´t-komponensu ˝ rendszerek Hiperbolikus ke ´se hidrodinamikai viselkede ´zisfu ¨ zet Te
Valk´o Benedek Matematikai Int´ezet, Budapesti M˝ uszaki ´es Gazdas´agtudom´anyi Egyetem T´emavezet˝o: Dr. T´oth B´alint
2004
Az elk¨ovetkezend˝o fejezetekben a ,,Hydrodynamic behavior of hyperbolic two-component systems” c´ım˝ u PhD ´ertekez´es eredm´enyeit ismertetj¨ uk. Egy r¨ovid bevezet´essel ´es az alapprobl´ema bemutat´as´aval kezdj¨ uk, ezut´an a vizsg´alt modell-csal´ad ´es a bizony´ıtott eredm´enyek k¨ovetkeznek.
1.
Bevezet´ es
A statisztikus fizika egyik alapprobl´em´ aja a nagy mikroszkopikus k¨olcs¨ onhat´ o rendszerek t´er´es id˝obeli dinamik´aj´anak vizsg´alata. Gondolhatunk p´eld´ aul g´azmolekul´ akra egy szob´aban vagy ´ r´eszecsk´ekre egy ´araml´o folyad´ekban. Altal´aban a vizsg´alt rendszerek m´erete ´ori´ asi (1026 nagys´agrend˝ u), ´ıgy minden egyes r´eszecske k¨ovet´ese rem´enytelen, m´eg akkor is, ha mindent tudunk a mikroszkopikus dinamik´ar´ol. Van egy m´asik, sokkal hat´ekonyabb megk¨ozel´ıt´ese a probl´em´anak: ,,messzir˝ol” kell r´an´ezni a rendszerre, azaz ink´abb a makroszkopikus fejl˝od´est kell vizsg´alni. Ez azt jelenti, hogy rendszer¨ unk ´allapot´at egy adott pontban n´eh´ any fizikailag jellemz˝o megmarad´o mennyis´eg lok´alis s˝ ur˝ us´eg´evel jellemezz¨ uk (r´eszecskesz´ am, momentum, energia). Ezeknek a helyt˝ol f¨ ugg˝o f¨ uggv´enyeknek az id˝obeli fejl˝od´ese adja meg a k´ıv´ ant le´ır´ ast, ami ´altal´aban egy parci´alis differenci´al-egyenlet (pde) rendszert jelent. A hidrodinamikai hat´ar´atmenet (hdl) az az eszk¨oz, amellyel megkaphat´ ok ezek a pde rendszerek a t´er ´es id˝o megfelel˝o sk´al´az´as´aval. A fizikus irodalomban sz´amos hidrodinamikai limesz form´alis levezet´es ismert, kezdve Euler, Navier, Stokes, stb. klasszikus eredm´enyeit˝ ol (lsd. [11], [6]). A matematikai fizika egyik fontos ´es neh´ez probl´em´ aja az, hogy hogyan lehet ezeket a levezet´eseket matematikailag prec´ızz´e tenni. Hab´ar teljesen determinisztikus rendszerekre (pl. Newtoni dinamik´ara) ez a probl´ema m´eg megoldatlan, az ut´obbi ´evtizedekben jelent˝ os eredm´enyeket ´ertek el sztochasztikus rendszerek hidrodinamikai viselked´es´enek le´ır´ as´ aban. (L´asd [12], [5], [2].) A vizsg´alat k¨oz´eppontj´aban megmarad´asi t¨orv´enyekkel rendelkez˝ o r´acsg´ az modellek ´alltak (pl. simple exclusion, zero range).
Ezeket tekinthetj¨ uk a determinisztikus rendszerek egy
approxim´aci´oj´anak, de modellk´ent el˝ofordulnak sz´amos biol´ogiai, k´emiai ´es fizikai jelens´egn´el (pl. fel¨ uletn¨oveked´esi modellek, biol´ogiai chemotaxis).
2.
Az alapprobl´ ema
Az ´ertekez´esben k¨olcs¨onhat´o r´eszecskerendszerek egy ´altal´ anos csal´adj´ anak hidrodinamikai viselked´es´et vizsg´aljuk. A motiv´aci´ot T´oth B. ´es W. Werner egy sejt´ese adta, ez a fejezet a sejt´est ismerteti, illetve megfogalmazza az ´ertekez´es ´altal vizsg´alt alapprobl´em´ at. [13]-ben T´oth B. az u ´n. ,,true self-avoiding walk”-nev˝ u diszkr´et idej˝ u bolyong´ as aszimptotikus viselked´es´et vizsg´alta. A folyamat a m´ ultja ´altal tasz´ıtott v´eletlen s´eta Z-n: ha a bolyong´ o r´eszecske egy adott r´acsponton ´all, akkor a jobbra, ill. balra l´ep´es val´ osz´ın˝ us´ege a jobb-, ill. baloldali ´el lok´alis idej´enek k¨ ul¨onbs´eg´et˝ol f¨ ugg, m´eghozz´ a u ´gy, hogy nagyobb s´ ulyt kap a kevesebbszer l´atogatott ´el. (Azaz sz´ıvesebben megy a r´eszecske olyan ir´anyba, ahol kevesebbszer
1
j´art.) Tegy¨ uk fel, hogy a bolyong´o r´eszecske minden l´ep´es´eben letesz egy egys´egnyi t´egl´ at arra az ´elre, amin ´eppen ´atugrott, ez´altal egy falat ´ep´ıtve. Akkor az ´ep¨ ul˝ o fal magass´aga egy adott ´elen ´eppen a bolyong´as lok´alis idej´evel lesz egyenl˝ o, a bolyong´ o r´eszecske mozg´as´ at pedig ´eppen a fal negat´ıv gradiense ir´any´ıtja. (Sz´ıvesebben megy ,,lefel´e”, mint ,,felfel´e”.) [17]-ben T´oth B. ´es W. Werner egy folytonos folyamatot konstru´ alnak az el˝obbi diszkr´et bolyong´as megfelel˝o limeszek´ent. A kapott folyamat tekinthet˝ o egy r´eszecske folytonos idej˝ u bolyong´as´anak R-en. A r´eszecske egy falat ´ep´ıt a bolyong´ as sor´an (ez ´eppen a lok´alis ideje), ´es a mozg´asa hasonl´ok´eppen f¨ ugg a falt´ol, mint a diszkr´et esetben. A szerz˝ok azt is bel´atj´ ak, hogy a kapott folyamatot egy bizonyos dinamikai hajt´o-mechanizmus vez´erli, ami a fenti szab´alyoknak felel meg. Jel¨olj¨ uk a r´eszecske helyzet´et t id˝ oben Xt -vel, ´es legyen a lok´alis id˝o t id˝ oben ´es x-ben h(t, x). Ez ´eppen az ´ep¨ ul˝o fal magass´ag´ at adja t id˝ oben x-ben. A r´eszecske mozg´as´ at a fal meredeks´ege hajtja: ’dXt = −∂x h(t, Xt )dt’,
(1)
´es a fal a r´eszecske jelenl´ete miatt ´ep¨ ul: ’∂t h(t, x) = δ(Xt − x)’.
(2)
Ebben a form´aban persze ezeknek az egyenleteknek matematikailag nincs ´ertelm¨ uk, de prec´ızz´e tehet˝oek. Az egyenletek korrekt v´altozata, levezet´es¨ uk, ´es a kapott folyamat l´enyeges von´ asai megtal´alhat´oak az eredeti publik´aci´oban. Mi itt csak egy ´erdekes tulajdons´agot jegyz¨ unk meg: az Xt folyamat 2/3-os sk´al´az´as´ u, azaz (α−2/3 Xαt , t ≥ 0) ugyanolyan eloszl´as´ u, mint (Xt , t ≥ ¡ ¢ 0). S˝ot, (α−2/3 Xαt , t ≥ 0) ´es α−1/3 h(α2/3 x, αt), t ≥ 0, x ∈ R egy¨ uttes eloszl´asa megegyezik (Xt , t ≥ 0) ´es (h(x, t), t ≥ 0, x ∈ R) egy¨ uttes eloszl´as´ aval. Term´eszetesen felmer¨ ul˝o k´erd´es, hogy mit mondhatunk abban az esetben, amikor nem egy, hanem egy eg´esz sereg r´eszecske ´ep´ıti ugyanazt a falat, mik¨ozben a mozg´asuk a kor´ abbi szab´alyok szerint f¨ ugg az ´ep¨ ul˝o falt´ol. E probl´ema diszkr´et eset´et vizsg´alt´ ak [18]-ben, ahol egy 1-dimenzi´os, k´et-komponens˝ u r´eszecskerendszert vezettek be (a ,,k˝om˝ uves modellt”): r´eszecsk´ek (k˝om˝ uvesek) mozognak Z r´acspontjain, ´es k¨ozben egy falat ´ep´ıtenek egys´eg-t´egl´ ak ´elekre halmoz´as´aval. Egy adott k˝om˝ uves jobbra vagy balra ugrik bizonyos r´at´ aval, amely a fal ottani negat´ıv gradiens´et˝ol f¨ ugg (a ,,felfel´e” ir´anyul´ o ugr´as r´at´ aja kisebb, mint a lefel´e ir´anyul´ o´e), ´es az ugr´as sor´an egy t´egl´at tesz az ´atugrott ´elen ´all´ o t´eglaoszlop tetej´ere. A dinamika ez´altalal olyan, hogy a nagy ,,v¨olgyeket” a k˝om˝ uvesek megpr´ob´ alj´ ak felt¨olteni. A k´et megmarad´o menynyis´eg a rendszerben a r´eszecskesz´am ´es a negat´ıv gradiensek ¨osszege. A k¨ovetkez˝ o fejezetben r´eszletesen t´argyalunk egy ehhez hasonl´o ´altal´ anos modellcsal´adot. A folytonos esetben a k¨ovetkez˝o k´epet kapn´ ank: egy folytonos eloszl´as´ u ,,r´eszecske-felh˝o” ´ep´ıt egy falat, mik¨ozben a mozg´asukat az ´ep¨ ul˝ o fal gradiense ir´any´ıtja. Ha a r´eszecskes˝ ur˝ us´eget ´es a fal magass´ag´at egy adott id˝oben ´es helyen ρ(t, x)-szel ´es h(t, x)-szel jel¨olj¨ uk, tov´ abb´ a bevezetj¨ uk az u(t, x) := −∂x h(t, x) jel¨ol´est, akkor az (1), (2) egyenletekb˝ ol n´emi (form´alis)
2
sz´amol´as ut´an az al´abbi pde rendszert kapjuk: ( ∂t ρ + ∂x (ρu) = 0, ∂t u + ∂x ρ = 0.
(3)
[18]-ben bemutatj´ak, hogy ez a pde-rendszer tekinthet˝ o egy ´altal´ anos u ¨leped´esi- vagy fel¨ uletn¨oveked´esi modell le´ır´as´anak is. Adott egy popul´aci´ o (a lok´alis s˝ ur˝ us´eg´et ρ(t, x)-szel jel¨olj¨ uk), amely valamilyen anyag lerak´as´aval egy fel¨ uletet ´ep´ıt (ennek magass´aga h(t, x)). Legyen tov´ abb´ a u(t, x) := −∂x h(t, x). Akkor a jelens´eg mechanizmusa az al´abbi k´et szab´allyal ´ırhat´ o le: (a) A popul´aci´o lok´alis sebess´eg-mez˝ oje ar´anyos a fel¨ ulet-magass´ ag negat´ıv gradiens´evel. Ez azt jelenti, hogy a popul´aci´o a fal lok´alis cs¨okken´es´enek ir´any´ aba mozdul. Ez a szab´aly, a t¨omegmegmarad´assal kombin´alva a kontinuit´ asi egyenlethez vezet, ami ´eppen (3) els˝o sora. (b) Az u ¨leped´esi r´ata (vagy a fal n¨oveked´esi r´at´ aja) ar´anyos ρ-val: ∂t h ∼ ρ,
(4)
azaz a u ¨leped´est/n¨oveked´est a popul´aci´ o okozza, addit´ıv m´odon. Ezt az egyenletet deriv´alva x szerint (´es az ar´anyt 1-nek v´alasztva) kapjuk (3) m´asodik egyenlet´et. Ugyanebben a cikkben a (3) egyenletrendszert levezetik az eml´ıtett k˝om˝ uves modellb˝ol form´alis hidrodinamikai hat´ar´atmenet ´es perturb´aci´ os anal´ızis seg´ıts´eg´evel. A szerz˝ok sejt´esk´ent mondj´ak ki, hogy a levezet´es prec´ızz´e tehet˝o, ´es igaz kell, hogy legyen k´et-komponens˝ u rendszerek egy ´altal´anos csal´adj´aban. Ugyanitt r´amutatnak bizonyos kapcsolatokra (3) ´es az u ´.n. KardarParisi-Zhang (KPZ) egyenlet k¨oz¨ott. A KPZ egyenlet a n¨oveked˝ o fel¨ uletek egyik legjelent˝ osebb modellje a fizikus irodalomban (l´asd pl. [4]). Le´ır´ as´ at adja olyan fel¨ uleteknek, amelyek hat´arukra mer˝oleges ir´anyban n˝onek, mik¨ozben egy bizonyos fesz¨ ults´eg, tenzi´o ¨osszetartja ˝oket (azaz a lyukakat gyorsan betemeti). Ez hasonl´ıt a k˝om˝ uvesek ´altal ´ep´ıtett fal tulajdons´agaihoz. Maga a KPZ egyenlet egy (matematikailag nem prec´ız) nemline´aris pde egy sztochasztikus taggal: ∂t h = ∇h − (∂x h)2 + W
(5)
ahol W = W (t, x) feh´er zaj t´erben is id˝oben. A KPZ egyenlet ´altal motiv´alva az al´abbi m´odon v´altoztatjuk meg a (b) szab´alyt a fel¨ uletn¨ oveked´esi modellek [18] szerinti le´ır´as´aban, a jobb oldalra egy (∂x h)2 -tel ar´anyos tagot adunk: ∂t h ∼ ρ + γ(∂x h)2 .
(6)
Ez azt jelenti, hogy a fel¨ uletn¨oveked´est nem csak a popul´aci´ o okozza, hanem maga a fel¨ ulet is (a KPZ modell szellem´eben). Ezt x szerint deriv´alva az al´abbi pde rendszert kapjuk (3) helyett: ( ∂t ρ + ∂x (ρu) = 0, (7) ∂t u + ∂x (ρ + γu2 ) = 0, 3
ahol γ egy val´os param´eter. Ez a pde rendszer egy hiperbolikus megmarad´asi t¨orv´eny, melynek tulajdons´agai nagyban f¨ uggnek γ ´ert´ek´et˝ ol. Hiperbolikuss´ag azt jelenti, hogy a pde Jacobim´atrix´anak k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o val´os saj´at´ert´eke van. A hiperbolikuss´ag egyik legl´enyegesebb k¨ovetkezm´enye az, hogy az egyenletnek nem l´etezik glob´alis er˝os megold´asa, tetsz˝oleges sima kiindul´asi felt´etelek mellett v´eges id˝on bel¨ ul sokkok, diszkontinuit´ asok keletkeznek (n´eh´ any speci´alis kiindul´asi felt´etelt kiv´eve). Most m´ar k´eszen ´allunk arra, hogy megfogalmazzuk az ´ertekez´es kiindul´asi probl´em´ aj´ at: Matematikailag korrekt m´ odon le akarjuk vezetni a (7) egyenletrendszert univerz´ alis alacsony s˝ ur˝ us´eg˝ u melletti hidrodinamikai hat´ ar´ atmenetk´ent 1-dimenzi´ os, k´et megmarad´ o mennyis´eggel rendelkez˝ o modellek egy ´ altal´ anos csal´ adj´ ara.
3.
Modellek
Egy dimenzi´os r´acsmodelleket vizsg´alunk, amelyek a diszkr´et t´oruszokon (Tn := Z/nZ, n ∈ N) vannak ´ertelmezve. A folytonos t´oruszt T := R/Z-vel jel¨olj¨ uk. Legyen Ω egy v´eges halmaz, r´eszecske-rendszer¨ unk ´allapottere
Ωn := ΩT
n
lesz, a lehets´eges konfigur´aci´okat ω := (ωj )j∈Tn ∈ Ωn jel¨ oli. A folyamatunk folytonos idej˝ u Markov-folyamat lesz, csak olyan elemi ugr´asokat (´allapotv´altoz´asokat) enged¨ unk meg, amelyek k´et szomsz´edos r´acspontot ´erintenek. Ha a rendszer¨ unk egy adott pillanatban az ω konfigur´aci´oban van, akkor a j, j + 1 r´acspontokhoz tartoz´o ωj , ωj+1 0 0 ´allapotok megv´altozhatnak ωj0 , ωj+1 -be valamilyen ωj , ωj+1 , ωj0 , ωj+1 -t˝ol f¨ ugg˝ o r´at´ aval. Ez´altal
a dinamika eltol´as-invari´ans lok´alis szab´alyokt´ ol f¨ ugg. A r´ata-f¨ uggv´enyt r : Ω×Ω×Ω×Ω → R+ 0 vel jel¨olj¨ uk, azaz r(ωj , ωj+1 ; ωj0 , ωj+1 ) a r´at´ aja az el˝obb defini´alt ugr´asnak.
K´et (diszkr´et) megmarad´o mennyis´eggel rendelkez˝ o rendszereket vizsg´alunk, melyeket az al´abbi m´odon jel¨ol¨ unk: ζ : Ω → Z,
η : Ω → Z.
Haszn´aljuk m´eg a ζj = ζ(ωj ), ηj = η(ωj ) jel¨ol´eseket is. Az, hogy ezek megmarad´o menynyis´egek, azt jelenti, hogy csak olyan elemi ugr´asokat enged¨ unk meg, amelyek meg¨orzik a P P 0 ert´ekeket. Azaz ha egy elemi ugr´as az(ωj , ωj+1 )-t (ωj0 , ωj+1 )-re v´altoztatja j∈Tn ζj , j∈Tn ηj ´ pozit´ıv r´at´aval, akkor
0 ζj + ζj+1 = ζj0 + ζj+1 , 0 ηj + ηj+1 = ηj0 + ηj+1 .
A megmarad´o mennyis´egeknek k¨ ul¨onb¨oz˝ oknek kell lenni¨ uk, ez´ert feltessz¨ uk, hogy ζ, η ´es az Ω-n defini´al konstans 1 f¨ uggv´eny line´arisan f¨ uggetlenek. 4
K¨onnyen l´athat´o, hogy (esetleg η-t eltolva, hogy nemnegat´ıv legyen) mindig tekinthetj¨ uk a model¨ unket lok´alisan egy olyan n¨ovekv˝ o falk´ent, amely az ´elekre halmozott egys´eg-t´egl´ akb´ ol ´all, amelyeket a r´acspontokon ugr´al´o k˝om˝ uvesek pakolnak le. A j-n´el l´ev˝ o k˝om˝ uvesek sz´ama lesz ηj , ζj pedig a (j − 1, j)-n ´es (j, j + 1)-en l´ev˝ o oszlopok magass´ag´ anak k¨ ul¨ onbs´ege (lsd. 1. ´abra). Egy elemi ugr´as a (j − 1, j) r´acspontok k¨oz¨ ott az al´abbi v´altoztat´ asok valamelyik´enek felel meg: – n´eh´any r´eszecske ´atugrik j − 1-b˝ol j-be vagy ford´ıtva, – n´eh´any t´egl´at r´atesz¨ unk, vagy elvesz¨ unk a (j − 1, j)-en ´all´ o oszlop tetej´ere/tetej´er˝ ol, – az el˝obbiek kombin´aci´oja.
j-2 j-1
j
j+1 j+2
j-2 j-1
j
j+1 j+2
h:
2
1
4
0
2
h:
2
4
1
0
2
z:
3
-1
-2
-2
1
z:
3
-3
0
-2
1
1. ´abra. Az ´abra egy elemi ugr´ast mutat be a k˝om˝ uves k¨ornyezetben: 3 k˝om˝ uves ugrott j-b˝ ol j − 1-be, ´es ek¨ozben 2 t´egl´at helyeztek a (j − 1, j)-n ´all´ o oszlop tetej´ere. 0
Az infinitezim´alis gener´ator prec´ız defini´al´ as´ ahoz sz¨ uks´eg¨ unk van a Θωj ,ω f¨ uggv´enyre tetsz˝oleges ω 0 , ω 00 ∈ Ω, j ∈ Tn mellett: 0 if ω ³ 0 00 ´ ω ,ω 00 ω if Θj ω = i ωi if
00
: Ω n → Ωn
i=j i=j+1 i 6= j, j + 1.
Az Ωn -en defini´alt folyamat gener´atora: Ln f (ω) =
X
X
Tn ω0 ,ω00 ∈Ω
0
00
r(ωj , ωj+1 ; ω 0 , ω 00 )(f (Θωj ,ω ω) − f (ω)).
j∈
uk az Ωn -en az Ln gener´atorral defini´alt Markov folyamatot. Xtn -vel jel¨olj¨ Sz´amos technikai felt´etelt szabunk az r r´ ataf¨ uggv´enyre. Ezeket nem soroljuk teljes r´eszletess´egben, csak a legfontosabb k¨ovetkezm´enyeiket v´azoljuk: (1) Nincsenek rejtett extra megmarad´asi t¨orv´enyek
P
ζj ´es
P
ηj mellett.
(2) L´etezik egy π val´osz´ın˝ us´egi m´ert´ek Ω-n, ami pozit´ıv s´ ulyt tesz minden elemre, ´es amelyre Q n n a π := j∈Tn π szorzatm´ert´ek stacion´arius az Xt folyamatra (minden n mellett). 5
(3) A folyamat nem reverzibilis, a ,,detailed balance” felt´etel nem teljes¨ ul. Val´oj´aban a rendszer π n -hez hasonl´o stacion´arius szorzatm´ert´ekek egy eg´esz csal´adj´ aval rendelkezik. Tetsz˝oleges θ, τ ∈ R mellett defini´aljuk a G(θ, τ ) momentumgener´ al´ o f¨ uggv´enyt: X G(θ, τ ) := log eθζ(ω)+τ η(ω) π(ω). ω∈Ω
Termodinamikai nyelven G(θ, τ ) a Gibbs szabadenergi´anak felel meg, lsd. [8]. Defini´aljuk az al´abbi val´osz´ın˝ us´egi m´ert´ekeket Ωn -en: πθ,τ (ω) := π(ω) exp(θζ(ω) + τ η(ω) − G(θ, τ )) Tetsz˝oleges θ, τ ∈ R ´es n-re a n πθ,τ :=
Y
T
j∈
szorzatm´ert´ek
Xtn
(8)
πθ,τ
n
stacion´arius m´ert´eke. A megmarad´o mennyis´egek πθ,τ szerinti v´arhat´ o ´ert´ek´et
az al´abbi m´odon jel¨olj¨ uk: u(θ, τ ) := Eπθ,τ (ζ) =
X
ζ(ω)πθ,τ (ω) = G0θ (θ, τ ),
ω∈Ω
v(θ, τ ) := Eπθ,τ (η) =
X
η(ω)πθ,τ (ω) = G0τ (θ, τ ).
ω∈Ω
K¨onny˝ u bel´atni, hogy a (θ, τ ) 7→ (u(θ, τ ), v(θ, τ )) f¨ uggv´eny invert´ alhat´ o, az inverz´et (u, v) 7→ (θ(u, v), τ (u, v))-vel jel¨olj¨ uk. Az inverz-f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´ at fizikai tartom´ anynak h´ıvjuk, D-vel, ´es teljes¨ ul r´a D = co{(η(ω), ζ(ω)) : ω ∈ Ω} ahol co konvex burkot jel¨oli. A jel¨ol´esekben az al´abbi egyszer˝ us´ıt´esekkel ´el¨ unk n n πθ(u,v),τ (u,v) =: πu,v ,
πθ(u,v),τ (u,v) =: πu,v ,
ez egy m´asik parametriz´al´asi lehet˝os´eget ad a stacion´arius szorzatm´ert´ekeinkre Jel¨olje (u, v) 7→ S(u, v) a (szigor´ uan konvex) (θ, τ ) 7→ G(θ, τ ) f¨ uggv´eny konvex konjug´ altj´ at (Legendre transzform´altj´at): ¡ ¢ S(u, v) := sup uθ + vτ − G(θ, τ ) .
(9)
θ,τ
osz´ın˝ us´egsz´ am´ıt´ asi nyelven S(u, v) Bel´athat´o, hogy θ(u, v) = Su0 (u, v), τ (u, v) = Sv0 (u, v). Val´ P P ( j ζj , j ηj ) nagy elt´er´eseinek k¨oz¨os r´at´ aja, termodinamik´aban S(u, v) az egyens´ ulyi termodinamikai entr´opi´anak felel meg (lsd. [8]). Mivel a k¨olcs¨onhat´asok csak szomsz´edos r´acspontokat ´erintenek, ez´ert a gener´ator az al´abbi m´odon hat a megmarad´o mennyis´egekre: Ln ζi = −φ(ωi , ωi+1 ) + φ(ωi−1 , ωi ) =: −φi + φi−1 , Ln ηi = −ψ(ωi , ωi+1 ) + ψ(ωi−1 , ωi ) =: −ψi + ψi−1 , 6
ahol φ : Ω × Ω → R, ψ : Ω × Ω → R f¨ uggv´enyek. φ ´es ψ a mikroszkopikus fluxus f¨ uggv´enyek, 2 szerint pedig a makroszkopikus fluxus f¨ v´arhat´o ´ert´ekeik πu,v uggv´enyek:
Φ(u, v) := Eπu,v 2 φ(ω1 , ω2 ), Ψ(u, v) := Eπu,v 2 ψ(ω1 , ω2 ). Mint k´es˝obb l´atni fogjuk, a Φ(u, v), Ψ(u, v) makroszkopikus fluxusok fogj´ak ir´any´ıtani a megmarad´o mennyis´egek s˝ ur˝ us´eg-profiljainak id˝obeni fejl˝od´es´et. Ezek a f¨ uggv´enyek f¨ uggnek a mikroszkopikus modellt˝ol, az r r´ataf¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel kisz´amolhat´ oak. Az ´ertekez´es 2.2 fejezet´eben sz´amos konkr´et mikroszkopikus modellt mutatunk be, amelyek b´ırnak a felsorolt tulajdons´agokkal.
4.
Euler sk´ al´ az´ as
A hidrodinamikai hat´ar´atmenet a megmarad´o mennyis´egek s˝ ur˝ us´egprofiljainak makroszkopikus viselked´es´et adja meg, a t´er ´es az id˝o megfelel˝o sk´al´ az´ as´ aval. A t´er sk´al´ az´ asa az ¨osszes eredm´eny¨ unkben ugyanolyan lesz, mindig n-nel (a rendszer m´eret´evel) sk´al´ azunk. Ez azt jelenti, hogy a Tn t´oruszt u ´gy reprezent´aljuk, mint n pont a folytonos t´oruszon, 1/n t´avols´ aggal a szomsz´edos pontok k¨oz¨ott. Sz´amos olyan heurisztikus levezet´es ismert, amely szerint Euler sk´al´ az´ as mellett (ez a t´er ´es id˝o sk´al´az´asa n-nel) a megmarad´o mennyis´egek (ζ, η) s˝ ur˝ us´egprofiljai az al´abbi egyenletrendszer szerint fejl˝odnek: (
∂t u + ∂x Φ(u, v) = 0, ∂t v + ∂x Ψ(u, v) = 0,
(10)
Ez ´altal´aban egy hiperbolikus megmarad´asi t¨orv´eny. Kicsit prec´ızebb form´aban ez a k¨ovetkez˝ oket jelenti. Tegy¨ uk fel, hogy u0 (·), v0 (·) val´ os f¨ uggv´enyek T-n, melyekre x ∈ T eset´en (u0 (x), v0 (x)) ∈ D. Tekints¨ unk egy mikroszkopikus modellt, ´es vegy¨ uk egy-egy k´opi´aj´at Ωn -en minden n-re. Tegy¨ uk fel, hogy a kiindul´asi (v´eletlen) konfigur´aci´ok olyanok, hogy ζ ´es η lok´ alis s˝ ur˝ us´egei az u0 (·), v0 (·) f¨ uggv´enyeket approxim´ alj´ ak. Akkor a rendszert (rendszereket) nt ideig futtatva a ζ ´es η s˝ ur˝ us´eg-profiljai az u(t, ·), v(t, ·) f¨ uggv´enyeket approxim´alj´ak, amelyek az (10) egyenlet megold´asai u(0, x) = u0 (x), v(0, x) = v0 (x) kezdeti felt´etelek mellett. T¨obbf´elek´eppen defini´alhatjuk azt, hogy mit jelentsen, hogy a s˝ ur˝ us´egprofil egy adott f¨ uggv´enyt approxim´ al. Egy term´eszetes defin´ıci´ o a k¨ovetkez˝ o gyenge approxim´aci´o: tetsz˝oleges sima g : T → R tesztf¨ uggv´enyre Z 1 X P g(j/N )ζj (nt)−→ g(x)u(t, x) dx, N T j∈Tn Z 1 X P g(j/N )ηj (nt)−→ g(x)v(t, x) dx. N T n
T
j∈
7
(11)
Ekkor az el˝obbi (heurisztikus) eredm´eny a k¨ovetkez˝ ok´eppen ¨osszegezhet˝ o: ha az el˝oz˝ o hat´ar´atmenetek igazak tetsz˝oleges g-re t = 0 mellett, akkor igazak lesznek tetsz˝oleges t > 0-ra is. Az 1. T´etel az el˝oz˝o eredm´eny matematikailag prec´ız verzi´ oj´ at adja. L´enyeg´eben egy modellf¨ uggetlen m´odszer l´etezik hidrodinamikai limesz bizony´ıt´ as´ ahoz, amely m˝ uk¨ odik t¨obb megmarad´o mennyis´eggel rendelkez˝o hiperbolikus rendszerekre: ez H.T. Yau relat´ıv entr´ opia m´odszere ([20]). Attrakt´ıv egy-komponens˝ u rendszerekre l´eteznek er˝oseb eredm´enyek (pl. [9]), de ezek nem terjeszthet˝oek ki a mi eset¨ unkre. Az entr´ opia m´odszer robusztus, de ennek a nagy ´altal´ anoss´agnak ´ara van: a bizony´ıt´as csak a hat´ar´ert´ek egyenlet sima megold´asaira m˝ uk¨ odik. (A simas´ag val´oj´aban bizonyos differenci´alhat´os´agi felt´eteleket jelent.) Azonban, mint m´ar eml´ıtett¨ uk, hiperbolikus megmarad´asi t¨orv´enyeknek nem lehet glob´alis sima megold´asa ´altal´ anos kezd˝ ofelt´e´ telekkel. Igy a relat´ıv entr´opia m´odszer csak v´eges id˝otartom´ anyban m˝ uk¨ odik, az els˝o sokkok megjelen´es´eig. Miel˝ott kimondan´ank a t´etelt, n´eh´any sz´o a relat´ıv entr´ opia m´odszerr˝ ol. Ha µ ´es π val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekek ugyanazon az Ω val´osz´ın˝ us´egi mez˝on, akkor relat´ıv entr´ opi´ ajukat H(µ|π)-vel jel¨ olj¨ uk, ´es az al´abbi m´odon defini´aljuk: H(µ|π) :=
sup kf k∞ <∞
Ha l´etezik a
dµ dπ
n o Eµ f − log Eπ ef .
s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny, akkor µ ¶ µ ¶ dµ dµ dµ H(µ|π) = Eµ log = Eπ log . dπ dπ dπ
A relat´ıv entr´opia megmutatja k´et val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ek t´avols´ ag´ at (b´ar szigor´ u topol´ogiai ´ertelemben nem is t´avols´ag). Az entr´opia m´odszer alapja a k¨ovetkez˝ o: ahelyett, hogy a s˝ ur˝ us´egprofilokat hasonl´ıtan´ank a determinisztikus f¨ uggv´enyekhez, ink´abb megpr´ob´ aljuk ,,kital´alni” mag´at az eloszl´ast, ´es ehhez a ,,tipphez” hasonl´ıtjuk a val´ odi eloszl´ast. Mivel a rendszert ´altal´abban hossz´ u fut´asi id˝o ut´an vizsg´aljuk (nt ebben az esetben, ahol n nagy), ez´ert ´eszszer˝ u ´ feltev´es, hogy lok´alisan az eloszl´as a stacion´arius eloszl´ashoz hasonl´ıt. Igy, ha azt gondoljuk, hogy ζ ´es η s˝ ur˝ us´egprofiljai az (u(t, ·), v(t, ·)) f¨ uggv´enyeket approxim´ alj´ ak, akkor a k¨ovetkez˝ o eloszl´as Ωn -en egy j´o ,,tipp” a val´odi eloszl´asra: νtn :=
Y j∈
Tn
πu(t, j ),v(t, j ) . n
n
(12)
ugg˝o referencia eloszl´asunk, ehhez hasonl´ıtjuk a folyamat eloszl´as´ at. Jel¨olj¨ uk A νtn m´ert´ek az id˝of¨ a val´odi eloszl´ast nt id˝o eltelt´evel µnt -vel. Most m´ar kimondhatjuk a t´etelt. 1. T´ etel. Legyen (u(t, x), v(t, x)) a (10) egyenlet olyan megold´ asa, ami sima t ∈ [0, T ]-re, ´es x ∈ T eset´en (u(0, x), v(0, x)) ∈ D. Ha H(µn0 |ν0n ) = o(n),
8
akkor H(µnt |νtn ) = o(n), egyenletesen t ∈ [0, T ]-re. A t´etel ´all´ıt´asa szerint ha a kezdeti eloszl´as relat´ıv entr´ opia ´ertelemben k¨ozel van ν0n -hez, akkor nt id˝o m´ ulva k¨ozel lesz νtn -hez (ugyanolyan ´ertelemben). Az, hogy a ,,k¨ozel” itt o(n)-et jelent, k¨onnyen megindokolhat´o (lsd. [15]). Tal´ an nem l´atszik, hogy van-e egy´altal´ an kapcsolat a relat´ıv entr´ opi´at haszn´al´o megfogalmaz´as, ´es a (11)-ben defini´alt gyenge approxim´ aci´ o k¨oz¨ ott. Val´oj´aban az al´abbi k¨ovetkezm´eny ad´odik a t´etelb˝ ol: 1. K¨ ovetkezm´ eny. A t´etel felt´etelei mellett, tetsz˝ oleges t ∈ [0, T ]-re, az al´ abbi hat´ ar´ert´ekek teljes¨ ulnek:
Z 1 X P g(j/n)ζj (t)−→ g(x)u(t, x) dx, n T j∈Tn Z X 1 P g(j/n)ηj (t)−→ g(x)v(t, x) dx, n T n
T
j∈
tetsz˝ oleges sima g : T → R tesztf¨ uggv´enyre, n → ∞ mellett. Az 1. T´etel bizony´ıt´asa a relat´ıv entr´opia m´odszer szok´asos l´ep´eseit k¨oveti, de van egy l´enyeges u ´j elem is. Ahhoz, hogy a levezet´es v´eghezvihet˝ o legyen, az al´abbi szimmetria rel´aci´ ora van sz¨ uks´eg¨ unk Φ ´es Ψ k¨oz¨ott. A rel´aci´ok az Onsager-f´ele reciprocit´asi rel´aci´ okhoz hasonl´oak, ´es a stacion´arius szorzatm´ert´ek l´etez´es´eb˝ol bizony´ıthat´ oak. 1. Lemma. ∂τ Ψ(u(θ, τ ), v(θ, τ )) = ∂θ Φ(u(θ, τ ), v(θ, τ )). Ez a szimmetria rel´aci´o a bizony´ıt´as fontos eleme, de seg´ıts´eg´evel bizony´ıthatjuk a (10) pde n´eh´any ´erdekes (b´ar nem t´ ul meglep˝o) tulajdons´ag´ at. 2. K¨ ovetkezm´ eny. A (10) megmarad´ asi t¨ orv´eny (gyeng´en) hiperbolikus a D tartom´ any belsej´eben. Tov´ abb´ a, a modell egyens´ ulyi termodinamikai entr´ opi´ aja, (u, v) 7→ S(u, v), a (10)rendszer glob´ alisan konvex Lax entr´ opi´ aja. A gyenge hiperbolikuss´ag azt jelenti, hogy a ¶ µ 0 Φu (u, v) Φ0v (u, v) Ψ0u (u, v) Ψ0v (u, v)
(13)
Jacobi m´atrix diagonaliz´alhat´o val´os ´ertelemben. A Lax entr´ opia egy olyann S(u, v) f¨ uggv´eny, amihez l´etezik egy F (u, v) fluxus f¨ uggv´eny, hogy ha u(t, x), v(t, x) sima megold´asa (10)-nek, akkor ∂t S(u, v) + ∂x F (u, v) = 0. Ez l´enyeg´eben egy extra megmarad´asi t¨orv´enye (10)-nek. Az ebben a fejezetben ismertetett eredm´enyek megjelentek a [15] publik´aci´ oban. 9
5.
Az univerz´ alis (7) egyenlet levezet´ ese
5.1.
Perturb´ aci´ os anal´ızis
Ebben a fejezetben a ρ v´altoz´ot haszn´aljuk v helyett az η megmarad´o mennyis´eg s˝ ur˝ us´eg´ere. Az Euler sk´al´az´as eredm´enyeit felhaszn´alva form´alis perturb´aci´ ot alkalmazva le tudjuk vezetni a (7) egyenletet. Tegy¨ uk fel, hogy minω∈Ω η(ω) = 0 (ez egy term´eszetes feltev´es, ha η-ra u ´gy tekint¨ unk, mint egy adott r´acsponton a r´eszecsk´ek sz´am´ ara), tov´ abb´ a hogy a mikroszkopikus modell¨ unk t¨ uk¨or-szimmetrikus. Ez ut´obbi alatt azt ´ertj¨ uk, hogy adott egy R : Ω → Ω,
R ◦ R = Id
invol´ uci´o, ami ´ıgy hat a megmarad´o mennyis´egekre: η(Rω) = η(ω),
ζ(Rω) = −ζ(ω),
´es amire π(Rω) = π(ω),
r(Rω2 , Rω1 ; Rω20 , Rω10 ) = r(ω1 , ω2 ; ω10 , ω20 ).
Ez azt jelenti, hogy a r´acs ir´any´ıt´as´at megford´ıtva, a fal ugyanolyan dinamik´aval fejl˝odik. Itt jegyezz¨ uk meg, hogy a (7) pde rendelkezik ezzel a szimmetri´aval: ha (ρ(t, x), u(t, x)) megold´as, akkor (ρ(t, −x), −u(t, −x)) is. A modellr˝ol feltett extra felt´etelek mellett az al´abbi aszimptotik´ak teljes¨ ulnek a makroszkopikus fluxusokra: ¡ ¢ Φ(ρ, u) = a (ρ + γu2 ) 1 + O(ρ + u2 ) , ¡ ¢ Ψ(ρ, u) = b ρu 1 + O(ρ + u2 ) , ha ρ, |u| ¿ 1. Ezeket az aszimptotik´akat haszn´alva a (7) egyenlet levezethet˝ oa ( ∂t u + ∂x Φ(ρ, u) = 0, ∂t ρ + ∂x Ψ(ρ, u) = 0,
(14)
(15)
Euler egyenlet konstans (0, 0) megold´as´ anak perturb´aci´ oj´ aval. Legyenek ρ0 (x) ´es u0 (x) adott f¨ uggv´enyek, ´es tegy¨ uk fel, hogy ρε (t, x) ´es uε (t, x) megold´asa az Euleri egyenlet megold´asa ρε (0, x) = ε2 ρ0 (x),
uε (0, x) = ε u0 (x)
kezdeti felt´etelekkel. Akkor form´alis sz´amol´ assal, ha ε → 0: ε−2 ρε (ε−1 t, x) → ρ(t, x),
ε−1 uε (ε−1 t, x) → u(t, x),
ahol ρ(t, x), u(t, x) a (7) pde megold´asa ρ(0, x) = ρ0 (x),
u(0, x) = u0 (x) 10
kezdeti felt´etelekkel. Igaz´ab´ol az a, b konstansok is megjelennek az egyenletben, de egyszer˝ u (line´aris) v´altoz´o-transzform´aci´okkal kisk´al´ azhat´ ok, hogy (7)-et kapjuk. Fontos megjegyezn¨ unk, hogy a γ param´etert nem lehet kisk´al´ azni az egyenletrendszerb˝ ol, ´es hogy ez az egyetlen param´eter, ami az eredeti mikroszkopikus modellb˝ol megmaradt.
5.2.
A f˝ o eredm´ eny
A perturb´aci´os anal´ızis seg´ıts´eg´evel megsejthet˝o, hogy hogyan lehetne levezetni (7)-t ,,univerz´alis” hidrodinamikai limeszk´ent. R¨ogz´ıts¨ unk egy mikroszkopikus modellt a kor´ abbi extra felt´etelekkel (min η = 0 ´es t¨ uk¨or-szimmetria), egy kis β > 0 konstanst, ´es tegy¨ uk fel, hogy ρ(t, x), u(t, x) megold´asa (7)-nek ρ(0, x) = ρ0 (x),
u(0, x) = u0 (x)
kezdeti felt´etelekkel. Ha t = 0-kor η ´es ζ s˝ ur˝ us´egprofiljai k¨ozel vannak az n−2β ρ0 (·), n−β u0 (·) f¨ uggv´enyekhez, akkor n1+β t id˝o m´ ulva k¨ozel kell, hogy legyenek az n−2β ρ(t, ·), n−β u(t, ·) f¨ uggv´enyekhez. Vegy¨ uk ´eszre, hogy ez nem Euler sk´ al´ az´ as. A (7) egy tetsz˝oleges ρ(t, x), u(t, x) megold´as´ ahoz az al´abbi id˝of¨ ugg˝ o νtn referencia m´ert´eket konstru´aljuk: νtn :=
Y
T
j∈
n
πn−2β ρ(t, j ),n−β u(t, j ) . n
n
Ezt hasonl´ıtjuk ¨ossze a folyamat val´odi eloszl´as´ aval n1+β t id˝o ut´an, ezt µnt -vel jel¨olj¨ uk. Annak ´erdek´eben, hogy a lok´alis egyens´ uly gyorsabban be´alljon, ´es ´ıgy k¨onnyebben becs¨ ulhess¨ unk bizonyos hibatagokat a hidrodinamikai hat´ar´ atmenet bizony´ıt´ asakor, sz¨ uks´eg¨ unk van a Markov gener´ator szimmetrikus r´esz´enek felgyors´ıt´ as´ ara. Pontosabban: lesz egy szimmetrikus s r´ataf¨ uggv´eny¨ unk is, hasonl´o tulajdons´agokkal, mint r (´es m´eg n´eh´ any technikai felt´etellel), ´es 0 0 0 egy (ωj , ωj+1 ) → (ωj0 , ωj+1 elemi l´ep´es r´at´ aja r(ωj , ωj+1 ; ωj0 , ωj+1 ) + nδ s(ωj , ωj+1 ; ωj0 , ωj+1 ) lesz.
A δ param´eter 1-n´el kisebb pozit´ıv sz´am. M´eret´et u ´gy ´all´ıtjuk be, hogy a szimmetrikus r´esz hat´asa ne l´ atsz´ odjon a hidrodinamikai hat´ar´ atmenetben. Most m´ar k´eszen ´allunk a t´etel kimond´as´ara. 2. T´ etel. R¨ ogz´ıts¨ unk egy mikroszkopikus modellt, amire a γ param´eter nagyobb 1-n´el. Tegy¨ uk fel, hogy ρ(t, x), u(t, x) a (7) pde sima megold´ asa [0, T ] × T-ben. V´ alasszunk β ∈ (0, 1/2) ´es δ ∈ (1/2, 1) param´etereket u ´gy, hogy 2δ − 8β > 1, δ + 3β < 1 teljes¨ ulj¨ on, ´es defini´ aljuk µnt , νtn -t a l´ atott m´ odon. Ha H(µnt |νtn ) = o(n1−2β ) teljes¨ ul t = 0-ra, akkor teljes¨ ul egyenletesen t ∈ [0, T ]-re. A t´etel hasonl´o strukt´ ur´aj´ u, mint az 1. T´etel, ´es hasonl´o k¨ovetkezm´enye van.
11
3. K¨ ovetkezm´ eny. Tegy¨ uk fel, hogy a 2. T´etel felt´etelei teljes¨ ulnek. Legyen g : T → R tetsz˝ oleges sima tesztf¨ uggv´eny. Akkor minden t ∈ [0, T ]-re Z X j P 2β−1 n g(x)ρ(t, x) dx, g( )ηj (t) → n T n
T
j∈
β−1
n
X j∈
j P g( )ζj (t) → n n
T
Z
T
g(x)u(t, x) dx.
A γ > 1 felt´etel abb´ol ad´odik, hogy a (7) pde geometriai strukt´ ur´ aja l´enyegesen k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o ´ a γ < 1 ´es a γ > 1 esetekben. Erdekes, hogy ez a geometriai k¨ ul¨ onbs´eg egyben nagy szerepet j´atszik a k´erd´eses egyenlet megoldhat´os´ ag´ aban, kezelhet˝ os´eg´eben is. A γ < 1 esetre m´eg a Lax-f´ele maximum-elvet sem lehet bizony´ıtani, azaz nem lehet tudni, hogy korl´ atos kezdeti felt´etelek mellett a megold´as korl´atos marad, nem robban fel (γ ≥ 1-re van maximum-elv). A 2. T´etel bizony´ıt´asa nem csak a relat´ıv entr´ opia m´odszeren alapul, nemtrivi´ alis parcdiff elemeket is tartalmaz. Ahhoz, hogy kezelni tudjunk bizonyos, az alacsony s˝ ur˝ us´eg˝ u approxim´ aci´ o miatt megjelen˝o Poisson-t´ıpus´ u tagokat, kifinomult parc-diff becsl´eseket kell alkalmazni. A pde rendszer bizonyos speci´alis Lax entr´opi´ ai fontos szerepet j´atszanak a bizony´ıt´ as kulcsl´ep´es´eben. A fejezet eredm´enyeit a [15] publik´aci´o tartalmazza (k¨ozl´esre beadott preprint).
6.
Hiperbolikus egyens´ ulyi pont perturb´ aci´ oja
A 2. T´etel ´all´ıt´asa u ´gy is felfoghat´o, mint egy szingul´ aris egyens´ ulyi pont k¨or¨ uli perturb´aci´ ok hidrodinamikai viselked´es´enek le´ır´asa. Val´ oban, a (0, 0) pont, ami k¨or¨ ul tekintett¨ uk a perturb´aci´ot, nem hiperbolikus pontja a (15) Euler egyenletnek, ott ugyanis a Jacobi m´atrix a µ ¶ 0 0 1 0 m´atrix konstansszorosa. Azonban D pontjai ´altal´aban hiperbolikusak, ´ıgy term´eszetesen mer¨ ul fel a k´erd´es: hogyan viselkednek a perturb´aci´ok, ha egy ,,k¨oz¨ ons´eges” hiperbolikus pont k¨or¨ ul tekintj¨ uk ˝oket. Ebben a fejezetben ezzel a k´erd´essel foglalkozunk. Ebben a fejezetben ism´et a 4. fejezet jel¨ol´eseit haszn´aljuk. Tegy¨ uk fel, hogy (u0 , v0 ) ∈ D a (10) egyenlet (er˝osen) hiperbolikus pontja. Hogy egyszer˝ us´ıts¨ unk a jel¨ol´eseken, feltessz¨ uk, hogy (u0 , v0 )-ben a (13) Jacobi-m´atrix diagon´alis: µ ¶ λ 0 , 0 µ λ 6= µ a k´et val´os saj´at´ert´ek. Az ´altal´ anos eset mindig visszavezethet˝ o erre, ha egy megfelel˝o line´aris transzform´aciot alkalmazunk a ζ, η f¨ uggv´enyeken. Legyenek u∗ (x), v ∗ (x) adott sima f¨ uggv´enyek, ´es tegy¨ uk fel, hogy uε (t, x), v ε (t, x) a (10) egyenlet megold´asa uε (0, x) = u0 + εu∗ (x), 12
v ε (0, x) = v0 + εv ∗ (x)
kezdeti felt´etelekkel. Standard perturb´aci´os technik´akat alkalmazva (pl. a ,,geometric optics” technik´ at, lsd. [1] vagy [3]) form´alisan bel´athat´o, hogy uε (t, x) ≈ u0 + εu(εt, x − λt) + O(ε2 ), v ε (t, x) ≈ v0 + εv(εt, x − µt) + O(ε2 ), amint ε → 0 ahol u(t, x) ´es v(t, x) k´et szepar´ alt parci´alis differenci´al-egyenlet megold´asa. Ezek Burgers egyenletek, ha Φ00uu (u0 , v0 ) 6= 0, illetve Ψ00vv (u0 , v0 ) 6= 0, ´es line´aris transzport egyenletek egy´ebk´ent. A form´alis perturb´aci´os eredm´enyb˝ ol ism´et megsejthet˝o a hidrodinamikai viselked´es. R¨ogz´ıts¨ unk egy kis pozit´ıv β param´etert. Tegy¨ uk fel, hogy adott egy mikroszkopikus modell¨ unk Ωn -en, melyre a kezdeti eloszl´as olyan, hogy ζ ´es η s˝ ur˝ us´egprofiljai k¨ozel vannak a u0 + n−β u∗ (x), v0 + n−β v ∗ (x) f¨ uggv´enyekhez. Akkor n1+β t id˝ o m´ ulva a profilok k¨ozel lesznek a u0 + n−β u(t, x − nβ λt), v0 + n−β v(t, x − nβ µt) f¨ uggv´enyekhez. Az eredm´eny prec´ız megfogalmaz´asa hasonl´o strukt´ ur´aj´ u lesz, mint a kor´ abbi t´etelek voltal. El˝osz¨ or az id˝of¨ ugg˝ o referencia m´ert´eket defini´aljuk: r¨ogz´ıts¨ unk u(t, x), v(t, x) f¨ uggv´enyeket, melyek sim´ak [0, T ] × T-ben, ´es megold´asaik a form´alis perturb´aci´ob´ol kapott (szepar´alt) egyenleteknek. Defini´aljuk a Y νtn := πu0 +nβ u(t, j −nβ λt),v0 +n−β v(t, j −nβ µt) , j∈
Tn
n
n
m´ert´eket, ´es jel¨olje µnt az Ωn -en ´ertelmezett folyamat val´ odi eloszl´as´ at n1+β t id˝ o m´ ulva. Az r r´ataf¨ uggv´enyre most csak egy extra felt´etel kell: egyenletes, a rendszer m´eret´eben n´egyzetes becsl´es a gener´ator spektr´alis r´es´enek reciprok´ara. Itt nincs sz¨ uks´eg a szimmetrikus r´esz felgyors´ıt´as´ara, mint a 2. T´etelben. Most m´ar megfogalmazhatjuk utols´o t´etel¨ unket. aljuk µnt -t ´es νtn -t a l´ 3. T´ etel. Legyen β r¨ ogz´ıtett 0 < β < 15 -del, ´es defini´ atott m´ odon. Ha H(µnt |νtn ) = o(n1−2β ) teljes¨ ul t = 0-ra, akkor teljes¨ ul egyenletesen minden t ∈ [0, T ]-re. Ha az u ´n. logaritmikus-Szoboljev egyenl˝ otlens´eg teljes¨ ul´es´et tessz¨ uk fel az r r´ ataf¨ uggv´enyre (ez er˝osebb, mint a spektr´alis r´es feltev´es), akkor a 3. T´etel igaz lesz 0 < β < 13 -re. A t´etelb˝ ol az al´abbi k¨ovetkezm´eny ad´odik. 4. K¨ ovetkezm´ eny. Tegy¨ uk fel a 3. T´etel felt´eteleit. Legyen g : T → R egy sima tesztf¨ uggv´eny. Akkor tetsz˝ oleges t ∈ [0, T ]-re ¯ ¯ ¯ ´ Z ³ ´ ¯¯ ¯ −1+β X j ³ P ¯n g( ) ζj (n1+β t) − u0 − g(x) u(t, x − λnβ t) dx¯¯ → 0, ¯ n T ¯ ¯ j∈Tn ¯ ¯ ¯ ´ Z ³ ´ ¯¯ ¯ −1+β X j ³ P 1+β β ¯n g( ) ηj (n t) − v0 − g(x) v(t, x − µn t) dx¯¯ → 0. ¯ n T ¯ ¯ n j∈
T
13
Ez az eredm´eny kiterjeszt´ese [10]-nek ´es [14]-nak, ahol az anal´og ´all´ıt´ ast bizony´ıtj´ ak egykomponens˝ u rendszerekre: azaz konstans egyens´ ulyi ´allapot n−β rend˝ u perturb´aci´ oi a Burgers egyenlet szerint fejl˝odnek, ha az id˝o n1+β -val van sk´al´ azva. [10]-ben a megfelel˝o ´all´ıt´ ast az u ´n. teljesen szimmetrikus p´alcika rendszerre bizony´ıtja a szerz˝o (ez egy 1-dimenzi´os rendszer egy megmarad´o mennyis´eggel) csatol´asos m´odszerekkel, de er˝osebb form´aban: 0 < β < 12 -re ´es tetsz˝oleges t > 0-ra, m´eg a sokkok megjelen´ese ut´ani id˝ore is. A β-ra vonatkoz´ o 21 -es fels˝o hat´ar ´eles, a β =
1 2
esetben az egyens´ ulyi fluktu´aci´ okat nem lehet megk¨ ul¨ onb¨ oztetni a perturb´aci´ ot´ ol.
[14]-ban a Yau m´odszer seg´ıts´eg´evel azt siker¨ ult bel´atnunk, hogy az el˝oz˝ o ´all´ıt´ as univerz´ alisan igaz, egy-komponens˝ u modellek egy sz´eles csal´adj´ ara, de az eredm´eny csak 0 < β < 15 -ra ´es a sima megold´asokra m˝ uk¨odik. A 3. T´etel bizony´ıt´asa a Yau-f´ele relat´ıv entr´ opia m´odszeren alapszik, de fontos eszk¨oz az 1. Lemm´aban bizony´ıtott Onsager-t´ıpus´ u rel´aci´ o is. Az ok, ami´ert az egyenletek a hidrodinamikai limeszben szepar´al´odnak, a hiperbolikuss´ag, l´enyeg´eben a k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o saj´at´ert´ek (a ,,hangsebess´egek”) okozz´ak az egyenletek sz´etv´ al´ as´ at. A fejezet eredm´enyeit [19] tartalmazza (k¨ozl´esre beny´ ujtott preprint).
Hivatkoz´ asok [1] R. J. DiPerna, A. Majda: The Validity of Nonlinear Geometric Optics for Weak Solutions of Conservation Laws. Commun. Math. Phys. 98: 313-347 (1985) [2] J. Fritz: An Introduction to the Theory of Hydrodynamic Limits. Lectures in Mathematical Sciences 18. Graduate School of Mathematics, Univ. Tokyo, 2001. [3] J. K. Hunter, J. B. Keller: Weakly nonlinear high frequency waves. Commun Pure Appl. Math. 36, 547-569 (1983) [4] M. Kardar, G. Parisi, Y.-C. Zhang: Dynamic scaling of growing interfaces. Physical Reviews Letters 56: 889-892 (1986) [5] C. Kipnis, C. Landim: Scaling Limits of Interacting Particle Systems. Springer, 1999. ´ [6] L. D. Landau, E. M. Lifshitz: M´ecanique des fluides, Editions Mir, Moscou, 1971 [7] S. Olla, S. R. S. Varadhan, and H. T. Yau: Hydrodynamical limit for Hamiltonian system with weak noise, Commun. Math. Phys. 155: 523-560 (1993) [8] L. E. Reichl: A Modern Course in Statistical Physics, Second Edition, John Wiley and Sons, 1998 [9] F. Rezakhanlou: Hydrodynamic limits for attractive particle systems on Zd . Commun. Math. Phys. 140: 417-448 (1991)
14
[10] T. Sepp¨al¨ainen: Perturbation of the equilibrium for a totally asymmetric stick process in one dimension. Annals of Probability 29: 176-204 (2001) [11] A. Sommerfeld: Mechanics of deformable bodies, Lectures on Theoretical Physics, Vol. II., Academic Press, NY, 1950 [12] H. Spohn:
Large Scale Dynamics of Interacting Particles. Springer-Verlag, Berlin-
Heidelberg-New York 1991. [13] B. T´oth: The ’true’ self-avoiding walk with bond repulsion on Z: limit theorems. Ann. Prob. 23: 1523-1556 (1995) [14] B. T´oth, B. Valk´o: Between equilibrium fluctuations and Eulerian scaling. Perturbation of equilibrium for a class of deposition models. Journal of Statistical Physics 109: 177-205 (2002) [15] B. T´oth, B. Valk´o: Onsager relations and Eulerian hydrodynamic limit for systems with several conservation laws. Journal of Statistical Physics 112: 497-521 (2003) [16] B. T´oth, B. Valk´o: Perturbation of singular equilibria of hyperbolic two-component systems: a universal hydrodynamic limit, submitted preprint, arxiv.org/abs/math.PR/0312256 [17] B. T´oth, W. Werner: The true self-repelling motion. Probability Theory and Relative Fields 111: 375-452 (1998) [18] B. T´oth, W. Werner: Hydrodynamic equation for a deposition model. In: In and out of equilibrium. Probability with a physics flavor, V. Sidoravicius Ed., Progress in Probability 51, Birkh¨auser, 227-248 (2002) [19] B. Valk´o: Perturbation of a hyperbolic equilibrium point in two-component systems, submitted preprint, arxiv.org/abs/math.PR/0402017 [20] H.T. Yau: Relative entropy and hydrodynamics of Ginzburg-Landau models. Letters in Mathematical Physics 22: 63-80 (1991)
15
