UKURAN STATISTIK Pendahuluan aturan statistic merupakan aturan yang menunjukkan bagaimana suatu gugus data memusat dan menyebar. aturan pemusatan yang umum digunakan untuk mendeskripsikan data adalah mean (rata-rata hitung), median, dan modus. Kuartil merupakan aturan untuk mengetahui letak data. aturan penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data disebut dispersi atau variasi atau keragaman data. aturan dispersi data yang umum dipakai adalah jangkauan (range), variansi dan standar deviasi.
ATURAN PEMUSATAN
Mean(Rata-rata hitung) Rata-rata hitung sekumpulan data hasil observasi dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut :
dimana : Xi= nilai dari observasi yang ke-i n = banyaknya observasi ukuran sampel
Median Median adalah nilai yang membagi distribusi data yang telah diurutkan (ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar. Median adalah suatu nilai yang membatasi 50% frekuensi bagian bawah dengan 50% frekuensi distribusi bagian atas. Letak Median -> Letak Median dalam distribusi data yang telah diurutkan =
n +1 2
Jika distribusi memiliki frekuensin genap, maka median dihitung secara kompromi artinya dengan membagi dua nilai nilai yang berada di tengah-tengah distribusi. Contoh : Tinggi Badan 5 mahasiswa (meter): 1.75 1.78 Sorted: 1.60 1.73 1.75 1.78 1.78 n = 5 Letak Median = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3 Median = Data ke-3 = 1,75
1.60
1.73
1.78
Median Untuk Data Yang Sudah Dikelompokkan
Median=
Me
= Bb
1 n − cfb + ( 2 fd
)i
1
Ket: Bb cfb
: Batas Bawah Nyata interval yang mengandung median : Frekuensim kumulatif di bawah klas interval yang mengandung median
Fd i n
: Frekuensi kelas interval yang emngandung median : interval kelas : Banyak frekuensi dalam distribusi (banyak responden)
Contoh: Distribusi frekuensi kenaikan tekanan darah sistole pada pasien yang mendapatkan serangan hipertensi di RS”Harapan Hidup” Tahun 2008
Kelas Frekuensi Frek Kumlatif Batas Bawah Nyata 16 - 23
10
10
15.5 - 23.5
24 - 31
17
27
23.5 - 31.5
32 - 39
7
34
31.5 - 39.5
40 - 47
10
44
39.5 - 47.5
48 - 55
3
47
47.5 - 55.5
56 - 63
3
50
55.5 - 63.5
∑
50
-----
i=8 Letak Median = n / 2 = 50 / 2 = 25 Median = Data ke-25 terletak (dikandung) dikelas 24 - 31 Kelas Median = 24 - 31 Bb Kelas Median = 23.5 dan Ba Kelas Median = 31.5 fd= 17 Frek. Kumulatif dibawah Kelas Median = 10 -> s = 25 ? 10 = 15 Frek. Kumulatif sampai Kelas Median = 27 -> s? = 27 ? 25 = 2
Median =
Me
1 50 − 10 2 = 23 . 5 + ( )8 17
2
Me
= 23 . 5 + (
Me
= 23 . 5 + (
25 − 10 )8 17
15 )8 17
Me = 23.5 + (0.88)8 Me = 23.5 + 7.01 Me = 30.56 Median dari 50 pasien yang mengalami kenaikan tekanan darah sistole akibat serangan hipertensi di RS Harapan Hiduppada tahun 2008 adalah 30.56 mmhg.
Kuartil, Desil dan Kuartil. Ketersediaan ukuran atau norma merupakan salah satu syarat yang harus diperhatikan sebagai seorang perancang test yang handal. Norma dimaksud untuk memisahkan bagi mereka yang tergolong ”baik” dan ”kurang baik” dan norma itu tak dapat disediakan hanya atas asumsi atau renungan semata-mata, tetapi harus atas dasar kenyataan (obyektif). Kita bisa menggolongkan distribusi dalam sebuah kelompok menjadi 2 golongangan dengan menggunakan median, juga 4 golongan yakni ”sangat baik, baik, kurang baik dan tidak baik” dengan yang disebut kuartil. Kalau kita ingin menyediakan norma dalam sepuluh golongan maka akan digunakan desil yang membagi kelompok menjadi per 10%, sedangkan kalau ingin menyediakan norma yang lebih halus lagi dapat menggunakan apa yangdisebut persentil yakni yang membagi kelompok menjadi persen (100 golongan). Kuartil adalah nilai yang membagi distribusi data menjadi empat bagian yang sama besar. Nilai kuartil terdiri dari kuartil 1 (K1), kuartil 2 (K2) dan kuartil 3 (K3). Nilai kuartil 2 suatu distribusi data sama dengan nilai Median data tersebut.
Kuartil 1 adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 25% frekuensi bagian bawah distribusi dari 75% frekuesnsi bagian atas. Kuartil 2 adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 50% frekuensi bagian bawah 50% frekuesnsi bagian atas. Kuartil 3 adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 75% frekuensi bagian bawah distribusi dari 25% frekuesnsi bagian atas. Diagram dibawah ini semoga dapat memabantu menjelaskan kedudukan ketiga kuartil seperti yang disebutkan pada definisi di atas. Begitupula dapat mengantarkan pemahaman terhadap konsep Desil dan Persentil.
3
25% K3
50%
K2
75%
K3
K2 75%
K1
K1
50%
25%
Kuartil Untuk Data Yang Sudah Dikelompokkan Kelas kuartil ke-q : Kelas dimana Kuartil ke-q berada Kelas kuartil didapatkan dengan membandingkan Letak Kuartil ke-q dengan frekuensi kumulatif
Median=
Ki
= Bb
1 n − cfb + ( 4 fd
)i
Ket: Ki Bb cfb
: Kuartil yang dicari (kuartil ke…) : Batas Bawah Nyata interval yang mengandung median : Frekuensim kumulatif di bawah klas interval yang mengandung median
Fd i n
: Frekuensi kelas interval yang emngandung median : interval kelas : Banyak frekuensi dalam distribusi (banyak responden)
Contoh 4: Tentukan kuartil ke-3
Kelas Frekuensi Frek Kumlatif Tepi Batas Kelas 16 - 23
10
10
15.5 - 23.5
24 - 31
17
27
23.5 - 31.5
32 - 39
7
34
31.5 - 39.5
40 - 47
10
44
39.5 - 47.5 4
48 - 55
3
47
47.5 - 55.5
56 - 63
3
50
55.5 - 63.5
∑
50
-----
Median =
3 50 − 34 K 3 = 39 . 5 + ( 4 )8 10
K 3 = 39 . 5 + (
37 . 5 − 34 )8 10
K 3 = 39 . 5 + (
3 .5 )8 10
K 3 = 39.5 + (0.35)8 K 3 = 39.5 + 2.8 K 3 = 42.3 Kuartil 3 (75%) dari 50 pasien yang mengalami kenaikan tekanan darah sistole akibat serangan hipertensi di RS Harapan Hiduppada tahun 2008 adalah 42.3 mmhg ke bawah. KETERANGAN :
interval = i = 8 Letak kuartil ke-3 = 3n / 4 = 3 X 50 /4 = 37.5 [Frekuensi kumlatif] Kuartil ke-3 = data ke-37.5 terletak di kelas 40 - 47 => Kelas kuartil ke-3 = 40 - 47 BB Nyata Kelas kuartil ke-3 = 39.5 dan BA Nyata Kelas Kuartil ke-3= 47.5 fd = 10 [ frekuensi kelas kuartil ke-3 ] Frek. Kumulatif sebelum Kelas Kuartil ke-3 = 34
Desil
5
Nilai yang membagi distribusi frekuensi data yang telah di urut (ascending) menjadi 10 bagian yang sama besar. Kita memiliki 9 desil dalam tiap distrubsi frekuensi yang disebut D1, D2, D3 hingga D9. Desil 1 (D1) adalah suatu titik nilai yang membatasi 10% frekuensi yang terbawah dalam distribusi. Desl 2 (D2) suatu titik nilai yang membatasi 20% frekuensi yang terbawah dalam distribusi. Dst
Di
1 + ( 10
= Bb
n − cfb fd
)i
Ket: Di Bb cfb
: Desil yang dicari (Desil ke…) : Batas Bawah Nyata interval yang mengandung median : Frekuensim kumulatif di bawah klas interval yang mengandung median
Fd i n
: Frekuensi kelas interval yang emngandung median : interval kelas : Banyak frekuensi dalam distribusi (banyak responden)
Letak Desil ke-1 = 1n / 10 Letak Desil ke-5 = 5n / 10 = n / 2 ini samadengan letak Median Letak Desil ke-9 = 9n / 10,
n = banyak data
Contoh 5:Tentukan desil ke-9
Kelas Frekuensi Frek Kumlatif Tepi Batas Kelas 16 - 23
10
10
15.5 - 23.5
24 - 31
17
27
23.5 - 31.5
32 - 39
7
34
31.5 - 39.5
40 - 47
10
44
39.5 - 39.5
48 - 55
3
47
47.5 - 55.5
6
56 - 63
3
50
∑
50
-----
Median =
9 D 9 = 47 . 5 + ( 10
55.5 - 63.5
50 3
)8
45 − 44 )8 3
D 9 = 47 . 5 + (
D 9 = 47 . 5 + (
− 44
1 )8 3
D9 = 47.5 + (0.33)8 D9 = 47.5 + 2.64 D9 = 50.14 Desil 9 (90%) dari 50 pasien yang mengalami kenaikan tekanan darah sistole akibat serangan hipertensi di RS Harapan Hidup pada tahun 2008 adalah 50.14 mmhg ke bawah .
Interval = i = 8 Letak Desil ke-9 =( 9 x 50 )/10= 45 Desil ke-9 = Data ke-45 terletak dikelas 48 - 55 => Kelas desil ke-9 = 48 -55 TBB Kelas Desil ke-9 = 47.5 dan TBA Kelas Desil ke-9 = 55.5 fd= 3 Frek. Kumulatif sebelum Kelas Desil ke-9 = 44 -> s = 45 ? 44 = 1 frek. Kumulatif sampai Kelas Desil ke-9 = 47 -> s? = 47 ? 45 Desil ke-9 = TBB Kelas Desil ke-9 + i (S / f9) =47.5 + 8 (1 / 3) = 47.5 + 8 (0.333...) = 47.5 + 2.66... = 50.166
persentil Persentil -> Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 100 bagian yang sama besar Letak Persentil = n / 100 Letak Persentil ke-50 = 50n / 100 = n / 2 Letak Persentil ke-99 = 99 / 10
7
Kelas Persentil ke-p : Kelas dimana Persentil ke-p berada Kelas Persentil ke-p didapatkan dengan membandingkan Letak Persentil ke-p dengan Frekuensi Kumulatif Persentil ke-p = TBB Kelas Persentil ke-p + i(s / fp) p TBB s ke-p TBA s? ke-p i
: 1,2,3?99 : Tepi Batas Bawah : selisih antara Letak Persentil ke-p dengan Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Persentil : Tepi Batas Atas : selisih antara Letak Persentil ke-p dengan Frekuensi Kumulatif sampai kelas persentil : interval kelas
fp: Frekuensi kelas Persentil ke-p
Contoh 6:Tentukan persentil ke-56
Kelas Frekuensi Frek Kumlatif Tepi Batas Kelas 16 - 23
10
10
15.5 - 23.5
24 - 31
17
27
23.5 - 31.5
32 - 39
7
34
31.5 - 39.5
40 - 47
10
44
39.5 - 47.5
48 - 55
3
47
47.5 - 55.5
56 - 63
3
50
55.5 - 63.5
∑
50
-----
Interval = i = 8 Letak Persentil ke-56 = (56n / 100) = (56 x 50)/100 = 28 Persentil ke-56 = Data ke -28 terletak dikelas 32 ? 39 * Kelas Persentil ke-56 = 32 ? 39 TBB Kelas Persentil ke-56 = 31.5 dan TBA Kelas Persentil ke-56 = 39.5 fP = 7 Frek. Kumlatif sebelum kelas persentil ke-56 = 27 --> s = 28 - 27 = 1 Frek. Kumlatif sampai kelas persentil ke-56 = 34 --> s' = 34 - 28 = 6 Persentil ke-56 = TBB Kelas persentil ke-56 + i (s / fe) = 31.5 + 8(1 /7) = 31.5 + 8(0.142...) = 31.5 + 1.142.. = 32.642...
8
Persentil ke-56 = TBB Kelas persentil ke-56 - i (s' / fe) = 39.5 + 8(6 / 7) = 39.5 + 8(6 / 7) = 39.5 - 6.857 = 32.642
Modus Modus merupakan nilai yang paling sering muncul atau nilai yang frekuensinya paling tinggi.
•
Modus untuk Ungrouped Data Contoh: Sumbangan PMI warga Depok 7500 8000 9000 8000 3000 5000 8000 Modus : Rp. 8000 Catatan: o bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus) o bisa terjadi data tanpa modus
•
Modus Untuk Grouped Data Kelas Modus: Kelas dimana Modus berada atau kelas dengan frekuensi tertinggi Tepi Batas Bawah kelas ke-i = Batas Bawah kelas ke-i + Batas Atas kelas ke(i-1) 2 Tepi Batas Atas kelas ke-i = Batas Atas kelas ke-i + Batas Bawah kelas ke (i+1) 2 Modus = TBB Kelas Modus + i(d1 / d1 + d2) Contoh :
Kelas Frekuensi(f1) Tepi batas kelas 16 - 23
10
15.5 - 23.5
24 - 31
17
23.5 - 31.5
32 - 39
7
31.5 - 39.5
40 - 47
10
39.5 - 47.5
48 - 55
3
47.5 - 55.5
56 - 63
3
55.5 - 63.5
9
∑
50
• Kelas Modus = 24 ? 31 TBB Kelas Modus = 23.5 i=8 d1 = 17 ? 10 = 7 d2 = 17 ? 7 = 10
Frek. kelas modus = 17 Frek. kelas sebelum kelas modus = 10 Frek. kelas sesudah kelas modus = 7
Modus = 23.5 + 8 (7 / 7 + 10) = 23.5 + 8(0.41176..) = 23.5 + 3.2941 = 26.7941 ≈ 27
Ukuran Penyebaran •
Jangkauan (Range) Jangkauan atau range (r) suatu gugus data adalah selisih antara nilai maksimum dengan nilai minimum.
•
Variasi Variansi adalah rata-rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap rata-rata hitung. Variansi untuk sampel dilambangkan dengan s2. Sedangkan untuk populasi dilambangkan dengan ð2.
•
Untuk Populasi Varians
Dimana : ð2 = ragam populasi ð = Simpangan baku populasi Simpangan baku (ð) = √ð2
•
Untuk Sampel Varians
Dimana : s2 = ragam sampel s = Simpangan baku sampel Simpangan baku (s) = √s2 Koefisien varians = S (100) x
Contoh Soal :
10
Dari hasil observasi 20 pegawai di instansi perpajakan diketahui hasil test IQ-nya adalah sebagai berikut :
120 125 110 115 140
100 105 100 112 130
125 145 162 114 124
118 128 135 172 108
Penyelesaian : Mean atau rata-rata(X) = 120+125+...+108 = 124.4 20 Varian(S2) = (120-124.4)^2 + (125-124.4)^2 + ... + (108-124.4)^2 = 366.25 19 Simpangan Baku(S) = √366.25 = 19.14 Koefisien Varians (V) = 19.14 (100) = 15.38% 124.4
Data Yang Telah Dikelompokkan (Grouped Data) Rumus komputasinya yang digunakan dalam mencari rata-rata hitung, simpangan baku dan varians pada data yang telah dikelompokkan adalah : a.
Metode Difisional
Untuk Populasi
Simpangan baku (ð) = √ ð2 Untuk Sampel
Simpangan baku (s) = √ s2 Dimana : Xi = tanda (titik tengah kelas ke-i) Fi = frekuensi pada kelas ke-i
11
N = jumlah data keseluruhan untuk populasi n = jumlah data frekuensi untuk sampel
b.
Metode Pengkodean
Untuk Populasi :
Simpangan baku (ð) = √ ð2 Untuk Sampel :
Simpangan baku (s) = √ s2 Koefisien varians = S (100) x Dimana : Xa = titik tengah pada kelas yang berkode nol i = interval Ui = kode titik tengah pada kelas ke-i Fi = frekuensi pada kelas ke-i N = jumlah data keseluruhan untuk populasi n = jumlah data frekuensi untuk sampel
Contoh Soal : Sebuah industri pupuk di daerah Bogor mempekerjakan 100 orang karyawan. Dengan perincian usia seperti di bawah ini :
PT. PUPUK KUJANG DISTRIBUSI USIA 100 KARYAWAN
Usia (dlm tahun) Frekuensi 20 - 26
20
27 - 33
35 12
34 - 40
22
41 - 47
12
48 - 54
11
Hitunglah : a. b. c. d.
rata-rata dengan 2 metode simpangan baku dengan 2 metode varians koefisien varians
Penyelesaian : 5.
Metode Difisional
Usia (dlm tahun) Fi
Xi FiXi (Xi-X)<SUP)2< sup> Fi(Xi-X)2
20 - 26
20 23 460
123.88
2477.54
27 - 33
35 30 1050
17.06
596.99
34 - 40
22 37 814
8.24
181.21
41 - 47
12 44 528
97.42
1169.00
48 - 54
11 51 561
284.60
3130.57
Jumlah
100 185 3413
531.18
7555.31
6. a. b. c. d.
7.
Rata-rata(µ) = 3413 / 100 = 34.13 Varian(ð2) = 755.31 / 100 = 75.55 Simpangan baku(ð) = √75.55 = 8.69 Koefisien varians (V) = (8.69 / 34.13) x 100 = 25.46
Metode Pengkodean
Usia (dlm tahun) Fi
Xi FiXi (Xi-X)<SUP)2< sup> Fi(Xi-X)2
20 - 26
20 23
-1
-20
20
27 - 33
35 30
0
0
0
34 - 40
22 37
1
22
22
41 - 47
12 44
2
24
48
48 - 54
11 51
3
33
99
Jumlah
100 185 5
59
189
13
8. a. b. c. d.
Rata-rata(X) = 30 + 7 (59 / 100) = 34.13 Varian(ð2) = 72 x ((189-(59^2/100)) / 100 = 75.55 Simpangan baku(ð) = √75.55 = 8.69 Koefisien varians (V) = (8.69 / 34.13) x 100 = 25.46%
Manfaat Yang Diperoleh Adalah 1. Rata-rata hitung dapat digunakan untuk mengetahui apakah suatu kegiatan terjadi atau kenaikan dari suatu target yang diinginkan 2. Simpangan baku dapat digunakan untuk menguji pemakaian suatu alat, apakah alat tersebut layak dipakai atau tidak dengan penetapan simpangan baku yang normal di gunakan. 3. Rata-rata hitung dapat dihubungkan dengan simpangan baku dengan menggunakan koefisien Varians dimana % ini dapat digunakan untuk mengetahui seberapa besar simpangan yang terjadi diantara rata-rata hitung rersebut atau dapat juga digunakan untuk membandingkan dua data yang sama.
14
