Název: Množiny, Vennovy diagramy Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 3. ročník Tématický celek: Vennovy diagramy Stručná anotace: Žák se snaží analyzovat jednotlivé slovní úlohy a zjednodušit si řešení pomocí grafických diagramů. Časová dotace: 1 x 45 min.
Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech ‒ inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu Praha - Adaptabilita.
Teorie Vennův diagram je způsob grafického znázornění množin, kterým se dá do jednoho obrázku přehledně zanést vztah mezi jednotlivými množinami a jejich prvky. Je tvořený uzavřenými křivkami, přičemž body uvnitř každé této křivky představují prvky této množiny. Pro vytvoření diagramu je klíčové přesně zaznamenat vlastnosti jednotlivých množin a jejich vztah. Postup práce Student obdrží pracovní list se zadáním. Na základě vědomostí, nabytých během hodin teorie množin, se student pokusí vytvořit jednotlivé Vennovy diagramy. První úloha obsahuje Vennův diagram a několik rad k řešení. V ostatních úlohách již student musí na řešení přijít sám. Pracovní list pro učitele obsahuje výsledné řešení úlohy včetně požadovaného vyobrazení. Výsledky 1) Na svatbu přišlo celkem 100 svatebních hostů. Ženich s nevěstou poslali pozvánku třiceti svým společným známým. Každý z nich si pak pozval ještě své vlastní známé, které ten druhý neznal. Ve výsledku jich měl ženich pozvaných 5x vice než nevěsta. Kolik hostů znal na svatbě ženich a kolik nevěsta, jestliže společně pozvali polovinu z počtu lidí, které v součtu přizvali každý sám? Kolik z hostů neznal ani jeden z nich? Všichni pozvaní samozřejmě nabídku přijali a někteří si i přivedli partnera.
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 100 𝑐 = 30 𝑏 = 5𝑑 𝑏 + 𝑑 = 60
Po dosazení: 5𝑑 + 𝑑 = 60 → 𝒅 = 𝟏𝟎 𝑏 = 5𝑑 → 𝒃 = 𝟓𝟎 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 100 → 𝑎 + 50 + 30 + 10 = 100 𝒂 = 𝟏𝟎 2) Po obřadu se všichni odebrali na svatební hostinu, kde měli možnost, vybrat si ze dvou hlavních chodů. Svíčkovou na smetaně s houskovým knedlíkem či lososa se zeleninovým salátem. Celkem se vydalo více jídel, než kolik bylo přítomno hosů, protože
někteří prostě neodolali a dali si jednu porci od svíčkové i lososa. Při placení říkal číšník ženichovi. Těch, kteří si nedali nic, bylo o deset méně, než těch, kteří zkusili obě jídla. Těch, kteří si dali svíčkovou, bylo 3 krát víc než těch, kteří si dali lososa. Pouze jedno jídlo snědlo 80 hostů. Kolik bude ženich platit, jestliže za porci svíčkové se účtuje 80 Kč a za porci lososa 100 Kč? (nezapomeňte, že hostů sice bylo 100, ale jedli i novomanželé) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 102 𝑎 = 𝑐 − 10 𝑏 = 3𝑑 𝑏 + 𝑑 = 80 Cena: 100(𝑏 + 𝑐) + 80(𝑐 + 𝑑) = 180𝑐 + 100𝑏 + 80𝑑
Po dosazení: 𝑐 − 10 + (𝑏 + 𝑑) + 𝑐 = 102 2𝑐 = 32 → 𝒄 = 𝟏𝟔 𝑎 = 𝑐 − 10 → 𝒂 = 𝟔 𝑏 = 3𝑑 → 6 + 3𝑑 + 16 + 𝑑 = 102 → 𝒅 = 𝟐𝟎 𝒃 = 𝟔𝟎 Cena: 100(60 + 16) + 80(16 + 20) = 𝟏𝟎𝟒𝟖𝟎, −
3) Na následném večírku se všichni hosté předháněli v tanečních kreacích. Bohužel ne všem se líbila hudba, kterou v podniku hráli. Kolik lidí tancovalo na rock, jestliže: Jen 30 lidí tancovalo bez ohledu na muziku, která hrála, polovina z toho netancovala nikdy. Pouze na rock tancovalo 2 krát tolik lidí, než těch, kteří tancovali pouze na oldies a 4 krát tolik, než těch, co vstali, jen když hrála taneční hudba. Lidí, kteří tancovali, když hrála taneční hudba nebo oldies bylo o 3 více než těch, kteří tancovali, když hrál rock nebo oldies.
Lidí, kteří tancovali, když hrála taneční hudba nebo rock bylo o 22 méně než těch, kteří tancovali, když hrál rock nebo oldies.
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 + 𝒆 + 𝒇 + 𝒈 + 𝒉 = 𝟏𝟎𝟐 𝒇 = 𝟑𝟎, 𝒂 = 𝟏𝟓 ℎ = 2𝑏 = 4𝑑 𝑐 =𝑔+3 𝑒 + 22 = 𝑔 Po dosazení: 𝟏𝟓 + 𝟐𝒅 + 𝒆 + 𝟐𝟐 + 𝟑 + 𝑑 + 𝑒 + 𝟑𝟎 + 𝒆 + 𝟐𝟐 + 𝟒𝒅 = 102 𝟕𝒅 + 𝟑𝒆 = 𝟏𝟎 → 𝑝𝑜𝑘𝑢𝑑 𝑑 𝑖 𝑒 𝑗𝑠𝑜𝑢 𝑝𝑟𝑣𝑘𝑒𝑚 𝑁, 𝒅 = 𝟏, 𝒆 = 𝟏 → 𝒈 = 𝟐𝟑 → 𝒄 = 𝟐𝟔 𝒅 = 𝟏 → 𝒃 = 𝟐; 𝒉 = 𝟒 … na rock tancovalo 54 lidí
Pracovní list pro žáka
Vennovy diagramy Pomůcky (seznam potřebného materiálu) Psací potřeby Teorie Vennův diagram je způsob grafického znázornění množin, kterým se dá do jednoho obrázku přehledně zanést vztah mezi jednotlivými množinami a jejich prvky. Je tvořený uzavřenými křivkami, přičemž body uvnitř každé této křivky představují prvky této množiny. Pro vytvoření diagramu je klíčové přesně zaznamenat vlastnosti jednotlivých množin a jejich vztah. Postup práce Na základě vědomostí, nabytých během hodin teorie množin se pokuste vytvořit jednotlivé Vennovy diagramy a najděte řešení úlohy (v první úloze máte diagram sestaven a k němu několik rad). Úlohy: 1) Na svatbu přišlo celkem 100 svatebních hostů. Ženich s nevěstou poslali pozvánku třiceti svým společným známým. Každý z nich si pak pozval ještě své vlastní známé, které ten druhý neznal. Ve výsledku jich měl ženich pozvaných 5x vice než nevěsta. Kolik hostů znal na svatbě ženich a kolik nevěsta, jestliže společně pozvali polovinu z počtu lidí, které v součtu přizvali každý sám? Kolik z hostů neznal ani jeden z nich? Všichni pozvaní samozřejmě nabídku přijali a někteří si i přivedli partnera. a) sestavte rovnice vztahů mezi jednotlivými množinami b) dopočítejte neznámé
2) Po obřadu se všichni odebrali na svatební hostinu, kde měli možnost, vybrat si ze dvou hlavních chodů. Svíčkovou na smetaně s houskovým knedlíkem či lososa se zeleninovým salátem. Celkem se vydalo více jídel, než kolik bylo přítomno hostů, protože někteří prostě neodolali a dali si jednu porci od svíčkové i lososa. Při placení říkal číšník ženichovi. Těch, kteří si nedali nic, bylo o deset méně, než těch, kteří zkusili obě jídla. Těch, kteří si dali svíčkovou, bylo 3 krát víc než těch, kteří si dali lososa. Pouze jedno jídlo snědlo 80 hostů. Kolik bude ženich platit, jestliže za porci svíčkové se účtuje 80 Kč a za porci lososa 100 Kč? (nezapomeňte, že hostů sice bylo 100, ale jedli i novomanželé)
3) Na následném večírku se všichni hosté a novomanželé předháněli v tanečních kreacích. Bohužel ne všem se líbila hudba, kterou v podniku hráli. Kolik lidí tancovalo na rock, jestliže: Jen 30 lidí tancovalo bez ohledu na muziku, která hrála, polovina z toho netancovala nikdy. Pouze na rock tancovalo 2 krát tolik lidí, než těch, kteří tancovali pouze na oldies a 4 krát tolik, než těch, co vstali, jen když hrála taneční hudba. Lidí, kteří tancovali, když hrála taneční hudba nebo oldies bylo o 3 více než těch, kteří tancovali, když hrál rock nebo oldies. Lidí, kteří tancovali, když hrála taneční hudba nebo rock bylo o 22 méně než těch, kteří tancovali, když hrál rock nebo oldies.
