[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]

http://meetabied.wordpress.com SMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel

Setiap pria dan wanita sukses adalah pemimpipemimpi besar. Mereka berimajinasi tentang masa depan mereka, berbuat sebaik mungkin dalam setiap hal, dan bekerja setiap hari menuju visi jauh ke depan yang menjadi tujuan mereka (Brian Tracy)

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA] Barisan dan Deret

================================================================================ Materi ini dapat disebarluaskan secara bebas, untuk tujuan bukan komersial, dengan atau tanpa menyertakan sumber. Hak Cipta selamanya pada Allah Swt. Salam hangat selalu … Muhammad Zainal Abidin | admin of http://meetabied.wordpress.com

1. Uan 2004/P-7/No.13 10

Nilai dari

å ( 2 n + 10 ) = .... n =1

A. B. C. D. E.

180 190 200 210 220

1 Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah

Gunakan info :

n S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2

10

1

å ( 2n + 10 )

Atau

n =1

n =1

n =2

n =10

= (2.1+10)+2.2+10)+.....+(2.10+10) = 12 + 14 + ....+30

1 Yang terakhir ini merupakan deret aritmetika dengan : a = 12 b = 14 – 12 = 2 n = 10 n 1 S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2 10 = ( 2.12 + ( 10 - 1 ). 2 ) 2 = 5( 24 + 9 .2 ) = 5( 24 + 18 ) = 5( 42 ) = 210 Jawaban : D

n Sn = ( a + U n ) 2 Keterangan : n = banyaknya suku a = suku pertama (awal) b. = beda Un = suku ke-n (terakhir)

akhir 10

å ( 2n + 10 ) = n =1

angka tetap

10 ( 12 + 30 ) 2

awal

= 5 (42) = 210

Awal = ganti n dengan 1 Akhir = ganti n dengan 10

http://meetabied.wordpress.com

2

100

100

k =1

k =1

å 2k + å ( 3k + 2 ) = ...

2. Nilai dari A. 25450 B. 25520 C. 25700 D. 50500 E. 50750

1 Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah

Gunakan info : 1

100

100

100

k =1

k =1

k =1

n S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2

å 2k + å( 3k + 2 ) = å( 5k + 2 ) n=1

n=2

n = 100

= (5.1+2) + (5.2 +2) + ... +(5.100 +2) = 7 + 12 + ... + 502

1 Yang terakhir ini merupakan deret aritmetika dengan : a=7 b = 12 – 7 = 5 n = 100 (k=1 sampai 100) n 1 S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2 100 = ( 2 .7 + ( 100 - 1 ). 5 ) 2 = 50 ( 14 + 99 .5 ) = 50 ( 14 + 495 ) = 50 ( 509 ) = 25450 Jawaban : A

Atau

n Sn = ( a + U n ) 2 Keterangan : n = banyaknya suku a = suku pertama (awal) b. = beda Un = suku ke-n (terakhir)

akhir 100

å ( 5k + 2 ) = k =1

angka tetap

100 ( 7 + 502 ) 2

awal

= 50(509)=25450



3

100

100

k =1

k =1

å ( k + 1 ) 2 - å k 2 = ...

3. Nilai dari A. 5050 B. 10100 C. 10200 D. 100100 E. 100200

Gunakan info smart : 1

100

100

k =1 100

k =1

å ( k + 1 )2 - å k 2 = å ( k 2 + 2k + 1 - k 2 ) k =1 100

= å ( 2k + 1 ) k =1

n=1

n=2

n = 100

1 Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah n S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2 n Sn = (a + U n ) 2

Keterangan : n = banyaknya suku a = suku pertama (awal) b. = beda Un = suku ke-n (terakhir)

= (2.1+1) + (2.2 +1) + ... +(2.100 +1) = 3 + 5 + ... + 201

1 Yang terakhir ini merupakan deret aritmetika dengan : a=3 b=5–3=2 n = 100 (k=1 sampai 100) n 1 S n = ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2 100 = ( 2 .3 + 99 .2 ) 2 = 50 ( 6 + 99 .2 ) = 50 ( 6 + 198 ) = 10200 Jawaban : C

akhir 100

å ( 2k

+ 1)=

k =1

angka tetap

100 ( 3 + 201 ) 2

awal = 50 (204) = 10200



4

4. Ebtanas 2000 Diketahui A. B. C. D. E.

35

35

i =5

i =5

å ki = 25 .Nilai å ( 4 + ki ) = ....

190 180 150 149 145

1 Jumlah dari suatu bilangan asli k

Gunakan info smart :

n

Perhatikan i = 5 ,berarti p = 5-1 = 4

1

35

35

35

i=5

i=5

i =5

å ( 4 + ki ) = å 4 + å ki = 4.35-4.4+25 = 140-16+25 = 140+9 = 149

1

å k = kn i =1 n

1

å k = kn - kp

i =1 + p

Keterangan : k = bilangan asli n = bilangan asli > 1 p = penambahan dari bil. 1

Jawaban : D


5

5. Uan 2004/P-1/No.13 n

n

n

k =1

i =1

a =1

å ( 3k + 1 )( k - 2 ) + 4 å ( 2i + 2 ) - å 3a 2 = ...... 1 n( n + 3 ) 2 1 B. n( n + 3 ) 2 1 C. n( n + 3 ) 2 D. 149

A.

1 n( n + 3 ) 2 1 E. n( n + 3 ) 2

D.

1 Batas atas sigma semuanya n, berarti batas bawah sigma dapat kita anggap k atau i = a = k, sehingga : n

n

n

k =1

i i =1

a =1

å ( 3k + 1 )( k - 2 ) + 4 å ( 2i + 2 ) - å 3a 2 n

n

n

= å ( 3k + 1 )( k - 2 ) + 4 å ( 2 k + 2 ) - å 3k 2 k =1 n

k =1

k =1

= å ( 3k - 5 k - 2 + 8 k + 8 - 3k ) 2

2

k =1 n

= å ( 3k + 6 ) k =1

n ( 9 + 3n + 6 ) 2 n = ( 3n + 15 ) 2 3 = n( n + 5 ) 2 =

Jawaban : E


6

6. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S n = n 2 +

5 n . Beda 2

dari deret aritmetika terseut adalah... 1 A. -5 2 B. -2 C. 2 1 D. 2 2 1 E. 5 2

Gunakan info smart : 1 Sn = n2 +

5 n 2

5 ( n - 1) 2 5 5 = n 2 - 2n + 1 + n 2 2 1 3 2 =n + n2 2 1 U n = S n - S n -1 5 1 3 = n 2 + n - n2 - n + 2 2 2 3 = 2n + 2 3 11 U2 = 2.2 + = 2 2 3 7 U1 = 2.1 + = 2 2 11 7 b = U2 –U1 = - = 2 2 2 S n -1 = ( n - 1 ) 2 +

1 S n = pn 2 + qn suatu deret aritmetika, maka beda = 2p

1 Sn = n2 +

5 n 2

S n = 1 .n 2 +

5 n 2

b = 2.1 = 2 Sangat mudeh ....ya...

Jawaban : C


7

7. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S n = 3n 2 - 4 n . Suku ke-n dari deret aritmetika terseut adalah... A. 6n +2 B. 6n -2 C. 6n -5 D. 6n -7 E. 3n -8

Gunakan info smart : 1 S n = 3n 2 - 4 n S n -1 = 3( n - 1 ) 2 - 4( n - 1 ) = 3( n 2 - 2 n + 1 ) - 4 n + 4 = 3n 2 - 6 n + 3 - 4 n + 4 = 3n 2 - 10 n + 7 U n = S n - S n -1 = 3n 2 - 4 n - 3n 2 + 10 n - 7 = -4 n + 10 n - 7 = 6n - 7

Jawaban : D

1 Jumlah koefisien variable untuk jumlah n suku pertama sama dengan jumlah koefisien variabel untuk suku ke-n

1 S n = 3n 2 - 4 n Jumlah koefisien : 3+(-4) = -1 1 Pada pilihan dicari jumlah koefisiennya yang -1, A. 6 + 2 = 8 (S) B. 6+(-2) = 4 (S) C. 6 +(-5) = 1 (S) D. 6 +(-7) = -1 (B) Jadi jawaban : D


8

8.. UAN 2003/P-1/No.10 Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usia anak ke-5 adalah 12 tahun, maka jumlah usia enam anak tersebut adalah... A. 48,5 tahun B. 49,0 tahun C. 49,5 tahun D. 50,0 tahun E. 50,5 tahun


@ @ @

@

Umur anak ke-3 adalah 7 tahun, maksudnya U3 = 7 U3 = 7ð a +2b = 7…..(i) Umur anak ke-3 adalah 7 tahun, maksudnya U5 = 12 U5 = 12 ð a +4b = 12….(ii) Dari (i) dan (ii) didapat :

U3 = 7 …….. a +2b = 7 U5 = 12 …….. a +4b = 12 – -2b = -5 b = 52 a + 2. 52 = 7 , berarti a =2 S6 = 21 .6 ( 2.2 + ( 6 - 1 ). 52 ) = 3( 4 + 12 ,5 ) = 49 ,5

@

Suku ke-n deret aritika Un = a +(n-a)b Jumlah n suku pertama n Sn = (2a +(n -1)b) 2

U3 = 7 ü 7 - 12 5 = ýb = U 5 = 12þ 3-5 2 U 3 ® a + 2b = 7 5 a = 7 - 2. = 7 - 5 = 2 2 6 5 S6 = ( 2.2 + 5. ) = 3( 12 ,5 ) = 49 ,5 2 2

Jawaban : C


9

9. SPMB 2002/Reg-II/No.19 Suku ke-n suatu deret adalah Un = 4n +1. Jumlah sepuluh suku pertama adalah.... A. 250 B. 240 C. 230 D. 220 E. 210

Gunakan info smart : 1 Un = 4n +1 U1 = 4.1 +1 = 5 U2 = 4.2 +1 = 9 b = U2 –U1 =9–5 =4 1 Gunakan rumus : n S n = ( 2a + ( n - 1 ).b ) 2 10 S10 = ( 2.5 + ( 10 - 1 ).4 ) 2 = 5( 10 + 9.4 ) = 5( 10 + 36 ) = 5.46 = 230

Jawaban : C

1 Jika Un = an +b, maka

Sn = 12 an 2 + (b + 12 a )n Integral

Jum.Koef.

ju m la h 5

Un = 4n +1 in te g r a l

Sn = 2n

2

+3n

ju m la h 5

S

10

= 2 .1 0 = 230

2

+ 3 .1 0

Sangat mudeh ....ya...

Jawaban : C


10

10. Sebuah bola pingpong dijatuhkan

dari ketinggian 20 m dan 3 memantul kembali dengan ketinggian kali tinggi sebelumnya. 4 Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah.... A. 120 m B. 140 m C. 160 m D. 180 m E. 200 m


@

20 m

b e rh e n ti

1 Deret untuk bola turun : 3 a = 20 dan r = 4 a 20 20 S¥ = = = = 80 1 1- r 1- 3 4 4 1 Deret untuk bola naik : 3 3 a = .20 = 15 dan r = 4 4 a 15 15 S¥ = = = = 60 1 1- r 1- 3 4 4 1 Panjang seluruh lintasan : S = 80 +60 = 140 m

Bola jatuh di ketinggian t, dan memantul sebesar a kali tinggi b sebelumnya, dst….maka Jumlah seluruh lintasan bola sampai berhenti adalah :

J=

1 J=

b+a t b-a

b+a 4+3 t= .20 = 140 b-a 4-3

Sangat mudeh ....ya...

Jawaban : B


11

11. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 2 m dan memantul 3 kembali dengan ketinggian kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini 4 berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah lintasan bola tersebut dari pantulan ke-3 sampai ia berhenti adalah.... A. 3,38 m B. 3,75 m C. 6,75 m D. 4,25 m E. 7,75 m

Gunakan info : 1 Perhatikan gambar 3 3 AB = BC = .2 = 4 2 3 3 9 CD = DE = . = 4 2 8 3 9 27 EF = U1 = a = . = 4 8 32 3 1 Padahal rasio , dan lintasan 4 nya sepasang-sepasang (perhatikan angka 2 di rumus) mem bentuk deret geometri tak hingga, maka: a S ¥ = 2. 1- r æ 27 ö ç ÷ æ 27 4 ö = 2ç 32 ÷ = 2ç . ÷ 3 ç1- ÷ è 32 1 ø ç ÷ 4ø è æ 27 ö 27 = 2ç ÷ = = 6 ,75m è 8 ø 4

O

panjang lintasan setelah pantulan ke-3 F

B D

A

C

E

1 Tinggi t meter , panjang lintasan dari pantulan ke-k sampai berhenti, dengan rasio pantulan

p didapat : q k

3

æ pö 27 æ3ö U 1 = a = çç ÷÷ .t = ç ÷ .2 = 32 è4ø èqø 27

27 æ a ö S ¥ = 2ç ÷ = 2 . 32 3 = 4 1- 4 è1-r ø

Jawaban : C


= 6,75 m

12

12. Seutas tali dipotong 5 bagian dengan panjang masing-masing bagian membentuk barisan aritmetika. Bila tali yang terpendek adalah 4 cm dan tali yang terpanjang adalah 108 cm, maka panjang tali semula adalah.... A. 160 cm B. 180 cm C. 240 cm D. 280 cm E. 300 cm

Gunakan info : 1 Perhatikan gambar U1 = a = 4 Un = 108 n=5 U n = a + ( n - 1 ).b 108 = 4 + 4b 4b = 108 - 4 104 b= = 26 4

@

Panjang tali semula, maksudnya adalah S5 n S n = ( 2a + ( n - 1 ).b ) 2 5 S 5 = ( 2.4 + ( 5 - 1 ).26 ) 2 5 = ( 8 + 104 ) 2 5 = .112 2 = 6.56 = 280 Jawaban : D

panjang tali semula

setelah dipotong menjadi 5 bagian : U1 4 cm

U2

U3

U4

U5 108 cm

terpendek terpanjang

1 Konsep suku tengah deret aritmetik Jika : x ,y ,z deret aritmetik, maka :

x+z 2 U1 + U5 4 + 108 U3 = = = 56 2 2 U + U3 4 + 56 U2 = 1 = = 30 2 2 U + U5 56 + 108 U4 = 3 = = 82 2 2 S5 = 4 +30 +56 +82 +108 = 280 y=


13

13. SMPB 2002/No. 17 Agar deret geometri

x -1 1 1 , , ,.... x x x ( x - 1)

jumlahnya mempunyai limit,

nilai x harus memenuhi.... A. x > 0 B. x < 1 C. 0 < x < 1 D. x > 2 E. x < 0 atau x > 2

Gunakan info : 1 Perhatikan Penyelesaiannya : x-1 1 1 , , . x x x( x - 1 )

r=

1 x x -1 x

=

1 x 1 . = x x-1 x-1

1 Konvergen, maksudnya : -1 < r < 1 1 -1 < <1 x -1 -1 > x -1 > 1 , berarti : x – 1 < -1 (arah kiri) atau x -1 > 1 (arah kanan) Jadi : x < 0 atau x > 2

@

@

Jika U1,U2,U3,….. deret geometri, maka : U U Rasio : r = 2 = 3 = .... U1 U 2 Deret Konvergen , artinya deret tersebut mempunyai limit jumlah. Syaratnya : -1 < r < 1

Jawaban : E


14

14. Jika suku pertama dari deret geometri tak hingga adalah a dan jumlahnya 10,maka.... A. -10 < a < 0 B. -16 < a < 0 C. 0 < a < 0 D. 0 < a < 20 E. -8 < a < 20

Gunakan info : 1 Perhatikan Penyelesaiannya : Suku pertama = U1 = a S~ = 10 @ Rumus geometri tak hingga : a S¥ = 1- r a 10 = 1- r 10 - 10 r = a 10 r = 10 - a 10 - a r= 10

@

Padahal deret tak hingga konvergen , sehingga : -1 < r < 1 10 - a -1< <1 10 - 10 < 10 - a < 10 - 20 < -a < 0 0 < a < 20

1 Deret geometri tak hingga,diketahui Suku pertama : a Jumlah tak hingga : S Maka : 0 < a < 2S

1 Perhatikan terobosannya : 0 < a < 2S 0 < a < 2.10 0 < a < 20 Mudeh….ya.?

Jawaban : D


15

15. UN 2005/P-1/No.4 Dari suatu deret aritmetika diketahui U3 = 13 dan U7 = 29. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah... A. 3.250 B. 2.650 C. 1.625 D. 1.325 E. 1.225

Gunakan info : 1 Perhatikan Penyelesaiannya : U3 = 13, maksudnya : a +2b = 13 …..(i)

@

@

U7 = 29, maksudnya : a +6b = 29…..(ii) Dari (i) dan (ii) didapat : a +2b = 13 a +6b = 29 – -4b = -16 b=4 b = 4 substitusi kepers (i) a +2.4 = 13 a = 13 -8 = 5 Rumus jumlah suku ke-n, adalah : n S n = ( 2 a + ( n - 1 ).b ) 2 25 S 25 = ( 2.5 + 24.4 ) 2 25 = ( 10 + 96 ) = 25.53 2 = 1.325

@ @

Suku ke-n deret aritmetika : Un = a +(n-1).b Jumlah n suku pertama deret aritmetika : n S n = ( 2a + ( n - 1 ).b ) 2

1 Perhatikan terobosannya : U 3 = 13 ü 13 - 29 =4 ýb = U7 = 29 þ 3 -7 U3ð a +2b = 13 a = 13 -2.4 = 13-8 = 5 n S n = ( 2 a + ( n - 1 ).b ) 2 25 S 25 = ( 2.5 + 24.4 ) 2 25 = ( 10 + 96 ) = 25.53 2 = 1.325

Jawaban : D


16

16.UMPTN 1996 Sn adalah jumlah n suku pertama deret aritmetik. Jika a adalah suku pertama dan b beda deret itu, maka nilai Sn+2 –Sn adalah... A. 2(a +nb) +1 B. 2a +nb +1 C. 2a +b(2n +1) D. a +b(n +1) E. a +nb +1

Gunakan info : 1 Perhatikan Penyelesaiannya :

n ( 2 a + ( n - 1 ).b ) 2 n = an + ( n - 1 )b 2 n 2b - nb = an + 2 n+2 Sn + 2 = ( 2a + ( n + 1 )b ) 2 n+2 = ( 2a + nb + b ) 2 n 2b + 3nb + 2b = an + 2a + 2 4 nb + 2b S n + 2 - S n = 2a + 2 = 2a + 2nb + b = 2a + ( 2n + 1 )b Sn =

@

Jumlah n suku pertama deret aritmetika : n S n = ( 2a + ( n - 1 ).b ) 2

1 Perhatikan terobosannya : Sn+2 = ½ (n +2)(2a +(n +1)b) Sn = ½ n(2a +(n -1)b) Sn+2-Sn = 2a +(2n +1)b Mudeh….aja !

Jawaban : C


17

17. UMPTN 1996 Diketahui barisan aritmetik log 2, log 4, log 8,... Jumlah delapan suku pertama barisan itu adalah.... A. 8 log 2 B. 20 log 2 C. 28 log 2 D. 36 log 2 E. 40 log 2

Gunakan info : 1 Perhatikan Penyelesaiannya : log 2, log 4, log 8,... = log 2, log 22, log 23 .... = log 2, 2log 2, 3log 2,.... Yang terakhir ini jelas memperlihatkan deret aritmeti ka dengan beda : b = 2log 2 –log 2 = log 2 dan a = log 2

n ( 2 a + ( n - 1 )b ) 2 8 S 8 = ( 2.log 2 + ( 8 - 1 ) log 2 ) 2 = 4( 2 log 2 + 7 log 2 ) = 4( 9 log 2 ) = 36 log 2

1 Sn =

Jawaban : D

1 a log b n =n a log b 1 Deret aritmetika adalah deret yang mempunyai selisih dua suku berurutan nilainya tetap, nilai tetap tersebut disebut beda

1 Perhatikan deret di atas : Abaikan sementara log 2, didapat deret : 1, 2, 3,….. Berarti a = 1 dan b = 1 U8 = a +7b = 1+7 = 8 n S n = ( a + U n ) log 2 2 8 S8 = ( 1 + 8 ) log 2 = 36 log 2 2 Mudeh….aja !


18

18. UMPTN 1997 Suku ke n barisan aritmetika adalah Un = 6n +4 disetiap antara 2 sukunya disisipkan 2 suku yang baru, sehingga terbentuk deret aritmetika. Jumlah n suku pertama deret yang terjadi adalah.... A. Sn = n2 +9n B. Sn = n2 -9n C. Sn = n2 +8n D. Sn = n2 -6n E. Sn = n2 +6n

Gunakan info : 1 Perhatikan Penyelesaiannya : Un = 6n +4 U2 = 6.2 +4 = 16 U1 = a = 6.1 +4 = 10 b = U2 –U1 = 16 – 10 = 6 k=2 b 6 b' = = =2 k +1 2+1 n 1 S n = ( 2 a + ( n - 1 )b' ) 2 n S n = ( 2.10 + ( n - 1 )2 ) 2 n = ( 20 + 2( n - 1 )) 2 = 10 n + n( n - 1 ) = 10 n + n 2 - n = n 2 + 9n Jawaban : A

1 Beda setelah deret disisipi dengan k suku ,adalah b b' = k +1 b = beda deret sebelum disisipi b’ = beda deret setelah disisipi k = banyak suku sisipan

1 Perhatikan deret di atas : Un = 6n +4, jumlah koefisien: 6 + 4 = 10, maka uji pada pilihan A sampai E yang jumlah koefisiennya 10 E. n2 +6n ð 1 +6 = 7 (salah) D. n2 -6n ð 1 -6 = -5 (salah) C. n2 +8n ð 1 +8 = 9 (salah) B. n2 -9n ð 1 -9 = -8 (salah) 2 A. n +9n ð 1 +9 = 10 (benar) Jadi jawaban : A Mudeh….aja !


19

19. UMPTN 1998 Kota Subur setiap tahun penduduknya bertambah dengan 10 % dari tahun sebelumnya, bila pada tahun 1987 penduduk kota tersebut berjumlah 4 juta, maka pada tahun 1990 jumlah penduduknya adalah.... A. 4,551 juta B. 5,269 juta C. 5,324 juta D. 5,610 juta E. 5,936 juta

Gunakan info : 1 Perhatikan Penyelesaiannya : Periode 1987 – 1990 Bertambah 10% = 0,1 Tahun : 1987 Jumlah : 4 juta 1988 Jumlah : 4 + 4(0,1) = 4,4 juta 1989 Jumlah : 4,4 + 4,4(0,1) = 4,4 + 0,44 = 4,84 juta 1990 Jumlah : 4,84 + 4,84(0,1) = 4,84 + 0,484 = 5,324 juta Jadi jumlah penduduk pada tahun 1990 sebesar 5,324 juta orang

Jawaban : C

1 Pertambahan penduduk suatu negara umumnya merupakan deret geometri dengan rasio : r = 1+p dengan p = prosentasi pertambahannya.

1 Perhatikan terobosannya : Periode 1987 – 1990, maka n = 4 dan prosentasi 10% tahun 1987 4 juta , berarti a =4 berarti r = 1 + 10% = 1,1 1 U n = ar n -1

U 4 = 4( 1,1 )4 - 1 = 4( 1,1 )3 = 4( 1,331 ) = 5 ,324 Mudeh….aja !


20

20. EBTANAS 1999 Sebuah deret hitung diketahui U3 = 9, dan U5 +U7 = 36, maka beda deret tersebut .... A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

Gunakan info : 1 Perhatikan Penyelesaiannya : U3 = 9 , artinya a +2b = 9 …(i) U5+U7 = 36 artinya : a +4b + a +6b = 36 2a +10b = 36 a + 5b = 18 …(ii)

1

Pada deret aritmetika Jika : Um1 = k1 , dan Um2 +Um3= k2 , maka : 2 k1 - k 2 b= 2m1 - ( m2 + m3 )

dari (i) dan (ii) didapat : a +2b = 9 a + 5b = 18 – -3b = -9 maka b = 3 Jawaban : C

1 Perhatikan terobosannya : U3 = 9, dan U5+U7 = 36 2 k1 - k 2 b= 2m1 - ( m2 + m3 ) 2.9 - 36 - 18 = = =3 2.3 - ( 5 + 7 ) - 6 Mudeh….ya?


21

21. UMPTN 1992 Sisi-sisi segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika sisi miringnya 40, maka siku-siku terpendek sama dengan.... A. 8 B. 20 C. 22 D. 24 E. 32

Gunakan info : 1 Perhatikan Penyelesaiannya : Misalkan deret itu : a-b,a,a+b Sisi miring 40 Maka : a +b = 40 a = 40 -b …(i) 1 Menurut dalil phytagoras : 402 = a2+(a-b)2 402 = a2+a2 -2ab +b2 2a2 -2ab+b2 -1600 = 0 2(40-b)2-2(40-b)b+b2 -1600 = 0 2(1600-80b+b2)-80b+2b2+b21600=0 3200 -160b+2b2-80b+2b2+b21600=0 5b2-240b +1600 = 0 b2 -48b +320 = 0 (b -40)(b -8) = 0 berarti b = 8 Dari (i) : a = 40 –b = 40 -8 = 32 Jadi sisi terpendek a –b = 32 -8 = 24

1 Pada deret aritmetika untuk memisalkan tiga suku maka misalkanlah dengan bentuk : a-b, a , a +b

1 Perhatikan terobosannya : Sisi siku-siku yang membentuk deret aritmetika kelipatan : 3 ,4 ,5, yaitu 3x,4x dan 5x 1 Sisi miringnya : 5x = 40 x=8 sisi terpendek : 3x = 3.8 = 24 Mudeh….ya?

Jawaban : D


22

22. UMPTN 1999 Diketahui p dan q adalah akar-akar pers. kuadrat 2x2 +x – a = 0. Jika p ,q dan A. B. C. D. E.

pq merupakan deret geometri,maka a sama dengan... 2

2 1 0 -1 -2

Gunakan info : 1 Perhatikan Penyelesaiannya : 2x2 +x – a = 0 b 1 1 p+q = - = - ðq = - - p a 2 2 pq 1 p, q, deret geometri, maka : 2 pq q 2 = p. ð 2q –p2 = 0 2 1 2( - - p )- p2 = 0 2 -1 -2p –p2 = 0 p2 +2p +1 = 0 (p +1)(p +1) = 0 ð p = -1 1 1 Padahal q = - - p = 2 2 c a 1 p.q = = a 2 1 a -1. = - di dapat a = 1 2 2

Jawaban : B

1 Jika x , y , z membentuk deret geometri, maka berlaku :

y 2 = x.z (kuadrat suku tengah sama dengan perkalian suku awal dan suku akhir)

1 Perhatikan terobosannya : 2x2 +x – a = 0 Coba ambil nilai a pada pilihan, yang sekiranya dapat difaktorkan, misal : 2 A. 2 ð 2x +x – 2 = 0 (tak bisa difaktorkan) 2 B. 1 ð2x +x – 1 = 0 (2x -1)(x +1) = 0

1 atau x = -1 2 1 1 Apakah benar : -1 ,- deret 2 4 Berarti x =

geometri ( ternyata benar) Jadi a = 1


23

20. UMPTN 1999 Jika dari suatu deret geometri diketahui u1 = 2 dan S10 = 33 S5 , maka U6 =.... A. 12 B. 16 C. 32 D. 64 E. 66

a (r10 - 1) a (r 5 - 1) 1 S10 = 33 S5 à = 33 r -1 r -1 (r5-1)(r5 +1) = r5 -1 r5 = 32 , r = 2 1 U6 = ar5 = 2.25 = 2.32 = 64


24

21. UMPTN 1999 Jumlah deret tak hingga : 1–tan230o+tan430o–tan630o+.... +(-1)n tan2n30o+... A. 1 B. ½ C. ¾ D. 3/2 E. 2

2

o

4

o

6

o

1 1–tan 30 +tan 30 –tan 30 +....

a = 1 , r = -tan230o =-

S¥ =

1 3

a 1 1 3 = = = 1 1- r 1+ 3 4 / 3 4


25

22. Prediksi SPMB Jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 6 sama dengan.... A. 668 B. 736 C. 768 D. 868 E. 1200

1

Habis dibagi 4: 4 ,8 ,12,....96à n = 96 = 24 4

1

J1 = 24 (4 + 96) = 1200 2 Habis dibagi 4 dan 6 : 96 12 ,24 ,36 ,..96à n = 12 =8

1

J2 = 82 (12 + 96) = 432 Habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 6 adalah : J = J1 –J2 = 1200 -432 = 768


26

24. Prediksi UAN/SPMB Suku tengah barisan aritmetika adalah 25. Jika beda dan suku ke-5 adalah 4 dan 21,maka jumlah semua suku barisan tersebut sama dengan.... A. 175 B. 225 C. 275 D. 295 E. 375

@

1

Suku Tengah : Sn = n. Ut

U5 = a +4b à 21 = a +4.4 didapat a = 5 Sn = n.Ut à ½ n(2a +(n-1)b) = n.Ut 2.5 +(n-1).4 = 2.25 4n -4 = 50 -10 n=9 Sn = 9.25 = 225


27

25. Prediksi SPMB Ditentukan rasio deret geometri tak hingga adalah 7log(4x 1). Jika deret ini mempunyai jumlah (konvergen),maka nilai x yang memenuhi adalah.... A. 72 < x < 32 B.

3 2

<x<2

C.

2 7

<x<2

D. ¼ < x < ½ E. ¼ < x < 2

7

1 r = log(4x -1) ,Konvergen à -1 < r < 1

-1 < 7log(4x -1) < 1 7-1 < 4x -1 < 71 1 +1 < 4x < 7 +1 à 2 < x < 2 7 7


28

26. Prediksi SPMB Jika (a +2) ,(a -1),(a -7),..... membentuk barisan geometri, maka rasionya sama dengan.... A. -5 B. -2 C. – ½ D. ½ E. 2

2

1 (a -1) = (a +2)(a -7) karena geometri

a2 -2a +1 = a2 -5a -14 3a = -15 à a = -5 rasio =

a -1 - 6 = =2 a + 2 -3


29

27. Ebtanas 2002 /No.9 Sn = 2n +1 adalah jumlah n buah suku pertama dari suatu deret, dan Un adalah suku ke-n deret tersebut.Jadi Un =.... A. 2n B. 2n-1 C. 3n D. 3n-1 E. 3n-2

@

1

Hubungan Intim antara Un , Sn dan Sn-1 adalah : Un = Sn –Sn-1

U n = S n - S n -1 = 2n +1 - 2n = 2n


30

28. Ebtanas 2002 /No.10 Pada sebuah bidang datar terdapat 15 titik yang berbeda. Melalui setiap dua titik yang berbeda dibuat sebuah garis lurus. Jumlah garis lurus yang dapat dibuat adalah..... A. 210 B. 105 C. 90 D. 75 E. 65

1 2 titik 1 garis

@

3 titik 3 garis 4 titik 6 garis dst... Un = ½ n(n-1) U15 = ½ .14.15 = 105


31


32

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]

Recommend Documents