47
49
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Nama Sekolah
: SMK PGRI 2 Salatiga
Program keahlian
: Akuntansi
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/ Semester
: XI/ 3
Materi Pokok
: Barisan dan Deret
Alokasi Waktu
: 4 x 45 menit (2 x pertemuan)
A. Standar Kompetensi 7. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah. B. Kompetensi Dasar 7.1 Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan. C. Indikator 7.1.1 Pola bilangan, barisan dan deret diidentifikasi berdasarkan ciri– cirinya. 7.1.2 Notasi sigma digunakan untuk menyederhanakan suatu deret. D. Tujuan Pembelajaran 1. Siswa dapat mengidentifikasi pola bilangan, barisan dan deret berdasarkan ciri-cirinya. 2. Siswa dapat menggunakan notasi sigma untuk menyederhanakan suatu deret. E. Materi a. Pola Bilangan Pernahkah kamu memperhatikan dadu? Pada umumnya, dadu memiliki bilangan-bilangan yang digambarkan dalam bentuk bulatan. Bulatan-bulatan kecil (disebut noktah atau titik) di setiap sisinya. Noktah-noktah tersebut mewakili bilangan-bilangan yang ditentukan. Satu noktah mewakili bilangan 1, dua noktah mewakili bilangan 2, dan begitu seterusnya hingga enam noktah yang mewakili bilangan 6. Penggunaan noktah untuk mewakili suatu bilangan tertentu sebenarnya telah digunakan manusia pada zaman dahulu.Uniknya, penulisan noktah-noktah tersebut ternyata mengikuti pola yang didasarkan pada bentuk bangun datar atau bangun ruang. 50
1. Pola Garis Lurus Penulisan bilangan yang mengikuti pola garis lurus merupakan pola bilangan yang paling sederhana. Suatu bilangan hanya digambarkan dengan noktah yang mengikuti pola garis lurus. Misalnya: a. mewakili bilangan 2. b. mewakili bilangan 3. c. mewakili bilangan 4. d. mewakili bilangan 5. 2. Pola Persegipanjang Pada umumnya, penulisan bilangan yang didasarkan pada pola persegipanjang hanya digunakan oleh bilangan bukan prima. Pada pola ini, noktah-noktah disusun menyerupa ibentuk persegipanjang. Misalnya: a. b.
c.
mewakili bilangan 6, yaitu 2 x 3 = 6. mewakili bilangan 8, yaitu 2 x 4 = 8.
mewakili bilangan 6, yaitu 3 x 2 = 6.
3. Pola Persegi Persegi merupakan bangun datar yang semua sisinya memiliki ukuran yang sama panjang. Begitu pula dengan penulisan pola bilangan yang mengikuti pola persegi. Semua noktah digambarkan dengan jumlah yang sama. Perhatikan uraian berikut. a. mewakili bilangan 1, yaitu 1 x 1 = 1. b.
mewakili bilangan 4, yaitu 2 × 2 = 4.
4. Pola Segitiga Selain mengikuti pola persegipanjang dan persegi, bilangan pun dapat digambarkan melalui noktah yang mengikuti pola segitiga. Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan perhatikan lima bilangan yang mengikuti pola segitiga berikut ini. a. mewakili bilangan 1. b.
mewakili bilangan 3.
51
c.
mewakili bilangan 6.
5. Pola Bilangan Ganjil dan Genap Bilangan yang memiliki pola bilangan ganjil atau genap biasanya memiliki selisih dua angka antara bilangan yang satu dengan bilangan sebelumnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan uraian berikut. a. Pola Bilangan Ganjil Pola bilangan ganjil memiliki aturan sebagai berikut. 1) Bilangan 1 sebagai bilangan awal. 2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya. Perhatikan pola bilangan ganjil berikut ini. 1 3 5 7 9 11 13 +2
+2
+2
+2
+2
+2
b. Pola Bilangan Genap Pola bilangan genap memiliki aturan sebagai berikut. 1) Bilangan 2 sebagai bilangan awal. 2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya. Perhatikan pola bilangan genap berikut ini. 2 4 6 8 10 12 14 +2
+2
+2
+2
+2
+2
6. Pola Segitiga Pascal Bilangan-bilangan yang disusun menggunakan pola segitiga Pascal memiliki pola yang unik. Hal ini disebabkan karena bilangan yang berpola segitiga Pascal selalu diawali dan diakhiri oleh angka 1. Selain itu, di dalam susunannya selalu ada angka yang diulang. Adapun aturan-aturan untuk membuat pola segitiga Pascal adalah sebagai berikut. a. Angka 1 merupakan angka awal yang terdapat di puncak. b. Simpan dua bilangan di bawahnya. Oleh karena angka awal dan akhir selalu angka 1, kedua bilangan tersebut adalah 1. c. Selanjutnya, jumlahkan bilangan yang berdampingan. Kemudian, simpan hasilnya di bagian tengah bawah kedua bilangan tersebut. d. Proses ini dilakukan terus sampai batas susunan bilangan yang diminta. 52
Untuk lebih jelasnya, perhatikan pola segitiga Pascal berikut. 1 1 1 1 1
2 3
1 3
4
4
1 4
dan seterusnya b.
Barisan Bilangan Perhatikan pola bilangan-bilangan berikut. a. 2, 4, 6, 8, … b. 1, 3, 5, 7, … c. 3, 6, 9, 12, 15, … Jika kamu perhatikan, bilangan-bilangan pada (a), (b), dan (c) disusun mengikuti pola tertentu. Bilangan-bilangan tersebut disebut barisan bilangan . Barisan bilangan adalah urutan bilangan yang memiliki aturan atau pola tertentu. Adapun setiap bilangan dalam barisan bilangan disebut suku barisan . Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un. Pada barisan bilangan 2, 4, 6, 8, … diperoleh U1 = suku ke-1 = 2 U2 = suku ke-2 = 4 U3 = suku ke-3 = 6 U4 = suku ke-4 = 8 Jadi, barisan bilangan 2, 4, 6, 8, … memiliki 4 buah suku.
c.
Deret Bilangan Jika suku-suku suatu barisan dijumlahkan maka akan terbentuk sebuah deret. Misalkan: Barisan bilangan asli : 1, 2, 3, 4, . . . deret bilangan asli : 1 + 2 + 3 + 4 + ... Barisan bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, . . . deret bilangan ganjil : 1 + 3 + 5 + ... Untuk menyatakan jumlah dari suatu deret biasanya dilambangkan dengan huruf S, misalkan: Jumlah satu suku (dari ) yang pertama dilambangkan dengan S1 Jumlah dua suku yang pertama dilambangkan dengan S2. Jumlah tiga suku yang pertama dilambangkan dengan S3, Jumlah n suku yang pertama dilambangkan dengan Sn 53
Contoh: Dari deret: 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + . . . Tentukan jumlah 1 suku yang pertama, jumlah 2 suku yang pertama dan suku ke-2 Jawab: Jumlah 1 suku yang pertama: S1 = 1, Jumlah 2 suku yang pertama: S2 = 1 + 5 = 6, suku ke-2: U2 = 5 diperoleh hubungan U2 = S2 – S1 Dari jawaban contoh diatas dapat diambil kesimpulan bahwa: suku ke-n = selisih antara jumlah n suku yang pertama dengan jumlah (n – 1) suku yang pertama. Un = Sn – S(n – 1) dengan syarat n > 1 d.
Notasi Sigma Matematika merupakan salah satu ilmu yang banyak menggunakan simbol atau lambang untuk menyatakan suatu pernyataan atau ungkapan yang panjang. Misalkan notasi faktorial dengan lambang ! digunakan untuk menyatakan perkalian berurutan mulai dari 1, notasi sigma dengan lambang ∑ digunakan untuk menyatakan suatu penjumlahan yang berurutan, dan masih banyak lambang-lambang lainnya. Notasi Sigma adalah suatu Notasi yang dipakai untuk menuliskan secara singkat penjumlahan n suku. Simbol ini diambil dari huruf kapital Yunani yang berarti Sum atau penjumlahan dan pertama kali dikenalkan oleh Leonhard Euler pada abad ke-18. Secara umum notasi sigma didefinisikan dengan: ∑ = U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un o k = 1 disebut batas bawah penjumlahan. Untuk menyatakan batas bawah penjumlahan, bukan hanya dimulai dari 1, dapat juga dimulai dari angka bulat berapa saja dan huruf k dapat diganti huruf apa saja, yang sama dengan notasi didepannya. o Uk merupakan suatu polinom dalam variabel k. Jika Ux maka polinomnya bervariabel x dan seterusnya. Polinom dapat berupa konstanta, berderajat 1, berderajat 2 dan lainnya. o n merupakan bilangan bulat dan disebut batas atas benjumlahan. n ≥ batas bawah penjumlahan. Berikut ini sifat – sifat notasi sigma yang perlu diperhatikan. n
1.
ak = a1 + a2 + a3 + … + an
k 1 n
2.
n
(ak + bk) =
k m n
3.
k m
k m
n
ak +
k m
n
cak = c
ak
k m
54
bk
n p
n
4.
ak =
ak – p
k m p
k m n
5.
c = (n – m + 1)c
k m
p 1
6.
k m
n
ak +
n
ak =
k p
ak
k m
m 1
7.
ak = 0
k m n
8.
k m
n
(ak + bk)2 =
k m
n
ak2 + 2
k m
n
ak bk +
bk2
k m
F. Media Media yang digunakan : lembar kegiatan siswa dan gambar pola susunan buah dan pola susunan bola biliar G. Model Pembelajaran Model Pembelajaran : Pembelajaran Matematika Realistik H. Kegiatan Pembelajaran PERTEMUAN PERTAMA Pendahuluan 1. Guru menjelaskan tentang pembelajaran matematika realistik 2. Guru menjelaskan tentang tujuan pembelajaran 3. Guru mengingatkan kembali tentang bilangan 4. Guru memberikan motivasi kepada siswa yaitu guru menjelaskan tentang manfaat mempelajari pola bilangan Kegiatan Inti 1. Guru menjelaskan tentang bilangan-bilangan penyusun barisan bilangan 2. Guru membagi siswa kedalam beberapa kelompok yang setiap kelompok terdiri dari 4-5 siswa yang telah dipilih sebelumnya 3. Guru memberikan modul untuk diskusi, setiap kelompok 1 lembar (lampiran 1) 4. Guru meminta siswa untuk mendiskusikan soal yang telah diberikan sampai semua anggota kelompok mengerti tentang apa yang didiskusikan 5. Guru bersama siswa menbahas soal/ lembar diskusi 6. Guru meminta siswa untuk mengerjakan soal latihan (lampiran 2)
55
Penutup 1. Guru bersama siswa membuat rangkuman/ kesimpulan tentang materi yang telah diberikan 2. Guru memberi tau tentang materi yang akan di bahas pada pertemuan selanjutnya (deret dan notasi sigma) PERTEMUAN KEDUA Pendahuluan 1. Guru menjelaskan tentang tujuan pembelajaran 2. Guru sedikit mengingatkan kembali tentang materi pada pertemuan pertama 3. Guru memberikan motivasi kepada siswa yaitu guru menjelaskan tentang manfaat mempelajari deret bilangan Kegiatan Inti 1. Guru menjelaskan tentang deret dan notasi sigma 2. Guru membagi siswa kedalam beberapa kelompok yang setiap kelompok terdiri dari 4-5 siswa yang telah dipilih sebelumnya pada pertemuan pertama 3. Guru memberikan modul untuk diskusi, setiap kelompok 1 lembar (lampiran 3) 4. Guru meminta siswa untuk mendiskusikan soal yang telah diberikan sampai semua anggota kelompok mengerti tentang apa yang didiskusikan 5. Guru bersama siswa menbahas soal/ lembar diskusi 6. Guru meminta siswa untuk mengerjakan soal latihan (lampiran 4) Penutup 1. Guru bersama siswa membuat rangkuman/ kesimpulan tentang materi yang telah diberikan I.
Penilaian Jenis Soal Essay : dipentingkan/ dititikberatkan tentang : 1) Pemilihan/ penerapan rumus-rumus yang sesuai dengan permintaan oleh soal 2) Proses/perhitungan sesuai dengan kaidah mekanisme kerja 3) Teliti dan kecermatan dalam menghitung Teknik : Tes tertulis Bentuk instrumen : Tes Uraian Contoh Instrumen : LATIHAN SOAL PERTEMUAN PERTAMA 1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan berikut : 8, 6, 4, 2, ... 2. Tentukan lima suku pertama dari rumus barisan bilangan : Un = 4n - 1 3. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan berikut : 1, 4, 7, 10, ... 4. Tentukan lima suku pertama dari rumus barisan bilangan : Un = 2n + 3 56
PENILAIAN dan KUNCI JAWABAN NO
JAWABAN
1. 8, 6, 4, 2, ... U1 = 8 = - 2(1) + 10 U2 = 6 = - 2(2) + 10 U3 = 4 = - 2(3) + 10 U4 = 2 = - 2(4) + 10 . . . Un = - 2(n) + 10 2. Un = 4n – 1 U1 = 4(1) – 1 = 3 U2 = 4(2) – 1 = 7 U3 = 4(3) – 1 = 11 U4 = 4(4) – 1 = 15 U5 = 4(5) – 1 = 19
5 5 5 5
5 5 5 5 5 5
TOTAL SKOR 3.
4.
SKOR
50
1, 4, 7, 10, ... U1 = 1 = 3(1) - 2 U2 = 4 = 3(2) - 2 U3 = 7 = 3(3) - 2 U4 = 10 = 3(4) - 2 . . . Un = 3(n) – 2
5 5 5 5
5
Un = 2n + 3 U1 = 2(1) + 3 = 5 U2 = 2(2) + 3 = 7 U3 = 2(3) + 3 = 9 U4 = 2(4) + 3 = 11 U5 = 2(5) + 3 = 13
5 5 5 5 5
TOTAL SKOR
50
LATIHAN SOAL PERTEMUAN KEDUA 1. - Tulislah deretnya jika barisannya : 3, 7, 11, 15, 19,... - Tentukan jumlah 4 suku pertamanya 2. Tentukan jumlah 5 suku yang pertama, jika diketahui rumus suku ke- n berikut ini : Un = 2n + 1 57
3. Tulislah barisan bilangan berikut ini dalam bentuk notasi sigma : 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 4. Hitunglah hasil notasi sigma berikut ini. (5 − 3)
PENILAIAN dan KUNCI JAWABAN NO
JAWABAN 1. - 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... - S4 = 3 + 7 + 11 + 15 = 36 JUMLAH 2. Un = 2n + 1 U1 = 2(1) + 1 = 3 U2 = 2(2) + 1 = 5 U3 = 2(3) + 1 = 7 U4 = 2(4) + 1 = 9 U5 = 2(5) + 1 = 11 S5 = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35 JUMLAH 3. 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 U1 = 1 = 4(1) – 3 U2 = 5 = 4(2) – 3 U3 = 9 = 4(3) – 3 . . . Un = 4n – 3 1 + 5 + 9 + 13 + 17 = ∑ 4 − 3
SKOR 5 10 15 6 6 6 6 6
15 45 5 5 5
5 5 25
JUMLAH 4. (5 − 3) = (5.1 − 3) + (5.2 − 3) + (5.3 − 3)
5
+ (5.4 − 3) + (5.5 − 3) = 2 + 7 + 12 + 17 + 22 = 60 JUMLAH TOTAL SKOR
58
5 5 15 100
J.
Sumber Buku paket matematika untuk SMK kelas XI oleh To’ali Penerbit Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008
59
60
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Nama Sekolah
: SMK PGRI 2 Salatiga
Program keahlian
: Akuntansi
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/ Semester
: XI/ 3
Materi Pokok
: Barisan dan Deret
Alokasi Waktu
: 4 x 45 menit (2 x pertemuan)
A. Standar Kompetensi 7. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah. B. Kompetensi Dasar 7.2 Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika. C. Indikator 7.2.1 Nilai suku ke–n suatu barisan aritmatika ditentukan menggunakan rumus. 7.2.2 Jumlah n suku suatu deret aritmatika ditentukan dengan rumus. D. Tujuan Pembelajaran 1. Siswa dapat menentukan nilai suku ke-n suatu barisan aritmatika dengan menggunakan rumus. 2. Siswa dapat menentukan jumlah n suku suatu deret aritmatika dengan menggunakan rumus. E. Materi a. Barisan Aritmatika Pola : barisan bilangan yang disusun menurut aturan tertentu Beda : Selisih antara dua suku yang berurutan Diberikan barisan bilangan:
1,
4,
7,
10, ...
Suku ke-1 Suku ke-2 Suku ke-3 Suku ke-4
Sekarang Coba pikirkan!
61
Bilangan-bilangan penyusun dari barisan bilangan disebut suku dan dilambangkan dengan Un untuk suku ke-n. Nah sekarang Perhatikan barisan bilangan berikut. 1, 4, 7, 10,... Berapakah nilai U2 – U1, U3 – U2, U4 – U3? Apakah nilainya sama? Apa yang terbesit dalam pikiranmu tentang selisih dua bilangan berurutan tersebut? Terlihat bahwa selisih antara dua suku berurutan adalah tetap. Barisan yang memenuhi kriteria tersebut dinamakan barisan aritmatika. Suatu barisan bilangan U1, U2, U3, . . .,Un dinamakan barisan aritmatika jika diantara dua suku yang berurutan mempunyai beda yang tetap.
Dari barisan bilangan diatas tentukan suku kesepuluh = U10 dan suku keseratus = U100. Untuk mencari U10, dengan mudah kalian dapat mendaftar bilangan-bilangan selanjutnya. Bagaimana dengan nilai U100? Apakah kalian juga akan mendaftarnya? Nilai U100 dapat ditentukan dengan rumus dari pola bilangan yang menyusun barisan tersebut. Sehingga tidak perlu mendaftar semua bilangan sampai suku keseratus. Bagaimana merumuskanya? Diberikan suatu barisan aritmatika U1, U2, U3, . . ., Un-1, Un Jika suku pertama dari barisan tersebut adalah U1 = a dan selisih dua suku berurutan adalah b, maka rumus untuk mencari suku ke-n dapat ditentukan. Terlihat bahwa: U2
= U1 + b
U3
= U2 + b = U1 + b + b = U1 +2b
U4
= U3 + b = U1 + 2b +b = U1 + 3b
. . Un-1
= Un-2 + b = U1 + ( n – 3 ) b + b = U1 + ( n – 2 ) b
Un
= Un-1 + b = U1 + ( n – 2 ) b + b = U1 + ( n – 1 ) b 62
Rumus terakhir inilah yang merupakan rumus suku ke-n barisan aritmatika. Sedangkan beda (b) dirumuskan sebagai berikut. b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = . . . = Un – Un-1 Kesimpulan: Diberikan barisan aritmatika: U1, U2, U3, . . ., Un. Jika suku pertamanya U1 = a dan bedanya b, maka rumus suku ke-n ( Un ) adalah: Un = a + ( n – 1 ) b
, dengan b = Un – Un-1
b. Deret Aritmatika Jika jumlah dari n suku pertama deret aritmatika dilambangkan dengan Sn, maka: Sn = U1 + U2 + U3 + ...+ Un Bila U1 = a U2 = a + b U3 = a + 2b . . Un-1 = a + (n - 2)b Un = a + (n - 1)b Persamaan diatas menjadi: Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + a + (n - 2)b + a + (n – 1)b Menentukan rumus jumlah n suku pertama (Sn) Sn = a + (a + b) + ... + a + (n - 2)b + (a + (n – 1)b) Sn = (a + (n - 1)b) + ( a + (n – 2)b) + ... + (a + b) + a 2Sn = 2a + (n - 1)b + 2a + (n - 1)b + ... + 2a + (n - 1)b + 2a + (n - 1)b n suku 2Sn = n (2a + (n – 1)b) 63
+
Sn = n/2 (2a + (n – 1)b) atau Sn = n/2 (a + Un) F. Media Media yang digunakan : lembar kegiatan siswa dan gambar pola susunan bola biliar. G. Model Pembelajaran Model Pembelajaran : Pembelajaran Matematika Realistik H. Kegiatan Pembelajaran PERTEMUAN PERTAMA Pendahuluan 1. Guru menjelaskan tujuan pembelajaran 2. Apersepsi Mengingatkan kembali tentang materi sebelumnya 3. Motiasi Pernahkah kalian bermain atau melihat permainan Biliar ( bola sodok ) ? Pada permulaan permainan 15 bola disusun menjadi 5 baris. Baris pertama 1 bola, baris kedua 2 bola, baris ketiga 3 bola, baris keempat 4 bola, dan baris kelima 5 bola. Setelah bola disusun, kemudian pemain menyodoknya sehingga kelimabelas bola tersebut menggelinding kesegala arah Perhatikan barisan bola sewaktu pertama kali disusun Baris kelima 5 bola Baris keempat 4 bola Baris ketiga 3 bola Baris kedua 2 bola Baris pertama 1 bola Bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5 mengikuti pola bilangan tertentu yaitu bertambah satu dari bilangan sebelumnya. Dengan pola diatas jika dikehendaki bola dapat disusun sampai baris yang lebih banyak Kegiatan Inti 1. Guru menjelaskan bilangan-bilangan penyusun barisan bilangan 2. Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok, setiap kelompok terdiri dari 5 orang (jumlah siswa 37 orang) 3. Guru memberikan soal permasalahan ke setiap kelompok untuk menjadi bahan diskusi (lampiran 1) 4. Guru membimbing jalannya diskusi 5. Guru meminta salah satu kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya 64
6. Kelompok yang mempresentasikan hasil diskusinya membuka sesi pertanyaan dari kelompok lain apabila ada yang belum paham atau dimengerti 7. Siswa menarik kesimpulan (siswa dibimbing guru) Penutup 1. Guru memberikan soal latihan kepada siswa (lampiran 2) 2. Guru memberi tahu tentang materi yang akan dibahas pada pertemuan selanjutnya (deret aritmatika) PERTEMUAN KEDUA Pendahuluan 1. Guru menjelaskan tujuan pembelajaran 2. Apersepsi Mengingatkan kembali tentang materi sebelumnya Kegiatan Inti 1. Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok, setiap kelompok terdiri dari 5 orang (jumlah siswa 37 orang) 2. Guru memberikan soal permasalahan ke setiap kelompok untuk menjadi bahan diskusi (lampiran 3) 3. Guru membimbing jalannya diskusi 4. Guru meminta salah satu kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya 5. Kelompok yang mempresentasikan hasil diskusinya membuka sesi pertanyaan dari kelompok lain apabila ada yang belum paham atau dimengerti 6. Siswa menarik kesimpulan (siswa dibimbing guru) Penutup 1. Guru memberikan soal latihan kepada siswa (lampiran 4) I.
Penilaian Jenis Soal Essay : dipentingkan/ dititikberatkan tentang : 1) Pemilihan/ penerapan rumus-rumus yang sesuai dengan permintaan oleh soal 2) Proses/perhitungan sesuai dengan kaidah mekanisme kerja 3) Teliti dan kecermatan dalam menghitung Teknik : Tes tertulis Bentuk instrumen : Tes Uraian Contoh Instrumen : LATIHAN SOAL PERTEMUAN PERTAMA 1. Diketahui barisan bilangan 2, 6, 10, . . . . Tentukan: a. Suku awal b. Beda c. Rumus suku ke-n d. Suku ke-20 2. Diketahui barisan bilangan 20, 15, 10, . . . . Tentukan: a. Suku awal b. Beda c. Rumus suku ke-n d. Suku ke-4 65
3. Suku ke-9 dan suku ke-16 suatu barisan aritmatika adalah 79 dan 135, tentukan: a. Suku pertama dan bedanya b. Rumus suku ke-n c. Suku ke-150 4. Tentukan suku tengah dan suku keberapa dari suku tengah tersebut jika ada, dari barisan aritmatika di bawah ini! a. 4, 8, 12, ...., 48 b. 5, 8, 11, ..., 53 PENILAIAN dan KUNCI JAWABAN NO 1.
2.
3.
JAWABAN Diketahui barisan bilangan 2, 6, 10, . . . . Tentukan: a. Suku awal ( a ) = 2 b. Beda ( b ) = U1- U2 = 6 - 2 = 4 c. Rumus suku ke-n Un = a + ( n – 1 ) b =2+(n–1)4 = 2 + 4n – 4 = 4n – 2 Suku ke-20 U20 = 4n – 2 = 4.20 – 2 = 72 JUMLAH Diketahui barisan bilangan 20, 15, 10, . . . . Tentukan: Suku awal ( a ) = 20 Beda ( b ) = U1- U2 = 15 – 20 = - 5 Rumus suku ke-n Un = a + ( n – 1 ) b = 20 + ( n – 1 ) ( -5 ) = 20 – 5n + 5 = 25 – 5n Suku ke-4 U4 = 25 – 5n = 25 – 5.4 =5 JUMLAH a. Suku ke-n barisan aritmatika: Un = a + (n – 1)b U9 = a + (9 – 1)b 79 = a + 8b . . . 1) U16 = a + (16 – 1)b 135 = a + 15b . . . 2) Dari eleminasi a atau b persamaan 1) dan 2) diperoleh a = 15 dan b = 8
66
SKOR 1 2 3 2 2 1
2 1 14 1 2 3 2 2 1
2 1 14 3 4 4 10
4.
b. Rumus suku ke-n: Un = a+ (n – 1)b Un = 15+ (n – 1)8 = 8n + 7 c. Suku ke-150: U150 = 8 (150) + 7 = 1207 JUMLAH a. 4, 8, 12, ...., 48 Un = a + (n - 1)b 48 = 4 + (n – 1)(4) 48 = 4+ 4n – 4 48 = 4n n = 12 karena banyaknya suku genap yaitu 12 maka tidak terdapat suku tengah b. 5, 8, 11, ..., 53 Un = a + (n - 1)b 53 = 5 + (n - 1)3 53 = 5 + 3n-3 53 = 3n + 2 3n = 51 n = 17 karena banyaknya suku ganjil yaitu 17 maka terdapat suku tengah suku tengah yaitu suku ke –t dimana 2t - 1 = 17, jadi t = 9 Suku tengah : Ut = a + (t – 1)b Ut = 5 + (9 – 1)3 = 29 atau )= − Suku tengah : = ( (5 + 53) = 29 JUMLAH
3 5 5 34 3 2 2 2 2 4 3 2 2 2 2 2
10 38 100
TOTAL SKOR
LATIHAN SOAL PERTEMUAN KEDUA 1. Tentukan nilai dari deret aritmatika di bawah ini : a. 2 + 8 + 14 + 20 + . . . (sampai 25 suku) b. 3 + 10 + 17 + 24 + 31 + . . . + 262 2. Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika ditentukan oleh rumus : = 3 −2 Tentukan lima suku yang pertama! 3. Produksi barang suatu pabrik bertambah setiap minggu dengan jumlah yang sama. Bila jumlah produksi sampai minggu ke-6 adalah 1425 unit dan jumlah produksi sampai minggu ke-10 adalah 2875 unit. Tentukan jumlah produksi sampai minggu ke-52 !
67
PENILAIAN dan KUNCI JAWABAN NO 1.
JAWABAN a. Dik : Suku pertama (a) = 2 beda (b) = 6 banyaknya suku (n) = 25 Dit : S25 = ? Jawab : = (2 + ( − 1) ) =
(2.2 + (25 − 1)6)
=
(4 + (24)6)
=
(4 + 144)
=
(148)
SKOR 10
10 10 5 5 10
= 1850 JUMLAH
50
b.Dik : Suku pertama (a) = 3\ beda (b) = 7 suku terakhir (Un) = 262 Jawab : Un = a + (n - 1)b 262 = 3 + (n – 1)7 262 = 3 + 7n – 7 262 = 7n – 4 266 = 7n n = 38 = (2 + ( − 1) ) =
(2.3 + (38 − 1)7)
=
(6 + (37)7)
=
(6 + 259)
= (265) = 5035
5
2 3 2 3 5
5 5 5 5 5 5 50
JUMLAH TOTAL NILAI
100
68
2.
3.
=3 −2 = = 3 − 2 = 3(1) − 2(1) = 3 − 2 = 1 = − = 3(2) − 2(2) − [3(1) − 2(1)] = 8 − 1=7 = − = 3(3) − 2(3) − [3(2) − 2(2)] = 21 − 8 = 13 = − = 3(4) − 2(4) − [3(3) − 2(3)] = 40 − 21 = 19 = − = 3(5) − 2(5) − [3(4) − 2(4)] = 65 − 40 = 25 JUMLAH TOTAL NILAI Dik : S6 = 1425 S10 = 2875 Dit : S52 = (2 + ( − 1) )
20
= (2 + (6 − 1) ) 1425 = 3(2 + 5 ) 2a + 5b = 475 …1)
5 5 5
= (2 + ( − 1) )
5 5 5 5
= (2 + (10 − 1) ) 2875 = 5 (2a + 9b) 2a + 9b = 575 ….2)
20 20 20 20 100 100 5
Eliminasi persamaan 1) dan 2) 2a + 5b = 475 2a + 9b = 575 - 4b = - 100 b = 25
10
subtitusikan b = 25 ke 1) 2a + 5b = 475 2a + 5(25) = 475 2a + 125 = 475 2a = 350 a = 175 Jumlah produksi sampai minggu ke- 52 adalah : = (2 + ( − 1) ) = (2(175) + (52 − 1)25) = 26(350 + (51)25) 69
10
10 5 5
= 26(350 + 1275) = 26(1625) = 42250 JUMLAH TOTAL NILAI
J.
5 5 10 100 100
Sumber Buku paket matematika untuk SMK kelas XI oleh To’ali Penerbit Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008
70
71
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Nama Sekolah
: SMK PGRI 2 Salatiga
Program keahlian
: Akuntansi
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/ Semester
: XI/ 3
Materi Pokok
: Barisan dan Deret
Alokasi Waktu
: 4 x 45 menit (2 x pertemuan)
A. Standar Kompetensi 7. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah. B. Kompetensi Dasar 7.3 Menerapkan konsep barisan dan deret geometri. C. Indikator 7.2.3 Nilai suku ke–n suatu barisan geometri ditentukan menggunakan rumus. 7.2.4 Jumlah n suku suatu deret geometri ditentukan dengan rumus. D. Tujuan Pembelajaran 1) Siswa dapat menentukan nilai suku ke-n suatu barisan geometri dengan menggunakan rumus. 2) Siswa dapat menentukan jumlah n suku suatu deret geometri dengan menggunakan rumus. E. Materi a. Barisan Geometri Melipat kertas
Aktivitas siswa : perkelompok Bahan : selembar kertas berbentuk persegi (Luas kertas 1 satuan luas)
72
Urutan kegiatan : Kegiatan
Luas hasil lipatan
1.
Lipat keempat sudutnya ke tengahtengah
1 satuan luas 2
2.
Lipat lagi keempat sudutnya ke tengah-tengah
1 satuan luas 4
3.
Ulangi lagi proses diatas
1 satuan luas 8
4.
Ulangi lagi proses diatas
1 satuan luas 16
Sebelum dilipat
1 satuan luas
Sesudah dilipat Lipatan 1
Lipatan 2
1 satuan luas 2
1 satuan luas 4
Jika
Lipatan 3
1 satuan luas 8
Lipatan 4
1 satuan luas 16
1 1 1 1 , , , adalah empat suku pertama suatu barisan geometri 2 4 8 16
73
Secara umum dapat dikatakan bahwa barisan : U1, U2, U3, U4, ... ,Un merupakan barisan geometri jika:
U U2 U3 U4 ... n = konstanta U1 U 2 U 3 U n1 Konstanta tersebut dinamakan rasio ( r ) dan Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama ( U1 ) a dan rasio ( r ) dapat ditentukan sebagai berikut ini. U1 = a U2 = ar U3 = ar2 : :
U n ar n 1 b. Deret Geometri Seperti halnya pada deret aritmatika, jika kita memiliki suatu barisan geometri maka dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut, yang disebut deret geometri. Secara umum dapat dinyatakan bahwa: Jika U1, U2, U3, ... Un merupakan suku-suku dari suatu barisan geometri maka: U1 + U2 + U3 + ... + Un disebut deret geometri, dengan U n ar n 1 Jika Sn merupakan jumlah n suku pertama dari deret geometri, maka rumus untuk Sn dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un, maka: Sn =
+
+
+ ... +
+
Kalikan Sn dengan r 74
rSn =
+
+
+... +
+
+
Kurangkan Sn dengan rSn Sn
=
rSn
=
Sn – rSn =
+
+
+ ... +
+
+
+ ... +
+
-
−
Sn (1 - r) = (1 −
Sn
+
a 1 rn 1 r
)
F. Media Media yang digunakan : lembar kegiatan siswa dan gambar pola susunan bola biliar. G. Model Pembelajaran Model Pembelajaran : Pembelajaran Matematika Realistik H. Kegiatan Pembelajaran PERTEMUAN PERTAMA Pendahuluan o Apersepsi: Mengingatkan kembali tentang materi sebelumnya ( barisan dan deret aritmatika ) o Motivasi: Pernahkah kalian melipat kertas? Bentuk apa saja yang bisa kalian buat dari lipatan kertas tersebut? Apakah kalian dalam melipat kertas menggunakan aturan pola tertentu? Kegiatan Inti o o o o o
Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok, setiap kelompok terdiri dari 5 orang ( jumlah siswa 37 orang ) Guru membagikan kertas lipat kepada setiap siswa ( 1 siswa 1 lembar ) Guru memberikan soal permasalahan ke setiap kelompok untuk menjadi bahan diskusi ( Lampiran 1 ) Guru membimbing jalannya diskusi Guru meminta salah satu kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya 75
Kelompok yang mempresentasikan hasil diskusinya membuka sesi pertanyaan dari kelompok lain apabila ada yang belum paham atau dimengerti o Siswa menarik kesimpulan ( siswa dibimbing guru ) Penutup o Guru memberikan soal latihan kepada siswa (lampiran 2) o Guru memberi tahu tentang materi yang akan dibahas pada pertemuan selanjutnya (deret geometri) o
PERTEMUAN KEDUA Pendahuluan 1. Guru menjelaskan tujuan pembelajaran 2. Apersepsi Mengingatkan kembali tentang materi sebelumnya Kegiatan Inti 1. Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok, setiap kelompok terdiri dari 5 orang (jumlah siswa 37 orang) 2. Guru memberikan soal permasalahan ke setiap kelompok untuk menjadi bahan diskusi (lampiran 3) 3. Guru membimbing jalannya diskusi 4. Guru meminta salah satu kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya 5. Kelompok yang mempresentasikan hasil diskusinya membuka sesi pertanyaan dari kelompok lain apabila ada yang belum paham atau dimengerti 6. Siswa menarik kesimpulan (siswa dibimbing guru) Penutup 1. Guru memberikan soal latihan kepada siswa (lampiran 4) I.
Penilaian Jenis Soal Essay : dipentingkan/ dititikberatkan tentang : 4) Pemilihan/ penerapan rumus-rumus yang sesuai dengan permintaan oleh soal 5) Proses/perhitungan sesuai dengan kaidah mekanisme kerja 6) Teliti dan kecermatan dalam menghitung Teknik : Tes tertulis Bentuk instrumen : Tes Uraian Contoh Instrumen :
76
LATIHAN SOAL PERTEMUAN PERTAMA Membuat Barisan Geometri Langkah – Langkah: 1. Susunlah sebuah deret geometri sampai 4 suku yang pertama, menggunakan angka-angka yang telah disediakan 2. Tempel pada kertas yang telah disediakan 3. Jawablah pertanyaan berikut: a. Tentukan nilai a ? b. Carilah rasio ( r ) ? c. Tentukan ? 1
3
9 16
27 4
2 64
4
8
256
PENILAIAN DAN KUNCI JAWABAN No a
b
KUNCI JAWABAN
SKOR
Misalkan barisan geometri tersebut adalah 2 4 8 16 Nilai a = U1 = 2
10
3 3
= =
2 2 2 2 2 2 30
= =2 c
2
= . = 2. 2 = 2. 2 = 2. 64 = 128 Jumlah skor nilai
LATIHAN SOAL PERTEMUAN KEDUA 1) Tentukan rasio, suku ke 13 dan jumlah 13 suku pertama barisan geometri berikut 1 + 2 + 4 + 8 + …
77
2) Sebuah bola dijatuhkan di atas lantai dengan ketinggian 120 m. setiap kali memantul ke lantai mencapai ketinggian kali tinggi sebelumnya . Tentukan jarak saat bola dijatuhkan hingga bola berhenti ? PENILAIAN DAN KUNCI JAWABAN No 1.
Jawaban
Skor
1+2+4+8+… a=1
2
2 =2 1 = . = . = 1. 2 = 4096 ( − 1) = ( − 1) ( 2 − 1) =1 ( 2 − 1) ( 2 − 1) = ( 2 − 1) =2 −1
=
2 2 2
2 2
= 8192 – 1 = 8191
1
1
1
2 2.
+
Saat naik: 80 + Maka a = 80;
= =
=
5
+…
=
= 4
1− 80
2
2 1−3
=
78
2
= 80
3
= 240
1
saat turun: 120 + 80 + maka a = 120;
=
+…
= 1
=
1− 120 = 2 1−3 120 = 1 3 = 120 3 = 360
2 5
4
Jarak saat bola dijatuhkan hingga bola berhenti adalah 240 m + 360m = 600m JUMLAH
2
1
1
1
2 50
J.
Sumber Buku paket matematika untuk SMK kelas XI oleh To’ali Penerbit Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008
79
80
Ulangan Harian 1 Pola, Barisan dan Deret Bilangan
Jawablah soal-soal berikut dengan jelas dan benar! 1. Tentukan rumus umum dari dari barisan bilangan berikut! a. 5, 8, 11, 14, . . . b. 3, 7, 11, 15, 19, . . . c. 17, 12, 7, 2, . . . 2. Diketahui rumus barisan bilangan Un = 3n – 7. Tentukan: a. Lima suku pertamanya ! b. Suku ke-25 nya ! 3. Diketahui rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika = 3 −2 , tentukan : a. Jumlah 5 suku yang pertama b. U1, U2, U3, U4, U5 4. Tentukan jumlah lima suku yang pertama, jika diketahui rumus suku ke n berikut ini. a. =2 + 1 b. = 5. Uraikan dalam bentuk penjumlahan notasi sigma di bawah ini, dan tentukan nilainya: .
(
+ )
.
(
− )
. 6. Pada tahun pertama seorang karyawan mendapat gaji pokok Rp.100.000,00 sebulan. Jika setiap bulan gaji pokoknya dinaikkan sebesar Rp. 5.000,00 maka jumlah gaji pokok karyawan tersebut selama 6 bulan pertama adalah . . .
81
PENILAIAN dan KUNCI JAWABAN NO 2.
2.
3.
JAWABAN a. 5, 8, 11, 14, . . . U1 = 5 = 3(1) + 2 U2 = 8 = 3(2) + 2 U3 = 11 = 3(3) + 2 U4 = 14 = 3(4) + 2 . . . Un = 3(n) + 2 b. 3, 7, 11, 15, . . . U1 = 3 = 4(1) - 1 U2 = 7 = 4(2) - 1 U3 = 11 = 4(3) - 1 U4 = 15 = 4(4) - 1 . . . Un = 4(n) - 1 c. 17, 12, 7, 2, . . . U1 = 17 = - 5(1) + 22 U2 = 12 = - 5(2) + 22 U3 = 7 = -5(3) + 22 U4 = 2 = -5(4) + 22 . . . Un = -5(n) + 22 JUMLAH a. Un = 3n – 7 U1 = 3(1) – 7 = -4 U2 = 3(2) – 7 = -1 U3 = 3(3) – 7 = 2 U4 = 3(4) – 7 = 5 U5 = 3(5) – 7 = 8 b. U25 = 3(25) – 7 = 68
SKOR
JUMLAH
8
=3 −2 = 3(5) − 2(5) = 75 − 10 = 65 b. U = S = 3. 1 − 2.1 = 3 − 2 = 1 U = S − S = (3. 2 − 2.2) − (3. 1 − 2.1) = 8 − 1 = 7 U = S − S = (3. 3 − 2.3) − (3. 2 − 2.2) = 21 −
3
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 30 1 1 1 1 1 3
.
82
3 3
4.
8 = 13 U = S − S = (3. 4 − 2.4) − (3. 3 − 2.3) = 40 − 21 = 19 U = S − S = (3. 5 − 2.5) − (3. 4 − 2.4) = 65 − 40 = 25
3
JUMLAH
18 3 2
a.
b.
=2 + 1 = + + + + = (2. 1 + 1) + (2. 2 + 1) + (2. 3 + 1) + (2. 4 1) + (2. 5 + 1) = (2 + 1) + (8 + 1) + (18 + 1) + (32 + 1) + (50 + 1) = 3 + 9 + 19 + 33 + 51 = 115
= = + + + + 1 +1 2 +1 3 +1 4 +1 5 +1 = + + + + 3 3 3 3 3 2 5 10 17 26 = + + + + 3 3 3 3 3 60 = 3 = 20
JUMLAH
3 3
2 2 1
3 3 2 1 1
20
5. .
(3 + 1) = (3.1 + 1) + (3.2 + 1) + (3.3 + 1) + (3.4 + 1) + (3.5 + 1) = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 = 50 .
(
− 1)
4
3
= (1 − 1) + (2 − 1) + (3 − 1) + (4 − 1) = 0 + 3 + 8 + 15 = 26 .
3 2
= 10.3 = 30 JUMLAH
9
83
6.
= 100.000 = 100.000 + 5.000 = 105.000 = 105.000 + 5.000 = 110.000 = 110.000 + 5.000 = 115.000 = 115.000 + 5.000 = 120.000 = 120.000 + 5.000 = 125.000 = + + + + + = 105.000 + 110.000 + 115.000 + 120.000 +125.000 = 575.000 JUMLAH TOTAL SKOR
84
11
4 15 100
85
Ulangan Harian 2 Barisan dan Deret Aritmatika
Jawablah soal-soal berikut dengan jelas dan benar ! 1. Dari barisan di bawah ini, manakah yang termasuk barisan aritmatika. a. 1 , 6, 11, 16, 21, . . . b. 40, 37, 34, 31, 29, . . . c. 3, 6, 12, 24, 48, . . . 2. Diketahui barisan bilangan 1, 3, 5, 7, …Tentukan :
3.
4.
5.
1. Suku awal 2. Beda 3. Rumus suku ke – n 4. Suku ke-10 Suku ke-9 dan suku ke-16 suatu barisan aritmatika adalah 79 dan 135, tentukan : a. Suku pertama dan bedanya b. Rumus suku ke – n c. Suku ke -5 Tentukan suku tengah (jika ada) dari barisan aritmatika di bawah ini! a. 8, 14, 20, 26, …, 224 b. 4, 8, 12,…,48 Pada tahun pertama seorang karyawan mendapat gaji pokok Rp. 300.000,00. Jika setiap tahun gaji pokoknya dinaikkan seesar Rp. 25.000,00 maka jumlah gaji pokok karyawan tersebut selama 10 tahun pertama adalah…
86
PENILAIAN dan KUNCI JAWABAN No
Jawaban
Skor
1.
a. 1, 6, 11, 16, 21, . . . merupakan barisan aritmatika sebab beda antara suku-suku yang berurutannya tetap, yaitu beda(b) = 6 – 1 = 11 – 6 = . . . = 5
4
b. 40, 37, 34, 31, 29, . . . merupakan barisan aritmatika sebab beda antara suku-suku yang berurutannya tetap, yaitu beda(b) = 37 – 40 = 34 – 37 = . . . = -3 c. 3, 6, 12, 24, 48, . . .bukan merupakan barisan aritmatika sebab beda antara suku-suku yang berurutan tidak tetap, yaitu 6 – 3 ≠ 12 – 6 ≠ 24 – 12 ≠ . . . JUMLAH 2. Diketahui barisan bilangan 1, 3, 5, 7, . . ., Tentukan : a. Suku awal ( a ) = 1 b. Beda ( b ) = U2- U1 = 3 - 1 = 2 c. Rumus suku ke-n Un = a + ( n – 1 ) b =1 + ( n – 1 ) 2 = 1 + 2n – 2 = 2n - 1 d. Suku ke-20 U20 = 2n – 2 = 2.20 – 2 = 38 JUMLAH
87
4
4 12 2 2 5
3
12
3. a.
Suku ke-n barisan aritmatika: Un = a + (n – 1)b U9 = a + (9 – 1)b = a + 8b = 79 U16 = a + (16 – 1)b = a + 15b = 135
2 2 2 -
- 7b = - 56 = b = 8 b = 8 , sehingga U9 = a + 8b 79 = a + 8.8 79 = a + 64 15 = a b. Rumus suku ke-n: Un = a+ (n – 1)b Un = 15+ (n – 1)8 = 8n + 7 c. Suku ke-5: U5 = 8 (5) + 7 = 47 JUMLAH 4. Tentukan suku tengah (jika ada) dari barisan aritmatika di bawah ini! a. 8, 14, 20, 26, …, 224 Beda b = 6, suku pertama a = 8 dan suku terakhir 224 Un = a + (n - 1)b 224 = 8 + (n - 1)6 224 = 6n + 2 222 = 6n n = 37 karena banyaknya suku ganjil yaitu 37 maka terdapat suku tengah suku tengah yaitu suku ke –t dimana, 2t - 1 = 37, jadi t = 19 Suku tengah : Ut = a + (t – 1)b Ut = 8 + (19 – 1)6 = 116 atau ) = (8 + Suku tengah : = ( − 224) = 116 b. 4, 8, 12,…,48 Un = a + (n - 1)b 48 = 4 + (n – 1)(4) 48 = 4+ 4n - 4 48 = 4n n = 12 karena banyaknya suku genap yaitu 12 maka tidak terdapat suku tengah
3
5
2 2 2 2 22
2 2 2 2 2 4
2 2 4
2 2 2 2 4 34
JUMLAH
88
5.
U1 = Rp. 300.000,00 U2 = Rp. 300.000,00 + Rp. 25.000,00 = Rp. 325.000,00 U3 = Rp. 325.000,00 + Rp. 25.000,00 = Rp. 350.000,00 dst = (2 + ( − 1) ) = (2(300.000) + (10 − 1)25.000) = 5(600.000 + (9)25.000) = 5(600.000 + 225.000) = 5(825.000) = 4.125.000
2 2 2 4 2 2 2 2 2 20
JUMLAH
TOTAL NILAI = 100
89
90
TES 3 Materi Barisan dan Deret Geometri 1. Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-10 dari barisan di bawah ini: a. 1, 4, 16, 64, . . . b. 5, 10, 20, 40, 80,. . . c. 9, 27, 81, 243, . . . 2. Tentukan rasio dan suku pertama barisan geometri di bawah ini: a. Suku ke-4 = 81 dan suku ke-6 = 729 b. Suku ke-2 = 6 dan suku ke-5 = 162 c. Suku ke-3 = 10 dan suku ke-6 = 1,25 3. Selesaikan soal barisan geometri di bawah ini: a. Suku ke-4 = 27 dan suku ke-6 = 243, tentukan suku ke-8 b. Suku ke-2 = 100 dan suku ke-6 = 10-2, tentukan suku ke-9 c. Suku ke-2 = 2√2 dan suku ke-5 = 8, tentukan suku ke-10 4. Tentukan jumlah dari deret geometri di bawah ini: a. 1 + 2 + 4 + 8 + . . . (sampai 10 suku) b. 54 + 18 + 6 + 2 + . . . (sampai 9 suku) c. 5 – 15 + 45 – 135 + . (sampai 8 suku) d. 3 – 6 + 12 – 24 + . . . (sampai 10 suku) 5. Tentukan nilai x dari deret geometri : 2 + 4 + 8 + . . . + 2x = 2.046
91
92
LAMPIRAN 1 Pola bilangan Untuk mendalami pola bilangan lakukan kegiatan berikut ini. Bahan : Satu lembar kertas. 1. Lipatlah satu lembar kertas (berbentuk persegi) sehingga menjadi 2 bagian yang sama. Guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas? 2. Susunlah semua potongan kertas tersebut sehingga saling menutup. Lipatlah susunan kertas tersebut menjadi 2 bagian yang sama, kemudian guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas sekarang? Catatlah banyaknya potongan kertas yang terjadi pada tabel di bawah. 3. Lakukan kegiatan tersebut sampai 6 kali. Banyaknya lipatan kertas Banyaknya potongan kertas
1 2
2 4
3 8
4 …
5 …
6 …
Diskusi 1 Diskusikan untuk menjawab pertanyaan berikut ini. a. Apakah banyaknya lembaran kertas yang terjadi mempunyai keteraturan? Jika ya, jelaskan keteraturannya! b. Apakah dapat ditentukan banyaknya lembaran kertas yang terjadi, jika dilipat sebanyak 8 kali seperti cara di atas? Berapakah banyaknya lembar kertas itu? Banyaknya lembaran kertas yang terjadi, jika dilipat dengan cara di atas membentuk pola. 2, 4, 8, ... merupakan salah satu contoh pola bilangan. Isilah tiga bilangan berikutnya dan tanda titik tiga Diskusi 2 1. Perhatikan tiga rangkaian pola berikut.
a. Gambarlah rangkaian keempat dan kelima. b. Berapakah banyaknya persegi pada rangkaian keempat dan kelima? c. Bayangkan rangkaian keenam. Jelaskan rancangan itu menurut kalimatmu. Kamu dapat membentuk pola bilangan dari gambar di atas, yaitu 1, 5, 9, . . . 93
1 merupakan suku pertama, 5 merupakan suku kedua, 9 merupakan suku ketiga, dan seterusnya. Uuntuk menentukan bilangan pada suku tertentu harus diketahui dahulu aturan yang digunakan untuk mendapatkan bilangan pada suku berikutnya. 2. Perhatikan pola bilangan 2, 4, 6, 8, . . . Tentukan bilangan-bilangan pada ketiga suku berikutnya! Bagaimana aturan untuk mendapatkan suku berikutnya? Barisan Pada setiap hari Senin pagi, sekolah-sekolah tingkat SD, SMP maupun SMA selalu mengadakan upacara bendera. Siswa-siswa kelas VII, VIII, dan IX secara teratur membentuk barisan tersendiri. Pernahkah kalian mengatur barisan saat upacara bendera?
Carilah lima temanmu yang mempunyai tinggi badan berbeda-beda. Bagaimana kamu mengatur kelima temanmu itu dalam satu barisan? 1. Siapakah yang terletak pada urutan pertama, kedua, ketiga, keempat dan kelima? 2. Mengapa urutannya kamu buat demikian? 3. Apakah aturan pengurutan tersebut? 4. Bila bilangan-bilangan yang menunjukkan tinggi dari kelima temanmu kamu urutkan maka akan membentuk barisan bilangan. Bilangan-bilangan itu berkorespodensi satu-satu dengan kelima temanmu yang kamu susun menjadi satu barisan. Tulislah urutan tinggi temanmu. Tinggi : ........... , ........... , ............, .............., ............. Nama : ..........., ............., ............, ............., .............. Apakah urutan bilangan-bilangan di atas membentuk pola? Bila ya, apakah aturannya? Ingatkah kamu bahwa bilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola (aturan) tertentu membentuk suatu barisan bilangan. Contohnya adalah barisan bilangan ganjil dan barisan bilangan genap.
94
Barisan bilangan sembarang Bila kamu menjumpai lima temanmu (misalkan namanya diwakili oleh hurufhuruf A, B, C, D, dan E) yang tingginya masing-masing 125 cm, 130 cm, 140 cm, 100 cm dan 170 cm. Apakah bilangan-bilangan yang menunjukkan tinggi kelima temanmu tadi membentuk suatu barisan bilangan? Jelaskan. Tinggi : 125 , 130 , 140 , 100 , 170 Nama : ….A....., …..B...., ........C...., ......D...., .....E....... Apakah tingginya membentuk pola? Barisan bilangan yang dibentuk dari bilangan-bilangan yang tidak diurutkan dengan pola (aturan) tertentu disebut barisan bilangan sembarang.
95
LAMPIRAN 3 Deret Setiap minggu Dira selalu memberikan hadiah berupa kartu bergambar kepada adiknya, yaitu Reni. Minggu pertama Dira memberi Reni 3 kartu bergambar, minggu kedua Dira memberi 6 kartu bergambar kepada Reni. Minggu ketiga Dira memberi 9 kartu bergambar pada Reni. a. Berapakah banyaknya kartu bergambar yang harus diberikan Dira kepada adiknya pada minggu ke-4? b. Berapakah banyaknya kartu bergambar yang harus diberikan Dira kepada adiknya pada minggu ke-5? c. Berapakah banyaknya kartu bergambar yang harus diberikan Dira kepada adiknya pada minggu ke - n? d. Berapakah banyaknya seluruh kartu yang telah diterima Reni selama 3 minggu? e. Bagaimanakah caramu menentukan hasil pada (d)? Jelaskan! f. Berapakah banyaknya seluruh kartu yang telah diterima Reni selama 4 minggu? g. Bagaimanakah caramu menentukan hasi pada (f)?Jelaskan! h. Nyatakan (f) dengan melibatkan (d). i. Berapakah banyaknya seluruh kartu yang telah diterima Reni selama 5 minggu? j. Bagaimanakah caramu menentukan (i)? Sebutkan! k. Nyatakan (j) dengan melibatkan (g). l. Berapakah banyaknya seluruh kartu yang telah diterima Reni selama n minggu? m. Bagaimanakah caramu menentukan (l)? Sebutkan! Deret arimetika dinyatakan dengan menjumlahkan suku-suku pada barisan aritamatika. Untuk menyatakan jumlah n suku yang pertama pada barisan aritmatika digunakan simbol Sn. Notasi sigma Matematika merupakan salah satu ilmu yang banyak menggunakan simbol atau lambang untuk menyatakan suatu pernyataan atau ungkapan yang panjang. Misalkan notasi faktorial dengan lambang ! digunakan untuk menyatakan perkalian berurutan mulai dari 1, notasi sigma dengan lambang ∑ digunakan untuk menyatakan suatu penjumlahan yang berurutan, dan masih banyak lambang-lambang lainnya. Notasi Sigma adalah suatu Notasi yang dipakai untuk menuliskan secara singkat penjumlahan n suku. Simbol ini diambil dari huruf kapital Yunani yang berarti Sum atau penjumlahan dan pertama kali dikenalkan oleh Leonhard Euler pada abad ke-18. Secara umum notasi sigma didefinisikan dengan: ∑ = U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un 96
k = 1 disebut batas bawah penjumlahan. Untuk menyatakan batas bawah penjumlahan, bukan hanya dimulai dari 1, dapat juga dimulai dari angka bulat berapa saja dan huruf k dapat diganti huruf apa saja, yang sama dengan notasi didepannya. o Uk merupakan suatu polinom dalam variabel k. Jika Ux maka polinomnya bervariabel x dan seterusnya. Polinom dapat berupa konstanta, berderajat 1, berderajat 2 dan lainnya. o n merupakan bilangan bulat dan disebut batas atas benjumlahan. n ≥ batas bawah penjumlahan. Berikut ini sifat – sifat notasi sigma yang perlu diperhatikan. o
n
1.
ak = a1 + a2 + a3 + … + an
(ak + bk) =
cak = c
k 1 n
2.
n
k m n
3.
bk
k m
n
ak
k m
n p
n
k m
k m
4.
n
ak +
ak =
ak – p
k m p
k m n
5.
c = (n – m + 1)c
k m
p 1
6.
k m
n
ak +
n
ak =
kp
ak
k m
m 1
7.
ak = 0
(ak + bk)2 =
k m n
8.
k m
n
n
k m
ak2 + 2
n
ak bk +
k m
k m
97
bk2
98
Modul Pertemuan Pertama Standar Kompetensi pemecahan masalah.
: 7. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam
Kompetensi Dasar
: 7.1 Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan.
Nama Kelompok
: ..........................
Anggota kelompok
:
1. 2. 3. 4. 5.
................... ................... ................... ................... ...................
99
LAMPIRAN 1 Kegiatan Pertemuan Pertama Bahan : foto pola susunan bola biliar dan alat tulis Gambarlah pola susunan bola biliar di atas ke kertas yang telah disediakan!
100
Dari gambar susunan bola biliar di atas didapat: ... ,
... ,
... ,
... ,
...
suku ke-1 suku ke-2 suku ke-3 suku ke-4 suku ke-5 Sekarang Coba pikirkan! Bilangan-bilangan penyusun dari barisan bilangan disebut suku dan dilambangkan dengan Un untuk suku ke-n. Nah sekarang Perhatikan barisan bilangan di atas.
Berapakah nilai U2 – U1, U3 – U2, U4 – U3? Apakah nilainya sama? Apa yang terbesit dalam pikiranmu tentang selisih dua bilangan berurutan tersebut?
Dari barisan bilangan diatas tentukan suku kesepuluh = U10 dan suku keseratus = U100. Untuk mencari U10, dengan mudah kalian dapat mendaftar bilanganbilangan selanjutnya. Bagaimana dengan nilai U100? Apakah kalian juga akan mendaftarnya? Nilai U100 dapat ditentukan dengan rumus dari pola bilangan yang menyusun barisan tersebut. Sehingga tidak perlu mendaftar semua bilangan sampai suku keseratus. Bagaimana merumuskanya? Diberikan suatu barisan aritmatika: U1, U2, U3, . . ., Un-1, Un Jika suku pertama dari barisan tersebut adalah U1 = a dan selisih dua suku berurutan adalah b (beda), maka rumus untuk mencari suku ke-n dapat ditentukan. Terlihat bahwa: U2
= U1 + b
U3
= ...
U4
= ...
101
: : Un-1
= ...
Un
= ...
Rumus terakhir inilah yang merupakan rumus suku ke-n barisan aritmatika. Sedangkan beda (b) dirumuskan sebagai berikut. b = ... = ... = ... = ...
NB: Beda adalah selisih antara dua suku yang berurutan
Kesimpulan: Diberikan barisan aritmatika: U1, U2, U3, . . ., Un. Jika suku pertamanya U1 = a dan bedanya b, maka rumus suku ke-n ( Un ) adalah: Un = ... dengan b =
102
LAMPIRAN 3 Jika jumlah dari n suku pertama deret aritmatika dilambangkan dengan Sn, maka: Sn = U1 + U2 + U3 + ...+ Un Sehingga U1 = a U2 = U3 = . . Un-1 = Un = Persamaan diatas menjadi: Sn = a + ... + ... +
...
+…+…
Berapakan hasilnya jika Sn (pertama) + Sn (kedua), dimana Sn yang kedua adalah urutan barisan kebalikan dari Sn pertama atau urutan barisan Sn pertama yang di urutkan dari belakang. Sn =
a
+…+
Sn =
...
+ ... +
...
+ ... + ...
... =
...
+ ... +
...
+ ... + ...
Ada berapa suku
...
+…+…
.... suku
... = ... Sehingga, Sn = ...
103
+
104
LAMPIRAN 1 BARISAN GEOMETRI Kegitan: Melipat kertas
Aktivitas siswa : perkelompok Bahan : selembar kertas berbentuk persegi (Luas kertas 1 satuan luas)
Urutan kegiatan : Kegiatan
Luas hasil lipatan
1.
Lipat keempat sudutnya ke tengahtengah
… satuan luas
2.
Lipat lagi keempat sudutnya ke tengahtengah
...... satuan luas
3.
Ulangi lagi proses diatas
4.
Ulangi lagi proses diatas
...... satuan luas
...... satuan luas
Sebelum dilipat
1 satuan luas
105
Sesudah dilipat Lipatan 1
… satuan luas
Lipatan 2
...... satuan luas
Lipatan 3
Lipatan 4
...... satuan luas ....... satuan luas
Jika … , ... , ... , ... , ... adalah empat suku pertama suatu barisan geometri Secara umum dapat dikatakan bahwa barisan : U1, U2, U3, U4, ... ,Un merupakan barisan geometri jika:
U U 2 U3 U 4 ... n = konstanta U1 U 2 U 3 U n1 Konstanta tersebut dinamakan rasio ( r ) dan Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama ( U1 ) a dan rasio ( r ) dapat ditentukan sebagai berikut ini. U1 = a U2 = ... U3 = ... U4 = ... : : Un = ...
106
LAMPIRAN 3 DERET GEOMETRI Seperti halnya pada deret aritmatika, jika kita memiliki suatu barisan geometri maka dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut, yang disebut deret geometri. Secara umum dapat dinyatakan bahwa: Jika U1, U2, U3, ... Un merupakan suku-suku dari suatu barisan geometri maka: U1 + U2 + U3 + ... + Un disebut deret geometri, dengan U n ar n 1 Jika Sn merupakan jumlah n suku pertama dari deret geometri, maka rumus untuk Sn dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un, maka: Sn =
+ … + ... + ... + ... +
Kalikan Sn dengan r rSn =
+ ... + ... +... + ... + ... +
Kurangkan Sn dengan rSn Sn
=
rSn
=
+ … + ... + ... + ... + + ... + ... + ... +
... +
... = … ... = ... Jadi runus Sn adalah = ......
107
-
108
DAFTAR NILAI TES KELAS XI-A AKUNTANSI SEMESTER I TAHUN AJARAN 2011/2012 SMK PGRI 2 SALATIGA NO
NAMA
NILAI
NILAI AKHIR
TES 1
TES 2
TES 3
80
91
80
83.67
96
53
85
78.00
100
82
78
86.67
96
77
76
83.00
4
ACNESIA NIDRIA MELATI PUTRI ADI SAPUTRO AGUNG MULYA PRASETYO AINUR ROIS SETYAWAN
5
ANDYTA MERDIYANA
92
95
76
87.67
6
ARNITA NOVIANTI
96
100
85
93.67
7
96
100
92
96.00
72
95
74
80.33
9
ASTRINI ATHTHOHAROH SITI NURUL LATIFAH AVRIYANI SETYANINGSIH
84
95
74
84.33
10
CHISWATUN KHASANAH
92
75
90
85.67
11
DARIYATI
92
95
76
87.67
12
DEASY AGUSTIN
64
87
85
78.67
13
DEVINDA NENGTIYAS
76
85
76
79.00
14
DEWI CITA NARINDRATI
96
100
92
96.00
15
EVA YULIANA
72
95
75
80.67
16
EVI PUSPITASARI
72
100
74
82.00
17
92
100
89
93.67
84
95
78
85.67
19
FENITA BUDIYANTI HERLINDA KARINIA LUPITASARI HILDA ELINA
100
100
85
95.00
20
INDAH EKA STYANINGSIH
92
100
80
90.67
21
KRISMIYATI
98
100
80
92.67
22
KUSNANTO
100
85
85
90.00
23
LIA SUMILAH
88
100
80
89.33
24
MILKHATUN NIKMAH
76
93
80
83.00
25
NITA ARIANI PUSPADEWI
84
93
78
85.00
26
NURI WIDAYANINGSIH
72
100
80
84.00
27
PUPUT CAHYANI
92
95
80
89.00
1 2 3
8
18
109
31
PUTRIANA WULANINGRUM RATIH PALUPI RISKA SOLEQHA HANDAYANI SITI ISTIQOMAH
32
SITI WAHYU APRIYATI
92
98
80
90.00
33
SUGIARTI
84
87
76
82.33
34
ULUL MASRUROH
72
100
80
84.00
35
UMI FAJRIYAH
72
100
80
84.00
36
UMI KHOLIFAH
68
87
85
80.00
37
YULIS SUGESTI
96
96
85
92.33
JUMLAH
3190
3428
3009
RATA-RATA KELAS
86.22
92.65
81.32
28 29 30
72
96
85
84.33
96
96
85
92.33
88
95
80
87.67
96
87
90
91.00
110
111
112
