s. 80) ................................................................ 19 Obrázek 6: Graf - jedno řešení ................................................................................................. 29 Obrázek 7: Graf - žádné řešení ................................................................................................. 29 Obrázek 8: Graf - nekonečně mnoho řešení ............................................................................. 29 Obrázek 9: Konkrétní čtverec (Binterová et al, 2009a, s. 51) .................................................. 32 Obrázek 10: Čtverec obsahující proměnnou x (Binterová et al, 2009a, s. 51) ......................... 32 Obrázek 11: Sčítání a odčítání mnohočlenů (Binterová et al, 2009a, s. 59) ............................ 34 Obrázek 12: Násobení mnohočlenu mnohočlenem (a) (Binterová et al, 2009a, s. 62) ............ 34 Obrázek 13: Násobení mnohočlenu mnohočlenem (b) (Binterová et al, 2009a, s. 63) ............ 34 Obrázek 14: Násobení mnohočlenu jednočlenem (Binterová et al, 2009a, s. 63) .................... 35 Obrázek 15: Násobení mnohočlenů (Binterová et al, 2009a, s. 63) ......................................... 35 Obrázek 16: Druhá mocnina součtu (a) (Binterová et al, 2009a, s. 66) ................................... 36 Obrázek 17: Druhá mocnina součtu (b) (Binterová et al, 2009a, s. 66) ................................... 36 Obrázek 18: Rovnice (Binterová et al, 2009a, s. 73) ................................................................ 37 Obrázek 19: Úprava rovnice (Binterová et al, 2009a, s. 73) .................................................... 37 Obrázek 20: Váha (Binterová et al, 2009a, s. 74) ..................................................................... 38 Obrázek 21: Váha po odebrání kil (Binterová et al, 2009a, s. 74) ........................................... 38 Obrázek 22: Obdélník (a) (Binterová et al, 2009a, s. 76) ........................................................ 38 Obrázek 23: Obdélník (b) (Binterová et al, 2009a, s. 76) ........................................................ 38 Obrázek 24: Grafické řešení lineárních rovnic, zleva (a), (b) (Binterová et al, 2009a, s.83), (c) ................................................... 39 Obrázek 25: Pyramida pojmů (Binterová et al, 2010, s. 10) .................................................... 42 Obrázek 26: Pyramida operací s pojmy (Binterová et al, 2010, s. 10) ..................................... 42 Obrázek 27: Součet lomených výrazů (Binterová et al, 2010, s. 23) ....................................... 43 Obrázek 28: Rozdíl lomených výrazů (Binterová et al, 2010, s. 23) ....................................... 43 Obrázek 29: Pyramida pojmů (Binterová et al, 2010, s. 38) .................................................... 44 Obrázek 30: Pyramida operací s pojmy (Binterová et al, 2010, s. 38) ..................................... 44 Obrázek 31: Grafické řešení více lineárních funkcí (Binterová et al, 2010, s. 53) .................. 47 71

Obrázek 32: Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých (Binterová et al, 2010, s. 54) ............................................................................... 48 Obrázek 33: Lineární rovnice o jedné neznámé (Binterová et al, 2010, s. 54) ........................ 48 Obrázek 34: Lineární rovnice o dvou neznámých (Binterová et al, 2010, s. 55) ..................... 49 Obrázek 35: Operace sčítání (a) (Molnár et al, 2000, s. 23) .................................................... 53 Obrázek 36: Operace sčítání (b) (Molnár et al, 2000, s. 24) .................................................... 53 Obrázek 37: Násobení mnohočlenu jednočlenem (Molnár et al, 2000, s. 25) ......................... 54 Obrázek 38: Násobení mnohočlenu mnohočlenem (Molnár et al, 2000, s. 26) ....................... 54 Obrázek 39: Druhá mocnina součtu (Molnár et al, 2000, s. 57)............................................... 55 Obrázek 40: Rozdíl druhých mocnin (Molnár et al, 2000, s. 57) ............................................. 55 Obrázek 41: Grafické řešení lineární rovnice (Molnár et al, 2000, s. 30) ................................ 56 Obrázek 42: Ekvivalentní úpravy (Molnár et al, 2000, s. 31) .................................................. 57 Obrázek 43: Úloha o pohybu (Molnár et al, 2000, s. 39) ......................................................... 58 Obrázek 44: Složený výraz (Molnár et al, 2001, s. 20) ............................................................ 60 Obrázek 45:Grafické řešení lineární rovnice (Molnár et al, 2001, s. 34) ................................. 63 Obrázek 46: Grafické řešení soustavy lineární rovnice – žádné řešení (Molnár et al, 2001, s. 35) ................................................................................... 64 Obrázek 47: Grafické řešení soustavy lineární rovnice – jedno řešení (Molnár et al, 2001, s. 35) ................................................................................... 64

72

SEZNAM TABULEK Tabulka 1: Výrazy v praxi (Binterová et al, 2009b, s. A-47) ................................................... 36 Tabulka 2: Uspořádání obsahu ................................................................................................. 51 Tabulka 3: Číselná hodnota výrazu s proměnnou (a) (Molnár et al, 2000, s. 21) .................... 53 Tabulka 4: Číselná hodnota výrazu s proměnnou (b) (Molnár et al, 2000, s. 21) .................... 53 Tabulka 5: Úloha o pohybu (a) (Molnár et al, 2000, s. 40) ...................................................... 58 Tabulka 6: Úloha o pohybu (b) (Molnár et al, 2000, s. 40) ...................................................... 58

73

ANOTACE Jméno a příjmení:

Lucie Prášilová

Katedra:

Katedra matematiky, Pedagogická fakulta UP v Olomouci

Vedoucí práce:

doc. PhDr. Bohumil Novák, CSc.

Rok obhajoby:

2014

Název práce:

Různé přístupy k propedeutice algebry

Název v angličtině:

Different approaches to propaedeutics of algebra

Anotace práce:

Bakalářská práce se zabývá různými přístupy vzdělávání algebraického učiva. Hlavním cílem bakalářské práce je charakterizovat algebraické učivo v podmínkách základní školy a demonstrovat odlišné způsoby zavedení algebraických pojmů ve dvou zpracovaných vybraných učebnicových řadách.

V

teoreticko-literární

části

se

vzhledem

k neodmyslitelnému vývoji matematiky jako vědní disciplíny seznámíme s počátky algebry a s oporou o současné kurikulum vymezíme algebraické pojmy v učivu základní školy. Empirická část nabídne analýzu zavedení algebraického učiva

v učebnicích

pedagogického

nakladatelství

Fraus

a Prodos, zdůrazní a popíše rozdíly v jednotlivých učebnicích, jež nám odhalí dva různé přístupy k propedeutice algebry. Klíčová slova:

matematika, algebra, počátky algebry, propedeutika, přístupy, komparace, kurikulum, RVP ZV, Standard ZV, učebnice, Fraus,

Prodos,

základní

škola, proměnná, mnohočlen,

algebraický výraz, lineární rovnice, soustavy lineárních rovnic

Anotace v angličtině:

This bachelor thesis deals with various approaches to learning of algebra curriculum. The main aim of this thesis is to characterize the algebraic curriculum in the primary school and to demonstrate different ways of introducing algebraic concepts of selected textbooks from two different publishing houses.

The

theoretical-literary

part

firstly

discusses

the beginnings of algebra due to its inherent development of mathematics as a discipline, and secondly it defines algebraic concepts in the curriculum of primary school with the support of the current curriculum. The empirical part contains an analysis of the introduction of algebraic curriculum in textbooks of the pedagogical publishing houses Fraus

and

Prodos,

and

emphasizes

the

differences

in the various textbooks that eventually reveal two different approaches to the propaedeutic of algebra. Klíčová slova v angličtině:

math, algebra, the beginnings of algebra, propaedeutics, approaches, comparation, curriculum, RVP ZV, Standard ZV, textbooks, Fraus, Prodos, elementary school, variable, polynomials, algebraic expression, linear equations, systems of linear equations

Rozsah práce:

73

Jazyk práce:

Český jazyk