Regulační diagramy CUSUM pro atributivní znaky Eva Jarošová
1
Obsah 1.
Klasické diagramy pro atributivní znaky, omezení a nevýhody jejich aplikace
2.
Přístup založený na transformaci sledované
veličiny 3.
CUSUM diagramy pro transformovanou proměnnou
4.
CUSUM diagramy založené na předpokládaném rozdělení sledované veličiny 2
Klasické Shewhartovy diagramy
Pro Pro Pro Pro
počet neshodných jednotek v podskupině podíl neshodných jednotek v podskupině počet neshod podíl neshod na jednotku
Založeny na předpokladu normálního rozdělení, jímž lze za určitých podmínek aproximovat skutečné rozdělení sledované veličiny 3
Podmínky pro aproximaci Binomické rozdělení Bi(n,p) střední hodnota
np 5 nebo np 8
Poissonovo rozdělení Po(l) střední hodnota
l 5
nebo
l 8
(nezávislost)
Regulační meze ve vzdálenosti
3 sigma
riziko falešného signálu v podobě překročení horní regulační meze 0,00135 4
Důsledky nesplnění podmínky vlivem nedostatečného rozsahu výběru nesymetrické meze – záporná hodnota pro dolní mez se nahradí nulou větší riziko falešného signálu (i pro np=5) nelze diagnostikovat okamžik zlepšení 5
Alternativní přístupy
Transformace + Shewhartův diagram
Transformace + CUSUM
CUSUM přímo
6
Podstata CUSUM diagramů První CUSUM Page (1954), od té doby řada modifikací Dvě základní
Kumulativní součty odchylek od cílové hodnoty t
St ( X i 0 ) i 1
rozhodování pomocí V-masky
Kumulativní součty Si max Si1 ( X i K );0
Si min Si1 ( X i K );0
tabelární CUSUM (podobný klasickému diagramu) 7
Tabelární CUSUM pro měřitelné znaky 0 cílová hodnota Ci max 0; xi ( 0 K ) Ci1 Ci min 0; xi ( 0 K ) Ci1
C0 C0 0
K
1 0 2
k
směrodatná odchylka
H h rozhodovací interval k 0,5
h 4 nebo 5 8
CUSUM pro počet neshodných Založen na binomickém rozdělení počtu neshod v podskupině dolní CUSUM
horní CUSUM
Si max Si1 ( X i K );0
Si min Si1 ( X i K );0
Cílová hodnota počtu neshod v podskupině p0 Konstanta pro identifikaci posunu p1 – p0 Meze pro S+ a S- (rizika a ) H
ln p 1 p0 ln 1 1 p p 1 0
H
1 p0 n ln 1 p1 K K p 1 p0 ln 1 1 p1 p0
ln p 1 p0 ln 1 1 p p 1 0 9
CUSUM pro počet neshod Založen na Poissonovu rozdělení počtu neshod v podskupině dolní CUSUM
horní CUSUM
Si max Si1 ( X i K );0
Si min Si1 ( X i K );0
Cílová hodnota počtu neshod v podskupině c0 Konstanta pro identifikaci posunu c1 – c0 Meze pro S+ a S- (rizika a ) H
ln c ln 1 c0
H
K K
c1 c0 c ln 1 c0
ln c ln 1 c0 10
Případová studie Dodávky nárazníků Počet poškozených nárazníků 7 6 5 4 3 2 1 0 0
20
40
60
80
100
120
140
Proměnná velikost dodávek 263 – 508 kusů, průměrná velikost 434 11
P-diagram, konstantní meze p 3 p(1 p) / n
Základní hodnoty nejsou dány
P Chart of d 0,014 1
1 1
0,012
1 1
1
UCL=0,01010
Proportion
0,010 0,008 0,006 0,004
_ P=0,00267
0,002 0,000
LCL=0 1
14
LCL vychází záporná
27
40
53 66 Sample
79
92
105
118
LCL = 0
Nestejné rozsahy - proměnlivé riziko falešného signálu 12
P-diagram, proměnné meze p 3 p(1 p) / ni P Chart of d 0,014 1
1 1
0,012
1
Proportion
0,010
UCL=0,00958
0,008 0,006 0,004
_ P=0,00267
0,002 0,000
LCL=0 1
14
27
40
53 66 Sample
79
92
105
118
Tests performed with unequal sample sizes
13
P-diagram, konstantní meze p0 3 p0 (1 p0 ) / n
Základní hodnoty dány; p0 = 0,0025 P Chart of d 0,014 1
1 1
0,012
1 1
1
Proportion
0,010
UCL=0,00969
0,008 0,006 0,004 _ P=0,0025
0,002 0,000
np0 1,085
LCL=0 1
14
27
40
53 66 Sample
79
92
105
118
Skutečné riziko falešného signálu (překročení UCL) – 0,005
14
P-diagram, proměnné meze Základní hodnoty dány; p0 = 0,0025
P Chart of d 0,014 1
1 1
0,012
1
0,010 Proportion
UCL=0,00919 0,008 0,006 0,004 _ P=0,0025
0,002 0,000
LCL=0 1
14
27
40
53 66 Sample
79
92
105
118
Tests performed with unequal sample sizes
15
Přístup založený na transformaci A.
Transformace založená na normování Xi
B.
pi p0 p0 (1 p0 ) / ni
Transformace arcsin Yi arcsin
xi 3 / 8 ni 3 / 4
I-diagram pro individuální hodnoty
CUSUM diagram
16
I-diagram Diagram pro individuální hodnoty (regulace měřením) I Chart of x 5 1
4
1
1 1
Individual Value
3
UCL=3
2 1 _ X=0
0 -1 -2 -3
LCL=-3 1
14
27
40
53 66 79 Observation
92
Normované normální rozdělení - pevné meze
105
3
118
17
I-diagram a zpětná transformace Základní hodnoty dány; p0 = 0,0025 P Chart of p 0,016 UCL=0,0148
0,014 1
1 1
0,012 Proportion
1
1 1
0,010 0,008 0,006 0,004
_ P=0,0025
0,002
LCL=0,000484
0,000 1
Střední hodnota
14
27
40
arcsin p
53 66 Sample
79
92
105
118
, směrodatná odchylka
1 4n
18
CUSUM pro transformovanou proměnnou CUSUM Chart of x 15
Cumulative Sum
10
5
UCL=4
0
0 LCL=-4
-5
-10 1
14
27
40
53
66 Sample
79
92
105
118
Cílová hodnota = 0, směrodatná odchylka = 1, h = 0,5, k = 4 19
CUSUM pro transformovanou proměnnou CUSUM Chart of arcsin 0,3
Cumulative Sum
0,2
0,1
UCL=0,096
0,0
0
LCL=-0,096
-0,1 1
14
27
40
53
66 Sample
79
92
105
118
Cílová hodnota p0 = 0,0025 Cílová hodnota po transformaci = 0,05; směrodatná odchylka = 0,024, h = 0,5, k = 4
20
Případová studie Průměr procesu
p 0,00267
Cílová hodnota
p0 0,0025 p0 (1 p0 ) / n 0,0024
Směrodatná odchylka kolísání p
Nepřijatelná hodnota p, která by měla být odhalena
p1 0,005 Rizika chybného rozhodnutí Parametry CUSUM
0,00135
K K 1, 439
H 9, 498
0,01 H 6,620 21
Horní a dolní CUSUM prokazatelné zhoršení procesu
K K 1, 439
H 9, 498
20
H 6,620
10 0 S-, S+
0
20
40
60
80
100
120
-10 -20 -30 -40 -50
prokazatelné zlepšení procesu
22
Použití diagramu
Překročení horní meze hledá se vymezitelná příčina; je-li hledání úspěšné, příčina se odstraní a kumulativní součet se vynuluje (na obrázku se vynulování neuvažuje)
Překročení dolní meze znamená zlepšení procesu s ohledem na neustálé zlepšování procesu by se měla revidovat cílová hodnota, určit nové parametry CUSUM diagramu, vynulovat kumulativní součty a pokračovat dál (jinak při podílu neshodných trvale lepším než je původní cílová hodnota bude dolní kumulativní součet pořád klesat a jeho zobrazování přestává mít smysl) 23
Vliv volby rizik 0,00135 0,01 20 10
0,01 0,01
0 20
40
60
80
100
120
-20
20
-30
10
-40 -50
0 0
20
40
60
80
100
120
-10
S-, S+
S-, S+
0 -10
-20 -30 -40 -50
24
Diagram pro počet neshod Příklad Ford Motor (Ryan) C Chart 18
1
16
UCL=15,81
Sample Count
14 12 10 _ C=7,56
8 6 4 2 0
LCL=0 1
3
5
7
9
11
13 15 Sample
17
19
21
23
25
25
Příklad Ford Motor (Ryan) Základní hodnota dána: c0 = 7 C Chart of c-Ryan 18
1
16
1
UCL=14,94
Sample Count
14 12 10 8
_ C=7
6 4 2 0
LCL=0 1
3
5
7
9
11
13 15 Sample
17
19
21
23
25
26
Transformace y c c 1 I Chart of c-transf 9 UCL=8,474 8
Individual Value
7 6
_ X=5,474
5 4 3 LCL=2,474 1
2 1
Střední hodnota
3
5
2 l
7
9
11 13 15 Observation
17
19
21
23
25
, směrodatná odchylka 1 27
CUSUM Poisson Průměr procesu
c 7,56
Cílová hodnota
c0 7 c0 2, 6
Směrodatná odchylka kolísání c Chceme odhalit posun c1 – c0 = 2 Rizika chybného rozhodnutí Parametry CUSUM
c1 9
0,00135 0,01
K K 7,958
H 26, 292
H 18,324
28
Horní a dolní CUSUM prokazatelné zhoršení procesu
K K 7,958 H 26, 292 H 18,324
40 30 20
S-, S+
10 0 -10 0
5
10
15
20
25
-20 -30 -40 -50 Podskupina
prokazatelné zlepšení procesu 29
Sekvenční kontrola Sledování jednotek kus po kuse Speciální případ binomického CUSUM pro n = 1 (Bernoulliho rozdělení) Modifikace konstanty K a mezí H+ a H- viz [4] Další možnost – sleduje se počet shodných jednotek mezi dvěma neshodnými (geometrické rozdělení) 30
Příklad Kumulativní počet udává, kdy se vyskytla neshodná jednotka Kumulativní počet
51
175
250
347
415
473
958
1455
Pořadí neshodných
1
2
3
4
5
6
7
8
Y
51
124
75
97
68
58
485
497
Kumulativní počet
1819
1920
1934
2170
2246
2421
2740
2808
Pořadí neshodných
9
10
11
12
13
14
15
16
364
101
14
236
76
175
319
68
Y
31
CUSUM - Bernoulli Cílová hodnota p0 = 0,002
0,00135
Nepřijatelná hodnota p1 = 0,005
0,01
zhoršení procesu
K K 0,003275
8
H 7,188
6 4 S+
2
S-,
H 5,009
0 0
500
1000
1500
2000
2500
3000
-2 -4 -6
32
CUSUM geometrický KG KG 1/ K B 305,361 1500
HG mHG m 1 1224
1000 500
G
G
H mH m 1 2496 S+
-500
S-;
m KG
0
-1000
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-1500 -2000 -2500 -3000
Překročení dolní meze představuje signál, že podíl neshodných je větší, tedy zhoršení procesu 33
Literatura 1.
ČSN 01 0266: 1985 Special types of statistical control: Method of cumulative sums (In Czech)
2.
PAGE, E.S. Continuous inspection schemes. Biometrika, 1954, vol. 41, pp. 100-114.
3.
KENETT, R.S., ZACKS, S. Modern Industrial Statistics: Design and Control of Quality and Reliability. Pacific Grove: Duxbury Press, 1998. 621 p.
4.
REYNOLDS, M.R., STOUMBOS, Z.G. A CUSUM Chart for Monitoring a Proportion When Inspecting Continuously. Journal of Quality Technology, 1999, Vol. 31, No. 1, pp. 87-108.
5.
GOH, T.N. A control chart for very high yield processes. Quality Assurance, 1987, vol. 13, no. 1, pp. 18—22.
6.
CHAN, L.Y., LIN, D.K.J., XIE, M., GOH, T.N. Cumulative probability control charts for geometric and exponential process characteristics. International Journal of Production Research, 2002, Vol. 40, No. 1, pp.133-150. 34
