HIPERBOLIKUS WAVELETEK

Alkalmazott Matematikai Lapok 32 (2015), 1–39.

HIPERBOLIKUS WAVELETEK ´ MATY ´ AS ´ PROFESSZOR EMLEK ´ ERE ´ ARATO

SCHIPP FERENC

Az ut´obbi k´et ´evtizedben a wavelet-transzform´aci´ok sz´amos t´ıpus´at vezett´ek be ´es alkalmazt´ak a matematika, a term´eszet- ´es m˝ uszaki tudom´anyok k¨ ul¨onb¨oz˝o ter¨ uletein. Ezek a transzform´ aci´ ok egys´eges elvek szerint sz´armaztathat´ok, felhaszn´alva az absztrakt harmonikus anal´ızis eszk¨ozt´ar´at. Ezen az u ´ton, kiindulva az affin csoportb´ol, eljuthatunk az (affin) wavelet-transzform´ aci´ ohoz, a Heisenbergf´ele csoportb´ol a G´ abor-transzform´ aci´ ohoz. V´eve a hiperbolikus geometria egybev´ag´os´agi transzform´ aci´ oit, ezekhez hasonl´ o elvek alkalmaz´as´aval, bevezett¨ uk a hiperbolikus wavelet transzform´ aci´ ot (HWT-t). A sz´oban forg´o egybev´ag´os´agi transzform´aci´ok a Blaschke-f¨ uggv´enyekkel ´ırhat´ok le. Ezek nemcsak a komplex f¨ uggv´enytanban, hanem az ir´ any´ıt´ aselm´eletben is kit¨ untetett szerepet j´atszanak. Ennek alapj´an azt rem´elj¨ uk, hogy a HWT a jelfeldolgoz´asnak ´es a rendszerelm´eleti alkalmaz´asoknak adekv´ at eszk¨ oz´ev´e v´ alhat. Ebben a dolgozatban ´attekint´est ny´ ujtunk n´eh´any HWT-vel ¨ osszef¨ ugg˝ o eredm´enyr˝ol ´es alkalmaz´asr´ol. K¨ ul¨on is felh´ıvjuk a figyelmet a magyar matematikusok eredm´enyeire, amelyek jelent˝os´ege az ir´ any´ıt´ aselm´elet ´es a jelfeldolg´az´as ter¨ ulet´en u ´j megvil´ag´ıt´asba ker¨ ultek. A trigonometrikus Fourier-sorokra vonatkoz´o Fej´er-f´ele szumm´ aci´ o a h´aromsz¨og ablaknak megfelel˝ o jelsz˝ ur´esi elj´ar´ask´ent interpret´alhat´o. Sz´amos, Riesz Frigyes ´altal bevezetett fogalom ´es nev´ehez f˝ uz˝od˝o eredm´eny alapvet˝o szerepet j´atszik ezekben az alkalmaz´ asokban. Ezek k¨oz¨ ul a matematikusok k¨or´eben j´ ol ismert klasszikus eredm´enyein t´ ulmen˝ oen itt most csak a Hardy-terek faktoriz´aci´oj´ara, a r´ola elnevezett b´azis fogalm´ ara, valamint a nemnegat´ıv trigonometrikus polinomok el˝ o´ all´ıt´ as´ ara vonatkoz´ o eredm´enyeire utalunk, amelyek a wavelet konstrukci´ok alapvet˝ o eszk¨ ozeiv´e v´altak. A Haar Alfr´edr˝ ol elnevezett m´ert´ek, amely az absztrakt harmonikus anal´ızis egyik legfontosabb fogalma, a jelfeldolgoz´as transzform´aci´oinak le´ır´ as´ aban is n´elk¨ ul¨ ozhetetlen eszk¨oznek bizonyult. A r´ ola elnevezett rendszer, amelyet 1909-ben egy elm´eleti probl´ema tiszt´az´as´ara vezetett be, napjainkban, mint a legegyszer˝ ubb wavelet, v´alt igaz´an jelent˝oss´e. M´ıg az 1960-as ´evekben, egyfajta magyar specialit´ ask´ent, kiz´ar´olag csak a hazai egyetemi tank¨onyvek tesznek eml´ıt´est a Haar-rendszerr˝ol, addig manaps´ag szinte minden jelfeldolgoz´assal kapcsolatos tank¨ onyv t¨ obb fejezetet szentel a rendszernek. A Haar-rendszerb˝ ol kiindul´ o wavelet-transzform´aci´o mellett a G´ abor D´enes ´altal 1945-ben vizsg´ alt (ablakos) Fourier-transzform´aci´o (az´ota G´abor-transzform´aci´onak nevezett elj´ ar´ as) bizonyult a jelfeldolgoz´as egyik leghat´ekony eszk¨oz´enek. Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

2

SCHIPP FERENC

Napjainban az MTA SZTAKI-ban Bokor J´ ozsef vezet´es´evel eredm´enyesen alkalmazz´ak a racion´alis f¨ uggv´enyrendszereket ´es a hiperbolikus waveleteket az ir´any´ıt´aselm´elet ´es a jelfeldolgoz´ as probl´em´ ainak a megold´as´aban. Ezeknek a m´odszereknek a felhaszn´al´as´aval b´ıztat´ o eredm´enyek sz¨ ulettek az ELTE Numerikus Anal´ızis Tansz´eken EKG-jelek matematikai modellez´es´eben.

1. T¨ ort´ eneti ´ attekint´ es A Fourier-sorok elm´elet´enek kialakul´ asa szorosan ¨osszef¨ ugg fontos gyakorlati probl´em´akkal. M´ ar maga Fourier is egy fizik´ab´ol sz´armaz´o feladat, a h˝ovezet´es matematikai le´ır´ as´ ara dolgozta ki m´odszer´et. A matematika sz´amos fejezet´enek l´etrej¨otte ´es fejl˝ od´ese szorosan ¨ osszef¨ ugg azokkal a k´erd´esekkel, amelyek a Fourier-sorok alkalmaz´ as´ aval kapcsolatban felvet˝odtek. Ezek tiszt´az´asa, Dirichlet munk´ass´aga nyom´ an a ma is haszn´ alt f¨ uggv´enyfogalom kialakul´as´ahoz vezetett, Cantort a Fourier-sorok konvergencia halmazaival kapcsolatos vizsg´alatai inspir´ alt´ak a halmazelm´elet megalapoz´ as´ ara. Riemann a Fourier-egy¨ utthat´ok ´ertelmez´es´ehez kiterjesztette az integr´ al fogalm´ at, Lebesgue a r´ola elnevezett integr´al bevezet´es´evel a Fourier-sorok elm´elet´et gazdag´ıtotta egy ma is n´elk¨ ul¨ozhetetlen eszk¨ozzel, amely azut´ an a val´ osz´ın˝ us´egelm´elet matematikai megalapoz´as´aban is fontos szerepet j´ atszott [3], [54], [66], [78]. Az els˝o, mai szemmel n´ezve is korrekt konvergencia t´etel Dirichlet-t˝ol sz´armazik, aki 1829-ben bebizony´ıtotta, hogy a szakaszonk´ent monoton f¨ uggv´enyek Fourier-sora konvergens. M´ ar 1876-ban Du Bois Reymond munk´ass´aga r´ev´en ismert volt, hogy a Fourier-sor 2π szerint periodikus, folytonos f¨ uggv´eny eset´en is lehet divergens. A Fourier-sorok konvergenci´aj´aval kapcsolatos probl´em´ak tiszt´az´asa kapcs´ an u ´j fogalmakat ´es m´odszereket vezettek be, t¨obb u ´j fejezettel gazdag´ıtva a matematik´ at. T¨ obbek k¨ oz¨ ott a hagyom´anyos, pontonk´enti konvergencia helyett az integr´ alk¨ oz´epben val´ o konvergenci´at, a r´eszlet¨osszegek helyett azok sz´amtani k¨ ozepeinek konvergenci´ aj´ at v´eve alapul sz´amos probl´em´ara siker¨ ult v´ alaszt adni. Ezekben Riesz Frigyes ´es Fej´er Lip´ ot munk´ass´aga u ´tt¨or˝o jelleg˝ u volt [66], [78], [86]. 1.1. A Haar-rendszer M´ar a m´ ult sz´ azad elej´en a trigonometrikus rendszer mellett t¨obb, akkor kiss´e egzotikusnak t˝ un˝ o f¨ uggv´enyrendszert vezettek be, amelyek elm´eleti ´es gyakorlati jelent˝os´ege j´oval k´es˝ obb der¨ ult ki. Ezek k¨ oz¨ott is a Haar Alfr´ed ´altal defini´alt ortonorm´alt rendszer j´ atszik kit¨ untetett szerepet. Haar a r´ola elnevezett rendszert doktori ´ertekez´es´eben vezette be 1909-ben, v´alaszt adva Hilbert egy Fourier-sorok divergenci´aj´aval kapcsolatos probl´em´ aj´ ara [37]. A Du Bois Reymond-f´ele ellenp´elAlkalmazott Matematikai Lapok (2015)

HIPERBOLIKUS WAVELETEK

3

d´aval ¨osszef¨ ugg´esben Hilbert felvetette, hogy l´etezik-e olyan ortonorm´alt rendszer, amely szerint vett Fourier-sorfejt´es minden folytonos f¨ uggv´enyre minden¨ utt konvergens? A k´erd´esre Haar pozit´ıv v´ alaszt adott, bebizony´ıtva, hogy az az´ota r´ola elnevezett (hn , n ∈ N) rendszer szerinti Fourier-sor minden folytonos f¨ uggv´eny eset´en egyenletesen konvergens. Az els˝ o pillanatra mesterk´eltnek t˝ un˝o rendszer l´epcs˝os f¨ uggv´enyekb˝ ol ´all, amelyek a     1 (x ∈ [0, 1/2)) h(x) := −1 (x ∈ [1/2, 1))    0 (x ∈ [1, ∞)) alapf¨ uggv´enyb˝ol egyszer˝ u transzform´ aci´ okkal (transzl´aci´oval ´es dilat´aci´oval) sz´armaztathat´ok: h0 (x) := 1, (x ∈ [0, 1), m := 2n + k,

hm (m = 0, 1, . . . , 7)

hm (x) := 2n/2 h(2n x − k) 0 ≤ k < 2n , n ∈ N).

(1)

S2Hn f (n = 2, 3, 4)

A Haar-rendszer ortonorm´ alt az L2 := L2 [0, 1) Hilbert-t´er szok´asos skal´aris szorzat´ara n´ezve ´es az f ∈ L1 := L1 [0, 1) f¨ uggv´eny Haar-Fourier-sor´anak ∫ 1 m−1 ∑ H f := ⟨f, hk ⟩hk (m ∈ N), ⟨f, hk ⟩ := Sm f (t)hk (t) dt (k ∈ N) k=0

0

r´eszlet¨osszegei el˝o´ all´ıthat´ ok az f f¨ uggv´eny diadikus intervallumokra vett integr´ alk¨ ozepeivel: ∫ 1 (S2n f )(x) = (En f )(x) := f (t) dt |I| I (2) (x ∈ I = [k2−n , (k + 1)2−n ) ∈ In ), Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

4

SCHIPP FERENC

ahol In jel¨oli a [0, 1) intervallum 2−n hossz´ us´ag´ u diadikus r´eszintarvallumainak a halmaz´at. Innen k¨ ovetkezik, hogy b´ armely f ∈ L1 f¨ uggv´eny Haar–Fourier-sora L1 -norm´aban ´es m.m. konverg´ al az f -hez ´es folytonos f¨ uggv´eny eset´en a konvergencia egyenletes [74],[78]. A Haar-rendszer ezekben a tulajdons´agaiban alapvet˝oen k¨ ul¨onb¨ozik a trigonometrikus rendszert˝ ol. Val´osz´ın˝ us´egelm´eleti terminol´ ogi´ at haszn´ alva En a In ´altal gener´alt σ-algebr´ara vonatkoz´o felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek, tov´ abb´ a a (2) egyenl˝os´eg szerint az (S2n f , n ∈ N) r´eszszlet¨ osszegek (regul´ aris, diadikus) marting´ alt alkotnak. A Haar-rendszernek ezek a tuljdons´ agai szolg´altak a b´ azisokkal ¨ osszef¨ ugg˝ o funkcion´ alanal´ızisbeli, a marting´ alelm´eleti ´es a waveletekkel kapcsolatos vizsg´alatok kiindul´opontj´aul [14], [17], [54], [74], [82]. A lim ∥f − En f ∥Lp = 0 (f ∈ Lp := Lp [0, 1), 1 ≤ p < ∞) n→∞

egyszer˝ uen igazolhat´ o ´all´ıt´ asb´ ol k¨ ovetkezik, hogy a Haar-rendszer nemcsak az L2 p Hilbert-t´erben, hanem az L (1 ≤ p < ∞) Banach-terekben is b´azist alkot. A Haar-sorok felt´etlen (b´ armely ´atrendez´es melletti) konvergenci´aj´anak vizsg´alat´aban fontos szerepet j´ atszik az f f¨ uggv´eny Paley ´altal bevezetett ( )1/2 ∑ 2 Qf := |⟨f, hk ⟩hk | (f ∈ L1 ) k∈N

kvadratikus vari´aci´ oja. Paley bebizony´ıtotta, hogy 1 < p < ∞ eset´en az f ´es a Qf Lp -norm´ai ekvivalensek: ∥Qf ∥Lp ∼ ∥f ∥Lp (1 < p < ∞). Ennek alapj´an Marcinkiewicz megmutatta, hogy a Haar-rendszer 1 < p < ∞ eset´en felt´etlen (azaz b´armely ´atrendez´es mellett is) b´ azis az Lp t´erben [74]. A Haarrendszernek ezek a tulajdons´ agai a 60-as ´evekben, hossz´ u sz¨ unet ut´an, ism´et r´air´ any´ıtott´ak a figyelmet a rendszerre. Lengyel ´es szovjet matematikusok munk´ass´aga r´ev´en kider¨ ult, hogy a Haar-rendszer eredm´enyesen alkalmazhat´o a fukcion´alanal´ızis fontos probl´em´ ainak megold´ as´ aban ´es kit¨ untetett szerepet j´atszik a b´azisok k¨oz¨ott. P´eld´aul t¨ obbek k¨ oz¨ ott kider¨ ult, hogy Banach-terek egy t´ag oszt´aly´ara igaz a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´ as: ha a sz´ oban forg´ o Banach-t´erben a Haar-rendszer nem felt´etlen b´ azis, akkor ebben a t´erben felt´etlen b´ azis nem l´etezik. Speci´alisan az L1 t´erben nincs felt´etlen b´azis. Ezekr˝ ol az eredm´enyrekr˝ol ny´ ujt r´eszletes ´attekint´est Ciesielski [17] ´es Uljanov [82] 1985-ben a Haar eml´ekkonferenci´an tartott el˝oad´asa [75]. 1.2. A Faber–Schauder-rendszer Mivel a Haar f¨ uggv´enyek nem folytonosak, az´ert ezek nem tartoznak a C[0, 1] f¨ uggv´enyt´erhez. Faber 1910-ben a Haar-f¨ uggv´enyek integr´alj´at v´eve bevezetett Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

HIPERBOLIKUS WAVELETEK

5

egy folytonos f¨ uggv´enyekb˝ ol ´all´ o rendszert, amely norm´al´o faktort´ol eltekintve az (1)-hez hasonl´o alakban adhat´ o meg: ∫ x φ(x) := h(t) dt, φm (x) := φ(2n x − k) (3) 0 (m = 2n + k, 0 ≤ k < 2n , n, k ∈ N, x ∈ [0, ∞)). Faber megmutatta, hogy ez a rendszer b´azis a [0, 1] v´egpontjaiban elt˝ un˝o folytonos f¨ uggv´enyek C0 [0, 1] ter´en. Ezekhez hozz´ av´eve a konstans f¨ uggv´enyt ´es a 0-ban elt˝ un˝o line´aris f¨ uggv´enyt a C[0, 1] t´er egy b´ azis´at kapjuk. Megjegyezz¨ uk, hogy ezt a b´azist k´es˝obb (1927-ben) Schauder u ´jra felfedezte, ´es az´ota ezt a rendszert az irodalomban Faber–Schauder-f´ele (FS) rendszernek nevezz¨ uk. Ez a rendszer nyilv´an nem ortogon´ alis az L2 -t´er skal´ aris szorzat´ara n´ezve. A ∫ 1 [φn , hm ] := φn dhm = 0 (m ̸= n, m, n ∈ N) 0

rel´aci´o u ´gy interpret´ alhat´ o, hogy a folytonos f¨ uggv´enyekb˝ol ´all´o FS-rendszer ´es a korl´atos v´altoz´ as´ u f¨ uggv´enyekb˝ ol ´all´ o Haar-rendszer biortogon´alis. Megjegyezz¨ uk, hogy az f ∈ C0 [0, 1] f¨ uggv´eny FS-rendszer szerinti biortogon´alis sorfejt´es´enek r´eszlet¨osszegei interpol´alnak a diadikusan racion´alis pontokban [74]: (S2FnS f )(x)

:=

n 2∑ −1

[f, hk ]φk (x) = f (x) (x = j2−n , 0 ≤ j ≤ 2n , n ∈ N).

k=0

φm (m = 0, 1, . . . , 7)

S2FnS f (n = 2, 3, 4)

1.3. A Franklin-rendszer Franklin 1928-ban az FS-rendszerb˝ ol kiindulva a Gram–Schmidt-f´ele ortogonaliz´aci´os elj´ar´assal bevezetett egy (szakaszonk´ent line´aris, m´as sz´oval els˝ofok´ u spline Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

6

SCHIPP FERENC

f¨ uggv´enyekb˝ol ´all´ o) ortonorm´ alt rendszert, amelyr˝ol megmutatta, hogy nemcsak az L2 t´erben, hanem a C[0, 1]-ben is b´azis [15], [54], [74]. Az FS-f¨ uggv´enyek helyett m-edfok´ u spline f¨ uggv´enyekb˝ ol kiindulva Ciesielski [16], [17] sima ortogon´alis b´azisoknak egy sz´eles oszt´ aly´ at vezette be. Ezekkel t¨obb, Banach [2] 1932-ben megjelent k¨onyv´eben eml´ıtett fontos t´erben siker¨ ult b´azist szerkeszteni. Ezekr˝ ol Ciesielski a [17] ¨ osszefoglal´ o dolgozat´ aban ad r´eszletes ´attekint´est. Bockarjev [5] bebizony´ıtotta a Paley-f´ele egyenl˝ otlens´eg megfelel˝oj´et a Franklin-rendszerre, k¨ovetkez´esk´eppen kider¨ ult, hogy 1 < p < ∞ eset´en a Franklin-rendszer is felt´etlen b´azist alkot az Lp -terekben. Ciesielski, Simon P´eter ´es Sj¨ olin megmutatt´ak, ∑∞ ∑∞ hogy a k=0 ak hk Haar-sor ´es a k=0 ak fk Franklin-sor Lp -norm´aban ekvikonvergens, ha 1 < p < ∞, m´ as sz´oval a sz´ oban forg´o rendszerek ekvivalens b´ azisok az Lp (1 < p < ∞) terekben [18] . Ez volt az els˝o nem trivi´alis p´elda ekvivalens b´azisokra. Ezekr˝ ol tov´ abbi inform´ aci´ ot ny´ ujt a [74] k¨onyv 5. fejezete. 1.4. A Rademacher- ´ es a Walsh-rendszer A m´ ult sz´azad elej´en a Haar-rendszer mellett k´et tov´abbi egzotikus rendszert vezettek be, amelyek szoros kapcsolatban ´allnak a Haar-rendszerrel. Rademacher 1922-ben az   1 (x ∈ [0, 1/2)) r(x) := , r(x + 1) = r(x) (x ≥ 0) −1 (x ∈ [1/2, 1)) 1 szerint periodikus f¨ uggv´enyb˝ ol kiindulva defini´alta az az´ota r´ola elnevezett rn (x) := r(2n x)

(x ∈ [0, 1), n ∈ N)

rendszert, amely a f¨ uggv´enysorok konvergencia probl´em´ainak tiszt´az´as´aban j´atszott fontos szerepet [1], [74], [78]. Rademacher ´es Kolmogorov megmutatt´ak, ∑∞ akkor ´es csak akkor konverg´al majdnem minhogy a n=0 cn rn Rademacher-sor ∑∞ den¨ utt, ha teljes¨ ul a n=0 |cn |2 < ∞ egy¨ utthat´o felt´etel. A Rademacher-rendszer hasznos modellnek bizonyult sztochasztikusan f¨ uggetlen f¨ uggv´enyrendszerek vizsg´alat´aban. A f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okb´ol alkotott sorok konvergenci´aj´aval kapcsolatos h´arom-sor t´etelnek az eml´ıtett Rademacher–Kolmogorov-f´ele t´etel volt a kiindul´o pontja. 1923-ban Walsh olyan 1, −1 ´ert´ek˝ u f¨ uggv´enyekb˝ol ´all´o rendszert vezetett be a [0, 1) intervallumon, amelyre a t2n (x) := cos(2πnx), t2n+1 (x) := sin(2πnx) trigonometrikus rendszerhez hasonl´ oan, az n-edik f¨ uggv´eny el˝ojelv´alt´asainak sz´ama n. A rekurzi´oval defini´ alt rendszer kezel´ese neh´ezkesnek bizonyult. Paley 1932-ben ´eszrevette, hogy a Walsh-rendszer (az eredetit˝ol elt´er˝o sorrendben) a Rademecher-rendszerb˝ ol sz´ armaztathat´o, v´eve a Rademacher-f¨ uggv´enyek at. Ezek fel´ır´ as´ahoz, kiindulva az n ∈ N sz´am 2-es ¨osszes lehets´eges v´eges szorzat´ Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

7

HIPERBOLIKUS WAVELETEK

A Rademacher-rendszer: rn (n = 0, 1, . . . , 7)

Az eredeti Walsh-rendszer a trigonometrikus rendszer el˝ojelv´alt´asait ut´anozza sz´amrendszerbeli el˝ o´ all´ıt´ as´ ab´ ol, k´epezz¨ uk a wn :=

∏ nj =1

rj =

∞ ∏ j=0

n rj j ,

n=

∞ ∑

nj 2 j ∈ N

(nj = 0, 1)

(4)

j=0

f¨ uggv´enyrendszert, amely sorrendt˝ ol eltekintve megegyezik a Walsh ´altal bevezetett rendszerrel, ´es w2k = rk (k ∈ N). A (wn , n ∈ N) rendszert Walsh–PaleyAlkalmazott Matematikai Lapok (2015)

8

SCHIPP FERENC

rendszernek nevezz¨ uk ´es egyszer˝ u indextranszform´aci´oval sz´armaztathat´o az eredeti Walsh-rendszerb˝ ol [74]. A fenti el˝ o´ all´ıt´ asb´ol kiidulva ´es az Alexits Gy¨ orgy [l] ´altal bevezetett sz´ ohaszn´ alattal ´elve azt mondjuk, hogy a Walsh–Paley-rendszer a Rademacher-rendszer szorzatrendszere. Tov´ abbi, matematikat¨ort´eneti vonatkoz´asokkal kapcsolatban utalunk a [69] dolgozatra.

A Walsh–Paley-f´ele rendszer Az rk (x) ´es a wn (x) f¨ uggv´eny´ert´ekek k¨ ozvetlen¨ ul kifejezhet˝ok az x=

∞ ∑

xk 2−k−1 ∈ [0, 1),

xk = 0, 1

k=0

sz´am bin´aris jegyeivel: rk (x) = (−1)xk ,

∑∞

wn (x) = (−1)

k=0

nk xk

,

k¨ovetkez´esk´eppen ezek a rendszerek hat´ekonyabban alkalmazhat´ok a digit´alis technik´aban, mint a hagyom´ anyos trigonometrikus rendszer. Ez a lehet˝os´eg az 1960-as ´evekt˝ol kezd˝od˝oen felkeltette az ´atviteltechnik´aban dolgoz´o m´ern¨ok¨ok figyelm´et, hozz´aj´arulva a sz´ oban forg´ o rendszer elterjed´es´ehez. Ezzel kapcsolatban utalunk Harmuth [38], [39] k¨ onyveire, valamint a [80] interj´ u k¨otetre. Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

HIPERBOLIKUS WAVELETEK

A Haar- ´es a Walsh-rendszer az [ ]2n −1 n n ankℓ ∈ R2 ×2 ,

9

ankℓ := 2−n/2 wℓ (k2−n )

k,ℓ=0

ortogon´alis m´atrix-transzform´ aci´ oval ´atvihet˝ o egym´asba: h2n +k (x) = 2−n/2 rn (x)

n−1 ∏(

) 1 + rj (k2−n )rj (x) =

j=0

=

n 2∑ −1

ankℓ w2n +ℓ (x)

(0 ≤ k, ℓ < 2n , x ∈ [0, 1)).

ℓ=0

A sz´oban forg´ o h´ arom rendszer kapcsolata mint´aul szolg´al j´ol haszn´alhat´o ortogon´alis rendszerek szerkeszt´es´ere. Nevezetesen a Rademacher-rendszer helyett egy standartiz´alt marting´ al-differencia sorozatot, a Walsh-rendszer helyett a maring´aldifferencia sorozat szorzatrendszer´et v´eve ortogon´alis rendszereknek egy t´ag oszt´aly´at k´epezhetj¨ uk. A Haar- ´es a Walsh-rendszer eml´ıtett kapcsolata mint´aul szolg´alhat Haar-t´ıpus´ u rendszerek konstrukci´ oj´ ahoz, tov´abb´a hat´ekony algoritmusok szerkeszthet˝ok a Fourier-egy¨ utthat´ ok kisz´ am´ıt´as´ara. A [9] dolgozatban racion´alis marting´al differenci´ akb´ ol szerkesztett¨ unk szorzatrendszereket ´es hat´ekony algoritmusokat a Fourier-anal´ızisre ´es szint´ezisre. Ezekkel a konstrukci´okkal az 5. fejezetben foglalkozunk r´eszletesebben. 1.5. Waveletek A Haar- ´es a Faber–Schauder-rendszer egyetlen f¨ uggv´enyb˝ol kiindulva dilat´aci´oval ´es transzl´aci´ oval sz´ armaztathat´ o. A Haar-f¨ uggv´enyek azonban nem folytonosak (nincsenek a C[0, 1]-ben), az´ert sima f¨ uggv´enyek j´o k¨ozel´ıt´es´ere nem alkalmasak. Ciesielski a Haar-f¨ uggv´enyek t¨ obbsz¨ ori integr´al´as´aval ´es ortogonaliz´aci´os elj´ar´assal ´all´ıtott el˝ o sima, j´ o approxim´ aci´ os tulajdons´ag´ u ortogon´alis rendszereket [16]. Az 1980-as ´evekt˝ ol kezd˝ od˝oen Y. Meyer, I. Daubechies [20], [53], [54] stb. munk´ass´aga nyom´ an egyre t¨ obben foglalkoztak ( ) ψn,k (x) = 2n/2 ψ(2n x − k) x ∈ R, k, n ∈ Z, ψ ∈ L2 (R), ∥ψ∥2 = 1 alak´ u ortonorm´alt rendszerek, u ´n. waveletek konstrukci´oj´aval. Ilyen rendszerek szerkeszt´ese a Haar-rendszert kiv´eve neh´ez feladat, ´es a konstrukci´oban a ψ alapf¨ uggv´eny (anyawavelet) helyett annak ψb Fourier-transzform´aci´oj´ab´ol szok´as kiindulni. Annak ellen´ere, hogy a ψ ´ altal´ aban nem adhat´o meg explicit alakban, a wavelet Fourier-sorok j´o konvergencia ´es approxim´aci´os tulajdons´agokkal rendelkeznek, a sorfejt´es r´eszlet¨ osszegeinek magf¨ uggv´enyei j´ol becs¨ ulhet˝ok, ´es a wavelet Fourier-egy¨ utthat´ ok hat´ekony algoritmussal sz´am´ıthat´ok. Az alkalmaz´asokban k¨ ul¨ on¨ osen a sima, kompakt tart´ oj´ u waveletek bizonyultak hasznosnak. A k´et felt´etel egym´ as ellen hat: min´el r¨ovidebb a wavelet tart´oja, Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

10

SCHIPP FERENC

ann´al kisebb a simas´ ag´ at jellemz˝ o H¨ older-kitev˝o. Elterjedten haszn´alj´ak a Daubechies ´altal bevezetett, az N = 2, 3, . . . param´etert˝ol f¨ ugg˝o N ψ waveleteket [20]. A N ψ tart´oj´anak hossza 2N − 1, H¨ older-kitev˝oje nagy N eset´en aszimptotikusan egyenl˝o 0, 2075 N -nel. A ψ =N ψ u ´n. anyawavelet a φ =N φ sk´al´az´asi f¨ uggv´enyb˝ol sz´armaztathat´o: 2N −1 ∑ ψ(x) = (−1)j+1 cj φ(2x + 2N − j), j=0

ahol a cj egy¨ utthat´ ok a waveletet meghat´ aroz´o sz´amok. A φ f¨ uggv´eny kiel´eg´ıti a

φ(x) =

2N −1 ∑

cj φ(2x − j)

j=0

u ´n. sk´al´az´asi egyenletet, amely alapj´ an a φ meghat´arozhat´o. Az al´abbi ´abr´akon N = 2 ´es 6 eset´en szeml´eltetj¨ uk a Daubechies-f´ele sk´al´az´asi f¨ uggv´enyt ´es waveletet.

A Daubechies-f´ele φ sk´ al´ az´ asi f¨ uggv´eny ´es ψ wavelet: N = 2

Az ortogon´alis wavelet-rendszerek mellett ilyen t´ıpus´ u biortogon´alis rendszereket ´es Riesz-b´ azisokat is haszn´ alnak. Ezek k¨ ul¨on¨osen alkalmasak jelek hat´ekony reprezent´aci´oj´ ara, rekonstrukci´ oj´ ara ´es t¨om¨or´ıt´es´ere. Megmutatt´ak, hogy a Franklin-rendszerhez hasonl´ oan az ortogon´ alis waveletek egy t´ag oszt´alya felt´etlen b´azist alkot az Lp -terekben [53].

Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

HIPERBOLIKUS WAVELETEK

11

A Daubechies-f´ele sk´ al´ az´ asi f¨ uggv´eny ´es wavelet: N = 6 1.6. Hardy-terek Az alkalmaz´ asokban az Lp -terek mellett a D := {z ∈ C : |z| < 1} diszken ´ertelmezett analitikus f¨ uggv´enyek A halmaza ´es az ezekkel ¨osszef¨ ugg˝o Banachterek j´atszanak kit¨ untetett szerepet. Riesz Frigyes egy 1923-ban ´ırt dolgozat´aban [67] az f ∈ A f¨ uggv´eny 0 < r < 1 sugar´ u k¨ orre vonatkoz´o lesz˝ uk´ıt´es´enek v´eve az ( ∥fr ∥p :=

1 2π

∫

2π

)1/p |f (re )| dt it

p

(0 < p < ∞)

0

integr´alk¨ozepeit, bevezette azoknak az A-beli f¨ uggv´enyeknek az oszt´aly´at, amelyekre sup0
lek´epez´es norma, ha 1 ≤ p ≤ ∞ ´es kv´ azinorma, ha 0 < p < 1, tov´abb´a a Hp t´er ezekre n´ezve teljes. Ismeretes, hogy f ∈ Hp (p > 0) eset´en m.m. t ∈ R pontban l´etezik az f (eit ) := limr→1 f (reit ) peremf¨ uggv´eny, tov´abb´a f a T := {z ∈ C : |z| = 1} peremen az Lp (T) f¨ uggv´enyt´erhez tartozik, ´es ∥f ∥H p = ∥f ∥Lp (T) [21], [35], [55], [86]. A D diszken analitikus ´es ennek lez´ ar´ as´an folytonos f¨ uggv´enyek oszt´aly´at diszk algebr´ anak nevezz¨ uk ´es az A(D) szimb´ olummal jel¨olj¨ uk. A Haar-rendszert a [0, 1) intervallum helyett a T-n v´eve, ´es onnan analitikusan kiterjesztve a D-re a Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

12

SCHIPP FERENC

Hp (D) (1 ≤ p < ∞) tereknek egy b´ azis´ at kapjuk. Banach a [2] monogr´afi´aban a diszk algebr´at is felsorolta azok k¨ oz¨ ott a (szepar´abilis) terek k¨oz¨ott, amelyekr˝ol nem tudt´ak, hogy van-e b´azisuk. Erre a hossz´ u ideig nyitott k´erd´esre Bockarev [5] adott pozit´ıv v´alaszt, a Franklin-rendszerb˝ ol kiindulva b´azist szerkesztve az A(D) t´eren. Ez a konstrukci´ o waveletekre is ´atvihet˝o [53]. 1.7. Diszkr´ et id˝ oinvari´ ans rendszerek A Hardy-tereket nemcsak a komplex f¨ uggv´enytanban ´es a Fourier-sorok elm´elet´eben haszn´alj´ ak sz´elesk¨ or˝ uen, hanem az 1960 -as ´evek ´ota kider¨ ult, hogy a Banach-tereknek ez az oszt´ alya (els˝ osorban a H2 (D) ´es a H∞ (D) t´er) az ir´any´ıt´aselm´eleti feladatok matematikai modellez´es´enek ´es az oper´atorelm´eletnek is adekv´at eszk¨ozei [43], [68], [79]. Az ir´any´ıt´aselm´eletben a legegyszer˝ ubb diszkr´et rendszerek T : ℓ2 → ℓ2 t´ıpus´ u korl´atos, line´aris oper´ atorokkal ´ırhat´ ok le: ) ( y = T (u) u = (un , n ∈ N), y = (yn , n ∈ N) ∈ ℓ2 . ∑ Az u, y ∈ ℓ2 sorozatokat (input, output) jeleknek, az ∥u∥2 := ( n∈N |un |2 )1/2 norm´at az u jel energi´ aj´ anak nevezz¨ uk. Az (un , n ∈ N) sorozat n index´et diszkr´et id˝ok´ent szok´as interpret´ alni. Az u ´n. diszkr´et, kauz´ alis, id˝ oinvari´ ans (angolul: discrete linear causal and time invariant (LTI) systems) rendszerek konvol´ uci´os oper´atorokkal ´ırhat´ ok le: y = Ta u := a ∗ u,

yn = (a ∗ u)n := un a0 + un−1 a1 + · · · + u0 an

Az u → U,

U (z) :=

∑

un z n

(n ∈ N).

(z ∈ D)

n∈N

lek´epez´es izometrikus izomorfia az ℓ2 ´es a H2 (D) Hardy-t´er k¨oz¨ott. A rendszert gener´al´o a sorozatnak megfelel˝ o ∑ A(z) := an z n (z ∈ D) n∈N

f¨ uggv´enyt a Ta rendszer ´ atviteli f¨ uggv´eny´enek nevezz¨ uk. Az ℓ2 ´es a H2 (D) sz´oban forg´o izometri´aj´ aban az u → Ta u oper´ atornak az ´atviteli f¨ uggv´ennyel val´o szorz´as U → AU oper´atora felel meg. Ez ut´ obbi H2 (D) → H2 (D) oper´ator akkor ´es csak akkor korl´atos, ha A ∈ H∞ (D) ´es norm´ aja ∥A∥H ∞ , azaz ∥Ta ∥ℓ2 →ℓ2 = ∥A∥H ∞ , tov´abb´a a Ta → A lek´epez´es izomorfizmus az LTI-rendszerek oszt´alya ´es a H∞ (D) t´er k¨oz¨ott [43]. Ezek alapj´an nyilv´ anval´ o a Hardy-terek jelent˝os´ege a rendszerelm´elet matematikai modellez´es´eben. Innen k¨ ovetkezik, hogy ha a rendszereket gener´ al´o ´atviteli f¨ uggv´enyek H ∞ -norm´ aban k¨ ozel vannak egym´ashoz, akkor ugyanazon Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

HIPERBOLIKUS WAVELETEK

13

bemenet eset´en a kimenetek is kicsit t´ernek el egym´ast´ol. M´as sz´oval a sz´oban forg´o rendszerek k¨ozel´ıt´es´enek probl´em´ aja az ´atviteli f¨ uggv´enyek H ∞ -norm´aban val´o approxim´aci´oj´anak k´erd´es´ere vezethet˝ o vissza. K´ezenfekv˝o e c´elb´ol a diszkalgebra valamely ortogon´ alis b´ azis´ at ´es az e szerinti Fourier-sorfejt´es r´eszlet¨osszegeit v´alasztani. A probl´ema neh´ezs´eg´et j´ol mutatja, hogy csak 1974-ben Bockarjev [5] munk´ ass´ag´anak k¨osz¨ onhet˝ oen der¨ ult ki, hogy az A(D) diszkalgebr´aban l´etezik ilyen b´azis. A [6] dolgozatban ezt a b´ azist haszn´ altuk rendszerek k¨ozel´ıt´es´ere. Az´ota t¨ obbek k¨oz¨ott waveletekkel kapcsolatban is sz¨ ulettek approxim´aci´os elj´ar´asok a diszkalgebr´an [53], [73]. A Ta : ℓ2 → ℓ2 oper´ ator unit´er, m´ as sz´ oval a rendszerre ´erv´enyes az energiamegmarad´as, ha ∥Ta u∥ℓ2 = ∥u∥ℓ2 (u ∈ ℓ2 ). Ez azzal ekvivalens, hogy az A ´atviteli f¨ uggv´enyre minden U ∈ H2 (D) eset´en ∥U ∥L2 (T) = ∥AU ∥L2 (T) teljes¨ ul. Innen k¨ovetkezik, hogy a Ta oper´ ator akkor ´es csak akkor unit´er, ha az A ´atviteli f¨ uggv´eny´ere fenn´ all a k¨ ovetkez˝ o: ( it ) A e = 1 (m. m. t ∈ [0, 2π)). A ∈ H∞ (D), (5) Az (5) felt´etelnek eleget tev˝ o f¨ uggv´enyeket bels˝ o f¨ uggv´enyeknek nevezz¨ uk. Ennek alapj´an azok az LTI-rendszerek, amelyekre ´erv´enyes az energiamegmarad´as t¨orv´enye a H∞ (D) bels˝ o f¨ uggv´enyeivel ´ırhat´ ok le. K¨onnyen verifik´ alhat´ o, hogy a b ∈ D ´es ϵ ∈ T param´etereket tartalmaz´o Bb (z) := ϵ

z−b 1 − bz

(z ∈ C, b = (b, ϵ) ∈ B := D × T)

f¨ uggv´enyek D → D ´es T → T bijekci´ ok, k¨ ovetkez´esk´eppen bels˝o f¨ uggv´enyek. Ezek v´eges szorzatai is nyilv´ anval´ oan bels˝ o f¨ uggv´enyek. Az LTI-rendszereket az xn (n ∈ N) visszacsatolt jel beiktat´as´aval gyakran az xn+1 = pxn + qun yn = rxn + sun (x0 = 0, n ∈ N)

(6)

rekurzi´oval ´ırj´ak le, ahol p, q, r, s a rendszer param´eterei. Egyszer˝ u sz´amol´assal ad´odik, hogy a (6) rendszer ´atviteli f¨ uggv´enye p = b, q = ϵ(1−|b|2 ), r = 1, s = −ϵb eset´en a Bb Blaschke-f¨ uggv´eny. Blaschke a [4] dolgozat´ aban megmutatta, hogy ha a bn ∈ D (n ∈ N) sorozatra teljes¨ ul az az´ota r´ ola elnevezett ∑ (1 − |bn |) < ∞ n∈N

felt´etel, akkor az ϵn := −bn /|bn | (bn ̸= 0), ϵn = 1 (bn = 0) v´alaszt´as eset´en a B(z) :=

∞ ∏

Bbn (z) (z ∈ D)

n=0

Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

14

SCHIPP FERENC

v´egtelen szorzat a D minden kompakt r´eszhalmaz´an egyenletesen konvergens ´es B ∈ H∞ bels˝o f¨ uggv´eny. A Bb -tBlaschke-f¨ uggv´enynek, a B-t Blaschke-szorzatnak nevezz¨ uk. A b ∈ D sz´ am a Bb f¨ uggv´eny z´erushelye, a b∗ := 1/b sz´ am, a b egy´egk¨orre vonatkoz´o inverzk´epe (t¨ uk¨ ork´epe), a Bb f¨ uggv´eny p´olusa. Innen k¨ovetkezik, hogy a B Blaschke-szorzatnak pontosan a bn sz´ amok a gy¨okei, m´eghozz´a azzal a multiplicit´assal, ah´anyszor a (bk , k ∈ N) sorozatban el˝ofordulnak. Megford´ıtva, ismeretes [76], hogy b´armely f ∈ Hp (D) (p > 0) f¨ uggv´eny z´erushelyei kiel´eg´ıtik a Blaschkef´ele felt´etelt. Az ezekkel szerkesztett B Blaschke-szorzat tartalmazza az f z´erushelyeit, ´es ezzel az f fel´ırhat´ o f = Bg alakban, ahol a g ∈ Hp (D) f¨ uggv´eny nem t˝ unik el a D-n ´es ∥f ∥H p = ∥g∥H p . Ez a felbont´as egy 1 abszol´ ut ´ert´ek˝ u faktort´ol eltekintve egy´ertelm˝ u [67]. A tov´ abbi r´eszleteket illet˝oen M´oricz Ferenc [55] kit˝ un˝o magyar nyelv˝ u tank¨ onyv´ere utalunk. 1.8. Malmquist–Takenaka-rendszerek A Blaschke-f¨ uggv´enyeket felhaszn´ alva 1925-ben Malmquist [52] ´es Takenaka [81] egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul bevezett´ek racion´alis f¨ uggv´enyekb˝ol ´all´o ortogon´alis rendszereknek egy igen t´ ag oszt´ aly´ at a H2 (D) t´eren. Ezeket az´ota Malmquist– Takenaka (MT)-rendszereknek nevezz¨ uk. Ezek a rendszerek tetsz˝oleges bn ∈ D (n ∈ N) sorozattal gener´ alhat´ ok ´es fel´ırhat´ ok a k¨ovetkez˝o explicit alakban: √ n−1 ( ) 1 − |bn |2 ∏ Φn (z) := Bbk (z) z ∈ D := D ∪ T, Bbk := B(bk ,1) , k ∈ N . 1 − bn z k=0 Ismeretes, hogy a Blaschke-f´ele felt´etel ellentettje (amit az irodalomban Sz´ asz-f´ele felt´etelnek is neveznek [68]) sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges ahhoz, hogy az MT-rendszer teljes legyen a Hp (D) (1 ≤ p < ∞) Hardy-terekben ´es a diszkalgebr´an. Megjegyezz¨ uk, hogy a hatv´ anyf¨ uggv´enyek (a trigonometrikus f¨ uggv´enyek a T-n) az MT-rendszerb˝ol az bn = 0 (n ∈ N) v´ alaszt´assal kaphat´ok. M´ıg a fizikai alkalmaz´asokban haszn´ alt klasszikus ortogon´ alis rendszerek [77] (a Jacobi-, Csebisev-, Laguerre- stb. rendszerek) legfeljebb egy-k´et param´etert tartalmaznak, addig az MT-rendszerekben v´egtelen sok param´etert v´ alaszthatunk meg szabadon. Ez lehet˝ ov´e teszi, hogy az adott feladathoz (rendszerhez) bizonyos szempontok szerint optim´alis param´etereket v´ alasszunk. A rendszerelm´elettel foglalkoz´ok az 1960-as ´evekt˝ol kezd˝od˝oen felismert´ek annak az el˝ ony´et, hogy a trigonometrikus rendszer helyett az egy vagy k´et param´etert tartalmaz´ o speci´alis MT-rendszereket haszn´alj´ ak. A bn := b, n ∈ N konstans sorozatnak megfelel˝o √ ( ) 1 − |b|2 n b Ln (z) := Bb (z) z ∈ D, n ∈ N 1 − bz MT-rendszert diszkr´et Laguerre-rendszernek nevezik. Az elnevez´est az indokolja, hogy a [0, ∞) intervallumon ´ertelmezett, az elm´eleti fizik´aban fontos szerepet Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

HIPERBOLIKUS WAVELETEK

15

j´ atsz´o Laguerre-f¨ uggv´enyek a diszkr´et Laguerre-rendszerb˝ol Fourier-transzform´aci´oval sz´armaztathat´ ok. A b2n = b, b2n+1 = b (n ∈ N) speci´alis MT-rendszert Kautz vezette be LTI-rendszerek reprezent´ aci´oj´ara. Az MT-rendszerek ir´any´ıt´aselm´eleti alkalmaz´asair´ ol a [43] k¨ onyvben kaphatunk r´eszletes ´attekint´est. Az MTsorfejt´esek diszkretiz´ aci´ oj´ aval ´es ezek alkalmaz´asaival (t¨obbek k¨oz¨ott az EKGg¨orb´ek egyszer˝ u reprezent´ aci´ oj´ aval) az 5. fejezetben foglalkozunk. 1.9. Marting´ al Hardy-terek A Hardy-t´er fogalm´ anak marting´ alokra val´o kiterjeszt´ese mind a val´osz´ın˝ us´egelm´eletben, mind a Fourier-anal´ızisben igen hasznos eszk¨oznek bizonyult. Ezekr˝ ol Weisz Ferenc [84], [85] monogr´ afi´ aib´ ol kaphatunk j´o ´attekint´est. A H p [0, 1] (1 ≤ p < ∞) diadikus Hardy-t´er norm´ aj´ at az f ∗ := supn |En f | diadikus maxim´alp f¨ uggv´eny L -norm´ aj´ aval defini´ aljuk: ∥f ∥H p [0,1] := ∥f ∗ ∥Lp [0,1] (1 ≤ p < ∞). Ismeretes, hogy a klasszikus Hardy-terekhez hasonl´oan H p [0, 1] = Lp [0, 1], ha 1 < p < ∞ ´es H 1 [0, 1] ⊂ L1 [0, 1] val´ odi alt´er. A Haar-rendszer b´azis a H 1 [0, 1] diadikus Hardy-t´erben, a Franklin-rendszer b´ azis a H1 (T) Hardy-t´erben ´es a k´et b´azis egym´assal ekvivalens. Ezeket a b´ azisokat felhaszn´alva egy line´aris homeomorfizmust ´ertelmezhet¨ unk a k´et t´er k¨ oz¨ ott. A k´et Hardy-t´er tov´abi kapcsolat´at illet˝oen l´asd m´eg a [74] k¨ onyvet.

2. A Blaschke-csoport ´ es a hiperbolikus geometria A Blaschke-f¨ uggv´enyek nemcsak Hardy-t´erbeli f¨ uggv´enyek faktoriz´aci´oj´aban j´ atszanak fontos szerepet, hanem j´ol haszn´ alhat´ok a hiperbolikus geometria modellez´es´ere is. 2.1. Mo es Blaschke-transzform´ aci´ ok ¨bius- ´ Jel¨olje M a M¨ obius-transzform´ aci´ ok (a line´aris t¨ortf¨ uggv´enyek) csoportj´at, SL(2) := {A ∈ C2×2 : det A = 1} a komplex k´etdimenzi´os speci´alis line´aris csoportot. Az ( ) ) a11 z + a12 ( a11 a12 A= → rA (z) := z ∈ C := C ∪ {∞} a21 z + a22 a21 a22 SL(2) → M lek´epez´es csoport homomorfizmus: rA1 A2 = rA1 ◦ rA2 , ahol ◦ a f¨ uggv´enykompozici´ o m˝ uvelet´et jel¨ oli. Az unit´er m´atrixok SU (2) oszt´alya az SL(2)nek egy r´eszcsoportj´ at alkotj´ ak. Minden A ∈ SU (2) m´atrix ( ) p −q A= , det A = |p|2 + |q|2 = 1 (p, q ∈ C) q p Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

16

SCHIPP FERENC

alak´ u, tov´abb´a a QE (x) := |x1 |2 + |x2 |2 (x = (x1 , x2 ) ∈ C2 ) (pozit´ıv definit) kvadratikus alak invari´ ans az SU (2)-beli transzform´aci´okkal szemben: QE (Ax) = QE (x) (x ∈ C2 , A ∈ SU (2)). A tov´abbiakban az SL(2) csoport ( ) p −q B= , det B = |p|2 − |q|2 = 1 −q p

(p, q ∈ C)

alak´ u m´atrixaib´ ol alkotott r´eszcsoportja j´ atszik fontos szerepet. A QH (x) := |x1 |2 − |x2 |2 (x = (x1 , x2 ) ∈ C2 ) hiperbolikus kvadratikus alak ezekkel a transzform´aci´okkal szemben invari´ans: QH (Bx) = QH (x). Ezzel o ¨sszhangban a sz´oban forg´o r´eszcsoportot SH(2)-vel (m´asutt a szakirodalomban SU (1, 1)-gyel) szok´as jel¨olni [83]. A B → rB homomorfizmus az SH(2) elemeit a Blaschke-f¨ uggv´enyekbe viszi ´at: rB (z) :=

pz − q p z − q/p z−b = =ϵ =: Bb (z) qz + p p 1 − zq/p 1 − bz ( ) p b := q/p ∈ D, ϵ := ∈ T , p

(z ∈ C)

k¨ovetkez´esk´eppen a Blaschke-f¨ uggv´enyek B oszt´alya az M M¨obiusz-transzform´aci´ok egy r´eszcsoportj´ at alkotj´ ak. A (B, ◦) csoportot Blaschke-f´ele csoportnak nevezz¨ uk. Az ( )( ) ( ) 1 − |z|2 1 − |b|2 2 1 − |Bb (z)| = z ∈ D, b = (b, ϵ) ∈ B := D × T 2 1 − bz azonoss´agb´ol (l´asd [41]) k¨ ovetkezik, hogy b ∈ B eset´en Bb : D → D, ill. Bb : T → T bijekci´ok, tov´abb´ a Be (e := (0, 1)) a B egys´egeleme (az identikus lek´epez´es) ´es Bb−1 (b−1 := (−bϵ, ϵ)) a Bb lek´epez´es inverze (inverz f¨ uggv´enye). A BI := {Bb : b = (s, 1), s ∈ (−1, 1)},

BT := {Bb : b = (0, ϵ), ϵ ∈ T}

halmazok a Blaschke-csoport egyparam´eteres r´eszcsoportjai, amelyek ( ) Bb = B(0,ei(φ+θ ) ◦ B(r,1) ◦ B(0,e−iφ ) b := (reiφ , eiθ ) ∈ B alapj´an gener´alj´ak a Blaschke csoportot: B = BT ◦ BI ◦ BT . A BI -hez tartoz´o f¨ uggv´enyek az I := {z ∈ D : −1 < ℜz < 1, ℑz = 0} halmazt ¨onmag´ara k´epezik ´es az 1 ´es −1 pontokat helyben hagyj´ ak. Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

17

HIPERBOLIKUS WAVELETEK

A Blaschke-lek´epez´es A D diszk a ρ(z1 , z2 ) :=

|z1 − z2 | = |Bz2 (z1 )| (z1 , z2 ∈ D) |1 − z1 z 2 |

u ´n. pszeudohiperbolikus metrik´ aval teljes metrikus teret alkot, ´es ez a metrika invari´ ans a Blaschke-lek´epez´esekkel szemben: ρ(Bb (z1 ), Bb (z2 )) = ρ(z1 , z2 ) (z1 , z2 ∈ D, b ∈ B).

(7)

Ez a Bb (z1 ) − Bb (z2 ) z1 − z2 1 − bz 2 = 1 − z1 z 2 1 − bz2 1 − Bb (z1 )B b (z2 )

(z1 , z2 ∈ D, b = (b, ϵ) ∈ B)

azonoss´ag k¨ovetkezm´enye [22], [41]. A (7) tulajdons´ag jellemzi a Blaschke-f¨ uggv´enyeket. Nevezetesen, a Schwarz–Pick-lemma szerint minden f ∈ H∞ (D), ∥f ∥∞ ≤ 1 f¨ uggv´enyre ρ(f (z1 ), f (z2 )) ≤ ρ(z1 , z2 ) (z1 , z2 ∈ D), ´es az egyenl˝os´eg akkor ´es csak akkor ´all fenn, ha f Blaschke-f¨ uggv´eny [22]. A b → Bb lek´epez´es egy csoportstruktur´ at induk´al a B param´eter tartom´anyban, tov´abb´a z ◦ b = (Bb−1 (z), ζηb−1 (z)) (ηb (z) := ϵ

1 − zb , 1 − zb

b = (b, ϵ), z = (z, ζ) ∈ B).

Innen nyilv´anval´ o, hogy a (z, b) → z ◦ b−1 csoportm˝ uvelet folytonos a B t´er ϱ2 (b1 , b2 ) := |b1 − b2 | + |1 − ϵ1 ϵ2 | (bj = (bj , ϵj ) ∈ B) (euklideszi) metrik´aj´aban, k¨ovetkez´esk´eppen (B, ◦) lok´ alisan kompakt, folytonos csoport. A Bb : T → T (b = (reiθ , eiφ ) ∈ B) bijekci´o a T peremen fel´ırhat´o ( ) Bb eit = eiβb (t) , βb (t) := φ + θ + γr (t − θ) (t ∈ R) (8) Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

18

SCHIPP FERENC

alakban, ahol a γr f¨ uggv´eny a Poisson-f´ele magf¨ uggv´eny integr´alf¨ uggv´enye [63]: ∫ t γr (t) = Pr (τ ) dτ = 2 arctan(c(r) tan t/2) (9) 0 (c(r) := (1 + r)/(1 − r), r ∈ [0, 1), t ∈ R). 2.2. Hiperbolikus geometria A Blaschke-csoport azonos´ıthat´ o a Bolyai–Lobacsevszkij-f´ele geometria Poincar´e-f´ele (PK) k¨ ormodellj´eben az egybev´ ag´ os´agi transzform´aci´ok csoportj´aval. A modell egyenesei a I intervallum Blaschke-f¨ uggv´enyek ´altal l´etes´ıtett k´epei: lb := {Bb (I) : b ∈ B}. Ezek egybeesnek a T-t mer˝olegesen metsz˝o k¨or¨ok ´es egyenesek D-be es˝o ´ıveivel, ill. szakaszaival. A Bb (1), Bb (−1) ∈ T pontokat az lb egyenes v´egtelen t´avoli pontjainak, az I := [s1 , s2 ] ⊂ I intervallumok Bb (I) k´epeit (hiperbolikus) szakaszoknak nevezz¨ uk. K¨ onnyen igazolhat´o, hogy lb1 = lb2 akkor ´es csak akkor, ha valamely B ∈ BI f¨ uggv´enyre Bb1 = Bb2 ◦ B teljes¨ ul, k¨ovetkez´esk´eppen a PK egyeneseinek oszt´ alya azonos´ıthat´ o a B/BI jobb oldali mell´ekoszt´alyokkal. A ρ mellett a ( ) 1 1 + ρ(z1 , z2 ) ∗ ρ (z1 , z2 ) := arth ρ(z1 , z2 ) = ln (z1 , z2 ∈ D) 2 1 − ρ(z1 , z2 ) hiperbolikus metrika j´ atszik kit¨ untetett szerepet. Bebizony´ıthat´o, hogy a ρ∗ -ra vonatkoz´o h´aromsz¨ og-egyenl˝ otlens´egben a ρ∗ (z1 , z2 ) = ρ∗ (z1 , z3 )+ρ∗ (z3 , z2 ) egyenl˝os´eg akkor ´es csak akkor ´all fenn, ha z3 a z1 , z2 hiperbolikus szakaszon van. A Bolyai–Lobacsevszkij-f´ele geometri´ anak t¨obb egym´assal ekvivalens modellje ismert [19]. A Poincar´e-f´ele f´els´ık (PS) modell a k¨ormodellb˝ol a Υ(z) :=

i−z i+z

( ) z∈C

Caley-f´ele transzform´ aci´ oval sz´armaztathat´o. A sz´oban forg´o bijekci´o a C+ := {z ∈ C : ℑz > 0} f´els´ıkot a D-re, az R-et a T \ {−i} halmazra k´epezi ´es Υ(t) = e2i arctan t ∈ T (t ∈ R) . A Blaschke-f¨ uggv´enyeknek a ( ) z − b⋄ 1+b ⋄ −1 ⋄ Bb⋄ (z) := Bb (Υ(z)) = ϵ⋄ z ∈ C, b := Υ (b), ϵ = −ϵ z − b⋄ 1+b f¨ uggv´enyek felelnek meg a f´els´ıkon. A f´els´ık modell egyenesei a {Υ−1 (lb ) : b ∈ B} alakzatok, a val´os tengelyt mer˝ olegesen metsz˝ o C+ -ba es˝o k¨or´ıvek, ill. f´elegyenesek, az egybev´ag´os´agi transzform´ aci´ ok a Υ−1 ◦ Bb ◦ Υ (b ∈ B) lek´epez´esekkel ´ırhat´ok le. A Bolyai–Lobacsevszkij-f´ele geometria Cayley–Klein-f´ele (CK) modellj´eben az egyenesek az euklideszi egyenesek D-be es˝ o szakaszaival egyenl˝ok. Ezek a Poincar´emodell egyeneseib˝ ol egyszer˝ uen sz´ armaztathat´ok az lb hiperbolikus egyenesnek Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

19

HIPERBOLIKUS WAVELETEK

megfeleltetve a v´egtelen t´ avoli pontjait ¨ oszek¨ot˝o lb euklideszi szakaszt. Ez a megfeleltet´es le´ırhat´ oa ( ) 2z ι(z) := z∈D 1 + |z|2 f¨ uggv´ennyel. Nevezetesen egyszer˝ √ uen igazolhat´o, hogy ι : D → D bijekci´o, amelynek inverze ι−1 (z) = z/(1 + 1 − |z|2 ) (z ∈ D), ι(z) = z (z ∈ T), tov´abb´a ι a PK-modell egyeneseit a CK-modell egyeneseibe viszi ´at, ui. ι : lb → lb bijekci´o. Az Υ ´es az ι lek´epez´esek egy-egy pszeudohiperbolikus, ill. hiperbolikus metrik´at induk´alnak a PS-, ill. CK-modellen. Az al´ abbi ´abr´akon a Poincar´e-f´ele k¨or- ´es s´ık modellben n´egy-n´egy egym´ asnak megfelel˝ o hiperbolikus egyenest szeml´eltett¨ unk. Piros sz´ınnel egy-egy K, ill. K ′ k¨ oz´eppont´ u hiperbolikus k¨ort rajzoltunk fel.

A Bolyai–Lobacsevszkij-f´ele geometria modelljei

3. Wavelet-, G´ abor- ´ es voice-transzform´ aci´ o A wavelet-transzform´ aci´ o folytonos v´ altozat´anak ´ertelmez´es´ehez, kiindulva egy ψ ∈ L2 (R) alapf¨ uggv´enyb˝ ol, az u ´n. anyawaveletb˝ ol, dilat´aci´ot ´es transzl´aci´ot alkalmazva vezess¨ uk be a ψ((x − q)/p) ψpq (x) = (x ∈ R, (p, q) ∈ L := (0, ∞) × R) √ p f¨ uggv´enycsal´adot. Ezzel a magf¨ uggv´ennyel k´epzett ∫ 1 (Wψ f )(p, q) := √ f (x)ψ((x − q)/p) dx = ⟨f, ψpq ⟩ p R

(

(p, q) ∈ L, f ∈ L2 (R)

)

Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

20

SCHIPP FERENC

integr´aloper´atort wavelet-transzform´ aci´ onak nevezz¨ uk. Ismeretes, hogy a ψ-re vonatkoz´o el´eg ´altal´ anos felt´etelek mellett az f f¨ uggv´eny rekonstru´alhat´o a wavelettranszform´altj´ab´ ol ´es ´erv´enyes r´ a az energiamegmarad´ast jelent˝o Plancherel-formula megfelel˝oje. A Wψ transzform´ aci´ ora, a trigonometrikus Fourier-transzform´aci´ohoz hasonl´oan, csoportelm´eleti interpret´ aci´ o adhat´ o, kiindulva az R sz´amegyenes ℓa (x) := px + q

(x ∈ R, a = (p, q) ∈ L)

affin lek´epez´eseinek L oszt´ aly´ ab´ ol [70]. Az L f¨ uggv´enycsal´ad z´art a ◦ f¨ uggv´enykompoz´ıci´o m˝ uvelet´ere n´ezve, tartalmazza az e := (1, 0)-nak megfelel˝o ℓe identikus lek´epez´est, tov´abb´ a az a−1 := (p−1 , −qp−1 ) ∈ L elemnek megfelel˝o L-beli f¨ uggv´eny az ℓa inverz f¨ uggv´enye: ℓa−1 = ℓ−1 uk. a . Az (L, ◦) csoportot affin csoportnak nevezz¨ Az L halmazon bevezetve az a := a1 ◦ a2 := (p1 p2 , q1 + p1 q2 ) (aj := (pj , qj ) ∈ L, j = 1, 2) csoportm˝ uveletet egy, az affin csoporttal izomorf (L, ◦) csoportot kapunk, tov´abb´a ℓa = ℓa1 ◦ ℓa2 . Az L t´er szok´ asos topol´ogi´ aj´aban a csoportm˝ uveletek folytonosak, k¨ovetkez´esk´eppen (L, ◦) egy (nemkommutat´ıv, lok´alisan kompakt) topologikus csoport. A wavelet-transzform´ aci´ o le´ırhat´ oa 1 Wa ψ := √ ψ ◦ ℓ−1 a p

(

) a = (p, q) ∈ L, ψ ∈ L2 (R)

oper´atorsereggel: (Wψ f )(a) = ⟨f, Wa ψ⟩

(

) a = (p, q) ∈ L, f, ψ ∈ L2 (R) .

(10)

Egyszer˝ uen verifik´ alhat´ o, hogy a Wa : L2 (R) → L2 (R) (a ∈ L) oper´atorsereg az (L, ◦) csoport egy unit´er reprezent´ aci´ oja az L2 (R) t´eren, azaz ( ) i) ∥Wa ψ∥ = ∥ψ∥, ii) Wa1 (Wa1 ψ) = Wa1 ◦a2 ψ a, a1 , a2 ∈ L, ψ ∈ L2 (R) , tov´abb´a a reprezent´ aci´ o folytonos a k¨ ovetkez˝o ´ertelemben: minden ψ ∈ L2 (R) f¨ uggv´enyre iii) ∥Wan ψ − Wa ψ∥ → 0, ha an → a (n → ∞). Az (L, ◦) helyett ennek az (L0 , ◦), L0 := {(2−n , k2−n ) : k, n ∈ Z} diszkr´et r´eszcsoportj´at v´eve a Haar–Fourier-egy¨ utthat´ o ´altal´anos´ıt´asak´ent a wavelet-transzform´aci´o ∫ ( ) √ (Wψ f ) 2−n , k2−n = 2n f (x)ψ (2n x − k) dx (k, n ∈ Z) R

Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

HIPERBOLIKUS WAVELETEK

21

diszkr´et v´altozat´ at kapjuk. Utalva az affin csoporttal val´o kapcsolatra a Wψ lek´epez´est affin wavelet-transzform´ aci´ onak is szok´as nevezni. Ez a modell mint´ aul szolg´ alhat hasznos f¨ uggv´enytranszform´aci´ok szerkeszt´es´ehez. Az affin csoport helyett egy (G, )˙ lok´ alisan kompakt topol´ogikus csoportot ´es annak egy Vg : H → H (g ∈ G) unit´er reprezent´aci´oj´at v´eve a (10)-hez hasonl´oan ´ertelmezett (Vψ f )(g) := ⟨f, Vg ψ⟩ (g ∈ G, f, ψ ∈ H) (11) lek´epez´es korl´atos line´ aris oper´ ator a H Hilbert-t´err˝ol a G-n ´ertelmezett folytonos, korl´atos f¨ uggv´enyek C(G) ter´ere. A Vψ lek´epez´est Feichtinger ´es Gr¨ ochenig nyom´an a (Vg , g ∈ G) reprezent´ aci´ o ´altal gener´alt voice-transzform´ aci´ onak nevezz¨ uk [27], [28]. Akkor mondjuk, hogy a sz´oban forg´o reprezent´aci´o irreducibilis, ha nincs val´odi z´art invari´ ans altere, azaz b´ armely ψ ∈ H, ψ ̸= θ elemre Vg ψ (g ∈ G) z´art rendszer a H t´erben. Bebizony´ıthat´ o, hogy irreducibilis reprezent´ aci´ o eset´en a voice-transzform´ aci´ o injekt´ıv [42]. Jel¨ olje m a G csoport egy balinvari´ans Haar-m´ert´ek´et ´es L2m (G) az m m´ert´ek ´altal gener´alt Hilbert-teret a G csoporton. Azokat a ψ ∈ H elemeket, amelyekre Vψ (H) ⊂ L2m (G) teljes¨ ul, megengedett eleur˝ u a H t´erben, tov´abb´a meknek nevezz¨ uk. A megengedett elemek H0 halmaza s˝ ψ ∈ H0 , ψ ̸= θ akkor ´es csak akkor, ha Vψ ψ ∈ L2m (G). Bebizony´ıthat´o, hogy van olyan C : H0 × H0 → R+ pozit´ıv definit kvadratikus alak, amelyre ⟨Vψ1 f1 , Vψ2 f2 ⟩L2m (G) = C(ψ1 , ψ2 )⟨f1 , f2 ⟩H

(f1 , f2 ∈ H, ψ1 , ψ2 ∈ H0 )

teljes¨ ul [36]. Ez a Plancherel-t´etel voice-transzform´altra vonatkoz´o analogonj´anak tekinthet˝o. Speci´ alisan, ha a G csoport unimodul´aris, azaz minden balinvari´ans m´ert´ek egyben jobbinvari´ ans is, akkor egy C1 abszol´ ut konstanssal fenn´all a ∥Vψ f ∥L2m (G) = C1 ∥ψ∥H ∥f ∥H

(f ∈ H, f ∈ H0 )

egyenl˝os´eg, k¨ovetkez´esk´eppen ∥ψ∥H = 1/C1 v´alaszt´as eset´en a voice-transzform´aci´o unit´er [42]. Ez nemcsak azt jelenti, hogy igen ´altal´anos felt´etelek mellett ´erv´enyes a Plancherel-t´etel megfelel˝ oje, hanem ezzel minden konkr´et esetben a formula speci´alis alakj´ara is magyar´ azatot kapunk, megvil´ag´ıtva a G csoport szerep´et. A G´ abor D´enes ´altal 1946-ban bevezetett transzform´aci´o is speci´alis voicetranszform´aci´ok´ent sz´ armaztathat´ o, kiindulva a Heisenberg-f´ele csoport egy speci´alis reprezent´aci´oj´ ab´ ol. Erre utalva a sz´ oban forg´o lek´epez´esre a G´ abor-transzform´ aci´ o mellett a Weyl–Heisenberg wavelet-transzform´ aci´ o elnevez´es is haszn´alatos. Az affin- ´es a Heisenberg-csoport eset´en fel´ırva a Haar-m´ert´eket, jellemezhet˝ok a megengedett f¨ uggv´enyek ´es explicit alakban megadhat´ok a Plancherel-formula megfelel˝oi [42].

4. Hiperbolikus waveletek A hiperbolikus geometria Poincar´e-f´ele modellj´eben az egybev´ag´os´agi transzform´aci´ok a (B, ◦) Blaschke-f´ele csoporttal ´ırhat´ok le. Az (affin) wavelet-transzAlkalmazott Matematikai Lapok (2015)

22

SCHIPP FERENC

form´aci´o mint´aj´ ara a Blaschke-csoport unit´er reprezent´aci´oival ´ertelmezett voicetranszform´aci´okat hiperbolikus wavelet-transzform´ aci´ oknak nevezz¨ uk. A Blaschkelek´epez´esek bijekci´ ok mind a diszken, mind a t´oruszon. A B0 := {Bb : b ∈ B0 }, B0 := {(r, 1) ∈ B : r ∈ I := (−1, 1)} r´eszcsoport elemei bijekci´ok az I intervallumon. Jel¨olj¨ uk I-vel a D, I, T halmazok b´armelyik´et ´es λI -vel a Lebesgue-m´ert´eket az I halmazon. Legyen tov´ abb´ a BI = B, ha I ∈ {D, T} ´es BI = B0 , ha I = I. Ekkor a Bb (b ∈ BI ) lek´epez´esek bijekci´ ok az I halmazon. Az unit´er reprezent´ aci´ o ´ertelmez´es´ehez felhaszn´aljuk az L2λI (I) Hilbert-teret ´es bevezetj¨ uk a ( ) s/2 [s] Vb f := [Bb′ −1 ] f ◦ Bb−1 f ∈ L2λI (I), b ∈ BI , s ∈ R (12) lek´epez´eseket, ahol B ′ a B f¨ uggv´eny deriv´ altj´at jel¨oli [62], [63], [64], [70]. Meg[s] mutatjuk, hogy a Vb (b ∈ BI ) lek´epez´esek homomorfizmusok. Val´oban, a fenti defin´ıci´o ´es a k¨ozvetett f¨ uggv´eny differenci´ al´ asi szab´alya alapj´an [( ] )′ s/2 ( ) [s] Vb1 ◦b2 f = Bb−1 ◦ Bb−1 f ◦ Bb−1 ◦ Bb−1 = 2

1

2

1

[( )]s/2 [ ]s/2 ( ) = Bb′ −1 ◦ Bb−1 Bb′ −1 f ◦ Bb−1 ◦ Bb−1 = 1 2 1 2 1 ]) [ ]s/2 ([( )s/2 ( ) [s] [s] = Bb′ −1 Bb′ −1 f ◦ Bb−1 ◦ Bb−1 = Vb1 Vb2 f . 1

2

2

1

Legyen s(I) az I halmaz dimenzi´ oja, azaz s(I) = 1, ha I ∈ {I, T} ´es s(I) = 2, ha [s(I)] I = D. Megmutatjuk, hogy Vb (b ∈ BI ) unit´er oper´ator a H = L2λI (I) Hilbertt´eren. Val´oban az I halmazon a w = Bb (z) helyettes´ıt´est alkalmazva ´es a dλI (w) = = |Bb′ (z)|s(I) dλI (z) transzform´ aci´ os formula, valamint a Bb′ −1 (Bb (z))Bb′ (z) = 1 (z ∈ I) azonoss´ag alapj´ an ∫

2

[s(I)] f = |Bb′ −1 (w)|s(I) |f (Bb−1 (w))|2 dλI (w) =

Vb H ∫I = |Bb′ −1 (Bb (z))|s(I) |f (Bb−1 (Bb (z)))|2 |Bb′ (z)|s(I) dλI (z) = ∫I = |f (z)|2 dλI (z) = ∥f ∥2H . I

Az I halmaz analitikus f¨ uggv´enyeib˝ ol ´all´ o H2 (I) := L2λI (I)∩A t´er a L2λI (I) Hilbertt´er z´art altere, amely I = T eset´en a H2 (T) Hardy-t´errel, I = D eset´en a B 2 (D) Bergman-t´errel egyenl˝ o. Innen k¨ ovetkezik, hogy a sz´oban forg´o reprezent´aci´ok a H2 (I) t´er b´armely ortogon´ alis b´azis´ at ortogon´alis b´azisba viszik ´at. Speci´alisan I ∈ {D, T} eset´en az en (z) = z n (z ∈ I, n ∈ N) ortogon´alis b´azisb´ol az (√ )s(I) ( ) 1 − |b|2 [s(I)] b Ln (z) := Vb en (z) = Bbn (z) (b = (b, 1) ∈ BI , z ∈ I, n ∈ N) 1 − bz Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

23

HIPERBOLIKUS WAVELETEK

diszkr´et Laguerre-rendszert kapjuk a Hardy-, ill. a Bergman-t´eren. Az L2 (I) t´er Legendre-b´azis´ara alkalmazva a sz´oban forg´ o transzform´aci´okat a b ∈ I param´etert˝ol f¨ ugg˝o, racion´ alis f¨ uggv´enyekb˝ ol ´all´ o ortonorm´alt rendszereknek egy egyparam´eteres oszt´alya sz´ armaztathat´ o. A (12) unit´er reprezent´ aci´ o ´altal gener´ alt ⟨ ⟩ [s(I)] (Vψ f )(b) := f, Vb ψ

I

( ) f, ψ ∈ L2λI (I)

(13) [s(I)]

voice-transzform´ aci´ ot hiperbolikus wavelet-transzform´ aci´ onak, a Vb ψ f¨ uggv´enyeket hiperbolikus waveleteknek nevezz¨ uk. Bebizony´ıthat´ o, hogy I ∈ {D, T} esetben a V [s(I)] reprezent´aci´o irreducibilis a 2 H (I) t´eren, k¨ovetkez´esk´eppen az ´altala gener´alt Vψ hiperbolikus wavelet transzform´aci´o injekt´ıv. A [63], [64], [65] dolgozatokban a sz´oban forg´o esetekben vizsg´altuk a H2 (I) megengedett elemeit ´es megadtuk a Plancherel-formula megfelel˝oit a hiperbolikus wavelet transzform´ altra. P´eld´aul I = D, azaz a H2 (I) = B 2 (D) Bergman-t´er eset´en megmutattuk, hogy minden ψ ∈ B 2 (D) megengedett, tov´abb´a ∥Vψ f ∥L2m (B) = c∥ψ∥B2 (D) ∥f ∥B2 (D) , ahol c abszol´ ut konstans ´es m a (B, ◦) csoport Haar-m´ert´eke, amely explicit alakban adhat´o meg. [2] A [64], [65] dolgozatokban el˝ o´ all´ıtottuk a Vb reprezent´aci´o ⟨ ⟩ [2] tmn (b) := Vb en , em

(m, n ∈ N)

m´atrix´at az en (n ∈ N) b´ azisban. Ezen az u ´ton eljuthatunk az optik´aban ´es a cornea topogr´ afi´ aban alapvet˝ o szerepet j´ atsz´o Ynℓ (r, φ) Zernike-f¨ uggv´enyekhez. Nevezetesen √ ( iφ ) (−1)m 1 − r2 |m−n| ( ( ) ) tmn re = √ Ymin{m,n} (r, φ) b = reiφ , 1 ∈ B . n+m+1 Ennek alapj´an levezethet˝ ok a Zernike-f¨ uggv´enyek ismert tulajdons´agai, t¨obbek k¨oz¨ott az add´ıci´os k´epletek. A hiperbolikus wavelet-transzform´aci´ora vonatkoz´o eredm´enyek kiterjeszthet˝ ok olyan reprezent´ aci´okra, amelyekben az L2λI (I) terek 2 s helyett a dµI (z) = (1 − |z| ) dλI (z) (I = D, I) m´ert´ek ´altal gener´alt s´ ulyozott Hilbert-t´erb˝ ol indulunk ki [56],[57],[58],[59]. Diszkr´et hiperbolikus waveletek konstrukci´oj´ar´ol, ezekkel kapcsolatos multirezol´ uci´or´ol a [29], [30] dolgozatok ny´ ujtanak betekint´est. A Zernike-f¨ uggv´enyek diszkretiz´aci´oj´aval a [62] dolgozatban foglalkoztunk. Ezt alkalmaztuk cornea fel¨ uletek matematikai le´ır´as´aban [24], [25], [26]. Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

24

SCHIPP FERENC

5. Alkalmaz´ asok Ebben a pontban a hiperbolikus wavelet-transzform´aci´o n´eh´any alkalmaz´as´at mutatjuk be. 5.1. P´ olusok, saj´ at´ ert´ ekek, identifik´ aci´ o A hiperbolikus wavelet-transzform´ aci´ o felhaszn´alhat´o racion´alis f¨ uggv´enyek p´olusainak, m´atrixok saj´at´ert´ekeinek meghat´aroz´as´ara ´es rendszerek identifik´aci´oj´ara. Ehhez a H2 (T) Hardy-t´er en (z) := z n (n ∈ N, z ∈ C) b´azisf¨ uggv´enyeivel [1] k´epzett Ln := Ven hiperbolikus wavelet-transzform´altakb´ol (a diszkr´et Laguerre– Fourier-egy¨ utthat´ okb´ ol) indulunk ki: ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ [1] (Ln f )(b) := f, Vb en = f, Lbn (n ∈ N, b = (b, 1) ∈ B). A H2 (D) elemeihez a D-n analitikus f¨ uggv´enyekb˝ol ´all´o Lf := (Ln f, n ∈ N) sorozatokat rendelve egy t¨ obb vonatkoz´ asban is j´ol haszn´alhat´o lek´epez´est defini´alunk. P´eld´aul a sz´ oban forg´ o sorozat ℓ2 norm´aja konstans f¨ uggv´eny a diszken: ∥(Lf )(b)∥ℓ2 = ∥f ∥H 2 (D) (b ∈ D). A (Qn f )(b) :=

(Ln+1 f )(b) (Ln f )(b)

(n ∈ N)

(14)

nemline´aris funkcion´ alsorozat felhaszn´ alhat´o racion´alis f¨ uggv´enyek p´olusainak kisz´am´ıt´as´ahoz. Az elemi racion´ alis f¨ uggv´enyeket c´elszer˝ u f (z) = 1/(1 − az)n (z ∈ T, a ∈ D) alakban felvenni, ahol az a ∈ D param´eter az f f¨ uggv´eny a∗ = 1/a p´olus´anak az egys´egk¨ orre vonatkoz´ o t¨ uk¨ ork´epe. Ennek alapj´an az a param´etert az f elemi racion´ alis f¨ uggv´eny n-edrend˝ u inverzp´ olus´ anak nevezz¨ uk. Ismeretes, hogy minden val´ odi racion´ alis f¨ uggv´eny el˝ o´ all´ıthat´o elemi racion´alis f¨ uggv´enyek line´aris kombin´aci´ojak´ent. Soumelidis ´eszrevette, hogy n = 1 eset´en a (14) sorozat ´alland´o, amelynek abszol´ ut ´ert´eke az a, b ∈ D pontok r = ρ(a, b) pszeudohiperbolikus t´avols´ag´aval egyenl˝ o, k¨ ovetkez´esk´eppen az a ∈ D pont a b k¨oz´eppont´ u, r sugar´ u hiperbolikus k¨ or¨ on van. Ha f olyan val´odi racion´alis f¨ uggv´eny, amelynek ai (i = 1, 2, . . . , N ) inverzp´ olusai D-be esnek, akkor kiv´eteles b ∈ D pontokt´ol eltekintve l´etezik a (14) sorozat hat´ ar´ert´eke. Ez a tulajdons´ag felhaszn´alhat´o az ai inverzp´olusok kisz´ am´ıt´ as´ ara. Ezt szeml´eltett¨ uk az al´abbi ´abr´an h´arom egyszeres inverzp´olus eset´en. Az egys´egk¨ orrrel koncentrikus k¨or felt¨ untetett b pontjaiban meghat´aroztuk az rb := limn→∞ |(Qn f )(b)| sugarakat, ´es felrajzoltuk a b k¨oz´eppont´ u, rb sugar´ u hiperbolikus k¨ or¨ oket. Bebizony´ıthat´ o, hogy az ai , aj hiperbolikus szakaszok Dij := {b ∈ D : ρ(b, ai ) = ρ(b, aj )} hiperbolikus felez˝ omer˝ olegeseinek pontjait´ ol eltekintve a (Qn f )(b) (n ∈ N)sorozat Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

25

HIPERBOLIKUS WAVELETEK

minden b ∈ D pontban konvergens ´es a hat´ar´ert´ek D egy legfeljebb N -elem˝ u r´eszhalmaza. Legyen ui. { } D0 := ∪1≤i<j≤N Dij , Di := b ∈ D : ρ(b, ai ) > max ρ(b, aj ) . 1≤j≤n,j̸=i

Az inverzp´ olusok meghat´ aroz´ asa Soumelidis m´odszer´evel Ekkor a Di (1 ≤ i ≤ N ) halmazok p´aronk´ent diszjunktak ´es D = ∪0≤i≤N Di . Bebizony´ıthat´o, hogy minden b ∈ Di pontban a (Qn f )(b), n ∈ N) sorozat ugyanahhoz a bi ∈ D sz´ amhoz konverg´ al ´es ebb˝ ol ai egyszer˝ uen rekonstru´alhat´o: ( ) bi = (Qf )(b) := lim (Qn f )(b), Bb−1 bi = ai (b ∈ Di , 1 ≤ i ≤ N ). n→∞

Egyszeres p´olusok eset´en a qi (b) :=

max

1≤j≤N,j̸=i

ρ(b, aj )/ρ(b, ai )

(b ∈ Di , 1 ≤ i ≤ N )

sz´amok a konvergencia sebess´eg m´er´es´ere is felhaszn´alhat´ok [71]: |bi − (Qn f )(b)| = O (qin (b))

(b ∈ Di , n → ∞).

T¨obbsz¨or¨os gy¨ ok eset´en a konvergencia sebess´ege: |bi − (Qn f )(b)| = O(1/n). Az al´abbi ´abr´akon k´et, ill. h´ arom inverzp´ olus eset´en szeml´eltetj¨ uk a hiperbolikus Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

26

SCHIPP FERENC

felez˝omer˝oleges ´altal l´etes´ıtett, k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o sz´ın˝ u Di tartom´anyokat. A tartom´anyok b´armely b ∈ Di pontj´ ab´ ol kiindulva a (Qn (b), n ∈ N) sorozat ugyanahhoz a bi = Bb (ai ) sz´amhoz konverg´ al. A konvergencia sebess´eget sz´ınsk´al´at haszn´alva a jobb oldali ´abr´akon szeml´eltetj¨ uk.

Megjegyezz¨ uk, hogy az inverzp´ olusok elhelyezked´es´et˝ol f¨ ugg˝oen el˝ofordulhat, hogy valamely i-re a Di halmaz u ozk¨ od˝ onek nevezz¨ uk. ¨res. Ilyenkor az a∗i p´olust rejt˝ Az ismertetett elj´ ar´ assal az ( ) (Sf )(b) := Bb−1 Qf (b) (b ∈ B \ D0 ) nemline´aris oper´ atort felhaszn´ alva az f racion´alis f¨ uggv´eny rejt˝ozk¨od˝o p´olusait kiv´eve, valamennyi p´ olusa megkaphat´ o. Az ´ıgy kapott p´olusokat lev´alasztva ´es az elj´ar´ast megism´etelve megkaphatjuk az f valamennyi p´olus´at [10], [11], [12]. A most ismertetett elj´ ar´ ashoz hasonl´ o algoritmus szerkeszthet˝o m´atrixok saj´at´ert´ekeinek kisz´am´ıt´ as´ ara. Tegy¨ uk fel, hogy A ∈ CN ×N m´atrix λ1 , . . . , λN saj´at´ert´ekei a D-be esnek. Tetsz˝ oleges x0 ∈ CN vektorb´ol kiindulva az u ´n. Mises-f´ele iter´aci´ot alkalmazva k´epezz¨ uk az xn+1 = Axn ∈ CN

(n ∈ N)

sorozatot. Ez a rekurzi´ o speci´ alis diszkr´et id˝ oinvari´ans rendszerk´ent is felfoghat´o. Az algoritmust ebben a speci´ alis esetben mutatjuk be, megjegyezve, hogy a m´odszer tetsz˝oleges id˝oinvari´ ans diszkr´et rendszerre kiterjeszthet˝o. Jel¨olje F (z) :=

∞ ∑

xn z n

(z ∈ D)

n=0

a rendszer ´atviteli f¨ uggv´eny´et. Az F : D → CN f¨ uggv´eny analitikus ´es ( ) ∞ ∞ ∑ ∑ F (z) − x0 = z xn+1 z n = zA xn z n = zAF (z). n=0

n=0

Innen k¨ovetkezik, hogy az ´atviteli f¨ uggv´eny fel´ırhat´o F (z) = (I − zA)−1 x0 Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

(z ∈ D)

27

HIPERBOLIKUS WAVELETEK

alakban. Az F a D z´ art diszken analitikus racion´alis f¨ uggv´eny, amely az A m´atrix pA (z) :=

m ∏

(z − λj )νj

(z ∈ C, m ≤ N, ν1 + · · · + νm ≤ N )

j=1

minim´alpolinomj´ aval kifejezhet˝ o F (z) =

j −1 m ν∑ ∑

j=1 k=0

zk hij (A)x0 (1 − λj z)k+1

alakban, ahol a hij -k a pA minim´ alpolinom gy¨okei ´altal gener´alt Hermite-f´ele interpol´aci´os alappolinomok. Az F f¨ uggv´eny Fj koordin´at´aira alkalmazva az el˝obb ismertetett elj´ar´ast megkapjuk a nem rejt˝ ozk¨ od˝o ai = λi inverzp´olusokat, ill. saj´at´ert´ekeket [72]. 5.2. Diszkr´ et ortogon´ alis rendszerek Ortogon´alis sorfejt´esek gyakorlati alkalmaz´asaiban mindig a rendszer valamely diszkretiz´alt v´altozat´ at haszn´ aljuk. Ez azt jelenti, hogy az eredeti φn : I → C (n ∈ N) folytonos rendszer helyett els˝ o N tagj´anak az I intervallum egy N elem˝ u IN r´eszhalmaz´ara vonatkoz´ o lesz˝ uk´ıt´eseit tekintj¨ uk. A diszkretiz´ac´os elj´ar´as akkor lesz j´ol haszn´alhat´ o, ha a diszkr´et rendszer az IN valamely ∑ f (t)g(t)νN (t) (νN (t) > 0) [f, g]N := t∈IN

diszkr´et skal´aris szorzat´ ara n´ezve ortonorm´ alt marad, azaz [φn , φm ]N = δmn (0 ≤ m, n < N ).

(15)

Az ilyen elj´ar´asokat ortogon´ alis diszkretiz´ aci´ onak nevezz¨ uk. Ebben az esetben a diszkr´et Fourier-sorfejt´es N-edik r´eszlet¨ osszege el˝o´all´ıtja a kifejtett f¨ uggv´enyt az IN pontjaiban, k¨ovetkez´esk´eppen ezzel egy´ uttal egy interpol´aci´os elj´ar´ast is kapunk. A trigonometrikus rendszerb˝ ol az I = [0, 2π) alapintervallum ekvidisztans feloszt´as´aval sz´armaztathatjuk a diszkr´et trigonometrikus rendszert. A Malmquist–Takenaka-rendszerek ortogon´alis diszkretiz´aci´oj´ahoz abb´ol indulunk ki, hogy a Blaschke-f¨ uggv´enyek a trigonometrikus rendszerb˝ol argumentumtranszform´aci´oval sz´ armaztathat´ ok: ( it ) ( ) iβb (t) Bb e = e , βb (t) = φ + γr (t − φ) t ∈ R, b = reiφ ∈ D , ahol γr a Poisson-f´ele magf¨ uggv´eny integr´ alf¨ uggv´eny´evel egyenl˝o (l´asd (8),(9)). Innen k¨ovetkezik, hogy az MT-rendszerek tagjaiban szerepl˝o Blaschke szorzatok el˝o´all´ıthat´ok N −1 ∏ k=0

( ) Bbk eit = eiN θN (t) ,

θN (t) =

N −1 1 ∑ βbk (t) N k=0

Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

28

SCHIPP FERENC

alakban, ahol θN : R → R szigor´ uan monoton n¨ov˝o f¨ uggv´eny, amelyre θN (t + 2π) = = θN (t)+2π (t ∈ R). Az MT-rendszer Dirichlet-f´ele magf¨ uggv´enyei, a trigonometrikus rendszerhez ´es az ortogon´ alis polinomokhoz hasonl´oan, z´art alakban ´ırhat´ok fel [43], [60]: N −1 ∑

∏N −1 k=0

Φj (z)Φj (ζ) =

j=0

Bbk (z)B bk (ζ) − 1 zζ − 1

(

) z, ζ ∈ D .

Innen k¨ovetkezik, hogy a { } −1 TN := zk := eiτk : τk := θN (t0 + 2kπ/N ), 0 ≤ k < N halmaz pontjaiban: N −1 ∑

Φj (zk )Φj (zℓ ) = δkℓ ΛN (zk ),

ΛN (z) =

j=0

N −1 ∑ j=0

Ez azzal ekvivalens, hogy az αjk := Φj (zk )/ ortogon´alis, k¨ovetkez´esk´eppen N −1 ∑ k=0

αrk αsk =

N −1 ∑

1 − |bj |2 |1 − bj z|2

(0 ≤ k, ℓ < N ).

√ ΛN (zk ) (0 ≤ j, k < N ) m´atrix

Φr (zk )Φs (zk )/ΛN (zk ) = δrs .

k=0

Ezzel a IN := TN halmazon a νN = 1/ΛN s´ ulyf¨ uggv´ennyel az MT-rendszereknek egy (15) alak´ u ortogon´ alis diszkretiz´ aci´ oj´ at kaptuk. Ezeket az eredm´enyeket az [23] dolgozatban ´atvitt´ek a f´els´ıkra. A diszkr´et MT-rendszerek alkalmaz´ as´ aval a jelek alakj´ab´ ol kiindul´o, adapt´ıv interpol´aci´os elj´ ar´ asokat szerkeszthet¨ unk. Az al´abbi ´abr´akon a TN halmazt ´es a θN f¨ uggv´enyt szeml´eltetj¨ uk. A p´olusok v´ alaszt´ as´at´ol f¨ ugg a TN pontjainak eloszl´asa. Ez az elj´ar´as j´ ol haszn´ alhat´ o EKG-g¨ orb´ek interpol´aci´oj´ara, amit az al´abbi ´abr´an szeml´eltet¨ unk [31]. J´ ol l´athat´ o, hogy ott, ahol a f¨ uggv´eny gyorsabban v´altozik, ott s˝ ur˝ ubb feloszt´ ast alkalmazunk. A t0 param´etert u ´gy v´alaszthat´o, hogy a g¨orbe maximumhelye a csom´ opontok k¨ oz¨ ott legyen. Az optim´alis approxim´aci´ot eredm´enyez˝o p´olusok meghat´ aroz´ as´ ara szolg´ al´ o algoritmusokat a k´es˝obbiekben v´azoljuk. Megjegyezz¨ uk, hogy a Christoffel–Darboux-formul´ab´ol hasonl´o m´odon ad´odik a ν : I → (0, ∞) s´ ulyf¨ uggv´enyre ortogonol´ alis Pnν (n ∈ N) polinomrendszer egy ortogon´alis diszkretiz´ aci´ oja [77]. Nevezetesen az IN halmaznak a PNν gy¨okeit v´aν lasztva a φn = Pn (0 ≤ n < N ) f¨ uggv´enyekre fenn´all a (15) diszkr´et ortogonalit´asi rel´aci´o, ahol ebben az esetben νN (t) (t ∈ IN ) a Christoffel–Darboux-f´ele sz´amokat jelentik. Ezeket az elveket alkalmaztuk Zernike-f¨ uggv´enyek ortogon´alis diszkretiz´aci´oj´aban, tov´abb´ a egy´eb diszkr´et ortogon´ alis rendszerek, approxim´aci´os ´es interpol´aci´os elj´ar´asok szerkeszt´es´eben. Az ´ıgy kapott eredm´enyek j´ol haszn´alhat´ok a Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

HIPERBOLIKUS WAVELETEK

A TN halmaz

29

A θN f¨ uggv´eny

EKG-g¨ orbe k¨ ozel´ıt´ese diszkr´et MT-sorfejt´essel

Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

30

SCHIPP FERENC

szem szaruh´arty´aja, a cornea fel¨ ulet´enek matematikai le´ır´as´ara ´es a g¨ombfel¨ uleten ´ertelmezett f¨ uggv´enyek k¨ ozel´ıt´es´ere [25], [26], [61], [62]. 5.3. Diszkretiz´ aci´ o´ es elektrosztatikai egyens´ uly Az MT-rendszerek ´es az ortogon´ alis polinomok sz´amos hasonl´o tulajdons´aggal rendelkeznek. A klasszikus ortogon´ alis polinom gy¨okei egy elektrosztatikai egyens´ ullyal hozhat´ok kapcsolatba [77]. Hasonl´ o interpret´aci´o adhat´o a TN diszkretiz´aci´os pontrendszerre [60]. Nevezetesen legyen ω1 (z) :=

N −1 ∏

(z − bj ),

j=0

ω2 (z) :=

N −1 ∏

( ) 1 − bj z ,

(16)

j=0

ω(z) := ω1′ (z)ω2 (z) − ω2′ (z)ω1 (z) (z ∈ C). Ekkor a 2(N −1)-edfok´ u ω polinomnak b´armely λ ∈ C gy¨ok´evel egy¨ utt a λ∗ := 1/λ sz´am, a λ T-re vonatkoz´ o t¨ uk¨ ork´epe is gy¨ oke, ugyanazzal a multiplicit´assal. Jel¨olje λk ∈ D (k = 1, . . . , s) az ω f¨ uggv´eny D-be es˝o, p´aronk´ent k¨ ul¨onb¨oz˝o gy¨okeit ´es legyen mk a λk multiplicit´ asa. Ekkor fenn´ all a k¨ovetkez˝o egyens´ ulyi felt´etel: ( ) s N ∑ 1 1∑ mj mj = + (n = 1, 2, . . . , N ). (17) zn − zk 2 j=1 zn − λj zn − λ∗j k=1,k̸=n

Az al´abbi ´abr´ an a diszkr´et Kautz-rendszernek megfelel˝o b0 = b, b1 = b ∈ D esetben szeml´eltetj¨ uk az egyens´ ulyi helyzetet, ahol m0 = m1 = 7, N = 14. Ebben az esetben a 2N − 2 = 26-odfok´ u ω polinomnak a b0 , b1 , b∗0 , b∗1 sz´amok 6-szoros gy¨okei, amelyeket az ´abr´ an a multiplicit´ assal ar´anyos sugar´ u (vil´agos- ´es s¨ot´etk´ek sz´ın˝ u) k¨or¨okkel, a marad´ek λ ´es λ∗ egyszeres multiplicit´as´ u gy¨okp´art a muliplicit´assal ar´anyos fekete sz´ın˝ u k¨ or¨ okkel szeml´eltetj¨ uk. A TN pontjait s´arga sz´ınnel t¨ untett¨ uk fel. Speci´alisan b0 = · · · = bN −1 = b eset´en az ω polinomnak a b ´es b∗ sz´amok (N − 1) multiplicit´ as´ u gy¨ okei ´es ebben az esetben az egyens´ ulyi egyenlet: N ∑ k=1,k̸=n

1 N −1 = zn − zk 2

(

1 1 + zn − b zn − b∗

) (n = 1, 2, . . . , N ).

Ez ut´obbi k´et egyenlet elektrosztatikus egyens´ ulyi felt´etelk´ent interpret´alhat´o. Az Fnk =

1 1 zn − zk = zn − zk |zn − zk | |zn − zk |

Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

HIPERBOLIKUS WAVELETEK

31

A

TN pontjai Kautz-rendszer eset´en

k´etdimenzi´os vektor olyan k´et azonos el˝ ojel˝ u, egys´egnyi t¨olt´es k¨oz¨ott fell´ep˝o tasz´ıt´o er˝ovel egyenl˝o, ahol a Coulomb-er˝ o a t¨ olt´esek t´avols´ag´anak reciprok´aval ar´anyos. A m´asodik egyenletet interpret´ alva helyezz¨ unk el N egys´egnyi t¨olt´essel rendelkez˝o, az egys´egk¨or¨on szabadon mozg´ o r´eszecsk´et ´es r¨ogz´ıts¨ unk a b ´es b∗ pontokban egyegy (N − 1)/2 t¨ olt´essel rendelkez˝ o r´eszecsk´et. Az ezek ´altal kifejtett er˝oket k¨ uls˝o, a mozg´o t¨olt´esek ´altal kifejtett er˝ oket bels˝ o er˝oknek nevezz¨ uk. A (17) egyenlet azt fejezi ki, hogy minden zn r´eszecsk´ere hat´ o k¨ uls˝o er˝ok ered˝oje a r´a hat´o bels˝o er˝ok ered˝oj´evel egyenl˝ o.

A

TN pontjainak elektrosztatikus interpret´aci´oja

Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

32

SCHIPP FERENC

5.4. MT-sorfejt´ esek szumm´ aci´ oja Az MT-rendszerek diszkr´et v´ altozat´ at rendszerek identifik´aci´oj´aban, EKG-g¨orb´ek approxim´aci´oj´ aban ´es t¨ om¨ or´ıt´es´eben haszn´altuk. Az els˝o probl´emak¨orrel ¨osszef¨ ugg´esben megeml´ıt¨ unk k´et eredm´enyt, amelyek periodikus MT-rendszerek szerinti sorfejt´esek (speci´ alisan diszkr´et Laguerre- ´es Kautz-sorok) szumm´aci´oj´aval kapcsolatosak. El˝ofordulhat, hogy a sz´ oban forg´ o sorfejt´esek, a trigonometrikus Fouriersorokhoz hasonl´ oan, m´eg folytonos f¨ uggv´eny eset´en sem konverg´alnak. Ennek a h´atr´anynak a kik¨ usz¨ ob¨ ol´es´ere szumm´ aci´ os elj´ar´asoknak egy sz´eles oszt´aly´at (az u ´n. θ-szumm´aci´ okat) alkalmazva megmutattuk, hogy folytonos f¨ uggv´enyek periodikus MT-rendszer szerinti θ-k¨ ozepei egyenletesen konverg´alnak. Hasonl´o eredm´enyeket igazoltunk diszkr´et sorfejt´esekre periodikus MT-rendszerek eset´en [7],[8], [13]. 5.5. EKG-g¨ orb´ ek approxim´ aci´ oja A trigonometrikus rendszerhez hasonl´ oan b0 = 0 eset´en a Φ−n (z) = Φn (z) (z ∈ T, n ∈ N) f¨ uggv´enyek hozz´ av´etel´evel az MT-rendszer kieg´esz´ı thet˝o az L2 (T) t´eren ortonorm´alt rendszerr´e. Ekkor az ℜΦn , ℑΦn (n ∈ N) val´os rendszerek is ortogon´alisak az L2 (T) t´eren. Az EKG-g¨ orb´eket 2π szerint periodikus f¨ uggv´enyekkel modellezz¨ uk. Tipikus szakaszai (pl. az u ´n. QRS-komplexusok) hasonl´ıtanak az MT-rendszereket gener´ al´ o rb,j (z) := (

1 1 − bz

)j

(b ∈ D, j = 1, 2, . . . , z ∈ T)

u ´n. elemi racion´ alis f¨ uggv´enyek val´ os ´es k´epzetes r´eszeinek line´aris kombin´aci´oihoz. Ez az ´eszrev´etel volt a h´attere annak, hogy a trigonometrikus-, ill. waveletsorfejt´esek helyett az EKG-g¨ orb´eket a val´os MT-b´azisokban reprezent´aljuk. Az al´abbi ´abra bal oldali r´esz´en egy val´ odi EKG-jel k´et elvezet´es´enek a grafikonja l´athat´o. Az ´abra jobb oldali r´esz´en elemi racion´alis f¨ uggv´enyek val´os ´es k´epzetes r´eszeinek grafikonja l´ athat´ o. A s´ arga szin˝ u g¨orb´ek az egyszeres, a k´ek sz´ın˝ uek a k´etszeres multiplicit´ as´ u p´ olusoknak felelnek meg.

Val´odi EKG-jel k´et elvezet´ese

Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

Elemi racion´alis f¨ uggv´enyek

HIPERBOLIKUS WAVELETEK

33

A val´os MT-rendszerek ortogon´ alis diszkretiz´aci´oj´at alkalmazva optim´alis (bj , j ∈ N) param´eterek meghat´ aroz´ as´ ara k¨ ul¨onb¨oz˝o algoritmusokat dolgoztunk ki. Az EKG-g¨orb´ek elemz´ese sor´ an szerzett tapasztalatok alapj´an h´arom param´etert, a b1 , b2 , b3 ∈ D inverzp´ olust haszn´ altunk, ´es ezeket ism´etelt¨ uk periodikusan. Az f EKG-jel optim´ alis reprezent´ aci´ oj´ ahoz k´et l´ep´esben jutunk el: el˝osz¨or meghat´ arozzuk az f -nek az Ls := span{ℜrbj ,k , ℑrbj ,k : 1 ≤ j ≤ 3, 1 ≤ k ≤ s} alt´ert˝ol vett dist(b1 , b2 , b3 ) := min ∥f − g∥ g∈Ls

t´avols´ag´at, majd ezt minimaliz´ aljuk a b1 , b2 , b3 param´eterekre. Az els˝o l´ep´esben felhaszn´ aljuk az f -nek a diszkr´et val´os MT-rendszer szerinti sorfejt´es´et, amely egy´ uttal interpol´ al a diszkretiz´aci´o pontjaiban. A dist f¨ uggv´eny minimaliz´al´as´ara t¨ obbek k¨ oz¨ ott a Nelder–Mead-algoritmusnak egy hiperbolikus t´erre adapt´alt v´ altozat´ at haszn´ altuk [31], [32], [48]. A diszkr´et MT-rendszerek alkalmaz´as´at seg´ıt˝o MatLab Toolbox k´esz¨ ult [44]. A diszkretiz´aci´o csom´opontjainak kisz´am´ıt´as´ara a [47] ´es az [51] dolgozatokban hat´ekony algoritmusok sz¨ ulettek. A dist f¨ uggv´eny m´ as elven t¨ ort´en˝ o minimaliz´ al´as´at ´es m´as t´ıpus´ u alkalmaz´asokat illet˝oen a [45], [46] dolgozatokra utalunk. Az FFT-hez hasonl´ o gyors algoritmusok szerkeszthet˝ok bizonyos speci´alis MTrendszrekre. Ezek 2n -t´enyez˝ os Blaschke-szorzatok szorzatrendszereik´ent ´all´ıthat´ok el˝o. A gener´al´o t´enyez˝ ok, amelyek a Rademacher-f¨ uggv´enyek megfelel˝oi, k´ett´enyez˝os Blaschke-szorzatokb´ ol f¨ uggv´enykompozici´oval sz´armaztathat´ok. Ilyen rendszerek szerkeszt´es´enek elvi ´es gyakorlati probl´em´aival a [9] ´es a [49] ´es [50] dolgozatok foglalkoznak. Racion´ alis ortogon´ alis sorfejt´esek mellett gyakran c´elszer˝ u ilyen t´ıpus´ u biortogon´ alis sorfejt´eseket haszn´alni. A [33] ´es a [34] dolgozatokban racion´alis ortogon´ alis ´es biortogon´ alis rendszereket konstru´altunk a t´oruszon ´es a diszken. Az EKG-g¨orb´et az optim´ alis param´eterekhez tartoz´o diszkr´et MT–Fourieregy¨ utthat´okkal reprezent´ alva j´o t¨ om¨ or´ıt´est ´es alakh˝ u approxim´aci´ot kapunk. Az al´abbi ´abr´an egy val´ odi EKG-g¨ orbe approxim´aci´oj´at szeml´eltetj¨ uk, ahol 3 (egy k´etszeres ´es k´et egyszeres multiplicit´ as´ u) p´olust haszn´altunk ´es az optim´alis inverzp´olusokat a Nelder–Mead-algoritmus hiperbolikus v´altozat´aval hat´aroztuk meg. A gyakorlatban az EKG-jelr˝ ol ´altal´ aban t¨obb (6, ill. 12) elvezet´est k´esz´ıtenek. A sz´ıv m˝ uk¨od´es´et az u ´n. sz´ıvg¨ orb´evel, az egyes elvezet´eseken regisztr´alt jeleket a sz´ıvg¨orb´enek egy-egy ir´ anyba es˝ o vet¨ ulet´evel modellezhetj¨ uk. Ezzel a modellel nemcsak az egyes elvezet´esek kvalitat´ıv le´ır´as´ahoz, hanem j´o k¨ozel´ıt´eseihez is eljuthatunk [31]. Az al´ abbi ´abr´ an ugyanannak az EKG-jelnek k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o elvezet´es´enek approxim´ aci´ oj´ at szeml´eltetj¨ uk h´ arom inverzp´olus ´altal gener´alt diszkr´et MT rendszert haszn´ alva. Az ´abr´ an felt¨ untett¨ uk a h´arom inverzp´olust ´es a diszkr´et MT–Fourier-egy¨ utthat´ okat. Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

34

SCHIPP FERENC

Az MT-rendszer p´ olusai

Az EKG-jel approxim´aci´oja

EKG-jel k´et elvezet´es´enek k¨ozel´ıt´ese

Hivatkoz´ asok [1] Alexits, G.: Convergence problems of orthogonal functions. Pergamon Press, New York, (1961) [2] Banach, S.: Th´ eorie des op´ erations lin´ eaires. Monog. Mat., Warszawa, (1932) [3] Benedetto, J.J: Harmonic Analysis and Applications. CRC Press, Boca Raton, New York, London, Tokyo (1997) [4] Blaschke, W.: Eine Erweiterung des Satzes von Vitali u ¨ber Folgen analytischer Funktionen. Math. Phys. Kl. S¨ achs. Gessel. der Wiss. Leipzig, 67, 194–200 (1915) [5] Bockarev, S.V.: Existence of bases in the space of analytic functions and some properties of the Franklin system. Mat. Sbornik, 95 (137), 3–18 (1974)

Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

HIPERBOLIKUS WAVELETEK

35

[6] Bokor J., Gianone L., Schipp F.: Approximate H ∞ identification using partial sum operators in the disc algebra basis. Proc. Amer. Control Conf. Seatle, WA, (1995), IEEE Press, 1981–1985 [7]

Bokor J., Schipp F.: L∞ system approximation algorithms generated by φ summation. IFAC AUTOMATICA J. 33 (11), 2019–2024 (1997)

[8] Bokor J., Schipp F.: Approximate linear H ∞ identification in Laguerre and Kautz basis. IFAC AUTOMATICA J. 34, 463–468 (1998) [9] Bokor J., Schipp F.: Rational bases generated by Blaschke product systems. 13th IFAC Symposium on System Identification, SYSID-2003, 1351–1356 (CD) [10] Bokor J., Schipp F., Soumelidis A.: Pole structure estimation from Laguerre representation using hyperbolic metric on the unite disc. 50th IEEE Conf. on Decision and Control an European Control Conf.,Orlando, Florida, December 12–15, 2136–2141 (2011) [11] Bokor J., Schipp F., Soumelidis A.: Applying Hyperbolic Wavelets in Frequency Domain Identification. Int. Conference in Control Automation and Robotics, ICINCO 2012, July 28–30 Rome, Italy, 532–535 (2012) [12] Bokor J., Schipp F., Soumelidis A.: Realizing system poles identification on the unit disc based on Laguerre representations and hyperbolic metric, 21st Mediterranean Conference on Control and Automation (MED), Platinias-Chania, Crete, Greece, June 25–28, 1208–1213 (2013) ´ Z.: Identification of rational approximate models in H ∞ [13] Bokor J., Schipp F., Szabo using generalized orthonormal basis. IEEE Trans. Autom. Control, 44 (1), 153-158 (1999) [14] Burkholder D. L.:Distribution function inequalities for martingales. Ann. Prob., 1, 19–42 (1973) [15] Ciesielski, Z.: Properties of the orthonormal Franklin system I, II. Studia Math. 23, 141–157 (1963), 27, 289–323 (1966) [16] Ciesielski, Z., Domsta, J.: Construction of orthonormal basis in C n (I d ) and Wpm (I d ). Studia Math. 41, 211–224 (1972) [17] Ciesielski, Z.: Haar orthogonal function in analysis and probability. Coll. Math. Soc. J. Bolyai 49, 25–56 (1985) olin P.: Equivalence of Haar and Franklin bases in Lp spaces. [18] Ciesielski, Z., Simon, P., Sj¨ Studia Math. 60, 195–210 (1977) [19] Coxeter, H.S.M.: Non-euklidian geometry. University of Toronto Press, Toronto (1942) [20] Daubechies, I.: Ten Lectures on Wavelets. SIAM, Philadelphia, Pennsylvania (1992) [21] Duren, P. L.: Theory of H p spaces. Academic Press, New York-London (1970) [22] Duren, P., Schuster, A.: Bergman Spaces. AMS, Mathematical Surveys and Monographs, 100 (2003) [23] Eisner T., Pap M.: Discrete Orthogonality of the Malmquist-Takenaka System of the Upper Half Plane and Rational Interpolation. J. Fourier Anal. Appl. 20 (1) (2014), 1–16.

Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

36

SCHIPP FERENC

´ dis-Szomoru ´ A., Schipp F.: Specular surface reconstruc[24] Fazekas Z., Soumelidis A., Bo tion for multi-camera corneal topographer arrangements. 30th Annual International IEEE EMBS Conference, Vancouver, Canada, Aug. 20–24, 2254–2257 (2008) [25] Fazekas Z., Pap M., Soumelidis A., Schipp F.: Discrete orthogonality of Zernike functions and its application to corneal measurements. Electronic engineering and computing technology. Lecture notes in electrical engineering 60, Springer, Dordrecht, 455–469 (2010) [26] Fazekas Z., Pap M., Soumelidis A., Schipp F.: Generic Zernike-based Surface Representation of Measured Corneal Surface Data. Proc. IEEE International Symposium on Medical Measurments and Applications, MeMeA, Bari, Italy, 148–153 (2011) ochenig, A.: A unified approach to atomic decomposition trough [27] Feichtinger, H., Gr¨ integrable group representation. Lecture Notes in Math., Springer 1302, 52–73 (1988) [28] Feichtinger, H., Gr¨ ochenig, A.: Banach spaces related to integrable group representation and their atomic decomposition I. J. Funct. Anal. 86(2), 307–340 (1989) [29] Feichtinger H.G., Pap M.: Hyperbolic wavelets and multiresolution in the Hardy space of the upper half plane. Blaschke Products and Their Applications, Fields Institute, Communications 65, 193–208 (2013) [30] Feichtinger H.G., Pap M.: Coorbit theory and Bergman spaces. HCCA, Springer, (2014), 231–259. ´ csi L., Schipp F.: Rational Function Systems in ECG Processing. Computer [31] Fridli S., Lo Aided System Theory-EUROCAST 2011, 13th International Conference Las Palmas de Gran Canaria,Spain, February 2011, Revised Selected Papers, Part I, Springer LNCS 6927, 88–95. ´ cs P., Lo ´ csi L., Schipp F.: Rational modeling of multi-lead QRS comp[32] Fridli S., Kova lexes in ECG signals. Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp. 37, 145–155 (2012) [33] Fridli S., Schipp F.: Biorthogonal systems to rational functions. Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp. 35, 95–105 (2011) ´ n Z., Schipp F.: Rational orthogonal system on the plane. Annales [34] Fridli S., Gilia Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp. 39, 63–77 (2013) [35] Garnett, J. B.: Bounded analytic functions. Springer, New York (2007) [36] Grossman, A., Morlet, A., Paul, T.: Transforms associatet to square group representations I. General results. J. Math. Phys. 26, 2473–2479 (1985) [37] Haar, A.: Zur Theorie der orthogonalen Functionensysteme. Inaugural-Dissertation (G¨ ottingen, 1909), 1–49, Math. Annal. 69, 331–271 (1910) [38] Harmuth H.F.: Transmission of information by orthogonal functions. Springer-Verlag, Berlin (1972) [39] Harmuth H.F.: Sequence theory. Academic Press, New York, N.Y. (1977) [40] Hardy, G.H.: On the mean value of the modulus of an analytic function. Proc. London. Math. Soc. 14, 269–277 (1915) [41] Hedenmalm, H., Korenblum, B., Kehe Zhu: Theory of Bergman Spaces. Springer, Graduate Text in Math. 199 (2000)

Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

HIPERBOLIKUS WAVELETEK

37

[42] Heil, C. E., Walnut, D. L.: Continuous and discrete wavelet transforms. SIAM Rewiew 31(4), 628–666 (1989) [43] Heuberger, S.C., Van den Hof, P.M.J., Wahlberg, B.: Modelling and Identification Rational Orthogonal Basis Functions. Springer, London Limited (2005) ´ cs, P., Lo ´ csi, L.: RAIT: the Rational Approximation and Interpolation Toolbox [44] Kova for Matlab, with Experiments on ECG Signals. The International Journal of Advances in Telecommunications, Electrotechnics, Signals and Systems, 1/2-3, 67–75 (2012) ´ cs, P., Kiranyaz, S., Gabbouj, M.: Hyperbolic Particle Swarm Optimization with [45] Kova Application in Rational Identification. Proceedings of the 21st European Signal Processing Conference (EUSIPCO), (2013) 1–5. ´ cs, P., Sammiee, K., Gabbouj, M.: On Application of Rational Discrete Short Time [46] Kova Fourier Transform in Epileptic Seizure Classification. Proceedings of the IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal processing, (2014) 5839–5843. ´ cs, P., Vad, V.: Fast Computing of Non-Uniform Sampling Positions of Real Signals. [47] Kova Proceedings of the 15th International Symposium on Symbolic and Numerical Algorithms for Scientific Computing (SYNACS) 146–150, 2013. ´ csi, L.: Constructing Orthogonal Systems Using Blaschke Products. MACS 2010, [48] Lo Proc. 8th Joint Conf. on Math. and Comp. Sci., Math., 43–50 (2011) ´ csi, L.: An Inverse Problem with Compositions of Blaschke Products. Mathematica [49] Lo Pannonica, 24/1 (2013), 141–156. ´ csi, L.: Rational FFT Implementation in Matlab. Annales Univ. Sci. Budapest, [50] Lo Sect. Comp. 36 (2012), 241–254. ´ csi, L.: Calculating non-equidistant discretizations generated by Blaschke products. Acta [51] Lo Cybernetica 20 (2011), 111–123. [52] Malmquist, F.: Sur la d´ etermination d’une classe de fonctions analytiques par leurs valeurs dans un ensemble donn´ e de points. Comptes Rendus du Sixieme Congres des mathh´ ematiciens scandinaves, Copenhagen, Denmark, 253–259 (1925) erations I and II. Hermann, Paris (1990) [53] Meyer, Y.: Ondelettes et op´ [54] Meyer, Y.: Wavelets, algorithms and applications. SIAM (1993) ´ ricz, F.: Harmonikus anal´ızis a komplex egys´ [55] Mo egk¨ orlapon. POLYGON, Szeged (2013) [56] Pap, M.: The voice transform generated by a representation of the Blaschke group on the weighted Bergman spaces. Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp. 33, 321–342 (2010) [57] Pap, M.: Properties of the voice transform of the Blaschke group and connection with atomic decomposition results in the weighted Bergman spaces. J. Math. Anal. Appl. 389, 340–350 (2012) [58] Pap M.: Hyperbolic wavelets and Multiresolution in H 2 (T). J. Fourier Anal. Appl. 17, 755–776 (2011) [59] Pap M.: Multiresolution in Bergman space. Annales Univ. Sci. Budapest. Sect. Comp. 30, 333–353 (2013)

Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

38

SCHIPP FERENC

[60] Pap M., Schipp F.: Malmquist-Takenaka systems and equilibrium conditions. Mathematica Pannonica 12, 185–194 (2001) [61] Pap M., Schipp F.: Malmquist-Takenaka systems over the set of quaternions. Pure Mathematics and Applications 15, 261–272 (2004) [62] Pap M., Schipp F.: Discrete orthogonality of Zernike functions. Mathematica Pannonica 16, 137–144 (2005) [63] Pap M., Schipp F.: The voice transform on the Blaschke group I. Pure Mathematics and Applications 17 (3–4), 387–395 (2006) [64] Pap M., Schipp F.: The voice transform on the Blaschke group II. Annales Univ. Sci. Budapest. Sect. Comp. 29, 157–173. [65] Pap M., Schipp F.: The voice transform on the Blaschke group III. Publ. Math. Debrecen 75 (1–2), 263–283 (2009) [66] Prestini E.: The Evolution of Applied Harmonic Analysis. Applied and Numerical Harmonic Analysis, Birkh¨ aser (2003) ¨ [67] Riesz, F.: Uber die Randwerte einer analytischen Funktion. Math. Z. 18, 87–95 (1923) [68] Sarason, D.: Holomorphic Spaces: A Brief and Selective Survey. MSRI Publications 33, 1–34 (1998) [69] Schipp, F.: Walsh functions, commentary. Joseph L. Walsh selected papers, eds. T.J. Rivlin and E.B. Saff, Springer-Verlag, 129–135 (2000) [70] Schipp F.: Wavelets on the disc. Proc. Workshop on Systems and control theory. In honor of J. Bokor on his 60th birthday, September 9, 2008, BME AVVC, MTA SZTAKI, 101–109 (2009) [71] Schipp F., Soumelidis A.: On the Fourier coefficients with respect to the discrete Laguerre system. Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp. 34, 223–233 (2011). [72] Schipp F., Soumelidis A.: Eigenvalues of matrices and discrete Laguerre-Fourier coefficients. Mathematica Pannonica 23/1, 147–157 (2012) [73] Schipp F., Szili L.: Approximation in H ∞ -norm. AFS95 Bolyai Soc. Math. Studies, Budapest, 5, 13–30 (1996) ´ l, J.: Walsh series: An introduction to dyadic [74] Schipp, F., Wade, W.R., Simon, P., Pa harmonic analysis. Akad´ emiai Kiad´ o, Budapest Akad´ emiai Kiad´ o, Budapest and Adam Hilger, Bristol and New York (1990) [75] Szabados, J., Tandori, K. (Eds.): A. Haar Memorial Conference. Coll. Math. Soc. J. Bolyai 49, North-Holland (1987) ˝ , G.: Beitr¨ [76] Szego age zur Theory der Toeplitzschen Formen I, II. Math. Z. 6, 167–202 (1920), 9, 167–190 (1921) ˝ , G.: Orthogonal Polynomials. AMS Colloquium Publications, 23 (1975) [77] Szego ˝ kefalvi-Nagy, B.: Val´ [78] Szo os f¨ uggv´ enytan ´ es f¨ uggv´ enysorok. POLYGON, Szeged (2002)

Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)

HIPERBOLIKUS WAVELETEK

39

˝ kefalvi-Nagy, B., Foias, C.: Harmonic analysis of operators on Hilbert space. North[79] Szo Holland, Amsterdam, Akad´ emiai Kiad´ o, Budapest (1970) [80] Stankovic R.S., Astola J.R. (eds.): Reminescences of the Early Work in Walsh Functions. Special isues of TICSP Series, Tampere, Finland (2011) [81] Takenaka, S.: On the orhogonal functions and a new formula of interpolation. Japanese Journal of Mathematics, II, 129–145 (1925) [82] Uljanov, P.L.: Haar series and related questions. Coll. Math. Soc. J. Bolyai 49, 57–96 (1985) [83] Wawrzynczyk, A.: Group Representations and Special Functions. Reidel, PWN (1983) [84] Weisz F.: Martingale Hardy spaces and their applications in Fourier-analysis. Lecture Notes in Math., Springer, Berlin 1568, (1994) [85] Weisz F.: Summability of Multi-Dimensional Fourier Series and Hardy Spaces. Mathematics and Its Applications, Kluwer Academic Publishers, 541 (2002) [86] Zygmund, A.: Trigonometric series I., II. Cambridge University Press (1959)

(Be´ erkezett: 2014. m´ ajus 7.)

SCHIPP FERENC Numerikus Anal´ızis Tansz´ ek, ELTE IK P´ azm´ any P. s´ et´ any I/C, Budapest, H-1117 Hungary

HYPERBOLIC WAVELETS Ferenc Schipp In the last two decades a number of different types of wavelets transforms have been introduced in various areas of mathematics, natural sciences and technology. These transforms can be generated in a uniform way based on various group representations. Taking the congruences of the hyperbolic geometry we introduced the concept of hyperbolic wavelet transforms (HWT) by means of this method. In this paper we give an overview on some results and applications concerning HWT. We call the attention to previous results of Hungarian mathematicians in the areas of control theory and signal processing that can now be viewed from a new rspective. Recently,as a result of the collaboration of the Department of Numerical Analysis of Faculty of Informatics of E¨ otv¨ os L. University (Budapest, Hungary) and the Systems and Control Lab of the Institute of Computer Science and Control of the Hungarian Academy of Sciences, rational function systems and hyperbolic wavelets have been effectively applied in solving problems related to system and control theories, signal processing, and in construction of a mathematical model for ECG signals.

Alkalmazott Matematikai Lapok (2015)