Idı-frekvencia transzformációk waveletek

Idı-frekvencia transzformációk – waveletek Pokol Gergı BME NTI Mőszaki diagnosztika 2010. április 13.

Pokol Gergı: Jelfeldolgozás wavelet alapon

Vázlat • Alapfogalmak az idı-frekvencia síkon • Rövid idejő Fourier-transzformáció – spektrogram • Folytonos wavelet transzformáció – skálagram • Spektrogram, skálagram alkalmazások • Folytonos vagy diszkrét? • Ortogonális wavelet transzformáció alapú eljárások • Példa: Wavelet koherencia skálainvariáns simítással + módusszámok mágneses szonda jeleken 2

Mőszaki diagnosztika, 2010. április 13.


Alapfogalmak: Idı-frekvencia sík Idı-frekvencia atom • Energiasőrőség az idı-frekvencia síkon - peremeloszlások • Idı-frekvencia atom: 1 +∞ 2 u = t f ( t ) dt Olyan függvény, aminek 2 ∫− ∞ f energiája idıben és +∞ frekvenciában is lokalizált ξ = 1 2 ∫ ω f) (ω ) 2 dω 2π f

σ = 2 t

σω = 2

1 f

−∞

+∞

2 ( ) t − u 2 ∫− ∞

1 2π f

+∞

2

f (t ) dt )

2 2 ( ) ω − ξ f ( ω ) dω 2 ∫− ∞


3


Határozatlansági reláció • Alsó korlát az idı-frekvencia atom kiterjedésére

1 σ tσ ω ≥ 2 • Egyenlıség Gábor-atomra: iξt − b ( t − u ) 2

f (t ) = ae e

4



Heisenberg-doboz • Idı-frekvencia atom kiterjedése az idı-frekvencia síkon

5



Rövid idejő Fourier-transzformáció 1. • STFT: short-time Fourier-transform • folytonos ablakozott Fourier-transzformáció • Az idı-frekvencia atom: gu ,ξ = eiξ t g (t − u )

|| g ||= 1

6



Rövid idejő Fourier-transzformáció 2. Sf (u , ξ ) =< f , gu ,ξ >=

+∞

f (t ) g (u − t )e − iξ t dt

∫ • A transzformáció: −∞ • Invertálható, a jel teljes energiája megmarad. • Energiasőrőség-eloszlás az idı-frekvencia síkon (spektrogram): PS f (u , ξ ) =| Sf (u , ξ ) |2 • Egyenletes lefedés:

7



Példa spektrogram alkalmazására Frekvencia (kHz) 8

6

4

2

0 10

20

Idı (s)

40

50

8



Folytonos wavelet transzformáció 1. • CWT: continuous wavelet transform • Komplex, analitikus 1 t −u   • Az idı-frekvencia atom: Ψu ,s = Ψ s

 s 

|| Ψ ||= 1

9



Folytonos wavelet transzformáció 2. +∞

1 ∗ t − u  Ψ  dt s  s 

• A transzformáció: ∫ −∞ • Invertálható, a jel teljes energiája megmarad. • Energiasőrőség-eloszlás az idı-frekvencia síkon (skálagram): PW f (u , s ) =| Wf (u , s ) |2 • Lefedés változó alakú atomokkal: Wf (u , s ) =< f , Ψu , s >=

f (t )

10



Példa skálagram alkalmazására Frekvencia (Hz) 7400

5300 4100

1800 830 180 7,7

7,8

7,9

Idı (s) 8,0

8,1

8,2

11



Példa skálagram alkalmazására Frekvencia (Hz)

180 830 1800 4100 5300 7400

7,7

7,8

7,9 Idı (s) 8,0

8,1

8,2

12



Példa skálagram alkalmazására Frekvencia (Hz) 1

15 - 35 50 140 830 - 1260 1300 - 2550 7500 0,0

0,5

1,0

Idı (s)

2,0

2,5

3,0

8,2

13



A két módszer összehasonlítása

14



Idı-frekvencia atomok kiválasztása • Komplex, analitikus atomok (STFT esetén automatikusan) • Az atom típusa függ a jeltıl, de általában a Gábor-atom jó • Az atom paramétereit a fizikai modell határozza meg: – STFT esetén az ablakhosszt – CWT esetén a hullámok számát

• A „jó” paraméterezést a fizikai kép határozza meg (lásd: lebegés)

15



Lebegés 303 Hz 300 Hz

f1=300 Hz f2=303 Hz

 ω − ω1   ω2 + ω1  A cos(ω1t ) + A cos(ω2t ) = 2 A cos 2 t  cos t  2   2 

303 Hz 300 Hz

R=300

R=600

301,5 Hz

R=200

R=60 16



Frekvencia (kHz)

Lebegés példa 10

1

4

6

8 Idı (s) 10

12

14


17


Vibrafon

18



Vibrafon

19



Folytonos vagy diszkrét Alapvetı tulajdonságok • A folytonos transzformáció: – – – –

idı-eltolás invariáns frekvencia-eltolás invariáns (vagy skálainvariáns) redundáns ábrázolás a transzformált értékek összefüggnek

• A diszkrét transzformáció (ortogonális bázissal): – – – –

nem idı-eltolás invariáns nem frekvencia-eltolás invariáns nem redundáns ábrázolás a transzformált értékek függetlenek 20



Folytonos vagy diszkrét Melyiket használjuk? • A folytonos transzformáció: – tranziens jeleknél fontos az invariancia – vizualizálásnál hasznos a sima (összefüggı) kép – az atomok szabadon választhatók

• A diszkrét transzformáció (ortogonális bázissal): – sztochasztikus stacioner jeleknél nem fontos az invariancia, további statisztikus feldolgozás esetén hasznos a függetlenség – ha a további használat elıtt inverz transzformáljuk (szőrés, tömötítés) – speciális ortogonális bázisok (atomok) kellenek (keret elmélet)

• Kevert tulajdonságú transzformációk – pl. csúszóablakos FFT Mőszaki diagnosztika, 2010. április 13.

21


Ortogonális wavelet transzformáció • FWT (fast wavelet transform), gyors wavelet transzformáció • Diszkrét transzformáció ortogonális waveletekre • Speciális wavelet-ek: keret elmélet (frame theory) – Morlet-wavelet nem jó.

• Diadikus skálázás, mintavétel:

22



Ortogonális wavelet Példa • Egy lépésben ortogonális waveletekte és skálafüggvényekre bontunk (Példa: Haar-wavelet, 1909)

23



MRA (Multiresolution analysis), sokskálás analízis

24



FWT alapú zajszőrés • FWT szőrés Inverz FWT • Fontos a diszkrét ortogonális transzformáció függetlenül megváltoztatható komponensek • Kemény küszöb: adott érték alatt elhagyjuk • Puha küszöb: adott értékkel csökkentjük az összest • Küszöb számolható különbözı zajtípusokra • A wavelet kiválasztása kritikus • Hasonló elven mőködnek a tömörítı eljárások • MATLAB: SWT De-noising 1-D, wave 25



Egyéb, avagy

Mit szokás még wavelet módszerként emlegetni? • Mindent, ahol egy skálainvariáns bázis szerepet játszik: – – – – – – – – –

Többdimenziós waveletek, képfelgolgozás: pl. JPEG2000 formátum Speciális waveletek korlátos jelekre Biortogonális waveletek Bármiféle wavelet transzformáción alapuló adatfeldolgozási eljárást Bázis szerinti kifejtésen alapuló analitikus közelítı megoldásokat Skálainvariáns bázisfüggvényeket használó numerikus módszereket Skálainvarianciát kihasználó tömörítési eljárásokat Mintázatfelismerı eljárásokat ... 26



Irodalom

• Stéphane Mallat: A wavelet tour of signal processing (Academic Press) • Alfred Mertins: Signal analysis (John Willey & Sons Ltd.) • ...

27



Példa wavelet transzformáción alapuló adatfeldolgozási eljárásra

Wavelet koherencia skálainvariáns simítással + módusszámok az ASDEXUpgrade tokamak mágneses szonda jelein 28



Folytonos wavelet koherencia skálainvariáns simítással • Hagyományos simítás: állandó magfüggvény hossz + változó idı felbontás változó számú átlagolt független mérés:

CS f , g (t , ξ ) =

t + T2

1 CS f , g (u, ξ )du = CS f , g (u ) ∗ AT (t ) ∫ T t−T 2 1, ha - T < t < T  2 2 AT (t ) =  0 különben 

• Skálázott simítás állandó számú átlagolt független mérés:

CS f , g (t , ξ ) = CS f , g (u ) ∗ Bs (t )

1, ha - sπN avr. < t < sπN avr.  Bs (t ) =   0 különben   29



Az ASDEX-Upgrade tokamak mágneses szonda győrője • Sajátmódusokat keresünk: periodikus peremfeltételt kielégítı plazmahullámok módusszámok (periódusok száma)

30



• Minden szonda jelére skálagram, minden szondapárra keresztskálagram skálázott simítással Mőszaki diagnosztika, 2010. április 13.

31


• A koherencia fölülrıl konvergál a minimum koherencia jó indikátora a globális módusoknak 32 Mőszaki diagnosztika, 2010. április 13.


(

Θ x , y (u , ξ ) = arg CS f , g (u , ξ )

)

Kereszt-fázisok a relatív szondapozíció ϕ x, y függvényében legjobban illeszkedı egyenes keresése: 2 Qm (u, ξ ) = ∑ wx , y (u , ξ )(Θ x , y (u , ξ ) − mϕ x , y ) x, y


33

Idı-frekvencia transzformációk waveletek

Recommend Documents