RNDr. Michal Horák, CSc. Mikroelektronické prvky a struktury

RNDr. Michal Horák, CSc.

Mikroelektronické prvky a struktury

Vysoké učení technické v Brně 2011

Tento učební text byl vypracován v rámci projektu Evropského sociálního fondu č. CZ.1.07/2.2.00/07.0391 s názvem Inovace a modernizace bakalářského studijního oboru Mikroelektronika a technologie a magisterského studijního oboru Mikroelektronika (METMEL). Projekty Evropského sociálního fondu jsou financovány Evropskou unií a státním rozpočtem České republiky.


1

Obsah 1

ÚVOD ............................................................................................................................................ 7

2

ZAŘAZENÍ PŘEDMĚTU VE STUDIJNÍM PROGRAMU .................................................... 7 2.1 2.2

3

ÚVOD DO PŘEDMĚTU ............................................................................................................. 7 VSTUPNÍ TEST ........................................................................................................................ 8

POLOVODIČE........................................................................................................................... 10 3.1 POLOVODIČE: STRUKTURA A CHEMICKÉ SLOŽENÍ ............................................................... 10 3.2 ENERGIOVÉ PÁSY V PEVNÝCH LÁTKÁCH ............................................................................. 11 3.3 FERMIHO-DIRACOVA ROZDĚLOVACÍ FUNKCE ..................................................................... 12 3.4 ŠÍŘKA ZAKÁZANÉHO PÁSU POLOVODIČE ............................................................................. 12 3.5 KONCENTRACE ELEKTRONŮ A DĚR V POLOVODIČÍCH ......................................................... 12 3.5.1 Polovodič vlastní (intrinsický)......................................................................................... 13 3.5.2 Polovodiče typu n a p ...................................................................................................... 14 3.5.3 Rovnovážná koncentrace elektronů a děr v polovodičích ............................................... 16 3.5.4 Rovnice elektrické neutrality ........................................................................................... 16 3.5.5 Teplotní závislost koncentrace elektronů a děr ............................................................... 17 3.6 DRIFT A DIFÚZE NOSIČŮ NÁBOJE V POLOVODIČÍCH ............................................................. 20 3.6.1 Drift nosičů náboje, driftová rychlost.............................................................................. 20 3.6.2 Pohyblivost elektronů a děr v polovodičích .................................................................... 21 3.6.3 Hustota driftového toku, vodivost polovodiče ................................................................. 23 3.6.4 Difúze nosičů náboje ....................................................................................................... 25 3.6.5 Proudová hustota v polovodičích .................................................................................... 25 3.7 NEROVNOVÁŽNÉ NOSIČE NÁBOJE V POLOVODIČI ................................................................ 26 3.7.1 Generace nosičů náboje v polovodičích.......................................................................... 26 3.7.2 Rekombinace nosičů náboje v polovodičích .................................................................... 26 3.7.3 Výsledná generačně-rekombinační rychlost, doba života ............................................... 27 3.7.4 Difúze a drift nerovnovážných nosičů náboje.................................................................. 29 3.8 ROVNICE KONTINUITY ......................................................................................................... 30 3.8.1 Odvození rovnice kontinuity ............................................................................................ 30 3.8.2 Soustava základních polovodičových rovnic ................................................................... 31 3.9 SHRNUTÍ KAPITOLY .............................................................................................................. 32 3.10 KONTROLNÍ OTÁZKY A PŘÍKLADY ....................................................................................... 32

4

PŘECHOD PN A POLOVODIČOVÉ DIODY ....................................................................... 34 4.1 PŘECHOD PN V ROVNOVÁŽNÉM STAVU .............................................................................. 34 4.2 ELEKTRICKÉ POLE V OCHUZENÉ VRSTVĚ PN PŘECHODU ..................................................... 36 4.3 VOLTAMPÉROVÁ CHARAKTERISTIKA PŘECHODU PN ........................................................... 38 4.3.1 Voltampérová charakteristika ideálního přechodu pn .................................................... 38 4.3.2 Saturační proud pn-přechodu.......................................................................................... 40 4.3.3 Vliv generace a rekombinace uvnitř ochuzené vrstvy...................................................... 41 4.3.4 Vliv vysoké injekce........................................................................................................... 45 4.3.5 Vliv sériového odporu...................................................................................................... 45 4.3.6 Vliv teploty....................................................................................................................... 46 4.3.7 Voltampérová charakteristika reálného přechodu pn ..................................................... 47 4.3.8 Stanovení parametrů diody z voltampérové charakteristiky ........................................... 48 4.4 PRŮRAZ PŘECHODU PN ......................................................................................................... 49 4.4.1 Tunelový (Zenerův) průraz přechodu pn ......................................................................... 49 4.4.2 Lavinový průraz pn přechodu.......................................................................................... 51 4.5 BARIÉROVÁ KAPACITA PŘECHODU PN ................................................................................. 54 4.5.1 Vznik bariérové kapacity a CU-charakteristika pn přechodu ......................................... 54 4.5.2 Stanovení parametrů diody z charakteristiky kapacita-napětí ........................................ 57

2

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 4.6 KOMPLEXNÍ ADMITANCE PŘECHODU PN .............................................................................. 58 4.6.1 Vznik difúzní kapacity pn přechodu ................................................................................. 58 4.6.2 Komplexní admitance a její frekvenční závislost ............................................................. 59 4.6.3 Linearizovaný ekvivalentní obvod přechodu pn .............................................................. 62 4.7 PŘECHOD PN V IMPULSNÍM REŽIMU ..................................................................................... 62 4.8 MODEL DIODY V PROGRAMU SPICE.................................................................................... 65 4.9 SHRNUTÍ KAPITOLY .............................................................................................................. 66 4.10 KONTROLNÍ OTÁZKY A PŘÍKLADY ....................................................................................... 66

5

PŘECHOD KOV-POLOVODIČ, SCHOTTKYHO DIODY ................................................. 69 5.1 RŮZNÉ TYPY KONTAKTŮ KOV-POLOVODIČ .......................................................................... 69 5.2 USMĚRŇUJÍCÍ KONTAKT KOV-POLOVODIČ TYPU N............................................................... 71 5.2.1 Usměrňující kontakt kov-polovodič typu n s vnějším napětím......................................... 71 5.2.2 Elektrické pole v ochuzené vrstvě přechodu kov-polovodič typu n.................................. 72 5.2.3 Kapacita ochuzené vrstvy přechodu kov-polovodič typu n.............................................. 73 5.2.4 Schottkyho jev .................................................................................................................. 73 5.2.5 Vliv vázaného náboje na rozhraní kov-polovodič............................................................ 74 5.2.6 Fyzikální mechanismy průchodu proudu Schottkyho kontaktem ..................................... 74 5.3 SCHOTTKYHO DIODY ............................................................................................................ 77 5.3.1 Voltampérová charakteristika Schottkyho diody ............................................................. 77 5.3.2 Stanovení výšky Schottkyho bariéry................................................................................. 78 5.3.3 Vliv minoritních nosičů náboje ........................................................................................ 80 5.3.4 Linearizovaný ekvivalentní obvod Schottkyho diody ....................................................... 81 5.3.5 Porovnání Schottkyho diod a polovodičových diod s přechodem pn............................... 81 5.4 OHMICKÉ KONTAKTY ........................................................................................................... 82 5.5 SHRNUTÍ KAPITOLY .............................................................................................................. 82 5.6 KONTROLNÍ OTÁZKY A PŘÍKLADY ....................................................................................... 83

6

HETEROPŘECHODY .............................................................................................................. 85 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8

7

MATERIÁLY PRO HETEROPŘECHODY ................................................................................... 85 PÁSOVÉ DIAGRAMY HETEROPŘECHODŮ .............................................................................. 86 ELEKTRICKÉ POLE V OCHUZENÉ VRSTVĚ HETEROPŘECHODU.............................................. 90 PRŮCHOD PROUDU HETEROPŘECHODEM.............................................................................. 93 KAPACITA HETEROPŘECHODU ............................................................................................. 94 HETEROPŘECHODY MEZI POLOVODIČI S ODLIŠNOU MŘÍŽKOVOU KONSTANTOU ................. 94 SHRNUTÍ KAPITOLY .............................................................................................................. 97 KONTROLNÍ OTÁZKY A PŘÍKLADY ....................................................................................... 97

BIPOLÁRNÍ TRANZISTORY ................................................................................................. 98 7.1 STRUKTURA BIPOLÁRNÍHO TRANZISTORU ........................................................................... 98 7.2 VOLTAMPÉROVÉ CHARAKTERISTIKY A PARAMETRY BIPOLÁRNÍHO TRANZISTORU........... 102 7.2.1 Jednorozměrný model bipolárního tranzistoru.............................................................. 102 7.2.2 Saturační a zbytkové proudy tranzistoru ....................................................................... 107 7.2.3 Voltampérové charakteristiky bipolárního tranzistoru.................................................. 108 7.2.4 Stejnosměrné parametry bipolárního tranzistoru.......................................................... 110 7.3 SHRNUTÍ KAPITOLY ............................................................................................................ 113 7.4 KONTROLNÍ OTÁZKY A PŘÍKLADY ........................... CHYBA! ZÁLOŽKA NENÍ DEFINOVÁNA.


3

Seznam obrázků OBRÁZEK 3.1: OBRÁZEK 3.2:

ELEKTRONOVÝ OBAL ATOMU KŘEMÍKU. ................................................................ 10 KRYSTALOVÁ MŘÍŽKA TYPICKÝCH POLOVODIČŮ A ROZLOŽENÍ ELEKTRONOVÉHO OBLAKU V KOVALENTNÍM KRYSTALU GERMANIA (VRSTEVNICE PROPOJUJÍ MÍSTA SE STEJNOU HUSTOTOU NÁBOJE)...................................................................................................................... 11 OBRÁZEK 3.3: ENERGIOVÉ PÁSY V PEVNÝCH LÁTKÁCH. ............................................................... 11 OBRÁZEK 3.4: FERMIHO-DIRACOVA ROZDĚLOVACÍ FUNKCE A FERMIHO ENERGIE. ..................... 12 OBRÁZEK 3.5: ZÁVISLOST INTRINSICKÉ KONCENTRACE A ŠÍŘKY ZAKÁZANÉHO PÁSU NA TEPLOTĚ PRO POLOVODIČE SI, GE, GAAS. .................................................................................................. 13 OBRÁZEK 3.6: PÁSOVÝ DIAGRAM POLOVODIČE TYPU N A P. ......................................................... 15 OBRÁZEK 3.7: POLOHA PŘÍMĚSOVÝCH HLADIN V KŘEMÍKU.......................................................... 15 OBRÁZEK 3.8: NEDEGENEROVANÝ, SLABĚ DEGENEROVANÝ A DEGENEROVANÝ POLOVODIČ N 16 NEBO P. OBRÁZEK 3.9: ZÁVISLOST KONCENTRACE ELEKTRONŮ A DĚR NA TEPLOTĚ.................................. 17 OBRÁZEK 3.10: DRIFT NOSIČŮ NÁBOJE V POLOVODIČI. ................................................................... 20 OBRÁZEK 3.11: ZÁVISLOST DRIFTOVÉ RYCHLOSTI ELEKTRONŮ A DĚR NA INTENZITĚ ELEKTRICKÉHO POLE V RŮZNÝCH POLOVODIČÍCH. ...................................................................... 21 OBRÁZEK 3.12: ZÁVISLOST POHYBLIVOSTI ELEKTRONŮ A DĚR NA KONCENTRACI DONORŮ NEBO AKCEPTORŮ. 21 OBRÁZEK 3.13: ZÁVISLOST POHYBLIVOSTI ELEKTRONŮ A DĚR NA TEPLOTĚ. ................................. 22 OBRÁZEK 3.14: K ODVOZENÍ VZTAHU PRO HUSTOTU DRIFTOVÉHO TOKU....................................... 23 OBRÁZEK 3.15: REZISTIVITA SI, GE, GAAS, GAP V ZÁVISLOSTI NA KONCENTRACI PŘÍMĚSÍ PŘI TEPLOTĚ 300 K. 24 OBRÁZEK 3.16: HUSTOTA DIFÚZNÍHO TOKU (PROUDU) ELEKTRONŮ A DĚR. ................................... 25 OBRÁZEK 3.17: GENERACE NOSIČŮ NÁBOJE V POLOVODIČI. ........................................................... 26 OBRÁZEK 3.18: NĚKTERÉ REKOMBINAČNÍ PROCESY V POLOVODIČÍCH........................................... 27 OBRÁZEK 3.19: DRIFT A DIFÚZE NEROVNOVÁŽNÝCH NOSIČŮ NÁBOJE V POLOVODIČI.................... 29 OBRÁZEK 3.20: K ODVOZENÍ ROVNICE KONTINUITY. ...................................................................... 30 OBRÁZEK 4.1: TYPICKÁ STRUKTURA POLOVODIČOVÉ DIODY S PŘECHODEM PN A JEJÍ ZJEDNODUŠENÝ JEDNOROZMĚRNÝ MODEL................................................................................... 34 OBRÁZEK 4.2: PŘECHOD PN V ROVNOVÁŽNÉM STAVU: DYNAMICKÁ ROVNOVÁHA NA PŘECHODU, VZNIK OCHUZENÉ VRSTVY, PÁSOVÝ DIAGRAM. ........................................................................... 35 OBRÁZEK 4.3: KONTAKTNÍ NAPĚTÍ RŮZNÝCH PN PŘECHODŮ.............................................................. 35 OBRÁZEK 4.4: PÁSOVÝ DIAGRAM PN PŘECHODU BEZ NAPĚTÍ A S NAPĚTÍM V PROPUSTNÉM A V ZÁVĚRNÉM SMĚRU, MODEL STRMÉHO PN PŘECHODU. .............................................................. 36 OBRÁZEK 4.5: IDEÁLNÍ PŘECHOD PN: ZJEDNODUŠENÝ JEDNOROZMĚRNÝ MODEL STRUKTURY, KONCENTRACE NOSIČŮ A PROUDOVÁ HUSTOTA V PROPUSTNÉM A V ZÁVĚRNÉM SMĚRU. .......... 38 OBRÁZEK 4.6: VLIV GENERAČNĚ-REKOMBINAČNÍHO PROUDU NA CELKOVÝ PROUD PN PŘECHODU. 42 OBRÁZEK 4.7: VLIV GENERAČNĚ-REKOMBINAČNÍCH PROCESŮ V OCHUZENÉ VRSTVĚ NA CHARAKTERISTIKU PN PŘECHODU V PROPUSTNÉM SMĚRU (VLEVO) A TEPLOTNÍ ZÁVISLOST ZÁVĚRNÉHO PROUDU PN PŘECHODU (VPRAVO)............................................................................ 43 OBRÁZEK 4.8: VLIV EMISNÍHO KOEFICIENTU Z ROVNICE ( 4.24 ) NA CHARAKTERISTIKU PN PŘECHODU. 43 OBRÁZEK 4.9: VZNIK SÉRIOVÉHO ODPORU VE STRUKTUŘE DIODY A JEHO VLIV NA VOLTAMPÉROVOU CHARAKTERISTIKU. ........................................................................................ 45 OBRÁZEK 4.10: ROZDÍL MEZI VOLTAMPÉROVOU CHARAKTERISTIKOU IDEÁLNÍHO PN PŘECHODU A REÁLNÉ POLOVODIČOVÉ DIODY. .................................................................................................. 48 OBRÁZEK 4.11: STANOVENÍ PARAMETRŮ DIODY Z VOLTAMPÉROVÉ CHARAKTERISTIKY. .............. 49 OBRÁZEK 4.12: TUNELOVÁNÍ ELEKTRONU PŘES POTENCIÁLOVOU BARIÉRU PN PŘECHODU MEZI DEGENEROVANÝMI POLOVODIČI. ................................................................................................. 49 OBRÁZEK 4.13: LAVINOVÝ A TUNELOVÝ PRŮRAZ PN PŘECHODU. ZÁVISLOST PRŮRAZNÉHO NAPĚTÍ, ŠÍŘKY OCHUZENÉ VRSTVY PŘI PRŮRAZU A MAXIMÁLNÍ INTENZITY ELEKTRICKÉHO POLE

4

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

V OCHUZENÉ VRSTVĚ NA KONCENTRACI PŘÍMĚSÍ PRO STRMÝ NESYMETRICKÝ PN PŘECHOD Z RŮZNÝCH POLOVODIČŮ.............................................................................................................. 50 OBRÁZEK 4.14: LAVINOVÉ NÁSOBENÍ ELEKTRONŮ A DĚR V ZÁVĚRNÉ VRSTVĚ PN PŘECHODU....... 51 OBRÁZEK 4.15: VZNIK BARIÉROVÉ KAPACITY PN PŘECHODU .......................................................... 55 OBRÁZEK 4.16: ZÁVISLOST BARIÉROVÉ KAPACITY NA NAPĚTÍ PRO RŮZNÁ M Z ROVNICE ( 4.48 )... 56 OBRÁZEK 4.17: VZTAH MEZI ŠÍŘKOU OCHUZENÉ VRSTVY, KAPACITOU PŘECHODU A KONCENTRACÍ PŘÍMĚSÍ. ................................................................................................................ 56 OBRÁZEK 4.18: VZNIK DIFÚZNÍ KAPACITY PN PŘECHODU A GRAFICKÉ URČENÍ DYNAMICKÉ VODIVOSTI. 58 OBRÁZEK 4.19: PRŮBĚH KONCENTRACE MINORITNÍCH NOSIČŮ NÁBOJE VE STRUKTUŘE DIODY..... 60 OBRÁZEK 4.20: DIFÚZNÍ VODIVOST A KAPACITA. INDEX 0 OZNAČUJE VELIČINY NEZÁVISLÉ NA 61 FREKVENCI. OBRÁZEK 4.21: LINEARIZOVANÝ EKVIVALENTNÍ OBVOD PŘECHODU PN A DIODY. ......................... 62 OBRÁZEK 4.22: PŘECHOD PN V IMPULSNÍM REŽIMU. ....................................................................... 63 OBRÁZEK 4.23: ZÁVISLOST DOBY ZPOŽDĚNÍ TS A DOBY POKLESU TR NA POMĚRU IR/IF.................... 64 OBRÁZEK 5.1: PÁSOVÉ DIAGRAMY KOVU A POLOVODIČE TYPU N PŘED VYTVOŘENÍM KONTAKTU.

69 OBRÁZEK 5.2: VZNIK USMĚRŇUJÍCÍCHO KONTAKTU (VLEVO) A NEUSMĚRŇUJÍCÍHO KONTAKTU (VPRAVO) MEZI POLOVODIČEM TYPU N A KOVEM......................................................................... 70 OBRÁZEK 5.3: PÁSOVÉ DIAGRAMY ČTYŘ DRUHŮ KONTAKTŮ KOV-POLOVODIČ (BEZ VNĚJŠÍHO 70 NAPĚTÍ). OBRÁZEK 5.4: PÁSOVÉ DIAGRAMY USMĚRŇUJÍCÍHO PŘECHODU KOV-POLOVODIČ N BEZ NAPĚTÍ A S PŘILOŽENÝM NAPĚTÍM V PROPUSTNÉM A V ZÁVĚRNÉM SMĚRU. ............................................... 72 OBRÁZEK 5.5: K VÝPOČTU INTENZITY A POTENCIÁLU ELEKTRICKÉHO POLE OCHUZENÉ VRSTVY SCHOTTKYHO PŘECHODU KOV-POLOVODIČ N. ............................................................................. 72 OBRÁZEK 5.6: SNÍŽENÍ POTENCIÁLOVÉ BARIÉRY NA SCHOTTKYHO PŘECHODU VLIVEM ZRCADLOVÝCH SIL. ....................................................................................................................... 73 OBRÁZEK 5.7: VLIV POVRCHOVÝCH STAVŮ .................................................................................... 74 OBRÁZEK 5.8: FYZIKÁLNÍ MECHANISMY TRANSPORTU NOSIČŮ NÁBOJE SCHOTTKYHO KONTAKTEM. 76 OBRÁZEK 5.9: RŮZNÉ STRUKTURY SCHOTTKYHO DIOD................................................................. 78 OBRÁZEK 5.10: NÁČRTEK STRUKTURYA A PÁSOVÝ DIAGRAM SCHOTTKYHO DIODY...................... 78 OBRÁZEK 5.11: STANOVENÍ VÝŠKY SCHOTTKYHO BARIÉRY Z VOLTAMPÉROVÉ CHARAKTERISTIKY. 79 OBRÁZEK 5.12: STANOVENÍ VÝŠKY SCHOTTKYHO BARIÉRY Z TEPLOTNÍ ZÁVISLOSTI PROUDU PŘI KONSTANTNÍM NAPĚTÍ. ................................................................................................................. 79 OBRÁZEK 5.13: STANOVENÍ VÝŠKY SCHOTTKYHO BARIÉRY Z CHARAKTERISTIKY KAPACITANAPĚTÍ. 80 OBRÁZEK 5.14: LINEARIZOVANÝ EKVIVALENTNÍ OBVOD SCHOTTKYHO DIODY. ............................ 81 OBRÁZEK 5.15: STRUKTURA OHMICKÉHO KONTAKTU. .................................................................... 82 OBRÁZEK 6.1: BINÁRNÍ POLOVODIČE ZNÁZORNĚNÉ V DIAGRAMU [A, EG]. SPOJOVACÍ ČÁRY VYZNAČUJÍ MOŽNÉ KOMBINACE BINÁRNÍCH SLOUČENI A VZNIK TERNÁRNÍHO POLOVODIČE, NAPŘ. ALAS-ALXGA1-XAS-GAAS. GRAF VPRAVO UKAZUJE VLIV CHEMICKÉHO SLOŽENÍ TERNÁRNÍHO POLOVODIČE NA MŘÍŽKOVOU KONSTANTU. ........................................................... 86 OBRÁZEK 6.2: PÁSOVÉ DIAGRAMY DVOU RŮZNÝCH POLOVODIČŮ PŘED VYTVOŘENÍM HETEROPŘECHODU. NA OBRÁZKU JSOU VYZNAČENY VELIČINY, KTERÉ URČUJÍ VZHLED PÁSOVÉHO DIAGRAMU HETEROPŘECHODU................................................................................... 86 OBRÁZEK 6.3: TYPY HETEROPŘECHODŮ PODLE VZÁJEMNÉ POLOHY DNA VODIVOSTNÍHO A VRCHOLU VALENČNÍHO PÁSU. ...................................................................................................... 87 OBRÁZEK 6.4: RŮZNÉ TYPY HETEROPŘECHODŮ GE/GAAS............................................................ 88 OBRÁZEK 6.5: PÁSOVÝ DIAGRAM HETEROPŘECHODU N-ALGAAS/P-GAAS: VZNIK HETEROPŘECHODU A HETEROPŘECHOD BEZ NAPĚTÍ. OBDOBNÉ PÁSOVÉ DIAGRAMY MÁ I ŘADA III V DALŠÍCH HETEROPŘECHODŮ S POLOVODIČI A B ....................................................................... 89 OBRÁZEK 6.6: PRINCIP VZNIKU GRADOVANÉHO HETEROPŘECHODU. V URČITÉ OBLASTI POLOVODIČE SE PLYNULE MĚNÍ CHEMICKÉ SLOŽENÍ MATERIÁLU A DŮSLEDKU SE MĚNÍ I

Mikroelektronické prvky a struktury VELIČINY

5

E g , ΔEC , ΔEV . POSTUPNÉ ZVYŠOVÁNÍ MOLÁRNÍHO OBSAHU HLINÍKU MĚNÍ PRŮBĚH

HLADIN EC A EV A ŠÍŘKU ZAKÁZANÉHO PÁSU EG.......................................................................... 89 OBRÁZEK 6.7: VLIV GRADOVANÉ VRSTVY NA PRŮBĚH ENERGIOVÝCH HLADIN V OKOLÍ HETEROPŘECHODU........................................................................................................................ 90 OBRÁZEK 6.8: PÁSOVÝ DIAGRAM HETEROPŘECHODU N-ALGAAS/P-GAAS S PŘILOŽENÝM 91 NAPĚTÍM. OBRÁZEK 6.9: MECHANISMY TRANSPORTU ELEKTRICKÉHO NÁBOJE PŘES STRMÝ HETEROPŘECHOD NP. 93 OBRÁZEK 6.10: PÁSOVÝ DIAGRAM STRMÉHO HETEROPŘECHODU NP PRO RŮZNÁ BAPĚTÍ V PROPUSTNÉM SMĚRU. NAPĚTÍ VZRŮSTÁ ZLEVA DOPRAVA OD NULY PO KONTAKTNÍ NAPĚTÍ Vbi . 93 OBRÁZEK 6.11: KAPACITA OCHUZENÝCH VRSTEV STRMÉHO HETEROPŘECHODU NP. .................... 94 OBRÁZEK 6.12: ATOMOVÁ STRUKTURA MŘÍŽKOVĚ NEPŘIZPŮSOBENÝCH VRSTEV INGAAS A GAAS. 95 OBRÁZEK 6.13: K DEFINICI KRITICKÉ TLOUŠŤKY. ........................................................................... 95 OBRÁZEK 6.14: ZÁVISLOST ŠÍŘKY ZAKÁZANÉHO PÁSU NA MOLÁRNÍM OBSAHU GERMANIA VE VRSTVÁCH SIGE. .......................................................................................................................... 96 OBRÁZEK 6.15: PŘÍKLADY PÁSOVÝCH DIAGRAMŮ RŮZNÝCH HETEROSKTRUKTUR SIGE. .............. 96 OBRÁZEK 7.1: PRVNÍ BIPOLÁRNÍ TRANZISTOR: FOTOGRAFIE A SCHÉMATICKÝ ŘEZ STRUKTUROU. 98 OBRÁZEK 7.2: PŘÍČNÝ ŘEZ KŘEMÍKOVÝM BIPOLÁRNÍM TRANZISTOREM NPN. .............................. 99 OBRÁZEK 7.3: PŘÍČNÝ ŘEZ KŘEMÍKOVÝM BIPOLÁRNÍM TRANZISTOREM PNP; VLEVO TRANZISTOR SUBSTRÁTOVÝ, VPRAVO LATERÁLNÍ. ........................................................................................... 99 OBRÁZEK 7.4: STRUKTURY REZISTORŮ........................................................................................ 100 OBRÁZEK 7.5: PÁSOVÉ DIAGRAMY BIPOLÁRNÍHO TRANZISTORU NPN A PNP............................... 100 OBRÁZEK 7.6: PÁSOVÉ DIAGRAMY BIPOLÁRNÍHO TRANZISTORU NPN PRO ČTYŘI MOŽNÉ REŽIMY 100 ČINNOSTI. OBRÁZEK 7.7: PRINCIP ČINNOSTI BIPOLÁRNÍHO TRANZISTORU (AKTIVNÍ NORMÁLNÍ REŽIM, TRANZISTOR NPN). ...................................................................................................................... 101 OBRÁZEK 7.8: TOKY ELEKTRONŮ A DĚR VE STRUKTUŘE TRANZISTORU (AKTIVNÍ NORMÁLNÍ REŽIM, TRANZISTOR NPN............................................................................................................. 101 OBRÁZEK 7.9: JEDNOROZMĚRNÝ MODEL BIPOLÁRNÍHO TRANZISTORU NPN. .............................. 103 OBRÁZEK 7.10: PRŮBĚHY KONCENTRACE MINORITNÍCH A MAJORITNÍCH NOSIČŮ VE STRUKTUŘE TRANZISTORU NPN PRO ČTYŘI REŽIMY ČINNOSTI TRANZISTORU................................................ 104 OBRÁZEK 7.11: TOKY ELEKTRONŮ A DĚR V JEDNOROZMĚRNÉM MODELU TRANZISTORU. ........... 104

6


Seznam tabulek TABULKA 3.1: TABULKA 3.2: TABULKA 4.1:

PARAMETRY VYBRANÝCH POLOVODIČŮ................................................................. 14 HODNOTY PARAMETRŮ PRO MODEL POHYBLIVOSTI PODLE ROVNICE ( 3.13 ). ....... 22 PRŮBĚH POTENCIÁLU A INTENZITY ELEKTRICKÉHO POLE NA STRMÉM PN PŘECHODU. 37 TABULKA 4.2: REÁLNÁ A IMAGINÁRNÍ SLOŽKA DIFÚZNÍ ADMITANCE PN PŘECHODU. .................. 61 TABULKA 4.3: ZÁKLADNÍ ROVNICE A VYBRANÉ PARAMETRY MODELU DIODY V SIMULÁTORU SPICE. 65 TABULKA 5.1: ČÍSELNÉ HODNOTY VÝŠKU SCHOTTKYHP BARIÉRY ΦBN, VÝSTUPNÍ PRÁCE ΦM A ELEKTRONOVÉ AFINITY χ PRO VYBRANÉ POLOVODIČE A KOVY................................................... 71 TABULKA 5.2: PRŮBĚH INTENZITY A POTENCIÁLU ELEKTRICKÉHO POLE V OCHUZENÉ VRSTVĚ......... 72 TABULKA 5.3: HODNOTY POMĚRU m * m0 Z ROVNICE ( 5.6 ) PRO NĚKTERÉ POLOVODIČE............ 76 TABULKA 5.4: POROVNÁNÍ PN-DIOD A SCHOTTKYHO DIOD. .......................................................... 81 TABULKA 6.1: VLIV CHEMICKÉHO SLOŽENÍ POLOVODIČE NA ŠÍŘKU ZAKÁZANÉHO PÁSU ............. 85


7

1 Úvod Učební text Mikroelektronické prvky a struktury je základní studijní literaturou pro stejnojmenný předmět, který je zařazen ve studijním programu Elektrotechnika, elektronika, komunikační a řídicí technika (EEKR) jako povinný předmět magisterského studijního oboru Mikroelektronia (M-MEL). Základní ideou výuky je ukázat a zdůraznit vztahy mezi fyzikálním principem součástky, realizací struktury součástky v integrovaném obvodu a jejím matematickým modelem používaným v simulátorech elektronických obvodů.

2 Zařazení předmětu ve studijním programu Předmět Mikroelektronické prvky a struktury (MMPR) je vyučován jako povinný předmět v zimním semestru prvního ročníku magisterského studijního oboru Mikroelektronika v týdenním rozsahu 2 hod. přednášek + 2 hod. cvičení na počítači, celkem za semestr tedy 26 + 26 hod, čemuž odpovídá jeho ohodnocení 5 kredity. Nejdůležitější odborné předměty předcházejícího bakalářského stupně studia, na něž předmět MMPR navazuje, jsou Elektronické součástky, Elektrotechnika I, II, Modelování a počítačová simulace, z teoretických předmětů pak Fyzika I, II a Matematika I, II, III. Předpokládá se, že posluchač je schopen aplikovat základní poznatky o polovodičových součástkách a základní principy teorie obvodů k analýze jednoduchých obvodů s diodami a tranzistory, a to jak k analýze teoretické (resp. početní nebo „ruční“), tak k analýze a simulacím s využitím simulátorů elektronických obvodů. Z matematiky očekáváme znalost diferenciálního a integrálního počtu funkcí jedné proměnné. Výklad fyzikálních vlastností polovodičů a polovodičových součástek byl v předcházejícím studiu roztříštěn do různých předmětů (Elektronické součástky, Fyzika), proto se snažíme o systematický a pokud možno podrobný výklad zde a látku probíranou dříve v podstatné míře rozšiřujeme.

2.1 Úvod do předmětu Předmět Mikroelektronické prvky a struktury rozšiřuje a prohlubuje poznatky o polovodičových součástkách z předmětu bakalářského stupně studia Elektronické součástky na úroveň, která odpovídá magisterskému stupni studia specializace Mikroelektronika. Cílem předmětu Elektronické součástky bylo seznámit se s voltampérovými charakteristikami a dalšimi vlastnostmi a parametry součástek. Předmět Mikroelektronické prvky a struktury by měl ukázat souvislosti a vztahy mezi vlastnostmi výchozího polovodičového materiálu, geometrií a topologií polovodičové struktury a elektrickými vlastnostmi polovodičové součástky, prvky jejího ekvivalentního obvodu a parametry jejího matematického modelu. Velmi stručně by bylo možné charakterizovat obsah předmětu takto: od pohybu elektronů a děr k vlastnostem součástky. Uveďme konkrétní příklad: Pro návrháře elektronických obvodů je závěrný proud diody zpravidla nezajímavý, protože „je to prakticky nula“. Pro specialistu v oboru Mikroelektronika je však závěrný proud diody velmi významný, protože z jeho napěťové a teplotní závislosti lze odvodit řadu poznatků o struktuře diody, případně o strukturních poruchách, nežádoucích příměsích apod. K tomu je ovšem potřeba vědět, že závěrný proud má složku difúzní a generačně-rekombinační, že tyto složky mají různou teplotní závislosti, že závisejí na napětí atd. Je prostě potřeba ovládat fyziku polovodičových součástek a sledovat souvislosti a vztahy mezi fyzikální teorií a elektrotechnickou praxí.

8


2.2 Vstupní test Než začnete studovat předložený studijní text, projděte si zde uvedené úlohy, které Vám ukážou, na kolik Vaše současné znalosti odpovídají vstupním požadavkům na úspěšné studium předmětu MMPR. 1. úloha V tabulce jsou uvedeny výsledky měření fyzikální veličiny x a fyzikální veličiny y, jejichž funkční závislost lze popsat rovnicí y = A [exp( x / B ) − 1] . Nakreslete graf tabelované funkce a určete hodnoty konstant A, B. x

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

0,22

0,24

0,26

0,28

0,30

y

0,14

0,32

0,56

0,86

1,24

1,74

2,38

3,19

4,24

5,59

7,32

9,54

12,4

16,1

20,8

2. úloha

Pásový diagram určité polovodičové struktury je nakreslen na obrázku. Odpovězte na tyto otázky: a) Nakreslete průběh elektrostatického potenciálu uvnitř struktury. b) Nakreslete průběh intenzity elektrického pole uvnitř struktury. c) Je struktura v rovnovážném stavu nebo není? d) Jaká je kinetická energie elektronů e1 , e2 , e3? e) Jaká je kinetická energie děr d1 , d2 , d3? f) Jaký typ vodivosti má polovodič v oblastech (0, 1/3 L), (1/3 L, 2/3 L), (2/3 L, L)? 3. úloha

V jakém režimu pracuje křemíkový bipolární tranzistor npn, jestliže napětí mezi jeho elektrodami jsou: a) UBE = 0,7 V, UCE = 5,2 V b) UBE = 0,7 V, UBC = −5,2 V c) UBE = −0,7 V, UCE = −5,2 V e) UBE = 0,7 V, UCE = −5,2 V f) UBE = −5,2 V, UCE = 0,7 V 4. úloha Vypočtěte napětí na diodě a proud procházející diodou v obou obvodech. Dioda je křemíková s prahovým napětím 0,7 V, napájecí napětí U N 1 = 15 V , U N 2 = 10 V , rezistory R1 = R2 = R3 = R4 = 10 kΩ .

+ UN2

+ UN1 R1

UD

+ UN1 R1

R3

R3 UD I2

I1 R2

+ UN2

ID R4

R2

R4


5. úloha Na obrázku je nakresleno schéma zapojení křemíkového bipolárního tranzistoru. a) Vypočtěte proudy I B , I C , I E a napětí U BE , U CE , U BC za předpokladu, že pracovní bod tranzistoru je nastaven do aktivního normálního režimu. b) Načrtněte výstupní charakteristiky tranzistoru. Napište rovnici zatěžovací přímky a načrtněte její polohu ve výstupních charakteristikách, vyznačte souřadnice jejich průsečíků s osami a polohu pracovního bodu.

9

+ UCC = 20 V RB = 430 kΩ

RC = 2 kΩ IC UBC UCE IB

UBE IE

tranzistor: zesílení β ≡ h21E = 50 Earlyho napětí UE = 80 V

6. úloha K nastavení pracovního bodu tranzistoru JFET s kanálem typu n je použit obvod na obrázku. a) Určete hodnotu odporu RS a interval, v němž se může pohybovat hodnota odporu RD tak, aby byly splněny tyto podmínky: tranzistorem protéká proud ID = 1/2 IDSS, pracovní bod tranzistoru je v režimu saturace, není překročen maximální ztrátový výkon kolektoru PDmax = 250 mW. b) Znázorněte na výstupní charakteristice možné polohy pracovního bodu.

7. úloha Pracovní bod tranzistoru MOSFET je nastaven zapojením podle obrázku a) Určete, o jaký typ tranzistoru MOSFET jde. b) Vypočtěte polohu pracovního bodu tranzistoru, tj. napětí UGS, proud ID a napětí UDS. c) Nakreslete převodní charakteristiku a výstupní charakteristiky tranzistoru a znázorněte v nich polohu zatěžovací přímky a pracovního bodu tranzistoru.

Tranzistor: IDSS = 18 mA UP = − 4 V PDmax = 250 mW

RE = 1 kΩ

+ UDD = 30 V ID

RD

UDS RG

UGS RS

Tranzistor: K = 0,24 mA / V2 UP = + 3 V

ID

+ UDD = 12 V RD = 2 kΩ

RG = 2 MΩ ID

UDS UGS

10


3 Polovodiče Jak název polovodiče napovídá, jde o materiály, jejichž elektrická vodivost je někde mezi dobrými vodiči (jako zlato nebo měď) a izolátory (jako jsou různé keramiky nebo plasty). Taková charakteristika polovodičů je ovšem velmi hrubá, a proto se v této kapitole seznámíme s vlastnostmi elektronů a děr v polovodičích detailněji.

3.1 Polovodiče: struktura a chemické složení Typickými polovodiči jsou křemík Si a germanium Ge, oba prvky z IV. skupiny periodické soustavy prvků. Nejčastěji používaným materiálem v mikroelektronice je křemík: převážná většina diod, tranzistorů, tyristorů, integrovaných obvodů a dalších polovodičových součástek se už asi půl století vyrábí z křemíku. Křemík Si stejně jako další polovodič germanium Ge jsou prvky ze čtvrté skupiny periodické soustavy, což znamená, že ve vnější slupce elektronového obalu mají čtyři elektrony nazývané valenční elektrony, které zprostředkovávají chemickou vazbu atomů. Elektronový obal atomu křemíku je nakreslen na Obrázek 3.1.

Obrázek 3.1:

Elektronový obal atomu křemíku.

Valenční elektrony dvou sousedních atomů, které mají opačný spin, vytvářejí elektronový pár, a jsou společně sdíleny oběma atomy – vytvoří elektronový oblak, který oba atomy obklopuje, jak je vidět na Obrázek 3.2. Protože valenční elektrony jsou čtyři, může se každý atom vázat prostřednictvím společně sdíleného elektronového páru právě se čtyřmi sousedními atomy. Chemická vazba založená na společném sdílení elektronů, se nazývá vazba kovalentní. V krystalech křemíku nebo germania jsou jednotlivé atomy uspořádány v kubické plošně centrované mřížce, viz Obrázek 3.2. Kromě křemíku a germania existují i další polovodiče. Významnou skupinou jsou tzv. binární polovodiče AIIIBV, kde AIII je prvek ze třetí skupiny periodické soustavy se třemi valenčními elektrony (Ga, In, Al) a BV je prvek z páté skupiny periodické soustavy s pěti valenčními elektrony (P, As, Sb, N). Kombinací těchto prvků vznikají polovodiče jako např. GaAs, InAs, InSb, GaP, GaN), které se široce využívají v optoelektronice nebo ke konstrukci speciálních vysokofrekvenčních a mikrovlnných tranzistorů (MESFET, HEMT). Krystalová struktura těchto polovodičů je opět nakreslena na obr. 3,3. Stále významnější skupinou binárních polovodičů jsou materiály AIVBIV, kde oba prvky A, B jsou ze čtvrté skupiny periodické soustavy. V praxi se od devadesátých let uplatňuje především SiGe a intenzívně je zkoumán polovodič SiC. Méně často se v praxi setkáváme s binárními polovodiči typu AIIBVII, jako jsou např. polovodiče ZnS, PbS, CdSe, CdTe.


11

Ternární polovodiče jsou tvořeny třemi prvky. Praktické využití nacházejí zejména kombinace prvků třetí a páté skupiny periodické soustavy, jako např. AlxGa1-xAs, InxGa1-xP, InxGa1-xAs a další (písmeno x v chemických vzorcích udává molární obsah daného prvku). Pro speciální účely, např. jako detektory infračerveného záření, se používají i jiné typy ternárních polovodičů, např. HgxCd1-xTe. Zejména v optoelektronice se používají i polovodiče složené ze čtyř různých prvků.

Obrázek 3.2:

Krystalová mřížka typických polovodičů a rozložení elektronového oblaku v kovalentním krystalu germania (vrstevnice propojují místa se stejnou hustotou náboje).

3.2 Energiové pásy v pevných látkách Kvantová fyzika nás učí, že energie elektronu v obalu atomu nemůže být libovolná, ale nabývá pouze zcela určitých hodnot, definovaných pravidly kvantové fyziky – dovolené energiové hladiny, na nichž se může elektron nacházet, jsou diskrétní, viz Obrázek 3.1. V molekulách se vlivem vzájemného silového působení jednotlivých atomů tyto diskrétní energiové hladiny štěpí na více hladin a v pevných látkách tak vznikají spojité pásy energiových hladin. Uvnitř těchto pásů může elektron nabývat libovolných hodnot energie z daného pásu, jednotlivé pásu jsou však od sebe odděleny zakázanými intervaly energie. Struktura energiových pásů (pásové diagramy) kovů, polovodičů a dielektrik se (při určitém zjednodušení) liší pouze šířkou zakázaného pásu: u kovů je nulová, u polovodičů menší než přibližně 5 eV, u dielektrik větší, viz Obrázek 3.3

Obrázek 3.3:

Energiové pásy v pevných látkách.

12


3.3 Fermiho-Diracova rozdělovací funkce Energiové hladiny uvnitř pásů mohou anebo nemusí být obsazeny elektrony. Pravděpodobnost, že na elektronové hladině E se nachází elektron, udává tzv. Fermiho-Diracova rozdělovací funkce f (E, E F , T ) =

1 E − EF ⎞ ⎛ exp⎜ ⎟ +1 ⎝ kT ⎠

( 3.1 )

Zde k je Boltzmannova konstanta, T je absolutní teplota a parametr EF je tzv. Fermiho energie (též Fermiho hladina). Při teplotě absolutní nuly jsou všechny energiové hladiny pod Fermiho hladinou zaplněny elektrony a všechny energiové hladiny nad Fermiho hladinou jsou prázdné, jak je znázorněno

Obrázek 3.4:

Fermiho-Diracova rozdělovací funkce a Fermiho energie.

3.4 Šířka zakázaného pásu polovodiče Šířka zakázaného pásu polovodiče Eg je základním parametrem, který určuje vlastnosti polovodičových materiálů. Pokud se zabýváme pouze elektrickými vlastnostmi polovodičů, můžeme šířku zakázaného pásu považovat za neměnnou. Ve skutečnosti však mírně závisí na teplotě, což se projevuje při studiu optických vlastností polovodičů (závislost Eg na teplotě se také měří optickými experimenty). Matematicky lze teplotní závislost Eg popsat empirickým vztahem

E g (T ) = E g (T = 0) −

aT 2 b +T

( 3.2 )

Šířka zakázaného pásu závisí i tlaku, resp. na napětí v tahu, které na polovodič působí. Přitom záleží na to, zda je o namáhání tzv. hydrostatickým (všesměrovým) tlakem nebo o namáhání tlakem či tahem v určitém směru. Tato závislost nachází praktické využití v polovodičových snímačích tlaku.

3.5 Koncentrace elektronů a děr v polovodičích Koncentrace elektronů a děr v polovodičích do značné míry určuje jejich elektrické a optické vlastnosti a je velmi výrazně závislá na teplotě a na koncentraci příměsí (donorů a akceptorů) vnesených do základního polovodičového materiálu. Zde si postupně uvedeme základní pojmy a vztahy, které umožňují koncentraci elektronů a děr vypočítat anebo naopak z naměřené koncentrace nosičů náboje určit jiné parametry polovodiče.


3.5.1

13

Polovodič vlastní (intrinsický)

Vlastní neboli intrinsický polovodič neobsahuje žádné příměsi. I když ve skutečnosti není možné vyrobit ideálně čistý polovodič, má smysl uvažovat o intrinsickém polovodiči jako o vhodném limitním modelu, který umožňuje vysvětlit řadu jevů a vlastností. Důležitou vlastností intrinsického polovodiče je, že koncentrace volných elektronů n0 je stejná jako koncentrace děr p 0 . Je to dáno tím, že volné elektrony v intrinsickém polovodiči mohou vzniknout jedině tak, že se uvolní elektron z kovalentní vazby mezi atomy a na jeho místě zůstane prázdné místo – díra. Jinými slovy můžeme tento proces popsat tak, že elektron přeskočí z valenčního pásu do vodivostního, kde se pohybuje jako volný, a ve valenčním pásu zůstane volná díra. Protože při typické šířce zakázaného pásu běžných polovodičů E g ≈ 1 eV a při běžné teplotě T ≈ 300 K je pravděpodobnost takového přeskoku malá, je i koncentrace volných elektronů a děr nízká. Společná hodnota koncentrace elektronů a děr se nazývá intrinsická koncentrace ni a platí pro ni vztah: ⎛ Eg ⎞ ⎛ E ⎞ ⎟ = BT 3 / 2 exp⎜ − g ⎟ n0 = p 0 = ni = N C N V exp⎜⎜ − ⎟ ⎜ 2kT ⎟ ⎝ 2kT ⎠ ⎝ ⎠

( 3.3 )

Zde NC, NV jsou veličiny závislé na konkrétním polovodičovém materiálu (tzv. efektivní hustoty stavů ve vodivostním a valenčním pásu) a na teplotě, obě dvě jsou úměrné T 3 / 2 ; B je už čistě materiálová N C N V po vyloučení teplotní závislosti. Závislost intrinsické konstanta, která se odvodí z koncentrace na teplotě pro polovodiče Si, Ge, GaAs je na Obrázek 3.5 Fermiho hladina EF ve vlastním polovodiči leží téměř uprostřed zakázaného pásu a označuje se jako intrinsická hladina Ei.

Obrázek 3.5:

Závislost intrinsické koncentrace a šířky zakázaného pásu na teplotě pro polovodiče Si, Ge, GaAs.

14


Tabulka 3.1:

Parametry vybraných polovodičů.

[Označení: d mřížková konstanta, εrel relativní permitivita, NC, NV veličiny z rovnice ( 3.3 ), a,b koeficienty z rovnice ( 3.2 )] b [K] polovodič d [nm] NC [cm-3] NV [cm-3] Eg [eV] Eg [eV] a εrel při 300 K při 300 K při 300 K při 0 K

[10-4 eV/K]

Ge

0,565

16,0

2,08.1019

4,03.1018

0,664

0,744

4,77

235

Si

0,543

11,9

3,22.1019

1,82.1019

1,124

1,170

4,73

625

GaAs

0,565

12,9

3,97.1017

9,40.1018

1,442

1,519

5,405

204

14,6

16

18

0,354

0,417

2,76

93

19

InAs

0,606

8,14.10

17

6,46.10

InP

0,587

12,4

5,57.10

1,21.10

1,353

1,424

3,63

162

GaN

0,450

9,5

2,25.1018

1,80.1019

3,445

3,507

9,09

1020

3.5.2

Polovodiče typu n a p

Koncentraci elektronů a děr v polovodičích lze velmi výrazně zvýšit zavedením příměsí, dopováním polovodiče. Polovodič s příměsemi se nazývá dopovaný nebo také extrinsický. Existují dva typy příměsí, donory a akceptory. Donory jsou atomy zavedené do krystalové mřížky polovodiče, které mají o jeden elektron více než je potřeba k vytvoření kovalentních chemických vazeb s okolními atomy (např. v křemíku jsou donory prvky z páté skupiny periodické soustavy fosfor P nebo arsen As). Koncentrace donorů ND je významným technologickým parametrem polovodičového materiálu, pohybuje se zpravidla v rozmezí 1014 cm-3 až 1019 cm-3. V energiovém pásovém diagramu se přítomnost donorů projeví existencí donorové hladiny ED, která leží těsně pod hladinou EC, rozdíl EC – ED je ionizační (též aktivační) energie donoru, typicky několik desítek meV, viz Obrázek 3.6. K uvolnění nadbytečného elektronu od donorového atomu a k jeho přechodu do vodivostního pásu tak stačí dodat jen velmi malou energii EC – ED. Poté, co uvolněné elektrony přejdou do vodivostního pásu, zůstávají v krystalové mřížce ionizované donory s kladným nábojem o koncentraci N D+ . Pravděpodobnost, že donorová hladina ED je obsazena elektronem, je dána vztahem f D (ED , EF T ) =

1 1 ⎛ E − EF exp⎜ D gD kT ⎝

⎞ ⎟ +1 ⎠

( 3.4 )

Tento vztah se od Fermiho-Diracovy rozdělovací funkcí ( 3.1 ) liší bezrozměrným faktorem degenerace gD, který je statistickým vyjádřením skutečnosti, že obsazování energiových hladin ve vodivostním pásu volnými elektrony a obsazování diskrétních energiových hladin atomu elektrony jsou dva různé fyzikální procesy: donorovou hladinu může obsadit elektron s libovolným spinem, ale jakmile je tato hladina obsazena, žádný další elektron (i když má opačný spin) na ni už přejít nemůže. Pro koncentraci ionizovaných donorů N D+ tak platí N D+ = N D (1 − f D ) =

ND , gD = 2 ⎛ EF − ED ⎞ g D exp⎜ ⎟ −1 kT ⎝ ⎠

( 3.5 )

Akceptory jsou naopak atomy, kterým naopak jeden valenční elektron k vytvoření chemických vazeb se sousedními atomy chybí (např. v křemíku jsou akceptory prvky ze třetí skupiny periodické soustavy, zpravidla bór B). Koncentrace akceptorů NA může nabývat řádově stejných hodnot jako koncentrace donorů. V energiovém pásovém diagramu se přítomnost akceptorů projeví existencí


Obrázek 3.6:

15

Pásový diagram polovodiče typu n a p.

akceptorové hladiny EA ležící těsně nad hladinou EV, rozdíl EA – EV je ionizační (aktivační) energie akceptoru, obvykle opět několik desítek meV Obrázek 3.6. Elektron vázaný v chemické vazbě tak může velmi snadno přejít z valenčního pásu na hladinu EA a ve valenčním pásu se vytvoří díra. Poté, co jsou akceptorové hladiny obsazeny elektrony, vznikají ionizované akceptory o koncentraci N A− . Pravděpodobnost, že na akceptorové hladině je zachycen elektron, je f A (E A , E F T ) =

1 ⎛ E − EF ⎞ g A exp⎜ A ⎟ +1 kT ⎝ ⎠

( 3.6 )

a pro koncentraci ionizovaných akceptorů platí N A− = N A f A =

NA ⎛ E − EF ⎞ g A exp⎜ A ⎟ +1 ⎝ kT ⎠

, gA = 4

( 3.7 )

Na Obrázek 3.7 je znázorněna poloha příměsových hladin různých atomů v křemíku. Příměsi, které vytvářejí energiové hladiny těsně pode dnem vodivostního pásu nebo těsně nad vrcholem valenčního pásu, se mohou uplatnit donory nebo akceptory. Prvky, které vytvářejí tzv. hluboké hladiny poblíž středu zakázaného pásy, se uplatňují jako rekombinační centra.

Obrázek 3.7:

Poloha příměsových hladin v křemíku.

16


3.5.3

Rovnovážná koncentrace elektronů a děr v polovodičích

Řekneme, že polovodič se nachází v rovnovážném stavu (ve stavu termodynamické rovnováhy), jestliže na něj není přiloženo žádné vnější elektrické napětí, nedopadá na něj žádné záření, které by mohlo generovat elektrony a díry, celý polovodič je udržován na konstantní teplotě, není v něm žádný teplotní gradient, nepůsobí na něj žádné tlakové nebo tahové síly. Podle polohy Fermiho hladiny EF vzhledem ke dnu vodivostního pásu EC nebo vzhledem k vrcholu valenčního pásu EV rozlišujeme polovodič nedegenerovaný, slabě degenerovaný nebo degenerovaný; v každém z těchto případů může jít o typ n nebo p, viz Obrázek 3.8.

Obrázek 3.8:

Nedegenerovaný, slabě degenerovaný a degenerovaný polovodič n nebo p.

V nedegenerovaných polovodičích pro koncentraci rovnovážných elektronů děr platí: ⎛ E − EF ⎞ ⎛ E − EF ⎞ n0 = N C exp⎜ − C ⎟ = ni exp⎜ − i ⎟ kT kT ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

( 3.8 )

⎛ E − EV ⎞ ⎛ E − Ei ⎞ p 0 = N V exp⎜ − F ⎟ = ni exp⎜ − F ⎟ kT kT ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

( 3.9 )

Zde ni je intrinsická koncentrace a Ei je intrinsická hladina (tj. Fermiho hladina v intrinsickém polovodiči). Vynásobením rovnic (3.8) a (3.9) dostaneme velmi důležitý a často užívaný vztah, který platí ve všech nedegenerovaných polovodičích:

n0 p 0 = ni2

3.5.4

( 3.10 )

Rovnice elektrické neutrality

Za podmínek termodynamické rovnováhy musí být polovodič elektricky neutrální. Pokud by totiž nebyl, vzájemné silové působení kladných a záporných nábojů by vedlo k tomu, že by se elektrický náboj rozložil tak, aby polovodič byl elektricky neutrální.

p0

Rovnice elektrické neutrality vyjadřuje, že celkový kladný náboj, tvořený děrami o koncentraci a ionizovanými donory o koncentraci N D+ je kompenzován celkovým záporným nábojem,

tvořeným elektrony o koncentraci n0 a ionizovanými akceptory o koncentraci N A− : p 0 + N D+ − (n0 + N A− ) = 0

( 3.11 )


3.5.5

17

Teplotní závislost koncentrace elektronů a děr

Na Obrázek 3.9 je znázorněna závislost koncentrace elektronů nebo děr na teplotě. Vysvětlení uvedeme pro polovodič typu n, v polovodiči typu p je situace analogická.

Obrázek 3.9:

Závislost koncentrace elektronů a děr na teplotě.

Při velmi nízkých teplotách blížících se absolutní nule jsou všechny elektrony vázány v chemických vazbách ve valenčním pásu nebo na donorových hladinách. Se vzrůstající teplotou začínají elektrony z donorových hladin postupně přecházet do vodivostního pásu a koncentrace volných elektronů vzrůstá až do teploty, při níž jsou (téměř) všechny donory ionizované. Tato teplota se nazývá první ionizační teplota a závisí na koncentraci donorů a na jejich ionizační energii. Běžně se pohybuje v desítkách kelvinů, výjimkou jsou velmi silně dopované polovodiče, u nichž výrazně vzrůstá. První ionizační teplota je natolik nízká, že tepelná energie nestačí k tomu, aby se elektrony mohly uvolnit z chemické vazby a přecházet z valenčního pásu do vodivostního. Proto se při dalším zvyšování teploty koncentrace volných elektronů nemění a prakticky se rovná koncentraci donorů, koncentrace děr je zanedbatelně malá. Teprve až se teplota zvýší natolik, že tepelná energie je dostatečná k vyvolání velkého množství přeskoků elektronů přes zakázaný pás, začne koncentrace elektronů prudce narůstat. Současně se ovšem zvyšuje i koncentrace děr, protože po každém elektronu zůstává ve valenčním pásu volná díra. Při určité teplotě převýší koncentrace volných elektronů a děr koncentraci donorů a polovodič se začne chovat jako vlastní – koncentrace elektronů a děr je prakticky stejná. Teplota, při níž tento jev nastane, se nazývá druhá ionizační teplota, závisí na šířce zakázaného pásu polovodiče a dosahuje hodnot několika stovek kelvinů. Teplotní interval mezi první a druhou ionizační teplotou vymezuje oblast příměsové vodivosti polovodiče, kdy se polovodič chová jako vyhraněný typ n nebo p (podle dopování) s konstantní koncentrací nosičů náboje. Při nižších teplotách než první ionizační teplota vodivost polovodiče prudce klesá, protože nejsou k dispozici volné nosiče náboje. Při vyšších teplotách než druhá ionizační teplota se naopak polovodič chová jako vlastní a stírá se rozdíl mezi typem n a p. První a druhá ionizační teplota tak vymezují maximální fyzikálně možný teplotní interval použitelnosti určité polovodičové součástky. Ve skutečnosti je teplotní interval použitelnosti součástky omezen i dalšími jevy, jako je např. teplotní roztažnost a mechanická pevnost kontaktů (při velkém snížení teploty se mohou kontakty odtrhnout). Ionizační teploty představují limit, který z fyzikálních důvodů nelze překročit.

18


Příklad 3.1:

Koncentrace elektronů a děr v polovodiči – I.

Vzorek křemíku typu n (n-Si) je dopován pouze donory o koncentraci N D = 2,5.1016 cm -3 . Předpokládáme, že při teplotě 300 K jsou všechny donory ionizované. Vypočtěte koncentraci elektronů a děr. Řešení: Intrinsická koncentrace elektronů a děr v křemíku při teplotě 300 K je ni = 1.1010 cm -3 (zjistíme např. z grafu na Obrázek 3.5), takže N D >> ni . Koncentraci volných elektronů ve vzorku Si vypočítáme užitím rovnice ( 3.11 ) snadno, neboť položíme p 0 ≈ 0 , N A− = 0 , N D+ = N D : n0 = N D = 2,5.1016 cm -3 Koncentraci děr vypočteme pomocí rovnice ( 3.10 ): p0 =

ni2 = 4.10 3 cm -3 . ND

Je vidět, že koncentrace děr je o mnoho řádů menší než koncentrace elektronů, takže její zanedbání v rovnici elektrické neutrality bylo oprávněné. Poznámka: V analogické situaci bychom pro polovodič typu p dopovaný akceptory dostali: p 0 = N A , n0 =

Příklad 3.2:

ni2 NA

Koncentrace elektronů a děr v polovodiči – II.

Vzorek polovodiče n-InAs je dopován pouze donory o koncentraci N D = 2,5.1015 cm −3 . Předpokládáme, že při teplotě 300 K jsou všechny donory ionizované. Vypočtěte koncentraci elektronů a děr. Řešení: Intrinsická koncentrace elektronů a děr v InAs při teplotě 300 K je ni = 7,8.1014 cm −3 (vypočteme pomocí údajů v Tabulka 3.1). V rovnici ( 3.11 ) opět položíme N A− = 0 , N D+ = N D , ale koncentraci děr p 0 zanedbávat nebudeme. Užitím ( 3.10 ) postupně dostaneme kvadratickou rovnici pro koncentraci n0 p 0 + N D − n0 =

ni2 + N D − n0 = 0 n0

⇒

n02 − N D n0 − ni2 = 0

kterou vyřešíme podle známého vzorečku: n0 =

N D + N D2 + 4ni2 2

⎡ ⎛ 2n 1 = N D ⎢1 + 1 + ⎜⎜ i ⎢ 2 ⎝ ND ⎣⎢

2⎤ ⎞ ⎥ ⎟⎟ ≈ 4,4.1015 cm -3 ⎠ ⎥⎥ ⎦

Koncentraci děr dopočítáme pomocí ( 3.10 ): 2 ⎤ ⎡ ⎛ 2n i ⎞ ni2 1 ⎢ ⎟⎟ − 1⎥ ≈ 1,4.1014 cm −3 = N D 1 + ⎜⎜ p0 = ⎥ ⎢ n0 2 N ⎝ D⎠ ⎥⎦ ⎣⎢

Všimněte se, že pokud by bylo (2ni N D )2 << 1 , mohli bychom tento člen pod odmocninou zanedbat

a dostali bychom n0 = N D , p 0 = 0 jako v Příklad 3.1. Zde však je (2ni N D )2 ≈ 0,39 , takže je nutné při výpočtu užít přesnější vztahy, konkrétně nelze zanedbat p 0 v rovnici el. neutrality ( 3.11 ). Taková


19

situace nastává, když intrinsická koncentrace je velká (u polovodičů s malou šířkou zakázaného pásu) nebo když koncentrace dopujících příměsí je malá – jinými slovy, pokud veličiny ni a ND jsou řádově srovnatelné. Poznámka: V analogické situaci bychom pro polovodič typu p dopovaný akceptory dostali: 2⎤ 2 ⎤ ⎡ ⎡ ⎛ 2n i ⎞ ⎛ 2n i ⎞ ⎥ 1 1 ⎥ ⎢ ⎢ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ p0 = N A 1 + 1 + ⎜ ⎟ ⎥ , n0 = 2 N A ⎢ 1 + ⎜ N ⎟ − 1⎥ ⎢ 2 N A A ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎥ ⎦ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎣⎢

Příklad 3.3:

Závislost koncentrace elektronů na teplotě při nízkých teplotách

Odvoďte vztah pro výpočet závislosti koncentrace elektronů na teplotě v polovodiči, který je dopován donory o koncentraci ND. Uvažujte oblast nízkých teplot, kdy nejsou všechny donory ionizované a kdy koncentraci volných děr lze zanedbat. Řešení: Rovnice elektrické neutrality ( 3.11 ) se v tomto případě zjednoduší na

N D+ − n0 = 0 a po dosazení z ( 3.5 ) a ( 3.8 ) dostaneme

ND ⎛ E − EF ⎞ − N C exp⎜ − C ⎟=0 kT ⎛ EF − ED ⎞ ⎝ ⎠ g d exp⎜ ⎟ −1 kT ⎝ ⎠ První člen rovnice přepíšeme tak, aby se v něm objevila experimentálně měřitelná veličina, ionizační energie donoru EC − E D : ND ⎛ E − EF ⎞ − N C exp⎜ − C ⎟=0 kT ⎛ − ( EC − E F ) + ( EC − E D ) ⎞ ⎝ ⎠ g D exp⎜ ⎟ −1 kT ⎝ ⎠ ⎛ E − EF ⎞ Upravíme do tvaru kvadratické rovnice pro funkci exp⎜ − C ⎟ kT ⎝ ⎠ ⎛ E − ED N C g D exp⎜ C kT ⎝

E − EF ⎞ ⎛ E − EF ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ − ND = 0 ⎟ + N C exp⎜ − C ⎟ exp⎜ − 2 C kT kT ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

a vyřešíme ji podle známého vzorečku pro řešení kvadratických rovnic: ⎛ E − ED ⎞ − N C ± N C2 + 4 N C N D g D exp⎜ C ⎟ kT ⎛ EC − E F ⎞ ⎝ ⎠ exp⎜ − ⎟= kT ⎛ E − ED ⎞ ⎝ ⎠ 2 N C g D exp⎜ C ⎟ kT ⎝ ⎠ Exponenciální funkce na levé straně poslední rovnice nabývá jen kladných hodnot, takže v čitateli zlomku na pravé straně vyhovuje znaménko plus. Po další úpravě obdržíme konečný výsledek:

⎛ E − EF n = N C exp⎜ − C kT ⎝

⎛ E − ED ⎞ NC exp⎜ − C ⎟= kT ⎝ ⎠ 2g D

N ⎛ E − ED ⎞ ⎤ ⎞⎡ ⎟ − 1⎥ ⎟ ⎢ 1 + 4 g D D exp⎜ C NC kT ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎠ ⎢⎣

20


Příklad 3.4:

Závislost koncentrace elektronů na teplotě při vysokých teplotách

Odvoďte vztah pro výpočet závislosti koncentrace elektronů na teplotě v polovodiči, který je dopován donory o koncentraci ND. Uvažujte oblast vysokých teplot, kdy jsou všechny donory ionizované a kdy koncentraci volných děr už nelze zanedbat. Řešení: Rovnice elektrické neutrality ( 3.11 ) má v tomto případě tvar p 0 + N D − n0 = 0 tedy stejný jako v Příklad 3.2, takže vztahy odvozené v tomto příkladě jsou použitelné i zde: 2⎤ ⎡ ⎡ ⎛ Eg ⎞⎤ ⎛ 2ni ⎞ ⎥ 1 N N 1 ⎢ ⎟⎥ ⎟⎟ = N D ⎢1 + 1 + 4 C V exp⎜ − n0 = N D 1 + 1 + ⎜⎜ ⎜ kT ⎟ ⎥ ⎢ 2 ND ⎠ ⎥ 2 ⎢ N D2 ⎝ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎥⎦ ⎣⎢

p0 =

⎡ ⎛ 2n 1 N D ⎢ 1 + ⎜⎜ i ⎢ 2 ⎝ ND ⎣⎢

2 ⎤ ⎡ ⎛ Eg ⎞ ⎤ ⎞ N N 1 ⎟ ⎥ ⎟⎟ − 1⎥ = N D ⎢ 1 + 4 C V exp⎜ − ⎜ kT ⎟ − 1⎥ ⎥ 2 ⎢ N D2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ ⎦⎥

3.6 Drift a difúze nosičů náboje v polovodičích V kovech se setkáváme pouze s jediným mechanismem vedení proudu: jestliže na kovový vodič přiložíme vnější napětí, uvedou se jeho působením volné elektrony do usměrněného a uspořádaného pohybu a začne procházet elektrický proud. V polovodičích existují dvě nezávislé příčiny pohybu nosičů náboje: gradient potenciálu elektrického pole a gradient koncentrace nosičů.

3.6.1

Drift nosičů náboje, driftová rychlost

Drift je pohyb nosičů náboje vyvolaný elektrickým polem. Pokud není na polovodič přiloženo vnější elektrické pole, pohybují se nosiče náboje chaotickým tepelným pohybem. V elektrickém poli se k tomuto chaotickému pohybu přidává ještě uspořádaný usměrněný pohyb vyvolaný silovým působením pole. Elektron nebo díra se při svém pohybu srážejí s kmitajícími atomy krystalové mříže, s ionizovanými a neutrálními příměsemi, s ostatními elektrony a děrami a s dalšími poruchami a příměsemi v krystalu. Mezi dvěma srážkami se elektrony a díry pohybují jako volné částice a jsou urychlovány elektrickým polem. Srážka změní náhodně směr i velikost jejich rychlosti. Vzdálenost, kterou nosiče náboje v průměru urazí mezi dvěma srážkami, se nazývá střední volná dráha.

Obrázek 3.10:

Drift nosičů náboje v polovodiči.

Elektrony nebo díry se pohybují podle znaménka elektrického náboje proti směru, resp. ve směru elektrického pole rychlostí nazývanou driftová rychlost elektronů v n.drift nebo děr v p,drift , která závisí na intenzitě elektrického pole podle vztahu (tučně jsou označeny vektory)

Mikroelektronické prvky a struktury v n,drift = −μ n E , v p ,drift = μ p E

21

( 3.12 )

Veličina μ n , resp. μ p , je driftová pohyblivost elektronů nebo děr. Závisí na teplotě, na koncentraci donorů, akceptorů, elektronů a děr, ve slabých elektrických polích (zhruba do intenzity 104 V/cm až 105 V/cm) nezávisí na intenzitě elektrického pole. Ve slabém elektrickém poli je tedy driftová rychlost přímo úměrná intenzitě elektrického pole. V silném elektrickém poli u polovodičů jako je křemík nebo germanium dochází k tzv. nasycení driftové rychlosti: driftová rychlost dosáhne maximální hodnoty, označované jako saturační rychlost v sat a s rostoucí intenzitou elektrického pole dále nevzrůstá, viz Obrázek 3.11. Energie, kterou nosiče náboje získávají od elektrického pole, je okamžitě odčerpávána při jejich srážkách s jinými částicemi v krystalu. Saturační rychlosti dosahují např. elektrony nebo díry v závěrné oblasti přechodu kolektorbáze bipolárních tranzistorů. U polovodičů AIIIBV (jako je např. GaAs, InP a další) má obdobná závislost výrazně odlišný průběh, viz opět Obrázek 3.11. Driftová rychlost s intenzitou elektrického pole nejprve strmě vzrůstá, dosahuje maxima a potom výrazně klesá na určitou hodnotu, která už dále na intenzitě elektrického pole nezávisí. Přesné vysvětlení tohoto jevu vyžaduje hlubší znalost fyziky polovodičů a pásových diagramů. Jev nachází praktické využití v Gunnových diodách, kde umožňuje vznik domén silného elektrického pole pohybujících se od katody k anodě.

Obrázek 3.11:

3.6.2

Závislost driftové rychlosti elektronů a děr na intenzitě elektrického pole v různých polovodičích.

Pohyblivost elektronů a děr v polovodičích

Driftová pohyblivost nosičů náboje závisí na koncentraci donorů a akceptorů, na teplotě a také na koncentraci volných elektronů a děr. Závislost pohyblivosti elektronů a děr na koncentraci donorů nebo akceptorů ve slabém elektrickém poli je nakreslena na Obrázek 3.12. Je vidět, že do koncentrace příměsí asi 1016 cm -3 zůstává pohyblivost téměř konstantní, pak s rostoucí koncentrací příměsí výrazně klesá (protože vzrůstá pravděpodobnost srážky nosiče náboje s příměsovým atomem).

Obrázek 3.12:

Závislost pohyblivosti elektronů a děr na koncentraci donorů nebo akceptorů.

22


Na Obrázek 3.13 jsou grafy závislosti driftové pohyblivosti elektronů a děr na teplotě pro různé koncentrace donorů a akceptorů. Vidíme, že při teplotách přibližně nad 100 K pohyblivost nosičů náboje se vzrůstající teplotou klesá (protože se zvětšuje pravděpodobnost srážky nosiče s kmitajícím atomem krystalové mříže).

Obrázek 3.13:

Závislost pohyblivosti elektronů a děr na teplotě.

Pro účely modelování polovodičových součástek je třeba tyto závislosti popsat vhodnými matematickými vztahy. Tyto vztahy se zpravidla odvozují tak, že se metodami kvantové fyziky spočítají pravděpodobnosti srážek nosičů náboje s kmitajícími atomy krystalové mříže, s ionizovanými a neutrálními příměsemi, s ostatními elektrony a děrami a s dalšími poruchami a příměsemi v krystalu a výsledek se ještě zkombinuje s experimentálními údaji získanými měřením. Tak vznikají různé semiempirické rovnice, které modelují závislosti z Obrázek 3.12 a Obrázek 3.13. Jako příklad si uvedeme často používaný vztah ( 3.13 ), který modeluje závislost pohyblivosti na celkové koncentraci donorů a akceptorů N při teplotě 300 K; hodnoty parametrů pro některé polovodiče jsou uvedeny v Tabulka 3.2.

μ = μ min +

Tabulka 3.2:

μ max − μ min ⎛ N 1+ ⎜ ⎜ N ref ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

α

( 3.13 )

Hodnoty parametrů pro model pohyblivosti podle rovnice ( 3.13 ).

2 2 polovodič μ min [cm / Vs] μ max [cm / Vs]

Si, n Si, p GaAs, n

74,5 49,7 1750

N ref [cm -3 ]

α

1430

8,6.1016

0,77

468

17

0,70

16

0,55

8625

1,6.10 6,0.10

SiC, n

40,0

950

2,0.1017

0,76

SiC, p

15,9

124

1,7.1019

0,34

Vztah ( 3.13 ) zdaleka není jediný, který lze najít v odborné literatuře, a není ani univerzální, neplatí např. pro pohyblivost děr v GaAs typu p. Rovněž k číselným hodnotám parametrů uvedeným v tabulce je třeba poznamenat, že hodnoty udávané v různých odborných článcích se často liší. Teplotní závislost pohyblivosti v intervalu teplot, kdy se běžně polovodičové součástky používají, lze jednoduše modelovat tak, že pohyblivost při teplotě 300 K se vypočítá například užitím ( 3.13 ) a pro jinou teplotu T pak platí


⎛ T ⎞ μ(T ) = μ(300 K ).⎜ ⎟ ⎝ 300 K ⎠

23

η

( 3.14 )

kde η je semiempiricky stanovený parametr, η ≈ 2,2 ÷ 2,3 , viz Obrázek 3.13. V silném elektrickém poli závisí driftová rychlost na intenzitě elektrického pole podle grafů nakreslených na Obrázek 3.11, takže i pohyblivost musí být závislá na intenzitě elektrického pole. Existuje opět celá řada různých semiempirických vztahů, které tuto závislost modelují. Jako příklad si uvedeme vztah pro závislost pohyblivosti elektronů v křemíku na intenzitě elektrického pole při teplotě 300 K:

μ (E) =

μ ( 0) β ⎤1 β

⎡ ⎛ μ (0) E ⎞ ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎜⎝ v sat ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦

, v sat ≈ 1,1.10 7 cm/s, β ≈ 2 ( 3.15 )

Pro modelování složitější závislosti pohyblivosti elektronů v GaAs na intenzitě elektrického pole při teplotě 300 K se často používá tento vztah:

μ (0) + v sat μ (E) =

⎛ E 1 + ⎜⎜ ⎝ E krit

E3 4 E krit

⎞ ⎟⎟ ⎠

4

, v sat ≈ 1,0.10 7 cm/s, E krit ≈ 4,0.10 3 V/cm

( 3.16 )

K číselným parametrům v rovnicích ( 3.15 ), ( 3.16 ) je opět třeba poznamenat, že jejich hodnoty udávané v odborné literatuře se často liší.

3.6.3

Hustota driftového toku, vodivost polovodiče Vztah pro hustotu driftového toku (proudu) elektronů j n,drift nebo děr j p,drift se odvodí

bezprostředně z definice této veličiny: je to náboj přenášený elektrony nebo děrami, který projde za jednotku času jednotkovou plochou kolmou ke směru pohybu nosičů náboje, viz Obrázek 3.14:

Obrázek 3.14:

K odvození vztahu pro hustotu driftového toku.

j n.drift = −env n,drift = enμ n,drift E = σ n E j p.drift = env p,drift = enμ p ,drift E = σ p E

( 3.17 )

Veličiny σ n , σ p jsou elektronová a děrová složka vodivosti (konduktivity) polovodiče, celková vodivost (konduktivita) polovodiče je jejich součtem: σ n = enμ n , σ p = epμ p , σ = σ n + σ p = e(nμ n + pμ p )

( 3.18 )

Do závislosti vodivosti polovodiče na koncentraci donorů a akceptorů a na teplotě se promítá závislost pohyblivosti elektronů a děr na těchto veličinách diskutovaná v předcházející části a také teplotní závislost koncentrace elektronů a děr. Závislost rezistivity různých polovodičů na koncentraci příměsí při teplotě 300 K je v grafech na Obrázek 3.15 . Z grafů je vidět, že přibližně platí: narůst koncentrace příměsí o jeden řád znamená pokles rezistivity (nárůst konduktivity) také o jeden řád.

24

Obrázek 3.15:


Rezistivita Si, Ge, GaAs, GaP v závislosti na koncentraci příměsí při teplotě 300 K.


3.6.4

25

Difúze nosičů náboje

Dalším mechanismem, který se uplatňuje při vedení proudu v polovodičích, je difúze. Difúze je pohyb elektronů nebo děr vyvolaný jejich rozdílnou koncentrací (koncentračním spádem, gradientem koncentrace).

Hustota difúzního toku (proudu) elektronů a děr.

Obrázek 3.16:

Pro hustotu difúzního toku (proudu) elektronů a děr platí vztahy: j n,dif = eDn grad (n)

( 3.19 )

j p,dif = −eD p grad ( p)

Veličiny Dn a Dp se nazývají difúzní konstanty. Souvisejí s pohyblivostí, v nedegenerovaném polovodiči platí tzv. Einsteinův vztah, který říká, že poměr difúzní konstanty a pohyblivosti je stejný pro elektrony i pro díry a závisí pouze na teplotě: Dn

μn

=

Dp

μp

=

kT = UT e

( 3.20 )

Poměr kT e je tzv. teplotní napětí U T , veličina často užívaná ve fyzice polovodičových součástek.

3.6.5

Proudová hustota v polovodičích

V předcházejících kapitolách jsme uvedli vztahy pro hustotu driftového toku (proudu) ( 3.17 ) a difúzního toku (proudu) ( 3.19 ) v polovodiči. K celkové proudové hustotě v polovodiči obecně přispívá dirft i difúze a elektrony a díry, což lze vyjádřit následujícími rovnicemi. (i) Celková proudová hustota se skládá ze složky elektronové a děrové, každá z těchto složek má složku driftovou a difúzní:

j = jn + j p = ( j n,drift + j n,dif ) + ( j p ,drift + j p,dif )

(

= (enμ n E + eDn grad (n) ) + epμ p E − eD p grad ( p )

(

)

= (− enμ n grad (ϕ ) + eDn grad (n) ) + − epμ p grad (ϕ ) − eD p grad ( p)

( 3.21 )

)

(ii) Při jiném úhlu pohledu se celková proudová hustota skládá ze složky driftové a difúzní a každá z těchto složek má složku elektronovou a děrovou: j = j drift + j dif

( ) ( ) = (e(nμ n + pμ p ) E ) + e(Dn grad (n) − D p grad ( p) ) = j n,drift + j p ,drift + j n,dif + j p ,dif

( 3.22 )

26


3.7 Nerovnovážné nosiče náboje v polovodiči Zahřívání polovodiče nebo ozáření polovodiče elektromagnetickým zářením vhodného kmitočtu jsou dva typické procesy, které vedou k nárůstu koncentrace nosičů náboje nad hodnotu koncentrace rovnovážné a ke vzniku nerovnovážných nosičů náboje. Jestliže záření přestane dopadat nebo polovodič přestaneme zahřívat, nerovnovážné nosiče náboje poměrně rychle zanikají. Těmito procesy se budeme nyní zabývat podrobněji.

3.7.1

Generace nosičů náboje v polovodičích

Generace je proces, při němž v polovodiči vznikají (jsou generovány) páry elektron-díra. Rychlost generace g udává počet párů elektron-díra, které jsou v jednotkovém objemu polovodiče generovány za jednotku času; měří se zpravidla v cm-3s-1. Existují dva základní mechanismy generace párů elektron-díra, generace tepelná a generace světelná (obecněji zářením). Podstatou tepelné generace je přechod elektronu z valenčního pásu do vodivostního vlivem tepla. S rostoucí teplotou se zvyšuje intenzita kmitání atomů v krystalové mříži a vzrůstá pravděpodobnost, že dojde k narušení chemické vazby, k uvolnění elektronu z chemické vazby mezi atomy, jinými slovy k tepelné excitaci elektronu z valenčního pásu do vodivostního, a tak vzniká pár volný elektron ve vodivostním pásu – volná díra ve valenčním pásu. Generace zářením znamená, že vznik nových nosičů náboje je vyvolán dopadajícím elektromagnetickým zářením. Dopadá-li na polovodič záření vhodného kmitočtu (zpravidla viditelné světlo nebo blízké infračervené záření), je energie fotonu elektromagnetického záření absorbována, chemická vazba je narušena, elektron se uvolní a přechází z valenčního pásu do vodivostního. Opět tak vzniká pár volný elektron ve vodivostním pásu – volná díra ve valenčním pásu. Mezi procesy generace je možné také zahrnout lavinové násobení nosičů nebo tunelování při průrazu pn-přechodu v závěrném směru.

Obrázek 3.17:

3.7.2

Generace nosičů náboje v polovodiči.

Rekombinace nosičů náboje v polovodičích

Rekombinace je proces, při němž v polovodiči zaniká pár elektron-díra. Rychlost rekombinace r udává počet párů elektron-díra, které v jednotkovém objemu polovodiče zaniknou (zrekombinují) za jednotku času; měří se zpravidla v cm-3s-1. Rozlišujeme různé mechanismy rekombinace podle způsobu přestupu elektronu z vodivostního pásu do valenčního nebo podle toho, v jakém podobě se při tomto přestupu uvolní energie a kam je tato energie předána. Podle způsobu přestupu elektronu z vodivostního pásu do valenčního rozlišujeme rekombinaci přímou a nepřímou. Při přímé (též mezipásové) rekombinaci přechází elektron přímo z vodivostního pásu do valenčního. Při nepřímé rekombinaci přejde elektron z vodivostního pásu nejprve na hladinu


27

tzv. rekombinačního centra v zakázaném pásu, na ní krátce setrvá a teprve z ní přechází do valenčního pásu. Jako rekombinační centra fungují různé příměsi náhodně nebo záměrně zavedené do polovodiče, které vytvářejí tzv. hluboké energiové hladiny v okolí středu zakázaného pásu, viz Obrázek 3.7, nebo energiové hladiny vytvořené nejrůznějšími poruchami krystalové mříže. Typickým prvkem vytvářejícím rekombinační centra v křemíku, je zlato. Jestliže elektron přejde z vodivostního pásu do valenčního, uvolní se energie odpovídající šířce zakázaného pásu polovodiče. Tato energie může být využita různým způsobem. Pokud se uvolněná energie vyzáří ve formě kvanta elektromagnetického záření (obvykle v oblasti viditelné nebo blízké infračervené), jde o zářivou rekombinaci. Pokud se tato energie využije jiným způsobem, jde o tzv. nezářivou rekombinaci. Při nezářivé rekombinaci je energie nejčastěji předána krystalové mřížce polovodiče ve formě tepla. V polovodičích s vysokou koncentrací elektronů nebo děr může být energie předána např. jinému elektronu ve vodivostním pásu, který přejde na vyšší energiovou hladinu; tento typ rekombinace se nazývá Augerova nebo také tříčásticová rekombinace.. Přímá rekombinace je zpravidla zářivá a nastává u některých polovodičů typu AIIIBV (typicky nastává u GaAs, nemůže nastat např. u AlAs). Nepřímá rekombinace bývá zpravidla nezářivá (např. u Si, Ge), ale může probíhat i zářivě (např. u GaN). Zářivá rekombinace rovněž nemůže nastat u monokrystalického křemíku nebo germania. Důvody proč zářivá rekombinace nemůže nastat, jsou zcela principiální: není splněn zákon zachování hybnosti v soustavě elektron, díra, foton (bližší vysvětlení by vyžadovalo hlubší znalosti teorie pásové struktury).

Obrázek 3.18:

3.7.3

Některé rekombinační procesy v polovodičích.

Výsledná generačně-rekombinační rychlost, doba života

Uvedeme dva matematické modely rekombinační rychlosti R, které se často používají při modelování polovodičových součástek. Rovnovážnou koncentraci elektronů a děr označíme n0 , p 0 , nerovnovážnou koncentraci nadbytečných elektronů a děr n , p a jejich rozdíl Δn , Δp . Platí tedy:

n = n0 + Δn ,

p = p 0 + Δp

( 3.23 )

V polovodiči neustále probíhají generační a rekombinační procesy. Například v rovnovážném stavu je za jednotku času tepelně generován určitý počet párů elektron-díra a stejný počet párů elektron-díra zase zaniká rekombinací, takže rovnovážná koncentrace elektronů n0 a děr p 0 zůstává neměnná a rovnovážný stav je vlastně stavem dynamické rovnováhy. Je-li polovodič zahřát na vyšší teplotu, zvýší se rychlost tepelné generace r a současně se zvýší i rychlost zpětné rekombinace g, až se nakonec vytvoří ustálený stav dynamické rovnováhy, kdy se rychlosti generace r a rekombinace g vyrovnají, r = g, a koncentrace elektronů n a děr p (v tomto případě rovnovážná, odpovídající zvýšené teplotě) se s časem nemění. Podobná situace nastává i v případě, že na polovodič začne dopadat záření, které generuje páry elektron-díra rychlostí g. Koncentrace volných nosičů náboje nejprve vlivem záření vzrůstá, ale současně vzrůstá i počet párů, které zpětně rekombinují, zvýší se tedy i rychlost rekombinace r. Nakonec se vytvoří opět ustálený stav dynamické rovnováhy, kdy počet zářením generovaných nosičů a počet zpětně rekombinujících nosičů za jednotku času je stejný, r = g, a nerovnovážná koncentrace elektronů n a děr p se s časem nemění.

28


Každý vygenerovaný elektron tak setrvá ve vodivostním pásu jako volný jen po určitou dobu, analogické tvrzení platí i pro díry. Střední doba života elektronu τ n nebo díry τ p je statisticky určená střední doba od generace nosiče náboje po jeho zpětnou rekombinaci. Pokud generace a rekombinace probíhají nepřímo přes energiové hladiny v zakázaném pásu, může být střední doba života elektronů ve vodivostním pásu odlišná od střední doby života děr ve valenčním pásu. Pro elektrony a díry zavádíme veličinu R = r – g označovanou jako výsledná, resp. čistá generačně-rekombinační rychlost, která souvisí s jejich střední dobou života takto: Rn = rn − g n =

R p = rp − g p =

n − n0

τn

=

p − p0

τp

Δn

pro elektrony

τn =

Δp

τp

( 3.24 ) pro díry

Nepřímá nezářivá rekombinace přes hladinu Et rekombinačního centra v zakázaném pásu je typická pro křemík nebo germanium. Matematicky ji popisuje Shockleyův-Readův-Hallův model, zkráceně model SRH. Tento rekombinační proces v sobě zahrnuje čtyři nezávislé děje: (i) přechod elektronu z vodivostního pásu a jeho zachycení na hladině Et rekombinačního centra, (ii) přechod elektronu z hladiny rekombinačního centra do valenčního pásu a neutralizaci díry, (iii) přechod elektronu z valenčního pásu na hladinu rekombinačního centra a vznik volné díry, (iv) emisi elektronu z hladiny rekombinačního centra do vodivostního pásu a vznik volného elektronu. Matematický rozbor těchto procesů vede k závěru, že výsledná generačně-rekombinační rychlost je R SRH =

np − ni2 τ p ( n + nt ) + τ n ( p + p t )

( 3.25 )

Zde n, p jsou nerovnovážné koncentrace elektronů a děr, ni je intrinsická koncentrace ( 3.10 ), nt , pt jsou koncentrace vypočtené podle ( 3.8 ), ( 3.9 ) s tím, že místo E F dosadíme energiovou hladinu rekombinačního centra Et . Veličiny τ n a τ p jsou časové konstanty závislé na koncentraci donorů a akceptorů,

τn =

τ n0

1+

ND + NA N nref

,

τp =

τ p0 1+

ND + NA

( 3.26 )

N ref p

Číselné hodnoty konstant z poslední rovnice pro křemík jsou τ n 0 ≈ 4,0.10 −4 s , τ p 0 ≈ 3,5.10 −5 s , 15 -3 N nref ≈ N ref p ≈ 7,1.10 cm . V odborné literatuře lze najít i mírně odlišné číselné hodnoty a rovněž i

jiné vztahy než ( 3.26 ). Pro dobu života podle ( 3.24 ) a s využitím ( 3.23 ) dostaneme

τ SRH = τ p 0

n0 + nt + Δn p + pt + Δp + τ n0 0 n0 + p 0 + Δn n0 + p 0 + Δp

( 3.27 )

Pokud jsou odchylky Δn , Δp od rovnovážné koncentrace malé, lze je zanedbat a doba života je konstantní, závislá jen na rovnovážné koncentraci elektronů a děr a na materiálových parametrech. V opačném případě, při velkých odchylkách Δn , Δp , určuje ( 3.27 ) tzv. okamžitou dobu života, závislou na okamžité koncentraci nerovnovážných nosičů náboje. Přímá (mezipásová) zářivá rekombinace je typickým rekombinačním procesem v některých polovodičích AIIIBV. Zahrnuje dva na sobě nezávislé procesy: (i) přechod elektronu z vodivostního pásu do valenčního, přičemž je vyzářen foton o energii hν ≅ E g a pár elektron-díra zaniká; rychlost


29

tohoto rekombinačního procesu je úměrná koncentraci elektronů i děr, protože oba druhy nosičů jsou potřebné, tedy r OPT = C rOPT .n. p , kde C rOPT je konstanta úměrnosti; (ii) absorpci dopadajícího fotonu, excitaci elektronu z valenčního pásu do vodivostního a generaci páru elektron-díra; odpovídající rychlost generace označíme g OPT . V rovnovážném stavu se musí být rychlosti generace g OPT a rekombinace r OPT stejné, tedy C rOPT n0 p 0 = g OPT . Odtud plyne, že výsledná rychlost generačněrekombinačního procesu je

R OPT = r OPT − g OPT = C rOPT (np − ni2 )

3.7.4

( 3.28 )

Difúze a drift nerovnovážných nosičů náboje Střední dobu života τ n elektronu ve vodivostním pásu nebo střední dobu života τ p díry ve

valenčním pásu jsme definovali jako statisticky určenou střední dobu od generace volného nosiče náboje po jeho zpětnou rekombinaci. V elektrickém poli o intenzitě E se za dobu života elektrony nebo díry dostanou do vzdálenosti, kterou lze nazvat délka driftu:

L E n = μ n Eτ n ,

L E p = μ p Eτ p

( 3.29 )

Pokud se nerovnovážné nosiče náboje vytvoří v určitém místě polovodiče (např. při povrchu nebo pod úzkou osvětlenou štěrbinou), začnou nosiče náboje vlivem koncentračního gradientu difundovat do okolí. Za dobu života proniknou do vzdálenosti, která se nazývá difúzní délka a souvisí s dobou života a s difúzní konstantou:

Ln = Dnτ n

difúzní délka elektronů

L p = D pτ p

difúzní délka děr

( 3.30 )

Koncentrace elektronů nebo děr klesá s prodifundovanou vzdáleností x exponenciálně, tj. úměrně veličině exp(− x / Ln, p ) .

Drift a difúze nerovnovážných nosičů náboje v polovodiči.

Obrázek 3.19:

Drift nosičů náboje je charakterizován driftovou rychlostí ( 3.12 ), pro difúzi je užitečné zavést rovněž charakteristiku s rozměrem rychlosti, difúzní rychlost:

v dif

n, p

=

Ln , p

τ n, p

=

Dn , p Ln , p

( 3.31 )

30


Jestliže se kromě difúze uplatní i vliv elektrického pole, tedy drift, klesá koncentrace nosičů opět exponenciálně, avšak místo difúzní délky se uplatní jiná charakteristická délka, ovlivněná jak difúzí, tak driftem (indexy n, p se vztahují k elektronům, resp. k děrám): Ln , p

Λ n,p = 1+

L2E n, p 4 Ln , p

−

L E n, p

( 3.32 )

2 Ln , p

3.8 Rovnice kontinuity V této kapitole nejprve odvodíme rovnici kontinuity pro elektrony a díry a potom shrneme soustavu základních rovnic, které se používají při numerickém modelování polovodičových struktur.

3.8.1

Odvození rovnice kontinuity

Rovnice kontinuity vyjadřuje bilanci elektrického náboje v určitém objemu. Uvažujme nejprve elektrony v ohraničeném objemu V polovodiče. Je-li koncentrace elektronů n, pak element objemu dV obsahuje elektrický náboj en dV. Zvoleným objemem V může procházet elektrický proud, takže elektrony vtékají přes povrch zvoleného objemu dovnitř a odtékají ven. Tok elektronů elementem plochy dS je j n .νdS , kde j n je vektor proudové hustoty elektronů a ν je jednotkový vektor vnější normály elementu plochy dS. Je-li skalární součin kladný, vytékají elektrony ven ze sledovaného objemu, je-li naopak záporný, vtékají dovnitř. Kromě toho může uvnitř objemu docházet ke generaci a rekombinaci elektronů s výslednou rychlostí g n − rn .

Obrázek 3.20:

K odvození rovnice kontinuity.

Celkovou bilanci elektrického náboje ve sledovaném objemu V zachycuje tato rovnice: ∂ ∂t

en dV ∫∫∫ V

=

∫∫S jn . νdS

+

e( g n − rn ) dV ∫∫∫ V

změna náboje v objemu V vyvolaná tokem elektronů přes povrch S změna náboje v objemu V za jednotku času celkový náboj v objemu V

změna náboje v objemu V vyvolaná generací a rekombinací

Napsaná rovnice je rovnicí kontinuity pro elektrony v integrálním tvaru. Podle známých pravidel vektorové analýzy ji můžeme převést do častěji používaného diferenciálního tvaru: ∂n 1 = div( j n ) + g n − rn ∂t e

Rovnici kontinuity pro díry lze odvodit analogicky.


3.8.2

31

Soustava základních polovodičových rovnic

Soustavu základních polovodičových rovnic tvoří tři parciální diferenciální rovnice, které při aplikaci vhodné numerické metody umožňují vypočítat koncentraci elektronů n( x, y, z, t ) , koncentraci děr p ( x, y , z , t ) a elektrostatický potenciál ϕ ( x, y, z , t ) v dané polovodičové struktuře jako funkce souřadnic ( x, y, z ) a času t. Jsou to tyto rovnice: ►Rovnice kontinuity pro elektrony: ∂n 1 = div ( j n ) + g n − rn ∂t e

( 3.33 )

►Rovnice kontinuity pro díry: ∂p 1 = − div( j p ) + g p − r p e ∂t

( 3.34 )

►Poissonova rovnice: Δϕ = −

e

ε 0ε r

( p − n + N D+ − N A− )

( 3.35 )

Uvedenou soustavu rovnic je třeba doplnit o vhodné okrajové a počáteční podmínky, avšak touto problematikou se nebudeme zde zabývat. Je užitečně si přepsat uvedené rovnice v integrálním tvaru, z něhož je lépe vidět fyzikální význam jednotlivých rovnic: ►Rovnice kontinuity pro elektrony (bilance elektrického náboje elektronů): ∂ ∂t

∫∫∫ en dV = ∫∫ j V

n . νdS

+

S

∫∫∫ e( g

n

− rn ) dV

( 3.36 )

V

►Rovnice kontinuity pro díry (bilance elektrického náboje děr): ∂ ∂t

∫∫∫ ep dV = - ∫∫ j V

p . νdS

+

S

∫∫∫ e( g

p

− r p ) dV

( 3.37 )

V

► Poissonova rovnice (Gaussova věta o toku vektoru intenzity E = − grad ϕ uzavřenou plochou): e

1

∫∫ (− grad ϕ ) . νdS = ε ∫∫∫ ε S

0

V

r

( p − n + N D+ − N A− )dV

( 3.38 )

Uvedená soustava polovodičových rovnic byla vyhovující pro numerické modelování polovodičových struktur, pokud se typické rozměry struktury nezmenšily přibližně pod 300 nm. U součástek o rozměrech stovek až desítek nanometrů je použití pojmů jako difúze nebo drift diskutabilní a při numerickém modelování je nutné vycházet z jiných soustav rovnic s jiným fyzikálním obsahem. Touto problematikou se však nebudeme zabývat, protože by vyžadovala podstatně hlubší znalosti fyziky polovodičů, statistické fyziky a kvantové fyziky.

32


3.9 Shrnutí kapitoly • Struktura a chemické složení polovodičů: valenční elektron, kovalentní vazba, krystalová mřížka kubická plošně centrovaná, struktura diamantová a sfaleritová. • Energiové pásy v pevných látkách: vznik energiových pásů, kovy, polovodiče, dielektrika, vodivostní pás, valenční pás, zakázaný pás, energiové hladiny EC , EV , EF , Ei, šířka zakázaného pásu Eg, Fermiho-Diracova rozdělovací funkce. • Koncentrace elektronů a děr v polovodičích: vlastní (intrinsický) polovodič, intrinsická koncentrace, polovodič typu n, donory, polovodič typu p, akceptory, ionizační energie donorů a akceptorů, rovnovážná koncentrace elektronů a děr a její teplotní závislost, polovodič nedegenerovaný a degenerovaný, rovnice elektrické neutrality polovodiče, první a druhá ionizační teplota. • Drift a difúze nosičů náboje: drift, driftová rychlost, závislost driftové rychlosti na teplotě v různých polovodičích, driftová pohyblivost a její závislost na koncentraci příměsí a na teplotě, vodivost polovodiče a její závislost na koncentraci příměsí a na teplotě, hustota driftového toku, difúze, difúzní koeficent a jeho vztah k pohyblivosti, hustota difúzního toku, celková proudová hustota v polovodiči. • Nerovnovážné nosiče náboje v polovodiči: mechanismy generace a rekombinace nosičů náboje, rekombinace přímá, nepřímá, zářivá, nezářivá, rychlost generace a rekombinace, model rekombinace SRH, doba života elektronů a děr, difúzní délka. • Základní polovodičové rovnice: rovnice kontinuity pro elektrony a díry v diferenciálním a integrálním tvaru, Poissonova rovnice a Gaussova věta elektrostatiky.

3.10 Kontrolní otázky a příklady 1. Jaký je fyzikální význam rovnice elektrické neutrality polovodiče? 2. Jaký je fyzikální význam první a druhé ionizační teploty? Jaký teplotní interval tyto teploty vymezují? 3. Jak závisí driftová rychlost elektronů na intenzitě elektrického pole v Si a v GaAs? 4. Jak závisí pohyblivost elektronů na intenzitě elektrického pole v Si a v GaAs (pohyblivost v silném elektrickém poli je derivací driftové rychlosti podle intenzity pole). 5. Jaké jsou základní mechanismy transportu nosičů náboje v polovodičích a jaké v kovech? 6. Proč je difúze významná v polovodičích a v kovech se neuplatňuje? 7. Jak závisí vodivost polovodiče na koncenteaci donorů nebo akceptorů? 8. Jak závisí vodivost polovodiče na teplotě? 9. Popište princip modelu rekombinace SRH. 10. Kdy v polovodičích mluvíme o nerovnovážných nosičích náboje a jak vznikají? 11. Popište mechanismus nepřímé nezářivé rekombinace. Ve kterých polovodičích se uplatňuje? 12. Popište mechanismus přímé zářivé rekombinace. Ve kterých polovodičích se uplatňuje? 13. Jaký je fyzikální obsah rovnice kontinuity pro elektrony, resp. pro díry? 14. Co vyjadřuje Poissonova rovnice a Gaussova věta elektrostatiky? Jaký je mezi nimi vztah? 15. Kdy se dá použít tzv. spoustava polovodičových rovnic, tj. rovnice kontinuity pro elektrony a díry a Poissonova rovnice? 16. Nakreslete grafy závislosti koncentrace volných elektronů na teplotě v křemíku typu n, který je dopován donory. Porovnejte grafy pro koncentrace donorů ND = 1.1016 cm-3, ND = 1.1017 cm-3, ND


33

= 1.1018 cm-3, ND = 1.1019 cm-3 a při každé koncentraci ještě pro ionizační energii donorů 35 meV a 55 meV.Uvažujte jak oblast nízkých teplot, kdy nejsou všechny donory ionizované a koncentraci volných děr lze zanedbat, tak i oblast vysokých teplot, kdy jsou všechny donory ionizované a kdy koncentraci volných děr už nelze zanedbat. 17. Nakreslete grafy závislosti koncentrace volných děr na teplotě v křemíku typu p, který je dopován akceptory. Porovnejte grafy pro koncentrace donorů NA = 1.1016 cm-3, NA = 1.1017 cm-3, NA = 1.1018 cm-3, NA = 1.1019 cm-3 a při každé koncentraci ještě pro ionizační energii donorů 35 meV a 55 meV. Uvažujte jak oblast nízkých teplot, kdy nejsou všechny donory ionizované a koncentraci volných děr lze zanedbat, tak i oblast vysokých teplot, kdy jsou všechny donory ionizované a kdy koncentraci volných děr už nelze zanedbat. 18. Doba života minoritních nosičů náboje podle Shockleyova-Readova-Hallova modelu při malých odchylkách od rovnovážné koncentrace se spočítá podle rovnice: n + nt p + pt τ SRH = τ p 0 0 + τ n0 0 n0 + p 0 n0 + p 0 Upravte tuto rovnici užitím vztahů n0 p 0 = nt pt = ni2 tak, aby v ní byly jen bezrozměrné veličiny

n τ SRH τ p 0 n0 nt τ SRH , , , na poměru 0 pro hodnoty . Nakreslete grafy závislosti veličiny τ n 0 τ n 0 ni ni τ n0 ni n0 τ SRH = 10−4 až 104 (zvolte logaritmické měřítko; se změní také o několik řádů) a pro různé τ n0 ni

τ p0

nt . τ n 0 ni Pomocí nakreslených grafů zodpovězte tyto otázky: n a) Co fyzikálně znamená, že poměr 0 je velmi malý (např. 10−4) nebo velmi velký (např. 104) ni nebo se rovná jedné? b) Kde leží maximum nakreslených křivek? n n τ SRH c) K jaké hodnotě se blíží poměr pro 0 << 1 a pro 0 >> 1 ? τ n0 ni ni d) Je nějaká souvislost mezi odpovědí na otázku a) a na otázku c)?

hodnoty parametrů

Návod:

Zvolte pevně

Opakujte pro

τ p0 τ n0 τ p0 τ n0

,

= 0,2 a do téhož grafu zakreslete křivky pro = 1,4 .

nt = 1, 10, 100. ni

34

4


Přechod pn a polovodičové diody

Homogenní přechod pn je od samého počátku polovodičové techniky základním stavebním prvkem diod a tranzistorů. Vznikne tak, že se vhodným technologickým postupem vytvoří kontakt mezi polovodičem typu p a polovodičem typu n; slovo homogenní přitom naznačuje, že n-typ a p-typ jsou polovodiče stejného chemického složení, např. n-Si/p-Si. Typická struktura polovodičové diody s přechodem pn a její zjednodušený jednorozměrný model je na Obrázek 4.1.

Obrázek 4.1:

Typická struktura polovodičové diody s přechodem pn a její zjednodušený jednorozměrný model.

4.1 Přechod pn v rovnovážném stavu Přechod pn se nachází v rovnovážném stavu (ve stavu termodynamické rovnováhy), jestliže na něj není přiloženo žádné vnější elektrické napětí, nedopadá na něj žádné záření, které by mohlo generovat elektrony a díry, a celá oblast přechodu má konstantní teplotu, neexistuje žádný teplotní gradient. Rovnovážný stav přechodu pn je stavem dynamické rovnováhy. Protože v oblasti n je vysoká koncentrace elektronů a v oblasti p velmi nízká, vzniká při rozhraní koncentrační spád (gradient koncentrace) a elektrony difundují přes přechod z oblasti n do oblasti p. Ze stejného důvodu opačným směrem, z oblasti p do oblasti n difundují díry. Difundující elektrony a díry se v oblasti přechodu setkávají a rekombinují. Tak se na přechodu vytváří ochuzená oblast (též depletiční), v níž nejsou volné nosiče náboje. V ochuzené oblasti však zůstávají ionizované donory s kladným nábojem (na straně polovodiče typu n) a ionizované akceptory se záporným nábojem (na straně polovodiče typu p). Tento nepohyblivý náboj ionizovaných příměsí vytváří elektrické pole v oblasti přechodu, které vyvolává zpětný driftový tok elektronů a děr: elektrony, které z polovodiče typu n prodifundovaly přes přechod do polovodiče typu p jsou tímto elektrickým polem vraceny zpět, a analogický proces probíhá i u děr. Difúzní tok elektronů z n-oblasti do p-oblasti vyvolaný jejich koncentračním gradientem je tak kompenzován zpětným driftovým tokem elektronů z p-oblasti do n-oblasti vyvolaným elektrickým polem v ochuzené vrstvě pn-přechodu. Podobně i difúzní tok děr z p-oblasti do n-oblasti je kompenzován jejich zpětným driftovým tokem. Tato vzájemná kompenzace driftových a difúzních toků elektronů a děr vytváří na přechodu pn stav dynamické rovnováhy. Protože v ochuzené oblasti pn přechodu je silné elektrické pole, vzniká mezi neutrálními oblastmi polovodiče typu n a polovodiče typu p kontaktní rozdíl potenciálů, tedy kontaktní napětí Vbi (built-in voltage). U pn-přechodu se v české literatuře toto napětí často označuje jako difúzní napětí U D , protože se však s obdobnou veličinou setkáme i u jiných typů přechodů v následujících kapitolách, jeví se označení kontaktní napětí Vbi jako vhodnější.


35

Obrázek 4.2: Přechod pn v rovnovážném stavu: dynamická rovnováha na přechodu, vznik ochuzené vrstvy, pásový diagram.

Kontaktní napětí přechodu pn lze určit několika způsoby. Při vytvoření pn-přechodu se vyrovnají Fermiho hladiny v obou polovodičích na tutéž úroveň, takže kontaktní napětí vypočteme z rozdílu poloh Fermiho hladin v polovodičích typu n a p před vznikem kontaktu, eVbi = E F( n ) − E F( p ) . Kontaktní napětí můžeme také vypočítat z podmínky vzájemné kompenzace difúzního a driftového toku elektronů nebo děr na přechodu pn v rovnováze j n,dif + j n,drift = 0 nebo j p,dif + j p ,drift = 0 . Všemi metodami dojdeme ke stejnému výsledku: ⎛N N eVbi = kT ln⎜ D 2 A ⎜ n i ⎝

⎞ ⎛ ⎟ = E g + kT ln⎜ N D N A ⎜N N ⎟ ⎝ C V ⎠

⎞ ⎟⎟ ⎠

( 4.1 )

Obrázek 4.3: Kontaktní napětí různých pn přechodů.

Při odvození vztahu ( 4.1 ) byla využita rovnice ( 3.3 ). Vidíme, že kontaktní napětí pnpřechodu závisí především na šířce zakázaného pásu polovodiče, ale také na koncentraci donorů a akceptorů. Teplotní závislost je obsažena v činiteli kT a ve veličinách NC a NV ; vliv teplotní závislosti šířky zakázaného pásu je zanedbatelný. Závislost kontaktního napětí na šířce zakázaného pásu polovodiče a na koncentraci příměsí je zřejmá z Obrázek 4.3

36


4.2 Elektrické pole v ochuzené vrstvě pn přechodu Připomeneme si jevy, které nastávají, při přiložení vnějšího napětí na pn přechod. Přiložíme-li vnější napětí v propustném směru (tzn. že oblast p je kladná vůči oblasti n), sníží se potenciálová bariéra přechodu právě o přiložené napětí a do ochuzené vrstvy jsou vstřikovány elektrony a díry. Proud procházející přechodem velmi rychle roste se vzrůstajícím napětím, ochuzená vrstva se zmenšuje až nakonec úplně zanikne. Přiložíme-li naopak napětí v závěrném směru, potenciálová bariéra přechodu se zvýší o přiložené napětí a ochuzená vrstva se rozšíří, přechodem prochází jen nepatrný závěrný proud.

Pásový diagram pn přechodu bez napětí a s napětím v propustném a v závěrném směru, model strmého pn přechodu.

Obrázek 4.4:

Při odvození průběhu intenzity a potenciálu elektrického pole na pn-přechodu použijeme určitá zjednodušení. Především uvažujeme jednorozměrný model přechodu pn. Dále budeme předpokládat, že jde o tzv. strmý přechod pn, v němž se koncentrace donorů a akceptorů na rozhraní mění skokem a jinak je konstantní, viz Obrázek 4.4. Použijeme tzv. aproximaci ochuzené vrstvy, což znamená, že zanedbáme existenci volných nosičů náboje v této vrstvě (ve skutečnosti v ochuzené vrstvě vždy nějaké volné elektrony nebo díry jsou, protože i v závěrném směru prochází přechodem pn elektrický proud). Prostorový elektrický náboj ochuzené vrstvy je tak tvořen kladným nábojem ionizovaných donorů na straně polovodiče n a záporným nábojem ionizovaných akceptorů na straně polovodiče p. Aproximace ochuzené vrstvy je vyhovující v závěrném směru až do průrazu pn přechodu a v propustném směru do napětí přibližně 0,5 Vbi . Dále předpokládáme, že nenulové elektrické pole je pouze uvnitř ochuzené vrstvy (tento předpoklad je zcela oprávněný v podmínkách tzv. slabé injekce). Průběh intenzity a potenciálu elektrického pole odvodíme řešením Poissonovy rovnice: d 2ϕ dx

2

=

eN A ..... − x p ≤ x ≤ 0, ε0ε r

d 2ϕ dx

2

=−

eN D ..... 0 ≤ x ≤ x n ε0εr

( 4.2 )

Elektrostatický potenciál ϕ( x) a intenzita elektrického pole E ( x) = − dϕ dx musí na okrajích ochuzené vrstvy splňovat okrajové podmínky:


ϕ(− x p ) = 0, ϕ( x n ) = Vbi − U ,

37 dϕ dϕ (− x p ) = 0, ( xn ) = 0 dx dx

( 4.3 )

Na rozhraní polovodiče p a n musí být intenzita elektrického pole i potenciál spojité, tj. dϕ dϕ (x → 0− ) = ( x → 0 + ), ϕ( x → 0 − ) = ϕ( x → 0 + ) dx dx

( 4.4 )

Poissonova rovnice s uvedenými okrajovými podmínkami a podmínkami spojitosti poskytne výsledky shrnuté v Tabulka 4.1. Tabulka 4.1:

oblast x ≤ −x p − xp ≤ x ≤ 0

0 ≤ x ≤ xn xn ≤ x

Průběh potenciálu a intenzity elektrického pole na strmém pn přechodu. potenciál elektrického pole

intenzita elektrického pole

ϕ( x) = 0

E ( x) = 0

ϕ(x) =

eN A (x + x p )2 2ε 0 ε r

ϕ( x) = −

E(x) = −

eN D ( x − x n ) 2 + (Vbi − U ) 2ε 0 ε r

E ( x) =

eN A (x + x p ) ε0ε r

eN D ( x − xn ) ε0εr

E(x) = 0

ϕ(x) = Vbi − U

Pro šířku ochuzené vrstvy přechodu pn dostaneme tyto výsledky: N D xn = N A x p ⎡ 2ε ε ⎤ NA (Vbi − U )⎥ xn = ⎢ 0 r ⎣ e N D (N A + N D ) ⎦

1/ 2

⎡ 2ε ε ⎤ ND (Vbi − U ) ⎥ xp = ⎢ 0 r ⎣ e N A (N A + N D ) ⎦

1/ 2

⎡ 2ε ε N + N D ⎤ (Vbi − U )⎥ w = xn + x p = ⎢ 0 r A N AND ⎣ e ⎦

( 4.5 ) 1/ 2

Ve všech těchto vztazích je třeba dosazovat U > 0 pro napětí přiložené v propustném směru a U < 0 pro napětí v závěrném směru.

Příklad 4.1:

Vlastnosti přechodu pn

Křemíková dioda s přechodem pn-přechod je charakterizována těmito parametry: koncentrace akceptorů v p-oblasti N A = 1.1017 cm −3 , koncentrace donorů v n-oblasti N D = 1.1016 cm −3 , intrinsická koncentrace elektronů a děr v křemíku při teplotě 300 K je ni = 1,5.1010 cm -3 , plocha pnpřechodu S = 2500 μm 2 , teplota T = 300 K . Vypočtěte: a) kontaktní napětí pn-přechodu; b) šířku ochuzené vrstvy x n v n-oblasti, x p v p-oblasti a celkovou šířku ochuzené vrstvy w pn-přechodu při vnějším napětí U = 0 V , U = 0,3 V , U = −0,3 V , U = −1,0 V , U = −10 V ; Řešení: Kontaktní napětí pn přechodu spočítáme podle rovnice ( 4.1 ) : ⎛N N U D = U T ln⎜ A 2 D ⎜ n i ⎝

⎞ ⎟ = 0,754 V , kde U T = kT = 0,0259 V = 25,9 mV je teplotní napětí; ⎟ e ⎠

38


Šířka ochuzené vrstvy pn přechodu xn, xp, w se spočítá podle rovnic ( 4.5 ), výsledky pro zadaná napětí jsou shrnuty v tabulce: U [V ]

x n [μm]

x p [μm]

w[ μm]

− 10,0 − 1,0 − 0,3 0.0 + 0.3

1,124 0,454 0,352 0,298 0,231

0,112 0,045 0,035 0,030 0,023

1,236 0,499 0,387 0,328 0,254

4.3 Voltampérová charakteristika přechodu pn V této kapitole nejprve odvodíme rovnici voltampérové charakteristiky ideálního přechodu pn, poté se budeme podrobněji zabývat různými jevy, které ovlivňují proud reálné diody.

4.3.1

Voltampérová charakteristika ideálního přechodu pn

Vztah mezi proudem procházejícím přechodem pn a vnějším napětím přiloženým na přechod velmi dobře modeluje Shockleyho rovnice. Tento jednoduchý analytický vztah pro proud však můžeme obdržet jen za určitých zjednodušujících předpokladů, kterými je definován ideální přechod pn: (i) elektrické pole je nenulové pouze v ochuzené vrstvě polovodiče, mimo ochuzenou vrstvu se nosiče náboje pohybují pouze difúzí; (ii) nenastává generace ani rekombinace nosičů náboje v ochuzené vrstvě; (iii) přechod se nachází v podmínkách nízké injekce nosičů, což znamená, že koncentrace elektronů vstřikovaných přes přechod z oblasti n do oblasti p, kde jsou minoritními nosiči, je malá ve srovnání s koncentrací majoritních děr v oblasti p, a analogicky i pro injekci děr.

Obrázek 4.5:

Ideální přechod pn: zjednodušený jednorozměrný model struktury, koncentrace nosičů a proudová hustota v propustném a v závěrném směru.


39

Díry jsou vstřikovány z oblasti typu p přes pn přechod do oblasti n a v ní jako minoritní nosiče náboje difundují od okraje ochuzené vrstvy x = x n ke kontaktu x = x n + wn a postupně nekombinují s majoritními elektrony. Oblast x n ≤ x ≤ x n + wn se nazývá kvazineutrální oblast. Koncentraci vstřikovaných minoritních děr v kvazineutrální n-oblasti označíme p n (x) , rovnovážná koncentrace děr zde je p n 0 = ni2 N D , odchylka od rovnovážné koncentrace, tzv. nadbytečná koncentrace je Δp n ( x) = p n ( x) − p n 0 . Difúzi minoritních děr n-oblastí popisuje matematicky rovnice kontinuity pro díry ( 3.34 ). Protože přiložené vnější napětí je v čase konstantní (stejnosměrné), je časová derivace v rovnici kontinuity rovna nule. Hustotu difúzního toku děr vyjádříme podle ( 3.19 ), za výslednou rekombinační rychlost dosadíme ( 3.24 ), využijeme definice difúzní délky ( 3.30 ) a dostaneme d 2 Δp n dx

2

=

Δp n

( 4.6 )

L2p

Tuto diferenciální rovnici je třeba doplnit o okrajové podmínky, které vyjadřují koncentraci nadbytečných děr na hranicích kvazineutrální oblasti: ⎞ ⎛ U ) − 1⎟⎟ , Δp n ( x n ) = p n ( x n ) − p n 0 = p n 0 ⎜⎜ exp( UT ⎠ ⎝

Δp n ( x n + w n ) = 0

( 4.7 )

První z těchto vztahů vyjadřuje vliv přiloženého napětí na koncentraci vstřikovaných minoritních děr. Druhý vztah vyjadřuje, že ohmický kontakt, jehož prostřednictvím je součástka zapojena do vnějšího obvodu, je kontaktem ideálním s nekonečně velkou rychlostí povrchové rekombinace. Řešení rovnice ( 4.6 ) s okrajovými podmínkami ( 4.7 ) poskytuje průběh koncentrace vstřiknutých minoritních děr Δp n (x) v n-oblasti:

⎛ ⎞ U Δp n ( x) = p n 0 ⎜⎜ exp( ) − 1⎟⎟ UT ⎝ ⎠

sinh(

x n + wn − x ) Lp

w sinh( n ) Lp

, platí pro x n ≤ x ≤ x n + wn

( 4.8 )

Nyní musíme zcela analogicky popsat chování elektronů. Elektrony jsou vstřikovány z oblasti typu n přes pn přechod do oblasti p a v ní jako minoritní nosiče difundují kvazineutrální oblastí od okraje ochuzené vrstvy x = − x p ke kontaktu x = − x p − w p a postupně nekombinují s majoritními děrami. Koncentraci vstřikovaných minoritních děr v kvazineutrální p-oblasti označíme n p (x) , rovnovážná koncentrace elektronů zde je n p 0 = ni2 N A , odchylka od rovnovážné koncentrace neboli nadbytečná koncentrace je Δn p ( x) = n p ( x) − n p 0 . Pro matematický popis použijeme tentokrát rovnici kontinuity pro elektrony ( 3.33 ), do níž opět dosadíme z ( 3.19 ), ( 3.24 ) a ( 3.30 ). Dostaneme tak diferenciální rovnici d 2 Δn p dx 2

=

Δn p

( 4.9 )

L2n

s okrajovými podmínkami ⎛ ⎞ U Δn p (− x p ) = n p (− x p ) − n p 0 = n p 0 ⎜⎜ exp( ) − 1⎟⎟ , UT ⎝ ⎠

Δn p (− x p − w p ) = 0

jejíž řešení dává průběh koncentrace vstřiknutých minoritních elektronů v p-oblasti:

( 4.10 )

40


⎛ ⎞ U Δn p ( x) = n p 0 ⎜⎜ exp( ) − 1⎟⎟ UT ⎝ ⎠

sinh(

x p + wp + x Ln wp

sinh(

Ln

) , platí pro − ( x p + w p ) ≤ x ≤ − x p

( 4.11 )

)

Jestliže známe průběhy koncentrace minoritních nosičů Δp n (x) ( 4.8 ) a Δn p (x) ( 4.11 ) , můžeme podle ( 3.19 ) vypočítat hustoty příslušných difúzních toků a odvodit vztah pro celkovou proudovou hustotu na pn-přechodu, viz Obrázek 4.5: j = j n ( x) + j p ( x) = konst. = eDn

dΔn p

(− x p ) − eD p

dx

dΔp n ( xn ) dx

( 4.12 )

V rovnici ( 4.12 ) je využito skutečnosti, že celková proudová hustota musí být podél celé struktury konstantní, tedy nezávislá na souřadnici x, a že uvnitř ochuzené vrstvy se proudová hustota elektronů a děr nemění, protože v modelu ideálního pn-přechodu se neuvažují generačně-rekombinační procesy v této vrstvě. Po provedení naznačených derivací vynásobíme proudovou hustotu plochou přechodu a obdržíme výsledný vztah pro proud - rovnici voltampérové charakteristiky přechodu pn: ⎛ ⎞ U I = I S ⎜⎜ exp( ) − 1⎟⎟ , UT ⎝ ⎠

4.3.2

⎡ Dp wp ⎤ w D coth( n ) + n p 0 n coth( )⎥ I S = eS ⎢ p n 0 Lp Lp Ln Ln ⎥⎦ ⎢⎣

( 4.13 )

Saturační proud pn-přechodu Vyjádříme-li koncentrace minoritních nosičů p n0 a n p 0 v ( 4.13 ) pomocí koncentrací donorů a

akceptorů a difúzní délky pomocí dob života, lze vztah pro saturační proud pn-přechodu přepsat takto ⎡ 1 I S = eS ni2 ⎢ ⎢⎣ N D

Dp τp

coth(

wn 1 )+ Lp NA

wp ⎤ Dn coth( )⎥ τn Ln ⎥ ⎦

( 4.14 )

a po dosazení za intrinsickou koncentraci ( 3.3 ) vidíme názorně souvislost mezi saturačním proudem pn-přechodu a šířkou zakázaného pásu polovodiče: I S = eS N C N V exp(−

Eg ⎡ 1 )⎢ kT ⎢ N D ⎣

Dp τp

coth(

wn 1 )+ Lp NA

wp ⎤ Dn coth( )⎥ τn Ln ⎥ ⎦

( 4.15 )

Ke vztahům pro saturační proud ( 4.13 ), ( 4.14 ), ( 4.15 ) je třeba ještě poznamenat, že délky kvazineutrálních oblastí wn , w p se mírně mění s přiloženým vnějším napětím, viz Obrázek 4.5: jestliže se ochuzená vrstva w přechodu rozšiřuje, délky wn , w p se zkracují a obráceně. Podle uvedeného modelu je tak saturační proud slabě závislý na přiloženém napětí. Uvedené vztahy pro saturační proudy pn-přechodu lze ve dvou případech zjednodušit: (1) Je-li wn L p >> 1 , w p Ln >> 1 , tzn. jsou-li délky kvazineutrálních oblastí wn , w p výrazně větší než difúzní délky L p , Ln odpovídajících minoritních nosičů, můžeme využít asymptotického vztahu coth( x) ≈ 1 platného pro velké hodnoty x, takže pro diody s dlouhými kvazineutrálními oblastmi se ( 4.13 ) zjednoduší do podoby známé z většiny učebnic (kde se zpravidla při odvozování předpokládá, že kontakty součástky jsou velmi daleko, v matematické limitě nekonečně daleko, od okrajů ochuzené vrstvy):

Mikroelektronické prvky a struktury ⎡ Dp D ⎤ + n p0 n ⎥ I S = eS ⎢ p n 0 Lp Ln ⎥⎦ ⎢⎣

41

( 4.16 )

(2) Je-li naopak wn L p << 1 , w p Ln << 1 , . jsou-li délky kvazineutrální oblastí wn , w p výrazně kratší než difúzní délky L p , Ln odpovídajících minoritních nosičů, použijeme přibližného vztahu coth( x) = 1 x platného pro malé hodnoty x a dostaneme: ⎡ Dp D ⎤ + n p0 n ⎥ I S = eS ⎢ p n 0 wn w p ⎥⎦ ⎢⎣

( 4.17 )

Za této situace prakticky nedochází k rekombinaci nosičů v kvazineutrálních oblastech a teprve u kontaktů nosiče náboje zrekombinují.

Příklad 4.2:

Saturační proud pn přechodu

Křemíková dioda s přechodem pn-přechod je charakterizována těmito parametry: koncentrace akceptorů v p-oblasti N A = 1.1017 cm −3 , koncentrace donorů v n-oblasti N D = 1.1016 cm −3 , intrinsická koncentrace elektronů a děr v křemíku při teplotě 300 K je ni = 1,5.1010 cm -3 , plocha pnpřechodu S = 2500 μm 2 , teplota T = 300 K , difúzní délky a difúzní konstanty minoritních nosičů L p = 5 μm , Ln = 10 μm , D p = 10 cm 2 V −1s −1 , Dn = 18 cm 2 V −1s −1 . Vypočtěte elektronovou a děrovou složku I Sn , I Sp saturačního proudu přechodu a celkový saturační proud I S . Řešení: Budeme předpokládat, že délky kvazineutrálních oblastí diody jsou výrazně větší než difúzní délky minoritních nosičů, takže platí rovnice ( 4.16 ): I Sn = Seni2

Dp Dn = 1,62.10 −16 A = 0,162 fA , I Sp = Seni2 = 1,80.10 −15 A = 1,80 fA Ln N A Lp ND

I S = I Sn + I Sp = 1,96.10 −15 A = 1,96 fA

4.3.3

Vliv generace a rekombinace uvnitř ochuzené vrstvy

V ochuzené vrstvě přechodu pn mohou obecně probíhat nejrůznější generačně-rekombinační procesy, o nichž jsme mluvili v kap. 3.7. Výsledná rychlost generačně-rekombinačního procesu je pak součtem rychlostí všech probíhajících procesů. Je-li na pn přechod přiloženo napětí v závěrném směru, snižuje se velmi výrazně koncentrace volných nosičů náboje v ochuzené vrstvě přechodu. Protože obecnou tendencí fyzikálních systémů je návrat do rovnováhy, převažují v této situaci generační procesy v ochuzené vrstvě, při nichž vznikají nové nosiče náboje. Je-li naopak na pn přechod přiloženo napětí v propustném směru, jsou do oblasti přechodu intenzívně vstřikovány volné nosiče náboje a v oblasti přechodu převažuje rekombinace. Z rovnic kontinuity pro elektrony a díry( 3.33 ), ( 3.34 ) pro generačně-rekombinační proud pn přechodu dostaneme: 1 dj n, gr = Rn , e dx

1 dj p , gr = −R p e dx

( 4.18 )

Integrujeme přes ochuzenou vrstvu, položíme Rn = R p = R a s využitím Obrázek 4.6 odvodíme:

42


Obrázek 4.6:

Vliv generačně-rekombinačního proudu na celkový proud pn přechodu. xn

j n, gr ( x n ) = j p , gr ( − x p ) = j gr =

∫ eR dx

( 4.19 )

−xp

Příspěvek všech možných generačně-rekombinačních procesů se dá přesně modelovat pouze numerickými metodami. Pouze v případě, že se omezíme na generaci a rekombinaci podle Shockleyova-Readova-Hallova modelu ( 3.25 ), je možné při využití vhodných aproximací integrál v rovnici ( 4.19 ) vypočítat a odvodit analytický vztah pro generačně-rekombinační proud j gr , který však velmi dobře souhlasí s experimentálně získanými výsledky: U U ) exp(− ) eni w eni w 2U T 2U T = = U U τ ef 2τ ef 1 + exp(− ) 1 + exp(− 2U T 2U T sinh(

j gr

⎛ ⎞ U ⎜⎜ exp( ) − 1⎟⎟ UT ⎠ )⎝

( 4.20 )

kde ni je intrinsická koncentrace ( 3.3 ), w je šířka ochuzené oblasti pn přechodu ( 4.5 ) a τ ef je tzv. efektivní doba života elektronů a děr odvozená z dob τ n , τ p ( 3.25 ) a přibližně stejně velká. Je-li na pn přechod přiloženo napětí v závěrném směru, U < −3U T , zjednoduší se ( 4.20 ) na záv j gr =

eni w 2τ ef

( 4.21 )

Generačně-rekombinační proud v závěrném směru tak závisí na době života nosičů, na šířce zakázaného pásu polovodiče (prostřednictvím intrinsické koncentrace) a také na přiloženém napětí (prostřednictvím šířky ochuzené vrstvy). Pro strmý pn přechod je šířka ochuzené vrstvy w podle ( 4.5 ) úměrná (Vbi + U )1 / 2 , obecněji pro jiné koncentrační profily je úměrná (Vbi + U )1 / n , kde n= 2 až 3. Proud protékající pn přechodem v závěrném směru při U < −3U T tak má tři složky, viz ( 4.13 ): příspěvky od difúze elektronů a děr a generačně-rekombinační proud I gr = j gr S podle ( 4.21 ):

Mikroelektronické prvky a struktury ⎡ Dp wp w D nw⎤ I záv = eS ⎢ p n 0 coth( n ) + n p 0 n coth( )+ i ⎥ Lp Lp Ln Ln 2τ ef ⎥⎦ ⎢⎣

43

( 4.22 )

Generačně rekombinační složka způsobuje, že závěrný proud pn přechodu závisí na přiloženém závěrném napětí: I záv je úměrný (Vbi + U )1 / m , kde m = 2 až 3. Na přiloženém napětí závisí také

rozměry wn , w p , viz text za rovnicí ( 4.15 ). Je-li na pn přechod přiloženo napětí v propustném směru, U > 0 , pak proud procházející pn přechodem při započtení generačně-rekombinačních procesů v oblasti přechodu je součtem proudů podle ( 4.13 ) a ( 4.20 ). Jestliže ve ( 4.20 ) roznásobíme členy obsahující exponenciální závislost na přiloženém napětí, zjistíme, že pro U > 3U T je generačně rekombinační proud úměrný exp(U 2U T ) a propustný proud pn přechodu je ⎡ Dp wp ⎤ w D nw U U coth( n ) + n p 0 n coth( ) ⎥ exp( ) + eS i exp( ) I prop = eS ⎢ p n0 Lp Lp Ln Ln ⎥⎦ UT 2τ ef 2U T ⎢⎣

( 4.23 )

Ve ( 4.23 ) tak máme dvě exponenciální závislosti: závislost s exponentem U / U T odpovídá difúzní složce proudu a závislost s exponentem U / 2U T odpovídá generačně-rekombinační složce proudu. Obě složku lze zřetelně odlišit na naměřených charakteristikách, viz Obrázek 4.7.

Obrázek 4.7:

Vliv generačně-rekombinačních procesů v ochuzené vrstvě na charakteristiku pn přechodu v propustném směru (vlevo) a teplotní závislost závěrného proudu pn přechodu (vpravo).

Obrázek 4.8:

Vliv emisního koeficientu z rovnice ( 4.24 ) na charakteristiku pn přechodu.

44


V technické praxi se rovnice voltampérové charakteristiky diody píše ve tvaru zpravidla ve zjednodušené podobě ⎛ ⎞ U ) − 1⎟⎟ I = I S ⎜⎜ exp( mU T ⎝ ⎠

( 4.24 )

kde I S je experimentálně stanovený proud a koeficient m z intervalu 1 ≤ m ≤ 2 se zpravidla nazývá emisní koeficient nebo koeficient, resp. faktor neideálnosti. Vliv emisního koeficientu m na charakteristiku diody je znázorněn na Obrázek 4.8.

Příklad 4.3:

Vliv generačně-rekombinačního proudu – křemíkový přechod

Křemíková dioda se strmým pn přechodem je zhotovena z materiálu o těchto parametrech: intrinsická koncentrace ni = 1,6.1010 cm 3 , koncentrace příměsí N D = 1014 cm -3 , N A = 2.1016 cm -3 , difúzní konstanty Dn = 20 cm 2 s -1 , D p = 12 cm 2 s -1 , doby života τ p = 10 −5 s , τ n = 10 −6 s , relativní permitivita křemíku ε r = 12 . Porovnejte příspěvek difúzní složky a generačně-rekombinační složky k celkovému saturačnímu proudu diody. Řešení: Difúzní délky minoritních nosičů jsou podle ( 3.30 ) L p = D pτ p = 1,1.10 −2 cm ,

Ln = Dnτ n = 4,5.10 −3 cm , rovnovážné koncentrace minoritních elektronů v p oblasti a děr v n oblasti n p 0 = ni2 N A = 1,3.10 4 cm -3 , p n 0 = ni2 N D = 2,5.10 6 cm -3 . Pokud je délka kvazineutrálních oblastí diody velká ve srovnání s difúzními délkami minoritních nosičů, je příspěvek difúzních složek k proudové hustotě ⎛ Dp ⎞ D ⎟ = 0,46 nA/cm 2 j Sdif = e⎜ n p 0 n + p n 0 ⎜ ⎟ L L n p ⎠ ⎝ Kontaktní napětí přechodu podle ( 4.1 ) je Vbi = 0,57 V ,

šířku ochuzené vrstvy spočítáme při

nulovém vnějším napětí podle ( 4.5 ), w = 2,74.10 −4 cm , položíme přibližně τ ef ≈ 10 −5 s a příspěvek generačně-rekombinační složky spočítáme podle ( 4.22 ): j Sgr = e

ni w = 35 nA/cm 2 2τ ef

Příklad 4.4:

Vliv generačně rekombinačního proudu – germaniový přechod

Germaniová dioda se strmým pn přechodem je zhotovena z materiálu o těchto parametrech: intrinsická koncentrace ni = 2,4.1013 cm -3 , koncentrace příměsí N D = 1014 cm -3 , N A = 2.1016 cm -3 , difúzní konstanty a délky Dn = 80 cm 2 s -1 , D p = 47 cm 2 s -1 , Ln = 8,9.10 −3 cm , L p = 2,2.10 −2 cm , relativní permitivita germania ε r = 16 , doba života τ ef = 1.10 −5 s . Řešení: Postup je analogický jako v předcházejícím příkladě. Podstatný rozdíl je však v tom, že intrinsická koncentrace germania je přibližně o tři řády větší než intrinsická koncentrace křemíku. Tento rozdíl výrazně ovlivní velikost difúzní složky saturačního proudu (podle ( 4.14 ) je úměrná ni2 ) i generačně-rekombinační složky (podle ( 4.22 ) je úměrná ni ). Výsledky jsou: j Sdif = 2.10 6 nA/cm 2 , kontaktní napětí přechodu Vbi = 0,19 V , šířka přechodu w = 1,8.10 −4 cm , j Sgr = 3,5.10 4 nA/cm 2 .


4.3.4

45

Vliv vysoké injekce

Přechod pn pracuje tak, že z polovodiče typu n jsou vstřikovány elektrony do oblasti typu p a z oblasti typu p jsou zase vstřikovány díry do oblasti typu n. Pokud je koncentrace elektronů vstřikovaných do oblasti typu p menší než koncentrace majoritních nosičů náboje (děr) v oblasti typu p, tj. n p < p p 0 = N A , a koncentrace děr vstřikovaných do oblasti typu n je menší než koncentrace majoritních nosičů náboje (elektronů) v oblasti typu n, tj. p n < n n 0 = N D , přechod pn pracuje v podmínkách nízké (slabé) injekce. Při vyšším napětí v propustném směru, zejména u výkonových polovodičových součástek, však tato podmínka není splněna a nastává situace opačná: koncentrace elektronů vstřikovaných do oblasti typu p je stejná nebo větší než koncentrace majoritních nosičů náboje (děr) v oblasti typu p, tj. n p ≥ p p 0 = N A , a koncentrace děr vstřikovaných do oblasti typu n je stejná nebo větší než koncentrace majoritních nosičů náboje (elektronů) v oblasti typu n, tj. p n ≥ n n 0 = N D . Za těchto podmínek říkáme, že pn přechod pracuje v podmínkách vysoké (silné) injekce. Podmínky vysoké injekce mohou být splněny i při relativně nízkém napětí v propustném směru. Při vysoké injekci neplatí, že elektrické pole je omezeno jen na oblast prostorového náboje pn přechodu. Nenulová intenzita elektrického pole je i v kvazineutrálních oblastech mimo přechod pn, mezi oblastí prostorového náboje přechodu a kontakty součástky. Proud pak není čistě difúzní, jak jsme předpokládali při odvozování Shockleyho rovnice, ale má i driftovou složku. V důsledku toho se vnější napětí přiložené na diodu rozkládá na úbytky napětí na kvazineutrálních oblastech n a p a na oblasti prostorového náboje pn přechodu (v podmínkách slabé injekce je celé vnější napětí soustředěno na ochuzené vrstvě přechodu). Vysoká koncentrace vstřikovaných elektronů a děr, srovnatelná s koncentrací majoritních nosičů, resp. donorů a akceptorů, ovlivňuje vodivost oblastí n a p, nastává tzv. modulace vodivosti. Podrobný fyzikální rozbor všech jevů vede k závěru, že pro proud diodou v propustném směru v režimu vysoké injekce platí I = I S exp(

4.3.5

U ) 2U T

( 4.25 )

Vliv sériového odporu

Jestliže diodou prochází velký proud, vznikají nezanedbatelné úbytky napětí na obou kvazineutrálních oblastech n a p, které tak vytvářejí sériový odpor diody R S . V praxi se k tomuto odporu ještě přičítá odpor kontaktů diody a přívodů, viz obr. Obrázek 4.9.

Obrázek 4.9:

Vznik sériového odporu ve struktuře diody a jeho vliv na voltampérovou charakteristiku.

46


Na Obrázek 4.9 je dioda modelována jako sériové zapojení přechodu pn s charakteristikou podle rovnice ( 4.24 ) a odporu RS. Oběma prvky prochází stejný proud I. Napětí U přiložené na vnější svorky se rozkládá na pn přechod a na sériový odpor, U = U 0 + R S I . Tak dostaneme: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ U U − RS I I = I S ⎜⎜ exp( 0 ) − 1⎟⎟ , U = U 0 + R S I ⇒ I = I S ⎜⎜ exp( ) − 1⎟⎟ mU T mU T ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

( 4.26 )

Vliv sériového odporu na voltampérovou charakteristiku diody se projeví při větších proudech, jak je vidět na Obrázek 4.9.

4.3.6

Vliv teploty

Napíšeme rovnici voltampérové charakteristiky přechodu pn, přičemž použijeme dříve odvozené vztahy ( 4.14 ), ( 4.23 ), ( 4.24 ) : ⎡ n2 I = eS ⎢ i ⎢⎣ N D

Dp τp

coth(

wn n2 )+ i Lp NA

wp Dn n w ⎤⎛ eU ⎞ coth( ) + i ⎥ ⎜ exp( ) − 1⎟ Ln mkT τn 2τ ef ⎥ ⎝ ⎠ ⎦

( 4.27 )

Teplotní závislost voltampérové charakteristiky diody je dána teplotní závislostí dvou prvků, saturačního proudu pn přechodu a exponenciálního členu obsahujícího vnější napětí exp(eU mkT ) . Teplotní závislost saturačního proudu je dána především teplotní závislostí kvadrátu intrinsické koncentrace podle ( 3.3 ) a tato závislost je ještě mírně modifikována teplotní závislostí difúzních konstant a dob života: intrinsická koncentrace: ni2 ~ T 3 exp(−

Eg kT

)

difúzní konstanta:

Dn, p ~ T − m ,

doba života:

τ n, p ~ T − n , n ≈ 0,8 až 1,8

m ≈ 0,66 až 1,7

Na grafu teplotní závislosti závěrného proudu je možné zřetelně odlišit příspěvek difúzní složky proudu úměrný ni2 a generačně-rekombinační složky úměrný ni , viz Obrázek 4.7. Při určitém zjednodušení můžeme teplotní závislost saturačního proudu zachytit rovnicí: I S ~ T 3+ α exp(−

Eg kT

( 4.28 )

)

Kontaktní napětí pn přechodu je podle rovnice ( 4.1 ) rovněž závislé na teplotě. Za pomoci vztahu ( 3.3 ) přepíšeme tuto rovnici s explicitně vyznačenou teplotní závislostí: Vbi =

E g (T ) e

+

⎞ E g (T ) kT ⎛ N D N A ⎞ NDNA kT ⎛ ⎟= ln⎜ ln⎜⎜ + ⎟ e ⎝ N C (T ) N V (T ) ⎟⎠ e e ⎝ BT 3 / 2 ⎠

( 4.29 )

Teplotní závislost šířky zakázaného pásu se je zanedbatelná, druhý člen vede k měřitelným změnám.

Příklad 4.5:

Vliv teploty na charakteristiku diody

Odvoďte, jak se změní saturační proud diody a úbytek napětí na diodě, jestliže se teplota změní o malou hodnotu ΔT . eU (T )(e kT

Řešení: Charakteristika diody je popsána Shockleyho rovnicí I (T ) = I S − 1) , v níž je nyní explicitně vyznačena teplotní závislost. V závěrném směru je hodnota exponenciální funkce


47

zanedbatelná, takže teplotní závislost proudu diody je určena teplotní závislostí saturačního proudu I S (T ) . Pro saturační proud v Shockleyho teorii platí ⎛ Dp

E

g − ⎞ ⎟ , kde ni2 = BT 3 e kT , B = konst. ⎟ ⎝ Lp N A ⎠ Poměr difúzní konstanty a difúzní délky závisí na teplotě jen velmi slabě, takže tuto teplotní závislost pro zjednodušení zanedbáme. Teplotní závislost saturačního proudu I 0 (T ) je tedy dominantně určena

I 0 (T ) = eSni2 ⎜ ⎜

Dn + Ln N D

teplotní závislostí kvadrátu intrinsické koncentrace. Ve vztahu pro ni2 zanedbáme velmi malou závislost šířky E g zakázaného pásu polovodiče na teplotě (mění se řádově o setiny elektronvoltu při změně teploty o 100 K). Pro saturační proudy I S (T ) při teplotě T a I S (T + ΔT ) při teplotě T + ΔT tak dostaneme Eg

−

3

kT

3

Eg ⎛

1

⎞

−

Eg

Eg

ΔT 3 − kT (1+ ΔT / T ) I S (T ) = C . T e , I S (T + ΔT ) = C . (T + ΔT ) e ) e = C . T (1 + , T kde v konstantě C jsou shrnuty všechny teplotně nezávislé parametry. Vypočteme poměr obou proudů: 3

k (T + ΔT )

3

3

E g ΔT 1 T 1+ ΔT / T

I S (T + ΔT ) ⎛ ΔT ⎞ − kT ⎜⎜⎝ 1+ ΔT / T ) − 1⎟⎟⎠ ⎛ ΔT ⎞ kT = ⎜1 + = ⎜1 + ⎟ e ⎟ e I S (T ) T ⎠ T ⎠ ⎝ ⎝

Přibližná rovnost platí za předpokladu ΔT << T . Parametr λ =

Eg kT 2

Eg

≈ e kT

2

ΔT

= e λ ΔT

se pro referenční teplotu

T = 300 K uvádí často v katalozích; pro křemíkové diody je λ Si = 0,14 K -1 , pro germaniové diody λ Ge = 0,09 K −1 . V propustném směru se uplatní jak závislost saturačního proudu na teplotě I 0 (T ) , tak i závislost exponenciálního členu e eU / kT v Shockleyho rovnici. Budeme předpokládat, že dioda je napájena ze zdroje proudu konstantním proudem I (nezávislým na teplotě) a vypočteme, jak se změní napětí na diodě při změně teploty. Jestliže teplota vzroste z hodnoty T na T + ΔT , napětí na diodě klesne z původní hodnoty U na U − ΔU a podmínka konstantního proudu diodou dává IS

eU (T )(e kT

− 1) = I S (T + ΔT )(e

e (U − ΔU ) k (T + ΔT )

− 1)

Budeme předpokládat, že změna teploty je malá, dosadíme odvozený vztah pro saturační proud I S (T + ΔT ) = I S (T ) e λ ΔT a postupně dostaneme T eU − e(U − ΔU ) ( − Δ ) e U U eU T + ΔT ≈ e ΔU ⇒ λ ΔT = = λ ΔT + kT kT kT k (T + ΔT ) kT λ ΔT = γ ΔT ; pro Vzroste-li teplota o ΔT , pak napětí v propustném směru na diodě klesne o ΔU = e křemíkovou diodu je γ Si = 3,6 mV/K , pro germaniovou diodu γ Ge = 2,3 mV/K .

4.3.7

Voltampérová charakteristika reálného přechodu pn

Na začátku odstavce 4.3.1 jsme uvedli tři zjednodušující předpoklady, které charakterizují ideální přechod pn a které umožnily odvodit Shockleyho rovnici. Reálný přechod pn (reálná dioda) se od ideálního přechodu liší tím, že se při průchodu proudu uplatňují další jevy, s nimiž ideální model nepočítá. Jsou to: (i) generace a rekombinace nosičů náboje v ochuzené vrstvě pn přechodu, která byla podrobně rozebrána v odst. 4.3.3; (ii) jevy vyvolané vysokou injekcí elektronů a děr, viz odst. 4.3.4; (iii) vliv sériového odporu diody, viz odst. 4.3.5; (iv) tunelování nosičů náboje přes lokalizované energiové hladiny nežádoucích příměsí v zakázaném pásu; (v) existence vodivého povrchového

48


kanálu přes oblast prostorového náboje pn přechodu u povrchu polovodiče. Jevy (iv) a (v) jsou vlastně parazitní jevy způsobené nedokonalostí technologického procesu. Rozdíl mezi voltampérovou charakteristikou ideálního a reálného pn přechodu v propustném a v závěrném směru je nakreslen na Obrázek 4.10.

Obrázek 4.10:

4.3.8

Rozdíl mezi voltampérovou charakteristikou ideálního pn přechodu a reálné polovodičové diody.

Stanovení parametrů diody z voltampérové charakteristiky

Naměřenou voltampérovou charakteristiku diody v propustném směru lze v poměrně širokém intervalu proudů a napětí dobře aproximovat vztahy ( 4.24 ), resp. ( 4.26 ); je-li U 0 >> 3mU T , resp. U − RS I >> 3mU T , lze zanedbat jedničku vůči exponenciální funkci: ⎛ U I = I S exp⎜⎜ 0 ⎝ mU T

⎞ ⎛ U − RS I ⎞ ⎟⎟ = I S exp⎜⎜ ⎟⎟ ⎠ ⎝ mU T ⎠

( 4.30 )

Tuto rovnici logaritmujeme při základu 10 (protože dekadický logaritmus je vhodný ke kreslení grafů s logaritmickou stupnicí): log( I ) = log( I S ) +

log(e) U0 mU T

( 4.31 )

V semilogaritmických souřadnicích [U 0 , log( I )] je grafem funkce ( 4.31 ) přímka o směrnici log(e) (mU T ) , která protíná svislou osu grafu v bodě o souřadnici log( I S ) . Při stanovení parametrů diody tedy postupujeme takto (viz Obrázek 3.11): Do grafu vyneseme experimentálně naměřené hodnoty napětí a proudu, pro proud volíme logaritmickou stupnici [U , log(I )]. Zakreslenými body proložíme přímku, při zakreslování přímky se však omezíme jen na


49

takové hodnoty proudu, kdy se ještě neuplatňuje vliv sériového odporu. Průsečík přímky se svislou osou grafu určuje saturační proud I S , ze směrnice přímky odvodíme emisní koeficient diody m, odchylka mezi proloženou přímkou a naměřenými hodnotami pro velké proudy je rovna úbytku napětí na sériovém odporu diody.

Obrázek 4.11:

Stanovení parametrů diody z voltampérové charakteristiky.

4.4 Průraz přechodu pn Slovo průraz naznačuje, že při určitém závěrném napětí přiloženém na pn přechod nazývaném průrazné napětí a označovaném zpravidla U Z nebo U BR začne proud pn přechodem prudce narůstat, zatímco napětí na pn přechodu se téměř nemění. Zde se budeme zabývat pouze nedestruktivním průrazem přechodu pn, který může být vyvolán buď tunelováním nosičů náboje přes přechod nebo lavinovým násobením nosičů náboje v ochuzené vrstvě pn přechodu.

4.4.1

Tunelový (Zenerův) průraz přechodu pn

Tunelový (Zenerův) průraz nastává u přechodů se silnou oboustrannou dotací – polovodiče už mohou být degenerované, tzn. že Fermiho hladina může ležet v ve vodivostním pásu polovodiče typu n nebo ve valenčním pásu polovodiče typu p. Pásový diagram takového pn přechodu je nakreslen na Obrázek 4.12. Šířka ochuzené vrstvy je velmi malá, řádově přibližně jeden nanometr a méně, viz Obrázek 4.13. Přiložíme-li na takový pn přechod napětí v závěrném směru, energiové hladiny v oblasti přechodu se silně nakloní a efektivní šířka pn přechodu se ještě zmenší, viz Obrázek 4.12, takže může nastat tunelování. Jde o tzv. mezipásové tunelování, kdy elektrony z vázaných stavů ve valenčním pásu tunelují do vodivostního pásu, a tak se zvětšuje počet elektronů a děr, které se účastní vedení proudu, a proud velmi rychle vzrůstá. Potenciálová bariéra má přibližně trojúhelníkový tvar.

Obrázek 4.12:

Tunelování elektronu přes potenciálovou bariéru pn přechodu mezi degenerovanými polovodiči.

50


Na Obrázek 4.13 je rovněž závislost průrazného napětí pn přechodu na koncentraci příměsí pro různé polovodičové materiály a je vyznačena oblast, kde se uplatňuje lavinový průraz a tunelový průraz pn přechodu. Na vodorovné ose obou grafů je vynesena tzv. efektivní koncentraci příměsí N * definovaná rovnicí 1 N * = 1 N A + 1 N D . Pro N A >> N D je tedy N * ≈ N D a obráceně pro N D >> N A je N * ≈ N A ; určující pro velikost průrazného napětí je tedy menší z obou koncentrací, což platí jak pro tunelový, tak pro lavinový průraz pn přechodu. K výpočtu tunelovacího proudu z valenčního pásu do prázdných stavů ve vodivostním pásu je nutné nejprve pomocí kvantové fyziky určit pravděpodobnost průchodu elektronů přes potenciálovou bariéru na pn přechodu, výsledek je I tun = S

(2m * )1 / 2 e 3 EU 4π 2 h 2 E 1g/ 2

⎛ 4 2m * E 3 / 2 ⎜ g exp⎜ − 3eEh ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

( 4.32 )

Jakmile intenzita elektrického pole v oblasti pn přechodu dosáhne hodnoty asi E = 10 6 V/cm, začne tunelování elektronů přes zakázaný pás. Aby mohlo tak silné elektrické pole ba přechodu vzniknout, aniž by docházelo k nárazové ionizaci, musí být koncentrace příměsí po obou stranách pn přechodu vysoká, viz Obrázek 4.13. Vysoká koncentrace příměsí současně vede k tomu, že ochuzená vrstva je velmi úzká, takže i potenciálová bariéra je úzká a elektrony přes ni mohou tunelovat. Čistě tunelový průraz je možné pozorovat pouze u těch pn přechodů, které mají poměrně nízké průrazné napětí U BR ≤ 4 E g e . Nastane-li průraz při napětích U BR ≥ 6 E g e , uplatní se pouze

lavinový průraz. V oblasti 4 E g e < U BR < 6 E g e se vyskytují současně oba mechanismy průrazu. Pro tunelový průraz pn přechodu je typické, že průrazné napětí s rostoucí teplotou klesá: při zvýšení teploty o ΔT > 0 se průrazné napětí sníží o ΔU BR < 0 , relativní i absolutní součinitel teplotní závislosti průrazného napětí je tedy záporný: ΔU BR ΔU BR U BR 1 ΔU BR ( 4.33 ) [mV/K] γ rel = = [K-1] , γ abs = ΔT ΔT ΔT U BR

Obrázek 4.13: Lavinový a tunelový průraz pn přechodu. Závislost průrazného napětí, šířky ochuzené vrstvy při průrazu a maximální intenzity elektrického pole v ochuzené vrstvě na koncentraci příměsí pro strmý nesymetrický pn přechod z různých polovodičů.


4.4.2

51

Lavinový průraz pn přechodu

Lavinové průraz přechodu pn je vyvolán nárazovou ionizací, k níž dochází v silném elektrickém poli závěrné polarizovaného přechodu pn. Nutnou podmínkou je, aby šířka ochuzené vrstvy pn přechodu byla větší než střední volná dráha elektronu nebo díry mezi dvěma srážkami s atomy krystalové mříže. Tato podmínka je splněna při nízké koncentraci donorů a akceptorů, kdy ochuzená vrstva je široká. Jestliže intenzita elektrického pole dosáhne určité kritické hodnoty, nosiče náboje jsou na velmi krátké dráze urychleny elektrickým polem a získají tak vysokou kinetickou energii, že při srážce s atomem v krystalové mříži mohou uvolnit z chemické vazby další elektron, který přejde do vodivostního pásu a ve valenčním pásu se objeví volná díra - tento jev se nazývá nárazová ionizace. Vygenerované nosiče náboje jsou vzápětí zase urychleny elektrickým polem a při nárazové ionizaci generují další páry elektron-díra. Počet volných nosičů náboje tak velmi rychle narůstá, nastává lavinové násobení nosičů v závěrné vrstvě pn přechodu.

Obrázek 4.14:

Lavinové násobení elektronů a děr v závěrné vrstvě pn přechodu.

Proces nárazové ionizace kvantitativně charakterizují koeficienty nárazové ionizace elektronů a α děr n a α p , které udávají počet párů elektron-díra generovaných elektronem nebo dírou na jednotkové dráze. Elektron se pohybuje rychlostí v n , v závěrné vrstvě pn přechodu je tato rychlost zpravidla konstantní a rovná příslušné saturační rychlosti, viz Obrázek 3.11. Za jednotku času tak urazí dráhu v n a generuje α n v n párů elektron-díra, při koncentraci n elektronů je tak za jednotku času generováno α n v n n párů elektron-díra. Analogická úvaha platí i pro generaci vyvolanou děrami, takže výsledná generační rychlost nárazové ionizace je G = α n vn n + α p v p p = α n

jp jn +αp e e

( 4.34 )

Oba koeficienty nárazové ionizace jsou velmi výrazně závislé na intenzitě elektrického pole. Existují řada různých vztahů, odvozených teoreticky nebo na základě experimentálně získaných údajů, které modelují závislost koeficientů nárazové ionizace na intenzitě elektrického pole, například:

pro elektrony :

pro díry :

⎡ ⎛ krit E exp ⎢− ⎜ n ⎜ ⎢ E ⎣ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎡ ⎛ krit Ep ∞ α p = α p exp ⎢− ⎜ ⎢ ⎜ E ⎢⎣ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

αn = α∞ n

βn

βp

⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

nebo

1 αn = λn

⎛ E ⎜ ⎜ E krit ⎝ n

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

nebo

1 ⎛⎜ E αp = λ p ⎜ E krit ⎝ p

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

δn

δp

( 4.35 )

52


Číselné hodnoty parametrů z těchto rovnic uváděné v odborné literatuře mají poměrně široký rozptyl, což je dáno jejich obtížnou měřitelností; jako orientační příklad uvádíme hodnoty pro křemík: 6 α∞ n = 2,2.10 ,

E nkrit = 1,54.10 6 V/cm ,

α ∞p = 1,0.10 6 ,

6 E krit p = 2,22.10 V/cm ,

βn ≈ β p ≈ 1,

λ n = 6,2 nm , λ p = 3,8 nm , δ n ≈ δ p ≈ 6 . Odvodíme podmínku pro vznik lavinového průrazu, viz Obrázek 4.14. Uvažujme pn přechod s ochuzenou vrstvou šířky w. Zleva přitéká k okraji ochuzené vrstvy x = 0 děrový proud I p 0 . V ochuzené vrstvě dochází k lavinovému násobení děr, takže z pravého okraje ochuzené vrstvy x = w vytéká děrový proud M p I p 0 . Podobný proces nastává i s elektrony: elektronový proud I n 0 vstupuje do ochuzené vrstvy z pravého okraje x = w a po lavinovém násobení elektronů ve vrstvě vytéká z levého okraje x = 0 elektronový proud M n I n 0 . Součet elektronové a děrové složky musí být ve stacionárním stavu podél celé struktury konstantní, I = I n ( x) + I p ( x) = konst. . Přírůstek děrového proudu v okolí dx bodu o souřadnici x se rovná počtu párů elektron-díra, které jsou za jednotku času generovány v intervalu dx, takže podle definice koeficientů nárazové ionizace platí: d(

Ip e

)=

Ip e

α p dx +

In α n dx ⇒ e

dI p dx

− (α p − α n ) I p = α n I

( 4.36 )

Řešení této lineární diferenciální rovnice s okrajovou podmínkou I p ( w) = M p I p 0 ≈ I je x ⎡ x′ ⎤ 1 + α n exp ⎢− (α p − α n ) dx ′′⎥ dx ′ Mp ⎢ ⎥ 0 ⎣ 0 ⎦ I p ( x) = I ⎡ x ⎤ exp ⎢− (α p − α n ) dx ′⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎦

∫

∫

( 4.37 )

∫

Odtud lze po delším počítání a úpravách integrálů získat vztah Mp

⎧ w ⎡ x ⎤ ⎫⎪ ⎪ ≡ = ⎨1 − α p exp ⎢− (α p − α n ) dx ′⎥ dx ⎬ I p ( 0) ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎣ 0 ⎦ ⎭ ⎩ 0 I p ( w)

∫

∫

−1

( 4.38 )

Lavinový průraz pn přechodu nastává, když proud přechodem rychle vzrůstá nade všechny meze, tedy když M p → ∞ , což znamená, že musí být splněna podmínka ⎡ x ⎤ α p exp ⎢− (α p − α n ) dx ′⎥ dx = 1 ⎢ ⎥ 0 ⎣ 0 ⎦

w

∫

∫

( 4.39 )

Při odvozování této podmínky pro nástup lavinového násobení jsme předpokládali, že lavinové násobení je nastartováno děrami. Pokud by proces lavinového násobení byl iniciován elektrony, vyšla by podmínka (lze ukázat, že ekvivalentní)

⎡ x ⎤ α n exp ⎢− (α n − α p ) dx ′⎥ dx = 1 ⎢ ⎥ 0 ⎣ 0 ⎦

w

∫

∫

( 4.40 )

Pokud jsou oba koeficienty lavinového násobení stejné, zjednoduší se poslední dvě rovnice na w

∫ α dx = 1 0

( 4.41 )


53

Ze ( 4.38 ) můžeme dále odvodit: I p ( w) = M p I p 0 ≈ I =

I p0 ⎡ ⎤ 1 − α p exp ⎢− (α p − α n ) dx ′⎥ dx ⎢ ⎥ 0 ⎣ 0 ⎦ w

x

∫

∫

=

I p0 ⎛ U 1− ⎜ ⎜U ⎝ BR

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

ν

( 4.42 )

Poslední zlomek v této rovnici je vlastně vhodná aproximace integrálu v předcházejícím zlomku, ve které explicitně vystupuje přiložené vnější napětí U v závěrném směru (podle konvence je záporné, proto absolutní hodnota) a průrazné napětí pn přechodu. Jde tedy vlastně o rovnici voltampérové charakteristiky pn přechodu v režimu průrazu. Rovnice ( 4.42 ) umožňuje vypočítat průrazné napětí pn přechodu. Pro lavinový průraz pn přechodu je typické, že průrazné napětí s rostoucí teplotou roste: při zvýšení teploty o ΔT > 0 se průrazné napětí zvýší o ΔU BR > 0 , relativní i absolutní součinitel teplotní závislosti průrazného napětí je tedy kladný.

Příklad 4.6:

Průrazné napětí strmého pn přechodu

Křemíková dioda s přechodem pn-přechod je charakterizována těmito parametry: koncentrace akceptorů a donorů N A = 1.1017 cm −3 , N D = 1.1016 cm −3 , intrinsická koncentrace ni = 1,5.1010 cm -3 při teplotě 300 K, relativní permitivita křemíku ε r = 11,7 , kritická intenzita elektrického pole, při níž krit = 1,2 .10 6 V cm -1 , střední volná dráha nastává lavinové násobení nosičů náboje E nkrit = E krit p =E

mezi dvěma ionizačními procesy λ n = λ p = λ = 12 nm . Vypočtěte průrazné napětí U BR a koeficient ν ze závislosti ( 4.42 ). Předpokládejte, pro závislost koeficientů nárazové ionizace na intenzitě 6

elektrického pole platí α n = α p = α =

1⎛ E ⎞ ⎟ (srov. ( 4.35 )). ⎜ λ ⎝ E krit ⎠

Řešení: Rovnice ( 4.42 ) se zjednoduší do podoby I p0 I p0 I= = w ν ⎛ U ⎞ ⎟ 1 − α[ E ( x)]dx 1 − ⎜ ⎜U ⎟ BR ⎝ ⎠ 0 Průběh intenzity elektrického pole na strmém pn přechodu popisují rovnice z Tabulka 4.1. Podmínka nástupu lavinového násobení má tvar

∫

xn

∫− α[ E ( x)]dx = 1 ,

resp. U = U BR

xp

Dosadíme závislost koeficientu lavinového násobeni α na intenzitě elektrického pole a závislost intenzity elektrického pole na souřadnici x: ⎛ eN A ⎜ krit 6 ⎜ ε ε λ( E ) ⎝ 0 r 1

⎞ ⎟⎟ ⎠

6 0

⎛ eN D ⎜ ( x + x p ) dx + krit 6 ⎜ ε ε λ ( E ) ⎝ 0 r −x

∫

1

6

p

Po vypočtení integrálů dostaneme: 1 ⎛⎜ e ⎜ 7λ ⎝ ε 0 ε r E krit

6

(

)

⎞ ⎟ N A6 x 7p + N D6 x n7 = 1 ⎟ ⎠

⎞ ⎟⎟ ⎠

6 xn

∫ (x − x 0

n)

6

dx = 1

54


Do tohoto vztahu dosadíme z rovnice ( 4.5 ) za x p a x n ; přitom si uvědomíme, že při nástupu lavinového násobení je na přechodu napětí v závěrném směru a při lavinovém násobení mnohem větší než napětí kontaktní, takže ve vztazích pro x p a x n položíme Vbi − U = Vbi + U = Vbi + U BR ≈ U BR . Po delším počítání vyjde: 1 7 / 2 2 7 / 2 e 6 (ε 0 ε r ) 7 / 2 1 U BR 6 krit 6 7 / 2 7λ ( E ) e (ε 0 ε r ) ( N A + N D ) 7 / 2

⎡ ⎛N ⎢ N A6 ⎜ D ⎢ ⎜⎝ N A ⎣

⎞ ⎟⎟ ⎠

7/2

⎛N + N D6 ⎜⎜ A ⎝ ND

⎞ ⎟⎟ ⎠

7/2 ⎤

⎥ =1 ⎥ ⎦

Odtud už snadno odvodíme:

U BR

⎡ ⎛ krit E ε0εr e = ( N A + N D ) ⎢7 λ ⎜ ⎜ ⎢ e 2ε 0 ε r ⎣ ⎝

6 ⎤ ⎞ 1 ⎥ ⎟ ⎟ N 6 (N N )7 / 2 + N 6 (N N )7 / 2 ⎥ ⎠ A D A D A D ⎦

2/7

Po dosazení zadaných číselných hodnot vyjde U BR = 137 V a exponent ν = 7 2 .

4.5 Bariérová kapacita přechodu pn Bariérová kapacita přechodu pn je významná v závěrném směru a může výrazně ovlivnit dynamické vlastnosti součástky. Je závislá na přiloženém napětí, tato závislost se měří jako tzv. CU-, resp. CV-charakteristika, pn přechodu (označení pochází z anglického termínu voltage – napětí).

4.5.1

Vznik bariérové kapacity a CU-charakteristika pn přechodu

Jak jsme vysvětlili a spočítali v kapitole 4.2, při přiložení závěrného napětí na pn přechod se jeho ochuzená vrstva rozšiřuje, viz obr. Obrázek 4.4, a šířka ochuzené vrstvy (v případě modelu strmého pn přechodu z kapitoly 4.2) závisí na přiloženém závěrném napětí podle vztahu ( 4.5 ): ⎡ 2ε ε N + N D ⎤ w(U ) = ⎢ 0 r A (Vbi − U )⎥ N AND ⎣ e ⎦

1/ 2

⎡ 2ε ε N + N D ⎤ =⎢ 0 r A (Vbi + U ) ⎥ N AND ⎣ e ⎦

1/ 2

( 4.43 )

Zatímco první z těchto vztahů je platný pro závěrné napětí U < 0 i pro napětí v propustném směru U > 0 až asi do U ≈ 0,5Vbi , kdy ještě má smysl mluvit o ochuzené vrstvě, ve druhém z uvedených vztahů ( 4.43 ) je použito rovnosti − U = U platné pouze pro U < 0 , takže vztah platí jen pro napětí v závěrném směru. Ochuzená vrstva v závěrném směru neobsahuje téměř žádné volné nosiče náboje (závěrný proud pn přechodu je velmi malý), takže se chová jako dielektrikum. Z jedné strany k ní přiléhá kvazineutrální oblast polovodiče typu p s volnými děrami s kladným nábojem, ze druhé strany kvazineutrální oblast polovodiče typu n s volnými elektrony se záporným nábojem. Tato situace připomíná klasický rovinný kondenzátor s kladnou a zápornou kovovou elektrodou, které jsou od sebe odděleny dielektrikem. Tato analogie vede k závěru, že pn přechod v závěrném směru se chová jako rovinný kondenzátor o kapacitě C bar

⎡ eε ε N A N D ε ε 1 ⎤ = S 0 r = S⎢ 0 r ⎥ w(U ) ⎣ 2 N A + N D Vbi − U ⎦

1/ 2

( 4.44 )

Index bar zde označuje bariérovou kapacitu pn přechodu, což souvisí s tím, že v závěrném směru je na pn přechodu vysoká potenciálová bariéra, viz Obrázek 4.4.


55

Ve zcela obecném případě se kapacita definuje jako poměr malé změny náboje a malé změny přiloženého napětí C=

ΔQ dQ , resp. C = ΔU dU

( 4.45 )

Ukážeme, že z této obecné definice kapacity plyne výše uvedený vztah pro bariérovou kapacitu.

Vznik bariérové kapacity pn přechodu

Obrázek 4.15:

xp

Při určitém závěrném napětí U na pn přechodu má ochuzená vrstva šířku x n v oblasti typu n a v oblasti typu p, viz Obrázek 4.15. V ochuzené vrstvě v polovodiči typu n je prostorový náboj

ionizovaných donorů a v polovodiči typu p stejně velký prostorový náboj ionizovaných akceptorů Q = eSN D x n = eSN A x p . Pokud se závěrné napětí na přechodu zvětší o ΔU , zvětší se šířky ochuzených vrstev o Δx n , resp. o Δx p . Tyto vrstvičky Δx n , Δx p byly původně elektricky neutrální, tzn. že náboj ionizovaných donorů byl kompenzován nábojem volných elektronů, resp. náboj ionizovaných akceptorů nábojem volných děr. Při vzrůstu napětí o ΔU z nich odtečou volné elektrony a díry směrem ke kontaktům a zvětší se nepohyblivý prostorový náboj ochuzené vrstvy tvořený ionizovanými donory a akceptory o ΔQ = eSN D Δx n = eSN A Δx p . Při snížení závěrného napětí naopak do vrstviček Δx n , Δx p přitečou volné elektrony a díry z kontaktů, vykompenzují náboj ionizovaných donorů a akceptorů a náboj ochuzené vrstvy se zmenší. Tyto změny náboje způsobují vznik bariérové kapacity. Poměr změny náboje a změny napětí, resp. derivace podle ( 4.45 ) pro infinitezimálně malé změny je dx p ⎡ eε 0 ε r N A N D dx dQ ΔQ 1 ⎤ = = eSN D n = eSN A =⎢ ⎥ ΔU →0 ΔU dU dU dU ⎣ 2 N A + N D Vbi − U ⎦ lim

1/ 2

= C bar

což je přesně vztah ( 4.44 ), který byl odvozen na základě analogie s rovinným kondenzátorem.. Vztah ( 4.44 ) pro bariérovou kapacitu strmého pn přechodu upravíme do jiného tvaru: C bar =

C 0bar ⎛ U ⎜⎜1 − ⎝ Vbi

⎞ ⎟⎟ ⎠

1/ 2

, C 0bar

⎡ eε ε N A N D 1 ⎤ = S⎢ 0 r ⎥ ⎣ 2 N A + N D Vbi ⎦

1/ 2

( 4.46 )

Zde C 0bar je bariérová kapacita při nulovém vnějším napětí. Pro vnější napětí U zde platí totéž, co bylo řečeno u rovnice ( 4.43 ). V závěrném směru je většinou splněna podmínka U >> Vbi , takže vztah ( 4.46 ) můžeme pro závěrná napětí psát takto:

56


C bar =

C 0bar ⎛ U ⎜1 + ⎜ V bi ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1/ 2

≈

C 0bar ⎛U ⎜ ⎜V ⎝ bi

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1/ 2

( 4.47 )

Všechny zatím uvedené vztahy platí pro model strmého pn přechodu s homogenní koncentrací donorů a akceptorů, jaký je nakreslen na Obrázek 4.4. Pro případ obecného koncentračního profilu příměsí se vztahy ( 4.46 ), ( 4.47 ) změní do podoby C bar =

C 0bar ⎛ U ⎜⎜1 − ⎝ Vbi

⎞ ⎟⎟ ⎠

1/ m

, resp. C bar =

C 0bar ⎛ U ⎜1 + ⎜ V bi ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1/ m

( 4.48 )

kde exponent 1 m zpravidla nabývá hodnot mezi 1 3 a 1 2 , tj. m = 2 až 3, u speciálně vyrobených pn přechodů jsou však možné i jiné hodnoty m. Grafy závislostí bariérové kapacity na napětí pro různé hodnoty exponentu jsou na Obrázek 4.16, vztahy mezi šířkou ochuzené vrstvy, kapacitou přechodu p+n a koncentrací příměsí jsou znázorněny v grafu na Obrázek 4.17. Teplotní závislost bariérové kapacity není příliš významná a je dána především teplotní závislostí kontaktního potenciálu Vbi podle ( 4.29 ).

Obrázek 4.16:

Závislost bariérové kapacity na napětí pro různá m z rovnice ( 4.48 ).

Obrázek 4.17:

Vztah mezi šířkou ochuzené vrstvy, kapacitou přechodu a koncentrací příměsí.


Příklad 4.7:

57

Bariérová kapacita pn přechodu

Pro diodu z Příklad 4.1 vypočtěte bariérovou kapacitu pro všechna zadaná napětí. Řešení: Použijeme rovnice ( 4.46 ), výsledky jsou uvedeny v tabulce.

4.5.2

U [V]

-10,0

-1,0

-0,3

0,0

0,3

Cbar [pF]

0,209

0,518 0,669 0,791 1,019

Stanovení parametrů diody z charakteristiky kapacita-napětí

Nejprve se budeme zabývat speciálním případem strmého přechodu pn, pro který byly odvozeny rovnice ( 4.46 ) a ( 4.47 ). Předpokládejme, že jsme naměřili závislost bariérové kapacity C bar na přiloženém napětí U < 0 v závěrném směru. Z rovnice ( 4.47 ) snadno odvodíme 1 2 C bar

=

1 C 02bar

+

1 C 02bar Vbi

U

( 4.49 )

2 na napětí v závěrném směru U je tedy přímka, která protíná Grafem závislosti veličiny 1 C bar

svislou osu v bodě o souřadnici 1 C 02bar a má směrnici 1 (C 02bar Vbi ) . Z grafu tak lze určit kapacitu C 0bar a kontaktní napětí Vbi . V obecném případě, kdy přechod pn není strmý, platí pro bariérovou kapacitu rovnice ( 4.48 ), v níž ovšem neznáme exponent 1 m , a tak musíme zvolit jiný postup. Logaritmováním při použití dekadického logaritmu dostaneme log(C bar ) = log(C 0bar ) −

⎛ U 1 log⎜1 + ⎜ V m bi ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

( 4.50 )

Vyneseme-li do grafu závislost log(C bar ) na log(1 + U Vbi ) , dostaneme přímku o směrnici − 1 m , která protíná svislou osu grafu v bodě o souřadnici log(C 0bar ) . První problém této metody spočívá v tom, že musíme znát pokud možno přesně kontaktní napětí měřeného pn přechodu. Druhý problém souvisí s tím, že měřená hodnota kapacity C bar je zpravidla ovlivněna parazitní kapacitou C p přívodů, pouzdra apod. Protože kapacita C bar je velmi malá, u diskrétních součástek typicky jednotky až desítky pF, může parazitní kapacita C p významně zkreslit měření. Přesto ale z naměřené CV- charakteristiky lze stanovit všechny čtyři veličiny C 0bar , m, Vbi a parazitní kapacitu C p . Vychází se přitom z rovnice ( 4.48 ), do níž se doplní parazitní kapacita: C měřená = C bar + C p =

C 0bar ⎛ U ⎜1 + ⎜ V bi ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1/ m

+ Cp

( 4.51 )

Pokud odhadneme správně kontaktní potenciál Vbi , lze postupem podle ( 4.50 ) stanovit pouze rozdíl C měřená − C p , jak plyne z rovnice log(C měřená − C p ) = log(C 0bar ) −

⎛ U 1 log⎜1 + ⎜ m ⎝ Vbi

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

( 4.52 )

58


Pokud chceme určit hodnoty všech čtyř parametrů C 0bar , m, Vbi , C p , musíme použít metodu nelineární regrese. Tato metoda je iterační a potřebuje zadat pokud možno co nejlepší odhad počátečních hodnot všech parametrů, které se v průběhu iterací zpřesňují. Velmi dobrým počátečním odhadem je C p ≈ 0 a hodnoty parametrů určené podle ( 4.50 ). Metodami nelineární regrese se zde zabývat nebudeme.

4.6 Komplexní admitance přechodu pn Budeme se zabývat situací, kdy na pn přechod je přiloženo stejnosměrné napětí v propustném směru, kterým se nastaví vhodný pracovní bod, a malý střídavý signál. Celkové napětí na pn přechodu se tedy skládá ze stejnosměrné složky U a střídavé složky a střídavé složky o amplitudě u m << U : u (t ) = U + u m exp(iωt )

4.6.1

( 4.53 )

Vznik difúzní kapacity pn přechodu

Malá střídavá složka způsobí, že napětí na pn přechodu kolísá v malém intervalu U − u m ≤ u ≤ u + U m kolem střední hodnoty U a vede k tomu, že se zvyšuje nebo snižuje výška potenciálové bariéry na pn přechodu, viz Obrázek 4.18. V důsledku toho se snižuje nebo zvyšuje počet elektronů vstřikovaných z oblasti n do p a počet děr vstřikovaných z oblasti p do n, a proto v určitém intervalu kolísá i proud procházející pn přechodem. Malá změna napětí na pn přechodu tedy vede k tomu, že se mění celkový elektrický náboj vstřikovaný z jedné oblasti pn přechodu do druhé a tato změna náboje vyvolaná změnou napětí dává podle obecné definice kapacity ( 4.45 ) vzniknout difúzní kapacitě pn přechodu (difúzní proto, že proud pn přechodem má převážně difúzní charakter, jak jsme viděli v odst. 4.3.1).

Obrázek 4.18:

Vznik difúzní kapacity pn přechodu a grafické určení dynamické vodivosti.

Difúzní kapacitu pn přechod můžeme velmi jednoduše stanovit takto: Jestliže každý elektron nebo díra setrváva ve struktuře po dobu τ a prochází-li přechodem proud I, pak celkový přenášený elektrický náboj je Q = Iτ a po dosazení z rovnice voltampérové charakteristiky diody ( 4.13 ) a užitím obecného vztahu pro kapacitu ( 4.45 ) dostaneme Q = Iτ = I S exp(

U )τ UT

⇒ Cd =

dQ 1 U Iτ = I S exp( )τ = UT UT dU U T

( 4.54 )


4.6.2

59

Komplexní admitance a její frekvenční závislost

Nyní se budeme věnovat podrobnější a přesnější analýze pn přechodu se stejnosměrným předpětím a malým střídavým signálem podle ( 4.53 ). Koncentrace elektronů a děr je ovlivňována celkovým napětím přiloženým na pn přechod, tedy jak stejnosměrnou tak i střídavou složkou. Každou z koncentrací n( x, t ) , p( x, t ) lze rozepsat jako součet koncentrace závislé na stejnosměrném předpětí n(x) , resp. p (x) , a koncentrace ovlivněné malým střídavým signálem: n( x, t ) = n( x) + n m ( x) exp[i (ωt + ϕ n )]

( 4.55 )

p ( x, t ) = p ( x) + p m ( x) exp[i (ωt + ϕ p )]

Střídavá složka koncentrace sleduje v čase změny střídavého napětí s určitým fázovým posuvem ϕ n , resp. ϕ p . Pro výpočet použijeme jednorozměrný model diody podle Obrázek 4.5. Na ohmických kontaktech diody je koncentrace minoritních nosičů vždy rovnovážná n p 0 , resp. p n0 . Koncentrace minoritních nosičů na okrajích ochuzení vrstvy závisejí na celkovém napětí přiloženém na přechod: ⎛ u (t ) ⎞ ⎛ U ⎟⎟ ≈ n p 0 exp⎜⎜ n(− x p , t ) = n p 0 exp⎜⎜ ⎝ UT ⎠ ⎝ UT ⎛ u (t ) ⎞ ⎛ U ⎟⎟ ≈ p n0 exp⎜⎜ p ( x n , t ) = p n 0 exp⎜⎜ ⎝ UT ⎠ ⎝ UT

⎞⎛ ⎞ u ⎟⎟⎜⎜1 + m exp[iωt ] ⎟⎟ ⎠⎝ U T ⎠

⎞⎛ ⎞ u ⎟⎟⎜⎜1 + m exp[iωt ] ⎟⎟ ⎠⎝ U T ⎠

( 4.56 )

Další postup je analogický jako v odstavci 4.3.1. Protože však uvažujeme časovou závislost, je nutné řešit časově závislou rovnici kontinuity pro elektrony ( 3.33 ) a pro díry ( 3.34 ) Dn

∂2n ∂x

2

2

Dp

∂ p ∂x 2

=

n − n p0 τn

+

∂n ∂t

( 4.57 )

p − p n 0 ∂p + = τp ∂t

a dosadit do ní předpokládaný tvar řešení ( 4.55 ). Výsledkem řešení jsou vztahy pro amplitudy střídavých složek koncentrací, srov. ( 4.11 ) a ( 4.8 ):

⎛ x p + wp + x ⎞ ⎟ sinh ⎜⎜ ~ ⎟ Ln ⎛ U ⎞ um ⎝ ⎠ , − (x + w ) ≤ x ≤ −x ⎟ ⎜ n m ( x) exp(iϕ n ) = n p 0 exp⎜ p p p ⎟ UT ⎛ wp ⎞ ⎝ UT ⎠ sinh ⎜ ~ ⎟ ⎜L ⎟ ⎝ n ⎠ ⎛ x + w − x⎞ ⎟ sinh ⎜ n ~ n ⎜ ⎟ L ⎛ U ⎞ u p ⎝ ⎠, x ≤x≤x +w ⎟⎟ p m ( x) exp(iϕ p ) = p n 0 m exp⎜⎜ n n n UT ⎛w ⎞ ⎝UT ⎠ n ⎟ ⎜ sinh ~ ⎜ Lp ⎟ ⎝ ⎠

( 4.58 )

Ve ( 4.58 ) jsou zavedeny komplexní difúzní délky ~ Ln =

Ln 1 + iωτ n

,

~ Lp =

Lp 1 + iωτ p

( 4.59 )

které určují fázové posuvy ϕ n , ϕ p ; je vidět, že fázové posuvy souvisejí s úhlovou frekvencí signálu a s dobou života minoritních nosičů náboje. Průběh koncentrace minoritních nosičů náboje ve struktuře diody podle ( 4.58 ) je na .

60


Obrázek 4.19:

Průběh koncentrace minoritních nosičů náboje ve struktuře diody.

Střídavá složka proudu se spočítá analogicky jako ve ( 4.12 ) i = i p ( x n ) + i n (− x p ) = −eSD p

[

]

[

d d p m ( x n ) exp(iϕ p ) + eSDn n m (− x p ) exp(iϕ n ) dx dx

]

( 4.60 )

a z ní už snadno odvodíme komplexní difúzní admitanci pn přechodu: y=

i eS U = exp( um UT UT

⎡ D p p n0 ⎛ w ⎞ Dn n p 0 ⎛ w p ⎞⎤ )⎢ ~ coth⎜ ~ n ⎟ + ~ coth⎜ ~ ⎟⎥ ⎜ L ⎟⎥ ⎜ Lp ⎟ ⎢ Lp Ln ⎝ n ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎣

( 4.61 )

Obecná diskuse tohoto vztahu je obtížná, proto sáhneme ke zjednodušení. Nejprve budeme ~ ~ předpokládat, že pro délku kvazineutrálních oblastí pn přechodu platí wn >> L p , w p >> Ln , takže hodnoty funkcí coth lze aproximovat jedničkou: y=

eS U ⎡ D p p n 0 Dn n p 0 ⎤ + ~ ⎥ exp( )⎢ ~ UT UT ⎢ Lp Ln ⎦⎥ ⎣

~ ~ pro wn >> L p , w p >> Ln

( 4.62 )

~ ~ Protože ve jmenovatelích zlomků jsou komplexní veličiny Ln , L p definované v ( 4.59 ), rozlišíme v další diskusi tři různé případy podle velikosti úhlové frekvence signálu. Výsledky výpočtů jsou shrnuty v Tabulka 4.2. 1) Nízké frekvence: ωτ n, p << 1 , tzn.

1 + iωτ n, p ≈ 1 . Difúzní admitance y má pouze reálnou

složku, která se rovná dynamické vodivosti g d pn přechodu. Je to právě ta dynamická vodivost, kterou lze stanovit graficky z voltampérové charakteristiky v propustném směru, viz Obrázek 4.18. 1 iωτ n, p . Difúzní admitance má reálnou 2 složku a imaginární složku. Reálná složka je rovna dynamické vodivosti g d stejně jako v oblasti nízkých frekvencí. Imaginární složka má kapacitní charakter, odpovídající kapacita C d se nazývá difúzní kapacita pn přechodu. Jak dynamická vodivost, tak difúzní kapacita jsou v tomto frekvenčním oboru nezávislé na frekvenci signálu.

2) Střední frekvence: ωτ n, p < 1 , tzn.

1 + iωτ n, p ≈ 1 +

3) Vysoké frekvence: ωτ n, p >> 1 , tzn.

1 + iωτ n, p ≈ iωτ n, p =

1

(1 + i ) ωτ n, p . Difúzní 2 admitance má opět reálnou a imaginární složku, avšak dynamická vodivost i difúzní kapacita jsou tentokrát závislé na úhlové frekvenci signálu.

Mikroelektronické prvky a struktury Tabulka 4.2:

61

Reálná a imaginární složka difúzní admitance pn přechodu.

I = I S exp(U U T ) je stejnosměrný proud procházející přechodem pn, srov. ( 4.13 ). Vztahy uvedené v posledním sloupci se odvodí za předpokladu τ n ≈ τ p = τ y = g d + iωC d

frekvence ωτ n, p << 1

gd =

1 + iωτ n, p ≈ 1

eS U exp( UT UT

⎡ D p p n 0 Dn n p 0 ⎤ )⎢ + ⎥ Ln ⎥⎦ ⎢⎣ L p

gd =

I UT

I UT

---- (admitance má pouze reálnou složku) ωτ n, p < 1 1 + iωτ n, p ≈1+

1 iωτ n, p 2

ωτ n, p >> 1 1 + iωτ n, p ≈ iωτ n, p = (1 + i )

ωτ n, p 2

Obrázek 4.20:

gd =

eS U ⎡ D p p n 0 Dn n p 0 ⎤ exp( )⎢ + ⎥ UT U T ⎣⎢ L p Ln ⎦⎥

gd =

Cd =

U ⎡ D p p n 0 τ p Dn n p 0 τ n ⎤ 1 eS exp( )⎢ + ⎥ U T ⎣⎢ Lp Ln 2 UT ⎦⎥

Cd =

g d (ω) =

eS U ⎡ D p p n0 exp( )⎢ UT UT ⎢ L p ⎣

ωτ p

C d (ω) =

eS U ⎡ D p p n0 exp( )⎢ UT UT ⎢ Lp ⎣

τp

2

2ω

+

+

Dn n p 0 Ln

Dn n p 0 Ln

ωτ n ⎤ ⎥ 2 ⎥ ⎦ τn ⎤ ⎥ 2ω ⎥ ⎦

1 I τ 2 UT

g d (ω) =

I UT

ωτ 2

C d (ω) =

Iτ UT

1 2ωτ

Difúzní vodivost a kapacita. Index 0 označuje veličiny nezávislé na frekvenci.

Všechny výsledky v Tabulka 4.2 se týkají přechodu pn s dlouhými kvazineutrálními oblastmi ~ ~ wn >> L p , w p >> Ln . V případě opačné situace, kdy kvazineutrální oblasti přechodu jsou naopak ~ ~ krátké ve srovnání s difúzními délkami, wn << L p , w p << Ln , můžeme ve ( 4.61 ) použít přibližného vztahu coth( x) ≈ 1 x a pro difúzní admitanci dostaneme: y=

eS U ⎡ D p p n 0 Dn n p 0 ⎤ exp( )⎢ + ⎥ = gd UT U T ⎣⎢ wn w p ⎦⎥

Difúzní admitance má v tomto případě pouze reálnou složku při libovolné frekvenci signálu.

( 4.63 )

62


4.6.3 Linearizovaný ekvivalentní obvod přechodu pn Chování přechodu pn s malým střídavým signálem a stejnosměrným předpětím, kterým je nastavem pracovní bod do propustného nebo závěrného směru dobře vystihuje jeho linearizovaný ekvivalentní obvod podle Obrázek 4.21.

Obrázek 4.21:

Linearizovaný ekvivalentní obvod přechodu pn a diody.

C bar (U ) je bariérová kapacita pn přechodu, významná v závěrném směru, g záv (U ) označuje velmi malou vodivost pn přechodu v závěrném směru. C d (U ) je difúzní kapacita, uplatňující se v propustném směru, a g d (U ) difúzní vodivost v propustném směru. Symbol rS označuje sériový odpor diody tvořený polovodičovým materiálem mimo vlastní oblast přechodu, R S je odpor přívodů a kontaktů a LS indukčnost přívodů, která se stává významnou na velmi vysokých frekvencích, C p jsou parazitní kapacity pouzdra a přívodů.

4.7 Přechod pn v impulsním režimu Na Obrázek 4.22 jsou znázorněny procesy probíhající ve struktuře přechodu pn s přiloženým impulsním řídicím napětím, které pn přechod přepíná z nevodivého (zavřeného) stavu do vodivého (otevřeného) a zpět. Popíšeme tyto procesy, číslování odstavců se vztahuje k označení jednotlivých okamžiků nebo časových intervalů v Obrázek 4.22. 1) V zavřeném stavu prochází pn přechodem nepatrný závěrný proud I R a je na něm poměrně vysoké napětí U R , koncentrace elektronů a děr na hranicích ochuzené vrstvy je velmi nízká, úměrná exp(− U R U T ) . V okamžiku změny polarity řídicího signálu je na pn přechodu napětí U R souhlasně orientované s řídicím napětím U F , takže strukturou prochází velký proud omezený jen vnějším odporem (U R + U F ) R - toto je maximální velikost proudové špičky při přepnutí se závěrného stavu do propustného. 2) V okamžiku, kdy se řídicí napětí přepne z hodnoty − U R na U F , začnou od kontaktů ke hranicím ochuzené vrstvy přitékat volné elektrony a díry a koncentrace nosičů náboje v celé struktuře součástky postupně narůstá. Nárůst koncentrace ovšem trvá určitou dobu, takže po určitý krátký okamžik je ještě koncentrace nosičů na hranicích ochuzené vrstvy a v ní menší než koncentrace rovnovážná. Napětí na pn přechodu se postupně mění od původní závěrné hodnoty − U R k nule a úměrně tomu klesá i procházející proud.


Obrázek 4.22:

63

Přechod pn v impulsním režimu.

3) Nulové hodnoty napětí na přechodu je dosaženo v okamžiku, kdy koncentrace nosičů náboje na hranicích ochuzené vrstvy dosáhne rovnovážné koncentrace. Proudová špička vzniklá v důsledku přepnutí prakticky zaniká. 4) Ochuzenou vrstvu velmi rychle zaplavují další elektrony a díry, vrstva se zužuje a postupně zaniká. Koncentrace nosičů na hranici ochuzené vrstvy vzrůstá z rovnovážné koncentrace na hodnotu, která odpovídá vnějšímu přiloženému kladnému napětí U F , vodivost přechodu se zvyšuje, napětí na něm vzrůstá od nuly do kladných hodnot. 5) Koncentrace nosičů na hranicích ochuzené vrstvy vzroste na hodnotu úměrnou exp(U F U T ) , napětí na pn přechodu dosáhne kontaktního napětí přechodu Vbi . 6) Přechod pn je zcela otevřen v propustném směru, napětí na něm je Vbi , obvodem prochází poměrně velký proud (U F − Vbi ) R . Tento stav trvá, pokud se nezmění polarita řídicího napětí. 7) Řídicí napětí změní polaritu a z kladné hodnoty U F se přepne na zápornou hodnotu − U R . 8) Volné nosiče náboje v oblasti pn přechodu jsou postupně odsávány vnějším napětím. Po určitou dobu ovšem zůstává jejich koncentrace na hranicích ochuzené vrstvy vyšší než koncentrace rovnovážná a přechod je stále prakticky ve vodivém stavu. Napětí na přechodu klesá z hodnoty Vbi k nule, tento pokles je ovšem malý, několik desetin voltu. Napětí Vbi má nyní stejnou orientaci jako napětí řídicího zdroje U R , takže obvodem prochází velký proud − (U R + Vbi ) R . Protože řídicí napětí U R má už polaritu odpovídající nevodivému stavu přechodu, ale přechod zůstává ještě vodivý, nazývá se odpovídající časový interval doba zpoždění, resp. akumulace. 9) V tomto okamžiku dosáhne koncentrace nosičů na hranicích ochuzených vrstev rovnovážné hodnoty a napětí na přechodu klesne na nulu. 10) Koncentrace nosičů na hranicích ochuzených vrstev klesá pod rovnovážnou hodnotu, obnovuje se ochuzená vrstva, vodivost přechodu se snižuje, přechod se postupně uzavírá, proud v obvodu klesá. Na konci tohoto časového intervalu bude na přechodu napětí U R v závěrném směru obvodem bude procházet malý závěrný proud I R . Protože dochází k poklesu proudu v obvodu, nazývá se tento časový interval doba poklesu.

64


11) V tomto okamžiku se plně obnoví závěrný stav přechodu, jaký odpovídá zápornému řídicímu napětí − U R . 12) V závěrném (nevodivém) stavu pn přechod setrvává až do okamžiku, kdy se opět změní polarita řídicího signálu a všechny procesy se začnou opakovat počínaje bodem 1. Po tomto kvalitativním popisu procesů na pn přechodu v impulsním režimu přikročíme k popisu kvantitativnímu. Ten je založen na řešení časově závislých rovnic kontinuity ( 3.34 ), ( 3.35 ) pro minoritní nosiče náboje v obou oblastech struktury. Nebudeme řešení podrobně rozebírat, uvedeme jen výsledky odvozené pro minoritní díry: ⎛ t ⎞ 1 erf ⎜ s ⎟ = ⎜ τ p ⎟ 1 + (I R I F ) ⎝ ⎠ ⎛ t ⎞ exp − t r τ p ⎛I = 1 + 0.1⎜⎜ R erf ⎜ r ⎟ + ⎜ τp ⎟ π tr τ p ⎝ IF ⎝ ⎠

( (

)

)

⎞ ⎟⎟ ⎠

( 4.64 )

Zde erf je tzv. funkce chyb. Graficky jsou tyto výsledky znázorněny na Obrázek 4.23 pro dva různé typy pn přechodů s kvazineutrální oblastí wn >> L p a wn << L p (viz Obrázek 4.5). Pokud je poměr

I R I F >> 1 , platí přibližně ts + tr ≈

I 1 wn2 I F 1 τ p F pro wn >> L p ; resp. t s + t r ≈ pro wn << L p 2 IR 2 Dp IR

( 4.65 )

Z uvedených rovnic vidíme, že určující fyzikální veličinou pro průběh dynamických procesů na pn přechodu je doba života minoritních nosičů náboje.

Obrázek 4.23:

Závislost doby zpoždění ts a doby poklesu tr na poměru IR/IF.


65

4.8 Model diody v programu SPICE V počítačových simulátorech elektronických obvodů, jako jsou různé verze simulátoru Spice (např. p-Spice, H-Spice, OrCAD-Spice, AIM-Spice, LT-Spice, …) nebo např. simulátor Microcap nebo Electronic WorkBench jsou elektronické součástku reprezentovány svými modely. Model součástku obsahuje parametry modelu a rovnice, které umožňují ze známých parametrů vypočítat např. proudy a napětí na přívodech součástky. Podrobný seznam rovnic a parametrů je zpravidla uveden v manuálu k příslušnému simulačnímu programu. Modely součástek použité v různých simulačních programech nebo v různých verzích téhož simulačního programu se mohou lišit, protože jsou stále vyvíjeny nové a přesnější modely nebo původní modely jsou zpřesňovány. Pro úspěšné pužití simulačního programu je důležité znát, co jednotlivé parametry nebo rovnice vyjadřují. K tomu je třeba poznamenat, že při formulaci rovnic modelu je nutné brát v úvahu i problémy numerické. Uvedeme dva příklady: (i) Při výpočtech s exponenciální funkcí často hrozí přetečení nebo podtečení hodnoty této funkce, což se musí nějak ošetřit. (ii) Naprosto přesný výpočet saturačního proudu včetně jeho správné teplotní závislosti a napěťové závislosti, zejména v blízkosti průrazu, by vyžadoval příliš komplikovaný fyzikální model. Proto se popužívají různé empirické a semiempirické vztahy, které do modelu zavádějí další parametry. Na závěr kapitoly o polovodičových diodách uvedeme přehled vybraných základních parametrů a rovnic modelu diody v simulátoru Spice s odkazy na předcházející části této kapitoly, kde byl podrobně vysvětlen jejich původ a fyzikální význam. Tabulka 4.3:

Základní rovnice a vybrané parametry modelu diody v simulátoru Spice.

symbol Spice název parametru

odkaz statické parametry

IS

saturation current (saturační proud)

odst. 4.3.2, 4.3.3

N

emission coefficient (emisní koeficient)

rov. ( 4.24 )

RS

series resistance (sériový odpor)

odst. 4.3.5

BV

breakdown voltage (průrazné napětí)

odst. 4.4.1 a 4.4.2

dynamické parametry

CJO

zero-bias junction capacitance (bariérová kapacita při U = 0) rov. ( 4.48 )

VJ

built-in junction voltage (kontaktní napětí)

rov. ( 4.1 )

m

grading coefficient (exponent z rovnice ( 4.48 )

rov. ( 4.48 )

TT

transit time (doba průletu, doba života)

rov. ( 4.54 )

rovnice

rovnice voltampérové charakteristiky

rov. ( 4.24 )

závislost bariérové kapacity na napětí

rov. ( 4.48 )

rovnice pro difúzní kapacitu

rov. ( 4.54 )

teplotní závislost kontaktního napětí

rov. ( 4.29 )

teplotní závislost VA-charakteristiky

odst. 4.3.6, př. 4.5

66


4.9 Shrnutí kapitoly • Přechod pn v rovnovážném stavu: vznik ochuzené vrstvy, dynamická rovnováha na přechodu pn, kontaktní napětí (potenciál) přechodu pn a jeho závislost na šířce zakázaného pásu, koncentraci příměsí a na teplotě. • Jednorozměrný model přechodu pn: strmý přechod, aproximace ochuzené vrstvy (její použitelnost), elektrické pole a potenciál na přechodu pn, šířka ochuzené vrstvy v závislosti na napětí. • Voltampérová charakteristika ideálního přechodu pn: vlastnosti ideálního přechodu, pásový diagram přechodu s napětím v propustném a v závěrném směru, dioda s dlouhými a s krátkými kvazineutrálními oblastmi, saturační proud ideálního pn přechodu. • Voltampérová charakteristika reálného přechodu pn: vliv generace a rekombinace v ochuzené vrstvě přechodu, difúzní a generačně-rekombinační složka saturačního proudu a jejich vliv na VAcharakteristiku diody, nízká injekce, vysoká injekce, sériový odpor kvazineutrálních oblastí, modulace vodivosti, emisní koeficient, vliv teploty na difúzní a generačně rekombinační složku saturačního proudu, určení parametrů diody z VA-charakteristiky. • Průraz přechodu pn: fyzikální princip tunelového průrazu, vlastnosti diody s tunelovým průrazem, fyzikální principlavinového průrazu, vlastnosti diody s lavinovým průrazem, koeficienty nárazové ionizace, rychlost generace párů elektron-díra při nárazové ionizaci, podmínka vzniku lavinového průrazu, rovnice VA-charakteristiky při nástupu lavinového průrazu. • Komplexní admitance pn přechodu: obecná definice kapacity, vznik bariérové a difúzní kapacity, jejich závislost na pracovním bodě, pn přechod s malým střídavým signálem, dynamický odpor a vodivost pn přechodu, fyzikální příčiny vzniku fázového posuvu mezi napětím a proudem, reálná a imaginární složka admitance pn přechodu, jejich závislost na kmitočtu, linearizovaný ekvivalentní obvod diody pro malý střídavý signál. • Přechod pn v impulsním režimu: fyzikální procesy při přechodu z nevodivého stavu do vodivého a obráceně, odezva na řídicí napěťový impuls – časový průběh koncentrace minoritních nosičů, napětí a proudu, doba zpoždění, doba poklesu, doba zpětného zotavení, vztah k době života nosičů náboje.

4.10 Kontrolní otázky a příklady 1. Popište vznik dynamické rovnováhy na přechodu pn v rovnovážném stavu. 2. Na jakých parameteech polovodiče závisí kontaktní napětí pn přechodu? 3. Co je to aproximace ochuzené vrstvy a kdy je použitelná? 4. Jaké jsou vlastnosti ideálního pn přechodu? 5. Co je to kvazineutrální oblast diody? Kdy řekneme, že kvazineutrální oblasti je dlouhá nebo naopak krátká? Jak se projeví délka kvazineutrálních oblastí na vlastnostech diody? 6.Na kterých parametrech polovodiče závisí saturační proud ideálního pn přechodu? 7. Jak se dá experimentálně odlišit difúzní a generačně-rekombinační složka saturačního proudu? 8. Proč se do rovnice VA-charakteristiky diody zavádí emisní koeficient? 9. Co je to nízká a vysoká injekce? 10. Co je to modulace vodivosti? 11. Nakreslete pásový diagram přechodu pn v režimu tunelového průrazu a vyznačte potenciálovou bariéru, kterou elektrony překonávají tunelováním.


67

12. Co vyjadřuje koeficient nárazové ionizace? 13. Jaká je podmínka vzniku lavinového násobení? 14. Jak závisí reálná a imaginární složka komplexní admitance pn přechodu na kmitočtu? Který parametr polovodiče určuje, zda jde o nízký nebo o vysoký kmitočet? 15. Je kmitočet signálu 1 MHz spíše vysokým nebo spíše nízkým kmitočtem pro diodu germaniovou, křemíkovou nebo galium-arsenidovou? 16. Jaké jsou fyzikální příčiny vzniku fázového posuvu mezi napětím a proudem na pn přechodu s malým střídavým signálem? 17. Ovlivňuje délka kvazineutrálních oblastí diody její vlastnosti při přiložení stejnosměrného předpětí a malého střídavého signálu? Pokud ano, jak? 18. Podle prvního ze vztahů (4.65) je doba zpětného zotavení diody závislá na době života nosičů náboje, zatímco podle druhého z těchto vztahů na době života nezávisí. Vysvětlete. 19. Dioda ve funkci řízeného odporu, resp. analogového spínače, je zapojena v obvodu podle schématu na obr. Vnitřní odpor zdroje signálu považujte za nulový. a) Vypočtěte napěťový přenos Au = u 2 / u1 pro malý nízkofrekvenční signál. b) Nakreslete grafy napěťového přenosu Au jako funkce napájecího napětí U N : 1) Zvolte vhodnou pevnou hodnotu odporu R a nakreslete křivky Au (U N ) pro různé hodnoty odporu R0 jako parametru. 2) Zvolte vhodnou pevnou hodnotu odporu R0 a nakreslete křivky Au (U N ) pro různé hodnoty odporu R jako parametru. c) Vstupní signál je u1 = U m sin(2πft ) , kmitočet f = 1 kHz. Nakreslete časové průběhy výstupního signálu (stačí jedna sinusovka) pro různá napájecí napětí U N a pro různé amplitudy vstupního signálu U m . Na grafech ukažte, kdy dochází ke zkreslení výstupního signálu a kdy naopak je zkreslení zanedbatelné. Vysvětlete a zdůvodněte. Návod: Použijte Spice apod. Pro simulace zvolte libovolnou diodu typu „pro všeobecné použití“. 20. Opakujte předcházející úlohu pro analogový spínač se dvěma stejnými diodami na obrázku. Grafy Au (U N ) kreslete pro stejné hodnoty odporů R, R0 a časové průběhy pro stejné hodnoty U N a U m jako v předcházející úloze Porovnejte výsledky a rozdíly vysvětlete.

21. V tabulce na následující straně jsou naměřené hodnoty proudu a napětí pro polovodičovou diodu. Určete emisní koeficient, saturační proud a sériový odpor diody. (teplota 300 K). 22. V tabulce nanásledující straně jsou naměřené hodnoty proudu a napětí pro polovodičovou diodu, jejíž charakteristiku je možné aproximovat rovnicí ⎡ ⎛ U − IRS ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ U − IRS ⎞ ⎤ ⎟⎟ − 1⎥ . Nakreslete charakteristiku diody a určete ⎟⎟ − 1⎥ + I S 2 ⎢exp⎜⎜ I = I S1 ⎢exp⎜⎜ ⎣⎢ ⎝ nU T ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ mU T ⎠ ⎦⎥ oba saturační proudy, oba emisní koeficienty a sériový odpor.

68


Tabulka k úloze č. 21: U [V]

I [A]

U [V]

I [A]

U [V]

I [A]

U [V]

I [A]

0,025

1,291e-12

0,275

9,119e-09

0,525

3,618e-05

0,775

1,961e-02

0,050

4,248e-12

0,300

2,089e-08

0,550

8,252e-05

0,800

2,543e-02

0,075

1,102e-11

0,325

4,786e-08

0,575

1,872e-04

0,825

3,185e-02

0,100

2,654e-11

0,350

1,096e-07

0,600

4,191e-04

0,850

3,833e-02

0,125

6,209e-11

0,375

2,512e-07

0,625

9,134e-04

0,875

4,504e-02

0,150

1,435e-10

0,400

5,754e-07

0,650

1,882e-03

0,900

5,194e-02

0,175

3,301e-10

0,425

1,318e-06

0,675

3,506e-03

0,925

5,899e-02

0,200

7,576e-10

0,450

3,019e-06

0,700

6,291e-03

0,950

6,616e-02

0,225

1,737e-09

0,475

6,913e-06

0,725

1,005e-02

0,975

7,344e-02

0,250

3,980e-09

0,500

1,582e-05

0,750

1,429e-02

1,000

8,080e-02

Tabulka k úloze č. 22 U[V]

I [A]

U[V]

I [A]

U[V]

I [A]

U[V]

I [A]

0,01

2,141e-10

0,16

2,157e-08

0,31

5,623e-07

0,46

6,029e-05

0,02

4,738e-10

0,17

2,651e-08

0,32

7,243e-07

0,47

8,657e-05

0,03

7,890e-10

0,18

3,257e-08

0,33

9,406e-07

0,48

1,245e-04

0,04

1,172e-09

0,19

4,001e-08

0,34

1,232e-06

0,49

1,792e-04

0,05

1,637e-09

0,20

4,916e-08

0,35

6,290e-07

0,50

2,575e-04

0,06

2,201e-09

0,21

6,046e-08

0,36

2,173e-06

0,51

3,691e-04

0,07

2,887e-09

0,22

7,445e-08

0,37

2,925e-06

0,52

5,260e-04

0,08

3,721e-09

0,23

9,183e-08

0,38

3,975e-06

0,53

7,423e-04

0,09

4,734e-09

0,24

1,135e-07

0,39

5,449e-06

0,54

1,037e-03

0,10

5,966e-09

0,25

1,408e-07

0,40

7,533e-06

0,55

1,421e-03

0,11

7,466e-09

0,26

1,751e-07

0,41

1,049e-05

0,56

1,904e-03

0,12

9,291e-09

0,27

2,187e-07

0,42

1,472e-05

0,57

2,479e-03

0,13

1,151e-08

0,28

2,745e-07

0,43

2,079e-05

0,58

3,122e-03

0,14

1,422e-08

0,29

3,464e-07

0,44

2,952e-05

0,59

3,792e-03

0,15

1,753e-08

0,30

4,398e-07

0,45

4,211e-05

0,60

3,756e-03


69

5 Přechod kov-polovodič, Schottkyho diody Kontakt (přechod) kov – polovodič je podobně jako přechod pn jedním ze základních stavebních bloků polovodičových struktur. Vlastnosti takového kontaktu mohou být velice různorodé, od dokonalých ohmických kontaktů s nepatrným odporem až k usměrňujícímu kontaktu používanému v Schotttkyho diodách.

5.1 Různé typy kontaktů kov-polovodič Protože kontakt kov-polovodič může být buď usměrňující (Schottkyho) nebo neusměrňující (ohmický) a samotný polovodič může mít typ vodivosti n nebo p, mohou existovat čtyři druhy kontaktů kov-polovodič: usměrňující kontakt kov-polovodič typu n nebo p a neusměrňující kontakt kov-polovodič typu n nebo p. Fyzikální veličinou, která určuje, jaký druh kontaktu vznikne, je termoelektrická výstupní práce, viz Obrázek 5.1: Termoelektrická výstupní práce elektronů z polovodiče Φ S je energie, kterou by bylo nutno dodat elektronu, který by se nacházel na Fermiho hladině, aby mohl z polovodiče vystoupit do vakua (Fermiho hladina polovodičů leží zpravidla v zakázaném pásu, takže přímo na ní žádné elektrony nejsou). Termoelektrickou výstupní práci Φ S je nutno odlišovat od výstupní práce fotoelektrické Φ Sphot používané v optice polovodičů, která se měří od vrcholu valenčního pásu. Protože poloha Fermiho hladiny závisí na koncentraci donorů a akceptorů, termoelektrická výstupní práce v sobě zahrnuje vliv dopování polovodiče. Z toho důvodu se u polovodičů zavádí ještě další obdobná veličina, elektronová afinita χ , která se měří ode dna vodivostního pásu a na koncentraci příměsí nezávisí. Termoelektrická výstupní práce elektronů z kovu Φ M je energie, kterou je nutno dodat elektronu na Fermiho hladině, aby mohl z polovodiče vystoupit do vakua. Ve schématech energiových hladin ze zpravidla zakresluje tzv. hladina vakua. Je to energiová hladina, na níž by se nacházel volný elektron, který by se uvolnil z polovodiče nebo z kovu a měl nulovou kinetickou energii.

Obrázek 5.1:

Pásové diagramy kovu a polovodiče typu n před vytvořením kontaktu.

Je-li výstupní práce Φ S elektronů z polovodiče menší než výstupní práce Φ M elektronů z kovu, tj. Φ S < Φ M , mohou elektrony snadněji přecházet z polovodiče do kovu a u povrchu polovodiče vzniká ochuzená vrstva. Kontakt s ochuzenou vrstvou je kontaktem usměrňujícím. Je-li naopak výstupní práce Φ S elektronů z polovodiče větší než výstupní práce Φ M elektronů z kovu, tj.

70


Obrázek 5.2:

Vznik usměrňujícícho kontaktu (vlevo) a neusměrňujícího kontaktu (vpravo) mezi polovodičem typu n a kovem.

Φ S > Φ M , mohou elektrony snadněji přecházet z kovu do polovodiče a u povrchu polovodiče vzniká obohacená vrstva. Kontakt s obohacenou vrstvou je kontaktem neusměrňujícím. V obou případech dojde při vytvoření kontaktu mezi kovem a polovodičem k vyrovnání Fermiho hladin. Kontaktní napětí (potenciál) Vbi je dán rozdílem Fermiho hladin před vytvořením kontaktu, což je totéž, jako rozdíl výstupních prací, viz Obrázek 5.1, Obrázek 5.2.

eVbi = Φ M − Φ S

pro Φ M > Φ S ;

eVbi = Φ S − Φ M

pro Φ M < Φ S

( 5.1 )

Podobně jako u přechodu pn udává i zde kontaktní napětí velikost zakřivení energiových pásů v polovodiči. Elektrony, které přecházejí z kovu do polovodiče typu n, resp. do polovodiče typu p, musí překonat potenciálovou Schottkyho bariéru o výšce Φ Bn , resp. Φ Bp : Φ Bn = Φ M − χ ,

Φ Bp = E g − (Φ M − χ ) ,

Φ Bn + Φ Bp = E g

Pásové diagramy všech čtyř druhů kontaktů jsou na Obrázek 5.3

Obrázek 5.3:

Pásové diagramy čtyř druhů kontaktů kov-polovodič (bez vnějšího napětí).

( 5.2 )

Mikroelektronické prvky a struktury Tabulka 5.1:

71

Číselné hodnoty výšku Schottkyhp bariéry ΦBn, výstupní práce ΦM a elektronové afinity χ pro vybrané polovodiče a kovy.

polovodič

kovová elektroda - výška bariéry ΦBn [eV] při 300 K

n-Si

Ag 0,78⏐Al 0,72⏐Au 0,80⏐Cu 0,58⏐Mo 0,68⏐Pd 0,81⏐Pt 0,90⏐Ni 0,61⏐Ti 0,50⏐W 0,67 silicidy: CoSi 0,68⏐CrSi2 0,57⏐ MoSi2 0,55⏐NiSi2 0,7⏐ZrSi2 0,55 ⏐PtSi 0,84⏐WSi2 0,65

n-Ge

Ag 0,54⏐Al 0,48⏐Au 0,59⏐Cu 0,52 ⏐In 0,64⏐Ni 0,49⏐Pb 0,38

n-GaAs

Ag 0,88⏐Al 0,80⏐Au 0,90⏐Cu 0,82⏐Pt 0,84⏐Ta 0,85⏐W 0,80

n-GaP

Ag 1,20⏐Al 1,07⏐Au 1,30⏐Cu 1,20⏐Mo 1,13⏐Ni 1,27 ⏐Pt 1,45⏐ Ti 1,12

kov Ag

výstupní práce ΦM [eV] 4,26

kov Ni

výstupní práce ΦM [eV] 5,15

polovodič Ge

elektronová afinita χ [eV] 4,13

Al

4,28

Pd

5,12

Si

4,01

Au

5,1

Pt

5,65

GaAs

4,07

Cr

4,5

Ti

4,33

AlAs

3,5

Mo

4,6

W

4,55

Usměrňující kontakt kov-polovodič typu n se prakticky využívá v Schottkyho diodách nebo u hradla tranzistoru MESFET. S usměrňujícím kontaktem kov-polovodič typu p se v praxi setkáme méně často, což je dáno tím, že díry mají obecně menší pohyblivost než elektrony, takže pro konstrukci rychlých součástek je vhodnější polovodič typu n. Neusměrňující kontakty kovu a polovodiče představují jednu z možností, jak realizovat ohmické kontakty.

5.2 Usměrňující kontakt kov-polovodič typu n Nyní se budeme podrobněji zabývat vlastnostmi usměrňujícího kontaktu kov-polovodič typu n a zaměříme se na jeho využití v Schottkyho diodách..

5.2.1

Usměrňující kontakt kov-polovodič typu n s vnějším napětím

Stejnějako u přechodu pn i u usměrňujícího kontaktu mezi kovem a polovodičem typu n závisí vlastnosti kontaktu na polaritě přiloženého napětí. Důvodem je existence ochuzené vrstvy na přechodu, jejíž vlastnosti se mění s polaritou a velikostí přiloženého napětí. Pásové diagramy kontaktu bez napětí a s napětím v propustném a v závěrném směru jsou nakresleny na Obrázek 5.4. Je-li kovová elektroda kladná vzhledem k polovodiči, říkáme, že vnější napětí je přiloženo v propustném směru a označujeme je jako kladné, U > 0 . Při této polaritě se výrazně se zvýší tok elektronů z polovodiče do kovu, ochuzená vrstva přechodu se zúží, potenciálová bariéra, kterou musí elektronu překonat při průchodu z polovodiče do kovu, se sníží na e(Vbi − U ) , ze strany kovu zůstává zachována potenciálová bariéra o výšce Φ Bn . Je-li napak přiloženo vnější napětí v závěrném směru U < 0 , tj. kovová elektroda je záporná vůči polovodiči, potenciálová bariéra ze strany polovodiče se zvýší na e(Vbi − U ) = e(Vbi + U ) , ochuzená vrstva přechodu se rozšíří a přrechodem prochází jen nepatrný závěrný proud; ze strany kovu opět zůstává zachována potenciálová bariéra výšky Φ Bn .

72


Obrázek 5.4:

5.2.2

Pásové diagramy usměrňujícího přechodu kov-polovodič n bez napětí a s přiloženým napětím v propustném a v závěrném směru.

Elektrické pole v ochuzené vrstvě přechodu kov-polovodič typu n

Při výpočtu průběhu intenzity a potenciálu elektrického pole v ochuzené vrstvě usměrňujícícho (Schottkyho) přechodu se postupuje stejně jako v případě přechodu pn v kap. 4.2. Zjednodušující předpokladu jsou obdobné: jednorozměrný model kontaktu, koncentrace donorů v polovodiči typu n je konstantní, v ochuzené vrstvě je koncentrace volných nosičů nábpoje zanedbatelná, prostorový náboj ochuzené vrstvy je tvořen nábojem ionizovaných donorů, nenulové elektrické pole je pouze uvnitř ochuzené vrstvy. Stejně jako u pn přechodu je i zde aproximace ochuzené vrstvy použitelná v závěrném směru až do průrazu a v propustném směru do napětí přibližně 0,5Vbi . Průběh intenzity a potenciálu elektrického pole odvodíme řešením Poissonovy rovnice d 2ϕ dx

2

=−

eN D

ε 0ε r

pro 0 ≤ x ≤ w

s okrajovými podmínkami podle Obrázek 5.5 ; výsledky jsou shrnuty v Tabulka 5.2.

Tabulka 5.2: Průběh intenzity a potenciálu elektrického pole v ochuzené vrstvě.

intenzita elektrického pole potenciál elektrického pole šířka ochuzené vrstvy

E ( x) = −

eN D w ⎛ x⎞ ⎜1 − ⎟ ε 0ε r ⎝ w ⎠

ϕ ( x) = −

eN D w 2 2ε 0 ε r

x⎞ ⎛ ⎜1 − ⎟ w⎠ ⎝

⎡ 2ε ε V U ⎤ )⎥ w = ⎢ 0 r bi (1 − Vbi ⎦ ⎣ eN D

Obrázek 5.5: K výpočtu intenzity a potenciálu elektrického pole ochuzené vrstvy Schottkyho přechodu kov-polovodič n.

2

1/ 2


5.2.3

73

Kapacita ochuzené vrstvy přechodu kov-polovodič typu n

Podobně jako u přechodu pn existence ochuzené vrstvy způsobuje vznik kapacity Schottkyho přechodu, která je obdobou bariérové kapacity přechodu pn a platí pro ni:

ε 0ε r

⎡ eε ε N ⎤ = S⎢ 0 r D ⎥ C=S w(U ) ⎣ 2(Vbi − U ) ⎦

1/ 2

( 5.3 )

a protože se projevuje především v závěrném směru, píšeme pro U < 0 ⎡ eε ε N ⎤ C = S⎢ 0 r D ⎥ ⎣⎢ 2(Vbi + U ) ⎦⎥

1/ 2

=

C0 ⎛ U ⎜1 + ⎜ V bi ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1/ 2

⎛ eε ε N , kde C 0 = S ⎜⎜ 0 r D ⎝ 2Vbi

⎞ ⎟⎟ ⎠

1/ 2

( 5.4 )

Z uvedených rovnic odvodíme 1 C2

=

d (1 C 2 ) 1 2(Vbi − U ) 2 2 1 ⇒ = 2 ⇒ ND = 2 [ ] 2 eε ε N dU S S eε 0 ε r N D S eε 0 ε r d (1 C 2 ) ( 5.5 ) 0 r D dU

Je-li koncentrace donorů N D konstantní v celé ochuzené vrstvě, dá se stanovit pomocí rovnice ( 5.5 ) z grafu závislosti 1 C 2 na napětí. Pokud N D není konstantní, lze pomocí posledního ze vztahů ( 5.5 ) odvodit koncentrační profil N D (x) užitím tzv. metody diferenciální kapacity.

5.2.4

Schottkyho jev

Schottkyho jev je snížení potenciálové bariéry na Schottkyho přechodu způsobené indukovaným zrcadlovým nábojem, které vzniká při průchodu proudu Schottkyho kontaktem. Z elektrostatiky je známo, že pokud se elektron nachází v blízkosti kovové elektrody, na jejím povrchu je indukován kladný náboj. Elektrické pole, které se vytvoří vlivem elektronu a indukovaného náboje, je ekvivalentní elektrickému poli, které by existovalo mezi elektronem a jeho kladně nabitým zrcadlovým obrazem, přičemž zrcadlící plochou je povrch elektrody. Ke stejnému jevu dochází při průchodu elektronů mezi polovodičem a kovovou elektrodou. Elektrony indukují v kovové elektrodě kladný náboj a elektrické pole působící mezi elektrony a indukovaným nábojem v elekterodě se sčítá s elektrickým polem v ochuzené vrstvě. V důsledku toho se potenciálová bariéra na přechodu kov-polovodič může snížit až o několik desítek milielektronvoltů, což není vůbec zanedbatelné, protože, jak uvidíme v následujícím odstavci, proudová hustota závisí na výšce potenciálové bariéry exponenciálně.

Obrázek 5.6: Snížení potenciálové bariéry na Schottkyho přechodu vlivem zrcadlových sil.

74

5.2.5


Vliv vázaného náboje na rozhraní kov-polovodič

Podle vztahu ( 5.2 ) by výška Schottkyho bariéry Φ Bn měla být určena rozdílem výstupní práce Φ M a elektronové afinity χ . Experimentálně však bylo prokázáno, že situace je komplikovanější a většinou se výrazně uplatňuje vliv tzv. lokalizovaných povrchových stavů, viz Obrázek 5.7. Na rozhraní kov-polovodič se při povrchu polovodiče vyskytuje velké množství nejrůznějších strukturních poruch jako jsou přerušené chemické vazby, změny v uspořádání atomů nebo se při formování kontaktu může vytvořit velmi tenká vrstva oxidu apod. Všechny tyto strukturní poruchy vytvářejí energiové hladiny povrchových stavů, které leží uvnitř zakázaného pásu a může na nich být zachycen elektrický náboj, tzv. vázaný náboj povrchových stavů. Hustota těchto povrchových hladin může být velmi vysoká. Energiové hladiny povrchových stavů jsou dvojího typu. Výše položené hladiny jsou akceptorového typu, to znamená, že jsou elektricky neutrální, pokud jsou prázdné. Níže položené hladiny jsou donorového typu, jsou neutrální, pokud jsou obsazené. Tyto hladiny od sebe navzájem odděluje tzv. neutrální hladina, jíž odpovídá energie Φ 0 (měřená od vrcholu valenčního pásu). Hustota povrchových energiových stavů v okolí Φ 0 je zpravidla velmi vysoká, takže jsou to právě tyto povrchové stavy, které určují polohu Fermiho hladiny – je právě na úrovni neutrální hladiny Φ 0 (tento jev se v angličtině nazývá Fermi level pinning). V křemíku je obvykle Φ 0 ≈ E g 3 , takže

výška potenciálové bariéry Φ Bn ≈ (2 3)E g

Obrázek 5.7:

5.2.6

Vliv povrchových stavů na výšku Schottkyho bariéry.

Fyzikální mechanismy průchodu proudu Schottkyho kontaktem

Existuje několik různých fyzikálních mechanismů, které se uplatňují při průchodu proudu potenciálovou bariérou na usměrňujícím kontaktu kov-polovodič. Každý z nich je dominantní u Schottkyho kontaktu s určitými vlastnostmi. Všechny mechanismy průchodu proudu přes usměrňující kontakt kov-polovodič typu n však mají jeden společný rys: elektrický proud je přenášen majoritními nosiči náboje, elektrony, vliv minoritních děr je prakticky zanedbatelný (viz dále odst. 5.3.3). To je významný rozdíl ve srovnání s přechodem pn, kde vedení proudu zprostředkovávají minoritní nosiče obou typů, elektrony a díry. Protože elektrony mají téměř vždy větší pohyblivost než díry, používá se v praxi pro výrobu Schottkyho diod struktura kov-polovodič typu n. Různé fyzikální mechanismy průchodu proudu Schottkyho kontaktem jsou znázorněny na Obrázek 5.8. Termoemise. Podle této představy jsou elektrony emitovány z polovodiče do kovu (S → M) a opačným směrem (M →S) nad potenciálovou bariérou, výsledný proud je dán rozdílem obou toků. Nad bariérou mohou prolétnout jenom ty elektrony, jejichž kinetická energie odpovídající složce rychlosti kolmé k rozhraní kov-polovodič je větší než výška bariéry. Název termoemise souvisí s tím, že teoretický popis emise elektronů z polovodiče do kovu nebo z rožhavené katody do vakua je do


75

jisté míry podobný. Termoemisní teorie je založena na těchto předpokladech: (i) Výška Schottkyho potenciálové bariéry ΦBn je mnohem větší než kT (kT je energie tepelného pohybu elektronů, pokud by výška bariéry byla srovnatelná s ní, bariéra by pohyb elektronů neovlivnila, elektrony by bariéru prostě překonaly „bez povšimnutí“). (ii) Srážky elektronů v oblasti prostorového náboje jsou zanedbatelné, elektrony překonávají ochuzenou vrstvu balisticky. Ze druhého předpokladu vyplývá, že termoemisní teorie je vhodná, pokud šířka ochuzené oblasti je menší než střední volná dráha elektronů, konkrétně u křemíku pro N D ≥ 1017 cm -3 ; ochuzená oblast však nesmí být tak úzká, aby elektrony mohly tunelovat (viz níže). Za předpokladu, že polovodič je nedegenerovaný a pro elektrony platí rovnovážná MaxwellovaBoltzmannova statistika, je počet elektronů v objemové jednotce, které mají energii vyšší než je výška potenciálové bariéry e(Vbi − U ) , viz Obrázek 5.4, dán vztahem ⎛ EC − E ( S ) ⎞ ⎛ e(Vbi − U ) ⎞ ⎛ Φ − eU ⎞ ⎛ e(Vbi − U ) ⎞ F ⎟ exp⎜ − nb = n0 exp⎜ − ⎟ = N C exp⎜ − Bn ⎟ ⎟ = N C exp⎜ − ⎜ ⎟ kT kT kT kT ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ kde n0 je rovnovážná koncentrace elektronů v neutrální oblasti, viz ( 3.8 ), a při úpravě bylo použito vztahu Φ Bn = eVbi + ( E C − E F( S ) ) plynoucího z Obrázek 5.4. Použijeme výsledku statistické fyziky, který říká, že počet elektronů, které dopadají za jednotku času na jednotkovou plochu rozhraní polovodič-kov, je v nb 4 , kde v je střední rychlost elektronů. Tomu odpovídá proudová hustota j S →M =

1 1 ⎛ Φ − eU ⎞ e v nb = e v N C exp⎜ − Bn ⎟ , 4 4 kT ⎝ ⎠

kde

⎛ 8kT ⎞ v =⎜ ⎟ ⎝ π m* ⎠

1/ 2

V posledním vztahu m * je tzv. efektivní hmotnost elektronu v polovodiči, která je zpravidla výrazně menší než hnotnost volného elektronu (je do ní započten vliv periodického potenciálu krystalové mřížky; bližší vysvětlení by vyžadovalo hlubší fyzikální znalosti). Při nulovém vnějším napětí je na kontaktu dynamická rovnováha, tzn, že toky elektronů z polovodiče do kovu a z kovu do polovodiče se navzájem kompenzují, takže musí platit j M → S = j S → M (U = 0) Spojením všech vztahů dostaneme konečný výsledek pro proudovou hustotu (proud se dostane jednoduše vynásobením plochou přechodu): ⎛ Φ Bn ⎞ ⎛ Φ ⎞ ⎛ eU ⎞ * 2 j S → M = A*T 2 exp⎜ − Bn ⎟ exp⎜ ⎟ ⎟ , j M → S = A T exp⎜ − ⎝ kT ⎠ ⎝ kT ⎠ ⎝ kT ⎠ eU ⎛ Φ ⎞⎡ ⎤ j = j S →M − j M → S = A*T 2 exp⎜ − Bn ⎟ ⎢exp( ) − 1⎥ kT kT ⎦ ⎠⎣ ⎝ A* =

ek 2 m * 2π 2 h 3

= 120

( 5.6 )

m* [A cm -2 K -2 ] m0

Zde A* je Richardsonova konstanta a m0 je hmotnost volného elektronu. Hodnoty poměru m * m0 jsou uvedeny v Tabulka 5.3. Je vidět, že emisní proud elektronů z polovodiče do kovu závisí exponenciálně na přiloženém vnějším napětí, což je dáno tím, že vnější napětí ovlivňuje výšku bariéry ze strany polovodiče, viz Obrázek 5.4. Emisní proud elektronů v opačném směru, z kovu do polovodiče, na vnějším napětí nezávisí, protože i výška bariéry, kterou musí elektrony ze strany kovu překonat, zůstává stále stejná, viz opět Obrázek 5.4.

76


Tabulka 5.3:

Hodnoty poměru m * m0 z rovnice ( 5.6 ) pro některé polovodiče. m*/m0

polovodič

m*/m0

polovodič

Si, povrch <100>

2,05

Ge, povrch <100>

1,19

Si, povrch <111>

2,15

Ge, povrch <111>

1,07

polovodič

m*/m0

GaAs

0,067

Obrázek 5.8: Fyzikální mechanismy transportu nosičů náboje Schottkyho kontaktem.

Difúze. Difúzní teorie vychází z těchto předpokladů: (i) Výška Schottkyho potenciálové bariéry ΦBn je mnohem větší než kT. (ii) Srážky elektronů v oblasti prostorového náboje se započítávají, elektrony difundují přes celou ochuzenou vrstvu až k rozhraní kov-polovodič a potom přecházejí do kovové elektrody. Ze druhého předpokladu plyne, že tato teorie bude vhodná pro přechody se širokou ochuzenou vrstvou, tj. pro přechody vytvořené ve slaběji dopovaných polovodičích, u křemíku obvykle N D ≈ 1015 cm -3 až N D ≈ 1016 cm -3 . Protože elektrony difundují ochuzenou oblastí, v níž je silné elektrické pole, je odvození vztahu pro proudovou hustotu poněkud složitější a uvedeme pouze výsledek:

e 2 Dn N C ⎡ 2eN D (Vbi − U ) ⎤ j= ⎢ ⎥ kT ε 0ε r ⎣ ⎦

1/ 2

⎛ Φ exp⎜ − Bn ⎝ kT

eU ⎞⎡ ⎤ ⎟ ⎢exp( ) − 1⎥ kT ⎦ ⎠⎣

( 5.7 )

Saturační proud kontaktu podle difúzní teorie je na rozdíl od termoemisní teorie výrazně závislý na přiloženém napětí, je však méně závislý na teplotě. Termoemisně-difúzní teorie. Tato teorie byla záměrně formulovaná tak, aby byla syntézou obou předcházejících teorií. To znamená, že se započítává jak vliv bezesrážkového transportu elektronů nad bariérou, tak vliv difúze elektronů. Elektrony difundují ochuzenou vrstvou od jejího okraje ve vzdálenosti w od rozhraní polovodič-kov až do určitého místa, tzv. emisní roviny, která se nachází v malé vzdálenosti x m od rozhraní polovodič-kov, a odtud jsou emitovány bezesrážkově do kovu. Proudová hustota je dána tímto vztahem:

j=

eN C v R ⎛ Φ exp⎜ − Bn 1 + (v R v D ) ⎝ kT

eU ⎞⎡ ⎤ ⎟ ⎢exp( ) − 1⎥ kT ⎦ ⎠⎣

⎡w ⎤ A*T 2 e ⎛ Φ + eϕ ( x) ⎞ ⎥ vR = , vD = ⎢ exp⎜ − Bn ⎟dx ⎢ μ n kT eN C kT ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ xm ⎦

∫

−1

( 5.8 )


77

Veličiny v R a v D se nazývají střední tepelná rychlost a efektivní difúzní rychlost elektronů, ϕ (x) je elektrostatický potenciál uvnitř ochuzené vrstvy. Je-li v D >> v R , je převažujícím mechanismem vedení proudu termoemise, pro v D << v R převažuje naopak difúze. Tunelování. Polovodiče s vysokou koncentrací donorů mají velmi tenkou ochuzenou vrstvu, přes niž mohou elektrony tunelovat. V případě usměrňujícícho Schottkyho přechodu se tunelování uplatňuje jen jako sekundární jev, který ovlivňuje celkový proud procházející přechodem. U vrcholu je totiž potenciálová bariéra vždy tak úzká, že nějaké elektrony mohou vždy tunelovat. Tunelování může být hlavním transportním mechanismem u ohmických kontaktů. Injekce minoritních děr. Jako injekce děr z kovové elektrody do polovodiče se označuje tento jev: elektron z valenčního pásu polovodiče přejde do kovové elektrody, ve valenčním pásu zůstane díra, pohybuje se difúzí směrem od rozhraní kov-polovodič do hloubky polovodiče a po určité době zrekombinuje s majoritním elektronem. K rekombinaci může dojít buď v oblasti ochuzené vrstvy Schottkyho kontaktu nebo až za ochuzenou vrstvou v neutrální části polovodiče. Za obvyklých podmínek však tato difúze minoritních děr není nijak významná (viz ale odst. 5.3.3). Další jevy. Různými způsoby se může projevit technologie výroby kontaktu. Mezi kovovou elektrodou a polovodičem se může vytvořit tenká mezivrstva o tloušťce několika nanometrů, přes kterou elektrony snadno projdou tunelováním, avšak je na ní zachycen vázaný elektrický náboj tzv. povrchových stavů a vzniká na ní určitý úbytek napětí. Přes povrchové stavy může také protékat parazitní svodový proud. Schottkyho kontakt také nemusí být homogenní, výška Schottkyho bariéry nemusí být stejná po celé ploše kontaktu. U ostrých hran kontaktu je silné elektrické pole, které může dát vzniknout tzv. hranovým svodovým proudům, které v podstatě zkratují přechod. Lze se tomu bránit vytvořením tzv. ochranných prstenců ve struktuře diody nebo vhodnou geometrií struktury, kde tak silné elektrické pole nevznikne, viz Obrázek 5.9.

5.3 Schottkyho diody V této části se seznámíme s tím, jak vypadá struktura Schottkyho diod a dále se budeme zabývat jejich voltampérovými charakteristikami, stanovením některých parametrů diod a vlivem minoritních nosičů náboje na jejich vlastnosti.

5.3.1

Voltampérová charakteristika Schottkyho diody

Různé struktury Schottkyho diod jsou nakresleny na Obrázek 5.9. Vlastní usměrňující kontakt kov-polovodič typu n se vytváří mezi kovovu elektrodou a epitaxní vrstvou n, narostlou na substrátu n+, který zajišťuje dobrý ohmický kontakt s druhou kovovou elektrodou diody. Pásový diagram celé struktury je nakreslen na Obrázek 5.10. Protože existuje celá řada různých fyzikálních mechanismů, které se mohou uplatňovat při průchodu proudu Schottkyho kontaktem a ovlivňovat výslednou voltampérovou charakteristiku Schottkyho diody, píše se v technické praxi její rovnice ve tvaru ⎡ ⎛ e(U − R S I ) ⎞ ⎤ I = I S ⎢exp⎜ ⎟ − 1⎥ mkT ⎠ ⎦ ⎣ ⎝

( 5.9 )

což je stejná rovnice jako pro diodu s přechodem pn, viz ( 4.24 ) a ( 4.26 ). Koeficient neideálnosti, resp. emisní konstanta m, 1 ≤ m ≤ 2 , v sobě zahrnuje vliv všech jevů, které způsobují odchylku charakteristiky od teoretického průběhu popsaného v odstavci 5.2.6. Rovnci ( 5.9 ) je občas vytýkán jeden nedostatek. Pro dostatečně velké napětí v propustném směru je významný jen exponenciální člen, který obsahuje koeficient m, a jednička se dá zanedbat. Naopak v závěrném směru je exponenciální člen zanedbatelný vůči jedničce a vliv koeficientu n se v závěrném směru neprojeví. Z rovnice ( 5.9 ) tedy vlastně plyne, že odchylky od ideálnosti se projevují jen ve složce proudu z polovodiče do kovu, zatímco zpětný proud z kovu do polovodiče

78


neovlivňují, viz ( 5.6 ). Z toho důvodu se někdy rovnice voltampérové charakteristiky Schottkyho diody píše v poněkud složitější podobě ⎛ e(U − R S I ) ⎞ ⎡ ⎛ e(U − R S I ) ⎞⎤ I = I S exp⎜ ⎟ ⎢1 − exp⎜ − ⎟⎥ mkT kT ⎝ ⎠⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎛ e(U − R S I ) m − 1 ⎞ ⎛ e(U − R S I ) ⎞ = I S exp⎜ ⎟ ⎟ − I S exp⎜ − mkT kT m ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

( 5.10 )

z níž je zřetelně vidět, že koeficient neideálnosti m ovlivňuje obě dvě složky proudu.

Obrázek 5.9:

Různé struktury Schottkyho diod.

Obrázek 5.10: Náčrtek strukturya a pásový diagram Schottkyho diody.

5.3.2

Stanovení výšky Schottkyho bariéry

Výšku Schottkyho bariéry, která se objevuje v rovnicích v odstavci 5.2.6 je možné stanovit několika různými způsoby, které nyní vysvětlíme. Stanovení Φ Bn z voltampérové charakteristiky. V rovnici ( 5.9 ) zanedbáme jedničku pro dostatečně velké U > 0 a logaritmujeme (používáme dekadický logaritmus, log(e) = 0,434) log( I ) = log( I S ) +

eU log(e) mkT

( 5.11 )


79

V souřadnicích [U , log( I )] je grafem funkce ( 5.11 ) přímka, jejíž průsečík se svislou osou má souřadnici log( I S ) . Známe-li I S a Richardsonovu konstantu A* pro daný typ kontaktu, můžeme pomocí ( 5.6 ) vypočítat Φ Bn . Ze směrnice přímky lze určit také koeficient m.

Obrázek 5.11: Stanovení výšky Schottkyho bariéry z voltampérové charakteristiky.

Stanovení Φ Bn ze závislosti proudu na teplotě. Měříme závislost proudu I na teplotě T pro pevně nastavené napětí U > 0 v propustném směru. Z rovnice ( 5.6 ) odvodíme:

log(

I T

2

) = log( A* ) −

e U (Φ Bn − ) log(e) kT m

(

( 5.12 )

)

Vidíme, že grafem závislosti log I T 2 na 1 T je tzv. Richardsonova přímka, která protíná svislou *

osu v bodě o souřadnici log( A ) a má směrnici (− e k )(Φ Bn − U m) . Stanovení Richardsonovy konstanty A* není příliš přesné, protože většinou vyžaduje extrapolaci naměřených hodnot přes velmi široký interval hodnot 1 T až k nule, zatímco naměřená data bývají k dispozici jen z poměrně úzkého intervalu. Pokud je znám koeficient neideálnosti, resp. emisní konstanta m, můžeme ze směrnice přímky ( 5.12 ) určit Φ Bn .

Stanovení výšky Obrázek 5.12: Schottkyho bariéry z teplotní závislosti proudu při konstantním napětí.

80

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Stanovení Φ Bn z charakteristiky kapacita-napětí v závěrném směru. Podle ( 5.5 ) platí 2 2(Vbi + U ) ⎛S⎞ ⎜ ⎟ = eε 0 ε r N D ⎝C ⎠

( 5.13 )

Grafem závislosti (S C )2 na napětí U je tedy přímka o směrnici 2 (eε 0 ε r N D ) . Pokud je známa plocha přechodu S, můžeme ze směrnice přímky vypočítat koncentraci donorů N D . Přímka ( 5.13 ) protíná vodorovnou (napěťovou) osu v bodě o souřadnici − Vbi , takže jako další krok můžeme určit kontaktní napětí Vbi . Podle Obrázek 5.4 je Φ Bn = eVbi + ( EC − E F ) a protože při běžných teplotách jsou všechny donory ionizované a jejicj koncentrace je rovna koncentraci volných elektronů, platí podle ( 3.8 ) E C − E F = kT ln (N C N D ) .

Obrázek 5.13: Stanovení výšky Schottkyho bariéry z charakteristiky kapacita-napětí.

5.3.3

Vliv minoritních nosičů náboje

Na začátku odstavce 5.2.6 jsme zdůraznili, že proud Schottkyho kontaktem je přenášen majoritními nosiči náboje, tedy elektrony u polovodiče typu n. Zmínili jsme se však i o tom, že na kontaktu kov-polovodič typu n nastává tzv. injekce děr z kovové elektrody do polovodiče a jejich následná difúze, viz závěr odst.5.2.6, která běžně není nijak významná. Obě tato tvrzení platí přesně za podmínek nízké injekce. Výkonové a usměrňovací Schottkyho diody však pracují v podmínkách vysoké injekce, kdy v kvazineutrální oblasti je elektrické pole a kromě difúzního toku minoritních děr se projevuje i driftová složka a ta může být i větší než složka difúzní. Vliv injekce minoritních děr se číselně vyjadřuje koeficientem γ nazývaným injekční účinnost; je to poměr toku minoritních nosičů náboje k k celkovému toku všech nosičů náboje, γ = j p ( j p + j n ) . Jako příklad si uvedeme, že teoretický výpočet i experimentální výsledky pro Schottkyho přechod Au/n-Si v podmínkách nízké injekce dávají γ ≈ 10 −5 a v podmínkách vysoké injekce γ ≈ 10 −1 . Jinou veličinou, která souvisí s minoritními nosiči náboje a ovlivňuje dynamické vlastnosti Schottkyho diod, je doba akumulace minoritních nosičů náboje τ s definovaná jako poměr celkového náboje minoritních nosičů v kvazineutrální oblasti a procházejícího proudu. Vyjadřuje tedy, za jak dlouho ve struktuře nahromaděný náboj minoritních nosičů zanikne, což je velmi významné např. v impulsním režimu činnosti při přepínání s otevřeného do zavřeného stavu nebo při zpracování signálu o vysokých kmitočtech. Například pro Schottkyho diodu Au/n-Si s koncentrací donorů N D = 1,5.1014 cm −3 při proudové hustotě j = 10 A/cm 2 se doba akumulace pohybuje kolem jedné nanosekundy τ s ≈ 1 ns a při vyšší koncentraci N D = 1,5.1016 cm −3 klesne až na 0,01 ns.


5.3.4

81

Linearizovaný ekvivalentní obvod Schottkyho diody

Chování Schottkyho diody s malým střídavým signálem a stejnosměrným předpětím dobře vystihuje její linearizovaný ekvivalentní obvod na Protože Schottkyho dioda pracuje s majoritními nosiči náboje, neuplatňuje se žádná difúzní kapacita jako u diod s přechodem pn, která by ovlivňovala vlastnosti diody v propustném směru.

Obrázek 5.14:

Linearizovaný ekvivalentní obvod Schottkyho diody.

C je bariérová kapacita Schottkyho přechodu, významná v závěrném směru, rd je jeho dynamický odpor. Symbol rS označuje sériový odpor diody tvořený polovodičovým materiálem mimo vlastní oblast přechodu, R S je odpor přívodů a kontaktů a LS indukčnost přívodů, která se stává významnou na velmi vysokých frekvencích, C p jsou parazitní kapacity pouzdra a přívodů.

5.3.5

Porovnání Schottkyho diod a polovodičových diod s přechodem pn

Schottkyho diody mají řadu předností ve srovnání s diodami s přechodem pn. Nejvýznamnějším rozdílem je, že funkce Schottkyho diod je založena na přenosu majoritních nosičů náboje, takže jejich rychlost není omezována pomalými procesy difúze minoritních nosičů (což je hlavní mechanismus vedení proudu u diod s přechodem pn) nebo rekombinace elektronů a děr. Další vlastnosti jsou porovnány v následující tabulce. Tabulka 5.4:

parametr vlastnost vedení proudu v propustném směru vedení proudu v závěrném směru velikost proudu teplotní závislost závěrného proudu kontaktní napětí Vbi procesy v ochuzené vrstvě emisní koeficient (koef. neideality) co omezuje rychlost spínání

Porovnání pn-diod a Schottkyho diod. pn-dioda

Schottkyho dioda

injekce elektronů a děr přes přechod; difúze a postupná rekombinace minoritních nosičů v kvazineutrálních oblastech difúze, generace a rekombinace minoritních nosičů v ochuzené vrstvě při stejném propustném napětí menší proud než Schottkyho diodou relativně menší závěrný proud výrazná teplotní závislost

injekce majoritních nosičů z polovodiče do kovu

relativně velké rekombinace je významná např. u křemíkových diod, u germaniových méně 1 až 2 vlivem rekombinace v ochuzené vrstvě proces odstranění minoritních nosičů náboje ze struktury (rekombinací, resp. difúzí)

transport majoritních nosičů přes bariéru z kovu do polovodiče v propustném směru až 104x větší proudová hustota než u pn-diod relativně velký závěrný proud méně výrazná teplotní závislost zřetelně menší téměř žádná rekombinace v ochuzené vrstvě 1 nebo velmi blízký jedné elektrony o vysoké energii (horké elektrony) vstřikované přes bariéru se musí dostat do rovnovážného stavu (musí se termalizovat) – řádově jednotky ps

82


5.4 Ohmické kontakty Ohmické kontakty jsou velmi důležitou, i když občas opomíjenou součástí každé polovodičové součástky. Dobrý ohmický kontakt musí mít odpor pokud možno zanedbatelný ve srovnání s odporem jednotlivých částí polovodičové struktury a nesmí nijak ovlivňovat fyzikální procesy ve struktuře (například nesmí docházet k injekci nosičů náboje do struktury). Principiálně by bylo možné ke zhotovení ohmických kontaktů takové kombinace polovodiče a kovu, kdy se u povrchu polovodiče vytvoří obohacená vrstva, viz Obrázek 5.3. V praxi tento postup není možný, protože fyzikální vlastnosti rozhraní kov polovodič neurčují jen výstupní práce, ale především náboj vázaných povrchových stavů na rozhraní, viz odst. 5.2.5.

Obrázek 5.15:

Struktura ohmického kontaktu.

Je-li tloušťka ochuzené vrstva Schottkyho kontaktu dostatečně malá (maximálně několik nanometrů), je hlavním mechanismem přenosu náboje tunelování elektronů. Proces tunelování se vyznačuje tím, že pravděpodobnost průchodu elekronu potenciálovou bariérou je stejná pro elektron procházející z polovodiče do kovu nebo z kovu do polovodiče. V důsledku toho má takový tunelující kontakt na polaritě vnějšíhonapětí nezávislou a navíc lineární voltampérovou charakteristiku. Ohmické kontakty se proto zhotovují tak, jak je nakresleno na Obrázek 5.15. Mezi kovou elektrodu a vlastní strukturu polovodiče se vloží silně dopovaná vrstva, která vytvoří na rozhraní kovu a polovodiče tak tentkou ochuzenou vrstvu, že přes ní mohou elektrony tunelovat.

5.5 Shrnutí kapitoly • Různé typy kontaktů kov-polovodič: výstupní práce elektronů z kovu a z polovodiče, elektronová afinita, kontaktní napětí, Schottkyho bariéra. • Usměrňující kontakt kov – polovodič typu n: pásový diagram kontaktu s napětím v propustném a v závěrném směru, elektrické pole v ochuzené vrstvě, kapacita ochuzené vrstvy, Schottkyho jev (zrcadlový náboj), vliv vázaných nábojů na rozhraní kov-polovodič, zafixování Fermiho hladiny. • Fyzikální mechanismy průchodu proudu Schottkyho konaktem: termoemise, tunelování, drift, difúze, injekce děr, rekombinace nosičů v ochuzené vrstvě nebo v kvazineutrální oblasti. • Schottkyho diody: struktura, rovnice voltampérové charakteristiky, stanovení výšky Schottkyho bariéry, vliv minoritních nosičů náboje, linearizovaný ekvivalentní obvod pro malý střídavý signál, srovnání Schottkyho diod a diod s přechodem pn. • Ohmické kontakty: vlastnosti ideálního ohmického kontaktu, realizace ohmických kontaktů.


83

5.6 Kontrolní otázky a příklady 1. Definujte tyto základní pojmy: výstupní práce, elektronová afinita. 2. Kdy vzniká usměrňující kontakt mezi kovem a polovodičem a kdy naopak kontakt neusměrňující? 3. Vysvětlete, co znmená „zafixování Fermiho hladiny“. 4. Jaké fyzikální mechanismy průchodu proudu Schottkyho kontaktem znáte a kdy se uplatňují? 5. Kde se prakticky využívá kapacita Schottkyho přechodu? 6. Jaké jsou vlastnosti Schottkyho diody ve srovnání s polovodičovými diodami s přechodem pn a jak ovlivňují použití Schottkyho diod? 7. Jaké jsou vlastnosti ideálního Schottkyho kontaktu? 8. Voltampérové charakteristiky Schottkyho diody pro různé teploty jsou na obrázku. Dioda má kruhový průřez o poloměru 1 mm. Proud diodou je ⎛ Φ I = A*T 2 exp⎜ − B ⎝ kT

⎞ ⎡ ⎛ eU ⎞ ⎤ ⎟ ⎢exp⎜ ⎟ − 1⎥ ⎠ ⎣ ⎝ mkT ⎠ ⎦

Určete A* , m, Φ B .

9. Na obrázku jsou nakresleny voltampérové charakteristiky dvou různých Schottkyho diod (A) a (B) změřené při stejné teplotě, rovnice charakteristik je stejná jako v úloze 8. Vysvětlete a zdůvodněte, kterým z uvedených parametrů se diody liší: A* , Φ B , m .

84


10. Polovodičovou diodu s přechodem pn nebo Schottkyho diodu můžeme pro malý střídavý signál nahradit ekvivalentním obvodem podle obrázku a) (C je bariérová kapacita přechodu, G vodivost součástky, rS sériový odpor). Při měření kapacity a vodivosti měřičem impedance se na součástku přivede malý střídavý signál o úhlové frekvenci ω = 2πf. Měřič impedance umožňuje zvolit, zda je měřená součástka reprezentována paralelním nebo sériovým ekvivalentním obvodem, viz obrázky b) a c). a) Vypočtěte měřenou kapacitu a vodivost CP , GP paralelního ekvivalentního obvodu pomocí parametrů součástky C, G, rS . b) Vypočtěte měřenou kapacitu a vodivost CS , GS sériového ekvivalentního obvodu pomocí parametrů součástky C, G, rS . c) Nakreslete grafy C S = C S (G , rS ) , C P = C P (G , rS ) , kde vodivost G z intervalu 10-7 S až 10-2 S je proměnná (použijte logaritmické měřítko) a rS je parametr křivek (zvolte několik hodnot od 50 Ω do 2000 Ω). Kapacita diody C = 100 pF, kmitočet měřicího signálu f = 1 MHz. d) Vaším úkolem je pro neznámou diodu co nejpřesněji změřit její bariérovou kapacitu C. Jak budete postupovat?


85

6 Heteropřechody Heteropřechody jsou jedním ze základních stavebních prvků moderních tranzistorů a optoelektronických prvků. Základní vlastnosti heteropřechodů byly teoreticky vysvětleny již počátkem padesátých let 20. století, avšak technologie výroby heteropřechodů, která by umožnila jejich masové využití v polovodičovém průmyslu, byla vyvinuta až o čtyřicet let později, v devadesátých letech.

6.1 Materiály pro heteropřechody Homogenní pn přechod vznikl tak, že se určitým technologickým postupem vytvořil kontakt mezi polovodičem typu p a polovodičem typu n. Heteropřechod vznikne, jestliže se vytvoří kontakt mezi dvěma různými polovodiči. Každý polovodič je charakterizovaný určitými veličinami, které jsou významné pro jeho vznik a projeví se i v jeho pásovém diagramu. Jsou to především typ vodivosti, strukturní vlastnosti, koncentrace donorů a akceptorů, šířka zakázaného pásu, termoelektrická výstupní práce a elektronová afinita. Jestliže oba polovodiče mají stejný typ vodivosti, vzniká izotypový heteropřechod. Pokud je typ vodivosti obou polovodičů různý, vzniklý přechod se nazývá anizotypový heteropřechod. Šířky zakázaných pásů polovodičů se liší, takže mohou existovat anizotypové heteropřechody Np, nP nebo izotypové heteropřechody Nn, Pp (velké písmeno označuje polovodič s větší šířkou zakázaného pásu). Z hlediska technologie výroby se nejsnáze vyrobí heteropřechod mezi dvěma polovodiči, jejichž struktura je pokud možno co nejpodobnější – pak je zaručeno dokonalé propojení krystalových mřížek obou polovodičů v oblasti přechodu. V praxi užívané polovodičové materiály mají kubickou plošně centrovanou mřížku, takže je lze charakterizovat jedinou mřížkovou konstantou, délkou hrany elementární krychle. V diagramu na Obrázek 6.1 přísluší každému polovodiči bod o souřadnicích [a, Eg] , kde a je mřížková konstanta a Eg šířka zakázaného pásu. Existuje několik binárních sloučenin, které jsou mřížkově přizpůsobené, tj. mají téměř stejnou mřížkovou konstantu a různou šířku zakázaného pásu: GaP a AlP, Ge, GaAs a AlAs, GaSb a AlSb. Je také možné připravit ternární a složitější polovodiče, jejichž mřížková konstanta je téměř stejná, např. AlxGa1−-xAs má téměř stejnou mřížkovou konstantu jako GaAs nebo AlAs. Možné kombinace binárních sloučenin jsou v diagramu na Obrázek 6.1 vyznačeny spojovacími čarami. Mřížkově přizpůsobený heteropřechod může vzniknout také kombinací vhodného ternárního polovodiče s binárním polovodičem, např. kombinací Ga0,47In0,53As nebo Al0,48In0,52As a polovodiče InP. Je možné připravovat i složitější kvaternární polovodiče, např. GaxIn1−-xAsyP1−-y. Pokud se mřížkové konstanty polovodičových materiálů liší, vznikají heteropřechody mřížkově nepřizpůsobené, např. při kombinaci Si a Ge, o nichž se zmíníme podrobněji dále. Závislost mřížkové konstanty na chemickém složení polovodiče je pro některé ternární materiály nakreslena na Obrázek 6.1 a závislost šířky zakázaného pásu je v Tabulka 6.1. Tabulka 6.1:

polovodič Alx In1-x P Alx Ga1-x As Alx In1-x As Alx Ga1-x Sb Alx In1-x Sb Gax In1-x P

Vliv chemického složení polovodiče na šířku zakázaného pásu Eg [eV] 1,351 + 2,23 x 1,424 + 1,247 x 0,360 + 2,012 x + 0,698 x2 0,726 + 1,129 x + 0,368 x2 0,172 + 1,621 x + 0,43 x2 1,351 + 0,643 x + 0,786 xě

polovodič Gax In1-x As Gax In1-x Sb Ga Px As1-x Ga Asx Sb1-x In Px As1-x In Asx Sb1-x

Eg [eV] 0,36 + 1,064 x 0,172 + 0,139 x + 0,415 2 1,424 + 1,150 x + 0,176 2 0,726 – 0,520 x + 1,2 x2 0,360 + 0,891 x + 0,101 2 0,18 – 0,41 x + 0,58 x2

86


Obrázek 6.1: Binární polovodiče znázorněné v diagramu [a, Eg]. Spojovací čáry vyznačují možné kombinace binárních sloučeni a vznik ternárního polovodiče, např. AlAs-AlxGa1-xAs-GaAs. Graf vpravo ukazuje vliv chemického složení ternárního polovodiče na mřížkovou konstantu.

6.2 Pásové diagramy heteropřechodů Vzhled pásového diagramu heteropřechodu, tj. zejména průběh energiových hladin EC (dno vodivostního pásu) a EV (vrchol valenčního pásu) určují tyto parametry polovodičů, viz Obrázek 6.2: (i) Šířka zakázaného pásu polovodičů E g1 , E g 2 . (ii) Elektronová afinita χ1 , χ 2 měřená ode dna vodivostního pásu k hladině vakua; je to energie potřebná k tomu, aby se elektron, který se nachází u dna vodivostního pásu, uvolnil z polovodiče a vystoupil do vakua. (iii) Termoelektrická výstupní práce Φ 1 , Φ 2 je energie, kterou by bylo nutno dodat elektronu, který by se nacházel na Fermiho hladině, aby mohl z polovodiče vystoupit do vakua (Fermiho hladina polovodičů leží zpravidla v zakázaném pásu, takže přímo na ní žádné elektrony nejsou). Protože poloha Fermiho hladiny závisí na koncentraci donorů a akceptorů, termoelektrická výstupní práce v sobě zahrnuje vliv dopování polovodiče. Termoelektrickou výstupní práci je nutno odlišovat od výstupní práce fotoelektrické používané v optice polovodičů, která se měří od vrcholu valenčního pásu. hladina vakua

Φ1

χ1

χ2 Φ2

EC1

ΔEC

EF1

EC2 Eg1

EF2

EV1

Eg2

ΔEV EV2

Obrázek 6.2: Pásové diagramy dvou různých polovodičů před vytvořením heteropřechodu. Na obrázku jsou vyznačeny veličiny, které určují vzhled pásového diagramu heteropřechodu.


87

Pro heteropřechody je typické, že na rozhraní obou polovodičů jsou energiové hladiny EC a EV nespojité a platí: ΔE g = E g 2 − E g1

ΔEC = EC1 − E C 2 = χ1 − χ 2

( 6.1 )

ΔEV = EV 1 − EV 2 = (χ 2 + E g 2 ) − (χ1 + E g1 ) = ΔE g − ΔEC Jako hladinu vakua označujeme energiovou hladinu, na níž by se nacházel volný elektron, který by se uvolnil z polovodiče a měl nulovou kinetickou energii. Zvolíme-li hladinu vakua jako referenční energiovou hladinu a od ní vyneseme elektronovou afinitu a šířku zakázaného pásu, můžeme nakreslit vzájemnou polohu energiových hladin EC a EV , jaká je v samotných polovodičích, tj. předtím, než se vytvoří heteropřechod, viz Obrázek 6.2. Podle vzájemné polohy hladin EC a EV se heteropřechody rozdělují na několik typů (klasifikace v různých knihách se liší), viz Obrázek 6.3: Typ I: ΔE C = E C1 − E C 2 > 0 , ΔEV = EV 1 − EV 2 < 0 , E g1 > E g 2 , ΔE C , ΔEV mají tedy opačná znaménka; k tomuto typu patří např heteropřechody AlGaAs/GaAs, InP/GaInAsP. Typ II – stupňovitý (staggered): ΔE C > 0 , ΔEV > 0 , ΔE C < E g1 , ΔE C , ΔEV mají souhlasná znaménka, E g 2 nemusí být nutně menší než E g1 ; k tomuto typu patří např. GaAlSb/InAs. Typ III – „nesprávně uspořádaný“ (misaligned): ΔE C > 0 , ΔEV > 0 , ΔE C > E g1 , ΔE C , ΔEV mají souhlasná znaménka, E g 2 nemusí být nutně menší než E g1 ; k tomuto typu patří např. GaSb/InAs. Typ IV: Vzniká při kontaktu polovodiče s polokovem. V polokovu je dno vodivostního pásu nepatrně pod vrcholem valenčního pásu, takže E g 2 = E C 2 − EV 2 < 0 ; patří sem např. heteropřechod HgTe/CdTe. Klasifikace heteropřechodů není v literatuře jednotná. Heteropřechody typu II a typu III se často označují jako typ IIa typ IIb, a zde uvedený typ IV (polovodič – polokov) v klasifikaci nejčastěji chybí nebo je zmiňován jako typ III. EC1

ΔEC

EC2

ΔEV

EV2

EV1

EC1

ΔEC Eg1

Eg2

Eg1

EC1

EV1

EC2 Eg2

ΔEV EV2

typ I

Obrázek 6.3:

Eg1

typ II – stupňovitý (staggered)

EC1

ΔEC

EV1 ΔEV

Eg1

ΔEC

ΔEV

EC2 Eg2

Eg2

EV1

EC2

EV2

typ III – „nesprávně uspořádaný“ (misaligned)

EV2

typ IV

Typy heteropřechodů podle vzájemné polohy dna vodivostního a vrcholu valenčního pásu.

Jestliže se polovodiče uvedou do kontaktu (vytvoří se heteropřechod) začnou elektrony a díry přecházet z jednoho polovodiče do druhého, až se vyrovnají Fermiho hladiny v obou polovodičích a na přechodu se objeví kontaktní rozdíl potenciálů, resp. kontaktní napětí (built-in voltage), které je dáno rozdílem Fermiho hladin v izolovaných polovodičích. V oblasti přechodu vznikne ochuzená nebo obohacená vrstva polovodiče a energiové hladiny EC a EV se ohnou. Protože výsledný vzhled pásového diagramu určuje celkem šest veličin, je u heteropřechodů mnohem více různých možností než u homogenního přechodu pn, jak je nakresleno na následujících obrázcích.

88

Obrázek 6.4:


Různé typy heteropřechodů Ge/GaAs.


Obrázek 6.5:

89

Pásový diagram heteropřechodu N-AlGaAs/p-GaAs: vznik heteropřechodu a heteropřechod bez napětí. Obdobné pásové diagramy má i řada dalších heteropřechodů s polovodiči AIIIBV.

Heteropřechody na Obrázek 6.4 a Obrázek 6.5 jsou vesměs tzv. strmé heteropřechody (abrupt heterojunctions); to znamená, že existuje ostře definované zpravidla rovinné rozhraní mezi oběma polovodičovými materiály. Jiným typem heteropřechodů jsou tzv. gradované heteropřechody (graded heterojunctions), které vzniknou tak, že v určité oblasti se plynule mění chemické složení materiálu, jak je nakresleno na Obrázek 6.6. V důsledku toho se spojitě mění šířka zakázaného pásu a je možné dosáhnout, že nespojité skoky ΔE C , ΔEV a potenciálové bariéry na přechodu vymizí.

Obrázek 6.6: Princip vzniku gradovaného heteropřechodu. V určité oblasti polovodiče se plynule mění chemické složení materiálu a důsledku se mění i veličiny E g , ΔE C , ΔEV . Postupné zvyšování

molárního obsahu hliníku mění průběh hladin EC a EV a šířku zakázaného pásu Eg. Dvojice pod sebou umístěných pásových diagramů na Obrázek 6.7 znázorňují jeden strmý a dva gradované heteropřechody Np. Průběh dna vodivostního pásu EC a vrcholu valenčního pásu EV je nakreslen nejprve před vytvořením kontaktu a před vznikem oblastí prostorového náboje, aby bylo možné dobře znázornit vliv gradování. Barevnými šipkami je zvýrazněna šířka zakázaného pásu. V dolní části obrázku jsou nakresleny tytéž heteropřechody po vyrovnání Fermiho hladin a po vytvoření oblastí prostorového náboje. Obrázky jsou nakresleny pro dvě různé šířky gradované oblasti a pro srovnání je vlevo i strmý heteropřechod. Je vidět, že při menší šířce gradované oblasti je potenciálová bariéra ve vodivostním pásu redukována, při větší šířce vymizí úplně.

90


Obrázek 6.7:

Vliv gradované vrstvy na průběh energiových hladin v okolí heteropřechodu.

6.3 Elektrické pole v ochuzené vrstvě heteropřechodu Jak jsme ukázali v předcházející odstavci, pásové diagramy heteropřechodů mohou být velmi různé. Pokud na heteropřechodu vzniká obohacená vrstva, je nutné při výpočtu průběhu potenciálu počítat i s nábojem volných elektronů nebo děr a řešení Poissonovy rovnice se komplikuje. Zde se omezíme na jednodušší příklad strmého heteropřechodu Np, např. N-AlGaAs/p-GaAs, kdy po obou stranách heteropřechodu vzniká ochuzená vrstva, viz Obrázek 6.5; komplikovanější výpočty pro jiné heteropřechody lze najít v odborné literatuře. Pásový diagram heteropřechodu je nakreslen na Obrázek 6.5, (heteropřechod bez přiloženého napětí) a na Obrázek 6.8 (heteropřechod s vnějším napětím). Veličiny týkající se polovodiče typu N, resp. p, jsou indexovány indexem 1, resp. 2. Za běžných teplot, kdy jsou všechny donory a akceptory v polovodiči ionizovány, souvisí poloha Fermiho hladiny v polovodiči typu N a p s koncentrací příměsí N D , N A takto ⎛N ⎞ ⎛N E C1 − E F 1 = k B T ln⎜⎜ C1 ⎟⎟ , E F 2 − EV 2 = k B T ln⎜⎜ V 2 ⎝ ND ⎠ ⎝ NA Pro intrinsickou koncentraci nosičů náboje v polovodičích platí

⎞ ⎟⎟ ⎠

( 6.2 )

⎛ E g1 ⎞ ⎛ E ⎞ ( 6.3 ) ⎟ , ni 2 = N C 2 N V 2 exp⎜ − g 2 ⎟ ni1 = N C1 N V 1 exp⎜⎜ − ⎟ ⎜ 2k T ⎟ B ⎠ ⎝ 2k B T ⎠ ⎝ V oddělených polovodičích se poloha Fermiho hladiny liší a je dána vztahy ( 6.2 ) Uvedeme-li polovodiče do kontaktu, Fermiho hladiny se vyrovnají a na heteropřechodu vznikne kontaktní rozdíl potenciálů Vbi (kontaktní napětí, built-in voltage), který je dán rozdílem Fermiho hladin. Pomocí obr. 3.22 dostaneme

{

[

]}

eVbi = E F 1 − E F 2 = Φ 2 − Φ 1 = χ 2 + E g 2 − ( E F 2 − EV 2 ) − [χ1 + ( EC1 − E F 1 )]

( 6.4 )

Pomocí předcházejících rovnic a po delších úpravách odvodíme jiný vztah, v němž je kontaktní napětí heteropřechodu dáno přímo do souvislosti s koncentrací donorů, akceptorů, s šířkami zakázaných pásů


Obrázek 6.8:

91

Pásový diagram heteropřechodu N-AlGaAs/p-GaAs s přiloženým napětím.

a s dalšími parametry obou polovodičů: eVbi = χ 2 − χ1 +

⎛N N ⎞ 1 ⎛N N ⎞ 1 ( E g 2 − E g1 ) + k B T ln⎜⎜ D A ⎟⎟ + k B T ln⎜⎜ C 2 V 1 ⎟⎟ 2 ⎝ ni1 ni 2 ⎠ 2 ⎝ N C1 N V 2 ⎠

( 6.5 )

Kontaktní napětí se rozloží na obě strany heteropřechodu, Vbi = Vbi1 + Vbi 2 . Po obou stranách zde uvažovaného heteropřechodu jsou ochuzené vrstvy, v nichž je hustota prostorového náboje dána koncentrací donorů, resp.akceptorů. Poissonova rovnice pro elektrostatický potenciál v polovodiči typu N a p má tvar: − x1 ≤ x ≤ 0 :

d 2 ϕ1 dx

2

=−

eN D ; ε1

0 ≤ x ≤ x2 :

d 2ϕ2 dx

2

=

eN A ε2

( 6.6 )

Okrajové podmínky pro elektrostatický potenciál určíme takto. Na hranicích ochuzených vrstev je intenzita elektrického pole, tedy první derivace potenciálu, nulová, tzn. dϕ1 dϕ 2 = 0 ; x = x2 : =0 ( 6.7 ) dx dx Na rozhraní obou polovodičů v bodě x = 0 je spojitá elektrická indukce (přesněji její složka kolmá k rozhraní, což se ovšem v jednorozměrném modelu neprojeví): dϕ dϕ 2 x = 0 : ε1 1 = ε 2 ( 6.8 ) dx dx Protože permitivity polovodičů se liší, je intenzita elektrického pole (přesněji její složka kolmá k rozhraní) nespojitá; to je zásadní rozdíl oproti homogenním přechodům. Elektrostatický potenciál na okrajích ochuzených vrstev je:

x = − x1 :

92


x = − x1 : ϕ1 = 0 ;

x = x 2 : ϕ 2 = −(Vbi − U )

( 6.9 )

a na rozhraní obou polovodičů v bodě x = 0 musí být elektrostatický potenciál spojitý, tj. x = 0 : ϕ1 = ϕ 2

( 6.10 )

Zde U je vnější napětí přiložené na heteropřechod, U > 0 v propustném směru a U < 0 v závěrném směru. Řešením Poissonovy rovnice ( 6.6 ) s uvedenými okrajovými podmínkami dostaneme: eN eN A ϕ1 ( x) = − D ( x + x1 ) 2 , ϕ 2 ( x) = ( x − x 2 ) 2 − (Vbi − U ) ( 6.11 ) 2ε 1 2ε 2 Elektrostatická potenciální energie je − eϕ1 ( x) , − eϕ 2 ( x) , viz Obrázek 6.8. Pro šířky ochuzených vrstev z ( 6.8 ) a ( 6.10 ) vyjde: N D x1 = N A x 2 x1 =

x2 =

2ε 1ε 2 N A (Vbi − U ) 2ε 1 Vbi − U 2ε 1 = (Vbi1 − U 1 ) = N ε eN D (ε 1 N D + ε 2 N A ) eN D eN D 1 D 1+ ε2NA

( 6.12 )

2ε 1ε 2 N D (Vbi − U ) 2ε 2 Vbi − U 2ε 2 = (Vbi 2 − U 2 ) = ε2NA eN A (ε 1 N D + ε 2 N A ) eN A eN A 1+ ε1N D

Veličiny Vbi1 , Vbi 2 , U 1 , U 2 označují úbytky napětí Vbi a U v prvním a druhém polovodiči: Vbi = Vbi1 + Vbi 2 , U = U 1 + U 2 Vbi Vbi U U , U1 = , Vbi 2 = , U2 = Vbi1 = ( 6.13 ) ε1 N D ε1 N D ε2 N A ε2 N A 1+ 1+ 1+ 1+ ε2 N A ε2 N A ε1 N D ε1 N D Obrázek 6.5 znázorňuje energiové hladiny v polovodičích N a p před vyrovnáním Fermiho hladin a současně ukazuje průběh elektronové afinity a šířky zakázaného pásu v závislosti na souřadnici, viz též Obrázek 6.8: χ( x) = χ1 pro − x1 ≤ x ≤ 0 ; χ( x) = χ 2 pro 0 ≤ x ≤ x 2 ( 6.14 ) E g ( x) = E g1 pro − x1 ≤ x ≤ 0 ; E g ( x) = E g 2 pro 0 ≤ x ≤ x 2 Průběh energiových hladin E C (x) a EV (x) odvodíme z průběhu elektrostatické potenciální energie − eϕ1 ( x) , − eϕ 2 ( x) podle ( 6.11 ) a z průběhu elektronové afinity a šířky zakázaného pásu: E C ( x) = −eϕ( x) + χ( x) , EV ( x) = −eϕ( x) + χ( x) + E g ( x) ( 6.15 ) Průběh hladin EC (x) a EV (x) je nakreslen na Obrázek 6.8. Na tomto místě považujeme za potřebné zdůraznit z zopakovat tyto skutečnosti: elektrostatický potenciál na heteropřechodu je spojitou funkcí souřadnice, naproti tomu elektronová afinita a šířka zakázaného pásu se na rozhraní polovodičů mění skokem, a proto jsou i v průběhu energiových hladin EC (x) a EV (x) nespojité skoky ΔE C a ΔEV . Pro intenzitu a indukci elektrického pole platí obvyklé okrajové podmínky: na rozhraní jsou spojité normálové složky indukce a tečné složky intenzity, takže ve zde uvažovaném jednorozměrném modelu je spojitá elektrická indukce a intenzita elektrického pole se mění skokově. Elektrony ve vodivostním pásu musí při průchodu heteropřechodem překonat parabolickou potenciálovou bariéru ve tvaru „špičky“, a to buď emisí nad bariérou nebo tunelováním přes bariéru. Pro díry ve valenčním pásu má potenciálová bariéra zcela jiný tvar, jde v podstatě o „zaoblený schod“ zvýšený o ΔEV . Toto zvýšení způsobuje, že tok děr přes bariéru ve valenčním pásu je (u tohoto typu heteropřechodu) zanedbatelný ve srovnání s elektronovým tokem ve vodivostním pásu. To má velký význam, protože například u bipolárních tranzistorů s takovýmto heteropřechodem se na vedení proudu podílejí prakticky pouze elektrony, tedy nosiče náboje s vyšší pohyblivostí.


93

6.4 Průchod proudu heteropřechodem Fyzikální procesy, které nastávají při toku elektronů a děr přes heteropřechod, jsou velice různorodé a výrazně zavisejí na tom, jak konkrétně vypadá pásový diagram heteropřechodu. Pásový diagram totiž obsahuje informaci o potenciálu a intenzitě elektrického pole, v němž se nosiče náboje pohybují. Jak je vidět na Obrázek 6.4, Obrázek 6.5, Obrázek 6.7, Obrázek 6.8, pásové diagramy heteropřechodů mohou být velmi rozdílné. U heteropřechodových tranzistorů se zpravidla setkáváme s pásovým diagramem podle Obrázek 6.5 a Obrázek 6.8, ale i u tohoto jediného typu heteropřechodu se setkáváme z celou řadou různých fyzikálních procesů, které jsou znázorněny na Obrázek 6.9 . Obecně lze řici, že pro malá napětí v propustném směru se dá rovnice voltampérové charakteristiky heteropřechodu aproximovat klasickou rovnicí ( 4.24 ), pro větší napětí však už tato aproximace není příliš dobrá, což souvisí s tím, že pásový diagram heteropřechodu při napětích blízkých kontaktnímu napětí Vbi se výrazně liší od pásového diagramu homogenního přechodu pn, viz Obrázek 6.10.

Obrázek 6.9:

Mechanismy transportu elektrického náboje přes strmý heteropřechod Np.

Obrázek 6.10:

Pásový diagram strmého heteropřechodu Np pro různá bapětí v propustném směru. Napětí vzrůstá zleva doprava od nuly po kontaktní napětí Vbi .

94


6.5 Kapacita heteropřechodu Bariérová kapacita přechodu má svůj původ v existenci ochuzené vrstvy na přechodu. U heteropřechodů jsou obecně tři možnosti: (i) ochuzené vrstvy jsou po obou stranách heteropřechodu, (ii) z jedné strany heteropřechodu je ochuzená vrstva, z druhé strany vrstva obohacená, (iii) po obou stranách heteropřechodu jsou obohacené vrstvy. V případě (i), kdy jsou ochuzené vrstvy po obou stranách heteropřechodu, se dá aplikovat teorie použitá při studiu bariérové kapacity pn přechodu, viz odst. 4.5.1. Zde ovšem musíme vzít v úvahu, že ochuzené vrstvy jsou vytvořeny v různých polovodičích, lišících se permitivitou. Proto výsledná bariérová kapacita heteropřechodu je sériovým zapojením bariérové kapacity jedné a druhé ochuzené vrstvy podle rovnic ( 6.12 ), na nichž jsou úbytky napětí podle ( 6.13 ):

ε1 ε2 1 1 1 = + , C1 (U ) = S , C 2 (U ) = S C (U ) C1 (U ) C 2 (U ) x1 (U ) x 2 (U )

( 6.16 )

V případech (ii) a (iii), kdy je na heteropřechodu obohacená vrstva, je teorie složitější. Kapacita je zcela obecně definovaná jako poměr malé změny náboje a malé změny napětí, viz rovnici ( 4.45 ), takže i změna náboje akumulovaného v obohacené vrstvě přispívá ke kapacitě. Teoretické vztahy, které umožňují tento příspěvek vypočítat, se do určité míry podobají vztahům, jaké popisují kapacitu struktury MIS, o níž budeme mluvit později. Protože ve strukturách s heteropřechody se může uplatňovat i difúze minoritních nosičů náboje, vzniká i difúzní kapacita nebo obecněji difúzní admitance, podobně jako u přechodu pn. Její vliv však může být omezen, protože např. u heteropřechodů s pásovým diagramem podle Obrázek 6.5 a Obrázek 6.8, je výrazně omezen tok minoritních děr přes bariéru, viz závěr kap. 6.3.

Obrázek 6.11: Kapacita ochuzených vrstev strmého heteropřechodu Np.

6.6 Heteropřechody mezi polovodiči s odlišnou mřížkovou konstantou Na konci kap. 6.1 jsme se zmínili o tom, že existují heteropřechody mřížkově přizpůsobené a mřížkově nepřizpůsobené. V dalších odstavcích jsme jako modelový heteropřechod uvažovali AlGaAs/GaAs nebo GaAs/Ge, což jsou polovodiče, jejichž mřížková konstanta je téměř shodná. Nyní se podrobněji zmíníme o druhém typu heteropřechodů, o heteropřechodech mřížkově nepřizpůsobených, kde mřížkové konstanty polovodičů se významně liší. Jako příklad mřížkově nepřizpůsobených heteropřechodů můžeme uvést dvojice Si/SiGe, GaSb/AlGaSb, InAs/GaSb, InGaAs/GaAs, GaAs/Si, CdTe/HgCdTe. Uvažujme např. dvojici InGaAs/GaAs. Polovodič InGaAs má větší mřížkovou konstantu než GaAs. Předpokládejme, že máme dostatečně tlustou vrstvu GaAs (tzv. substrát), tloušťka vrstvy substrátu musí být taková, aby při růstu další vrstvy na něm nemohlo dojít k mechanické deformaci a


Obrázek 6.12:

95

Atomová struktura mřížkově nepřizpůsobených vrstev InGaAs a GaAs.

ke změně mřížkové konstanty. Na substrátu GaAs necháme narůstat epitaxní vrstvu InGaAs. Pokud je vrstva InGaAs dostatečně tenká, může se její krystalová mřížka přizpůsobit krystalové mřížce GaAs, viz Obrázek 6.12. Mřížková konstanta InGaAs se v rovinách rovnoběžných s rozhraním zmenší a přizpůsobí se mřížkové konstantě GaAs. Tato deformace původní krystalové struktury InGaAs způsobí, že ve vrstvě InGaAs vzniká elastické pnutí, s nímž je spojena elastická energie. Mřížkově přizpůsobené vrstvy se proto často označují jako vrstvy s pnutím (strained layers) nebo též koherentně rostlé vrstvy (coherently strained). Pokud je vrstva InGaAs tenká, je elastická energie malá a vrstva může existovat jako stabilní útvar. S rostoucí tloušťkou vrstvy se však energie elastických sil zvyšuje a při určité kritické tloušťce vrstvy InGaAs dojde k tomu, že vrstva InGaAs relaxuje k původní krystalové struktuře. Krystalografické roviny na rozhraní InGaAs/GaAs na sebe už dále plynule nenavazují, na rozhraní vznikají tzv. dislokace nesouhlasu (misfit dislocations). Při vzniku dislokací se přeruší chemické vazby, krystalová mřížka se v okolí dislokace deformuje a k tomu je opět třeba energie. Je zřejmé, že k relaxaci a ke vzniku dislokací nesouhlasu dojde, jakmile energie elastického pnutí v mřížkově přizpůsobené vrstvě InGaAs převýší energii potřebnou ke vzniku dislokací, jak je znázorněno na Obrázek 6.13

Obrázek 6.13:

K definici kritické tloušťky.

Další vlastnosti mřížkově nepřizpůsobených vrstev jsou na Obrázek 6.14 a Obrázek 6.15. Z hlediska technologie jsou významné zejména heteropřechody Si/SiGe, neboť většina mikroelektronických součástek se stále vyrábí na bázi křemíku. Z hlediska struktury se heteropřechod Si/SiGe podobá výše popsanému heteropřechodu (křemík má větší mřížkovou konstantu než SiGe).

96


Obrázek 6.14:

Závislost šířky zakázaného pásu na molárním obsahu germania ve vrstvách SiGe.

Obrázek 6.15:

Příklady pásových diagramů různých heterosktruktur SiGe.


97

6.7 Shrnutí kapitoly • Různé druhy heteropřechodů: heteropřechody typu AIIIBV, AIVBIV, heteropřechody izotypové a anizotypové, heteropřechody mřížkově přizpůsobené a nepřizpůsobené, typy heteropřechodů podle pásových diagramů, gradovaný heteropřechod. • Heteropřechod s vnějším napětím: elektrické pole v ochuzené vrstvě heteropřechodu, pásový diagram heteropřechodu s napětím v propustném a v závěrném směru, fyzikální mechanismy průchodu proudu heteropřechodem, bariérová kapacita heteropřechodu. • Heteropřechody mezi polovodiči s odlišnou mřížkovou konstantou: heteropřechody typu AIIIBV, AIVBIV, koherentně rostlá vrstva s pnutím, kritická tloušťka, mřížkové přizpůsobení, dislokace nesouhlasu.

6.8 Kontrolní otázky a příklady 1. Uveďte příklady polovodičových materiálů, které se pužívají pro výrobu heteropřechodů. 2. Které parametry polovodičů ovlivňují výsledný pásový diagram heteropřechodu? 3. Vysvětlete pojmy: heteropřechod izotypový, heteropřechod anizotypový. 4. Vysvětlete pojmy: heteropřechod mřížkově přizpůsobený a nepřizpůsobený. 5. Ovlivňuje např. obsah hliníku v polovodiči AlGaAs nebo obsah germania v polovodiči SiGe vlastnosti polovodiče? Pokud ano, uveďte nějakou vlastnost a popište, jak závisí na chemickém složení polovodiče. 6. Vysvětlete, jak vzniká heteropřechod mezi polovodiči s odlišnou mřížkovou konstantou. 7. Definujte kritickou tloušťku koherentě rostlé vrstvy. 8. Jaké jsou mechanismy transportu elektrického náboje přes heteropřechod?

98


7 Bipolární tranzistory Bipolární tranzistory jsou historicky nejstarší aktivní polovodičové součástky. První bipolární tranzistor vyvinuli pracovníci Bellových laboratoří fyzik William Shockley a inženýři John Bardeen, Walter H.Brattain v roce 1947 (poprvé byl úspěšně předveden 23. prosince 1947), jejich práce byla v roce 1956 oceněna udělením Nobelovy ceny za fyziku. (Bardeen získal později další Nobelovu cenu za příspěvek k objasnění supravodivosti), Fotografie prvního bipolárního tranzistoru a schématický řez jeho strukturou jsou na Obrázek 7.1. Základem struktury tranzistoru by krystal germania, k němuž byly připevněny dva hrotové kontakty a pod nimi se vhodným technologickým postupem vytvořily oblasti opačného typu vodivosti než měl základní krystal. Z tohoto technologického postupu jsou odvozeny názvy elektrod: báze je součástí základního polovodičového krystalu (angl. base – základ, základna), emitor vstřikuje elektrony do báze (angl. emitter od emit – vyzařovat, emitovat), kolektor zachycuje elektrony, které prošly bází (angl. collector od collect – sbírat, shromažďovat). Samotný název tranzistor (angl. transistor) je zkratkou výrazu transfer resistance, který naznačuje, že vstupní a výstupní a odpor součástky se liší. Poněkud přesnější označení bipolární tranzistor (angl. bipolar junction transistor, ve zkratce BJT) říká, že na vedení proudu se podílejí oba dva typy nosičů náboje elektrony a díry, a že základní součástí struktury tranzistoru jsou polovodičové přechody (angl. junction).

Obrázek 7.1:

První bipolární tranzistor: fotografie a schématický řez strukturou.

7.1 Struktura bipolárního tranzistoru Na Obrázek 7.2 je nakreslen příčný řez typickým křemíkovým bipolárním tranzistorem npn, s jakým se dnes setkáváme v integrovaných obvodech. Je zřejmé, že vlastní aktivní část struktury, vrstvy n+pn, je jen malou částí celé součástky. Větší část struktury tranzistoru tvoří prvky, které zajišťují propojení aktivní struktury s vnějšími kontakty, a prvky, které tranzistor izolují od ostatních součástek v integrovaném obvodu. Izolace tranzistoru od zbytku integrovaného obvodu je ve struktuře na obrázku realizována ochuzenou vrstvou závěrně polarizovaného přechodu pn, který vzniká mezi epitaxní vrstvou typu n, substrátem typu p a oblastmi p+ , které jsou difúzí vytvořeny v epitaxní vrstvě kolem celé struktury tranzistoru (ochuzená vrstva je znázorněna čárkovaně). Aby byl tento pn přechod skutečně závěrně polarizován, musí být izolační oblasti typu p+ a společně s nimi i substrát p připojeny na nejnižší


99

Příčný řez křemíkovým Obrázek 7.2: bipolárním tranzistorem npn.

Obrázek 7.3:

Příčný řez křemíkovým bipolárním tranzistorem pnp; vlevo tranzistor substrátový, vpravo laterální.

potenciál. V epitaxní vrstvě typu n se difúzí vytvoří vrstva typu p , která tvoří bázi tranzistoru, a v ní se opět difúzí nebo iontovou implantací vytvoří ostrůvek typu n+ jako emitor. Základními stavebními prvky struktury tranzistoru npn podle Obrázek 7.2 tedy jsou substrát typu p, na něm narostlá epitaxní vrstva typu n, v ní difúzí vytvořená bázová vrstva p a v ní vytvořený emitorová vrstva n+. Aby se zabránilo odsávání elektronů do elektrody báze, je tato elektroda umístěna stranou od aktivní struktury tranzistoru. Oblast kolektoru je tvořena poměrně málo dotovanou epitaxní vrstvou n. Tato vrstva by sama o sobě měla velký odpor, který by se projevil jako sériový odpor kolektoru. Proto se ve struktuře vytváří tzv. ponořená (utopená) vrstva vrstva n+, která snižuje odpor kolektoru. Aby vznikl dokonalý ohmický kontakt kolektoru, je pod kovovou elektrodou kolektoru vrstva n+, která se vytváří současně s emitorem. Při výrobě bipolárních integrovaných obvodů je základní strukturou tranzistor a na základě jeho stavebních prvků se vytvářejí další součástky integrovaného obvodu. Ukážeme to na příkladě popsaného tranzistoru npn. Na Obrázek 7.3 je nakreslen substrátový tranzistor pnp. Porovnáme-li jeho strukturu se strukturou tranzistoru npn na Obrázek 7.2, vidíme, že kolektorová oblast je tvořena substrátem typu p (odtud název struktury), epitaxní vrstva typu n tvoří bázi a do ní nadifundovaná vrstva p je emitorem. Z p;vodn9 struktury tranzistoru npn je mo6n0 odvodit i strukturu laterálního pnp transistoru. Aby co největší část děr emitovaných emitorem byla zachycena kolektorem, obklopuje oblast kolektoru zpravidla kolem dokola celý emitor. Rezistory v integrovaných obvodech se vytvářejí rovněž na základě tranzistorové struktury, jak je znázorněno na Obrázek 7.4. Rezistor je tvořen difundovanou (bázovou) vrstvou typu p, jeho průřez se může případně zmenšit vytvořením (emitorové) vrstvy n. Přechody pn ve struktuře z Obrázek 7.2 se využívají jako diody nebo napěťově závislé kapacity. Využití přechodu substrát p/epitaxní vrstva n je omezeno podmínkou, že substrát musí mít nejnižší potenciál z celé struktury kvůli izolaci. Přechod bázová vrstva p/emitorová vrstva n+ má velmi nízké průrazné napětí v závěrném směru (zpravidla 6-7 V), protože emitorová vrstva je velmi silně dopovaná. Pokud je potřeba vyrobit diodu s větším průrazným napětím, musí se použít přechod kolektor-báze, jehož průrazné napětí dosahuje řádově desítek voltů.

100


Obrázek 7.4:

Struktury rezistorů.

Princip činnosti bipolárního tranzistoru Na Obrázek 7.5 jsou nakresleny pásové diagramy bipolárního tranzistoru npn a pnp. Protože bipolární tranzistor má dva přechody pn a každý z nich může být polarizován v propustném nebo v závěrném směru, dostáváme celkem čtyři možné režimy činnosti bipolárního tranzistoru, kterým odpovídají pásové diagramy na Obrázek 7.6: režim aktivní normální, aktivní inverzní, saturační a závěrný.

Obrázek 7.5: Pásové diagramy bipolárního tranzistoru npn a pnp.

Obrázek 7.6: Pásové diagramy bipolárního tranzistoru npn pro čtyři možné režimy činnosti.

Princip činnosti bipolárního tranzistoru npn v aktivním normálním režimu a toky elektronů a děr v tranzistoru npn jsou nakresleny na Přechody emitor-báze a kolektor-báze ve struktuře bipolárního


101

tranzistoru se navzájem ovlivňují: propustně polarizovaný přechod emitor-báze vstřikuje (injektuje) do báze elektrony, které jako minoritní nosiče difundují bází ke kolektorovému přechodu a silným elektrickým polem ochuzené vrstvy závěrně polarizovaného přechodu báze-kolektor jsou extrahovány z báze do kolektoru. Část elektronů vstřiknutých do báze rekombinuje s majoritními děrami.

Princip činnosti Obrázek 7.7: bipolárního tranzistoru (aktivní normální režim, tranzistor npn).

Toky Obrázek 7.8: elektronů a děr ve struktuře tranzistoru (aktivní normální režim, tranzistor npn.

Pro činnost tranzistoru je však podstatné, aby se co největší část z elektronů vstřiknutých do báze dostala až do kolektoru. Aby taková situace nastala, musí být splněny tři podmínky: (i) Šířka báze musí být menší než difúzní délka elektronů. Tato podmínka je u moderních tranzistorů splněna s dostatečnou rezervou, neboť šířka báze bývá dokonce tak malá, že rekombinace v bázi je zanedbatelná a minoritní nosiče se bází pohybují téměř beze srážek s jinými částicemi, tedy kvazibalisticky. (ii) Kontakt báze musí být od emitorového přechodu ve struktuře tranzistoru vzdálen o

102


několikanásobek difúzní délky – aby co největší počet vstřiknutých minoritních nosičů dosáhl kolektorového přechodu a nikoli kontaktu báze. (iii) Plocha kolektorového přechodu musí být větší než plocha emitorového přechodu, aby kolektorový přechod zachytil co nejvíce minoritních nosičů, které prošlu bází. Kolektorový přechod často obklopuje celý přechod emitorový. Pro úplnost doplníme ještě jednu podmínku správné činnosti bipolárního tranzistoru: (iv) Protože od tranzistoru požadujeme velké proudové zesílení, musí být koncentrace příměsí v emitoru výrazně vyšší než koncentrace příměsí v bázi. Tato podmínka však platí jen pro transistory s homogenními přechody, u tranzistorů s heteropřechodem emitor-báze je poměr koncentrací právě opačný. Protože na přechodu emitor-báze je napětí v propustném směru, dochází rovněž ke zpětné injekci děr z báze do emitoru. Emitované díry rekombinují s elektrony jak v ochuzené vrstěv přechodu báze-emitor, tak uvnitř emitoru. Tok děr zpětně emitovaných z báze do kolektoru a tok děr, které v bázi rekombinují s elektrony, tvoří dohromady proud báze. V režimu saturačním jsou propustně polarizovány oba přechody, takže z obou přechodů jsou nosiče náboje vstřikovány do báze a tranzistorem prochází velký proud. V režimu závěrném jsou naopak oba přechody polarizovány v závěrném směru, a tranzistorem teče jen nepatrný zbytkový proud. V režimu aktivním inverzním se navzájem zamění činnost emitorového a kolektorového přechodu, kolektorový přechod vstřikuje nosiče náboje, které jsou zachycovány emitorem. Tranzistorová struktura však není pro tento druh činnosti konstruována, takže v aktivním inverzním režimu jsou vlastnosti tranzistoru (např. zesílení, injekční účinnost aj.) výrazně horší než v režimu aktivním inverzním; proto se s tímto režimem v praxi setkáme jen zcela výjimečně.

7.2 Voltampérové charakteristiky a parametry bipolárního tranzistoru Cílem této kapitoly je ukázat vztahy mezi parametry polovodičového materiálu a struktury součástky na straně jedné a elektrickými veličinami – proudy a napětími na straně druhé.

7.2.1

Jednorozměrný model bipolárního tranzistoru

V tomto odstavci cheme ukázat, jak se dají odvodit vztahy mezi napětím a proudy ve struktuře bipolárního tranzistoru a rovnice voltampérových charakteristik. Výchozí předpoklady budou obdobné jako při odvozování rovnice voltampérové charakteristiky ideálního přechodu pn v odst. 4.3.1: (i) elektrické pole je nenulové pouze v ochuzených vrstvách přechodů emitor-báze a kolektor-báze, mimo ochuzenou vrstvu se nosiče náboje pohybují pouze difúzí; (ii) nenastává generace ani rekombinace nosičů náboje v ochuzených vrstvách přechodů; (iii) tranzistor je v podmínkách nízké injekce nosičů. Budeme uvažovat zjednodušený jednorozměrný model struktury tranzistoru podle Obrázek 7.2; jeho vztah k reálné struktuře tranzistoru je znázorněn na Obrázek 7.2. Emitorový přechod vstřikuje do báze elektrony, které jako minoritní nosiče difundují přes bázi a část z nich rekombinuje – tento proces je matematicky popsán rovnicí d 2 Δn B dx

2

−

Δn B L2B

= 0 , kde Δn B = n B − n B 0

( 7.1 )

s okrajovými podmínkami ⎛ ⎞ U Δn B ( x BEp ) = n B 0 ⎜⎜ exp( BE ) − 1⎟⎟ , UT ⎝ ⎠

⎛ ⎞ U Δn B ( x BCp ) = n B 0 ⎜⎜ exp( BC ) − 1⎟⎟ UT ⎝ ⎠

( 7.2 )

V obou rovnicích je použito označení podle Obrázek 7.9. Rovnice ( 7.1 ) a ( 7.2 ) jsou zcela analogické rovnicím ( 4.6 ) a ( 4.7 ) nebo ( 4.9 ) a ( 4.10 ).


103

Jednorozměrný model bipolárního tranzistoru npn.

Obrázek 7.9:

Difúzi minoritních děr zpětně vstřiknutých z báze do emitoru popisuje rovnice d 2 Δp E dx

2

−

Δp E L2E

= 0,

kde Δp E = p E − p E 0

( 7.3 )

s okrajovými podmínkami ⎛ ⎞ U Δp E ( x BEn ) = p E 0 ⎜⎜ exp( BE ) − 1⎟⎟ , UT ⎝ ⎠

Δn E (0) = 0

( 7.4 )

V aktivním normálním režimu je sice injekce děr přes kolektorový přechod zanedbatelná, pokud ale má být model tranzistoru použitelný i pro jiné režimy, musíme uvažovat i difúzi minoritních děr v kolektoru popsanou zcela analogickou rovnicí d 2 Δp C dx

2

−

Δp C L2C

= 0,

kde ΔpC = pC − pC 0

( 7.5 )

s okrajovými podmínkami ⎛ ⎞ U Δp C ( x BCn ) = p C 0 ⎜⎜ exp( BC ) − 1⎟⎟ , UT ⎝ ⎠

Δp C ( xC ) = 0

( 7.6 )

Vyřešením rovnic ( 7.1 ) – ( 7.6 ) dostaneme průběhy koncentrace minoritních nosičů v bázi, emitoru a kolektoru tranzistoru v závislosti na napětí na emitorovém a kolektorovém přechodu. Průběhy koncentrací pro čtyři různé režimy činnosti tranzistoru jsou znázorněny na Obrázek 7.10. Jeli přechod v propustném stavu, koncentrace minoritních nosičů na okraji ochuzené vrstvy výrazně vzrůstá nad úroveň koncentrace rovnovážné. Je-li naopak přechod v závěrném stavu, koncentrace minoritních nosičů na okraji ochuzené vrstvy výrazně klesá pod úroveň rovnovážné koncentrace. Koncentrace majoritních nosičů se vlivem přiloženého napětí prakticky nemění. Proudové hustoty emitorového a kolektorového proudu se spočítají analogicky jako v případě ideálního přechodu pn v odstavci 4.3.1. Toky elektronů a děr v jednorozměrném modelu tranzistoru

104


Obrázek 7.10: Průběhy koncentrace minoritních a majoritních nosičů ve struktuře tranzistoru npn pro čtyři režimy činnosti tranzistoru.

Obrázek 7.11:

Toky elektronů a děr v jednorozměrném modelu tranzistoru.

jsou znázorněny na Obrázek 7.11. Na rozdíl od Obrázek 7.8, který znázorňoval poměry ve struktuře tranzistoru npn v aktivním normálním režimu, je na Obrázek 7.11 znázorněna i injekce minoritních elektronů z kolektorového přechodu, která je v aktivním normálním režimu zanedbatelná, ale která se musí vzít v úvahu, pokud má být model tranzistoru použitelný i pro režim saturace nebo pro režim


105

aktivní inverzní. Vztahy pro proudovou hustoty emitorového a kolektorového toku mají tedy v souladu s Obrázek 7.11 tuto strukturu: ⎛ dn ⎞ ⎛ dp ⎞ − eD E ⎜ E ⎟ j E = j n ( x BEp , U BE , U BC ) + j p ( x BEn , U BE ) = eD B ⎜ B ⎟ ⎝ dx ⎠ xBEp ⎝ dx ⎠ xBEn

( 7.7 )

= j n ( x BEp , U BE ) + j n ( x BEp , U BC ) + j p ( x BEn , U BE ) elektrony vstřikované z emitoru do báze (elektronová složka proudu emitorového přechodu)

=e

elektrony vstřikované z kolektoru do báze, které prošly bází až k emitorovému přechodu (vliv kolektorového přechodu na emitorový proud)

D B n B0 w ⎛ U coth( B )⎜⎜ exp( BE LB LB ⎝ UT

díry vstřikované z báze do emitoru (děrová složka proudu emitorového přechodu)

DB n B0 ⎞ ⎞ U D p LB ⎛ w ⎜⎜ exp( BC ) − 1⎟⎟ + e E E 0 coth( E ) − 1⎟⎟ − w UT LE LE ⎠ sinh( B ) ⎝ ⎠ LB e

⎛ ⎞ U )⎜⎜ exp( BE ) − 1⎟⎟ UT ⎝ ⎠

⎛ dp ⎞ ⎛ dn ⎞ − eDC ⎜ C ⎟ jC = j n ( x BCp , U BE , U BC ) + j p ( x BCn , U BC ) = eD B ⎜ B ⎟ ⎝ dx ⎠ xBCp ⎝ dx ⎠ xBCn

( 7.8 )

= j n ( x BCp , U BE ) + j n ( x BCp , U BC ) + j p ( x BCn , U BC ) elektrony vstřikované z emitoru do báze, které prošly bází až ke kolektorovému přechodu (vliv emitorového přechodu na kolektorový proud)

elektrony vstřikované z kolektoru do báze (elektronová složka proudu kolektorového přechodu)

díry vstřikované z báze do kolektoru (děrová složka proudu kolektorového přechodu)

D B n B0 ⎞ ⎞ D n U D p w LB ⎛ U w ⎛ ⎜ exp( BE ) − 1⎟⎟ − e B B 0 coth( B )⎜⎜ exp( BC ) − 1⎟⎟ − e C C 0 coth( C = w B ⎜⎝ UT LB LB ⎝ UT LC LC ⎠ ⎠ sinh( ) LB e

⎛ ⎞ U )⎜⎜ exp( BC ) − 1⎟⎟ UT ⎝ ⎠

Emitorový a kolektorový proud získáme v jednorozměrném modelu z odpovídajících proudových hustot prostým vynásobením plochou přechodu: • Emitorový proud tranzistoru: ⎡D n ⎞ D p w w ⎤⎛ U I E = eS ⎢ B B 0 coth( B ) + E E 0 coth( E )⎥ ⎜⎜ exp( BE ) − 1⎟⎟ LB LE LE ⎦ ⎝ UT ⎣ LB ⎠ I ESn

I ESp I ES = I ESn + I ESp … proud emitorového přechodu

− eS

DB n B0 LB

⎛ ⎞ U 1 ⎜ exp( BC ) − 1⎟⎟ w B ⎜⎝ UT ⎠ sinh( ) LB

I ECS … vliv kolektorového přechodu na emitorový proud

( 7.9 )

106


• Kolektorový proud tranzistoru: I C = eS

DB n B0 LB

⎛ ⎞ U 1 ⎜⎜ exp( BE ) − 1⎟⎟ w UT ⎠ sinh( B ) ⎝ LB

I CES … vliv emitorového přechodu na kolektorový proud ⎡D n ⎞ D p w ⎤⎛ U w − eS ⎢ B B 0 coth( B ) + C C 0 coth( C )⎥⎜⎜ exp( BC ) − 1⎟⎟ LB LC LC ⎦⎝ UT ⎠ ⎣ LB

I CSn

( 7.10 )

I CSp I CS = I CSn + I CSp … proud kolektorového přechodu

• Proud báze tranzistoru je rozdílem emitorového a kolektorového proudu:

I B = I E − IC

( 7.11 )

Pro další použití tyto rovnice přepíšeme v kompaktnější formě: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ U U I E = I ES ⎜⎜ exp( BE ) − 1⎟⎟ − I ECS ⎜⎜ exp( BC ) − 1⎟⎟ UT UT ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ proud emitorového přechodu ⎛ ⎞ U I C = I CES ⎜⎜ exp( BE ) − 1⎟⎟ − I CS UT ⎝ ⎠

vliv kolektorového přechodu

⎛ ⎞ U ⎜⎜ exp( BC ) − 1⎟⎟ UT ⎝ ⎠

( 7.12 )

vliv emitorového přechodu proud kolektorového přechodu ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ U U I B = [I ES − I CES ] ⎜⎜ exp( BE ) − 1⎟⎟ − [I CS − I ECS ] ⎜⎜ exp( BC ) − 1⎟⎟ UT UT ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

V rovnicích ( 7.9 ) – ( 7.12 ) je I ESn , I ESp elektronová a děrová složka saturačního proudu I ES emitorového přechodu, I CSn , I CSp

je elektronová a děrová složka saturačního proudu I CS

kolektorového přechodu. Proudy I ECS a I CES charakterizují vzájemné ovlivňování přechodů tranzistoru, které je vlastně podstatou jeho činnosti. I když z rovnic ( 7.9 ), ( 7.10 ) vidíme, že oba proudy jsou stejné, přesto má smysl je rozlišit, protože mají různý fyzikální původ: I ECS charakterizuje vliv kolektorového přechodu na emitorový proud, I CES vliv emitorového přechodu na kolektorový proud. Jednorozměrný fyzikální model bipolárního tranzistoru je reprezentovaný dvěma rovnicemi ( 7.9 ) a ( 7.10 ), resp. ( 7.7 ), ( 7.8 ) a dává do souvislosti parametry polovodičového materiálu (difúzní konstanty, difúzní délky a koncentrace minoritních nosičů náboje v jednotlivých částech tranzistoru), strukturní parametry součástky (v jednorozměrném modelu pouze délka kvazineutrálních oblastí emitoru, báze a kolektoru a plocha přechodu) a elektrické veličiny – napětí U BE na přechodu emitor-báze, napětí U BC na přechodu kolektor-báze a emitorový a kolektorový proud I E , I C . Jednorozměrný model tranzistoru by bylo možné nyní zpřesnit a do rovnic ( 7.7 ) – ( 7.12 ) zavést příspěvek generačně-rekombinačních procesů v ochuzených vrstvách přechodů nebo příspěvky různých fyzikálních procesů shrnout pod emisní koeficienty přechodů emitor-báze a kolektor-báze. Stejně tak bychom mohli srovnávat difúzní délku minoritních nosičů náboje v jednotlivých oblastech s délkami příslušných kvazineutrálních oblastí a rovnice zjednodušovat. Obojí bylo podrobně rozebráno v odstavcích 4.3.2 a 4.3.3 pro pn přechod a zde by se postupovalo analogicky.


Příklad 7.1:

107

Saturační proudy tranzistoru

Strukturní parametry křemíkového bipolárního tranzistoru npn (viz Obrázek 7.9) jsou: emitor: N E = 5,0.1017 cm -3 , μ E = 190 cm 2 / Vs , τ E = 1.10 −6 s , w E = 4 μm báze: N B = 5,0.1016 cm -3 , μ B = 900 cm 2 / Vs , τ B = 5.10 −7 s , w B = 3 μm kolektor: N C = 2,0.1015 cm -3 , μ C = 500 cm 2 / Vs , τ C = 1.10 −6 s , wC = 8 μm Intrinsická koncentrace křemíku ni = 1.1010 cm -3 , teplota T = 300 K , teplotní napětí U T = 25,9 mV , plocha přechodu S = 150 μm × 150 μm .Vypočtěte proudy I ESn , I ESp , I ES , I CSn , I CSp , I CS , I CES . Řešení: Nejprve vypočteme koncentrace minoritních nosičů, difúzní konstanty a difúzní délky: n2 emitor: p E 0 = i = 200 cm -3 , D E = U T μ E = 4,92 cm 2 / s , L E = D Eτ E = 22,1 μm NE báze: p B 0

ni2 = = 2000 cm -3 , D B = U T μ B = 23,3 cm 2 / s , L B = D Bτ B = 34,1 μm NB

ni2 = 50000 cm -3 , DC = U T μ C = 13,0 cm 2 / s , L E = D Eτ E = 36 μm NC Saturační proudy nyní vypočteme podle vztahů ( 7.9 ) a ( 7.10 ): I ESn = 0,062 pA , I ES = 0,063 pA , I CSn = 0,062 pA , I ESp = 0,001 pA , I CSp = 0,329 pA ,

kolektor: pC 0 =

I CS = 0,392 pA , I ECS = I CES = 0,062 pA .

7.2.2

Saturační a zbytkové proudy tranzistoru

Saturační proudy tranzistoru jsou podle rovnic ( 7.12 ) proudy I ES , I CS , I ECS , I CES . Přesné definice těchto proudů, resp. podmínky jejich měření, plynou z rovnic ( 7.12 ): vždy jde o emitorový nebo o kolektorový proud tranzistoru za podmínky, že na jednom z přechodů tranzistoru je nulové napětí (přechod nakrátko) a na druhém je napětí v závěrném směru ( ve všech následujících rovnicícj je U T teplotní napětí a vyznačená polarita napětí U BE , U BC , U CE platí pro tranzistor npn): • Saturační proud emitorového přechodu (emitorové diody): I ES = I E (U BC = 0, U BE << -3U T tj. přechod BE v závěrném směru )

( 7.13 )

• Saturační proud kolektorového přechodu (kolektorové diody):

I CS = I C (U BE = 0, U BC << -3U T tj. přechod BC v závěrném směru)

( 7.14 )

• Proud I ECS (vliv kolektorového přechodu na emitorový proud):

I ECS = I E (U BE = 0, U BC << -3U T tj. přechod BC v závěrném směru)

( 7.15 )

• Proud I CES (vliv emitorového přechodu na kolektorový proud): I CES = I C (U BC = 0, U BE << -3U T tj. přechod BE v závěrném směru )

( 7.16 )

Z praktických důvodů se však u bipolárních transistorů místo saturačních proudů častěji měří tzv. zbytkové proudy. Zbytkový proud je proud procházející uzavřeným obvodem mezi dvěma elektrodami tranzistoru při definovaném napětí mezi těmito elektrodami a za podmínky, že proud zbývající třetí elektrodou tranzistoru je nulový (zapojení naprázdno): • Zbytkový proud I CB 0 :

I CB 0 = I C ( I E = 0, U BC << -3U T tj. přechod BC v závěrném směru)

( 7.17 )

108


• Zbytkový proud I CE 0 : I CE 0 = I C ( I B = 0, U CE >> 3U T )

( 7.18 )

• Zbytkový proud I EB 0 :

I EB 0 = I E ( I C = 0, U BE << −3U T tj.přechod BE v závěrném směru)

( 7.19 )

• Zbytkový proud I EC 0 :

I EC 0 = I E ( I B = 0, U CE << −3U T )

( 7.20 )

Je užitečné si uvědomit, že podmínky uvedené v definicích ( 7.18 ) a ( 7.18 ) odpovídají aktivnímu normálnímu režimu, zatímco podmínky ze vztahů ( 7.20 ) a ( 7.20 ) aktivnímu inverznímu režimu.

7.2.3

Voltampérové charakteristiky bipolárního tranzistoru Vztahy pro emitorový a kolektorový proud bipolárního tranzistoru odvozené v odst. 7.2.1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ U U I E = I ES ⎜⎜ exp( BE ) − 1⎟⎟ − I ECS ⎜⎜ exp( BC ) − 1⎟⎟ UT UT ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ U U I C = I CES ⎜⎜ exp( BE ) − 1⎟⎟ − I CS ⎜⎜ exp( BC ) − 1⎟⎟ UT UT ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( 7.21 )

společně s dalšími dvěma vztahy pro proudy a napětí plynoucími z Kirchhoffových zákonů I E − IC − I B = 0 U CE − U BE + U BC = 0

( 7.22 )

umožňují odvodit rovnice libovolných voltampérových charakteristik bipolárního tranzistoru nebo s využitím definic ( 7.17 ) – ( 7.20 ) odvodit relace mezi saturačními a zbytkovými proudy tranzistoru.

Příklad 7.2:

Odvození rovnice výstupní charakteristiky SE

Pomocí vztahů ( 7.22 ), ( 7.22 ) odvoďte rovnici výstupní charakteristiky bipolárního tranzistoru v zapojení se společným emitorem, tj. I C = f (U CE , I B ) , kde U CE je proměnná a I B parametr. Řešení: Do první z rovnic ( 7.21 ) dosadíme za emitorový proud I E a za napětí U BC z ( 7.22 ): I C + I B = exp(

⎞ U U BE ⎛ )⎜⎜ I ES − I ECS exp(− CE ) ⎟⎟ − I ES + I ECS UT ⎝ UT ⎠

Ze získaného vztahu vypočteme napětí U BE : exp(

I + I B + I ES − I ECS U BE )= C U UT I ES − I ECS exp(− CE ) UT

Do druhé z rovnic ( 7.21 ) dosadíme za napětí U BC ze ( 7.22 ): I C = exp(

⎞ U U BE ⎛ )⎜⎜ I CES − I CS exp(− CE ) ⎟⎟ + I CS − I CES UT ⎝ UT ⎠

Nyní do této rovnice dosadíme předcházející vztah pro exp(U BE U T ) a vypočteme I C :


109

U CE )(I B I CS + I CS I ES − I ECS I CES ) UT U + exp(− CE )(I CS − I ECS ) UT

I B I CES + I CS I ES − I ECS I CES − exp(− IC =

I ES − I CES

exp( =

U CE )(I B I CES + I CS I ES − I ECS I CES ) − (I B I CS + I CS I ES − I ECS I CES ) UT U exp( CE )(I ES − I CES ) + (I CS − I ECS ) UT

( 7.23 )

V aktivním normálním režimu je obvykle U CE >> 3U T , takže exp(− U CE U T ) ≈ 0 a rovnice se zjednoduší na I I + I CS I ES − I ECS I CES I C = B CES ( 7.24 ) I ES − I CES V aktivním normálním režimu tak proud I C závisí na napětí U CE prostřednictvím napěťové závislosti saturačních proudů, které závisejí na napětí především proto, že šířka kvazineutrální oblasti báze w B se mění s přiloženým závěrným napětím na přechodu CB podle toho, jak se rozšiřuje nebo zužuje závěrná vrstva přechodu CB.

Příklad 7.3:

Vztahy mezi zbytkovými a saturačními proudy

Pomocí rovnic ( 7.21 ), ( 7.22 ) a definic ( 7.17 ) – ( 7.20 ) odvoďte vztahy mezi zbytkovými a saturačními proudy tranzistoru. Řešení: • Proud I CB 0 = I C ( I E = 0, U BC << -3U T tj. přechod BC v závěrném směru) . podmínek ze vztahu pro emitorový proud v ( 7.21 ) plyne exp(

Za

uvedených

I U BE ) − 1 = − ECS UT I ES

Tento výsledek společně s podmínkou U BC << −3U T dosadíme v ( 7.21 ) do vztahu pro kolektorový proud a dostáváme výsledek: I CB 0 = I CS −

I CES I ECS I ES

• Proud I CE 0 = I C ( I B = 0, U CE >> 3U T ) . Využijeme rovnice výstupní charakteristiky tranzistoru v zapojení SE ( 7.23 ) odvození v Příklad 7.2 a položíme I B = 0 , exp(− U CE U T ) ≈ 0 : I CE 0 =

I ES I CS − I ECS I CES I ES − I CES

• Proud I EB 0 = I E ( I C = 0, U BE << −3U T tj.přechod BE v závěrném směru ) . podmínek ze vztahu pro kolektorový proud v ( 7.21 ) plyne exp(

Za

uvedených

U BC I ) − 1 = − CES UT I CS

Tento výsledek společně s podmínkou U BE << −3U T dosadíme v ( 7.21 ) do vztahu pro emitorový proud a dostáváme výsledek:

110


I EB 0 = − I ES +

I ECS I CES I CS

• Proud I EC 0 = I E ( I B = 0, U CE << −3U T ) . Nejprve podobným způsobem jako v Příklad 7.2 odvodíme rovnici I E = f (U CE , I B ) pro emitorový proud tranzistoru U CE )(I B I ES + I ES I CS − I ECS I CES ) UT U − I ECS ) − exp( CE )(I ES − I CES ) UT

I B I ECS + I ES I CS − I ECS I CES − exp( IE =

− (I CS

U exp(− CE )(I B I ECS + I ES I CS − I ECS I CES ) − (I B I ES + I ES I CS − I ECS I CES ) UT = U − exp(− CE )(I CS − I ECS ) − (I ES − I CES ) UT

( 7.25 )

a do ní dosadíme definiční podmínky zbytkového proudu I EC 0 : I EC 0 = −

I ES I CS − I ECS I CES I CS − I ECS

Příklad 7.4:

Zbytkové proudy tranzistoru

Pro tranzistor z Příklad 7.1 vypočtěte zbytkové proudy. Řešení: Saturační proudy vypočtene v Příklad 7.1 dosadíme do vzorců odvozených v předcházejícím Příklad 7.3 a dostaneme: I CB 0 = 0,331 pA , I CE 0 = 16,97 pA , I EB 0 = 0,054 pA , I EC 0 = 0,064 pA

7.2.4

Stejnosměrné parametry bipolárního tranzistoru

V tomto a v následujících odstavcích budeme indexem F označovat veličiny, které se vztahují k aktivnímu normálnímu režimu činnosti tranzistoru (anglicky active forward mode) a indexem R veličiny, které se vztahují k aktivnímu inverznímu režimu činnosti (anglicky active reverse mode). V aktivním normálním režimu budeme předpokládat, že pro napětí na přechodech platí U BE > 3U T , U BC < −3U T , takže exp(U BE U T ) >> 1 , exp(U BC U T ) ≈ 0 a rovnice ( 7.12 ) je možné zjednodušit: I E = I ES exp(

U BE U ) + I ECS ≈ I ES exp( BE ) UT UT

I C = I CES exp(

U BE U ) + I CS ≈ I CES exp( BE ) UT UT

I B = ( I ES − I CES ) exp(

( 7.26 )

U BE U ) + I CS − I ECS ≈ ( I ES − I CES ) exp( BE ) UT UT

Vidíme, že všechny tři proudy jsou exponenciálně závislé na napětí U BE . Vlastnosti bipolárního tranzistoru v aktivním normálním režimu lze charakterizovat několika parametry, které nyní přesně definujeme a s pomocí Obrázek 7.11 vypočteme.


111

Injekční účinnost emitoru γ F je definována jako poměr proudu minoritních nosičů vstřikovaných z emitoru do báze (termín minoritní nosiče se vztahuje k bázi) a celkového proudu emitorového přechodu. Pro tranzistor npn pomocí rovnic ( 7.7 ) – ( 7.10 ) a vztahů p E 0 = ni2 N E , n B 0 = ni2 N B vyjde

γF

I ESp ⎛ I ESn = = = ⎜⎜1 + I n ( x BEp , U BE ) + I p ( x BEn , U BE ) I ESn + I ESp ⎝ I ESn I n ( x BEp , U BE )

⎛ D L p coth( w E L E ) ⎞ ⎟ = ⎜⎜1 + E B E 0 D B L E n B 0 coth( w B L B ) ⎟⎠ ⎝

−1

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−1

⎛ D L N coth( w E L E ) ⎞ ⎟ = ⎜⎜1 + E B B D B L E N E coth( w B L B ) ⎟⎠ ⎝

−1

( 7.27 )

Minoritní nosiče náboje difundují bází, menší část jich zrekombinuje a převážná část se dostává až ke kolektorovému přechodu. Tento proces je charakterizován koeficientem κ F nazývaným činitel přenosu minoritních nosičů bází (nebo transportní koeficient báze). Je to poměr proudu minoritních nosičů, které projdou přes bázi až ke kolektorovému přechodu a proudu všech minoritních nosičů, které byly vstřiknuty z emitorového přechodu do báze; pro tranzistor npn dostaneme:

κF =

I n ( x BCp , U BE ) I n ( x BEp , U BE )

=

I CES 1 = I ESn cosh (w B L B )

( 7.28 )

Proudový zesilovací činitel α F pro zapojení se společnou bází (SB) v aktivním normálním režimu je definován jako poměr rozdílu I C − I CB 0 a emitorového proudu I E . Při zapojení SB je vstupním (řídicím) proudem tranzistoru emitorový proud a výstupním proudem kolektorový proud I C V definici zesilovacího činitele α F je tedy rozdíl výstupního kolektorového proudu I C vybuzeného určitým vstupním proudem I E a kolektorového proudu I CB 0 při I E = 0 , viz definici ( 7.17 ); rozdíl I C − I CB 0 je tak proud, který je skutečně aktivně vybuzen vstupním proudem I E . Po dosazení za I C a I E ze ( 7.26 ) a za I CB 0 z Příklad 7.3 postupně vyjde:

αF

I − I CB 0 I CES ⎛ w D L N w w ⎞ = C = = ⎜⎜ cosh( B ) + E B B sinh( B ) coth( E ) ⎟⎟ IE I ES ⎝ LB DB LE N E LB LE ⎠

−1

( 7.29 )

Definice proudového zesilovacího činitele β F pro zapojení se společným emitorem (SE) v aktivním normálním režimu má obdobnou strukturu jako definice zesilovacího činitele α F , rozdíl je dán pouze tím, že vstupním proudem je tentokrát proud báze I B . Rozdíl I C − I CE 0 = I C ( při určitém I B ) − I C ( při I B = 0) , viz definici ( 7.18 ), je tak opět proud, který je skutečně aktivně vybuzen vstupním proudem:

βF

⎛ I ⎞ I − I CE 0 I CES αF = C = = = ⎜⎜ ES − 1⎟⎟ IB I ES − I CES 1 − α F ⎝ I CES ⎠

−1

⎛ ⎞ w D L N w w = ⎜⎜ cosh( B ) + E B B sinh( B ) coth( E ) − 1⎟⎟ LB DB LE N E LB LE ⎝ ⎠

⎛ 1 ⎞ = ⎜⎜ − 1⎟⎟ ⎝αF ⎠

−1

−1

( 7.30 )

Obdobné parametry je možné definovat i pro aktivní inverzní režim činnosti tranzistoru, kdy si emitor a kolektor vymění svoje funkce. V aktivním inverzním režimu budeme předpokládat, že pro napětí na přechodech platí U BE < −3U T , U BC > 3U T , takže exp(U BE U T ) ≈ 0 , exp(U BC U T ) >> 1 a rovnice ( 7.12 ) je možné zjednodušit:

112


I E = − I ES − I ECS exp( I C = − I CES − I CS exp(

U BC U ) ≈ − I ECS exp( BC ) UT UT

U BC U ) ≈ − I CS exp( BC ) UT UT

I B = −( I ES − I CES ) − ( I ECS − I CS ) exp(

( 7.31 )

U BC U ) ≈ −( I ECS − I CS ) exp( BC ) UT UT

Záporná znaménka ve všech rovnicích naznačují opačný směr proudu než v aktivním normálním režimu, což je dáno opačnou polaritou napětí na přechodech. Injekční účinnost kolektoru γ R je definována jako poměr proudu minoritních nosičů (elektronů u tranzistoru npn) vstřikovaných z kolektoru do báze a celkového proudu kolektorového přechodu. Pomocí rovnic ( 7.7 ) – ( 7.10 ) a Obrázek 7.11 odvodíme:

γR

I CSp ⎛ I CSn = = = ⎜⎜1 + I n ( x BCp , U BC ) + I p ( x BCn , U BC ) I CSn + I CSp ⎝ I CSn I n ( x BCp , U BC )

⎛ D p L coth( wC LC ) ⎞ ⎟ = ⎜⎜1 + C C 0 B D B n B 0 LC coth( w B L B ) ⎟⎠ ⎝

−1

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−1

⎛ D L N coth( wC LC ) ⎞ ⎟ = ⎜⎜1 + C B B D B LC N C coth( w B L B ) ⎟⎠ ⎝

−1

( 7.32 )

Minoritní nosiče náboje vstřiknuté kolektorem difundují bází, menší část jich zrekombinuje a větší část se dostává až k emitorovému přechodu. Tento proces je charakterizován koeficientem κ R nazývaným činitel přenosu minoritních nosičů bází (nebo transportní koeficient báze). Je to poměr proudu minoritních nosičů, které projdou přes bázi až k emitorovému přechodu a proudu všech minoritních nosičů, které byly vstřiknuty z kolektorového přechodu do báze; pro tranzistor npn pomocí rovnic ( 7.7 ) – ( 7.10 ) a Obrázek 7.11 dostaneme:

κR =

I n ( x BEp , U BC ) I n ( x BCp , U BC )

=

I ECS 1 = I CSn cosh( w B L B )

( 7.33 )

Proudový zesilovací činitel α R pro zapojení se společnou bází (SB) v aktivním inverzním režimu je definován jako poměr rozdílu I E − I EB 0 a kolektorového proudu I C , po dosazení za I C a I E ze ( 7.26 ) a za I EB 0 z Příklad 7.3 vyjde: I − I EB 0 I ECS ⎛ D L N w ⎞ w w αR = E = = ⎜⎜ coth( B ) + C B B sinh( B ) coth( C ) ⎟⎟ IC I CS LB D B LC N C LB LC ⎠ ⎝

−1

( 7.34 )

Proudový zesilovací činitel β R v aktivním inverzním režimu je definován analogicky: ⎛ I ⎞ I E − I EC 0 I ECS αR = = = ⎜⎜ CS − 1⎟⎟ IB I CS − I ECS 1 − α R ⎝ I ECS ⎠

−1

⎛ ⎞ D L N w w w = ⎜⎜ coth( B ) + C B B sinh( B ) coth( C ) − 1⎟⎟ LB D B LC N C LB LC ⎝ ⎠

−1

βR =

⎛ 1 ⎞ = ⎜⎜ − 1⎟⎟ ⎝αR ⎠

−1

( 7.35 )

Odvozené vztahy ( 7.27 ) – ( 7.30 ) a ( 7.32 ) – ( 7.35 ) se často zjednodušují tak, aby se v nich neobjevovaly hyperbolické funkce; k tomu se používá těchto aproximací: x << 1 : sinh( x) ≈ x , cosh( x) ≈ 1 +

1 2 1 x , coth( x) ≈ ; 2 x

x >> 1 : coth( x) ≈ 1

( 7.36 )


113

V učebnicích, kde se podrobně rozebírá jednorozměrný model bipolárního tranzistoru, se zpravidla předpokládá, že kontakty emitoru a kolektoru jsou velmi daleko od příslušného pn přechodu (u kolektoru je to předpoklad oprávněný, u emitoru poněkud diskutabilní, viz Obrázek 7.2) a že báze tranzistoru je velmi úzká. Tyto předpoklady vedou k následujícím nerovnostem a aproximacím: w w wE w >> 1 ⇒ coth( E ) ≈ 1 , C >> 1 ⇒ coth( C ) ≈ 1 LE LE LC LC wB w w w 1⎛w << 1 ⇒ sinh( B ) ≈ B , cosh( B ) ≈ 1 + ⎜⎜ B 2 ⎝ LB LB LB LB LB

Příklad 7.5:

2

⎞ w L ⎟⎟ , coth( B ) ≈ B LB wB ⎠

( 7.37 )

Stejnosměrné parametry tranzistoru

Pro tranzistor z Příklad 7.1 vypočtěte jeho stejnosměrné parametry v aktivním normálním a v aktivním inverzním režimu. Řešení: S využitím výsledků předcházejících příkladů bezprostředně dostaneme:

α F = 0,98 , β F = 50 , κ F = 0,996 , γ F = 0,984 , α R = 0,16 , β R = 0,18, κ R = 0,996 , γ R = 0,16 .

7.3 Shrnutí kapitoly • Struktura bipolárního tranzistoru: realizace struktury npn a pnp na čipu, tranzistor substrátový a laterální, realizace diody, rezistoru, kondenzátoru na bázi tranzistorové struktury. • Fyzikální princip činnosti tranzistoru: toky elektronů a děr, pásové diagramy, koncentrace minoritních a majoritních nosičů v různých režimech činnosti, základní ppožadavky na strukturu bipolárního tranzistoru. • Voltampérové charakteristiky a parametry bipolárního tranzistoru: emitorový a kolektorový proud – jejich složky, saturační proudy tranzistoru I ES , I CS , I ECS , I CES , zbytkové proudy tranzistoru I CB 0 , I CE 0 , I EB 0 , I EC 0 , stejnosměrné parametry tranzistoru v aktivním normálním režimu α F , β F , γ F , κ F , stejnosměrné parametry tranzistoru v aktivním inverzním režimu α R , β R , γ R , κ R .

7.4 Kontrolní otázky a příklady 1. Charakterizujte rozdílu mezi strukturou substrátového a laterálního tranzistoru. 2. Popište detailně toky elektronů a děr ve struktuře tranzistoru npn v aktivním normálním režimu. 3. Popište detailně toky elektronů a děr ve struktuře tranzistoru npn v režimu saturace. 4. Popište podrobně složky emitorového proudu, kolektorového proudu a proudu báze. 5. Definujte přesně proudový zesilovací činitel pro zapojení SE v aktivním normálním a v aktivním inverzním režimu ( β F a β R ). 6. Definujte přesně činitele přenosu minoritních nosičů bází v aktivním normálním a v aktivním inverzním režimu ( κ F a κ R ). 7. Odvoďte rovnice vstupních charakteristik tranzistoru v zapojení se společnou bází. 8. Odvoďte rovnice výstupních charakteristik tranzistoru v zapojení se společnou bází.

114


Literatura [1] Sze, S. M.: Physics of Semiconductor Devices, 2nd ed. John Wiley and Sons, 1981. [2] Sze, S. M.: High Speed Semiconductor Devices, John Wiley and Sons, 1990. [3] Sze, S. M.: Modern Semiconductor Device Physics. Wiley-Interscience, 1998. [4] Chang, C. Y., Sze, S. M.: ULSI Devices. John Wiley and Sons, 2000. [5] Singh, J.: Semiconductor Devices: An Introduction.McGraw-Hill, 1994. [6] Singh, J.: Physics of Semiconductors and Their Heterostructures. McGraw-Hill, 1993. [7] Dimitrijev, S.: Understanding Semiconductor Devices. Oxford University Press, 2000. [8] Pierret R. F.: Semiconductor Device Fundamentals. Addison-Wesley, 1996. [9] Taur, Y., Ning, T. H.: Fundamentals of Modern VLSI Devices. Cambridge University Press, 1998. [10] Mitin, V. V., Kochelap, V. A., Stroscio, M. A.: Quantum Heterostructures: Microelectronics and Optoelectronics. Cambridge University Press, 1999.

RNDr. Michal Horák, CSc. Mikroelektronické prvky a struktury

Recommend Documents