Untuk beberapa bilangan bulat k, pecahan 1-(1/k2) dapat kita hitung berikut ini. K
1-(1/k2)
1 2 3
0 ¾ 8/9
Dari perhitungan diatas, apabila k=1 teorema menyatakan bahwa 1-(1/12)=0 dari pengukuranpengukuran berada dalam interval dari (µ-σ) sampai (µ+σ), hasil ini tidak memberikan informasi apa-apa. Meskipun demikian jika k=2,kita amati bahwa paling sedikit 1-(1/22)=3/4 data terletak dalam interval (µ2σ) samapi (µ+2σ). Jika k=3, kita amati bahwa paling sedikit 1-(1/32)=8/9 data terletak dalam interval dari (µ-3σ) samapai (µ+3σ). Meskipun teorema ini sangat bermanfaat untuk k=2 dan 3 dalam praktis, k tidak perlu harus bilangan bulat.
Contoh Banyak perusahaan besar sering melakukan tes perilaku manajer pada karyawan-karyawannya dalam usaha untuk mengidentifikasi mereka yang mempunyai potensi majaer. Skor nilai tengah dan varians tes perilaku manajer dengan n=40 karyawan adalah masing-masing 70 dan 81. gunkan teorema Chebyshev untuk menggambarkan distribusi skor tes. Jawab: Diketahui bahwa x̅̅=70 san s2=81 atau s=9. distribusi data berpusat pada x̅=70, dan teorema Chebyshev menyatakan berikut ini: 1. Paling sedikit ¾ dari 40 skor terletak dalam interval (x̅± ̅ 2s)=[70±2(9)], dan atau antara nilai 52 dan 88. 2. Paling sedikit 8/9 dari 40 skor terletak dalam interval (x̅±3s)=[70±3(9)], atau antara nilai 43 dan 97. Kita menekankan pernyataan paling sedikit dalam teorema Chebyshev karena teorema ini sangat hati-hati(konservatif), diterapkan pada sembarang distribusi data. Dalam banyak situasi, persentasi data jatuh pada interval akan melebihi [1-1/k2]. Berikut ini akan disajikan kaidah empiris dari distribusi berbentuk lonceng (normal).
Kaidah Empiris Diketahui distribusi data yang menghampiri bentuk lonceng [gambar dibawah], interval µ±σ memuat menghampiri 68% pengamatan µ±2σ memuat menghampiri 95% pengamatan µ±3σ memuat semua atau hampir semua pengamatan
Distribusi berbentuk Lonceng BACK TO MAIN MENU
“MENGHITUNG x DAN S UNTUK DATA YANG DIKELOMPOKKAN” Rumus untuk menghitung nilai tengah data yang dikelompokkan berbeda dengan yang telah kita bahas sebelumnya. Perhatikan contoh berikut: Data (x)
Frekuensi (f)
40 51 60 70 75 80 90 95 99
1 1 1 2 4 2 2 1 1
Untuk menghitung nilai tengahnya, kita pergunakan rumus berikut ini:
Jadi, untuk data diatas prosedurnya adalah: Data (x)
Frekuensi(f)
x.F
40 51 60 70 75 80 90 95 99
1 1 1 2 4 2 2 1 1
40 51 60 140 300 160 180 95 99
Jumlah
15
1125
Dengan menggunkan rumus diatas, maka Jadi, nilai tengahnya adalah 75. Untuk menghitung standar deviasi S, untuk data yang telah dikelompokkan digunakan rumus sebagai berikut:
Atau rumus berikut:
Dengan
Untuk standar deviasinya,, Data(x)
Frekuensi(f) x.f
X2
X2.f
40 51 60 70 75 80 90 95 99
1 1 1 2 4 2 2 1 1
40 51 60 140 300 160 180 95 99
1600 2601 3600 4900 5625 6400 8100 9025 9801
1600 2601 3600 9800 22500 12800 16200 9025 9801
Jumlah
15
1125
51625
87927
Maka standar deviasinya,,
BACK TO MAIN MENU
“LIMA RINGKASAN DATA;BOXPLOT” Bloxplot dibangun berdasarkan 5 ringkasan data, yaitu kuartil(kuartil pertama, kedua dan ketiga), nilai maksimun dan nilai minimum. KUARTIL Dalam kuartil, data dibagi menjadi 4 bagian yang sama. Sehimpunan data mempunyai 3 kuartil yang masing-masing dilambangkan K1 , K 2 , K 3 . K u a r t i l p e r t a m a m e m b a g i d a t a menjadi 25% berada dibawah K1 dan 75% berada diatasnya. Kuartil kedua (sama dengan median) membagi data menjadi 50% berada dibawah K2 dan 50% berada diatasnya. Kuartil ketiga membagi data m e n j a d i 7 5 % b e r a d a d i b a w a h K 3, d a n 2 5 % b e r a d a diatasnya. Cara menentukan letak kuartil:
Berikut ini data IPK Sarjan Teknik, Fakultas Teknik, Universitas Lampung yang mengikuti wisuda periode Juni tahun akademik 1999/2000. 3,05 2,77 3,05 2,91 2,33 2,77 3,01 2,90 3,33 2,94 2,75 2,62 2,71 3,34 2,66 2,85 3,24
Tentukan dan interpretasikan kuartil untuk data ini!
Untuk menentukan kuartil kita pergunakan kaedah diatas, dengan n=17. pertama kita susun data urutan dari terkceil ke terbesar.
2,33 2,62 2,66 2,71 2,75 2,77 2,77 2,85 2,90 2,91 2,94 3,01 3,05 3,24 3,33 3,34
Jadi, untuk kuartil pertama,, Nilai K1 =data ke-4 + 0,5 (data ke-5 – data ke-4) =2,71+0,5(2,75-2,71) =2,73 Untuk kuartil kedua,,, Nilai K2=data ke-9 = 2,90
Untuk kuartil ketiga,,, Nilai K3 = data ke 13,5 +0,5 (data ke-14 – data ke-13) = 3,05+0,5(3,05-3,05) =3,05
RENTANG ANTAR KUARTIL Rentang antarkuartil adlah ukuran sebaran yang sering digunakan apabila median digunakan sebagai ukuran pemusatan data. Rentang antar kuartil didefinisikan sebagai selisih antara kuartil ketiga dan kuartil pertama. RAK=K3 – K1
Lima Ringkasan Data Lima ringkasan data terdiri dari minimum, maksimum, dan kuartil yang dapat ditulis dalam urutan berikut: berikut min, K1,K2,K3,max.
PENCILAN Pencilan merupakan nilai data yamg terletak di luar pola keseluruhan data. Pencilan memerlukan perhatian khusus mungkin saja ia merupakan hasil dari kesalahan pengukuran atau mencatat atau mungkin ia merupakan nilai ekstrim. Harus diperhatikan nilai ekstrim belum tentu pencilan, mungkin saja bentuk distribusinya menjulur kita dapat mengidentifikasi pencilan dengan menggunakan RAK. Untuk tujuan ini kita memerlukan definisi pagar luar dan pagar dalam. Data yang terletak 1,5 RAK dibawah kuartil 1 dan 1,5 RAK diatas kuartil ke 3 membentuk pagar dalam. Data yang terletak 3 RAK dibawah kuartil 1 dan 3 RAK diatas kuartil ke 3 membentuk pagar luar.
Pagar dalam dan pagar luar Pagar dalam K1 – 1,5 RAK dan K3 + 1,5 RAK Pagar luar K1 – 3 RAK dan K3 + 3 RAK Data yang terletak antara pagar luar dan dalam mungkin (posible) pencilan, sedangkan yang terletak diluar pagar luar berkemungkinan (probable) pencilan. untuk data sebelumnya kita peroleh K1 = 2,73 , K2 = 2,90 , K3 = 3,05 dan RAK = 0,32 maka pagar dalam K1 – 1,5 RAK = 2,73 - (1,5) (0,32) = 2,25 dan K3 + 1,5 RAK = 3,05 + (1,5) (0,32) = 3,53 Sedangkan pagar luar adalah K1 – 3 RAK = 2,73 – (3) (0,32) = 1,77 dan K3 + 3 RAK = 3,05 + (3) (0,32) = 4,01
Boxplot Boxplot didasarkan pada 5 ringkasan data dan dapat digunakan untuk menyajikan grafik pusat dan keragaman himpunan data. Ada dua jenis boxplot yaitu boxplot dan boxplot yang dimodifikasi. Perbedaan utama dari dua jenis boxplot ini adalah pada plot data mungkin dan berkemungkinan pencilan dilakukan pada boxplot yang dimodifikasi tetapi tidak boxplot
Prosedur pembentukan boxplot • Langkah 1 : Tentukan kuartil data • Langkah 2 : tentukan minimum dan maksimum data • Langkah 3 : buat sumbu horizontal dan letakkan nilai nilainilai-nilai yang diperoleh pada langkah 1 dan langkah 2. diatas sumbu ini, tandai kuartil, minimum dan maksimum dengan garis vertikal . • Langkah 4 : hubungkan kuartilkuartil-kuartil satu sama lain untuk membentuk kotak
Prosedur pembentukan boxplot yang dimodifikasi • Langkah 1 : tentukan kuartil data • Langkah 2 : tentukan mungkin dan kemungkinan pencilan dari nilai berbatasan. • Langkah 3 : buat diagram horizontal dan letakkan nilai nilainilai-nilai yang diperoleh pada langkah 1 dan langkah 2. diatas sumbu ini, tandai kuartil, minimum dan maksimum dengan garis vertikal . • Langkah 4 : hubungkan kuartilkuartil-kuartil satu sama lain untuk membentuk kotak, kemudian hubungkan kotak dengan nilai berbatasan dengan garis • Langkah 5 : plot setiap mungkin pencilan dengan tanda bintang dan kemungkinan pencilan dengan simbol lainnya jika himpunan data tidak mempunyai mungkin atau kemungkinan pencilan, maka boxplot dan boxplot yang dimodifikasi adalah identik
Contoh : Misalkan kita mempunyai data nilai IPK berikut inii 2,41 2,40 2,65 2,69 2,69 2,69 2,69 2,69 2,73 2,73 2,76 2,77 2,78 2,79 2,21 2,33 2,80 2,80 2,81 2,81 2,81 2,81 2,88 3,12 2,53 2,58 2,96 2,97 3,15 3,45 3,58
Tentukan diagram boxplot dan boxplot yang dimodifikasi Jawab : Untuk memnudahkan pembuatan diagram boxplot dan boxplot yang dimodifikasi, kita buat diagram batang daun
Batang Daun 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5
1 3 0 3 5 3 0 6
1 8 9 3 0 7
2
5
9 6 1
9 7 1
9 8 1
9 9 1
5 8
dari diagram batang daun diatas min = 2,21 , K1 = 2,69 , K2 = 2,77 , K3 = 2,81 dan max = 3,58.
Jadi,,, boxplotnya
Untuk boxplot yang dimodifikasi, kita harus menghitung RAK=K3 – K1 = 0,12 Maka pagar dalam K1 - 1,5 RAK = 2,51 dan K3 + 1,5 RAK = 2,99 Dan pagar luar K1 – 3 RAK = 2,33 dan K3 + 3 RAK = 3,17 Nilai berbatasan adalah nilai yang paling dekat dengan pagar dalam tetapi masih dalam pagar yaitu 2,53 dan 2,97. 97. jadi boxplot yang dimodifikasi adalah
(* munkin pencilan,
berkemungkinan pencilan) BACK TO MAIN MENU
