DR. GYURCSEK ISTVÁN
Rendszervizsgálat frekvencia tartományban Bode-diagramok Forrás és irodalom: http://lpsa.swarthmore.edu/Bode/Bode.html
1
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Miről lesz szó?
Bode-diagram alapfüggvények Elsőfokú P-tag, D-tag, I-tag Elsőfokú PD-tag, PI-tag Másodfokú tag Erősítés változás hatása (P-tag) Összetett függvények Páldák
2
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Bode-diagram(ok) Átviteli függvény a frekvencia függvényében logaritmikus léptékben ( http://www.youtube.com/watch?v=AD7Dg2GhXyQ )
(𝑑𝐵)
𝐴(log 𝜔) = 20 log 𝐴(log 𝜔) 𝜑(log 𝜔) = 𝐴𝑟𝑐 𝐴ҧ(log 𝜔)
𝑓𝑟𝑒𝑘𝑣. 𝑎𝑟á𝑛𝑦 3
2016.11.11..
𝐷𝐸𝐾Á𝐷
𝜔2 → log = 10 𝜔1
Példa: Mennyi az átviteli függvény értéke adott frekvencián? ഥ1 = 10𝑉 , 𝑈 ഥ2 = 𝑈 𝐴(𝑑𝐵)
7 2
+𝑗
7
𝑉 = 7 𝑒 𝑗45° 𝑉
2 𝑈2 7 = 20 log = 20 log = −3𝑑𝐵; 𝜑 = 45° 𝑈1 10 BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Alapfüggvények
Átviteli függvény gyöktényezők szorzataként alaptagok lánc kapcsolása Lehetséges „gyöktényezők” (alapfüggvények Bode-diagram „építőelemek”) P-tag, D-tag, I-tag Elsőfokú PD-tag, PI-tag
Másodfokú D-tag, I-tag
4
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Hol tartunk?
Bode-diagram alapfüggvények Elsőfokú P-tag, D-tag, I-tag Elsőfokú PD-tag, PI-tag Másodfokú tag Erősítés változás hatása (P-tag) Összetett függvények Páldák
5
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Elsőfokú P/D/I tag
…mivel ”n” egész szám, az átviteli függvény tisztán valós vagy képzetes. 𝐴(𝑑𝐵) = 20 log 𝐴0 + 20𝑛 log
𝜔 𝜔𝑡
← 𝑒𝑔𝑦𝑒𝑛𝑒𝑠
𝜔 20 log 𝐴 = 20 log 𝐴0 + 𝑛 ∙ 20 log 𝜔𝑡
6
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Példa (P-tag és D-tag)
𝐴(𝑑𝐵) = 20 log 1000 𝜔2 → 𝐴𝑧 𝑒𝑔𝑦𝑒𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑔𝑦 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑗𝑎: 𝜔 = 1; 𝐴 = 60𝑑𝐵
7
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Hol tartunk?
Bode-diagram alapfüggvények Elsőfokú P-tag, D-tag, I-tag Elsőfokú PD-tag, PI-tag Másodfokú tag Erősítés változás hatása (P-tag) Összetett függvények Páldák
8
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Elsőfokú PD/PI tag 2/1 Nehézkes megrajzolás helyett aszimptotikus közelítés!
𝜔 ≪ 𝜔𝑡 → 𝐴 𝜔 ≫ 𝜔𝑡 → 𝐴
𝜔
𝜔 = 𝜔𝑡
𝜔
=1→𝐴
𝑑𝐵
= 20 log 1 = 0𝑑𝐵
±1
→𝐴
𝑑𝐵
= ±20 log 𝜔 ∓ 20 log 𝜔𝑡 ← ±20 𝑑𝐵ൗ𝑑𝑒𝑘 𝑚𝑒𝑟𝑒𝑑𝑒𝑘𝑠é𝑔ű 𝑒𝑔𝑦𝑒𝑛𝑒𝑠
Az érintő egyenesek metszéspontja: 𝐴
𝑑𝐵
= 0, 𝐴
𝑑𝐵
= ±20 log 𝜔 ∓ 20 log 𝜔𝑡 → 𝜔 = 𝜔𝑡
A törésponti frekvencián a meredekség n=1 esetén 0-ról 20dB/dek-ra változik(felüláteresztő jelleg) n=-1 esetén 0-ról -20dB/dek-ra változik (aluláteresztő jelleg) 9
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Elsőfokú PD/PI tag 2/2
Érintő miatt a közelítési hiba
𝐴(𝑑𝐵) = 20 log 2±0,5 = ±10 log 2 = ±3𝑑𝐵
10
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Példa (PI-tag)
Bode-diagramja
11
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Hol tartunk?
Bode-diagram alapfüggvények Elsőfokú P-tag, D-tag, I-tag Elsőfokú PD-tag, PI-tag Másodfokú tag Erősítés változás hatása (P-tag) Összetett függvények Páldák
12
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Másodfokú PD/PI tag
→ 𝐴(𝑑𝐵) = ±40 log 𝜔 ∓ 40 log 𝜔𝑡 ← ±40 𝑑𝐵ൗ𝑑𝑒𝑘 𝑚𝑒𝑟𝑒𝑑𝑒𝑘𝑠é𝑔ű 𝑒𝑔𝑦𝑒𝑛𝑒𝑠 A legnagyobb eltérés az érintőktől…
13
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Példa (PI-tag) Példa
14
Bode-diagramja
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Vizsgálat MATHLAB programmal
MATHLAB program NEW, m-file menu… num=[25]; den=[1 3 25]; bode (num, den) MATHLAB: m-file –ba beírva a „numerator” (számláló) és „denominator” (nevező) együtthatói csökkenő kitevő sorrendben BODE(számláló, nevező)
15
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Hol tartunk?
Bode-diagram alapfüggvények Elsőfokú P-tag, D-tag, I-tag Elsőfokú PD-tag, PI-tag Másodfokú tag Erősítés változás hatása (P-tag) Összetett függvények Páldák
16
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Erősítés/csillapítás nagyság változása (P-tag )
(𝑑𝐵)
𝐴(𝑑𝐵) = 20 log 𝐴0 + 20 log 𝜆 = 𝐴0
+ 𝜆(𝑑𝐵)
Amplitudó „felfele” vagy „lefele” tolása X dB-vel! Fázisszög változatlan!
m1=tf([100000 10000],[1 5 400 0]); m1=tf(10*[100000 10000],[1 5 400 0]); m1=tf(100*[100000 10000],[1 5 400 0]); Bode (m1, m2, m3) Title (‘Bode Diagram’) 17
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Hol tartunk?
Bode-diagram alapfüggvények Elsőfokú P-tag, D-tag, I-tag Elsőfokú PD-tag, PI-tag Másodfokú tag Erősítés változás hatása (P-tag) Összetett függvények Páldák
18
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Összetett függvény vizsgálata (példa) 1 1. lépés: átírás ismert tényezőkre
2. lépés: 𝐴0 ቚ
𝜔=1
19
(ha van)… bal oldali érintő (𝑑𝐵)
= 25 → 𝐴0
2016.11.11..
= 20 log 25 = 28𝑑𝐵
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Összetett függvény vizsgálata (példa) 2 3. lépés: a legkisebb törésponti frekvenciájú tag szerkesztése
20
2016.11.11..
4. lépés: soron következő törésponti frekvencia…
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Összetett függvény vizsgálata (példa) 3 Legnagyobb eltérések…
= 4 → 20 log 4 = 12𝑑𝐵
21
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Ellenőrzés Mathlab programmal (példa) 4
MATHLAB program NEW, m-file menu… num=[100000 10000]; den=[1 5 400 0]; bode (num, den) Title (‘Bode Diagram’) MATHLAB: m-file –ba beírva a „numerator” (számláló) és „denominator” (nevező) együtthatói csökkenő kitevő sorrendben BODE(számláló, nevező)
22
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Hol tartunk?
Bode-diagram alapfüggvények Elsőfokú P-tag, D-tag, I-tag Elsőfokú PD-tag, PI-tag Másodfokú tag Erősítés változás hatása (P-tag) Összetett függvények Páldák
23
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Példa – elsőfokú aluláteresztő szűrő (PI-tag) Rajzoljuk meg az ábra szerinti kétkapu feszültség-átviteli függvényének Bode –diagramját!
24
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Példa – másodfokú aluláteresztő szűrő (PI-tag) Rajzoljuk meg az ábra szerinti kétkapu feszültség-átviteli függvényének Bode –diagramját!
_
25
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
Köszönöm a figyelmet!
? 26
2016.11.11..
BODE-DIAGRAMOK – DR. GYURCSEK ISTVÁN
