Idő-frekvencia transzformációk waveletek

Idő-frekvencia transzformációk – waveletek Pokol Gergő BME NTI Üzemi mérések és diagnosztika 2013. áprils 17.

Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk – waveletek

Vázlat • Alapfogalmak az idő-frekvencia síkon • Rövid idejű Fourier-transzformáció – spektrogram • Folytonos wavelet transzformáció – skálagram • Spektrogram, skálagram alkalmazások • Folytonos vagy diszkrét? • Többfelbontású analízis • Ortogonális wavelet transzformáció alapú eljárások 2

Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.


Alapfogalmak: Idő-frekvencia sík Idő-frekvencia atom • Energiasűrűség az idő-frekvencia síkon - peremeloszlások • Idő-frekvencia atom: Olyan függvény, aminek 1  2 u  t f ( t ) dt energiája időben és 2   f frekvenciában is lokalizált. 

1

2 f

 t2    2

1 f

2









 f ( ) d



2   t  u 2   

1 2 f

2

2

2

f (t ) dt

     

2

 2 f ( ) d 3



Határozatlansági reláció • Alsó korlát az idő-frekvencia atom kiterjedésére

1  t   2 • Egyenlőség Gábor-atomra (Gábor Dénes, 1946): i t  b ( t  u ) 2

f (t )  ae e

4



Heisenberg-doboz • Idő-frekvencia atom kiterjedése az idő-frekvencia síkon

5



Rövid idejű Fourier-transzformáció 1. • STFT: short-time Fourier-transform • folytonos ablakozott Fourier-transzformáció • Az idő-frekvencia atom: g u ,  e i t g (t  u ) || g ||  1

6



Rövid idejű Fourier-transzformáció 2. 

 • A transzformáció: • Invertálható, a jel teljes energiája megmarad. • Energiasűrűség-eloszlás az idő-frekvencia síkon (spektrogram): PS f (u ,  ) | Sf (u ,  ) |2 • Egyenletes lefedés: Sf (u ,  )  f , g u , 

f (t ) g (u  t )e  i t dt

7



Példa spektrogram alkalmazására Frekvencia (kHz) 8

6

4

2

0 10

20

Idő (s)

40

50

8



Wavelet definíció • Wavelet: időben jól lokalizált, nullközepű függvény.

• Komplex, analitikus wavelet: frekvenciában is jól lokalizált! Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.

9


Folytonos wavelet transzformáció 1. • CWT: continuous wavelet transform • Komplex, analitikus wavelet 1 t u  • Az idő-frekvencia atom: u ,s     s

 s 

||  ||  1

10



Folytonos wavelet transzformáció 2. 

1  t  u     dt s s  

• A transzformáció:  • Invertálható, a jel teljes energiája megmarad. • Energiasűrűség-eloszlás az idő-frekvencia síkon (skálagram): PW f (u , s ) | Wf (u , s ) |2 • Lefedés változó alakú atomokkal: Wf (u , s )  f , u , s 

f (t )

11



Példa skálagram alkalmazására Frekvencia (Hz) 7400

5300

4100

1800 830 180 7,7

7,8

7,9

Idő (s) 8,0

8,1

8,2

12



Példa skálagram alkalmazására Frekvencia (Hz)

180 830 1800 4100 5300 7400

7,7

7,8

7,9 Idő (s) 8,0

8,1

8,2

13



Példa skálagram alkalmazására Frekvencia (Hz) 1

15 - 35

50 140 830 - 1260 1300 - 2550 7500 0,0

0,5

1,0

Idő (s)

2,0

2,5

3,0

8,2

14



A két módszer összehasonlítása

15



Idő-frekvencia atomok kiválasztása • Komplex, analitikus atomok (STFT esetén automatikusan) • Az atom típusa függ a jeltől, de általában a Gábor-atom jó (Gauss-ablak, Morlet-wavelet) • Az atom paramétereit a fizikai modell határozza meg: – STFT esetén az ablakhosszt – CWT esetén a wavelet rendjét (~hullámok számát)

• A „jó” paraméterezést a fizikai kép határozza meg (lásd: lebegés)

16



Lebegés  303 Hz 300 Hz

f1=300 Hz f2=303 Hz

   1   2  1  A cos1t   A cos2t   2 A cos 2 t  cos t  2   2 







303 Hz 300 Hz

301,5 Hz

R=300

0,66 s  1,5 Hz

t

R=60

R=200 t

R=600

t


17

t


Frekvencia (kHz)

Lebegés példa 10

1

4

6

8 Idő (s) 10

12

14


18


Vibrafon

19



Vibrafon

20



Folytonos vagy diszkrét Alapvető tulajdonságok • A folytonos transzformáció: – – – –

idő-eltolás invariáns frekvencia-eltolás invariáns (vagy skálainvariáns) a transzformált értékek összefüggnek redundáns ábrázolás

• A diszkrét transzformáció (ortogonális bázissal): – – – –

nem idő-eltolás invariáns nem frekvencia-eltolás invariáns a transzformált értékek függetlenek nem redundáns ábrázolás 21



Folytonos vagy diszkrét Melyiket használjuk? • A folytonos transzformáció: – tranziens jeleknél fontos az invariancia – vizualizálásnál hasznos a sima (összefüggő) kép – az atomok szabadon választhatók

• A diszkrét transzformáció (ortogonális bázissal): – sztochasztikus stacioner jeleknél nem fontos az invariancia, további statisztikus feldolgozás esetén hasznos a függetlenség – ha a további használat előtt inverz transzformáljuk (szűrés, tömötítés) – speciális ortogonális bázisok (atomok) kellenek (keret elmélet)

• Kevert tulajdonságú transzformációk – pl. csúszóablakos FFT Üzemi mérések és diagnosztika, 2013. áprils 17.

22


Ortogonális wavelet transzformáció • FWT (fast wavelet transform), gyors wavelet transzformáció • Diszkrét transzformáció ortogonális waveletekre • Speciális wavelet-ek: keret elmélet (frame theory) – Morlet-wavelet nem jó.

• Diadikus skálázás, mintavétel:

23



Ortogonális wavelet Példa • Egy lépésben waveletekte és azokra ortogonális skálafüggvényekre bontunk (Példa: Haar-wavelet, 1909)

24



MRA (Multiresolution analysis), többfelbontású analízis

25



MRA • MRA (Multiresolution analysis), többfelbontású analízis: felbontás különböző skálaparaméterű közelítésekre és azt kiegészítő jelrészletekre Emlékeztető

26



Szűrő csoportok • Minden diszkrét waveletnek megfelel egy digitális szűrő. • Wavelet  felüláteresztő szűrő • Skálafüggvény  aluláteresztő szűrő

27



Gyors wavelet transzformáció • Analízis (dekompozíció): FWT: szűrők és lemintavételezések ciklikus alkalmazása Lemintavételezés: minden második pontot kihagyjuk

28



Gyors wavelet transzformáció • Szintézis (rekonstrukció): Az analízis inverze felmintavételezéssel, duális (tükrözött) szűrőkkel (Felmintavételezés: minden pont közé beszúrunk egy 0-t)

29



Különböző wavelet családok – – – –

Haar (legegyszerűbb) Daubechies (legtöbb eltűnő momentum adott hosszra, N/2) Symlet (hasonló a Daubechies-hez, csak szimmetrikusabb) …

db4

db8

30



FWT alapú zajszűrés • FWT  szűrés  Inverz FWT • Fontos a diszkrét ortogonális transzformáció  függetlenül megváltoztatható komponensek • Kemény küszöb: adott érték alatt elhagyjuk • Puha küszöb: adott értékkel csökkentjük az összest • Küszöb számolható különböző zajtípusokra • A wavelet kiválasztása kritikus • Hasonló elven működnek a tömörítő eljárások

31



FWT alapú tömörítés • 2D waveletek (pl. JPEG2000) • Mozgóképekben is alkalmazzák (pl. ZRLE) Piecewise-Linear Haar (PLHaar) wavelet

32



Egyéb, avagy

Mit szokás még wavelet módszerként emlegetni? • Mindent, ahol egy skálainvariáns bázis szerepet játszik: – – – – – – – –

Speciális waveletek korlátos jelekre Biortogonális waveletek Bármiféle wavelet transzformáción alapuló adatfeldolgozási eljárást Skálainvariáns bázis szerinti kifejtésen alapuló analitikus közelítő megoldásokat Skálainvariáns bázisfüggvényeket használó numerikus módszereket Skálainvarianciát kihasználó tömörítési eljárásokat Mintázatfelismerő eljárásokat ... 33



Előadás: www.reak.bme.hu/pokol

Irodalom • Stéphane Mallat: A wavelet tour of signal processing (Academic Press) • http://cas.ensmp.fr/~chaplais/wavetour_presentation/ • Alfred Mertins: Signal analysis (John Willey & Sons Ltd.) • ... 34



Wigner-Ville eloszlás 1. • Definíció:

PV f (u ,  ) 





f u  2  f * u  2 e i d



• Interferencia:

35



Wigner-Ville eloszlás 2. • Elemi idő-frekvencia atomokra pontos idő-frekvencia energiasűrűség-eloszlás • Paraméterezést nem igényel • Összetett jelre negatív értéket is felvehet  Nem értelmezhető energiasűrűség-eloszlásként • Lényeges jelkomponensek is elveszhetnek az interferenciában

36



Cohen-osztály • Interferencia csökkentése simítással:

P f (u ,  )  

 



 

PV f (u ,  ) (u ,  , u ,  )du d 

• • • •

Simító kernelt megfelelően kell megválasztani Csökken az idő-frekvencia felbontás Paraméterezést igényel Speciális esete a lineáris transzformáció (STFT, CWT), mikor az interferencia teljesen eltűnik. • Lin. tr. esetén simítás az atomok Wigner-Ville eloszlásával 37


Idő-frekvencia transzformációk waveletek

Recommend Documents