Reader RivWis00 Deficiëntie wiskunde Versie 1.0. Auteur: J.A. van Trigt, aangepast door Wessel Oele

Reader RivWis00 ¨ Deficientie wiskunde Versie 1.0 Auteur: J.A. van Trigt, aangepast door Wessel Oele 21 juni 2006

2

Voorwoord Deze reader beoogt de student elementaire vaardigheden bij te brengen op het gebied van wiskunde. De reader wordt gebruikt om hiaten in de kennis van MBO studenten technische informatica en informatica te verhelpen. Het originele manuscript van deze reader is geschreven door Jan van Trigt. Aanpassingen in tekst en structuur en het onderhoud van deze reader zijn in handen van Wessel Oele. ¨ Dit is een deficientiecursus wiskunde voor de opleiding Informatica, gebaseerd op de ¨ ¨ ideeen, het materiaal en de toestemming van Jan van Trigt. Om deze deficientiecursus te verantwoorden is eerst een inventaris gemaakt van de wiskundebehoefte binnen de opleiding Informatica:

• verzamelingen (bij databases en programmeren) • logica (bij databases en programmeren); • lineaire algebra (bij simulaties, gaming en grafische software, bedrijfskunde, statistiek en programmeren);

• diverse getalstelsels (programmeren en computersystemen); ´ en meer variabelen (diverse vakken i.h.b. informatica en databa• functies van e´ en ses);

• eenvoudige meetkunde, oppervlakken en volumes (gaming, grafische software en robotica);

• numerieke methoden (coderingen, cryptografie, programmeren en statistiek); • combinatoriek(coderingen, cryptografie, statistiek, programmeren, gaming, grafische software en robotica);

• vectoranalyse(informatietheorie, gaming, grafische software en robotica); • operationele analyse, optimaliseringsmethoden (simulatietechnieken, bedrijfskunde). Kenmerkend voor al deze wiskunde-onderwerpen zijn het abstractievermogen en de algebra¨ısche vaardigheden wat daar voor nodig is. Het gebrek aan ‘problem solving abilities’ en creativiteit spelen bij de aansluitingsproblematiek een afgeleide rol, zij kunnen pas ontwikkeld worden nadat de aansluitingsfase is gepasseerd. Hoewel wiskundeonderwerpen noodzakelijk zijn omdat de toepassingen erom vragen, moet in de tijd waarin meer stof in minder tijd wordt behandeld, elk ondersteunend uur nuttig gebruikt worden. Daarom wordt er geen tijd verspilt aan contexten die vertragend werken. Bovendien werken de vaak onduidelijke contexten averechts bij het kweken van begrip. De huidige inhoud van de basis wiskunde van de HAVO en VWO is:

Verzamelingen: elementen, samenvoegingen, doorsnedes, kardinaalgetallen (databases, kunstmatige intelligentie); ¨ getallen; Getallen: natuurlijke-, gehele-, rationele- en reele 3

4

¨ getallen, breuken, machten en wortels; Rekenen: met gehele en reele

Algebra: variabelen (letters), haakjes, merkwaardige producten, breuken met letters ´ noemer brengen; splitsen en onder e´ en ¨ ¨ Combinatoriek: faculteiten, binomiaalcoeffici enten, getallenrijen, limieten (programmeren, informatica en statistiek);

Vergelijkingen en ongelijkheden: oplossen van eerstegraads en tweedegraadsvergelijkingen, kwadraatafsplitsen, de abc-formule, stelsels van lineaire vergelijkingen (2 bij 2 en 3 bij 3);

Meetkunde: analytische meetkunde zoals lijnen, cirkels, afstanden, vlakken, bollen (als voorbereiding voor de vectorrekening die noodzakelijk is bij grafische software, robotica en gaming);

Functies: veeltermen, rationale functies, machts- en wortelfuncties, goniometarische ¨ en logaritmische functies, geparametriseerde krommen en functies, exponentiele het vlak en in de ruimte (grafische software, robotica, bedrijfskunde i.h.b. operationele analyse, informatietheorie en gaming). Formulevaardigheid en kennis van elementaire functies van de aankomende studenten zijn in het voorbereidende onderwijs onvoldoende ontwikkeld en geven de meeste aansluitingsproblemen. Daarom zijn vooral de onderwerpen rekenen, algebra, ¨ (on)gelijkheden en vergelijkingen in deze deficientiecursus opgenomen. ¨ De deficienties van studenten die al een aantal fases ‘remedial teaching’ in het voorbereidende traject zijn gepasseerd, zijn alleen te repareren door intensieve oefening mits het niet te laat is. ¨ Bovenstaande argumenten hebben geleid tot een uitgeklede maar efficiente defi¨ cientiecursus wiskunde, waarbij de studenten tijdens 6 begeleidingslessen binnen twee weken zelfstandig de opgaven moeten uitwerken. De laatste dag wordt besteed aan een toets. Wessel Oele, juni 2006

Inhoudsopgave 1 Verzamelingen. 1.1 Begrip verzameling. . . . . . . 1.2 Notatie van verzamelingen. . . 1.2.1 Varianten. . . . . . . . . 1.3 Het kardinaalgetal. . . . . . . . 1.4 Horizon. . . . . . . . . . . . . 1.5 Deelverzamelingen. . . . . . . 1.6 Gelijke verzamelingen. . . . . . 1.7 Doorsnede van verzamelingen. 1.8 Vereniging van verzamelingen. . 1.9 Verschilverzameling. . . . . . . 1.10 Complementaire verzameling. . 1.11 De distributieve wetten. . . . . . 1.12 De wetten van Morgan. . . . . . 1.13 Intervalverzamelingen . . . . . 1.14 Opgaven. . . . . . . . . . . . .

7 . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

2 Algebra. 2.1 Eigenschappen. . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Machten . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Merkwaardige producten. . . . . . . . . . 2.3 Ontbindingen. . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 De vorm x2 +bx+c . . . . . . . . . . 2.4 Kwadraat afsplitsen. . . . . . . . . . . . . 2.5 Delingen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 De ontbindingsmethode. . . . . . . 2.5.2 De staartdeling. . . . . . . . . . . . 2.6 Wortelvormen. . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 De tweedemachtswortel. . . . . . . 2.7 Priemgetallen. . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Delers. . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Vereenvoudiging van wortelvormen 2.7.3 De derdemachtswortel. . . . . . . . 2.7.4 De algemene wortel. . . . . . . . . 2.7.5 Gelijknamig maken van wortels. . . 2.8 Oneigenlijke machten. . . . . . . . . . . . 2.9 De faculteit. . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ ¨ 2.10 Binomiaal coeffici enten. . . . . . . . . . . ¨ ¨ 2.10.1 Gewone binomiaalcoeffici enten. . . 2.11 Opgaven. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

7 7 9 9 10 10 11 11 12 13 13 13 13 13 16 19

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 20 21 22 22 23 24 24 25 25 25 27 27 28 29 29 30 30 32 33 33 34

6

INHOUDSOPGAVE

3 Vergelijkingen. 3.1 De lineaire vergelijking. . . . . . . . . . . . . 3.2 De kwadratische vergelijking. . . . . . . . . 3.2.1 De volledige vierkantsvergelijking. . . 3.2.2 De abc-formule. . . . . . . . . . . . . 3.2.3 De pq-formule. . . . . . . . . . . . . 3.3 De gebroken vergelijking. . . . . . . . . . . 3.3.1 De gebroken lineaire vergelijking. . . 3.3.2 De gebroken kwadratische vergelijking 3.4 Invoeren en verduisteren van oplossingen. . 3.5 Vergelijkingen van hogere macht. . . . . . . 3.6 Opgaven. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

4 Ongelijkheden en absolute waarden. 4.1 Ongelijkheden. . . . . . . . . . . . 4.1.1 De ongelijkheid a6=b . . . . 4.1.2 De ongelijkheid a
39 40 41 41 42 42 43 43 44 45 48 51

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

51 52 52 53 53 56 57 59

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

¨ 5 Coordinatenmeetkunde ¨ 5.1 Coordinaten systemen. . . . . . . . . . . . 5.1.1 cartesische systemen. . . . . . . . 5.1.2 De rechte lijn. . . . . . . . . . . . . ¨ ¨ 5.1.3 De richtingscoeffici ent. . . . . . . . 5.1.4 Afstand punt tot lijn. . . . . . . . . . 5.2 Tweedegraadskrommen. . . . . . . . . . . 5.2.1 De cirkel. . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 De ellips. . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 De hyperbool. . . . . . . . . . . . . 5.2.4 De parabool: . . . . . . . . . . . . 5.2.5 K: Ax2 +By2 +Cxy+Dx+Ey+F=0, C6=0 5.3 Derde- en hogere graadskrommen. . . . . 5.4 Diversen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 5.5 Ruimtecoordinaten. . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Het platte vlak. . . . . . . . . . . . 5.5.2 De normaalvergelijking. . . . . . . . 5.5.3 Afstand punt en vlak. . . . . . . . . 5.5.4 De bol. . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Opgaven. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61 61 64 65 65 67 68 69 70 72 74 74 75 77 77 78 78 79 79

6 Trigoniometrie. 6.1 Rechthoekige driehoeken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Scheefhoekige driehoeken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Opgaven. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

61

83 84 89

Hoofdstuk 1

Verzamelingen. 1.1

Begrip verzameling.

• Het begrip verzameling laat zich niet definieren. • Daarom wordt het begrip verzameling als bekend verondersteld. • De entiteiten van een verzameling heten ‘de elementen’. • Verzamelingen dienen wiskundige entiteiten te bevatten. ´ • In een verzameling komt ieder element slechts e´ enmaal voor.

• Een verzameling met eindig veel elementen heet ‘eindig’. • Een verzameling met oneindig veel elementen heet ‘oneindig’. • Meestal wordt een verzameling met een hoofdletter aangeduid. • Als p een element van verzameling A is, wordt genoteerd: p∈A (p in A). • Ook wel: A3r (A bevat r). • Als q geen element van verzameling A is, wordt genoteerd: q6∈A (q niet in A). • Ook wel: A63s (A bevat s niet). • NOOIT geldt: A∈A

1.2

Notatie van verzamelingen.

• Door uitschrijven tussen accolades. A={4, 12, 15, 3 } • De volgorde van de elementen doet niet ter zake. • Het expliciet uitschrijven van de elementen. De punten worden gebruikt om een voortzetting aan te geven. B={2, 4, 6, 8, · · · · · · · · · } • Door een expressie die impliciet de verzameling beschrijft A={a| a>1} (a zodanig dat a groter 1)

• Reservering van een letter of symbool voor een vaste verzameling. – De lege verzameling 0/ ={ } Deze bevat geen enkel element. – De natuurlijke getallen N = {1, 2, 3, 4 , 5, 6,· · · · · · · · · } – De aantallen N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,· · · · · · · · · } 7

8

HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN.

– De gehele getallen Z= {0,±1, ±2, ±3, ±4, ±5 ± 6 · · · · · · · } – De rationele getallen Q = { qp | p ∈ Z , q ∈ N } ¨ getallen R = {Alle getallen op de getallenrechte.} – De reele – De (zuiver) imaginaire getallen ℑ ={ ai | a∈ R, i2 =-1 } – De complexe getallen C = {a+bi | a∈ R, b∈ R, i2 =-1 }

• Door een Venn-diagram (Euler-diagram). Afb. 1

V

5

Een Venn-diagram is een getekend gebied (meestal een ovaal) dat de verzameling aangeeft. Als er een beperkt aantal elementen zijn worden deze in het diagram op een willekeurige plaats aangegeven.

6 1

Opmerkingen 1.1 Over de vraag of het getal nul nu wel of niet tot de natuurlijke getallen moet worden gerekend, woedt in de wiskunde wereld al meer dan een halve eeuw een discussie die nog steeds niet is beslecht. De meerderheid van de wiskundigen die zich op de getallenleer en algebra hebben gespecialiseerd, beschouwen het getal nul niet als een natuurlijk getal. In dit dictaat wordt, indien het niet anders is aangegeven, het getal nul niet tot de natuurlijke getallen gerekend. Opmerkingen 1.2 ¨ getallen is ronduit knullig. Het formeel vastleggen van de De definitie van de reele ¨ getallen gebeurt door Cauchy-rijen. Dit valt echter buiten het bestek van dit dictaat. reele Voor tal van taalkundige begrippen kent de wiskunde afkortingen en tekens:

• a=b

a gelijk b.

• a6=b

a ongelijk b.

• a≈b

a is ongeveer b.

• a
a kleiner b.

• a≤a

a kleiner of gelijk b.

• a>b

a groter b.

• a≥b

a groter of gelijk b.

• A∧B

A en B is waar.

• A∨B

A is waar of B is waar of beide zijn waar.

• A∇B

A is waar of B is waar; maar niet tegelijk.

• A=⇒B

Uit A volgt B.

1.3. HET KARDINAALGETAL.

• A⇐=B

Uit B volgt A.

• A⇐⇒B

Uit A volgt B en uit B volgt A.

• ∃a

Er bestaat tenminste 1 a zodat.....

• @a

Er bestaat geen a zodat.....

• ∀a

Voor alle a geldt....

1.2.1

9

Varianten.

Door symbolen zoals ‘+’ ‘-’ en ‘0’ aan de naam van een verzameling te koppelen, kunnen diverse varianten worden gemaakt:

• V+ ={ x | x∈V ∧ x>0 } • V− ={ x | x∈V ∧ x<0 } • V+ 0 ={ x | x∈V ∧ x≥0 } • V− 0 ={ x | x∈V ∧ x≤0 } • 2V={ x|x /2 ∈ V } Voorbeeld 1.1

• N0 = { 0, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 · · · · · · · · · } • Z+ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6,· · · · · · · · · }=N0 • Z− = { -1, -2, -3, -4, -5, -6,· · · · · · · · · } • Z− 0 = { 0, -1, -2 , -3, -4, -5,· · · · · · · · · } • Z+ 0 = { 0, 1, 2 , 3, 4, 5,· · · · · · · · · } • Q+ = {

p q

| p∈N, q∈N}

• R+ = {x | x > 0 , x ∈ R} • R− = {x | x < 0 , x ∈ R} • R+ 0 = {x | x ≥ 0 , x ∈ R} • 2N0 ={ 0, 2, 4, 6, 8,· · · · · · · · · } • 2R = R • N− = 0/

1.3

Het kardinaalgetal.

Definitie 1.1 Het kardinaalgetal van een eindige verzameling A K(A) is het aantal elementen die verzameling A bevat.

• De mogelijke kardinaalgetallen zijn: 0, 1, 2, 3, · · · · · · · · · • Het kardinaalgetal van de lege verzameling is: K(0/ )=0 • Er geldt: K(A)=0 ⇐⇒ A=0/

10


• Oneindige verzamelingen hebben ook kardinaalgetallen. Zo is het kardinaalgetal van de natuurlijke getallen K(N)=ℵ0 (aleph-nul). Deze behoren echter niet tot de stof en worden hier niet behandeld. Voorbeeld 1.2

• K{ 2, 4, 5, 4 }=4 • K{ 0, 3, 5, 4, 33 }=5 • K{2 }=1 • K{ N }=1 • K{ N , R }=2

1.4

Horizon.

Definitie 1.2 Voordat er met verzamelingen gewerkt mag worden, moet de ‘horizon’ (het universum) van de verzameling H worden afgesproken. Dit is het gebied waarin gewerkt wordt. Dus alle elementen uit de gebruikte verzamelingen dienen dan ook een element van H te zijn. Opmerkingen 1.3

• Het begrip horizon is noodzakelijk omdat bij het ontbreken hiervan tegenstrijdigheden kunnen optreden.

• Ook kunnen constructies als ‘de verzameling van alle verzamelingen’ tegenstrijdigheden veroorzaken. Ze zijn daarom niet toegestaan.

1.5

Deelverzamelingen.

Definitie 1.3 A is een ‘deelverzameling’ van B als elk element van A ook een element van B is.

• A is een deelverzameling van B wordt genoteerd als A⊂B • De definitie kan ook gegeven worden als: (x∈A ⇒ x∈B) ⇐⇒ A⊂B • Altijd geldt: A⊂A Iedere verzameling is deel van zichzelf. • Altijd geldt: 0/ ⊂A De lege verzameling is een deelverzameling van iedere verzameling.

• Deze twee mogelijkheden heten ‘oneigenlijke deelverzamelingen’. • Als geldt: A⊂B en 0/ 6=A6=B, dan is A ‘een echte deelverzameling’ van B. • Er wordt ook wel genoteerd B⊃A (B omvat A). B wordt in dit geval ‘de bovenverzameling’ van A genoemd.

11

1.6. GELIJKE VERZAMELINGEN.

Voorbeeld 1.3

• H={ 1, 2, 3,4, 5 } (H is de horizon)

Afb. 2.

H 4

• A={ 1, 2, 3 }

3

A

2

B 1

C

• B={ 1, 2 } • C={ 1 } 5

• B⊂A • C⊂B⊂A

Afb. 3.

Voorbeeld 1.4

R=H

Q

• H=R (H is de horizon) • N ⊂Z

Z

N

• Z⊂Q • N⊂Z⊂Q⊂R

1.6

Gelijke verzamelingen.

Definitie 1.4 De verzamelingen A en B heten ‘gelijk’ (A=B) als ze de zelfde elementen bevatten. Ook wel: (A⊂B ∧ B⊂A) ⇔ A=B

1.7

Doorsnede van verzamelingen.

Definitie 1.5 Verzameling D is de doorsnede van de verzamelingen A en B als elk element uit D zowel element van A als B is.

• Er wordt genoteerd: D=A∩B={d | d∈A ∧ d∈B} • Het teken ∧ is het woord ‘en’. • Er geldt: (A∩B)∩C=A∩(B∩C)=A∩B∩C (associatieve eigenschap). • Er geldt: A∩B=B∩A (commutatieve eigenschap). Definitie 1.6 De verzamelingen A en B heten ‘disjunct’ als hun doorsnede de lege verzameling is.

• In notatie (A en B disjunct) ⇐⇒ (A∩B=0/ ) Voorbeeld 1.5

• H={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 } (Horizon).

12


• A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 } • B={ 1, 4, 6, 8, 9 } • C={ 1, 2, 5, 7, 8 } • A∩B={ 1, 4, 6 }, A∩C={ 1, 2, 5 }, B∩C={ 1, 8 } • A∩B∩C={ 1 } In Venn-diagram

Afb. 4.

H

A 10

3 0

11 2

4 6

B

1.8

9

5

8

7

C

Vereniging van verzamelingen.

Definitie 1.7 V heet ‘de vereniging van de verzamelingen A en B’ als een element van V een element van A of van B is.

• Er wordt genoteerd: D=A∪A={d | d∈A ∨ d∈B } • Het teken ∨ is het woord ‘of’. • Er geldt: (A∪B)∪C=A∪(B∪C)=A∪B∪C (associatieve eigenschap). • Er geldt: A∪B=B∪A (commutatieve eigenschap). Voorbeeld 1.6 Het woord ‘of’ is een homoniem (een woord met meerdere betekenissen). In de wiskunde moet hier onderscheid in worden gemaakt. ´ mogelijkheid is waar, beide mag ook. teken: ∨ 1. (A of B) Tenminste e´ en ´ mogelijkheid is waar, beide mag niet. teken: ∇ 2. (A of B) Precies e´ en

13

1.9. VERSCHILVERZAMELING.

1.9

Verschilverzameling.

Opmerkingen 1.4 V heet ‘de verschilverzameling van A en B’ als een element van verzameling V ook een element van A is maar geen element van B is.

• In notatie A\B=A-B={p | p∈A ∧ p6∈B } • In het algemeen geldt: A-B6=B-A Dus niet commutatief.

1.10

Complementaire verzameling.

De verzameling A heet ‘de complementaire verzameling van B’ als alle elementen uit H (de horizon) bevat die niet in B zitten. Feitelijk is a de verschilverzameling van H en B.

• In de notatie van de complementaire verzameling van A is Ac ={x |x∈H ∧ x6∈A }=H-A

1.11

De distributieve wetten.

Voor de deel- en verenigingsoperatoren gelden de volgende wetten. 1. A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 2. A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

1.12

De wetten van Morgan.

1. (A∪B)c =Ac ∩Bc 2. (A∩B)c =Ac ∪Bc

1.13

Intervalverzamelingen

Definitie 1.8 Een intervalverzameling is een deelverzameling uit R zodanig dat deze verzameling een continuum ¨ vormt. Mogelijke typen: a

b

1. [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b} •

• Gesloten. b

a

2. [a, b >= {x|a ≤ x < b} •

o Links gesloten rechts open.

a

b

3. < a, b] = {x|a < x ≤ b} o

• Links open rechts gesloten. a

b

4. < a, b >= {x|a < x < b} o

o Open.

a

5. [a, →>= {x|a ≤ x < ∞} •——–−→ Links gesloten rechts open. a

6. < a, →>= {x|a < x < ∞} o—–−→ Open. b

7. <←, b] = {x| − ∞ < x ≤ b} ←−——• Links open rechts gesloten.

14

HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN. b

8. <←, b >= {x| − ∞ < x < b} ←−——–o Open. Voorbeeld 1.7 Gegeven zijn de verzamelingen: 1. A={ 1, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 12} 2. B={ 1, 2, 5, 6, 9, 11, 13} 3. C={ 1, 3, 8 } 4. H={ x | x∈N ∧ x<14 } (de horizon). Bepaal: 1. K(A), K(B), K(C), K(H) 2. Van welke verzamelingen is 1 wel of niet een element. 3. Van welke verzamelingen is 2 wel of niet een element. 4. Van welke verzamelingen is 0 wel of niet een element. 5. Van welke verzamelingen is C een deelverzameling? 6. A∩B, A∪B en bepaal hun kardinaalgetallen. 7. A-B, B-A, A-H en bepaal hun kardinaalgetallen. 8. Ac en bepaal het kardinaalgetallen. 9. Schets een Venn-diagram van het geheel. Oplossingen:

• A bevat 8 elementen dus K(A)=8 • B bevat 7 elementen dus K(B)=7 • C bevat 3 elementen dus K(C)=3 • H bevat 13 elementen dus K(H)=13 • 1∈A, 1∈B,1∈C,1∈H • 26∈A, 2∈B,26∈C,2∈H • 06∈A, 06∈B,06∈C,06∈H • C⊂C, C⊂H,C⊂A, C6⊂B • A∩B={ 1, 5, 9 }, K(A∩B)=3 • A∪B={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13 }, K(A∪B)=12 • A-B={ 3, 4, 8, 10, 12 }, K(A-B)=5 • B-A={ 2, 6, 11, 13 }, K(B-A)=4 • Ac =H-A={ 2, 6, 7, 11, 13 } K(Ac )=4 • A-H=0/ , K(A-H)=0 In Venn-diagram:

15

1.13. INTERVALVERZAMELINGEN

Afb. 5.

A 12 4 10 7 5 9 13

11

B

2

3 1

8

6

C

Voorbeeld 1.8 Gegeven zijn de verzamelingen: 1. A={ 2, 4, 6, 8, 10, · · · · · · · · · }=2Z+ (de positieve tweevouden). 2. B={ 3, 9, 12, 15, 18,· · · · · · · · · }=3Z+ (de positieve drievouden). 3. H=N+ (de horizon) Bepaal: 1. A∩B 2. A∪B 3. Ac Oplossing:

• A∩B= {6, 12, 18, 24, 36 ,· · · · · · · · · }=6Z+ (de positieve zesvouden). • A∪B= { x | ( x is een tweevoud of x is een drievoud ) en x∈N+ } • Ac =H-A={ 1, 3, 5, 7,· · · · · · · · · } (oneven positieve getallen). Voorbeeld 1.9 Gegeven zijn de volgende intervalverzamelingen. 1. H=R(Horizon) 2. P=[−2 , 0] 3. Q=< 0 , 1 > 4. R=< 1 , 4] Bepaal:

16


1. Het type interval van P, Q en R 2. P∪Q, P∩Q 3. Q∪R, Q∩R Oplossing.

• P={ x| − 2 ≤ x ≤ 0 } Gesloten. • Q={ x| 0 < x < 1 } Open.

−2

0

• —————–•

0

1

o—————–o

• R={ x| 1 < x ≤ 3 } Links open rechts gesloten. • P∪Q =[−2 , 1 > Links gesloten rechts open.

1

3

o———–• −2

1

• ——————o

• P∩Q =0/ Leeg. • Q∪R =< 0 , 4 > – {1} (Pseudo-interval).

0

1

4

o———–o———o

• Q∩R =0/ Leeg.

1.14

Opgaven.

Gegeven zijn de volgende verzamelingen met horizon (universum) H: 1. H={ -3, -2, -1, 0, · · · · · · · · · 10, 11, 12,13 } 2. A={ 0, 1, 2, 3, 4, · · · · · · · · · 9, 10 } 3. B={ 0, 1, 4, 9 } 4. C={ 1, 2, 9, 10 } 5. D={ 2, 4, 8, 9 } 6. H={ -1, 0, 1, 2, 3, · · · · · · · · · , 10, 11 } Opgave 1.1 1. Teken in Venn-diagrammen H, A, B en C 2. Bepaal A∪B , A∩B , C∪B , C∩B , A∩B∩C 3. Bepaal Ac , Bc , (A∪B)c 4. Bepaal A-B, B-A, Z-C 5. Bepaal van alle voorgaande verzamelingen het kardinaalgetal. Opgave 1.2 1. Teken in Venn-diagrammen H, B, C en D 2. Bepaal D∪B , C∩B , C∪B , D∩B , B∩C∩D 3. Bepaal Dc , (C∩D)c 4. Bepaal C-B, B-D, Z-D 5. Bepaal van alle voorgaande verzamelingen het kardinaalgetal. Opgave 1.3

1.14. OPGAVEN.

17

Geef de impliciete beschrijving van de verzameling (een expressie voor de elementen ookwel ‘verzamelingbouwer’ genoemd) en schets de intervallen van: 1. P=[2, 7 > 2. Q=< −2, 5] 3. R=[0, 0] 4. P∩Q Opgave 1.4

• V={ 1, 2, 4, 7, 11, 16 · · · · · · · · · } K(V)=10 • W={ 1, 4, 9, 16, 25 · · · · · · · · · } K(W)=9 1. Geef een omschrijving van V en W. 2. Schrijf de verzamelingen V en W uit. 3. Bepaal V∪W en K(V∪W) 4. Bepaal V∩W en K(V∩W) 5. Bepaal V-W en K(V-W) Opgave 1.5

• V={ 4, 8, 12, 16 · · · · · · · · · } K(V)=9 • W={ 3, 6, 9, 12 · · · · · · · · · } K(W)=9 1. Geef een omschrijving van V en W. 2. Schrijf de verzamelingen V en W uit. 3. Bepaal V∪W en K(V∪W) 4. Bepaal V∩W en K(V∩W) 5. Bepaal V-W en K(V-W) Opgave 1.6

• V={ 1, 2, 4, 16 · · · · · · · · · } K(V)=7 • W={ 3, 6, 9, 12 · · · · · · · · · } K(W)=7 • U={ 1, 2, 3, 5, 8 · · · · · · · · · } K(U)=7 1. Geef een omschrijving van V, W en U. 2. Schrijf de verzamelingen V, W en U uit. 3. Bepaal V∪W, W∪U, U∪V, V∪W∪U 4. Bepaal V∩W, W∩U, U∩V, W∩U∩V 5. Bepaal V-W, W-U, U-V 6. Bepaal V∩(W∪U), V∪(W∩U) Opgave 1.7

• Horizon H=[0, 3] • X={ 4p |p = 0, 1, 2, 3, 4 · · · · · · · · · 12} • Y={ 3q |q = 0, 1, 2, 3, 4 · · · · · · · · · 9} 1. Bepaal K(X) en K(Y) 2. Schrijf de verzamelingen X en Y uit. 3. X∪Y, X∩Y 4. Z∩X, Z∩Y

18


Hoofdstuk 2

Algebra. De algebra, of liever het letterrekenen zoals het hier wordt genoemd, veronderstelt dat ¨ getallen worden voorgesteld door letters. De formules en methodes gelden echter reele ook binnen de verzameling van de complexe getallen die later behandeld zal worden.

2.1

Eigenschappen.

Er gelden de volgende wetten voor de hoofdbewerkingen.

• a+b=b+a commutatief. • a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c associatief. • a*b=ab=b*a=ba commutatief. • a(bc)=(ab)c=abc associatief. • a(b+c)=ab+ac linksdistributief. • (b+c)a=ba+ca rechtsdistributief. Definitie 2.1 Is een vorm opgebouwd uit delen die gescheiden zijn door plussen, dan heten die delen inclusief het plusteken ‘termen’. Termen kunnen ook negatief zijn. Voorbeeld 2.1 1. a+b is een tweeterm en heeft de termen a en b. 2. ab+cd-abcd is een drieterm en heeft de termen ab, cd en -abcd. 3. x2 +5x-3 is een drieterm en heeft de termen x2 , 5x en -3 ´ 4. (a+b)(a-b) is een e´ enterm met term (a+b)(a-b) 5. a2 -b2 is een tweeterm met de termen a2 en -b2 6. 1+2 is een tweeterm met de termen 1 en 2 ´ 7. 3 is een e´ enterm met de factor 3 Definitie 2.2 Is een vorm opgebouwd uit delen die gescheiden zijn door maaltekens, dan zijn die delen de ‘factoren’. 19

20

HOOFDSTUK 2. ALGEBRA.

Voorbeeld 2.2 1. ab bevat de factoren a en b 2. adr bevat de factoren a, d en r 3. (a+b)c bevat de factoren a+b en c 4. (x+y)(x-y) bevat de factoren x+y en x-y 5. 1×2 bevat de factoren 1 en 2 Regels voor deling.

1. Bij deling dienen alle termen door de deler te worden gedeeld. Voorbeeld 2.3

ab + cd − ad ab cd ad cd = + − = b+ +d a a a a f ´ factor gedeeld. 2. Bij deling wordt op slechts e´ en Voorbeeld 2.4

ac actd xyz =c , = at , =x a cd yz Combinaties geven: Voorbeeld 2.5

ab + cd − ad ab cd ad cd = + − = b+ −d a a a a a abc − bcd abc bcd bc bc = − = − ad ad ad d a 2.1.1

Machten

Definitie 2.3 an is het product van n factoren a.

an = |a ∗ a ∗ a ∗ a{z · · · · · · · · · ∗ a} n− f actoren

Rekenregels.

• Per definitie is a0 =1 als a6=0 • 00 is een onbepaalde vorm. • an * am =an+m • (an )m =anm Voorbeeld 2.6

• 34 = 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 = 81

• (−1)1 = −1

• 30 = 1

• (−1)2 = (−1) × (−1) = 1

• 37 ∗ 312 = 37+12 = 319

• (−3)0 = 1

• (24 )3 = 23∗4 = 212

• (−5)3 = (−5)(−5)(−5) = −125

2.2. MERKWAARDIGE PRODUCTEN.

2.2

21

Merkwaardige producten.

Een aantal productvormen komen vaak voor en geven fraaie antwoorden. Ze worden daarom ‘merkwaardige producten’ genoemd. Het aantal staat niet vast, in elk boek komen andere lijsten voor. Hier worden enkele vermeld:

• (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd • a(b+c+d)=ab+ac+ad • (a+b)(a-b)=a2 -b2 • (a+b)2 =a2 +2ab+b2 • (a-b)2 =a2 -2ab+b2 • (a+b)3 =a3 +3a2 b+3ab2 +b3 • (a-b)3 =a3 -3a2 b+3ab2 -b3 • (a+b)4 =a4 +4a3 b+6a2 b2 +4ab3 +b4 • (a-b)4 =a4 -4a3 b+6a2 b2 -4ab3 +b4 • (a+b)(a2 -ab+b2 )=a3 +b3 • (a-b)(a2 +ab+b2 )=a3 -b3 • (a+p)(a+q)=a2 +(p+q)a+(pq) Voorbeeld 2.7

• (2x-3y)(p-4q)=(2x)p+2x(-4q)+(-3y)p+(-3y)(-4q)=2xp-8xq-3yp+12yp • (2s-4r)(2s+4r)=(2s)2 -(4r)2 =4s2 -16r2 • (3p-4q)2 =(3p)2 -2(3p)(4q)+(4q)2 =9p2 -24pq+16q2 • (2y+3z)3 =(2y)3 +3(2y)2 (3z)+3(2y)(3z)2 +(3z)3 =8y3 +36y2 z+54yz2 +27z3 • (2y-3z)3 =(2y)3 -3(2y)2 (3z)+3(2y)(3z)2 -(3z)3 =8y3 -36y2 z+54yz2 -27z3 • (3x-4y)(9x2 +12xy+16y2 )=(3x)3 -(4y)3 =27x3 -64y3 • (3x+4y)(9x2 -12xy+16y2 )=(3x)3 +(4y)3 =27x3 +64y3 • (x-4)(x+2)=x2 +(-4+2)x+(-4)(2)=x2 -2x-8 • (6x-4)4 =1296x4 -2592x3 +1944x2 -648x+81 • (2x −

1 2 x 1 ) = 4x2 − 2 + 2 2y y 4y

1 1 • (1 − )2 = p2 − 2 + 2 p p 1 3 1 • (1 − )3 = p3 − 3p + − 3 p p p 4 1 1 • (1 − )4 = p4 − 4p2 + 6 − 2 + 4 p p p

22


2.3

Ontbindingen.

Het ontbinden in factoren komt er op neer dat een gegeven vorm wordt herkend als een bekende productvorm die vervolgens wordt teruggeschreven. Kortom er wordt geprobeerd de merkwaardige producten van rechts naar links te lezen. Ook zal blijken dat niet alle vormen op eenvoudige wijze ontbindbaar zijn. Voorbeeld 2.8

• a2 p+a2 p=a2 (p+q) • a2 p+a2 pq=a2 p(1+q) • x2 -y2 =(x+y)(x-y) • a2 x2 -4b4 y2 =(ax+2b2 y)(ax+2b2 y) ¨ ontbindbaar • x2 +y2 is niet reeel

• x4 -y4 =(x2 -y2 )(x2 +y2 )=(x-y)(x+y)(x2 +y2 ) • 27p3 -8q3 =(3p)3 -(2q)3 =(3p-2q)(9p2 +6pq+4q2 ) • 27p3 +8q3 =(3p)3 +(2q)3 =(3p+2q)(9p2 -6pq+4q2 ) 2.3.1

De vorm x2 +bx+c

De drieterm x2 +bx+c met b,c∈Z is in een beperkt aantal gevallen ontbindbaar in R. Er laten zich twee triviale gevallen onderscheiden: 1. c=0 x2 +bx+0=x2 +bx=x(x+b) 2. b=0 x2 +0x+c=x2 +c ¨ ontbindbaar. (a) c>0 niet verder reeel (b) c=-d2 ⇒ x2 -d2 =(x-d)(x+d) In het niet-triviale geval kan de ontbinding in een beperkt aantal gevallen gevonden worden via de volgende werkwijze: 1. Als ontbinding mogelijk dan heeft ze de vorm: x2 +bx+c=(x+p)(x+q) p,q∈Z 2. Er moet gelden: pq=c, p+q=b 3. Bepaal de getallen p en q die voldoen aan pq=a (p,q∈Z) (het aantal getallen is eindig) 4. Probeer of een van de gevonden paren voldoet aan p+q=b 5. Als er zo’n paar gevonden wordt, is de ontbinding gevonden. ´ ontbinding. • Er is maximaal e´ en • Het proberen van breuken is zinloos. Voorbeeld 2.9

• Ontbind: x2 -5x+6 ⇒ (b=-5 ,c=6) • pq=c=6 mogelijke paren (p,q) zijn: (1,6),(-1,-6),(2,3),(-2,-3) • p+q=b=-5 het paar (-2,-3) voldoet. • Dus: x2 -5x+6=(x+p)(x+q)=(x-2)(x-3)

2.4. KWADRAAT AFSPLITSEN.

23

Voorbeeld 2.10

• Ontbind: x2 +5x+6 ⇒ (b=5 ,c=6) • pq=c=6 mogelijke paren (p,q) zijn: (1,6),(-1,-6),(2,3),(-2,-3) • p+q=b=5 het paar (2,3) voldoet. • Dus: x2 +5x+6=(x+p)(x+q)=(x+2)(x+3) Voorbeeld 2.11

• Ontbind: x2 -5x-6 ⇒ (b=-5 ,c=-6) • pq=c=-6 mogelijke paren (p,q) zijn: (-1,6),(1,-6),(-2,3),(2,-3) • p+q=b=-5 het paar (1,-6) voldoet. • Dus: x2 -5x-6=(x+p)(x+q)=(x+1)(x-6) Voorbeeld 2.12

• Ontbind: x2 +5x-6 ⇒ (b=5 ,c=-6) • pq=c=-6 mogelijke paren (p,q) zijn: (-1,6),(1,-6),(-2,3),(2,-3) • p+q=b=5 het paar (-1,6) voldoet. • Dus: x2 +5x-6=(x+p)(x+q)=(x-1)(x+p) Voorbeeld 2.13

• Ontbind: x2 -5x+3 ⇒ (b=-5 ,c=3) • pq=c=3 mogelijke paren (p,q) zijn: (1,3),(-1,-3) • p+q=b=-5 geen paar voldoet. • Dus geen eenvoudige ontbinding mogelijk.

2.4

Kwadraat afsplitsen.

Van de drieterm ax2 +bx+c met a6=0 kan ten alle tijden het kwadraat worden afgesplitst. Volgens de hieronder volgende methode.

• P=ax2 +bx+c= • aP=a2 x2 +abx+ac= • aP=(ax+ 12 b)2 − 41 b2 +ac • aP=(ax+ 12 b)2 − ( 14 b2 -ac) • Er laten zich nu drie gevallen onderscheiden: 1. Als ( 14 b2 -ac)>0 – Dan is het model van de vorm S2 -T2 =(S-T)(S+T) (P ontbindbaar in R) 2. Als ( 41 b2 -ac)=0 – Dan is het model van de vorm S2 -02 =S2 (P is een zuiver kwadraat) 3. Als ( 14 b2 -ac)<0 – Dan is het model van de vorm S2 +T2 (P niet ontbindbaar in R)

24


Voorbeeld 2.14

• Splits het kwadraat af van: x2 -6x-27 • x2 -6x-27=(x-3)2 -32 -27=(x-3)2 -36=(x-3)2 − 62 • De vorm is van het model X2 -Y2 =(X+Y)(X-Y) dus ontbindbaar in R. • x2 -6x-27=(x-3)2 − 62 =[(x-3)+6][(x-3)-6]=(x+3)(x-9) Voorbeeld 2.15

• Splits het kwadraat af van: V=3x2 -5x-12 • 3V=9x2 -15x-36 • 3V=(3x- 25 )2 − ( 52 )2 − 36 • 3V=(3x- 52 )2 − ( 169 4 ) 2 • 3V=(3x- 52 )2 − ( 13 2) 2 • V= 13 ((3x- 25 )2 − ( 13 2) )

• Hier is het kwadraat afsplitsen voltooid. • Drie term V kan nu ontbonden worden via: 5 13 5 13 2 – 3V=(3x- 52 )2 − ( 13 2 ) = [(3x- 2 ) − ( 2 )] [(3x- 2 ) + ( 2 )]=(3x-4)(3x-9)

– V=3x2 -5x-12=(3x-4)(x-3) Voorbeeld 2.16

• Splits het kwadraat af van: x2 +4x+20 • x2 +4x+20=(x+2)2 -22 +20=(x+2)2 +16=(x+2)2 + 42 • De vorm is van het model X2 +Y2 dus niet ontbindbaar in R.

2.5

Delingen.

Delingen van lettervormen laten zich in twee hoofdmethoden onderscheiden. 1. Teller en noemer worden zo volledig mogelijk ontbonden. Waarna de overeenkomstige factoren in teller en noemer tegen elkaar worden weggedeeld. 2. Door een staartdeling.

2.5.1

De ontbindingsmethode.

Voorbeeld 2.17

a3 − b3 (a − b)(a2 + ab + b2 ) a2 + ab + b2 = = a2 − b2 (a − b)(a + b) a+b 4 4 2 4 (p − 1)(p + 1) 2(p + 1) (p − 1)2 p − 2p + 1 = = × = 2 2 (p − 1)2 2 p−1 p2 + p − 2 (p − 1)(p + 2) x4 − y4 (x2 + y2 )(x2 − y2 ) = = x2 − y2 x2 + y2 x2 + y2

25

2.6. WORTELVORMEN.

2.5.2

De staartdeling.

Staartdelingen in letterrekenen zijn vergelijkbaar met gewone staartdelingen. Ook komen ze uit of niet uit. Er wordt volstaan met enkele voorbeelden. Voorbeeld 2.18 Deel uit:

x4 + 3x3 − x2 + x − 12 x−2 (x-2)/

x4 x4

+3x3 -2x3 +5x3 +5x3

-x2 -x2 -10x2 +9x2 +9x2

+x

+x -18x +19x +19x

-12

=x3 +5x2 +9x+19

-12 -38 +26

De deling geeft dus:

x4 + 3x3 − x2 + x − 12 26 = x3 + 5x2 + 9x + 19 + x−2 x−2 Voorbeeld 2.19

x4 + x3 + x2 + x + 1 x2 − x + 2 (x2 -x+2)/

x4 x4

+x3 -x3 +2x3 +2x3

x2 2x2 -x2 -2x2 +x2 +x2

+x

+1

+x +4x -3x -x -2x

+1 +2 -1

=x2 +2x+1

De deling geeft dus:

x4 + x3 + x2 + x + 1 2x + 1 = x2 + 2x + 1 − 2 2 x −x+2 x −x+2

2.6 2.6.1

Wortelvormen. De tweedemachtswortel.

Beschouw de vergelijking x2 = 1 Deze heeft de oplossingen x1 = −1 , x2 = +1 Beschouw de vergelijking x2 = 2 Deze heeft geen oplossingen binnen Q. Toch blijken de oplossingen te bestaan; Bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras levert vaak van deze vormen op. Er wordt daarom gedefinieerd:

26


Definitie 2.4

x=

√

a ⇐⇒ (x2 = a , x ≥ 0)

Opmerkingen 2.1

√ √ √ √ • Kennelijk geldt: 0 = 0 , 1 = 1 , 4 = 2 , 9 = 3 √ • 2 = x =⇒ x2 = 2 √ √ • De vergelijking x2 = 2 heeft dus de oplossingen 2 en - 2 • De vergelijking x2 =-2 heeft geen oplossingen binnen √ • 2 is geen element van Q en kan dus niet als een echte breuk worden √ genoteerd. Wel kan een benadering gegeven worden met een decimale breuk: 2 ≈ 1.4142 • Bovenstaande decimale breuk gaat nooit repeteren. • Er wordt ook wel gesproken van de vierkantswortel uit 2 √ • −1 is niet gedefinieerd binnen R √ • Kennelijk bestaat a alleen binnen R als a ≥ 0 • Wortels kunnen in het algemeen niet worden opgeteld tot een nieuwe wortelvorm. • Optellen kan als de wortels gelijknamig zijn, ze worden geteld. Rekenregels:

• • • • • • •

√ √ √ a · b = ab √ √ √ (− a) · ( b) = − ab √ √ √ ( a) · (− b) = − ab √ √ √ (− a) · (− b) = ab √ √ √ (− a) · (− a) = a2 = a , a ≥ 0 r √ a a √ = b b √ √ √ p a ± q a = (p ± q) a

• Bovenstaande geldt slechts als alle vormen gedefinieerd zijn. Voorbeeld 2.20

• Los op: √ √ 2. x2 = 5 ⇒ x = ± 5 √ 3. x2 = 6 ⇒ x = ± 6 4. x2 = −4 ⇒ Geen oplossing binnen R. 1. x2 = 4 ⇒ x = ± 4 = ±2

• Vereenvoudig: √ √ √ √ 1. 2 3 = 2 · 3 = 6 √ √ √ √ √ 2. 2 3 6 = 2 · 3 · 6 = 36 = 6 √ √ √ 3. − 2 6 = − 12

2.7. PRIEMGETALLEN.

4. 5. 6. 7.

2.7 2.7.1

27

r √ 8 8 √ √ = = 4=2 2 2 √ √ √ 2 3+4 3 = 6 3 √ √ √ 5 7−5 7 = 2 7 √ √ 3 + 2 Niet verder vereenvoudigbaar.

Priemgetallen. Delers.

Het begrip deler wordt gedefinieerd in de verzameling N: Definitie 2.5 a is deler van b als ∃x∈ N zodanig dat ax=b Definitie 2.6 a is een echte deler van b als a deler is van b en 16=a6=b Definitie 2.7 Als een getal P geen echte delers heeft dan heet P een priemgetal of kortweg priem. Opmerkingen 2.2 1. Er bestaan oneindig veel priemgetallen. 2. De priemgetallen worden vaak genummerd volgens:

• P1 =2, P2 =3, P3 =5, P4 =7, P5 =11, P6 =13, P7 =17, P8 =19, P9 =23 • P10 =29, P11 =31, P12 =37, P13 =41, P14 =43, P15 =47, P16 =53 3. Het getal 1 is niet priem. De rede hiervan ligt buiten het bestek van dit dictaat. 4. Er is geen formule bekend die Pn uit n berekend. Stelling 2.1 Met uitzondering van het getal 1 is elk natuurlijk getal op een unieke wijze te ontbinden in priemfactoren. Voorbeeld 2.21

• 2 = 2 , 3 = 3 , 4 = 2 · 2 = 22 , 5 = 5 , 6 = 2 · 3 , 7 = 7 • 8 = 2 · 2 · 2 = 23 , 9 = 3 · 3 = 32 , 10 = 2 · 5 , 11 = 11 , 12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3 • 120 = 23 · 3 · 5 , 144 = 24 · 32 , 4601 = 43 · 107 , 5017 = 29 · 173

28


2.7.2

Vereenvoudiging van wortelvormen √ Een bijzonder geval doet zich voor bij a2 Dit is niet perse a maar: √

= a, a≥0 = −a , a < 0 √ p √ Immers: a = −2 a2 = (−2)2 = 4 = 2 = −a a2

=⇒

Voorbeeld 2.22

• • • • • •

√ √ √ √ √ 12 = 4 · 3 = 4 3 = 2 3 √ √ √ √ 18 = 9 2 = 3 2 √ √ √ √ √ √ 180 = 9 4 5 = 3 · 2 5 = 6 5 √ a4 = a2 Immers a2 ≥ 0 √ a2 b2 1. = ab ab ≥ 0 2. = −ab ab < 0 √ a6 b8 1. = a3 b4 a ≥ 0 2. = −a3 b4 a < 0

De vorm

q

√ p+2 q

√ √ √ √ √ √ √ ( a ± b)2 = ( a)2 + ( b)2 ± 2 a b = (a + b) ± 2 ab q √ √ √ Kennelijk is: (a + b) ± 2 ab = a ± b Voorbeeld 2.23

q •

√

q

√ √ √ (2 + 3) + 2 2 · 3 = 2 + 3

q

√ √ √ (3 + 2) − 2 3 · 2 = 3 − 2

5 + 24 = q

√

5 − 24 =

•

q √ √ √ √ √ • 7 + 4 3 = (4 + 3) + 2 4 · 3 = 4 + 3 = 2 + 3 q q √ √ √ √ √ • 7 − 4 3 = (4 + 3) − 2 4 · 3 = 4 − 3 = 2 − 3 q

Opmerkingen 2.3

q De vereenvoudiging:

√ √ 7 − 4 3 = 2 − 3 heeft niet de tweede mogelijkheid:

√ √ 7 − 4 3 = 3 − 2 hoewel dit op het eerste gezicht correct lijkt. √ Maar 3 − 2 ≈ −0.27 < 0 hetgeen niet is toegestaan.

q

T ELLER De vorm √ √ p± q

Uit bovenstaande vorm laten de wortels zich uit noemer verdrijven door: Als de noemer

√

Voorbeeld 2.24

√ √ √ p ± q is, vermenigvuldig dan teller en noemer met p ∓ q

√ √ √ √ √ √ 1 1 3− 2 3− 2 √ =√ √ ·√ √ = √ √ 1. √ = 3− 2 3+ 2 3+ 2 3 − 2 ( 3)2 − ( 2)2 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 2+ 5 2+ 5 3− 2 6 − 2 + 15 − 10 √ √ =√ √ √ √ = √ √ 2. √ = 6 − 2 + 15 − 10 3+ 2 3+ 2 3− 2 ( 3)2 − ( 2)2

29

2.7. PRIEMGETALLEN.

2.7.3

De derdemachtswortel.

Beschouw de vergelijking x3 =2 Deze is onoplosbaar binnen Q Vergelijkbaar met de vierkantswortel wordt er gedefinieerd: Definitie 2.8

x=

√ 3 a ⇐⇒ (x3 = a)

Opmerkingen 2.4

• De derdemachtswortel heet ookwel ‘kubische wortel’. √ • (−1)3 = −1 =⇒ 3 −1 = −1 √ • Het probleem van −1 =? doet zich hier niet voor. √ 3 • Ook geldt: a3 = a Voor alle a∈ R • De rekenregels zijn vergelijkbaar met die van de vierkantswortels. Voorbeeld 2.25

• • • • • • • • • •

√ √ √ √ 3 3 3 4 = 3 3 · 4 = 3 12 √ √ √ √ √ 3 2 3 3 3 5 = 3 2 · 3 · 5 = 3 30 √ √ √ √ √ √ √ √ 3 2 3 3 3 4 = 3 2·3·4 = 3 8·3 = 3 8 3 3 = 2 3 3 √ √ √ √ √ 3 3 3 3 144 = 24 32 = 23 2 · 32 = 2 3 18 r √ 3 √ 10 3 3 10 √ = = 5 3 2 2 √ √ 3 2 3 2 1 1√ 1 a a 3 2 √ √ √ √ = = a = × 3 2 3 3 3 3 a a a a a r r √ √ √ 3 3 √ 16 + 2 16 + 3 8 3 3 8 3 3 √ √ = = + = 1 + 4 3 3 3 2 2 2 √ √ √ √ √ √ √ √ √ 3 4( 3 6 + 3 5) = 3 4 · 6 + 3 4 · 5 = 3 24 + 3 20 = 2 3 3 + 3 20 √ √ √ √ 3 3 4 + 4 3 4 = (3 + 4) 3 4 = 7 3 4 √ √ √ √ √ 3 3 3 3 √ 5+1 5+1 2 20 + 3 4 1 √ 3 1 3 √ √ √ √ 20 + = × = = 3 3 3 3 2 2 4 8 2 2 2

2.7.4

De algemene wortel.

Voor de algemene machtswortel laten zich twee gevallen onderscheiden:

√ n

√ n

a ⇐⇒ (xn = a , x ≥ 0) √ √ 2. n a met n is oneven, dan x = n a ⇐⇒ xn = a) 1.

a met n is even, dan x =

Opmerkingen 2.5

• Kennelijk geld:

√ 2

a=

√

a

• Rekenregels vergelijkbaar met voorgaande gevallen. √√ 2 • Op vormen als 3 wordt verder niet ingegaan.

30


2.7.5

Gelijknamig maken van wortels.

Wortels van verschillende soort kunnen nadat ze gelijknamig zijn gemaakt met elkaar vermenigvuldigd en op elkaar gedeeld worden. Voorbeeld 2.26

• • • • •

√ √ √ 3·2 3 6 3= 32 = 9 √ √ √ 2·2 4 2= 22 = 4 √ √ √ √ √ 4 8 16 12 20 2 = 4 = 8 = 16 = 32 √ √ √ √ √ 4 4 4 4 8 = 4· 2 = 2 2 q √ √ 3 −2 = 9 (−2)3 = 9 −8

Bovenstaande techniek dient met de nodige voorzichtigheid te worden toegepast omdat:

√ 3

√ 6

a2 lijkt toegestaan maar: q √ √ √ 6 • Laat: a = −1 3 a = 3 −1 = −1 6= 6 (−1)2 = 1 = 1

• De handeling

a=

• Er moet dus gelet worden op de tekens onder de wortelstok. Voorbeeld 2.27

• • • •

• • • •

√ √ √ √ √ √ 6 6 6 3 6 2 · 2 = 23 22 = 25 = 32 √ √ √ √ √ √ √ √ √ 6 6 4 3 4 4 6 4 2( 2 + 2) = 23 · 22 + 22 2 = 32 + 8 √ √ 1 1 a a 1√ √ = √ ×√ = = a a a a a a √ √ 3 2 3 2 1 1 1√ a a 3 √ √ √ √ = · = = a2 3 2 3 3 3 3 a a a a a r r √ √ √ √ √ √ 6 6 5 √ 1 √ 2+ 3 2 3 8 27 6 2 6 6 108 6 √ √ √ √ √ = + = + = + = ( 64 + 108) 3 3 3 6 6 6 6 2 2 2 16 16 4 4 4 √ √ √ √ √ √ √ √ 3 3 3 3 3 6 3 3 ( 2 + 4)2 = ( 2)2 + 2( 2 · 4) + ( 4)2 = 3 + 4 + 2 2 √ √ √ 7 7 7 3 5 − 5 5 = −2 5 √ √ √ √ 8 8 8 8 5 5−3 5+2 5 = 4 5

Opmerkingen 2.6 De wortelvormen vormen met de verzameling Q , de verzameling van de Radicalen.

2.8

Oneigenlijke machten.

Gedefinieerd was: an = a × a × a × · · · · · · · × a met n ∈ N

| Direct volgt: an · am = an+m ,

{z

n− f actoren an n−m am = a

Als m>n m-n=p en a6=0 dan geldt:

} en(an )m = anm , m, n ∈ N

31

2.8. ONEIGENLIJKE MACHTEN.

n− f actoren

an am

z }| { a × a × a × · · · · · · · × a = a × a × a × a × · · · · · · · × a = a × a × · · 1· · · · · · · × a = | {z } | {z } m− f actoren

(m−n) f actoren

an am

1 am−n

= an−m

    

⇒ a−p =

   

1 ap

Als a≥0 en n∈ N dan: 1

1

(a n )n = a n ·n √ = a1 = a ( n a)n = a

1

⇒ an =

√ n

a

Combinaties geven de volgend formules: (Mits de vormen gedefinieerd zijn).

a0 = 1 , a 6= 0

a−p =

1

1 ap

an =

√ n a

p

aq =

√ q

ap

Opmerkingen 2.7

• Formeel zijn bovenstaande methoden geen bewijzen. Er wordt van uitgegaan dat de oorspronkelijke formules consistent dienen te blijven. √

• Vormen als 2

2

worden niet behandeld. Zij kunnen echter wel gedefinieerd worden. Dit valt echter buiten de stof van deze module.

• In tamelijk veel gevallen kunnen de regels wat ruimer genomen worden. Zo is √ √ 1 1 (−8) 3 = 3 −8 = −2 maar (−2) 2 = −2 = De vorm is niet gedefinieerd in R Voorbeeld 2.28 Schrijf als oneigenlijke machten:

√ √ 5 a2 a b3 p x2 3 y2 √ 4 3 z √ √ 3 2 12 5 2 3 √ 7 3 2 (a + b)3 p c 3 (a + b)2 √ 1 2 3 √ −1 2

1

1

1

3

= a2 a 2 (b3 ) 5 = a2 2 b 5 2

= = =

x2 y 3 3 4

z 2 12 23 3 5 3 7

2

2

12

c(a + b)

2 3

Verwijder de oneigenlijke machten.

5

1

= c−1 (a + b)2 3

= 31/ 2 = 32 = 9 1 1 = 2 −1 = 2−1 = 2

Voorbeeld 2.29

3

12

= 2 3 3 5 2− 7 = 2 21 3 5

2 (a + b)3 1

3

= x 2 y 3 z− 4

32


1

3

a 3 b 5 c0 = p3 q−4 = 2

x−2 3 = 2

3

p2 7 (p + q)− 4 = 1

1

x1 2 y3 2 1

(x − y) 3

=

√ √ √ √ 5 5 3 a b3 1 = 3 a b3 p3 q4 1 1 1 √ 2 = 2 = 3 x2 x2 x2 3 p x2 x 3 p p2 7 p2 p2 7 p2 p 3 = 4 (p + q)3 (p + q) 4 √ √ √ xy xy x x y3 y √ =√ 3 3 x−y x−y

Opmerkingen 2.8 Alhoewel wortels in de exponent niet behandeld zijn. Bestaan er toch eenvoudige vormen die zich gemakkelijk verder laten herleiden. Voorbeeld 2.30

√ √ √2 √ √2·√2 √ 2 = ( 2) = ( 2)2 = 2 • ( 2) √ √ √3 √ √ √ √ √ • ( 3) 3 = ( 3) 3· 3 = ( 3)3 = 3 3

2.9

De faculteit.

Definitie 2.9

∀n ∈ N+

n! = 1 × 2 × 3 × · · · · · · × (n − 1) × n

Voorbeeld 2.31

1×2×3×4 1×2×3 1×2 1

a. b. c. e.

4!= 3!= 2!= 1!=

f. g. h.

(n-1)! (n)! (n+1)!

=24 =6 =2 =1

= 1 × 2 × 3 × · · · · · · × (n − 1) = 1 × 2 × 3 × · · · · · · × (n − 1) × n = 1 × 2 × 3 × · · · · · · × (n − 1) × n×(n+1)

Eigenschappen.

a.

n! = (n − 1)! n

Bewijs:

n! 1 × 2 × 3 × · · · · · · × (n − 1) × n = = 1 × 2 × 3 × · · · · · · × (n − 1) = (n − 1)! n n

n!×(n+1)=(n+1)! Bewijs: n!×(n+1)= [1 × 2 × 3 × · · · · · · × (n − 1) × n]× (n+1)=(n+1)!

(n + 1)! 1 × 2 × 3 × · · · · · · × (n − 1) × n × (n + 1) = = n+1 n! 1 × 2 × 3 × · · · · · · × (n − 1) × n

¨ ¨ 2.10. BINOMIAAL COEFFICI ENTEN.

33

Uitbreiding naar 0!=1 Er geldt: n! =

(n + 1)! (0 + 1)! 1! 1 ⇒ 0! = = = =1 n+1 0+1 1 1

Opmerkingen 2.9 Zuiver formeel is het bovenstaande geen bewijs. Een uitbreiding kan willekeurig worden gekozen mits er geen tegenstrijdigheden optreden. Er is echter zo gekozen dat de gebruikte formule consistent blijft. Verdere voortzetting naar (-1)! loopt direct mis. Er geldt: n! =

(n + 1)! ((−1) + 1)! 0! 1 ⇒ (−1)! = = = =????? n+1 (−1) + 1 0 0

2.10

Binomiaal coëfficiënten.

2.10.1

Gewone binomiaalcoëfficiënten.

¨ ¨ Definitie: Binomiaalcoeffici enten n over k = nk met n,k∈ N0 n n! = k! (n − k)! k Voorbeeld 2.32

5 5! 5! 120 = = = = 10 2 2!(5 − 2)! 2! 3! 2 × 6 n n! n! n! = = = =1 0 0!(n − 0)! 0! n! n! n n! n! n! = = = =1 n n!(n − n)! n! 0! n! n n! n(n − 1)! = = =n 1 1!(n − 1)! 1 (n − 1)! n n! n(n − 1)! = = =n n−1 (n − 1)!(n − (n − 1))! n − 1)! 1! 0 0! 1 = = =1 0 (0)!(0 − 0)! 1 × 1 ¨ ¨ Er bestaan verrassend veel betrekkingen tussen binomiaalcoeffici enten. Voorbeeld 2.33

n n! n! n = = = n−k (n − k)!(n − (n − k))! (n − k)! k! k

34


2.11

Opgaven.

Opgave 2.1

Opgave 2.2

Werk uit de vormen:

Ontbind de volgende vormen:

1. (2a + b)2 =

1. x3 − y6 =

2. (2ab)2 =

2. x3 + y6 =

3. v(x2 y + zp)2 =

3. x4 − y4 =

4. (3p2 q3 )7 =

4. x6 − y6 =

5. 6.

5. x2 + x + 1 is niet ontbindbaar.

a2 p + aq = a a2 p + aq a

6. x2 − 8x + 12 = 7. 4p2 + p − 12 =

=

7. (2p + 3q)(p − 2q) =

8. 2s2 − s − 6 =)

8. (a + 2b)(d + 2c)(c + 2a) =

9. p2 + 8pq + 16q2 =

9. (2a + b)2 =

10. 4t 2 − 12st + 9s2 =

10. (2a − b)2 =

11. −4r2 + 20r − 25 =

11. (2a + b)3 =

12. x3 y12 − p6 y6 =

12. (2a − b)3 =

13. x9 − y9 =

13. (a + p)(a − p)(a2 + p2 ) =

14. x2 + 4x − 5 =

a b a 15. (x − )3 = b

15. x2 − 3x + 2 =

16. (pq − 2rs)(p2 q2 + 2pqrs +

18. x2 − 2x − 35 =

14. (x − )2 =

16. x2 − 3x − 4 = 17. x2 + 7x − 12 =

4r2 s2 ) = 17. (pq +

19. 2x2 − x − 3 =

3rs)(p2 q2

− 3pqrs +

4r2 s2 ) = 1 1 18. (1 − + s)(1 + − s) = s s 1 19. (p + 1 + )2 = p 1 20. (p + 1 − )2 = p 21. (p − 1 +

1 2 ) = p

20. 12x2 + 5x − 2 = 21. 10t 2 + 2t − 6 = 22. 2p2 − 4p − 6 = 23. 6k2 − 5k − 6 = 24.

5 1 − +6 = p2 p

35

2.11. OPGAVEN.

Opgave 2.3

Opgave 2.4

Splits het kwadraat af van:

Deel de volgende vormen uit:

1. x2 + 8x + 27 =

1.

2x3 − x2 − 3x + 12 = x−5

2.

k4 − k3 − 3 = k+2

3.

3x3 − 2x2 + 1 = x−2

4.

x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = x2 + x + 2

5.

p3 − 13p2 + 3p − 1 = p−3

2. 2x2 − 2x + 4 = 3. x2 − 5x + 12 = 4. a2 − 5a − 3 = 5.

p2 − 6p + 12 =

6. 4n2 − 8n − 12 = 7. 3c2 − 5c + 11 = 8. p4 + 16p + 7 =

Opgave 2.5

Opgave 2.6

Bereken en vereenvoudig zoveel moge- Schrijf als oneigelijke machten. lijk: (alle letters groter 0)

√ √ √ 2)( 3 − 2) = √ √ √ 2 5 15 √ √ ( 10 − 14)2 q √ 11 − 6 2 √ 2 √ √ 3− 2 √ √ 2+ 3 √ √ 3− 2 √ √ √ 4 4 4 6 8 10 √ √ 6− 3 6 √ 4 2 √ √ 3 3+ 3 4 √ 4 2 √

1. ( 3 +

1.

2.

2.

3. 4. 5.

6. 7. 8.

9.

3. 4. 5.

6.

√ 2·5 √ 12 √ √ 3 14 + 5 13 √ 3 4·5·6 √ 3 4 2 5 a b c √ 5 3 7 a c p 4 xyz3 p n x2 y3 p2 s3 q1 √ sp 4 sq

7. √ 3

36


Opgave 2.7

Opgave 2.8

Schrijf als wortelvormen. (alle letters groter 0)

Ontbind in priemfactoren:

1. p 2. q 3. s

2 3

2. 42

− 23

3. 36

−4 5

4. 132 1 2

4. (p + (4q) ) 5.

(p + q) r 2 3

1 2

5 6

7.

xx − yy

1 3

5. 140 6. 630 7. 675

3 2

6. x y =

1. 24

8. 1236

−z

9. 2340 10. 88725

Opgave 2.9

Opgave 2.10

Bereken:

Bereken of toon aan:

1. 4!

1.

2. 5!

5! 4! 100! 4. 99! 3.

12 9 15 13 100 97 π 3 π

2.

3.

5.

(n + 1)! (n − 1)!

4.

6.

300! 298!

5.

1 2

n n n+1 6. + = k k−1 k

37

2.11. OPGAVEN.

Opgave 2.11

Opgave 2.12

Werk uit:

Werk uit:

√ 3

√ 3 4)3 √ √ 3 3 ( 2 − 4)3 √ √ 3 3 ( 3 + 9)4 √ √ 3 3 ( 3 − 9)4 √ √ 3 ( 3 a + a2 )3 √ √ 3 3 ( 2a − 4a)3 √ √ 4 ( 2 − 2)4 r 4 √ 1 3 a+ 3 a 3 r √ 2 3 2 a − 3 4 a

1. (a+b)4

1. ( 2 +

2. (a-b)4

2.

3. (2a- 12 b)4

3.

4. (a+b)5

4.

5. (a-b)5

5.

6. (2a-b)5

6.

√

7. ( 2-1)5

√

√

√

√

√

√

√

√

8. ( 2 − 9. ( 2 − 10. ( 2 + 11. ( 2 −

7.

3)3

8.

3)4 6)5

9.

6)5

Opgave 2.13

1 x

¨ ¨ van x van (x + )13 1. Bepaal de coeffici ent

1 9 ) 2x 1 ¨ ¨ van x0 van (4x − )9 3. Bepaal de coeffici ent 2x 1 ¨ ¨ van x4 van (x2 − 3 )9 4. Bepaal de coeffici ent x ¨ ¨ van x3 van (2x − 2. Bepaal de coeffici ent

38


Hoofdstuk 3

Vergelijkingen. 3.1

De lineaire vergelijking.

Definitie 3.1 De lineaire vergelijking in x, ookwel de vergelijking van de eerste graad, is een vergelijking die kan worden teruggebracht tot de vorm ax+b=0 (een lineaire vergelijking in x) Er kunnen de volgende gevallen worden onderscheiden: 1. a 6= 0

⇒ ax + b = 0 ⇒ ax = −b ⇒ x = −

b a

¨ oplossing. 2. a = 0 ∧ b 6= 0 ⇒ 0x + b = 0 ⇒ b = 0 6= 0 Geen reele 3. a = 0 ∧ b = 0 ⇒ 0x + 0 = 0 ⇒ x ∈ R (Elk element uit R is een oplossing) Voorbeeld 3.1

Voorbeeld 3.2

• 3x-6=0 lineair in x. Oplossing: x=2 Los op naar x : 3x − 5 = 8x + 12 • 7p-12=0 lineair in p. Oplossing: 12 p= 7

• 3x − 5 = 8x + 12

• 4x+p2 =0 lineair in x. Oplossing: p2 x=2

• −5x = 17

• 3x − 8x = 12 + 5

• x = −3 25

• 4x+p2 =0 niet lineair in p • 4x+p2 =0 lineair in p2 . Oplossing: p2 =-4x Voorbeeld 3.3

Voorbeeld 3.4

Los op naar p : x2 + px − p = px2 + 3 Los op naar t : pt − 12 = 2qt − q

• x2 + px − p = px2 + 3

• pt − 12 = 2qt − q

• px − px2 − p = 3 − x2

• pt − 2qt = 12 − q

• (x − x2 − 1)p = 3 − x2

• (p − 2q)t = 12 − q

• p=

x2 − 3 3 − x2 = x − x2 − 1 x2 − x + 1

• t=

39

12 − q p − 2q

40

HOOFDSTUK 3. VERGELIJKINGEN.

Voorbeeld 3.5

Voorbeeld 3.6

Los op naar q : pt − 12 = 2qt − q

Los op naar k : ks − 2 = 4s2 − kq

• pt − 12 = 2qt − q

• ks − 2 = 4s2 − kq

• pt − 12 = (2t − 1)q

• ks + kq = (s + q)k = 4s2 + 2

• q=

3.2

pt − 12 2t − 1

• k=

4s2 + 2 s+q

De kwadratische vergelijking.

Definitie 3.2 De kwadratische vergelijking, de vergelijking van de tweede graad of vierkantsvergelijking in x Deze vergelijking kan worden teruggebracht op de vorm ax2 +bx+c=0 met a6=0 Er laten zich de volgende gevallen onderscheiden: 1. b=0 ⇒

ax2 +c=0

⇒

x2

r c c c = − Als − ≥ 0 ⇒ x1,2 = ± − a a a

• Er wordt gesproken van een zuivere vierkantsvergelijking. 2. Als c=0 b6=0 ⇒ ax2 +bx=0 ⇒ x(ax+b)=0 ⇒ x1 =0 en x2 = −

b a

• Er wordt gesproken van een onvolledige vierkantsvergelijking. 3. Als bc6= 0 ⇒ ax2 +bx+c=0, Voor de oplosbaarheid: (a) In een beperkt aantal gevallen door ontbinding. (b) Door kwadraatafsplitsing. (c) Met behulp van de abc-formule. (d) Niet oplosbaar in R

• Er wordt gesproken van een volledige vierkantsvergelijking.

Voorbeeld 3.7

• 2s2 + as=0 is een onvolledige vierkantsvergelijking in s • 4q2 − 25 = 0 is een zuivere vierkantsvergelijking in q • 3p2 -4p-12=0 is een volledige vierkantsvergelijking in p • t2 -3t+x=0 is een volledige vierkantsvergelijking in t • 2x2 +2xy-y2 =0 is een volledige vierkantsvergelijking en y • n4 -5n2 +6=0 is een volledige vierkantsvergelijking in n2 omdat: (n2 )2 -5(n2 )+6=0

41

3.2. DE KWADRATISCHE VERGELIJKING.

3.2.1

De volledige vierkantsvergelijking.

a. Oplossen via ontbinding.

De methode komt er op neer dat de vorm wordt herleid tot: ax2 +bx+c=(px-q)(rx-s)=0

(px − q)(rx − s) = 0 ⇐⇒ px − q = 0 ∨ rx − s = 0 =⇒ x1 =

s q , x2 = p r

x1 , x2 worden ‘de wortels van de vierkantsvergelijking’ genoemd. Voorbeeld 3.8

• x2 − 5x + 6 = 0 ⇒ (x − 2)(x − 3) = 0 ⇒ x1 = 2 , x2 = 3 • p2 + p − 3 = 0 = (2p + 3)(p − 1) ⇒ x1 = 1 , x2 = −

3 2

• t 2 + t + 1 = 0 Niet eenvoudig ontbindbaar, de methode faalt. b. Oplossen via kwadraatafsplitsing.

Voorbeeld 3.9

√

2 2 2 1. x2 −4x −7 = √ 0 = (x −2) −4−7 √ = (x −2) −11 ⇒ √ (x −2) = 11 ⇒√(x −2) = ± 11 Dus: x − 2 = 11 ⇒ x1 = 2 + 11 of x − 2 = − 11 ⇒ x2 = 2 − 11

√

2 2. 4x2 + 4x√ − 11 = 0 ⇒ (2x +√1)2 − 12 = 0 ⇒ (2x 2x √+ 1 = ±2 3 √ + 1) = 12 ⇒ 1 2x + 1 = 2 3 ⇒ x1 = − 2 + 3 of 2x + 1 = −2 3 ⇒ x2 = − 12 − 3

3. x2 + 2x + 4 = 0 ⇒ (x + 1)2 + 3 = 0 ⇒ (x + 1)2 = −3 ¨ oplossingen omdat (x + 1)2 ≥ 0 Er zijn geen reele

3.2.2

De abc-formule.

De abc-formule levert de algemene oplossing van de vergelijking van de tweede graad. 2

ax + bx + c = 0 ⇒ x1,2 =

−b ±

√

b2 − 4ac 2a

Opmerkingen 3.1 1. De formule kan worden afgeleid met behulp van kwadraatafsplitsen. 2. De vorm onder het wortelteken heet ‘discriminant’ D=b2 -4ac 3. Door de waarden die D kan aannemen, onstaan de volgende gevallen: ¨ oplossingen. (a) D>0 Twee verschillende reele ¨ oplossingen. x1 =x2 =(b) D=0 Twee gelijke reele

b 2a

¨ oplossingen. (c) D<0 Geen reele 4. Via kwadraatafsplitsing kan ook iedere vierkantsvergelijking worden opgelost. Daar de oplossing via de abc-formule meestal eenvoudiger verloopt, wordt hieraan de voorkeur gegeven. Voorbeeld 3.10

42


1. Los op naar x: 2x2 − 3x − 7 = 0 ⇒ (a = 2 , b = −3 , c = −7) Substitutie geeft:

x1,2 =

−(−3) ±

p √ (−3)2 − 4(2)(−7) 3 ± 65 3 1√ 3 1√ = ⇒ x1 = − 65 , x2 = + 65 2(2) 4 4 4 4 4

2. Los op naar t: 3t 2 + 4zt − 12z2 = 0 ⇒ (a = 3 , b = 4z , c = −12z2 ) Substitutie geeft:

(4z)2 − 4(3)(−12z2 ) 2 2 √ = − z ± z 10 2(3) 3 3 √ √ −2 − 2 10 −2 + 2 10 ⇒ t1 = z , t2 = z 3 3 3. Los op naar z: 3t 2 + 4zt − 12z2 = 0 ⇒ (a = −12 , b = 4t , c = 3t 2 ) t1,2 =

−(4z) ±

p

Substitutie geeft:

p √ (4t)2 − 4(−12)(3t 2 ) t ± t 10 z1,2 = =− 2(−12) 6 √ √ 1 + 10 1 − 10 t , z2 = t ⇒ z1 = 6 6 −(4t) ±

3.2.3

De pq-formule.

Als a=1 laat de abc-formule zich vereenvoudigen tot de pq-formule.

1 x2 + px + q = 0 ⇒ x1,2 = − p ± 2

r

1 2 p −q 4

Voorbeeld 3.11 1. Los op naar x: x2 − 4x − 7 = 0 ⇒ (p = −4 , q = −7) Substitutie geeft:

1 x1,2 = − (−4) ± 2

r

√ √ √ 1 (−4)2 − (−7) = 2 ± 11 ⇒ x1 = 2 − 11 , x2 = 2 + 11 4

2. Los op naar k: k2 − 3k + 3 = 0 ⇒ (p = −3 , q = 3) Substitutie geeft:

1 k1,2 = − (−3) ± 2

r

3 1 (−3)2 − (3) = ± 4 2

r −

3 4

¨ oplossingen. Kennelijk zijn er geen reele

3.3

De gebroken vergelijking.

Definitie 3.3 Een gebroken vergelijking is een breuk met: De onbekende zowel in de noemer als in de teller. Hier valt het volgende op te merken:

• Als een breuk 0 is, dan is de teller 0 en de noemer niet 0. • Als de teller 0 is en de noemer niet 0, dan is de breuk 0 • Als teller en noemer 0 zijn, dan is de breuk onbepaald. • Als de noemer 0 is en de teller niet 0, dan bestaat de breuk niet.

43

3.3. DE GEBROKEN VERGELIJKING.

3.3.1

De gebroken lineaire vergelijking.

Definitie 3.4 Een gebroken lineaire vergelijking in x kan worden teruggebracht tot:

ax + b b = 0 ⇒ ax + b = 0 ⇒ x = − , a 6= 0 ∨ a = 0 Geen oplossing cx + d a Waarbij de noemer niet op de teller kan worden gedeeld. Voorbeeld 3.12

3x − 6 2x + 1 2x + 7 2x − 3 8 2x + 1 2x + 1 x−2

3.3.2

= 0 ⇒ 3x − 6 = 0 ⇒ x = 2 = 0 ⇒ 2x + 7 = 0 ⇒ x = −3

1 2

= 0 ⇒ 8 = 0 ⇒ Geen oplossing =1 ⇒

2x + 1 x − 2 2x + 1 x − 2 x+3 = ⇒ − =0 ⇒ = 0 ⇒ x = −3 x−2 x−2 x−2 x−2 x−2

De gebroken kwadratische vergelijking

Definitie 3.5 Een gebroken kwadratische vergelijking in x is een vergelijking die kan worden teruggebracht tot de vorm:

ax2 + bx + c =0 dx2 + f x + g • Methode 1 is: ontbind de teller en de noemer en stel de noemer 0 • Er dient op gelet te worden dat de teller en de noemer niet een gelijke factor bevatten. Is dit het geval bijvoorbeeld de factor (x-p) dan is x=p geen oplossing van de vergelijking.

• Methode 2: stel de teller 0 en los via de abc formule. • De gevonden waarde(n) zijn alleen geldig als ze de noemer niet 0 maken. Dit is eenvoudig te toetsen door de gevonden p in de noemer te substitueren. Wordt de noemer 0 dan voldoet de gevonden waarde niet. Voorbeeld 3.13 Los op:

44


2x + 1 x−1 2x + 1 x + 1 − x−1 x−3 (2x + 1)(x − 3) (x + 1)(x − 1) − (x − 1)(x − 3) (x − 3)(x − 1) 2 x2 − 1 2x − 5x − 3 − (x − 1)(x − 3) (x − 3)(x − 1) x2 − 5x − 3 (x − 1)(x − 3) x2 − 5x − 3

x+1 , 3 6= x 6= 1 x−3

=

= 0 = 0 = 0 = 0 = 0

1 1√ ⇒ x1,2 = 2 ± 37 2 2

Voorbeeld 3.14 Los op:

3x − 1 x−1 2x 3x − 1 − x−1 x+1 (3x − 1)(x + 1) (2x)(x − 1) − (x − 1)(x + 1) (x + 1)(x − 1) x2 + 4x − 1 x2 − 1 x2 + 4x − 1

=

2x , 1 6= x 6= −1 x+1

= 0 = 0 = 0 √ = 0 ⇒ x1,2 = −2 ± 5

Opmerkingen 3.2

• In de drie voorafgaande voorbeelden dient formeel nog wel te worden nagegaan of de gevonden waarden ook echte oplossingen zijn van de oorspronkelijke vergelijkingen.

• De methode van kruislingsvermenigvuldigen die op de voorbeelden zou kunnen worden toegepast, verdient geen aanbeveling omdat zij valse oplossingen kan generen.

3.4

Invoeren en verduisteren van oplossingen.

Het invoeren van wortels (valse oplossingen) kan oplossingen kan o.a. gebeuren als een vergelijking links en rechts wordt vermenigvuldigd met een term die de onbekende bevat: Verduistering van wortels treedt vaak op bij ongeoorloofde delingen. Voorbeeld 3.15

• Gegeven is de vergelijking x3 + x2 + x + 1 = 0 • Vermenigvuldig links en rechts met de factor x − 1 • (x − 1)(x3 + x2 + 1 + 1) = (x − 1) · 0 =⇒ x4 − 1 = 0 =⇒ x = 1 ∨ x = −1

45

3.5. VERGELIJKINGEN VAN HOGERE MACHT.

• Substitutie van de waarde x=1 in de oorspronkelijke vergelijking geeft echter 4=0 • x=1 is dus geen oplossing (een valse oplossing). • Substitutie van de waarde x=-1 in de oorspronkelijke vergelijking geeft 0=0 • x=-1 is dus wel een oplossing. Voorbeeld 3.16

• Gegeven is de vergelijking x3 − 2x2 + 3x = x • Deling links en rechts door de factor x geeft: •

x3 − 2x2 + 3x x = =⇒ x2 − 2x + 3 = 1 x x

• Dus x2 − 2x + 2 = 0 =⇒ x1 = 1 x2 = 2 Deze oplossingen voldoen. • Toch is x=0 ook een oplossing. Deze is kennelijk verduisterd.

3.5

Vergelijkingen van hogere macht.

De vergelijkingen van hogere macht zijn van de algemene gedaante:

V (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · · · · an−1 x + an = 0 , a0 6= 0 n > 2 , n ∈ N+ Opmerkingen 3.3 1. Het oplossen van deze vergelijkingen is een moeizame zaak. 2. In de meeste gevallen is het slechts mogelijk via numerieke methoden. 3. De oplossingen van de vergelijkingen heten ‘algebra¨ısche getallen’. 4. Niet alle algebra¨ısche getallen zijn radicalen. 5. Ze kunnen dus niet altijd als een wortelvormen worden geschreven. 6. Wel zijn alle radicalen algebra¨ısch. 7. Het bewijs van een en ander ligt buiten het bestek van dit dictaat. 8. In dit hoofdstuk zal er van worden uitgegaan dat (tenzij anders vermeld) ai ∈ Z Stelling 3.1

V (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · · · · an−1 x + an = 0 , a0 6= 0 , n ∈ N+ wordt door substitutie van x =

y teruggebracht tot: a0

V (y) = yn + b1 yn−1 + b2 yn−2 + · · · · · · bn−1 y + bn = 0 , n ∈ N+ Voorbeeld 3.17

• 2x3 + 3x2 − 2x + 6 = 0 y y y y • Laat: x = ⇒ 2( )3 + 3( )2 − 2( ) + 6 = 0 2 2 2 2 • Dus:

y3 3y2 + − 2y + 6 = 0 4 4

46


• Vermenigvuldiging met 4 geeft: y3 + 3y2 − 4y + 24 = 0 Voorbeeld 3.18

• 3x4 + 3x3 − 4x + 5 = 0 y y y y • Laat: x = ⇒ 3( )4 + 3( )3 − 4( ) + 5 = 0 3 3 3 3 • Dus:

y4 y3 4y + − +5 = 0 27 9 3

• Vermenigvuldiging met 27 geeft: y4 + 3y3 − 36y + 135 = 0 Laat van af hier:

V (x) = xn + a1 yn−1 + a2 xn−2 + · · · · · · an−1 x + an = 0 , n ∈ N+ , ai ∈ Z Opmerkingen 3.4 Heeft een vergelijking n gelijke oplossingen, dan heet dit een ‘n-voudige wortel’. Stelling 3.2 ¨ oplossingen. 1. Een vergelijking van de n-de graad heeft maximaal n reele ¨ oplossingen. Dus tenminste 1 2. Als n oneven is, dan zijn er 1, 3, · · · of n reele 3. Als n even is, dan zijn er 0, 2, · · · of n oplossingen. 4. Als V(x)=0 een oplossing p∈ Z heeft dan is p een deler van an 5. Als V(x)=0 een oplossing p∈ R , p 6∈ Z heeft, dan is p6∈ Q 6. V(x)=0 heeft dus nooit als oplossing een echte breuk. 7. De eventuele oplossingen binnen Z kunnen gevonden worden door de delers van an te proberen. 8. Als xi een oplossing is van V(x)=0, dan komt de deling

V (x) uit. x − xi

9. Door de deling uit te voeren ontstaat een vergelijking van een graad lager. 10. Er wordt gesproken van graadverlaging. Voorbeeld 3.19

• Los op:

x3 + 8x2 − 9 = 0

• Mogelijke oplossingen zijn de delers van 9 : 1, -1, 3,-3 .9,-9 • Substitutie van de waarden geeft achtereenvolgens: 1. x = 1 ⇒ V ( 1) = ( 1)3 + 8 · ( 1)2 − 9 = 0 2. x = −1 ⇒ V (−1) = (−1)3 + 8 · (−1)2 − 9 = −2 6= 0 3. x = 3 ⇒ V ( 3) = ( 3)3 + 8 · ( 3)2 − 9 = 90 6= 0 4. x = −3 ⇒ V (−3) = (−3)3 + 8 · (−3)2 − 9 = 36 6= 0 5. x = 9 ⇒ V ( 9) = ( 9)3 + 8 · ( 9)2 − 9 = −90 6= 0 6. x = −9 ⇒ V (−9) = (−9)3 + 8 · (−9)2 − 9 = 1368 6= 0

• 1 is dus een oplossing de andere niet.

3.5. VERGELIJKINGEN VAN HOGERE MACHT.

• Uitdelen geeft:

47

0 x3 + 8x2 − 9 = ⇒ x2 + 9x + 9 = 0 x−1 x−1

• Dus x2 + 9x + 9 = 0 Deze wordt via de abc-formule opgelost. 1 1√ • Dit geeft: x1 = 1 , x2,3 = 4 ± 1 5 2 2 • Opmerking: x3 + 8x2 − 9 = (x2 + 9x + 9)(x − 1) Voorbeeld 3.20

• Los op: x4 − 2x3 − 6x2 + 10x − 3 = 0 • Mogelijke oplossingen zijn de delers van 3 : 1 , -1 , 3 , -3 • Substitutie van de waarden geeft achtereenvolgens: 1. V(1)=0 , V(-1)=166= 0 , V(3)=0 , V(-3)=486= 0

• 1 en 3 zijn dus oplossingen (-1 en -3 niet) • Uitdelen geeft:

x4 − 2x3 − 6x2 + 10x − 3 0 = (x − 1)(x − 3) (x − 1)(x − 3)

• Dus x2 + 2x − 1 = 0 Via abc-formule volgt: √ • x1 = 1 , x2 = 3 , x3,4 = −1 ± 2 • Opmerking: x4 − 2x3 − 6x2 + 10x − 3 = (x2 + 2x − 1)(x − 1)(x − 3) Voorbeeld 3.21

• Los op: x4 − 4x + 3 = 0 • Mogelijke oplossingen zijn de delers van 3 : 1 , -1 , 3 , -3 • Substitutie van de waarden geeft achtereenvolgens: 1. V(1)=0 , V(-1)=86= 0 , V(3)=726= 0 , V(-3)=966= 0

• 1 is dus een oplossing (-1, 3 en -3 niet) x4 − 4x + 3 • Uitdelen geeft: = (x − 1)

0 x−1

⇒ x3 + x2 + x − 3 = 0

• Dus W (x) = x3 + x2 + x − 3 = 0 • De mogelijke oplossingen van deze vergelijking zijn dezelfde als van de oorspronkelijke. Maar daar voldeed alleen x=1 aan. De andere kunnen dus ook niet aan deze vergelijking voldoen. Maar x=1 zou wel een meervoudige wortel kunnen zijn. Omdat na substitutie blijkt W(1)=0 is x=1 een oplossing van W

• Uitdelen geeft:

x3 + x2 + x − 3 0 = (x − 1) (x − 1)

• Dus x2 + 2x + 3 = 0 Deze heeft geen oplossingen binnen R • x1 = x2 = 1

1 is een 2-voudige wortel.

• Opmerking: x4 − 4x + 3 = (x2 + 2x + 3)(x − 1)2

48


3.6

Opgaven.

Opgave 3.1

Opgave 3.2

Los op:

Los op:

1. 3x+12=7x-1

1. ax+2a=(a+1)x-a-1 naar x

2. 7-4a=3a+9

2. ax+2a=(a+1)x-a-1 naar a

3. 3p-13=4-3p

3. 3q+155=14q-35

4. 12x-7=-2x+1

4. ax3 +x-2a=(a+1)x2 -a-1 naar a

5. 12-t=23-3t

5. 3x+3p-q=7x-1+3p naar x

6. 33r+23=16-17r

6. 3x+3p-q=7x-1+3p naar p

7. 22h+23=11h-12

7. px-7p+3q=-(p-1)x+1 naar p

8. 12g-23=15-18g

8. tx+2a=t=t(a+1)x-a-1 naar x

9. 23-26t=26t-23

9. tx+2a=t=t(a+1)x-a-1 naar t

10. 4u+100=21u-30 Opgave 3.3

10. x4 -13x2 +36=0 Opgave 3.4

Los op door ontbinden in factoren:

Los op met abc-formule:

1. x2 -3x+2=0

1. 2x2 +5x-1=0

2. t2 -12t-28=0

2. 3x2 -12x-7=0

3. k4 -6k2 +8=0

3. 9xx2 +33x+12=0

4. z2 +7z-8=0

4. 8x2 -12x+3=0

5. p2 -7p-8=0

5. 5x2 -5x-1=0

6. r2 +5r-6=0

6. 3p2 -7p-5=0

7. 6x2 -x-12=0

7. 4r4 -17r2 +4=0

8. x3 -8=0

8. 2x2 +p2 x+p-3=0 naar x

9. x4 -12x2 +20=0

9. 2x2 +p2 x+p-3=0 naar p

10. x4 -x2 -20=0

10. 3x2 +(h-3)x-h+3=0 naar x

49

3.6. OPGAVEN.

Opgave 3.5

Opgave 3.6

Los op:

Los op:

1.

2x + 1 =1 3x − 1

2.

2x + 1 3x + 4 = 3x + 1 4x + 6

3.

x + 1 3 − 2x = +2 x − 1 5x − 2

4.

3x − 1 x = x 3x − 1

4.

5.

3x − 1 x = +1 x 3x − 1

5. 2 −

6.

x+1 x+4 = x−3 x−2

6.

x2 − 1 = x−1 x+1

7.

x2 − 3x + 2 =2 2x2 − 6x + 1

7.

x2 − 5x + 6 =0 x+1

2x + 3 =x x 2x + 3 2. = x+1 x 5x − 3 x 3. = x−1 3x − 1 1.

5x − 3 x = −1 x−1 3x − 1 5x − 3 x = x−1 3x − 1

Opgave 3.7

Opgave 3.8

Los op:

Los op:

1.

x2 − 5x + 6 =0 x−2

1.

x3 =1 2−x

2.

x2 − 7x + 6 =0 x−1

2.

x2 − 7x + 6 =1 x−1

3.

x2 − 7x + 6 =0 x−6

3.

x2 − 7x + 6 =1 x−6

4.

x2 − 7x + 6 =0 x−7

4.

x2 − 7x + 6 =1 x−7

Opgave 3.9

Opgave 3.10

Splits het kwadraat af van:

Los op en ontbind:

1. x2 + 6x − 23

1. x3 + 3x2 − 6x − 8 = 0

2. x2 − 4x − 6

2. x3 + 5x2 + 2x − 8 = 0

3. 4x2 − 6x + 5

3. x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0

4. 4p2 − 6p + 12

4. x3 − 6x2 − x + 6 = 0

5. 6s4 − 3s2 − 7

5. x3 − 7x2 − x + 7 = 0

50


Opgave 3.11

Opgave 3.12

Los op en ontbind:

Los op met Cardano:

1. x4 + 2x3 + x2 − 4 = 0

1. x3 − x2 − x − 1 = 0

2. x4 x3 − x2 − 4x − 12 = 0

2. x3 − 2x − 4 = 0

3. x4 − 8x3 + 19x2 − 16x + 4 = 0 4. x4 − 4x3 − 10x2 + 31x − 6 = 0 5. x4 − 5x3 − x + 5 = 0 Opgave 3.13

Opgave 3.14

Los de stelsels op:

Los de stelsels op:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

a+b = 3 a−b = 7

1.

2p + q = 5 p − 3q = 6 −x + 2y = 5 x + y = 10 3k + 5p = 12 k − p = 10

2.

3.

2s + p = 1 s− p = 0

4.

3c + 2d = 4 6c + 4d = 8

5.

3c + 2d = 5 6c + 4d = 9

a + b + c = 12 a + b − c = 14 2a + b − 3c = 12 x − 3y + 2z = 12 3x + y − 2z = 14 x+y+z = 0 3u + 4v − 3w = 1 2u − 2v + w = 0 u+v+w = 5 2p2 − q2 = 1 p−q = 1 x2 − 3xy − y2 = 12 x−y = 4

Hoofdstuk 4

Ongelijkheden en absolute waarden. 4.1

Ongelijkheden.

Er bestaan de ongelijkheden: a6=b

1. a ongelijk b 2. a kleiner b

a
3. a kleiner of gelijk b 4. b groter a

b>a

5. b groter of gelijk a

b=a , b≥a of b>a

6. a niet kleiner b a≮b 7. a niet kleiner of gelijk b

ab , ab of a b

8. a niet groter b a≯b 9. a niet groter of gelijk b

ab , ab of ab

Opmerkingen 4.1 Alhoewel er negen tekens gegeven zijn, laten ze zich terugbrengen tot de drie: 1. 6= ongelijk. 2. < kleiner. 3. ≤ kleiner of gelijk. Voorbeeld 4.1

• (a > b) =⇒ (b < a) • (a ≥ b) =⇒ (b ≤ a) • (ab) =⇒ (a ≤ b) • (ab) =⇒ (a < b) • (a ≮ b) =⇒ (b ≤ a) • (a b) =⇒ (b < a Ook zijn combinaties mogelijk als: Voorbeeld 4.2

• 2<x<3

2 kleiner x en x kleiner 3 51

52

HOOFDSTUK 4. ONGELIJKHEDEN EN ABSOLUTE WAARDEN.

4.1.1

De ongelijkheid a6=b

Rekenregels.

1. (a 6= b c 6= 0) =⇒ (ac 6= bc) 2. (a 6= b c = 0) =⇒ (ac = bc(= 0)) 3. (a 6= b) =⇒ (a ± c 6= b ± c) 4. (a 6= b a 6= −b) =⇒ (a2 6= b2 ) 5. (a 6= b a = −b) =⇒ (a2 = b2 ) Voorbeeld 4.3

• 2a+3b6=6b-7a • 2a+7a6=6b-3b • 9a6=3b • 3a6=b Voorbeeld 4.4

• 3a+2b-16= 4a+7b-7 • 3a-4a 6= 7b-5b-7+1 • a6= 2b-6 • a6=6-2b Voorbeeld 4.5

•

a b+1 6= b a−1

b+1 a 6 b(a − 1) • b(a − 1) = b a−1 • (a − 1)a 6= b(b + 1) • a2 − a 6= b2 + b 4.1.2

De ongelijkheid a
Rekenregels.

1. (a < b) =⇒ (a ± c < b ± c)

  c>0 ac < bc 2. (a < b) =⇒ ac = bc = 0 c = 0  ac > bc c<0 Opmerkingen 4.2 Het werken met ongelijkheden zit vaak vol voetangels en klemmen. Bijvoorbeeld bij handelingen als kwadrateren moet scherp worden opgelet:

• (a < b) =⇒ (a2 ??b2 ) • (2 < 3) =⇒ (22 < 32 ) =⇒ (4 < 9)

53

4.1. ONGELIJKHEDEN.

• (−2 < 3) =⇒ ((−2)2 < 32 ) =⇒ (4 < 9) • (−4 < 3) =⇒ ((−4)2 > 32 ) =⇒ (16 > 9) • (−4 < −3) =⇒ ((−4)2 > (−3)2 ) =⇒ (16 > 9) Voorbeeld 4.6

• 2a < 2b =⇒ a < b Voorbeeld 4.7

• 1−a < b−2 • 1−a−1 < b−2−1 • −a < b − 3 =⇒ a > b + 3 Voorbeeld 4.8

• 2a + b < 2b − 3a • 2a + 3a < 2b − b • 5a < b Voorbeeld 4.9

• 5a + b − 4 < 3b + 2a + 1 • 5a − 2a < 3b − b + 1 + 4 • 3a < 2b + 5 4.1.3

Overige ongelijkheden.

Voor de overige ongelijkheden gelden vergelijkbare regels. Het is niet doenlijk deze alle te vermelden. Voor de toepassingen dient men vooral goed na te denken bij het plegen van een handeling.

4.1.4

Ongelijkheden met breuken.

Voorbeeld 4.10 Beschouw de vorm f =

x+2 < 0 Voor welke waarden van x geldt dit? x−1

• De vorm is in het geheel moeilijk te overzien. • De vraagstelling kan echter gesplitst worden in twee deelvragen. 1. Voor welke waarden van x is de teller positief, negatief of nul? 2. Voor welke waarden van x is de noemer positief, negatief of nul? 3. Van beide worden tekenbeelden gemaakt. 4. Deze worden gecombineerd tot het tekenbeeld van f

−2

−2

+1

Tekenbeeld van x+2 Tekenbeeld van x-1

+1

Tekenbeeld van f

54


• De waarde(n) waarvoor de teller en noemer 0 worden worden apart bekeken. • Is de noemer 0 dan bestaat f niet voor die x waarde. • Is de teller 0 en de noemer niet 0 dan is f=0. • Eenvoudig is nu af te lezen 1. Voor x=1 bestaat f niet. 2. Voor f=0 als x=-2 3. ( f < 0) ⇐⇒ (−2 < x < 1) 4. ( f > 0) ⇐⇒ x ∈ (←−, −2) ∪ (1, −→) Opmerkingen 4.3

• De gevolgde methode werkt slechts als: 1. Als het rechterlid nul is. 2. Als het linkerlid op te splitsen is in factoren en delingen.

• Is dit niet het geval, dan dient de vorm te worden omgebouwd. Voorbeeld 4.11 Onderzoek de vorm f:

• f=

6 + (x − 4) (x + 1)

• f=

6 (x − 4)(x + 1) 6 (x2 − 3x − 4) + = + (x + 1) (x + 1) (x + 1) (x + 1)

• f=

6 + (x2 − 3x − 4) x2 − 3x + 2 = (x + 1) (x + 1)

• f=

(x − 1)(x − 2) (x + 1)

Dit geeft de tekenbeelden:

+1

x-1

+2 −1 −1

x-2 x+1

+1

+2

Nu is eenvoudig af te lezen:

• x=1 of x=2 dan f=0 • x=-1 dan bestaat f niet. • x ∈ (←−, −1) ∪ (1, 2) ⇐⇒ f < 0 • x ∈ (−1 , 1) ∪ (2, −→) ⇐⇒ f > 0

f

55

4.1. ONGELIJKHEDEN.

Voorbeeld 4.12 Onderzoek de vorm:

g=

(x2 + x + 4)(1 − x) (x + 1)2

Dit geeft de tekenbeelden: x2 +x+4

+1

(x+1)2

−1 −1

1-x

+1

g

Nu is eenvoudig af te lezen:

• Als x=-1 dan bestaat g niet. • Als x=1 dan g=0 • Als x>1 dan g<0 • Als x<-1 of -1<x< 1 dan g> 0 Opmerkingen 4.4

• De vorm (x2 +x+4) heet ‘definiet positief’. • De vorm (-1-x2 ) heet ‘definiet negatief’. Voorbeeld 4.13 Voor welke waarden van x geldt:

−2x − 2 x2 + 3x − 4

< −1

−2x − 2 −2x − 2 x2 + 3x − 4 • 2 < −1 =⇒ 2 <− 2 =⇒ x + 3x − 4 x + 3x − 4 x + 3x − 4 •

−2x − 2 x2 + 3x − 4 −2x − 2 + (x2 + 3x − 4) + < 0 =⇒ < 0 =⇒ x2 + 3x − 4 x2 + 3x − 4 x2 + 3x − 4

•

x2 + x − 6 (x + 3)(x − 2) =⇒ <0 2 x + 3x − 4 (x − 4)(x + 1)

Na het schetsen van de tekenbeelden is eenvoudig af te lezen:

• Als x=-1 of x=4 bestaat de linkerlid niet. • Als x=-3 of x=2 dan is het linkerlid 0. • De ongelijk geldt als -3< x <-1 of 2< x <4

56


4.2

De absolute waarde

Definitie 4.1 De absolute waarde of de modulus van a is gedefinieerd door: |a|=a als a≥0 en |a|=-a als a<0 Opmerkingen 4.5 Een alternatieve definitie van de absolute waarde luidt: |a| =

√

a2

Voorbeeld 4.14 1. |3| = | − 3| = 3 2. |a| = | − a| 3. |3 − c| = |c − 3| 4. |b − c| = |c − b|

( c−3 als c − 3 ≥ 0 =⇒ c ≥ 3 5. |c − 3| = −(c − 3) = c − 3 als c − 3 < 0 =⇒ c < 3 ( p+4 als p + 4 ≥ 0 =⇒ p ≥ −4 6. |p + 4| = −(p + 4) = −p − 4 als p + 4 < 0 =⇒ p < −4 7. |a2 + 1| = a2 + 1 Immers a2 + 1 > 0 ∀x ∈ R

( a2 − 1 Als a2 − 1 ≥ 0 =⇒ 8. |a2 − 1| = −(a2 − 1) = 1 − a2 Als a2 − 1 < 0 =⇒ ( x2 − 5x + 6 Als x2 − 5x + 6 ≥ 0 9. |x2 − 5x + 6| = −(x2 − 5x + 6) Als x2 − 5x + 6 < 0

a ≤ −1 ∨ a ≥ 1 −1 < a < 1 =⇒ x ≤ 2 ∨ x ≥ 3 =⇒ 2 < x < 3

Voorbeeld 4.15 Voor welke waarden van x geldt:

f=x2 + 2|x| + 1 > 0 ?

( x2 + 2x + 1 Als x ≥ 0 x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 > 0 ∀x ≥ 0 f= 2 x − 2x + 1 Als x < 0 x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 > 0 ∀x < 0

=⇒ f> 0 ∀x ∈ R

Voorbeeld 4.16 Onderzoek: 

g=x2 − |6x| − 7 

   g = 0 als x = 7 (x = −1 voldoet niet wegens x ≥ 0)   x2 − 6x − 7 = (x + 1)(x − 7) als x ≥ 0 g > 0 als x > 7 (x < −1 voldoet niet wegens x ≥ 0)     g= g < 0 als 0 ≤ x < 7 (−1 < x < 0 voldoet niet ) (    g > 0 als x < −7 (x > 1 voldoet niet )   x2 + 6x − 7 = (x + 7)(x − 1) als x < 0  g < 0 − 7 < x < 0 (0 ≤ x < 1 voldoet niet)

Samengevat: 1. (g=0 ⇐⇒ x = ±7) 2. (g< 0 ⇐⇒ −7 < x < 7) 3. (g> 0 ⇐⇒ (x < −7 ∨ x > 7)) Opmerkingen 4.6

57

4.3. DE LOGARITME.

• Uitwerken van vormen met absolute waarden betekent dat er gesplitst moet worden.

• Als er meer absolute waarden in de vorm staan loopt het aantal snel op. • 4 absoluutstrepen betekent al 16 eindvormen en 5 absoluutstrepen betekent 32 eindvormen. Voorbeeld 4.17 Splits de vorm h=|x − 1| + |2x + 4| op:

(   x − 1 + (2x + 4) = 3x + 3 als x ≥ 1   x − 1 + |2x + 4| als x ≥ 1   x − 1 − (2x + 4) als (x < −2 ∨ x ≥ 1) ⇒Onmogelijk.  

h=

(    1 − x + (2x + 4) = x + 5    1 − x + |2x + 4| als x < 1 1 − x − (2x + 4) = −3x − 3   −3x − 3 Samengevat: h= x + 5  2x + 4

als −2 ≥ x < 1 als x < −2

x < −2 −2 ≥ x < 1 x≥1

Voorbeeld 4.18 Splits de vorm f=|x2 − 1| + |x| op:

(  2 2   2 − 1| + x , x ≥ 0 (x − 1) + x = x + x − 1 x ≥ 1  |x   −(x2 − 1) + x = −x2 + x + 1 0 ≤ x < 1  

f=

(   2 2   2 − 1| − x , x < 0 (x − 1) − x = x − x − 1 x ≤ −1   |x  −(x2 − 1) − x = −x2 − x + 1 − 1 < x < 0  x2 − x − 1 x ≤ −1    −x2 − x + 1 −1 < x < 0 Samengevat f=  −x2 + x + 1 0 ≤ x < 1    2 x +x+1 x≥1 Voorbeeld 4.19

  x>0    x x=0 f= |x|    x < 0

4.3

x =1 x f niet gedefinieerd.

x = −1 −x

De logaritme.

Bij het nemen van de logaritme wordt gezocht naar een geschikte exponent. 2x =8 =⇒ x=3 Er wordt genoteerd: 2 log =x=3 Definitie 4.2

58

HOOFDSTUK 4. ONGELIJKHEDEN EN ABSOLUTE WAARDEN. g log a

= x ⇐⇒ gx = a

Waarbij:

• g heet ‘het grondtal’. • x heet ‘de logaritme’. • a heet ‘de antilogaritme’. Direct is te zien dat de vorm niet voor alle waarden gedefinieerd is:

• De vorm bestaat als ( 0 1 ) en a>0 • g log 0=x bestaat alleen als g=0 x kan dan behalve de 0, alle waarden hebben. • 1 log a=x bestaat alleen als a=1 x kan dan alle waarden hebben. • 0 log a=x bestaat alleen als a=0 x kan dan behalve de 0, alle waarden hebben. • Als g< 0 ∨ a<0 dan is de vorm soms gedefinieerd: 1. −2 log(−8) = 3 ⇐⇒ (−2)−3 = −8 2. −3 log(9) = 2 ⇐⇒ (−3)2 = 9 3. −2 log(−7) =?????? Tevens geldt:

• g=10 10 log a=log a de Briggse logaritmen. • g=e e log a=ln a de natuurlijke logaritmen. Mits zij gedefinieerd zijn, zijn de volgende formules bewijsbaar: 1. g log a + g log b = g log(ab) a 2. g log a - g log b = g log( ) b 3. g log an =n g log a

√ 1 4. g log n a= g log a a g

log(a) 5. a log b = g g willekeurig. log(b)

Opmerkingen 4.7

• Behoudens enkele gevallen kunnen de logaritmen slechts met numerieke methoden worden berekend.

• De logaritmen zijn in het algemeen transcendent. • De laatste vorm wordt meestal gebruikt om over te gaan op een ander grondtal. Voorbeeld 4.20 10 log 5

0.6990

10 log 4

0.6021

3 log 5

= 10 = = 1.4650 log 3 0.4771

7 log 4

= 10 = = 0.7124 log 7 0.8451

59

4.4. OPGAVEN.

Voorbeeld 4.21 1. 2 log

√

2=

Voorbeeld 4.22

1 2

1. 10 log 2 +10 log 4 =10 log(2 · 5)=1

2. 8 log 4 = 1 12

2. 10 log 20 −10 log 2 =10 log 20 2 =1

√ 3. 9 log 3 3 = 23

3. 10 log 16 =10 log 24 = 410 log 2

4. ln e3 =3

4. 7 log

√ 4

3

23 =7 log 2 4 =

37 4 log 2

Opmerkingen 4.8 Er geldt:

4.4

g log

a = eln a = g

a

, a>0

Opgaven.

Opgave 4.1

Opgave 4.2

Wanneer geldt:

Wanneer geldt:

1. 2x<x+1

1. x2 − 12x + 27 < 0

2. 4x-6<1-x

2. x2 − 20x + 44 < 0

3. x+4>5+12x

3. 2x2 − 4x − 7 ≤ 3

4. 3x-13≤-4x+17

4. 3x2 + 6x − 13 ≥ −1

5. 5x-1≥8x-3

5. x4 − 6x2 + 10 ≥ 2

6. 12x-176= 24x + 33

6. x5 > 32

7. x+66<34x-55

7. x2 + 3x − 12 ≤ 6x − 5

8. 8x>33x-32

8. x3 − 2 ≥ 1

9. 7x+12<4a+12

9. x4 < x2

Opgave 4.3

Opgave 4.4

Wanneer geldt:

Splits uit:

1.

x−7 <0 x−3

(x − 2)(x + 2) 2. ≤0 x x−7 3. <1 x−3 (x − 2)(x + 2) 4. ≤ −1 x x2 − 7x + 10 5. ≥0 x−5 6.

(x − 3)(x + 4) ≥0 (x − 1)

1. f = |x + 3| 2. f = |x| + 3 3. f = |x + 1| − 3 4. f = |x + 7| − 3x 5. f = |x − 1| − |x + 1| 6. f = |x2 − 4| + 2x − 1 7. f = |x3 − 8| + |x4 − 1| 8. f = |x2 − 9| + 2|x + 1| − 1 9. f = |x2 − 9| + |x + 2| − 1

60


Opgave 4.5

Opgave 4.6

Voor welke waarden geldt:

Voor welke waarden geldt:

1. |x2 − 2| < 0

1.

|x + 1| >0 x−2

2.

|x2 − 9| >3 |x + 2| <

3.

|x − 3| >5 |x + 1|

4.

|x − 5| − 9 <0 x−1

5.

|x − 5| − 9 <1 x−1

2. |x2 − 2| < 1 3. |x + 2| − |x + 3| ≥ 0 4. |x + 2| − |x + 3| ≥ 1 5.

x2 + |x + 3| − 12 > 0

6. |x2 + x| − x + 2 ≤ 0 7. |x2 − 9| + 3|x2 − 4| > 2 8. |x − 3| + |x − 2| + |x| < 20 9. |2x + |x| + 6| > 0 Opgave 4.7 Bepaal uit het hoofd: 1. 2 log 8 2. 3 log 9 3. 2 log 21 4.

5 log 1 25

5. 2 log 1024 6. 4 log 2

Opgave 4.8 Bepaal uit het hoofd: 1. ln e + ln

√ e3

2. ln 2e − ln e23 3. 2 log 5 · 5 log 4

√ 4 6 √ √ 3 5. 6 log 6 6 q √ 6. 5 log 5 15 √

4.

6 log

Opgave 4.9

Opgave 4.10

Wanneer geldt:

Voor welke waarden bestaat:

1. 2 log x > 4

1. 3 log(x − 1)

2. 2 log |x| > 4

2. 3 log(x − 1)2

3. 2 log(3x + 1) >2 log(2x − 5)

3. 3 log(x − 1)3

4. 2 log(3x + 1) >2 log(3x + 3)

4. 10 log(2x + 4)(3x − 7)

5. 3x−2 log(16 − 8x) < 2

5. ln(ex − 1)

2

Hoofdstuk 5

Coördinatenmeetkunde ¨ De coordinatenmeetkunde wordt ook wel ‘analytische meetkunde’ genoemd.

5.1 5.1.1

Coördinaten systemen. cartesische systemen.

: ¨ Kenmerkend voor cartesische coordinaten in de R2 zijn: Zie ook de tekeningen.

• Twee snijdende lijnen de assen. • De verdeling op de assen is lineair. • Het snijpunt heet de ‘oorsprong’. • De horizontale as heet ‘abscis’. • De vertikale as heet ‘ordinaat’. • Het cartesische vlak worden 4 kwadranten onderscheiden. – 1ste kwadrant of I A(x, y) ∈I⇐⇒ (x > 0, y > 0) – 2de kwadrant of II A(x, y) ∈II⇐⇒ (x < 0, y > 0) – 3de kwadrant of III A(x, y) ∈III⇐⇒ (x < 0, y < 0) – 4de kwadrant of IV A(x, y) ∈IV⇐⇒ (x > 0, y < 0) • De assen behoren niet tot de kradranten. Indeling. 1. Algemene coördinaten.

Afb90 Algemeen

¨ • Ook wel parallelle coordinaten.

• Hoek tussen assen willekeurig.

1

P(1,1)

• Schalen niet gelijk. • Schalen lineair.

O 61

1

¨ HOOFDSTUK 5. COORDINATENMEETKUNDE

62

2. Orthogonale coördinaten.

Afb91 ortogonaal

¨ • Ook wel ruitcoordinaten.

• Hoek tussen assen willekeurig. • Schalen gelijk.

1

P(1,1)

• Schalen lineair.

O

3. Normale coördinaten.

1

Afb62 normaal

¨ • Ook wel rechthoekige coordinaten.

• Hoek tussen assen 90o .

1

P(1,1)

• Schalen niet gelijk. • Schalen lineair.

O

1

Afb 93 ortogonaal

4. Orthonormale coördinaten.

¨ • Ook wel vierkantscoordinaten.

• Hoek tussen assen 90o .

1

P(1,1)

• Schalen gelijk. • Schalen lineair.

O

1

Opmerkingen 5.1 Er bestaan ook andere systemen: ¨ 1. Poolcoordinaten. 2. Enkellogaritmisch. 3. Dubbellogaritmisch. 4. Homogene systemen. ¨ ¨ De orthonormale coordinaten of vierkantscoordinaten heten wel de ‘natuurlijke ¨ ¨ ¨ coordinaten’.Tenzij anders vermeld worden met coordinaten de natuurlijke coordinaten bedoeld. Afstand tussen twee punten.

Definitie 5.1

¨ 5.1. COORDINATEN SYSTEMEN.

63

De afstand tussen de punten A en B wordt genoteerd als: d(A,B)

• Gegeven:punt A(a1 ,a2 ), punt B(b1 ,b2 ) en punt C(b1 ,a2 ) • AC=|b1 − a1 | = |a1 − b1 | • CB=|b2 − a2 | = |a2 − b2 | • ∠C=90o • Volgens stelling van Pythagoras: q • d(A,B)= |a1 − b1 |2 + |a2 − b2 |2 q • d(A,B)= (a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2

A(a1,a2)

• Het bewijs lijkt het eerste kwadrant gegeven. • De stelling geldt echter ook in de andere kwadranten. Het midden tussen twee punten.

• M(A,B) midden A en B met: • M(m1 ,m2 ), A(a1 ,a2 ), B(b1 ,b2 ) dan: 1. d(M,A)=d(M,B) 2. m1 =

B(b1,b2)

Yas

a2 + b2 a1 + b1 , m2 = 2 2

Voorbeeld 5.1

• Geg: P(1,2), Q(16,10) q • D(P,Q)= (1 − 16)2 + (2 − 10)2 = 17 1 + 16 2 + 10 , = (8 12 , 6) • M(P,Q)= 2 2 Voorbeeld 5.2

• Geg: P(-1,3), Q(20,-6) q √ • D(P,Q)= (−1 − 20)2 + (3 − −6)2 = 322 ≈ 17.9 −1 + 20 3 + −6 • M(P,Q)= , = (8 12 , 1 12 ) 2 2 Voorbeeld 5.3

• Geg: P(-1,-4), Q(-33,44) q √ • D(P,Q)= (−1 − −33)2 + (−4 − 44)2 = 16 13 ≈ 57.7 −1 + −33 −4 + 44 • M(P,Q)= , = (−17, 20) 2 2

C(b1,a2) Xas


64

5.1.2

De rechte lijn.

De rechte lijn kan worden voorgesteld door een vergelijking. De eis is dat als de ¨ coordinaten van een punt op de lijn in de vergelijking worden ingevuld er een waarheid ¨ staat. Worden de coordinaten van een punt dat niet op de lijn ligt ingevuld, dan ontstaat een onwaarheid. Enkele bijzonderheden:

• De algemene vergelijking voor alle rechten: ax+by+c=0 ax + by + c • De normaal vergelijking voor alle rechten: √ =0 a2 + b2 • De vereenvoudigde vergelijking y=mx+n alle rechten niet evenwijdig met Yas • y=nx alle rechten door de oorsprong zonder de Ya s • x=p alle rechten evenwijdig Ya s of de Ya s • y=q alle rechten evenwijdig Xa s of de Xa s Evenwijdigheid.

Beschouw de twee vergelijkingen van de lijnen l en m

• l:y=mx+p m:y=mx+q – Als p=q dan vallen l en m samen. ¨ – Als p6=q en A op l dan kunnen de coordinaten van uiteraard niet aan die van m voldoen.

– l en m hebben dus geen punten gemeen. Dus l//m • l:y=mx+p m:y=nx+q – n=m dan l//m ´ punt A dat zowel op A als B ligt. – n6=m Dan is er precies e´ en

– Immers A(x,y) moet voldoen aan l en m 1. Gelijkstelling geeft dan: 2. mx+p=nx+q 3. (m-n)x=q-p 4. x=

q− p m−n

5. Dus l niet evenwijdig met m Voorbeeld 5.4

Voorbeeld 5.5

• Geg: l:x-y+1=0, m:x+2y-5=0 ( x−y+1 = 0 • Er moet gelden: x + 2y − 5 = 0

• Geg: l:x+3y-1=0, m:2x+y+3=0 ( x + 3y − 1 = 0 • Er moet gelden: 2x + y + 3 = 0

• Oplossing geeft: x=1 en y=2

• Oplossing geeft: x=-2 en y=1

• Snijpunt S(1,2)

• Snijpunt S(-2,1)

¨ 5.1. COORDINATEN SYSTEMEN.

65

Voorbeeld 5.7 Voorbeeld 5.6

• Geg: l:4x+2y+6=0, m:2x+y+3=0 • Geg: l:x-y+1=0, m:x-y+2=0 ( x−y+1 = 0 • Er moet gelden: x−y+2 = 0

• Er

( 4x + 2y + 6 = 0 gelden: 2x + y + 3 = 0

• Geen oplossingen.

• Oplossing: 2x+y+3=0

• l en m evenwijdig.

• l en m vallen samen.

5.1.3

moet

De richtingscoëfficiënt.

• Beschouw de lijnenbundel y=mx+n • Al deze lijnen lopen // y=mx • De lijn gaat door het punt A(1,m) • Als m>0 l stijgend. • Als m<0 l dalend. ¨ ¨ van l’. • m heet ‘de richtingscoeffici ent Opmerkingen 5.2 Bewijsbaar is dat:

• l: y=mx+p en m: y=nx+q • (l loodrecht m) ⇐⇒ (mn=-1) 5.1.4

Afstand punt tot lijn.

Onder de afstand van een lijn l tot een punt P d(P,l) wordt de lengte van de loodlijn van uit P op l verstaan. De afstand van een punt tot een lijn kan eenvoudig worden gevonden door de normaal vergelijking van die lijn. Stelling 5.1

• l: ax+by+c=0 met de normaalvergelijking l : • P( p1 , p2 ) • d(P,l)=

|p1 x + p2 y + c| √ a2 + b2

Direct volgt: 1. Afstand l tot de oorsprong =d(O,l)= √ 2. d(O,l)=0 ⇐⇒ c=0 Voorbeeld 5.8

• l: 3x-4y+12, P(1,-1)

|c| a2 + b2

ax + by + c √ =0 a2 + b2


66

3x − 4y + 12 3x − 4y + 12 =0 • Normaalvergelijking l: p =0 ⇒ 2 2 5 3 + (−4) • d(P,l)=

|(3(1) − 4(−1) + 12| = 3 45 5

• d(O,l)=

|(3(0) − 4(−0) + 12| = 2 52 5

Voorbeeld 5.9

• l: -5x+12y+12, P(1,-1) −5x + 12y + 12 −5x + 12y + 12 =0 ⇒ =0 • Normaalvergelijking l: p 13 (−5)2 + 122 • d(P,l)=

|(−5(1) + 12(−1) + 12| = 13

• d(O,l)=

|(−5(0) + 12(−0) + 12| = 13

5 13 12 13

Opstellen vergelijking rechte.

Voor het opstellen van de vergelijking van een rechte bestaan verschillende methoden die afhankelijk zijn van de de aard van de gegevens: Voorbeeld 5.10

• l door A(1,1) en B(-3,-6) • l is niet-evenwijdig Ya s dus l:y=mx+n ¨ • Substitutie van de coordinaten van A en B dienen waarheden te zijn. Dus: ( Substitutie A geeft: 1 = 1·m+n • Er geldt: Substitutie B geeft: −6 = (−3)m + n

• Oplossen naar m en n geeft: m=1 34 en n=-1 34 • Dus: l: y=1 34 x- 34 of l: 7x-4y-3=0 Ook mogelijk via de tweepuntsvergelijking: P(x1 ,y1 ) , Q(x2 ,y2 ) l door P en Q dan: l: (y-y1 )(x1 -x2 )=(x-x1 )(y1 -y2 ) Voorbeeld 5.11

• l door A(1,1) en B(-3,-6) • Dan: x1 =1, x2 =-3, y1 =1, y2 =-6 • Substitutie geeft dan: • (y-1)(1-(-3))=(x-1)(1-(-6)) =⇒ (y-1)4=(x-1)7 • Omwerking geeft: 7x-4y-3=0 Via de asvergelijking: l door A(a,0) en B(0,b) dan: 1. l: bx+ay=ab of 2. l: Opmerkingen 5.3

x y + =1 a b

5.2. TWEEDEGRAADSKROMMEN.

67

• Er mag niet gelden: a=b=0 • 2. werkt slechts als a6=0 en b6==0 Voorbeeld 5.12

• l door A(-4,0) en B(0,7) • l: 7x+(-4)y=(-4)7 =⇒ 7x-4y+28=0 Voorbeeld 5.13

• l door A(1,1) evenwijdig m: y=3x-5 • l: y=mx+n omdat l parallel met m is, geldt m=3 • l: y=3x+m substitutie A(1,1) geeft: • 1=3·1+n =⇒ n=-2 • Dus l: y=3x-2 of 3x-y-2=0

5.2

Tweedegraadskrommen.

De tweedegraadskrommen zijn: 1. De cirkel. 2. De ellips. 3. De parabool. 4. De hyperbool. De tweedegraadskrommen voldoen alle aan de vergelijking: a1 x2 +a2 y2 +a3 xy+a4 x+a5 y+a6 =0 Opmerkingen 5.4

• De tweedegraadskrommen vormen de familie van de niet-ontaarde kegelsneden. • Een cirkel is op te vatten als een bijzondere ellips. • Niet alle vormen van de vergelijking leveren krommen op. De andere mogelijkheden zijn: 1. Twee snijdende rechten. 2. Twee evenwijdige rechten. 3. Twee samenvallende rechten. 4. Een rechte. 5. Een punt. 6. Niets.

• Samen vormen deze zes de familie van ontaarde kegelsneden. • Alle kegelsneden ongeacht hun plaats in het vlak voldoen aan de vergelijking.


68

5.2.1

De cirkel.

Een cirkel c: met middelpunt M(p,q) en straal r heeft de vergelijking: (x-p)2 +(y-q)2 =r2 Dit geeft:

• Uitschrijven geeft: • x2 +y2 -2px-2qy+(p2 +q2 -r2 )=0 • Dit geeft voor de algemene vergelijking. 1. a1 =1 2. a2 =1 3. a3 =0 4. a4 =-2p 5. a5 =-2q 6. a6 =p2 +q2 -r2

• Is de algemene gedaante van deze vorm, dan is er sprake van een cirkel. Opmerkingen 5.5

• Als r>0 Echte cirkel. • Als r= 0 Dan een puntcirkel. P(−

a4 a5 ,− ) 2 2

¨ punten (imaginaire cirkel). • Als r2 < 0 Geen reele

• Als r=1 Eenheidscirkel. Voorbeeld 5.14

Voorbeeld 5.15

• Cirkel M(-3,7) en r=4

• Cirkel M(4,-12) en r=9

• c: (x–3)2 +(y-7)2 =42

• c: (x-4)2 +(y–12)2 =92

• c: (x+3)2 +(y-7)2 =16

• c: (x-4)2 +(y+12)2 =81

• c: x2 +y2 +6x-14y+42=0 Voorbeeld 5.16

• c: x2 +y2 -8x+24y+79=0 Voorbeeld 5.17

• x2 +y2 +4x-6y+4=0

• x2 +y2 +4x-6y+22=0

• x2 +y2 +2·2x-2·3y+13-9=0

• x2 +y2 +2·2x-2·3y+13+9=0

• (x+2)2 +(y-3)2 =32

¨ punten. • Geen reele

Voorbeeld 5.18

• cirkel c door (5,3) (6,2) (3,-1) • vergelijking

van

x2 +y2 +Ax+By+C=0

• substitutie geeft:   25 + 9 + 5A + 3B +C = 0 • 36 + 4 + 6A + 2B +C = 0  9 + 1 + 3A − B +C = 0

Voorbeeld 5.19 c:

• Cirkel c: x2 +y2 -16x-17y+60=0 • Voor snijden Xas geldt: y=0 • x2 -16x+60=0 =⇒ x=6 of x=10 • Voor snijden Yas geldt: x=0 • y2 -17y+60=0 =⇒ y=5 of 12

• Dan A=-8 B=-2 C=12

• Snijpunten zijn:

• Dan c: x2 +y2 -8x-2y+12=0

• (6,0), (10,0), (0,5), (0,12)

69


5.2.2

De ellips.

Yas

Yas C(0,b)

Xas

A(-a,0)

C

M

A

B(b1,b2)

B

D D(0,-b) Xas

Een ellips waarvan de assen sa- Een ellips waarvan de assen evenmenvallen met de assen van het wijdig zijn met de assen van het ¨ ¨ coordinatenstelsel heeft de vergelijking. coordinatenstelsel heeft de vergelijking.

E1 :

x2 y2 + =1 a2 b2

E2 :

(x − m1 )2 (y − m2 )2 + =1 a2 b2

Herschrijving van de formules geven respectievelijk:

E1 : Ax2 + By2 = C

en

E2 : Ax2 + Bx2 +Cx + Dy + E = 0

Opmerkingen 5.6

• AB=2a heet ‘de lange as’. • BC=2b heet ‘de korte as’. • Is b>a dan verwisselen de namen. • a=b(=r) ellips is een cirkel. • In de formules ontbreekt de term met xy. • Het snijpunt van de assen heet ‘centrum’. • Ax2 +By2 +Cx+Dy+E=0 (A>0 en B>0) heeft de mogelijkheden: 1. Ellips met assen evenwijdig Xas en Yas . ´ punt. 2. Precies e´ en 3. Geen punten. Voorbeeld 5.20

Voorbeeld 5.21

• Ellips E met center (0,0)

• Ellips met center (0,0)

• lange as=20, korte as=10

• En door (4,3), (6,2)

• a= 21 · 20 = 10

• Substitutie in

• b= 12 · 10 = 5 • E:

x2 y2 + =1 102 52

• E: x2 +4y2 =100

x2 y2 + = 1 geeft: a2 b2 16 9 36 4 • 2 + 2 = 1 en 2 + 2 = 1 a b a b • Oplossen geeft: • a2 =52 en b2 =13 •

x2 y2 + = 1, x2 +4y2 -52=0 52 13


70


• E:

4x2 +9y2 -48x+72y+144=0

• E:

(4x2 -48x)

+

(9y2 +72)

• E: x2 +3y2 =1 l: y=x

+144=0 4(x2 -

• E: 12x+36)+9(y2 +8y+16)=144

• E: 4(x-6)2 + 9(y+4)2 =144 • E:

(x − 6)2 36

+

(y + 4)2 16

=1

• Center(6, -4) a=6 en b=4 • E raakt aan de Xas en de Yas 5.2.3

• Voor snijpunten E en l gelden beide vergelijkingen.

• Dit geeft: • x2 +3x2 =1=4x2 √ • Dus x1,2 = ± 12 2 • De snijpunten zijn dus: √ √ √ √ • ( 21 2, 12 2) en (− 12 2, − 12 2)

De hyperbool. Afb 97

Afb 98

Yas Yas Xas

A

B

O

A MB

Xas

Afb 99

Afb 100

Yas Yas

B Xas

B M

O

A

A

Xas

• De lijn door A en B heet de ‘as’ van de hyperbool. • De krommen heten de ‘takken’ van de hyperbool. • Samen vormen zij de hyperbool. • O of M heet het ‘center’ van de hyperbool. • De rechten heten de ‘asymptoten’ van de hyperbool. De vergelijkingen van de hyperbool.

Als de lengte van AB=2a en de as van de hyperbool evenwijdig is of samenvalt met de Xas of Yas dan geldt:

x2

y2

1. Voor afb. 97 H: 2 − 2 = 1 of Ax2 -By2 +F=0 a b

71


2. Voor afb. 98 H:

(x − m1 )2 (y − m2 )2 − = 1 of Ax2 -By2 +Cx+Dy+F=0 a2 b2 y2

x2

3. Voor afb. 99 H: 2 − 2 = 1 of -Ax2 +By2 +F=0 a b

(y − m2 )2 (x − m1 )2 4. Voor afb. 100 H: − = 1 of -Ax2 +By2 +Cx+Dy+F=0 a2 b2 5. Voor afb. 97 De asymptoten hebben de vergelijking y=± ab x 6. Voor afb. 99 De asymptoten hebben de vergelijking y=± ab x 7. Voor alle gevallen geldt: A>0 en B>0 8. In alle gevallen ontbreekt de term xy. Voorbeeld 5.24 Voorbeeld 5.25

y2 x2 • H: 2 − 2 = 1 a b • Gaat door (4,6) en (1,-3)

• H: 9x2 -16y2 =144 • H: Dan:

• Substitutie geeft: •

36 16 9 1 − = 1 en − =1 a2 b2 a2 b2

• Oplossen geeft: a2 =

36 5

•

9x2 16y2 − =1 144 144

x2 y2 x2 y2 − = 1 =⇒ 2 − 2 = 1 16 9 4 3

• H gaat door (-4,0) en (4,0)

en b2 = 4

5y2 x2 • Dan − = 1 of 5y2 -9x2 -36=0 36 4

• De asymptoten zijn y=± 43 x


• H: 9x2 -16y2 -18x-64y-199=0 • H: (9x2 -18x)-(16y2 +64y)=199 • H: 9(x2 -2x+1)-16(y2 +4y+4)=144 •

(x − 1)2 (y + 2)2 − =1 42 32

• Center ligt op (1,-2) De as is • H gaat door (-3,-2) en (5,-2) • De asymptoten zijn y+2=± 43 (x-1)

• H:

x2 y2 − = 1 door P(4,6) a2 b2

√ • H heeft de asymptoten y=± 3x √ • y=± 3x=± ba x √ • ± 3 = ± ab ⇒ b2 = 3a2 • Substitutie P geeft: •

16 36 − = 1 ⇒ 16b2 − 36a2 = a2 b2 a2 b2

• 48a2 − 36a2 = 3a4 • a2 = 4, b2 = 12 ⇒ 3x2 − y2 = 12

Opmerkingen 5.7

• Als geldt: a2 =b2 • Dan x2 -y2 =c1 of y2 -x2 =c2 • Dan staan de asymptoten loodrecht op elkaar. • Er wordt gesproken van een orthogonale hyperbool.


72

5.2.4

De parabool: Afb 101 2

2

1y –2

x

–1

1 –2

1

–1

1

2

T As

–1

T

–2

3

4

As

–1 –2 –3

Een parabool P waarvan: Een parabool P waarvan de as de as evenwijdig loopt met de Yas evenwijdig loopt met de Xas 2 heeft de vergelijking: y=ax +bx+c a6=0 heeft de vergelijking: x=ay2 +by+c a6=0 Opmerkingen 5.8

• T heet ‘de top van de parabool’. • De parabool is symmetrisch rond zijn as. • De as heet ookwel ‘as van symmetrie’ of ‘symmetrie-as’. • Alle parabolen zijn gelijkvormig. Parabolen y=ax2

Parabolen x=ay2

Afb 103

Afb 104

As

1

T a

(a,1)

a

As

(1,a)

T

1

• O(0,0) is de top. • O(0,0) is de top. • De as is x=0 • P gaat door (1,a) • Als a>0 dalparabool. • Als a<0 bergparabool.

• De as is y=0 • P gaat door (a,1) • a>0 P ligt in I en IIII. • a<0 P ligt in II en III. • Meetkundig is hij identiek aan

• Als a=1 Standaard parabool.

y=ax2

Opmerkingen 5.9 Als a=0 ontaardt en vervalt P naar een rechte lijn. Er bestaan verschillende manieren om de vergelijking van een parabool waarvan de as evenwijdig loopt met de Y-as op te stellen.

• T(p,q), snijpunten X-as (x1 ,0) en (x2 ,0) 1. y=ax2 +bx+c algemene vergelijking.

73


2. y=a(x-p)2 +q topvergelijking. 3. y=a(x-x1 )(x-x2 ) wortelvergelijking. 4. De as heeft de vergelijking x=

−b 2a

Opmerkingen 5.10

• Als de parabool volledig boven de X-as ligt bestaan de snijpunten met de X-as niet.

• De vergelijking is daarom niet opstelbaar. • De parabool heet ‘definiet positief’. • Analoog volledig onder de X-as de parabool heet ‘definiet negatief’. • Als de as evenwijdig is met de X-as, dan worden de formules: 1. x=ay2 +by+c algemene vergelijking. 2. x=a(y-q)2 +p topvergelijking. 3. x=a(y-y1 )(y-y2 ) wortelvergelijking. 4. De as heeft de vergelijking y=

−b 2a

• Als P1 en P2 dezelfde a hebben zijn zij meetkundig gelijk. Voorbeeld 5.28

Voorbeeld 5.29

• P: y=ax2 door (1,4)

• P: x=ay2 door (-8,-2)

• Substitutie geeft:

• Substitutie geeft:

• 4=a12 ⇒ a = 4 ⇒ y=4x2

• -8=a(−2)2 ⇒ a = −2 ⇒ x=-2y2

Voorbeeld 5.30

Voorbeeld 5.31

• P: a=1 T(3,5) as evenwijdig met Yas

• P: a=1 T(3,5) as evenwijdig met Xas

• P: y=(x-p)2 +q

• P: x=(y-q)2 +p

• P: y=(x-3)2 +5=x2 -6x+14

• P: x=(x-5)2 +3=y2 -10y+28

• P gaat door (0,14) Voorbeeld 5.32

• P gaat door (28,0) Voorbeeld 5.33

• P: y=x2 -2x-3 • As is x=

−b −(−2) = = 1 =p 2a 2·1

• P: x=y2 -2y-3 • As is y=

−b −(−2) = = 1 =q 2a 2·1

• q=p2 -2p-3=12 -2·1-3=-4

• p=q2 -2q-3=12 -2·1-3=-4

• T(1,-4)

• T(-4,1)

• Voor snijpunten X-as geldt y=0

• Voor snijpunten Y-as geldt x=0

• 0=x2 -2x-3 x=-1 of x=3

• 0=y2 -2y-3 y=-1 of y=3

• Voor snijpunt Y-as geldt x=0 ⇒y=-

• Voor snijpunt X-as geldt y=0 ⇒x=-

3

• Snijpunten (-1,0), (3,0), (0,-3)

3

• Snijpunten (0,-1), (0,3), (-3,0)


74

5.2.5

K: Ax2 +By2 +Cxy+Dx+Ey+F=0, C6=0

Als de term xy aanwezig is dan is K 1. Een ontaarde kegelsnede. 2. Een parabool met de as niet evenwijdig met X-as of Y-as. 3. Een hyperbool met de as niet evenwijdig met X-as of Y-as. 4. Een ellips met de assen niet evenwijdig met X-as of Y-as. Er bestaan diverse methoden om te bepalen welk type kegelsnede het betreft. Behandeling hiervan valt echter buiten het bestek van dit dictaat. Zonder behandeling wordt het volgende voorbeeld gegeven. • 52x2 +73y2 -72xy+72x-146y+57=0

• Is een ellips met: • Center (0,1) • Lange as y= 34 x+1

1.4 1.2

• Lopend van (−

y1

• Korte as y=− 34 x+1

0.8 0.6

• Lopend van (− –0.6 –0.4 –0.2

16 37 16 13 , ) tot ( , ) 25 25 25 25

0

0.2

0.4 x

0.6

6 33 6 17 , ) tot ( , ) 25 25 25 25

Opmerkingen 5.11 Een tweedegraadskromme ligt vast door 5 onafhankelijke punten

5.3

Derde- en hogere graadskrommen.

Derdegraadskrommen.

De derdegraadskrommen voldoen aan de algemene gedaante:

Ax3 + Bx3 +Cx2 y + Dxy2 + Ex2 + Fy2 + Gxy + H = 0 Opmerkingen 5.12

• De derdegraadskrommen hebben een dermate grote verscheidenheid aan vormen dat een inventarisatie hiervan nauwelijks mogelijk is.

• Het onderzoeken naar de vormen valt buiten het bestek van dit dictaat. • Er wordt volstaan met enkele voorbeelden. Afb 106 3

Afb 107 10

2

Afb 108 3 2 y 1

y5

1 –1

0.5 1

–10

–5

5 x

–1

10

–2

–1 0

1 x 2

–1 –5

–2 –3

–2 –10

–3

Stropho¨ıde x3 +xy2 -x2 +y2 =0

x2 y+xy2 -6xy+4=0

x3 +y3 -x-2y=0

75

5.4. DIVERSEN. Vierde- en hogere graadskrommen

Ook hier wordt volstaan met enkele voorbeelden. Afb 111 1.5 0.5 1 y 0.5 –1 –2

–1

–1.5

0.2

1 x

–0.5

–1 x –0.5

0.5

1

–0.5

–0.2

2

y –1

–0.5 –1

x4 +y4 -4x2 y+y3 =0

5.4

0.5 0

–1.5

Lemniscaat x4 +y4 +2x2 y2 -2x2 +2y2 =0

x5 +y5 +x4 +y2 -xy=0

Diversen.

Voorbeeld 5.34

Voorbeeld 5.35

• C: x2 +y2 =20 l: y=2x

• E: (x-3)2 +(2y-4)2 =37 l: y=3x-1

• Voor de snijpunten geldt:


• x2 +(2x)2 =20 =⇒ 5x2 =20

• (x-3)2 +(2(3x-1)-4)2 =37

• x=±2, y=±4

4 • 37x2 -78x+8=0 =⇒ x1 =2, x2 = 37

• S1 (2,4) en S2 (-2,-4)

4 25 ,- 37 ) • S1 (2,5) en S2 ( 37

Voorbeeld 5.36

Voorbeeld 5.37

• C: x2 +y2 =3 H: x2 -y2 =1

• P1: y=x2 , P2: y=x2 -2x+4

• C+H geeft:


√ • Dit geeft: 2x2 =4, x=± 2, y=±1 √ √ • S1 (- 2,-1), S2 (- 2,1) √ √ • S3 ( 2,-1), S4 ( 2,1)

• x2 =x2 -2x+4 • 0=-2x+4 dus x=2 en y=4 • S(2,4)

Opmerkingen 5.13 In het algemeen is het vinden van de snijpunten van twee tweedegraadskrommen een moeizame zaak. Er ontstaat namelijk een vergelijking van de vierde graad. Die is slechts pas gemakkelijk op te lossen in bijzondere gevallen. Raaklijnen aan kegelsneden.

Een raakpunt aan een kegelsnede wordt opgevat als twee samenvallende snijpunten. Voorbeeld 5.38

• E: 5x2 +y2 =5, P(-2,-1) • l y=ax+b door P raakt E. ( l : y = ax + b • =⇒ -1=-2a+b, b=2a-1 , y=ax+(2a-1) P(−2, −1) • Snijden geeft 5x2 +(ax+2a-1)2 =5 ⇒ (a2 +5)x2 +(4a2 -2a)x+(4a2 -4a-4)=0


76

√ (a − 2a2 ) ± 20 + 20a − 15a2 • Via abc-formule: x1,2 = a2 + 5 • x1 =x2 ⇒ D=0=20+20a-15a2 ⇒ • 3a2 -4a-4=0 , a1 =2 , a2 = − 23 • Uit b=2a-1 volgt direct: b1 =3 en b2 =-frac73 • Dit geeft de raaklijnen: l1 : 2x-y+3=0 en l2 : 2x+3y+7=0 • Voor raken gold: D=0 Dus voor de raakpunten geldt: x=

a − 2a2 a2 + 5

• Uitwerking geeft de raakpunten: R1 (− 23 , 53 ) en R2 (− 27 , − 15 7) Als een punt op de kegelsnede ligt, is de raaklijn evenvoudiger te vinden. Laat K: Ax2 +By2 +2Cxy+2Dx+2Ey+F=0 een kegelsnede: Als nu punt R(p,q) ligt op de kegelsnede K, dan is de vergelijking van de raaklijn l aan K in P: l: Apx+Bqy+Cqx+Cpy+Dp+Dx+Eq+Ey+F=0 Voorbeeld 5.40 Voorbeeld 5.39

• C: x2 +y2 =2 R(1,1) op C.

• C: x2 -8x+y2 +10y+16=0 R(7,-1)op C.

• C: x·x+y·y=2

• C: x2 -4x-4x+y2 +5y+5y+16=0

• l: 1·x+1·y=2

• l: 7x-4·7-4x+(-1)y+5(-1)+5y+16=0

• l: x+y-2=0 Voorbeeld 5.41

• l: 3x+4y+17=0 Voorbeeld 5.42

• H: xy+6x-4y-26=0 R(5,-4) op H.

• H: xy-x-y-1=0 R(2,3) op H.

• H: xy+xy+6x+6x-4y-4y-52=0

• H: xy+xy-x-x-y-y-2=0

• l: x(-4)+(5)y+6·5+6x-4(-4)-4y-52=0

• l: x(3)+2y-2-x-3-y-2=0

• l: 2x+y-6=0

• l: 2x+y-7=0

Opmerkingen 5.14

• Het begrip raaklijn bestaat uiteraard slechts voor niet-ontaarde kegelsneden. • Toepassing op ontaarde kegelsneden geeft als lijn de lijn waarop het punt ligt. • Ligt het punt op het snijpunt van twee rechten of op een punt cirkel, dan wordt de vergelijking: 0=0

• Ligt het punt P buiten de kegelsnede K en wordt toch de formule toegepast, dan is l de poollijn van P ten opzichte van K.Met P pool van l. Opmerkingen 5.15 Als van uit een punt P twee raaklijnen kunnen getrokken worden aan een kegelsnede K dan is de lijn door de raakpunten aan K de poollijn van P ten opzichte van K. Het geval dat er geen raaklijnen te trekken zijn valt buiten het bestek van dit dictaat.

¨ 5.5. RUIMTECOORDINATEN.

5.5

77

Ruimtecoördinaten.

¨ Ook in de ruimte zijn diverse coordinaatsystemen mogelijk. In dit dictaat wordt echter slechts gewerkt met het natuurlijke cartesisch systeem dat voldoet aan:

• Er is een oorsprong O • Er zijn drie assen (meestal X Y en Z). • De drie assen staan onderling loodrecht op elkaar. • De indeling op de assen is lineair. • De schalen op de assen zijn gelijk. ¨ Een punt P ligt dus vast door drie coordinaten x,y,z , P(p1 ,p2 ,p3 ) Definitie 5.2 1. Het vlak door de X en Y as heet het ‘XYvlak ’ er geldt: z=0 2. Het vlak door de X en Z as heet het ‘XZvlak ’ er geldt: y=0 3. Het vlak door de Y en Z as heet het ‘YZvlak ’ er geldt: x=0 4. Gezamenlijk heten zij ‘de standvlakken’.

5.5.1

Het platte vlak.

Een willekeurig plat vlak V voldoet aan de vergelijking: V: Ax+By+Cz+D=0

Vlakken loodrecht de standvlakken.

Voorbeeld 5.43

• Vlak

V

Voorbeeld 5.44 loodrecht

XYvl

• Vlak

W

Voorbeeld 5.45 loodrecht

XZvl

• Vlak

U

loodrecht

YZvl

• z is dan willekeurig.

• y is dan willekeurig.

• x is dan willekeurig.

• Dus C=0

• Dus B=0

• Dus A=0

• Dus V: Ax+By+D=0

• Dus W: Ax+Cz+D=0

• Dus U: By+Cz+D=0

Opmerkingen 5.16 Er geldt: (V: Ax+By+Cz=0) ⇐⇒ (V door O(0,0,0) ) Het schetsen in de R3 is meestal een moeizame zaak. Vaak worden eerst de de doorsnijdingen met de standvlakken bepaald.


78

Voorbeeld 5.46

• V: 3x+15y-7z-12=0

Voorbeeld 5.47

• Voor XYvl geldt z=0 • Dus 3x+15y-12=0 ⇒ (x+5y-4=0, z=0)

• Voor YZvl geldt x=0 • Dus 15y-7z-12=0 z=0 • Voor XZvl geldt y=0 • Dus 3x+15y-12=0 ⇒ (x+5y-4=0,

• W: 8x+3y-4z-9=0 • Voor XYvl geldt z=0 • Dus 8x+3y-9=0, z=0 • Voor YZvl geldt x=0 • Dus 3y-4z-9=0, z=0 • Voor XZvl geldt y=0 • Dus 8x+3y-9=0, z=0

z=0) Opmerkingen 5.17

• Er bestaat geen echte vergelijking voor de rechte lijn. • Een rechte laat zich wel omschrijven als de doorsnijding van twee vlakken. • Ook via de dubbelvergelijking l: Ax+By+C=Dx+Ez+F=Gy+Hz+I Doorsnijding van vlakken.

´ punt snijden. Het algemene geval is dat drie vlakken elkaar in e´ en Voorbeeld 5.48

  V : 2x − 3y + 4z + 10 = 0 Gegeven zijn de drie vlakken W : 5x − 5y − 2z + 39 = 0  U : 3x + 4y + 3z − 13 = 0 Voor het snijpunt S van de drie vlakken geldt dat de drie vergelijkingen tegelijker tijd waar moeten zijn. Oplossen van het stelsel geeft: x=-3, y=4 en z=2 dus S(-3,4,2)

5.5.2

De normaalvergelijking.

Definitie 5.3

Ax + By +Cz + D

De normaalvergelijking van V: Ax+By+Cz+D=0 is: V: √

A2 + B2 +C2

5.5.3

=0

Afstand punt en vlak.

Stelling 5.2

Ax + By +Cz + D

V: √

A2 + B2 +C2

Ax + By +Cz + D = 0 en K(p,q) dan: d(V,K)= √ A2 + B2 +C2

Voorbeeld 5.49

• V: 3x+4y-12z+7=0 en P(2,3,1) 3x + 4y − 12z + 7 3x + 4y − 12z + 7 • Normaal verg. van V: p = =0 2 2 2 13 3 + 4 + (−12)

79

5.6. OPGAVEN.

3(2) + 4(3) − 12(1) + 7 • d(V,P)= =1 13 3(0) + 4(0) − 12(0) + 7 • d(V,O)= = 13

7 13

Opmerkingen 5.18 Als de absoluutstrepen worden weggelaten, dan liggen alle punten die een positieve waarde geven aan dezelfde kant van het vlak en alle die een negatieve waarde opleveren aan de andere kant (is de waarde 0 dan ligt het punt uiteraard op het vlak).

5.5.4

De bol.

Stelling 5.3 Bol B met middelpunt M(a,b,c) en straal r heeft de vergelijking: (x-a)2 +(y-b)2 +(z-c)2 =r2 Opmerkingen 5.19

• Als M(a,b,c)=O(0,0,0) dan B: x2 +y2 +z2 =r2 • Als M(a,b,c)=O(0,0,0) en r=1 dan B: x2 +y2 +z2 =1 Dit heet ‘de eenheidsbol’.

5.6

Opgaven.

Opgave 5.1

Opgave 5.2

• Geg: A(1,1), B(-2,3) en C(5,-4)

• Geg: A(-7,12), B(-2,-3) en C(8,-4)

• Bereken:

• Bereken:

• d(A,B), d(B,C) en d(A,C)

• d(A,B), d(B,C) en d(A,C)

• M(A,B), M(B,C) en M(A,C)

• M(A,B), M(B,C) en M(A,C)

• l: door A en B

• l: door A en B

• m: door B en C

• m: door B en C

• n: door A en C Opgave 5.3

• n: door A en C Opgave 5.4

• Geg:

• Geg:

1. l: 2x+3y-12=0

1. l: 3x-3y-12=0

2. m: 5x-4y+8=0

2. m: 6x-4y+9=0

3. P(1,1)

3. P(1,-1)

• Ber:

• Ber:

• Snijpunt l en m

• Snijpunt l en m

• d(O,l), d(P,l) en d(P,m)

• d(O,m), d(P,l) en d(P,m)


80

Opgave 5.5

Opgave 5.6

• Geg: l: 3x+4y-2=0 P(4,4)

• Geg: l: 3x+4y-2=0 P(4,4)

• m door P evenwijdig l

• m door P evenwijdig l

• Ber:

• Ber:

• vergelijking l.

• vergelijking l.

• d(l,m) Opgave 5.7

• d(l,m) Opgave 5.8

• Geg: Cirkel M(4,3) r=2 l: y=x

• Geg: Cirkel M(6,4) r=7 l: y=x+1

• Gevr: de vergelijking van Cirkel

• Gevr: de vergelijking van Cirkel

• Snijpunten l en C Opgave 5.9

• Snijpunten l en C Opgave 5.10

• C: x2 +y2 -3x+2y-6=0

• C: x2 +y2 +8x+8y+16=0

• Bepaal r en middelpunt.

• Bepaal r en middelpunt.

• Snijpunten met x+y=2

• Snijpunten met x+y+5=0

• l: door (0,-5) raakt C

• l: door (1,0) raakt C

• Bepaal l en raakpunten. Opgave 5.11

• Bepaal l en raakpunten. Opgave 5.12

• Ellips E met Center (4,9)

• Ellips E met Center (4,9)

• Lange as evenwijdig Y-as is 6

• Lange as evenwijdig X-as is 6

• Korte as evenwijdig X-as is 4

• Korte as evenwijdig Y-as is 4

• Stel de vergelijking van E op.

• Stel de vergelijking van E op.

• l: x-y=0

• l: x-y=0

• Ber: snijpunten l en E Opgave 5.13

• Ber: snijpunten l en E Opgave 5.14

• H: x2 -4y2 =9

• H: 3y2 -4x2 +4=0

• P(5,2) op H.

• P(2,2) op H.

• Bepaal raaklijn door H. Opgave 5.15

• Bepaal raaklijn door H. Opgave 5.16

• Parabool P: x-y2 +4=0

• Parabool P: 2x2 -y+5=0

• Lijn l: x+y+6=0

• Lijn l: x-y+6=0

• Lijn m evenwijdig l raakt P

• Lijn m evenwijdig l raakt P

• Snijpunten P en l

• Snijpunten P en l

• Vergelijking m

• Vergelijking m

81

5.6. OPGAVEN.

Opgave 5.17

Opgave 5.18

• P: y=2x2 -6x+4

• P: y=2x2 +6x+4

• Stel top vergelijking op.

• Stel top vergelijking op.

• Bepaal snijpunten met de assen. • Bepaal snijpunten met de assen. Opgave 5.19 Opgave 5.20 • C: x2 +y2 =1

• E1: x2 +2y2 =1

• P: y=4x2 -2

• E2: 2x2 +y2 =1

• Snijpunten C en P.

• Snijpunten E1 en E2.

82


Hoofdstuk 6

Trigoniometrie. Opmerkingen 6.1 De trigoniometrie wordt ook wel ‘driehoeksmeting’ genoemd.

6.1

Rechthoekige driehoeken.

Rechthoekige driehoek ABC90o gelden de volgende regels.

a c b cos A = sin B = c a tan A = cot B = b b cot A = tan B = a c sec A = csc B = b c csc A = sec B = a

• sin A = cos B = • • • • •

B

c

A

b

• sin A × csc A=cos A × sec A=tan A × cot A=1 • sin B × csc B=cos B × sec B=tan B × cot B=1 • A=arcsin

a b a b = arccos = arctan =arccot c c b a

• B=arcsin

b a b a = arccos = arctan =arccot c c a b

• a=c sin A =c cos B =b tan A=b cot B • b=c sin B =c cos A =a tan B=a cot A • c=a csc A =a sec B =b sec A=b csc B Voorbeeld 6.1 Geg: 4PQR90o , P=50o , p=QR=20, RS=h is de hoogtelijn uit R op PQ 83

a

C

84

HOOFDSTUK 6. TRIGONIOMETRIE.

Bereken: PR, PQ, PS, SQ, h Berekening:

• Q=90o -P=90o -50o =40o

Afb. 63 Q

• PR=q=p·tan Q=20·tan 40o =16.78 r

p 20 • PQ=r= = = 26.11 sin P sin 50o • RS=h=p·sin Q=20·sin 40o =12.86

p=20

S h

• QS=p·cos Q=20·cos 40o =15.32

P

q

R

• PS=PQ-SQ=10.79 Voorbeeld 6.2 Geg: 4UVW90o , UV=100, U=70o X op UW met: UX=10, Y op VW met: ∠XYW=35o Bereken: XY en YW Berekening:

• UW=v=UV·cos U UW=100·cos 70o =34.20 • XW=UW-UX=34.20-10=24.20 XW 24.20 • XY= = =42.19 sin Y sin 35o XW • YW= =34.56 tan 35o

U X V

Y

W

Opmerkingen 6.2 1. Bij berekeningen dient pas op het eind te worden afgerond. zo wordt in het bovenstaande voorbeeld XW=24.20 schijnbaar gebruikt maar in werkelijkheid dient de niet afgeronde waarde 24.2020143 gebruikt te worden om te vermijden dat fout op fout wordt gestapeld. 2. Vaak kunnen hoeken of lijnen op verschillende manieren worden berekend. Dit betekend echter niet dat ze alle even goed zijn. Er moet zo veel mogelijk gebruik gemaakt worden van methoden die de oorspronkelijke gegevens bevatten en als dit niet mogelijk is; die waar voor de berekening de minste stappen zijn genomen. Hierdoor wordt de kans op fouten het kleinst. Zo kan VW na het bepalen van UW berekend worden met zowel de stelling van Pythagoras als met VW=VU·sin(U). De tweede methode heeft de voorkeur. Als UW verkeerd berekend is, dan is VW met de eerste methode ook fout terwijl de tweede methode nog wel de juiste waarde geeft.

6.2

Scheefhoekige driehoeken.

Voor een willekeurige driehoek ABC gelden de volgende regels: De sinusregel:

a b c = = = 2R R=de straal van de omgeschreven cirkel. sin A sin B sinC

6.2. SCHEEFHOEKIGE DRIEHOEKEN.

85

De cosinusregel.

• vorm 1. a2 =b2 +c2 -2bc cos A • vorm 2. b2 =c2 +a2 -2ca cos B • vorm 3. c2 =a2 +b2 -2ab cos C De tangensregel.

a + b tan 21 (A + B) • vorm 1. = a − b tan 12 (A − B) • vorm 2.

b + c tan 12 (B +C) = b − c tan 12 (B −C)

c + a tan 12 (C + A) • vorm 3. = c − a tan 12 (C − A) Opmerkingen 6.3 ´ vorm te hebben en de andere 1. Op het eerste gezicht lijkt de sinusregel slechts e´ en drie. Dit is echter niet waar de sinusregel kan worden geknipt tot de drie vormen. (a) a=2R sin A (b) b=2R cos B (c) c=2R sin C 2. Het gebruik van de tangensregel dient te worden vermeden gezien de structuur ervan. 3. Tenzij de elementen van een driehoek in een bijzondere structuur zijn gegeven kunnen de de berekeningen met de tangens regel ook met de sinusregel worden uitgevoerd. 4. De tangensregel heet ook wel ‘de formule van Napier’. Voorbeeld 6.3 Gegeven: 4ABC, A=47.12o , B=63.17o , c=37.52 Bereken: C, a, b Berekening:

• C=180o -A-B=69.71o a c • = ⇒ a= sin A sinC c b = ⇒ b= • sin B sinC

c sin A 37.52 sin 47.12o = =27.49 sinC sin 69.71 c sin B 37.52 sin 63.17o = =33.48 sinC sin 69.71

Voorbeeld 6.4 Gegeven: 4PQR, p=13.0, q=4.00, r=15.0 Gevraagd: A, B en C Berekening:

• p2 =q2 +r2 -2qr cos P ⇒cos P=

q2 + r2 − p2 42 + 152 − 132 = = 0.60 ⇒P=53o 2qr 2 · 4 · 15

86


• q2 =r2 +p2 -2rp cos Q ⇒cos Q=

r2 + p2 − q2 152 + 132 − 42 = = 0.97 ⇒P=14o 2rp 2 · 15 · 13

• r2 =p2 +q2 -2pq cos R ⇒cos R=

p2 + q2 − r2 132 + 42 − 152 = = −0.38 ⇒P=113o 2pq 2 · 13 · 4

Voorbeeld 6.5 Gegeven: 4ABC a=14.0, b=18.0, A=38.02 Gevraagd: c Berekening:

• sin B=

b sin A 18 sin 38o = = 0.792 a 14

• Er zijn nu twee mogelijkheden voor B die voldoen. 1. B1 =52.3o 2. B2 =128o

• Dit geeft dat er twee mogelijke driehoeken zijn. • De waarden van C worden: 1. C1 = 180o − 38o − 52.3o = 89.7o 2. C2 = 180o − 38o − 128o = 14o

• Voor c geeft dit de twee waarden: sin 89.7o sinC1 = 14 = 22.7 sin A sin 38o sin 14.3o sinC2 = 14 2. c2 = a =5.63 sin A sin 38o

1. c1 = a

Voorbeeld 6.6 Gegeven: Trapezium ABCD met AB//BC, AB=15, AD=5, DC=6, A=58o Gevraagd: Oppervlakte ABCD, B, diagonalen AC en BD Strategie: 1. Laat de loodlijnen DE en CF neer op AB 2. Bereken DE en AE in 4ADE90o 3. Bepaal AF en bereken AC in 4ACF90o 4. Bepaal FB en bereken B in 4BCF90o 5. Bepaal EB en bereken DB in 4BDE90o 6. Bepaal oppervlakte ADCD. Uitvoering:

• DE=AD sin A=5 sin 58o = 4.24 • AE=AD cos A=5 cos 58o = 2.65 • DC=EF dus AF=AE+DC=2.65+6=8.65 • AC2 =AF2 +CF2 ⇒ AC=9.63 • BF=AB-AF=3.35

6.2. SCHEEFHOEKIGE DRIEHOEKEN.

• tan(B)=

BC DE = ⇒ B=52o FB FB

Voorbeeld 6.7 Gegeven: Vierhoek ADCD met AB=50.0, DC=50.0,diagonaal DB=70.0

∠ABD=∠DBC=35.0o ∠DBC< 90o Bereken: De overige elementen van ADCD en diagonaal AC Strategie: 1. Maak een situatieschets. 2. Bereken in 4ABD AD, ∠ADB en ∠A 3. Bereken in 4BCD C, ∠BDC en BC 4. Bereken D 5. Bereken AC in 4ABC Berekening:

• AD2 =AB2 +BD2 − 2·AB·BD·cos(ABD) ⇒ AD=40.8 • sin(ADB) =

AB · sin(ABD) = 0.7026 ⇒ ADB=44.6o AD

• A=180o -ABD-ADB=100.4o • sin(C)=

DB · sin(DBC) = 0.8030 CD

• Dit geeft twee mogelijkheden voor C Er moet echter zo gekozen worden dat BDC scherp is. Dit geeft C=126.6o

• D=360o -A-B-C=63.1o • BDC=180o -C-DBC=18.4o • BC2 =BD2 +CD2 -2·BD·CD cos(BDC) ⇒ BC=27.5 • AC2 =AB2 +BC2 -2·AB·BC cos(C) ⇒ AC=48.1 Voorbeeld:

Gegeven: cirkel M met r=100.0 en koordevierhoek ABCD de diagonalen AC en BD snijden in F AC=180.0, AF=120.0, AD=160.0 D is scherp. Te berekenen: De overige elementen van ABCD en diagonaal BD Strategie: 1. Bepaal D in driehoek ACD. 2. Bepaal DC in driehoek ACD. 3. Bepaal A1 in driehoek ACD. 4. Bepaal DF in driehoek AFD. 5. Bepaal Hoek ADF in driehoek AFD. 6. Bereken de elementen van driehoek ABC.

87

88


7. Bereken FB in driehoek ABF. Berekening:

• In ACD geldt:

AC AD = = 2R sin D sin(ACD)

AC 180 = = 0.9 ⇒D=64.2o 2R 200 AD 160 2. sin(ACD) = = = 0.8 ⇒ACD=53.1o 2R 200 1. sin D =

3. CAD=180o -D-ACD=62.7o 4. CD2 =AC2 +AD2 -2·AC·cos(CAD) ⇒ CD=177.7

• DF2 =AF2 +AD2 -2·AF·cos(DAF) ⇒ DF=149.6 • sin(ADF) =

AF · sin(FAD) ⇒ ADF=45.5o DF

• ∠ADB=∠ACB=45.5o (Staan op zelfde boog) • B=180o -D=115.8o • ∠BAC=180o -B-ACB=18.7o ⇒A=81.4o • C=180o -A=48.6o • BC=

AC sin(BAC) =48.6 sin B

• AB=

AC sin(ACB) =142.5 sin B

• BF2 =AB2 +AF2 -2·AB·AF cos(BAF) ⇒ BF=48.1 • DB=DF+DF=197.8 Opmerkingen 6.4 Er bestaan nog zeer veel goniometrische formules voor driehoeken. Bijvoorbeeld: 1. Voor driehoek ABC Oppervlakte A is het halve product van twee zijden maal de sinus van de ingesloten hoek. A= 21 ab sin(C)= 21 bc sin(A)= 12 ca sin(B) Voorbeeld 6.8 Gegeven de driehoek ABC a=10, b=15, C=33.56o Oppervlakte ABC= 21 · 10 · 15 sin 33.56o =41.46 Voorbeeld 6.9 Gegeven de driehoek PQR p=11.3, q=24.6, R=101.18o Oppervlakte ABC= 12 · 11.3 · 24.6 sin 101.18o =136.4 2. De halve hoek. r

tan 12 A =

1 s−a

Voorbeeld 6.10

(s − a)(s − b)(s − c) s

89

6.3. OPGAVEN.

Gegeven de driehoek ABC met a=20.1, b=17.5, c=15.8

a+b+c =26.7 2 r 1 (s − a)(s − b)(s − c) tan 21 A = = 0.7544 ⇒ A=74.1 s−a s r 1 (s − a)(s − b)(s − c) tan 12 B = = 0.5412 ⇒ B=56.8 s−b s r (s − a)(s − b)(s − c) 1 tan 12 C = = 0.4568 ⇒ C=49.1 s−c s s=

Opmerkingen 6.5

Bovenstaande resultaten kunnen ook met de cosinusregel worden verkregen. Maar bovenstaande methode biedt een groot voordeel. De drie formules schelen slechts de ´ factor (s-. . .). De wortelvorm hoeft dus maar e´ enmaal berekend te worden. Voor de cosinusregel moet echter de volledige vorm opnieuw bepaald worden.

6.3

Opgaven.

Opgave 6.1

Opgave 6.2

Gegeven: MABC a=45.23, b=54.59, c=63.24

Gegeven: MPQR p=112.6, q=142.5, r=132.92

Bereken:

Bereken:

1. De hoeken.

1. De hoeken.

2. De oppervlakte.

2. De oppervlakte.

Opgave 6.3

Opgave 6.4

Gegeven: MABC a=65.23, b=54.59, C=74.14o

Gegeven: MPQR q=122.7, r=132.2, P=132.92

Bereken:

Bereken:

1. De c, A en B

1. De p, Q en R

2. De oppervlakte.

2. De oppervlakte.

Opgave 6.5

Opgave 6.6

Gegeven: MABC a=65.23, B=54.59o , C=65.14o

Gegeven: MXYZ y=59.7, X=88.8o , Z=32.92o

Bereken:

Bereken:

1. De a, c en A

1. De x, z en Y

2. De oppervlakte.

2. De oppervlakte.

90


Opgave 6.7

Opgave 6.8

Gegeven: MABC a=65.23, b=54.22, A=45.14o

Gegeven: MXYZ x=59.7, Z=41.8o , y=48.92

Bereken:

Bereken:

1. De c, B en C

1. De x, z en Y

2. De oppervlakte.

2. De oppervlakte.

Opgave 6.9

Opgave 6.10

Gegeven: MABC A=65.14o , B=46.34o Oppervlakte=1000

Gegeven: MUVW V=71.8o , W=88.88o Oppervlakte=1000

Bereken:

Bereken:

1. De C, a, b en c

1. U, u, v en w

2. De hoogtelijnen.

2. De bissectrices.

Opgave 6.11

Opgave 6.12

Gegeven: Parallelogram ABCD A=65.14o , ABkCD=111.1, AD=55.5 Oppervlakte=1000

Gegeven: Parallelogram PQRS P=65.14o , PQkRS=121.3, PR=155.5 Oppervlakte=1000

Bereken:

Bereken:

1. De diagonalen.

1. De zijde QR.

2. De hoogtelijn uit D.

2. Diagonaal QS.

3. De oppervlakte.

3. De oppervlakte.

Opgave 6.13 Gegeven: Regelmatige piramide AB-Opgave 6.14 CDT T is de top Gegeven: Regelmatige piramide ABCT hoogtelijn h=TE T is de top ∠ACT=75.14o , ABkCD=95.12 hoogtelijn h=TD AB=100, AT=122 Bereken: Bereken: 1. Hoogtelijn h. 1. Hoogtelijn h. 2. Ribbe AT 2. Hoek ABT 3. ∠ABT 3. Hoek EBT 4. Inhoud ABCDT 4. Inhoud ABCDT 5. Hoek tussen vlakken ABCD en BCT 5. Hoek tussen vlakken ABC en BCT

Index element, 7 ellips, 67, 69 Euler-diagram, 8

aantallen, 8 abc formule, 41 abscis, 61 absolute waarde, 51, 56 afstand 2 punten, 62 afstand punt lijn, 65 afstand punt vlak, 78 algebra¨ısche getallen, 45 ¨ algemene coordinaten, 61 analytische meetkunde, 61 antilogaritme, 58 as van symmetrie, 72 associatief, 19 asvergelijking, 66 asymptoot, 70

factor, 19 faculteit, 32 gebroken kwadratische vergelijking, 43 gebroken lineaire vergelijking., 43 gebroken vergelijking, 42 gehele getallen, 8 gelijkheid verzamelingen, 11 gelijknamig maken van wortels, 30 ¨ ¨ gewone binomiaalcoeffici ent, 33 grondtal, 58 hogere graadskrommen, 75 horizon, 10 hyperbool, 67, 70

bergparabool, 72 ¨ ¨ binomiaalcoeffici ent, 33 bol, 79 Briggse logaritmen, 58

imaginaire getallen, 8 intervallen, 13 intervalverzameling, 13 invoeren van wortels, 44

¨ cartesiche coordinaten, 61 centrum, 69 cirkel, 67, 68 ¨ coordinaten, 61 commutatief, 19 complementaire verzameling, 13 complexe getallen, 8 cosinusregel, 85

kardinaalgetal, 9 kegelsnede, 67 kleiner, 51 kubische wortel, 29 kwadraat afsplitsen, 23 kwadranten, 61 kwadratische vergelijking, 40

dalparabool, 72 deelverzameling, 10 definiet negatief, 55, 73 definiet positief, 55, 73 delen, 20 deler, 27 delingen, 24 derdegraadskrommen, 74 derdemachtswortel, 29 disjunct, 11 distributief, 19 distributieve wetten, 13 driehoeksmeting, 83

lege verzameling, 8 lemiscaat, 75 letterrekenen, 19 lineaire vergelijking, 39 logaritme, 57 ¨ logaritmische coordinaten, 62 macht gewoon, 20 macht oneigenlijk, 30 merkwaardige producten, 21 midden 2 punten, 63 Morgan wetten van, 13

echte deler, 27 eenheidsbol, 79 eerstegraadsvergelijking, 39

Napier formule van, 85 ¨ natuurlijke coordinaten, 62 91

92

natuurlijke getallen, 8 natuurlijke logaritmen, 58 normaalvergelijking, 78 ¨ normale coordinaten, 62 omgeschreven cirkel, 84 oneigenlijke machten, 30 ongelijk, 51 ongelijkheden, 51 ontbindingen, 22 onvolledige vierkantsvergelijking, 40 oorsprong, 61 ordinaat, 61 ¨ orthogonale coordinaten, 62 orthogonale hyperbool, 71 ¨ orthonormale coordinaten, 62 parabool, 67, 72 ¨ parallelle coordinaten, 61 platte vlak, 77 ¨ poolcoordinaten, 62 poollijn, 76 pq formule, 42 priem, 27 priemgetal, 27 punt cirkel, 68 raaklijn, 75 radicaal, 30, 45 rationele getallen, 8 ¨ getallen, 8 reele rechte lijn, 64 ¨ rechthoekige coordinaten, 62 rechthoekige driehoeken, 83 ¨ ¨ richtingscoeffici ent, 65 ¨ ruimtecoordinaten, 77 ¨ ruitcoordinaten, 62 sinusregel, 84 staartdeling, 25 standvlak, 77 stropho¨ıde, 74 symmetrie as, 72 tangensregel, 85 term, 19 top, 72 trigonometrie, 83 tweedegraadskrommen, 67 tweedegraadsvergelijking, 40 tweedemachtswortel, 25 tweepuntsvergelijking, 66 universum, 10

INDEX

valse oplossingen, 44 Venn-diagram, 8 verduisteren van wortels, 44 vereenvoudiging wortels, 28 vereniging verzamelingen, 12 vergelijking rechte, 64 vergelijking van de eerste graad, 39 vergelijking van de tweede graad, 40 vergelijkingen, 39 vergelijkingen van hogere macht, 45 verschilverzameling, 13 verzameling, 7 vierdegraadskrommen, 75 ¨ vierkantscoordinaten, 62 vierkantsvergelijking, 40 vierkantswortel, 25 volledige vierkantsvergelijking, 40, 41 wortel algemeen, 29 wortelvormen, 25 zuivere vierkantsvergelijking, 40

Reader RivWis00 Deficiëntie wiskunde Versie 1.0. Auteur: J.A. van Trigt, aangepast door Wessel Oele

Recommend Documents