Muhammad Kukuh, Ruang …
RUANG FAKTOR Oleh : Muhammad Kukuh Abstraksi Pada struktur aljabar dikenal istilah grup faktor yaitu Jika grup dan N Subgrup normal G , maka adalah grup faktor dengan operasi
Apabila G adalah ruang vetor dan N adalah subruang di G maka dikenal sebagai ruang faktor. Kata Kunci : Grup Faktor, Ruang Vektor, Ruang Faktor. A.
Pendahuluan Dalam Struktur Aljabar dikenal istilah grup faktor yaitu suatu himpunan yang diperoleh dari suatu grup dan subgrup normalnya dan dengan definisi tertentu. Berdasarkan definisinya maka ruang vektor juga merupakan grup. Di dalam ruang vektor juga dikenal istilah subgrup. Untuk itu, peneliti akan mengkaji apakah ruang vektor dan subgrupnya dikenai suatu operasi tertentu juga merupakan ruang vektor. Jika iya, maka bentuk himpunan ruang vektor dan subgrupnya tadi dikenal juga sebagai ruang faktor.
B.
Ruang Faktor Telah diketahui bahwa
adalah
ruang vektor atas lapangan bilangan real R, dengan definisi penjumlahan biasa pada matriks dan perkalian skalar: . Akan ditunjukkan himpunan berikut ini adalah subruang di a. Bukti: jelas. Ambil sembarang 68
Edu-Math; Vol. 4, Tahun 2013
. Akan di tunjukkan Karena Jadi terbukti
sehingga terbukti subruang .
b. Bukti: jelas. Ambil sembarang . Akan ditunjukkan Karena Jadi terbukti
sehingga terbukti subruang .
c. Bukti: jelas. Ambil sembarang . Akan di tunjukkan Karena Jadi terbukti
sehingga terbukti subruang .
d.
. Bukti: jelas. Ambil sembarang . Akan ditunjukkan
69
Muhammad Kukuh, Ruang …
Karena Jadi terbukti
sehingga terbukti subruang .
e. subruang f.
jelas.
subruang dirinya sendiri.
Akan diberikan definisi dan teorema sebagai berikut: Definisi : (Adkins, 1992 :15) Diberikan group G dan N adalah subgroup G. N dikatakan sebagai subgroup normal G, dinotasikan dengan , jika . Teorema : (Adkins, 1992 :15) Diberikan group G dan N adalah subgroup G. Jika G adalah group abelian maka setiap subgroup G adalah subgroup normal. Bukti: Ambil sebarang a dan N subgroup G. Jadi terbukti bahwa sebarang subgroup G adalah normal. Diketahui bahwa
adalah group abelian
dengan operasi penjumlahan matrik biasa. Berdasarkan teorema di atas maka adalah subgroup normal di . Diberikan teorema sebagai berikut : Teorema : (Herstein, 1999 : 52) Jika group dan maka group dengan
adalah operasi
Untuk selanjutnya dinamakan grup faktor dari G oleh N. Bukti : Untuk sembarang berlaku : a. 70
Edu-Math; Vol. 4, Tahun 2013
Karena
maka
.
b. c. Elemen netral dari adalah
d. Invers dari sebarang
Dari
a,
b,
c
adalah
karena
dan . dan d maka dapat disimpulkan dengan operasi di atas adalah grup.
Di atas telah diberikan adalah subgrup normal dari grup faktor
bahwa
adalah grup dan . Oleh karena itu dapat dibentuk
Berikutnya akan ditunjukkan grup faktor
adalah grup abelian.
Untuk suatu i ambil sebarang
Jadi terbukti bahwa
adalah grup abelian.
Diberikan Lemma sebagai berikut : Lemma : (Herstein, 1999 : 174)
71
Muhammad Kukuh, Ruang …
Jika V ruang vektor atas lapangan F dan S subruang V, maka adalah ruang vektor atas lapangan F, dimana untuk sebarang . Didefinisikan operasi sebagai berikut : . Untuk selanjutnya dinamakan ruang faktor dari V oleh S. Akan ditunjukkan operasi ke dua adalah well defined. Ambil sebarang dimana dan
. Akan ditunjukkan
. .
Jadi,
. Jadi, terbukti bahwa operasi ke dua well defined. Berikutnya akan ditunjukkan dengan definisi operasi di atas adalah ruang vektor. Bukti: I. adalah group abelian. (telah dibuktikan di atas) II. adalah lapangan. III. dan akan ditunjukkan Karena , maka IV. Memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut : Untuk sebarang dan
. berlaku :
1.
2. 3. 4. Karena memenuhi I, II, III dan IV maka dapat disimpulkan bahwa ruang vektor atas lapangan F.
72
adalah
Edu-Math; Vol. 4, Tahun 2013
Berdasarkan penjelasan di atas dan karena subruang di , maka dapat disimpulkan bahwa
adalah adalah
ruang faktor – ruang faktor atas lapangan R. C.
Penutup Berdasarkan penjelasan di atas maka dapat disimpulkan bahwa jika V ruang vektor atas lapangan F dan S subruang V, maka adalah ruang vektor atas lapangan F, dimana untuk sebarang didefinisikan operasi sebagai berikut : . Untuk selanjutnya dinamakan ruang faktor dari V oleh S.
DAFTAR PUSTAKA
Adkins, Algebra, Springer-Verlag, New York, 1992 Anton And Rorres, Elementary Linear Algebra with Applications NINTH EDITION, John Wiley & Sons, Washington, 2005 Herstein, I. N., Abstract Algebra, Prentice-Hall, New Jersey, 1996 Simanjuntak, R.J., Aljabar Linear Elementer II, Universitas Terbuka, Jakarta, 2005
73
Edu-Math; Vol. 4, Tahun 2013
Berdasarkan penjelasan di atas dan karena subruang di , maka dapat disimpulkan bahwa
adalah adalah
ruang faktor – ruang faktor atas lapangan R. C.
Penutup Berdasarkan penjelasan di atas maka dapat disimpulkan bahwa jika V ruang vektor atas lapangan F dan S subruang V, maka adalah ruang vektor atas lapangan F, dimana untuk sebarang didefinisikan operasi sebagai berikut : . Untuk selanjutnya dinamakan ruang faktor dari V oleh S.
DAFTAR PUSTAKA Adkins, Algebra, Springer-Verlag, New York, 1992 Anton And Rorres, Elementary Linear Algebra with Applications NINTH EDITION, John Wiley & Sons, Washington, 2005 Herstein, I. N., Abstract Algebra, Prentice-Hall, New Jersey, 1996 Simanjuntak, R.J., Aljabar Linear Elementer II, Universitas Terbuka, Jakarta, 2005
73
