Základy aritmetiky a algebry I 1. Úvod. Co je matematika, aritmetika, algebra. Jazyk matematiky, definice, věty, důkazy. Struktura definic, vět a důkazů. 2. Množiny. Množinová symbolika, množinové operace, Vennovy diagramy. Potenční množina, svaz podmnožin dané množiny. 3. Relace. Relace mezi množinami, relace na množině. Ekvivalence, disjunktní rozklad množiny, faktorová množina. Uspořádání, úplné uspořádání. 4. Zobrazení. Speciální typy zobrazení: injekce, surjekce, bijekce. Zobrazení jako relace, graf zobrazení. Rozklad zobrazení na surjekci, bijekci a injekci; disjunktní rozklad výchozí množiny, jádro a obraz. Transformace a permutace množiny. Binární operace. Mohutnost množin, konečné a nekonečné množiny, spočetné a nespočetné množiny. Mohutnost číselných oborů (přirozená čísla, celá čísla, racionální čísla, reálná čísla, komplexní čísla). 5. Přirozená čísla. Peanovy axiomy, matematická indukce, dobré uspořádání, důkazy indukcí. Součty mocnin přirozených čísel. 6. Dělitelnost přirozených čísel. Dělitel a násobek. Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek. Nesoudělná čísla. Přirozená čísla jako svaz. Prvočísla a čísla složená. Rozklady přirozených čísel na součin prvočísel. Eukleidova věta o nekonečném počtu prvočísel. Fermatova čísla a prvočísla. 7. Dělení se zbytkem. Eukleidův algoritmus, Bézoutova věta, Eukleidovo lemma. Základní věta aritmetiky. Vyjádření největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku dvou čísel pomocí rozkladu na mocniny prvočísel. Zápis čísel v jiných číselných soustavách. 8. Prvočísla. Eratosthenovo síto. Matijasevičova parabola. Dokonalá čísla. Mersennova čísla a prvočísla. Vztah Mersennových prvočísel a sudých dokonalých čísel: Eukleidova věta, Eulerova věta. 9. Konstrukce. Konstrukce oboru (oboru integrity) celých čísel, konstrukce oboru (pole) racionálních čísel. Abstraktní podstata těchto konstrukcí. 10. Kongruence. Kongruence modulo n, zbytková reprezentace čísel. Malá Fermatova věta. Základní kriteria dělitelnosti. 11. Řetězové zlomky. Vyjádření racionálních čísel řetězovými zlomky. Konvergenty. 12. Grupy. Definice grupy, podgrupy, svaz podgrup. Grupy symetrií pravidelných mnohoúhelníků. Cyklické grupy. Homomorfismy, speciální homomorfismy, věta o homomorfismu. 13. Permutace. Permutace konečné množiny. Znázornění permutace grafem. Skládání permutací, jeho vlastnosti. Symetrická grupa stupně n. Inverze permutace, znaménko permutace, sudé a liché permutace, znaménko složené permutace. Alternující grupa stupně n. Rozklad na cykly a transpozice. Trojcykly. 14. Algebraické struktury. Okruhy, obory integrity, tělesa, pole. Podstruktury, ideály. Homomorfismy, speciální homomorfismy, věta o homomorfismu. Gaussova celá čísla, „podivné“ obory integrity.
Základy aritmetiky a algebry II 1. Algebraické struktury s jednou a dvěma operacemi. Grupy, podgrupy, cyklické grupy. Rozklad na levé a pravé třídy, Lagrangeova věta, normální podgrupa, faktorová grupa. Věta o homomorfismu pro grupy. Okruh, podokruh, ideál, faktorový okruh, věta o homomorfismu pro okruhy. Obory integrity, tělesa, pole. Podílové těleso. Rozšíření těles. 2. Dělitelnost v oborech integrity. Teoretická nadstavba dělitelnosti v oboru integrity celých čísel. 3. Iracionalita. Odmocňování v oboru racionálních čísel. Geometrické aspekty iracionality, nesouměřitelnost úseček. Iracionalita odmocnin přirozených čísel, která nejsou čtverci. 4. Reálná čísla. Základní myšlenky několika způsobů exaktního vybudování oboru reálných čísel (Dedekindovy řezy, cauchyovské posloupnosti, desetinné rozvoje). Řetězové zlomky, konvergenty, aproximace reálných čísel posloupnostmi racionálních čísel. Uspořádání reálných čísel, uspořádané těleso (pole). Číselná osa. Algebraická a transcendentní čísla. Mohutnost množiny algebraických čísel. 5. Komplexní čísla. Algebraický a goniometrický tvar. Konstrukce tělesa komplexních čísel. Geometrické aspekty operací s komplexními čísly. Důkazy některých goniometrických vzorců. Těleso komplexních čísel je algebraicky uzavřené, nelze je však uspořádat. 6. Další číselné obory. Kvaterniony, oktávy, duální a dvojná čísla. Aritmetizace bodů roviny, neúspěšné snahy o aritmetizaci bodů prostoru. 7. Aritmetický, geometrický a harmonický průměr. Nerovnosti mezi nimi, jejich geometrické znázornění. 8. Lineární rovnice a nerovnice. Metody jejich řešení. Lineární funkce. Geometrický význam lineárních rovnic a nerovnic. 9. Kvadratické rovnice a nerovnice. Viètovy vzorce. Metody jejich řešení. Kvadratická funkce. Geometrické znázornění. 10. Kubické rovnice. Viètovy vzorce. Cardanovy vzorce, casus irreducibilis. 11. Algebraické rovnice. Viètovy vzorce. Základní věta algebry. Řešení algebraických rovnic v radikálech. Řešitelnost algebraických rovnic. Stručná informace o Galoisově teorii. Speciální typy algebraických rovnic. 12. Diofantické rovnice a jejich soustavy. Řešení rovnic v jiných číselných oborech. Diofantická rovnice typu ax + by = ± 1. 13. Aritmetické a geometrické posloupnosti. Vzorce pro součet prvních n členů, jejich zdůvodnění. Geometrická znázornění. Konvergentní a divergentní řady. Geometrická řada, harmonická řada.
1
ZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I (Cvičení) 1. Úvod, jazyk matematiky V učebnici Lineární algebra pročítejte definice a věty, uvědomujte si jejich strukturu, i když prozatím „neznáteÿ a „nechápeteÿ (a ani prozatím chápat nemůžete) jejich matematický obsah. Uvědomujte si zásadní rozdíl mezi fomulací definice a věty. 2. Množiny a. Nechť A = {u, v, w, x}, B = {w, x, y}. Utvořte množiny A ∪ B, A ∩ B, A \ B, A × B. b. Nechť A je množina všech sudých čísel a B množina všech pětinásobků přirozených čísel. Popište množiny A ∪ B, A ∩ B, A \ B, A × B. c. Uvědomte si, jak vypadají množiny R × R, R × R × R, Z × Z, Z × Q × {1, 2}, Z × R, Z × {1, 2}, {a, c, 4} × {1, 2, a, x}. d. Utvořte potenční množinu množiny M = {1, 2, 3, 4}. Kolik má prvků? Nakreslete svaz podmnožin množiny M (svazovými operacemi jsou průnik a sjednocení). Vyznačte podsvaz tohoto svazu tvořený všemi podmnožinami množiny M , které obsahují číslo 2. e. Utvořte potenční množinu množiny M = {a, b, c, d, e}. Kolik má prvků? Nakreslete svaz S podmnožin množiny M . Vyznačte podsvaz svazu S, který tvoří všechny podmnožiny množiny M obsažené v podmnožině {b, d, e}. Vyznačte dále podsvaz svazu S, který tvoří všechny podmnožiny množiny M obsahující prvek a a obsažené v podmnožině {a, d, e}. f. Dokažte, že pro podmnožiny A, B, C množiny U platí: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii)
A∪A=A A∪B =B∪A (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∪ B) ∩ A = A (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (A ∪ B)∗ = A∗ ∩ B ∗ (A∗ )∗ = A
A∩A=A A∩B =B∩A (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A ∩ B) ∪ A = A (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (A ∩ B)∗ = A∗ ∪ B ∗
(Symbolem A∗ značíme doplněk množiny A v množině U , tj. A∗ = U \ A.) g. Uvědomte si, že pro konečné množiny A, B platí rovnost |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. (Symbolem |M | značíme počet prvků množiny M .) Nalezněte obdobné vyjádření pro |A ∪ B ∪ C|. Jak bude vypadat obdobný vzorec pro čtyři, resp. pět, resp. n množin? h. Nakreslete Vennův diagram pro tři, resp. čtyři množiny (v obecné poloze).
2
3. Relace, ekvivalence, disjunktní rozklad, uspořádání a. Definujte pojem relace na množině a pojem relace mezi množinami. Uveďte několik příkladů relací mezi množinami a relací na množině. b. Definujte pojem ekvivalence. Uveďte několik příkladů ekvivalencí. c. Definujte pojem disjunktní rozklad. Uveďte několik příkladů disjunktních rozkladů. d. Popište vztah ekvivalence a disjunktního rozkladu. Definujte pojem faktorová množina. Uveďte příklady. e. Definujte pojem uspořádání a pojem úplné uspořádání. f. Rozvažte následující příklady disjunktních rozkladů množin. Uvědomte si, jak vypadá příslušná faktorová množina. Pokuste se popsat tyto rozklady ekvivalencemi. • Rozklad libovolně zvolené množiny M na jednoprvkové množiny. • Rozklad množiny M na jedinou množinu. • Rozklad množiny Z všech celých čísel na kladná čísla, záporná čísla a nulu. • Rozklad množiny Z na čísla sudá a lichá. • Rozklad množiny Z podle zbytků při dělení pevně zvoleným číslem n ∈ N: {kn; k ∈ Z}, {kn + 1; k ∈ Z}, . . . , {kn + (n − 1); k ∈ Z}.
Napište tento rozklad konkrétně pro n = 4 a n = 5.
• Rozklad množiny C všech komplexních čísel na podmnožiny čísel stejné absolutní hodnoty (kružnice se středem v počátku a počátek). • Rozklad množiny C na podmnožiny čísel stejného argumentu (polopřímky vycházející z počátku a zbavené počátku a počátek). g. Uspořádání • Dejte příklad uspořádané množiny, která má 8 prvků, nemá největší prvek, má nejmenší prvek a má dva prvky maximální. • Rozvažte, že množiny N, Z, Q, R jsou úplně (lineárně) uspořádané, ale množina C nikoli. • Ukažte, že množina N2 je úplně uspořádaná relací 4 definovanou pomocí obvyklého uspořádání přirozených čísel takto: (a, b) 4 (a′ , b′ )
právě tehdy, když a < a′ nebo a = a′ a b ≤ b′ .
• Ukažte, že množina Z3 je úplně uspořádaná relací 4 definovanou pomocí obvyklého uspořádání celých čísel takto: (a, b, c) 4 (a′ , b′ , c′ )
právě tehdy, když a < a′ nebo a = a′ a b < b′ nebo a = a′ , b = b′ a c ≤ c′ .
(Uspořádání uvedená ve dvou předchozích bodech se nazývaji lexikografická.)
• Ukažte, že potenční množina množiny M je částečně uspořádána relací ⊆ (inkluze).
3
4. Zobrazení a. Definujte pojem zobrazení (jako předpis a jako relaci). Uveďte vhodné příklady. Jak skládáme zobrazení? Objasněte pojem graf zobrazení. Uveďte příklady. b. Definujte pojem jádro zobrazení a obraz zobrazení. Uvědomte si, že jádro zobrazení je ekvivalence. Uveďte příklady. c. Definujte pojem binární operace. Uveďte příklady. d. Speciální typy zobrazení • Definujte pojem injekce, surjekce, bijekce. • Dokažte, že složení injekcí, resp. surjekcí, resp. bijekcí je injekce, resp. surjekce, resp. bijekce. • Dokažte, že je-li složené zobrazení gf injekce, je f injekce. • Dokažte, že je-li složené zobrazení gf surjekce, je g surjekce. • Dokažte, že je-li složené zobrazení gf bijekce, je f injekce a g surjekce. • Definujte pojem transformace množiny a pojem permutace množiny (i nekonečné). • Kolik existuje transformací, resp. permutací n-prvkové množiny? e. Rozklad zobrazení Rozložte následující zobrazení standardním způsobem na surjekci, bijekci a injekci: • f : R → R, f (x) = |x|, • f : R → R, f (x) = x2 , • f : R → R, f (x) = x3 , • f : R → R, f (x) = [x]. (Symbol [x] značí tzv. celou část čísla x, tj. největší celé číslo, které je menší nebo rovno číslu x. Např. [1] = 1, [π] = 3, [−π] = −4.) f. Mohutnost množin • Kdy mají dvě množiny stejný počet prvků? Kdy říkáme, že dvě množiny mají stejnou mohutnost? • Charakterizujte konečné a nekonečné množiny pomocí mohutností jejich vlastních podmnožin. • Charakterizujte konečné a nekonečné množiny vlastnostmi jejich injektivních, resp. surjektivních transfomací. • Definujte pojem spočetná množina a pojem nespočetná množina. • Ukažte, že množina všech celých čísel je spočetná. • Ukažte, že množina všech racionálních čísel je spočetná. • Ukažte, že množina všech reálných čísel je nespočetná.
4
5. Přirozená čísla a. Vyslovte Peanovy axiomy. Zformulujte princip matematické indukce. b. Zformulujte princip dobrého uspořádání. c. Dokažte ekvivalenci principu matematické indukce a principu dobrého uspořádání. d. Dokažte, že pro každé n ∈ N platí: • 13 + 23 + · · · + n3 = 41 n2 (n + 1)2 , • 14 + 24 + · · · + n4 =
1 30 n(n
+ 1)(6n3 + 9n2 + n − 1),
• 12 + 32 + · · · + (2n − 1)2 = 31 n(2n − 1)(2n + 1), • 13 + 33 + · · · + (2n − 1)3 = n2 (2n2 − 1), •
1 a(a+1)
•
1 1·5
+
+
1 5·9
1 (a+1)(a+2)
+
1 9·13
+ ··· +
+ ··· +
1 (a+n−1)(a+n)
1 (4n−3)(4n+1)
=
=
n a(a+n) ,
n a(4n+1) ,
• 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n! = (n + 1)! − 1. f. Odvoďte rekurentní vzorec pro výpočet součtu d-tých mocnin prvních n přirozených čísel, tj. najděte vyjádření čísla Sd (n) = 1d + 2d + · · · + nd pomocí čísel S1 (n), . . . , Sd−1 (n). g. Dokažte, že pro každé číslo n ∈ N, resp. n ∈ N0 platí: • 7 2n+2 + 32n+1 • 16 9n+1 − 8n − 9 • 120 5n4 + 10n3 − 5n2 − 10n • 133 11n+2 + 122n+1 6. Dělitelnost přirozených čísel
a. Definujte pojem dělitel a pojem násobek. b. Definujte pojem největší společný dělitel d(a, b) a pojem nejmenší společný násobek n(a, b). Odkud vyplývá jejich existence? c. Definujte pojem prvočíslo a pojem číslo složené. d. Dokažte, že každé přirozené číslo je součinem prvočísel. e. Dokažte, že prvočísel je nekonečně mnoho. f. Dokažte bez užití kalkulačky, že • 84 1715 + 9215 , • 36 1719 + 1917 .
5
g. Svaz přirozených čísel • Ukažte, že relace a b je na množině N částečným uspořádáním. Ukažte, že množina N s tímto uspořádáním tvoří svaz. • Nakreslete svaz všech dělitelů čísla 128, čísla 1 568 a čísla 385. • Nakreslete svaz všech dělitelů čísla 360. • Nakreslete svaz všech dělitelů čísla 210. h. Fermatova čísla • Definujte Fermatova čísla a Fermatova prvočísla. • Dokažte, že je-li 2n + 1 prvočíslo, je n mocninou dvojky. • Vypočtěte prvních pět Fermatových prvočísel. 7. Dělení se zbytkem a. Zformulujte větu o dělení se zbytkem. b. Zformulujte tvrzení vyjadřující Eukleidův algoritmus. Jak získáte největšího společného dělitele dvou čísel a jeho vyjádření ve tvaru lineární kombinace těchto čísel (s celočíselnými koeficienty)? c. Zformulujte a dokažte Bézoutovu větu. d. Zformulujte a dokažte Eukleidovo lemma. e. Zformulujte a dokažte Základní větu aritmetiky. f. Vypočtěte největšího společného dělitele následujících dvou čísel a vyjádřete ho jako jejich lineární kombinaci: • 253 a 161, • 711 a 899, • 22 100 a 21 021, • 168 019 a 164 009. g. Vypočtěte d(a, b) a n(a, b), jsou-li čísla a, b vyjádřena jako součin prvočísel: • a = 25 · 36 · 52 · 73 · 113 , b = 22 · 34 · 55 · 74 · 112 . • a = 36 · 52 · 73 · 113 , b = 22 · 54 · 75 · 112 · 134 . h. Jiné číselné soustavy • Číslo 3 275 vyjádřete v číselných soustavách o základu 4, resp. 7, resp. 13. • Číslo 6 789 vyjádřete v číselných soustavách o základu 3, resp. 5, resp. 8, resp. 11. • Číslo 4 357 vyjádřete v číselných soustavách o základu 2, resp. 6, resp. 12.
6
8. Prvočísla a. Vyložte podstatu Eratosthenova síta. b. Dokonalá čísla • Definujte pojem dokonalé číslo. • Zformulujte a dokažte Eukleidovu větu o dokonalých číslech. • Zformulujte a dokažte Eulerovu větu o sudých dokonalých číslech. c. Mersennova čísla • Definujte Mersennova čísla a Mersennova prvočísla. • Dokažte, že je-li 2n − 1 prvočíslo, je n prvočíslo. • Vypočtěte prvních pět Mersennových prvočísel a prvních pět dokonalých čísel. d. Gaussova celá čísla. • Vyšetřujte dělitelnost v oboru Gaussových celých čísel
Z[ i ] = { a + b i | a, b ∈ Z }.
• Ukažte, že pro normu definovanou vztahem N (a + b i ) = a2 + b2 je N (α · β) = N (α) · N (β)
pro každé
α, β ∈ Z[ i ].
• Ukažte, že invertibilní prvky v Z[ i ] jsou právě ±1, ± i . • Ukažte, že původní prvočísla p ∈ P tvaru p = 4k + 1 jsou v Z[ i ] rozložitelná (reducibilní). [Využijte větu: Každé prvočíslo tvaru 4k + 1 je součtem dvou čtverců.] • Ukažte, že původní prvočísla p ∈ P tvaru p = 4k + 3 jsou v Z[ i ] nerozložitelná (ireducibilní). • Najděte některá další ireducibilní Gaussova celá čísla. e. Obor integrity Z[ i
√
5]
√ √ • Vyšetřujte dělitelnost v oboru integrity Z[ i 5 ] = {a + b i 5 | a, b ∈ Z}. √ • Ukažte, že pro normu definovanou vztahem N (a + b i 5) = a2 + 5b2 je √ N (α · β) = N (α) · N (β) pro každé α, β ∈ Z[ i 5 ]. • Ukažte, že invertibilní prvky v Z[ i
√
5 ] jsou právě ±1.
• Ukažte, že původní prvočísla p ∈ P tvaru p = 4k + 3 jsou v Z[ i
√
5 ] ireducibilní. √ • Ukažte, že mnohá původní prvočísla p ∈ P tvaru√p = 4k + 1 jsou v Z[ i 5 ] rovněž ireducibilní. Která původní prvočísla p ∈ P jsou v Z[ i 5 ] reducibilní? √ • Ukažte, že čísla 6, 9, 21 je možno v Z[ i 5 ] rozložit více různými způsoby. Najděte další čísla, která mají více různých rozkladů. • Pokuste se v obecném oboru integrity rozlišit pojem prvočinitel a pojem ireducibilní prvek.
7
9. Konstrukce a. Vysvětlete základní myšlenku konstrukce oboru integrity Z celých čísel z pologrupy N přirozených čísel. b. Vysvětlete základní myšlenku konstrukce pole Q racionálních čísel z oboru integrity Z celých čísel. c. Jaký je rozdíl mezi zlomkem a racionálním číslem? 10. Kongruence a. Na množině Z celých čísel definujte pojem kongruence modulo n. Ukažte, že je to ekvivalence. b. Popište faktorizaci oboru celých čísel podle kongruence modulo n. Popište faktorovou množinu Zn . c. Malá Fermatova věta • Zformulujte ve dvou verzích Malou Fermatovu větu. Dokažte ji. • Pomocí Malé Fermatovy věty ukažte, že všechny nenulové prvky v Zp , kde p je prvočíslo, jsou invertibilní. d. Vyslovte kriteria dělitelnosti čísly 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. 11. Řetězové zlomky a. Jsou dány zlomky
252 588 , 145 452
589 743 , 9 620
57 247 . 44 671
• Vyjádřete je řetězovými zlomky. • Najděte největšího společného dělitele čitatele a jmenovatele uvedených zlomků. • Zapište tyto zlomky v základním tvaru. 12. Grupy a. Definujte pojem binární operace. Definujte pojem grupa. Uveďte příklady. b. Sestavte Cayleyho tabulku zachycující operaci skládání symetrií rovnostranného trojúhelníku, tj. tabulku grupové operace dihedrální grupy D3 . c. Nakreslete svaz podgrup dihedrální grupy D3 . d. Sestavte Cayleyho tabulku zachycující operaci skládání symetrií čtverce, tj. tabulku grupové operace dihedrální grupy D4 . e. Nakreslete svaz podgrup dihedrální grupy D4 . f. Jak vypadá svaz podgrup grupy Z ? Jak vypadá podsvaz tohoto svazu, který je utvořen všemi podgrupami obsahujícími podgrupu 42Z? g. Nakreslete svazy podgrup cyklických grup řádu 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
8
h. Definujte pojem normální podgrupa. Definujte pojem homomorfismus grup. Jak spolu tyto pojmy souvisí? Uveďte příklady. i. Nakreslete svaz podgrup grupy kvaternionů. Ukažte, že se jedná o nekomutativní grupu, v níž jsou všechny podgrupy normální. 13. Permutace a. Jsou dány permutace 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P1 = 7 1 2 5 4 9 8 3 6
a
P2 =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 9 1 6 4 8 2 5 7
.
• Vypočtěte počet inverzí permutací P1 a P2 a zjistěte jejich znaménka. • Rozložte permutace P1 a P2 na cykly a na transpozice. • Vypočtěte složené permutace P1 P2 , P2 P1 , P1 P2 P1 a (P2 )3 (P1 )5 . • Vypočtěte mocniny (P1 )1 111 , (P2 )1 000 000 a (P1 )111 111 111 . b. Vytvořte Cayleyho tabulku symetrické grupy S3 a alternující grupy A3 . c. Nakreslete svaz podgrup symetrické grupy S3 . S jakou grupou je tato grupa izomorfní? d. Kolik prvků má symetrická grupa stupně n a kolik alternující grupa stupně n ? e. Ukažte, že přiřazení znaménka permutace je epimorfismus symetrické grupy Sn na multiplikativní grupu {1, −1}. f. Ukažte, že alternující podgrupa An je normální podgrupou symetrické grupy Sn . g. Vytvořte pravý a levý rozklad grupy S3 podle podgrupy A3 , resp. podle podgrupy generované prvkem (1, 2). 14. Algebraické struktury a. Definujte pojem okruh, obor integrity, těleso, pole. Uveďte příklady. b. Definujte pojem homomorfismus okruhů, pojem jádro a obraz, pojem ideál. Vysvětlete na příkladech, jak spolu tyto pojmy souvisí. c. Jak vypadají ideály pole? Jak vypadá homomorfismus polí? d. Vysvětlete rozklad homomorfismu okruhů na epimorfismus, izomorfismus a monomorfismus. Premie pro dlouhé zimní večery. Dokažte následující tvrzení: a. Prvočísel tvaru 4k + 3 je nekonečně mnoho. b. Prvočísel tvaru 4k + 1 je nekonečně mnoho. c. Prvočísel tvaru 3k + 2 je nekonečně mnoho. d. Prvočísel tvaru 8k + 1 je nekonečně mnoho. e. Prvočísel tvaru 6k + 5 je nekonečně mnoho.
1
ZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY II 1. Definujte následující pojmy: • • • • • • • • • • • • • • • • •
normální podgrupa ideál eukleidovský obor integrity obor integrity hlavních ideálů ireducibilní prvek prvočinitel jednotka aritmetická posloupnost k-tého stupně geometrická posloupnost geometrická řada harmonická řada aritmetický, geometrický a harmonický průměr algebraické číslo, transcendentní číslo stupeň rozšíření Dedekindův řez fundamentální (cauchyovská) posloupnost duální a dvojná čísla
2. Dokažte, že čísla
√
6,
√ √ 27, 97 nejsou racionální.
3. Rozveďte v řetězový zlomek následující čísla: √ • a2 + 1 √ • a2 + 2 √ • 21 a + a2 + 4 4. Pomocí řetězových zlomků nalezněte zlomky, které aproximují následující iracionální čísla s přesností na šest desetinných míst (hodnoty získaných zlomků porovnávejte s hodnotou, kterou pro příslušné iracionální číslo dá kalkulačka): √ • 2 √ • 3 √ • 5 √ • 7 √ • 10 √ • 11 √ • 18 • zlaté číslo
√ 1+ 5 2
5. Ukažte, jaký je vztah prvočinitele a ireducibilního prvku • obecně,
• v eukleidovském oboru integrity. 6. Dokažte, že každý eukleidovský obor integrity je oborem integrity hlavních ideálů.
2
7. Uveďte příklady eukleidovských oborů integrity. 8. Popište svaz podgrup grupy kvaternionů a ukažte, že všechny její podrupy jsou normální. 9. Může mít grupa řádu 64 podgrupy řádu 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 13, 14, 16, 18? 10. Rozhodněte, zda jsou následující struktury (s obvyklým sčítáním a násobením) pole nebo pouze obory integrity: √ √ • Q[ 2] = {a + b 2; a, b ∈ Q} √ √ • Z[ 2] = {a + b 2; a, b ∈ Z} √ √ • Q[ 2 i] = {a + b 2 i; a, b ∈ Q} √ √ • Z[ 2 i] = {a + b 2 i; a, b ∈ Z} 11. K danému oboru integrity zkonstruujte podílové pole. 12. Zformulujte Lagrangeovu větu a dokažte ji. 13. Zformulujte a dokažte větu o homomorfismu pro grupy. 14. Zformulujte a dokažte větu o homomorfismu pro okruhy. 15. Odvoďte vzorec pro součet n členů • aritmetické posloupnosti,
• geometrické posloupnosti. 16. Odvoďte vzorec pro součet geometrické řady. 17. Ukažte, že harmonická řada diverguje. 18. Uveďte, jaké vztahy platí mezi aritmetickým, geometrickým a harmonickým průměrem dvou čísel. Dokažte je. 19. Odvoďte vzorec pro řešení kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0. 20. Odvoďte Cardanův vzorec a vysvětlete, co je casus irreducibilis. 21. Napište Vi`etovy vzorce pro algebraickou rovnici 4. stupně a dokažte je. 22. Řešte následující rovnice v oboru komplexních čísel: • x2 + (1 − i)x + 4 + 7 i = 0
• (2 + i)x2 − (9 + 2 i)x + 5(3 − i) = 0
• x3 − 3x − 52 = 0
• x3 + 9x2 + 9x + 8 = 0
• 2x3 − 9x2 + 18x − 7 = 0
• x3 − 3x − 2 = 0
3
• x3 − 9x − 28 = 0
• x3 + 30x + 30 = 0 • x3 − 15x − 4 = 0
• x3 + 3x − 4 = 0 • x3 + x + 10 = 0 • x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0
• x5 − 19x4 + 76x3 − 76x2 + 19x − 1 = 0
23. Najděte všechny kořeny následujících polynomů nad Z6 : • x3 + x2 + x + 2 • x3 + 3x + 2 • x3 + 2x2 + 3 24. Najděte všechny kořeny následujících polynomů nad Z5 : • x3 + x2 + x + 2 • x3 + 3x + 2 • x3 + 2x2 + 3
25. Zjistěte, zda jsou následující polynomy ireducibilní nad polem racionálních čísel: • x3 + 2x − 7 • x3 + 9x2 + 9x + 8
• 2x3 − 9x2 + 18x − 7 • x4 − 4x3 + 11x2 + 8x − 26 • x3 + 30x + 30 • x4 − x3 + 2x2 + 3x − 2
26. Řešte následující soustavy rovnic: •
x2 + xy + y 2 = 84 √ x + xy + y = 14
•
x + y +z = 4 x + 2y + z = 5 x2 + y 2 + z 2 = 14
•
x2 − xy + y 2 = 7 x3 + y 3 = 35
