Část III.
Elementární úvod do vyšší algebry
Mgr. David Zoul
2012
2
Obsah Spektrum operátoru
7
Definice spektra operátoru Definice spektrálního poloměru operátoru První věta spektra Druhá věta spektra Třetí věta spektra Penrosova věta
7 7 7 11 12 12
Nilpotence
14
Definice nilpotence První věta nilpotence Důsledek Definice stupně vektoru Druhá věta nilpotence Třetí věta nilpotence Definice vektorového řetězce operátoru Čtvrtá věta nilpotence Pátá věta nilpotence První věta Jordanova Definice kořenového podprostoru operátoru Definice direktního rozkladu vektorového prostoru Definice kořenového doplňku operátoru Definice kořenového defektu operátoru Druhá věta Jordanova Třetí věta Jordanova Důsledek třetí věty Jordanovy Čtvrtá věta Jordanova Důsledek čtvrté věty Jordanovy Definice relativní báze vektorového prostoru Pozorování Definice invariantního podprostoru operátoru Pátá věta Jordanova Hamilton – Cayleyova věta
14 14 15 15 15 16 17 17 18 19 21 21 21 22 22 24 26 27 28 36 36 36 37 38
3
Stochastická matice
39
Definice stochastické matice Definice stacionárního stavu matice Definice positivní matice První věta Perron – Frobeniova Důsledek první věty Perron – Frobeniovy Druhá věta Perron – Frobeniova
39 39 39 40 43 44
Exponenciela matice
45
Definice exponenciely matice Definice normy matice Definice metriky na prostoru čtvercových matic První věta o konvergenci Druhá věta o konvergenci Definice komutátoru Definice antikomutátoru První věta exponenciely Pozorování Zobecnění Druhá věta exponenciely Důsledek Třetí věta exponenciely Čtvrtá věta exponenciely Důsledek Pátá věta exponenciely První věta o vztahu tracku s determinantem Druhá věta o vztahu tracku s determinantem Třetí věta o vztahu tracku s determinantem Gaussova věta Logaritmus matice
45 45 45 46 47 47 48 48 49 49 49 50 51 51 51 52 52 53 54 55 56
Úvod do teorie duálních prostorů
56
Definice duálního prostoru
56 4
Věta o duální bázi Věta o změně duální báze Věta o reprezentaci Definice duálního zobrazení Hlavní pozorování Věta o reprezentaci komplexního čísla maticí Definice konjungované matice Definice antilineárního zobrazení Definice hermitovsky sdruženého zobrazení Věta o hermitovsky sdruženém zobrazení Věta o determinantu komplexní matice Pozorování Věta o kanonickém izomorfismu hermitovských operátorů Věta o součinu hermitovských operátorů Definice Exponenciela antihermitovského operátoru Hlavní věta duality
57 57 58 59 60 60 61 62 62 63 64 65 65 65 65 66 66
Úvod do teorie seqilineárních a kvadratických forem
67
Definice multilineárního zobrazení Definice seqilineární formy Pozorování Definice Diracova bracketu Definice kvadratické formy Rekonstrukční věta Matice přechodu seqilineární formy Věta o reprezentaci seqilineární formy Definice signatury kvadratické formy Věta o setrvačnosti Jacobi – Sylvestrova věta Důsledek Jacobi – Sylvestrovy věty
67 68 68 70 71 72 73 74 74 75 76 78
Spektrální a polární rozklad operátoru
78
První věta spektrálního rozkladu Důsledek první věty Druhá věta spektrálního rozkladu
78 79 80 5
Třetí věta spektrálního rozkladu Schurova věta Důsledek Schurovy věty Rozklad operátoru do projektorů Důsledek Definice neurčitosti Pozorování Heisenbergův princip neurčitosti Definice cirkulantu Harrova věta Věta o polárním rozkladu operátoru Golden – Thompsonova nerovnost
80 81 81 81 82 83 83 83 84 85 86 88
Základy tenzorové algebry
89
Definice tenzorového prostoru Definice tenzoru Pozorování Asociativita tenzorového součinu Komutativita a distributivita tenzorového součinu První věta tenzorové algebry Věta o transformaci tenzoru Kovariance a kontravariance Symetrizace a antisymetrizace Symetrizovaný tenzorový součin Antisymetrizovaný tenzorový součin Definice rozložitelného tenzoru Defice symetrické algebry prostoru Definice antisymetrické algebry prostoru Exponenciela vektorového prostoru
89 89 90 90 91 91 92 93 94 95 95 96 96 96 97
6
Spektrum operátoru Definice spektra operátoru Nechť f : V → V je lineární operátor a nechť
∃λ ∈ ℂ, v ∈ V : f ( v ) = λ v .
(1)
Potom číslo λ nazýváme vlastní hodnotou operátoru f a vektor v vlastním vektorem tohoto operátoru. Soubor vlastních hodnot daného operátoru nazýváme spektrem tohoto operátoru a značíme Sp f . Definice spektrálního poloměru operátoru Nechť Sp f = {λi } je spektrum operátoru f : V → V . Potom číslo
ρ ( f ) = max { λi }
(2)
nazýváme spektrálním poloměrem operátoru f. Definice charakteristické matice operátoru Nechť f : V → V je lineární operátor. Potom matici
fλ = ( f − λ E )
(3)
nazýváme Charakteristickou maticí operátoru f . První věta spektra Číslo λ je vlastní hodnotou operátoru f : V → V právě tehdy, když je kořenem polynomu det fλ , nazývaného charakteristickým polynomem operátoru f.
7
Důkaz Rovnici ( 1 ) zapíšeme jako
f ( v ) = v ( λE ) ,
(4)
odkud již snadno plyne
v (f − λE) = 0 .
(5)
Tato homogenní soustava má netriviální řešení právě tehdy, je-li její matice singulární, tj. právě když
det fλ = 0 .
(6)
Rovnici ( 6 ) nazýváme charakteristickou rovnicí operátoru f. Příklad 1: Nalezňěme celočíselnou vlastní hodnotu matice
2 0 5 A = 0 2 1 , 2 4 11
(7)
a jí odpovídající vlastní vektory. Řešení: Vyřešení vlastního problému matice A představuje vlastně vyřešení homogenní soustavy
f ( v) = 0,
(8)
kde pro charakteristický operátor f matice A platí
8
2 0 5 λ 0 0 2 − λ f = A − λ E = 0 2 1 − 0 λ 0 = 0 2 4 11 0 0 λ 2
. 4 11 − λ (9) Homogenní soustava má netriviální řešení právě tehdy, je-li její matice singulární, tj. právě když 2−λ det ( f ) = 0 2
0 2−λ
5 1
4
11 − λ
=
0 2−λ
5 1
( 10 )
= ( 2 − λ ) (11 − λ ) − 4 ( 2 − λ ) − 10 ( 2 − λ ) = 0. 2
Z této tzv. charakteristické rovnice operátoru f okamžitě plyne jediná celočíselná vlastní hodnota matice A:
λ = 2.
( 11 )
Nalezení vlastních vektorů odpovídajících tomuto prvku spektra A představuje úlohu nalezení ker ( f ) . Výpočet jádra pro naši konkrétní vlastní hodnotu vede na maticovou rovnici
0 0 5 v1 0 0 0 1 v = 0 . 2 2 4 9 v 0 3
( 12 )
Rozepsáním této maticové rovnice do složek okamžitě nalézáme hledané jádro:
ker ( f ) = {v1 ∈ ℝ ( v1 , −2v1 ,0 )} .
( 13 )
Vlastní vektory, odpovídající vlastní hodnotě ( 11 ), tedy tvoří vektorový prostor dimenze 1.
9
Příklad 2: Najděme všechny hodnoty reálného parametru a, pro něž má matice
3 1 3 A = 2 1 a −1 a 3
( 14 )
vlastní hodnotu 2. Řešení: V tomto případě už budeme postupovat rychleji:
1 3 3 1 3 λ 0 0 3− λ f = A − λ E = 2 1 a − 0 λ 0 = 2 1− λ a , −1 a 3 0 0 λ −1 a 3 − λ ( 15 ) 3−λ 1 3 det ( f ) = 2 1− λ a = −1 a 3−λ = ( 3 − λ ) (1 − λ ) − ( 3 − λ ) a 2 + 6a − 2 ( 3 − λ ) − a + 3 (1 − λ ) = 0. ( 16 ) Pro λ = 2 dostáváme 2
a 2 − 5a + 6 = 0
( 17 )
čili
5 ±1 ⋰ a1,2 = = ⋱ 2
2 ( 18 )
3
10
Druhá věta spektra Nechť charakteristická rovnice operátoru f : V → V má všechny kořeny jednonásobné. Potom existuje diagonální matice f vzhledem k bázi prostoru V tvořené vlastními vektory f. Důkaz Jelikož počet vlastních vektorů odpovídá stupni charakteristické rovnice, tzn. Dimenzi prostoru V, stačí nám dokázat jejich nezávislost: Pokud
∑u v = 0 , i
( 19 )
i
i
kde v i jsou vlastní vektory operátoru
f : f ( v i ) = λi v i ,
( 20 )
pak by
∀n ∈ ℕ : f
f ⋯ f ≡ f n ( v) = λnv ,
( 21 )
n
neboli
fn
∑ i
µi v i =
∑
µi λin v i = 0 ,
( 22 )
i
což je však nekonečně mnoho nezávislých rovnic pro neznámou µi , a to je neřešitelné.
11
Třetí věta spektra Nereálná vlastní čísla a vektory reálného maticového operátoru A lze sdružit do párů
Av = λ v ↔ Av = λ v .
( 23 )
Důkaz Obě rovnosti jsou navzájem komplexně sdružené a
λ v = λv
( 24 )
je zřejmý fakt. Penrosova věta V ortogonální matici A stupně 2n × 2n , zapsané pomocí bloků a, b, c, d, stupně n × n
a b A= c d
( 25 )
jsou spektra tzv. Grammových matic aa T a dd T stejná a navíc platí
det a = det d .
( 26 )
Roger Penrose (1931)
12
Důkaz Z ortogonality A plyne AA T = E což po rozepsání na bloky mimo jiné znamená
cc T + dd T = E
( 27 )
a z ekvivalentní rovnosti A T A = E získáme
aTa + cTc = E .
( 28 )
Odtud jednoduchou úpravou plyne, že matice
a T a = E − c T c,
( 29 )
dd = E − cc , T
T
jsou podobné, neboť zřejmě platí
c T c = c T cc T ( c T ) = c −1cc T c , −1
( 30 )
čili
c T c ∼ cc T .
( 31 )
Označme pro jednoduchost
α = a T a,
( 32 )
δ = dd , T
potom
∃B : α = B −1δB .
( 33 )
Odtud
13
det α = det ( B −1δB ) = det B −1 det δ det B = det B −1 det B det δ = = det ( B −1B ) det δ = det E det δ = det δ.
( 34 ) Proto rovněž
det ( α − λ E ) = det ( δ − λ E ) ,
( 35 )
což znamená, že spektra matic α , δ jsou si skutečně rovna. Druhá část věty se již dokazuje snadněji:
det a ⋅ det a T = det α = det δ = det d ⋅ det d T ,
( 36 )
odkud
det 2 a = det 2 d ,
( 37 )
což po odmocnění dává dokazovanou rovnost ( 26 ). Nilpotence Definice nilpotence Operátor f : V → V pro který
∃n ∈ ℕ : f n = 0
( 38 )
nazýváme nilpotentním operátorem. Nejmenšímu n splňujícímu rovnost ( 38 ) říkáme stupeň operátoru f. První věta nilpotence Nechť f : V → V je nilpotentní operátor stupně n, dimenze m × m . Potom ∀i ∈ 0,1, 2, … , n : dim ker i ( f ) = i ( m − h ) , 14
( 39 )
kde h je hodnost f a
ker i ( f ) = { v ∈ V f i ( v ) = 0} .
( 40 )
Důkaz Důkaz plyne bezprostředně z definice nilpotence a z první věty homogenní soustavy. Důsledek ker 0 ( f ) ⊂ ker1 ( f ) ⊂ ⋯ ⊂ ker n ( f ) = ker n+1 ( f ) .
( 41 )
Definice stupně vektoru Nejmenší číslo k ∈ ℕ splňující rovnost
f k ( v) = λk v = 0
( 42 )
nazýváme stupněm vektoru v.
Druhá věta nilpotence Tvoří-li spektrum operátoru f : V → V pouze nuly a je-li ker n ( f ) = ker n+1 ( f ) ,
( 43 )
potom ker n ( f ) = V .
( 44 )
Důkaz Je tedy
15
Rn n ( f ) = Rn n+1 ( f ) .
( 45 )
To ale znamená, že zobrazení f : Rn n ( f ) → Rn n+1 ( f ) ≡ Rn n ( f )
( 46 )
je izomorfní a tedy regulární na Rn n ( f ) . Dále platí řetězec implikací
∀λ : λ = 0 ⇒ λ i = 0 ⇒ λ i v k = 0 ⇒ f i ( v k ) = λ i v k = 0 ⇒ ker i ( f ) = v k ⇒ ⇒ Rn n ( f ) = 0 ⇒ h n ( f ) = 0. ( 47 ) K důkazu implikace
def n ( f ) = def n+1 ( f ) ⇒ def n ( f ) = dimV − h n ( f ) = dimV
( 48 )
stačí již jen vědět, že
f n = 0 ⇒ f n+1 = 0
( 49 )
a že vlastní vektory nulové matice tvoří bázi prostoru V. Vskutku, přes nulový operátor se každý prvek z V zobrazí na nulový vektor, takže platí ( 44 ).
Třetí věta nilpotence Je-li operátor f : V → V nilpotentní ⇔ jeho spektrum tvoří pouze nuly.
Důkaz Je-li n stupeň operátoru f, potom platí: f ( v) = λv ⇒ f n ( v) = 0 ⇔ λnv = 0 ⇔ λn = 0 ⇔ λ = 0.
16
( 50 )
Definice vektorového řetězce operátoru Nechť f : V → V je nilpotentní operátor stupně k. Potom řetězec zobrazení
v1 → v 2 → ⋯ → v n → 0 ,
( 51 )
kde šipka od v i k v i+1 znamená
f ( v i ) = v i+1 ,
( 52 )
nazveme vektorovým řetězcem délky n operátoru f vzhledem k vektoru v1 . Všimněme si, že zřejmě n ≤ k . Čtvrtá věta nilpotence V libovolném systému vektorových řetězců nilpotentního operátoru f jsou všechny vektory lineárně nezávislé právě tehdy, jsou-li nezávislé všechny prvky jádra operátoru f. Důkaz Nezávislost vektorů z ker ( f ) plyne z nezávislosti všech vektorů triviálně (viz první věta lineární kombinace). Předpokládejme naopak, že zmíněné vektory z jádra jsou nezávislé, ale po jejich doplnění ostatními zřetězenými vektory dostaneme přeci jen závislý systém. To znamená, že nějaká netriviální kombinace všech vektorů v i
∑λ v = 0 . i
( 53 )
i
i
Protože zřejmě platí rovnost
f
∑ i
λi v i =
∑λ f ( v ) , i
( 54 )
i
i
17
musí být nulová i nějaká netriviální lineární kombinace systému vektorových řetězců zkrácených vynecháním prvního vektoru z každého řetězce. Násobným opakováním tohoto postupu, tj. násobným zmenšováním počtu vektorů, které lze netriviálně zkombinovat, dojdeme nakonec k závěru, že i ty poslední nenulové vektory z každého řetězce, tj. vektory náležející do ker ( f ) , musí být lineárně nezávislé, což je zřejmý spor s původním předpokladem o jejich závislosti. Pátá věta nilpotence Nechť f : V → V je nilpotentní operátor stupně k. Potom existují vektory
v1( ) ↓
⋯
v (n ) ↓
f v1( k )
⋯
f v (nk )
( )
v1k −1
↓
↓
k
( ) ↓
( )
f 2 v1( k )
⋯
↓ ⋮ ↓
( ))
f k −1 v1(
k
↓ 0
k
( )
f v1( k −1)
↓ ⋮ ↓
↓ ⋮ ↓
( ))
⋯ f k −1 vn(
k
⋯
(
f 2 v (nk )
↓ 0
(
f k −2 v1(
v kn−1
⋯
)
k −1)
↓ 0
⋯
)
(
↓
f v (nk −1)
)
↓ ⋮ ↓
(
⋯ f k −2 vn( ⋯
↓ 0
k −1)
⋯
)
⋯ v1( ) ⋯ v (n ) 1
↓ ⋯ 0 ⋯ ( 55 )
Důkaz Najdeme nějakou bázi ker1 ( f ) . Ke každému jejímu prvku v i určíme vektor ui , pro který
18
1
↓ 0
f ( ui ) = v i .
( 56 )
Vektory v i , ui pak tvoří bázi ker 2 ( f ) . Tímto způsobem prodlužujeme řetězce dokud nenajdeme bázi celého prostoru ker k ( f ) = V .
( 57 )
První věta Jordanova Každý čtvercový nilpotentní operátor A stupně k lze psát ve tvaru
A = CJC−1 ,
( 58 )
kde matice J má tzv. Jordanův blokový tvar:
J1 0 J = ⋮ 0
0 J2 ⋮ 0
⋯ 0 ⋯ 0 , ⋱ 0 ⋯ Jn
( 59 )
kde jednotlivé bloky mají tvar typu
0 0 Ji = 0 0
1 0 0 0 1 0 . 0 0 1 0 0 0
( 60 )
19
Marie Ennemond Camille Jordan (1838 – 1922)
Důkaz Vyjádříme zobrazení x → Ax maticí vůči bázi sestrojené v páté větě nilpotence a napsané v pořadí
( ) ) , … , v( ) , f ( v( ) ) , … , v( ) , … .
B = f k −1 v1(
k
k 1
k −1
k 2
k 2
( 61 )
Matice C má tedy ve sloupcích souřadnice řetězených vektorů, a to tak, že poslední sloupec se zobrazí do předposledního atd., až druhý sloupec se zobrazí do prvního a ten na nulový vektor. První sloupec je tedy vlastním vektorem příslušejícím vlastní hodnotě nula. Nechť Cu je nějaký vektor vzhledem k původní bázi. Potom C−1Cu je týž vektor vzhledem k nové bázi, tj. v bázi řetězců. Zřejmě platí
C−1Cu = u .
( 62 )
Vektor ACu je zobrazením vektoru Cu (v původní bázi) přes operátor A. Ju je vektor jež je zobrazením vektoru u přes operátor J (obé vyjádřeno v bázi řetězců) a CJu je jeho vyjádření v původní bázi. Odtud zřejmě AC = CJ ,
( 63 )
což je totéž, jako ( 58 ). 20
Definice kořenového podprostoru operátoru Nechť λ je element spektra operátoru f : V → V . Označme
{
}
kerλi ( f ) = v ∈ V ( f − λ E ) v = 0 . i
( 64 )
Říkáme, že λ je řádu k, jestliže platí
kerλ1 ( f ) ⊂ kerλ2 ( f ) ⊂ ⋯ ⊂ kerλk ( f ) = kerλk +1 ( f ) .
( 65 )
Podprostor kerλk ( f ) nazýváme kořenovým podprostorem operátoru f vzhledem k číslu λ , a značíme stručně kerλ ( f ) . Definice direktního rozkladu vektorového prostoru Nechť je dán vektorový prostor V a jeho podprostory W1 , W2 , … , Wk . Jestliže k
∀v ∈ V : v =
∑w ,
( 66 )
i
i =1
kde w i ∈ Wi , říkáme, že podprostory Wi tvoří direktní rozklad prostoru V, což zapisujeme k
V=
⊕W .
( 67 )
i
i =1
Definice kořenového doplňku operátoru Nechť λ je element spektra operátoru f : V → V . Označme
{
}
Rn λj ( f ) = ( f − λ E ) v = 0 v ∈ V . j
21
( 68 )
Říkáme, že λ je řádu k, jestliže platí Rn1λ ( f ) ⊃ Rn λ2 ( f ) ⊃ ⋯ ⊃ Rn λk ( f ) = Rn λk +1 ( f ) .
( 69 )
Podprostor Rn λk ( f ) nazýváme kořenovým doplňkem operátoru f
vzhledem k číslu λ , a značíme stručně Rn λ ( f ) .
Definice kořenového defektu operátoru Nechť kerλ ( f ) je kořenovým podprostorem operátoru f : V → V . Potom číslo
dim kerλ ( f )
( 70 )
nazýváme kořenovým defektem operátoru f a značíme
def λ ( f ) .
( 71 )
Druhá věta Jordanova Nechť je dán operátor f : V → V . Potom platí
Rn λ ( f ) ⊕ kerλ ( f ) = V , f ( kerλ ( f ) ) ⊆ kerλ ( f ) ,
( 72 )
f ( Rn λ ( f ) ) ⊆ Rn λ ( f ) . Důkaz Dle osmé věty homomorfismu platí
h λ ( f ) + def λ ( f ) = dimV .
( 73 )
Stačí tedy dokázat, že
22
Rn λ ( f ) ∩ kerλ ( f ) = {0} .
( 74 )
Nechť
0 ≠ v ∈ Rn λ ( f )
( 75 )
Potom ∃u ∈ V : fλk ( u ) = v .
( 76 )
Předpokládejme, že zároveň
v ∈ kerλ ( f ) .
( 77 )
Potom musí být fλk ( v ) = fλk +1 ( u ) = 0 .
( 78 )
To však není možné, neboť
Rn λk ( f ) = Rn λk +1 ( f ) ,
( 79 )
takže by již platilo
Rn λ ( f ) = 0 ,
( 80 )
neboli fλk ( u ) = 0 = v ,
( 81 )
což je zřejmý spor s původním předpokladem v ≠ 0 . Zbývá ověřit invarianci vůči f. Nechť nejprve
v ∈ kerλ ( f ) .
( 82 )
23
Potom f ( v ) ∈ kerλk +1 ( f ) = kerλ ( f ) ⇒ f ( v ) ∈ kerλ ( f ) .
( 83 )
Protože zřejmě
f ( v ) = fλ ( v ) + λ v ,
( 84 )
musí platit
fλ ( v ) = f ( v ) − λ v ⇒ fλ ( v ) ∈ kerλ ( f )
( 85 )
viz druhá věta lineárního obalu. Ze stejného důvodu nyní položíme
v = Rn λ ( f ) .
( 86 )
Zopakováním celého postupu ověříme, že rovněž
fλ ( v ) ∈ Rn λ ( f ) ,
( 87 )
čímž je důkaz hotov. Třetí věta Jordanova
∀f : V → V , λi ∈ Sp ( f ) : V = ⊕ kerλi ( f ) , f ( kerλ ( f ) ) ⊆ kerλ ( f ) ,
i =1
( 88 )
def λi ( f ) = {λi } , kde {λi } označuje násobnost vlastní hodnoty λi operátoru f.
Důkaz Nejprve si všimněme, že λ1 již nepatří do spektra zúženého operátoru
24
f : Rn λ1 ( f ) → Rn λ1 ( f ) .
( 89 )
Kdyby totiž bylo
λ1 ∈ Sp ( f ) : Rn λ ( f ) → Rn λ ( f ) , 1
( 90 )
1
potom by platilo Rn λ1 ( f ) = Rn λ1 ( f ) ⊕ kerλ1 ( f ) ,
( 91 )
což není možné, neboť
kerλ1 ( f ) ≠ {0} .
( 92 )
Zvolíme si tedy nějaký další prvek spektra λ2 a podle operátoru ( 89 ) rozložíme prostor
Rn λ1 ( f ) = Rn λ2 ( f ) ⊕ kerλ2 ( f ) ,
( 93 )
kde
Rn λ2 ( f ) = ( f − λ2 E )
{λ2}
Rn λ1 ( f ) .
( 94 )
Dle druhé Jordanovy věty jsme právě obdrželi rozklad prostoru V:
V = kerλ1 ( f ) ⊕ kerλ2 ( f ) ⊕ Rn λ2 ( f ) .
( 95 )
Ze stejného důvodu provedeme direktní rozklad prostoru Rn λ2 ( f ) dle operátoru
f : Rn λ2 ( f ) → Rn λ2 ( f ) ,
( 96 )
čímž obdržíme 25
Rn λ2 ( f ) = Rn λ3 ( f ) ⊕ kerλ3 ( f ) .
( 97 )
Tímto způsobem postupujeme až do chvíle, než vyčerpáme všechny elementy spektra operátoru f. V tu chvíli však již Rn λ j ( f ) = {0} , kde j jsme označili počet navzájem různých elementů spektra f. Odtud již snadno plynou všechna dokazovaná tvrzení.
Důsledek třetí věty Jordanovy Nechť f : V → V je libovolný operátor. Budiž
V = ker ( f ) ⊕ Rn ( f ) ,
f ( ker ( f ) ) ⊆ ker ( f ) ,
( 98 )
f ( Rn ( f ) ) ⊆ Rn ( f ) .
Nechť systém v1 , … , v n generuje ker ( f ) a systém w1 , … , w n generuje Rn ( f ) . Nechť J1 je matice f : ker ( f ) → ker ( f ) a J i
matice f : Rn ( f ) → Rn ( f ) . Potom matice f : V → V má vzhledem k bázi v1 , … , v n , w1 , … , w m blokovou matici
J J = 1 0
J1 0 0 = J i ⋮ 0
0 J2 ⋮ 0
kde jednotlivé bloky J j ,
⋯ 0 ⋯ 0 , ⋱ ⋮ ⋯ JN j = 1, 2, … , N jsou tvaru
26
( 99 )
λ 1 0 ⋯ 0 0 0 λ 1 ⋯ 0 0 0 0 λ ⋯ 0 0 Jj = , ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ λ 1 0 0 0 ⋯ 0 λ
( 100 )
kde počet řádků = {λi } . Každou matici A lze potom vyjádřit pomocí podobné matice J výše uvedených vlastností, kterou nazýváme Jordanovým kanonickým tvarem matice A. Platí tedy
A = CJC−1 .
( 101 )
Matice C má ve sloupcích vlastní vektory matice A, nebo v řádcích řetězené vektory v pořadí, jak to bylo popsáno v důkazu první věty Jordanovy. Čtvrtá věta Jordanova Nechť charakteristický polynom matice A má celkem n kořenů včetně násobných. Potom A je podobná matici J v Jordanově kanonickém tvaru, který určíme z kanonického tvaru charakteristické matice λ E − A následovně: Je-li
en ( λ ) = ( λ − λ1 ) 1 ( λ − λ2 ) 1 ⋯ k
l
en−1 ( λ ) = ( λ − λ1 ) 2 ( λ − λ2 ) 2 ⋯ k
l
en−2 ( λ ) = ( λ − λ1 )
( λ − λ2 )
⋮
k3
l3
( 102 )
⋯
⋮
pak Jordanovy buňky příslušné vlastnímu číslu λ1 mají rozměry k1 ≥ k2 ≥ ⋯ , Jordanovy buňky příslušné vlastnímu číslu λ2 mají rozměr l1 ≥ l2 ≥ ⋯ , atd., pokud některá z mocnin není nulová. 27
Důkaz Máme dokázat, že matice A a J jsou podobné právě tehdy, pokud A − λ E a J − λ E jsou ekvivalentní, tj. mají-li stejný kanonický tvar (stejné charakteristické polynomy ei ( λ ) ). Matice J má pak stejné charakteristické polynomy e1, e2, … , en jako A. Nechť tedy A, J jsou podobné. Potom J = CAC−1 , λ E = C ( λ E ) C−1 . Tedy J − λ E = C ( A − λ E ) C−1 .
( 103 )
Protože každá regulární matice představuje posloupnost řádkových nebo sloupcových operací, je J − λ E ekvivalentní s A − λ E . Obráceně, nechť A − λ E a J − λ E jsou ekvivalentní. Potom existují invertibilní matice C(λ) a D(λ) tak, že
J − λ E = C ( λ )( A − λ E ) D ( λ )
( 104 )
takové, že C ( λ ) = ( J − λ E ) C1 ( λ ) + C0 ,
( 105 )
D ( λ ) = D1 ( λ )( J − λ E ) + D0 , kde C0 a D0 nezávisejí na λ. Použitím ( 103 ), ( 104 ), ( 105 ), dostaneme
C0 ( A − λ E ) D0 = C ( λ ) − ( J − λ E ) C1 ( λ ) ( A − λ E ) D ( λ ) − D1 ( λ )( J − λ E ) = = C ( λ )( A − λ E ) D ( λ ) − C ( λ )( A − λ E ) D1 ( λ )( J − λ E ) − − ( J − λ E ) C1 ( λ )( A − λ E ) D ( λ ) + ( J − λ E ) C1 ( λ )( A − λ E ) D1 ( λ )( J − λ E ) = = ( J − λ E ) − D−1 ( λ ) D1 ( λ )( J − λ E ) − ( J − λ E ) C1 ( λ ) C−1 ( λ )( J − λ E ) + + ( J − λ E ) C1 ( λ )( A − λ E ) D1 ( λ )( J − λ E ) =
{
}
= ( J − λ E ) E − D−1 ( λ ) D1 ( λ ) + C1 ( λ ) C−1 ( λ ) − C1 ( λ )( A − λ E ) D1 ( λ ) ( J − λ E ) .
( 106 )
28
Kdyby výraz v hranaté závorce byl různý od nulové matice, byl by celý poslední výraz polynomem stupně alespoň 2, což ovšem není možné, neboť C0 ( A − λ E ) D0 je stupně 1. Výraz v hranaté závorce je tudíž nulový a platí
C0 ( A − λ E ) D0 = ( J − λ E ) .
( 107 )
Porovnáním koeficientů u mocnin λ0 a λ1 dostaneme
C0 AD0 = J ,
( 108 )
C0 D0 = E. Tedy vskutku platí
C0−1 = Q 0 ,
( 109 )
odkud již
J = C0 AC0−1 .
( 110 )
Důsledek čtvrté věty Jordanovy Čtvrtá věta Jordanova umožňuje nalézt Jordanův kanonický tvar matice A, jestliže najdeme kanonický tvar K(λ) charakteristické matice A - λE. S pomocí třetí věty pak rovněž matici podobnosti C, pro níž platí ( 101 ). 1) Nejdříve upravíme A - λE elementárními úpravami na kanonický tvar K(λ):
ɶ (λ ) K (λ ) C A − λE E , E ∼…∼ D ɶ λ ( ) ɶ ( λ )( A − λ E ) D ɶ (λ ). přičemž K ( λ ) = C
29
( 111 )
2) Kanonický tvar K(λ) určuje Jordanovu matici J. Její charakteristickou matici převedeme elementárními úpravami na kanonický tvar K(λ): K (λ ) C(λ ) J − λE E ∼ … ∼ . E λ D ( )
( 112 )
Platí K ( λ ) = C ( λ )( A − λ E ) D ( λ ) . 3) Z předchozích dvou rovnic dostaneme ɶ ( λ )( A − λ E ) D ɶ ( λ ) D−1 ( λ ) . J − λ E = C−1 ( λ ) C
( 113 )
4) Položme
ɶ (λ ), C ( λ ) = C−1 ( λ ) C ɶ −1 ( λ ) D ( λ ) , D(λ ) = D
( 114 )
a vydělme obě rovnice ( 114 ) maticí J - λE. Dle důkazu čtvrté věty Jordanovy platí: C ( λ ) = ( J − λ E ) C1 ( λ ) + C0 ,
( 115 )
D ( λ ) = D1 ( λ )( J − λ E ) + D0 ,
neboli
J − λ E = C0 ( A − λ E ) D0 ,
( 116 )
v důsledku čehož platí ( 109 ) a ( 110 ). 5) K získání matice C0 stačí do C(λ) dosadit matici J za λ zleva, k získání matice D0 pak dosadit matici J za λ v polynomu D(λ) zprava. 30
Příklad: Nalezněte Jordanův kanonický tvar J matice
0 1 0 A = −4 4 0 −2 1 2
( 117 )
a matici podobnosti C0 takovou, aby splňovala rovnost ( 110 ). Řešení: Provedeme elementární řádkové a sloupcové operace na matici
31
1 0 1 0 0 −λ −4 4 − λ 0 0 1 0 A − E E − 2 1 2 − 0 0 1 λ λ = ∼ E 0 0 1 0 1 0 0 1 0 −λ −λ 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 4 − λ −4 2 − + − − 0 0 1 0 0 4 4 0 4 1 0 λ λ λ 1 −2 2 − λ 0 0 1 0 −1 0 1 2−λ λ −2 ∼ ∼ ∼ 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 λ − 2 2 − λ − 1 0 1 0 2 0 4 1 0 − − − λ λ ( ) 2 0 λ −2 2−λ 0 ( λ − 2) 0 4 − λ −1 0 −1 0 1 ∼ ∼ ∼ 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 λ λ 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 − 2 0 − 1 0 1 0 − 2 0 − 1 0 1 λ λ 2 0 ( λ − 2 )2 ( λ − 2 )2 4 − λ −1 0 0 0 ( λ − 2 ) 4 − λ −1 0 . ∼ ∼ 1 1 0 1 0 0 1 1 0 λ λ λ 0 0 1 1 0 −1
Tedy kanonický tvar matice ( A − λ E ) je
32
( 118 )
1 0 0 1 K (λ ) = 0 λ − 2 0 = −1 4−λ 2 λ 0 0 − 2 ( ) ɶ ( λ )( A − λ E ) D ɶ (λ ), =C
0 0 0 0 1 0 1 ( A − λE) 1 0 λ = −1 0 0 −1 1 ( 119 )
a Jordanův kanonický tvar matice A je
2 0 0 J = 0 2 1. 0 0 2
( 120 )
Pro nalezení podobnostní matice C0 nyní provedeme elementární řádkové a sloupcové operace na matici
33
2 − λ 0 J − λE E 0 E = 1 0 0
1 0 0 2−λ 1 0 1 0 0 2 − λ 0 0 1 ∼ 0 0 1 0 0 1 0 2 − λ 1 0 0 1 2−λ 0 0 1 0 0 1 2−λ 0 0 1 0 0 0 2 − λ 1 0 0 2 −λ 0 0 0 0 1 2 − λ 0 0 0 0 1 ∼ ∼ ∼ 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 2−λ 0 0 1 0 1 1 0 0 2 1 0 0 λ − 0 0 2 − λ 1 0 0 2 0 − ( 2 − λ )2 0 −(2 − λ ) 0 0 λ − 2 1 0 0 λ −2 1 ∼ ∼ ∼ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 − 2 0 λ 0 0 0 1 0 1 0 λ − 2 0 1 0 0 2 0 0 ( λ − 2 ) 0 λ − 2 1 . ∼ 0 0 −1 0 −1 λ 1 0 2−λ 0
0
( 121 ) Tedy 1 0 0 0 1 0 0 0 −1 0 = 1 0 0 ( J − λ E ) 0 0 −1 = K (λ ) = 0 λ − 2 1 0 2 − λ 2 0 ( λ − 2) 0 λ − 2 1 0 = C ( λ )( J − λ E ) D ( λ ) . ( 122 ) 34
Srovnáním ( 122 ) a ( 119 ) spočteme, že ɶ ( λ )( A − λ E ) D ɶ ( λ ) D−1 ( λ ) = C ( λ )( A − λ E ) D ( λ ) . J − λ E = C−1 ( λ ) C ( 123 ) Přitom
1 0 0 C−1 ( λ ) = 1 0 0 , 2 − λ 0 1 1 0 1 0 0 −1 0 C(λ ) = 1 0 0 −1 0 1 = 1 2 − λ 0 1 4 − λ −1 0 6 − 2λ 0 0 0 −1 0 1 = λ 0 0 0 + 1 0 0 . −2 0 0 6 −1 0
1 0 0 = ( 124 ) −1 0 0
K získání matice C0 takové, že
C ( λ ) = ( J − λ E ) C1 ( λ ) + C0 ,
( 125 )
Stačí do C(λ) dosadit za λ zleva matici J:
0 0 0 −1 0 1 0 0 0 −1 0 1 C0 = J ⋅ 0 0 0 + 1 0 0 = −2 0 0 + 1 0 0 = −2 0 0 6 −1 0 −4 0 0 6 −1 0 −1 0 1 = −1 0 0 , 2 −1 0 0 −1 0 C0−1 = 0 −2 −1 . 1 −1 0 35
( 126 ) Výpočtem se lze snadno přesvědčit, že tyto matice vskutku splňují rovnost ( 110 ). Definice relativní báze vektorového prostoru O nenulových vektorech v1 , … , v n řekneme, že jsou nezávislé vůči podprostoru W ⊆ V , pokud
∑ λ v ∈W ⇒ ∀λ i
i
i
= 0.
( 127 )
Řekneme, že systém v1 , … , v n dokonce tvoří bázi V vůči W, pokud navíc
L ({ v1 , … , v n } ∪ W ) = V .
( 128 )
Pozorování: Absolutní nezávislost tedy znamená relativní nezávislost vzhledem k triviálnímu podprostoru W = {0} , absolutní báze pak relativní bázi vůči tomuto podprostoru. Definice invariantního podprostoru operátoru Invariantním podprostorem operátoru f : V → V nazýváme podprostor W ⊆ V , pro který platí
f (W ) ⊆ W .
( 129 )
36
Pátá věta Jordanova Každý operátor lze ve vhodné bázi vyjádřit trojúhelníkovou maticí. Důkaz Stačí sestrojit bázi B = v1 , … , v n takovou, aby lineární obal každé k-tice vektorů v1 , … , v k byl invariantním podprostorem. Máme-li zadaný řetězec invariantních podprostorů V1 ⊆ V2 ⊆ ⋯ ⊆ Vn ≡ V ,
( 130 )
tj. máme-li zobrazení f : V → V takové, že
f (Vi ) ⊆ Vi
( 131 )
a značí-li A jeho matici vůči postupně doplňované bázi, má A tvar, v němž se postupně zleva doprava snižuje nebo zachovává sloupec nul, jímž je zakončen každý sloupec matice A. Jedná se tedy o horní trojúhelníkovou matici, v níž jednotlivé elementy tvoří bloky odpovídající doplňujícím prvkům báze Vi vůči Vi −1 , namísto čísel. Je-li specielně
dimVi = dimVi −1 + 1,
( 132 )
jsou bloky triviální.
37
Hamilton – Cayleyova věta Nechť p je charakteristický polynom matice A. Potom p ( A ) = 0
Sir William Rowan Hamilton (1805 – 1865)
Arthur Cayley (1821 – 1895)
Důkaz Vyjdeme z direktního rozkladu
V = ⊕ kerλi .
( 133 )
i
Víme, že
p ( λ ) = ∏ ( λ − λi )
{λi }
.
( 134 )
i
Nechť u ∈ V . Pišme
u = ∑ vi ,
( 135 )
i
kde v i ∈ kerλi ( A ) . Jenomže
( A − λi E ) {
λi }
vi = 0 .
( 136 ) 38
Odtud plyne
p ( A ) = ∏ ( A − λi E )
{λi }
,
( 137 )
i
takže
p ( A ) vi = 0 ,
( 138 )
a tedy rovněž
p ( A)u = 0.
( 139 )
Protože tato rovnost platí pro každé u ∈ V , musí být vskutku
p(A) = 0 .
( 140 )
Stochastická matice Definice stochastické matice Stochastickou maticí nazýváme matici s jednotkovou sumou prvků v každém sloupci Definice stacionárního stavu stochastické matice Je-li matice A stochastická, potom vlastní vektor v příslušející jejímu spektrálnímu poloměru ρ nazýváme stacionárním stavem matice A. Definice positivní matice Positivní nazýváme každou matici, jejíž prvky jsou všechny nezáporné.
39
První věta Perron – Frobeniova Nechť A je positivní matice, ρ její spektrální poloměr. Potom ρ je jednonásobná a kladná vlastní hodnota a pro libovolnou počáteční volbu kladného vektoru x platí
A n+1x = ρ A n x = ρ n+1cv + ρλ n ,
( 141 )
kde λ je druhý největší prvek spektra operátoru A, c je konstanta závislá na volbě x, v je vlastní vektor příslušející spektrálnímu poloměru ρ .
Oskar Perron (1880 – 1975)
Ferdinand Georg Frobenius (1849 – 1917)
Důkaz Důkaz stačí provést pro případ ρ ( A ) = 1, neboť vezmeme-li matici B = ρ −1 ( A ) ⋅ A
( 142 )
platí
ρ ( B ) = 1.
( 143 )
Nechť tedy ρ ( A ) = 1 a nechť Av = v .
( 144 ) 40
Pišme
v = v+ + v− ,
( 145 )
kde vi+ = max {vi ,0} .
( 146 )
Vzhledem k positivitě matice A jsou vektory Av + , Av − rovněž positivní. Zavedeme-li nyní vektor w předpisem
wi = min ( Av + ) , ( Av − ) , i i
( 147 )
pak vektory
z + = Av + − w, −
( 148 )
−
z = Av − w, jsou opět positivní. Pak ovšem platí
A ( v + + v − ) = 2w + z + + z − = Av + 2 Av − .
( 149 )
Proto
v = z+ + z− ,
( 150 )
protože je ale každá souřadnice nulová vždy alespoň u jednoho z vektorů z + , z − , musí být dokonce.
v+ = z+ , −
( 151 )
−
v =z .
41
Protože
2w = Av + + Av − + v + + v − ,
( 152 )
platí
A ( v + + v − ) = v + + v − + 2w ≥ (1 + ρ ( A ) ) ( v + + v − ) ,
( 153 )
což je možné pouze v triviálním případě v = 0, jinak by musela existovat vlastní hodnota větší, než 1. Existuje tedy jediný vektorový řetězec příslušející vlastní hodnotě λ = 1. Navíc se jedná o řetězec jednočlenný, neboť kdyby
∃y : ( A − E ) y = v, ( A − E ) v = 0 = ( A − E ) y n
( 154 )
kde n ≥ 2 , platilo by rovněž
A n y = ( A − E + E ) y = y + nv , n
( 155 )
což však není možné, neboť posloupnost A n y je omezená, kdežto posloupnost y + nv je pro v ≠ 0 neomezená. Poznámka: dá se ukázat, že je-li matice A stochastická, platí
ρ ( A ) = 1, ( 156 )
c = ∑ xi . i
42
Důsledek první věty Perron – Frobeniovy Nechť ρ je spektrální poloměr positivní matice A. Potom platí
lim ( ρ −1A ) = DΠD′ , n
( 157 )
n→∞
kde D, D´ jsou vhodné positivní diagonální matice a Π je matice, jejíž všechny prvky tvoří jedničky. Dále platí m
∑d d′ i i
i =1
i
i
= 1,
( 158 )
kde m je řád matice A. Vlastní vektor příslušný ρ ( A ) je tvaru
d11 v = ⋮ . d mm
( 159 )
Je-li A symetrická, pak D = D´, takže
∑ ( dii ) = 1 . m
2
( 160 )
i =1
Je-li A stochastická, pak −1
m i di′ = ∑ di , i =1 i
( 161 )
tzn.
A n lim A n = di′i DΠ .
( 162 )
n→∞
Konečně, pro symetrickou stochastickou matici A dostáváme rovnost 43
dii =
1
∑
m i =1
d
i i
1 . m
=
( 163 )
Druhá věta Perron – Frobeniova Nechť A je stochastická matice a nechť existuje diagonální matice Q taková, že matice AQ je symetrická. Potom řešení rovnice Au = u
( 164 )
je tvaru
1 1 u = c ⋅Q , ⋮ 1
( 165 )
kde c je vhodná konstanta. Důkaz Je-li AQ symetrická, pak
AQ = QA T
( 166 )
a rovněž
AAQ = AQA T = QA T A T ,
( 167 )
odkud obecně plyne
A nQ = Q ( A T ) . n
( 168 )
44
Proto je i matice A nQ symetrická. Díky stochasticitě A plyne z první věty Perron – Frobeniovy
lim A n = PΠ ,
( 169 )
n→∞
kde P je diagonální s jednotkovou stopou. Díky symetrii A nQ navíc platí
lim A nQ = DΠD .
( 170 )
n→∞
Odtud, srovnáním ( 169 ) a ( 170 ) vidíme, že
D = Q = P,
( 171 )
takže
u = A nu → PΠu = QΠu (1,1, ⋯ ,1) = c ⋅ Q (1,1, ⋯ ,1) . T
T
( 172 )
Exponenciela matice Definice exponenciely matice ∞
exp A ≡
∑ n =0
An n!
( 173 )
Definice normy matice
{ }
A = max aij . i, j
( 174 )
Definice metriky na prostoru čtvercových matic
d ( A, A′ ) = A − A′ .
( 175 )
45
První věta o konvergenci Je-li řada ∞
∑A
( 176 )
n
n =0
konvergentní, konverguje i řada ∞
∑A
( 177 )
n
n =0
v každém bodě matice a platí ∞
∞
∑A ≤ ∑ A n
n =0
n
.
( 178 )
n =0
Důkaz
Je zřejmé, že
An ≤ An ,
( 179 )
neboli ∞
∞
∑A ≤ ∑ A n
n =0
n
.
( 180 )
n =0
Dále
−An ≤ −An = An ,
( 181 )
takže
46
∞
−
∞
∑A ≤ ∑ A n
n =0
n
.
( 182 )
n =0
Proto ∞
∞
∞
∑A = ∑A ∨ ∑A n
n
n =0
n =0
∞
n
n =0
=−
∑A ,
( 183 )
n
n =0
čili skutečně platí ( 178 ). Druhá věta o konvergenci A n ≤ k n−1 A n ,
( 184 )
kde k je řád matice A. Důkaz
Pro n = 1 z ( 184 ) plyne
A ≤ A ,
( 185 )
čemuž uvěří mnozí. Je-li aijn prvkem matice A n , platí k
a ≤ n ij
∑
ail aljn−1 ≤ k A ⋅ k n−2 A
n −1
= k n−1 A . n
( 186 )
l =1
Definice komutátoru
Výraz
[ A; B ] ≡ AB − BA .
( 187 )
nazýváme komutátorem matic A a B. Specielně, je-li AB = BA , říkáme, že matice A, B navzájem komutují, což znamená, že 47
[ A; B ] = 0 .
( 188 )
Definice antikomutátoru Výraz
{A; B} ≡ AB + BA .
( 189 )
nazýváme antikomutátorem matic A a B. Specielně, je-li AB = −BA , říkáme, že matice A, B navzájem antikomutují, což znamená, že
{A; B} = 0 .
( 190 )
První věta exponenciely Pokud spolu matice A a B navzájem komutují, pak
exp ( A + B ) = exp A ⋅ exp B = exp B ⋅ exp A .
( 191 )
Důkaz Užijeme substituci m = p − n . Potom ∞
exp A ⋅ exp B =
∞
∑ ∑ n =0 ∞
=
An n!
n =0
Bm = m!
∞
A n B p −n = ! − ! n p n ( ) 0≤ n ≤ p
∑∑ p =0
1 p !A n B p −n = p ! 0≤n≤ p n!( p − n )!
∑ ∑ p =0
∞
∑ p =0
( 192 )
1 p ( A + B) . p!
Povšimněme si, že poslední úprava binomické formule je možná pouze tehdy, když spolu matice A, B komutují.
48
Pozorování:
exp A je vždy regulární maticí, pro kterou platí
( exp A )
−1
= exp ( − A ) .
( 193 )
Zobecnění: Vzorec pro exponencielu součtu lze modifikovat i pro případ, že A, B navzájem nekomutují, ale obě komutují se svým komutátorem [ A; B ] , tj.
A;[ A; B ] = [ A; B ]; B .
( 194 )
Potom platí:
1 1 exp A ⋅ exp B = exp A + [ A; B ] + B = exp ( A + B ) ⋅ exp [ A; B ] . 2 2 ( 195 ) Druhá věta exponenciely
exp A ⋅ exp B ⋅ exp ( − A ) = exp ( exp A ⋅ B ⋅ exp ( − A ) ) .
( 196 )
Důkaz Z první věty exponenciely víme, že pokud A i B komutují, se svým komutátorem, platí ( 195 ). Dosazením z této rovnice za daných předpokladů plyne
exp A ⋅ exp B ⋅ exp ( − A ) ⋅ exp ( −B ) = exp A ⋅ exp B = 1 1 = exp ( A + B ) ⋅ exp [ A; B ] exp − ( A + B ) ⋅ exp [ A; B ] = 2 2 = exp [ A; B ]. ( 197 ) 49
Odtud
exp A ⋅ exp B ⋅ exp ( − A ) = exp [ A; B ] ⋅ exp B ,
( 198 )
což lze přepsat jako
exp A ⋅ C ⋅ exp ( − A ) = exp [ A; B ] ⋅ C
( 199 )
a proto
exp [ A; B ] ⋅ exp B = exp ( exp A ⋅ B ⋅ exp ( − A ) ) = exp A ⋅ exp B ⋅ exp ( − A ) . ( 200 ) Poznámka: Tento vztah užíváme k výpočtu exponenciely matice M vyjádřené jako
M = DBD−1
( 201 )
s podobnou maticí B pokud možno v Jordanově tvaru. Potom tedy platí:
exp M = exp ( DBD−1 ) = D ⋅ exp B ⋅ D−1 .
( 202 )
Důsledek
exp A exp B exp ( − A ) = 1 1 1 = exp B + [ A; B ] + A;[ A; B ] + A; A;[ A; B ] + ⋯ . 1! 2! 3! ( 203 ) Třetí věta exponenciely Nechť Av = λ v . Potom
( exp A ) v = ( exp λ ) v
( 204 ) 50
Důkaz
∞
∑ n =0
An v = n!
∞
λnv
∑ n! = e v . λ
( 205 )
n =0
Čtvrtá věta exponenciely Nechť
A = CDC−1 .
( 206 )
Pak
exp A = C exp ( DC−1 ) .
( 207 )
Důkaz ∞
∑ n =0
n
A = n!
∞
∑ n =0
( CDC−1 ) n!
n
∞
∑
=C
n =0
Dn −1 C . n!
( 208 )
Důsledek
e 0 exp A = C ⋮ 0
0 ⋯ 0 e ⋯ 0 −1 C , ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ e
( 209 )
kde matice C má ve sloupcích souřadnice vlastních vektorů.
51
Pátá věta exponenciely Jsou-li reálné části vlastních hodnot matice A kladné, potom platí: ∞
∫
A −1 = exp ( −tA ) dt .
( 210 )
0
Důkaz Obě strany dokazované rovnosti vynásobíme zleva maticí –A, čímž postupně dostaneme ∞
∞
∫
∫
0
0
− AA = − A exp ( −tA ) dt = −1
∞ d exp ( −tA ) dt = exp ( −tA ) 0 = dt
= 0 − E = −E. ( 211 ) Poznámka: Výše uvedený předpoklad o vlastních hodnotách zajišťuje exponenciálně rychlé ubývání integrandu. První věta o vztahu tracku s determinantem Nechť O ( t ) označuje matici, jejíž všechny prvky jsou nějaké funkce O ( t ) takové, že
lim t →0
O (t ) t
= 0.
( 212 )
Potom v limitě t → 0 platí
det exp ( tA ) = 1 + tr A + O ( t ) .
( 213 )
52
Důkaz Snadno ověříme, že pro libovolnou matici A platí
exp ( tA ) = E + tA + O ( t ) .
( 214 )
Dále si uvědomíme, že neidentické permutace přispějí k determinantu polynomem, z něhož lze vytknout t. Tento polynom po vytknutí t označíme P a provedeme následující úpravy:
det ( E + tA + O ( t ) ) = ∑ ( −1) π
sp
∏ (δ n
j =1
p( j ) j
+ ta j ( ) + O j ( p j
p j)
(t )) =
= ∏ (1 + ta jj + O jj ( t ) ) + tP = E + t ⋅ tr A + O ( t ) . n
j =1
( 215 ) Druhá věta o vztahu tracku s determinantem
det exp A = exp tr A .
( 216 )
Důkaz Označme
f ( t ) = det exp ( tA ) .
( 217 )
Zřejmě platí
df ( t ) dt
= lim
det exp ( ( t + h ) A ) − det exp ( tA )
h→0
= det exp ( tA ) lim h→0
= det exp ( tA ) lim h→0
h det exp ( hA ) − 1 h h ⋅ tr A + O ( h ) h 53
=
=
= tr A f ( t ) .
( 218 )
Jsme u cíle, neboť diferenciální rovnice
f ′ ( t ) = tr A f ( t )
( 219 )
má řešení
f ( t ) = c ⋅ exp t ⋅ tr A ,
( 220 )
kde
c = f (0) = 1.
( 221 )
Třetí věta o vztahu tracku s determinantem ∞
trA n ln det ( E − A ) = ∑ n n =1
( 222 )
Důkaz Nejprve provedeme Taylorův rozvoj funkce ln x :
ln x = ln x0
( x − x0 ) − ( x − x0 ) + 2 0
x0
2! x
2 ( x − x0 )
2
+
3 0
3! x
3
−⋯ +
ln x = 0 + ∑ ( −1) n =0
n
n!( x − 1)
( n + 1)! x
n +1
n +1 0
.
( 223 )
Položíme-li x0 = 1, máme ∞
n!( x − x0 )
n +1
( n + 1) n!
∞
= ∑ ( −1) n =0
n
( x − 1)
n +1
n +1
.
( 224 )
Provedeme substituci E − A = exp B a z předchozí věty ihned dostáváme rovnost
ln det ( E − A ) = ln det exp B = ln exp trB = trB . 54
( 225 )
A protože
B = ln ( E − A ) ,
( 226 )
plyne odtud ∞
tr B = tr ∑ ( −1)
n
( E − A + 1) n +1
n =0
∞
= ∑ ( −1)
n
n +1
tr ( − A )
n =0
n +1
n +1
∞
= ∑ ( −1)
n
tr ( E − A + 1) n +1
n =0
∞
n +1
∞
n +1
= ( 227 )
n
tr A tr A =∑ . n + n 1 n =0 n =0
=∑
Gaussova věta
ˆ k je operátor translace o k, tzn Nechť T
( Tˆ f ) k
n
= f n+ k .
( 228 )
Potom platí vztah
ˆk , exp ( t ∆ ) = ∑ Fk ( t ) T
( 229 )
k∈ℤ
kde posloupnost F s časově proměnnými prvky Fk ( t ) řeší diferenciální rovnici
F ′ ( t ) = ∆F ( t )
( 230 )
při počáteční podmínce Fk ( 0 ) = δ k0 .
( 231 )
55
Důkaz
ˆ k , vyplývá Protože Laplaceův operátor ∆ komutuje s každým T z platnosti rovnice ( 230 ) vskutku d ˆ k = ∆∑ F ( t ) T ˆk. exp ( t ∆ ) = ∑ ( ∆F ( t ) )k T k dt k∈ℤ k∈ℤ
( 232 )
Logaritmus matice Hledejme matici A takovou, že pro zadanou regulární matici B platí
exp A = B .
( 233 )
Pomocí Taylorova rozvoje pro logaritmus, okamžitě získáme rovnost ∞
A = ln B =
∑ ( −1) n =0
n
(B − E)
n +1
( 234 )
n +1
pro logaritms matice B. Úvod do teorie duálních prostorů Definice duálního prostoru Duálním prostorem k prostoru V rozumíme prostor všech lineárních forem, tj. lineárních zobrazení přiřazujících prvkům V prvek z tělesa, nad kterým je prostor V sestrojen. Duální prostor budeme značit V´a rovněž jeho prvky budeme psát čárkovaně. Sčítání a násobení prvkem z tělesa zde definujeme nejpřirozenějším způsobem:
( u′ + v′ )( w ) = u′ ( w ) + v′ ( w ) , ( λu )( w ) = λu′ ( w ) .
( 235 )
56
Poznámka: Odpovídající objekty duálu označujeme předponou „kontra“. Naopak, pokud jsme již pojmenovali objekty ve V´, používáme pro označení odpovídajících objektů z V předponu „ko“. V této sekci budeme používat konvenci horních a dolních indexů, přičemž horní index udává číslo řádku, kdežto dolní index číslo sloupce. V duálním prostoru je pak přirozené použít přesně opačný zápis oproti prostoru původnímu. Budeme tedy značit v′i prvky duální báze k bázi v j tak, že
v′i v j = δ ij .
( 236 )
Věta o duální bázi i-tou souřadnici vektoru x vůči bázi e j lze interpretovat jako hodnotu i-tého prvku duální báze (jakožto formy) v bodě x, tj. x=
∑
v i x i ⇒ x i = v′i ( x ) .
( 237 )
Důkaz
v′
( ∑ v x ) = ∑ v′v x = ∑ y x = ( ∑ y v′ )( ∑ v x ) = ( 238 ) = ( ∑ y v′ ) v = v′v. i
i
i
i
i
j
i
j
i
i
j
j
Věta o změně duální báze
Nechť C je matice přechodu od báze v1 , … , v n k bázi w1 , … , w n , tj. platí
w1 , … , w n = v1 , … , v n ⋅ C .
( 239 )
Potom lze vztah mezi duálními bázemi vyjádřit formulí 57
w′1 v′1 −1 ⋮ = C ⋮ . w′n v′n
( 240 )
Důkaz Definujme násobení w′w jako w′ ( w ) a pišme
w′1 v′1 −1 = = ⋮ w , … , w E C ⋮ ( ) n 1 ( v1 , … , v n ) C . w ′n v ′n
( 241 )
Poznámka: Kdybychom psali jednotlivé prvky duální báze vedle sebe, stejně jako v bázi původní, potom matice přechodu od báze v′1 , … , v′n k bázi w′1 , … , w′n je tzv. kontragradientní maticí C−1T k matici C, tj. platí
w′1 , … , w′n = v′1 , … , v′n ⋅ C−1T .
( 242 )
Věta o reprezentaci
∀v′ ∈ V ′∃! v ∈ V : ( ∀w ∈ V : v′ ( w ) = [ w, v ]) ,
( 243 )
kde vektor v tvoří tzv. reprezentující prvek. Důkaz Nechť
{
}
ker ( v′ ) = w v′ ( w ) = 0
( 244 )
58
je nulový prostor v′ . Nechť dále
v ⊥ ker ( v′ )
( 245 )
(mimo jiné, ker ⊥ ( v′ ) je jednorozměrný). Vektor v lze pak volit takový, aby
v′ ( w ) = [ w , v ] .
( 246 )
Forma
{w → [ w, v ]}
( 247 )
má proto stejný nulový prostor jako v′ . Navíc obě formy nabývají stejných hodnot i pro v, takže musí být totožné i na
V = L v, ker ( v′ ) .
( 248 )
Definice duálního zobrazení Mějme lineární zobrazení f : V → W . Potom zobrazení
f ′ : W ′ → V ′ {w ′ → w ′ f }
( 249 )
nazveme zobrazením duálním k f. Přitom platí
f ′ ( w′ ) ( v ) = [ w′; Av ] = [ w′A; v ] ,
( 250 )
kde A je matice zobrazení f vůči bázím v1 , … , v m resp. w1 , … , w n
59
Hlavní pozorování Píšeme-li souřadnice duálního vektoru do řádky, máme pro duální zobrazení tutéž matici vůči bázím w′1 , … , w′n resp. v′1 , … , v′m jako původní zobrazení, tj. platí
f ′ : w′ → w′A .
( 251 )
Pokud bychom ovšem psali souřadnice do sloupce i v duálním prostoru, bude mít zobrazení matici transponovanou:
f ′ : w′T → A T w′T .
( 252 )
Z toho důvodu také často hovoříme o duálním zobrazení jako o zobrazení transponovaném. Věta o reprezentaci komplexního čísla maticí Množina komplexních čísel je izomorfní množině matic dimenze 2 × 2 tvaru
a −b a + bi ֏ . b a
( 253 )
Důkaz Snadno ověříme, že se skutečně jedná o izomorfismus: nechť jsou dána komplexní čísla
z1 = a1 + b1i,
( 254 )
z2 = a2 + b2i. Potom
60
a b a b2 a1 + a2 z1 + z2 ֏ 1 1 + 2 = b a b a 1 1 2 2 b1 + b2 ֏ ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i = z1 + z2 ,
− ( b1 + b2 ) ֏ a1 + a2
a b a b2 a1a2 − b1b2 − ( a1b2 + b1a2 ) z1 ⋅ z2 ֏ 1 1 2 ֏ = b a b a b a b a a a b b + − 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ֏ ( a1a2 − b1b2 ) + ( a1b2 + b1a2 ) i = z1 ⋅ z2 . ( 255 ) Definice konjungované matice Nechť je dána komplexní matice C. Nahradíme-li všechny její prvky elementy k nim komplexně sdruženými, získáme tzv. konjungovanou matici k matici C. Poznámka Uvědomme si, že v případě komplexní matice neznamená transpozice pouhou záměnu řádkových a sloupcových indexů jejích elementů, ale současné utvoření komplexního konjugátu matice vzniklé touto záměnou indexů. Příklad:
x11 + y11i x + y i 21 21 x11 − y11 = x 12 −y 12
x11 T x12 + y12i y11 = x x22 + y22i 12 y 12 y11 x11 y12 x12
x21 −y 21 x22 −y 22
− y11 x11 − y12 x12
x21 y 21 x22 y 22
y21 x21 x11 − y11i = y22 x12 − y12i x22
61
T
− y21 x21 = − y22 x22 x21 − y21i . x22 − y22i
( 256 )
Definice antilineárního zobrazení Nechť V je Hilbertův prostor. Definujme zobrazení j : V → V ′ vztahem
j ( v ) ( u ) = [u, v ] .
( 257 )
Toto zobrazení, které, jak snadno ověříme, splňuje nerovnosti
j ( v1 + v 2 ) = j ( v1 ) + j ( v 2 ) ,
( 258 )
j( λ v ) = λ j( v ) , nazveme antilineárním zobrazením. Definice hermitovsky sdruženého zobrazení
Charles Hermite (1822 – 1901)
Hermitovsky sdruženým zobrazením nazveme zobrazení
f ∗ = j −1 f ′ j .
( 259 )
62
Věta o hermitovsky sdruženém zobrazení Každé Hermitovsky sdružené zobrazení f *splňuje rovnost
f ( v ) , w = v, f ∗ ( w )
( 260 )
Hermitovsky sdružené zobrazení má v téže bázi hermitovsky sdruženou matici
A∗ = A T .
( 261 )
Důkaz Nechť v1 , … , v n je ortogonální báze V a nechť f ∗ = j −1 f ′ j je hermistovsky sdružený operátor k f : V → V , kde j ( v ) je antilineární zobrazení. Nejprve dokážeme ekvivalenci
f ∗ = j −1 f ′ j ⇔ f ( v ) , w = v, f ∗ ( w ) .
( 262 )
Vskutku
v, f ∗ ( w ) = j ( f ∗ ( w ) ) ( v ) = f ′ ( j ( w ) ) ( v ) ,
( 263 )
právě když
jf ∗ = f j′ ,
( 264 )
neboli
f ∗ = j −1 f ′ j .
( 265 )
Dále platí
f ′ ( j ( w ) ) ( v ) = j ( w ) ( f ( v ) ) = f ( v ) , w . 63
( 266 )
Je-li
∑ f (v ) = ∑v b , f ( vi ) =
v j aij ,
∗
( 267 )
j j k
k
potom
∑ v , f ( v ) = ∑ b
aij v j , v k = aik [ v k , v k ] ,
f ( v i ) , v k =
j
∗
i
k
k
j
v i , v j = b [ v i , v i ] ,
( 268 )
i k
j
neboli,
bki = aik = a∗ik ,
( 269 )
Čímž je dokázána druhá část tvrzení. Věta o determinantu komplexní matice
ɶ označuje matici typu 2n × 2n , která vznikne z komplexní Nechť C matice C dimenze n × n náhradou jejích elementů submaticemi. Potom ɶ = det C 2 . det C
( 270 )
Důkaz Provedeme substituci C = exp L , a díky izomorfnosti můžeme psát
ɶ = exp Lɶ . C
( 271 )
Nyní už jen stačí dopočítat 64
( )
(
)
det exp Lɶ = exp tr Lɶ = exp ( tr L ) ⋅ exp tr L = det exp L ⋅ det exp L = = det exp L . 2
( 272 ) Pozorování: Stojí za povšimnutí, že platí rovnost
ɶ∗ =C ɶT. C
( 273 )
Věta o kanonickém izomorfismu hermitovských operátorů
f ∗∗ = f
( 274 )
Důkaz
f ( u ) , v = u, f ∗ ( v ) = f * ( v ) , u = v, f ∗∗ ( u ) = f ∗∗ ( u ) , v . ( 275 ) Věta o součinu hermitovských operátorů
( fg )
∗
= g∗ f ∗.
( 276 )
Důkaz
f ( g ( u ) ) , v = g ( u ) , f ∗ ( v ) = u, g∗ ( f ∗ ( v ) ) .
( 277 )
Při prvé úpravě nakládáme jako s normálním vektorem s g ( u ) a ve
druhé zase s f ∗ ( v ) . Definice
Operátor f nazveme
65
a) Hermitovským (samosdruženým), pokud f ∗ = f , b) Antihermitovským, pokud
f ∗ = − f ⇔ ( fi ) = ( fi )
c) Unitárním, pokud d) Normálním, pokud
f ∗ = f −1 ff ∗ = f ∗ f
∗
Prvé adjektivum přechází v reálném prostoru na „symetrický“, druhé na „antisymetrický“, třetí na „ortogonální“. Exponenciela antihermitovského operátoru Exponenciela antihermitovského operátoru je unitárním operátorem Důkaz
f ∗ = − f ⇒ ( exp f ) = exp ( − f ) = ( exp ( f ) ) . −1
∗
( 278 )
Hlavní věta duality Libovolnou matici B ∈ C ( m × n ) lze psát právě jedním způsobem ve tvaru B = S + W,
( 279 )
kde S je nějaká hermitovská a W nějaká antihermitovská matice. Důkaz Nejprve ukážeme existenci nejvýše jednoho takového vyjádření:
B∗ = ( S + W ) = S∗ + W ∗ = S − W, ∗
B = S + W,
( 280 )
B + B∗ = 2S ; B − B∗ = 2 W, odkud 66
S=
1 1 B + B∗ ) ; W = ( B − B∗ ) . ( 2 2
( 281 )
Nyní ukážeme existenci alespoň jednoho takového vyjádření pro B. K tomu stačí ověřit, že pro ( 281 ) platí
B∗ = S + W, S = S∗ ,
( 282 )
W = − W∗ : S+W=
1 1 B + B ∗ ) + ( B − B ∗ ) = B, ( 2 2
(
∗
)
∗ ∗ 1 1 1 1 S = ( B + B∗ ) = ( B + B∗ ) = B + ( B∗ ) = ( B∗ + B ) = 2 2 2 2 1 = ( B + B ∗ ) = S, 2 ∗
∗
∗ 1 1 1 1 W = ( B − B∗ ) = ( B − B∗ ) = ( B∗ − B ) = − ( B − B∗ ) = − W. 2 2 2 2 ( 283 ) ∗
Úvod do teorie seqilineárních a kvadratických forem Definice multilineárního zobrazení Zobrazení na kartézském součinu vektorových prostorů
F : V1 × V2 × ⋯ × Vn → ℂ
( 284 )
nazveme multilineárním (lineárním v každé proměnné), pokud platí a) F ( v1 + v1′ , v 2 , … , v n ) = F ( v1 , … , v n ) + F ( v1′ , v 2 , … , v n ) , b) F ( λ v1′ , v 2 , … , v n ) = λ F ( v1 , … , v n ) . ( 285 ) 67
Definice seqilineární formy V případě n = 2 hovoříme o tzv. bilineární formě. Tehdy je nejdůležitějším případem zobrazení duality:
{( v, w′) ֏ w′ ( v )} :V × V ′ → ℂ .
( 286 )
Z věty o reprezentaci víme, že jakékoliv bilineární zobrazení z V × V ′ lze přenést na V × V vztahem
G ( v, w ) = F ( v, j ( w ) ) .
( 287 )
Potom je ale zobrazení v druhé proměnné antilineární a nikoliv lineární, tj. platí F ( v1 , λ v 2 ) = λ F ( v1 , v 2 ) .
( 288 )
Takovéto zobrazení nazveme seqilineárním zobrazením S :V ×V → ℂ
( 289 )
a jemu příslušející formu seqilineární formou. Pozorování Nechť Sˆ = ( sij ) je libovolná matice typu n × n . Zobrazení
S :V n ×V n → ℂ
( 290 )
definované předpisem
S ( x, y ) =
n
n
∑∑ s x y , ij i
i =1
( 291 )
j
j =1
68
kde x = ( x1 , … , xn ) , y = ( y1 , … , yn ) ∈ V n je seqilineární formou na
V n ×V n . Nechť v1 , … , v n je nějaká báze prostoru V n . Pak existují takové vektory x, y ∈ V n , pro něž platí n
x=
∑v x , i
i
i =1
( 292 )
n
y=
∑v y . j
j
j =1
Tehdy je
S ( x, y ) =
∑S (v x ,v y ) = ∑x S (v ,v ) y i
i
j
i
j
i, j
i
j
j
,
( 293 )
i, j
což lze v maticovém tvaru vyjádřit jako
ˆ T = y T∗Sˆ T x T . S ( x, y ) = xSy
( 294 )
Všimněme si, že pro pevně zvolené vektory x = x 0 , y = y 0 jsou prostřednictvím předpisů x ֏ S ( x, y 0 ) ,
( 295 )
y ֏ S ( x0 , y ) ,
dány lineární formy na V n . Vidíme také, že hodnota seqilineární formy (obecně každé bilineární formy) je vlastně skalárním součinem
S ( x, y ) = f ( x ) , y
( 296 )
kde zobrazení f je dáno vztahem
69
f ( x ) = Sˆ T x .
( 297 )
Definice Diracova bracketu
Paul Adrien Maurice Dirac (1902 – 1984)
Z předchozího pozorování plyne rovnost
( Sˆ x ) y = y ( Sˆ x ) . T
T∗
T
T
( 298 )
Provedeme-li substituci
yˆ = y T ; xˆ = x T ; fˆ ( xˆ ) = Sˆ T x T ,
( 299 )
můžeme tuto rovnost zapsat jako
f ( x ) , y = yˆ ∗fˆ ( xˆ ) ≡ y f ( x ) .
( 300 )
Poslední označení pochází od samotného P. A. M. Diraca a nazývá se Diracův bracket (závorka). Obecně lze tedy skalární součin psát jako
[ x, y ] = yˆ ∗fˆ ( xˆ ) =
y x .
( 301 )
Všimněme si, obráceného pořadí vektorů (v bracketech komplexně sdružujeme vždy levý vektor). Vektory ψ nazýváme bra-vektory a
70
jejich souřadnice zapisujeme do řádku. Vektory ψ označujeme jako ket-vektory a jejich souřadnice, hermitovsky sdružené oproti odpovídajícím bra-vektorům, zapisujeme do sloupce. Bra-vektory jsou prvky duálního prostoru a existence skalárního součinu se ukazuje být v jistém smyslu ekvivalentem možnosti rozumného vzájemného přiřazení vektorů prostoru a jeho duálu. Pro Diracovské brackety platí následující čtyři rovnosti 1) ϕ ψ 1 + ψ 2 = ϕ ψ 1 + ϕ ψ 2 2) ϕ λψ = λ ϕ ψ 3) ψ ϕ = ϕ ψ 4) ψ ψ ≥ 0
( 302 ) ( 303 )
∗
( 304 ) ( 305 )
Mezi ket-vektory a bra-vektory existuje jednojednoznačné antilineární přiřazení
ψ 1,2
ψ 1,2 ,
λ1 ψ 1 + λ2 ψ 2
λ1∗ ψ 1 + λ2∗ ψ 2 .
( 306 )
Definice kvadratické formy Restrikci
K S = { v ֏ S ( v, v )} : V → ℂ
( 307 )
nazveme kvadratickou formou příslušející dané seqilineární formě S. ˆ = Sˆ nazýváme maticí kvadratické formy ( 307 ). Matici K S Kvadratickou formu nazveme a) pozitivně definitní, jestliže ∀v ∈ ℂ \ {0} : K ( v ) > 0
b) negativně definitní, jestliže ∀v ∈ ℂ \ {0} : K ( v ) < 0
71
c) pozitivně semidefinitní, jestliže ∀v ∈ ℂ \ {0} : K ( v ) ≥ 0 ∧ ∃v ∈ ℂ : K ( v ) = 0 d) negativně semidefinitní, jestliže ∀v ∈ ℂ \ {0} : K ( v ) ≥ 0 ∧ ∃v ∈ ℂ : K ( v ) = 0
e) indefinitní, jestliže ∃u, w ∈ ℂ : K ( u ) > 0 ∧ K ( w ) < 0 Rekonstrukční věta Výše uvedenou restrikcí se neztrácí žádná informace o původní seqilineární formě S. Důkaz Stačí nám dokázat, že platí rovnost S ( x, y ) =
1 K S ( x + y ) − K S ( x − y ) + iK S ( x + iy ) − iK S ( x − iy ) . 4 ( 308 )
Vskutku,
1 K S ( x + y ) − K S ( x − y ) + iK S ( x + iy ) − iK S ( x − iy ) = 4 1 2 2 2 2 = S ( x + y ) − S ( x − y ) + iS ( x + iy ) − iS ( x − iy ) = 4 1 = S ( x, x ) + 2 S ( x, y ) + S ( y , y ) − S ( x, x ) + 2 S ( x, y ) − S ( y , y ) + 4 + iS ( x, x ) − 2 S ( x, y ) − iS ( y , y ) − iS ( x, x ) + 2 S ( x, y ) + iS ( y , y ) = =
1 ⋅ 4 S ( x, y ) = S ( x, y ) . 4 ( 309 )
72
Matice přechodu seqilineární formy
ˆ resp. A ˆ ′ je maticí formy S vzhledem k bázím v , … , v , Nechť A 1 n ˆ: resp. v′ , … , v′ . Nechť maticí přechodu od v k v′ je matice C 1
i
n
( v1 , … , v n ) = ( v1′ , … , v′n ) ⋅ Cˆ .
i
( 310 )
Potom platí
ˆ′=C ˆ T AC ˆˆ A
( 311 )
Důkaz
ˆ = a lze znázornit jako maticový součin Matici A ij v1′ ˆ = ⋮ ( v ⋯ v ) , A n 1 v′ n
( 312 )
kde součinem prvků v i v j rozumíme S ( v i v j ) = aij . Pišme vztah mezi bázemi rovněž transponovaně:
v1′ v1 ⋮ =C ˆT ⋮ v′ v n n
( 313 )
a pronásobme sloupce a řádky:
v1′ v1 ⋮ v′ ⋯ v′ = C ˆ T ⋮ ( v ⋯ v )C ˆ. ( ) 1 n n 1 v′ v n n
73
( 314 )
Tedy vskutku platí ( 311 ), kde pruh vyjadřuje antilinearitu v druhém činiteli. Věta o reprezentaci seqilineární formy Pro hermitovskou kvadratickou formu K S na Hilbertově prostoru H existuje jednoznačně určený hermitovský operátor f : V → V takový, že
S ( v, w ) = f ( v ) , w = v, f ( w ) .
( 315 )
Důkaz Nechť S je libovolná seqilineární forma. Reprezentujme lineární formu
{v ֏ S ( v, w )} : V → ℂ
( 316 )
vektorem
w 0 : S ( v, w ) = [ v, w 0 ] ∀v ∈ V .
( 317 )
Potom lineární operátor
f ( w ) = w0
( 318 )
splňuje hledanou rovnost ( 315 ). Dokázali jsme tedy obecnější tvrzení a hermicitu K S resp. S potřebujeme jen proto, aby bylo
v, f ( w ) = S ( v, w ) = S ( w, v ) = w, f ( w ) = f ( v ) , w .
( 319 )
Definice signatury kvadratické formy Nechť má kvadratická forma K ve vhodné bázi diagonální matici, kde n + je počet jejích kladných diagonálních prvků, n − počet jejích 74
záporných diagonálních prvků a n 0 počet nulových prvků na hlavní diagonále. Vektor
s ≡ ( n+ , n − , n0 )
( 320 )
nazýváme signaturou formy K. Snadno nahlédneme, že pokud platí: a) b) c) d) e)
s1 > 0 ∧ s1 ⋅ s2 = s3 = 0 , je forma pozitivně definitní s2 > 0 ∧ s1 ⋅ s2 = s3 = 0 , je forma negativně definitní s2 = 0 , je forma pozitivně semidefinitní s1 = 0 , je forma negativně semidefinitní s1 ⋅ s2 > 0 , je forma indefinitní.
Věta o setrvačnosti Pro reálné symetrické formy nezávisí signatura s na volbě báze. Důkaz Mějme dvě báze β = v1 , … , v n a βɶ = vɶ 1 , … , vɶ n , v nichž má daná ɶ = dɶ i . forma f diagonální tvar daný maticí D = {d i } a D i
{ } i
Nechť jsou prky obou bází uspořádány tak, aby platilo
dii ≥ dii++11 , dɶii ≥ dɶii++11.
( 321 )
Nechť i0 je poslední index, pro který je dii > 0 . Odvodíme spor s předpokladem, že dɶii00 ≤ 0 . Vskutku, kdyby dɶ j ≤ 0 počínaje od jistého indexu j < i , mohli j
0
0
bychom provést následující úvahu: podprostory L v1 , … , v i0 a L vɶ j0 , … , vɶ n musí mít z důvodu dimenze netriviální průnik. Nechť je jím např. vektor 75
i0
w=
n
∑v λ = ∑v µ i
i
j
i =1
j
≠ 0.
( 322 )
j = j0
Pak ale musí být
j (w) =
∑
( λ i ) dii > 0 ∧ j ( w ) = 2
i
∑
j 2 ɶj µ ( ) dj ≤ 0,
( 323 )
j
což je dozajista paradox. Jacobi – Sylvestrova věta
ˆ matici formy K vůči nějaké zvolené bázi Označme symbolem A e1 , … , e n : aij = K ( ei , e j ) .
( 324 )
Chceme-li tuto bázi ortogonalizovat vůči K, tzn. Nalézt novou bázi
fk =
∑e c , i i k
( 325 )
i≤k
tak, aby bylo
∀j < k : K ( f k , f j ) ,
( 326 )
stačí volit
ˆ det A ( k −1) , ckk = ˆ det A
( 327 )
(k )
ˆ ≠ 0 je tzv. k-tý hlavní minor matice A ˆ , tj. kde ∀k = 1, … , n : det A (k ) 76
a11 ⋯ ak1 det ⋮ ⋱ ⋮ . a ⋯ a kk 1k
( 328 )
Carl Gustav Jacob Jacobi (1804 – 1851)
James Joseph Sylvester (1814 – 1897)
Důkaz Podmínku ( 326 ) lze nahradit podmínkou
∀j < k : K ( f k , e j ) .
( 329 )
Kalibraci bude vhodné volit jako
K ( fk , ek ) = 1 .
( 330 )
Pak bude
ckk = K ( f k , f k ) .
( 331 )
Nalezení ckj pro j < k představuje řešení soustavy rovnic typu
77
K ( ei , e j ) ckj = 0,
∑ ∀i = k : ∑ K ( e , e ) c ∀i < k :
j
i
j
j k
( 332 )
= 1,
j
tedy soustavy rovnic s rozšířenou maticí
a11 ⋯ ak1 ⋮ ⋱ ⋮ a ⋯ a kk 1k
0 ⋮ . 1
( 333 )
Z Cramerovy věty pak plyne dokazované tvrzení. Důsledek Jacobi – Sylvestrovy věty Nechť má matice kvadratické formy A všechny hlavní minory nenulové. Pak je signatura formy
s = ( n − n − , n − ,0 ) ,
( 334 )
kde n − je počet změn znamének v posloupnosti
det A ≡ det A (1) ,det A ( 2) , … , det A ( n ) .
( 335 )
Specielně, A je pozitivně definitní právě tehdy, jsou-li všechny hlavní minory kladné. Spektrální a polární rozklad operátoru První věta spektrálního rozkladu Dva komutující operátory f , g : V → V mají alespoň jeden společný vlastní vektor.
78
Důkaz Označme kerλ ( f ) nulový prostor ( f − λ E ) odpovídající nějakému prvku spektra λ :
{
}
kerλ ( f ) = v f ( v ) = λ v .
( 336 )
Jelikož platí
v = kerλ ( f ) ⇒ f ( v ) = λ v ⇒ g ( f ( v ) ) = λ g ( v ) ⇒ f ( g ( v ) ) = λ g ( v ) , ( 337 ) je g ( kerλ ( f ) ) ⊆ kerλ ( f ) .
( 338 )
Pak ale existuje nějaký vlastní vektor restrikce operátoru na kerλ ( f )
g : kerλ ( f ) → kerλ ( f ) ,
( 339 )
který je právě oním hledaným netriviálním společným vlastním vektorem obou operátorů. Důsledek první věty Je-li v společným vlastním vektorem operátorů f a f ∗ , pak příslušné vlastní hodnoty
f ( v ) = λ v,
( 340 )
f ∗ ( v ) = λ ′v , splňují vztah
λ′ = λ .
( 341 )
79
Důkaz
λ ′[ v, v ] = v, f ∗ ( v ) = f ( v ) , v = [ λ v, v ] = λ [ v, v ] .
( 342 )
Druhá věta spektrálního rozkladu Nechť f ( v ) = λ v . Označme symbolem W ortogonální doplněk { v} . Potom platí ⊥
f ∗ (W ) ⊆ W .
( 343 )
Důkaz
∀w ∈ W : v, f ∗ ( w ) = f ( v ) , w = 0 .
( 344 )
Třetí věta spektrálního rozkladu Je-li f : V → V normální operátor, pak existuje ortogonální báze prostoru V tvořená vlastními vektory operátoru f. Důkaz Je-li f normální, pak spolu operátory f , f ∗ navzájem komutují. Položíme-li f ∗ ≡ g , plyne důkaz z první věty spektrálního rozkladu. Je-li v společným vlastním vektorem f a f*, potom jsou operátory
f , f ∗ :W → W
( 345 )
opět vzájemně hermitovsky sdružené a samozřejmě stále komutují. Lze tudíž nalézt další vlastní vektor společný f a f*, tentokrát v prostoru W. V případě konečné dimenze V, takto nalezneme konečným počtem kroků celou bázi, čímž je důkaz hotov.
80
Schurova věta Každý operátor lze ve vhodné ortonormální bázi vyjádřit trojúhelníkovou maticí. Tato trojúhelníková matice je navíc pro případ normálního operátoru diagonální.
Issai Schur (1875 – 1941)
Důkaz Důkaz plyne z páté věty Jordanovy, pokud bázi odpovídající rostoucímu systému invariantních podprostorů bereme ortonormální. Důsledek Schurovy věty Pro každou normální matici A existuje komplexní diagonální matice D a unitární matice U, pro které platí
A = UDU −1 ≡ UDU∗ .
( 346 )
Je-li navíc matice A unitární resp. hermitovská, resp. antihermitovská, jsou na diagonále D komplexní jednotky, resp. reálná čísla, resp. ryze imaginární čísla. Rozklad operátoru do projektorů Pro každý normální operátor f : V → V existují ortogonální projekce pi : V → V takové, že 81
pi p j = δ ij pi ,
( 347 )
kde pi = ψ i ψ i ,
∑
( 348 )
pi = E.
i
Navíc
f =
∑λ p = ∑ ψ i
i
i
i
λi ψ i ,
( 349 )
i
kde λi jsou elementy spektra f.
Důkaz Vlastní vektory ψ i tvoří ortonormální bázi a tedy
ψ i ψ j = δ ij .
( 350 )
Odtud plyne, že
pi p j = ψ i ψ i ψ j ψ j = δ ij ψ i ψ i = δ ij pi .
( 351 )
Důsledek Rozklad do projektorů
f =
∑
λ i pi
( 352 )
i
82
umožňuje definovat operátor F ( f ) pro jakoukoliv funkci F ( λ ) definovanou na spektru předpisem
F( f )=
∑ F (λ ) p . i
( 353 )
i
i
Definice neurčitosti Definujme střední hodnotu veličiny F ve stavu ψ normovaném jako
ψ ψ =1
( 354 )
coby F
ψ
ˆ , ψ = ψ Fˆ ψ . = Fψ
( 355 )
Neurčitostí veličiny F nazýváme
∆F =
(F −
F
)
2
.
( 356 )
Pozorování: Všimněme si, že ∆F = 0 právě když ψ je vlastním vektorem operátoru Fˆ . Heisenbergův princip neurčitosti Pro dvě hermitovské veličiny F, G platí
∆F ∆G ≥
1 ˆ ˆ F; G . 2
( 357 )
83
Důkaz Zavedeme-li operátory
Fˆ ′ = Fˆ − F ,
( 358 )
ˆ − G , G′ = G snadno nahlédneme, že platí
ˆ ′ = Fˆ ; G ˆ , Fˆ ′; G
( 359 )
díky bilinearitě komutátoru a faktu, že čísla F , G komutují se vším. Z Cauchyovy nerovnosti ihned plyne
ˆ ′ψ ≥ Im Fˆ ′ψ , G ˆ ′ψ = 1 Fˆ ′ψ , G ˆ ′ψ − G ˆ ′ ˆ′ ∆F ∆G ≥ Fˆ ′ψ , G 2 ψ ,F ψ = 1 ˆ ′−G ˆ ′Fˆ ′ ψ ,ψ = 1 Fˆ ; G ˆ ψ ,ψ , = Fˆ ′G 2 2 ( 360 ) kde Im značíme imaginární část, v předposlední úpravě jsme využili ˆ a poslední úprava vyplývá z rovnosti komutátorů hermicitu Fˆ a G ( 359 ).
(
)
Definice cirkulantu Nechť a0 , a1 , … , an je nějaká číselná posloupnost. Matici
a0 a C= n ⋮ a1
a1 ⋯ an−1 a0 ⋯ an−2 ⋮ ⋱ ⋮ a2 ⋯
an
an an−1 ⋮ a0
( 361 )
nazýváme cirkulantem.
84
Harrova věta Nechť V je vektorový prostor funkcí na grupě 0,1) se skalárním součinem, definovaným jako 1
∫ f ( x ) g ( x ) dx ,
( 362 )
0
generovaný všemi posuny o hodnoty i ; i = 0,1, … , n − 1 n
( 363 )
nějaké funkce ψ . Nechť dále
dimV = n .
( 364 )
Pak existuje funkce φ ∈ V taková, že její posuny o hodnoty ( 363 ) tvoří ortogonální bázi V.
Alfréd Haar (1885 – 1933)
85
Důkaz Napišme si matici A vzájemných skalárních součinů jednotlivých posunů funkce ψ . Naším úkolem bude diagonalizovat kvadratickou formu s uvedenou maticí v nové bázi, invariantní vůči všem posunům funkce ψ o hodnoty
i ; i = 1, … , n . n
( 365 )
Snadno se lze přesvědčit, že matice A je pozitivně definitní a symetrický cirkulant. Zbývá tedy nalézt jiný cirkulant B takový, aby platilo
B∗ AB = E .
( 366 )
Požadujeme-li dokonce B hermitovskou, pak ji určíme z rovnosti
B = A −1 2 ,
( 367 )
což je problém, který řeší třetí věta spektrálního rozkladu. Věta o polárním rozkladu operátoru Regulární komplexní matici A lze zapsat v kterémkoliv z následujících tří tvarů:
A = CV = UB = U′DV′ ,
( 368 )
kde matice U, U′, V, V′ jsou unitární (analogie komplexních jednotek eiψ ), matice B,C jsou pozitivně definitní a hermitovské, matice D je pozitivní, diagonální a hermitovská, tzn. reálná. Dále platí
A∗ A = B 2 = V′∗ D2 V′, AA∗ = C2 = U′D2 U′∗ ,
( 369 )
U′ = UV′∗ . 86
Důkaz Pro důkaz stačí prodiskutovat spektrální rozklad matice A∗ A , která je nutně hermitovská a pozitivně definitní. Pišme tedy
A∗ A = V′∗FV′ ,
( 370 )
kde F je diagonální reálná pozitivní matice určená jednoznačně až na permutaci vlastních hodnot, která je Jordanovým tvarem matice A∗ A . Položme proto
F = D2 .
( 371 )
Zřejmě je pak matice
B = V′∗ DV′
( 372 )
pozitivně definitní, hermitovská a
B 2 = A∗ A .
( 373 )
Položíme ještě
U = AB −1 .
( 374 )
Matice U je unitární, neboť
BU∗ UB = A∗ A = B 2 ⇒ U∗ U = E .
( 375 )
Pro U′ = UV′∗ také platí
A = UB = UV′∗ DV′ = U′DV′ .
( 376 )
87
Golden – Thompsonova nerovnost Pro libovolné dva hermitovské operátory A, B, platí nerovnost
Tr exp( A + B) ≤ Tr exp A exp B .
( 377 )
Colin J. Thompson
Sidney Golden
Důkaz Rozepíšeme levou i pravou stranu jako
Tr ( A + B )
∑ n! TrA B ∑ k !l ! . k
n
, ( 378 )
l
Vidíme, že stačí dokázat nerovnosti typu
Tr ( A′B′A′′B′′…) ≤ Tr ( A′A′′… B′B′′…) ,
( 379 )
kde čárkami rozlišujeme nějaké mocniny matic. Předpokládejme, že A a B jsou hermitovské matice a B je již dokonce diagonální. To smíme dle třetí věty spektrálního rozkladu a díky cykličnosti stopy.
88
Rozepíšeme-li nyní stopy zmíněných maticových součinů v ( 379 ), pak ze známé nerovnosti mezi aritmetickým a geometrickým průměrem
n1 n n2 n n2 n x + y + z ; n = n1 + n2 + n3 , n n n
x n1 y n2 z n3 ≤
( 380 )
plyne nerovnost ( 379 ). Napišme si to podrobněji např. pro
A = A′ = A′′ = ⋯,
( 381 )
B′ = Dn1 ; B′′ = Dn2 ; B′′′ = Dn3 . Dostaneme
∑
aij ( d j ) a kj ( d k ) 2 alk ( dl ) 3 ≤ n1
n
n
i , j ,k
n1 n n TrADn A 2 + 2 TrA 2 Dn A + 2 TrA 3 Dn = n n n
= TrA 3Dn . ( 382 ) Základy tenzorové algebry Definice tenzorového prostoru Tenzorovým prostorem nazýváme tzv. tenzorový součin V ⊗ W vektorových prostorů V, W, tj. prostor všech bilineárních forem na kartézském součinu V ′ × W ′ duálních prostorů. Definice tenzoru Prvky prostoru V ⊗ W nazýváme tenzory a zapisujeme je ve tvaru T=
∑( v ⊗ w )t i
ij
( 383 )
j
i, j
89
kde v i ⊗ w j je nové označení pro prvek ( v i , w j ) kartézského součinu bází prostorů V a W, nazývaný dyadickým součinem vektorů v i , w j , který je prvkem báze V ⊗ W . Pozorování Nechť
∑v λ , w ∈∑w µ . v∈
i
i
i
( 384 )
j
j
j
potom
T ≡ T ij ≡ v i w j ≡ v ⊗ w =
∑( v
i
⊗ w j )λ i µ j .
( 385 )
i, j
Asociativita tenzorového součinu Tenzorový součin více než dvou prostorů (např. U, V, W) lze zkonstruovat jako součin (U ⊗ V ) ⊗ W , nebo U ⊗ (V ⊗ W ) . Obě dvě definice vedou k izomorfním prostorům, o kteréžto vlastnosti hovoříme jeko o asociativitě tenzorového součinu. Prvky tenzorového součinu U ⊗ V ⊗ ⋯ ⊗ Z zapisujeme jako T ≡ T ij…n ≡ u i v j ⋯ z n ≡ u ⊗ v ⊗ ⋯ ⊗ z =
∑ (u ⊗ v i
j
⊗ ⋯ ⊗ z n ) ⋅ t ij…n .
i, j , … ,z
( 386 ) Tenzor lze tedy chápat jako tabulku čísel indexovanou několika indexy, avšak dávající informaci pouze ve zvolených bázích v prostorech U, V, ... , Z. Se změnou báze se mění i tabulka složek tenzoru.
90
Komutativita a distributivita tenzorového součinu Definice jest tedy taková, že
dim (V ⊗ W ) = dimV ⋅ dimW ,
( 387 )
zatímco
dim (V × W ) = dimV + dimW = dim (V ⊕ W ) .
( 388 )
Prostor V ⊗ W je izomorfní prostoru W ⊗ V , o kteréžto skutečnosti hovoříme, jako o komutativitě tenzorového součinu. Můžeme rovněž konstruovat izomorfismy mezi prostory
U ⊗ (V ⊕ W ) = (U ⊗ V ) ⊕ (U ⊗ W ) ,
( 389 )
vyjadřující distributivitu tenzorového součinu. První věta tenzorové algebry Každá bilineární forma B na V ′ × W ′ je určena jednoznačně čísly
bij = B ( v′i , w′ j ) ,
( 390 )
kde { v′i } , resp. {w′i } označuje duální bázi. Důkaz
B
( ∑α v′ , ∑ β w ′ ) = ∑α β B ( v′ , w ′ ) . i
i
j
j
j
i
j
91
j
( 391 )
Věta o transformaci tenzoru Vyjádříme-li tenzor T v nových bázích {uɶ i } ,{ vɶ j } , … , {zɶ n } prostorů U, V, ... , Z a matice přechodu od nevlnkovaných bází k vlnkovaným ˆ ,V ˆ ,… ,Z ˆ , tj. označíme U
( uɶ 1 , … , uɶ n ) = ( u1 , … , u n ) Uˆ , ( vɶ 1 , … , vɶ n ) = ( v1 , … , v n ) Vˆ ,
( 392 )
⋮
( zɶ 1 , … , zɶ n ) = ( z1 , … , z n ) Zˆ . potom složky tenzoru T zapsaného v nových bázích
∑ (uɶ ⊗ vɶ
T=
i
j
⊗ ⋯ ⊗ zɶ n ) ⋅ tɶ ij…n
( 393 )
i, j , … ,z
lze v původních bázích vyjádřit jako
∑ (u v ⋯ z ) ⋅ tɶ
t ij…n =
i iɶ
j ɶj
n nɶ
ijɶɶ…nɶ
.
( 394 )
iɶ , ɶj , … , zɶ
Důkaz
Stačí dosadit
∑ = ∑v v ,
uɶ iɶ =
ui uiɶi ,
i
vɶ ɶj
j
j ɶj
( 395 )
j
⋮ zɶ nɶ =
∑z z , n n nɶ
n
92
a tenzorově roznásobit s užitím distributivního zákona T=
∑ (u
∑
i
(
)
ɶɶ ⊗ v j ⊗ ⋯ ⊗ z n ) uiɶi v ɶjj ⋯ znnɶ tɶ ij…nɶ .
iɶ , ɶj , … , zɶ i , j , … , z
( 396 )
Kovariance a kontravariance Tenzor tvaru
T=
∑
m ′k ′l ′n aklij… …n ei ⊗ e j ⊗ ⋯ ⊗ e m ⊗ e ⊗ e ⊗ ⋯ ⊗ e ∈
∈ E ⊗ E ⊗ ⋯ ⊗ E′ ⊗ E′ ⊗ ⋯ .
( 397 )
nazýváme m-krát kontravariantním a n-krát kovariantním tenzorem, nebo krátce tenzorem typu (n, m). Změňme nyní bázi {ei } a odpovídajícím způsobem i duální bázi {e′i } .
ˆ nechť je maticí přechodu od báze e , … , e k nové bázi Matice C 1 n f1 , … , f n , tj. fi = e j cij , f ′ = (c iɶ
)
ɶ −1 i j
( 398 )
e′ = e′ d , j
j
iɶ j
kde ( c −1 ) jsou elementy inverzní matice a d ij elementy i
j
kontragradientní matice
( )
T
ˆ −1 . ˆ = C D
( 399 )
Potom se složky tenzoru s oběma druhy indexů transformují podle schématu m ′k ′l ′n = T = aklij… …n ei ⊗ e j ⊗ ⋯ ⊗ e m ⊗ e ⊗ e ⊗ ⋯ ⊗ e ijɶɶ…mɶ ɶɶ…nɶ kl
= aɶ
fiɶ ⊗ f ɶj ⊗ ⋯ ⊗ f mɶ ⊗ f ′ ⊗ f ′ ⊗ ⋯ ⊗ f ′ , kɶ
lɶ
93
nɶ
( 400 )
kde m i j m ij…mɶ ɶ ɶɶ…nɶ ( c −1 ) ( c −1 ) ⋯( c −1 ) . aklij… …n = ciɶ c ɶj ⋯ cmɶ akl ɶɶ
kɶ
lɶ
nɶ
k
l
n
( 401 )
Symetrizace a antisymetrizace (Anti)symetrizací tenzoru se souřadnicemi cij… p nazveme tenzor
( anti ) symi , j , … ,m cij…m =
1 n!
∑ (( −1) ) c Sp
Pi ( i ), Pi ( j ), … , Pi ( m )
,
( 402 )
Pi
kde sčítáme přes všechny permutace Pi množiny písmen pro indexy
{i, j, … , p} a operátor parity ( −1)
Sp
píšeme jen pro případ
antisymetrizace. Indexy, podle nichž (aniti)symetrizujeme, budeme nadále odlišovat závorkami, dle schématu
sym kl t ijklmn ≡ t ij( kl )mn ,
( 403 )
antisym kl t ijklmn ≡ t ij kl mn .
1 je volen tak, aby dvojí provedení (anti)symetrizave dalo n! totéž co provedení jediné. (Anti)symetrizací totiž získáme (anti)symetrický tenzor, to jest takový, že pro každou permutaci Pi platí
Faktor
(
cij…m = ( −1)
Sp
)c
Pi ( i ), Pi ( j ), … , Pi ( m )
.
( 404 )
Multilineární formu f nazveme (anti)symetrickou, pokud pro všechny n-tice vektorů z E platí vztah
(
f ( v1 , … , v n ) = ( −1)
Sp
) f (v
Pi (1)
)
, … , v Pi ( n ) . 94
( 405 )
Symetrizovaný tenzorový součin Symetrizovaným tenzorovým součinem E ⊙ E rozumíme množinu všech kombinací symetrizovaných tenzorů typu v ⊙ w . Abstraktně lze E ⊙ E definovat jako faktorizaci prostoru E ⊗ E podle podprostoru generovaného všemi prvky tvaru v ⊗ w − w ⊗ v . Antisymetrizovaný tenzorový součin Antisymetrizovaným (Grassmannovým) tenzorovým součinem E ○ E rozumíme množinu všech kombinací antisymetrizovaných tenzorů typu v ○ w .
Hermann Günther Grassmann (1809 – 1877)
Abstraktně tento prostor definujeme jako faktorizaci prostoru V ○ V podle jeho podprostoru generovaného prvky e⊗f +f ⊗e,
( 406 )
čímž ve faktorizaci ztotožňujeme tenzory e ⊗ f a f ⊗ e . Obecněji, prostor ○ m ( E ) ≡ E ○1⋯○ m E
( 407 )
definujeme jako faktorizaci E ⊗ ⋯ ⊗ E podle prostoru Z, generovaného tenzory typu
95
e1 ⊗ e 2 ⊗ ⋯ ⊗ e m − ( −1) p ⊗ e Pi (1) ⊗ e Pi ( 2) ⊗ ⋯ ⊗ e Pi ( m ) , S
( 408 )
kde Pi je permutace na indexové množině {1,…, m} . Příslušnou třídu
e1 ⊗ ⋯ ⊗ e m + Z
( 409 )
označujeme symbolem
e1 ○ ⋯ ○ e m .
( 410 )
Definice rozložitelného tenzoru Tenzor T ∈ V ⊗ W nazveme rozložitelným, pokud je tvaru v ⊗ w . Vektory v, w jsou určeny až na to, že lze jeden z nich vydělit a druhý vynásobit nějakým číslem λ jednoznačně. Specielně, tenzor T ∈ ○ k ( E ) je rozložitelným, existují-li vektory
v1 , … , v k takové, že T = v1 ○ … ○ v k . Defice symetrické algebry prostoru
Formální direktní součet (kartézský součin prostorů se sčítáním definovaným po komponentách)
R ⊕ E ⊕ ( E ⊙ E ) ⊕ ( E ⊙ E ⊙ E ) ⊕⋯
( 411 )
nazýváme symetrickou algebrou prostoru E. Symetrická algebra je vždy nekonečněrozměrným prostorem. Definice antisymetrické algebry prostoru
Antisymetrickou algebrou prostoru E rozumíme direktní součet ○( E ) = R ⊕ E ⊕ ( E ○ E ) ⊕ ⋯ ⊕ ○ n ( E ) .
96
( 412 )
Pro konečněrozměrný prostor E n je e1 ○…○e n bází prostoru ○ k ( E ) , tj. dim ○( E
n
n
n
) = ∑ dim ○ ( E ) = ∑ k
k =0
n
k =0
n k =
n
∑ k =0
n! = 2n ( n − k ) !k ! ( 413 )
Exponenciela vektorového prostoru Direktní součet exp ( E ) = R ⊕
1 1 1 E ⊕ ( E ⊙ E ) ⊕ ( E ⊙ E ⊙ E ) ⊕⋯ 1! 2! 3!
( 414 )
nazveme exponencielou vektorového prostoru E. Prvky této algebry lze interpretovat jako formální mocninné řady nad E.
97
