Rovinna´ u´loha v MKP Hledane´ deformacˇnı´ velicˇiny – viz klasicka´ teorie pruzˇnosti (mohou by´t i jejich derivace!):
• rovinna´ napjatost a r. deformace (steˇny, . . . ): u, v
• desky: w, ϕx, ϕy
• prostorove´ u´lohy: u, v, w
Aproximacˇnı´ funkce se volı´ za´sadneˇ ve tvaru polynomu˚. 1
Odvozenı´ konecˇne´ho prvku pro rovinny´ proble´m
(1)
Nezna´me´ parametry defory
v
3
3 v 1
mace: u, v v kazˇde´m uzlu.
u 3
1
Tj. celkem sˇest nezna´my´ch
u 1 v 2
uzlovy´ch parametru˚:
2 u 2
x
{u1, v1, u2, v2, u3, v3}T .
2
Odvozenı´ konecˇne´ho prvku pro rovinny´ proble´m
(2)
Geometricke´ rovnice: ∂u , εx = ∂x
∂v εy = , ∂y
∂u ∂v τxy = + . ∂y ∂x
(1)
Maticoveˇ (ε = ∂ T u):
εx
εy γxy
=
∂ ∂x
0
0
∂ ∂y
∂ ∂ ∂y ∂x
u v
(2)
3
Odvozenı´ konecˇne´ho prvku pro rovinny´ proble´m
(3)
Podmı´nky rovnova´hy: ∂σx ∂τxy + + X = 0, ∂x ∂y
∂τxy ∂σy + + Y = 0. ∂x ∂y
(3)
Maticoveˇ (∂σ + X = 0): ∂ ∂x
0
∂ 0 ∂y ∂ ∂ ∂y ∂x
σx
σy τxy
+
X Y
=
0 0
(4)
4
Odvozenı´ konecˇne´ho prvku pro rovinny´ proble´m (4a) Fyzika´lnı´ rovnice (rovinna´ napjatost): E σx = (ε x + µ ε y ) 2 1−µ E (ε y + µ ε x ) σy = 2 1−µ E γxy τx = 2(1 − µ)
(5) (6) (7)
Maticoveˇ (σ = D ε):
σx
E σy = 2 1 − µ τxy
1 µ 0 µ 1 0 0 0 12 (1 − µ)
εx
εy γxy
(8)
5
Odvozenı´ konecˇne´ho prvku pro rovinny´ proble´m (4b) Fyzika´lnı´ rovnice (rovinna´ deformace): E σx = (1 + µ)(1 − 2µ) E σy = (1 + µ)(1 − 2µ) E τx = (1 + µ)(1 − 2µ)
[(1 − µ) εx + µ εy ] [µ εx + (1 − µ) εy ]
(9)
1 γxy (1 − µ) 2
Maticoveˇ (σ = D ε):
σx
E σy = (1 + µ )(1 − 2 µ ) τxy
1−µ µ 0 µ 1−µ 0 1 (1 − µ) 0 0 2
εx
εy γxy 6
Odvozenı´ konecˇne´ho prvku pro rovinny´ proble´m
(5)
Aproximace nezna´my´ch uzlovy´ch posunutı´: u(x, y ) = a1 x + a2 y + a3
(10)
v (x, y ) = a4 x + a5 y + a6
(11)
Maticoveˇ (u = U a):
u v
=
x y 1 0 0 0 0 0 0 x y 1
a1 a2 a3 a4 a5 a6
(12)
7
Odvozenı´ konecˇne´ho prvku pro rovinny´ proble´m
(6)
Aproximace nezna´my´ch uzlovy´ch posunutı´ v uzlech 1, 2, 3 (r = S a):
u1 v1 u2 v2 u3 v3
=
x1 0 x2 0 x3 0
y1 0 y2 0 y3 0
1 0 1 0 1 0
0 x1 0 x2 0 x3
0 y1 0 y2 0 y3
0 1 0 1 0 1
a1 a2 a3 a4 a5 a6
(13)
8
Odvozenı´ konecˇne´ho prvku pro rovinny´ proble´m
(7)
Kombinacı´ vztahu˚ ε = ∂ T u a u = U a vznikne ε = B a, kde
B = ∂ T U:
εx
εy γxy
∂ ∂x
=
0
0
∂ ∂y
∂ ∂ ∂y ∂x
x y 1 0 0 0 0 0 0 x y 1
a1 a2 a3 a4 a5 a6
(14)
9
Odvozenı´ konecˇne´ho prvku pro rovinny´ proble´m
(8)
Kombinacı´ vztahu˚ ε = ∂ T u a u = U a vznikne ε = B a, kde
B = ∂ T U:
εx
εy γxy
=
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0
a1 a2 a3 a4 a5 a6
(15)
10
Odvozenı´ konecˇne´ho prvku pro rovinny´ proble´m
(9)
Z r = S a plyne: a = S−1 r. Pak: ε = B S−1 r. Potencia´lnı´ energie vnitrˇnı´ch sil:
1 Z T 1 Z T Πi = ε σdV = ε DεdV 2 V 2 V
(16)
Potencia´lnı´ energie vneˇjsˇ´ıch sil:
Πe = −
Z
T
V
X rdV −
Z
S
pT r d S.
(17) 11
Odvozenı´ konecˇne´ho prvku pro rovinny´ proble´m (10) Potencia´lnı´ energie soustavy: Z Z 1 Z T T Π= ε D ε d V − X r d V − pT r d S. V S 2 V
(18)
Po dosazenı´ za ε a vytknutı´ r: Z Z 1 T Z −1T T − 1 T T Π= r S B DB S d V r − X d V r− pT d S r. V V S 2 (19)
Strucˇneˇ:
1 T Π = r K r − FT r. 2
(20) 12
Odvozenı´ konecˇne´ho prvku pro rovinny´ proble´m (11) Aplikacı´ Lagrangeova variacˇnı´ho principu (∂ Π = min.) na (20):
K r = F,
(21)
kde K . . . matice tuhosti konecˇne´ho prvku:
K=
Z
S−1T BT D B S−1 d V,
V
(22)
F . . . zateˇzˇovacı´ vektor konecˇne´ho prvku: F=−
Z
V
XT d V −
Z
S
pT d S.
(23) 13
Odvozenı´ konecˇne´ho prvku pro rovinny´ proble´m (12) Pro studovany´ konecˇny´ prvek:
K = t A S−1T BT D B S−1,
(24)
kde t . . . tlousˇt’ka konecˇne´ho prvku.
F = X + p.
(25)
14
Analy´za konstrukce Z Ke a re a Fe jednotlivy´ch prvku˚ (e je cˇı´slo prvku) sestavı´me K a r a F cele´ konstrukce a nezna´me´ urcˇı´me ˇresˇenı´m soustavy rovnic:
K r = F.
(26)
15
Vy´pocˇet vy´sledku˚ (napeˇtı´ a deformacı´) na konecˇny´ch prvcı´ch 1. z vektoru r cele´ konstrukce sestavı´me vektory re jednotliny´ch konecˇny´ch prvku˚
2. pro kazˇdy´ prvek stanovı´me pomeˇrne´ deformace:
εe = B S−1 re
3. pro kazˇdy´ prvek stanovı´me napeˇtı´:
σ e = D εe nebo σ e = D B S−1 re 16
Prˇ´ıklad: Analy´za steˇny metodou konecˇny´ch prvku˚ (1) Stanovte pru˚behy posunutı´, napeˇtı´ a pomeˇrny´ch deformacı´ na ´ lohu ˇresˇte metodou konecˇny´ch prvku˚, pouzˇijte troju´steˇneˇ. U helnı´kovy´ konecˇny´ prvek.
Geometrie, zatı´zˇenı´ a deˇlenı´ na konecˇne´ prvky jsou uvedeny na obra´zku, tlousˇt’ka steˇny je konstantnı´ a ma´ velikost t =
0.1m, modul pruzˇnosti pouzˇite´ho materia´lu je E = 20GP a, Poissonu˚v soucˇinitel ma´ velikost 0.2. 17
Prˇ´ıklad: Analy´za steˇny metodou konecˇny´ch prvku˚ (2) F = 20 kN 3
4
F = 10 kN
1m
2
1 1
2
1m 18
Prˇ´ıklad: Matice tuhosti konecˇne´ho prvku (3) V da´le uvedene´m tvaru matice tuhosti (viz Kola´ˇr a kol: Finite Element Method, Brno, 1971) se vyskytujı´ neˇktere´ symboly: E C1 = 1 − µ2 C2 = µ 1 λ = (1 − C2) 2
x i yi 1 xj yj 1 = xi yj 1+xj yk 1+xk yi 1−(xk yj 1+xj yi 1+xi yk 1) x k yk 1
Sourˇadnicove´ rozdı´ly: xij = xi − xj , yij = yi − yj ,. . . 19
Prˇ´ıklad: Matice tuhosti konecˇne´ho prvku (Kola´rˇ a kol, 1970) (3a)
20
Prˇ´ıklad: Konecˇny´ prvek cˇ. 1
(4)
20 109 E 9 C1 = = = 20 , 83 10 1 − µ2 1 − 0,22 C2 = µ = 0,2 1 1 λ = (1 − C2) = (1 − 0,22) = 0,4 2 2 xi = x1 = 0 yi = y1 = 0 xij = -1 yij = 0 xj = x2 = 1 yj = y2 = 0 xjk = 1 yjk = -1 xk = x4 = 0 yk = y4 = 1 xik = 0 yik = -1 Na´sobitel matice tuhosti (ten zlomek s determinantem dole): C1 t 20,83 109 0,1 9 = = 1 , 042 10 N AS1 = 21 0 0 1 2 1 0 1 0 1 1
21
Prˇ´ıklad: Konecˇny´ prvek cˇ. 1
(5)
Matice tuhosti (bez na´sobitele):
u1 v1 u2 v2 u4 v4
u1 1,4 0,6 1,0 -0,4 -0,4 -0,2
v1 u2 v2 u4 v4 0,6 1,0 -0,4 -0,4 -0,2 1,4 -0,2 -0,4 -0,4 -1,0 -0,2 1,0 0 0 0,2 -0,4 0 0,4 0,4 0 -0,4 0 0,4 0,4 0 -1,0 0,2 0 0 1,0
22
Prˇ´ıklad: Konecˇny´ prvek cˇ. 2
(6)
20 109 E 9 C1 = = = 20 , 83 10 1 − µ2 1 − 0,22 C2 = µ = 0,2 1 1 λ = (1 − C2) = (1 − 0,22) = 0,4 2 2 xi = x2 = 1 yi = y2 = 0 xij = 0 yij = -1 xj = x3 = 1 yj = y3 = 1 xjk = 1 yjk = 0 xk = x4 = 0 yk = y4 = 1 xik = 1 yik = -1 Na´sobitel matice tuhosti (ten zlomek s determinantem dole): C1 t 20,83 109 0,1 9 = = 1 , 042 10 N AS2 = 21 0 1 1 2 1 1 1 0 1 1
23
Prˇ´ıklad: Konecˇny´ prvek cˇ. 2
(7)
Matice tuhosti (bez na´sobitele):
u2 v2 u3 v3 u4 v4
u2 v2 u3 v3 u4 v4 0,4 0 -0,4 -0,4 0 0,4 0 1,0 -0,2 -1,4 0,2 0 -0,4 -0,2 1,4 0,2 -1,0 -0,4 -0,4 -1,0 0,2 1,4 -0,2 -0,4 0 0,2 -1,0 -0,2 1,0 0 0,4 0 -0,4 -0,4 0 0,4
Na´sobitel je na´hodou u obou matic stejny´ (neplatı´ obecneˇ!). Zneuzˇijeme toto a necha´me si ho azˇ na pozdeˇji. 24
Prˇ´ıklad: Matice tuhosti konstrukce (8) • Sestavı´me ji z matic tuhostı´ jednotlivy´ch prvku˚,
• jejı´ velikost je rovna pocˇtu stupnˇu˚ volnosti (ui, vi) konstrukce,
• kontrole: matice musı´ by´t symetricka´ dle hlavnı´ diagona´ly (souvisı´ s Bettiho veˇtou). 25
Prˇ´ıklad: Matice tuhosti kce
(9)
Postup sestavenı´:
1. vyrobı´me tabulku s pocˇtem ˇra´dku˚ a sloupcu˚ rovny´m pocˇtu stupnˇu˚ volnosti v konstrukci,
2. ˇra´dky a sloupce vhodneˇ oznacˇı´me (naprˇ. u1 . . . v4, stejny´m syste´mem jako u matic tuhosti prvku˚),
3. cˇleny matic tuhostı´ prvku˚ umı´st’ujeme do matice tuhosti konstrukce podle indexu˚ ([u1, v4] do [u1, v4] atd.) – pokud se neˇkde setkajı´ cˇleny z vı´ce matic, tak je secˇteme. 26
Prˇ´ıklad: Matice tuhosti kce
(10)
Matice tuhosti (bez na´sobitele):
u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4
u1 1,4 0,6 1,0 -0,4 0 0 -0,4 -0,2
v1 u2 v2 u3 v3 0,6 1,0 -0,4 0 0 1,4 -0,2 -0,4 0 0 -0,2 1,4 0 -0,4 -0,4 -0,4 0 1,4 -0,2 -1,0 0 -0,4 -0,2 1,4 0,2 0 -0,4 -1,0 0,2 1,4 -0,4 0 0,6 -1,0 -0,2 -1,0 0,6 0 -0,4 -0,4
u4 -0,4 -0,4 0 0,6 -1,0 -0,2 1,4 0
v4 -0,2 -1,0 0,6 0 -0,4 -0,4 0 1,4
27
Prˇ´ıklad: zateˇzˇovacı´ vektor
(11)
• Vektor ma´ stejnou velikost jako matice tuhosti,
• jednotlive´ uzlove´ sı´ly zapı´sˇeme do ˇra´dku˚ odpovı´dajı´cı´ch posunutı´m na ktery´ch „pracujı´“,
• sı´la je kladna´ pokud pu˚soba´ ve smeˇru kladne´ pcˇı´slusˇne´ poloosy syste´mu sourˇadnic.
28
Prˇ´ıklad: zateˇzˇovacı´ vektor
(12)
Tedy v nasˇem prˇ´ıpadeˇ: F 1 = Fx,3 = −10 000N . . . na u3 F 2 = Fy,4 = −20 000N . . . na v4
Zateˇzˇovacı´ vektor:
F =
n
Fx,1, Fy,1, Fx,2, Fy,2, Fx,3, Fy,3, Fx,4, Fy,4
oT
= {0, 0, 0, 0, −10000, 0, 0, −20000}T
29
Prˇ´ıklad: soustava rovnic K u = F
1, 4
0, 6
1, 0
−0, 4
0
0
−0, 4 −0, 2
0, 6 1, 4 −0, 2 −0, 4 0 0 −0, 4 −1, 0 1, 0 −0, 2 1, 4 0 −0, 4 −0, 4 0 0, 6 −0, 4 −0, 4 0 1, 4 −0, 2 −1, 0 0, 6 0 N 0 0 −0, 4 −0, 2 1, 4 0, 2 −1, 0 −0, 4 0 0 −0, 4 −1, 0 0, 2 1, 4 −0, 2 −0, 4 −0, 4 −0, 4 0 0, 6 −1, 0 −0, 2 1, 4 0
−0, 2 −1, 0
0, 6
0
−0, 4 −0, 4
0
1, 4
u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4
=
N = 1,042 109
Peˇkne´, zˇe? Jenzˇe tato soustava ma´ nekonecˇneˇ mnoho ˇresˇenı´ (klidneˇ zkuste ji vyrˇesˇit). Jesˇteˇ je trˇeba uplatnit okrajove´ podmı´nky, aby na´m konstrukce nele´tala v prostoru. 30
0 0 0 0 −10000 0 0 −20000
Prˇ´ıklad: okrajove´ podmı´nky (14) V deformacˇnı´ varianteˇ MKP zava´dı´me pevne´ podpory jako nulove´ hodnoty posunutı´ ktery´m bra´nı´ (tj. prˇ´ımo zna´me hodnoty posunutı´).
V tomto prˇ´ıkladu tedy: u1 = 0 v1 = 0 u2 = 0 v2 = 0 31
Prˇ´ıklad: okrajove´ podmı´nky (14) Prakticke´ provedenı´ (odpovı´dajı´cı´ rovnice nenı´ trˇeba a musı´me se jı´ „zbavit“ – prˇeve´st na tvar 1x0 = 0):
• dosadı´me hodnotu 0 na prˇ´ıslusˇne´ mı´sto ve vektoru nezna´my´ch
• vynulujeme prˇ´ıslusˇny´ ˇra´dek vektoru prave´ strany
• vynulujeme prˇ´ıslusˇny´ ˇra´dek a sloupec matice tuhosti a na diagona´lu dosadı´me 1 32
Prˇ´ıklad: okrajove´ podmı´nky (15)
N
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1, 4 0, 2 −1, 0 −0, 4 0 0, 2 1, 4 −0, 2 −0, 4 0 −1, 0 −0, 2 1, 4 0 0 1, 4 0 −0, 4 −0, 4
0 0 0 0 u3 v3 u4 v4
=
0 0 0 0 −10000 0 0 −20000
N = 1,042 109
33
Prˇ´ıklad: vy´sledky – posunutı´ (15)
u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4
=
0 0 0 0 −2, 84 −0, 39 −1, 98 −2, 09
4 3
10−5
y
x
2
1
34
Prˇ´ıklad: vy´sledky na prvcı´ch (16) • z vektoru posunutı´ konstrukce vybereme hodnoty prˇ´ıslusˇne´ dane´mu prvku
• z odvozenı´ vı´me (a pouzˇijeme):
ε = {εx, εy , γxy }T = BS−1u σ = {σx, σy , τxy }T = Dε
35
Prˇ´ıklad: vy´sledky na prvcı´ch (17)
B=
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 , 0 1 0 1 0 0
S=
xi xj xk 0 0 0
1 1 1 0 0 0
yi yj yk 0 0 0
1 µ 0 E 0 µ 1 D= 2 1 − µ 0 0 1 (1 + µ) 2
0 0 0 xi xj xk
0 0 0 yi yj yk
0 0 0 1 1 1
36
Prˇ´ıklad: vy´sledky na prvku 1 (18)
u1 =
u1 v1 u2 v2 u4 v4
D = 20, 83
=
9 10
0 0 0 0 −1, 98 −2, 09
10−5
1 0, 2 0 0, 2 1 0 0 0 0, 4
37
Prˇ´ıklad: vy´sledky na prvku 1 (19)
S=
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 1 1
S−1 =
−1 −1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 −1 0 −1 0 −1
0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1
Inverzi matice je trˇeba prove´st numericky (kdo to zvla´dne rucˇneˇ, at’ se prˇihla´sı´). 38
Prˇ´ıklad: vy´sledky na prvku 1 (20)
εx
ε 1 = εy γ xy
=
σx
σ 1 = σy τ xy
0, 00 −2, 09 −1, 98
=
10−5
−0, 86 −4, 45 −1, 65
105
Jesˇteˇ by se mohla spocˇı´tat hlavnı´ napeˇtı´ a jejich smeˇr, maxima´lnı´ smykove´ napeˇtı´,. . . 39
Prˇ´ıklad: vy´sledky na prvku 2 (21)
u1 =
u2 v2 u3 v3 u4 v4
D = 20, 83
=
9 10
0 0 −2, 84 −0, 39 −1, 98 −2, 09
10−5
1 0, 2 0 0, 2 1 0 0 0 0, 4
40
Prˇ´ıklad: vy´sledky na prvku 2 (22)
S=
1 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
0 0 0 1 1 1
S−1 =
0 1 −1 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 1 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 1 −1 1
41
Prˇ´ıklad: vy´sledky na prvku 2 (23)
εx
ε 2 = εy γ xy
=
σx
σ 2 = σy τ xy
=
−8, 61 3, 39 −4, 18
10−6
−16.52 3, 47 −3, 47
105
Jesˇteˇ by se mohla spocˇı´tat hlavnı´ napeˇtı´ a jejich smeˇr, maxima´lnı´ smykove´ napeˇtı´,. . .
HOTOVO! 42
Diskuse: spojitost a vy´stizˇnost vy´sledku˚ (1) Pouzˇita´ aproximace posunutı´: u(x, y ) = a1 x + a2 y + a3 v (x, y ) = a4 x + a5 y + a6 Tedy polynom 1. stupneˇ pro posunutı´: • spojite´ deformace r • protozˇe ε = ∂ r, konstantnı´ pomeˇrne´ deformace (po derivaci snı´zˇenı´ na polynom 0. stupneˇ) • protozˇe σ = D ε, konstantnı´ napeˇtı´ (polynom 0. stupneˇ) 43
Diskuse: spojitost a vy´stizˇnost vy´sledku˚ (2) • pro uvedeny´ prvek jsou deformace aproximova´ny „linea´rneˇ“ • pomeˇrne´ deformace a napeˇtı´ jsou na prvku konstantnı´ • pro prˇesneˇjsˇ´ı vy´sledky ⇒ hustsˇ´ı sı´t’ konecˇny´ch prvku˚ uFEM 0.2.53d CS: CART Set: 1: 1.000
uFEM 0.2.53d Result: s_x Set: 1: 1.000 2.98177e+03 2.60905e+03 2.23632e+03 1.86360e+03 1.49088e+03 1.11816e+03 7.45442e+02 3.72721e+02
0.00000e+00
0.00000e+00
-4.89130e+03
-5.73718e+03
-9.78261e+03
-1.14744e+04
-1.46739e+04
-1.72115e+04
-1.95652e+04
-2.29487e+04
-2.44565e+04
-2.86859e+04
-2.93478e+04
-3.44231e+04
-3.42391e+04
-4.01602e+04
-3.91304e+04
-4.58974e+04
y z
bigfile
y z
x
06. 01. 2011
bigfile
x
06. 01. 2011
44
