Rekenkundige rijen WISNET-HBO © update aug. 2013
1 Inleiding Een rij (sequtentie) is een serie getallen achter elkaar opgeschreven met komma's ertussen. Ieder getal in zo'n rij noemen we een term. Het is gebruikelijk deze termen te nummeren. ..... De nummers 1, 2, 3, 4..... worden de rangnummers van de termen van de rij genoemd. Soms kun je bepaalde systemen ontdekken in gegeven rijen en vaak is er sprake van een oneindig voortlopende rij. Als je het systeem van zo'n rij kunt ontdekken, kun je de ontbrekende termen aanvullen en net zo lang doorgaan als je wilt. Een bijzonder systeem is dat van de rekenkundige rij. Daarbij is er steeds een constant verschil v tussen twee opeenvolgende termen te ontdekken.
1.1 Algemene term De algemene term voor een rekenkundige rij is
2 Voorbeelden van rekenkundige rijen Rij I :
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,.......
Rij II :
6, 4, 2, 0, -2, -4, -6, -8, -10, -12, -14,........
Rij III : Rij IV:
,......... 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 ,.........
Rij I is een rekenkundige rij met als eerste term
en het verschil tussen de termen
. Rij II is een rekenkundige rij met als eerste term termen is
.
Rij III is een rekenkundige rij met als eerste term termen is
en het verschil tussen de
.
Rij IV is een rekenkundige rij met als eerste term termen is
en het verschil tussen de
en het verschil tussen de
.
Alle rijen kun je in gedachten verder aanvullen met nog meer termen door het betreffende systeem toe te passen. Je moet dus de beginterm weten en verder nog het verschil tussen de opeenvolgende termen. Als je dat weet, weet je genoeg om de rij (sequentie) te kunnen maken en net zolang voort te zetten als je zelf wilt.
2.1 Rijen maken met de computer
3 Oefeningen De volgende oefeningen zijn voorbereidingen voor de toets. Probeer handig te zijn en werk met pen en papier.
3.1 Oefening Gegeven is een rekenkundige rij met beginterm
en
.
Bereken de 6-de term van deze rij.
Antwoord De term met rangnummer 6 krijg je door bij de eerste term 5 keer het verschil op te tellen.
Met de computer
3.2 Oefening Gegeven is een rekenkundige rij met beginterm
en
.
Bereken de 66-ste term van deze rij.
Antwoord De term met rangnummer 66 krijg je door bij de eerste term 65 keer het verschil
op te tellen.
Met de computer
3.3 Oefening Probeer met nog wat modificaties van de twee vorige oefeningen zelf nog wat vragen te bedenken. De term met rangnummer n vind je dus door bij de beginterm verschil op te tellen.
maal het
4 De som van een rekenkundige rij (Kijk eventueel ook nog even naar een les over het -teken (het sommatie-teken).) Een bekend trucje is om snel alle getallen 1 t/m 100 bij elkaar op te tellen. 1 + 2 + 3 + 4 + .......................97 + 98 + 99 + 100 Misschien ken je het wel. Tel in gedachten de eerste term bij de laatste op. (1 + 100) Doe dat ook met de tweede term en de één na laatste term. (2 + 99) Doe dat ook met de derde term en de twee na laatste term. (3 + 98) Enzovoort tot en met de 50-ste en 51-ste term (50 + 51) Misschien zie je dat daar steeds hetzelfde uitkomt namelijk 101. Als je daarmee doorgaat, hoef je maar tot de helft van het aantal termen te gaan (in dit geval 50 termen van de 100, want de laatsten die je bijelkaar neemt zijn (50 + 51)).
Algemeen geldt voor de som
van de eerste n termen van een rekenkundige rij:
Hierin is
dus de som van de eerste n termen van een rekenkundige rij.
Verder is
de eerste term en
de laatste term.
De laatste term kun je altijd uitrekenen met
TIP: geldt de truc van de formule voor de som ook voor een oneven aantal termen? Probeer dat zelf uit.
4.1 Berekening met de rekenmachine
4.2 Berekening met de computer
5 Oefeningen De volgende oefeningen zijn voorbereidingen voor de toets. Probeer handig te zijn en werk met pen en papier.
5.1 Oefening Gegeven is een rekenkundige rij met Bereken de som
en
.
van de eerste dertien termen.
5.1.1 Antwoord Om de som De eerste term
te berekenen moet je
en
kennen.
bereken je door 4 maal het verschil v van de vijfde term af te
halen: Dus De dertiende term
bereken je door acht maal het verschil v bij de vijfde term op
te tellen. Dus
Met de rekenmachine Met de computer.
5.2 Oefening Van een rekenkundige rij is gegeven: Bereken
en
.
, de som van de eerste 20 termen.
5.2.1 Antwoord Omdat de eerste twee opeenvolgende termen bekend zijn kunnen we weten dat . Om de formule te kunnen gebruiken voor moet je eerst berekenen. Dus
Met de rekenmachine Met de computer
5.3 Oefening Van een rekenkundige rij is gegeven Bereken de som
en
.
van de eerste 20 termen.
5.3.1 Antwoord Voor de som van de eerste 20 termen moet je de eerste en de twintigste term kennen. Voor de twintigste term tel je 19 keer het verschil op bij de eerste term. Dus
Met de rekenmachine Met de computer
5.4 Oefening Een machine wordt in 10 jaar volledig afgeschreven.
Bereken de aanschafwaarde van de machine.
Antwoord Je kunt dus een rekenkundige rij maken (die je van achter naar voren leest): ,........... Er zijn dus in totaal 10 termen (10 jaar afschrijven). Gebruik de formule van de som van een meetkundige rij:
Met de rekenmachine
