Matematika 1 základy linea rnı algebry a funkcí

Determ. Matice

Soustavy LAR

(element.) Funkce Racioná lnı́ (lom.) funkce

Interpolace, MNC󰂪

Posloupnosti (apl.)

Matematika 1 — základy lineá rnı́ algebry a funkcí Studijnı́ materiá ly

Pro listová nı́ dokumentem NEpouž ıv ́ ejte koleč ko myš i nebo zvolte mož nost Full Screen. Brno 2013

RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Determinanty a matice

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Obsah kapitoly: Determinanty a matice Determinanty 1. Zavedení pojmu determinant 2. řádu 7 De󰅮inice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Cvič enı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2. Zavedení pojmu determinant 3. řádu De󰅮inice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Subdeterminant D𝑖𝑗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Stanovenı́ determinantu 3. ř ádu rozvojem . . . . . . . 2.2. Sarrusovo pravidlo pro vý poč et determinantu 3. ř ádu 2.3. Cvič enı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

14 16 17 17 23 24

3. Determinanty vyšších řádů 27 3.1. Stanovenı́ determinantu k. ř ádu rozvojem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2. U󰂦 pravy determinantů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Trojú helnı́kový tvar determinantu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Matice 4. Matice 49 4.1. Speciá lnı́ typy matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 C󰂪 tvercová matice ř ádu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 R󰂪 á dková matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Sloupcová matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nulová matice 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jednotková matice E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transponovaná matice A𝑇 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matice ve schodovité m (stupň ové m, trojú helnı́kové m) tvaru Regulá rnı́ matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Hodnost matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ekvivalentnı́ operace s maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . Cvič enı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Operace s maticemi Rovnost matic: A = B . . . . . . . . . . Souč in matice s č ı́slem: k . A . . . . . . Souč et a rozdı́l matic: A + B , A − B . Ná sobenı́ matic: A • B . . . . . . . . . . Vlastnosti ná sobenı́ matic . . . . Cvič enı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

6. Inverzní matice 6.1. Stanovenı́ inverznı́ matice pomocı́ jednotkové matice . 6.2. Stanovenı́ inverznı́ matice pomocı́ adjungované matice 6.3. Př ı́klad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inverznı́ matice na zá kladě de󰅮inice . . . . . . . . . . . Inverznı́ matice pomocı́ ú prav jednotkové matice . . Inverznı́ matice pomocı́ adjungované matice . . . . . R󰂪 eš enı́ maticové rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

Posloupnosti (apl.)

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

50 51 51 51 52 52 52 53 55

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

61 61 62 62 67 77 78

. . . . . . .

84 85 87 89 89 91 93 95

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Historická poznámka Jak vyplý vá z naš ich souč asný ch znalostı́ 1 o matematický ch vě domostech ve starově ku, mezi prvnı́ ř eš itele soustav lineá rnı́ch rovnic patř ili C󰂪 ı́ňané . V knize Aritmetika v devíti knihách ze 2. stoletı́ př ed naš ı́m letopoč tem je uveden algoritmus (nazvaný van čen) ř eš enı́ soustav lineá rnı́ch rovnic, který je obdobou naš eho př evodu na schodovitý (trojúhelníkový) tvar. Toto pravidlo, je sice vylož eno na konkré tnı́m př ı́kladu soustavy tř ı́ rovnic o tř ech nezná mý ch, ale je naznač eno dostateč ně obecně . Rozš ı́řilo se i v jiný ch zemı́ch Vý chodu a vedlo nakonec k pojmu determinantu.

1

S󰂪 󰀍󰀔󰀃́ 󰀕̌ 󰀇󰀍, J., T󰀋󰀅󰀊󰀛́, Z. Základy aplikované matematiky I. Praha : SNTL – Nakladatelstvı́ technické literatury, Praha. 1983. Strana 222–223.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

1. Zavedení pojmu determinant 2. řádu R󰂪 eš me soustavu dvou lineá rnı́ch rovnic o dvou nezná mý ch. 𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 = 𝑏1 𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 = 𝑏2 Sč ıt́ acı́ metodou vylouč ı́me nezná mou 𝑦. 𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 = 𝑏1 |.𝑎22 𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 = 𝑏2 |.(−𝑎12 ) 𝑎11 𝑎22 𝑥 + 𝑎12 𝑎22 𝑦 = 𝑏1 𝑎22 −𝑎21 𝑎12 𝑥 − 𝑎12 𝑎22 𝑦 = −𝑏2 𝑎12 (𝑎11 𝑎22 −𝑎21 𝑎12 )𝑥 = 𝑏1 𝑎22 − 𝑏2 𝑎12 Pokud bychom vylouč ili nezná mou 𝑥 tak, ž e prvnı́ rovnici vyná sobı́me č lenem (−𝑎21 ), druhou rovnici č lenem 𝑎11 a seč teme je, dostaneme: (𝑎11 𝑎22 −𝑎21 𝑎12 )𝑦 = 𝑏2 𝑎11 − 𝑏1 𝑎21 Vidı́me, ž e zá vorka na levé straně je v obou př ı́padech stejná . Proto je namı́stě ná sledujı́cı́ de󰅮inice kdy ke č tvercové mu sché matu, (tvoř ené mu pouze barevný mi koe󰅮icienty u promě nný ch), které sestá vá ze dvou ř ádků a dvou sloupců , př iř azujeme urč itý vý raz tvoř ený prvky zapsaný mi do tohoto sché matu. A to rozdíl dvou součinů, který je barevně zapsá n do zá vorek, ze který ch vytkneme jednotlivé promě nné . Tento vý raz nazveme determinantem druhé ho ř ádu.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Definice Determinant 2. řádu je vý raz a11 a22 − a12 a21 (hodnota, č ı́slo), který označ ujeme

det 󰛄

𝑎11 𝑎12 󰛅 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 𝑎21 𝑎22

nebo struč ně ji

𝑎11 𝑎12 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 . 𝑎21 𝑎22 Protož e dle de󰅮inice je determinant 2. ř ádu rozdíl součinů vždy dvou prvků, mů ž eme ř ıć i, ž e vlastnı́ hodnota determinantu zá visı́ na tom, ze který ch prvků 𝑎𝑖𝑗 je slož en. Tedy např ı́klad: — jsou-li prvky čísla, je determinant číslo; — jsou-li prvky mnohočleny, je determinant mnohočlen; — jsou-li prvky goniometrické funkce, je determinant také funkcı́ slož enou z goniometrický ch funkcı́; —… Nejč astě ji se budeme setká vat s determinanty, které majı́ ve sché matu pouze (reá lná ) č ı́sla.

Poznámka: Hodnotu determinantu 2. ř ádu urč ı́me snadno pomocı́ ná sledujı́cı́ho kř ı́žové ho pravidla: 𝑎11+

−

𝑎12

↙ ↘

D= 𝑎21

. Pokud ve smě ru shora dolů ná sobı́me zleva doprava (tak jak č teme), př iř adı́me 𝑎22

souč inu kladné znaménko. V př edchozı́m př ı́kladu znač eno modrou barvou. Ná sobı́me-li zprava doleva, opatř ım ́ e souč in záporným znaménkem (č erveně ). •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Cvičení 1.

2 3 = 2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 4 = −2 4 5

2.

𝑎−𝑏 𝑎−𝑐 = (𝑎 − 𝑏) ⋅ (𝑎 + 𝑏) − (𝑎 − 𝑐) ⋅ (𝑎 + 𝑐) = 𝑎2 − 𝑏 2 − (𝑎2 − 𝑐 2 ) = 𝑐 2 − 𝑏 2 𝑎+𝑐 𝑎+𝑏

3.

cos 𝑥 sin 𝑥 = (cos 𝑥)2 − (sin 𝑥)2 = cos2 𝑥 − sin2 𝑥 = cos 2𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑥 2𝑥 − 1 3 1

4. Urč ete 𝑥 tak, aby platilo:

Vyč ı́slı́me determinant:

= −2

𝑥 ⋅ 1 − (2𝑥 − 1) ⋅ 3 𝑥 − 6𝑥 + 3 −5𝑥 𝑥

5. R󰂪 eš te rovnici a proveďte zkouš ku:

Vyč ı́slı́me determinant:

= = = =

−2 −2 | − 3 −5 | ∶ (−5) 1

𝑥−2 3 4 −𝑥

= −20

(𝑥 − 2) ⋅ (−𝑥) − 3 ⋅ 4 = −20 𝑥 ⋅ (𝑥 − 2) + 12 = 20 𝑥 2 − 2𝑥 − 8 = 0

|.(−1) | − 20


Determ. Matice

Soustavy LAR


R󰂪 eš ı́me kvadratickou rovnici dle vzorce:

𝑥1;2


Posloupnosti (apl.)

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐 = 2𝑎

−(−2) ± 󰖶(−2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−8) 2 ± √4 + 32 2 ± √36 2±6 = = = 2⋅1 2 2 2

𝑥1 = 4 𝑥2 = −2

Zkouš ka pro 𝑥 = 4 ∶

2 3 = 2 ⋅ (−4) − 3 ⋅ 4 = −8 − 12 = −20 4 −4

Zkouš ka pro 𝑥 = −2 ∶

−4 3 = (−4) ⋅ 2 − 3 ⋅ 4 = −8 − 12 = −20 4 2

Poznámka: Determinant je vě tš inou pouze jinak zapsané č ı́slo. 2 2 3 Např ı́klad platı́: 2 = | − 2| = 2! = √4 = 󰛂 󰛃 = log 100 = (2𝑥)′ = =… 1 0 1 C󰂪 ıś lo 2 mů ž eme např ı́klad vyjá dř it jako: absolutnı́ hodnotu z č ı́sla minus dva; dvě faktoriá l; druhou odmocninu ze č tyř ; Ač koliv determinant 2. ř ádu je vý raz (č ıś lo), hovoř ı́ kombinač nı́ č ı́slo dvě nad jednou; se č asto o ř ádcı́ch č i sloupcı́ch determinantu a , takž e logaritmus př i zá kladu deset z č ı́sla sto; se termı́nem „determinant“ mı́nı́ také sá m symbol derivaci č lenu 2𝑥 (podle 𝑥); 𝑎11 𝑎12 2 3 . deteminant ; 𝑎21 𝑎22 0 1 … a

Sprá vně bychom mě li hovoř it o ř ádcı́ch č i sloupcı́ch sché matu př iř azené mu k dané mu determinantu.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

2. Zavedení pojmu determinant 3. řádu Podobně jako v př edchozı́ kapitole ř eš me soustavu tř ı́ lineá rnı́ch rovnic o tř ech nezná mý ch: 𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 + 𝑎13 𝑧 = 𝑏1 𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 + 𝑎23 𝑧 = 𝑏2 𝑎31 𝑥 + 𝑎32 𝑦 + 𝑎33 𝑧 = 𝑏3 Soustavu budeme ř eš it sč ı́tacı́ metodou tak, ž e osamostatnı́me nezná mou2 𝑥. 𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 + 𝑎13 𝑧 = 𝑏1 |.𝑎22 |.𝑎32 𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 + 𝑎23 𝑧 = 𝑏2 |.(−𝑎12 ) 𝑎31 𝑥 + 𝑎32 𝑦 + 𝑎33 𝑧 = 𝑏3 |.(−𝑎12 ) (𝑎11 𝑎22 − 𝑎21 𝑎12 ) 𝑥 + (𝑎13 𝑎22 − 𝑎23 𝑎12 ) 𝑧 = 𝑏1 𝑎22 − 𝑏2 𝑎12 |.(𝑎33 𝑎12 − 𝑎13 𝑎32 ) (𝑎11 𝑎32 − 𝑎31 𝑎12 ) 𝑥 + (𝑎13 𝑎32 − 𝑎33 𝑎12 ) 𝑧 = 𝑏1 𝑎32 − 𝑏3 𝑎12 |.(𝑎13 𝑎22 − 𝑎23 𝑎12 ) Vzhledem ke skuteč nosti, ž e po souč tu vý še uvedený ch poslednı́ch dvou rovnic bude vý sledná rovnice s jedinou nezná mou 𝑥 již poně kud rozsá hlá a nepř ehledná , omezı́me se pouze na jejı́ levou stranu, když ješ tě vytkneme nezná mou. (𝑎11 𝑎22 𝑎33 𝑎12 − 𝑎21 𝑎12 𝑎33 𝑎12 − 𝑎11 𝑎22 𝑎13 𝑎32 + 𝑎21 𝑎12 𝑎13 𝑎32 + 𝑎11 𝑎32 𝑎13 𝑎22 − − 𝑎31 𝑎12 𝑎13 𝑎22 − 𝑎11 𝑎32 𝑎23 𝑎12 + 𝑎31 𝑎12 𝑎23 𝑎12 ) ⋅ 𝑥 = … Po vytknutı́ a seč tenı́ 𝑎12 (𝑎11 𝑎22 𝑎33 − 𝑎21 𝑎12 𝑎33 + 𝑎21 𝑎13 𝑎32 − 𝑎31 𝑎13 𝑎22 − 𝑎11 𝑎32 𝑎23 + 𝑎31 𝑎23 𝑎12 ) … 𝑥 = …

2

Obdobně mů ž eme postupovat i pro nezná mé 𝑦 a 𝑧 . Jen se změ nı́ prvek vytknutý př ed zá vorku, ale vlastnı́ zá vorka zů stane stejná .


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Nynı́ vzhledem k platnosti komutativnı́ho zá kona př i ná sobenı́ (mož nost zá mě ny č initelů př i souč inu) př esklá dá me poř adı́ č lenů v jednotlivý ch souč inech podle ř ádkový ch indexů 𝑎12 (𝑎11 𝑎22 𝑎33 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 ) ⋅ 𝑥 = … Nynı́ vzhledem k platnosti komutativnı́ho zá kona př i sč ı́tá nı́ (mož nost zá mě ny sč ı́tanců př i souč tu) př esklá dá me poř adı́ jednotlivý ch souč inů podle znamé nek ná sledovně : 𝑎12 (𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 ) ⋅ 𝑥 = … Vzhledem k tvaru poslednı́ zá vorky a symbolicky zapsané pů vodnı́ soustavě je namı́stě (analogicky jako u determinantu 2. ř ádu) ná sledujı́cı́ de󰅮inice, kdy ke č tvercové mu sché matu ř ádu tř i, nebo-li typu (3 , 3) př iř azujeme urč itý vý raz. Tento vý raz nazveme determinantem tř etı́ho ř ádu.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Definice Determinant 3. řádu je vý raz (hodnota, č ı́slo) a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 , který označ ujeme

𝑎11 𝑎12 𝑎13 det 󰛊 𝑎21 𝑎22 𝑎23 󰛋 𝑎31 𝑎32 𝑎33

nebo struč ně ji

𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33

Vyčíslení determinantu — nebo-li stanovenı́ jeho hodnoty. Budeme postupovat ná sledovně . Vezmeme vý raz (který m jsme de󰅮inovali determinant 3. ř ádu) D = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 a pouze ho trochu př esklá dá me tı́m způ sobem, ž e př ed zá vorky vytkneme postupně prvky prvnı́ho ř ádku. D = 𝑎 𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 − 𝑎 𝑎 𝑎 − 𝑎 𝑎 𝑎 − 𝑎 𝑎 𝑎 = 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33 = 𝑎11 (𝑎22 𝑎33 − 𝑎23 𝑎32 ) + 𝑎12 (𝑎23 𝑎31 − 𝑎21 𝑎33 ) + 𝑎13 (𝑎21 𝑎32 − 𝑎22 𝑎31 ) = = 𝑎11 (𝑎22 𝑎33 − 𝑎23 𝑎32 ) − 𝑎12 (𝑎21 𝑎33 − 𝑎23 𝑎31 ) + 𝑎13 (𝑎21 𝑎32 − 𝑎22 𝑎31 )

a vyč ı́slı́me:

𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎21 𝑎22 𝑎23 = 𝑎11 ⋅ 22 23 − 𝑎12 ⋅ 21 23 + 𝑎13 ⋅ 21 22 𝑎32 𝑎33 𝑎31 𝑎33 𝑎31 𝑎32 𝑎31 𝑎32 𝑎33

(1)


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Vidı́me, ž e pů vodně zadaný determinant 3. ř ádu jsme nahradili tř emi determinanty 2. ř ádu, které jsme ná sobili prvky prvnı́ho ř ádku opatř ený mi vhodný mi znamé nky. Stejně tak jsme mohli př esklá dat vý raz (který m jsme de󰅮inovali determinant 3. ř ádu) tak, ž e bychom vytkli př ed zá vorku postupně prvky druhé ho ř ádku, tř etı́ho ř ádku, prvnı́ho sloupce, druhé ho sloupce nebo tř etı́ho sloupce. Jen by se mě nily př ı́sluš né determinanty 2. ř ádu ve vztazı́ch analogický ch ke vztahu (1). Proto zavedeme ná sledujı́cı́ de󰅮inici.

Subdeterminant D𝑖𝑗 vznikne tak, když z pů vodnı́ho determinantu stranı́me)

ř ádek i

a

D

vypustı́me (od-

sloupec j .

Nynı́ již mů ž eme vztah (1) př epsat obecně ná sledujı́cı́m způ sobem.

2.1. Stanovení determinantu 3. řádu rozvojem 3

D = 󰗞(−1)𝑖+𝑗 𝑎𝑖𝑗 ⋅ D𝑖𝑗

rozvoj podle ř ádku i

(2)

rozvoj podle sloupce j

(3)

𝑗=1 3

D = 󰗞(−1)𝑖+𝑗 𝑎𝑖𝑗 ⋅ D𝑖𝑗 𝑖=1


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Cvičení Urč ete hodnotu determinantu rozvojem podle nějakého řádku ⟹ vzorec (2). Tedy řádkový index i bude pevně dá n a sloupcový index j se bude mě nit. 2 −1 1 8 −1 −2

3 3 1 = ∑(−1)𝑖+𝑗 ⋅ 𝑎𝑖;𝑗 ⋅ D𝑖;𝑗 = ∑ (−1)𝑖+𝑗 ⋅ 𝑎𝑖;𝑗 ⋅ D𝑖;𝑗 𝑗=1 5 ∀𝑗


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Cvičení Determinant rozvineme /vzorec (2)/ podle 3. řádku ⟹ ř ádkový index i se tedy rovná 3 a sloupcový index j nabý vá postupně hodnot 1, 2, 3. 2 −1 1 8 −1 −2

3 1 = 5

= (−1)3+1 ⋅ (−1) ⋅

1. sč ı́tanec:

−1 8

3 2 + (−1)3+2 ⋅ (−2) ⋅ 1 1

(−1)3+1 ⋅ 𝑎3;1 ⋅ D3;1 ⟸ 3. ř ádek / 1. sloupec

3 2 −1 + (−1)3+3 ⋅ (5) ⋅ = 1 1 8

= (−1)⋅[+(−1)⋅(1) − (3)⋅(8) ] + [−(−2)]⋅[+(2)⋅(1) − (3)⋅(1) ] + (5)⋅[+(2)⋅(8) − (−1)⋅(1) ] =

= (−1)⋅(−1 − 24) + (+2)⋅(2 − 3) + (5)⋅(16 + 1) = (−1)⋅(−25) + 2⋅(−1) + 5⋅(17) = 25 − 2 + 85 = 108


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


3 1 = 5

= (−1)3+1 ⋅ (−1) ⋅

2. sč ı́tanec:

−1 8

3 2 + (−1)3+2 ⋅ (−2) ⋅ 1 1

(−1)3+2 ⋅ 𝑎3;2 ⋅ D3;2 ⟸ 3. ř ádek / 2. sloupec

3 2 −1 + (−1)3+3 ⋅ (5) ⋅ = 1 1 8

= (−1)⋅[+(−1)⋅(1) − (3)⋅(8) ] + [−(−2)]⋅[+(2)⋅(1) − (3)⋅(1) ] + (5)⋅[+(2)⋅(8) − (−1)⋅(1) ] =

= (−1)⋅(−1 − 24) + (+2)⋅(2 − 3) + (5)⋅(16 + 1) = (−1)⋅(−25) + 2⋅(−1) + 5⋅(17) = 25 − 2 + 85 = 108


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


3 1 = 5

= (−1)3+1 ⋅ (−1) ⋅

3. sč ı́tanec:

−1 8

3 2 + (−1)3+2 ⋅ (−2) ⋅ 1 1

(−1)3+3 ⋅ 𝑎3;3 ⋅ D3;3 ⟸ 3. ř ádek / 3. sloupec

3 2 −1 + (−1)3+3 ⋅ (5) ⋅ = 1 1 8

= (−1)⋅[+(−1)⋅(1) − (3)⋅(8) ] + [−(−2)]⋅[+(2)⋅(1) − (3)⋅(1) ] + (5)⋅[+(2)⋅(8) − (−1)⋅(1) ] =

= (−1)⋅(−1 − 24) + (+2)⋅(2 − 3) + (5)⋅(16 + 1) = (−1)⋅(−25) + 2⋅(−1) + 5⋅(17) = 25 − 2 + 85 = 108


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


3 1 = 5

= (−1)3+1 ⋅ (−1) ⋅

4. sč ı́tanec:

−1 8

3 2 + (−1)3+2 ⋅ (−2) ⋅ 1 1

(−1)3+4 ⋅ 𝑎3;4 ⋅ D3;4 ⟸ 3. ř ádek / 4. sloupec

3 2 −1 + (−1)3+3 ⋅ (5) ⋅ = 1 1 8

= (−1)⋅[+(−1)⋅(1) − (3)⋅(8) ] + [−(−2)]⋅[+(2)⋅(1) − (3)⋅(1) ] + (5)⋅[+(2)⋅(8) − (−1)⋅(1) ] =

= (−1)⋅(−1 − 24) + (+2)⋅(2 − 3) + (5)⋅(16 + 1) = (−1)⋅(−25) + 2⋅(−1) + 5⋅(17) = 25 − 2 + 85 = 108


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Poznámka: Zdá nlivě nezapamatovatelný vztah z de󰅮inice se dá celkem snadno vyjá dř it (ovš em pouze pro determinant 3. ř ádu) pomocı́ ná sledujı́cı́ho 3 doplně né ho sché matu.

2.2. Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantu 3. řádu Hodnotu determinantu 3. ř ádu urč ı́me snadno pomocı́ ná sledujı́cı́ho sché matu: 𝑎11+

𝑎12+ ↘

D = 𝑎21 −

𝑎13+

↘ ↙ 𝑎23

−

𝑎11

𝑎33

−

𝑎12

↙

↘ ↙ +

−

𝑎21

↘ ↙ 𝑎32

−

↘ ↙

𝑎22 ↙

𝑎31

−

𝑎22 ↘

+

𝑎31

+

𝑎32

kdy nejprve za determinat znovu opı́šeme prvnı́ a druhý sloupec a potom ná sobı́me ve smě ru š ipek, stejně jako u determinantu 2. ř ádu. Pokud shora dolů ná sobı́me zleva doprava, př iř adı́me souč inu kladné znaménko. Ná sobı́me-li trojici č ı́sel zprava doleva, opatř ım ́ e souč in záporným znaménkem. Stejné ho vý sledku dosá hneme, jestliž e pod determinant znovu opı́šeme prvnı́ a druhý ř ádek (tř eba na papı́r, který př ilož ım ́ e) a opě t shora dolů ná sobı́me trojici č ı́sel zleva doprava s kladným znaménkem.

𝑎11 𝑎21 D = 𝑎31 Ná sobı́me-li zprava doleva, opatř ım ́ e souč in záporným znaménkem. 𝑎11 𝑎21 Zdůrazněme, že uvedené pravidlo neplatí pro determinanty jiného řádu než 3. řádu! 3

𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎12 𝑎22

𝑎13 𝑎23 𝑎33 𝑎13 𝑎23

Francouzský matematik Pierre Frideric Sarrus (1978 – 1861).


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

2.3. Cvičení 1. Urč ete hodnotu determinantu

3 −2 4 5 3 D = −1 2 −4 −3

Řešení: 1. Sarrusovo pravidlo D = 3 ⋅ 5 ⋅ (−3) + (−2) ⋅ 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ (−1) ⋅ (−4) − 4 ⋅ 5 ⋅ 2 − 3 ⋅ 3 ⋅ (−4) − (−2) ⋅ (−1) ⋅ (−3) = = −45 − 12 + 16 − 40 + 36 + 6 = −39 2. Rozvoj podle prvnı́ho ř ádku 5 3 −1 3 −1 5 D = (−1)1+1 ⋅ 3 ⋅ + (−1)1+2 ⋅ (−2) ⋅ + (−1)1+3 ⋅ 4 ⋅ = −4 −3 2 −3 2 −4 = 3 ⋅ (−15 + 12) + 2 ⋅ (3 − 6) + 4 ⋅ (4 − 10) = −9 − 6 − 24 = −39 3. Rozvoj podle druhé ho ř ádku −2 4 3 4 3 −2 D = (−1)2+1 ⋅ (−1) ⋅ + (−1)2+2 ⋅ 5 ⋅ + (−1)2+3 ⋅ 3 ⋅ = −4 −3 2 −3 2 −4 = 1 ⋅ (6 + 16) + 5 ⋅ (−9 − 8) − 3 ⋅ (−12 + 4) = 22 − 85 + 24 = −39 4. Rozvoj podle tř etı́ho ř ádku −2 4 3 4 3 −2 D = (−1)3+1 ⋅ 2 ⋅ + (−1)3+2 ⋅ (−4) ⋅ + (−1)3+3 ⋅ (−3) ⋅ = 5 3 −1 3 −1 5 = 2 ⋅ (−6 − 20) + 4 ⋅ (9 + 4) − 3 ⋅ (15 − 2) = −52 + 52 − 39 = −39 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

5. Rozvoj podle prvnı́ho sloupce 5 3 −2 4 −2 4 D = (−1)1+1 ⋅ 3 ⋅ + (−1)2+1 ⋅ (−1) ⋅ + (−1)3+1 ⋅ 2 ⋅ = −4 −3 −4 −3 5 3 = 3 ⋅ (−15 + 12) + 1 ⋅ (6 + 16) + 2 ⋅ (−6 − 20) = −9 + 22 − 52 = −39 6. Rozvoj podle druhé ho sloupce −1 3 3 4 3 4 D = (−1)1+2 ⋅ (−2 ⋅ + (−1)2+2 ⋅ 5 ⋅ + (−1)3+2 ⋅ (−4) ⋅ = 2 −3 2 −3 −1 3 = 2 ⋅ (3 − 6) + 5 ⋅ (−9 − 8) + 4 ⋅ (9 + 4) = −6 − 85 + 52 = −39 7. Rozvoj podle tř etı́ho sloupce −1 5 3 −2 3 −2 D = (−1)1+3 ⋅ 4 ⋅ + (−1)2+3 ⋅ 3 ⋅ + (−1)3+3 ⋅ (−3) ⋅ = 2 −4 2 −4 −1 5 = 4 ⋅ (4 − 10) − 3 ⋅ (−12 + 4) − 3 ⋅ (15 − 2) = −24 + 24 − 39 = −39


Determ. Matice

Soustavy LAR


2. Urč ete hodnotu determinantu

1 −2 0 D= 6 2 −1


Posloupnosti (apl.)

3 1 4

Řešení Sarrusový m pravidlem D = 1 ⋅ 0 ⋅ 4 − 2 ⋅ 1 ⋅ 2 − 3 ⋅ 6 ⋅ 1 − 3 ⋅ 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 6 ⋅ 4 = 27

3. Urč ete hodnotu determinantu

2 4 0 D = −1 1 0 0 2 3

Řešení rozvojem podle tř etı́ho (obsahuje dvě nuly) sloupce 2 4 D = 0 + 0 + (−1)3+3 ⋅ 3 ⋅ = 3 ⋅ (2 + 4) = 18 −1 1

4. Urč ete hodnotu nezná mé 𝑥 tak, aby platilo:

−𝑥 1 𝑥 0 −𝑥 −1 = −2𝑥 𝑥 1 −𝑥

Řešení Sarrusový m pravidlem −𝑥 3 − 𝑥 + 𝑥 3 − 𝑥 = −2𝑥 −2𝑥 = −2𝑥 0 = 0

| + 2𝑥

Daný vztah platı́ pro libovolné 𝑥 .


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

3. Determinanty vyšších řádů Př ipomeň me, ž e dř ı́ve jsme zavedli pojem subdeterminant D𝑖𝑗 a ná sledně uká zali vý poč et determinantu 3. ř ádu rozvojem podle libovolné jeho ř ady (vhodné ho ř ádku č i vhodné ho sloupce). Tyto vztahy platı́ i pro determinanty vyš šı́ch ř ádů . Hodnotu determinantů vyš šı́ch ř ádů urč ım ́ e analogicky se vztahy (2) a (3).

3.1. Stanovení determinantu k. řádu rozvojem 𝑘

D = 󰗞(−1)𝑖+𝑗 𝑎𝑖𝑗 ⋅ D𝑖𝑗

rozvoj podle ř ádku i

(4)

rozvoj podle sloupce j

(5)

𝑗=1 𝑘

D = 󰗞(−1)𝑖+𝑗 𝑎𝑖𝑗 ⋅ D𝑖𝑗 𝑖=1

Oproti vztahů m (2) a (3) doš lo k jediné změ ně . Hornı́ mez symbolu suma nenı́ č ı́slo TR󰂪 I ale konstanta k , která je řádem determinantu.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Cvičení Urč ete hodnotu determinantu rozvojem podle nějakého řádku ⟹ vzorec (4). Tedy řádkový index i bude pevně dá n a sloupcový index j se bude mě nit. 2 −1 1 8 −4 −3 −1 −2

0 3 4 1 1 = ∑(−1)𝑖+𝑗 ⋅ 𝑎𝑖;𝑗 ⋅ D𝑖;𝑗 = ∑ (−1)𝑖+𝑗 ⋅ 𝑎𝑖;𝑗 ⋅ D𝑖;𝑗 0 −1 ∀𝑗 𝑗=1 0 5


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Cvičení Determinant rozvineme /vzorec (4)/ podle 4. řádku ⟹ ř ádkový index i se tedy rovná 4 a sloupcový index j nabý vá postupně hodnot 1, 2, 3, 4. 2 −1 0 3 1 8 1 1 = 1. sč ı́tanec: (−1)4+1 ⋅ 𝑎4;1 ⋅ D4;1 ⟸ 4. ř ádek / 1. sloupec −4 −3 0 −1 −1 −2 0 5 = (−1)4+1 ⋅ (−1) ⋅

+(−1)

4+4

−1 8 −3

0 3 2 1 1 + (−1)4+2 ⋅ (−2) ⋅ 1 0 −1 −4

2 −1 8 ⋅ (5) ⋅ 1 −4 −3

0 3 2 −1 3 1 1 + (−1)4+3 ⋅ (0) ⋅ 1 8 1 + 0 −1 −4 −3 −1

0 1 = 0

= (1)⋅[+(−1)⋅(1)⋅(−1) + (8)⋅(0)⋅(3) + (−3)⋅(0)⋅(1) − (3)⋅(1)⋅(−3) − (1)⋅(0)⋅(−1) − (−1)⋅(0)⋅(8) ]+ +(−2)⋅[+(2)⋅(1)⋅(−1) + (1)⋅(0)⋅(3) + (−4)⋅(0)⋅(1) − (3)⋅(1)⋅(−4) − (1)⋅(0)⋅(2) − (−1)⋅(0)⋅(1) ]+ +0 + (5)⋅[+(2)⋅(8)⋅(0) + (1)⋅(−3)⋅(0) + (−4)⋅(−1)⋅(1) − (0)⋅(8)⋅(−4) − (1)⋅(−3)⋅(2) − (0)⋅(−1)⋅(1) ] = = (1)⋅(+1 + 0 − 0 + 9 + 0 + 0) + (−2)⋅(−2 + 0 − 0 + 12 − 0 + 0) + (5)⋅(+0 − 0 + 4 + 0 + 6 + 0) = = 1⋅(10) − 2⋅(10) + 5⋅(10) = 10 − 20 + 50 = 40 Vidı́me, ž e v poř adı́ tř etı́ subdeterminant jsme vů bec nemuseli sestavovat a vyč ı́slovat, protož e prvek 𝑎4;3 = 0 a tı́m pá dem celý souč in je také roven NULE. Proto je nejvý hodně jš ı́, zvolit si rozvoj podle toho ř ádku č i sloupce, který obsahuje nejvı́ce nul. V tomto př ı́padě poč ı́tat rozvoj podle tř etı́ho sloupce (viz dalš ı́ strana). •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


+(−1)

4+4

−1 8 −3

0 3 2 1 1 + (−1)4+2 ⋅ (−2) ⋅ 1 0 −1 −4

2 −1 8 ⋅ (5) ⋅ 1 −4 −3

0 3 2 −1 3 1 1 + (−1)4+3 ⋅ (0) ⋅ 1 8 1 + 0 −1 −4 −3 −1

0 1 = 0


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


+(−1)

4+4

−1 8 −3

0 3 2 1 1 + (−1)4+2 ⋅ (−2) ⋅ 1 0 −1 −4

2 −1 8 ⋅ (5) ⋅ 1 −4 −3

0 3 2 −1 3 1 1 + (−1)4+3 ⋅ (0) ⋅ 1 8 1 + 0 −1 −4 −3 −1

0 1 = 0


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


+(−1)

4+4

−1 8 −3

0 3 2 1 1 + (−1)4+2 ⋅ (−2) ⋅ 1 0 −1 −4

2 −1 8 ⋅ (5) ⋅ 1 −4 −3

0 3 2 −1 3 1 1 + (−1)4+3 ⋅ (0) ⋅ 1 8 1 + 0 −1 −4 −3 −1

0 1 = 0


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


+(−1)

4+4

−1 8 −3

0 3 2 1 1 + (−1)4+2 ⋅ (−2) ⋅ 1 0 −1 −4

2 −1 8 ⋅ (5) ⋅ 1 −4 −3

0 3 2 −1 3 1 1 + (−1)4+3 ⋅ (0) ⋅ 1 8 1 + 0 −1 −4 −3 −1

0 1 = 0


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Cvičení Urč ete hodnotu determinantu rozvojem podle 3. sloupce 2 −1 1 8 −4 −3 −1 −2

0 3 2 −1 3 1 1 2+3 = 0+(−1) ⋅(1)⋅ −4 −3 −1 +0+0 = (−1)⋅(−30+24−1−9−4−20) = 40 0 −1 −1 −2 5 0 5


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Cvičení

Urč ete determinant

6 10 D= 3 12 8

28 40 13 48 37

33 8 25 54 13 32 17 4 11 65 16 43 46 11 39

Řešení: daný determinant rozvineme např ı́klad podle 1. sloupce. D = 6 ⋅ D11 − 10 ⋅ D21 + 3 ⋅ D31 − 12 ⋅ D41 + 8 ⋅ D51

(6)

kde D11

40 13 = 48 37

= 40 ⋅

54 13 32 17 4 11 = 65 16 43 46 11 39

𝒜 17 4 11 65 16 43 46 11 39

− 13 ⋅

ℬ 54 13 32 65 16 43 46 11 39

+ 48 ⋅

𝒞 54 13 32 17 4 11 46 11 39

− 37 ⋅

𝒟 54 13 32 17 4 11 65 16 43

=

= 40 ⋅ 𝒜 − 13 ⋅ ℬ + 48 ⋅ 𝒞 − 37 ⋅ 𝒟 = 40 ⋅ 108 − 13 ⋅ 241 + 48 ⋅ (−55) − 37 ⋅ (−40) = 27


Determ. Matice

D21

Soustavy LAR

28 13 = 48 37

= 28 ⋅



Posloupnosti (apl.)

33 8 25 17 4 11 = 65 16 43 46 11 39

𝒜 17 4 11 65 16 43 46 11 39

− 13 ⋅

ℰ 33 8 25 65 16 43 46 11 39

+ 48 ⋅

ℱ 33 8 25 17 4 11 46 11 39

− 37 ⋅

𝒢 33 8 25 17 4 11 65 16 43

=

= 28 ⋅ 𝒜 − 13 ⋅ ℰ + 48 ⋅ ℱ − 37 ⋅ 𝒢 = 28 ⋅ 108 − 13 ⋅ 2 + 48 ⋅ (−26) − 37 ⋅ 40 = 270

D31

28 40 = 48 37

= 28 ⋅

33 8 25 54 13 32 = 65 16 43 46 11 39

ℬ 54 13 32 65 16 43 46 11 39

− 40 ⋅

ℰ 33 8 25 65 16 43 46 11 39

+ 48 ⋅

ℋ 33 8 25 54 13 32 46 11 39

− 37 ⋅

ℐ 33 8 25 54 13 32 65 16 43

=

= 28 ⋅ ℬ − 40 ⋅ ℰ + 48 ⋅ ℋ − 37 ⋅ ℐ = 28 ⋅ 241 − 40 ⋅ 2 + 48 ⋅ (−57) − 37 ⋅ 90 = 602


Determ. Matice

D41

Soustavy LAR

28 40 = 13 37

= 28 ⋅



Posloupnosti (apl.)

33 8 25 54 13 32 = 17 4 11 46 11 39

𝒞 54 13 32 17 4 11 46 11 39

− 40 ⋅

ℱ 33 8 25 17 4 11 46 11 39

+ 13 ⋅

ℋ 33 8 25 54 13 32 46 11 39

− 37 ⋅

𝒥 33 8 25 54 13 32 17 4 11

=

= 28 ⋅ 𝒞 − 40 ⋅ ℱ + 13 ⋅ ℋ − 37 ⋅ 𝒥 = 28 ⋅ (−55) − 40 ⋅ (−26) + 13 ⋅ (−57) − 37 ⋅ (−30) = −131

D51

28 40 = 13 48

= 28 ⋅

33 8 25 54 13 32 = 17 4 11 65 16 43

𝒟 54 13 32 17 4 11 65 16 43

− 40 ⋅

𝒢 33 8 25 17 4 11 65 16 43

+ 13 ⋅

ℐ 33 8 25 54 13 32 65 16 43

− 48 ⋅

𝒥 33 8 25 54 13 32 17 4 11

=

= 28 ⋅ 𝒟 − 40 ⋅ 𝒢 + 13 ⋅ ℐ − 48 ⋅ 𝒥 = 28 ⋅ (−40) − 40 ⋅ 40 + 13 ⋅ 90 − 48 ⋅ (−30) = −110 a po dosazenı́ do (6) dostaneme: D = 6 ⋅ 27 − 10 ⋅ 270 + 3 ⋅ 602 − 12 ⋅ (−131) + 8 ⋅ (−110) = −40 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Vidı́me, ž e vyč ı́slenı́ determinantu 5. ř ádu nenı́ zrovna jednoduché ; vede na pě t determinantů 4. ř ádu a kaž dý determinant 4. ř ádu vede na č tyř i determinanty 3. ř ádu. Celkem musı́me urč it 10 determinantů 3. ř ádu, protož e kaž dý z determinantů 3. ř ádů se vyskytuje př i vý poč tu dvou rů zný ch determinantů 4. ř ádu, jak bylo uká zá no v př edchozı́m př ı́kladu. Např ı́klad subdeterminant ℱ byl použ it př i vý poč tu subdeterminantu D21 i subdeterminantu D41 . Proto je vý hodné použ ı́t ně který ch operacı́ s determinanty, které nemě nı́ jejich hodnotu 4 a pokud mož no zjednoduš ujı́ vyč ı́slenı́ determinantů .

3.2. Úpravy determinantů Za vš echny jmenujme alespoň tuto nejpouž ı́vaně jš ı.́ Determinant se nezmění, př ič teme-li k jedné jeho ř adě libovolný nenulový ná sobek ř ady s nı́ rovnobě žné . Nynı́ si pomocı́ té to vlastnosti zkusme znovu spoč ı́tat př edchozı́ př ı́klad.

Urč ete determinant

4

6 10 D= 3 12 8

28 40 13 48 37

33 8 25 54 13 32 17 4 11 65 16 43 46 11 39

Př ıp ́ adně pouze mě nı́ znamé nko determinantu, č i umož ňujı́ za urč itý ch podmı́nek vytknout vý raz př ed determinant.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Řešení: prová dě né ú pravy budeme znač it ZA a NAD determinantem, kdy ř ı́mské č ı́slice označ ujı́ př ı-́ sluš nou ř adu (ř ádek č i sloupec). 6 10 D= 3 12 8 6 1 = 3 12 8

28 40 13 48 37

22 0 10 36 29

33 8 25 6 54 13 32 𝑖𝑖 + (−3).𝑖𝑖𝑖 1 17 4 11 = 3 65 16 43 12 46 11 39 8 𝑖 15 2 31 0 0 0 rozvoj 2.ř. 8 1 14 = (−1)2+1 ⋅ 1 ⋅ 29 4 55 22 3 47

2 −1 10 8 = (−1) ⋅ −4 −3 −1 −2

𝑖𝑖 − 𝑖 28 1 13 48 37 22 15 10 8 36 29 29 22

33 3 17 65 46 𝑖𝑖𝑖 − 3𝑖 2 1 4 3

31 14 55 47

𝑖𝑣 − 𝑖 8 1 4 16 11

25 −1 11 = 43 39 𝑣+𝑖

𝑖 − 2𝑖𝑖 𝑖𝑖 = 𝑖𝑖𝑖 − 4𝑖𝑖 𝑖𝑣 − 3𝑖𝑖

0 3 2 −1 3 1 14 rozvoj 3.s. 2+3 = (−1) ⋅ (−1) ⋅ 1 ⋅ −4 −3 −1 = 0 −1 −1 −2 5 0 5

= 2 ⋅ (−3) ⋅ 5 + (−1) ⋅ (−1) ⋅ (−1) + 3 ⋅ (−4) ⋅ (−2) − 3 ⋅ (−3) ⋅ (−1) − 2 ⋅ (−1) ⋅ (−2) − − (−1) ⋅ (−4) ⋅ 5 = −30 − 1 + 24 − 9 − 4 − 20 = −40 Je zř ejmé , ž e tento postup je mnohem mé ně pracný, než př edchozı́.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Dolní trojúhelníkový tvar determinantu ⟸ pod hlavní diagonálou jsou pouze NULY! Vš echny ostatnı́ prvky mohou bý t naprosto libovolné . 1 0 0 0

2 5 0 0

3 4 5 6 7 6 7 8 9 = (−1)1+1 ⋅ 1 ⋅ 0 8 9 + 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 = [1] ⋅ 󰛆(−1)1+1 ⋅ 5 ⋅ + 𝟎 + 𝟎󰛇 = 8 9 0 10 0 0 10 0 10

Hlavnı́ diagoná la: 𝑎1;1 , 𝑎2;2 , 𝑎3;3 , … , 𝑎𝑛;𝑛 Vedlejš ı́ diagoná la Hodnotu determinantu 4. ř ádu urč ı́me rozvojem podle 1. sloupce (nebo mů ž eme poč ı́tat rozvojem podle 4. řádku – má také hodně nul).

⟸

má nejvı́ce nul

Hodnotu determinantu 3. ř ádu urč ı́me opě t rozvojem opět podle 1. sloupce (nebo 3. ř ádku). Hodnotu determinantu 2. ř ádu urč ı́me křížovým pravidlem. = [1] ⋅ [5] ⋅ [8 ⋅ 10 − 9 ⋅ 0] =


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


2 5 0 0

3 4 5 6 7 6 7 8 9 = (−1)1+1 ⋅ 1 ⋅ 0 8 9 + 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 = [1] ⋅ 󰛆(−1)1+1 ⋅ 5 ⋅ + 𝟎 + 𝟎󰛇 = 8 9 0 10 0 0 10 0 10


⟸

má nejvı́ce nul



Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


2 5 0 0

3 4 5 6 7 6 7 8 9 = (−1)1+1 ⋅ 1 ⋅ 0 8 9 + 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 = [1] ⋅ 󰛆(−1)1+1 ⋅ 5 ⋅ + 𝟎 + 𝟎󰛇 = 8 9 0 10 0 0 10 0 10


⟸

má nejvı́ce nul



Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


2 5 0 0

3 4 5 6 7 6 7 8 9 = (−1)1+1 ⋅ 1 ⋅ 0 8 9 + 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 = [1] ⋅ 󰛆(−1)1+1 ⋅ 5 ⋅ + 𝟎 + 𝟎󰛇 = 8 9 0 10 0 0 10 0 10


⟸

má nejvı́ce nul



Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


2 5 0 0

3 4 5 6 7 6 7 8 9 = (−1)1+1 ⋅ 1 ⋅ 0 8 9 + 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 = [1] ⋅ 󰛆(−1)1+1 ⋅ 5 ⋅ + 𝟎 + 𝟎󰛇 = 8 9 0 10 0 0 10 0 10


⟸

má nejvı́ce nul



Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


2 5 0 0

3 4 5 6 7 6 7 8 9 = (−1)1+1 ⋅ 1 ⋅ 0 8 9 + 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 = [1] ⋅ 󰛆(−1)1+1 ⋅ 5 ⋅ + 𝟎 + 𝟎󰛇 = 8 9 0 10 0 0 10 0 10


⟸

má nejvı́ce nul



Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


2 5 0 0

3 4 5 6 7 6 7 8 9 = (−1)1+1 ⋅ 1 ⋅ 0 8 9 + 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 = [1] ⋅ 󰛆(−1)1+1 ⋅ 5 ⋅ + 𝟎 + 𝟎󰛇 = 8 9 0 10 0 0 10 0 10


⟸

má nejvı́ce nul



Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


2 5 0 0

3 4 5 6 7 6 7 8 9 = (−1)1+1 ⋅ 1 ⋅ 0 8 9 + 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 = [1] ⋅ 󰛆(−1)1+1 ⋅ 5 ⋅ + 𝟎 + 𝟎󰛇 = 8 9 0 10 0 0 10 0 10


⟸

má nejvı́ce nul



Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


2 5 0 0

3 4 5 6 7 6 7 8 9 = (−1)1+1 ⋅ 1 ⋅ 0 8 9 + 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 = [1] ⋅ 󰛆(−1)1+1 ⋅ 5 ⋅ + 𝟎 + 𝟎󰛇 = 8 9 0 10 0 0 10 0 10


⟸

má nejvı́ce nul

Hodnotu determinantu 3. ř ádu urč ı́me opě t rozvojem opět podle 1. sloupce (nebo 3. ř ádku). Hodnotu determinantu 2. ř ádu urč ı́me křížovým pravidlem. = [1] ⋅ [5] ⋅ [8 ⋅ 10 − 9 ⋅ 0] = [1] ⋅ [5] ⋅ [8 ⋅ 10] = 1 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ 10

Hodnotu determinantu (ve schodovité m tvaru), který má pod hlavní diagonálou pouze nuly, vypočteme jako součin prvků stojících v hlavní diagonále. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

4. Matice Matice typu (m,n) je uspoř ádaná soustava m ř ádků a Znač ı́me ji

n

𝑚 × 𝑛 č lenů zapsaný ch ve tvaru tabulky do sloupců . Obecně jde o prvky zapsané do obdé lnı́kové ho sché matu. 𝑎 𝑎1;2 ⎡ 1;1 ⎢ 𝑎2;1 𝑎2;2 ⎢ A(𝑚, 𝑛) = ⎢ 𝑎 𝑎𝑖;2 ⎢ 𝑖;1 ⎢ ⎣ 𝑎𝑚;1 𝑎𝑚;2

… 𝑎1;𝑗 … 𝑎2;𝑗 ⋮ … 𝑎𝑖;𝑗 ⋮ … 𝑎𝑚;𝑗

… 𝑎1;𝑛 ⎤ … 𝑎2;𝑛 ⎥ ⎥ … 𝑎𝑖;𝑛 ⎥ ⎥ ⎥ … 𝑎𝑚;𝑛 ⎦

(7)

C󰂪 ıś la a𝑖;𝑗 nazý vá me prvky matice A, i nazý vá me řádkovým indexem, j nazý vá me sloupcovým indexem. Spojnice prvků s tý mž ř ádkový m indexem, tedy 𝑎1;1 , 𝑎2;2 , 𝑎3;3 , … , 𝑎𝑟;𝑟 kde 𝑟 = min(𝑚, 𝑛) nazý vá me hlavní úhlopříčkou (diagoná lou) matice A 5 . Ně kdy se pro matici A(𝑎𝑖;𝑗 ) typu (𝑚, 𝑛) použ ı́vá i označ enı́ A(𝑎𝑖;𝑗 )𝑛𝑚 nebo jenom (𝑎𝑖;𝑗 )𝑛𝑚 , př ı́padně pouze A . Poznámka: Pojem matice lze de󰅮inovat i pro prvky jiné ho charakteru, než jsou č ı́sla. Jsou-li vš ak a𝑖𝑗 č ı́sla, hovoř ı́me o číselné matici. A to buď reá lné matici nebo komplexnı́ matici podle toho, je-li 𝑎𝑖𝑗 ∈ ℛ nebo 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝒦 . Dá le se budeme zabý vat jen reá lný mi maticemi. 5

U󰂦 hlopř ı́čka ve vlastnı́m slova smyslu je to ovš em jen př i 𝑚 = 𝑛.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

4.1. Speciální typy matic

Čtvercová matice řádu n má stejný poč et ř ádků a sloupců . Např ı́klad matice 󰛄

1 2 󰛅 je č tvercová . 4 5

Pokud je 𝑚 ≠ 𝑛, hovoř ı́me o obdélníkové matici, nebo jen o matici.

Řádková matice typu (1, 𝑛) je tvoř ena pouze jednı́m ř ádkem. Např ı́klad ř ádková matice [ 1 2 ] je typu (1, 2).

Sloupcová matice typu (𝑚, 1) je tvoř ena pouze jednı́m sloupcem. Např ı́klad matice 󰛄

𝑥 3 󰛅 a matice 󰛄 󰛅 jsou sloupcové matice typu (2, 1). 𝑦 6 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

0 0 … 0 ⎡ ⎤ 0 0 … 0 ⎥ 0=⎢ ⋮ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 … 0 ⎦

Nulová matice 0 má vš echny prvky rovny nule.

Jednotková matice E je č tvercová matice, která má v hlavní úhlopříčce (diagoná le) pouze jedničky a mimo ni nuly.

1 0 ⎡ 0 1 E=⎢ ⎢ ⎣ 0 0

… 0 ⎤ … 0 ⎥ ⋱ ⎥ … 1 ⎦

Transponovaná matice A𝑇 k matici A vznikne tak, když ř ádky matice A napı́šeme do sloupců matice

A𝑇 .

Např ı́klad prvnı́ matice

𝑇 1 4 1 2 3 󰛄 󰛅 =󰛊 2 5 󰛋 4 5 6 3 6

je transponovaná vzhledem ke druhé matici.

𝑇

1 4 1 2 3 Stejně tak platı́: 󰛄 Je zř ejmé , ž e (A𝑇 )𝑇 = A . 󰛅=󰛊 2 5 󰛋 4 5 6 3 6 R󰂪 ı́ká me, ž e jedna matice vznikla vznikla transpozicı́ matice druhé . •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Matice ve schodovitém (stupňovém, trojúhelníkovém) tvaru má vž dy pod prvnı́m nenulový m prvkem (brá no zleva) v dané m sloupci a vš ech př edchozı́ch samé nuly. 0 1 2 ⎡ 0 0 0 Např ı́klad ⎢ ⎢ 0 0 0 ⎣ 0 0 0

3 5 0 0

4 6 7 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

je matice ve schodovité m tvaru.

Regulární matice A (det A)

je č tvercová matice ř ádu je rů zný od nuly ⟹ det A ≠ 0.

n

taková , ž e determinant k nı́ př iř azený

Matice, která má př iř azený determinant roven nule, se nazý vá singulární.

4.2. Hodnost matice Hodnost matice je poč et nenulový ch ř ádků (tj. ř ádků , ve který se vyskytuje alespoň jeden prvek rů zný od nuly) matice ve schodovité m tvaru.

Tedy ná sledujı́cı́ matice má hodnost:

0 1 2 ⎡ 0 0 0 ℎ ⎢ ⎢ 0 0 0 ⎣ 0 0 0

3 5 0 0

4 6 7 0

⎤ ⎥=3. ⎥ ⎦

Což pro matici A zapisujeme jako ℎ (A) = 3 nebo jenom ℎ A = 3 .


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Ekvivalentní operace s maticemi jsou takové , př i který ch se nemě nı́ hodnost matice. Ekvivalentnı́ operace s maticemi nazý vá me té ž

Elementární úpravy matice.

Jsou analogické s ú pravami prová dě ný mi př i ř eš enı́ soustavy rovnic sč ı́tacı́ (souč tovou) metodou. Hodnost matice se nemění: 1. vymě nı́me-li v matici ř ádky za sloupce ⟹ transponová nı́ matice; 2. vymě nı́me-li navzá jem dva ř ádky, vyměníme-li navzájem dva sloupce; 3. vyná sobı́me-li který koliv ř ádek nenulový m č ı́slem vynásobíme-li kterýkoliv sloupec nenulovým číslem

𝑘≠0, 𝑘≠0;

4. př ič teme-li nenulový k–ná sobek (𝑘 ≠ 0) libovolné ho ř ádku k jiné mu ř ádku, přičteme-li nenulový k–násobek (𝑘 ≠ 0) libovolného sloupce k jinému sloupci; 5. př idá me-li nový ř ádek, který je nenulový m ná sobkem libovolné ho ř ádku, přidáme-li nový sloupec, který je nenulovým násobkem libovolného sloupce; 6. vynechá me-li ř ádek, který je nenulový m ná sobkem libovolné ho ř ádku, vynecháme-li sloupec, který je nenulovým násobkem libovolného sloupce; Provedeme-li s maticı́ A B , což zapı́šeme A ∼ B .

libovolnou ekvivalentnı́ (elementá rnı́) ú pravu, dostaneme novou matici


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Př ič ıt́ á nı́ nenulové ho ná sobku libovolné ho ř ádku k jiné mu ř ádku mů ž eme zobecnit ná sledujı́cı́m způ sobem. Vezmeme nenulové násobky libovolných řádků (každý řádek může být násoben jiným nenulovým číslem). Jejich součet, který nazýváme lineární kombinací těchto řádků vytvoří nový řádek, který teprve přičteme k jinému řádku. Poznámka: Ve smyslu př edchozı́ho zobecně nı́, mů ž eme ně které z uvedený ch elementá rnı́ch operacı́ rozš ı́řit ná sledovně : 4. př ič teme-li k libovolné mu ř ádku lineá rnı́ kombinaci ostatnı́ch ř ádků , přičteme-li k libovolnému sloupci lineární kombinaci ostatních sloupců; 5. př idá me-li nový ř ádek, který je lineá rnı́ kombinacı́ libovolný ch ř ádků , přidáme-li nový sloupec, který je lineární kombinací libovolných sloupců; 6. vynechá me-li ř ádek, který je lineá rnı́ kombinacı́ ostatnı́ch ř ádků , vynecháme-li sloupec, který je lineární kombinací ostatních sloupců;

Př i urč ová nı́ hodnosti matice A postupujeme tak, ž e matici A za použ itı́ elementá rnı́ch ú prav s ř ádky př evedeme na matici B (A ∼ B) , která je ve stupň ové m (schodovité m) tvaru. Vypustı́me ř ádky obsahujı́cı́ samé nuly a poč et zbylý ch ř ádků pak odpovı́dá hodnosti matice A.

1. pozn. Na ř ádky se dobrovolně omezı́me pouze z dů vodů analogie ř eš enı́ soustavy lineá rnı́ch rovnic sč ı́tacı́ (souč tovou) metodou. Př i urč ová nı́ hodnosti matice mů ž eme samozř ejmě pracovat i s jejı́mi sloupci, což ale př iná š ı́ zvý šené riziko zavleč enı́ chyb př i vý poč tu. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

2. pozn. Zobecně nı́ na lineá rnı́ kombinace lze nahradit ně kolika postupný mi kroky, kdy budeme ná sobit pouze jediný ř ádek.

Pro vě tš ı́ př ehlednost na pravé straně matice budeme zaznamená vat prová dě né operace, kdy ř ı́mské č ı́slice označ ujı́ př ı́sluš ný ř ádek. Zá pis 𝑖𝑖 + (−2).𝑖 potom znamená , ž e od druhé ho (𝑖𝑖) ř ádku odeč teme dvojná sobek (−2) prvnı́ho (𝑖) ř ádku. Cvičení

1. Vypoč tě te hodnost matice

Řešení:

1 1 3 ⎡ ⎢ 2 1 4 ⎢ 1 2 5 ⎣ 5 4 13

1 3 0 6

1 1 3 ⎡ 2 1 4 A=⎢ ⎢ 1 2 5 ⎣ 5 4 13

1 3 0 6

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

1 1 3 1 ⎤ ⎡ ⎤ 𝑖𝑖 + (−2).𝑖 0 −1 −2 1 ⎥ ⎥ ∼⎢ ∼ 1 2 −1 ⎥ 𝑖𝑖𝑖 + 𝑖𝑖 ⎥ 𝑖𝑖𝑖 + (−1).𝑖 ⎢ 0 1 ⎦ 𝑖𝑣 + (−1).𝑖𝑖 ⎦ 𝑖𝑣 + (−5).𝑖 ⎣ 0 −1 −2

1 1 3 1 ⎡ ⎤ 0 −1 −2 1 ⎥ 1 1 3 1 ⎢ ∼ ∼󰛄 󰛅 0 0 0 ⎥ 0 −1 −2 1 ⎢ 0 0 0 0 ⎦ ⎣ 0

⟹

ℎ (A) = 2.


Determ. Matice

Soustavy LAR


2. Stanovte hodnost matice

Řešení:

1 3 ⎡ 6 ⎢ 2 −2 −5 ⎢ 4 ⎣ 1

2 9 2 8

1 3 ⎡ 2 6 B=⎢ ⎢ −2 −5 4 ⎣ 1 0 7 4 4

5 12 5 20

2 9 2 8


Posloupnosti (apl.)

0 5 ⎤ 7 12 ⎥ 4 5 ⎥ 4 20 ⎦

⎤ ⎥ 𝑖𝑖 + (−2).𝑖 ∼ ⎥ 𝑖𝑖𝑖 + 2.𝑖 ⎦ 𝑖𝑣 + (−1).𝑖

1 ⎡ 0 ∼⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

3 0 1 1

2 5 6 6

0 5 1 ⎤ ⎡ 7 2 ⎥ 𝑖𝑖𝑖 0 ∼⎢ 4 15 ⎥ 𝑖𝑖 ⎢ 0 4 15 ⎦ 𝑖𝑣 + (−1).𝑖𝑖𝑖 ⎣ 0

1 ∼󰛊 0 0

3 1 0

2 1 5

0 5 4 15 󰛋 7 2

⟹

3 1 0 0

2 1 5 0

0 5 ⎤ 4 15 ⎥ ∼ 7 2 ⎥ 0 0 ⎦

ℎ (B) = 3.

Př ı́padně mů ž eme použ ı́t také ná sledujı́cı́ naznač enı́ prová dě ný ch operacı́: 1 3 ⎡ 2 6 ⎢ ⎢ −2 −5 4 ⎣ 1

2 9 2 8

0 7 4 4

5 12 5 20

⎤ ⎥ 𝑖𝑖 + (−2).𝑖 ⎥ 𝑖𝑖𝑖 + 2.𝑖 ⎦ 𝑖𝑣 + (−1).𝑖

⟺

1 3 ⎡ 2 6 ⎢ ⎢ −2 −5 4 ⎣ 1

2 9 2 8

0 7 4 4

5 12 5 20

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(−2) (2) (−1) ⌋ | | ⌋ | ⌋


Determ. Matice

Soustavy LAR


2 ⎡ 4 C=⎢ ⎢ 6 ⎣ 2

3. Urč ete hodnost matice

Řešení:

2 ⎡ 0 ∼⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

2 ⎡ ⎢ 4 ⎢ 6 ⎣ 2

−1 −2 −3 −1 −1 0 0 0

−1 −2 −3 −1

−1 3 −1 1 −1 −1 2 −12 −1 3 1 −5 2 −10 3 −15

2 −1 −1 3 ⎡ 0 0 1 −5 ∼⎢ 0 0 0 ⎢ 0 0 0 0 0 ⎣

1 3 0 0

1 5 9 10 1 3 6 9

−1 3 −1 1 −1 −1 2 −12

1 5 9 10


Posloupnosti (apl.)

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

⎤ ⎥ 𝑖𝑖 + (−2).𝑖 ∼ ⎥ 𝑖𝑖𝑖 + (−3).𝑖 ⎦ 𝑖𝑣 + (−1).𝑖

⎤ ⎥ ∼ ⎥ 𝑖𝑖𝑖 + (−2).𝑖𝑖 ⎦ 𝑖𝑣 + (−3).𝑖𝑖

⎤ 3 ⎥ ∼ 󰛄 2 −1 −1 0 0 1 −5 ⎥ ⎦

1 󰛅 3

⟹

ℎ (C) = 2.


Determ. Matice

Soustavy LAR


2 −3 16 6 −2 D=󰛊 1 1 3 2


2 −3 16 6 −2 󰛊 1 1 3 2

Řešení:

∼󰛄

1 0

3 2 3 −4


Řešení:

1 6 7 ⎡ ⎢ 3 5 11 ⎢ 12 5 3 ⎣ 15 25 10

2 󰛅 1

⟹

2 3 󰛋 𝑖𝑖 + (−1).𝑖 ∼ 1 𝑖𝑖𝑖 + (−2).𝑖

3 2 3 −4 0 0

2 1 󰛋∼ 0

ℎ (D) = 2.

1 6 7 ⎡ 3 5 11 A=⎢ ⎢ 12 5 3 ⎣ 15 25 10 1 4 1 6 1 4 5 30

Posloupnosti (apl.)

1 3 󰛋 2

1 𝑖𝑖𝑖 1 3 2 3 󰛋 𝑖𝑖 ∼ 󰛊 1 6 −2 2 𝑖 2 −3 16

1 3 2 2 1 3 −4 1 󰛋 ∼󰛊 0 ∼󰛊 0 0 −9 12 −3 𝑖𝑖𝑖 + 3.𝑖𝑖 0


1 4 ⎤ 1 6 ⎥ 1 4 ⎥ 5 30 ⎦

⎤ ⎥ 𝑖𝑖 + (−3).𝑖 ∼ ⎥ 𝑖𝑖𝑖 + (−4).𝑖𝑖 ⎦ 𝑖𝑣 + (−5).𝑖𝑖 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

1 6 7 1 4 ⎡ ⎤ 0 −13 −10 −2 −6 ⎥ 𝑖𝑖 + (−1).𝑖𝑖𝑖 ∼ ∼⎢ ⎢ 0 −15 −41 −3 −20 ⎥ 0 −45 0 0 ⎦ 𝑖𝑣 ∶ (−45) ⎣ 0 1 6 7 1 4 ⎡ ⎤ 0 2 31 1 14 ⎢ ⎥ 𝑖𝑖 + (−30).𝑖𝑣 ∼ ∼ ⎢ 0 −15 −41 −3 −20 ⎥ 0 1 0 0 ⎦ ⎣ 0 1 6 7 1 4 ⎡ ⎤ 0 2 1 1 14 ⎥ ⎢ ∼ ∼ ⎢ 0 −15 −41 −3 −20 ⎥ 𝑖𝑖𝑖 + 8.𝑖𝑖 0 1 0 0 ⎦ ⎣ 0 1 ⎡ 0 ∼⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

6 7 2 1 1 −33 0 1

1 ⎡ 0 ∼⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

6 7 1 −33 0 1 0 67

1 1 5 0

4 14 92 0

⎤ ⎥ 𝑖𝑖𝑖 ∼ ⎥ 𝑖𝑣 ⎦ 𝑖𝑖 + (−2).𝑖𝑖𝑖

1 4 ⎤ 5 92 ⎥ ∼ 0 0 ⎥ −9 −170 ⎦ 𝑖𝑣 + (−67).𝑖𝑖𝑖


Determ. Matice

Soustavy LAR

1 ⎡ 0 ∼⎢ ⎢ 0 ⎣ 0


6 7 1 −33 0 1 0 0


Řešení:

1 4 5 92 0 0 −9 −170

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

⟹

3 1 1 2 󰛋 0 𝜆−5

Posloupnosti (apl.)

ℎ (A) = 4.

1 3 1 B=󰛊 0 1 2 󰛋 1 5 𝜆

1 3 1 1 󰛊 0 1 2 󰛋 ∼󰛊 0 1 5 𝜆 𝑖𝑖𝑖 + (−1).𝑖 0

1 ∼󰛊 0 0


⟹

󰛆

3 1 1 2 󰛋 ∼ 2 𝜆 − 1 𝑖𝑖𝑖 + (−2).𝑖𝑖

𝜆=5 𝜆≠5

⇒ ⇒

ℎ (B) = 2 ℎ (B) = 3


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

5. Operace s maticemi Podobně jako s č ı́sly zavá dı́me i s maticemi poč etnı́ operace s př ıś luš ný mi pravidly.

Rovnost matic: A = B

Dvě matice A = (𝑎𝑖,𝑗 ) , B = (𝑏𝑖,𝑗 ) té hož typu (𝑚, 𝑛) jsou si rovny (pı́šeme A = B), prá vě když platı́: 𝑎𝑖,𝑗 = 𝑏𝑖,𝑗 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚 ; 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 , nebo-li 𝑎𝑖,𝑗 = 𝑏𝑖,𝑗 ; ∀ 𝑖, 𝑗. Symbol

∀𝑖, 𝑗

č teme pro každé i, j.

Z té to de󰅮inice a ze zná mý ch vlastnostı́ reá lný ch č ı́sel vyplý vajı́ tyto vlastnosti 6 rovnosti matic: 1. A = A 2. A = B ⇒ B = A 3. A = B ∧ B = C ⇒ A = C

re󰅮lexivnost symetrie tranzitivnost

Poznámka: Kaž dá rovnost mezi maticemi je struč ný m zá pisem prá vě jedné soustavy rovnostı́ mezi př ı́sluš ný mi prvky (č ı́sly). Např ı́klad: 𝑥1 1+𝑡 𝑥1 = 1 + 𝑡 𝑡 󰛊 𝑥2 󰛋 = 󰛊 󰛋 ⟺ 𝑥2 = 𝑡 𝑥3 3 − 4𝑡 𝑥3 = 3 − 4𝑡

6

Relace, která je re󰅮lexivnı́, symetrická a tranzitivnı́, se nazý vá ekvivalence.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Součin matice s číslem: k . A je matice stejné ho typu jako ná sobená matice, jejı́ž vš echny prvky jsou tı́mto č ı́slem ná sobeny. Např ı́klad (−2) ⋅ 󰛄

1 −3 2 1

6 (−2) ⋅ 1 (−2) ⋅ (−3) (−2) ⋅ 6 −2 6 −12 󰛅=󰛄 󰛅=󰛄 󰛅 0 (−2) ⋅ 2 (−2) ⋅ 1 (−2) ⋅ 0 −4 −2 0

Součet a rozdíl matic: A + B , A − B . Součtem matic typu (𝑚, 𝑛) rozumı́me matici 𝑐𝑖,𝑗 = 𝑎𝑖,𝑗 + 𝑏𝑖,𝑗 , ∀𝑖, 𝑗 (pı́šeme:

A = (𝑎𝑖,𝑗 ) , B = (𝑏𝑖,𝑗 ) C = (𝑐𝑖,𝑗 ) stejné ho typu, jejı́ž prvky jsou: C = A + B ).

té hož

Analogicky rozdílem matic A a B té hož typu rozumı́me matici C = A − B , pro kterou platı́: 𝑐𝑖,𝑗 = 𝑎𝑖,𝑗 − 𝑏𝑖,𝑗 , ∀𝑖, 𝑗 . Jinak ř eč eno: rozdı́l dvou matic urč ı́me jako souč et tě chto matic, z nichž druhá je vyná sobena č ı́slem –1. Např ı́klad 1 2 3 −1 −2 3 0 0 6 󰛄 󰛅+󰛄 󰛅=󰛄 󰛅 3 1 −5 2 5 −3 5 6 −8


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Poznámka: Z uvedený ch de󰅮inic a ze zná mý ch vlastnostı́ reá lný ch č ı́sel vyplý vajı́ ná sledujı́cı́ vlastnosti 7 pro libovolné matice A, B, C té hož typu a libovolná č ıś la 𝑘, 𝑘1 , 𝑘2 : • pro sč ı́tá nı́ matic (kde

0

je nulová matice stejné ho typu jako matice

1.

A+B=B+A

2.

A + (B + C) = (A + B) + C

3.

A+0=0+A=A

4.

∀A ∃(–A) ∶ A + (–A) = (–A) + A = 0

A)

komutativnı́ zá kon asociativnı́ zá kon pro souč et matic

Vztah č .4 č teme: Ke kaž dé (∀) matici A existuje (∃) matice, kterou nazý vá me maticı́ opač nou k matici A a označ ujeme –A, pro kterou platı́ (:), ž e jejich souč et je nulová matice (0). • pro ná sobenı́ matic č ı́slem: 5.

1⋅A=A

6.

𝑘1 ⋅ (𝑘2 ⋅ A) = (𝑘1 𝑘2 ) ⋅ A

7. 8.

7

asociativnı́ zá kon pro ná sobenı́ matice č ı́slem

(𝑘1 + 𝑘2 ) ⋅ A = 𝑘1 ⋅ A + 𝑘2 ⋅ A distributivnı́ zá kony pro 𝑘(A + B) = 𝑘 ⋅ A + 𝑘 ⋅ B ná sobenı́ matice č ı́slem

Struktura vyhovujı́cı́ pož adavků m 1.– 4. se nazý vá komutativní grupa vzhledem ke sčítání. Struktura vyhovujı́cı́ vš em pož adavků m 1.– 8. se nazý vá vektorový prostor.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

R󰂪 eš me soustavu dvou lineá rnı́ch rovnic o dvou nezná mý ch, kterou pož adujeme zapsat symbolicky, kde A je matice koe󰅮icientů , X je (sloupcová ) matice nezná mý ch a B matice pravý ch stran. A•X =B

⟹

󰛄

𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 = 𝑏1 𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 = 𝑏2

𝑎11 𝑎12 𝑥 𝑏 󰛅•󰛄 󰛅=󰛄 1 󰛅 𝑎21 𝑎22 𝑦 𝑏2

Nynı́ zaveďme ná sobenı́ matic

A•X

tak, aby platilo:

󰛄

𝑎11 𝑎12 𝑥 𝑎 𝑥 + 𝑎12 𝑦 󰛅 • 󰛄 󰛅 = 󰛄 11 󰛅 𝑎21 𝑎22 𝑦 𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


⟹

󰛄

𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 = 𝑏1 𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 = 𝑏2

𝑎11 𝑎12 𝑥 𝑏 󰛅•󰛄 󰛅=󰛄 1 󰛅 𝑎21 𝑎22 𝑦 𝑏2


A•X

tak, aby platilo:

󰛄

𝑎11 𝑎12 𝑥 𝑎 𝑥 + 𝑎12 𝑦 󰛅 • 󰛄 󰛅 = 󰛄 11 󰛅 𝑎21 𝑎22 𝑦 𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


⟹

󰛄

𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 = 𝑏1 𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 = 𝑏2

𝑎11 𝑎12 𝑥 𝑏 󰛅•󰛄 󰛅=󰛄 1 󰛅 𝑎21 𝑎22 𝑦 𝑏2


A•X

tak, aby platilo:

󰛄

𝑎11 𝑎12 𝑥 𝑎 𝑥 + 𝑎12 𝑦 󰛅 • 󰛄 󰛅 = 󰛄 11 󰛅 𝑎21 𝑎22 𝑦 𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

R󰂪 eš me soustavu dvou lineá rnı́ch rovnic o dvou nezná mý ch, kterou pož adujeme zapsat symbolicky, kde A je matice koe󰅮icientů , X je (sloupcová ) matice nezná mý ch a B matice pravý ch stran. 𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 = 𝑏1 𝑎 𝑎 𝑥 𝑏 A • X = B ⟹ 󰛄 11 12 󰛅 • 󰛄 󰛅 = 󰛄 1 󰛅 𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 = 𝑏2 𝑎21 𝑎22 𝑦 𝑏2 Nynı́ zaveďme ná sobenı́ matic

A•X

tak, aby platilo:

Násobení matic: A • B . Souč inem matice ném pořadí je matice 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚 ,

𝑝 C = (𝑐𝑖,𝑗 )𝑚 ,

󰛄

𝑎11 𝑎12 𝑥 𝑎 𝑥 + 𝑎12 𝑦 󰛅 • 󰛄 󰛅 = 󰛄 11 󰛅 𝑎21 𝑎22 𝑦 𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦

A = (𝑎𝑖,𝑗 )𝑛𝑚

pro jejı́ž prvky platı́:

a matice 𝑛

B = (𝑏𝑖,𝑗 )𝑛𝑝

𝑐𝑖𝑗 = ∑ 𝑎𝑖,𝑘 ⋅ 𝑏𝑘,𝑗

v da-

pro kaž dé

𝑘=1

𝑗 = 1, 2, … , 𝑝 .

De󰅮inice ř ık ́ á , ž e chceme-li urč it prvek souč inu dvou matic c 𝑖,𝑗 , musı́me každý č len i. řádku první matice (vlevo – levý index) vynásobit č lenem j. sloupce druhé matice (vpravo – pravý index) se stejným pořadím ( prvnı́×prvnı́ + druhý ×druhý + …+ poslednı́×poslednı́ ) a tyto součiny sečíst. Př ık ́ lad ná sobenı́ dvou matic:

󰛄

1 2 𝑥 𝑥 + 2𝑦 󰛅•󰛄 󰛅=󰛄 󰛅 4 5 𝑦 4𝑥 + 5𝑦

Pomů ž eme si např ı́klad takto zapsaný m postupem: 𝑥 1 2 4 5

󰛄

𝑦

𝑥 + 2𝑦 󰛅 4𝑥 + 5𝑦 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR

Příklad: Jsou dá ny matice Urč ete

A•B

a


3 A=󰛄 2

1 −2 4 󰛅 1 0 −1

a


Posloupnosti (apl.)

1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ B=⎢ . ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦

B•A.

Řešení: 3 A•B =󰛄 2

󰛄

1 3 ⎡ ⎤ 1 −2 4 −1 2 ⎥ −10 5 ⎢ =󰛄 󰛅• 󰛅 1 0 −1 3 10 ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦

(3)⋅(1)+(1)⋅(−1)+(−2)⋅(2)+(4)⋅(−2)

(3)⋅(3)+(1)⋅(2)+(−2)⋅(−1)+(4)⋅(−2)

(2)⋅(1)+(1)⋅(−1)+(0)⋅(2)+(−1)⋅(−2)

(2)⋅(3)+(1)⋅(2)+(0)⋅(−1)+(−1)⋅(−2)

󰛅


Determ. Matice

Soustavy LAR


A•B

a


3 A=󰛄 2

1 −2 4 󰛅 1 0 −1

a


Posloupnosti (apl.)

1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ B=⎢ . ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦

B•A.


󰛄

1 3 ⎡ ⎤ 1 −2 4 −1 2 ⎥ −10 5 ⎢ =󰛄 󰛅• 󰛅 1 0 −1 3 10 ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦

(3)⋅(1)+(1)⋅(−1)+(−2)⋅(2)+(4)⋅(−2)

(3)⋅(3)+(1)⋅(2)+(−2)⋅(−1)+(4)⋅(−2)

(2)⋅(1)+(1)⋅(−1)+(0)⋅(2)+(−1)⋅(−2)

(2)⋅(3)+(1)⋅(2)+(0)⋅(−1)+(−1)⋅(−2)

󰛅


Determ. Matice

Soustavy LAR


A•B

a


3 A=󰛄 2

1 −2 4 󰛅 1 0 −1

a


Posloupnosti (apl.)

1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ B=⎢ . ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦

B•A.


󰛄

1 3 ⎡ ⎤ 1 −2 4 −1 2 ⎥ −10 5 ⎢ =󰛄 󰛅• 󰛅 1 0 −1 3 10 ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦

(3)⋅(1)+(1)⋅(−1)+(−2)⋅(2)+(4)⋅(−2)

(3)⋅(3)+(1)⋅(2)+(−2)⋅(−1)+(4)⋅(−2)

(2)⋅(1)+(1)⋅(−1)+(0)⋅(2)+(−1)⋅(−2)

(2)⋅(3)+(1)⋅(2)+(0)⋅(−1)+(−1)⋅(−2)

󰛅


Determ. Matice

Soustavy LAR


A•B

a


3 A=󰛄 2

1 −2 4 󰛅 1 0 −1

a


Posloupnosti (apl.)

1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ B=⎢ . ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦

B•A.


󰛄

1 3 ⎡ ⎤ 1 −2 4 −1 2 ⎥ −10 5 ⎢ =󰛄 󰛅• 󰛅 1 0 −1 3 10 ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦

(3)⋅(1)+(1)⋅(−1)+(−2)⋅(2)+(4)⋅(−2)

(3)⋅(3)+(1)⋅(2)+(−2)⋅(−1)+(4)⋅(−2)

(2)⋅(1)+(1)⋅(−1)+(0)⋅(2)+(−1)⋅(−2)

(2)⋅(3)+(1)⋅(2)+(0)⋅(−1)+(−1)⋅(−2)

󰛅


Determ. Matice

Soustavy LAR


A•B

a


3 A=󰛄 2

1 −2 4 󰛅 1 0 −1

a


Posloupnosti (apl.)

1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ B=⎢ . ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦

B•A.


󰛄

1 3 ⎡ ⎤ 1 −2 4 −1 2 ⎥ −10 5 ⎢ =󰛄 󰛅• 󰛅 1 0 −1 3 10 ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦

(3)⋅(1)+(1)⋅(−1)+(−2)⋅(2)+(4)⋅(−2)

(3)⋅(3)+(1)⋅(2)+(−2)⋅(−1)+(4)⋅(−2)

(2)⋅(1)+(1)⋅(−1)+(0)⋅(2)+(−1)⋅(−2)

(2)⋅(3)+(1)⋅(2)+(0)⋅(−1)+(−1)⋅(−2)

󰛅


Determ. Matice

Soustavy LAR


A•B

a


3 A=󰛄 2

1 −2 4 󰛅 1 0 −1

a


Posloupnosti (apl.)

1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ B=⎢ . ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦

B•A.


󰛄

1 3 ⎡ ⎤ 1 −2 4 −1 2 ⎥ −10 5 ⎢ =󰛄 󰛅• 󰛅 1 0 −1 3 10 ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦

(3)⋅(1)+(1)⋅(−1)+(−2)⋅(2)+(4)⋅(−2)

(3)⋅(3)+(1)⋅(2)+(−2)⋅(−1)+(4)⋅(−2)

(2)⋅(1)+(1)⋅(−1)+(0)⋅(2)+(−1)⋅(−2)

(2)⋅(3)+(1)⋅(2)+(0)⋅(−1)+(−1)⋅(−2)

󰛅


Determ. Matice

Soustavy LAR


A•B

a


3 A=󰛄 2

1 −2 4 󰛅 1 0 −1

a


Posloupnosti (apl.)

1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ B=⎢ . ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦

B•A.


󰛄

1 3 ⎡ ⎤ 1 −2 4 −1 2 ⎥ −10 5 ⎢ =󰛄 󰛅• 󰛅 1 0 −1 3 10 ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦

(3)⋅(1)+(1)⋅(−1)+(−2)⋅(2)+(4)⋅(−2)

(3)⋅(3)+(1)⋅(2)+(−2)⋅(−1)+(4)⋅(−2)

(2)⋅(1)+(1)⋅(−1)+(0)⋅(2)+(−1)⋅(−2)

(2)⋅(3)+(1)⋅(2)+(0)⋅(−1)+(−1)⋅(−2)

󰛅


Determ. Matice

Soustavy LAR


A•B

a


3 A=󰛄 2

1 −2 4 󰛅 1 0 −1

Posloupnosti (apl.)

1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ B=⎢ . ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦

B•A.


󰛄

1 3 ⎡ ⎤ 1 −2 4 −1 2 ⎥ −10 5 ⎢ =󰛄 󰛅• 󰛅 1 0 −1 3 10 ⎢ 2 −1 ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦

(3)⋅(1)+(1)⋅(−1)+(−2)⋅(2)+(4)⋅(−2)

(3)⋅(3)+(1)⋅(2)+(−2)⋅(−1)+(4)⋅(−2)

(2)⋅(1)+(1)⋅(−1)+(0)⋅(2)+(−1)⋅(−2)

(2)⋅(3)+(1)⋅(2)+(0)⋅(−1)+(−1)⋅(−2)

1 3 ⎡ ⎤ −1 2 ⎥ 3 ⎢ B•A= •󰛄 2 ⎢ 2 −1 ⎥ −2 −2 ⎣ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

a


󰛅

9 4 −2 1 ⎡ ⎤ 1 −2 4 1 1 2 −6 ⎥ ⎢ 󰛅= 1 0 −1 4 1 −4 9 ⎥ ⎢ −10 −4 4 −6 ⎣ ⎦

(1)⋅(3)+(3)⋅(2)

(1)⋅(1)+(3)⋅(1)

(1)⋅(−2)+(3)⋅(0)

(1)⋅(4)+(3)⋅(−1)

(−1)⋅(3)+(2)⋅(2)

(−1)⋅(1)+(2)⋅(1)

(−1)⋅(−2)+(2)⋅(0)

(−1)⋅(4)+(2)⋅(−1)

(2)⋅(3)+(−1)⋅(2)

(2)⋅(1)+(−1)⋅(1)

(2)⋅(−2)+(−1)⋅(0)

(2)⋅(4)+(−1)⋅(−1)

(−2)⋅(3)+(−2)⋅(2)

(−2)⋅(1)+(−2)⋅(1)

(−2)⋅(−2)+(−2)⋅(0)

(−2)⋅(4)+(−2)⋅(−1)

⎤ ⎥ ⎥ ⎦


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Poznámky k násobení matic: 1. Již z uvedené ho př ı́kladu vidı́me, ž e pro ná sobenı́ matic obecně neplatı́ komutativnı́ zá kon (o zá mě ně č initelů ). Matice

A

je typu

(2, 4) ,

• prvnı́ vypoč ı́taný souč in

matice A•B

• kdež to druhý vypoč ı́taný souč in

B

je typu

je typu B•A

(4, 2) . Proto:

(2, 4)(4, 2) = (2, 2) , je typu

(4, 2)(2, 4) = (4, 4) .

2. Je-li např ı́klad A typu (2, 4) a matice B je typu (4, 5) , pak souč in A•B existuje a je to matice typu (2, 4)(4, 5) = (2, 5) , kdež to souč in B • A vů bec nenı́ de󰅮inová n (neexistuje). 3. Násobení matic tedy nemá naprosto stejné vlastnosti, jako násobení čísel. Dalš ı́ odliš nosti si uká ž eme ve cvič enı́ k té to kapitole.

4. Jsou-li matice

A , 0 (nulová )

a

E (jednotková )

čtvercové matice stejného řádu,

platı́: A•0=0•A=0

a

A•E =E•A=A,

jak snadno zjistı́me vyná sobenı́m. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Vlastnosti násobení matic Ná sobenı́ matic dá vá poně kud odliš né vý sledky, než které dostá vá me př i ná sobenı́ č ıś el, jak bylo naznač eno v př edchozı́ pozná mce. Nechť A , B a C jsou matice a k č ı́slo. Potom: 1. Obecně neplatí komutativní zákon o zá mě ně č initelů . Tedy nelze předpokládat (viz prvnı́ a druhý bod př edchozı́ pozná mky), ž e vž dy platı́ A • B = B • A . Toto funguje pouze u č tvercový ch matic. A navı́c pouze u ně který ch. Tyto pak nazveme zaměnitelné. Spı́še platı́:

A•B ≠B•A

2. Z rovnosti A • B = 0 nemů ž eme usuzovat, ž e A = 0 nebo B = 0 . Pokud souč in dvou matic je roven nulové matici, nutně z toho neplyne, ž e alespoň jedna z nich je také nulová , jak je uká zá no v př ı́kladech 2. a) a 6. 3. Z rovnosti A2 = A nemů ž eme usuzovat, ž e A = E nebo A = 0 , jak je uká zá no v př ı́kladu 2. b) i když ř eš enı́m kvadratické rovnice 𝑥 2 = 𝑥 je prá vě jednička a nula. 4. Při násobení matic nelze krátit, jak je uká zá no v př ı́kladu 3. 5. (A • B) • C = A • (B • C)

asociativnı́ zá kon (o sdruž ová nı́ č initelů ).

6. 𝑘 ⋅ (A • B) = (𝑘 ⋅ A) • B = A • (𝑘 ⋅ B)

asociativnı́ zá kon pro ná sobenı́ souč inu matic č ıś lem.

7. (A + B) • C = A • C + B • C

distributivnı́ zá kon, kdy zá vorka je vlevo.

8. A • (B + C) = A • B + A • C

distributivnı́ zá kon, kdy zá vorka je vpravo. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Cvičení

1. Jsou dá ny matice

A=󰛄

1 2 󰛅 3 1

,

B=󰛄

7 4 󰛅 6 7

Urč ete

A•B

a

B•A .

Řešení:

A•B =B•A

⟹

A•B =󰛄

1 2 7 4 19 18 󰛅•󰛄 󰛅=󰛄 󰛅 3 1 6 7 27 19

B•A=󰛄

7 4 1 2 19 18 󰛅•󰛄 󰛅=󰛄 󰛅 6 7 3 1 27 19

Matice

A

a

B

jsou zamě nitelné .


Determ. Matice

Soustavy LAR



A=󰛄

1 0 󰛅 , 0 0

B=󰛄

0 0 󰛅 . 1 2


Vypoč tě te:

a) b)

Posloupnosti (apl.)

A•B A2

Řešení a) A•B =󰛄

1 0 0 0 0 0 󰛅•󰛄 󰛅=󰛄 󰛅=0 0 0 1 2 0 0

Z rovnosti A • B = 0 nevyplý vá , ž e by alespoň jedna z matic A nebo B musela bý t nulová . Nebo jinak: souč inem dvou nenulový ch matic mů ž e bý t nulová matice.

Řešení b) A2 = A • A = 󰛄

Z rovnosti A • A = A nebo nulová .

( A2 = A )

1 0 1 0 1 0 󰛅•󰛄 󰛅=󰛄 󰛅=A 0 0 0 0 0 0 nevyplý vá , ž e by matice

A

musela bý t jednotková


Determ. Matice

Soustavy LAR



A=󰛄


0 1 5 1 2 2 󰛅 , B=󰛄 󰛅 , C=󰛄 󰛅 . Vypoč tě te 0 2 3 1 3 1

Posloupnosti (apl.)

A•B

a

A•C.

Řešení: A•B =󰛄

0 1 5 1 3 1 󰛅•󰛄 󰛅=󰛄 󰛅 0 2 3 1 6 2

A•C =󰛄

0 1 2 2 3 1 󰛅•󰛄 󰛅=󰛄 󰛅 0 2 3 1 6 2

Z rovnosti A • B = A • C nemůžeme krátit.

nelze č init zá vě r, ž e

B =C.

Při násobení matic proto


Determ. Matice

Soustavy LAR


Vypoč tě te


A=󰛄

2⋅A−B

a

2 1 4 󰛅 −2 0 6

,

B=󰛄


−4 2 6 󰛅 0 3 6

Posloupnosti (apl.)

.

1

− ⋅ A + 3 ⋅ B. 2

Řešení: 2⋅A−B =2⋅󰛄

=󰛄

4 −4

2 1 4 −4 2 6 󰛅−󰛄 󰛅= −2 0 6 0 3 6

2 8 4 −2 −6 8 0 󰛅+󰛄 󰛅=󰛄 0 12 0 −3 −6 −4 −3

2 󰛅 6

1 1 2 1 4 −4 2 6 − ⋅A+3⋅B =− ⋅󰛄 󰛅+3⋅󰛄 󰛅= −2 0 6 0 3 6 2 2 1

=󰛄

−12 6 18 −1 − 2 −2 −13 󰛅+󰛄 󰛅=󰛄 0 9 18 1 0 −3 1

11 2

9

16 󰛅 15


Determ. Matice

Soustavy LAR


Řešení:

A•B =󰛄


Řešení:


2 1 1 A=󰛄 󰛅 3 0 1

,

3 1 B=󰛊 2 1 󰛋 1 0


Vypoč tě te

Posloupnosti (apl.)

A•B.

3 1 2 1 1 2.3 + 1.2 + 1.1 2.1 + 1.1 + 1.0 9 3 󰛅•󰛊 2 1 󰛋=󰛄 󰛅=󰛄 󰛅 3 0 1 3.3 + 0.2 + 1.1 3.1 + 0.1 + 1.0 10 3 1 0

1 2 3 C=󰛊 2 4 6 󰛋 3 6 9

,

−1 −2 −4 D = 󰛊 −1 −2 −4 󰛋 1 2 4

Vypoč tě te

C•D.

1 2 3 −1 −2 −4 0 0 0 C • D = 󰛊 2 4 6 󰛋 • 󰛊 −1 −2 −4 󰛋 = 󰛊 0 0 0 󰛋 3 6 9 1 2 4 0 0 0


Determ. Matice

Soustavy LAR

7. Je dá na matice

A=󰛄


3 2 󰛅 −4 −2

Vypoč tě te


A5 .

A5 = A • A • A • A • A = (A • A) • {(A • A) • A} =

Řešení: = 󰛂󰛄

3 2 3 2 1 2 3 2 󰛅•󰛄 󰛅󰛃 • 󰛆󰛂󰛄 󰛅󰛃 • 󰛄 󰛅󰛇 = −4 −2 −4 −2 −4 −4 −4 −2

= 󰛂󰛄

1 2 −5 −2 3 −2 󰛅󰛃 • 󰛆󰛄 󰛅󰛇 = 󰛄 󰛅 −4 −4 4 0 4 8


Řešení:

=󰛊

Posloupnosti (apl.)

1 2 1 B=󰛊 2 1 2 󰛋 1 2 3

,

4 1 1 C = 󰛊 −4 2 0 󰛋 1 2 1

Vypoč tě te

B•C−C•B.

1 2 1 4 1 1 4 1 1 1 2 1 B • C − C • B = 󰛊 2 1 2 󰛋 • 󰛊 −4 2 0 󰛋 − 󰛊 −4 2 0 󰛋 • 󰛊 2 1 2 󰛋 = 1 2 3 1 2 1 1 2 1 1 2 3 −3 7 2 7 11 6 8 4 󰛋 − 󰛊 0 −6 −1 11 4 6 6

9 −10 −4 −7 0 󰛋=󰛊 6 14 4 󰛋 8 −7 5 −4 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

6. Inverzní matice Nejprve ř eš me rovnici

𝑎𝑥 = 𝑏 ,

kde

𝑎⋅𝑥 −1 𝑎 ⋅ (𝑎 ⋅ 𝑥) (𝑎−1 ⋅ 𝑎) ⋅ 𝑥 1 ( ⋅ 𝑎) ⋅ 𝑥 ⏝𝑎 ⎵⏟⎵⏝

𝑎≠0, 𝑏

jsou reá lná č ı́sla.

= 𝑏 | ⋅ 𝑎−1 (ná sobı́me zleva) = 𝑎−1 ⋅ 𝑏 (asociativnı́ zá kon) = 𝑎−1 ⋅ 𝑏 = 𝑎−1 ⋅ 𝑏

1

𝑥 = 𝑎−1 ⋅ 𝑏

(protož e:

1 ⋅ 𝑥 = 𝑥)

Analogická situace nastá vá i př i ř eš enı́ maticové rovnice A • X = B , kde A , B jsou dané matice a X je matice s nezná mý mi prvky. Pokud by existovala matice A−1 s vlastnostı́ A−1 • A = E , kde E je jednotková matice, mohli bychom danou maticovou rovnici, za využ itı́ vý sledků uvedený ch v kapitole Operace s maticemi (a to 5. vlastnosti na straně 77 a 4. pozná mky na straně 76) ř eš it takto: A•X = B | • A−1 (ná sobı́me zleva) A−1 • (A • X) = A−1 • B (asociativnı́ zá kon) −1 −1 (A •⎵A) ⏝⎵⎵⏟⎵ ⏝•X = A • B

5. vlastnost

E X = A−1 • B

(protož e:

E • X = X)

4. poznámka

Je proto př irozená ná sledujı́cı́ de󰅮inice:


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Inverzní matice A−1 k (regulární) matici A je matice splň ujı́cı́ ná sledujı́cı́ vztah: A • A−1

1 0 ⎡ 0 1 = A−1 • A = E = ⎢ ⎢ ⎣ 0 0

… 0 ⎤ … 0 ⎥ ⋱ ⎥ … 1 ⎦

Z uvedené ho vztahu je zř ejmé , ž e inverznı́ matice existuje jenom k regulá rnı́ 8 č tvercové matici. Pro urč enı́ inverznı́ matice k matici A existuje ně kolik rů zný ch metod, z nichž jedna je ná sledujı́cı́. Napı́šeme matici [ A | E | ∑ ] takto: • do levé ho pole napı́šeme matici A, ke které hledá me inverznı́ matici A−1 ; • do prostř ednı́ho pole napı́šeme jednotkovou matici E; • do pravé ho pole př ipojı́me kontrolnı́ sloupec ∑, ve které m je souč et vš ech č ı́sel dané ho ř ádku. Takto zapsanou matici upravujeme za pomoci pouze řádkových elementá rnı́ch ú prav 9 (které jsou analogické s ú pravami prová dě ný mi př i ř eš enı́ soustavy rovnic souč tovou metodou) tak dlouho, až v levé m poli dostaneme jednotkovou matici E. V prostř ednı́m poli pak bude hledaná inverznı́ matice A−1 . Vztah mezi pů vodnı́ maticı́ a upravenou budeme (tak jako dř ı́ve) označ ovat ∼ . Provedeme-li př ı́sluš nou ř ádkovou elementá rnı́ ú pravu i v kontrolnı́m sloupci, musı́ se opě t souč et v př ı́sluš né m ř ádku shodovat s nově vzniklý m č ı́slem v kontrolnı́m sloupci. 8

K singulá rnı́ matici inverznı́ matice neexistuje.

9

Elementá rnı́ ú pravy (ekvivalentnı́ ú pravy matice) byly zavedeny na straně 53 v kapitole nazvané Hodnost matice.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Pro vě tš ı́ př ehlednost na pravé straně matice budeme zaznamená vat prová dě né operace s tı́m, ž e malý mi ř ı́mský mi č ı́slicemi označ ı́me př ı́sluš ný ř ádek. Zá pis 𝑖𝑖 + (−3).𝑖 tedy vyjadř uje, ž e: každý prvek prvního řádku vynásobíme mínus třemi a přičteme k odpovídajícímu prvku druhého řádku.

Příklad: Vypoč tě te inverznı́ matici A−1 k matici A = 󰛊 2 2 = 󰛊 1 −1 −1 2 1 −1 4 ∼󰛊 0 0 1

3 1 0 0 1 0 0 0 1 3 1 −2 1 0 1

0 1 0

0 8 𝑖𝑖 1 −1 0 1 󰛋𝑖 ∼ 󰛊 2 2 1 3 𝑖𝑖𝑖 −1 2 0 1 1 −1 0 6 󰛋 𝑖𝑖𝑖 ∼ 󰛊 0 1 1 4 𝑖𝑖 0 4

2 2 1 −1 −1 2 0 0 3 1 1 0

3 0 󰛋 1 1 0 0

0 0 1 1 0 1 3 1 −2

⇒

[A|E| ∑]=

0 1 0 8 󰛋 𝑖𝑖 + (−2).𝑖 ∼ 1 3 𝑖𝑖𝑖 + 𝑖 0 1 1 4 󰛋 ∼ 0 6 𝑖𝑖𝑖 + (−4).𝑖𝑖

1 −1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 4 󰛋 𝑖𝑖 + 𝑖𝑖𝑖 ∼ ∼󰛊 0 0 0 −1 1 −6 −4 −10 (−1).𝑖𝑖𝑖 1 −1 1 ∼󰛊 0 0 0

0 0 1 0 1 𝑖 + 𝑖𝑖 1 0 0 1 −4 −3 −5 0 1 −5 −3 −6 󰛋 0 1 0 1 −5 −3 −6 󰛋 = [ E | A−1 | ∑ ] ∼󰛊 1 −1 6 4 10 0 0 1 −1 6 4 10

1 0 0 1 −4 −3 −5 1 −5 −3 −6 󰛋 = [ E | A−1 | ∑ ] 󰛊 0 1 0 0 0 1 −1 6 4 10

⟹

−1

A

1 −4 −3 = 󰛊 1 −5 −3 󰛋 −1 6 4


Determ. Matice

Soustavy LAR


Zkouš ku, to jest vý poč et souč inu matic

−1

A

−1

A•A

1 −4 −3 2 2 • A = 󰛊 1 −5 −3 󰛋 • 󰛊 1 −1 −1 6 4 −1 2

2 2 = 󰛊 1 −1 −1 2

3 0 󰛋=E 1


Posloupnosti (apl.)

3 1 −4 −3 0 󰛋•󰛊 1 −5 −3 󰛋 = E 1 −1 6 4

a souč inu

ponechá vá me č tená ř i.

Další způsob určení inverzní matice Jestliž e č tvercová matice A je tvoř ena prvky 𝑎𝑖;𝑗 , což jsme dř ı́ve označ ovali A(𝑎𝑖;𝑗 ) , pak jejı́ matice algebraických doplňků D𝐴 je tvoř ena determinanty det D𝑖;𝑗 , tedy D𝐴 (det D𝑖;𝑗 ) , které sestrojı́me ná sledujı́cı́m způ sobem: Postup sestavení matice algebraických doplňků D𝐴 Z pů vodnı́ matice vynechá me ř ádek i a sloupec j a z toho co zbude sestavı́me determinant, který navı́c opatř ı́me znamé nkem (−1)𝑖+𝑗 . Potom platı́ ná sledujı́cı́ vztah, který nebudeme dokazovat: A−1 =

1 det A

⋅ D𝑇𝐴

=

1 det A

⋅ adj D

Hodnota determinantu tvoř ené ho jediný m prvkem (determinant má jeden ř ádek a jeden sloupec) je rovna prá vě tomuto prvku. Transponovanou matici algebraický ch doplň ků nazý vá me adjungovaná matice, tedy D𝑇𝐴 = adj D •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR


−1

Příklad: Vypoč tě te inverznı́ matici A

2 2 k matici A = 󰛊 1 −1 −1 2


Posloupnosti (apl.)

3 0 󰛋 pomocı́ adjungované matice. 1

2 2 3 1 −1 0 = +(2) ⋅ (−1) ⋅ (1) + (1) ⋅ (2) ⋅ (3) + (−1) ⋅ (2) ⋅ (0) − (3) ⋅ (−1) ⋅ (−1) − −1 2 1 −(0) ⋅ (2) ⋅ (2) − (1) ⋅ (2) ⋅ (1) = −2 + 6 − 3 − 2 = −𝟏 Řešení: det A =

𝐷1;1 = (−1)1+1 ⋅

−1 0 = −1 2 1

𝐷1;2 = (−1)1+2 ⋅

1 0 = −1 −1 1

𝐷1;3 = (−1)1+3 ⋅

1 −1 =1 −1 2

𝐷2;1 = (−1)2+1 ⋅

2 3 =4 2 1

𝐷2;2 = (−1)2+2 ⋅

2 3 =5 −1 1

𝐷2;3 = (−1)2+3 ⋅

2 2 = −6 −1 2

𝐷3;1 = (−1)3+1 ⋅

2 3 =3 −1 0

𝐷3;2 = (−1)3+2 ⋅

2 3 =3 1 0

𝐷3;3 = (−1)3+3 ⋅

2 2 = −4 1 −1

𝑇

−1

A

−1 −1 1 −1 4 3 1 1 5 −6 󰛋 = 5 3 󰛋 = ⋅󰛊 4 ⋅ 󰛊 −1 det A −1 3 3 −4 1 −6 −4

⟹

−1

A

1 −4 −3 = 󰛊 1 −5 −3 󰛋 −1 6 4


Determ. Matice

Soustavy LAR


6.3. Příklad Urč ete inverznı́ matici

B

−1

k matici

2 1 ⎡ 3 2 B=⎢ 1 ⎢ 1 ⎣ 2 −1

0 0 3 2

0 0 4 3


Posloupnosti (apl.)

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 ⎡ 1 2 3 4 ⎤ 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 1. Řešení — dle definice B • B−1 = E. Označ me B−1 = ⎢ 1 2 3 4 ⎥. 𝑢 ⎢ 1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 ⎥ ⎣ 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑣4 ⎦ Potom po rozepsá nı́ a ú pravě vý še uvedené ho vztahu 1 0 0 0 2 1 0 0 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 1 2 3 4 ⎤ 0 1 0 0 3 2 0 0 ⎢ ⎥ = E = B • B−1 = ⎢ ⎥ • ⎢ 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦4 ⎥ 1 3 4 ⎥ ⎢ 𝑢1 𝑢 2 𝑢3 𝑢4 ⎥ ⎢ 0 0 1 0 ⎥ ⎢ 1 0 0 0 1 2 −1 2 3 ⎦ ⎣ 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑣4 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ dostaneme ná sledujı́cı́ soustavu lineá rnı́ch algebraický ch rovnic: 2𝑥1 + 𝑦1 2𝑥2 + 𝑦2 2𝑥3 + 𝑦3 2𝑥4 + 𝑦4

= = = =

1 0 0 0

(1) (2) (3) (4)

3𝑥1 + 2𝑦1 3𝑥2 + 2𝑦2 3𝑥3 + 2𝑦3 3𝑥4 + 2𝑦4

= = = =

0 1 0 0

(5) (6) (7) (8)


Determ. Matice

Soustavy LAR

kde např ı́klad z:


(1) a (5) (2) a (6) (3) a (7) (4) a (8)


Posloupnosti (apl.)

𝑥1 + 𝑦1 + 3𝑢1 + 4𝑣1 𝑥2 + 𝑦2 + 3𝑢2 + 4𝑣2 𝑥3 + 𝑦3 + 3𝑢3 + 4𝑣3 𝑥4 + 𝑦4 + 3𝑢4 + 4𝑣4

= = = =

0 0 1 0

(9) (10) (11) (12)

2𝑥1 − 𝑦1 + 2𝑢1 + 3𝑣1 2𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑢2 + 3𝑣2 2𝑥3 − 𝑦3 + 2𝑢3 + 3𝑣3 2𝑥4 − 𝑦4 + 2𝑢4 + 3𝑣4

= = = =

0 0 0 1

(13) (14) (15) (16)

dostaneme dostaneme dostaneme dostaneme

𝑥1 = 2 𝑥2 = −1 𝑥3 = 0 𝑥4 = 0

a a a a

𝑦1 = −3 𝑦2 = 2 𝑦3 = 0 𝑦4 = 0

a po dosazenı́ tě chto hodnot do zbý vajı́cı́ch rovnic pokrač ujeme v urč ová nı́ ostatnı́ch nezná mý ch. 3𝑢1 + 4𝑣1 3𝑢2 + 4𝑣2 3𝑢3 + 4𝑣3 3𝑢4 + 4𝑣4

= = = =

1 −1 1 0

(9) (10) (11) (12)

2𝑢1 + 3𝑣1 2𝑢2 + 3𝑣2 2𝑢3 + 3𝑣3 2𝑢4 + 3𝑣4

= = = =

−7 4 0 1

(13) (14) (15) (16)


Determ. Matice

pak z:

B−1

Soustavy LAR


(9) a (13) (10) a (14) (11) a (15) (12) a (16)

dostaneme dostaneme dostaneme dostaneme

𝑢1 = 31 𝑢2 = −19 𝑢3 = 3 𝑢4 = −4

a a a a


Posloupnosti (apl.)

𝑣1 = −23 𝑣2 = 14 𝑣3 = −2 𝑣4 = 3

2 −1 0 0 ⎡ ⎤ −3 2 0 0 ⎥ =⎢ 3 −4 ⎥ ⎢ 31 −19 14 −2 3 ⎦ ⎣ −23

[ B | E | ∑ ] ∼ [ E | B−1 | ∑ ]

Řešení — úpravami jednotkové matice 2 1 ⎡ 2 ⎢ 3 1 ⎢ 1 2 −1 ⎣

0 0 3 2

0 0 4 3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 4 𝑖𝑖𝑖 ⎤ 0 6 ⎥ 𝑖 + (−2).𝑖𝑖𝑖 ∼ 0 10 ⎥ 𝑖𝑖 + (−3).𝑖𝑖𝑖 1 7 ⎦ 𝑖𝑣 + (−2).𝑖𝑖𝑖

1 1 3 4 0 ⎡ 0 −1 −6 −8 1 ∼⎢ ⎢ 0 −1 −9 −12 0 ⎣ 0 −3 −4 −5 0

0 1 0 −2 1 −3 0 −2

0 10 ⎤ 0 −16 ⎥ (−1).𝑖𝑖 ∼ 0 −24 ⎥ 𝑖𝑖𝑖 + (−1).𝑖𝑖 1 −13 ⎦ 𝑖𝑣 + (−3).𝑖𝑖

1 ⎡ 0 ∼⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

0 1 0 2 1 −1 0 4

0 10 ⎤ 0 16 ⎥ ∼ 0 −8 ⎥ 1 35 ⎦ 𝑖𝑣 + 5.𝑖𝑖𝑖

1 3 4 0 1 6 8 −1 0 −3 −4 −1 0 14 19 −3


Determ. Matice

Soustavy LAR


1 ⎡ 0 ∼⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

1 3 4 0 1 6 8 −1 0 −3 −4 −1 0 −1 −1 −8

0 1 0 2 1 −1 5 −1

1 ⎡ 0 ∼⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

1 1 0 0

3 4 0 0 6 8 −1 0 1 1 8 −5 0 −1 23 −14

1 ⎡ 0 ∼⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

1 1 0 0

3 6 1 0

0 92 −56 0 183 −112 0 31 −19 1 −23 14

1 ⎡ 0 ∼⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

1 1 0 0

0 0 1 0

0 −1 1 0 −3 2 0 31 −19 1 −23 14

1 ⎡ 0 ∼⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 2 −1 0 0 2 ⎤ 0 −3 2 0 0 0 ⎥ 0 31 −19 3 −4 12 ⎥ 1 −23 14 −2 3 −7 ⎦


Posloupnosti (apl.)

0 10 ⎤ 0 16 ⎥ ∼ 0 −8 ⎥ (−1).𝑖𝑣 1 −5 ⎦ 𝑖𝑖𝑖 + (−3).𝑖𝑣

1 0 10 𝑖 + 4.𝑖𝑣 ⎤ 2 0 16 ⎥ 𝑖𝑖 + 8.𝑖𝑣 ∼ 1 −1 5 ⎥ 𝑖𝑖𝑖 + 𝑖𝑣 2 −3 7 ⎦ (−1).𝑖𝑣 9 −12 38 𝑖 + (−3).𝑖𝑖𝑖 ⎤ 18 −24 72 ⎥ 𝑖𝑖 + (−6).𝑖𝑖𝑖 ∼ 3 −4 12 ⎥ −2 3 −7 ⎦ 0 0 2 0 0 0 3 −4 12 −2 3 −7

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

𝑖 + (−1).𝑖𝑖 ∼

⟹

B−1

2 −1 0 0 ⎡ ⎤ −3 2 0 0 ⎥ =⎢ 3 −4 ⎥ ⎢ 31 −19 14 −2 3 ⎦ ⎣ −23


Determ. Matice

Soustavy LAR


0 0 3 2

0 2 0 rozv. 1. ř. 1+1 = (−1) ⋅ (2) ⋅ 1 4 −1 3

0 3 2

Posloupnosti (apl.)

1 ⋅ D𝑇𝐵 det B

B−1 =

Řešení — pomocí determinantu a algebraických doplňků: 2 1 3 2 det B = 1 1 2 −1


0 3 0 0 1+2 4 + (−1) ⋅ (1) ⋅ 1 3 4 = 3 2 2 3

= 2 ⋅ (18 − 16) − (27 − 24) = 4 − 3 = 1

𝐷1;1 = (−1)1+1 ⋅

𝐷1;3 = (−1)

𝐷2;1 = (−1)

𝐷2;3 = (−1)

0 3 2

⋅

3 2 1 1 2 −1

1 ⋅ 1 −1

0 3 2

1+3

2+1

2 1 −1

2+3

⋅

2 1 1 1 2 −1

0 4 3

=2 0 4 3

0 4 3

= 31

= −1 0 4 3

= −19

3 1 2

𝐷1;2 = (−1)1+2 ⋅

𝐷1;4 = (−1)

𝐷2;2 = (−1)

1+4

2+2

2+4

0 4 3

= −3

3 2 1 1 2 −1

⋅

⋅

𝐷2;4 = (−1)

0 3 2

2 1 2 ⋅

0 3 2 2 1 1 1 2 −1

0 3 2 0 4 3

= −23

=2 0 3 2

= 14


Determ. Matice

Soustavy LAR

𝐷3;1 = (−1)

3+1

𝐷3;3 = (−1)

𝐷4;1 = (−1)

𝐷4;3 = (−1)

1 ⋅ 2 −1

3+3

4+1


1 2 1 ⋅

0 0 3

2 1 3 2 2 −1

⋅

⋅

4+3

0 0 2

0 0 3 2 3 1

=0 0 0 3

0 0 4 1 2 1

=3

= −0 0 0 4

= −4

𝐷3;2 = (−1)

3+2

𝐷3;4 = (−1)

𝐷4;2 = (−1)


2 3 2

⋅

3+4

4+2

𝐷4;4 = (−1)

0 0 2

0 0 3

Posloupnosti (apl.)

= −0

⋅

2 1 3 2 2 −1

0 0 2

= −2

⋅

2 3 1

0 0 4

=0

4+4

⋅

0 0 3 2 3 1

1 2 1

0 0 3

=3

𝑇

B

−1

⎡ 1 = ⋅⎢ det B ⎢ ⎣

2 −3 31 −23 2 −1 0 0 2 −1 0 0 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 −1 2 −19 14 ⎥ −3 2 0 0 ⎥ ⎢ −3 2 0 0 ⎥ ⎢ = ⋅ = 0 0 3 −2 ⎥ 3 −4 ⎥ ⎢ 31 −19 3 −4 ⎥ 1 ⎢ 31 −19 0 0 −4 3 ⎦ −23 14 −2 3 −23 14 −2 3 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR


Příklad: R󰂪 eš te maticovou rovnici A=󰛄

2 1 󰛅, 3 2

B=󰛄

−3 2 󰛅, 5 −3

A•X •B=C, C=󰛄


Posloupnosti (apl.)

kde

−2 4 󰛅. 3 −1

Řešení — jeden způsob Označ me prvky nezná mé matice X = 󰛄

𝑥1 𝑦1 󰛅 jako v př edchozı́m př ı́kladu 10 . 𝑥2 𝑦2

Potom po rozná sobenı́ zadané ho vztahu 󰛄 󰛄 󰛄

2 1 𝑥 𝑦 −3 2 −2 4 󰛅•󰛄 1 1 󰛅•󰛄 󰛅 = 󰛄 󰛅 3 2 𝑥2 𝑦2 5 −3 3 −1

2𝑥1 + 1𝑥2 2𝑦1 + 1𝑦2 −3 2 −2 4 󰛅•󰛄 󰛅 = 󰛄 󰛅 3𝑥1 + 2𝑥2 3𝑦1 + 2𝑦2 5 −3 3 −1

−6𝑥1 − 3𝑥2 + 10𝑦1 + 5𝑦2 4𝑥1 + 2𝑥2 − 6𝑦1 − 3𝑦2 −2 4 󰛅 = 󰛄 󰛅 −9𝑥1 − 6𝑥2 + 15𝑦1 + 10𝑦2 6𝑥1 + 4𝑥2 − 9𝑦1 − 6𝑦2 3 −1

dostaneme ná sledujı́cı́ soustavu lineá rnı́ch algebraický ch rovnic −6𝑥1 − 3𝑥2 + 10𝑦1 + 5𝑦2 4𝑥1 + 2𝑥2 − 6𝑦1 − 3𝑦2 −9𝑥1 − 6𝑥2 + 15𝑦1 + 10𝑦2 6𝑥1 + 4𝑥2 − 9𝑦1 − 6𝑦2

= −2 = 4 = 3 = −1

př ič emž ř eš enı́ takový ch soustav lineá rnı́ch rovnic bude probı́rá no pozdě ji. 10

Pozorný č tená ř zajisté zaznamenal, ž e v př edchozı́m př ık ́ ladu jsme x 𝑖 zapisovali do ř ádků a nynı́ je pı́šeme do sloupců . Je to zá mě r, abyste si uvě domili, ž e na vlastnı́ vý poč et nemá volba znač enı́ vliv.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Řešení — další způsob. Budeme ř eš it maticovou rovnici analogicky jako bychom postupovali př i ř eš enı́ rovnice 𝑎 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑏 = 𝑐, kde 𝑎, 𝑏, 𝑐 jsou č ı́sla a 𝑥 nezná má . A•X •B −1 A • A • X • B • B−1 (A−1 • A) • X • (B • B−1 ) E•X •E X

= = = = =

C | • A−1 (zleva); A−1 • C • B−1 A−1 • C • B−1 A−1 • C • B−1 A−1 • C • B−1

• B−1 (zprava)

Nynı́ urč ı́me př ı́sluš né inverznı́ matice. Zopakujeme si a procvič ı́me dva způ soby.

A−1 ∶ pomocı́ elementá rnı́ch ú prav matice A−1 ∶ 󰛄 ∼󰛄

A

společ ně s jednotkovou maticı́

E

2 1 1 0 4 𝑖 + (−1).𝑖𝑖 −1 −1 1 −1 −2 (−1).𝑖 ∼󰛄 ∼ 󰛅 󰛅 3 2 0 1 6 3 2 0 1 6 𝑖𝑖 + 3.𝑖

1 1 −1 1 2 𝑖 + 𝑖𝑖 1 0 2 −1 2 ∼󰛄 󰛅 󰛅 0 −1 3 −2 0 (−1).𝑖𝑖 0 1 −3 2 0

⟹

A−1 = 󰛄

2 −1 󰛅 −3 2


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

B−1 ∶ pomocı́ adjungované matice, což je transponovaná matice algebraický ch doplň ků (subdeterminantů s patř ič ný m znamé nkem) matice B B

−1

=

=

1 −3 2 5 −3

𝑇

𝑇

1 (−1)1+1 ⋅ (−3) (−1)1+2 ⋅ (5) −3 −5 ⋅󰛄 ⋅󰛄 󰛅 = 󰛅 = 2+1 2+2 (−1) ⋅ (2) (−1) ⋅ (−3) −2 −3 9 − 10

1 −3 −2 ⋅󰛄 󰛅 −5 −3 −1

⟹

B−1 = 󰛄

3 2 󰛅 5 3

Potom

Ově řenı́, ž e

X = 󰛄

2 −1 −2 4 3 2 󰛅•󰛄 󰛅•󰛄 󰛅 −3 2 3 −1 5 3

X = 󰛄

−7 9 3 2 󰛅•󰛄 󰛅 12 −14 5 3

X = 󰛄

24 13 󰛅 −34 −18

A • X • B = C , tedy

󰛄

2 1 24 13 −3 2 −2 4 󰛅•󰛄 󰛅•󰛄 󰛅=󰛄 󰛅 3 2 −34 −18 5 −3 3 −1

ponechá vá me č tená ř i. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Soustavy lineárních algebraických rovnic


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Obsah kapitoly: Soustavy lineárních algebraických rovnic 1. Soustavy lineárních algebraických rovnic 1.1. Speciá lnı́ typy soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nehomogennı́ soustava lineá rnı́ch algebraický ch rovnic . Homogennı́ soustava lineá rnı́ch algebraický ch rovnic . . Ekvivalentnı́ soustavy lineá rnı́ch algebraický ch rovnic . 1.2. Frobeniova vě ta o ř eš enı́ soustavy lineá rnı́ch rovnic . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

100 102 102 102 103 103

2. Hledání kořenů soustavy lineárních algebraických rovnic 2.1. Gaussova (Jordanova) eliminač nı́ metoda — GEM . . . . . . . . . . . . . Odvozenı́ metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Popis metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cvič enı́ — GEM, Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Cramerovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cvič enı́ — Cramerovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. R󰂪 eš enı́ soustav lineá rnı́ch algebraický ch rovnic pomocı́ inverznı́ matice Cvič enı́ — Pomocı́ inverznı́ matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

104 104 106 122 124 128 129 130 131

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

1. Soustavy lineárních algebraických rovnic Ze stř ednı́ š koly dovedeme ř eš it soustavu dvou rovnic o dvou nezná mý ch. Vı́me, ž e např ı́klad ř eš enı́m soustavy 3𝑥 + 𝑦 = 5 𝑥−𝑦 = 3

(8)

(a to jediný m) je 𝑥 = 2 a 𝑦 = −1 . Toto ř eš enı́ najdeme např ık ́ lad tak, ž e ú pravou druhé rovnice osamostatnı́me 𝑥 (𝑥 = 3 + 𝑦) a dosadı́me do prvnı́ rovnice. Soustava 2𝑥 − 𝑦 = 3 6𝑥 − 3𝑦 = 7

(9)

nemá ž ádné ř eš enı́. Splň ujı́-li totiž č ı́sla 𝑥 , 𝑦 prvnı́ z rovnic (9), nesplň ujı́ druhou rovnici. Pokud platı́ prvnı́ z rovnic 2𝑥 − 𝑦 = 3 , pak platı́ i jejı́ trojná sobek 6𝑥 − 3𝑦 = 9 . A v tom př ı́padě nemů ž e platit 6𝑥 − 3𝑦 = 7 . R󰂪 ı́ká me, ž e soustava (9) není řešitelná nebo ž e nemá řešení. Soustava 2𝑥 − 𝑦 = 3 6𝑥 − 3𝑦 = 9

(10)

je ř eš itelná . R󰂪 eš enı́m je např ı́klad 𝑥 = 2 , 𝑦 = 1 , ale také např ı́klad 𝑥 = 1 , 𝑦 = −1 nebo 𝑥 = 3 , 𝑦 = 3 . Tedy soustava (10) nenı́ ř eš itelná jednoznač ně . •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Otá zky ř eš itelnosti lineá rnı́ch rovnic majı́ v matematice a jejı́ch aplikacı́ch velký vý znam. V prá vě uvedený ch př ı́kladech jsme o ř eš itelnosti daný ch soustav snadno rozhodli. V př ı́padě soustav o vě tš ı́m poč tu nezná mý ch nenı́ již otá zka ř eš itelnosti zdaleka tak př ehledná . Jednı́m z hlavnı́ch ú kolů lineá rnı́ algebry je najı́t jednak jednoduchá krité ria, na zá kladě který ch lze rozhodnout o ř eš itelnosti takový ch soustav, jednak ú č inné metody, jak tyto soustavy ř eš it. V př edchozı́ch kapitolá ch jsme k tomuto problé mu vybudovali potř ebný apará t. Ten nynı́ využ ijeme pro ř eš enı́ soustavy m lineá rnı́ch rovnic o n nezná mý ch. 𝑎11 𝑥1 + 𝑎21 𝑥1 +

𝑎12 𝑥2 + … + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 𝑎22 𝑥2 + … + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛

𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + … + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛

= 𝑏1 = 𝑏2 ⋮ = 𝑏𝑚

(11)

Př ı́padně zapsanou maticově 𝑎 𝑎12 … 𝑎1𝑛 ⎡ 11 𝑎 ⎢ 21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 ⋮ ⎢ ⎣ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛

𝑥 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡ ⎥ ⋅ ⎢ 𝑥2 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⋮ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 𝑥𝑛 ⎦ ⎣

𝑏1 𝑏2 ⋮ 𝑏𝑚

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

nebo

𝑎 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑏1 ⎡ 11 𝑎 ⎢ 21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝑏2 ⋮ ⋮ ⎢ ⎣ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(12)

Řešením soustavy (11) nazý vá me kaž dý systé m 𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑛 (mů ž eme také ř ı́ci kaž dou matici k 𝑇 = [𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑛 ] ), takový, ž e když č ı́sla 𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑛 dosadı́me za nezná mé 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 do levý ch stran rovnic (11), jsou vš echny tyto rovnice zá roveň splně ny. Řešit soustavu (11) znamená najı́t všechna jejı́ ř eš enı́. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

1.1. Speciální typy soustav Nehomogenní soustava lineárních algebraických rovnic

Vztahem 11 jsme zavedli pojem soustavy lineá rnı́ch algebraický ch rovnic. Pokud je soustava uvedena takto obecně , kdy nic nevı́me o tvaru pravý ch stran 𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑚 hovoř ı́me o nehomogennı́ soustavě lineá rnı́ch algebraický ch rovnic.

Homogenní soustava lineárních algebraických rovnic má vš echny pravé strany rovny nule. Tedy

b𝑖 = 0

pro

𝑖 = 1, 2, … , 𝑚

nebo A⋅X =0

kde A je matice soustavy, X je sloupcová matice (sloupcový vektor) nezná mý ch a 0 je nulová sloupcová matice (sloupcový vektor) jejı́ž vš echny prvky (jehož vš echny souř adnice) jsou rovny nule. Homogennı́ soustava 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + … + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 0 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + … + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 0 (13) ⋮ 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + … + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 0 má vž dy alespoň jedno ř eš enı́, a to tzv. triviální řešení

⇒

𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0, … , 𝑥𝑛 = 0.

Řešit soustavu (13), znamená najı́t všechna jejı́ netriviální ř eš enı́.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Ekvivalentní soustavy lineárních algebraických rovnic o stejné m poč tu nezná mý ch (nikoliv nutně o stejné m poč tu rovnic) mají stejné řešení. Jinak ř eč eno: kaž dé ř eš enı́ prvnı́ soustavy je zá roveň ř eš enı́m druhé soustavy, a naopak, kaž dé ř eš enı́ druhé soustavy je ř eš enı́m prvnı́ soustavy.

1.2. Frobeniova věta o řešení soustavy lineárních rovnic Je-li n poč et nezná mý ch v soustavě (11) a označ ı́me-li h hodnost matice soustavy (matice zcela vlevo) ve vztahu (12) a h𝑟 hodnost matice rozš ı́řené (matice zcela vpravo), potom Nutnou a postač ujı́cı́ podmı́nkou, aby soustava lineá rnı́ch rovnic o n telná , je, aby matice soustavy a rozš ı́řená matice mě ly stejnou hodnost.

Dů sledek Frobeniovy věty: ℎ ≠ ℎ𝑟

nezná mý ch byla ř eš i-

soustava nemá ř eš enı́;

ℎ = ℎ𝑟 = 𝑛

soustava má právě jedno ř eš enı́;

ℎ = ℎ𝑟 < 𝑛

soustava má nekonečně mnoho ř eš enı́ (𝑛 − ℎ nezná mý ch mů ž eme vž dy vhodně zvolit a ostatnı́ pomocı́ nich vypoč ıt́ at).

Ně kdy se tato vý še uvedená vě ta 11 označ uje také jako vě ta Kronecker–Capelli. 11

V matematice se historicky ustá lilo nazý vat podobné vý roky větou. Ovš em stejně dobř e bychom mohli použ ı́t např ı́klad: Frobenius řekl, tvrdil, napsal, dokázal že, …


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

2. Hledání kořenů soustavy lineárních algebraických rovnic 2.1. Gaussova (Jordanova) eliminační metoda — GEM Tento postup je nazvá n po matematikovi, který ji poprvé podrobně popsal ve dvou krocı́ch (chodech). Jinak již č ı́ňané hluboko př ed naš ı́m letopoč tem použ ı́vali podobný postup pro ř eš enı́ speciá lnı́ch (neuměli použít obecně na libovolnou soustavu) soustav rovnic. Zmı́ně nou metodu si odvodı́me na ná sledujı́cı́m př ı́kladu, kdy budeme ř eš it soustavu tř ı́ lineá rnı́ch algebraický ch rovnic o tř ech nezná mý ch sč ıt́ acı́ metodou, kterou zná te ze stř ednı́ š koly. Jejı́ princip spoč ıv ́ á v tom, ž e ně kterou z rovnic vyná sobı́me vhodný m nenulovým č ı́slem a př ič teme ji k jiné rovnici tak, aby se vyruš ila jedna promě nná . Když to provedeme ješ tě jednou, př evedeme soustavu tř ı́ lineá rnı́ch algebraický ch rovnic o tř ech nezná mý ch na soustavu dvou lineá rnı́ch algebraický ch rovnic o dvou nezná mý ch. Postup analogicky zopakujeme a zı́ská me jednu rovnici o jedné nezná mé . Tu vyř eš ı́me a hodnotu nezná mé dosadı́me zpě t do zbylý ch rovnic a tı́m najdeme i ostatnı́ koř eny pů vodnı́ho systé mu.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

GEM — Gaussova eliminační metoda 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 9 3𝑥 + 7𝑦 − 8𝑧 = −1 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 −𝑦 + 6𝑧 = 9 𝑦 − 2𝑧 = −1

| ⋅(−2) ⋅(−3) ⌋ | ⌋

| ⋅(1) ⌋

𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 /1 −𝑦 + 6𝑧 = 9 /2 2𝑧 = 4 /3 ⇒ 𝑧 = 2 −𝑦 + 6 ⋅ 2 = 9 /2 ⇒ 𝑦 = 3 𝑥 + 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 = 0 /1 ⇒ 𝑥 = −2

Př i ř eš enı́ uvedené soustavy rovnic budeme prvnı́ rovnici př ič ıt́ at k ostatnı́m rovnicı́m, proto ji opı́šeme. Potom dvojná sobek prvnı́ rovnice odeč teme od druhé rovnice a trojná sobek prvnı́ rovnice odeč teme od tř etı́ rovnice. Prvnı́ a druhou rovnici opě t opı́šeme a druhou rovnici př ič teme ke tř etı́ rovnici. Nynı́ ze tř etı́ rovnice urč ı́me hodnotu nezná mé z a tuto hodnotu dosadı́me do druhé rovnice. Vypoč ıt́ á me y a (vč etně z) dosadı́me do prvnı́ rovnice. Potom již mů ž eme urč it hodnotu zbý vajı́cı́ promě nné x.

Prvnı́ č ást vý poč tu (která je psá na č erně — přímý chod), mů ž eme pomocı́ matic zapsat ná sledovně 1 󰛊 2 3

2 −2 3 2 7 −8

0 ⋅(−2) ⋅(−3) 1 2 −2 ⌋ | 9 󰛋 6 ∼ 󰛊 0 −1 ⌋ −1 0 1 −2

0 1 2 −2 9 󰛋 ⋅(1) ∼ 󰛊 0 −1 6 −1 ⌋ 0 0 2

0 9 󰛋 4

a pomocı́ Frobeniovy vě ty (o hodnostech matic) rozhodnout o existenci a poč tu ř eš enı́. A pokud ř eš enı́ existuje, pak poslednı́ matici (odspodu nahoru) opě t př epı́šeme do rovnic (zpětný chod) a ř eš ı́me tak, jak je to popsá no č ervenou barvou. Při provádění zpětného chodu také můžeme rozhodnout o existenci a počtu řešení. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


| ⋅(−2) ⋅(−3) ⌋ | ⌋

| ⋅(1) ⌋

𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 /1 −𝑦 + 6𝑧 = 9 /2 2𝑧 = 4 /3 ⇒ 𝑧 = 2 −𝑦 + 6 ⋅ 2 = 9 /2 ⇒ 𝑦 = 3 𝑥 + 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 = 0 /1 ⇒ 𝑥 = −2



2 −2 3 2 7 −8

0 ⋅(−2) ⋅(−3) 1 2 −2 ⌋ | 9 󰛋 6 ∼ 󰛊 0 −1 ⌋ −1 0 1 −2

0 1 2 −2 9 󰛋 ⋅(1) ∼ 󰛊 0 −1 6 −1 ⌋ 0 0 2

0 9 󰛋 4


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


| ⋅(−2) ⋅(−3) ⌋ | ⌋

| ⋅(1) ⌋

𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 /1 −𝑦 + 6𝑧 = 9 /2 2𝑧 = 4 /3 ⇒ 𝑧 = 2 −𝑦 + 6 ⋅ 2 = 9 /2 ⇒ 𝑦 = 3 𝑥 + 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 = 0 /1 ⇒ 𝑥 = −2



2 −2 3 2 7 −8

0 ⋅(−2) ⋅(−3) 1 2 −2 ⌋ | 9 󰛋 6 ∼ 󰛊 0 −1 ⌋ −1 0 1 −2

0 1 2 −2 9 󰛋 ⋅(1) ∼ 󰛊 0 −1 6 −1 ⌋ 0 0 2

0 9 󰛋 4


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


| ⋅(−2) ⋅(−3) ⌋ | ⌋

| ⋅(1) ⌋

𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 /1 −𝑦 + 6𝑧 = 9 /2 2𝑧 = 4 /3 ⇒ 𝑧 = 2 −𝑦 + 6 ⋅ 2 = 9 /2 ⇒ 𝑦 = 3 𝑥 + 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 = 0 /1 ⇒ 𝑥 = −2



2 −2 3 2 7 −8

0 ⋅(−2) ⋅(−3) 1 2 −2 ⌋ | 9 󰛋 6 ∼ 󰛊 0 −1 ⌋ −1 0 1 −2

0 1 2 −2 9 󰛋 ⋅(1) ∼ 󰛊 0 −1 6 −1 ⌋ 0 0 2

0 9 󰛋 4


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


| ⋅(−2) ⋅(−3) ⌋ | ⌋

| ⋅(1) ⌋

𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 /1 −𝑦 + 6𝑧 = 9 /2 2𝑧 = 4 /3 ⇒ 𝑧 = 2 −𝑦 + 6 ⋅ 2 = 9 /2 ⇒ 𝑦 = 3 𝑥 + 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 = 0 /1 ⇒ 𝑥 = −2



2 −2 3 2 7 −8

0 ⋅(−2) ⋅(−3) 1 2 −2 ⌋ | 9 󰛋 6 ∼ 󰛊 0 −1 ⌋ −1 0 1 −2

0 1 2 −2 9 󰛋 ⋅(1) ∼ 󰛊 0 −1 6 −1 ⌋ 0 0 2

0 9 󰛋 4


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


| ⋅(−2) ⋅(−3) ⌋ | ⌋

| ⋅(1) ⌋

𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 /1 −𝑦 + 6𝑧 = 9 /2 2𝑧 = 4 /3 ⇒ 𝑧 = 2 −𝑦 + 6 ⋅ 2 = 9 /2 ⇒ 𝑦 = 3 𝑥 + 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 = 0 /1 ⇒ 𝑥 = −2



2 −2 3 2 7 −8

0 ⋅(−2) ⋅(−3) 1 2 −2 ⌋ | 9 󰛋 6 ∼ 󰛊 0 −1 ⌋ −1 0 1 −2

0 1 2 −2 9 󰛋 ⋅(1) ∼ 󰛊 0 −1 6 −1 ⌋ 0 0 2

0 9 󰛋 4


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


| ⋅(−2) ⋅(−3) ⌋ | ⌋

| ⋅(1) ⌋

𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 /1 −𝑦 + 6𝑧 = 9 /2 2𝑧 = 4 /3 ⇒ 𝑧 = 2 −𝑦 + 6 ⋅ 2 = 9 /2 ⇒ 𝑦 = 3 𝑥 + 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 = 0 /1 ⇒ 𝑥 = −2



2 −2 3 2 7 −8

0 ⋅(−2) ⋅(−3) 1 2 −2 ⌋ | 9 󰛋 6 ∼ 󰛊 0 −1 ⌋ −1 0 1 −2

0 1 2 −2 9 󰛋 ⋅(1) ∼ 󰛊 0 −1 6 −1 ⌋ 0 0 2

0 9 󰛋 4


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


| ⋅(−2) ⋅(−3) ⌋ | ⌋

| ⋅(1) ⌋

𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 /1 −𝑦 + 6𝑧 = 9 /2 2𝑧 = 4 /3 ⇒ 𝑧 = 2 −𝑦 + 6 ⋅ 2 = 9 /2 ⇒ 𝑦 = 3 𝑥 + 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 = 0 /1 ⇒ 𝑥 = −2



2 −2 3 2 7 −8

0 ⋅(−2) ⋅(−3) 1 2 −2 ⌋ | 9 󰛋 6 ∼ 󰛊 0 −1 ⌋ −1 0 1 −2

0 1 2 −2 9 󰛋 ⋅(1) ∼ 󰛊 0 −1 6 −1 ⌋ 0 0 2

0 9 󰛋 4


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


| ⋅(−2) ⋅(−3) ⌋ | ⌋

| ⋅(1) ⌋

𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 /1 −𝑦 + 6𝑧 = 9 /2 2𝑧 = 4 /3 ⇒ 𝑧 = 2 −𝑦 + 6 ⋅ 2 = 9 /2 ⇒ 𝑦 = 3 𝑥 + 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 = 0 /1 ⇒ 𝑥 = −2



2 −2 3 2 7 −8

0 ⋅(−2) ⋅(−3) 1 2 −2 ⌋ | 9 󰛋 6 ∼ 󰛊 0 −1 ⌋ −1 0 1 −2

0 1 2 −2 9 󰛋 ⋅(1) ∼ 󰛊 0 −1 6 −1 ⌋ 0 0 2

0 9 󰛋 4


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


| ⋅(−2) ⋅(−3) ⌋ | ⌋

| ⋅(1) ⌋

𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 /1 −𝑦 + 6𝑧 = 9 /2 2𝑧 = 4 /3 ⇒ 𝑧 = 2 −𝑦 + 6 ⋅ 2 = 9 /2 ⇒ 𝑦 = 3 𝑥 + 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 = 0 /1 ⇒ 𝑥 = −2



2 −2 3 2 7 −8

0 ⋅(−2) ⋅(−3) 1 2 −2 ⌋ | 9 󰛋 6 ∼ 󰛊 0 −1 ⌋ −1 0 1 −2

0 1 2 −2 9 󰛋 ⋅(1) ∼ 󰛊 0 −1 6 −1 ⌋ 0 0 2

0 9 󰛋 4


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


| ⋅(−2) ⋅(−3) ⌋ | ⌋

| ⋅(1) ⌋

𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 /1 −𝑦 + 6𝑧 = 9 /2 2𝑧 = 4 /3 ⇒ 𝑧 = 2 −𝑦 + 6 ⋅ 2 = 9 /2 ⇒ 𝑦 = 3 𝑥 + 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 = 0 /1 ⇒ 𝑥 = −2



2 −2 3 2 7 −8

0 ⋅(−2) ⋅(−3) 1 2 −2 ⌋ | 9 󰛋 6 ∼ 󰛊 0 −1 ⌋ −1 0 1 −2

0 1 2 −2 9 󰛋 ⋅(1) ∼ 󰛊 0 −1 6 −1 ⌋ 0 0 2

0 9 󰛋 4


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


| ⋅(−2) ⋅(−3) ⌋ | ⌋

| ⋅(1) ⌋

𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 /1 −𝑦 + 6𝑧 = 9 /2 2𝑧 = 4 /3 ⇒ 𝑧 = 2 −𝑦 + 6 ⋅ 2 = 9 /2 ⇒ 𝑦 = 3 𝑥 + 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 = 0 /1 ⇒ 𝑥 = −2



2 −2 3 2 7 −8

0 ⋅(−2) ⋅(−3) 1 2 −2 ⌋ | 9 󰛋 6 ∼ 󰛊 0 −1 ⌋ −1 0 1 −2

0 1 2 −2 9 󰛋 ⋅(1) ∼ 󰛊 0 −1 6 −1 ⌋ 0 0 2

0 9 󰛋 4


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


| ⋅(−2) ⋅(−3) ⌋ | ⌋

| ⋅(1) ⌋

𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 /1 −𝑦 + 6𝑧 = 9 /2 2𝑧 = 4 /3 ⇒ 𝑧 = 2 −𝑦 + 6 ⋅ 2 = 9 /2 ⇒ 𝑦 = 3 𝑥 + 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 = 0 /1 ⇒ 𝑥 = −2



2 −2 3 2 7 −8

0 ⋅(−2) ⋅(−3) 1 2 −2 ⌋ | 9 󰛋 6 ∼ 󰛊 0 −1 ⌋ −1 0 1 −2

0 1 2 −2 9 󰛋 ⋅(1) ∼ 󰛊 0 −1 6 −1 ⌋ 0 0 2

0 9 󰛋 4


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


| ⋅(−2) ⋅(−3) ⌋ | ⌋

| ⋅(1) ⌋

𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 /1 −𝑦 + 6𝑧 = 9 /2 2𝑧 = 4 /3 ⇒ 𝑧 = 2 −𝑦 + 6 ⋅ 2 = 9 /2 ⇒ 𝑦 = 3 𝑥 + 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 = 0 /1 ⇒ 𝑥 = −2



2 −2 3 2 7 −8

0 ⋅(−2) ⋅(−3) 1 2 −2 ⌋ | 9 󰛋 6 ∼ 󰛊 0 −1 ⌋ −1 0 1 −2

0 1 2 −2 9 󰛋 ⋅(1) ∼ 󰛊 0 −1 6 −1 ⌋ 0 0 2

0 9 󰛋 4


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


| ⋅(−2) ⋅(−3) ⌋ | ⌋

| ⋅(1) ⌋

𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 /1 −𝑦 + 6𝑧 = 9 /2 2𝑧 = 4 /3 ⇒ 𝑧 = 2 −𝑦 + 6 ⋅ 2 = 9 /2 ⇒ 𝑦 = 3 𝑥 + 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 = 0 /1 ⇒ 𝑥 = −2



2 −2 3 2 7 −8

0 ⋅(−2) ⋅(−3) 1 2 −2 ⌋ | 9 󰛋 6 ∼ 󰛊 0 −1 ⌋ −1 0 1 −2

0 1 2 −2 9 󰛋 ⋅(1) ∼ 󰛊 0 −1 6 −1 ⌋ 0 0 2

0 9 󰛋 4


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


| ⋅(−2) ⋅(−3) ⌋ | ⌋

| ⋅(1) ⌋

𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 /1 −𝑦 + 6𝑧 = 9 /2 2𝑧 = 4 /3 ⇒ 𝑧 = 2 −𝑦 + 6 ⋅ 2 = 9 /2 ⇒ 𝑦 = 3 𝑥 + 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 = 0 /1 ⇒ 𝑥 = −2



2 −2 3 2 7 −8

0 ⋅(−2) ⋅(−3) 1 2 −2 ⌋ | 9 󰛋 6 ∼ 󰛊 0 −1 ⌋ −1 0 1 −2

0 1 2 −2 9 󰛋 ⋅(1) ∼ 󰛊 0 −1 6 −1 ⌋ 0 0 2

0 9 󰛋 4


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Gaussova metoda postupných eliminací je postup, kdy rozš ı́řenou matici soustavy př evá dı́me na stupň ový tvar ⟹ nazý vá me přímý chod. Poté takto upravenou matici znovu př epı́šeme jako soustavu rovnic a postupně vyč ı́slujeme jednotlivé nezná mé . Tento proces urč ová nı́ nezná mý ch nazý vá me zpětný chod. Pokud se nespokojı́me se stupň ovitý m tvarem rozš ı́řené matice soustavy, ale nejenom pod ale i nad prvnı́m nenulový m prvkem v kaž dé m ř ádku ú pravou zı́ská me nuly a navı́c kaž dý ř ádek vydě lı́me jediný m nenulový m prvkem dané ho ř ádku v matici soustavy, nazý vá me tento postup Jordanovou metodou. Jde vlastně o modi󰅮ikaci Gaussovy eliminač nı́ metody, kdy př evá dı́me matici soustavy pomocı́ elementá rnı́ch ú prav na matici jednotkovou. Je tř eba upozornit na fakt, ž e u soustavy, která má nekoneč ně mnoho ř eš enı́, ne vž dy mů ž eme volit parametr za libovolnou nezná mou. Např ı́klad ř eš me soustavu 2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 4 −4𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧 = 7

(14)

Přímý chod: Napiš me rozš ı́řenou matici soustavy (14), kterou ekvivalentnı́mi ú pravami (ekvivalentnı́ soustavy majı́ stejná ř eš enı́) budeme př evá dě t na stupň ový tvar. Chceme-li př i vý poč tech souč asně prová dě t i zkouš ku sprá vnosti prová dě ný ch vý poč tů , př idá me ješ tě dalš ı́ sloupec obsahujı́cı́ souč et dané ho ř ádku. To ale v tomto jednoduché m př ı́padě nenı́ nutné . 󰛄

2 −4

1 −3 4 ⋅2 2 ∼󰛄 󰛅 3 6 7 ⌋ 0

1 −3 4 󰛅 5 0 15


Determ. Matice

Soustavy LAR


Zpětný chod:

Př epı́šeme-li tuto matici nazpě t jako soustavu rovnic


Posloupnosti (apl.)

2𝑥 +𝑦 −3𝑧 = 4 5𝑦 = 15 pak ze druhé rovnice plyne 𝑦 = 3 . Tedy za y si nemů ž eme volit parametr. Ale mů ž eme volit např ı́klad 𝑥 = 3𝑝 + 2 . Dosadı́me-li za x a y do prvnı́ rovnice, dostaneme 2 ⋅ (3𝑝 + 2) + (3) − 3𝑧 6𝑝 + 4 + 3 − 3𝑧 6𝑝 + 7 − 3𝑧 6𝑝 + 3 2𝑝 + 1 Koř eny zadané soustavy rovnic jsou:

= = = = =

4 4 4 3𝑧 𝑧

| + 3𝑧 − 4 |∶3

𝑥 = 3𝑝 + 2 𝑦 = 3 𝑧 = 2𝑝 + 1

Řešení Pak pro kaž dé reá lné p , které si zvolı́me, dostaneme ř eš enı́ dané soustavy. 𝑝=0

𝑥=2 𝑦=3 𝑧=1

𝑝=1

𝑥=5 𝑦=3 𝑧=3

⋮ •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Další příklad

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

R󰂪 eš me soustavu 𝑥 − 2𝑦 − 5𝑧 = 2 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = −1 −8𝑥 −19𝑦 − 5𝑧 = 7

(15)

Přímý chod

∑ 1 −2 −5 2 −4 3 −1 −1 3 󰛋 𝑖𝑖 + (−2).𝑖 ∼ 󰛊 2 −8 −19 −5 7 −25 𝑖𝑖𝑖 + 8.𝑖 1 −2 −5 2 −4 1 −2 −5 2 −4 7 9 −5 11 󰛋 7 9 −5 11 󰛋 ∼󰛊 0 ∼󰛊 0 0 −35 −45 23 −57 𝑖𝑖𝑖 + 5.𝑖𝑖 0 0 0 −2 −2 ℎ = 2 < ℎ𝑟 = 3 tedy podle Frobeniovy vě ty daná soustava nemá řešení.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Cvičení — GEM, Jordan 1. Řešte soustavu lineárních rovnic 𝑥 + 2𝑦 = 3 4𝑥 + 5𝑦 = 6

(16)

Řešení 1. Gaussovou metodou postupný ch eliminacı́ Př ı́mý chod 󰛄

1 2 3 6 1 2 3 6 ∼󰛄 󰛅 󰛅 4 5 6 15 𝑖𝑖 − 4.𝑖 0 −3 −6 −9

Zpě tný chod 𝑥 + 2𝑦 = 3 −3𝑦 = −6

𝑥 = −1 𝑦 = 2

⟹

Řešení 2. Jordanovou metodou (modi󰅮ikace Gaussovy m.) 󰛄

1 2 3 6 1 2 3 6 ∼󰛄 ∼ 󰛅 󰛅 4 5 6 15 𝑖𝑖 − 4.𝑖 0 −3 −6 −9 ∶ (−3)

∼󰛄

1 2 3 6 𝑖 − 2.𝑖𝑖 1 0 −1 0 𝑖 − 2.𝑖𝑖 ∼󰛄 󰛅 󰛅 0 1 2 3 0 1 2 3

⟹

𝑥 = −1 𝑦= 2


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

2. Řešte soustavu lineárních rovnic 𝑥1 + 3𝑥2 2𝑥1 + 5𝑥2 𝑥1 2𝑥1 − 𝑥2

− − + +

2𝑥3 3𝑥3 2𝑥3 4𝑥3

+ 𝑥4 + 3𝑥4 − 2𝑥4 + 9𝑥4

= = = =

0 0 9 3

(17)

Řešení 1. Gaussovou metodou postupný ch eliminacı́ Př ı́mý chod:

1 3 −2 1 0 3 ⎡ ⎤ 5 −3 3 0 7 ⎥ 𝑖𝑖 − 2.𝑖 ⎢ 2 ∼ 0 2 −2 9 10 ⎥ 𝑖𝑖𝑖 − 𝑖 ⎢ 1 4 9 3 17 ⎦ 𝑖𝑣 − 2.𝑖 ⎣ 2 −1

1 3 −2 1 0 3 ⎡ 0 −1 1 1 0 1 ∼⎢ 0 −3 4 −3 9 7 ⎢ 8 7 3 11 ⎣ 0 −7 1 3 −2 1 0 ⎡ 0 −1 1 1 0 ∼⎢ 0 1 −6 9 ⎢ 0 0 1 0 3 ⎣ 0

3 1 4 4

⎤ ⎥ ∼ ⎥ 𝑖𝑖𝑖 − 3.𝑖𝑖 ⎦ 𝑖𝑣 − 7.𝑖𝑖

1 3 −2 1 0 ⎤ ⎡ 0 −1 1 1 0 ⎥ ∼⎢ 0 1 −6 9 ⎥ ⎢ 0 0 0 6 −6 ⎦ 𝑖𝑣 − 𝑖𝑖𝑖 ⎣ 0

3 1 4 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎦


Determ. Matice

Soustavy LAR


Zpě tný chod:

𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 −𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 𝑥3 − 6𝑥4 6𝑥4


Posloupnosti (apl.)

= 0 = 0 = 9 = −6

Z poslednı́ rovnice plyne Tuto hodnotu dosadı́me do př edposlednı́ rovnice: 𝑥3 − 6 ⋅ (−1) = 9 Obě spoč ıt́ ané hodnoty dosadı́me do druhé rovnice: −𝑥2 + (3) + (−1) = 0 Vš echny hodnoty dosadı́me do prvnı́ rovnice: 𝑥1 + 3 ⋅ (2) − 2 ⋅ (3) + (−1) = 0

𝑥4 𝑥3 𝑥2 𝑥1

= −1 . = 3. = 2. = 1.

X 𝑇 = ( 1 ; 2 ; 3 ; −1 )

Řešení 2. Jordanova metoda Vý še uvedený zpě tný chod mů ž eme prová dě t př ı́mo v již upravené matici, kterou př evedeme na matici jednotkovou. Tento postup (modi󰅮ikaci Gaussovy metody) nazý vá me jak již bylo dř ı́ve uvedeno metodou Jordanovou. 1 3 −2 1 0 3 ⎡ ⎤ 1 1 0 1 ⎥ ⎢ 0 −1 ∼ 0 1 −6 9 4 ⎥ 𝑖𝑖𝑖 + 𝑖𝑣 ⎢ 0 0 0 6 −6 0 ⎦ ∶6 ⎣ 0


Determ. Matice

Soustavy LAR


1 3 −2 ⎡ 0 −1 1 ∼⎢ 0 1 ⎢ 0 0 0 ⎣ 0

1 1 0 1

0 0 3 −1

3 1 4 0

𝑖 − 𝑖𝑣 ⎤ ⎥ 𝑖𝑖 − 𝑖𝑣 ∼ ⎥ ⎦

1 3 −2 ⎡ 0 −1 1 ∼⎢ 0 1 ⎢ 0 0 0 0 ⎣

0 0 0 1

1 1 3 −1

3 1 4 0

𝑖 + 2 ⋅ 𝑖𝑖𝑖 ⎤ ⎥ 𝑖𝑖 − 𝑖𝑖𝑖 ∼ ⎥ ⎦

1 3 ⎡ 0 −1 ∼⎢ 0 ⎢ 0 0 ⎣ 0

0 0 1 0

0 0 0 1

7 −2 3 −1

11 −3 4 0

1 ⎡ 0 ∼⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 2 3 −1

2 3 4 0

0 1 0 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎦


Posloupnosti (apl.)

𝑖 + 3 ⋅ 𝑖𝑖 ⎤ ⎥ ⋅(−1) ∼ ⎥ ⎦

⟹

1 ⎡ 2 X=⎢ ⎢ 3 ⎣ −1

⎤ ⎥ ⎥ ⎦


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

2.2. Cramerovo pravidlo Cramerovo pravidlo mů ž eme použ ı́t, jestliž e soustava n rovnic o n nezná mý ch (soustava má č tvercovou matici) má determinant soustavy rů zný od nuly (D ≠ 0𝑅𝑖𝑔ℎ𝑡𝑎𝑟𝑟𝑜𝑤 matice soustavy je regulá rnı́). Potom má tato soustava prá vě jedno ř eš enı́, které lze psá t ve tvaru

𝑥𝑖 =

D𝑖 D

(𝑖 = 1, 2, … , 𝑛)

kde D𝑖 jsou determinanty matice, která vznikne z matice soustavy tak, ž e v nı́ sloupec i dı́me sloupcem pravý ch stran soustavy.

(8) nahra-

Poznámka: Dopř edu musı́me př i použ itı́ té to metody rozhodnout (např ı́klad za využ itı́ Frobeniovy vě ty), zda daná soustava rovnic je jednoznač ně ř eš itelná . K tomu vě tš inou urč ujeme hodnost matice soustavy a hodnost rozš ı́řené matice soustavy Gaussovou eliminacı́. Proto bý vá vý hodně jš ı́, použ ıt́ i zpě tný chod Gaussovy metody postupný ch eliminacı́ a dohledat ř eš enı́ systé mu rovnic vě tš inou jednoduš eji. Omezení metody: Lze použ ı́t pouze u soustav, které majı́ jediné ř eš enı́ a navı́c poč et nezná mý ch odpovı́dá poč tu rovnic. Typické použ itı́ metody je v př ı́padě nehomogenních soustav s regulární maticí. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Cvičení — Cramerovo pravidlo Řešte soustavu lineárních rovnic (16) 𝑥 + 2𝑦 = 3 4𝑥 + 5𝑦 = 6

Řešení:

𝑥 =

𝑦 =

3 2 6 5 1 2 4 5 1 3 4 6 1 2 4 5

=

3⋅5−2⋅6 3 = = −1 1⋅5−2⋅4 −3

=

1⋅6−3⋅4 −6 = =2 1⋅5−2⋅4 −3


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

2.3. Řešení soustav lineárních algebraických rovnic pomocí inverzní matice Jak se ř eš ı́ maticová rovnice bylo probı́rá no v té matu o maticı́ch. Př ı́klad, kdy soustavu zapı́šeme maticově a využ ijeme postupu diskutované ho dř ı́ve, bude uveden v ná sledujı́cı́m cvič enı́. Poznámka: Dopř edu musı́me př i použ itı́ té to metody rozhodnout (např ı́klad za využ itı́ Frobeniovy vě ty), zda daná soustava rovnic je jednoznač ně ř eš itelná . K tomu vě tš inou urč ujeme hodnost matice soustavy a hodnost rozš ı́řené matice soustavy Gaussovou eliminacı́. Proto bý vá vý hodně jš ı́, použ ıt́ i zpě tný chod Gaussovy metody postupný ch eliminacı́ a dohledat ř eš enı́ systé mu rovnic vě tš inou jednoduš eji. Omezení metody: Lze použ ı́t pouze u soustav, které majı́ jediné ř eš enı́ a navı́c poč et nezná mý ch odpovı́dá poč tu rovnic. Typické použ itı́ metody je v př ı́padě nehomogenních soustav s regulární maticí.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Cvičení — Pomocí inverzní matice Řešte soustavu lineárních rovnic (16) 𝑥 + 2𝑦 = 3 4𝑥 + 5𝑦 = 6 Řešení: Soustavu 16 zapı́šeme maticově 󰛄

1 2 𝑥 3 󰛅•󰛄 󰛅 = 󰛄 󰛅 4 5 𝑦 6 | • A−1 (zleva) (protož e: A−1 • A = E) (protož e: E • X = X)

A•X = B −1 A • A • X = A−1 • B X = A−1 • B 𝑥 1 2 󰛄 󰛅 = 󰛄 󰛅 𝑦 4 5 Nynı́ urč ı́me inverznı́ matici

k matici −1

[A|E| ∑]∼[E|A

1. postupem: 󰛄

A−1

−1

•󰛄

A

3 󰛅 6

(zopakujeme si dvě metody).

| ∑]

1 2 1 0 4 1 2 1 0 4 ∼󰛄 ∼ 󰛅 󰛅 4 5 0 1 10 𝑖𝑖 − 4 ⋅ 𝑖 0 −3 −4 1 −6 ∶ (−3) 1 2 1

∼󰕸

0 1

4 3

1 0 0 4 𝑖 − 2 ⋅ 𝑖𝑖 󰕼 ∼󰛊 −1 2 0 1 3

−5

2

3 4

3 −1

3

3

0 2

󰛋

⟹

−1

A

=󰛊

−5

2

3 4

3 −1

3

3

󰛋


Determ. Matice

Soustavy LAR


2. pomocı́ adjungované matice k matici

−1

A

1 2 4 5

Posloupnosti (apl.)

1 2 󰛅 4 5 𝑇

1

=

A=󰛄


𝑇

1 (−1)1+1 ⋅ (5) (−1)1+2 ⋅ (4) 5 −4 ⋅󰛄 ⋅󰛄 󰛅 = 󰛅 = 2+1 2+2 (−1) ⋅ (2) (−1) ⋅ (1) −2 1 1⋅5−2⋅4

1 5 −2 = ⋅󰛄 󰛅=󰛊 −4 1 −3

5

2

−3 4

3 1

3

−3

󰛋

Potom 𝑥 󰛄 󰛅=󰛊 𝑦

5

2

−3 4

3 1

3

−3

5

− ⋅3+ 3 3 󰛋•󰛄 󰛅=󰛊 4 6 ⋅3− 3

2 3 1 3

⋅6 󰛋=󰛄 ⋅6

−5 + 4 −1 󰛅=󰛄 󰛅 4−2 2

⟹

𝑥 = −1 𝑦=2


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Funkce, elementární funkce


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Obsah kapitoly: Funkce, elementární funkce 1. Pojem funkce (jedné reálné proměnné) a způsoby jejího zadávání 1.1. Analyticky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Gra󰅮icky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Tabulkou (vý čtem hodnot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137 138 139 139

2. Vlastnosti funkcí Ohranič ená funkce . . Monotó nnı́ funkce . . . Prostá funkce . . . . . Sudá a lichá funkce . . Periodická funkce . . . Dalš ı́ vlastnosti funkcı́ 2.1. Koř en funkce . . . . .

. . . . . . .

140 140 142 146 149 152 155 155

. . . . . . . . .

156 156 156 156 156 157 157 161 164 165

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

3. Operace s funkcemi Souč et funkcı́ 𝑓+𝑔 . . . . . . . . . . . . . Rozdı́l funkcı́ 𝑓–𝑔 . . . . . . . . . . . . . Souč in funkcı́ 𝑓 • 𝑔 . . . . . . . . . . . . Podı́l funkcı́ 𝑓/𝑔 . . . . . . . . . . . . . . Absolutnı́ hodnota funkce |𝑓| . . . . . . 3.1. Sklá dá nı́ funkcı́ . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Inverznı́ funkce . . . . . . . . . . . . . . Dvojice vzá jemně inverznı́ch funkcı́ Postup hledá nı́ inverznı́ funkce . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . .


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

4. Elementární funkce

171

Algebraické funkce 171 4.1 Funkce mocninné (mocniny a odmocniny) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Zá kladnı́ pravidla pro poč ı́tá nı́ s mocninami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Zá kladnı́ pravidla pro poč ı́tá nı́ s odmocninami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Transcendentní funkce 4.2 Funkce exponenciá lnı́ a logaritmická . . . . . . . . . . . . Zá kladnı́ pravidla pro poč ı́tá nı́ s exponenciá lnı́ funkcı́ Zá kladnı́ pravidla pro poč ı́tá nı́ s logaritmickou funkcı́ 4.3 Funkce goniometrické . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinus: y = sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kosinus: y = cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zá kladnı́ vztahy pro sinus a kosinus . . . . . . . . Tangens: y = tg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kotangens: y = cotg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Funkce cyklometrické . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arkussinus: y = arcsin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arkuskosinus: y = arccos x . . . . . . . . . . . . . . . . Arkustangens: y = arctg x . . . . . . . . . . . . . . . . . Arkuskotangens: y = arccotg x . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Mnohoč leny (polynomy) a racioná lnı́ lomené funkce . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

180 180 181 184 185 187 189 190 194 195 197 197 199 200 202 204


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Historická poznámka Kaž dodennı́ skuš enosti svě dč ı́ o tom, ž e v př ı́rodě i společ nosti neustá le probı́hajı́ změ ny; již ř ecký 󰅮ilozof Hérakleitos z Efesu hlá sal, ž e se vš e mě nı́. Cı́lem lidské ho pozná nı́ je nalezenı́ př ı́čin tě chto změ n a jejich vzá jemnou souvislost. Jestliž e př i studiu ně jaké ho jevu vě nujeme pozornost dvě ma velič iná m, č asto zjistı́me, ž e mezi nimi existuje zá vislost ná sledujı́cı́ho druhu: Pokud nabude jedna proměnná (nezávisle proměnná, argument) určité hodnoty, nabude druhá proměnná (závisle proměnná, funkce) také určité hodnoty. 12

WikipediE Funkce je v matematice 13 ná zev pro zobrazenı́ 14 z ně jaké množ iny M do množ iny č ı́sel (vě tš inou reá lný ch nebo komplexnı́ch), nebo do vektorů (pak se mluvı́ o vektorové funkci). Funkci zapisujeme: 𝑦 = 𝑓(𝑥) . Je to tedy př edpis, který každému prvku jednoznačně přiřadí ně jaké číslo 𝑦 nebo vektor (hodnotu funkce).

𝑥

z množ iny

𝑀

M nazý vá me de󰅳iničním oborem funkce. Pokud nenı́ př i zadá nı́ funkce uveden de󰅮inič nı́ obor, pak se za de󰅮inič nı́ obor obvykle považ uje množ ina vš ech nezá visle promě nný ch, pro ně ž má funkce smysl. Množ inu vš ech č ı́sel 𝑓(𝑥) , takový ch, ž e 𝑥 ∈ 𝑀 , nazý vá me oborem hodnot dané funkce. 12

V󰀑󰀌󰀖󰀇̌ 󰀅󰀊, J. Základy mathematiky. Jednota č eský ch mathematiků a fysiků 1916, Praha, str. 5.

13

Zdroj ⟨http://cs.wikipedia.org/wiki/Funkce_(matematika)⟩, citová no 3. 10. 2012.

14

Zobrazenı́ je v matematice př edpis, jak př iř azovat prvků m ně jaké množ iny jednoznač ně prvky obecně jiné množ iny. Pojem zobrazenı́ má vě tš inou stejný vý znam jako pojem funkce. Ná zev funkce se vš ak č astě ji použ ı́vá speciá lně pro zobrazenı́ do č ıś elný ch množ in.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

1. Pojem funkce (jedné reálné proměnné) a způsoby jejího zadávání Funkce

𝑦 = 𝑓(𝑥)

je př edpis, který kaž dé mu č ı́slu 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) jednoznač ně př iř adı́

(tedy existuje pouze jedno) č ı́slo 𝑦 ∈ 𝐻(𝑓).

𝐷(𝑓) nazý vá me de󰅳iniční obor funkce 𝑓; 𝐻(𝑓) nazý vá me obor hodnot funkce 𝑓.

Vš echny body o souř adnicı́ch [𝑥; 𝑓(𝑥)] tvoř ı́ graf funkce. Poznámky. 1. De󰅮inič nı́ obor 𝐷(𝑓) jsou tedy vš echna č ı́sla (hodnoty argumentu, nebo té ž nezávisle proměnné) 𝑥, která mů ž eme do funkce 𝑦 = 𝑓(𝑥) dosadit a obor hodnot 𝐻(𝑓) jsou vš echna č ıś la (hodnoty funkce, funkční hodnoty, nebo té ž hodnoty závisle proměnné) 𝑦, která ná m po dosazenı́ mohou vyjı́t. 2. Je zvykem zapisovat funkce rovnostı́

𝑦 = 𝑓(𝑥)

15

(č ti: „𝑦 󰀕󰀇 󰀔󰀑󰀘󰀐󰀃́ 𝑒𝑓 𝑥“), č ı́mž se mı́nı́, ž e 𝑦 je to č ı́slo, které je funkcı́ 𝑓 př iř azeno č ı́slu 𝑥. Tř ebaž e je mezi symboly 𝑓(𝑥)“ mı́sto o „funkci 𝑓“.

𝑓, 𝑓(𝑥)

vě cný rozdı́l 16 , nebudeme se rozpakovat mluvit o „funkci

15

Slovo funkce (lat. functio) použ il ve smyslu zá vislosti Gottfried Wilhelm von Leibniz koncem 17. stoletı́. Johann Bernoulli a Leonhard Paul Euler de󰅮inovali poč átkem 18. stoletı́ funkci jako analytický vý raz slož ený z nezá visle promě nné a konstant; Euler poprvé použ il označ enı́ 𝑓(𝑥). Vý še uvedený m způ sobem zavedl pojem funkce roku 1837 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

16

𝑓 je funkce;

𝑓(𝑥) je hodnota funkce v argumetu (č ı́sle, bodě ) 𝑥


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

3. U př evá ž né vě tš iny funkcı́ zapisujeme hodnotu argumetu do kulatý ch zá vorek, abychom odliš ili, ž e se nejedná o ná sobenı́ (𝑓𝑥 = 𝑓 ⋅ 𝑥). Pouze u ně kolika speciá lnı́ch funkcı́ (např.: sin 𝑥) se historicky ustá lil zvyk psá t argument bez zá vorek.

Způsoby zadání funkce 1.1. Analyticky Příklad kvadratické funkce: 𝑦 = 5 − (𝑥 − 3)2 explicitní funkce implicitní funkce 𝑦 = −𝑥 2 + 6𝑥 − 4

𝑥 2 − 6𝑥 + 𝑦 + 4 = 0

parametrická funkce 𝑥 =𝑡+3 𝑦 = 5 − 𝑡2

Nejobvyklejš ı́m způ sobem pro urč enı́ funkce je de󰅮inice funkce pomocı́ „vzorce“. • Analytický m př edpisem (viz př edchozı́ bı́lý obdé lnı́k) rozumı́me zadá nı́ funkce ve formě 𝑦 = 𝑓(𝑥). Pak ř ı́ká me, ž e funkce je zadá na explicitním vyjádřením (explicitní funkce). • Funkci mů ž eme vyjá dř it také v implicitním tvaru (implicitní funkce) jako 𝐹(𝑥; 𝑦) = 0. • Dalš ı́m způ sobem je zá pis v parametrickém tvaru (parametrická funkce) soustavou rovnic 𝑥 = 𝑓1 (𝑡), 𝑦 = 𝑓2 (𝑡), kde 𝑡 je vhodný parametr. 1

Výhody: Jednoduš e zapı́šeme funkč nı́ hodnoty. Např ı́klad symboly 𝑓(0), 𝑓(2), 𝑓(−3), 𝑓( ), 𝑓(−√2) 3

1

znamenajı́ hodnoty, který ch funkce 𝑓 nabude v č ı́slech 0, 2, −3, , −√2. 3

Nevýhody: Malá ná zornost. Ze vzorce bez poč ı́tá nı́ v podstatě jen obtı́žně pozná me, jak se mě nı́ funkč nı́ hodnota př i změ ně argumentu. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

1.2. Graficky Příklad: 𝑦 = −𝑥 2 + 6𝑥 − 4, pro 𝑥 ∈ ⟨1; 6⟩

Výhody: Velmi ná zorné . Nevýhody: Hodnoty lze odeč ı́tat jen s chybou způ sobenou nepř esnostı́ zař ı́zenı́, které graf vykreslilo, č i lidský m okem.

1.3. Tabulkou (výčtem hodnot) Příklad:

𝑥

1

2

3

4

5

6

𝑦 = −𝑥 2 + 6𝑥 − 4

1

4

5

4

1

-4

Výhody: Ke kaž dé hodnotě argumentu, která je v tabulce uvedena, nalé zá me ihned př ı́sluš nou hodnotu funkce (bez jaké hokoliv vý poč tu č i mě řenı́). Nevýhody: Funkci nelze urč it plně . Vyskytujı́ se hodnoty argumentu, které nejsou v tabulce uvedeny. Malá ná zornost. Z tabulky pomě rně tě žko pozná me, jak se mě nı́ funkč nı́ hodnota př i změ ně argumentu.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

2. Vlastnosti funkcí Ohraničená funkce (omezená funkce). Funkce 𝑓 je na intervalu 𝐼 ohraničená zdola (obr. 1), když existuje takové č ı́slo 𝐾, ž e pro kaž dé 𝑥 ∈ 𝐼 platı́ 𝑓(𝑥) ≥ 𝐾. Funkce 𝑓 je na intervalu 𝐼 ohraničená shora (obr. 1), když existuje takové č ı́slo 𝐿, ž e pro kaž dé 𝑥 ∈ 𝐼 platı́ 𝑓(𝑥) ≤ 𝐿. Funkce 𝑓 je na intervalu 𝐼 ohraničená (obr. 2), je-li na intervalu 𝐼 ohranič ená zdola i shora.

Obrá zek 1: Př evzat z [5]

Funkce ohranič ená shora Funkce ohranič ená zdola •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


Ohranič ená funkce 𝑥 2 −1

Příklad: Urč ete, zda funkcde 𝑓 ∶ 𝑦 = 2 , 𝑥 ∈ ℝ, je ohranič ená . 𝑥 +1 Zlomek nejprve upravı́me ná sledujı́cı́m způ sobem. 𝑥2 − 1 𝑥 2 + (−1) 𝑥 2 + (1 − 2) (𝑥 2 + 1) − 2 𝑥2 + 1 −2 −2 = = = = + = 1 + 𝑥2 + 1 𝑥2 + 1 𝑥2 + 1 𝑥2 + 1 𝑥2 + 1 𝑥2 + 1 𝑥2 + 1 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR


Dá le využ ijeme toho, ž e pro kaž dé 𝑥 ∈ ℝ platı́:


Posloupnosti (apl.)

1 ≤ 𝑥 2 + 1. Potom

1 ≤1 | .(−2) 𝑥2 + 1 −2 0≥ 2 ≥ −2 | +1 𝑥 +1 −2 𝑥2 − 1 1≥ 2 +1= 2 ≥ −1 𝑥 +1 𝑥 +1 0≤

Vidı́me tedy, ž e funkce 𝑓 je ohranič ená a navı́c jsme urč ili hranice. Spodnı́ hranice 𝐾 = −1, hornı́ hranice 𝐿 = 1.

Monotónní funkce Je-li funkce rostoucı́, klesajı́cı́, neklesajı́cı́ nebo nerostoucı́, ř ı́ká me, ž e je monotó nnı́ (obr. 3). Speciá lně je-li rostoucı́ nebo klesajı́cı́, ř ı́ká me, ž e je ryze monotónní. Funkce 𝑓 je na intervalu 𝐼 rostoucí, když pro libovolné dva body 𝑥1 ; 𝑥2 ∈ 𝐼, kde 𝑥1 < 𝑥2 , platı́ 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ). Funkce 𝑓 je na intervalu 𝐼 neklesající, když pro libovolné dva body 𝑥1 ; 𝑥2 ∈ 𝐼, kde 𝑥1 < 𝑥2 , platı́ 𝑓(𝑥1 ) ≤ 𝑓(𝑥2 ). Funkce 𝑓 je na intervalu 𝐼 klesající, když pro libovolné dva body 𝑥1 ; 𝑥2 ∈ 𝐼, kde 𝑥1 < 𝑥2 , platı́ 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ). Funkce 𝑓 je na intervalu 𝐼 nerostoucí, když pro libovolné dva body 𝑥1 ; 𝑥2 ∈ 𝐼, kde 𝑥1 < 𝑥2 , platı́ 𝑓(𝑥1 ) ≥ 𝑓(𝑥2 ). •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Zř ejmě kaž dá rostoucı́ funkce je i neklesajı́cı́ a kaž dá klesajı́cı́ funkce je i nerostoucı́ (obr. 3). Opak ovš em neplatı́ (monotó nnı́ funkce mohou bý t na ně jaké m intervalu konstantnı́). Poznámka: Zatı́m nemá me vhodné prostř edky na ově řová nı́ monotonie (ty budeme mı́t k dispozici až budeme probı́rat prů bě h funkce), proto si uvedeme pouze ně kolik velmi jednoduchý ch př ı́kladů , kde situace bude zř ejmá . Příklad: Vyš etř ete monotonii ná sledujı́cı́ch funkcı́: a) 𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑥 ∈ ⟨0; ∞) Řešení: Vyberme libovolné dva body 𝑥1 ; 𝑥2 ∈ ⟨0; ∞), 𝑥1 < 𝑥2 . Pak (vzhledem k tomu, ž e 𝑥1 , 𝑥2 jsou nezá porná č ı́sla) je 𝑥12 < 𝑥22 ; pak také 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ), a tedy 𝑓 je rostoucı́ — viz obr. 4 a). b) 𝑔 ∶ 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑥 ∈ (−∞; 0⟩ Řešení: Nechť (vyberme libovolné dva body) 𝑥 ∈ (−∞; 0⟩, 𝑥1 < 𝑥2 . Pak je 𝑥12 > 𝑥22 , a také 𝑔(𝑥1 ) > 𝑔(𝑥2 ), a tedy 𝑔 je klesajı́cı́ — viz obr. 4 b). c) ℎ ∶ 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑥 ∈ ℝ Řešení: Vzhledem k př edchozı́m vý sledků m vı́me, ž e funkce ℎ je klesajı́cı́ na intervalu (−∞; 0⟩ a rostoucı́ na intervalu ⟨0; ∞). Z toho vyplý vá , ž e na intervalu (−∞; ∞) funkce ℎ nenı́ monotó nnı́. Grafem funkce ℎ je parabola — viz obr. 4 c).


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



Determ. Matice

Soustavy LAR


Posloupnosti (apl.)

1 , 𝑥 ∈ (0; ∞) 𝑥

d) 𝑘 ∶ 𝑦 =

Řešení: Nechť 𝑥1 ; 𝑥2 ∈ (0; ∞), 𝑥1 < 𝑥2 . Pak je je klesajı́cı́ — viz obr. 4 d). e) 𝑙 ∶ 𝑦 =


1 1 > ; tedy 𝑘(𝑥1 ) > 𝑘(𝑥2 ) a proto je funkce 𝑘 𝑥1 𝑥2

1 , 𝑥 ∈ (−∞; 0) 𝑥

Řešení: Nechť 𝑥1 ; 𝑥2 ∈ (−∞; 0), 𝑥1 < 𝑥2 . Pak je je klesajı́cı́ — viz obr. 4 e).

1 1 > ; tedy 𝑙(𝑥1 ) > 𝑙(𝑥2 ) a proto je funkce 𝑙 𝑥1 𝑥2

1 , 𝑥 ∈ (−∞; 0) ∪ (0; ∞) což také mů ž eme zapsat ná sledovně : 𝑥 ∈ ℝ ∖ {0} 𝑥 Vzhledem k př edchozı́m vý sledků m vı́me, ž e funkce 𝑚 je na intervalu (−∞; 0) klesajı́cı́ a na intervalu (0; ∞) také klesajı́cı́. Ve své m de󰅮inič nı́m oboru 𝐷(𝑚) = (−∞; 0) ∪ (0; ∞) vš ak nenı́ klesajı́cı́ (např ı́klad dvojice bodů −3; 3 nesplň uje podmı́nku pro klesajı́cı́ fnkce, neboť platı́ −3 < 3, ale 1 1 − < ). Grafem funkce 𝑚 je rovnoosá hyperbola — viz obr. 5.

f) 𝑚 ∶ 𝑦 =

3

3

Prostá funkce je taková funkce, pro niž také ke každému 𝑦 ∈ 𝐻(𝑓) patř ı́ jediné 𝑥 ∈ 𝐷(𝑥). Poznámky: 1. Ově řujeme-li, zda funkce 𝑓 je prostá , využ ı́vá me č asto ekvivalentnı́ podmı́nku: Jestliž e pro 𝑥1 ; 𝑥2 ∈ 𝐷(𝑓) platı́, ž e 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ) , pak musı́ bý t 𝑥1 = 𝑥2 . •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


Rovnoosá hyperbola 2. Z dř ı́ve uvedené ho vyplý vá , ž e funkce f je prostá prá vě tehdy (a jen tehdy), když libovolná rovnobě žka s osou x protne graf funkce f nejvý še jednou (tj. vů bec graf neprotne nebo protne prá vě jednou). •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Vš imně te si, ž e kaž dá ryze monotó nnı́ funkce je prostá (nemů ž e mı́t v rů zný ch bodech stejnou funkč nı́ hodnotu), ale opak neplatı́. Ne každá prostá funkce musı́ bý t nutně monotó nnı́. Toto tvrzenı́ demonstruje tř eba funkce 𝑚 z př edchozı́ho př ı́kladu. Zjistili jsme, ž e funkce 𝑚 nenı́ monotó nnı́, ale oč ividně libovolná rovnobě žka s osou 𝑥 protne jejı́ graf nejvý še jednou (osa 𝑥 jej neprotne vů bec, kaž dá jiná rovnobě žka jej protne př esně v jednom bodě — viz bod 𝐴 na obrá zku 5) Příklad: Prokaž te, ž e funkce 𝑓 ∶ 𝑦 = (𝑥 − 1)2 + 7, 𝑥 ∈ (1; ∞) je prostá . Řešení: K dů kazu použ ijeme zmı́ně nou ekvivalentnı́ podmı́nku (tak zvaný nepřímý důkaz): Jestliž e pro 𝑥1 ; 𝑥2 ∈ 𝐷(𝑓) platı́, ž e 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ), pak musı́ bý t 𝑥1 = 𝑥2 . Nechť 𝑥1 ; 𝑥2 ∈ (1; ∞) a zá roveň 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ) . Pak postupný mi ú pravami dostá vá me: (𝑥1 − 1)2 + 7 = (𝑥2 − 1)2 + 7 (𝑥1 − 1)2 = (𝑥2 − 1)2 (𝑥1 − 1) = (𝑥2 − 1)

| −7 |√ (protož e 𝑥1 − 1 > 0 a 𝑥2 − 1 > 0)

𝑥1 = 𝑥2 Tı́m jsme doká zali, ž e funkce 𝑓 je prostá . Pozor! Vezmeme-li funkci se stejný m př edpisem a jiný m de󰅮inič nı́m oborem, tak již nemusı́ bý t prostá . Např ı́klad funkce 𝑔 ∶ 𝑦 = (𝑥 − 1)2 + 7, 𝑥 ∈ ℝ nenı́ prostá , protož e lze nalé zt alepoň jednu dvojici hodnot 𝑥1 ≠ 𝑥2 takový ch, ž e 𝑔(𝑥1 ) = 𝑔(𝑥2 ). Jedna z (mnoha) mož nostı́: 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 2

⟹

𝑔(0) = 8 = 𝑔(2).


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Sudá a lichá funkce Tyto dvě vlastnosti se tý kajı́ urč ité soumě rnosti grafu funkce. Budeme uvaž ovat takovou funkci 𝑓, jejı́ž de󰅮inič nı́ obor 𝐷(𝑓) je soumě rný vzhledem k poč átku (soustavy souř adnic). Tedy s každým číslem 𝑥 souč asně obsahuje i opačné číslo −𝑥. Pak má smysl porovná vat funkč nı́ hodnoty 𝑓(𝑥) a 𝑓(−𝑥). Funkce 𝑓 se nazý vá sudá, jestliž e platı́ • pokud 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), pak −𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), • 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) pro kaž dé 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Funkce 𝑓 se nazý vá lichá, jestliž e platı́ • pokud 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), pak −𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), • 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) pro kaž dé 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).

Z uvedený ch podmı́nek vyplý vá :

graf sudé funkce je souměrný podle osy 𝑦; graf liché funkce je souměrný podle počátku.

Obecně funkce nemusı́ bý t ani sudá ani lichá .

Vš imně te si, ž e funkce 𝑓 ∶ 𝑦 = 0 je zá roveň sudá i lichá na ℝ. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Příklad: Ově řte sudost č i lichost ná sledujı́cı́ch funkcı́: a) 𝑔 ∶ 𝑦 =

1 − 𝑥2 , 1 + 𝑥2

𝑥 ∈ ℝ.

1 − (−𝑥)2 1 − 𝑥2 Řešení: Nechť 𝑥 ∈ ℝ. Pak 𝑔(−𝑥) = = = 𝑔(𝑥) . 1 + (−𝑥)2 1 + 𝑥2 Tedy 𝑔 je sudá funkce. Graf funkce 𝑔 je na ná sledujı́cı́m obrá zku, který je př evzat z [5].

b) 𝑓 ∶ 𝑦 =

𝑥2

𝑥 , +1

𝑥 ∈ ℝ.

Řešení: Nechť 𝑥 ∈ ℝ. Pak 𝑓(−𝑥) =

(−𝑥) −𝑥 𝑥 = 2 =− 2 = −𝑓(𝑥) . 2 (−𝑥) + 1 𝑥 +1 𝑥 +1

Tedy 𝑓 je lichá funkce. Graf funkce 𝑓 je na ná sledujı́cı́m obrá zku, který je př evzat z [5].


Determ. Matice

c) ℎ ∶ 𝑦 =

Soustavy LAR

1+𝑥 , 1 + 𝑥2



Posloupnosti (apl.)

𝑥 ∈ ℝ.

Řešení: Nechť 𝑥 ∈ ℝ. Pak ℎ(−𝑥) =

1 + (−𝑥) 1−𝑥 =− . 2 1 + (−𝑥) 1 + 𝑥2

1+𝑥 1+𝑥 Což nenı́ rovno ani př edpisu pů vodnı́ funkce ℎ(𝑥) = , ani vý razu −ℎ(𝑥) = , proto 2 1+𝑥 1 + 𝑥2 ℎ nenı́ ani sudá ani lichá funkce. Jejı́ graf je na ná sledujı́cı́m obrá zku, který je př evzat z [5].


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Periodická funkce Nechť f je funkce a p > 0 je reá lné č ı́slo. Př edpoklá dejme, ž e de󰅮inič nı́ obor 𝐷(𝑓) dý m č ı́slem 𝑥 obsahuje i č ı́slo 𝑥 + 𝑝 . Pak ovš em musı́ obsahovat i č ı́slo (𝑥 + 𝑝) + 𝑝 = 𝑥 + 2𝑝 , (𝑥 + 2𝑝) + 𝑝 = 𝑥 + 3𝑝 atd.

R󰂪 ekneme, ž e funkce

𝑓

je periodická s periodou

• pokud 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), pak také • 𝑓(𝑥 + 𝑝) = 𝑓(𝑥)

pro kaž dé

𝑝 (𝑝 ∈ ℝ+ ) ,

s kaž -

jestliž e platı́

𝑥 + 𝑝 ∈ 𝐷(𝑓), 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).

Jiný mi slovy. V bodech majı́cı́ch od sebe vzdá lenost 𝑝 jsou stejné funkč nı́ hodnoty. Tedy stač ı́ zná t graf funkce 𝑓 na ně jaké m intervalu dé lky 𝑝 a graf celé funkce dostaneme „kopı́rová nı́m“ té to č ásti, kterou posouvá me o dé lku 𝑝 vpravo nebo vlevo (vlevo jen pokud to de󰅮inič nı́ obor př ipouš tı́). Funkce periodická s periodou 𝑝 je té ž periodická s periodou 𝑘 ⋅ 𝑝, 𝑘 ∈ ℕ (𝑘 je př irozené č ı́slo). Pokud existuje nejmenš ı́ perioda, nazý vá se základní perioda — viz obr. 6. Nejzná mě jš ı́ periodické funkce jsou funkce goniometrické . Např ı́klad sinus a kosinus majı́ zá kladnı́ periodu 2𝜋; funkce

𝑓 ∶ 𝑦 = sin 3𝑥

obecně funkce Funkce

𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑐,

𝑓 ∶ sin 𝑎𝑥, 𝑐∈ℝ

2

má zá kladnı́ periodu 𝜋; 3

kde 𝑎 > 0 ,

2

má zá kladnı́ periodu 𝜋. 𝑎

je periodická funkce, která nemá zá kladnı́ periodu. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Obrá zek 6: Periodické funkce

Zá kladnı́ perioda 𝑝 = 3

Příklad: Ově řte, zda funkce

sin 𝑥

Zá kladnı́ perioda 𝑝 = 4

má periodu

𝑝 = 2𝜋 .

Řešení: 𝑓(𝑥 + 𝑝) = sin (𝑥 + 2𝜋) = sin 𝑥 ⋅ cos 2𝜋 + cos 𝑥 ⋅ sin 2𝜋 = sin 𝑥 ⋅ 1 + cos 𝑥 ⋅ 0 = sin 𝑥 = 𝑓(𝑥) Tı́m jsme proká zali, ž e funkce

sin 𝑥

má skuteč ně periodu

𝑝 = 2𝜋 .


Determ. Matice

Soustavy LAR


Příklad: Nakreslete graf periodické funkce 𝐷(𝑓) = ℝ , jestliž e vı́te, ž e:

𝑓,

jejı́ž perioda je

−1 𝑓(𝑥) = 󰛌 0 1


𝑝=2

Posloupnosti (apl.)

a de󰅮inič nı́ obor

pro 𝑥 ∈ (−1; 0); pro 𝑥 = −1 a 𝑥 = 0; pro 𝑥 ∈ (0; 1).

Obrá zek je př evzat z [5] Řešení: Protož e funkce 𝑓 má mı́t periodu 2 (vzdá lenost −1 od 1 je 2), stač ı́ nakreslit jejı́ graf na intervalu ⟨−1; 1) a dá le jej kopı́rovat vpravo a vlevo vž dy po posunutı́ o 2. Uvě domte si, ž e 𝑓(1) již nelze zadat libovolně , protož e musı́ platit vzdá lenost −1 a 1 je prá vě 2.

𝑓(−1) = 𝑓(1) , neboť


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Další vlastnosti funkcí Funkce 𝑓 je na intervalu 𝐼 kladná, když pro kaž dé 𝑥 ∈ 𝐼, platı́ 𝑓(𝑥) > 0. Viz obr. 4 d). Funkce 𝑓 je na intervalu 𝐼 nekladná, když pro kaž dé 𝑥 ∈ 𝐼, platı́ 𝑓(𝑥) ≤ 0. Funkce 𝑓 je na intervalu 𝐼 záporná, když pro kaž dé 𝑥 ∈ 𝐼, platı́ 𝑓(𝑥) < 0. Viz obr. 4 e). Funkce 𝑓 je na intervalu 𝐼 nezáporná, když pro kaž dé 𝑥 ∈ 𝐼, platı́ 𝑓(𝑥) ≥ 0. Viz obr. 4 a),b),c).

2.1. Kořen funkce Kořen funkce je takové č ı́slo

a,

pro ně ž platı́:

𝑓(𝑎) = 0 .

Koř en funkce 𝑓(𝑥) , nebo také nulový bod funkce, je tedy takový bod na ose x , který m graf funkce 𝑓(𝑥) buď prochá zı́ z jedné strany osy na druhou, nebo se osy v tomto bodě dotý ká (teč ný bod). Má -li funkce tentý ž koř en vı́cekrá t, hovoř ı́me o ná sobné m koř enu. Vý raz

x–a

nazý vá me kořenovým činitelem.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

3. Operace s funkcemi Součet funkcí 𝑓+𝑔 je taková funkce, pro kterou platı́: pro

[𝑓+𝑔](𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔).

Je tř eba si uvě domit, ž e ve vztahu [𝑓+𝑔](𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) vystupuje symbol PLUS ve dvou rů zný ch vý znamech. Na levé straně rovnosti znamená operaci mezi funkcemi (funkcı́m 𝑓 a 𝑔 je př iř azena funkce 𝑓+𝑔) a na pravé straně rovnosti má vý znam souč tu dvou reá lný ch č ı́sel 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥). V praxi ovš em vě tš inou použ ı́vá me jeden stejný symbol (nerozliš ujeme + a +). Obdobně pro ostatnı́ operace.

Rozdíl funkcí 𝑓–𝑔 je taková funkce, pro kterou platı́: pro

[𝑓–𝑔](𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)

𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔).

Součin funkcí 𝑓 • 𝑔 je taková funkce, pro kterou platı́: pro

[𝑓 • 𝑔](𝑥) = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)

𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔).

V př ı́padě souč inu dvou funkcı́ č asto mı́sto f • g pı́šeme pouze f g . Speciá lnı́m př ı́padem souč inu dvou funkcı́ je souč in konstanty a funkce, tedy pro 𝑐 ∈ ℝ dostá vá me [𝑐 • 𝑓](𝑥) = 𝑐 ⋅ 𝑓(𝑥),

Podíl funkcí 𝑓/𝑔 je taková funkce, pro kterou platı́: pro

𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).

[𝑓/𝑔](𝑥) =

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)

𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) ∖ {𝑧 ∈ ℝ ∶ 𝑔(𝑧) = 0}. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Absolutní hodnota funkce |𝑓| je funkce, kterou zavá dı́me př edpisem: pro

Posloupnosti (apl.)

|𝑓|(𝑥) = |𝑓(𝑥)|

𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).

3.1. Skládání funkcí Nynı́ probereme dalš ı́ operaci s funkcemi, kterou je sklá dá nı́ funkcı́. Uvaž ujme dvě funkce f a g. Funkce f kaž dé mu prvku 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) př iř adı́ prvek 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∈ 𝐻(𝑓). Jestliž e tento prvek y ná lež ı́ de󰅮inič nı́mu oboru funkce g (platı́-li 𝑦 ∈ 𝐷(𝑔)), pak jej funkce g zobrazı́ na prvek 𝑧 = 𝑔(𝑦) ∈ 𝐻(𝑔). Př itom platı́: 𝑧 = 𝑔(𝑦) = 𝑔[𝑓(𝑥)]. Dostá vá me tedy novou funkci, která prvku x př iř azuje prvek Složenou funkcí

𝑔∘𝑓

𝑧 = 𝑔[𝑓(𝑥)].

nazý vá me funkci danou př edpisem

[𝑔 ∘ 𝑓](𝑥) = 𝑔[𝑓(𝑥)] ,

kde 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ∧ 𝑓(𝑥) ∈ 𝐷(𝑔) .

Funkci f nazý vá me vnitřní složka a funkci g nazý vá me vnější složka slož ené funkce Zá pis

𝑔∘𝑓

č teme:

„𝑔 󰀒󰀑 𝑓“

nebo

„𝑔 󰀕󰀎󰀑󰀜̌ 󰀇󰀐󰀃 󰀕 𝑓“

nebo

𝑔∘𝑓.

„󰀐󰀇󰀌󰀆󰁠󰁀󰀘󰀇 𝑓 󰀃 󰀒󰀑󰀖󰀑󰀏 𝑔“ .

Poznamenejme, ž e mı́sto obecné ho zá pisu 𝑦 = 𝑓(𝑥) použ ıv ́ á me v konkré tnı́ch př ıp ́ adech i jiný zá pis. Např ı́klad: 𝑓 ∶ 𝑦 = 3 sin(2 𝑥 + 1) (kdy ř ı́ká me, ž e funkce f je dána předpisem) považ ujeme (nepř esně ) za toté ž, co 𝑓(𝑥) = 3 sin(2 𝑥 + 1) i když teď ř ı́ká me, jak určit funkční hodnotu v konkré tnı́m č ı́sle x . •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR


Příklad: Urč ete funkci 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑔[𝑓(𝑥)] , a 𝑔 ∶ 𝑦 = 4 𝑥2 + 3 𝑥 + 2 .


která vznikne slož enı́m funkcı́

Posloupnosti (apl.)

𝑓 ∶ 𝑦 = 3 sin(2 𝑥 + 1)

Řešení: Je zř ejmé , ž e 𝐷(𝑓) = ℝ a 𝐻(𝑓) = ⟨−3 ; 3⟩ ⊂ 𝐷(𝑔) = ℝ . Potom (jak jsme si ukazovali na př edchozı́ straně v pozná mce) mů ž eme funkč nı́ hodnotu funkce g v č ı́sle označ ené m [×] , vypoč ı́tat: Stejně tak mů ž eme urč it funkč nı́ hodnotu funkce

f

v č ı́sle x :

𝑔([×]) = 4[×]2 + 3[×] + 2 . 𝑓(𝑥) = 3 sin(2 𝑥 + 1) .

Nynı́ stač ı́, když za č ı́slo × dosadı́me funkč nı́ hodnotu 𝑓(𝑥) . 𝑔[×] = 𝑔[𝑓(𝑥)] = 4 [3 sin(2 𝑥+1)]2 +3 [3 sin(2 𝑥+1)]+2 = 36 [sin(2 𝑥+1)]2 +9 sin(2 𝑥+1)]+2 Analogicky budeme postupovat i v př ı́padě Je zř ejmé , ž e Potom

𝐷(𝑔) = ℝ

a

𝑓[𝑔(𝑥)] .

𝐻(𝑔) = ⟨

𝑓[⋆] = 3 sin(2 [⋆] + 1)

a

−3 8

; ∞) ⊂ 𝐷(𝑓) = ℝ .

𝑔(𝑥) = 4 𝑥 2 + 3 𝑥 + 2

𝑓[⋆] = 𝑓[𝑔(𝑥)] = 3 sin(2 [4 𝑥 2 + 3 𝑥 + 2] + 1) = 3 sin(8 𝑥 2 + 6 𝑥 + 5)

Příklad: Urč ete slož enou funkci

𝑔∘𝑓

z funkcı́

𝑔(𝑡) ∶ 𝑦 = 2𝑡 + 1

a

𝑓(𝑥) ∶ 𝑡 = 𝑥 − 5 .

Řešení: Je zř ejmé , ž e 𝐷(𝑓) = 𝐻(𝑓) = 𝐷(𝑔) = 𝐻(𝑔) = ℝ. Potom [𝑔 ∘ 𝑓](𝑥) = 𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑔(𝑡) = 𝑔(𝑥 − 5) = 2(𝑥 − 5) + 1. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Jsou-li slož ky slož ené funkce samy o sobě slož ený mi funkcemi, dostá vá me vı́cená sobně slož enou funkci. Např ı́klad pro trojná sobně slož enou funkci, jejı́ž slož ky jsou f , g a h, platı́: [ℎ ∘ 𝑔 ∘ 𝑓](𝑥) = ℎ {𝑔 [𝑓(𝑥)]}. Př i urč ová nı́ 𝐷(𝑔 ∘ 𝑓) , který je zř ejmě obecně pouze č ástı́ 𝐷(𝑓) , musı́me vž dy zvá ž it, která 𝑥 je možno vzít, abychom mohli 𝑓(𝑥) dosadit do předpisu pro funkci 𝑔 .

Příklad: Jsou dá ny funkce a jejı́ de󰅮inič nı́ obor.

𝑓(𝑥) ∶ 𝑦 = 3 − 2𝑥

a

𝑔(𝑦) ∶ 𝑧 = ln 𝑦 .

Urč ete slož enou funkci 𝑔 ∘ 𝑓

Řešení: [𝑔 ∘ 𝑓](𝑥) = 𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑔(𝑦) = 𝑔(3 − 2𝑥) = ln(3 − 2𝑥) . Hledaná funkce je tedy

[𝑔 ∘ 𝑓](𝑥) ∶ 𝑧 = ln(3 − 2𝑥).

Nynı́ urč eme de󰅮inič nı́ obor funkce 𝑔 ∘ 𝑓. Vı́me, ž e 𝐷(𝑓) = ℝ a 𝐷(𝑔) = (0; ∞), protož e př irozený logaritmus (platı́ pro kaž dý logaritmus) je de󰅮inová n pouze pro kladné hodnoty argumentu (nezá visle promě nné ). Chceme najı́t taková 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), aby platilo, ž e 𝑓(𝑥) ∈ 𝐷(𝑔). Tedy hledá me č ıś la 𝑥 ∈ ℝ taková , ž e: 3 − 2𝑥 ∈ (0; ∞). Tı́m dostá vá me jedinou podmı́nku 3 − 2𝑥 > 0 Tudı́ž

⟹

3 > 2𝑥

⟹

3 >𝑥 . 2

3

𝐷(𝑔 ∘ 𝑓) = 󰚼−∞; 󰚽 . 2


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Poznámka: Platı́, ž e: • slož enı́m dvou prostý ch funkcı́ dostaneme funkci prostou; • slož enı́m dvou rostoucı́ch funkcı́ dostaneme rostoucı́ funkci; • slož enı́m dvou klesajı́cı́ch funkcı́ dostaneme rostoucı́ funkci; • slož enı́m funkce rostoucı́ a klesajı́cı́ (v libovolné m poř adı́) dostaneme funkci klesajı́cı́; • slož enı́m dvou sudý ch funkcı́ dostaneme sudou funkci; • slož enı́m dvou lichý ch funkcı́ dostaneme lichou funkci; • slož enı́m funkce sudé a liché (v libovolné m poř adı́) dostaneme sudou funkci.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

3.2. Inverzní funkce Funkce Funkci

f

a funkce

𝑔(𝑥)

g

jsou k sobě inverznı́, platı́-li: −1

obvykle označ ujeme

𝑓 (𝑥) .

𝑓[𝑔(𝑥)] = 𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑥 .

Př itom platı́:

𝐷(𝑓) = 𝐻(𝑓−1 )

a

𝐷(𝑓−1 ) = 𝐻(𝑓) .

Poznámka: • Jestliž e

𝑓−1 (𝑥) = 𝑔(𝑥) ,

𝑓(𝑥) = 𝑔−1 (𝑥) .

pak také

• Zdů razně me, ž e 𝑓−1 (𝑥) je označ enı́ pro inverznı́ funkci. V ž ádné m př ı́padě nečteme „𝑒𝑓 󰀐󰀃 󰀏󰀋́󰀐󰀗󰀕 󰀒󰀔󰀘󰀐󰀋́“. Nezamě ňovat s mocninou zá porné ho exponentu! Pozor:

𝑓−1 ≠

1 𝑓

,

kde f označ uje funkci !

• Kvů li praktický m vý poč tů m hodnot inverznı́ funkce označ ujeme nezá visle promě nnou ve funkci f stá le x a zá visle promě nnou ve funkci f −1 pı́smenem y . To ovš em samo o sobě nenı́ podstatné . Fakt, ž e funkce 𝑓−1 je inverznı́ k funkci 𝑓 , zá visı́ na tvaru tě chto funkcı́ a ne na pı́smenu, který m označ ujeme nezá visle promě nnou. K funkci f de󰅮inované na intervalu f na I prostá.

I,

existuje inverznı́ funkce

f −1

prá vě tehdy, je-li

Jinak ř eč eno: je-li 𝑓 prostá , pak se lze jednoznač ně dostat nejen z bodu x do bodu (funkce 𝑦 = 𝑓(𝑥) ), ale také naopak z bodu y do bodu x (funkce 𝑥 = 𝑓 −1 (𝑦) ).

y


Determ. Matice

Soustavy LAR

Poznámka: Není-li funkce


f


Posloupnosti (apl.)

prostá, zúžíme její de󰅯iniční obor tak, aby na něm prostá byla.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Poznámka: Grafy funkce 𝑓 a k ní inverzní funkce 𝑓−1 jsou navzájem souměrné podle přímky y = x (zmı́ně nou př ı́mku také nazý vá me osou prvního a třetího kvadrantu). Graf funkce 𝑓 je tvoř en body v rovině tvaru [𝑥; 𝑓(𝑥)] = [𝑥; 𝑦], kdež to graf 𝑓−1 je tvoř en body [𝑦; 𝑓 −1 (𝑦)] = [𝑦; 𝑥]. Jestliž e např ı́klad graf funkce 𝑓 obsahuje bod [2; 3] (tedy 𝑥 = 2 a 𝑦 = 3), což zapı́šeme 𝑓(2) = 3, bude graf funkce 𝑓−1 obsahovat bod [3; 2], (𝑦 = 3; 𝑥 = 2), protož e musı́ pro inverznı́ funkci platit 𝑓−1 (3) = 2. Vyneseme-li hodnotu 𝑥 funkce 𝑓 a funkce 𝑓−1 na osu 𝑥 a hodnotu 𝑦 obou funkcı́ na osu 𝑦, dostaneme vlastně dvakrá t toté ž. C󰂪 asto ale chceme vyná š et prvnı́ slož ku ve dvojici na vodorovnou osu (obvykle 𝑥) a druhou slož ku ve dvojici na svislou osu (obvykle osu 𝑦). Za tı́mto ú č elem vě tš inou prová dı́me vzájemné přeznačení 𝑥 a 𝑦. Mı́sto 𝑥 = 𝑓 −1 (𝑦) pak v nové m znač enı́ pı́šeme 𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥). Což je v podstatě ná vod na urč ová nı́ inverznı́ funkce. Protož e body [𝑥; 𝑦] a [𝑦; 𝑥] jsou soumě rné podle osy prvnı́ho a tř etı́ho kvadrantu (př ı́mky 𝑦 = 𝑥), jsou také grafy navzá jem inverznı́ch funkcı́ soumě rné (symetrické ) podle té to př ı́mky.

Př evzat z [5]

Vzá jemně inverznı́ funkce


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Dvojice vzájemně inverzních funkcí využ ı́vá me např ı́klad př i ř eš enı́ rovnic: souč et × rozdı́l

𝑓−1 ∶ 𝑦 = 𝑥 − 𝑎

𝑓 ∶𝑦 =𝑥+𝑎

𝑥+𝑎 =𝑏 ⇔ 𝑥 =𝑏−𝑎

a, b jsou reá lná č ı́sla souč in × podı́l

𝑓−1 ∶ 𝑦 = 𝑥 ∶ 𝑎

𝑓 ∶𝑦 =𝑥⋅𝑎

𝑥⋅𝑎 =𝑏 ⇔ 𝑥 =𝑏 ∶𝑎

𝑎≠0 𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑥𝑎

mocnina × odmocnina

𝑓−1 ∶ 𝑦 = 𝑎√𝑥 𝑏≥0

𝑥≥0 𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑎𝑥

exponenciá la × logaritmus

𝑓−1 ∶ 𝑦 = log𝑎 𝑥

𝑥>0 sinus × arkussinus 2

≤𝑥≤

𝜋

−𝜋

2

2

tangens × arkustangens

2

2

0≤𝑎≤𝜋

≤𝑥≤

𝑓 ∶ 𝑦 = cotg 𝑥

−𝜋

2

2

𝑓

0≤𝑥≤𝜋

−1

cos 𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑎 = arccos 𝑏

−1 ≤ 𝑏 ≤ 1

𝑓−1 ∶ 𝑦 = arctg 𝑥 𝜋

sin 𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑎 = arcsin 𝑏

−1 ≤ 𝑏 ≤ 1

𝑓−1 ∶ 𝑦 = arccos 𝑥

𝑓 ∶ 𝑦 = tg 𝑥 −𝜋

kotangens × arkuskotangens

≤𝑎≤

𝑓 ∶ 𝑦 = cos 𝑥 0≤𝑥≤𝜋

𝜋

𝑎𝑥 = 𝑏 ⇔ 𝑥 = log𝑎 𝑏

𝑏>0

𝑓−1 ∶ 𝑦 = arcsin 𝑥

𝑓 ∶ 𝑦 = sin 𝑥 −𝜋

kosinus × arkuskosinus

0<𝑎≠1

𝑎

𝑥 𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑥 = √𝑏

≤𝑎≤

tg 𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑎 = arctg 𝑏

𝜋 2

∶ 𝑦 = arccotg 𝑥

cotg 𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑎 = arccotg 𝑏

0≤𝑎≤𝜋 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR


Inverzní funkci f −1

k funkci f např ed navzá jem zaměníme písmena


Posloupnosti (apl.)

mů ž eme nalé zt tak, ž e v zadané m vztahu x a y a potom osamostatníme y .

𝑦 = 𝑓(𝑥)

Př esně ji daný schematický ná vod vyjadř uje ná sledujı́cı́ postup: 1. Stanovı́me de󰅮inič nı́ obor

𝐷(𝑓)

zadané funkce

𝑓.

2. Ově řı́me, ž e je funkce prostá . Př itom • buď využ ijeme ekvivalentnı́ podmı́nky v pozná mce na straně 146: Jestliž e pro 𝑥1 ; 𝑥2 ∈ 𝐷(𝑓) platı́, ž e 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ) , pak musı́ bý t

𝑥1 = 𝑥2 .

• nebo vyjdeme z pozná mky na straně 160: Slož enı́m dvou prostý ch funkcı́ dostaneme funkci prostou. 3. Najdeme funkci

𝑓−1

vč etně jejı́ho de󰅮inič nı́ho oboru

𝐷(𝑓−1 ).

a) De󰅮inič nı́ obor 𝐷(𝑓−1 ) inverznı́ funkce urč ı́me pomocı́ oboru hodnot pů vodnı́ funkce, neboť platı́: 𝐷(𝑓−1 ) = 𝐻(𝑓) . b) Nalezneme př edpis funkce 𝑓−1 . Př itom využ ijeme vztah který platı́ pro kaž dé 𝑦 ∈ 𝐷(𝑓−1 ).

𝑓−1 (𝑦) = 𝑥 ⟺ 𝑓(𝑥) = 𝑦 ,

Vyjdeme tedy z rovnice 𝑦 = 𝑓(𝑥) a podle „schematické ho“ ná vodu popisované ho vý še zamě nı́me pı́smena označ ujı́cı́ nezá visle a zá visle promě nnou 𝑥 = 𝑓(𝑦) a poté osamostatnı́me 𝑦 (jak je zvykem) a dostaneme 𝑦 = 𝑓−1 (𝑥) .


Determ. Matice

Soustavy LAR


Příklad: Urč ete inverznı́ funkci k funkci


Posloupnosti (apl.)

𝑓 ∶ 𝑦 = 2𝑥 − 1.

Řešení: 1. 𝐷(𝑓) = 𝐻(𝑓) = ℝ 2. Nechť 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ). Pak: 2𝑥1 − 1 = 2𝑥2 − 1 | + 1 2𝑥1 = 2𝑥2 |∶2 𝑥1 = 𝑥2 a tedy funkce f je prostá na celé m své m de󰅮inič nı́m oboru. 3. a) 𝐷(𝑓−1 ) = 𝐻(𝑓) = ℝ b) V př edpisu funkce vzá jem promě nné . Tedy:

𝑓 ∶ 𝑦 = 2𝑥 − 1

zamě nı́me na-

𝑥 = 2𝑦 − 1

Poté z té to rovnice osamostatnı́me 𝑥+1 Dostá vá me =𝑦 2 a inverznı́ funkce má tvar: 𝑓−1 ∶ 𝑦 = 0,5𝑥 + 0,5

y.

𝑓 ∶ 𝑦 = 2𝑥 − 1 𝑓−1 ∶ 𝑦 = 0,5𝑥 + 0,5


Determ. Matice

Soustavy LAR


Příklad: Urč ete inverznı́ funkci k funkci


Posloupnosti (apl.)

𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑥 2.

Řešení: 1. 𝐷(𝑓) = ℝ,

𝐻(𝑓) = ⟨0; ∞),

2. Nechť 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ). Pak: 𝑥12 = 𝑥22 | √ 𝑥1 = 𝑥2 (pro 𝑥1 ≥ 0 a 𝑥2 ≥ 0) Proto, aby funkce f byla prostá , musı́ platit podmı́nky v zá vorce. Zú ž ı́me proto de󰅮inič nı́ obor na 𝐷(𝑓) = ⟨0; ∞) . Potom je funkce 𝑓 prostá na intervalu ⟨0; ∞) . 3. a) 𝐷(𝑓−1 ) = 𝐻(𝑓) = ⟨0; ∞) b) V př edpisu funkce 𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑥 2 zamě nı́me navzá jem promě nné . Tedy 𝑥 = 𝑦 2 . Poté z té to rovnice osamostatnı́me y. Dostá vá me: √𝑥 = 𝑦 a inverznı́ funkce má tvar: 𝑓−1 ∶ 𝑦 = √𝑥 .

𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑥2

𝑓−1 ∶ 𝑦 = √𝑥


Determ. Matice

Soustavy LAR


Příklad: Ově řte, ž e k funkci

𝑓∶𝑦=

𝑥+2 𝑥−3


Posloupnosti (apl.)

existuje inverznı́ funkce a najdě te ji.

Řešení: 1. Zř ejmě ze zadá nı́ 2. Nechť

𝐷(𝑓) = ℝ ∖ {3} .

𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ) .

Pak: 𝑥1 + 2 𝑥2 + 2 = 𝑥1 − 3 𝑥2 − 3

| ⋅ (𝑥1 − 3)(𝑥2 − 3)

𝑥1 𝑥2 + 2𝑥2 − 3𝑥1 − 6 = 𝑥1 𝑥2 + 2𝑥1 − 3𝑥2 − 6 𝑥1 𝑥2 + 2𝑥2 − 3𝑥1 = 𝑥1 𝑥2 + 2𝑥1 − 3𝑥2 2𝑥2 − 3𝑥1 = 2𝑥1 − 3𝑥2 5𝑥2 = 5𝑥1

|+6 | − 𝑥1 𝑥2 | + 3𝑥1 + 3𝑥2 |∶5

𝑥2 = 𝑥1 tedy funkce 𝑓 je prostá na celé m své m de󰅮inič nı́m oboru a proto zde existuje funkce 𝑓−1 inverznı́ k funkci 𝑓 . 3. a) Urč ı́me de󰅮inič nı́ obor funkce inverznı́ 𝐷(𝑓−1 ) = 𝐻(𝑓) , který je roven oboru hodnot pů vodnı́ funkce 𝑓 . Nejprve si upravı́me př edpis funkce 𝑓 . Platı́: 𝑓(𝑥) =

𝑥+2 𝑥−3+5 5 = =1+ 𝑥−3 𝑥−3 𝑥−3


Determ. Matice

Soustavy LAR

Funkce

𝑓


je de󰅮inová na pro kaž dé


𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) = ℝ ∖ {3} .

Posloupnosti (apl.)

Dá le platı́:

𝑥 ∈ ℝ ∖ {3} 𝑥 − 3 ∈ ℝ ∖ {0} 1 ∈ ℝ ∖ {0} 𝑥−3 5 ∈ ℝ ∖ {0} 𝑥−3 1+

5 ∈ ℝ ∖ {1} 𝑥−3 𝑥+2 ∈ ℝ ∖ {1} = 𝐻(𝑓) 𝑥−3

𝐷(𝑓−1 ) = 𝐻(𝑓) = ℝ ∖ {1} 𝑥+2 b) V př edpisu funkce 𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑥−3 Tedy

zamě nı́me navzá jem promě nné :

𝑦+2 𝑦−3 𝑥𝑦 − 3𝑥 = 𝑦 + 2

A z té to rovnice osamostatnı́me 𝑦: 𝑥 =

𝑥=

𝑦+2 . 𝑦−3

| ⋅ (𝑦 − 3) | − 𝑦 + 3𝑥

𝑥𝑦 − 𝑦 = 3𝑥 + 2 𝑦 ⋅ (𝑥 − 1) = 3𝑥 + 2 Dostá vá me:

𝑦=

3𝑥 + 2 , 𝑥−1

| ∶ (𝑥 − 1)

což je hledaná inverznı́ funkce (viz ná sledujı́cı́ obrá zek). •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Poznámka: U podobný ch př ı́kladů , kdy nalezenı́ oboru hodnot pů vodnı́ funkce nenı́ prá vě triviá lnı́ zá lež itostı́, postupujeme vě tš inou tak, ž e nejprve stanovı́me inverznı́ funkci a poté př ı́mo jejı́ de󰅮inič nı́ obor. Tedy nejprve provedeme bod 3. b) a teprve ná sledně bod 3. a) dř ıv ́ e uvedené ho postupu.

𝑓∶𝑦=

𝑥+2 , 𝑥−3

𝑥 ∈ ℝ ∖ {3}

𝑓−1 ∶ 𝑦 =

3𝑥 + 2 , 𝑥−1

𝑥 ∈ ℝ ∖ {1} •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

4. Elementární funkce Základními elementárními funkcemi

budeme nazý vat tyto funkce:

mocninné (mocniny a odmocniny — promě nná je v zá kladu/mantise mocniny); exponenciální (promě nná je v exponentu) a logatritmické; goniometrické (trigonometrické — sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans (sec 𝑥 = (csc 𝑥 =

1 )) sin 𝑥

kosekans

a cyklometrické (arkussinus, arkuskosinus, arkutangens, arkuskotanges);

(hyperbolický sinus ⟹ sinh 𝑥 = ké ho sinu ⟹ argsinh 𝑥).

hyperbolické

1 ), cos 𝑥

𝑒 𝑥 − 𝑒−𝑥 , …) a hyperbolometrické (argument hyperbolic2

Tyto funkce se velmi č asto vyskytujı́ v technické praxi. Jejich hodnoty bez problé mů nalezneme skoro na kaž dé „trochu slušnější“ kalkulač ce. Elementárními funkcemi budeme nazý vat funkce, které lze vytvoř it ze zá kladnı́ch elementá rnı́ch funkcı́ pomocı́ operacı́ sč ı́tá nı́, odeč ı́tá nı́, ná sobenı́, dě lenı́ a sklá dá nı́ funkcı́. Mezi nejvý znamně jš ı́ takové patř ı́ mnohočleny (např ık ́ lad konstantnı́, lineá rnı́, kvadratická , …, funkce) a racionální (lomené ) funkce (např ık ́ lad mocniny se zá porný m celý m exponentem). Poznámka: Vě tš ina elementá rnı́ch funkcı́ je probı́rá na na stř ednı́ š kole, a proto lze tuto kapitolu považ ovat z velké č ásti za opaková nı́ a souhrnné př ipomenutı́ zá kladnı́ch vlastnostı́ tě chto funkcı́. Rozš ıŕ ̌ enı́m oproti stř ednı́ š kole budou zř ejmě pro vě tš inu z vá s pouze funkce cyklometrické a ně které mnohoč leny a racioná lnı́ (lomené ) funkce. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

4.1.

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Funkce mocninné (mocniny a odmocniny)

A. Mocninná funkce s přirozeným exponentem ⟹

𝑛 ∈ ℕ je př irozené č ı́slo.

Funkci 𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑥𝑛 ,

kde 𝑥 𝑛 = 𝑥 ⋅𝑥⋅…⋅𝑥 ⏝⎵⎵⏟⎵⎵⏝ 𝑛-krá t nazý vá me mocninnou funkcí s přirozeným exponentem.

Vlastnosti mocninné funkce 𝑛 je sudé Funkce

𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑥𝑛

pro 𝑥 ∈ ℝ a 𝑛 ∈ ℕ ,


s př irozený m exponentem

má de󰅮inič nı́ obor

𝐷(𝑓) = ℝ

𝑛∈ℕ.

a obor hodnot

𝐻(𝑓) = ⟨0; ∞) .

Je to sudá funkce, zdola ohranič ená , klesajı́cı́ na intervalu (−∞; 0⟩ a rostoucı́ na intervalu ⟨0; ∞). Proto nenı́ prostá (viz obrá zek 7 vlevo). Pokud vš ak omezı́me jejı́ de󰅮inič nı́ obor na interval ⟨0; ∞) , pak je tato nová funkce prostá a existuje k nı́ funkce inverznı́. 𝑛 je liché Funkce



𝐷(𝑓) = ℝ

a obor hodnot

𝐻(𝑓) = ℝ .

Je to lichá funkce, nenı́ zdola ani shora ohranič ená , je rostoucı́ na 𝐷(𝑓). Proto je prostá na celé m své m de󰅮inič nı́m oboru (viz obrá zek 8 vlevo) a existuje k nı́ funkce inverznı́.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Funkci n-tá odmocnina pro 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2 označ ujeme 𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑛√𝑥 (č teme: 𝑛󰀖󰀃́ 󰀑󰀆󰀏󰀑󰀅󰀐󰀋󰀐󰀃 󰀜 𝑥) zavá dı́me 1. pro 𝑛 sudé

jako funkci inverznı́ k funkci

𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑥𝑛 ,

𝑥 ∈ ⟨0; ∞) ;

2. pro 𝑛 liché

jako funkci inverznı́ k funkci

𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑥𝑛 ,

𝑥∈ℝ.

Vlastnosti funkce

f ∶ 𝑦 = 𝑛√𝑥 .

𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑛√𝑥 má de󰅮inič nı́ obor 𝐷(𝑓) = ⟨0; ∞) a obor hodnot 𝐻(𝑓) = ⟨0; ∞) . Funkce nenı́ sudá ani lichá , je rostoucı́ na 𝐷(𝑓) a je zdola ohranič ená (viz obrá zek 7 vpravo).

𝑛 je sudé

𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑛√𝑥 má de󰅮inič nı́ obor 𝐷(𝑓) = ℝ a obor hodnot 𝐻(𝑓) = ℝ . Je to lichá funkce, nenı́ zdola ani shora ohranič ená , je rostoucı́ na 𝐷(𝑓) (viz obrá zek 8 vpravo).

𝑛 je liché (𝑛 ≥ 3)


Sudé 𝑛 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


Liché 𝑛 Zapamatujte si: 1. Sudé odmocniny jsou de󰅮inová ny jen pro (!!! Nenı́ pravda, ž e

𝑥 ∈ ⟨0; ∞) .

√−4 = −2 .)

2. Liché odmocniny jsou de󰅮inová ny pro vš echna

𝑥 ∈ ℝ.

3. Odmocnina je funkce, proto je dá na jednoznač ně . (!!! Nenı́ pravda, ž e

√4 = ±2 .

Sprá vně je pouze

Uvě domte si, ž e pracujeme vý luč ně s reá lný mi č ı́sly ninami i s odmocninami zachá zeli jinak.

x.

√4 = 2 .) V množ ině komplexnı́ch č ı́sel bychom s moc-


Determ. Matice

Soustavy LAR


B. Mocninná funkce se záporným celým exponentem ⟹


Posloupnosti (apl.)

𝑛 ∈ ℕ je př irozené č ı́slo.

Funkci 𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑥 −𝑛 ,

pro 𝑥 ∈ ℝ ∖ {0} a 𝑛 ∈ ℕ ,

kde 𝑥 −𝑛 =

1 1 = 𝑛 𝑥 𝑥⋅𝑥⋅…⋅𝑥

nazý vá me mocninnou funkcí se záporným celým exponentem. Vlastnosti mocninné funkce 𝑛 je liché

𝑓∶𝑦=𝑥

−𝑛

f ∶ 𝑦 = 𝑥 −𝑛


se zá porný m celý m exponentem (𝑛 ∈ ℕ) . 𝐷(𝑓) = ℝ ∖ {0}

a obor hodnot

𝐻(𝑓) = ℝ ∖ {0} .

Je to lichá funkce, nenı́ zdola ani shora ohranič ená , je klesajı́cı́ na 𝐷(𝑓) (viz obrá zek 9 vlevo). 𝑛 je sudé

𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑥 −𝑛


𝐷(𝑓) = ℝ ∖ {0}

a obor hodnot

𝐻(𝑓) = ⟨0; ∞) .

Je to sudá funkce, zdola ohranič ená , rostoucı́ na intervalu (−∞; 0⟩ a klesajı́cı́ na intervalu ⟨0; ∞) (viz obrá zek 9 vpravo). Obrá zek 9: Př evzat z [5]


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

C. Mocninná funkce s racionálním exponentem ⟹ 𝑝/𝑞 , kde (𝑝 ≠ 0 je celé č ı́slo, 𝑞 ≥ 2 je př irozené č ıś lo), je zlomek v zá kladnı́m tvaru (tj. 𝑝 a 𝑞 jsou nesoudě lné ⇒ nemajı́ společ né ho dě litele). Funkci

𝑝

𝑝

𝑞

kde 𝑥 𝑞 = √𝑥 𝑝 𝑝 nazý vá me mocninnou funkcí s racionálním exponentem ∈ ℚ ∖ ℤ. 𝑞 Př itom de󰅮inič nı́ obor funkce f zá visı́ na č ı́slech 𝑝 , 𝑞 . 𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑥𝑞 ,

𝑝>0 Celkem mohou nastat tyto č tyř i př ı́pady: 𝑝<0 Poznámka:

𝑞 liché

⇒

𝐷(𝑓) = ℝ

𝑞 sudé

⇒

𝐷(𝑓) = ⟨0; ∞)

𝑞 liché

⇒

𝐷(𝑓) = ℝ ∖ {0}

𝑞 sudé

⇒

𝐷(𝑓) = (0; ∞)

1. Pokud nenı́ racioná lnı́ exponent v zá kladnı́m tvaru, musı́me ho nejdř ı́ve (krá cenı́m) upravit na zá kladnı́ tvar. 2. Př edpoklad nesoudě lnosti č ı́sel p a q (který je podstatný ), ná m umož nı́ pracovat s lichý mi odmocninami ze zá porný ch č ı́sel. 2

Např ı́klad

1

3

(−8) 6 = (−8) 3 = √−8 = −2 ,

protož e

(−2)3 = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = −8 . 𝑝

Př i vynechá nı́ př edpokladu nesoudě lnosti č ı́sel p , q by de󰅮inice funkce f ∶ 𝑦 = 𝑥 𝑞 korektnı́. Pro jedno zadá nı́ bychom mohli obdrž et ně kolik vý sledků , což nenı́ sprá vné . 2

Protož e by bylo

6

6

(−8) 6 = 󰖶(−8)2 = √64 = 2

2

a zá roveň

1

nebyla

3

(−8) 6 = (−8) 3 = √−8 = −2 .


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

D. Mocninná funkce s reálným exponentem Zatı́m nemá me ž ádné vhodné prostř edky pro zavedenı́ mocninné funkce s reá lný m exponentem. Proto se spokojı́me s tı́m, ž e kaž dé reá lné č ı́slo lze s libovolnou a př edem danou př esnostı́ vyjá dř it pomocı́ vhodné ho zlomku. Např ı́klad pož adujeme urč it 3√2 nostı́ na jedno desetinné mı́sto. Pak zvolı́me

a stač ı́ ná m, když

1,4 =

14 7 = 10 5

√2 ≐ 1,414 213 562 7

a platı́

5

3√2 ≐ 3 5 = √37 .

Pokud chceme odmocninu vyjá dř it s př esnostı́ na dvě desetinná mı́sta, volı́me staneme lepš ı́ aproximaci

3√2 ≐ 3

141 100

vyjá dř ı́me s př es-

1,41 =

141 100

a do-

100

= √3141 .

Když na tři desetinná mı́sta, volı́me

1,414 =

1414 707 = 1000 500

…


Mocninná funkce s iracioná lnı́m (reá lný m, který nenı́ racioná lnı́) exponentem •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

E. Mocninná funkce s nulovým exponentem Jestli jste pozorně studovali odstavce A), B), C) i D), jistě vá m neuniklo, ž e jsme doposud nezavedli mocninnou funkci s nulový m exponentem. To nynı́ napravı́me. Pro kaž dé

𝑥 ∈ ℝ ∖ {0}

polož ı́me

𝑥 0 = 1.

Je-li tedy 𝑟 = 0 , pak mocninná funkce 𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑥 𝑟 , 𝑥 ∈ ℝ ∖ {0} je rovna konstantnı́ funkci 𝑓 ∶ 𝑦 = 1 . Tı́m má me funkci 𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑥 𝑟 de󰅮inová nu pro vš echna rů zná 𝑟 ∈ ℝ . Z jednotlivý ch vztahů , který mi jsme zavá dě li mocninnou funkci pro rů zné exponenty vidı́me, ž e funkce 𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑥 𝑟 je ve vš ech př ı́padech de󰅮inová na na intervalu (0; +∞) a v ně který ch př ı́padech i na š irš ı́ch intervalech. Na tomto intervalu (0; +∞) platı́ ná sledujı́cı́ vztah:

𝑥 𝑎 = e𝑎⋅ln 𝑥 př ič emž funkce

e𝑥

a

ln 𝑥

,

𝑥 ∈ (0; +∞) ,

𝑎∈ℝ

zavedeme v ná sledujı́cı́ kapitole 4.2.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Základní pravidla pro počítání s mocninami Pro č ı́sla

𝑥, 𝑦 ∈ (0; ∞) , 𝑎

𝑎

𝑥 ⋅ 𝑦 = (𝑥 ⋅ 𝑦)

𝑎, 𝑏 ∈ ℝ

platı́ 𝑥𝑎 𝑥 = 󰛂 󰛃 𝑦𝑎 𝑦

𝑎

𝑎

1 1 = 󰛂 󰛃 𝑥𝑎 𝑥

𝑥𝑎 = 𝑥 𝑎−𝑏 𝑥𝑏

𝑥 𝑎 ⋅ 𝑥 𝑏 = 𝑥 𝑎+𝑏

𝑎

𝑥0 = 1

(𝑥 𝑎 )𝑏 = 𝑥 𝑎⋅𝑏

𝑥 −𝑎 =

1 𝑥𝑎

Základní pravidla pro počítání s odmocninami Pro č ı́sla

𝑥, 𝑦 ∈ (0; ∞) ,

𝑚, 𝑛 ∈ ℕ ,

𝑚 ≥ 2, 𝑛 ≥ 2 𝑛

𝑛

𝑛

√𝑥 ⋅ 𝑦 = √𝑥 ⋅ √𝑦

𝑛

𝑛

𝑛 √𝑥 𝑛 = 󰕾 √𝑥󰖂 = 𝑥

𝑚

󰖸 𝑛√𝑥 =

platı́ 𝑛 𝑥 √𝑥 󰖹 = 𝑛 𝑦 √𝑦

𝑛

𝑛

𝑚⋅𝑛

󰖶𝑥 𝑘 = 󰕾 𝑛√𝑥󰖂

√𝑥

𝑘

𝑘 je celé č ı́slo

Poznámka: Vš imně te si, ž e vš echny vzorce uvedené v tomto rá meč ku platı́ za podmı́nky 𝑥 > 0, 𝑦 > 0. Např ı́klad √𝑥 2 = 𝑥 platı́ pouze pro kladná č ı́sla 𝑥.

Obecně pro

𝑥∈ℝ

platí

√𝑥 2 = |𝑥| .


Determ. Matice

4.2.

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Funkce exponenciální a logaritmická

Exponenciální funkcí o základu a , kde ná sledujı́cı́ př edpis

a

je kladné reá lné č ı́slo

𝑎 ∈ (0; ∞) , nazý vá me

𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑎𝑥


Exponenciá lnı́ funkce •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Vlastnosti exponenciá lnı́ funkce 𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑎𝑥 (viz obrá zek 11), pro 𝑎 > 0: • De󰅳iniční obor: • Obor hodnot

𝐷(𝑓) = (−∞; ∞). (pro 𝑎 ≠ 1):

𝐻(𝑓) = (0; ∞).

• Funkce

(pro 𝑎 ≠ 1)

není ani sudá ani lichá.

• Funkce

(pro 𝑎 ≠ 1)

není periodická.

• Funkce je

rostoucí (pro 𝑎 > 1) ,

klesající (pro 0 < 𝑎 < 1) ,

konstantní (pro 𝑎 = 1) .

Základní pravidla pro počítání s exponenciální funkcí Pro č ı́sla 𝑎 ∈ (0; ∞), 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ platı́ 𝑎𝑥 ⋅ 𝑎𝑦 = 𝑎𝑥+𝑦

𝑎𝑥 = 𝑎𝑥−𝑦 𝑎𝑦

(𝑎𝑥 )𝑦 = 𝑎𝑥⋅𝑦

Poznámka: 1. Velmi vý znamné mı́sto mezi exponenciá lnı́mi funkcemi zaujı́má přirozená exponenciální funkce 𝑓 ∶ 𝑦 = e𝑥 , kde e se nazý vá Eulerovo č ı́slo 17 (e = 2,718 281 …). Vě tš inou de󰅮inujeme toto č ıś lo 17

e

pomocı́ limity posloupnosti:

1 𝑛

e = lim 󰚼1 + 󰚽 . 𝑛

𝑛→∞

Označ enı́ pro toto iracioná lnı́ č ı́slo zavedl roku 1731 L. Euler. Vý znamem se Eulerovo č ı́slo e vyrovná vá Ludolfovu č ı́slu

𝜋.


Determ. Matice

Soustavy LAR

2. Funkci 𝑓 ∶ 𝑦 = e𝑥 tuto ř adu uveďme:



Posloupnosti (apl.)

lze de󰅮inovat pomocı́ souč tu nekoneč né mocninné ř ady. Jen pro zajı́mavost ∞ 𝑥

e =󰗞 𝑛=0

𝑥𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑥3 =1+ + + +⋯ . 𝑛! 1! 2! 3!

3. Exponenciá lnı́ funkci o zá kladu deset (𝑓 ∶ 𝑦 = 10𝑥 ) se nazý vá dekadická exponenciální funkce. 4. Exponenciá lnı́ funkce je dů lež itá pro modelová nı́ nejrů zně jš ı́ch jevů , protož e vyjadř uje „zákon přirozeného růstu“. Sem patř ı́ organický rů st (např. množ stvı́ dř eva v lese, poč et obyvatel), vyrovná vá nı́ rozdı́lů (např. ochlazová nı́, rozpouš tě nı́, vybı́jenı́ kondenzá toru), ně které chemické reakce atd. Typický m př ı́kladem př irozené ho rů stu je nepř etrž ité č i spojité (slož ené ) ú roková nı́. Exponenciá lnı́ funkce 𝑓 ∶ 𝑦 = 𝑎𝑥 je pro kaž dé reá lné č ı́slo 0 < 𝑎 ≠ 1 prostá, proto k nı́ existuje inverznı́ funkce.

x

a pro kaž dé reá lné č ı́slo

a

Logaritmická funkce Inverznı́ funkci f k funkci 𝑓−1 ∶ 𝑦 = 𝑎𝑥 nazý vá me logaritmickou funkcí o základu a, kde a je kladné reá lné č ı́slo rů zné od jednič ky (0 < 𝑎 ≠ 1) , a označ ujeme 𝑓 ∶ 𝑦 = log𝑎 𝑥 ,

0<𝑎≠1,

𝑥 ∈ (0; ∞) .

Podle př edchozı́ho rá meč ku tedy pro reá lná č ı́sla s ná sledujı́cı́mi vlastnostmi platı́: 𝑦 = log𝑎 𝑥

⟺

Vlastnosti logaritmické funkce

𝑥 = 𝑎𝑦 ,

0<𝑎≠1,

𝑓 ∶ 𝑦 = log𝑎 𝑥

𝑥 ∈ (0; ∞) ,

(viz obrá zek 12), pro

𝑦∈ℝ. 𝑎>0:


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


Logaritmické funkce • De󰅳iniční obor: 𝐷(𝑓) = (0; ∞). • Obor hodnot:

𝐻(𝑓) = (−∞; ∞).

• Funkce není ani sudá ani lichá. • Funkce není periodická. • Funkce je

rostoucí (pro 𝑎 > 1)

a

klesající (pro 0 < 𝑎 < 1) . •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Základní pravidla pro počítání s logaritmickou funkcí Pro reá lná č ı́sla

0<𝑎≠1 ,

0<𝑏≠1 ,

𝑠∈ℝ ,

platı́

log𝑎 𝑥 𝑠 = 𝑠 ⋅ log𝑎 𝑥

log𝑎 (𝑥 ⋅ 𝑦) = log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦 log𝑎

𝑥, 𝑦 ∈ (0; ∞)

𝑥 = log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦 𝑦

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 =

log𝑏 𝑥 log𝑏 𝑎

Poznámka: 1. Funkč nı́ hodnoty logaritmické funkce se nazý vajı́ logaritmy. Symbol log𝑎 𝑥 č teme: „󰀎󰀑󰀉󰀃󰀔󰀋󰀖󰀏󰀗󰀕 󰀅̌ 󰀋́󰀕󰀎󰀃 𝑥 󰀑 󰀜󰀃́ 󰀍󰀎󰀃󰀆󰀗 𝑎“. 2. Logaritmickou funkci o zá kladu a = e (Eulerovo č ıś lo) nazý vá me přirozenou logaritmickou funkcí a označ ujeme 𝑓 ∶ 𝑦 = ln 𝑥 . Tedy mı́sto loge 𝑥 pı́šeme ln x . Jejı́ funkč nı́ hodnoty se nazý vajı́ přirozené logaritmy. 3. Logaritmickou funkci o zá kladu a = 10 nazý vá me dekadickou (desı́tkovou) logaritmickou funkcí a označ ujeme 𝑓 ∶ 𝑦 = log10 𝑥 Mı́sto log10 𝑥 pı́šeme log x . Jejı́ funkč nı́ hodnoty se nazý vajı́ dekadické logaritmy (desı́tkové logaritmy). 4. Vztah mezi exponenciá lnı́ funkcı́ o zá kladu 𝑎𝑥 = e𝑥⋅ln 𝑎

a

a o zá kladu

e

je dá n rovnostı́

pro 0 < 𝑎 ≠ 1 , 𝑥 ∈ ℝ . •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR


5. Pokud označ ı́me 𝑓(𝑥) ∶ 𝑦 = 𝑎(𝑥) , −1

0<𝑎≠1,

𝑓 (𝑥) ∶ 𝑦 = log𝑎 (𝑥) ,


Posloupnosti (apl.)

𝐷(𝑓) = (−∞; +∞) , 𝐻(𝑓) = (0; +∞)

0 < 𝑎 ≠ 1 , 𝐷(𝑓−1 ) = (0; +∞) , 𝐻(𝑓 −1 ) = (−∞; +∞)

pak platı́: [𝑓 ∘ 𝑓 −1 ](𝑥) = 𝑓[𝑓 −1 (𝑥)] = 𝑎[𝑓

−1 (𝑥)]

= 𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥

pro 𝑥 ∈ (0; ∞) ,

[𝑓−1 ∘ 𝑓](𝑥) = 𝑓−1 [𝑓(𝑥)] = log𝑎 [𝑓(𝑥)] = log𝑎 𝑎𝑥 = 𝑥 ⋅ log𝑎 𝑎 = 𝑥⋅1 = 𝑥 6. Logaritmus svého základu se rovná jedné

4.3.

⟹

log𝑎 𝑎 = 1

pro 𝑥 ∈ ℝ .

pro 0 < 𝑎 ≠ 1.

Funkce goniometrické

Goniometrické 18 funkce zná te ze stř ednı́ š koly z jejich hlavnı́ho už itı́ př i vý poč tu prvků trojú helnı́ku (v trigonometrii). Př ipomeň me, ž e umı́te ú hly mě řit v mı́ře stupň ové a v mı́ře obloukové (v radiá nech) 19 . Vı́te, ž e ∢1 ∘ (jeden stupeň ) v mı́ře stupň ové je roven ú hlu 𝜋/180 rad. Obecně 𝜋 𝑛∘ = 𝑛 ⋅ rad . 180 180 ∘ A tedy: 1 rad = [ ] ≐ 57,3 ∘ . 𝜋 18

Mů ž eme př elož it jako úhloměrné.

19

Existujı́ ješ tě i jiné jednotky pro mě řenı́ ú hlů . 𝜋 Pravý ú hel = 90 ∘ = rad = 100 grad (gradiá n – dř ı́ve ve Francii) = 6 hodin (v astronomii) 2


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Sinus a kosinus V souř adné soustavě nakresleme jednotkovou kruž nici (má stř ed v poč átku soustavy souř adnic a jejı́ polomě r je 1 jednotka) a orientovaný ú hel, který má tmavoč ervenou barvu. Vrchol ú hlu je opě t v poč átku soustavy souř adnic, poč áteč nı́ rameno ú hlu splý vá s kladnou č ástı́ osy 𝑢 a koncové rameno prochá zı́ bodem A o souř adnicı́ch 𝐴 = [𝑢𝐴 ; 𝑣𝐴 ], což je prů seč ı́k koncové ho ramena orientované ho ú hlu s jednotkovou kruž nicı́ — viz obrá zek 13. Obrá zek 13: Sinus a kosinus

sin 𝑥

cos 𝑥 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Sinus je funkce, jejı́ž hodnota je v kaž dé m bodě 𝑥 ∈ ℝ rovna svislé souř adnici 𝑣𝐴 bodu A. Kosinus je funkce, jejı́ž hodnota je v kaž dé m bodě 𝑥 ∈ ℝ rovna vodorovné souř adnici 𝑢𝐴 bodu A.

Pro takto zavedené funkce plyne:

Funkce

sinus :

𝑦 = sin 𝑥

Graf (obrá zek 14) funkce sinus se nazý vá sinusoida. Obrá zek 14: Př evzat z [5]

Sinusoida Poznámka: Podle de󰅮inice stač ı́ sestrojit graf sinusoidy v intervalu ⟨0; 2𝜋) a potom jej periodicky prodlouž it. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR

Vlastnosti funkce sinus:


f ∶ 𝑦 = sin 𝑥 ,

Posloupnosti (apl.)

𝑥∈ℝ

• De󰅯iniční obor funkce sinus:

𝐷(𝑓) = (−∞; +∞)

• Obor hodnot funkce sinus: • Funkce sinus je lichá:


𝐻(𝑓) = ⟨−1; 1⟩

⟹

sin(−𝑥) = − sin 𝑥

• Funkce sinus je periodická se zá kladnı́ periodou 2𝜋 sin(𝑥 + 2𝑘𝜋) = sin 𝑥 , 𝑘 je celé č ı́slo (𝑘 ∈ ℤ) • Funkce sinus je 𝜋

𝜋

2

2

rostoucí na intervalech

⟨− + 2𝑘𝜋;

klesající na intervalech

⟨ + 2𝑘𝜋;

𝜋

3𝜋

2

2

+ 2𝑘𝜋⟩ , 𝑘 ∈ ℤ

+ 2𝑘𝜋⟩ , 𝑘 ∈ ℤ

Tabulka hodnot funkce sinus ve vý znač ný ch bodech: 𝑥

0

𝜋 6

𝜋 4

𝜋 3

𝜋 2

𝜋

3 𝜋 2

sin 𝑥

0

1 2

√2 2

√3 2

1

0

−1

což je

√0 2

√1 2

√2 2

√3 2

√4 2


Determ. Matice

Funkce

Soustavy LAR

kosinus :



Posloupnosti (apl.)

𝑦 = cos 𝑥

Graf (obrá zek 15) funkce kosinus se nazý vá kosinusoida. Obrá zek 15: Př evzat z [5]

Poznámka: Stejně jako u funkce sinus stač ı́ sestrojit graf kosinusoidy v intervalu ⟨0; 2𝜋) a potom jej periodicky prodlouž it. Vlastnosti funkce kosinus:

f ∶ 𝑦 = cos 𝑥 ,

• De󰅯iniční obor funkce kosinus: • Obor hodnot funkce kosinus: • Funkce kosinus je sudá:

⟹

𝑥∈ℝ 𝐷(𝑓) = (−∞; +∞) 𝐻(𝑓) = ⟨−1; 1⟩ cos(−𝑥) = cos 𝑥

• Funkce kosinus je periodická se zá kladnı́ periodou 2𝜋 cos(𝑥 + 2𝑘𝜋) = cos 𝑥 , 𝑘 ∈ ℤ (𝑘 je celé č ı́slo) • Funkce kosinus je rostoucí na intervalech

⟨−𝜋 + 2𝑘𝜋; 0 + 2𝑘𝜋⟩ , 𝑘 ∈ ℤ

klesající na intervalech

⟨0 + 2𝑘𝜋; 𝜋 + 2𝑘𝜋⟩ , 𝑘 ∈ ℤ

(𝑘 je celé č ı́slo)


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Tabulka hodnot funkce kosinus ve vý znač ný ch bodech: 𝑥

0

𝜋 6

𝜋 4

𝜋 3

𝜋 2

𝜋

3 𝜋 2

cos 𝑥

1

√3 2

√2 2

1 2

0

−1

0

což je

√4 2

√3 2

√2 2

√1 2

√0 2

Základní vztahy pro sinus a kosinus Vš echny dá le uvedené rovnosti platı́ vš ude, kde je souč asně de󰅮inová na levá i pravá strana rovnosti. sin(𝑥 + 𝑦) cos(𝑥 + 𝑦) sin(𝑥 − 𝑦) cos(𝑥 − 𝑦)

= = = =

sin 𝑥 ⋅ cos 𝑦 + cos 𝑥 ⋅ sin 𝑦 cos 𝑥 ⋅ cos 𝑦 − sin 𝑥 ⋅ sin 𝑦 sin 𝑥 ⋅ cos 𝑦 − cos 𝑥 ⋅ sin 𝑦 cos 𝑥 ⋅ cos 𝑦 + sin 𝑥 ⋅ sin 𝑦

sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1

(9) (10) (11) (12) (13)

Prvnı́m č tyř em vztahů m ř ı́ká me souč tové vzorce pro sinus a kosinus. Ze vztahů (9) a (10) lze odvodit ř adu dalš ı́ch vztahů . Např ı́klad vzorec (11) dostaneme tak, ž e ve vzorci (9) nahradı́me symbol y symbolem –y a využ ijeme „lichosti“ funkce sinus a „sudosti“ funkce kosinus. Vztah (12) zı́ská me, když v (10) nahradı́me symbol y symbolem –y a … Vzorec (13) dostaneme tak, když ve vzorci (10) polož ı́me y = –x. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Vztah (13) se ně kdy nazý vá goniometrická jednička. Př ipomeň me, ž e sin2 𝑥 vý razu [sin 𝑥]2 . Nezamě ňovat se sin 𝑥 2 , což je naprosto ně co jiné ho! 𝜋 − 𝑥󰖃 2 𝜋 cos 𝑥 = sin 󰕿 − 𝑥󰖃 2 sin 𝑥 = cos 󰕿

Posloupnosti (apl.)

je struč ný zá pis

(14) (15)

Vzorec (14) dostaneme ihned ze vztahu (12) a vzorec (15) ze vztahu (11). sin 2𝑥 = 2 ⋅ sin 𝑥 ⋅ cos 𝑥

(16)

cos 2𝑥 = cos2 𝑥 − sin2 𝑥

(17)

Vzorec (16) dostaneme tak, ž e v souč tové m vzorci (9) polož ı́me y = x . Obdobně pro odvozenı́ vztahu (17) použ ijeme vztah (10). Ná sledujı́cı́ vzorce (18) (19) použ ı́vá me př i integrová nı́ goniometrický ch funkcı́, kdy integrovanou gon. funkci pomocı́ vhodné substituce a tě chto vzorců př evedeme na racioná lnı́ lomenou funkci. 𝑥 1 − cos 𝑥 󰘶sin 󰘶 = 󰖹 2 2

(18)

𝑥 1 + cos 𝑥 󰘶cos 󰘶 = 󰖹 2 2

(19)


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Ně kdy se hodı́ i ná sledujı́cı́ souč tové vzorce: sin 𝑥 + sin 𝑦 = 2 ⋅ sin

𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 ⋅ cos 2 2

(20)

sin 𝑥 − sin 𝑦 = 2 ⋅ cos

𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 ⋅ sin 2 2

(21)

cos 𝑥 + cos 𝑦 = 2 ⋅ cos

𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 ⋅ cos 2 2

(22)

cos 𝑥 − cos 𝑦 = −2 ⋅ sin

𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 ⋅ sin 2 2

(23)

Tangens a kotangens V souř adné soustavě nakresleme jednotkovou kruž nici (má stř ed v poč átku soustavy souř adnic a jejı́ polomě r je 1 jednotka) a orientovaný ú hel, který má tmavoč ervenou barvu. Vrchol ú hlu je opě t v poč átku soustavy souř adnic, poč áteč nı́ rameno ú hlu splý vá s kladnou č ástı́ osy 𝑢 a koncové rameno prochá zı́ bodem B o souř adnicı́ch 𝐵 = [𝑢𝐵 ; 𝑣𝐵 ], (což je prů seč ı́k koncové ho ramena orientované ho ú hlu s teč nou sestrojenou k jednotkové kruž nici v bodě [1 ; 0]) a bodem C o souř adnicı́ch 𝐶 = [𝑢𝐶 ; 𝑣𝐶 ], (což je prů seč ı́k koncové ho ramena orientované ho ú hlu s dalš ı́ teč nou sestrojenou k jednotkové kruž nici nynı́ v bodě [0 ; 1]) — viz obrá zek 16. Tangens je funkce, jejı́ž hodnota je v kaž dé m bodě 𝑥 ∈ ℝ, který nenı́ roven lichý m ná sobků m 𝜋/2, rovna svislé souř adnici 𝑣𝐵 bodu B. Pro liché ná sobky 𝜋/2 totiž ž ádný prů seč ı́k B nedostaneme, protož e rameno ú hlu a teč na ke kruž nici jsou navzá jem rovnobě žné .


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Obrá zek 16: Tangens a kotangens

tg 𝑥

cotg 𝑥

Kotanges je funkce, jejı́ž hodnota je v kaž dé m bodě 𝑥 ∈ ℝ který nenı́ roven ná sobků m 𝜋 rovna vodorovné souř adnici 𝑢𝐶 bodu C. Pro ná sobky 𝜋 totiž ž ádný prů seč ı́k C nedostaneme, protož e rameno ú hlu a teč na ke kruž nici jsou navzá jem rovnobě žné .

Pro takto zavedené funkce z podobnosti trojú helnı́ků plyne tg 𝑥 =

sin 𝑥 cos 𝑥

cotg 𝑥 =

cos 𝑥 sin 𝑥


Determ. Matice

Funkce

Soustavy LAR

tangens :


𝑦 = tg 𝑥

Vlastnosti funkce tangens:

Posloupnosti (apl.)


f ∶ 𝑦 = tg 𝑥 ,

𝑥 ∈ ℝ mimo lichý ch ná sobků 𝜋/2 (obrá zek 17) 𝜋

• De󰅯iniční obor funkce tangens: • Obor hodnot funkce tangens: • Funkce tangens je lichá:


𝐷(𝑓) = ℝ ∖ 󰛀 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ󰛁 (k je celé č ı́slo) 2

𝐻(𝑓) = (−∞; ∞)

⟹

tg (−𝑥) = −tg 𝑥

• Funkce tangens je periodická se zá kladnı́ periodou 𝜋 tg (𝑥 + 𝑘𝜋) = tg 𝑥 , 𝑘 ∈ ℤ • Funkce tangens je rostoucí na intervalech

𝜋

𝜋

2

2

󰚼− + 𝑘𝜋;

+ 𝑘𝜋󰚽 , 𝑘 ∈ ℤ


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Tabulka hodnot funkce tangens ve vý znač ný ch bodech:

Funkce

𝑥

0

𝜋 6

𝜋 4

𝜋 3

𝜋 2

𝜋

3 𝜋 2

tg 𝑥

0

√3 3

1

√3

—

0

—

kotangens :

𝑦 = cotg 𝑥

Vlastnosti funkce kotangens: f ∶ 𝑦 = cotg 𝑥 ,

𝑥 ∈ ℝ mimo ná sobků 𝜋 (obrá zek 18)

• De󰅯iniční obor funkce kotangens: 𝐷(𝑓) = ℝ ∖ {𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} (k je celé č ı́slo) • Obor hodnot funkce kotangens: 𝐻(𝑓) = (−∞; ∞) • Funkce kotangens je lichá:

⟹

cotg (−𝑥) = −cotg 𝑥

• Funkce kotangens je periodická se zá kladnı́ periodou 𝜋 cotg (𝑥 + 𝑘𝜋) = cotg 𝑥 , 𝑘 ∈ ℤ • Funkce kotangens je klesající na intervalech

(0 + 𝑘𝜋; 𝜋 + 𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ ℤ

Tabulka hodnot funkce kotangens ve vý znač ný ch bodech: 𝑥

0

𝜋 6

𝜋 4

𝜋 3

𝜋 2

𝜋

3 𝜋 2

cotg 𝑥

—

√3

1

√3 3

0

—

0


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



Determ. Matice

4.4.

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Funkce cyklometrické

Cyklometrické funkce budeme de󰅮inovat jako inverznı́ funkce k odpovı́dajı́cı́m funkcı́m goniometrický m. To je ovš em velmi nepř esně ř eč eno, neboť ani jedna z goniometrický ch funkcı́ nenı́ prostá na celé m své m de󰅮inič nı́m oboru. Podı́vejme se nejprve na funkci sinus. Funkce 𝑓 ∶ 𝑦 = sin 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ , nenı́ prostá . Ale funkce 𝜋 𝜋

𝑓1 ∶ 𝑦 = sin 𝑥 ,

𝑥 ∈ ⟨− ; ⟩

𝑓2 ∶ 𝑦 = sin 𝑥 ,

𝑥∈⟨ ;

𝑓3 ∶ 𝑦 = sin 𝑥 ,

𝑥 ∈ ⟨𝜋;

2

2

𝜋 3𝜋 2

2 3𝜋 2

⟩ ⟩

již prosté jsou. Lze tedy mluvit o funkcı́ch inverznı́ch k tě mto funkcı́m. Př itom jedna z tě chto funkcı́, konkré tně funkce f 1 , je považ ová na za „zá kladnı́“ a funkce k nı́ inverznı́ se nazý vá arkussinus. Obdobnou ú vahu lze prové st i pro ostatnı́ goniometrické funkce. Funkce

arkussinus :

𝑦 = arcsin 𝑥

Vlastnosti funkce arkussinus:

f ∶ 𝑦 = arcsin 𝑥 ,

• De󰅯iniční obor funkce arkussinus: • Obor hodnot funkce arkussinus: • Funkce arkussinus je lichá:

𝑥 ∈ ⟨−1; 1⟩

(viz obrá zek 19)

𝐷(𝑓) = ⟨−1; 1⟩ 𝜋 𝜋

𝐻(𝑓) = ⟨− ; ⟩

⟹

2

2

arcsin(−𝑥) = − arcsin 𝑥

• Funkce arkussinus nenı́ periodická • Funkce arkussinus je rostoucí na celé m své m de󰅮inič nı́m oboru •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


Uvaž ujme funkci

Inverznı́ funkce k funkci Funkce

𝜋 𝜋

𝑓 ∶ 𝑦 = sin 𝑥 , 𝑥 ∈ ⟨− ; ⟩ . 2

f

se nazý vá 𝜋 𝜋

𝑓 ∶ 𝑦 = sin 𝑥 , 𝑥 ∈ ⟨− ; ⟩ 2

2

2

Tato funkce je rostoucı́, a tedy prostá .

arkussinus .

a funkce

Př itom

𝐷(𝑓−1 ) = 𝐻(𝑓) = ⟨−1; 1⟩ .

𝑓−1 ∶ 𝑦 = arcsin 𝑥 ,

inverznı́. Jejich grafy jsou tedy soumě rné podle př ı́mky

y=x

𝑥 ∈ ⟨−1; 1⟩

jsou navzá jem

(osy prvnı́ho a tř etı́ho kvadrantu).


Determ. Matice

Funkce

Soustavy LAR

arkuskosinus :



Posloupnosti (apl.)

𝑦 = arccos 𝑥 Obrá zek 20: Př evzat z [5]

Uvaž ujme funkci

𝑓 ∶ 𝑦 = cos 𝑥 , 𝑥 ∈ ⟨0; 𝜋⟩ .


f

se nazý vá

𝑓 ∶ 𝑦 = cos 𝑥 , 𝑥 ∈ ⟨0; 𝜋⟩

Tato funkce je klesajı́cı́, a tedy prostá .

arkuskosinus .

a funkce

Př itom

𝑓−1 ∶ 𝑦 = arccos 𝑥 ,


y=x

𝐷(𝑓−1 ) = 𝐻(𝑓) = ⟨−1; 1⟩ . 𝑥 ∈ ⟨−1; 1⟩

jsou navzá jem



Determ. Matice

Soustavy LAR


Vlastnosti funkce arkuskosinus:

f ∶ 𝑦 = arccos 𝑥 ,

• De󰅯iniční obor funkce arkuskosinus: • Obor hodnot funkce arkuskosinus:


𝑥 ∈ ⟨−1; 1⟩

Posloupnosti (apl.)

(viz obrá zek 20)

𝐷(𝑓) = ⟨−1; 1⟩ 𝐻(𝑓) = ⟨0; 𝜋⟩

• Funkce arkuskosinus není ani lichá, ani sudá • Funkce arkuskosinus není periodická • Funkce arkuskosinus je klesající na celé m své m de󰅮inič nı́m oboru

Funkce

arkustangens :

𝑦 = arctg 𝑥

Vlastnosti funkce arkustangens:

f ∶ 𝑦 = arctg 𝑥 ,

• De󰅯iniční obor funkce arkustangens: • Obor hodnot funkce arkustangens: • Funkce arkustangens je lichá:

𝑥 ∈ ⟨−1; 1⟩

(viz obrá zek 21)

𝐷(𝑓) = (−∞; ∞) 𝜋 𝜋

𝐻(𝑓) = (− ; ) 2

⟹

2

arctg (−𝑥) = −arctg 𝑥

• Funkce arkustangens není periodická • Funkce arkustangens je rostoucí na celé m své m de󰅮inič nı́m oboru


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


𝜋 𝜋

Uvaž ujme funkci 𝑓 ∶ 𝑦 = tg 𝑥 , 𝑥 ∈ (− ; ) . 2


f

2

Tato funkce je rostoucı́, a tedy prostá .

se nazý vá arkustangens . Př itom 𝜋 𝜋

𝑓 ∶ 𝑦 = tg 𝑥 , 𝑥 ∈ (− ; ) 2

2

a funkce

𝑓−1 ∶ 𝑦 = arctg 𝑥 ,


y=x

𝐷(𝑓−1 ) = 𝐻(𝑓) = (−∞; ∞) . 𝑥 ∈ (−∞; ∞)

jsou navzá jem



Determ. Matice

Funkce

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

𝑦 = arccotg 𝑥

arkuskotangens :


Uvaž ujme funkci

𝑓 ∶ 𝑦 = cotg 𝑥 , 𝑥 ∈ (0; 𝜋) .


f

se nazý vá

𝑓 ∶ 𝑦 = cotg 𝑥 , 𝑥 ∈ (0; 𝜋)

Tato funkce je klesajı́cı́, a tedy prostá .

arkuskotangens . Př itom

a funkce

𝑓−1 ∶ 𝑦 = arccotg 𝑥 ,


y=x

𝐷(𝑓−1 ) = 𝐻(𝑓) = (−∞; ∞) . 𝑥 ∈ (−∞; ∞)

jsou navzá jem



Determ. Matice

Soustavy LAR


Vlastnosti funkce arkuskotangens:

f ∶ 𝑦 = arctg 𝑥 ,

• De󰅯iniční obor funkce arkuskotangens: • Obor hodnot funkce arkuskotangens:

𝑥 ∈ ⟨−1; 1⟩


Posloupnosti (apl.)

(viz obrá zek 22)

𝐷(𝑓) = (−∞; ∞) 𝐻(𝑓) = (0; 𝜋)

• Funkce arkuskotangens není ani lichá, ani sudá • Funkce arkuskotangens není periodická • Funkce arkuskotangens je klesající na celé m své m de󰅮inič nı́m oboru Poznámka: Protož e pro vzá jemně inverznı́ funkce platı́ [𝑓−1 ∘ 𝑓] (𝑥) = 𝑓 −1 [𝑓(𝑥)] = 𝑥

pro 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) ,

[𝑓 ∘ 𝑓−1 ] (𝑥) = 𝑓[𝑓−1 (𝑥)] = 𝑥

pro 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓−1 ) ,

dostá vá me ihned ná sledujı́cı́ vztahy: arcsin [sin 𝑥] = 𝑥 sin [arcsin 𝑥] = 𝑥

𝜋 𝜋 pro 𝑥 ∈ ⟨− ; ⟩ , 2 2 pro 𝑥 ∈ ⟨−1; 1⟩ .

Pozor! Např ı́klad slož ená funkce arcsin [sin 𝑥] je de󰅮inovaná pro vš echna reá lná č ı́sla 𝑥 (𝑥 ∈ ℝ), ale př edchozı́ rovnost platı́ jen na vý še uvedené m intervalu. Proto např ı́klad 𝜋 𝜋 arcsin 󰕷sin 󰕻 = , 4 4

ale

arcsin [sin 𝜋] = 0 .

Vě tš ina kalkulač ek toto zvlá dne, ale protož e funkč nı́ hodnoty poč ı́tá pomocı́ mocninný ch ř ad, nemusı́me obdrž et naprosto př esný vý sledek, ale např ı́klad ně co takové ho: arcsin [sin 𝜋] ≐ 1,225 ⋅ 10−16 . •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Chceme-li spoč ı́tat 𝑓(𝜋) = arcsin [sin 𝜋] , musı́me si uvě domit, ž e (a pouze jenom v tomto intervalu) platı́ rovnost arcsin [sin 𝑥] = 𝑥 .

Posloupnosti (apl.)

𝜋 𝜋

𝜋 ∉ ⟨− ; ⟩ 2

2

ve které m

Proto musı́me nejdř ı́ve najı́t takový argument x funkce sin 𝑥 , pro který platı́ sin 𝑥 = sin 𝜋 𝜋 𝜋 tak, aby argument x lež el ve zmı́ně né m intervalu: 𝑥 ∈ ⟨− ; ⟩ . 2 2 Tedy: arcsin [sin 𝜋] = arcsin 0 = arcsin [sin 0] = 0 protož e sin 𝜋 = 0 = sin 0 .

4.5. Mnohočleny (polynomy) a racionální lomené funkce Dalš ı́ z elementá rnı́ch funkcı́ jsou natolik dů lež ité , ž e jim vě nujeme celou ná sledujı́cı́ kapitolu. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Autorem obrá zků je R. Mař ı́k

Funkce mocninné


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


Funkce exponenciální

Funkce logaritmické •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


Funkce goniometrické


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


Funkce cyklometrické


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Mnohočleny a racionální lomená funkce


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Obsah kapitoly: Mnohočleny a racionální lomená funkce 1. Mnohočleny — polynomy 1.1. Rozklad mnohoč lenu na souč in . . . . . . . . . . 1.2. Nalezenı́ koř enů mnohoč lenu . . . . . . . . . . . 1.2.1. Lineá rnı́ rovnice . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Kvadratické rovnice . . . . . . . . . . . . Rovnice vyš šı́ch stupň ů . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Mnohoč leny s celoč ı́selný mi koe󰅮icienty 1.2.4. Hornerovo sché ma . . . . . . . . . . . . . Dalš ı́ př ı́klad . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

212 214 214 215 215 215 217 219 245

2. Racionální lomená funkce 2.1. Parciá lnı́ zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Typy rozkladů na parciá lnı́ zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Postup rozkladu racioná lnı́ lomené funkce na parciá lnı́ zlomky . . 2.3.1. Reálné jednonásobné koř eny jmenovatele . . . . . . . . . 2.3.2. Reálné vícenásobné koř eny jmenovatele . . . . . . . . . . 2.3.3. Jednonásobné komplexně sdružené koř eny jmenovatele 2.3.4. Vı́cená sobné komplexně sdruž ené koř eny jmenovatele . . 2.4. Př ı́klad – Ryze lomená racioná lnı́ funkce . . . . . . . . . . . . . . . Hledá nı́ koř enů jmenovatele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozklad jmenovatele na souč in . . . . . . . . . . . . . . . . . . Typy parciá lnı́ch zlomků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

254 255 256 257 259 266 273 280 287 293 300 311

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .


Determ. Matice

Soustavy LAR


2.5. Př ı́klad – Neryze lomená racioná lnı́ funkce . . . . . . Dě lenı́ mnohoč lenu mnohoč lenem . . . . . . . . Hornerovo sché ma . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozklad jmenovatele na souč in . . . . . . . . . . Typy parciá lnı́ch zlomků . . . . . . . . . . . . . Vý sledek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Zá vě reč ná pozná mka k rozkladu na parciá lnı́ zlomky

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .


. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

Posloupnosti (apl.)

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

314 317 320 326 328 330 331


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

1. Mnohočleny — polynomy Mě jme nezá porné celé č ı́slo 𝑛 (𝑛 ∈ ℕ0 ) a č ıś lo 𝑎𝑛 ≠ 0 . Funkci

reá lná č ıś la 𝑎0 , 𝑎1 , …, 𝑎𝑛−1 a

𝑃𝑛 ∶ 𝑦 = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎1 ⋅ 𝑥 + 𝑎0 ,

nenulové reá lné

𝑥∈ℝ,

nazý vá me (reá lný ) mnohočlen (polynom). C󰂪 ıś la 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛 nazý vá me koe󰅯icienty mnohočlenu a č ıś lo n nazý vá me stupeň mnohočlenu (pı́šeme: st 𝑃 = 𝑛). Stupeň mnohoč lenu je tedy nejvyš šı́ mocnina nezná mé (promě nné ) s nenulový m koe󰅮icientem. Poznámka: Mezi mnohoč leny poč ıt́ á me i tzv. nulový mnohočlen 𝑃 ∶ 𝑦 = 0, nenulové koe󰅮icienty. Nulový mnohoč len nemá př iř azen ž ádný stupeň . Je nutné dů sledně rozliš ovat mezi

který nemá ž ádné

mnohočlenem stupně nula — což je vlastně nenulová konstantnı́ funkce, jejı́mž grafem je rovnobě žka s osou x rů zná od té to osy a nulovým mnohočlenem — což je nulová konstantnı́ funkce, jejı́mž grafem je prá vě osa x.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Např ı́klad: Mnohoč len

𝑅 ∶ 𝑦 = 𝑥3

má stupeň 3.

Př itom 𝑎3 = 1, 𝑎2 = 𝑎1 = 𝑎0 = 0 , protož e platı́

𝑦 = 𝑎 3 ⋅ 𝑥 3 + 𝑎2 ⋅ 𝑥 2 + 𝑎1 ⋅ 𝑥 1 + 𝑎0 ⋅ 𝑥 0 = 1 ⋅ 𝑥 3 + 0 ⋅ 𝑥 2 + 0 ⋅ 𝑥 1 + 0 ⋅ 𝑥 0 Mnohoč len

𝑃 ∶ 𝑦 = 3 𝑥2 − 4 𝑥 + 2

Mnohoč len

𝑆 ∶ 𝑦 = 2𝑥 − 3

Mnohoč len

𝑇∶𝑦=3

má stupeň 2.

má stupeň 1.

má stupeň 0.

Př itom 𝑎2 = 3, 𝑎1 = −4, 𝑎0 = 2.

Př itom 𝑎1 = 2, 𝑎0 = −3.

Př itom 𝑎0 = 3.

Mnohoč leny jsou funkce. Lze je tedy: sčítat — seč teme koe󰅮icienty u stejný ch mocnin, odčítat — odeč teme koe󰅮icienty u stejný ch mocnin a násobit — ná sobı́me kaž dý č len jednoho mnohoč lenu s kaž dý m č lenem druhé ho mnohoč lenu a slouč ım ́ e č leny se stejný mi mocninami a výsledkem je opět mnohočlen.

Dělením dvou mnohoč lenů nemusı́me dostat mnohoč len. Vý sledkem dě lenı́ dvou mnohoč lenů je vě tš inou obecně jš ı́ funkce, kterou zavedeme v kapitole Racioná lnı́ (lomená ) funkce. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

1.1. Rozklad mnohočlenu na součin Smyslem rozkladu je napsat daný mnohoč len jako souč in co nejjednoduš šı́ch mnohoč lenů . V reá lné m oboru jsou to č initelé (to co se ná sobı́) v rozkladu • buď lineární — tvaru: 𝑥 − 𝛼

(= koř enový č initel, pak 𝛼 je koř enem dané ho mnohoč lenu)

• nebo kvadratické — tvaru: 𝑥 2 + 𝑝 𝑥 + 𝑞,

kde 𝑝2 − 4𝑞 < 0.

Pro zopaková nı́ uvedeme ná sledujı́cı́ vzorce (zná mé ze stř ednı́ š koly), které využ ı́vá me př i rozkladu mnohoč lenu na souč in koř enový ch č initelů . 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)2 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)3 (𝑎 + 𝑏) ⋅ (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑎3 + 𝑏 3

(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏) ⋅ (𝑎 − 𝑏) 𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏) ⋅ (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )

1.2. Nalezení kořenů mnohočlenu Nalé zt (reá lné ) koř eny mnohoč lenu 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎1 ⋅ 𝑥 + 𝑎0 s reá lný mi koe󰅮icienty a𝑖 , kde 𝑛 ≥ 1 , znamená vyř eš it algebraickou rovnici 𝑃(𝑥) = 0 , tedy 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎1 ⋅ 𝑥 + 𝑎0 = 0

(24)

Hledá nı́ koř enů mnohoč lenu př evá dı́me na hledá nı́ kořenů rovnice (24) ⟹ ř eš ı́me rovnici. Vš imně me si, jak lze pro malá n algebraické rovnice ř eš it. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

1.2.1. Lineární rovnice Pro

n=1

jde o lineá rnı́ rovnici

𝑎 𝑥 + 𝑏 = 0, 𝑥1 = −

𝑎 ≠ 0, jejı́ž jediný koř en je 𝑏 . 𝑎

1.2.2. Kvadratické rovnice Pro n = 2 jde o kvadratickou rovnici 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = 0, š kole odvozuje (doplně nı́m na č tverec) vzorec 𝑥1;2

𝑎 ≠ 0, pro jejı́ž koř eny se na stř ednı́

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = . 2𝑎

O povaze koř enů rozhoduje diskriminant kvadratické rovnice 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐. Je-li 𝐷 > 0, má rovnice dva reá lné rů zné koř eny, je-li 𝐷 = 0, má jeden dvojná sobný reá lný koř en, a je-li 𝐷 < 0, má dvojici komplexně sdruž ený ch koř enů .

Rovnice třetího (kubické) a čtvrtého stupně Pro n = 3 jde o kubickou rovnici 𝑎 𝑥 3 + 𝑏 𝑥 2 + 𝑐 𝑥 + 𝑑 = 0, 𝑎 ≠ 0, pro jejı́ž koř eny sice existujı́ tzv. Cardanovy vzorce které vš ak vyjadř ujı́ reá lné koř eny pomocı́ tř etı́ch odmocnin z komplexnı́ch č ı́sel. Pro rovnice č tvrté ho stupně existujı́ také obecné vztahy k vý poč tu koř enů (stejně jako Cardanovy vzorce byly nalezeny v prvnı́ polovině 16. stoletı́). Jejich ř eš enı́ je vš ak ješ tě obtı́žně jš ı́ než ř eš enı́ rovnic tř etı́ho stupně . •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Rovnice pátého stupně a vyšších stupňů Norský matematik Abel doká zal, ž e pro koř eny rovnic pá té ho stupně (a tudı́ž ani vyš šı́ch stupň ů ) neexistuje univerzá lnı́ vzorec. To vš ak v ž ádné m př ı́padě neznamená , ž e rovnice vyš šı́ch stupň ů nemajı́ koř eny. Tento Abelů v vý sledek pouze ř ı́ká , ž e tyto koř eny nelze vyjá dř it jistý m vzorcem př esně popsané ho typu. Na poč átku 19. stoletı́ Gauss poprvé př esně doká zal vě tu, která je vzhledem k velké mu vý znamu pro tehdejš ı́ matematiku nazý vá na základní větou algebry. Tato vě ta ř ı́ká : Libovolný polynom (s reálnými nebo komplexními koe󰅳icienty) stupně alespoň jedna má v množině komplexních čísel alespoň jeden kořen. Důsledky

zá kladnı́ vě ty algebry:

1. Kaž dý polynom stupně n má v komplexnı́m oboru prá vě koř en tolikrá t, kolik č inı́ jeho ná sobnost.

n

koř enů , poč ı́tá me-li kaž dý

2. Má -li mnohoč len s reá lný mi koe󰅮icienty komplexnı́ koř en, potom má i koř en komplexně sdruž ený, př ič emž jejich ná sobnosti jsou stejné . Poznámka: Z př edchozı́ho textu je jasné , ž e neexistuje ž ádný univerzá lnı́ postup, který m bychom byli schopni zjistit vš echny koř eny dané ho polynomu. Existuje sice celá ř ada numerický ch metod, který mi lze koř eny př ibliž ně vyjá dř it, ale to nenı́ ná plnı́ tohoto kurzu.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

1.2.3. Mnohočleny s celočíselnými koeficienty Mě jme mnohoč len 𝑅 s celoč ı́selný mi koe󰅮icienty: 𝑅𝑛 (𝑥) = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎1 ⋅ 𝑥 + 𝑎0 ,

𝑥∈ℝ,

(25)

kde n je př irozené č ı́slo (1 ≤ 𝑛 ∈ ℕ), 𝑎0 , 𝑎1 , …, 𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛 jsou celá č ıś la, kdy 𝑎𝑛 ≠ 0, 𝑎0 ≠ 0. 𝑝 Pokud je 𝛼 = (kde 𝑝, 𝑞 jsou nesoudě lná celá č ı́sla) kořenem mnohoč lenu 𝑅, pak p dě lı́ 𝑞 beze zbytku koe󰅮icient 𝑎0 (pı́šeme 𝑝 | 𝑎0 ) a q dě lı́ beze zbytku koe󰅮icient 𝑎𝑛 (𝑞 | 𝑎𝑛 ). Př i hledá nı́ racioná lnı́ch koř enů mnohoč lenu 𝑅𝑛 (𝑥) (25) postupujeme tak, ž e urč ı́me didáty na kořen“. Tedy:

k-n-k

„kan-

𝑝

1. Vypı́šeme vš echna mož ná racioná lnı́ č ı́sla k-n-k = (𝑝, 𝑞 nesoudě lná ⇒ pokud lze, tak krá tit) 𝑞 splň ujı́cı́ podmı́nky 𝑝 | 𝑎0 (𝑝 dě lı́ bezezbytku koe󰅮icient 𝑎0 ) , 𝑞 | 𝑎𝑛 (𝑞 dě lı́ bezezbytku 𝑎𝑛 ) 2. Dosazenı́m kaž dé ho „kandidá ta“ do mnohoč lenu ově řı́me, zda tento je koř enem:

?

𝑅𝑛 (k-n-k) = 0

Pokud mezi takto urč ený mi „kandidá ty“ koř en nenı́, pak daný mnohoč len vů bec racioná lnı́ koř en nemá .

Poznámka: Uvě domte si, ž e př edchozı́ postup lze použ ı́t i pro mnohoč leny s racioná lnı́mi koe󰅮icienty. Stač ı́ totiž vytknout společ ný jmenovatel vš ech koe󰅮icientů 𝑎0 , …,𝑎𝑛 . •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Příklad: Najdě te (racioná lnı́) koř eny mnohoč lenu 𝑃3 (𝑥) = 3 𝑥 3 − 5 𝑥 2 + 8 𝑥 − 4. Řešení: Koe󰅮icienty mnohoč lenu jsou celoč ı́selné , stejně jako v př ıp ́ adě (25), proto se pokusı́me najı́t 𝑝| −4 1; 2; 4 koř en ve tvaru: . Kandidá ty na koř eny jsou ná sledujı́cı́ č ıś la: k-n-k = ± , 𝑞|3 1; 3 1 2 4 tedy ±1 , ±2 , ±4 , ± , ± , ± 3

3

3

Zbý vá ově řit, které z nich je skuteč ně koř enem. Podle dů sledků zá kladnı́ vě ty algebry má daný mnohoč len prá vě tř i koř eny v komplexnı́m oboru, tedy z naš ich kandidá tů mohou vyhovovat nejvý še tř i č ı́sla (př esně ji: buď jedno, nebo tř i). Ově řenı́ provedeme dosazenı́m, př ič emž pro koř en mnohoč lenu platı́: P(kořen) = 0. 𝑃(1) = 2, 𝑃(−1) = −20, 𝑃(2) = 16, 𝑃(−2) = −64, 𝑃(4) = 140, 𝑃(−4) = −308, 1

1

2

2

3

3

3

3

𝑃( ) ≐ 1,778, 𝑃(− ) ≐ −7,333, 𝑃( ) = 0 ⇒ 𝑥1 =

je koř en.

Tady mů ž eme dosazová nı́ ukonč it, protož e jsme naš li jeden koř en a kaž dý mnohočlen lze vyjádřit jako součin svých kořenových činitelů. Proto provedeme ná sledujı́cı́ dě lenı́ 2

(3 𝑥 3 − 5 𝑥 2 + 8 𝑥 − 4) ∶ (𝑥 − ) = (3 𝑥 2 − 3 𝑥 + 6) 3 0 − 3 𝑥2 + 8 𝑥 0 + 6𝑥 − 4 0 0 2

a po rozkladu: 3 𝑥 3 − 5 𝑥 2 + 8 𝑥 − 4 = (𝑥 − ) ⋅ (3𝑥 2 − 3𝑥 + 6) ná m zbý vá najı́t koř eny druhé 3 zá vorky, což je mnohoč len druhé ho stupně . Takž e vlastně ř eš ı́me kvadratickou rovnici 2 3 𝑥 − 3 𝑥 + 6 = 0 , která má komplexně sdruž ené koř eny. Zadaný mnohoč len

𝑃3 (𝑥) = 3 𝑥 3 − 5 𝑥 2 + 8 𝑥 − 4

má jediný reá lný koř en

𝑥1 =

2 3

.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Pro vý poč et funkč nı́ hodnoty mnohoč lenu mů ž eme využ ı́t ná sledujı́cı́ho sché matu, které se nazý vá

1.2.4. Hornerovo schéma Najděte kořeny mnohoč lenu

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6

Koe󰅮icienty mnohoč lenu jsou celoč ı́selné , stejně jako v př ıp ́ adě (25). Proto vyzkouš ı́me po ř adě všechny dělitele č ı́sla 6

(k-n-k = ±1; ±2; ±3; ±6) ,

𝑝|6 𝑞|1

jestli nejsou koř enem.

Ově řenı́, zda konkré tnı́ kandidá t je koř enem, budeme zapisovat takto. • Do hlavič ky sché matu napı́šeme postupně koe󰅮icienty u všech mocnin nezná mé , seř azené podle mocnin sestupně (od koe󰅮icientu u nejvyš šı́ mocniny po absolutnı́ č len). Žádný koe󰅳icient nesmíme vynechat. Pokud ně která mocnina v mnohoč lenu nenı́ obsaž ena, pı́šeme na patř ič né mı́sto sché matu nulu. • Do prvnı́ho sloupce vlevo budeme postupně vklá dat jednotlivé (k-n-k) kandidá ty na koř eny.

HS k-n-k

𝑥4 1

𝑥3 −1

𝑥2 −7

𝑥1 1

𝑥0 6

1

Doplň ová nı́ sché matu: č ı́slo uvnitř sché matu (1) vynásobíme záhlavím řádku (k-n-k) a k souč inu přičteme přičteme záhlaví dalšího sloupce (−𝟏). Výsledek (k-n-k) ⋅ (1) + (−1) napı́šeme v dané m ř ádku do dalš ıh ́ o (volné ho) sloupce, mı́sto č ervené ho obdé lnı́ku. A s č ı́slem uvnitř sché matu (vý sledkem) provedeme tuté ž operaci. Vyná sobı́me zá hlavı́m ř ádku … •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR


Najděte kořeny mnohoč lenu 𝑥4 𝑥3 HS 1 −1 1

1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen

Rozklad mnohoč lenu:

𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6)

Nynı́ hledá me koř eny mnohoč lenu

𝑥3 − 7 𝑥 − 6


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6)


𝑥3 − 7 𝑥 − 6


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6)


𝑥3 − 7 𝑥 − 6


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6)


𝑥3 − 7 𝑥 − 6


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6)


𝑥3 − 7 𝑥 − 6


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6)


𝑥3 − 7 𝑥 − 6


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6)


𝑥3 − 7 𝑥 − 6


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6)


𝑥3 − 7 𝑥 − 6


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6)


𝑥3 − 7 𝑥 − 6


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6)


𝑥3 − 7 𝑥 − 6


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6)


𝑥3 − 7 𝑥 − 6


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6) 𝑥3 − 7 𝑥 − 6

Nynı́ hledá me koř eny mnohoč lenu HS

1

0

−7

−6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 −1

1 1

1 −1

−6 −6

−12 0

𝑥1 podruhé již nenı́ koř en ⇒ jednonásobný koř en ⇒ 𝑥2 = −1 je (druhý ) kořen, opě t jednoná sobný

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

Rozklad:

Hledá me koř eny mnohoč lenu

𝑥2 − 𝑥 − 6

(metody: rozklad, diskriminant, Hornerovo sché ma)

HS

1

−1

−6

Zkouš ım ́ e −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 1 1

−2 1 −3

−4 −4 0

𝑥2 již nenı́ koř en nenı́ koř en ⇒ 𝑥3 = −2 je (tř etı́) kořen, opě t jednoná sobný

Rozklad

mnohoč lenu na souč in jeho koř enový ch č initelů :

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 + 2) ⋅ (𝑥 − 3) kde (č tvrtý m) koř enem je

HS 3

1 1

−3 0

𝑥4 = 3 . •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6) 𝑥3 − 7 𝑥 − 6


1

0

−7

−6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 −1

1 1

1 −1

−6 −6

−12 0


𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

Rozklad:


𝑥2 − 𝑥 − 6


HS

1

−1

−6

Zkouš ım ́ e −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 1 1

−2 1 −3

−4 −4 0


Rozklad



HS 3

1 1

−3 0


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6) 𝑥3 − 7 𝑥 − 6


1

0

−7

−6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 −1

1 1

1 −1

−6 −6

−12 0


𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

Rozklad:


𝑥2 − 𝑥 − 6


HS

1

−1

−6

Zkouš ım ́ e −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 1 1

−2 1 −3

−4 −4 0


Rozklad



HS 3

1 1

−3 0


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6) 𝑥3 − 7 𝑥 − 6


1

0

−7

−6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 −1

1 1

1 −1

−6 −6

−12 0


𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

Rozklad:


𝑥2 − 𝑥 − 6


HS

1

−1

−6

Zkouš ım ́ e −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 1 1

−2 1 −3

−4 −4 0


Rozklad



HS 3

1 1

−3 0


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6) 𝑥3 − 7 𝑥 − 6


1

0

−7

−6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 −1

1 1

1 −1

−6 −6

−12 0


𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

Rozklad:


𝑥2 − 𝑥 − 6


HS

1

−1

−6

Zkouš ım ́ e −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 1 1

−2 1 −3

−4 −4 0


Rozklad



HS 3

1 1

−3 0


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6) 𝑥3 − 7 𝑥 − 6


1

0

−7

−6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 −1

1 1

1 −1

−6 −6

−12 0


𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

Rozklad:


𝑥2 − 𝑥 − 6


HS

1

−1

−6

Zkouš ım ́ e −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 1 1

−2 1 −3

−4 −4 0


Rozklad



HS 3

1 1

−3 0


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6) 𝑥3 − 7 𝑥 − 6


1

0

−7

−6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 −1

1 1

1 −1

−6 −6

−12 0


𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

Rozklad:


𝑥2 − 𝑥 − 6


HS

1

−1

−6

Zkouš ım ́ e −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 1 1

−2 1 −3

−4 −4 0


Rozklad



HS 3

1 1

−3 0


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6) 𝑥3 − 7 𝑥 − 6


1

0

−7

−6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 −1

1 1

1 −1

−6 −6

−12 0


𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

Rozklad:


𝑥2 − 𝑥 − 6


HS

1

−1

−6

Zkouš ım ́ e −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 1 1

−2 1 −3

−4 −4 0


Rozklad



HS 3

1 1

−3 0


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6) 𝑥3 − 7 𝑥 − 6


1

0

−7

−6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 −1

1 1

1 −1

−6 −6

−12 0


𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

Rozklad:


𝑥2 − 𝑥 − 6


HS

1

−1

−6

Zkouš ım ́ e −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 1 1

−2 1 −3

−4 −4 0


Rozklad



HS 3

1 1

−3 0


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6) 𝑥3 − 7 𝑥 − 6


1

0

−7

−6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 −1

1 1

1 −1

−6 −6

−12 0


𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

Rozklad:


𝑥2 − 𝑥 − 6


HS

1

−1

−6

Zkouš ım ́ e −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 1 1

−2 1 −3

−4 −4 0


Rozklad



HS 3

1 1

−3 0


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6) 𝑥3 − 7 𝑥 − 6


1

0

−7

−6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 −1

1 1

1 −1

−6 −6

−12 0


𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

Rozklad:


𝑥2 − 𝑥 − 6


HS

1

−1

−6

Zkouš ım ́ e −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 1 1

−2 1 −3

−4 −4 0


Rozklad



HS 3

1 1

−3 0


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6) 𝑥3 − 7 𝑥 − 6


1

0

−7

−6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 −1

1 1

1 −1

−6 −6

−12 0


𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

Rozklad:


𝑥2 − 𝑥 − 6


HS

1

−1

−6

Zkouš ım ́ e −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 1 1

−2 1 −3

−4 −4 0


Rozklad



HS 3

1 1

−3 0


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6) 𝑥3 − 7 𝑥 − 6


1

0

−7

−6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 −1

1 1

1 −1

−6 −6

−12 0


𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

Rozklad:


𝑥2 − 𝑥 − 6


HS

1

−1

−6

Zkouš ım ́ e −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 1 1

−2 1 −3

−4 −4 0


Rozklad



HS 3

1 1

−3 0


Determ. Matice

Soustavy LAR



1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 𝑥1 𝑥0 −7 1 6


Posloupnosti (apl.)

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je kořen


𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 + 0 𝑥 2 − 7 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7 𝑥 − 6) 𝑥3 − 7 𝑥 − 6


1

0

−7

−6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 −1

1 1

1 −1

−6 −6

−12 0


𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6) = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

Rozklad:


𝑥2 − 𝑥 − 6


HS

1

−1

−6

Zkouš ım ́ e −1; ±2; ±3; ±6

−1 2 −2

1 1 1

−2 1 −3

−4 −4 0


Rozklad



HS 3

1 1

−3 0


Determ. Matice

Soustavy LAR


Najděte kořeny mnohoč lenu Zkouš ı́me postupně :

HS

𝑥3 2

1 −1

2 2

2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10

1

2

1

1

± =±1 ,

𝑥2 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9

5

10

1

1

=±2 , ± =±5 , ±

𝑥1 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10


Posloupnosti (apl.)

𝑝 | 10 𝑞|2

⟹

1

2

5

10

2

2

2

2

k-n-k = ±

1 ; 2 ; 5 ; 10 1; 2

=±10 , ± , (± = ±1) , ± , (±

= ±5)

𝑥0 10 1 ⋅ (−4) + (10) 6 ≠ 0 ⇒ nenı́ koř en 0 𝑥1 = −1 je koř en


Determ. Matice

Soustavy LAR



HS

𝑥3 2

1 −1

2 2

2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10

1

2

1

1

± =±1 ,

𝑥2 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9

5

10

1

1

=±2 , ± =±5 , ±

𝑥1 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10


Posloupnosti (apl.)

𝑝 | 10 𝑞|2

⟹

1

2

5

10

2

2

2

2

k-n-k = ±

1 ; 2 ; 5 ; 10 1; 2

=±10 , ± , (± = ±1) , ± , (±

= ±5)



Determ. Matice

Soustavy LAR



HS

𝑥3 2

1 −1

2 2

2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10

1

2

1

1

± =±1 ,

𝑥2 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9

5

10

1

1

=±2 , ± =±5 , ±

𝑥1 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10


Posloupnosti (apl.)

𝑝 | 10 𝑞|2

⟹

1

2

5

10

2

2

2

2

k-n-k = ±

1 ; 2 ; 5 ; 10 1; 2

=±10 , ± , (± = ±1) , ± , (±

= ±5)



Determ. Matice

Soustavy LAR



HS

𝑥3 2

1 −1

2 2

2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10

1

2

1

1

± =±1 ,

𝑥2 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9

5

10

1

1

=±2 , ± =±5 , ±

𝑥1 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10


Posloupnosti (apl.)

𝑝 | 10 𝑞|2

⟹

1

2

5

10

2

2

2

2

k-n-k = ±

1 ; 2 ; 5 ; 10 1; 2

=±10 , ± , (± = ±1) , ± , (±

= ±5)



Determ. Matice

Soustavy LAR



HS

𝑥3 2

1 −1

2 2

2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10

1

2

1

1

± =±1 ,

𝑥2 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9

5

10

1

1

=±2 , ± =±5 , ±

𝑥1 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10


Posloupnosti (apl.)

𝑝 | 10 𝑞|2

⟹

1

2

5

10

2

2

2

2

k-n-k = ±

1 ; 2 ; 5 ; 10 1; 2

=±10 , ± , (± = ±1) , ± , (±

= ±5)



Determ. Matice

Soustavy LAR


2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10


HS

𝑥3 2

1 −1

2 2

1

2

1

1

± =±1 ,

𝑥2 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9

Hledáme kořeny mnohoč lenu Zkouš ı́me postupně : 2

−1, 1

10

1

1

𝑥1 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10

Posloupnosti (apl.)

𝑝 | 10 𝑞|2

⟹

1

2

5

10

2

2

2

2

k-n-k = ±

1 ; 2 ; 5 ; 10 1; 2

=±10 , ± , (± = ±1) , ± , (±

= ±5)


2 𝑥 2 −9 𝑥+10

(metody: rozklad, diskriminant, Hornerovo sch.) 1

5

2

2

±2, ±5, ±10, ± , ± , 0

HS

𝑥 2

𝑥 −9

𝑥 10

−1 2

2 2

−11 −5

21 0

Rozklad

5

=±2 , ± =±5 , ±


již nenı́ koř en 𝑥2 = 2 je koř en

mnohoč lenu 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 = (𝑥 + 1) ⋅ (2 𝑥 2 − 9 𝑥 + 10) 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 = (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ (2𝑥 − 5)


Determ. Matice

Soustavy LAR


2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10


HS

𝑥3 2

1 −1

2 2

1

2

1

1

± =±1 ,

𝑥2 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9


−1, 1

10

1

1

𝑥1 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10

Posloupnosti (apl.)

𝑝 | 10 𝑞|2

⟹

1

2

5

10

2

2

2

2

k-n-k = ±

1 ; 2 ; 5 ; 10 1; 2

=±10 , ± , (± = ±1) , ± , (±

= ±5)


2 𝑥 2 −9 𝑥+10


5

2

2

±2, ±5, ±10, ± , ± , 0

HS

𝑥 2

𝑥 −9

𝑥 10

−1 2

2 2

−11 −5

21 0

Rozklad

5

=±2 , ± =±5 , ±





Determ. Matice

Soustavy LAR


2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10


HS

𝑥3 2

1 −1

2 2

1

2

1

1

± =±1 ,

𝑥2 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9


−1, 1

10

1

1

𝑥1 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10

Posloupnosti (apl.)

𝑝 | 10 𝑞|2

⟹

1

2

5

10

2

2

2

2

k-n-k = ±

1 ; 2 ; 5 ; 10 1; 2

=±10 , ± , (± = ±1) , ± , (±

= ±5)


2 𝑥 2 −9 𝑥+10


5

2

2

±2, ±5, ±10, ± , ± , 0

HS

𝑥 2

𝑥 −9

𝑥 10

−1 2

2 2

−11 −5

21 0

Rozklad

5

=±2 , ± =±5 , ±





Determ. Matice

Soustavy LAR


2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10


HS

𝑥3 2

1 −1

2 2

1

2

1

1

± =±1 ,

𝑥2 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9


−1, 1

10

1

1

𝑥1 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10

Posloupnosti (apl.)

𝑝 | 10 𝑞|2

⟹

1

2

5

10

2

2

2

2

k-n-k = ±

1 ; 2 ; 5 ; 10 1; 2

=±10 , ± , (± = ±1) , ± , (±

= ±5)


2 𝑥 2 −9 𝑥+10


5

2

2

±2, ±5, ±10, ± , ± , 0

HS

𝑥 2

𝑥 −9

𝑥 10

−1 2

2 2

−11 −5

21 0

Rozklad

5

=±2 , ± =±5 , ±





Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

2. Racionální lomená funkce Funkci danou př edpisem 𝑅(𝑥) =

𝑃(𝑥) , 𝑄(𝑥)

kde P , Q jsou mnohoč leny a Q je navı́c nenulový mnohoč len, nazý vá me racionální (lomenou) funkcí. R󰂪 ı́ká me, ž e funkce R je ryze lomená jestliž e st 𝑃 < st 𝑄 a neryze lomená jestliž e st 𝑃 ≥ st 𝑄. Např ı́klad 1. 𝑅1 ∶ 𝑦 = 2. 𝑅2 ∶ 𝑦 =

3𝑥 2 + 2 𝑥−2 5𝑥 3

je neryze lomená racioná lnı́ funkce;

2𝑥 + 7𝑥 2 + 𝑥 − 2

je ryze lomená racioná lnı́ funkce.

Je-li R neryze lomená racioná lnı́ funkce, pak lze prové st dě lenı́ mnohoč lenu mnohoč lenem. Př i dě lenı́ 𝑃(𝑥) ∶ 𝑄(𝑥) dostaneme podı́l 𝑆(𝑥) a zbytek T(x) . Př itom platı́ st 𝑇 < st 𝑄 (dě lı́me prostě tak dlouho, dokud to jde), tedy 𝑅(𝑥) =

𝑃(𝑥) 𝑇(𝑥) = 𝑆(𝑥) + . 𝑄(𝑥) 𝑄(𝑥)

(26)


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

U mnohoč lenů (v př edchozı́ kapitole) hrá l dů lež itou roli rozklad na souč in (lineá rnı́ch č i kvadratický ch č initelů ). Podobně u racioná lnı́ch lomený ch funkcı́ je v ř adě aplikacı́ dů lež ité ně co podobné ho. Na rozdı́l od mnohoč lenů , kde jde o rozklad na souč in, pů jde zde o rozklad na součet jednoduš šıć h racioná lnı́ch lomený ch funkcı́, které nazý vá me parciální zlomky. Vlastně jde o opač ný postup, který m je sč ı́tá nı́ zlomků po př evodu na společ né ho jmenovatele.

2.1. Parciální zlomky jsou speciá lnı́ racioná lnı́ lomené funkce. Rozliš ujeme dva typy parciá lnı́ch zlomků : 𝐴 (𝑥 − 𝛼)𝑘

kde 𝑘 je př irozené č ı́slo, 𝛼, 𝐴 jsou reá lná č ı́sla

a 𝑀𝑥 + 𝑁 (𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞)𝑘

kde 𝑘 je př irozené č ı́slo, 𝑀, 𝑁, 𝑝, 𝑞 jsou reá lná č ı́sla a navı́c 𝑝2 − 4𝑞 < 0 .

U prvnı́ho typu je ve jmenovateli ně jaká mocnina (tř eba i prvnı́) lineá rnı́ho dvojč lenu tvaru 𝑥 − 𝛼 a v č itateli je konstanta. U druhé ho typu je jmenovateli ně jaká mocnina (tř eba i prvnı́) kvadratické ho trojč lenu tvaru 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 majı́cı́ho komplexnı́ koř eny (zá porný diskriminant) a v č itateli je lineá rnı́ dvojč len (nebo konstanta, pokud je 𝑀 rovno nule). Parciální zlomky jsou vždy ryze lomené. A protož e souč et ryze lomený ch racioná lnı́ch funkcı́ (parciá lnı́ch zlomků ) nemů ž e bý t neryze lomená racioná lnı́ funkce, mů ž eme na parciá lnı́ zlomky rozklá dat pouze ryzı́ racioná lnı́ funkce. V př ı́padě neryzı́ racioná lnı́ 𝑇(𝑥) funkce ji nejprve dě lenı́m př evedeme na tvar (26) a rozklá dá me funkci . 𝑄(𝑥)


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

2.2. Typy rozkladů na parciální zlomky Nynı́ si uká ž eme, jak lze napsat v konkré tnı́ch př ı́padech rozklady ryze lomené racioná lnı́ funkce 𝑅(𝑥) =

𝑃(𝑥) . 𝑄(𝑥)

Reálný jednonásobný kořen jmenovatele 𝑄(𝑥), pak:

𝑅(𝑥) =

kde a je koř en jmenovatele dané racioná lnı́ lomené funkce, kořenový činitel a A je č ı́slo (parametr), který hledá me.

𝐴 𝑥−𝑎 x–a

(x mínus kořen) je př ı́sluš ný

Reálný 𝑛 násobný kořen jmenovatele 𝑄(𝑥), pak: 𝑅(𝑥) =

𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 + +…+ + 2 𝑛−1 𝑥 − 𝑎 (𝑥 − 𝑎) (𝑥 − 𝑎) (𝑥 − 𝑎)𝑛

kde a je ná sobný koř en jmenovatele (s ná sobnostı́ 𝑛) dané racioná lnı́ lomené funkce, př ı́sluš ný kořenový činitel a A , B , C , D jsou č ı́sla (parametry), která hledá me.

x–a

je

Dvojice jednonásobných komplexně sdružených kořenů jmenovatele 𝑄(𝑥), pak: 𝑅(𝑥) = kde a , b , c jsou koefecienty kvadratické ho dvojč lenu takové , ž e A , B jsou č ı́sla (parametry), která hledá me.

𝑎≠0

a

𝐴𝑥 + 𝐵 𝑎 ⋅ 𝑥2 + 𝑏 ⋅ 𝑥 + 𝑐

𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0 ,


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Dvojice 𝑛 násobných komplexně sdružených kořenů jmenovatele 𝑄(𝑥), pak: 𝐴𝑥 + 𝐵 𝐶𝑥 + 𝐷 𝐸𝑥 + 𝐹 𝐺𝑥 + 𝐻 𝑅(𝑥) = + + … + + 𝑎 ⋅ 𝑥 2 + 𝑏 ⋅ 𝑥 + 𝑐 (𝑎 ⋅ 𝑥 2 + 𝑏 ⋅ 𝑥 + 𝑐)2 (𝑎 ⋅ 𝑥 2 + 𝑏 ⋅ 𝑥 + 𝑐)𝑛−1 (𝑎 ⋅ 𝑥 2 + 𝑏 ⋅ 𝑥 + 𝑐)𝑛 kde a , b , c jsou koefecienty kvadratické ho dvojč lenu takové , ž e A , B , C , D jsou č ı́sla (parametry), která hledá me.

𝑎≠0

a

𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0 ,

2.3. Postup rozkladu racionální lomené funkce na parciální zlomky 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v č itateli „nahoře“ zadané racioná lnı́ lomené funkce je mnohoč len stejné ho č i vyš šı́ho ř ádu jako má mnohoč len jmenovatele „dole“), provedeme zlomkovou č arou naznač ené dě lenı́. Př ı́padný zbytek po tomto dě lenı́ je již ryzí racioná lnı́ lomená funkce. Pokud JE ryzí, pokrač ujeme druhý m bodem.

2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Koř eny hledá me pouze reálné. Komplexně sdruž ené nevyč ı́slujeme, ale nahradı́me je kvadratický m dvojč lenem. Př itom využ ı́vá me ná sledujı́cı́ vlastnost (25). •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Celoč ı́selný koř en mnohoč lenu s celoč ı́selný mi koe󰅮icienty 𝑅𝑛 (𝑥) = a𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎1 𝑥 + a0 ,

𝑥∈ℝ,

kde n je př irozené č ı́slo (1 ≤ 𝑛 ∈ ℕ), a0 , 𝑎1 , …, 𝑎𝑛−1 , a𝑛 jsou celá č ı́sla, (a𝑛 ≠ 0, a0 ≠ 0) musı́ bezezbytku dě lit (bý t dě litelem) jeho absolutnı́ č len (koe󰅮icient 𝑎0 u promě nné 𝑥 0 – která tam není!) Pro racioná lnı́ koř en 𝛼 = s celoč ı́selný mi koe󰅮icienty

𝑝 𝑞

(kde p, q platı́, ž e: p Tedy:

jsou nesoudělná celá č ıś la ⇒ pokrátit!) mnohoč lenu dě lı́ bezezbytku koe󰅮icient a0 a q dě lı́ a𝑛 . 𝛼=

𝑝 | a0 𝑞 | a𝑛

3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Př i urč ová nı́ parametrů využ ı́vá me ná sledujı́cı́ dvě metody (př ı́padně je vhodně kombinujeme) poté , co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomků ) a tı́m dostaneme rovnost dvou mnohoč lenů . Dosazujeme za x vhodná čísla, nejlé pe kořeny jmenovatele. Protož e majı́-li se dva mnohoč leny rovnat, musejı́ mı́t stejné funkč nı́ hodnoty pro vš echna

x.

Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x . Protož e majı́-li se dva mnohoč leny rovnat, musejı́ mı́t stejné př ı́sluš né koe󰅮icienty. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky

racioná lnı́ lomenou funkci

𝑅(𝑥) =

𝑥2 + 2 𝑥 − 1 . 𝑥3 − 𝑥


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑅(𝑥) =

𝑥2 + 2 𝑥 − 1 . 𝑥3 − 𝑥

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v č itateli „nahoře“ zadané racioná lnı́ lomené funkce je mnohoč len stejné ho č i vyš šı́ho ř ádu jako má mnohoč len jmenovatele „dole“), provedeme zlomkovou č arou naznač ené dě lenı́. Př ı́padný zbytek po tomto dě lenı́ je již ryzí racioná lnı́ lomená funkce. Pokud JE ryzí, pokrač ujeme druhý m bodem.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑅(𝑥) =

𝑥2 + 2 𝑥 − 1 . 𝑥3 − 𝑥

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí.

Stupeň č itatele (2) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (3).

2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Koř eny hledá me pouze reálné. Komplexně sdruž ené nevyč ı́slujeme, ale nahradı́me je kvadratický m dvojč lenem.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑅(𝑥) =

𝑥2 + 2 𝑥 − 1 . 𝑥3 − 𝑥



2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Koř eny hledá me pouze reálné. Komplexně sdruž ené nevyč ı́slujeme, ale nahradı́me je kvadratický m dvojč lenem. Součin kořenových činitelů:

𝑥 3 − 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 2 − 1) = 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 1)


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑥2 + 2 𝑥 − 1 𝑅(𝑥) = . 𝑥3 − 𝑥



2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Součin kořenových činitelů:

𝑥 3 − 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 2 − 1) = 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 1)

3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry.

Počet parametrů = stupeň jmenovatele!

(𝑥)2 + 2(𝑥) − 1 𝐴 𝐵 𝐶 = + + | 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 1) (𝑥) ⋅ [(𝑥) + 1] ⋅ [(𝑥) − 1] 𝑥 𝑥+1 𝑥−1 Př i urč ová nı́ parametrů využ ı́vá me ná sledujı́cı́ dvě metody (př ı́padně je vhodně kombinujeme) poté , co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomků ) a tı́m dostaneme rovnost dvou mnohoč lenů . Typy parciálních zlomků:

𝑅(𝑥) =

Dosazujeme za x vhodná čísla, nejlé pe kořeny jmenovatele. Protož e majı́-li se dva mnohoč leny rovnat, musejı́ mı́t stejné funkč nı́ hodnoty pro vš echna

x.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑅(𝑥) =

𝑥2 + 2 𝑥 − 1 . 𝑥3 − 𝑥




𝑥 3 − 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 2 − 1) = 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 1)

3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Typy parciálních zlomků:


(𝑥)2 + 2(𝑥) − 1 𝐴 𝐵 𝐶 𝑅(𝑥) = = + + (𝑥) ⋅ [(𝑥) + 1] ⋅ [(𝑥) − 1] 𝑥 𝑥+1 𝑥−1

| 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 1)

Určení parametrů: (𝑥)2 + 2(𝑥) − 1 = 𝐴 ⋅ [(𝑥) + 1] ⋅ [(𝑥) − 1] + 𝐵 ⋅ (𝑥) ⋅ [(𝑥) − 1] + 𝐶 ⋅ (𝑥) ⋅ [(𝑥) + 1] 𝑥=0 ∶

(0)2 + 2 ⋅ (0) − 1 = 𝐴 ⋅ [(0) + 1] ⋅ [(0) − 1] + 𝟎 + 𝟎

⟹ −1 = −𝐴 ⟹

𝐴=1

𝑥=1 ∶

(1)2 + 2 ⋅ (1) − 1 = 𝟎 + 𝟎 + 𝐶 ⋅ (1) ⋅ [(1) + 1]

⟹ 2 = 2𝐶 ⟹

𝐶=1

𝑥 = −1∶

(−1)2 + 2 ⋅ (−1) − 1 = 𝟎 + 𝐵 ⋅ (−1) ⋅ [(−1) − 1] + 𝟎

⟹ −2 = 2𝐵 ⟹

𝐵 = −1


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑅(𝑥) =

𝑥2 + 2 𝑥 − 1 . 𝑥3 − 𝑥




𝑥 3 − 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 2 − 1) = 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 1)


Typy parciálních zlomků:

Výsledek:

𝑅(𝑥) =

𝑅(𝑥) =


(𝑥)2 + 2(𝑥) − 1 𝐴 𝐵 𝐶 = + + (𝑥) ⋅ [(𝑥) + 1] ⋅ [(𝑥) − 1] 𝑥 𝑥+1 𝑥−1

| 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 1)

𝑥 2 + 2𝑥 − 1 1 −1 1 = + + 3 𝑥 −𝑥 𝑥 𝑥+1 𝑥−1

Sprá vnost vý poč tu mů ž eme ově řit tak, ž e vš echny tř i parciá lnı́ zlomky seč teme (samozř ejmě je př i sč ıt́ á nı́ př evedeme na společ né ho jmenovatele) a musı́me dostat opě t zadanou funkci 𝑅(𝑥) .


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky

racioná lnı́ lomenou funkci:

𝑅(𝑥) =

𝑥2 + 𝑥 − 1 . 𝑥3 − 𝑥2


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑅(𝑥) =

𝑥2 + 𝑥 − 1 . 𝑥3 − 𝑥2



Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑅(𝑥) =

𝑥2 + 𝑥 − 1 . 𝑥3 − 𝑥2





Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑅(𝑥) =

𝑥2 + 𝑥 − 1 . 𝑥3 − 𝑥2




𝑥 3 − 𝑥 2 = 𝑥 2 ⋅ (𝑥 − 1)


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑥2 + 𝑥 − 1 𝑅(𝑥) = . 𝑥3 − 𝑥2



2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. 𝑥 3 − 𝑥 2 = 𝑥 2 ⋅ (𝑥 − 1)

Součin kořenových činitelů:



(𝑥)2 + (𝑥) − 1 𝐴 𝐵 𝐶 = + + 2 | 𝑥 2 ⋅ (𝑥 − 1) 2 (𝑥) ⋅ [(𝑥) − 1] 𝑥−1 𝑥 𝑥 Př i urč ová nı́ parametrů využ ı́vá me ná sledujı́cı́ dvě metody (př ı́padně je vhodně kombinujeme) poté , co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomků ) a tı́m dostaneme rovnost dvou mnohoč lenů . Typy parciálních zlomků:

𝑅(𝑥) =


x.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑅(𝑥) =

𝑥2 + 𝑥 − 1 . 𝑥3 − 𝑥2






𝑅(𝑥) =


(𝑥)2 + (𝑥) − 1 𝐴 𝐵 𝐶 = + + 2 2 (𝑥) ⋅ [(𝑥) − 1] 𝑥−1 𝑥 𝑥

𝑥 2 ⋅ (𝑥 − 1)

|

(𝑥)2 + (𝑥) − 1 = 𝐴 ⋅ (𝑥)2 + 𝐵 ⋅ (𝑥) ⋅ [(𝑥) − 1] + 𝐶 ⋅ [(𝑥) − 1]

Určení parametrů: 𝑥 = 0∶

(0)2 + (0) − 1 = 𝟎 + 𝟎 + 𝐶 ⋅ [(0) − 1]

⟹ −1 = −𝐶

⟹

𝐶=1

𝑥 = 1∶

(1)2 + (1) − 1 = 𝐴 ⋅ (1)2 + 𝟎 + 𝟎

⟹

⟹

𝐴=1

1=1+𝐵⟹

𝐵=0

𝑥2

∶

1=𝐴+𝐵

𝐴=1

⟹

1=𝐴


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑅(𝑥) =

𝑥2 + 𝑥 − 1 . 𝑥3 − 𝑥2







Výsledek:

𝑅(𝑥) =

𝑅(𝑥) =


(𝑥)2 + (𝑥) − 1 𝐴 𝐵 𝐶 = + + 2 2 (𝑥) ⋅ [(𝑥) − 1] 𝑥−1 𝑥 𝑥

|

𝑥 2 ⋅ (𝑥 − 1)

𝑥2 + 𝑥 − 1 1 0 1 1 1 = + + 2 = + 2 3 2 𝑥 −𝑥 𝑥−1 𝑥 𝑥 𝑥−1 𝑥

Sprá vnost vý poč tu mů ž eme ově řit tak, ž e oba dva parciá lnı́ zlomky seč teme (samozř ejmě je př i sč ı́tá nı́ př evedeme na společ né ho jmenovatele) a musı́me dostat opě t zadanou funkci 𝑅(𝑥) .


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky


𝑅(𝑥) =

𝑥2 + 𝑥 + 1 . 𝑥3 + 𝑥


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑅(𝑥) =

𝑥2 + 𝑥 + 1 . 𝑥3 + 𝑥



Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑅(𝑥) =

𝑥2 + 𝑥 + 1 . 𝑥3 + 𝑥





Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑅(𝑥) =

𝑥2 + 𝑥 + 1 . 𝑥3 + 𝑥




𝑥 3 + 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 2 + 1)

Koř eny zá vorky jsou komplexnı́.

Protož e 𝑥 2 ≥ 0 (pro kaž dé reá lné č ı́slo x ), musı́ platit 𝑥 2 + 1 ≥ 1 . Tedy a proto neexistuje reá lný koř en (kvadratické ho dvojč lenu) mnohoč lenu v zá vorce.

𝑥2 + 1 ≠ 0


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑅(𝑥) = . 𝑥3 + 𝑥




𝑥 3 + 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 2 + 1)


Koř eny zá vorky jsou komplexnı́. Počet parametrů = stupeň jmenovatele!

(𝑥)2 + (𝑥) + 1 𝐴 𝐵⋅𝑥+𝐶 = + 2 | 𝑥 ⋅ (𝑥 2 + 1) 2 (𝑥) ⋅ [(𝑥) + 1] 𝑥 𝑥 +1 Př i urč ová nı́ parametrů využ ı́vá me ná sledujı́cı́ dvě metody (př ı́padně je vhodně kombinujeme) poté , co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomků ) a tı́m dostaneme rovnost dvou mnohoč lenů . Typy parciálních zlomků:

𝑅(𝑥) =


x.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑅(𝑥) =

𝑥2 + 𝑥 + 1 . 𝑥3 + 𝑥




𝑥 3 + 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 2 + 1)


𝑅(𝑥) =


(𝑥)2 + (𝑥) + 1 𝐴 𝐵⋅𝑥+𝐶 = + 2 (𝑥) ⋅ [(𝑥)2 + 1] 𝑥 𝑥 +1

|

𝑥 ⋅ (𝑥 2 + 1)

(𝑥)2 + (𝑥) + 1 = 𝐴 ⋅ [(𝑥)2 + 1] + [𝐵 ⋅ (𝑥) + 𝐶] ⋅ (𝑥)

Určení parametrů: 𝑥 = 0∶

(0)2 + (0) + 1 = 𝐴 ⋅ [(0)2 + 1] + 𝟎

𝑥2

∶

1=𝐴+𝐵

𝑥

∶

1=𝐶

⟹1=𝐴

⟹

𝐴=1

⟹ 1=1+𝐵⟹

𝐵=0

⟹

𝐶=1

𝐴=1


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑅(𝑥) =

𝑥2 + 𝑥 + 1 . 𝑥3 + 𝑥




𝑥 3 + 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 2 + 1)



Výsledek:

𝑅(𝑥) =

𝑅(𝑥) =


(𝑥)2 + (𝑥) + 1 𝐴 𝐵⋅𝑥+𝐶 = + 2 2 (𝑥) ⋅ [(𝑥) + 1] 𝑥 𝑥 +1

|

𝑥 ⋅ (𝑥 2 + 1)

𝑥2 + 𝑥 + 1 1 0⋅𝑥+1 1 1 = + 2 = + 2 3 𝑥 +𝑥 𝑥 𝑥 +1 𝑥 𝑥 +1

Sprá vnost vý poč tu mů ž eme ově řit tak, ž e oba dva vý sledné parciá lnı́ zlomky seč teme (samozř ejmě je př i sč ı́tá nı́ př evedeme na společ né ho jmenovatele) a musı́me dostat opě t zadanou funkci 𝑅(𝑥) .


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky


𝑅(𝑥) =

𝑥4 + 𝑥3 + 2 𝑥2 + 1 . 𝑥7 + 2 𝑥5 + 𝑥3


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑅(𝑥) =

𝑥4 + 𝑥3 + 2 𝑥2 + 1 . 𝑥7 + 2 𝑥5 + 𝑥3



Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑅(𝑥) =

𝑥4 + 𝑥3 + 2 𝑥2 + 1 . 𝑥7 + 2 𝑥5 + 𝑥3





Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑅(𝑥) =

𝑥4 + 𝑥3 + 2 𝑥2 + 1 . 𝑥7 + 2 𝑥5 + 𝑥3



2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Koř eny hledá me pouze reálné. Komplexně sdruž ené nevyč ı́slujeme, ale nahradı́me je kvadratický m dvojč lenem. Součin kořenových činitelů

𝑥 7 + 2𝑥 5 + 𝑥 3 = 𝑥 3 ⋅ (𝑥 2 + 1)2


Protož e 𝑥 2 ≥ 0 (pro kaž dé reá lné č ı́slo x ), musı́ platit 𝑥 2 + 1 ≥ 1 . Tedy a proto neexistuje reá lný koř en (kvadratické ho dvojč lenu) mnohoč lenu v zá vorce.

𝑥2 + 1 ≠ 0


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑥4 + 𝑥3 + 2 𝑥2 + 1 𝑅(𝑥) = . 𝑥7 + 2 𝑥5 + 𝑥3



2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Součin kořenových činitelů

𝑥 7 + 2𝑥 5 + 𝑥 3 = 𝑥 3 ⋅ (𝑥 2 + 1)2




𝐴 𝐵 𝐶 𝐷⋅𝑥+𝐸 𝐹⋅𝑥+𝐺 + 2+ 3+ 2 + 2 | 𝑥 3 ⋅ (𝑥 2 + 1)2 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 +1 (𝑥 + 1)2 Př i urč ová nı́ parametrů využ ı́vá me ná sledujı́cı́ dvě metody (př ı́padně je vhodně kombinujeme) poté , co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomků ) a tı́m dostaneme rovnost dvou mnohoč lenů . Typy parciálních zlomků

𝑅(𝑥) =


x.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky ANO, je ryzí.


𝑥4 + 𝑥3 + 2 𝑥2 + 1 𝑅(𝑥) = . 𝑥7 + 2 𝑥5 + 𝑥3


Součin kořenových činitelů Typy parciálních zlomků

𝑅(𝑥) =

𝑥 7 + 2𝑥 5 + 𝑥 3 = 𝑥 3 ⋅ (𝑥 2 + 1)2


𝐴 𝐵 𝐶 𝐷⋅𝑥+𝐸 𝐹⋅𝑥+𝐺 + 2+ 3+ 2 + 2 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 +1 (𝑥 + 1)2

|

𝑥 3 ⋅ (𝑥 2 + 1)2

𝑥 4 + 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 1 =

Určení parametrů:

= 𝐴 ⋅ 𝑥 2 ⋅ (𝑥 2 + 1)2 + 𝐵 ⋅ 𝑥 ⋅ (𝑥 2 + 1)2 + 𝐶 ⋅ (𝑥 2 + 1)2 + (𝐷 ⋅ 𝑥 + 𝐸) ⋅ 𝑥 3 ⋅ (𝑥 2 + 1) + (𝐹 ⋅ 𝑥 + 𝐺) ⋅ 𝑥 3 = = 𝐴 ⋅ (𝑥 6 + 2𝑥 4 + 𝑥 2 ) + 𝐵 ⋅ (𝑥 5 + 2𝑥 3 + 𝑥) + 𝐶 ⋅ (𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1) + 𝐷 ⋅ (𝑥 6 + 𝑥 4 ) + 𝐸 ⋅ (𝑥 5 + 𝑥 3 ) + 𝐹 ⋅ 𝑥 4 + 𝐺 ⋅ 𝑥 3 𝑥 = 0∶

1=𝐶

𝑥

0=𝐵

𝑥2 𝑥5 𝑥6 𝑥4 𝑥3

∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶

2 = 𝐴 + 2𝐶 0=𝐵+𝐸 0=𝐴+𝐷 1 = 2𝐴 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐹 1 = 2𝐵 + 𝐸 + 𝐺

⟹

𝐶=1

⟹

𝐵=0

⟹

𝐴=0

⟹

𝐸=0

⟹

𝐷=0

⟹ 1=0+1+0+𝐹⟹

𝐹=0

𝐶=1

⟹ 2=𝐴+2

𝐵=0

⟹ 0=0+𝐸

𝐴=0

⟹ 0=0+𝐷

𝐴,𝐶,𝐷 𝐵,𝐸

⟹ 1=0+0+𝐺

⟹

𝐺=1


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)



𝑅(𝑥) =

𝑥4 + 𝑥3 + 2 𝑥2 + 1 . 𝑥7 + 2 𝑥5 + 𝑥3



2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Součin kořenových činitelů

𝑥 7 + 2𝑥 5 + 𝑥 3 = 𝑥 3 ⋅ (𝑥 2 + 1)2

3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Typy parciálních zlomků

Výsledek

𝑅(𝑥) =



𝐴 𝐵 𝐶 𝐷⋅𝑥+𝐸 𝐹⋅𝑥+𝐺 + 2+ 3+ 2 + 2 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 +1 (𝑥 + 1)2

|

𝑥 3 ⋅ (𝑥 2 + 1)2

𝑥 4 + 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 1 0 0 1 0⋅𝑥+0 0⋅𝑥+1 1 1 𝑅(𝑥) = = + 2+ 3+ 2 + 2 = 3+ 2 7 5 3 2 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 +1 (𝑥 + 1) 𝑥 (𝑥 + 1)2

Sprá vnost vý poč tu mů ž eme ově řit tak, ž e oba dva vý sledné parciá lnı́ zlomky seč teme (samozř ejmě je př i sč ı́tá nı́ př evedeme na společ né ho jmenovatele) a musı́me dostat opě t zadanou funkci 𝑅(𝑥) .


Determ. Matice

Soustavy LAR


Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky



Posloupnosti (apl.)

𝑥 3 + 14 𝑥 2 − 3 𝑥 − 24 𝑅(𝑥) = 4 𝑥 − 𝑥3 − 7 𝑥2 + 𝑥 + 6


Determ. Matice

Soustavy LAR





Posloupnosti (apl.)

𝑥 3 + 14 𝑥 2 − 3 𝑥 − 24 𝑅(𝑥) = 4 𝑥 − 𝑥3 − 7 𝑥2 + 𝑥 + 6



Determ. Matice

Soustavy LAR





Posloupnosti (apl.)

𝑥 3 + 14 𝑥 2 − 3 𝑥 − 24 𝑅(𝑥) = 4 𝑥 − 𝑥3 − 7 𝑥2 + 𝑥 + 6




Determ. Matice

Soustavy LAR




Posloupnosti (apl.)

𝑥 3 + 14 𝑥 2 − 3 𝑥 − 24 𝑅(𝑥) = 4 𝑥 − 𝑥3 − 7 𝑥2 + 𝑥 + 6




2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Koř eny hledá me pouze reálné. Komplexně sdruž ené nevyč ı́slujeme, ale nahradı́me je kvadratický m dvojč lenem. Př itom využ ı́vá me ná sledujı́cı́ vlastnost (25). Celoč ı́selný koř en mnohoč lenu s celoč ı́selný mi koe󰅮icienty 𝑅𝑛 (𝑥) = a𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎1 𝑥 + a0 ,

𝑥∈ℝ,

kde n je př irozené č ı́slo (1 ≤ 𝑛 ∈ ℕ), a0 , 𝑎1 , …, 𝑎𝑛−1 , a𝑛 jsou celá č ı́sla, (a𝑛 ≠ 0, a0 ≠ 0) musı́ bezezbytku dě lit (bý t dě litelem) jeho absolutnı́ č len (koe󰅮icient 𝑎0 u promě nné 𝑥 0 – která tam není!) Pro racioná lnı́ koř en 𝛼 = s celoč ı́selný mi koe󰅮icienty

𝑝 𝑞



𝑝 | a0 𝑞 | a𝑛


Determ. Matice

Soustavy LAR


Hledáme kořeny mnohoč lenu


Posloupnosti (apl.)

𝑥4 − 𝑥3 − 7 𝑥2 + 𝑥 + 6 .


Determ. Matice

Soustavy LAR


Najděte kořeny mnohoč lenu

HS 1

𝑥4 1 1

𝑥3 −1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 −7

𝑥1 1

𝑥0 6


Posloupnosti (apl.)

𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je koř en


Determ. Matice

Soustavy LAR



HS 1

𝑥4 1 1

𝑥3 −1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 −7

𝑥1 1

𝑥0 6


Posloupnosti (apl.)

𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je koř en


Determ. Matice

Soustavy LAR



HS 1

𝑥4 1 1

𝑥3 −1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 −7

𝑥1 1

𝑥0 6


Posloupnosti (apl.)

𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je koř en


Determ. Matice

Soustavy LAR



HS 1

𝑥4 1 1

𝑥3 −1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 −7

𝑥1 1

𝑥0 6


Posloupnosti (apl.)

𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je koř en


Determ. Matice

Soustavy LAR



HS 1

𝑥4 1 1

𝑥3 −1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 −7

𝑥1 1

𝑥0 6


Posloupnosti (apl.)

𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je koř en


Determ. Matice

Soustavy LAR



HS 1

𝑥4 1 1

𝑥3 −1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 −7

𝑥1 1

𝑥0 6


Posloupnosti (apl.)

𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je koř en


Determ. Matice

Soustavy LAR



HS 1

𝑥4 1 1

𝑥3 −1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 −7

𝑥1 1

𝑥0 6


Posloupnosti (apl.)

𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je koř en


Determ. Matice

Soustavy LAR



HS

𝑥4 1

𝑥3 −1

𝑥1 1

𝑥0 6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je koř en

1

1

HS

1

0

−7

−6

1 −1

1 1 𝑎

1 −1 𝑏

−6 −6 𝑐

−𝟏𝟐 𝟎

𝑥3;4 =

Posloupnosti (apl.)

𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 −7


Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6 ≠ 0 ⇒ (prvnı́) koř en 𝑥1 = 1 je jednonásobný ⇒ 𝑥2 = −1 je (druhý ) koř en: 𝑥 2 − 𝑥 − 6 = 0 ř eš ı́me rozkladem, diskriminantem, Hornerový m s.

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± 󰖶(−1)2 − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥3 =

Rozklad: 𝑥1

1+5 2

=3

𝑥4 =

1−5 2

= −2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6)

𝑥1;2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

𝑥1;2;3;4

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)


Determ. Matice

Soustavy LAR



HS

𝑥4 1

𝑥3 −1

𝑥1 1

𝑥0 6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je koř en

1

1

HS

1

0

−7

−6

1 −1

1 1 𝑎

1 −1 𝑏

−6 −6 𝑐

−𝟏𝟐 𝟎

𝑥3;4 =

Posloupnosti (apl.)

𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 −7



−𝑏 ± √𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± 󰖶(−1)2 − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥3 =

Rozklad: 𝑥1

1+5 2

=3

𝑥4 =

1−5 2

= −2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6)

𝑥1;2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

𝑥1;2;3;4

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)


Determ. Matice

Soustavy LAR



HS

𝑥4 1

𝑥3 −1

𝑥1 1

𝑥0 6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je koř en

1

1

HS

1

0

−7

−6

1 −1

1 1 𝑎

1 −1 𝑏

−6 −6 𝑐

−𝟏𝟐 𝟎

𝑥3;4 =

Posloupnosti (apl.)

𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 −7



−𝑏 ± √𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± 󰖶(−1)2 − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥3 =

Rozklad: 𝑥1

1+5 2

=3

𝑥4 =

1−5 2

= −2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6)

𝑥1;2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

𝑥1;2;3;4

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)


Determ. Matice

Soustavy LAR



HS

𝑥4 1

𝑥3 −1

𝑥1 1

𝑥0 6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je koř en

1

1

HS

1

0

−7

−6

1 −1

1 1 𝑎

1 −1 𝑏

−6 −6 𝑐

−𝟏𝟐 𝟎

𝑥3;4 =

Posloupnosti (apl.)

𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 −7



−𝑏 ± √𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± 󰖶(−1)2 − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥3 =

Rozklad: 𝑥1

1+5 2

=3

𝑥4 =

1−5 2

= −2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6)

𝑥1;2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

𝑥1;2;3;4

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)


Determ. Matice

Soustavy LAR



HS

𝑥4 1

𝑥3 −1

𝑥1 1

𝑥0 6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je koř en

1

1

HS

1

0

−7

−6

1 −1

1 1 𝑎

1 −1 𝑏

−6 −6 𝑐

−𝟏𝟐 𝟎

𝑥3;4 =

Posloupnosti (apl.)

𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 −7



−𝑏 ± √𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± 󰖶(−1)2 − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥3 =

Rozklad: 𝑥1

1+5 2

=3

𝑥4 =

1−5 2

= −2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6)

𝑥1;2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

𝑥1;2;3;4

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)


Determ. Matice

Soustavy LAR



HS

𝑥4 1

𝑥3 −1

𝑥1 1

𝑥0 6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je koř en

1

1

HS

1

0

−7

−6

1 −1

1 1 𝑎

1 −1 𝑏

−6 −6 𝑐

−𝟏𝟐 𝟎

𝑥3;4 =

Posloupnosti (apl.)

𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 −7



−𝑏 ± √𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± 󰖶(−1)2 − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥3 =

Rozklad: 𝑥1

1+5 2

=3

𝑥4 =

1−5 2

= −2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6)

𝑥1;2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

𝑥1;2;3;4

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)


Determ. Matice

Soustavy LAR



HS

𝑥4 1

𝑥3 −1

𝑥1 1

𝑥0 6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je koř en

1

1

HS

1

0

−7

−6

1 −1

1 1 𝑎

1 −1 𝑏

−6 −6 𝑐

−𝟏𝟐 𝟎

𝑥3;4 =

Posloupnosti (apl.)

𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 −7



−𝑏 ± √𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± 󰖶(−1)2 − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥3 =

Rozklad: 𝑥1

1+5 2

=3

𝑥4 =

1−5 2

= −2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6)

𝑥1;2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

𝑥1;2;3;4

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)


Determ. Matice

Soustavy LAR



HS

𝑥4 1

𝑥3 −1

𝑥1 1

𝑥0 6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je koř en

1

1

HS

1

0

−7

−6

1 −1

1 1 𝑎

1 −1 𝑏

−6 −6 𝑐

−𝟏𝟐 𝟎

𝑥3;4 =

Posloupnosti (apl.)

𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 −7



−𝑏 ± √𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± 󰖶(−1)2 − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥3 =

Rozklad: 𝑥1

1+5 2

=3

𝑥4 =

1−5 2

= −2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6)

𝑥1;2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

𝑥1;2;3;4

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)


Determ. Matice

Soustavy LAR



HS

𝑥4 1

𝑥3 −1

𝑥1 1

𝑥0 6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je koř en

1

1

HS

1

0

−7

−6

1 −1

1 1 𝑎

1 −1 𝑏

−6 −6 𝑐

−𝟏𝟐 𝟎

𝑥3;4 =

Posloupnosti (apl.)

𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 −7



−𝑏 ± √𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± 󰖶(−1)2 − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥3 =

Rozklad: 𝑥1

1+5 2

=3

𝑥4 =

1−5 2

= −2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6)

𝑥1;2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

𝑥1;2;3;4

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)


Determ. Matice

Soustavy LAR



HS

𝑥4 1

𝑥3 −1

𝑥1 1

𝑥0 6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je koř en

1

1

HS

1

0

−7

−6

1 −1

1 1 𝑎

1 −1 𝑏

−6 −6 𝑐

−𝟏𝟐 𝟎

𝑥3;4 =

Posloupnosti (apl.)

𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 −7



−𝑏 ± √𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± 󰖶(−1)2 − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥3 =

Rozklad: 𝑥1

1+5 2

=3

𝑥4 =

1−5 2

= −2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6)

𝑥1;2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

𝑥1;2;3;4

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)


Determ. Matice

Soustavy LAR



HS

𝑥4 1

𝑥3 −1

𝑥1 1

𝑥0 6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je koř en

1

1

HS

1

0

−7

−6

1 −1

1 1 𝑎

1 −1 𝑏

−6 −6 𝑐

−𝟏𝟐 𝟎

𝑥3;4 =

Posloupnosti (apl.)

𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 −7



−𝑏 ± √𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± 󰖶(−1)2 − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥3 =

Rozklad: 𝑥1

1+5 2

=3

𝑥4 =

1−5 2

= −2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6)

𝑥1;2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

𝑥1;2;3;4

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)


Determ. Matice

Soustavy LAR



HS

𝑥4 1

𝑥3 −1

𝑥1 1

𝑥0 6

Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6

1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 je koř en

1

1

HS

1

0

−7

−6

1 −1

1 1 𝑎

1 −1 𝑏

−6 −6 𝑐

−𝟏𝟐 𝟎

𝑥3;4 =

Posloupnosti (apl.)

𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑥2 −7



−𝑏 ± √𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± 󰖶(−1)2 − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥3 =

Rozklad: 𝑥1

1+5 2

=3

𝑥4 =

1−5 2

= −2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 3 − 7𝑥 − 6)

𝑥1;2

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 − 6)

𝑥1;2;3;4

𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)


Determ. Matice

Soustavy LAR



ANO, je ryzí.



Posloupnosti (apl.)

𝑥 3 + 14 𝑥 2 − 3 𝑥 − 24 𝑅(𝑥) = 4 𝑥 − 𝑥3 − 7 𝑥2 + 𝑥 + 6


2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. 𝑅(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 + 2) ⋅ (𝑥 − 3) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry.


𝑥 3 + 14𝑥 2 − 3𝑥 − 24 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 = + + + 4 3 2 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥−1 𝑥+1 𝑥+2 𝑥−3 Př i urč ová nı́ parametrů využ ı́vá me ná sledujı́cı́ dvě metody (př ı́padně je vhodně kombinujeme) poté , co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomků ) a tı́m dostaneme rovnost dvou mnohoč lenů . Typy parciálních zlomků:


x.

Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x . Protož e majı́-li se dva mnohoč leny rovnat, musejı́ mı́t stejné př ı́sluš né koe󰅮icienty.


Determ. Matice

Soustavy LAR



ANO, je ryzí.



Posloupnosti (apl.)

𝑥 3 + 14 𝑥 2 − 3 𝑥 − 24 𝑅(𝑥) = 4 𝑥 − 𝑥3 − 7 𝑥2 + 𝑥 + 6





𝑥 3 + 14𝑥 2 − 3𝑥 − 24 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 = + + + 4 3 2 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥−1 𝑥+1 𝑥+2 𝑥−3

Určení parametrů po vyná sobenı́ společ ný m jmenovatelem

(dosadı́me postupně koř eny):

𝑥 3 + 14𝑥 2 − 3𝑥 − 24 = = 𝐴⋅(𝑥+1)⋅(𝑥+2)⋅(𝑥−3)+𝐵⋅(𝑥−1)⋅(𝑥+2)⋅(𝑥−3)+𝐶⋅(𝑥−1)⋅(𝑥+1)⋅(𝑥−3)+𝐷⋅(𝑥−1)⋅(𝑥+1)⋅(𝑥+2) 𝑥=1 ∶

(1)3 +14⋅(1)2 −3⋅(1)−24 = 𝐴⋅[(1)+1]⋅[(1)+2]⋅[(1)−3]+𝟎+𝟎+𝟎

⟹ −12 = −12 𝐴 ⟹

𝐴=1

𝑥 = −1∶

(−1)3 +14⋅(−1)2 −3⋅(−1)−24 = 𝟎+𝐵⋅[(−1)−1]⋅[(−1)+2]⋅[(−1)−3]+𝟎+𝟎

⟹ −8 = 8 𝐵

⟹

𝐵 = −1

𝑥 = −2∶

(−2)3 +14⋅(−2)2 −3⋅(−2)−24 = 𝟎+𝟎+𝐶⋅[(−2)−1]⋅[(−2)+1]⋅[(−2)−3]+𝟎

⟹ 30 = −15 𝐶 ⟹

𝐶 = −2

𝑥=3 ∶

(3)3 +14⋅(3)2 −3⋅(3)−24 = 𝟎+𝟎+𝟎+𝐷⋅[(3)−1]⋅[(3)+1]⋅[(3)+2]

⟹ 120 = 40𝐷

𝐷=3

⟹


Determ. Matice

Soustavy LAR



ANO, je ryzí.



Posloupnosti (apl.)

𝑥 3 + 14 𝑥 2 − 3 𝑥 − 24 𝑅(𝑥) = 4 𝑥 − 𝑥3 − 7 𝑥2 + 𝑥 + 6





𝑥 3 + 14𝑥 2 − 3𝑥 − 24 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 = + + + 4 3 2 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥−1 𝑥+1 𝑥+2 𝑥−3

do kterých dosadíme vypočtené parametry:

𝐴=1

;

𝐵 = −1

;

𝐶 = −2

;

𝐷=3

Výsledek: 𝑅(𝑥) =

𝑥 3 + 14𝑥 2 − 3𝑥 − 24 1 −1 −2 3 = + + + 4 3 2 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥−1 𝑥+1 𝑥+2 𝑥−3

Sprá vnost vý poč tu mů ž eme ově řit tak, ž e vš echny č tyř i vý sledné parciá lnı́ zlomky seč teme (samozř ejmě je př i sč ı́tá nı́ př evedeme na společ né ho jmenovatele) a musı́me dostat opě t zadanou funkci 𝑅(𝑥) •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR


Př. 2. Rozložte na parc. zlomky

rac. lomenou funkci


Posloupnosti (apl.)

2 𝑥 5 − 7 𝑥 4 − 𝑥 3 + 20 𝑥 2 − 23 𝑥 + 28 𝑅(𝑥) = 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10


Determ. Matice

Soustavy LAR




Posloupnosti (apl.)

2 𝑥 5 − 7 𝑥 4 − 𝑥 3 + 20 𝑥 2 − 23 𝑥 + 28 𝑅(𝑥) = 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10

rac. lomenou funkci



Determ. Matice

Soustavy LAR




Posloupnosti (apl.)

2 𝑥 5 − 7 𝑥 4 − 𝑥 3 + 20 𝑥 2 − 23 𝑥 + 28 𝑅(𝑥) = 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10

rac. lomenou funkci

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v č itateli „nahoře“ zadané racioná lnı́ lomené funkce je mnohoč len stejné ho č i vyš šı́ho ř ádu jako má mnohoč len jmenovatele „dole“), provedeme zlomkovou č arou naznač ené dě lenı́. Př ı́padný zbytek po tomto dě lenı́ je již ryzí racioná lnı́ lomená funkce. Pokud JE ryzí, pokrač ujeme druhý m bodem. NE, není ryzí.

Stupeň č itatele (5) je vě tš ı́ než stupeň jmenovatele (3). Zadaná funkce se dá rozlož it:

𝑅(𝑥) = 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) , kde

𝑄(𝑥) =

zbytek po dě lenı́ . 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10

Proto podě lı́me č itatel jmenovatelem.


Determ. Matice

Soustavy LAR




Posloupnosti (apl.)

2 𝑥 5 − 7 𝑥 4 − 𝑥 3 + 20 𝑥 2 − 23 𝑥 + 28 𝑅(𝑥) = 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10

rac. lomenou funkci

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v č itateli „nahoře“ zadané racioná lnı́ lomené funkce je mnohoč len stejné ho č i vyš šı́ho ř ádu jako má mnohoč len jmenovatele „dole“), provedeme zlomkovou č arou naznač ené dě lenı́. Př ı́padný zbytek po tomto dě lenı́ je již ryzí racioná lnı́ lomená funkce. Pokud JE ryzí, pokrač ujeme druhý m bodem. NE, není ryzí.


𝑅(𝑥) = 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) ,

kde

𝑄(𝑥) =

zbytek po dě lenı́ . 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10

Proto podě lı́me č itatel jmenovatelem.

(2 𝑥 5 −7 𝑥 4 − 𝑥 3 +20 𝑥 2 −23 𝑥+28) ∶ (2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10) = 𝑥 2 − 1 + −(2 𝑥 5 −7 𝑥 4 + 𝑥 3 +10 𝑥 2 )

3 𝑥 2 − 22 𝑥 + 38 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10

−2 𝑥 3 +10 𝑥 2 −23 𝑥+28 −(−2 𝑥 3 + 7 𝑥 2 − 𝑥−10) 3 𝑥 2 −22 𝑥+38 Nebo jinak: Tedy

𝑅(𝑥) = 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) , 𝑅(𝑥) =

kde

𝑃(𝑥) = 𝑥 2 − 1

a

𝑄(𝑥) =

3 𝑥 2 − 22 𝑥 + 38 . 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10

2 𝑥 5 − 7 𝑥 4 − 𝑥 3 + 20 𝑥 2 − 23 𝑥 + 28 3 𝑥 2 − 22 𝑥 + 38 2 = 𝑥 − 1 + 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10

Na parciá lnı́ zlomky budeme rozklá dat racioná lnı́ lomenou funkci

𝑄(𝑥) .


Determ. Matice

Soustavy LAR




Posloupnosti (apl.)

2 𝑥 5 − 7 𝑥 4 − 𝑥 3 + 20 𝑥 2 − 23 𝑥 + 28 𝑅(𝑥) = 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10

rac. lomenou funkci

1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. NE, není ryzí.


3 𝑥 2 − 22 𝑥 + 38 𝑅(𝑥) = 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) , kde 𝑃(𝑥) = 𝑥 2 − 1 a 𝑄(𝑥) = . 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 Tedy 2 𝑥 5 − 7 𝑥 4 − 𝑥 3 + 20 𝑥 2 − 23 𝑥 + 28 3 𝑥 2 − 22 𝑥 + 38 2 𝑅(𝑥) = = 𝑥 − 1 + 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 Na parciá lnı́ zlomky budeme rozklá dat racioná lnı́ lomenou funkci

𝑄(𝑥) .

2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Koř eny hledá me pouze reálné. Komplexně sdruž ené nevyč ı́slujeme, ale nahradı́me je kvadratický m dvojč lenem. Př itom využ ı́vá me ná sledujı́cı́ vlastnost (25). Celoč ı́selný koř en mnohoč lenu s celoč ı́selný mi koe󰅮icienty 𝑅𝑛 (𝑥) = a𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎1 𝑥 + a0 ,

𝑥∈ℝ,

kde n je př irozené č ı́slo (1 ≤ 𝑛 ∈ ℕ), a0 , 𝑎1 , …, 𝑎𝑛−1 , a𝑛 jsou celá č ı́sla, (a𝑛 ≠ 0, a0 ≠ 0) musı́ bezezbytku dě lit (bý t dě litelem) jeho absolutnı́ č len (koe󰅮icient 𝑎0 u promě nné 𝑥 0 – která tam není!)


Determ. Matice

Soustavy LAR

Pro racioná lnı́ koř en 𝛼 = s celoč ı́selný mi koe󰅮icienty


𝑝 𝑞



Posloupnosti (apl.)


𝑝 | a0 𝑞 | a𝑛

2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 .

Hledáme kořeny mnohoč lenu V naš em př ı́padě

𝛼=

𝑝 | 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 =± 𝑞|2 1; 2

a kandidá ty na koř eny jsou potom k-n-k = ±1 ;

±2 ;

±5 ;

±10 ;

1 ± ; 2

󰛂±

2 = ±1󰛃 2

±

5 ; 2

󰛂±

10 = ±5󰛃 2

Zlomky, které jsou tvoř eny soudě lný mi č ı́sly např ed zkrá tı́me. Který ze vš ech uvedený ch kandidá tů na koř en je skuteč ně koř enem, ově řı́me Hornerový m sché matem. Z př edchozı́ho vı́me (dů sledky zá kladnı́ vě ty algebry), ž e mů ž eme mı́t buď jeden reá lný koř en nebo tř i reá lné koř eny, protož e stupeň rozklá dané ho mnohoč lenu je tř i.


Determ. Matice

Soustavy LAR



HS 1 −1

𝑥3 2 2 2 𝑎

𝑥2 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9 𝑏

2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 . 𝑥1 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10 𝑐

𝑥0 10 1 ⋅ (−4) + (10) 6 0


Posloupnosti (apl.)

𝑝 | 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 =± 𝑞|2 1; 2 zkouš ım ́ e: 1 5 ±1, ±2, ±5, ±10, ± , ± 2

2

𝑃(1) = 6 ≠ 0 ⇒ nenı́ koř en 𝑥1 = −1 je koř en


Determ. Matice

Soustavy LAR



HS 1 −1

𝑥3 2 2 2 𝑎

𝑥2 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9 𝑏

2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 . 𝑥1 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10 𝑐

𝑥0 10 1 ⋅ (−4) + (10) 6 0


Posloupnosti (apl.)

𝑝 | 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 =± 𝑞|2 1; 2 zkouš ım ́ e: 1 5 ±1, ±2, ±5, ±10, ± , ± 2

2



Determ. Matice

Soustavy LAR



HS 1 −1

𝑥3 2 2 2 𝑎

𝑥2 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9 𝑏

2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 . 𝑥1 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10 𝑐

𝑥0 10 1 ⋅ (−4) + (10) 6 0


Posloupnosti (apl.)

𝑝 | 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 =± 𝑞|2 1; 2 zkouš ım ́ e: 1 5 ±1, ±2, ±5, ±10, ± , ± 2

2



Determ. Matice

Soustavy LAR



HS 1 −1

𝑥3 2 2 2 𝑎

𝑥2 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9 𝑏

2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 . 𝑥1 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10 𝑐

𝑥0 10 1 ⋅ (−4) + (10) 6 0


Posloupnosti (apl.)

𝑝 | 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 =± 𝑞|2 1; 2 zkouš ım ́ e: 1 5 ±1, ±2, ±5, ±10, ± , ± 2

2



Determ. Matice

Soustavy LAR



HS 1 −1

𝑥3 2 2 2 𝑎

𝑥2 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9 𝑏

2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 . 𝑥1 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10 𝑐

𝑥0 10 1 ⋅ (−4) + (10) 6 0


Posloupnosti (apl.)

𝑝 | 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 =± 𝑞|2 1; 2 zkouš ım ́ e: 1 5 ±1, ±2, ±5, ±10, ± , ± 2

2



Determ. Matice

Soustavy LAR


HS 1 −1

2 2 𝑎

𝑥2 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9 𝑏

𝑥1 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10 𝑐

Posloupnosti (apl.)

𝑝 | 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 =± 𝑞|2 1; 2

2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 .

Najděte kořeny mnohoč lenu 𝑥3 2


𝑥0 10 1 ⋅ (−4) + (10) 6 0

zkouš ım ́ e: 1 5 ±1, ±2, ±5, ±10, ± , ± 2

2


Další kořeny hledá me jakoukoliv metodou: rozklad, diskriminant, Hornerovo sché ma, … 𝑥2; 3 =

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐 −(−9) ± 󰖶(−9)2 − 4 ⋅ (2) ⋅ (10) 9 ± √81 − 80 9 ± √1 9±1 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (2) 4 4 4

𝑥2 =

Rozklad

9+1 10 5 = = 4 4 2

𝑥3 =

9−1 8 = =2 4 4

mnohoč lenu 9

𝑥1 = −1∶

2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 = [𝑥 − (−1)] ⋅ (2 𝑥 2 − 9 𝑥 + 10) = (𝑥 + 1) ⋅ [2 ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 + 5)]

𝑥2; 3

2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 = (𝑥 + 1) ⋅ [2 ⋅ (𝑥 − ) ⋅ (𝑥 − 2)] = (𝑥 + 1) ⋅ (2 𝑥 − 5) ⋅ (𝑥 − 2)

∶

2

5 2


Determ. Matice

Soustavy LAR


HS 1 −1

2 2 𝑎

𝑥2 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9 𝑏

𝑥1 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10 𝑐

Posloupnosti (apl.)

𝑝 | 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 =± 𝑞|2 1; 2

2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 .



𝑥0 10 1 ⋅ (−4) + (10) 6 0

zkouš ım ́ e: 1 5 ±1, ±2, ±5, ±10, ± , ± 2

2



−𝑏 ± √𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐 −(−9) ± 󰖶(−9)2 − 4 ⋅ (2) ⋅ (10) 9 ± √81 − 80 9 ± √1 9±1 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (2) 4 4 4

𝑥2 =

Rozklad

9+1 10 5 = = 4 4 2

𝑥3 =

9−1 8 = =2 4 4

mnohoč lenu 9

𝑥1 = −1∶

2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 = [𝑥 − (−1)] ⋅ (2 𝑥 2 − 9 𝑥 + 10) = (𝑥 + 1) ⋅ [2 ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 + 5)]

𝑥2; 3

2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 = (𝑥 + 1) ⋅ [2 ⋅ (𝑥 − ) ⋅ (𝑥 − 2)] = (𝑥 + 1) ⋅ (2 𝑥 − 5) ⋅ (𝑥 − 2)

∶

2

5 2


Determ. Matice

Soustavy LAR


HS 1 −1

2 2 𝑎

𝑥2 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9 𝑏

𝑥1 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10 𝑐

Posloupnosti (apl.)

𝑝 | 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 =± 𝑞|2 1; 2

2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 .



𝑥0 10 1 ⋅ (−4) + (10) 6 0

zkouš ım ́ e: 1 5 ±1, ±2, ±5, ±10, ± , ± 2

2



−𝑏 ± √𝑏 2 − 4 𝑎 𝑐 −(−9) ± 󰖶(−9)2 − 4 ⋅ (2) ⋅ (10) 9 ± √81 − 80 9 ± √1 9±1 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (2) 4 4 4

𝑥2 =

Rozklad

9+1 10 5 = = 4 4 2

𝑥3 =

9−1 8 = =2 4 4

mnohoč lenu 9

𝑥1 = −1∶

2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 = [𝑥 − (−1)] ⋅ (2 𝑥 2 − 9 𝑥 + 10) = (𝑥 + 1) ⋅ [2 ⋅ (𝑥 2 − 𝑥 + 5)]

𝑥2; 3

2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 = (𝑥 + 1) ⋅ [2 ⋅ (𝑥 − ) ⋅ (𝑥 − 2)] = (𝑥 + 1) ⋅ (2 𝑥 − 5) ⋅ (𝑥 − 2)

∶

2

5 2


Determ. Matice

Soustavy LAR


Př. 2. Rozložte na parc. zlomky NE, není ryzí.


Posloupnosti (apl.)

2 𝑥 5 − 7 𝑥 4 − 𝑥 3 + 20 𝑥 2 − 23 𝑥 + 28 𝑅(𝑥) = 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10

rac. lomenou funkci


𝑅(𝑥) =

2 𝑥 5 − 7 𝑥 4 − 𝑥 3 + 20 𝑥 2 − 23 𝑥 + 28 3 𝑥 2 − 22 𝑥 + 38 2 = 𝑥 − 1 + 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10

2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 = (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ (2𝑥 − 5) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry.


3 𝑥 2 − 22 𝑥 + 38 𝐴 𝐵 𝐶 = + + | (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ (2 𝑥 − 5) 3 2 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 𝑥 + 1 𝑥 − 2 2𝑥 − 5 Př i urč ová nı́ parametrů využ ı́vá me ná sledujı́cı́ dvě metody (př ı́padně je vhodně kombinujeme) poté , co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomků ) a tı́m dostaneme rovnost dvou mnohoč lenů . Typy parciálních zlomků:


x.

Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x . Protož e majı́-li se dva mnohoč leny rovnat, musejı́ mı́t stejné př ı́sluš né koe󰅮icienty.


Determ. Matice

Soustavy LAR




Posloupnosti (apl.)

2 𝑥 5 − 7 𝑥 4 − 𝑥 3 + 20 𝑥 2 − 23 𝑥 + 28 𝑅(𝑥) = 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10

rac. lomenou funkci


𝑅(𝑥) =

2 𝑥 5 − 7 𝑥 4 − 𝑥 3 + 20 𝑥 2 − 23 𝑥 + 28 3 𝑥 2 − 22 𝑥 + 38 2 = 𝑥 − 1 + 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10




3 𝑥 2 − 22 𝑥 + 38 𝐴 𝐵 𝐶 = + + | (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ (2 𝑥 − 5) 3 2 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 𝑥 + 1 𝑥 − 2 2𝑥 − 5

Určení parametrů: 3 𝑥 2 − 22 𝑥 + 38 = 𝐴 ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ (2 𝑥 − 5) + 𝐵 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (2 𝑥 − 5) + 𝐶 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) 𝑥 = −1

⟹

3⋅(−1)2 −22⋅(−1)+38 = 𝐴⋅[(−1)−2]⋅[2⋅(−1)−5]+0+0 ⟹ 63 = 21𝐴

𝑥=2

⟹

3⋅(2)2 −22⋅(2)+38 = 0+𝐵⋅[(2)+1]⋅[2⋅(2)−5]+0 ⟹ 6 = −3𝐵

⟹

⟹

𝐴=3 𝐵 = −2

𝑥 = 2,5 ⟹ 3 ⋅ (2,5)2 − 22 ⋅ (2,5) + 38 = 0 + 0 + 𝐶 ⋅ [(2,5) + 1] ⋅ [(2,5) − 2] ⟹ 1,75 = 1,75𝐶 ⟹ 𝐶 = 1 A po dosazenı́ •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR




Posloupnosti (apl.)

2 𝑥 5 − 7 𝑥 4 − 𝑥 3 + 20 𝑥 2 − 23 𝑥 + 28 𝑅(𝑥) = 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10

rac. lomenou funkci


3 𝑥 2 − 22 𝑥 + 38 𝑅(𝑥) = 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) , kde 𝑃(𝑥) = 𝑥 2 − 1 a 𝑄(𝑥) = . 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 Tedy 2 𝑥 5 − 7 𝑥 4 − 𝑥 3 + 20 𝑥 2 − 23 𝑥 + 28 3 𝑥 2 − 22 𝑥 + 38 2 𝑅(𝑥) = = 𝑥 − 1 + 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 Na parciá lnı́ zlomky budeme rozklá dat racioná lnı́ lomenou funkci

𝑄(𝑥) .




3 𝑥 2 − 22 𝑥 + 38 𝐴 𝐵 𝐶 = + + | (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ (2 𝑥 − 5) 3 2 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 𝑥 + 1 𝑥 − 2 2𝑥 − 5

Výsledek: 2 𝑥 5 − 7 𝑥 4 − 𝑥 3 + 20 𝑥 2 − 23 𝑥 + 28 3 −2 1 2 𝑅(𝑥) = = 𝑥 − 1 + + + 2𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 𝑥 + 1 𝑥 − 2 2𝑥 − 5 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

2.6. Závěrečná poznámka k rozkladu na parciální zlomky V př ık ́ ladu, kdy jsme mě li rozlož it NEryze lomenou racioná lnı́ funkci, jsme jako odhadovaný rozklad na parciá lnı́ zlomky uvedli 3 𝑥 2 − 22 𝑥 + 38 𝐴 𝐵 𝐶 = + + 3 2 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 𝑥 + 1 𝑥 − 2 2𝑥 − 5 5

kde tř etı́ parciá lnı́ zlomek má ve jmenovateli lineá rnı́ dvojč len 2 𝑥 − 5 . Tedy tř etı́ koř en je 𝑥3 = . 2 Př itom v ú vodu jsme ř ı́kali, ž e parciá lnı́ zlomek pro reá lný koř en jmenovatele mů ž e mı́t pouze tvar 𝐴 (𝑥 − 𝛼)𝑘 Nemě li bychom odhadovaný rozklad tedy psá t 3 𝑥 2 − 22 𝑥 + 38 𝐴∗ 𝐵∗ 𝐶∗ = + + 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 𝑥+1 𝑥−2 𝑥− 5

?

(27)

2

Urč eme tento „ohvězdičkovaný“ rozklad. Rozlož ı́me jmenovatele na souč in jeho koř enový ch č initelů a odhadneme parciá lnı́ zlomky takto upravené ho zlomku. Potom (zná mý m způ sobem) urč ı́me nezná mé parametry. • Nejprve obě dvě strany rovnice vyná sobı́me společ ný m jmenovatelem (odstranı́me zlomky). • Pak budeme postupně za

x

dosazovat hodnoty jednotlivý ch koř enů . •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Rozlož ı́me jmenovatele na souč in jeho koř enový ch č initelů 3 𝑥 2 − 22 𝑥 + 38 3 𝑥 2 − 22 𝑥 + 38 = 5 2 𝑥 3 − 7 𝑥 2 + 𝑥 + 10 2 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ 󰚼𝑥 − 󰚽 2

Odhadneme parciá lnı́ zlomky 3 𝑥 2 − 22 𝑥 + 38 5

2 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ 󰚼𝑥 − 󰚽 2

Určíme neznámé parametry:

=

𝐴∗ 𝐵∗ 𝐶∗ + + 𝑥+1 𝑥−2 𝑥− 5 2

Vyná sobı́me obě strany rovnice č lenem

5

2 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ 󰚼𝑥 − 󰚽 2

(nejmenš ı́m společ ný m jmenovatelem) 5 5 3 𝑥 2 − 22 𝑥 + 38 = 𝐴∗ ⋅ 2 ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ (𝑥 − ) + 𝐵∗ ⋅ 2 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − ) + 𝐶 ∗ ⋅ 2 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) 2 2 a upravı́me: 3 𝑥 2 − 22 𝑥 + 38 = 𝐴∗ ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ (2 𝑥 − 5) + 𝐵∗ ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (2 𝑥 − 5) + 𝐶 ∗ ⋅ 2 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) Nynı́ dosadı́me za

x

hodnoty celoč ıś elný ch koř enů a např ı́klad č ı́slo NULA.

𝑥1 = −1∶ 3⋅(−1)2−22⋅(−1)+38 = 𝐴∗⋅[(−1)−2]⋅[2⋅(−1)−5]+𝟎+𝟎 ⟹ 63 = 21 𝐴∗ ⟹ 𝐴∗ = 3 𝑥2 = 2 ∶ 3⋅(2)2−22⋅(2)+38 = 𝟎+𝐵∗⋅[(2)+1]⋅[2⋅(2)−5]+𝟎 ⟹ 6 = −3 𝐵∗ ⟹ 𝐵∗ = −2 𝑥 = 0 ∶ 3⋅(0)2−22⋅(0)+38 = 𝐴∗⋅[(0)−2]⋅[2⋅(0)−5]+𝐵∗⋅[(0)+1]⋅[2⋅(0)−5]+𝐶∗⋅2⋅[(0)+1]⋅[(0)−2] 1 𝐴, 𝐵 38 = 10 𝐴∗ −5 𝐵∗ −4 𝐶∗ ⟹ 38 = 10⋅(3)−5⋅(−2)−4 𝐶∗ ⟹ −2 = −4 𝐶 ∗ ⟹ 𝐶 ∗ = 2


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Vý sledný rozklad je 1

3 𝑥 2 − 22 𝑥 + 38 𝐴∗ 𝐵∗ 𝐶∗ 3 −2 = + + + + 2 5 = 3 2 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 𝑥+1 𝑥−2 𝑥− 𝑥+1 𝑥−2 𝑥− 2

5 2

a po ú pravě 1

3 −2 + + 2 𝑥+1 𝑥−2 𝑥−

5 2

=

3 −2 1 3 −2 1 + + = + + 5 𝑥 + 1 𝑥 − 2 2 󰚼𝑥 − 󰚽 𝑥 + 1 𝑥 − 2 2𝑥 − 5 2

Vidı́me, ž e ná m vyš el stejný rozklad zlomku 𝑄(𝑥) jako př edtı́m, jenom jinak zapsaný. To ná s opravň uje odhadovat parciá lnı́ zlomky i ve tvaru 𝐴 (𝛽𝑥 − 𝛼)𝑘

nebo

𝑀𝑥 + 𝑁 , + 𝑝𝑥 + 𝑞)𝑘

(𝛽𝑥 2

kde 𝛽 ≠ 0 .


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Interpolace a aproximace


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Obsah kapitoly: Interpolace a aproximace 1. Interpolace diskrétních hodnot vhodnou funkcí 1.1. Langrangeů v interpolač nı́ mnohoč len (polynom) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Př ı́klad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Pozná mka k interpolač nı́m polynomů m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

336 337 338 351

2. Aproximace diskrétních hodnot vhodnou funkcí 2.1. Metoda nejmenš ı́ch č tverců . . . . . . . . 2.1.1. Aproximace př ı́mkou . . . . . . . Př ık ́ lad . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Aproximace parabolou . . . . . . Př ık ́ lad . . . . . . . . . . . . . 2.2. Pozná mka k metodě nejmenš ıć h č tverců

352 352 352 355 366 368 378

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

1. Interpolace diskrétních hodnot vhodnou funkcí Interpolaci mů ž eme chá pat jako nalezenı́ př ibliž né hodnoty funkce uvnitř ně jaké ho intervalu, je-li hodnota uvaž ované funkce zná ma jen v ně který ch jiný ch bodech tohoto intervalu. Použ ı́vá se v př ı́padě , ž e hodnoty funkce v urč itý ch bodech intervalu jsou buďto uvedeny v tabulce, anebo zı́ská ny mě řenı́m. Podobné ho pů vodu je i slovo extrapolace, které označ uje nalé zá nı́ př ibliž né hodnoty funkce mimo interval zná mý ch hodnot, což je mé ně spolehlivé . Už ı́vá se nejč astě ji pro odhady tendencı́ do budoucnosti, např ık ́ lad cen v ekonomii. Interpolace se vyznač uje tı́m, ž e hledaná kř ivka (graf uvaž ované funkce) přesně prochází vš emi zná mý mi (změ řený mi) body. Na ná sledujı́cı́m obrá zku mů ž eme odeč tenı́m zjistit např ı́klad hodnotu v č ı́sle 1,5: Vlevo je 7 hodnot funkce sinus. Uprostř ed jsme sestrojili lomenou č áru, která vš emi zadaný mi body prochá zı́. Nebo-li hledaná funkce je slož ena ze š esti ú seč ek. Vpravo jsme body prolož ili mnohoč lenem š esté ho stupně .


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Ně kdy se interpolacı́ rozumı́ prolož enı́ bodů 𝑓(𝑥1 ), 𝑓(𝑥2 ), …, 𝑓(𝑥𝑛 ) analytickou kř ivkou (grafem hledané funkce), která pak umož ňuje jednoduchý vý poč et funkč nı́ch hodnot ve vš ech mezilehlý ch bodech.

1.1. Langrangeův interpolační mnohočlen (polynom) je jednı́m ze zná mě jš ı́ch a také snadný ch způ sobů interpolace funkce zadané pouze v diskré tnı́ch bodech (nazý vá me je uzlovými body — v př edchozı́m obrá zku byly znač eny č erveně ), po který ch pož adujeme, aby mě ly rů zné hodnoty 𝑥𝑖 . 𝑛

𝐿(𝑥) = 󰗞 𝑦𝑖 ⋅ 𝐿𝑖 (𝑥)

(28)

𝑖=1

kde

𝑓(𝑥)

𝐿𝑖 =

⏜⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⏞⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⎴⏜ (𝑥 − 𝑥1 ) ⋅ (𝑥 − 𝑥2 ) ⋅ … ⋅ (𝑥 − 𝑥𝑖−1 ) ⋅ (𝑥 − 𝑥𝑖+1 ) ⋅ … ⋅ (𝑥 − 𝑥𝑛−1 ) ⋅ (𝑥 − 𝑥𝑛 ) (𝑥 𝑖 − 𝑥1 ) ⋅ (𝑥𝑖 − 𝑥2 ) ⋅ … ⋅ (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) ⋅ (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1 ) ⋅ … ⋅ (𝑥𝑖 − 𝑥𝑛−1 ) ⋅ (𝑥𝑖 − 𝑥𝑛 ) ⏝⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⎵⏝ 𝑓(𝑥𝑖 )

Vš imně te si, ž e jak v č itateli, tak ve jmenovateli je pro 𝑖 vynechá na zá vorka, ve které bychom mě li odeč ı́tat č len 𝑥𝑖 . Použ itı́ zdá nlivě „nezapamatovatelné ho“ vzorce si uká ž eme na konkré tnı́m př ı́kladu. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Příklad. Má me dá ny č tyř i body, jejichž hodnoty jsou v ná sledujı́cı́ tabulce. Na zá kladě tě chto bodů má me pomocı́ Lagrangeova interpolač nı́ho mnohoč lenu odhadnout, jaká hodnota by asi v tomto př ı́padě nastala pro 𝑥 = 0. 𝑥 𝑦

−9 5

−4 2

−1 −2

7 9

Tedy pož adujeme odhadnout – doplnit souř adnici dané ho bodu [0; ?]. Nebo ješ tě jinak ř eč eno, pož adujeme doplnit tabulku o dalš ı́ hodnotu. 𝑥 𝑦

−9 5

−4 2

−1 −2

7 9

0 ?

Řešení. Protož e má me zadá ny č tyř i dvojice hodnot (č tyř i body), dosadı́me do vzorce (28) za 𝑛 = 4. Dostaneme: 𝐿(𝑥) = 𝑦1 ⋅ 𝐿1 (𝑥) + 𝑦2 ⋅ 𝐿2 (𝑥) + 𝑦3 ⋅ 𝐿3 (𝑥) + 𝑦4 ⋅ 𝐿4 (𝑥) Nynı́ urč ı́me jednotlivé zlomky 𝐿𝑖 (𝑥), kde 𝑖 = 1; 2; 3; 4.


Determ. Matice

Soustavy LAR


𝑥 𝑦

Příklad. Má me dá ny č tyř i body

−9 5

−4 2

−1 −2

7 9

0 ?


Posloupnosti (apl.)

a pož adujeme doplnit tabulku.

Řešení. Pro 𝑛 = 4 dostaneme: 𝐿(𝑥) = 𝑦1 ⋅ 𝐿1 (𝑥) + 𝑦2 ⋅ 𝐿2 (𝑥) + 𝑦3 ⋅ 𝐿3 (𝑥) + 𝑦4 ⋅ 𝐿4 (𝑥) Nynı́ urč ı́me jednotlivé zlomky 𝐿𝑖 (𝑥). Obrá zek 23: Konstrukce Lagrangeova interpolač nı́ho polynomu (č erná kř ivka) 𝑥 𝑦1 ⋅ 𝐿1 (𝑥)

−9 5 =(5)⋅1

−4 0 =(5)⋅0

𝑥 𝑦

7 0 =(5)⋅0

𝑥 𝑦3 ⋅ 𝐿3 (𝑥)

𝐿1 (−9) = 1; 𝐿1 (−4) = 0; 𝐿1 (−1) = 0; 𝐿1 (7) = 0 podmı́nky 𝐿1 (−9) = 1 𝐿1 (−9) = 1 𝐿1 (−4) = 0 𝐿1 (−9) = 1 𝐿1 (−4) = 0 𝐿1 (−1) = 0 𝐿1 (−9) = 1 𝐿1 (−4) = 0 𝐿1 (−1) = 0 𝐿1 ( 7 ) = 0

−1 0 =(5)⋅0

𝑥 𝑦2 ⋅ 𝐿2 (𝑥) -9 0

-4 0

-1 -2

7 0

−9 0

−4 2

𝑥 𝑦4 ⋅ 𝐿4 (𝑥)

−1 0 −9 0

7 0 −4 0

−1 −2

7 9

vý sledná funkce 𝐿1 (𝑥) = 1 𝑥 − (−4) 𝐿1 = 1 ⋅ (−9) − (−4) 𝐿1 =

𝑥 − (−4) 𝑥 − (−1) ⋅ (−9) − (−4) (−9) − (−1)

𝐿1 =

𝑥 − (−4) 𝑥 − (−1) 𝑥 − (7) ⋅ ⋅ (−9) − (−4) (−9) − (−1) (−9) − (7)

−9 5

−4 2

−1 −2

7 9

0 ≐ −3

𝐿(𝑥) = 𝑦1 ⋅ 𝐿1 (𝑥) + 𝑦2 ⋅ 𝐿2 (𝑥) + 𝑦3 ⋅ 𝐿3 (𝑥) + 𝑦4 ⋅ 𝐿4 (𝑥) •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

𝑥 𝑦

−9 5

Soustavy LAR

−4 2

7 9

𝑥1 = −9 ,

0 ??


𝑖=1

𝐿1 =

[𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−9) − (−4)] ⋅ [(−9) − (−1)] ⋅ [(−9) − (7)]

(𝑥 2 +5 𝑥+4)⋅(𝑥−7)

𝐿2 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−4) − (−9)] ⋅ [(−4) − (−1)] ⋅ [(−4) − (7)]

(𝑥 2 +10 𝑥+9)⋅(𝑥−7)

𝐿3 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−1) − (−9)] ⋅ [(−1) − (−4)] ⋅ [(−1) − (7)]

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥−7)

𝐿4 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] = [(7) − (−9)] ⋅ [(7) − (−4)] ⋅ [(7) − (−1)]

𝑦1 = 5 ;

pro

𝑖=2

(−5)⋅(−8)⋅(−16)

(8)⋅(3)⋅(−8)

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥+1) (16)⋅(11)⋅(8)

=

je

𝑥2 = −4 ,

𝑦2 = 2 ;

…

=

−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28) 640

=

1 ⋅ (𝑥 3 + 3 𝑥 2 − 61 𝑥 − 63) 165

(5)⋅(−3)⋅(−11)

=

−1 ⋅ (𝑥 3 + 6 𝑥 2 − 55 𝑥 − 252) 192

1 ⋅ (𝑥 3 + 14 𝑥 2 + 49 𝑥 + 36) 1408

Lagrangeů v interpolač nı́ mnohoč len je potom

𝐿(𝑥) = 𝑦1 ⋅ 𝐿1 (𝑥) + 𝑦2 ⋅ 𝐿2 (𝑥) + 𝑦3 ⋅ 𝐿3 (𝑥) + 𝑦4 ⋅ 𝐿4 (𝑥) = 𝟓 ⋅ +𝟐⋅

Posloupnosti (apl.)

𝐿(0) ≐ 0,021 ⋅ (0)3 + 0,204 ⋅ (0)2 − 0,757 ⋅ (0) − 2,94 = −2,94

Pro

Vý sledný

je

−1 −2


−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28)+ 640

1 −1 1 ⋅(𝑥 3 +3 𝑥 2 −61 𝑥−63)+(−𝟐)⋅ ⋅(𝑥 3 +6 𝑥 2 −55 𝑥−252)+𝟗⋅ ⋅(𝑥 3 +14 𝑥 2 +49 𝑥+36) = 165 192 1408 −1 1 −1 1 = 󰛄5 ⋅ +2⋅ + (−2) ⋅ +9⋅ 󰛅 ⋅ 𝑥 3 + […] ⋅ 𝑥 2 + […] ⋅ 𝑥 + […] ≐ 640 165 192 1408

≐ 0,021 𝑥 3 + 0,204 𝑥 2 − 0,757 𝑥 − 2,94 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

𝑥 𝑦

−9 5

Soustavy LAR

−4 2

7 9

𝑥1 = −9 ,

0 ??


𝑖=1

𝐿1 =

[𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−9) − (−4)] ⋅ [(−9) − (−1)] ⋅ [(−9) − (7)]

(𝑥 2 +5 𝑥+4)⋅(𝑥−7)

𝐿2 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−4) − (−9)] ⋅ [(−4) − (−1)] ⋅ [(−4) − (7)]

(𝑥 2 +10 𝑥+9)⋅(𝑥−7)

𝐿3 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−1) − (−9)] ⋅ [(−1) − (−4)] ⋅ [(−1) − (7)]

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥−7)

𝐿4 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] = [(7) − (−9)] ⋅ [(7) − (−4)] ⋅ [(7) − (−1)]

𝑦1 = 5 ;

pro

𝑖=2

(−5)⋅(−8)⋅(−16)

(8)⋅(3)⋅(−8)

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥+1) (16)⋅(11)⋅(8)

=

je

𝑥2 = −4 ,

𝑦2 = 2 ;

…

=

−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28) 640

=

1 ⋅ (𝑥 3 + 3 𝑥 2 − 61 𝑥 − 63) 165

(5)⋅(−3)⋅(−11)

=

−1 ⋅ (𝑥 3 + 6 𝑥 2 − 55 𝑥 − 252) 192

1 ⋅ (𝑥 3 + 14 𝑥 2 + 49 𝑥 + 36) 1408


𝐿(𝑥) = 𝑦1 ⋅ 𝐿1 (𝑥) + 𝑦2 ⋅ 𝐿2 (𝑥) + 𝑦3 ⋅ 𝐿3 (𝑥) + 𝑦4 ⋅ 𝐿4 (𝑥) = 𝟓 ⋅ +𝟐⋅

Posloupnosti (apl.)

𝐿(0) ≐ 0,021 ⋅ (0)3 + 0,204 ⋅ (0)2 − 0,757 ⋅ (0) − 2,94 = −2,94

Pro

Vý sledný

je

−1 −2


−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28)+ 640

1 −1 1 ⋅(𝑥 3 +3 𝑥 2 −61 𝑥−63)+(−𝟐)⋅ ⋅(𝑥 3 +6 𝑥 2 −55 𝑥−252)+𝟗⋅ ⋅(𝑥 3 +14 𝑥 2 +49 𝑥+36) = 165 192 1408 −1 1 −1 1 = 󰛄5 ⋅ +2⋅ + (−2) ⋅ +9⋅ 󰛅 ⋅ 𝑥 3 + […] ⋅ 𝑥 2 + […] ⋅ 𝑥 + […] ≐ 640 165 192 1408


Determ. Matice

𝑥 𝑦

−9 5

Soustavy LAR

−4 2

7 9

𝑥1 = −9 ,

0 ??


𝑖=1

𝐿1 =

[𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−9) − (−4)] ⋅ [(−9) − (−1)] ⋅ [(−9) − (7)]

(𝑥 2 +5 𝑥+4)⋅(𝑥−7)

𝐿2 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−4) − (−9)] ⋅ [(−4) − (−1)] ⋅ [(−4) − (7)]

(𝑥 2 +10 𝑥+9)⋅(𝑥−7)

𝐿3 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−1) − (−9)] ⋅ [(−1) − (−4)] ⋅ [(−1) − (7)]

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥−7)

𝐿4 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] = [(7) − (−9)] ⋅ [(7) − (−4)] ⋅ [(7) − (−1)]

𝑦1 = 5 ;

pro

𝑖=2

(−5)⋅(−8)⋅(−16)

(8)⋅(3)⋅(−8)

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥+1) (16)⋅(11)⋅(8)

=

je

𝑥2 = −4 ,

𝑦2 = 2 ;

…

=

−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28) 640

=

1 ⋅ (𝑥 3 + 3 𝑥 2 − 61 𝑥 − 63) 165

(5)⋅(−3)⋅(−11)

=

−1 ⋅ (𝑥 3 + 6 𝑥 2 − 55 𝑥 − 252) 192

1 ⋅ (𝑥 3 + 14 𝑥 2 + 49 𝑥 + 36) 1408


𝐿(𝑥) = 𝑦1 ⋅ 𝐿1 (𝑥) + 𝑦2 ⋅ 𝐿2 (𝑥) + 𝑦3 ⋅ 𝐿3 (𝑥) + 𝑦4 ⋅ 𝐿4 (𝑥) = 𝟓 ⋅ +𝟐⋅

Posloupnosti (apl.)

𝐿(0) ≐ 0,021 ⋅ (0)3 + 0,204 ⋅ (0)2 − 0,757 ⋅ (0) − 2,94 = −2,94

Pro

Vý sledný

je

−1 −2


−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28)+ 640

1 −1 1 ⋅(𝑥 3 +3 𝑥 2 −61 𝑥−63)+(−𝟐)⋅ ⋅(𝑥 3 +6 𝑥 2 −55 𝑥−252)+𝟗⋅ ⋅(𝑥 3 +14 𝑥 2 +49 𝑥+36) = 165 192 1408 −1 1 −1 1 = 󰛄5 ⋅ +2⋅ + (−2) ⋅ +9⋅ 󰛅 ⋅ 𝑥 3 + […] ⋅ 𝑥 2 + […] ⋅ 𝑥 + […] ≐ 640 165 192 1408


Determ. Matice

𝑥 𝑦

−9 5

Soustavy LAR

−4 2

7 9

𝑥1 = −9 ,

0 ??


𝑖=1

𝐿1 =

[𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−9) − (−4)] ⋅ [(−9) − (−1)] ⋅ [(−9) − (7)]

(𝑥 2 +5 𝑥+4)⋅(𝑥−7)

𝐿2 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−4) − (−9)] ⋅ [(−4) − (−1)] ⋅ [(−4) − (7)]

(𝑥 2 +10 𝑥+9)⋅(𝑥−7)

𝐿3 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−1) − (−9)] ⋅ [(−1) − (−4)] ⋅ [(−1) − (7)]

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥−7)

𝐿4 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] = [(7) − (−9)] ⋅ [(7) − (−4)] ⋅ [(7) − (−1)]

𝑦1 = 5 ;

pro

𝑖=2

(−5)⋅(−8)⋅(−16)

(8)⋅(3)⋅(−8)

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥+1) (16)⋅(11)⋅(8)

=

je

𝑥2 = −4 ,

𝑦2 = 2 ;

…

=

−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28) 640

=

1 ⋅ (𝑥 3 + 3 𝑥 2 − 61 𝑥 − 63) 165

(5)⋅(−3)⋅(−11)

=

−1 ⋅ (𝑥 3 + 6 𝑥 2 − 55 𝑥 − 252) 192

1 ⋅ (𝑥 3 + 14 𝑥 2 + 49 𝑥 + 36) 1408


𝐿(𝑥) = 𝑦1 ⋅ 𝐿1 (𝑥) + 𝑦2 ⋅ 𝐿2 (𝑥) + 𝑦3 ⋅ 𝐿3 (𝑥) + 𝑦4 ⋅ 𝐿4 (𝑥) = 𝟓 ⋅ +𝟐⋅

Posloupnosti (apl.)

𝐿(0) ≐ 0,021 ⋅ (0)3 + 0,204 ⋅ (0)2 − 0,757 ⋅ (0) − 2,94 = −2,94

Pro

Vý sledný

je

−1 −2


−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28)+ 640

1 −1 1 ⋅(𝑥 3 +3 𝑥 2 −61 𝑥−63)+(−𝟐)⋅ ⋅(𝑥 3 +6 𝑥 2 −55 𝑥−252)+𝟗⋅ ⋅(𝑥 3 +14 𝑥 2 +49 𝑥+36) = 165 192 1408 −1 1 −1 1 = 󰛄5 ⋅ +2⋅ + (−2) ⋅ +9⋅ 󰛅 ⋅ 𝑥 3 + […] ⋅ 𝑥 2 + […] ⋅ 𝑥 + […] ≐ 640 165 192 1408


Determ. Matice

𝑥 𝑦

−9 5

Soustavy LAR

−4 2

7 9

𝑥1 = −9 ,

0 ??


𝑖=1

𝐿1 =

[𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−9) − (−4)] ⋅ [(−9) − (−1)] ⋅ [(−9) − (7)]

(𝑥 2 +5 𝑥+4)⋅(𝑥−7)

𝐿2 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−4) − (−9)] ⋅ [(−4) − (−1)] ⋅ [(−4) − (7)]

(𝑥 2 +10 𝑥+9)⋅(𝑥−7)

𝐿3 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−1) − (−9)] ⋅ [(−1) − (−4)] ⋅ [(−1) − (7)]

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥−7)

𝐿4 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] = [(7) − (−9)] ⋅ [(7) − (−4)] ⋅ [(7) − (−1)]

𝑦1 = 5 ;

pro

𝑖=2

(−5)⋅(−8)⋅(−16)

(8)⋅(3)⋅(−8)

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥+1) (16)⋅(11)⋅(8)

=

je

𝑥2 = −4 ,

𝑦2 = 2 ;

…

=

−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28) 640

=

1 ⋅ (𝑥 3 + 3 𝑥 2 − 61 𝑥 − 63) 165

(5)⋅(−3)⋅(−11)

=

−1 ⋅ (𝑥 3 + 6 𝑥 2 − 55 𝑥 − 252) 192

1 ⋅ (𝑥 3 + 14 𝑥 2 + 49 𝑥 + 36) 1408


𝐿(𝑥) = 𝑦1 ⋅ 𝐿1 (𝑥) + 𝑦2 ⋅ 𝐿2 (𝑥) + 𝑦3 ⋅ 𝐿3 (𝑥) + 𝑦4 ⋅ 𝐿4 (𝑥) = 𝟓 ⋅ +𝟐⋅

Posloupnosti (apl.)

𝐿(0) ≐ 0,021 ⋅ (0)3 + 0,204 ⋅ (0)2 − 0,757 ⋅ (0) − 2,94 = −2,94

Pro

Vý sledný

je

−1 −2


−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28)+ 640

1 −1 1 ⋅(𝑥 3 +3 𝑥 2 −61 𝑥−63)+(−𝟐)⋅ ⋅(𝑥 3 +6 𝑥 2 −55 𝑥−252)+𝟗⋅ ⋅(𝑥 3 +14 𝑥 2 +49 𝑥+36) = 165 192 1408 −1 1 −1 1 = 󰛄5 ⋅ +2⋅ + (−2) ⋅ +9⋅ 󰛅 ⋅ 𝑥 3 + […] ⋅ 𝑥 2 + […] ⋅ 𝑥 + […] ≐ 640 165 192 1408


Determ. Matice

𝑥 𝑦

−9 5

Soustavy LAR

−4 2

7 9

𝑥1 = −9 ,

0 ??


𝑖=1

𝐿1 =

[𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−9) − (−4)] ⋅ [(−9) − (−1)] ⋅ [(−9) − (7)]

(𝑥 2 +5 𝑥+4)⋅(𝑥−7)

𝐿2 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−4) − (−9)] ⋅ [(−4) − (−1)] ⋅ [(−4) − (7)]

(𝑥 2 +10 𝑥+9)⋅(𝑥−7)

𝐿3 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−1) − (−9)] ⋅ [(−1) − (−4)] ⋅ [(−1) − (7)]

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥−7)

𝐿4 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] = [(7) − (−9)] ⋅ [(7) − (−4)] ⋅ [(7) − (−1)]

𝑦1 = 5 ;

pro

𝑖=2

(−5)⋅(−8)⋅(−16)

(8)⋅(3)⋅(−8)

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥+1) (16)⋅(11)⋅(8)

=

je

𝑥2 = −4 ,

𝑦2 = 2 ;

…

=

−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28) 640

=

1 ⋅ (𝑥 3 + 3 𝑥 2 − 61 𝑥 − 63) 165

(5)⋅(−3)⋅(−11)

=

−1 ⋅ (𝑥 3 + 6 𝑥 2 − 55 𝑥 − 252) 192

1 ⋅ (𝑥 3 + 14 𝑥 2 + 49 𝑥 + 36) 1408


𝐿(𝑥) = 𝑦1 ⋅ 𝐿1 (𝑥) + 𝑦2 ⋅ 𝐿2 (𝑥) + 𝑦3 ⋅ 𝐿3 (𝑥) + 𝑦4 ⋅ 𝐿4 (𝑥) = 𝟓 ⋅ +𝟐⋅

Posloupnosti (apl.)

𝐿(0) ≐ 0,021 ⋅ (0)3 + 0,204 ⋅ (0)2 − 0,757 ⋅ (0) − 2,94 = −2,94

Pro

Vý sledný

je

−1 −2


−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28)+ 640

1 −1 1 ⋅(𝑥 3 +3 𝑥 2 −61 𝑥−63)+(−𝟐)⋅ ⋅(𝑥 3 +6 𝑥 2 −55 𝑥−252)+𝟗⋅ ⋅(𝑥 3 +14 𝑥 2 +49 𝑥+36) = 165 192 1408 −1 1 −1 1 = 󰛄5 ⋅ +2⋅ + (−2) ⋅ +9⋅ 󰛅 ⋅ 𝑥 3 + […] ⋅ 𝑥 2 + […] ⋅ 𝑥 + […] ≐ 640 165 192 1408


Determ. Matice

𝑥 𝑦

−9 5

Soustavy LAR

−4 2

7 9

𝑥1 = −9 ,

0 ??


𝑖=1

𝐿1 =

[𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−9) − (−4)] ⋅ [(−9) − (−1)] ⋅ [(−9) − (7)]

(𝑥 2 +5 𝑥+4)⋅(𝑥−7)

𝐿2 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−4) − (−9)] ⋅ [(−4) − (−1)] ⋅ [(−4) − (7)]

(𝑥 2 +10 𝑥+9)⋅(𝑥−7)

𝐿3 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−1) − (−9)] ⋅ [(−1) − (−4)] ⋅ [(−1) − (7)]

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥−7)

𝐿4 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] = [(7) − (−9)] ⋅ [(7) − (−4)] ⋅ [(7) − (−1)]

𝑦1 = 5 ;

pro

𝑖=2

(−5)⋅(−8)⋅(−16)

(8)⋅(3)⋅(−8)

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥+1) (16)⋅(11)⋅(8)

=

je

𝑥2 = −4 ,

𝑦2 = 2 ;

…

=

−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28) 640

=

1 ⋅ (𝑥 3 + 3 𝑥 2 − 61 𝑥 − 63) 165

(5)⋅(−3)⋅(−11)

=

−1 ⋅ (𝑥 3 + 6 𝑥 2 − 55 𝑥 − 252) 192

1 ⋅ (𝑥 3 + 14 𝑥 2 + 49 𝑥 + 36) 1408


𝐿(𝑥) = 𝑦1 ⋅ 𝐿1 (𝑥) + 𝑦2 ⋅ 𝐿2 (𝑥) + 𝑦3 ⋅ 𝐿3 (𝑥) + 𝑦4 ⋅ 𝐿4 (𝑥) = 𝟓 ⋅ +𝟐⋅

Posloupnosti (apl.)

𝐿(0) ≐ 0,021 ⋅ (0)3 + 0,204 ⋅ (0)2 − 0,757 ⋅ (0) − 2,94 = −2,94

Pro

Vý sledný

je

−1 −2


−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28)+ 640

1 −1 1 ⋅(𝑥 3 +3 𝑥 2 −61 𝑥−63)+(−𝟐)⋅ ⋅(𝑥 3 +6 𝑥 2 −55 𝑥−252)+𝟗⋅ ⋅(𝑥 3 +14 𝑥 2 +49 𝑥+36) = 165 192 1408 −1 1 −1 1 = 󰛄5 ⋅ +2⋅ + (−2) ⋅ +9⋅ 󰛅 ⋅ 𝑥 3 + […] ⋅ 𝑥 2 + […] ⋅ 𝑥 + […] ≐ 640 165 192 1408


Determ. Matice

𝑥 𝑦

−9 5

Soustavy LAR

−4 2

7 9

𝑥1 = −9 ,

0 ??


𝑖=1

𝐿1 =

[𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−9) − (−4)] ⋅ [(−9) − (−1)] ⋅ [(−9) − (7)]

(𝑥 2 +5 𝑥+4)⋅(𝑥−7)

𝐿2 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−4) − (−9)] ⋅ [(−4) − (−1)] ⋅ [(−4) − (7)]

(𝑥 2 +10 𝑥+9)⋅(𝑥−7)

𝐿3 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−1) − (−9)] ⋅ [(−1) − (−4)] ⋅ [(−1) − (7)]

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥−7)

𝐿4 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] = [(7) − (−9)] ⋅ [(7) − (−4)] ⋅ [(7) − (−1)]

𝑦1 = 5 ;

pro

𝑖=2

(−5)⋅(−8)⋅(−16)

(8)⋅(3)⋅(−8)

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥+1) (16)⋅(11)⋅(8)

=

je

𝑥2 = −4 ,

𝑦2 = 2 ;

…

=

−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28) 640

=

1 ⋅ (𝑥 3 + 3 𝑥 2 − 61 𝑥 − 63) 165

(5)⋅(−3)⋅(−11)

=

−1 ⋅ (𝑥 3 + 6 𝑥 2 − 55 𝑥 − 252) 192

1 ⋅ (𝑥 3 + 14 𝑥 2 + 49 𝑥 + 36) 1408


𝐿(𝑥) = 𝑦1 ⋅ 𝐿1 (𝑥) + 𝑦2 ⋅ 𝐿2 (𝑥) + 𝑦3 ⋅ 𝐿3 (𝑥) + 𝑦4 ⋅ 𝐿4 (𝑥) = 𝟓 ⋅ +𝟐⋅

Posloupnosti (apl.)

𝐿(0) ≐ 0,021 ⋅ (0)3 + 0,204 ⋅ (0)2 − 0,757 ⋅ (0) − 2,94 = −2,94

Pro

Vý sledný

je

−1 −2


−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28)+ 640

1 −1 1 ⋅(𝑥 3 +3 𝑥 2 −61 𝑥−63)+(−𝟐)⋅ ⋅(𝑥 3 +6 𝑥 2 −55 𝑥−252)+𝟗⋅ ⋅(𝑥 3 +14 𝑥 2 +49 𝑥+36) = 165 192 1408 −1 1 −1 1 = 󰛄5 ⋅ +2⋅ + (−2) ⋅ +9⋅ 󰛅 ⋅ 𝑥 3 + […] ⋅ 𝑥 2 + […] ⋅ 𝑥 + […] ≐ 640 165 192 1408


Determ. Matice

𝑥 𝑦

−9 5

Soustavy LAR

−4 2

7 9

𝑥1 = −9 ,

0 ??


𝑖=1

𝐿1 =

[𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−9) − (−4)] ⋅ [(−9) − (−1)] ⋅ [(−9) − (7)]

(𝑥 2 +5 𝑥+4)⋅(𝑥−7)

𝐿2 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−4) − (−9)] ⋅ [(−4) − (−1)] ⋅ [(−4) − (7)]

(𝑥 2 +10 𝑥+9)⋅(𝑥−7)

𝐿3 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−1) − (−9)] ⋅ [(−1) − (−4)] ⋅ [(−1) − (7)]

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥−7)

𝐿4 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] = [(7) − (−9)] ⋅ [(7) − (−4)] ⋅ [(7) − (−1)]

𝑦1 = 5 ;

pro

𝑖=2

(−5)⋅(−8)⋅(−16)

(8)⋅(3)⋅(−8)

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥+1) (16)⋅(11)⋅(8)

=

je

𝑥2 = −4 ,

𝑦2 = 2 ;

…

=

−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28) 640

=

1 ⋅ (𝑥 3 + 3 𝑥 2 − 61 𝑥 − 63) 165

(5)⋅(−3)⋅(−11)

=

−1 ⋅ (𝑥 3 + 6 𝑥 2 − 55 𝑥 − 252) 192

1 ⋅ (𝑥 3 + 14 𝑥 2 + 49 𝑥 + 36) 1408


𝐿(𝑥) = 𝑦1 ⋅ 𝐿1 (𝑥) + 𝑦2 ⋅ 𝐿2 (𝑥) + 𝑦3 ⋅ 𝐿3 (𝑥) + 𝑦4 ⋅ 𝐿4 (𝑥) = 𝟓 ⋅ +𝟐⋅

Posloupnosti (apl.)

𝐿(0) ≐ 0,021 ⋅ (0)3 + 0,204 ⋅ (0)2 − 0,757 ⋅ (0) − 2,94 = −2,94

Pro

Vý sledný

je

−1 −2


−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28)+ 640

1 −1 1 ⋅(𝑥 3 +3 𝑥 2 −61 𝑥−63)+(−𝟐)⋅ ⋅(𝑥 3 +6 𝑥 2 −55 𝑥−252)+𝟗⋅ ⋅(𝑥 3 +14 𝑥 2 +49 𝑥+36) = 165 192 1408 −1 1 −1 1 = 󰛄5 ⋅ +2⋅ + (−2) ⋅ +9⋅ 󰛅 ⋅ 𝑥 3 + […] ⋅ 𝑥 2 + […] ⋅ 𝑥 + […] ≐ 640 165 192 1408


Determ. Matice

𝑥 𝑦

−9 5

Soustavy LAR

−4 2

7 9

𝑥1 = −9 ,

0 ??


𝑖=1

𝐿1 =

[𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−9) − (−4)] ⋅ [(−9) − (−1)] ⋅ [(−9) − (7)]

(𝑥 2 +5 𝑥+4)⋅(𝑥−7)

𝐿2 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−4) − (−9)] ⋅ [(−4) − (−1)] ⋅ [(−4) − (7)]

(𝑥 2 +10 𝑥+9)⋅(𝑥−7)

𝐿3 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−1) − (−9)] ⋅ [(−1) − (−4)] ⋅ [(−1) − (7)]

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥−7)

𝐿4 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] = [(7) − (−9)] ⋅ [(7) − (−4)] ⋅ [(7) − (−1)]

𝑦1 = 5 ;

pro

𝑖=2

(−5)⋅(−8)⋅(−16)

(8)⋅(3)⋅(−8)

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥+1) (16)⋅(11)⋅(8)

=

je

𝑥2 = −4 ,

𝑦2 = 2 ;

…

=

−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28) 640

=

1 ⋅ (𝑥 3 + 3 𝑥 2 − 61 𝑥 − 63) 165

(5)⋅(−3)⋅(−11)

=

−1 ⋅ (𝑥 3 + 6 𝑥 2 − 55 𝑥 − 252) 192

1 ⋅ (𝑥 3 + 14 𝑥 2 + 49 𝑥 + 36) 1408


𝐿(𝑥) = 𝑦1 ⋅ 𝐿1 (𝑥) + 𝑦2 ⋅ 𝐿2 (𝑥) + 𝑦3 ⋅ 𝐿3 (𝑥) + 𝑦4 ⋅ 𝐿4 (𝑥) = 𝟓 ⋅ +𝟐⋅

Posloupnosti (apl.)

𝐿(0) ≐ 0,021 ⋅ (0)3 + 0,204 ⋅ (0)2 − 0,757 ⋅ (0) − 2,94 = −2,94

Pro

Vý sledný

je

−1 −2


−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28)+ 640

1 −1 1 ⋅(𝑥 3 +3 𝑥 2 −61 𝑥−63)+(−𝟐)⋅ ⋅(𝑥 3 +6 𝑥 2 −55 𝑥−252)+𝟗⋅ ⋅(𝑥 3 +14 𝑥 2 +49 𝑥+36) = 165 192 1408 −1 1 −1 1 = 󰛄5 ⋅ +2⋅ + (−2) ⋅ +9⋅ 󰛅 ⋅ 𝑥 3 + […] ⋅ 𝑥 2 + […] ⋅ 𝑥 + […] ≐ 640 165 192 1408


Determ. Matice

𝑥 𝑦

−9 5

Soustavy LAR

−4 2

7 9

𝑥1 = −9 ,

0 ??


𝑖=1

𝐿1 =

[𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−9) − (−4)] ⋅ [(−9) − (−1)] ⋅ [(−9) − (7)]

(𝑥 2 +5 𝑥+4)⋅(𝑥−7)

𝐿2 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−4) − (−9)] ⋅ [(−4) − (−1)] ⋅ [(−4) − (7)]

(𝑥 2 +10 𝑥+9)⋅(𝑥−7)

𝐿3 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (7)] = [(−1) − (−9)] ⋅ [(−1) − (−4)] ⋅ [(−1) − (7)]

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥−7)

𝐿4 =

[𝑥 − (−9)] ⋅ [𝑥 − (−4)] ⋅ [𝑥 − (−1)] = [(7) − (−9)] ⋅ [(7) − (−4)] ⋅ [(7) − (−1)]

𝑦1 = 5 ;

pro

𝑖=2

(−5)⋅(−8)⋅(−16)

(8)⋅(3)⋅(−8)

(𝑥 2 +13 𝑥+36)⋅(𝑥+1) (16)⋅(11)⋅(8)

=

je

𝑥2 = −4 ,

𝑦2 = 2 ;

…

=

−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28) 640

=

1 ⋅ (𝑥 3 + 3 𝑥 2 − 61 𝑥 − 63) 165

(5)⋅(−3)⋅(−11)

=

−1 ⋅ (𝑥 3 + 6 𝑥 2 − 55 𝑥 − 252) 192

1 ⋅ (𝑥 3 + 14 𝑥 2 + 49 𝑥 + 36) 1408


𝐿(𝑥) = 𝑦1 ⋅ 𝐿1 (𝑥) + 𝑦2 ⋅ 𝐿2 (𝑥) + 𝑦3 ⋅ 𝐿3 (𝑥) + 𝑦4 ⋅ 𝐿4 (𝑥) = 𝟓 ⋅ +𝟐⋅

Posloupnosti (apl.)

𝐿(0) ≐ 0,021 ⋅ (0)3 + 0,204 ⋅ (0)2 − 0,757 ⋅ (0) − 2,94 = −2,94

Pro

Vý sledný

je

−1 −2


−1 ⋅ (𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 31 𝑥 − 28)+ 640

1 −1 1 ⋅(𝑥 3 +3 𝑥 2 −61 𝑥−63)+(−𝟐)⋅ ⋅(𝑥 3 +6 𝑥 2 −55 𝑥−252)+𝟗⋅ ⋅(𝑥 3 +14 𝑥 2 +49 𝑥+36) = 165 192 1408 −1 1 −1 1 = 󰛄5 ⋅ +2⋅ + (−2) ⋅ +9⋅ 󰛅 ⋅ 𝑥 3 + […] ⋅ 𝑥 2 + […] ⋅ 𝑥 + […] ≐ 640 165 192 1408


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

1.2. Poznámka k interpolačním polynomům Interpolace. Interpolač nı́ polynom v Lagrangeově tvaru má tu nevý hodu, ž e chceme-li př idat dalš ı́ uzlový bod, musı́me celý polynom př epoč ı́tat znovu. Také vý poč et hodnoty tohoto polynomu pro vě tš ı́ poč et uzlový ch bodů je dosti pracný. Proto je ně kdy vý hodně jš ı́ hledat interpolač nı́ polynom v jiné m tvaru 20 . Aproximace. 21 V př ı́pade, ž e jsou funkč nı́ hodnoty zı́ská ny experimentá lně , např ı́klad jako vý sledky ně jaké ho mě řenı́, je interpolace nevhodná . Vý sledky jsou totiž zatı́ženy chybami a interpolač nı́ funkce by tyto chyby kopı́rovala, což je př esně to, č eho se chceme vyvarovat. Kromě toho povaha experimentu nevyluč uje mož nost ně kolika mě řenı́ s rů zný mi vý sledky př i nezmě ně né hodnotě x 22 . Vzhledem k tě mto okolnostem nenı́ vž dy ž ádoucı́, aby aproximač nı́ funkce nabý vala v uzlový ch bodech př edem daný ch hodnot (aby kř ivka prochá zela vš emi uzlový mi body).

20

Např ı́klad Newtonů v interpolač nı́ polynom, Taylorů v rozvoj, apod.

21

Aproximace (přiblížení) je zná zorně nı́ ně čeho, co nenı́ naprosto př esné , ale je to stá le dost blı́zko na to, aby to bylo použ itelné . Aproximaci je mož né využ ı́t, když chybě jı́cı́ informace znemož ňujı́ zı́ská nı́ př esné ho vý sledku.

22

Ale funkce (a Lagrangeů v interpolač nı́ mnohoč len je funkcı́, která prochá zı́ vš emi uzlový mi body) nemů ž e mı́t pro jednu hodnotu 𝑥 rů zné funkč nı́ hodnoty!


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

2. Aproximace diskrétních hodnot vhodnou funkcí 2.1. Metoda nejmenších čtverců V mnoha př ı́padech má me urč itou př edstavu o povaze funkce, jejı́ž hodnoty jsme namě řili; např ı́klad se mů ž e jednat o lineá rnı́ nebo kvadratickou zá vislost. Pak hledá me mezi vš emi funkcemi tohoto zná mé ho typu takovou, která prochá zı́ k zadaný m (dř ı́ve jsme je nazý valy uzlové a pož adovali jsme, aby jimi interpolač nı́ funkce prochá zela) bodů m v jisté m smyslu „co nejblíže“.

2.1.1. Aproximace přímkou Nejprve podrobně rozebereme nejjednoduš šı́ př ı́pad — aproximaci př ı́mkou. Vý chozı́ situace je tato: Je dá no 𝑛 bodů o souř adnicı́ch [𝑥1 ; 𝑦1 ], [𝑥2 ; 𝑦2 ], [𝑥3 ; 𝑦3 ], …, [𝑥𝑛−1 ; 𝑦𝑛−1 ], [𝑥𝑛 ; 𝑦𝑛 ]. Budeme hledat př ı́mku, jejı́ž rovnice je ná sledujı́cı́ 𝑦 =𝑎+𝑏⋅𝑥,

(29)

která bude co nejlépe prochá zet mezi body [𝑥𝑖 ; 𝑦𝑖 ], kde 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. Pokud bychom uvaž ovali pouze odchylky př ı́mky od zadaný ch bodů , mohlo by se stá t (jako v levé č ásti obrá zku 24), ž e souč et chyb s kladný m znamé nkem (vzdá lenosti bodů lež ı́cı́ch pod př ı́mkou od té to př ı́mky) je stejný jako souč et chyb se zá porný m znamé nkem (vzdá lenosti bodů lež ı́cı́ch nad př ı́mkou od té to př ı́mky), takž e se navzá jem odeč tou. A nulový souč et vš ech chyb znamená , ž e chyby neexistujı́ a př ım ́ ka prochá zı́ př esně vš emi body. Což ovš em nenı́ pravda, jak je z obrá zku 24 zř ejmé . Abychom vylouč ili vzá jemné odeč ıt́ á nı́ chyb, musı́me ze zá porný ch hodnot chyb vyrobit jejich kladné protě jš ky. K tomu mů ž eme využ ı́t buď absolutnı́ hodnoty ze zá porný ch chyb nebo jejich druhý ch mocnin. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Obrá zek 24: Př ım ́ ky prochá zejı́cı́ „blı́zko“ zadaný ch bodů . Autorem obrá zků je Robert Mař ı́k.

A která z nich prochá zı́ bodů m „blı́žeji“?

Jelikož body [𝑥𝑖 ; 𝑦𝑖 ] jsou dá ny, chyba zá visı́ pouze na koe󰅮icientech př ı́mky 𝑎 a 𝑏. Ukazuje se, ž e vhodné krité rium pro urč enı́ onoho „co nejlepš ı́ho“ prochá zenı́ je, aby souč et druhý ch mocnin (neboli č tverců ) chyb v jednotlivý ch bodech byl minimá lnı́. Tedy zapsá no symbolicky: 𝑛

󰗞[(𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑥𝑖 ) − 𝑦𝑖 ]2 ⟶ min . 𝑖=1

Ze stř ednı́ š koly si mož ná pamatujete (my to budeme probı́rat v dalš ı́m semestru), ž e extré m (maximum č i minimum) funkce mů ž e nastat pouze v bodech, kde prvnı́ derivace neexistuje, nebo se rovná nule. V tomto př ı́padě má me dva promě nné koe󰅮icienty př ı́mky, proto se př i vý poč tu použ ı́vajı́ parciá lnı́


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

derivace. Ty polož ı́me rovny nule a obdrž ı́me ná sledujı́cı́ soustavu lineá rnı́ch rovnic: 𝑛

𝑎⋅𝑛

𝑛

+ 𝑏 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑦𝑖 𝑖=1 𝑛

𝑛

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅ ∑ 𝑖=1

𝑖=1

𝑥𝑖2

𝑖=1 𝑛

(30)

= ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 𝑖=1

Tuto soustavu pak vyř eš ı́me, což si uká ž eme na ná sledujı́cı́m př ı́kladu. R󰂪 eš it mů ž eme např ı́klad Gaussovou eliminač nı́ metodou, Cramerový m pravidlem č i jinak, protož e č tvercová matice té to soustavy je vž dy regulá rnı́. Příklad: Urč ete rovnici př ı́mky, která bude prochá zet co „nejblíže“ bodů m [−1; 1]

;

[0; 2]

;

[2; −2]

;

[3; −7]

.

Nejprve si zadané body př epı́šeme do tabulky, nejlé pe SVISLE, jak si uká ž eme na dalš ı́ straně . Tuto tabulku pak budeme doplň ovat potř ebný mi sloupci.


Determ. Matice

𝑥 𝑦

−1 1

0 2

Soustavy LAR

2 −2

3 −7



Posloupnosti (apl.)

𝑎 ⋅ 4 + 𝑏 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑦𝑖 Pro 4 body je ve vztazı́ch (30)

𝑛 = 4:

∀𝑖

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅ ∀𝑖

∀𝑖

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖

Vý poč ty potř ebné pro nalezenı́ koe󰅮icientů soustavy provedeme v ná sledujı́cı́ tabulce: i

𝑥𝑖

𝑦𝑖

𝑥𝑖2

𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖

1 2 3 4

−1 0 2 3

1 2 −2 −7

1 0 4 9

−1 0 −4 −21

∑

4

−6

14

−26

4 𝑎 + 4 𝑏 = −6 | ⋅ (−1) 4 𝑎 + 14 𝑏 = −26 0 + 10 𝑏 = −20 | ∶ 10 𝑏 = −2 Po dosazenı́ za

𝑏 = −2

do prvnı́ rovnice dostá vá me

4 𝑎 + 4 ⋅ (−2) = −6

a odsud

1

𝑎= . 2


Determ. Matice

𝑥 𝑦

−1 1

0 2

Soustavy LAR

2 −2

3 −7



Posloupnosti (apl.)


𝑛 = 4:

∀𝑖

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅ ∀𝑖

∀𝑖

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖


𝑥𝑖

𝑦𝑖

𝑥𝑖2


1 2 3 4

−1 0 2 3

1 2 −2 −7

1 0 4 9

−1 0 −4 −21

∑

4

−6

14

−26


𝑏 = −2


4 𝑎 + 4 ⋅ (−2) = −6

a odsud

1

𝑎= . 2


Determ. Matice

𝑥 𝑦

−1 1

0 2

Soustavy LAR

2 −2

3 −7



Posloupnosti (apl.)


𝑛 = 4:

∀𝑖

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅ ∀𝑖

∀𝑖

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖


𝑥𝑖

𝑦𝑖

𝑥𝑖2


1 2 3 4

−1 0 2 3

1 2 −2 −7

1 0 4 9

−1 0 −4 −21

∑

4

−6

14

−26


𝑏 = −2


4 𝑎 + 4 ⋅ (−2) = −6

a odsud

1

𝑎= . 2


Determ. Matice

𝑥 𝑦

−1 1

0 2

Soustavy LAR

2 −2

3 −7



Posloupnosti (apl.)


𝑛 = 4:

∀𝑖

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅ ∀𝑖

∀𝑖

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖


𝑥𝑖

𝑦𝑖

𝑥𝑖2


1 2 3 4

−1 0 2 3

1 2 −2 −7

1 0 4 9

−1 0 −4 −21

∑

4

−6

14

−26


𝑏 = −2


4 𝑎 + 4 ⋅ (−2) = −6

a odsud

1

𝑎= . 2


Determ. Matice

𝑥 𝑦

−1 1

0 2

Soustavy LAR

2 −2

3 −7



Posloupnosti (apl.)


𝑛 = 4:

∀𝑖

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅ ∀𝑖

∀𝑖

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖


𝑥𝑖

𝑦𝑖

𝑥𝑖2


1 2 3 4

−1 0 2 3

1 2 −2 −7

1 0 4 9

−1 0 −4 −21

∑

4

−6

14

−26


𝑏 = −2


4 𝑎 + 4 ⋅ (−2) = −6

a odsud

1

𝑎= . 2


Determ. Matice

𝑥 𝑦

−1 1

0 2

Soustavy LAR

2 −2

3 −7



Posloupnosti (apl.)


𝑛 = 4:

∀𝑖

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅ ∀𝑖

∀𝑖

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖


𝑥𝑖

𝑦𝑖

𝑥𝑖2


1 2 3 4

−1 0 2 3

1 2 −2 −7

1 0 4 9

−1 0 −4 −21

∑

4

−6

14

−26


𝑏 = −2


4 𝑎 + 4 ⋅ (−2) = −6

a odsud

1

𝑎= . 2


Determ. Matice

𝑥 𝑦

−1 1

0 2

Soustavy LAR

2 −2

3 −7



Posloupnosti (apl.)


𝑛 = 4:

∀𝑖

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅ ∀𝑖

∀𝑖

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖


𝑥𝑖

𝑦𝑖

𝑥𝑖2


1 2 3 4

−1 0 2 3

1 2 −2 −7

1 0 4 9

−1 0 −4 −21

∑

4

−6

14

−26


𝑏 = −2


4 𝑎 + 4 ⋅ (−2) = −6

a odsud

1

𝑎= . 2


Determ. Matice

𝑥 𝑦

−1 1

0 2

Soustavy LAR

2 −2

3 −7



Posloupnosti (apl.)


𝑛 = 4:

∀𝑖

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅ ∀𝑖

∀𝑖

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖


𝑥𝑖

𝑦𝑖

𝑥𝑖2


1 2 3 4

−1 0 2 3

1 2 −2 −7

1 0 4 9

−1 0 −4 −21

∑

4

−6

14

−26


𝑏 = −2


4 𝑎 + 4 ⋅ (−2) = −6

a odsud

1

𝑎= . 2


Determ. Matice

𝑥 𝑦

−1 1

0 2

Soustavy LAR

2 −2

3 −7



Posloupnosti (apl.)


𝑛 = 4:

∀𝑖

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅ ∀𝑖

∀𝑖

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖


𝑥𝑖

𝑦𝑖

𝑥𝑖2


1 2 3 4

−1 0 2 3

1 2 −2 −7

1 0 4 9

−1 0 −4 −21

∑

4

−6

14

−26


𝑏 = −2


4 𝑎 + 4 ⋅ (−2) = −6

a odsud

1

𝑎= . 2


Determ. Matice

𝑥 𝑦

−1 1

0 2

Soustavy LAR

2 −2

3 −7



Posloupnosti (apl.)


𝑛 = 4:

∀𝑖

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅ ∀𝑖

∀𝑖

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖


𝑥𝑖

𝑦𝑖

𝑥𝑖2


1 2 3 4

−1 0 2 3

1 2 −2 −7

1 0 4 9

−1 0 −4 −21

∑

4

−6

14

−26


𝑏 = −2


4 𝑎 + 4 ⋅ (−2) = −6

a odsud

1

𝑎= . 2


Determ. Matice

𝑥 𝑦

−1 1

0 2

Soustavy LAR

2 −2

3 −7



Posloupnosti (apl.)


𝑛 = 4:

∀𝑖

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅ ∀𝑖

∀𝑖

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖


𝑥𝑖

𝑦𝑖

𝑥𝑖2


1 2 3 4

−1 0 2 3

1 2 −2 −7

1 0 4 9

−1 0 −4 −21

∑

4

−6

14

−26


𝑏 = −2


4 𝑎 + 4 ⋅ (−2) = −6

a odsud

1

𝑎= . 2

Aproximač nı́ př ı́mka (29) má rovnici:

𝑦 = 0, 5 − 2 𝑥 .


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

2.1.2. Aproximace parabolou Budeme postupovat analogicky jako v př ı́padě lineá rnı́ho vyrovná nı́. Hledá me parabolu, která má rovnici: 𝑦 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑥 + 𝑐 ⋅ 𝑥2

𝑦 = 𝑎 ⋅ 𝑥0 + 𝑏 ⋅ 𝑥 + 𝑐 ⋅ 𝑥2 .

nebo také

(31)

Jelikož body [𝑥𝑖 ; 𝑦𝑖 ] jsou dá ny, chyba zá visı́ pouze na koe󰅮icientech paraboly 𝑎, 𝑏 a 𝑐. Stejně jako u lineá rnı́ho vyrovná nı́ se ukazuje, ž e vhodné krité rium pro urč enı́ onoho „co nejlepš ı́ho“ prochá zenı́ je, aby souč et druhý ch mocnin (neboli č tverců ) chyb v jednotlivý ch bodech byl minimá lnı́. Tedy: 𝑛

󰗞[(𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑥𝑖 + 𝑐 ⋅ 𝑥𝑖2 ) − 𝑦𝑖 ]2 ⟶ min . 𝑖=1 𝑛

Parciá lnı́ derivace podle promě nný ch 𝑎, 𝑏 a 𝑐 polož ı́me rovny nule a dostaneme (kde 𝑎 ⋅ ∑ 𝑥 0 = 𝑎 ⋅ 𝑛 ): 𝑖=1 𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

𝑎⋅𝑛

+ 𝑏 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑐 ⋅ ∑ 𝑥𝑖2 = ∑ 𝑦𝑖

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅ ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑐 ⋅ ∑ 𝑥𝑖3 = ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖

(32)

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑏 ⋅ ∑ 𝑥𝑖3 + 𝑐 ⋅ ∑ 𝑥𝑖4 = ∑ 𝑥𝑖2 ⋅ 𝑦𝑖 Tuto soustavu lineá rnı́ch rovnic vyř eš ı́me.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Příklad. Vezmeme stejné body, [−1; 1]

[0; 2]

[2; −2]

[3; −7]

jako v minulé m př ı́kladu. Teď pož adujeme najı́t mnohoč len druhé ho stupně (kvadratický trojč len, jehož grafem je parabola) tak, aby jeho graf prochá zel „co nejblíže“ zadaný m bodů m. Tak jako v př edchozı́m budeme pomocné vý poč ty zapisovat do tabulky. A protož e má me zadané stejné body jako v př edchozı́m př ı́padě , zá klad tabulky již má me hotov. Jenom ji doplnı́me o dalš ı́ potř ebné sloupce.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

𝑎 ⋅ 4 + 𝑏 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑐 ⋅ ∑ 𝑥𝑖2 = ∑ 𝑦𝑖 𝑥 𝑦

−1 1

0 2

2 −2

3 −7

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅

př edchozı́ vý poč et

∀𝑖

𝑎⋅ i

𝑥𝑖

𝑦𝑖

𝑥𝑖2


𝑥𝑖3

𝑥𝑖4

𝑥𝑖2 ⋅ 𝑦𝑖

1 2 3 4

−1 0 2 3

1 2 −2 −7

1 0 4 9

−1 0 −4 −21

−1 0 8 27

1 0 16 81

1 0 −8 −63

∑

4

−6

14

−26

34

98

−70

−6 −26 −70 𝑎= 4 4 14

4 14 34 4 14 34

14 34 98 14 34 98

=

720 360

4 4 14 = 2; 𝑏 = 4 4 14

−6 −26 −70 4 14 34

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖

+𝑏⋅

∀𝑖

∀𝑖

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖 ∑ 𝑥𝑖3 ∀𝑖

∑ 𝑥𝑖3 ∀𝑖 ∑ 𝑥𝑖4 ∀𝑖

+𝑐⋅ +𝑐⋅

∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖2 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖

4 𝑎 + 4 𝑏 + 14 𝑐 = −6 4 𝑎 + 14 𝑏 + 34 𝑐 = −26 14 𝑎 + 34 𝑏 + 98 𝑐 = −70 Soustavu budeme ř eš it Cramerový m pravidlem:

14 34 98 = 14 34 98

0 360

= 0; 𝑐 =

4 4 −6 4 14 −26 14 34 −70 4 4 14 4 14 34 14 34 98

=

−360 360

= −1


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

𝑎 ⋅ 4 + 𝑏 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑐 ⋅ ∑ 𝑥𝑖2 = ∑ 𝑦𝑖 𝑥 𝑦

−1 1

0 2

2 −2

3 −7

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅


∀𝑖

𝑎⋅ i

𝑥𝑖

𝑦𝑖

𝑥𝑖2


𝑥𝑖3

𝑥𝑖4


1 2 3 4

−1 0 2 3

1 2 −2 −7

1 0 4 9

−1 0 −4 −21

−1 0 8 27

1 0 16 81

1 0 −8 −63

∑

4

−6

14

−26

34

98

−70

−6 −26 −70 𝑎= 4 4 14

4 14 34 4 14 34

14 34 98 14 34 98

=

720 360

4 4 14 = 2; 𝑏 = 4 4 14

−6 −26 −70 4 14 34

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖

+𝑏⋅

∀𝑖

∀𝑖

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖 ∑ 𝑥𝑖3 ∀𝑖

∑ 𝑥𝑖3 ∀𝑖 ∑ 𝑥𝑖4 ∀𝑖

+𝑐⋅ +𝑐⋅

∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖2 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖


14 34 98 = 14 34 98

0 360

= 0; 𝑐 =

4 4 −6 4 14 −26 14 34 −70 4 4 14 4 14 34 14 34 98

=

−360 360

= −1


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

𝑎 ⋅ 4 + 𝑏 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑐 ⋅ ∑ 𝑥𝑖2 = ∑ 𝑦𝑖 𝑥 𝑦

−1 1

0 2

2 −2

3 −7

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅


∀𝑖

𝑎⋅ i

𝑥𝑖

𝑦𝑖

𝑥𝑖2


𝑥𝑖3

𝑥𝑖4


1 2 3 4

−1 0 2 3

1 2 −2 −7

1 0 4 9

−1 0 −4 −21

−1 0 8 27

1 0 16 81

1 0 −8 −63

∑

4

−6

14

−26

34

98

−70

−6 −26 −70 𝑎= 4 4 14

4 14 34 4 14 34

14 34 98 14 34 98

=

720 360

4 4 14 = 2; 𝑏 = 4 4 14

−6 −26 −70 4 14 34

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖

+𝑏⋅

∀𝑖

∀𝑖

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖 ∑ 𝑥𝑖3 ∀𝑖

∑ 𝑥𝑖3 ∀𝑖 ∑ 𝑥𝑖4 ∀𝑖

+𝑐⋅ +𝑐⋅

∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖2 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖


14 34 98 = 14 34 98

0 360

= 0; 𝑐 =

4 4 −6 4 14 −26 14 34 −70 4 4 14 4 14 34 14 34 98

=

−360 360

= −1


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

𝑎 ⋅ 4 + 𝑏 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑐 ⋅ ∑ 𝑥𝑖2 = ∑ 𝑦𝑖 𝑥 𝑦

−1 1

0 2

2 −2

3 −7

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅


∀𝑖

𝑎⋅ i

𝑥𝑖

𝑦𝑖

𝑥𝑖2


𝑥𝑖3

𝑥𝑖4


1 2 3 4

−1 0 2 3

1 2 −2 −7

1 0 4 9

−1 0 −4 −21

−1 0 8 27

1 0 16 81

1 0 −8 −63

∑

4

−6

14

−26

34

98

−70

−6 −26 −70 𝑎= 4 4 14

4 14 34 4 14 34

14 34 98 14 34 98

=

720 360

4 4 14 = 2; 𝑏 = 4 4 14

−6 −26 −70 4 14 34

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖

+𝑏⋅

∀𝑖

∀𝑖

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖 ∑ 𝑥𝑖3 ∀𝑖

∑ 𝑥𝑖3 ∀𝑖 ∑ 𝑥𝑖4 ∀𝑖

+𝑐⋅ +𝑐⋅

∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖2 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖


14 34 98 = 14 34 98

0 360

= 0; 𝑐 =

4 4 −6 4 14 −26 14 34 −70 4 4 14 4 14 34 14 34 98

=

−360 360

= −1


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

𝑎 ⋅ 4 + 𝑏 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑐 ⋅ ∑ 𝑥𝑖2 = ∑ 𝑦𝑖 𝑥 𝑦

−1 1

0 2

2 −2

3 −7

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅


∀𝑖

𝑎⋅ i

𝑥𝑖

𝑦𝑖

𝑥𝑖2


𝑥𝑖3

𝑥𝑖4


1 2 3 4

−1 0 2 3

1 2 −2 −7

1 0 4 9

−1 0 −4 −21

−1 0 8 27

1 0 16 81

1 0 −8 −63

∑

4

−6

14

−26

34

98

−70

−6 −26 −70 𝑎= 4 4 14

4 14 34 4 14 34

14 34 98 14 34 98

=

720 360

4 4 14 = 2; 𝑏 = 4 4 14

−6 −26 −70 4 14 34

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖

+𝑏⋅

∀𝑖

∀𝑖

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖 ∑ 𝑥𝑖3 ∀𝑖

∑ 𝑥𝑖3 ∀𝑖 ∑ 𝑥𝑖4 ∀𝑖

+𝑐⋅ +𝑐⋅

∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖2 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖


14 34 98 = 14 34 98

0 360

= 0; 𝑐 =

4 4 −6 4 14 −26 14 34 −70 4 4 14 4 14 34 14 34 98

=

−360 360

= −1


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

𝑎 ⋅ 4 + 𝑏 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑐 ⋅ ∑ 𝑥𝑖2 = ∑ 𝑦𝑖 𝑥 𝑦

−1 1

0 2

2 −2

3 −7

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅


∀𝑖

𝑎⋅ i

𝑥𝑖

𝑦𝑖

𝑥𝑖2


𝑥𝑖3

𝑥𝑖4


1 2 3 4

−1 0 2 3

1 2 −2 −7

1 0 4 9

−1 0 −4 −21

−1 0 8 27

1 0 16 81

1 0 −8 −63

∑

4

−6

14

−26

34

98

−70

−6 −26 −70 𝑎= 4 4 14

4 14 34 4 14 34

14 34 98 14 34 98

=

720 360

4 4 14 = 2; 𝑏 = 4 4 14

−6 −26 −70 4 14 34

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖

+𝑏⋅

∀𝑖

∀𝑖

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖 ∑ 𝑥𝑖3 ∀𝑖

∑ 𝑥𝑖3 ∀𝑖 ∑ 𝑥𝑖4 ∀𝑖

+𝑐⋅ +𝑐⋅

∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖2 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖


14 34 98 = 14 34 98

0 360

= 0; 𝑐 =

4 4 −6 4 14 −26 14 34 −70 4 4 14 4 14 34 14 34 98

=

−360 360

= −1


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

𝑎 ⋅ 4 + 𝑏 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑐 ⋅ ∑ 𝑥𝑖2 = ∑ 𝑦𝑖 𝑥 𝑦

−1 1

0 2

2 −2

3 −7

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅


∀𝑖

𝑎⋅ i

𝑥𝑖

𝑦𝑖

𝑥𝑖2


𝑥𝑖3

𝑥𝑖4


1 2 3 4

−1 0 2 3

1 2 −2 −7

1 0 4 9

−1 0 −4 −21

−1 0 8 27

1 0 16 81

1 0 −8 −63

∑

4

−6

14

−26

34

98

−70

−6 −26 −70 𝑎= 4 4 14

4 14 34 4 14 34

14 34 98 14 34 98

=

720 360

4 4 14 = 2; 𝑏 = 4 4 14

−6 −26 −70 4 14 34

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖

+𝑏⋅

∀𝑖

∀𝑖

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖 ∑ 𝑥𝑖3 ∀𝑖

∑ 𝑥𝑖3 ∀𝑖 ∑ 𝑥𝑖4 ∀𝑖

+𝑐⋅ +𝑐⋅

∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖2 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖


14 34 98 = 14 34 98

0 360

= 0; 𝑐 =

4 4 −6 4 14 −26 14 34 −70 4 4 14 4 14 34 14 34 98

=

−360 360

= −1


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

𝑎 ⋅ 4 + 𝑏 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑐 ⋅ ∑ 𝑥𝑖2 = ∑ 𝑦𝑖 𝑥 𝑦

−1 1

0 2

2 −2

3 −7

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅


∀𝑖

𝑎⋅ i

𝑥𝑖

𝑦𝑖

𝑥𝑖2


𝑥𝑖3

𝑥𝑖4


1 2 3 4

−1 0 2 3

1 2 −2 −7

1 0 4 9

−1 0 −4 −21

−1 0 8 27

1 0 16 81

1 0 −8 −63

∑

4

−6

14

−26

34

98

−70

−6 −26 −70 𝑎= 4 4 14

4 14 34 4 14 34

14 34 98 14 34 98

=

720 360

4 4 14 = 2; 𝑏 = 4 4 14

−6 −26 −70 4 14 34

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖

+𝑏⋅

∀𝑖

∀𝑖

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖 ∑ 𝑥𝑖3 ∀𝑖

∑ 𝑥𝑖3 ∀𝑖 ∑ 𝑥𝑖4 ∀𝑖

+𝑐⋅ +𝑐⋅

∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖2 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖


14 34 98 = 14 34 98

0 360

= 0; 𝑐 =

4 4 −6 4 14 −26 14 34 −70 4 4 14 4 14 34 14 34 98

=

−360 360

= −1


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

𝑎 ⋅ 4 + 𝑏 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑐 ⋅ ∑ 𝑥𝑖2 = ∑ 𝑦𝑖 𝑥 𝑦

−1 1

0 2

2 −2

3 −7

𝑎 ⋅ ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏 ⋅


∀𝑖

𝑎⋅ i

𝑥𝑖

𝑦𝑖

𝑥𝑖2


𝑥𝑖3

𝑥𝑖4


1 2 3 4

−1 0 2 3

1 2 −2 −7

1 0 4 9

−1 0 −4 −21

−1 0 8 27

1 0 16 81

1 0 −8 −63

∑

4

−6

14

−26

34

98

−70

−6 −26 −70 𝑎= 4 4 14

4 14 34 4 14 34

14 34 98 14 34 98

=

720 360

4 4 14 = 2; 𝑏 = 4 4 14

−6 −26 −70 4 14 34

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖

+𝑏⋅

∀𝑖

∀𝑖

∑ 𝑥𝑖2 ∀𝑖 ∑ 𝑥𝑖3 ∀𝑖

∑ 𝑥𝑖3 ∀𝑖 ∑ 𝑥𝑖4 ∀𝑖

+𝑐⋅ +𝑐⋅

∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖

= ∑ 𝑥𝑖2 ⋅ 𝑦𝑖 ∀𝑖


14 34 98 = 14 34 98

0 360

= 0; 𝑐 =

Aproximač nı́ parabola (31) má rovnici:

4 4 −6 4 14 −26 14 34 −70 4 4 14 4 14 34 14 34 98

=

−360 360

= −1

𝑦 = 2 − 𝑥2 .


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Obrá zek 25: Metoda nejmenš ı́ch č tverců

Zadané body, aproximač nı́ př ı́mka, aproximač nı́ parabola To, ž e parabola prochá zı́ vš emi zadaný mi body, je jenom ná hoda. Obecně nemusı́ prochá zet ani jediný m, ale „dostateč ně blı́zko“ vš ech, tak jako modrá př ı́mka. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

2.2. Poznámka k metodě nejmenších čtverců Uvedená metoda je v praxi natolik použ ı́vá na, ž e jak ně které komerč nı́ programy (např ık ́ lad Excel, Mathematica, Matlab, MathCad, …) tak jejich freewarové alternativy (např ı́klad GNUplot) hledajı́ aproximač nı́ funkce pouze na zá kladě ná mi zadaný ch diskré tnı́ch bodů . Vš e ostatnı́ již prová dě jı́ samostatně , bez naš eho př ič ině nı́. Konkré tně v programu Excel 2010 postupujeme ná sledovně : 1. Zadané hodnoty označ ım ́ e jako blok. 2. Potom na kartě [Vložení] v oblasti „Grafy“ vybereme 3. Nakonec na kartě [Nástroje grafu] v zá lož ce „Rozložení“ v oblasti a polož ce „Spojnice trendu“ vybereme [Další možnosti spojnice trendu]


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Po př ı́padné m dalš ı́m upř esně nı́ (např ı́klad jaká má bý t barva č ar, zda pož adujeme v grafu vypisovat vý slednou rovnici /v levé m obrá zku druhá volba od spodu/, …) se již vykreslı́ pož adovaný graf.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Posloupnosti a jejich aplikace v bankovnictví


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Obsah kapitoly: Posloupnosti a jejich aplikace v bankovnictví 1. Posloupnosti 1.1. Způ soby zadá vá nı́ posloupnostı́ . . . . . . 1.1.1. Grafem, tabulkou, vý čtem prvků . . 1.1.2. Rekurentnı́m vztahem . . . . . . . . 1.1.3. Vzorcem pro obecný č len . . . . . . 1.2. Aritmetická posloupnost . . . . . . . . . . . 1.3. Geometrická posloupnost . . . . . . . . . . 1.3.1. Aplikace geometrické posloupnosti Dvojková č ı́selná soustava . . . Vý poč et ú roků . . . . . . . . . . 2. Bankovní produkty 2.1. Vklady . . . 2.2. Spoř enı́ . . . 2.3. Dů chody . . 2.4. U󰂦 vě ry . . . . 2.5. Př ı́klady . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

382 384 384 385 385 386 387 388 388 399

. . . . .

401 402 403 404 405 406


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

1. Posloupnosti Až doposud jsme si vš ı́mali nejrů zně jš ı́ch funkcı́. Také nynı́ se zamě řı́me na funkce, a to speciá lnı́, jejichž de󰅮inič nı́m oborem jsou vš echna př irozená č ı́sla. Takové funkce nazveme posloupnosti. To znamená , ž e doká ž eme jejich prvky „oč ı́slovat“, urč it jejich poř adı́ (který je prvnı́, který druhý, atd.).

Posloupností reálných čísel (dá le jen posloupností) budeme nazý vat funkci, jejı́mž de󰅮inič nı́m oborem je množ ina vš ech př irozený ch č ı́sel ℕ. C󰂪 leny posloupnosti (jejı́ prvky ⟹ reá lná č ı́sla) zapisujeme do slož ený ch {svorkový ch} zá vorek. Příklad: {𝟏, 𝟒, 𝟕, 𝟏𝟎, 𝟏𝟑, …} je př ı́kladem posloupnosti, u které jsme vyjmenovali prvnı́ch pě t jejı́ch prvků (č lenů posloupnosti) tak, jak jdou po sobě . Zajisté doká ž ete ř ı́ci, jak by tato posloupnost pokrač ovala, jaká je mezi jejı́mi č leny zá konitost. Má me zadá n prvnı́ č len 1, druhý č len 4, tř etı́ 7, č tvrtý 10, pá tý 13 a zř ejmě š estý č len bude 16, protož e kaž dý dalš ı́ č len dostaneme tak, ž e k př edchozı́mu př ič teme TROJKU. Jistě si vzpomı́ná te, ž e funkci

f

lze zadat:

• grafem, ze které ho odeč teme souř adnice potř ebný ch bodů do tabulky; • tabulkou, na zá kladě které lze buď nač rtnout graf nebo interpolacı́ zı́skat př edpis funkce, která vš emi daný mi body prochá zı́; • př edpisem (vztahem, vzorcem), který kaž dé mu 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) př iř azuje Vypoč tené hodnoty pak mů ž eme zapsat do tabulky.

prá vě jedno 𝑦 ∈ 𝐻(𝑓) .


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

V př ı́padě posloupnostı́ je to stejné . Také posloupnost lze zadat: • grafem ⟹ grafem posloupnosti jsou navzá jem izolované body. Tohle je graf př edchozı́ho př ı́kladu.

• tabulkou ⟹ výčtem prvků • př edpisem (vztahem, vzorcem), který m se zpravidla zadá vá prvek (č len posloupnosti, který stojı́ na mı́stě 𝑛, označ ujeme podobně jako u matic pomocı́ jednoho indexu /protož e urč uje pouze poř adı́/ tedy např ı́klad 𝑎𝑛 ) jednı́m z ná sledujı́cı́ch způ sobů : rekurentně zadá nı́m prvnı́ho (vý jimeč ně Ntého) č lenu posloupnosti nebo ně kolika prvnı́ch č lenů posloupnosti a vzorcem, podle ně hož lze urč it dalš ı́ č leny pomocı́ př edchozı́ch č lenů ; například: 𝑎1 = 1 , 𝑎2 = 3 , 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 , pro 𝑛 ≥ 2; vzorcem pro 𝑛. člen — prvek posloupnosti, který je n. v poř adı́, tedy například: 𝑎𝑛 = (−1)𝑛+1 ⋅ √3 .

𝑛

je př irozené ;

Nynı́ si uká ž eme, jak z grafu mů ž eme popsat posloupnost jiný m způ sobem, tak jako u funkcı́. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

1.1. Způsoby zadávání posloupností 1.1.1. Grafem, tabulkou, výčtem prvků

Jednotlivé body [1; 1] [2; 4] [3; 7] [4; 10] [5; 13] , který mi je tvoř en graf posloupnosti, mů ž eme zapsat např ı́klad do ná sledujı́cı́ tabulky:

POR󰂪 ADI󰂦 prvku posloupnosti

1

2

3

4

5

…

HODNOTA prvku posloupnosti 1 4 7 10 13 … Je zř ejmé , ž e pro vš echny mož né posloupnosti budou mı́t jejich tabulky stejný prvnı́ ř ádek. Proto uvedenou tabulku zjednoduš ı́me tak, ž e vypı́šeme jen jejı́ druhý ř ádek, který navı́c uzavř eme do slož ený ch {svorkový ch} zá vorek. Novou (zjednoduš enou) „tabulku“ {𝟏, 𝟒, 𝟕, 𝟏𝟎, 𝟏𝟑, …} pak nazý vá me také výčet prvků.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

1.1.2. Rekurentním vztahem Jak jsme již uvedli v př ı́kladu, kaž dý ná sledujı́cı́ č len té to posloupnosti dostaneme tak, když k jeho př edchozı́mu č lenu př ič teme č ı́slo tři, což mů ž eme (pro ná sledujı́cı́ č len) vyjá dř it symbolicky:

𝑎1 = 1 ,

𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 3

1.1.3. Vzorcem pro obecný člen Pokud budeme chtı́t toté ž vyjá dř it pro obecný č len 𝑎𝑛 pouze v zá vislosti na 𝑛 (tedy na poř adı́ dané ho č lenu), využ ijeme skuteč nosti, ž e: První člen posloupnosti 𝐚𝟏 = 𝟏. To také mů ž eme zapsat: 𝐚𝟏 = 𝟏+({1} − 1) ⋅ 𝑐𝑜𝑘𝑜𝑙𝑖𝑣 = 1 + (0) ⋅ 𝑐𝑜𝑘𝑜𝑙𝑖𝑣 = 1 + 0 = 1. Jednič ka ve slož ený ch zá vorká ch teď pro ná s bude př edstavovat poř adı́ dané ho č lenu, tedy 𝑛 = 1. Druhý člen posloupnosti 𝐚𝟐 = 𝟒 dostaneme tak, když k prvnı́mu č lenu (𝑎1 = 1) př ič teme trojku. Proto v č ervené m vztahu jednič ku ve slož ený ch zá vorká ch (př edstavujı́cı́ 𝑛) nahradı́me dvojkou a vý raz 𝑐𝑜𝑘𝑜𝑙𝑖𝑣 nahradı́me trojkou (tı́m co př ič ı́tá me): 𝑎2 = 1 + ({2} − 1) ⋅ 3 = 1 + 1 ⋅ 3 = 4. Třetí člen posloupnosti 𝐚𝟑 = 𝟕 zkusı́me analogicky: 𝑎3 = 1 + ({3} − 1) ⋅ 3 = 1 + 2 ⋅ 3 = 1 + 6 = 7. Odtud plyne: Obecný 𝑛. člen posloupnosti

𝑎𝑛 = 1 + (𝑛 − 1) ⋅ 3

Ově řte i pro jiná 𝑛.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

A nynı́ se struč ně zmı́nı́me o posloupnostech zná mý ch ze stř ednı́ š koly, a to — aritmetické a geometrické posloupnosti.

1.2. Aritmetická posloupnost Aritmetická posloupnost má stá lý rozdı́l mezi sousednı́mi č leny. Tento rozdı́l mezi libovolný m č lenem kromě prvnı́ho a př edchá zejı́cı́m č lenem se obvykle znač ı́ 𝑑 a nazý vá diference.

Diference

𝑑 = 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛

Rekurentní zadání

𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑑

Zadání obecného členu

Součet prvních 𝑛 členů

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ⋅ 𝑑

𝑠𝑛 =

𝑛 ⋅ (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) 2


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

1.3. Geometrická posloupnost U geometrické posloupnosti je kaž dý č len kromě prvnı́ho stá lý m ná sobkem př edchozı́ho č lenu. Tento ná sobek se obvykle znač ı́ 𝑞 a nazý vá kvocient geometrické posloupnosti. Pro posloupnosti s nenulový mi č leny je 𝑞 rovno podı́lu libovolné ho č lenu kromě prvnı́ho a č lenu př edchozı́ho.

Kvocient

Rekurentní zadání

𝑞=

𝑎𝑛+1 𝑎𝑛

𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑞

Zadání obecného členu

𝑎𝑛 = 𝑎1 ⋅ 𝑞 𝑛−1

Součet prvních 𝑛 členů

𝑠𝑛 = 𝑎1 ⋅

nebo

𝑞 𝑛 −1 𝑞−1

1 − 𝑞𝑛 𝑠𝑛 = 𝑎1 ⋅ 1−𝑞


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

1.3.1. Aplikace geometrické posloupnosti Dvojková číselná soustava Číselná soustava je způ sob vyjádření čísel. Podle způ sobu určení hodnoty čísla rozliš ujeme dva hlavnı́ druhy č ı́selný ch soustav: Poziční č ı́selné soustavy, které jsou charakterizová ny tzv. zá kladem nebo-li bá zı́, což je obvykle kladné celé č ı́slo de󰅮inujı́cı́ maximá lnı́ poč et č ı́slic, které jsou v dané soustavě k dispozici. C󰂪 ı́slo v nich zapsané lze vyjá dř it souč tem mocnin zá kladu dané soustavy vyná sobený ch př ı́sluš ný mi platný mi č ıś licemi. Jedná se tedy o geometrickou posloupnost, jejı́ž kvocient je př edstavová n bá zı́ č ı́selné soustavy. Pokud je zá kladem č ı́slo 2, hovoř ı́me o dvojkové (biná rnı́) soustavě , která je prostř ednictvı́m logický ch č lenů (proud prochá zı́×neprochá zı́) př ı́mo implementová na v digitá lnı́ch elektronický ch obvodech. Tedy interně ji použ ı́vajı́ vš echny bě žné digitá lnı́ poč ı́tač e. Nepoziční č ıś elné soustavy, pro které je charakteristická skuteč nost, ž e hodnota č ı́slice je daná jejı́m symbolem a nezá visı́ na jejı́ pozici v zapsané m č ı́sle. Asi nejzná mně jš ı́ jsou římské číslice, kdy č ı́sla zapisujeme pomocı́ pı́smen abecedy. Potom 𝐢𝐢𝐢 = 1 + 1 + 1 = 3 , ale 111 = sto (102 ) + deset (101 ) + jedna (100 ) .

Dvojková soustava (nebo také biná rnı́ soustava) je č ı́selná soustava, která použ ı́vá pouze dva symboly: NULU a JEDNIC󰂪 KU. Je to pozič nı́ č ı́selná soustava mocnin č ı́sla 2. Abychom se nespletli, v jaké č ı́selné soustavě se vlastně pohybujeme, zapisujeme daná č ı́sla do zá vorek a př idá me index, který označ uje zá klad dané č ı́selné soustavy. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

V př emě tu „Základy informačních systémů“ budete č asto př evá dě t č ı́sla zapsaná ve dvojkové (biná rnı́) soustavě do desı́tkové (dekadické ) soustavy a naopak. Např ı́klad:

( 1101 0110 )2 = ( 214 )10 , protož e platı́:

( 1101 0110 )2 = 1 ⋅ 𝟐𝟕 + 1 ⋅ 𝟐𝟔 + 0⋅𝟐𝟓 + 1 ⋅ 𝟐𝟒

+

0 ⋅ 𝟐𝟑 + 1 ⋅ 𝟐𝟐 + 1 ⋅ 𝟐𝟏 + 0 ⋅ 𝟐𝟎 =

= 1 ⋅ 128 + 1 ⋅ 64 + 0 ⋅ 32 + 1 ⋅ 16 + 0 ⋅ 8 + 1 ⋅ 4 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 1 = 128 + 64 + 16 + 4 + 2 = ( 214 )10 V tomto př ı́padě vlastně hledá me (např ı́klad Hornerový m sché matem) funkč nı́ hodnotu mnohoč lenu: 𝑃(𝑥) = 𝑥 7 + 𝑥 6 + 𝑥 4 + 𝑥 2 + 𝑥 v č ı́sle DVA. Tedy:

𝑃(2) = 214

( 𝟏𝟏𝟎𝟏 𝟎𝟏𝟏𝟎 )2

1

2

1

1 2 ⋅1 + 1 3

0 2 ⋅3 + 0 6

1 2 ⋅6 + 1 13

0 2 ⋅13 + 0 26

1 2 ⋅26 + 1 53

1 2 ⋅53 + 1 107

0 2 ⋅107 + 0 ( 𝟐𝟏𝟒 )10


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


( 1101 0110 )2 = ( 214 )10 , protož e platı́:

( 1101 0110 )2 = 1 ⋅ 𝟐𝟕 + 1 ⋅ 𝟐𝟔 + 0⋅𝟐𝟓 + 1 ⋅ 𝟐𝟒

+

0 ⋅ 𝟐𝟑 + 1 ⋅ 𝟐𝟐 + 1 ⋅ 𝟐𝟏 + 0 ⋅ 𝟐𝟎 =


𝑃(2) = 214

( 𝟏𝟏𝟎𝟏 𝟎𝟏𝟏𝟎 )2

1

2

1

1 2 ⋅1 + 1 3

0 2 ⋅3 + 0 6

1 2 ⋅6 + 1 13

0 2 ⋅13 + 0 26

1 2 ⋅26 + 1 53

1 2 ⋅53 + 1 107

0 2 ⋅107 + 0 ( 𝟐𝟏𝟒 )10


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


( 1101 0110 )2 = ( 214 )10 , protož e platı́:

( 1101 0110 )2 = 1 ⋅ 𝟐𝟕 + 1 ⋅ 𝟐𝟔 + 0⋅𝟐𝟓 + 1 ⋅ 𝟐𝟒

+

0 ⋅ 𝟐𝟑 + 1 ⋅ 𝟐𝟐 + 1 ⋅ 𝟐𝟏 + 0 ⋅ 𝟐𝟎 =


𝑃(2) = 214

( 𝟏𝟏𝟎𝟏 𝟎𝟏𝟏𝟎 )2

1

2

1

1 2 ⋅1 + 1 3

0 2 ⋅3 + 0 6

1 2 ⋅6 + 1 13

0 2 ⋅13 + 0 26

1 2 ⋅26 + 1 53

1 2 ⋅53 + 1 107

0 2 ⋅107 + 0 ( 𝟐𝟏𝟒 )10


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


( 1101 0110 )2 = ( 214 )10 , protož e platı́:

( 1101 0110 )2 = 1 ⋅ 𝟐𝟕 + 1 ⋅ 𝟐𝟔 + 0⋅𝟐𝟓 + 1 ⋅ 𝟐𝟒

+

0 ⋅ 𝟐𝟑 + 1 ⋅ 𝟐𝟐 + 1 ⋅ 𝟐𝟏 + 0 ⋅ 𝟐𝟎 =


𝑃(2) = 214

( 𝟏𝟏𝟎𝟏 𝟎𝟏𝟏𝟎 )2

1

2

1

1 2 ⋅1 + 1 3

0 2 ⋅3 + 0 6

1 2 ⋅6 + 1 13

0 2 ⋅13 + 0 26

1 2 ⋅26 + 1 53

1 2 ⋅53 + 1 107

0 2 ⋅107 + 0 ( 𝟐𝟏𝟒 )10


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


( 1101 0110 )2 = ( 214 )10 , protož e platı́:

( 1101 0110 )2 = 1 ⋅ 𝟐𝟕 + 1 ⋅ 𝟐𝟔 + 0⋅𝟐𝟓 + 1 ⋅ 𝟐𝟒

+

0 ⋅ 𝟐𝟑 + 1 ⋅ 𝟐𝟐 + 1 ⋅ 𝟐𝟏 + 0 ⋅ 𝟐𝟎 =


𝑃(2) = 214

( 𝟏𝟏𝟎𝟏 𝟎𝟏𝟏𝟎 )2

1

2

1

1 2 ⋅1 + 1 3

0 2 ⋅3 + 0 6

1 2 ⋅6 + 1 13

0 2 ⋅13 + 0 26

1 2 ⋅26 + 1 53

1 2 ⋅53 + 1 107

0 2 ⋅107 + 0 ( 𝟐𝟏𝟒 )10


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


( 1101 0110 )2 = ( 214 )10 , protož e platı́:

( 1101 0110 )2 = 1 ⋅ 𝟐𝟕 + 1 ⋅ 𝟐𝟔 + 0⋅𝟐𝟓 + 1 ⋅ 𝟐𝟒

+

0 ⋅ 𝟐𝟑 + 1 ⋅ 𝟐𝟐 + 1 ⋅ 𝟐𝟏 + 0 ⋅ 𝟐𝟎 =


𝑃(2) = 214

( 𝟏𝟏𝟎𝟏 𝟎𝟏𝟏𝟎 )2

1

2

1

1 2 ⋅1 + 1 3

0 2 ⋅3 + 0 6

1 2 ⋅6 + 1 13

0 2 ⋅13 + 0 26

1 2 ⋅26 + 1 53

1 2 ⋅53 + 1 107

0 2 ⋅107 + 0 ( 𝟐𝟏𝟒 )10


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


( 1101 0110 )2 = ( 214 )10 , protož e platı́:

( 1101 0110 )2 = 1 ⋅ 𝟐𝟕 + 1 ⋅ 𝟐𝟔 + 0⋅𝟐𝟓 + 1 ⋅ 𝟐𝟒

+

0 ⋅ 𝟐𝟑 + 1 ⋅ 𝟐𝟐 + 1 ⋅ 𝟐𝟏 + 0 ⋅ 𝟐𝟎 =


𝑃(2) = 214

( 𝟏𝟏𝟎𝟏 𝟎𝟏𝟏𝟎 )2

1

2

1

1 2 ⋅1 + 1 3

0 2 ⋅3 + 0 6

1 2 ⋅6 + 1 13

0 2 ⋅13 + 0 26

1 2 ⋅26 + 1 53

1 2 ⋅53 + 1 107

0 2 ⋅107 + 0 ( 𝟐𝟏𝟒 )10


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


( 1101 0110 )2 = ( 214 )10 , protož e platı́:

( 1101 0110 )2 = 1 ⋅ 𝟐𝟕 + 1 ⋅ 𝟐𝟔 + 0⋅𝟐𝟓 + 1 ⋅ 𝟐𝟒

+

0 ⋅ 𝟐𝟑 + 1 ⋅ 𝟐𝟐 + 1 ⋅ 𝟐𝟏 + 0 ⋅ 𝟐𝟎 =


𝑃(2) = 214

( 𝟏𝟏𝟎𝟏 𝟎𝟏𝟏𝟎 )2

1

2

1

1 2 ⋅1 + 1 3

0 2 ⋅3 + 0 6

1 2 ⋅6 + 1 13

0 2 ⋅13 + 0 26

1 2 ⋅26 + 1 53

1 2 ⋅53 + 1 107

0 2 ⋅107 + 0 ( 𝟐𝟏𝟒 )10


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)


( 1101 0110 )2 = ( 214 )10 , protož e platı́:

( 1101 0110 )2 = 1 ⋅ 𝟐𝟕 + 1 ⋅ 𝟐𝟔 + 0⋅𝟐𝟓 + 1 ⋅ 𝟐𝟒

0 ⋅ 𝟐𝟑 + 1 ⋅ 𝟐𝟐 + 1 ⋅ 𝟐𝟏 + 0 ⋅ 𝟐𝟎 =

+


𝑃(2) = 214

( 𝟏𝟏𝟎𝟏 𝟎𝟏𝟏𝟎 )2

1

2

1

1 2 ⋅1 + 1 3

0 2 ⋅3 + 0 6

1 2 ⋅6 + 1 13

0 2 ⋅13 + 0 26

1 2 ⋅26 + 1 53

1 2 ⋅53 + 1 107

0 2 ⋅107 + 0 ( 𝟐𝟏𝟒 )10

Pokud ná m Hornerovo sché ma „nepřirostlo k srdci“ a chtě li bychom urč ovat uvedenou funkč nı́ hodnotu pomocı́ mocnin tak, jak je uvedeno v hornı́ č ásti té to strá nky, tedy 1 ⋅ 27 + 1 ⋅ 26 + … , nenı́ vů bec naš kodu, umě t alespoň zá kladnı́ mocniny č ı́sla 2 zpamě ti. A to minimá lně do hodnoty dvě sedmou .

mocnina

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

210

hodnota

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1 024


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

V podstatě vš echny souč asné poč ı́tač e pracujı́ ve dvojkové soustavě , protož e je to z konstrukč nı́ho hlediska nejvý hodně jš ı.́ Mnohaciferná dvojková č ı́sla jsou vš ak pro č lově ka dlouhá a nepř ehledná a tak č asto př evá dı́me dvojková č ı́sla do š estná ctkové soustavy, kde je poč et cifer 4× menš ı́ (16 = 24 ). Šestnáctková číselná soustava Proto dalš ı́ pozič nı́ č ı́selnou soustavou, se kterou se také setká te v př emě tu „Základy informačních systémů“ je šestnáctková soustava, která se dı́ky jednoduché mu vzá jemné mu př evodu s dvojkovou soustavou č asto použ ı́vá v oblasti informatiky, např ı́klad pro: • adresy v operač nı́ pamě ti poč ı́tač e; • MAC adresy (z anglické ho „Media Access Control“) jako jedineč ný identi󰅮iká tor sı́ťové ho zař ı́zenı́ (ně kdy se té ž nazý vá fyzická adresa); • IP adresy v kó dová nı́ IPv6 jednoznač ně identi󰅮ikujı́cı́ sı́ťové rozhranı́ v poč ıt́ ač ové sı́ti, která použ ıv ́ á IP (internetový protokol). Jak již ná zev soustavy napovı́dá , jejı́m zá kladem (nebo-li kvocientem geometrické ř ady) je č ı́slo 16. Proto je zapotř ebı́ mı́t mož nost zapsat vš echna př irozená č ıś la menš ı́ jak šestnáct jednı́m znakem, protož e musı́ bý t př edstavová na jedinou pozicı́ v pozič nı́ č ı́selné soustavě . U jednociferný ch č ıś el je tı́mto znakem prá vě př ı́sluš ná cifra a u ostatnı́ch celý ch č ı́sel menš ıć h jak 16 pak dvojici cifer nahrazujeme velký m pı́smenem ze zač átku abecedy tak, jak je uká zá no v ná sledujı́cı́ tabulce. V hornı́m ř ádku tabulky je č ı́slo v š estná ctkové soustavě a ve spodnı́m ř ádku jeho desı́tkový (dekadický ) ekvivalent. A protož e nemů ž e dojı́t k omylu, vynechá me označ enı́ č ı́selné soustavy.

šestnáctková soustava desítkový ekvivalent Potom např ı́klad:

A

B

C

D

E

F

A0

B0

C0

D0

E0

F0

10 11 12 13 14 15 160 176 192 208 224 240

( B3 )16 = ( B0 + 3 )16 = ( 11 ⋅ 16 + 3 )10 = ( 176 + 3 )10 = ( 179 )10 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Výpočet úroků Podı́vejme se krá tce na pozoruhodné Eulerovo č ı́slo e 23 které zná me jako zá klad „př irozený ch logaritmů “. Toto č ı́slo e se dá vyjá dř it jako „meznı́ hodnota“ 24 (limita posloupnosti) což lze poklá dat za extré mnı́ vý sledek vý poč tu úroku z úroků. Příklad: C󰂪 ástka (např ı́klad tisı́c korun) se má roč ně zú roč it 100 %. Řešení: To by př i jediné m ú roč enı́ na konci roku č inilo 2 000 Kč . • Jestliž e se vš ak ú roky př ipisujı́ pololetně (ú roč ı́ se dvakrá t po 50 %), ú roč ı́ se od zač átku č ervence nikoliv 1 000 Kč , ale 1 500 Kč . Na konci roku tedy v bance má me 2 250 Kč . • Jestliž e se vš ak ú roky př ipisujı́ č tvrtletně (ú roč ı́ se č tyř ikrá t po 25 %), ú roč ı́ se od zač átku dubna 1 250 Kč , od zač átku č ervence 1 562,50 Kč a od zač átku ř ıj́ na 1 953,13 Kč . Na konci roku v bance budeme mı́t 2 441,41 Kč . • Vý poč et ú roků z ú roků lze teoreticky stá le vı́ce zuž ovat: mě sı́čně , tý dně , hodinově , atd. C󰂪 ástka vyjadř ujı́cı́ stav naš eho konta na konci roku tak bude neustá le vzrů stat. Nikoli vš ak donekoneč na, ný brž ve stá le menš ı́ch krocı́ch tak, jak se budeme blı́žit k hranici — vı́ce než 2 718,28 Kč to v ž ádné m př ı́padě nemů ž e bý t: tedy našich původních tisíc korun násobených číslem e. 𝑛

1 Na kontě tedy budeme mı́t ná š pů vodnı́ vklad vyná sobený č ı́slem 󰛂1 + 󰛃 , což je vlastně zadá nı́ 𝑛 obecné ho (n.) č lenu a𝑛 ně jaké posloupnosti. C󰂪 ıś lo n urč uje, kolikrá t do roka banka ú roč ı́. 23

Ná sledujı́cı́ př ı́klad je i s ř eš enı́m př evzat z: S󰀙󰀑󰀄󰀑󰀆󰀃, H. Moderní statistika. Praha : Svoboda, 1977. Str. 90.

24

e = lim 󰚼1 + 󰚽 , 𝑛→+∞

1 𝑛 𝑛

𝑛 je př irozené č ı́slo


Determ. Matice

Soustavy LAR

Obecně př i ú rokové sazbě na konci roku


i [%] p. a.

a ú roč ı́-li banka

n krát


Posloupnosti (apl.)

do roka, bude stav naš eho konta

𝑛

𝑖 𝑎𝑛 = pů vodnı́ vklad ⋅ 󰛂1 + 󰛃 . 𝑛 A protož e se v posloupnosti dané tı́mto vztahem obecný č len ná sobı́ mocninou, jedná se o geometrickou posloupnost, kde: 𝑖

1

𝑖

𝑎1 = pů vodnı́ vklad ⋅ 󰚼1 + 󰚽 = pů vodnı́ vklad ⋅ 󰚼1 + 󰚽 𝑛

𝑛

𝑖

𝑞 = 󰚼1 + 󰚽 𝑛

𝑖

𝑖

𝑛

𝑛

𝑎𝑛 = 𝑎1 ⋅ 𝑞 𝑛−1 = pů vodnı́ vklad ⋅ 󰚼1 + 󰚽 ⋅ 󰚼1 + 󰚽

𝑛−1

𝑖

𝑛

= pů vodnı́ vklad ⋅ 󰚼1 + 󰚽 𝑛

Vidı́me tedy, ž e geometrická posloupnost má využ itı́ pro vý poč et ú roků .


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

2. Bankovní produkty Posloupnosti (zejmé na geometrické ) se použ ijı́ pro zá kladnı́ vý poč ty slož ený ch ú roků a tı́m se uplatnı́ pro takové bankovnı́ produkty, jako jsou vklady, spoř enı́, dů chody nebo ú vě ry. Tyto procesy postupujı́ v „obdobı́ch“, např ık ́ lad kaž dý mě sı́c. Pož adovaný ú kon (např ı́klad vklad) mů ž eme prové st na poč átku nebo na konci obdobı́ a pak hovoř ı́me o PŘEDlhůtním nebo POlhůtním ú konu. Pokud dva takové procesy na sebe navazujı́, je lhů tnost volena tak, aby komunikovaly sprá vně . Tato problematika ale nenı́ dá le ř eš ena. Počítat na „plný displej“ ⟹ Protož e se v ná sledujı́cı́ch vzorcı́ch vyskytujı́: mocniny s velký m exponentem a zá kladem blı́zký m jednič ce; součiny, kdy jeden z č initelů je blı́zký jednič ce č i nule; podíly, kdy dě litel je blı́zký jednič ce č i nule; … Proto neuvá ž ené i nepatrné zaokrouhlová nı́ mů ž e způ sobit dost velkou odchylku ve vý sledku, je lé pe radě ji nezaokrouhlovat. Vž dyť o penı́ze jde až „v prvnı́ ř adě “.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

2.1. Vklady Popis produktu: V př ı́padě vkladů vlož ı́ klient jednorá zově penı́ze do banky, kde lež ı́ po sjednanou dobu a pouze se př ipisujı́ ú roky. U tohoto produktu př ipouš tı́me, ž e banka mů ž e ú roč it č astě ji než jednou do roka. 𝑉 . . . jednorá zový (termı́novaný ) vklad 𝑖 . . . ú roková sazba p. a. (desetin. č .: 1 % = 0,01) 𝐾 . . . stav konta (zů statek na ú č tu, jistina, kapitá l) 𝑚 . . . poč et ú rokovacı́ch obdobı́ v jednom roce 𝑛 . . . poč et celý ch let – roků ulož enı́ 𝑧 . . . poč et ú rokovacı́ch obdobı́ nad celé roky

𝑖 𝐾 = 𝑉 ⋅ 󰛂1 + 󰛃 𝑚

𝑚⋅𝑛+𝑧


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

2.2. Spoření Popis produktu: Př i spoření jdou klientovy penı́ze do banky v pravidelný ch ú lož ká ch, banka ú roč ı́ jednou do roka, ú roky př ipisuje klientovi. 𝑆 . . . stav spoř ı́cı́ho ú č tu na konci spoř enı́ 𝑖 . . . ú roková sazba p. a. (desetin. č .: 1 % = 0,01) 𝑛 . . . doba spoř enı́ (v celý ch letech – rocı́ch)

𝑆=

𝑎 . . . uklá daná konstantnı́ (stá le stejná ) č ástka 𝑚 . . . frekvence vkladů (poč et) v jednom roce

𝑎 ⋅ [𝑚 + 0,5 ⋅ (𝑚 + 1) ⋅ 𝑖] ⋅ [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] 𝑖


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

2.3. Důchody Popis produktu: Na poč átku si klient ulož ı́ na svů j důchodový ú č et č ástku 𝐷0 Kč , ze které v pravidelný ch intervalem 𝑚-krá t roč ně odebı́rá vý platu 𝑎 Kč po dobu 𝑛 let, č ı́mž je dů chodový ú č et zcela vybrá n (anulová n). Př itom klientovi z ulož ené č ástky prů bě žně př ibý vajı́ ú roky. Navı́c je mož né zař ı́dit, aby zač átek vyplá cenı́ byl pozdrž en o 𝑘 let. 𝐷0 . . . poč áteč nı́ stav dů chodové ho ú č tu 𝑖 . . . ú roková sazba p. a. (desetin. č .: 1 % = 0,01) 𝑚 . . . frekvence vý bě rů (poč et) v jednom roce 1 𝜈 . . . diskont 𝜈= 1+𝑖

𝐷0 =

𝑎 . . . vybı́raná konstantnı́ (stá le stejná ) č ástka 𝑘 . . . doba odkladu (v celý ch letech – rocı́ch) 𝑛 . . . doba vybı́rá nı́ (v celý ch letech – rocı́ch)

𝑎 ⋅ [𝑚 + 0,5 ⋅ (𝑚 + 1) ⋅ 𝑖] ⋅ [1 − 𝜈 𝑛 ] ⋅ 𝜈 𝑘 𝑖


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

2.4. Úvěry Popis produktu: Úvěrem (pů jč kou, hypoté kou) rozumı́me poskytnutı́ kapitá lu ve vý ši 𝑈0 Kč na urč enou dobu za odmě nu. Uvaž ujme pouze př ı́pad, kdy odmě na je skryta ve vý ši ú rokové sazby a konstantnı́ (nemě nné ) splá tky probı́hajı́ ve stejný ch intervalech, ve který ch banka ú roč ı́. 𝑈𝑟 . . . vý še ú vě ru po 𝑟 splá tká ch 𝑖 . . . ú roková sazba p. a. (desetin. č .: 1 % = 0,01) 1 𝑛 . . . poč et splá tek 𝜈 . . . diskont 𝜈= 1+𝑖 𝑎 . . . konstantnı́ (stá le stejná ) splá tka (anuita); pouze poslednı́ splá tka mů ž e bý t menš ı́! 𝑎=

𝑈0 ⋅ 𝑖 1 − 𝜈𝑛

𝑎 𝑈𝑟 = 𝑈0 ⋅ (1 + 𝑖) + ⋅ [1 − (1 + 𝑖)𝑟 ] 𝑖 𝑟


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

2.5. Příklady Příklad 1. Vložím na konto 30 000 Kč u banky, která ú roč ı́ kaž dý mě sı́c se sazbou 1,6 % p. a. Jaký bude stav konta za č tyř i a pů l roku? Řešení 1. Nejprve podle popisů produktů urč ı́me, ž e se jedná o vklad. Pro tento produkt jsme použ ili ná sledujı́cı́ označ enı́: 𝑉 . . . jednorá zový (termı́novaný ) vklad 𝑖 . . . ú roková sazba p. a. (desetin. č .: 1 % = 0,01) 𝐾 . . . stav konta (zů statek na ú č tu, jistina, kapitá l) 𝑚 . . . poč et ú rokovacı́ch obdobı́ v jednom roce 𝑛 . . . poč et celý ch let – roků ulož enı́ 𝑧 . . . poč et ú rokovacı́ch obdobı́ nad celé roky V naš em př ı́padě Vlož ım ́ na konto 30 000 Kč … ⟹ 𝑉 = 30 000 … u banky, která ú roč ı́ kaž dý mě sı́c … ⟹ 𝑚 = 12 … se sazbou 1,6 % p. a. … ⟹ 𝑖 = 0,016 (rozlož ı́me-li zadá nı́): … Jaký bude stav konta … ⟹ 𝐾 = ? … za č tyř i … ⟹ 𝑛 = 4 𝑚 … a pů l roku? ⟹ 𝑧 = 6 (⇐ ) 2 A po dosazenı́ 𝑖 𝐾 = 𝑉 ⋅ 󰛂1 + 󰛃 𝑚

𝑚⋅𝑛+𝑧

0,016 = 30 000 ⋅ 󰛂1 + 󰛃 12

12⋅4+6

= 30 000 ⋅ (1 + 0,001 333 333)48+6 =

= 30 000 ⋅ (1,001 333 333)54 = 30 000 ⋅ 1,074 603 788 = 32 238,113 64 Za čtyři a půl roku budu mít na kontě 32 238,11 Kč.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Příklad 2. Je pravdou, ž e př i pravidelném mě sı́čnı́m vkladu 1 100 Kč budu mı́t po š esti rocı́ch na kontě alespoň 85 000 Kč , když banka garantuje ú rokovou sazbu 2,3 % p. a.? Řešení 2. Nejprve podle popisů produktů urč ı́me, ž e se jedná o spoření. Pro tento produkt jsme použ ili ná sledujı́cı́ označ enı́: 𝑆 . . . stav spoř ı́cı́ho ú č tu na konci spoř enı́ 𝑖 . . . ú roková sazba p. a. (desetin. č .: 1 % = 0,01) 𝑛 . . . doba spoř enı́ (v celý ch letech – rocı́ch)

𝑎 . . . uklá daná konstantnı́ (stá le stejná ) č ástka 𝑚 . . . frekvence vkladů (poč et) v jednom roce

V naš em př ı́padě

(rozlož ı́me-li zadá nı́):

Je pravdou, ž e př i pravidelné m mě sı́čnı́m … ⟹ 𝑚 = 12 … vkladu 1 100 Kč … ⟹ 𝑎 = 1 100 … budu mı́t po š esti rocı́ch … ⟹ 𝑛 = 6 … na kontě alespoň 85 000 Kč … ⟹ 𝑆 = 85 000 a vı́c … když banka garantuje ú rokovou sazbu 2,3 % p. a.? ⟹ 𝑖 = 0,023

A po dosazenı́ 𝑆=

𝑎 1 100 ⋅ [𝑚 + 0,5 ⋅ (𝑚 + 1) ⋅ 𝑖] ⋅ [(1 + 𝑖)𝑛 − 1] = ⋅ [12 + 0,5 ⋅ (12 + 1) ⋅ 0,023] ⋅ [(1 + 0,023)6 − 1] = 𝑖 0,023 = 47 826,086 96 ⋅ [12 + 0,5 ⋅ (13) ⋅ 0,023] ⋅ [(1,023)6 − 1] = = 47 826,086 96 ⋅ [12 + 0,149 5] ⋅ [1,146 182 576 − 1] = = 47 826,086 96 ⋅ [12,149 5] ⋅ [0,146 182 576] = 84 941,292 52

Není to pravda, protož e na kontě budu mı́t jen 84 941 Kč . •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Příklad 3. Je pravdou, ž e když nynı́ vlož ı́m jednorá zově č ástku 100 000 Kč , budu mı́t za 16 roků pravidelný příspěvek k důchodu (tj. mě sı́čně ) 1 500 Kč po dobu 9 let, když banka garantuje ú rokovou sazbu 2,4 % p. a.? Řešení 3. Nejprve podle popisů produktů urč ım ́ e, ž e se jedná o důchod. Pro tento produkt jsme použ ili ná sledujı́cı́ označ enı́: 𝐷0 . . . poč áteč nı́ stav dů chodové ho ú č tu 𝑎 . . . vybı́raná konstantnı́ (stá le stejná ) č ástka 𝑖 . . . ú roková sazba p. a. (desetin. č .: 1 % = 0,01) 𝑘 . . . doba odkladu (v celý ch letech – rocı́ch) 𝑚 . . . frekvence vý bě rů (poč et) v jednom roce 𝑛 . . . doba vybı́rá nı́ (v celý ch letech – rocı́ch) 1 𝜈 . . . diskont 𝜈= 1+𝑖 … vlož ım ́ jednorá zově č ástku 100 000 Kč … ⟹ 𝐷0′ = 100 000 V naš em př ı́padě : … budu mı́t za 16 roků … ⟹ 𝑘 = 16 … pravidelný př ı́spě vek k dů chodu (tj. mě sı́čně ) … ⟹ 𝑚 = 12 … 1 500 Kč … ⟹ 𝑎 = 1 500 … po dobu 9 let … ⟹ 𝑛 = 9 … když banka garantuje ú rokovou sazbu 2,4 % p. a.? ⟹ 𝑖 = 0,024 Po dosazenı́ do vzorce zjistı́me potř ebnou č ástku 𝐷0 a jestli ná mi vlož ená č ástka 𝐷0′ pokryje pož adav1 1 ky. Nejdř ı́ve ovš em musı́me urč it hodnotu diskontu 𝜈 = = = 0,976 562 5 . Potom 1+𝑖

𝐷0 = =

1+0,024

𝑎 ⋅ [𝑚 + 0,5 ⋅ (𝑚 + 1) ⋅ 𝑖] ⋅ [1 − 𝜈 𝑛 ] ⋅ 𝜈 𝑘 = 𝑖

1 500 ⋅ [12 + 0,5 ⋅ (12 + 1) ⋅ 0, 024] ⋅ [1 − 0,976 562 59 ] ⋅ 0,976 562 516 = 0, 024

=62 500⋅[12+0,5⋅(13)⋅0,024]⋅[1−0,807 793 566 9]⋅0,684 227 765 8=62 500⋅[12+0,156]⋅[0,192 206 433 1]⋅0,684 227 765 8= =62 500⋅[12,156]⋅[0,192 206 433 1]⋅0,684 227 765 8

Když

𝐷0 = 99 916,985 26 ,

pak

= 99 916,985 26

𝐷0′ − 𝐷0 = 100 000 − 99 916,985 ≐ 83

a proto ř ekneme:

Je to pravda, protož e na kontě mi zů stane ješ tě 83 Kč . •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Příklad 4. Stač ı́ mi 3 roč nı́ splá tky po 11 000 Kč na splacenı́ celé ho úvěru ve vý ši 30 000 Kč u banky, která ú roč ı́ se sazbou 5 % p. a.? Řešení 4. Nejprve podle popisů produktů urč ı́me, ž e se jedná o úvěr. Pro tento produkt jsme použ ili ná sledujı́cı́ označ enı́: 𝑈𝑟 . . . vý še ú vě ru po 𝑟 splá tká ch 𝑛 . . . poč et splá tek

𝑖 . . . ú roková sazba p. a. (desetin. č .: 1 % = 0,01) 1 𝜈 . . . diskont 𝜈= 1+𝑖

𝑎 . . . konstantnı́ (stá le stejná ) splá tka (anuita); pouze poslednı́ splá tka mů ž e bý t v „reálu“ menš ı́! V naš em př ı́padě (rozlož ı́me-li zadá nı́):

Stač ı́ mi 3 roč nı́ splá tky … ⟹ 𝑛 = 3 … po 11 000 Kč … ⟹ 𝑎 = 11 000 … na splacenı́ celé ho ú vě ru ve vý ši 30 000 Kč … ⟹ 𝑈0 = 30 000 … u banky, která ú roč ı́ se sazbou 5 % p. a.? ⟹ 𝑖 = 0,05

A po dosazenı́ 𝑈𝑟 = 𝑈0 ⋅ (1 + 𝑖)𝑟 +

𝑎 ⋅ [1 − (1 + 𝑖)𝑟 ] 𝑖

⟹

𝑈3 = 30 000 ⋅ (1 + 0, 05)3 +

11 000 ⋅ [1 − (1 + 0, 05)3 ] = 0, 05

= 30 000 ⋅ (1, 05)3 + 220 000 ⋅ [1 − (1, 05)3 ] = 30 000 ⋅ 1,157 625 + 220 000 ⋅ [1 − 1,157 625] = = 34 728,75 + 220 000 ⋅ [−0,157 625] = 34 728,75 − 34 677,5 = 51,25 Pro splacení celého úvěru mi bude chybět 51 Kč.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Pokud bychom chtě li sestavit splá tkový kalendá ř, který popisuje stav ú vě rové ho ú č tu po jednotlivý ch splá tká ch, je nejlepš ı́ vš e zapisovat do tabulky. Označ enı́ mě ny vynechá me a vý poč ty budeme zaokrouhlovat na halé ře (setiny koruny).

anuita

ú rok 5 %

ú mor

stav ú vě ru 30 000,00

stav po 1. splá tce

11 000,00

1 500,00

9 500,00

20 500,00


11 000,00

1 025,00

9 975,00

10 525,00


11 000,00

526,25

10 473,75

51,25

∑

3 051,25

Př i takto nastavený ch podmı́nká ch ú vě ru zaplatı́me na ú rocı́ch 3 051,25 Kč a ješ tě ú vě r nebude zcela splacený.


Determ. Matice

Soustavy LAR



Posloupnosti (apl.)

Použitá literatura [1] D󰀇󰀏󰀎󰀑󰀘󰀃́ , M., N󰀃󰀉󰀛, J. Algebra. Praha : SNTL – Nakladatelstvı́ technické literatury, Praha. 1982. 192 stran. [2] H󰀑󰀔󰀕󰀍󰀛́, Z. Vektorové prostory. Praha : SNTL – Nakladatelstvı́ technické literatury, Praha. 1980. 88 stran. [3] C󰀊󰀗󰀆󰀛́, J. Determinanty a matice. Praha : SNTL – Nakladatelstvı́ technické literatury, Praha. 1974, vydá nı́ druhé , doplně né . 216 stran. [4] K󰀑󰀘󰀃󰀔̌ 󰀋́󰀍, P. Matematika I. Brno : Vysoká š kola Karla Engliš e, a. s., Brno. 2010, 63 stran. ISBN 978–80–86710–25–9 [5] K󰀗󰀄󰀇󰀐, J., S󰂪 󰀃󰀔󰀏󰀃󰀐󰀑󰀘󰀃́ , P. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Ostrava : Vysoká š kola bá ň ská – Technická univerzita Ostrava, 2006, 351 s. ISBN 80–248–1192–8. [on line] ⟨http://homel.vsb.cz/~s1a64/cd/pdf/dp/dp_obr.pdf⟩ [6] P󰀔̌ 󰀋󰀍󰀔󰀛󰀎, P. Numerické metody matematické analýzy. Praha : Stá tnı́ nakladatelstvı́ technické literatury, Praha. 1985, 192 stran. [7] R󰀛󰀅󰀊󰀐󰀑󰀘󰀕󰀍󰀛́, R. Úvod do vyšší matematiky. Praha : Stá tnı́ země dě lské nakladatelstvı́, Praha. 1968, vydá nı́ tř etı́, rozš ı́řené . 518 stran. [8] V󰀇󰀖󰀅󰀊󰀛́, V., S󰂪 󰀋󰀍󰀗󰀎󰀑󰀘󰀃́ , B. Lineární algebra. Brno : Vojenská akademie v Brně [skripta]. 1988. 93 stran


Matematika 1 základy linea rnı algebry a funkcí

Recommend Documents