Radka Hamříková VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ – TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA

SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY Radka Hamříková

Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016

Studijní opory s převažujícími distančními prvky pro předměty teoretického základu studia. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ESF – ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY

ISBN 978-80-248-1317-2

Sbírka úloh z matematiky

OBSAH

TITULNÍ STRÁNKA

1

ÚVOD

5

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA

7

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

19

3. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

33

4. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

38

5. INTEGRÁLNÍ POČET

53

6. URČITÝ INTEGRÁL

62

7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH

76

8. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

86

9. DVOJROZMĚRNÝ INTEGRÁL

95

10. TROJROZMĚRNÝ INTEGRÁL

100

11. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

105

12. ŘADY

112

LITERATURA

119

-3-


-4-


STUDIJNÍ OPORY S PŘEVAŽUJÍCÍMI DISTANČNÍMI PRVKY PRO PŘEDMĚTY TEORETICKÉHO ZÁKLADU STUDIA je název projektu, který uspěl v rámci první výzvy Operačního programu Rozvoj lidských zdrojů. Projekt je spolufinancován státním rozpočtem ČR a Evropským sociálním fondem. Partnery projektu jsou Regionální středisko výchovy a vzdělávání, s.r.o. v Mostě, Univerzita obrany v Brně a Technická univerzita v Liberci. Projekt byl zahájen 5.1.2006 a bude ukončen 4.1.2008. Cílem projektu je zpracování studijních materiálů z matematiky, deskriptivní geometrie, fyziky a chemie tak, aby umožnily především samostatné studium a tím minimalizovaly počet kontaktních hodin s učitelem. Je zřejmé, že vytvořené texty jsou určeny studentům všech forem studia. Studenti kombinované a distanční formy studia je využijí k samostudiu, studenti v prezenční formě si mohou doplnit získané vědomosti. Všem studentům texty pomohou při procvičení a ověření získaných vědomostí. Nezanedbatelným cílem projektu je umožnit zvýšení kvalifikace širokému spektru osob, které nemohly ve studiu na vysoké škole z různých důvodů (sociálních, rodinných, politických) pokračovat bezprostředně po maturitě. V rámci projektu jsou vytvořeny jednak standardní učební texty v tištěné podobě, koncipované pro samostatné studium, jednak e-learningové studijní materiály, přístupné prostřednictvím internetu. Součástí výstupů je rovněž banka testových úloh pro jednotlivé předměty, na níž si studenti ověří, do jaké míry zvládli prostudované učivo. Bližší informace o projektu můžete najít na adrese http://www.studopory.vsb.cz/. Přejeme vám mnoho úspěchů při studiu a budeme mít radost, pokud vám předložený text pomůže při studiu a bude se vám líbit. Protože nikdo není neomylný, mohou se i v tomto textu objevit nejasnosti a chyby. Předem se za ně omlouváme a budeme vám vděčni, pokud nás na ně upozorníte.

ESF – ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY

-5-


Průvodce studiem

Dostává se vám do rukou Sbírka úloh z matematiky. Protože kapacita sbírky není neomezená, může se stát, že zde nenajdete vše, co hledáte. V tom případě zkuste hledat v materiálech pro Matematiku I, Matematiku II nebo Matematiku III. Nenajdete zde kapitoly Vektorová analýza a Plošný integrál. Pokud zde objevíte chyby, to se bohužel může stát, nebo budete mít připomínky či požadavky, obraťte se na mě mailem [email protected] , budu vám nesmírně vděčná. Ke sbírce patří také řada řešených úloh. Tyto úlohy budete mít k dispozici jako videa na internetových stránkách projektu www.studopory.vsb.cz.

Cíle

Cílem je nabídnout vám k procvičení příklady z většiny kapitol Matematiky I, Matematiky II a Matematiky III.

Předpokládané znalosti

Jak vyplývá z předchozího, předpokládají se znalosti Matematiky I, Matematiky II a Matematiky III.

-6-


1. Lineární algebra

1.

LINEÁRNÍ ALGEBRA ....................................................................................... 8

1.1.

Vektory ............................................................................................................................ 8

1.1.1. Operace s vektory ...................................................................................................... 8 Úlohy k samostatnému řešení .............................................................................................. 8 1.1.2. Lineární závislost a nezávislost vektorů .................................................................... 8 Úlohy k samostatnému řešení .............................................................................................. 8 1.1.3. Báze vektorového prostoru ........................................................................................ 9 Úlohy k samostatnému řešení .............................................................................................. 9 1.2.

Determinant .................................................................................................................... 9 Úlohy k samostatnému řešení .............................................................................................. 9

1.3.

Matice ............................................................................................................................ 10

1.3.1. Operace s maticemi ................................................................................................. 10 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 10 1.3.2. Hodnost matice ........................................................................................................ 12 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 12 1.3.3. Inverzní matice ........................................................................................................ 13 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 13 1.3.4. Maticové rovnice ..................................................................................................... 13 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 13 1.4.

Soustavy lineárních rovnic .......................................................................................... 15 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 15 Výsledky úloh k samostatnému řešení .............................................................................. 17

-7-



1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Vektory 1.1.1. Operace s vektory Úlohy k samostatnému řešení

1. Vypočítejte součet a + b a rozdíl a − b a b − a vektorů: a) a = ( 2, 3, 5 ) , b = ( −8, 3, 9 ) , b) a = (1, 1, 0, − 5 ) , b = ( 3, − 6, 8, − 11) , c) a = ( 7, − 8, 0, 15 ) , b = ( −1, 4, 9, 9 ) , d) a = ( −4, 9, 2 ) , b = ( 3, 3, − 9, 7 ) . Výsledky úloh k samostatnému řešení 2. Vypočítejte souřadnice vektoru x , pro který platí: a) x + 2a − 4b = o , a = ( 8, 7, 11) , b = ( 9, 3, − 5 ) , b) 4 x − 8a − 2b = o , a = ( −5, − 13, 8, 4 ) , b = ( 6, 8, − 14, 6 ) . Výsledky úloh k samostatnému řešení

1.1.2. Lineární závislost a nezávislost vektorů Úlohy k samostatnému řešení

3. Určete konstantu m tak, aby vektory a , b byly lineárně závislé, (kolineární): a) a = ( −4, m, 5 ) , b = ( −8, 6, 10 ) ,

b) a = (1, m, 0, m ) , b = ( 3, − 6, 0, − 6 ) .

Výsledky úloh k samostatnému řešení

4. Určete konstanty m, r tak, aby vektory a , b byly lineárně závislé, (kolineární): a) a = (12, m, 16 ) , b = ( 9, 3, r ) ,

b) a = ( 4, m, 8, 4 ) , b = ( 6, 9, r , 6 ) .


5. Zjistěte, jak jsou vektory a , b , c závislé: a) a = (1, 0, 1) , b = ( 2, 3, 5 ) , c = ( 0, 3, 3) , b) a = ( −4, 3, 2, 5 ) , b = ( −1, 0, 1, 0 ) , c = ( 0, 3, − 2, 5 ) , c) a = ( 2, 7, 4, 2 ) , b = ( −12, − 16, 12, − 8 ) , c = (1, − 3, − 7, 0 ) , d) a = (1, 2, 3) , b = (1, 0,1) , c = ( 3, 4, 7 ) , e) a = ( 5,1,1) , b = ( 2,1, 0 ) , c = ( 3, 0, 4 ) . Výsledky úloh k samostatnému řešení

-8-



6. Zapište vektor d jako lineární kombinaci vektorů a , b , c : a) a = (1, 0, 1) , b = ( 2, 3, 5 ) , c = ( 0, 3, − 3) , d = ( 5, 12, 5 ) , b) a = ( −4, 3, 2, 5 ) , b = ( −1, 0, 1, 0 ) , c = ( 0, 3, − 3, 5 ) , d = ( 2, 6, − 9, 10 ) , c) a = (1, 7, 4, 2 ) , b = ( −3, 7, 4, − 8 ) , c = ( 3, − 8, − 1, 6 ) , d = ( 0, − 1, 3, − 2 ) , d) a = ( 2,1, 2 ) , b = ( −1, 0,3) , c = (1,1, 0 ) , d = ( 0,1,13 ) . Výsledky úloh k samostatnému řešení

1.1.3. Báze vektorového prostoru Úlohy k samostatnému řešení

7. Dokažte,že vektory a , b , c tvoří bázi vektorového prostoru a zapište souřadnice vektoru

d v této bázi: a) a = (1, 0, 1) , b = ( 2, − 4, 7 ) , c = ( 0, 3, − 1) , d = (1, 19, − 9 ) , b) a = ( −4, 3, 2 ) , b = ( −1, 1, 0 ) , c = ( 0, 3, 4 ) , d = ( −12, 29, 36 ) , c) a = ( 6, 5, 4 ) , b = ( −5, 2, 4 ) , c = (1, 0, − 4 ) , d = ( −17, − 1, 8 ) . Výsledky úloh k samostatnému řešení

1.2. Determinant Úlohy k samostatnému řešení

8. Vypočítejte determinant: 4 5 3 −1 a) , b) , 1 2 6 2 2 5 −4 3 d) e) . 3 8 1 2

c)

3 −6 , 4 −8


9. Vypočítejte determinant Sarrusovým pravidlem: 1 2 1 5 2 −4 1, a) −1 3 2 , b) 3 3

1 3 3 1 2 1 d) 3 0 −1 , 2 1 4

−5 2

7

2 1 2 e) −1 3 0 . 3 5 4

-9-

4 1 4 c) 2 −2 2 , 2 −5 2



Výsledky úloh k samostatnému řešení 10. Vypočítejte determinant, determinant upravte a použijte rozvoj podle některého řádku nebo sloupce: 2 1 −1 4 1 −1 2 1 4 5 6 7 3 2 −2 5 −1 3 1 0 −4 −5 5 −7 a) , b) , c) , 1 1 1 0 2 1 1 4 1 3 4 2 0 2 2 4 1 0 4 1 2 −1 −2 3 1 2 3 4 d)

1 0 2 1 3 3 1 0

6 2 3 0 ,

2 1 1 1

1 1 3 1

e)

0 3 1 1

.

−1 0 2 2


11. Vypočtěte determinant úpravou na trojúhelníkový tvar: 1 2 1 1 0 1 1 1 1 0 1 2 1 3 −1 1 2 1 , b) 1 1 0 1 0 , a) 2 4 3 1 −1 −2 2 1 −1 1 2 2 2 −1 0 0 1 0

1 0 d) −2 −1

1 1 1 2

3 1

1 2 0 1

1 1 1 0 1 1 . 1 1

3 0 1


1.3. Matice 1.3.1. Operace s maticemi Úlohy k samostatnému řešení

12. Vypočítejte 2 ⋅ A + 3 ⋅ B − C , kde:  1 −2   4 0  7 5 a) A =  ,B= ,C=   , 3 0  −2 5   −6 10 

- 10 -

c)

2

3 −1

4

6 −2 −10

−6 11 13 6 21

2

5 8 14

,



1 −1 5  6 9 11  1 0 2       b) A =  2 −3 0  , B =  −5 −1 −3  , C =  −2 1 0  .  0 −7 2   4 −8 −4         −1 1 3  Výsledky úloh k samostatnému řešení 13. Vypočítejte A + 2 ⋅ E − 2 ⋅ B , kde:

 5 3  8 −2  a) A =  ,B=  ,  9 −4  6 9

 1 0 2 9 8 7     b) A =  3 4 0  , B =  4 −5 −6  .  −2 8 −3   1   3 2

Výsledky úloh k samostatnému řešení 14. Vynásobte matice A a B :

 5 3  8 −2  ,B= a) A =   ,  9 −4  6 9

 1 0 2 9 8 7     b) A =  3 4 0  , B =  4 −5 −6  ,  −2 8 −3   1   3 2

 2 4  1 0 −2    c) A =   , B =  −3 1 ,  3 1 1  1 0    2   5 e) A = (1 −2 0 3) , B =   ,  −4     3

 7 4 −3   2 0     d) A =  1 2 5  , B =  0 1  ,  −1 2 3  3 3      7  5  −2 −1 0  5 f) A =  , B =   −1  7 8 4 −9    3

 2 3  2 −4 2    g) A =   , B =  −2 1 , 1 1 6  2 0  

 3 2  2 3 4     h) A =  1 4  , B =  3 1 3  ,  9 −1  2 −1 3     

 3   1 i) A = ( 2 1 2 3) , B =   ,  −3     2

 1 2    2 1 1 0  −1 3  , j) A =  , B =   6 0 3 1 0 1     1 −2 

2  5 , 0  8

 1 2   −1 3   2 1 1 0  9 3  k) A =  ,C= , B =   , matice lze násobit více způsoby. 6 0 3 1 0 1   −1 4     1 −2  Výsledky úloh k samostatnému řešení

- 11 -



1.3.2. Hodnost matice Úlohy k samostatnému řešení

15. Vypočítejte hodnost matice:

 1 0 −3    a) A =  2 4 6  ,  4 4 0  

 2 1 2   b) A =  3 −1 3   1 1 0  

3 −2  2  4 5 0 d) A =   −2 −4 5  8 1  6

4  3 , 1  1

 1 −1 1 1 −1    −1 2 −2 1 1  f) A =  1 −2 3 2 2    1 1 2 −1 1  −1 1 2 1 1     1   1  2  h) A =  1  1   −1  −1 

0

1 1

1 0

1

1 1 2 1 1 1 2 0 0 2 0

 1   −1 c) A =  0   3  2 

1

1 1 1

0  1 1 ,  2 4 4 3 

0 1 1 3

1 2 3 2

 1 3 5 7 −5 2    2 −4 1 1 0 6 e) A =  ,  3 −1 6 8 −5 8     5 5 16 22 −15 12 

 1   1  −1 g) A =   2  −2   −3

1 6 0

1

2

1

1 7 2 0 4

1

1  1 4 , 2 3  7 

1  1 2  0 . 1  0 −1


16. Doplňte parametry a, b tak, aby matice měla danou hodnost:  1 0 2  5 7 −2      2, h ( A) = 2 . a) A =  a 4 2  , h ( A ) = 2 , b) A =  a −7  4 4 b  4 b 4     Výsledky úloh k samostatnému řešení

- 12 -



1.3.3. Inverzní matice Úlohy k samostatnému řešení

17. Najděte inverzní matici:  −4 3  a) A =  ,  −2 1 

1  2 d) A =  ,  −1 −2 

 5 −2  c) A =  ,  12 −7 

2 1 b) A =  , 7 2  2 4 e) A =  .  −3 −8 

Výsledky úloh k samostatnému řešení 18. Najděte inverzní matici:  1 2 1   a) A =  3 −2 4  ,  1 7 1  

 3 4 1   d) A =  2 1 0  ,  0 1 2  

 0 3 1   b) A =  −5 2 1 ,  2 0 2  

 1 1 1   c) A =  11 12 13  ,  −2 −3 −4   

 −2 5 −4    e) A =  0 −3 0  .  1 −2 1 

Výsledky úloh k samostatnému řešení 19. Najděte inverzní matici:  1 −1 2 −3    −1 1 0 1  a) A = ,  2 0 −1 2    1  −3 1 2 5 6 7  4   −1 −2 −3 −4   c) A = ,  0 1 1 0   1 2 −4   2

 0  −1 b) A =   −3   1

1 1  2 1 0 , 1 2 3  5 4 1

2

 1 2  −1 1 d) A =   0 1   0 −2

0  0 −2  . 1 −1   1 1 1


1.3.4. Maticové rovnice Úlohy k samostatnému řešení

20. Řešte rovnici s neznámou maticí X :  2 −4   6 0 ⋅X =  a)   ,  2 −7  18 −6 

1  2 −1  −2 b) X ⋅  = ,  3 −4   4 5  - 13 -



 2 3 0 1 c) X ⋅  = ,  1 0 1 2

1 4 1 2 d)  ⋅X =   ,  6 2  4 −2 

11 5  12 −5   9 5  e)  ⋅ X ⋅  =   2 1  4 −2   1 3 

1 1  2 −1   2 4  f)  ⋅ X⋅  = .  2 0  3 −2   3 6 

Výsledky úloh k samostatnému řešení 21. Řešte rovnici s neznámou maticí X :  1 0 2 1 2      a)  4 1 5  ⋅ X =  3 4  ,  5 3 −1 2 1     

 1 2 −1  1 0     c)  3 1 0  ⋅ X =  1 1 ,  2 2 1  2 −1    

 −5 −8   3 −2    b) X ⋅   =  2 4 , 3 − 1      1 0  5 1 1 2   d) X ⋅   =  1 0 , 2 5    −2 3 

3 1  5 1 3   0     e) X ⋅  1 1 1 =  −4 2 0  .  −2 −2 1  5 5 9      Výsledky úloh k samostatnému řešení 22. Řešte rovnici s neznámou maticí X :  2 5 −9   1     1 ⋅ X =  2  , a)  1 2  1 3 −4   −5     

1 0 1   b) X ⋅  0 2 3  = ( 0 −13 −3) , 1 3 0  

 −13 10     −5 4   −12 10  c) X ⋅  . =  −3 2   −6 4     −25 18  Výsledky úloh k samostatnému řešení

23. Řešte soustavu maticových rovnic s neznámými maticemi X, Y :  1 −1  18 8   6 1  3 3  3   4 −2  a)  ⋅X =  , Y ⋅ = X, b)  ⋅ X =  ,      ⋅Y = X .  2 3  6 11  0 5  5 1  9   3 −4  Výsledky úloh k samostatnému řešení

- 14 -



1.4. Soustavy lineárních rovnic Úlohy k samostatnému řešení

24. Řešte soustavu lineárních rovnic GEM a Cramerovým pravidlem: x+ y+ z= 4 2 x + 3 y − 2 z = −4 − x + y + 2z = a) 2 x − 3 y + z = −3 , − x + 2 y − 2z = 1

b) 4 x − 3 y + 3z = 10 , 6 x − 4 y − 2 z = 14

6 c) 2 x − y − 4 z = −16 , 5 x + y + z = 12

2x + 3 y + 4z = 9 d) 5 x − 3 y + 4 z = −6 , 4 x + 3 y − 4 z = −21

6x + y − z = 7 e) x − 6 y + z =17 , − x + y + 6 z = 14

x+ y−z= 5 x −2y + z = 0 , f) − x + y − z = −5

x + 2y − z =9 g) x + y + z = 3 , 2x − y − z = 6

2x + y − 2z = 7 h) − x + 2 y + z = −1 , 2x + 3y + z = 0

−2 x + 3 y − 4 z = 4 5x − 3 y + 7 z = 2 . i) −9 x + 4 y −12 z = 1

Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Řešte soustavu lineárních rovnic GEM: x+ y + z +u = 4 x + y − 4z = 9 x − 2 y + 3z − u = 2 a) x + y + 2 z = 3 , b) , c) 2x − y + 4z = 6 x+ y − z =6 3x + 5 z + u = 11

x1 + 2 x2 − x3 + 3x4 − 2 x5 = 4 2 x1 + 2 x2 − 3x3 + 3x4 − x5 = 5 d) − 2 x2 − x3 − 3x4 + 3x5 = −3 , − x1 + 2 x3 − 2 x4 + x5 = 3 x1 + 2 x2 − x3 + 2 x4 − x5 = 6

3 x1 + 2 x2 + x3 − x4 = 5 −3 x1 + x2 + 4 x3 + x4 = 4 , 2 x1 − x2 + 3 x3 − x4 = 3 −2 x1 + x2 + 5 x3 + x4 = 2

x1 + 2 x2 + 4 x3 e)

− x5 = 1 x1 − x2 + 5 x3 − x4 − 2 x5 = 4 . 3 x2 − x3 + x4 + x5 = −6 x1 − 2 x2 + 2 x3 + 2 x4 + 4 x5 = 8


26. Řešte homogenní soustavu lineárních rovnic: x+ y+ z+ u=0 x + y − 4z = 0 3x − 2 y + z =0 a) x + y + 2 z = 0 , b) , 2 x + 2 y + z + 2u = 0 x+ y − z =0 6 x + y + 3 z − 3u = 0

2 x1 − 3x2 + x3 − x4 + x5 = 0 2 x1 + x2 − 3x3 + x4 + x5 = 0 d) x1 − x2 + 3x3 − x4 − x5 = 0 , 4 x1 − 2 x2 − 2 x3 + 2 x5 = 0 7 x1 − 2 x2 − 2 x3 + 2 x5 = 0

2 x1 + x2

+ x4 = 0 −3 x1 − x2 + 2 x3 + 2 x4 = 0 c) , 4 x1 + x2 + 2 x3 + 5 x4 = 0 3 x3 + 5 x4 = 0

x1 + 2 x2 − x3 + 4 x4 − x5 = 0 e)

2 x1 + 4 x2 − 4 x3 + 6 x4 − 3 x5 = 0 . x1 + 2 x2 − 3 x3 + 2 x4 − 2 x5 = 0 − x1 − 2 x2 + x3 − 4 x4 + x5 = 0

- 15 -




- 16 -




1. a) a + b = ( −6, 6, 14 ) , a − b = (10, 0, − 4 ) , b − a = ( −10, 0, 4 ) ; b) a + b = ( 4, − 5, 8, − 16 ) , a − b = ( −2, 7, − 8, 6 ) , b − a = ( 2, − 7, 8, − 6 ) ; c) a + b = ( 6, − 4, 9, 24 ) , a − b = ( 8, − 12, − 9, 6 ) , b − a = ( −8, 12, 9, − 6 ) ;

d) nelze

b) x = ( −7, −22,9,11) . 3. a) m = 3 ; 5. a) 2a − b + c = o ;

sčítat

ani

odčítat. 2. a) x = ( 20, − 2, − 42 ) ;

b) m = −2 . 4. a) m = 4, r = 12 ;

b) a − 4b − c = o ;

c) 4a + b + 4c = o ;

b) m = 6, r = 12 . d) 2a + b − c = o ;

e) LNZ . 6. a) d = a + 2b + 2c ; b) d = −a + 2b + 3c ; c) d = b + c ; d) d = 2a + 3b − c .

 1 0 1 7. a) det  2 −4 7  = −11 ≠ 0 ⇒ tvoří bázi, d a ,b ,c  = ( 3, − 1, 5 ) ;    0 3 −1  −4 3 2  b) det  −1 1 0  = −10 ≠ 0 ⇒ tvoří bázi, d a ,b ,c  = ( 4, − 4, 7 ) ;    0 3 4   6 5 4 c) det  −5 2 4 = −136 ≠ 0 ⇒ tvoří bázi, d a ,b ,c  = ( −1, 2, − 1) .    1 0 −4 8. a) 3 ; b) 12 ; c) 0 ; d) 1 ; e) −11 . 9. a) 7 ; b) −41 ; c) 0 , d) −24 ; e) 0 . 10. a) 20 ; b) 7 ; c) 0 , d) 20 ; e) −44 . 11. a) −3 ; b) 27 ; c) 800 , d) 8 .

 27 29 29   −15 −16 −12  7  7 −9   −9     12. a) X =  ; b)  −9 −10 −9  . 13. a)  ; b)  −5 16 12  .    0 11  −3 −20   13 −39 −11  −8 4 −3      58 17   22 32  , B⋅A =  14. a) A ⋅ B =   ;  48 −54   111 −18  9  15 12  19 88 −3      4 −3  , B ⋅ A =  1 −68 26  ; b) A ⋅ B =  43  5 −62 −65   7 16 3       5 −5    d) A ⋅ B = 17 17  , B ⋅ A nelze násobit ;  7 11  

14 4 0   0 4   c) A ⋅ B =  , B⋅ A =  0 1 7 ;  4 13   1 0 −2   

- 17 -



6  2 −4 0   5 −10 0 15   e) A ⋅ B = (1) , B ⋅ A = ;  −4 8 0 −12    9  3 −6 0  0 9 8 17    31 25 35 20 −20   −4  f) A ⋅ B =  ; , B⋅ A =  2 1 0 −5   58 −18     50 61 32 −57 

 22 −5 7  16 2    g) A ⋅ B =   , B ⋅ A =  2 9 −3  ; 12 19   4 −8 4   

 45 12    h) A ⋅ B nelze násobit, B ⋅ A =  37 7  ;  32 −3   

 6 3 6 9   2 1 2 3  i) A ⋅ B = ( 7 ) , B ⋅ A = ;  −6 −3 −6 −9     4 2 4 6

 8 3 1 2   7 2 −1 3  7 7  j) A ⋅ B =  ; , B⋅ A =  12 6 6 0  3 7    −4 −1 1 −2 

7 11   47 18   3 −3 −12 9   56 49   72 84   . k) A ⋅ B ⋅ C =  , C⋅ A ⋅B =  , B ⋅C⋅ A =  162 72 54 18   20 37   5 21   6 11 −5   7

15. a) h ( A ) = 2 ; b) h ( A) = 3 ; c) h ( A) = 3 ; d) h ( A ) = 4 ; e) h ( A ) = 2 .; f) h ( A) = 5 ; g) h ( A) = 3 ;

1 2   h) h ( A) = 5 . 16. a) ( a = 4 ∧ b = 2 ) ,  a = 4 − , b = 2 + , k ≠ 0  ; k k  

b) a = −5, b ∈ R .

1  1 −3  17. a) A −1 =  ; 2  2 −4 

1 1  −2 b) A −1 =  ; 3  7 −2 

c) A −1 =

1  7 −2   ; 11 12 −5 

1  2 1 1 2 −1  d) A =  ; e) A = 3 1  .   3  −1 −2  − −  4 2 −1

 30 −5 −10  1  1 ; 18. a) A =  −1 0 5 8   −23 5 −1

1  4 −6 1   b) A =  12 −2 −5  ; 32    −4 6 15  −1

1  −2 7  −3 3 −12  1 1   −1 0 . d) A =  4 −6 −2  ; e) A = −  0 2 8 6   3 1 6   −2 3 5   −1

- 18 -

c) A −1 neexistuje ;



 2 3 2 −1   6 −12 −3 3      8 −4 −4  1  3 12 0 −3  1  16 −1 −1 19. a) A = ; b) A = ; 5 11 6  2 0 2 2 24  −26 −4     3 −3   −1 −3 2 2   18 −12 11 −21 3   8   1  12 30 36 −9  −1 c) A = ; 27  −12 −30 −9 9     1 −2 −6 −3  0  −1   b) X = 31 14 ;  − −  5  5

 −4 −5 7 −3    2 2 −3 1  −5 4  −1  d) A = . 20. a) X =  ;  1 1 −1 1   −4 2     3 3 −5 2 

1  1 −2  c) X =  ; 3  2 −1 

    1 5 15   12 −    17  2  f) X =  . 21 . a) ; X = − 1 −   2  4 −5    3  2  0 −   2

 29 −34  1  b) X =  −14 16  ; 3 2   −1

 2  1 T b) X =   , Y =   . 24. a) (1, 2,1) ,  −1  1

b) (1, −2, 0 ) , T

f) ( 5,5, 5 ) ;

T

d) ( −3,1,3) , T

h) ( 0,1, −3) ; T

T

T

d) (17 − t − 4 s, s,9 − 2 s, t , 2 + t )

T

T

i) ( 27, −14, 25 ) . 25. a) ( 5 − t , t , −1) ; T

c) ( 2, −4, 6 ) ,

g) ( 3, 2, −2 ) ;

T

b) nemá

e) nemá

řešení;

 21 47 5 25  c)  − , , , −  ; 3   8 24 8

řešení. 26. a) ( −t , t , 0 ) ;

b) ( 0, 0, 0, 0 ) ;

T

T

c) ( t , t , 5t , −3t ) ; d) ( 0, t − s, s, 4 s − 2t , t ) e) ( −9t − 14 s − 2r , r , t , s, −2t − 2 s ) . T

5 9  4 − ; 9  7 −  9

 2 1   3 −1   12 7   2 1  c) X = . 23. a) X =  ,Y=  ;  0 2  −6 −1  −1 0     2 5

b) X = ( 3 −2 −3) ;

T

1 9  2 c) X =  9   4 9

 70   3  2  12 −41   31  1   e) X = −  −18 24 −6  . 22. a) X = − ;  3 9     0 −69 −12   − 2   3

 23 −9    d) X =  5 −2  ;  −16 7   

e) ( 2, −2,3) ,

1  −8  e) X = 49 241  ;  −  2 4 

 0 2 d) X =  ;  2 −7 

T

T

- 19 -


2.

2. Analytická geometrie

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU .................................................. 21

2.1.

Vektory .......................................................................................................................... 21 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 21

2.2.

Přímka a rovina v prostoru ......................................................................................... 22 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 22

2.3.

Vzájemná poloha přímek a rovin ............................................................................... 25 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 25

2.4.

Vzdálenosti a odchylky ................................................................................................ 28 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 28

2.5.

Kolmost ......................................................................................................................... 30 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 30 Výsledky úloh k samostatnému řešení .............................................................................. 31

- 20 -



2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

2.1. Vektory Úlohy k samostatnému řešení

1. Vypočítejte souřadnice vektoru x , pro který platí: a) x + 2a − 4b = o , a = ( 8, 7, 11) , b = ( 9, 3, − 5 ) , b) 4 x − 8a − 2b = o , a = ( −5, − 13, 8, 4 ) , b = ( 6, 8, − 14, 6 ) . Výsledky úloh k samostatnému řešení 2. Je dán vektor u a bod A . Najděte souřadnice bodu B , je-li A počáteční a B koncový bod vektoru u . Vypočítejte velikost vektoru u . b) u = ( 3, 0, −4 ) , A [ 2,5, −1] , a) u = ( 2,1, −2 ) , A [ 3,1, 0] , c) u = ( 6, −8, −5 ) , A [ −9,5, 4] ,

d) u = ( 6,5, − 4 ) , A [ −1, 4, − 2] .

Výsledky úloh k samostatnému řešení 3. Vypočítejte směrové úhly vektoru a : a) a = ( 3, −2, 2 ) , b) a = ( −1,3,5) ,

c) a = (12, 0,5) .

Výsledky úloh k samostatnému řešení 4. Vypočítejte odchylku vektorů: a) a = ( 2, −4,1) , b = ( 3,1, − 2 ) , c) a = ( 2, −4,8 ) , b = ( 3, −6,12 ) ,

b) u = ( 3,1, −4 ) , v = ( 6, 0,8 ) , d) u = ( 0, −3, 4 ) , v = ( 5, −5,5) .

Výsledky úloh k samostatnému řešení 5. Najděte vektor c , který je kolmý k vektorům a , b : a) a = ( 2,1, −6 ) , b = ( −7, 3,11) ,

b) a = ( −2, 5,1) , b = ( −4,3, 2 ) ,

c) a = ( 7, 6, −2 ) , b = ( 6, −6, 0 ) ,

d) a = ( 0,1, 2 ) , b = ( −5, 0, 4 ) .


6. Najděte souřadnice vektoru x , pro který platí: a) x ⋅ a = 4, x ⋅ b = 2, x ⊥ c , a = (1, 2, −1) , b = ( 3, −2,3) , c = ( −6,1, 4 ) , b) x ⋅ a = −15, x ⋅ b = 7, x ⊥ c , a = ( 0, −4, 7 ) , b = ( 2,3, 5 ) , c = ( 5, −2,11) , c) x ⋅ a = 23, x ⋅ b = 6, x ⊥ c , a = ( −2, 5,5 ) , b = ( 8, −5, −6 ) , c = ( 7, 5, −6 ) . Výsledky úloh k samostatnému řešení

7. Vypočítejte obsah trojúhelníka ABC . b) A [1,1,1] , B [3, 4,3] , C [ −3,5, 7] , a) A [ 2,3,1] , B [ 4,1, 2] , C [8,9, −7] , c) A [ −2, 4,5] , B [ 2,5, 2] , C [ 6,8, −1] ,

d) A [ −7,5, −3] , B [ −7,1, 0] , C [ −6,5, −6] . - 21 -



Výsledky úloh k samostatnému řešení 8. Pomocí smíšeného součinu rozhodněte, zda jsou vektory kompalnární: a) a = ( 2,3,1) , b = ( −4, 6,8 ) , c = ( 2,15,11) , b) a = ( −6,8, 0 ) , b = (1, 2, −3) , c = ( 9,8, 7 ) , c) a = ( −4, 3, 0 ) , b = ( −1, 2, 2 ) , c = ( 6, 7,9 ) . Výsledky úloh k samostatnému řešení 9. Vypočítejte objem tělesa: a) čtyřboký jehlan ABCDV , kde A [1,0,1] , B [ 0, 2, 6] , D [ 5,9, 0] , V [12,15,19] ,

b) rovnoběžnostěn ABCDEFGH , kde A [1,3,5] , B [ 2, 4, 6] , D [ −2,5, −3] , E [11,10,9] .

Výsledky úloh k samostatnému řešení 10. Vypočítejte vnitřní úhly trojúhelníka ABC . a) A [ 2,3,1] , B [ 4,1, 2] , C [8,9, −7] , b) A [1,1,1] , B [3, 4,3] , C [ −3,5, 7] , c) A [ −2, 4,5] , B [ 2,5, 2] , C [ 6,8, −1] ,

d) A [ −7,5, −3] , B [ −7,1, 0] , C [ −6,5, −6] .

Výsledky úloh k samostatnému řešení 11. Určete konstanty m, n tak, aby vektory byly: a) kolineární, a = ( m, 4, 6 ) , b = ( 3, 2, n ) , b) ortogonální (kolmé), a = ( m, 2,1) , b = ( 3, 6, 3m ) , c) komplanární, a = (1, 2, m ) , b = ( 0, m,1) , c = (1,3, 2 ) . Výsledky úloh k samostatnému řešení

2.2. Přímka a rovina v prostoru Úlohy k samostatnému řešení

12. Napište rovnice přímky, která je dána bodem a směrovým vektorem: a) A [ −2,3,5] , s = ( 6, −3,1) , b) A [ 0, 2, −4] , s = ( 8, −1,0 ) , c) A [5,5, 2] , s = ( 4, −8,3) ,

d) A [ 6, −5, −4] , s = ( −1,0,3) .


13. Napište rovnice přímky, která prochází dvěma body: a) A [ 2,1, −4] , B [3,9, 6] , b) A [ −4,5, 7 ] , B [5, 7, −4] , c) A [ 6, 2,3] , B [ 6, 2, 0] ,

d) A [5, −7,9] , B [11, −12, −1] .


14. Napište rovnice přímky, která prochází bodem a je rovnoběžná s danou přímkou: a) A [ 2, 4, 6] , p : x = 1 − 3t , y = 2 + 4t , z = 2 − 5t , t ∈ R , - 22 -



b) A [3, 2,1] , p : x = 5 + 2t , y = 4 − 3t , z = 2 + t , t ∈ R ,

c) A [ 0, −2, 7 ] , p : x = 5, y = t , z = 3 + 3t , t ∈ R ,

d) A [ −3, 4, 7] , p : x = 7 − 6t , y = −2 + 5t , z = 4t , t ∈ R .

Výsledky úloh k samostatnému řešení 15. Přímka je dána jako průsečnice dvou rovin, napište její parametrické rovnice a kanonickou rovnici:  x + 2 y − 3z + 6 = 0  y − 4z + 8 = 0 a) p :  b) p :  2 x − 2 y + 4 z − 9 = 0, 2 x + 4 z − 1 = 0,  5x + y + z + 6 = 0  x + 5 y − 3z − 4 = 0 c) p :  d) p :   x − 3 y + z − 2 = 0,  x − 4 y + 4 z + 10 = 0. Výsledky úloh k samostatnému řešení 16. Bodem A veďte přímku kolmo k rovině ρ . a) A [3, −2,5] , ρ : 6 x + 2 y − 5 z + 12 = 0 ,

b) A [ 4, 0, 7] , ρ : − x + 6 y − 4 z + 4 = 0 ,

c) A [5, −8, 7] , ρ : 2 x − 4 z + 11 = 0 ,

d) A [ 4,8,12] , ρ : 5 x + 9 y + 2 = 0 .

Výsledky úloh k samostatnému řešení 17. Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici roviny, která prochází třemi body: a) A [1, 2,1] , B [ 2, 0, 2] , C [ −1, 2, 2] , b) A [1,1,1] , B [3, 4,3] , C [ −3,5, 7] , c) A [ −2, 4,5] , B [ 2,5, 2] , C [ 6,8, −1] ,

d) A [ −7,5, −3] , B [ −7,1, 0] , C [ −6,5, −6] .

Výsledky úloh k samostatnému řešení 18. Napište obecnou rovnici roviny, která je dána bodem normálovým vektorem: a) A [ 2, 6,1] , n = ( −2,1, 4 ) , b) A [ 0, 2, −4] , n = ( 8, −1, 0 ) , c) A [5,5, 2] , n = ( 4, −8,3) ,

d) A [ 6, −5, −4] , n = ( −1, 0,3) .

Výsledky úloh k samostatnému řešení 19. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem A a vektory u , v jsou s touto rovinou komplanární: a) A [ 0, −3,5] , u = ( 3, 2, 6 ) , v = (1, 2, −3) , b) A [1, −4,8] , u = (1, 0,1) , v = ( 0, 2,5 ) ,

c) A [ 7, 0, −6] , u = ( 2,5, −3) , v = ( 4,10,8 ) , d) A [1,0,1] , u = (11, 7,3) , v = (1,1, 0 ) .


- 23 -



20. Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici roviny, která je dána rovnoběžkami p, q : p: x = 2+ t q : x = 3− r a) y = 1 − 3t y = 2 + 3r

z=

2t , t ∈ R

z = 1 − 2r , r ∈ R ,

p:

x = 4 − 2t y = 2 − 4t z = 3 + 5t , t ∈ R

q:

x = 2 − 4r y = 2 − 8r z = 8 + 10r , r ∈ R,

p:

x = 7 + 2t y = 11 + t z = 9 − 4t , t ∈ R

q:

x = 3 − 2r y =8−r z = 5 + 4r , r ∈ R.

b)

c)


21. Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici roviny, která je dána různoběžkami p, q : p: x = 2− t q : x = 2 + 4r y = 4+ t y = 4 − 3r a) z = 7 − 3t , t ∈ R z = 7 + 5r , r ∈ R,

p:

x= 5 y = −2 + t z = 8 + t, t ∈ R

p:

x= t y = 1+ t z = 9 − t, t ∈ R

b)

c)

q:

q:

x = 5 + 3r y = −2 − 2 r z = 8 + 5r , r ∈ R , x = − 6r y = 1 − 4r z = 9 + 7r , r ∈ R.


22. Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici roviny, která prochází bodem A a je rovnoběžná s přímkami p, q : a) A [ 6, 7,8] , p : x = −1 + 2t , y = 10 + 6t , z = −3 + 3t , q : x = 7 + 3r , y = 3 + 9r , z = 1 − 4r , b) A [ 4,1, −3] , p : x = 5 + t , y = 1, z = 3 − t , q : x = 2, y = 3 − 4r , z = 10 + 2r ,

c) A [ 0, −5, 6] , p : x = t , y = 12 − 3t , z = −4 + 8t , q : x = − r , y = 3, z = −5r . Výsledky úloh k samostatnému řešení

23. Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici roviny, která prochází přímkou a a je rovnoběžná s přímkou b : a) a : x = 7 + t , y = 1 − 4t , z = 2 − t , b : x = 2 − 6r , y = 2 + r , z = 2 − 3r , b) a : x = 9 − 3t , y = 8 + t , z = 6 + 2t , b : x = r , y = 2 − 5r , z = 8 , c) a : x = −5t , y = 6 + 2t , z = 8 − t , b : x = 11 + r , y = −4r , z = 12 . Výsledky úloh k samostatnému řešení - 24 -



24. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem A a je kolmá k přímce k : a) A [5,5,5] , k : x = 2 + 3t , y = 3 − 2t , z = 6 + t , b) A [ 4,1, −3] , k : x = 5 + t , y = 1, z = 3 − t ,

c) A [ 0, −5, 6] , k : x = t , y = 12 − 3t , z = −4 + 8t .

Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem A a přímkou p :  2 x − y + 3z + 6 = 0 a) A [1,1,1] , p :  4 x + 5 y − 3 z + 2 = 0,  y − 4z + 8 = 0 b) A [ 0, 2,3] , p :  2 x + 4 z − 1 = 0,  5x + y + z + 6 = 0 c) A [1, 2, −1] , p :   x − 3 y + z − 2 = 0. Výsledky úloh k samostatnému řešení 26. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází přímkou q a je rovnoběžná s přímkou p :  2 x − 3z + 4 = 0 a) p :  , q : x = 1 − 6t , y = 2 + 5t , z = 1 + 4t , +7 =0  x+ y  y − 4z + 8 = 0 b) p :  , q : x = 3 + t , y = −4t , z = 0 , 2 x + 4 z − 1 = 0  5x + y + z + 6 = 0 c) p :  , q : x = 5 − t , y = 1 − 2t , z = t .  x − 3y + z − 2 = 0 Výsledky úloh k samostatnému řešení

2.3. Vzájemná poloha přímek a rovin Úlohy k samostatnému řešení

27. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou přímek, určete souřadnice průsečíku, jestliže existuje: p : x = 3 − 2t q : x = −1 + 2r a) y = 4 + 3t y = 10 − 3r z = 5 − t , t ∈ R, z = 3 + r , r ∈ R,

p: b)

x = 4 − 2t y = 5 + 4t z = 7 − 3t , t ∈ R,

q:

x = 3 − 2r y = 3 + 4r z = 5 − 3r , r ∈ R,

- 25 -



p:

x = −2 + 4t y = 2+ t z= 3 , t ∈ R,

q:

x = −3 + 9r y = 1 + 3r z = 7 − 4r , r ∈ R ,

p:

x = −2 + 4t y = 2+ t z= 3 , t ∈ R,

q:

x = 1 − 2r y= r z = 3 − 4r , r ∈ R ,

p:

x = 2 − 2t y = 3+ t z = 4 − 3t , t ∈ R,

p:

x= t y = 2−t z = 3 + t , t ∈ R,

p:

x = 4 + 5t y = 6 − 3t z = 7 + 2t , t ∈ R,

c)

d)

e)

f)

g)

 x+ y− z +7 =0 q: 2 x − y + 3z − 69 = 0,

 x + 2 y − 3z + 7 = 0 q: 3x + y + z − 9 = 0,

2 x + 2 y − 2 z + 7 = 0 q:  x + 3 y + 2 z − 20 = 0.

Výsledky úloh k samostatnému řešení 28. Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin, určete parametrické rovnice průsečnice, jestliže existuje: α : 6 x + 4 y + 12 z − 18 = 0, α : 6 x + 4 y + 12 z − 18 = 0, b) a) β : 3x + 2 y + 6 z − 9 = 0, β : 3x + 2 y + 6 z + 9 = 0, c)

α : 6 x + 4 y + 12 z − 18 = 0, β : 2 x + 5 y + 5 z + 3 = 0,

α:

x = 1 + 2u − 4v y = − 1 − u + 4v z = 2 + 3u − v, u, v ∈ R,

β : x + y + z + 1 = 0,

α:

x = 1 + 2u − 4v y = − 1 − u + 4v z = 2 + 3u − v, u, v ∈ R,

β :11x + 10 y − 4 z + 7 = 0,

α:

x = 4+ u − v y = 5 − u + 4v z = 6 + 2u + 4v, u, v ∈ R,

d)

e)

f)

β:

- 26 -

x = 3+ t − r y = 6 − 2t + 5r z = 1 + 6t , t , r ∈ R,


α: g)


β:

x = 4+ u− v y = 5 − u + 3v z = 6 + 2u + 4v, u, v ∈ R,

x=5 − r y = 7 + t + 5r z = 3 + 3t + 10r , t , r ∈ R.

Výsledky úloh k samostatnému řešení 29. Rozhodněte o vzájemné poloze přímky a roviny, určete souřadnice průsečíku, jestliže existuje: a : x = 6 + 2t ρ : 2 x + 3 y + 5 z + 2 = 0, a) y = 5 − 3t

z = 4 + t , t ∈ R, a:

x = 6 + 2t y = 5 − 3t z = 4 + t , t ∈ R,

ρ : x − 3 y − 11z + 53 = 0,

a:

x = 6 + 2t y = 5 − 3t z = 4 + t , t ∈ R,

ρ : 3x + y − 4 z − 3 = 0,

a:

x = −2 + t y = 4 − 2t z = 8 − 3t , t ∈ R,

ρ:

x = 4 + 2u − v y = 4 + 4u − 6v z = 4 + u − 4v, u, v ∈ R,

a:

x = −2 + t y = 4 − 2t z = 8 − 3t , t ∈ R,

ρ:

x = 2 + 3u − 2v y = 10 + u − 3v z = 8 − 3u , u, v ∈ R,

a:

x = −2 + t y = 4 − 2t z = 8 − 3t , t ∈ R,

ρ:

x = −5 − u + 2v y = −7 + 4u + v z = −5 − 5u + 4v, u , v ∈ R.

b)

c)

d)

e)

f)

Výsledky úloh k samostatnému řešení 30. Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin: a) α : 3 x + 2 y + 6 z − 9 = 0 , b) α : x − y + 3 z − 2 = 0 , β : − 3x − 2 y − 6 z + 13 = 0 , β : 2x − 2 y + 6z − 9 = 0 , γ : 6 x + 4 y + 12 z + 3 = 0 , γ : 5 x − 4 y + 3z − 7 = 0 , c) α : 2 x − 2 y + 6 z − 8 = 0 , β : − 3x − 6 y + z + 1 = 0 , γ : x + 8 y − 7 z + 13 = 0 ,

d) α : x − 4 y + 5 z − 3 = 0 , β : 3x − 3 y + z − 11 = 0 , γ : 5 x − 11y + 11z − 15 = 0 ,

- 27 -



e) α : 2 x + y − 4 z − 1 = 0 , β : x + y − 2z −1 = 0 , γ : 4 x + 4 y − 5z − 7 = 0 ,

f) α : x − y + z − 4 = 0 , β : − 2x − 2 y + 6z = 0 , γ : x + 2 z − 11 = 0 .


31. Najděte obecnou rovnici roviny, která prochází bodem M a patří danému svazku: x + 2y − z + 4 = 0 −x + y − z + 3 = 0 a) M [1, 2, 0] b) M [ −1, 4, 7 ] 2 x − y + z − 5 = 0, 2 x − 2 y + z = 0. Výsledky úloh k samostatnému řešení

32. Najděte obecnou rovnici roviny, která je rovnoběžná s přímkou p a patří danému svazku: x + 1 y −1 z + 5 x + 2 y − z + 4 = 0 a) p : = = 2 x − y + z − 5 = 0, 1 2 1 b) p :

x − 4 y −3 z + 6 = = 0 3 4

x + 2y − z + 4 = 0 2 x − y + z − 5 = 0.


2.4. Vzdálenosti a odchylky Úlohy k samostatnému řešení

33. Vypočtěte vzdálenost dvou bodů: a) A [ 2,1, −4] , B [3,9, 6] ,

b) A [ −4,5, 7 ] , B [5, 7, −4] ,

c) A [ 6, 2,3] , B [ 6, 2, 0] ,

d) A [5, −7,9] , B [11, −12, −1] .


34. Vypočtěte vzdálenost bodu od roviny: a) A [ 2,1, 4] , ρ : 3x − 2 y + 8 z + 12 = 0 ,

b) A [ 4, 0, 4] , ρ : 3x + 4 y − 12 z + 12 = 0 , c) A [ −12,5,3] , ρ : 6 x + 8 z − 18 = 0 .


35. Vypočtěte vzdálenost rovnoběžných rovin: a) α :2 x + 5 y − 4 z + 7 = 0, β : 4 x + 10 y − 8 z + 28 = 0 , b) α :5 x − 4 y + 7 z − 14 = 0, β : 5 x − 4 y + 7 z + 21 = 0 , c) α : − 3 x + 5 y − z + 13 = 0, β : 3 x − 5 y + z + 19 = 0 . Výsledky úloh k samostatnému řešení

36. Vypočtěte vzdálenost bodu od přímky: x −1 y z −1 = = , a) A [ 2, 4, 6] , p : 2 1 −2 - 28 -



b) A [5,5,5] , p : x = 3 + 4t , y = −2 − t , z = 3, t ∈ R , c) A [1, 0,3] , p :

x+7 y+3 z−2 = = . 6 4 −1


37. Vypočtěte vzdálenost rovnoběžných přímek: x −1 y z −1 x −3 y − 4 z −5 = = ,q: = = , a) p : 2 1 −2 2 1 −2 b) p : x = 5, y = −7 + 3t , z = 9 − 4t , t ∈ R , q : x = −1, y = −8 + 6r , z = 3 − 8r , r ∈ R , x + 9 y + 6 z −1 x − 3 y z +1 c) p : = = ,q: = = . 5 1 4 5 1 4 Výsledky úloh k samostatnému řešení

38. Vypočtěte vzdálenost mimoběžných přímek: x y −1 z +1 x −1 y z + 2 a) p : = = ,q: = = , 2 2 3 3 5 −4 x +1 y + 8 z − 3 = = , b) p : x = 5, y = −7 + 3t , z = 9 − 4t , t ∈ R, q : 3 6 9 x − 7 y + 3 z + 12 c) p : x = −4 + t , y = 3, z = t , t ∈ R, q : = = . 2 10 3 Výsledky úloh k samostatnému řešení

39. Vypočtěte odchylku dvou přímek: p : x = 3 + 2t q : x = 2 + 4r a) y = 4 − 3t y = 1 + 9r z = 5 + 7t , t ∈ R, z = 3 − 11r , r ∈ R,

p:

x = 1 + 3t y = 1 − 4t z = 2 + t , t ∈ R,

q:

x = 5 + 4r y = 4 − 9r z = 3 − 2r , r ∈ R ,

p:

x = 7 + 6t y = − 3t z = 3 + 9t , t ∈ R,

q:

x = 3+ r y = −2 − r z = −4 − r , r ∈ R.

b)

c)


40. Vypočtěte odchylku dvou rovin: α : 5 x − 4 y + 6 z − 1 = 0, a) β : − 3x + 8 y + 9 z + 6 = 0, c)

b)

α : 6 x + 4 y + 2 z − 4 = 0, , β : 3x − 2 y − 5 z + 9 = 0,

α : − x + 5 y + 2 z + 3 = 0, β : x + 2 y + 3z + 1 = 0.

Výsledky úloh k samostatnému řešení - 29 -



41. Vypočtěte odchylku přímky a roviny: x −1 y +1 z −1 a) p : = = , ρ : − 3x + 8 y + 9 z − 5 = 0 , 2 −3 7 x −1 y + 3 z + 8 = = , ρ :− 4x + 2 y − z + 8 = 0 , b) p : 4 −2 1 c) p : x = 1 + 5t , y = −t , z = −7, t ∈ R , ρ : − x − 5 y + 6 z − 13 = 0 . Výsledky úloh k samostatnému řešení

2.5. Kolmost Úlohy k samostatnému řešení

42. Najděte pravoúhlý průmět bodu K do roviny ρ : a) K [5,3, 6] , ρ : 2 x + 4 y − z + 5 = 0 ,

b) K [1, −10, −2] , ρ : 3x + 2 y − 3z − 11 = 0 ,

c) K [5, −5,5] , ρ : 5 x − 4 y + 4 z + 49 = 0 . Výsledky úloh k samostatnému řešení

43. Najděte pravoúhlý průmět bodu x−5 y −4 a) K [1, 2,3] , p : = = 1 −1 x−3 y −2 b) K [ 0,1, 0] , p : = = 2 −1 x −1 y − 2 c) K [9,8, 7 ] , p : = = 4 −3

K na přímku p : z −5 , 2 z +1 , −1 z +5 . 1


44. Najděte pravoúhlý průmět přímky m do roviny σ : x −1 y − 2 z + 8 a) m : = = , σ : 2x + y − 4z + 6 = 0 , 4 −2 5 x − 19 y − 21 z + 19 b) m : = = , σ : 3 x + 4 y − 4 z − 12 = 0 , 19 19 −18 x − 12 y + 7 z + 1 c) m : = = , σ : 5x − 4 y + z − 3 = 0 . 11 −8 −3 Výsledky úloh k samostatnému řešení

- 30 -




1. a) x = ( 20, − 2, − 42 ) ;

2. a) B [5, 2, −2] , u = 3 ;

b) x = ( −7, − 22, 9, 7 ) .

b) B [5,5, −5] , u = 5 ;

c) B [ −3, −3, −1] , u = 5 5 ;

3. a) α = 43°19′, β = 119°1′, γ = 60°59′ ;

d) B [5,9, −6 ] , u = 77 .

b) α = 99°44′, β = 59°32′, γ = 32°19′ ;

c) α = 22°37′, β = 90°, γ = 67°23′ . 4. a) ϕ = 90° ; b) ϕ = 105°56′ ; c) ϕ = 0° ; d) ϕ = 36°4′ . 5. a) c = a × b = ( 29, 20,13) ; d) c = a × b = ( 4, −10,5 ) . 7. a) S = 290 j 2 ;

b) c = a × b = ( 7, 0,14 ) ;

6. a) x = (1, 2,1) ;

b) S = 15 j 2 ;

b) nejsou kompalnární ;

c) c = a × b = ( −12, −12, −78 ) ;

b) x = ( 3, 2, −1) ; d) S =

c) S = 10 j 2 ;

c) nejsou kompalnární .

10. a) α = 103°13′, β = 63°29′, γ = 13°18′ ;

c) x = ( 6, 0, 7 ) .

13 2 j . 8. a) jsou komplanární ; 2

9. a) V =

538 3 j ; 3

b) V = 45 j 3 .

b) α = 61°56′, β = 88°5′, γ = 29°59′ ;

c) α = 10°29′, β = 160°21′, γ = 9°10′ ;

d) α = 124°42′, β = 20°55′, γ = 34°23′ .

11. a) m = 6, n = 3 ;

b) m = −2 ;

12. a) a : x = −2 + 6t , y = 3 − 3t , z = 5 + t , t ∈ R, a :

x +2 y −3 z −5 = = ; 6 1 −3

b) a : x = 8t , y = 2 − t , z = −4, t ∈ R ; c) a : x = 5 + 4t , y = 5 − 8t , z = 2 + 3t , t ∈ R , a :

x −5 y −5 z −2 = = ; 4 −8 3

d) a : x = 6 − t , y = −5, z = −4 + 3t , t ∈ R .

13. a) a : x = 2 + t , y = 1 + 8t , z = −4 + 10t , t ∈ R , a : b) a : x = −4 + 9t , y = 5 + 2t , z = 7 − 11t , t ∈ R , a :

x − 2 y −1 z + 4 = = ; 1 8 10

x+ 4 y −5 z −7 = = ; 9 2 −11

c) a : x = 6, y = 2, z = 3 − 3t , t ∈ R ; d) a : x = 5 + 6t , y = −7 − 5t , z = 9 − 10t , t ∈ R , a :

x −5 y +7 z −9 = = . 6 −5 −10

14. a) a : x = 2 − 3r , y = 4 + 4r , z = 6 − 5r , r ∈ R , a : b) a : x = 3 + 2r , y = 2 − 3r , z = 1 + r , r ∈ R , a :

x−2 y−4 z−6 = = ; −3 4 −5

x − 3 y − 2 z −1 = = ; 2 −3 1

c) a : x = 0, y = −2 + r , z = 7 + 3r , r ∈ R ; - 31 -

c) m = 1 .



d) a : x = −3 − 6r , y = 4 + 5r , z = 7 + 4r , r ∈ R, a :

x+3 y−4 z −7 = = . −6 5 4

7 y+ x −1 7 2= z ; 15. a) p : x = 1 + 2r , y = − − 10r , z = −6r , r ∈ R, p : = 2 2 −10 −6 1 b) p : x = + 4r , y = −8 − 8r , z = −2r , r ∈ R, p : 2

1 2 = y +8 = z ; 4 −8 −2

x−

c) p : x = 4r , y = −2 − 4r , z = −4 − 16r , r ∈ R, p :

x y+2 z+4 = = ; 4 −4 −16

d) p : x = −2 + 8r , y = −7 r , z = −2 − 9r , r ∈ R, p :

x+2 y z+2 = = . 8 −7 −9

16. a) p : x = 3 + 6r , y = −2 + 2r , z = 5 − 5r , r ∈ R, p : b) p : x = 4 − r , y = 6r , z = 7 − 4r , r ∈ R, p :

x −3 y + 2 z −5 = = ; 6 2 −5

x−4 y z −7 = = ; −1 6 −4

c) p : x = 5 + 2r , y = −8, z = 7 − 4r , r ∈ R ;

d) p : x = 4 + 5r , y = 8 + 9r , z = 12, r ∈ R .

17. a) α : x = 1 + t − 2r , y = 2 − 2t , z = 1 + t + r , t , r ∈ R , α : 2 x + 3 y + 4 z − 12 = 0 ; b) α : x = 1 + 2t − 4r , y = 1 + 3t + 4r , z = 1 + 2t + 6r , t , r ∈ R , α : x − 2 y + 2 z − 1 = 0 ; c) α : x = −2 + 4t + 8r , y = 4 + t + 4r , z = 5 − 3t − 6r , t , r ∈ R , α : 3 x + 4 z − 14 = 0 ; d) α : x = −7 + r , y = 5 − 4t , z = −3 + 3t − 3r , t , r ∈ R , α :12 x + 3 y + 4 z + 81 = 0 .

18. a) α : −2 x + y + 4 z − 6 = 0 ; d) α : − x + 3 z + 18 = 0 .

b) α : 8 x − y + 2 = 0 ;

19. a) α : −18 x + 15 y + 4 z + 25 = 0 ;

c) α : 4 x − 8 y + 3 z + 14 = 0 ; b) α : 2 x + 5 y − 2 z + 34 = 0 ;

c) α : 5 x − 2 y − 35 = 0 ; d) α : −3 x + 3 y + 4 z − 1 = 0 .

20. a) α : x = 2 + u + v, y = 1 − 3u + v, z = 2u + v, u , v ∈ R , α : −5 x + y + 4 z + 9 = 0 ; b) α : x = 4 − 2u − 2v, y = 2 − 4u , z = 3 + 5u + 5v, u , v ∈ R , α : 5 x + 2 z − 26 = 0 ; c) α : x = 7 + 2u − 4v, y = 11 + u − 3v, z = 9 − 4u − 4v, u , v ∈ R , α : 8 x − 12 y + z + 67 = 0 .

21. a) α : x = 2 − u + 4v, y = 4 + u − 3v, z = 7 − 3u + 5v, u , v ∈ R , α : 4 x + 7 y + z − 43 = 0 ; b) α : x = 5 + 3v, y = −2 + u − 2v, z = 8 + u + 5v, u , v ∈ R , α : 7 x + 3 y − 3 z − 5 = 0 ; c) α : x = u − 6v, y = 1 + u − 4v, z = 9 − u + 7v, u , v ∈ R , α : 3 x − y + 2 z − 17 = 0 .

22. a) α : x = 6 + 2u + 3v, y = 7 + 6u + 9v, z = 8 + 3u − 4v, u , v ∈ R , α : −3 x + y + 11 = 0 ; b) α : x = 4 + u , y = 1 − 4v, z = −3 − u + 2v, u , v ∈ R , α : 2 x + y + 2 z − 3 = 0 ; c) α : x = u − v, y = −5 − 3u , z = 6 + 8u − 5v, u , v ∈ R , α : 5 x − y − z + 1 = 0 .

- 32 -



23. a) α : x = 7 + u − 6v, y = 1 − 4u + v, z = 2 − u − 3v, u , v ∈ R , α :13 x + 9 y − 23 z − 54 = 0 ; b) α : x = 9 − 3u + v, y = 8 + u − 5v, z = 6 + 2u , u , v ∈ R , α : 5 x + y + 7 z − 95 = 0 ; c) α : x = −5u + v, y = 6 + u − 4v, z = 8 − u , u , v ∈ R , α : 4 x + y − 18 z + 138 = 0 .

24. a) α : 3 x − 2 y + z − 10 = 0 ; b) α : x − y − 7 = 0 ; c) α : x − 3 y + 8 z − 63 = 0 . 25. a) α :12 x + 29 y − 27 z − 14 = 0 ;

b) α : 36 x + 11 y + 28 z − 106 = 0 ;

c) α :13 x − 7 y + 5 z + 6 = 0 . 26. a) α : 22 x + 24 y + 3 z − 73 = 0 ;

b) α : 4 x + y + 4 z − 12 = 0 ;

c) α : 3 x − y + z − 14 = 0 . 27. a) přímky jsou totožné; b) přímky jsou rovnoběžné; c) přímky jsou různoběžné, průsečík je R [ 6, 4,3] ;

d) přímky jsou mimoběžné;

různoběžné, průsečík je R [10, −1,16] ; rovnoběžné.

f) přímky jsou mimoběžné;

28. a) roviny jsou totožné;

různoběžné, průsečnice je

b) roviny jsou rovnoběžné;

r : x = 21 − 40t , y = −6t , z = −9 + 22t , t ∈ R ;

různoběžné, průsečnice je r : x = −11 − 14t , y = 11 + 15t , z = −1 − t , t ∈ R ; totožné;

e) přímky jsou g) přímky jsou c) roviny jsou d) roviny jsou e) roviny jsou

7 f) roviny jsou různoběžné, průsečnice je r : x = , y = 5 + 3s, z = 4 + 6 s, s ∈ R ; 2

g) roviny jsou rovnoběžné. 29. a) přímka je s rovinou rovnoběžná; b) přímka leží v rovině; c) přímka je s rovinou různoběžná, průsečík je R [14, −7,8] ; rovnoběžná;

e) přímka leží v rovině;

d) přímka je s rovinou

f) přímka je s rovinou různoběžná, průsečík je

R [ 0, 0, 2] . 30. a) roviny jsou rovnoběžné, nemají žádný společný bod; b) dvě roviny jsou rovnoběžné, třetí je s nimi různoběžná, nemají žádný společný bod;

c) roviny jsou

různoběžné, nemají žádný společný bod, tvoří „střechu“; d) roviny jsou různoběžné, mají společnou přímku x = 3 + 11t , y = 14t , z = 9t ; e) roviny jsou různoběžné, mají společný jeden bod

R [ 2,1,1] ;

f) roviny

jsou

různoběžné,

mají

R [ 5, 4,3] . 31. a) 23 x + y + 4 z − 25 = 0 ; 32. a) −7 x + 6 y − 5 z + 24 = 0 ; b) AB = 14, 4 j ;

c) AB = 3 j ;

společný

bod

b) − x + y − 2 z + 9 = 0 . b) 4 x − 4 y + 3 z − 6 = 0 .

d) AB = 12, 7 j .

c) Aρ = 6, 6 j . 35. a) αβ = 1, 04 j ;

jeden

33. a) AB = 12,8 j ;

34. a) Aρ = 5, 47 j ;

b) αβ = 3, 69 j ;

b) Aρ = 1,85 j ; c) αβ = 5, 41 j .

36. a) Ap = 6,34 j ; b) Ap = 7,55 j ; c) Ap = 2,88 j . 37. a) pq = 6 j ; b) pq = 7, 44 j ; c) pq = 10,19 j . 38. a) pq = 1, 42 j ; b) pq = 4,5 j ; c) pq = 15,8 j . 39. a) ϕ = 34°20′ ; b) ϕ = 26°9′ ;

c) ϕ = 90° . 40. a) ϕ = 86°19′ ; - 33 -

b) ϕ = 90° ;

c) ϕ = 42°57′ .


41. a) ϕ = 19°44′ ;


b) ϕ = 90° ;

c) ϕ = 0° .

c) K ′ [ −5,3, −3] . 43. a) K ′ [ 4,5,3] ;

42. a) K ′ [3, −1, 7] ; b) K ′ [1,3, 0] ;

44. a) m′ : x = −3 − 16 s, y = 4 s, z = −7 s, s ∈ R ; c) m′ : x = 1 + s, y = 1, z = 1 − 5s, s ∈ R .

- 34 -

b) K ′ [ 4, −8, −5] ; c) K ′ [ 5, −1, −4] .

b) m′ : x = 4 s, y = 2 − s, z = −1 + 2 s, s ∈ R ;


3.

3. Funkce jedné proměnné

FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ....................................................................... 36

3.1.

Definiční obor funkce ................................................................................................... 36 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 36

3.2.

Parita funkce................................................................................................................. 36 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 36

3.2.

Limita funkce ................................................................................................................ 37 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 37 Výsledky úloh k samostatnému řešení .............................................................................. 40

- 35 -



3. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 3.1. Definiční obor funkce Úlohy k samostatnému řešení

1. Určete definiční obor funkce: 5x − x2 a) f ( x ) = 3 ln , 4 c) y = ln x , e) f ( x ) = arcsin

x −1 , x

x2 + x − 2 , x+3 π  i) y = cotg  2 x −  + 4 − x 2 , 3  1 k) y = x 2 − 4 x + 3 − , 3 4 − x2 sin 2 x m) y = , 1 − cos 3 x x+2 o) y = arctg , x+3

g) f ( x ) =

b) f ( x )

( x + 3) = arccos

2

9 π  d) f ( x ) = tg  x −  , 4   x+2 f) y = ln  ln ,  x −1 

,

x−6 x +1 + arcsin , x 6 x+3 y = arccos + x+2, 2 2x − π y = tg , 6

h) y = log 3 j) l)

n) y = 1 − 2 sin 2 x ,

π  p) y = ln sin  x +  . 4 


3.2. Parita funkce Úlohy k samostatnému řešení

2. Rozhodněte, zda je funkce sudá nebo lichá: sin x − x cos x a) f ( x ) = , b) x2 2x − 1 c) f ( x ) = x , d) 2 +1 x −1 e) f ( x ) = sin , f) x x 2 + cos x − 2 g) f ( x ) = , h) x4 + 3 i) y = cos 2 x + 4 − x 2 ,

j)

f ( x ) = cos ( x3 − x ) + 2 x − 1 , f ( x ) = tg ( 4 − 2 x 2 ) − x sin x ,

f ( x ) = x 2 − 4 x + 5sin 3x , y = ln

x−6 , x+6

y = arccos x + x + 2 .


- 36 -



3.2. Limita funkce Úlohy k samostatnému řešení

3. Vypočítejte limitu: x3 − 2 x 2 − 23 x + 4 , a) lim 3 x →−4 x + 10 x 2 + 30 x + 24 x4 − x2 x −9 c) lim 3 , d) lim 3 , x →0 x − x x →9 x − 9 x 2 + x − 9

x3 + 2 x 2 − 11x + 6 , x→2 x3 − 3x − 2 x 2 − 25 e) lim 3 . x →5 x − 5 x 2 + 5 x − 25 b) lim


4. Vypočítejte limitu: 4+ x −2 a) lim , x →0 x x−6 d) lim , x →6 x +3 −3

x2 − 9 − 4 b) lim , x →5 x 2 − 25 4+ x −3 e) lim , x →5 x + 20 − 5

x −2 , x − 3x − 4 x f) lim 3 . x →0 x +1 − 3 1− x c) lim x→4

2


5. Vypočítejte limitu: x−3 a) lim , 2 x →1 ( x − 1) d) lim

x →−3

g) lim x →1

x2

( x + 3)

2

,

x , x − 3x + 2 2

b) lim

x+4 , x2 − 1

c) lim

e) lim

x2 + 4 x − 3 , x−2

f) lim

h) lim

x . x − 3x + 2

x →1

x→2

x→2

x+4 , x →−1 x 2 − 1 x →0

x2 + 1 , x

2


6. Vypočítejte limitu: sin 4 x a) lim , x →0 2x tg 2 x , x → 0 sin x

d) lim

sin 2 x − tg 3 x g) lim , x →0 4x x x 2 − sin 2 2. j) lim 2 x →0 tg 2 x

tg 3 x , x →0 x x sin 2, e) lim x →0 x sin 3

b) lim

x 2 , h) lim 2 x → 0 sin 2 x + sin 2 3 x sin 2 x − tg 2


- 37 -

sin 2 2 x , x →0 x2

c) lim

sin x + tg x , x →0 x

f) lim

3 x 3 − sin 3 2 x , x →0 2 x3

i) lim



7. Vypočítejte limitu: a) lim

sin 4 x , x+2 − 2

d) lim

x2 + 4 − 2 . tg 2 4 x

x →0

x →0

3  tg 2  x  4  , b) lim 2 x →0 x +9 −3

c) lim x →0

2 x + 1 − 3x + 1 , tg 4 x


8. Vypočítejte limitu: sin ( x − 1) tg ( x − 4 ) a) lim , , b) lim 2 2 x →1 x→4 x − 3 x − 4 x −1 − x3 + 5 x 2 − x + 5 d) lim . x →5 tg ( x − 5 )

sin 2 ( x − 2 ) , x→2 x 2 − 4 x + 4

c) lim


9. Vypočítejte limitu:  x +1  a) lim   , x →∞  x 

 x +3 b) lim   , x →∞  x 

 2x − 3  d) lim   , x →∞ 2 x + 1  

 x +1  e) lim   x →∞ x + 4  

 2x + 1  g) lim   , x →∞  x 

 x+4 h) lim   , x →∞  3x 

x

x

x

1 x

 x j) lim 1 −  , x →0  3

 x −1  c) lim   , x →∞  x 

x

x

3 x +1

 3x  f) lim   x →∞ 3 x − 1  

, x

k) lim (1 − 2 tg 2 x )

1

i) lim (1 + 2 x ) x , x →0

cotg 2 x

x →0

.


10. Vypočítejte limitu: 4 x3 − 5x2 + 4 x − 3 a) lim 3 , x →±∞ 7 x + 9 x 2 + 5 x − 4 6 x3 − 5 x + 3 c) lim . x →±∞ 2 x 2 − x + 9

4x2 − 5x + 9 , x →±∞ x 4 − 5 x 3 − 4 x + 3

b) lim


11. Vypočítejte limitu:

4 x3 − 2 x 2 − 3x + 1 , x →∞ x2 + 2x + 4 9x4 − 2x + 3 c) lim , x →∞ 5x + 6 3

a) lim

2 x 4 + 4 x3 − 3x , x →∞ 3x 2 + 2 x x4 − x3 − 4 x d) lim . x →∞ 3 27 x 6 + x 4 b) lim


- 38 -

2 x+4

,



12. Vypočítejte limitu:

( d) lim ( a) lim

x →∞

x →∞

) x + x −1 − x) , x 2 + 3x − 3x , 2

( lim (

)

b) lim

x2 + 1 − x ,

e)

4 x2 − 2 x + 4 − 2 x .

x →∞

x →∞


- 39 -

c) lim

)

x →∞

(

)

x+4− x ,




1. a) D f = ( 0,5 ) ; e) D f =

1  ,∞ ; 2 

i) D f = −2, −

b) D f = −6, 0 ; f) D f = (1, ∞ ) ;

π   π π  π

,2 ; ∪− , ∪ 3   3 6   6

k) D f = ( −∞, −2 ) ∪ ( −2,1 ∪ 3, ∞ ) ; n) D f =

5 13 π , π + kπ ; 12 12

3  d) D f = R −  π + kπ  ; 4 

c) D f = 1, ∞ ) ;

(

g) D f = −3, −2 ∪ 1, ∞ ) ;

h) D f = −7, 0 ) ;

j) D f = −2, −1 ;

2  m) D f = R −  kπ  ; 3 

l) D f = R − {2π + 3kπ } ;

 π 3  p) D f =  − , π  + 2kπ .  4 4 

o) D f = ( −∞, −3) ∪ ( −3, +∞ ) ;

2. a) lichá; b) ani sudá ani lichá; c) lichá; d) sudá; e) ani sudá ani lichá; f) ani sudá ani lichá; g) sudá; h) lichá; i) lichá; j) ani sudá ani lichá. 3. a) − e)

41 1 ; b) 1 ; c) 0 ; d) ; 2 82

1 1 1 1 5 3 . 4. a) ; b) ; c) ; d) 6 ; e) ; f) . 5. a) −∞ ; b) ±∞ ; c) ∓ ∞ ; d) +∞ ; 3 4 8 20 3 2

e) ±∞ ; f) ±∞ ; g) ∓ ∞ ; h) ±∞ . 6. a) 2 ; b) 3 ; c) 4 ; d) 2 ; e)

3 1 3 ; f) 2 ; g) − ; h) ; 2 4 52

5 3 27 1 1 1 1 i) − ; j) . 7. a) 8 2 ; b) ; c) − ; d) . 8. a) ; b) ; c) 1; d) 26 . 9. a) e ; 2 16 8 8 64 2 5 2

−

1

b) e3 ; c) e−1 ; d) e−2 ; e) e−9 ; f) e 3 ; g) ∞ ; h) 0 ; i) e2 ; j) e 3 ; k) e−2 . 10. a) c) ±∞ . 11. a) 0 ; b)

2 1 1 1 ; c) ∞ ; d) . 12. a) ∞ ; b) 0 ; c) 0 ; d) ; e) − . 3 3 2 2

- 40 -

4 ; b) 0 ; 7


4.

4. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ............................. 42

4.1.

Derivace ......................................................................................................................... 42 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 42

4.2.

Tečna a normála ........................................................................................................... 45 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 45

4.3.

Taylorův a Maclaurinův polynom .............................................................................. 45 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 45

4.4.

L´Hospitalovo pravidlo ................................................................................................ 46 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 46

4.5.

Průběh funkce............................................................................................................... 47 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 47 Výsledky úloh k samostatnému řešení .............................................................................. 49

- 41 -



4. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 4.1. Derivace Úlohy k samostatnému řešení

1. Derivujte: a) y = x −

1 +4, x

c) y = 4 x 3 − 5 x 2 +

b) y = x −

1 , x

1 . 3 x


2. Derivujte:  1  b) y =  + 3x   x 

a) y = ( x 2 − 4 )( 2 x + x 2 ) ,

(

)

x − 6 x4 ,

 4  3 c) y = 1 −  ( x − 2x ) . 4 2 x   Výsledky úloh k samostatnému řešení

3. Derivujte: 1− x a) y = , 1+ x

b) y =

x +1 , x

c) y =

x −1 . x +1


4. Derivujte: a) y = sin x cos x ,

b) y = e x ln x ,

c) y = x cos x ,

d) y = 4 x arcsin x .


5. Derivujte: arctg x a) y = , ln x

b) y =

arctg x , tg x

c) y =

arccotg x . arccos x


6. Derivujte: ln x sin x a) y = , cotg x

b) y =

arccos x , x tg x


- 42 -

c) y = ( ln x + log x )

arccotg x . ex



7. Derivujte:

b) y = ( 6 + 5 x 4 ) , 7

a) y = x 2 − 3 x + 6 , c) y = x + 1 − 3 x 2 + 4 −

1 4

x + 3x 2 − 6 3

.


8. Derivujte: a) y = sin (2 x + 1) ,  x + 2 d) y = cotg . 2−x

(

)

b) y = cos 5 − 2 x + x 2 ,

c) y = tg

(

)

x −2 ,


9. Derivujte: a) y = sin 2 x , 1 d) y = . 3 cotg x

b) y = cos 3 x ,

c) y = tg x ,


10. Derivujte: a) y = sin (cos 3x ) ,

b) y = cos x 2 ,

c) y =

1 , tg (4 x − 6 ) 2

d) y = cotg x 2 + 3 x − 2 . Výsledky úloh k samostatnému řešení

11. Derivujte: a) y =

d) y =

2 x − sin x , x2 + 1

b) y =

1 − x3 , 3 sin 2 x

3

c) y =

sin 3 x , tg x

cotg x . x 1 + sin 2


12. Derivujte: a) y = log 4 ( x + 2) , d) y = ln sin x , 1− ex , 1+ ex j) y = ln arcsin x , g) y = ln

b) y = ln 2 x , e) y = ln ln x ,

c) y = ln x 2 , f) y = log 2 (arctg x ) ,

cos x , i) 1 − sin x k) y = log 2 (log 3 (ln (x 2 + 1))) .

h) y = ln


- 43 -

y = x ⋅ ln x ,


13. Derivujte: e2x −1 a) y = 2 x , e +1 d) y = 5 ln sin x , g) y = e

arcsin x 2


c) y = arccos 2 x +1 ,

e) y = sin x 2 esin x ,

f) y = eln x tg x ,

h) y =

,

( )

b) y = 2 sin 2 x +cos 3 x ,

1 4cotg 4 x

,

i)

e sin 2 x , y= sin 2 x

cotg 2 x

j) y = e

x 2 +1

.


14. Derivujte: a) y = arcsin 1 − x 2 ,

b) y = arctg 2 x ,

c) y = arccos 2 x − x 2 .


15. Derivujte: a) y = arccotg

x , x −1

b) y = x − x 2 + arcsin x , c) y = arctg x + arcsin x .


16. Derivujte: a) y = arccotg

x +1 , x −1

 sin x  b) y = arc sin  ,  x −1 

(

)

c) y = arctg ln 2 x ,

d) y = arccos ( e2 x sin x ) . Výsledky úloh k samostatnému řešení

17. Derivujte: a) y = x x , d) y = ( sin x )

b) y = ( sin x ) 1 sin x

,

cos x

e) y = ( arctg x )

c) y = ( x + 3) , tg x

,

sin x

,

 x  f) y =    x +1 

x +1 x

.


18. Vypočítejte druhou derivaci: x −1 a) y = 2 , b) y = x x 2 + 3 , 3x ex d) y = , x

e) y = x 2 sin 3 x , f)

c) y = ln

 x = a ( t − sin t ) b)  ,  y = a (1 − cos t ) - 44 -

x + x2 + 1

,

)

y = arctg x − x 2 + 1 .


19. Derivujte funkce dané parametricky:  x = r cos t a)  ,  y = r sin t

(

1


 x = a cos3 t c)  , 3  y = a sin t 3at x=  1+ t3 e)  , 2  y = 3at 1+ t3


 x = 2a cos t − a cos 2t d)  ,  y = 2a sin t − a sin 2t  x = a cos t f)  .  y = b sin t


4.2. Tečna a normála Úlohy k samostatnému řešení

20. Napište rovnici tečny a normály ke křivce y = x 2 + 6 x − 4 v bodě T [1,?] . π  21. Napište rovnici tečny a normály ke křivce y = x sin x v bodech T1 [ 0,?] a T2  ,? . 2 

22. Napište rovnici tečny a normály ke křivce y = e x cos x v bodě T [ 0,?] . 23. Napište rovnici tečny ke křivce y = x 2 − 3 x + 4 , která je rovnoběžná s přímkou a : x + y +1 = 0 . 24. Napište rovnici tečny ke křivce y = e 2 x , která je rovnoběžná s přímkou a : 2 x − y + 3 = 0 . 25. Napište rovnici tečny ke křivce y = x 2 − 3 x + 4 , která je kolmá k přímce p : x + y − 1 = 0 . 26. Napište rovnice tečen ke křivce y = x 2 + 1 , které procházejí bodem P [1, −2] . 27. Určete konstantu a tak, aby přímka p : y = 4 x − 1 byla tečnou křivky y = x 2 + ax . Výsledky úloh k samostatnému řešení

4.3. Taylorův a Maclaurinův polynom Úlohy k samostatnému řešení

28. Sestavte pro danou funkci Taylorův polynom n-tého řádu v okolí bodu x0 : 1 a) y = , x0 = 1, n = 4 , b) y = ln x, x0 = e, n = 4 , x π 1 π c) y = x sin x, x0 = , n = 3 , d) y = , x0 = , n = 3 2 sin x 2 x −1 e) y = ln (1 + x 2 ) , x0 = 1, n = 4 f) y = , x0 = 2, n = 4 . x Výsledky úloh k samostatnému řešení - 45 -



29. Sestavte pro danou funkci Maclaurinův polynom n-tého řádu: a) y = tg x, n = 3 , b) y = sin 2 x, n = 6 , c) y = cos 3 x, n = 6 , d) y = e − x , n = 5 , e) y = 1 + x , n = 4 ,

f) y = xe x , n = 5 .


4.4. L´Hospitalovo pravidlo Úlohy k samostatnému řešení

30. Vypočítejte limitu L´Hospitalovým pravidlem: ln ( x + 1) x2 − 1 , b) lim , a) lim 3 x →1 x − 4 x 2 + 4 x − 1 x →∞ 32 x x − sin 2 x , 2 x + sin 3 x

6 x 4 − 4 x3 + 3x 2 − 5 x + 4 , x →∞ 3x 4 − 4 x 2 + 5 x − 3

d) lim

tg 2 x + sin 2 x , x →0 4 x2

f) lim sin

c) lim

e) lim

g) lim

π − 2 arctg x

x →∞

 x +1 ln    x 

x →0

x →∞

x +1 , x

.


31. Vypočítejte limitu L´Hospitalovým pravidlem: 1 , x

a) lim+ x ln x ,

b) lim x sin

c) lim xe2 x ,

1   d) lim x 2  cos − 1 . x →∞ x  

x →0

x →−∞

x →∞


32. Vypočítejte limitu L´Hospitalovým pravidlem: 4 1   1   a) lim  b) lim  cotg x − 2  , − 2 , x →3 x − 3 x → 0 x − 2x − 3  x    1  1   1  1 c) lim  − , d) lim  −  . x →0 2 x x →1 ln x sin x  x −1    Výsledky úloh k samostatnému řešení

- 46 -



33. Vypočítejte limitu L´Hospitalovým pravidlem: 1

1

b) lim ( cos x + sin x ) x ,

a) lim x x ,

x →0

x →∞

sin x

1 x

 sin x  x −sin x d) lim  .  x →0  x 

c) lim ( e x + 2 x ) , x →0


4.5. Průběh funkce Úlohy k samostatnému řešení

34. Najděte intervaly monotonnosti funkce a její extrémy: x2 3 2 a) y = x − 2 x − 4 x + 5 , b) y = , x+4 2 x−2 d) y = ln , c) y = e x + 2 x − 4 , x +1 e) y = arctg x 2 + 1 , x g) y = arcsin , x +1

f) y = sin x cos x , 3 x+2 h) y = ln −x. 4 2− x


35. Najděte intervaly, na kterých je funkce konvexní a konkávní, najděte inflexní body: x2 a) y = x3 − 3 x 2 + 5 x + 1 , b) y = , x+4 x −1 c) y = x 2 − 2 x + 3 , d) y = ln , x e) y = arctg x 2 + 1 ,

f)

g) y = ( − x + 4 x − 5 ) e , 2

y = ex

2

+1

,

h) y = sin x cos x .

x


36. Určete globální (absolutní) extrémy funkce na daném intervalu: 1 a) y = x 2 − 4 x + 3, I = −6,9 , b) y = x − , I = −4, −1) , x +1 c) y = x3 + 3x 2 − 9 x − 3, I = −4, 4 , e) y = x + sin 2 x, I =

π 4

,π ,

1 g) y = x 2 e − x , I = − , 3 , 2

d) y = x 2 − 4 x + 5, I = −3, 0 ,

f)

y = ex

2

+ 2 x −3

, I = −2,1 ,

h) y = arctg ( x 2 − x − 2 ) , I = −1,1 .


- 47 -



37. Určete rovnice asymptot funkce: a) y = xe − x , c) y = arctg

x2 − 2x + 4 , 3x − 5 2 x3 + 3 x 2 − 4 d) y = , x2 + 2 x f) y = x + arctg , 2 b) y =

x +1 , x

e) y =

x +1 , x2 − 9

g) y =

x−6 , 2x + 6

h) y =

x x2 +1 . 4 x 2 −1


38. Vyšetřete průběh funkce: x2 a) y = , 1− x c) y = xe − x , e) y = x 2 ln x , g) y = sin x + cos x , 1 , x + x−2 x +1 k) y = ln , x −1 x +1 , m y= 2 x + 2x x o) y = arctg , x −1

i) y =

2

q) y = 4 − x 2 + 2 x 2 , s) y =

x2 − 4 , x2 + 1

u) y = ( x 2 + 2 x + 2 ) e x , x2 + 1 w) y = x , e

x3 , 8 − 2 x2 x d) y = arctg , x −1 f) y = x + 1 + x , 3 h) y = x 3 + x 2 − 6 x + 4 , 2

b) y =

j)

y = sin 2 x − x ,

l)

y=e

1− x 2

,

ex , x+2 x p) y = − cos x , 2 x 2 + 3x − 4 r) y = , x2 x−4 t) y = ln , x x 2 + 3x + 1 v) y = , x2 + 1 n) y =

z) y = x 4 − 4 x3 + 8 x − 1 .


- 48 -




1. a) y′ = 1 +

1 ; x2

x +1 ; 2x x

b) y′ =

c) y′ =

c) y′ =

2

5. a) y′ =

x ln x − ( x 2 + 1) arctg x x ( x 2 + 1) ln 2 x

(1 + x ) arccotg x − y′ = (1 + x ) 1 − x 2

6. a) y′ =

c)

2

b) y′ =

;

arccos 2 x

(

x

1

)

x +1

2

.

sin x cos x − ( x 2 + 1) arctg x

(x

2

+ 1) sin 2 x

;

.

− x sin x cos x − arccos x ( sin x cos x + x ) 1 − x 2

;

x 2 sin 2 x 1 − x 2 x

xe ln10

( ln x + log x )

b) y′ = 140 x 3 ( 6 + 5 x 4 ) ; 6

8. a) y′ = 2 cos(2 x + 1) ; d) y′ = −

1 . 3x 3 x

−

x ln x sin x + cos x sin 2 x + x ln x cos 2 x sin x ; x cos 2 x

( ln10 + 1) arccotg x − y′ =

c) y′ =

5 x

3

ex 2 arcsin x x ; c) y′ = cos x − x sin x ; d) y′ = +4 . x 1 − x2 x

1 − x 2 arccos x

2

b) y′ =

5

20 x 2 − 6 x 2 x + x − 2 2 1 . 3. a) y′ = − ; b) y′ = − 2 ; c) y′ = 2 x x (1 + x )

4. a) y′ = cos 2 x ; b) y′ = e x ln x +

c)

4 x

2

−

9 x − 180 x 4 − 42 x 2 x b) y′ = ; 2

2. a) y′ = 4 x + 6 x − 8 x − 8 ; 3

3 4

2

1 ; 2 cos x tg x

b) y′ = −2 x sin x 2 ;

x

.

.

d) y′ =

7. a) y′ =

2x − 3 2 x 2 − 3x + 6

;

1 2x 3x 2 + 6 x − + . 2 x + 1 3 3 x 2 + 4 2 4 4 x3 + 3 x 2 − 6 5 ( ) ( )

b) y′ = − ( 2 x − 2 ) sin ( 5 − 2 x + x 2 ) ;

 x+2 sin 2    2− x 

2

(1 + x ) e 2

c) y′ =

4

(2 − x)

1 + (1 + x 2 ) arccotg x

c) y′ =

1 2 x cos

2

(

x −2

)

;

9. a) y′ = sin 2 x ;

b) y′ = −3cos 2 x sin x ;

1 . 3cos x sin x 3 cotg x

10. a) y′ = −3cos ( cos 3 x ) sin 3x ;

c) y′ = −

- 49 -

2 4 − 8 cos(4 x − 6 ) ⋅ = ; 2 tg (4 x − 6 ) cos (4 x − 6 ) sin 3 (4 x − 6 ) 3


d) y′ = −

b) y′ = −


1

⋅

( 2 x + 3)

sin 2 x 2 + 3 x − 2 2 x 2 + 3 x − 2 x 2 sin 2 x + 2 (1 − x3 ) cos 2 x 3 3 (1 − x 3 ) sin 2 2 x 2

. 11. a) y′ =

(2 − cos x ) ⋅ (x 2 + 1) − 2 x ⋅ (2 x − sin x ) ;

(x

c) y′ =

;

2

)

+1

1 tg x 3cos 3x sin x cos x − sin 3x ; 2 sin 3 x sin 2 x

x x 1 + sin + x sin x cos x cos 1 2 2 . 12. a) y′ = d) y′ = − ; 2 ln 4 ( x + 2 ) x  2 2 x sin x 1 + sin  2  c) y′ =

2 ; x

h) y′ =

1 ; 2 cos x

k) y′ =

e) y′ =

d) y′ = cotg x ;

1 ; x ln x

f) y′ =

(

)

j) y′ =

ln 2 ⋅ ln 3 ⋅ ( x 2 + 1) ⋅ log 3 ln ( x 2 + 1) ⋅ ln ( x 2 + 1)

b) y′ = 2sin 2 x + cos3 x ( 2 cos 2 x − 3sin 3x ) ln 2 ;

b) y′ =

1 ; ln 2 (1 + x 2 ) arctg x

i) y′ = ln x + 1 ; 2x

g) y′ =

2 x +1 ln 2 1− 2

2 x+2

2 ln x ; x

2e x ; e2 x − 1

1 2 x − x 2 arcsin x

13. a) y′ =

.

c) y′ = −

2

(e

4e 2 x 2x

+ 1)

2

;

;

d) y′ = 5ln sin x cotg x ln 5 ;

;

2x ln x   tg x arcsin x 2 ′ e) y′ = 2 x cos x 2 esin x + sin x 2 cos x esin x ; f) y′ = eln x tg x  ; g) y = e ; +  2 cos x   x 1 − x4 4 ln 4 sin 4 x esin 2 x − 2 cos 2 x esin 2 x h) y′ = cotg x 2 ; i) y′ = ; j) y′ = −e 4 sin 4 x sin 2 2 x

14. a) y′ = b) y′ = b) y′ =

−2 sgn x 1 − x2

; b) y′ =

1− x ; x

c) y′ =

1− x +1+ x . 2 x (1 + x ) 1 − x

c) y′ =

2 ln x ; x (1 + ln 4 x )

17. a) y′ = x x ( ln x + 1) ; tg x

x 2 +1

2 ( x 2 + 1) + x sin 4 x sin 2 2 x ( x 2 + 1)

2

.

sgn ( x − 1) 2 1 ; c) y′ = . 15. a) y′ = 2 ; 2 2x − 2x + 1 2 x (1 + 2 x ) 2x − x

( x − 1) cos x − sin x ; 2 ( x − 1) ( x − 1) − sin 2 x

c) y′ = ( x + 3)

cotg 2 x

16. a) y′ = d) y′ =

b) y′ = ( sin x )

 ln ( x + 3) tg x  +  ; 2 x+3  cos x

cos x

e 2 x sin x ( 2sin x + 2 x cos x ) 1 − e4 x sin x

.

 cos 2 x  − sin x ln sin x +  ; sin x   1

d) y′ = ( sin x ) sin x ⋅

- 50 -

1 ; 2 x (1 + x )

cos x − cos x ln sin x ; sin 2 x


e) y′ = ( arctg x )

sin x


  sin x  cos x ln arctg x + 2 ;   x + 1 arctg x ( )  

2x − 6 18. a) y′′ = ; 3x 4

d) y′′ =

b) y′′ =

ex ( x2 − 2 x + 2 ) x

3

19. a) y′ = − cotg t ; e) y′ =

t (2 − t3 ) 1 − 2t

n1 : x = 0 ,

3

2 x3 − 9 x 2

+ 3) x + 3 2

t2 : y = x ,

x +1 x

e) y′′ = sin 3 x ( 2 − 9 x 2 ) + 12 x cos 3 x ; b) y′ =

sin t ; 1 − cos t

n2 : y = π − x .

24. t : y = 2 x + 1 .

(x

x

2

+ 1) x 2 + 1

f) y′′ = −

d) y′ =

c) y′ = − tg t ;

22. t : y = x + 1 ,

x 1   1 + 2 .  − 2 ln x +1 x   x

c) y′′ =

;

b f) y′ = − cotg t . 20. t : y = 8 x − 5 , a

;

n : y = x + 1.

;

(x

 x  f) y′ =    x +1 

(x

x 2

+ 1)

2

;

.

cos t − cos 2t ; sin 2t − sin t

1 25 n : y = − x + . 21. t1 : y = 0 , 8 8 n : y = 1− x .

23. t : y = 3 − x , 26. t1 : y = 6 x − 8 ,

25. t : y = x .

t2 : y = −2 x . 27. a1 = 2, a2 = 6 .

28. a) T4 = 1 − b) T4 = 1 +

1 3 5 35 2 3 4 ( x − 1) + ( x − 1) − ( x − 1) + ( x − 1) ; 2 8 16 128

1 1 1 1 2 3 4 ( x − 1) − 2 ( x − 1) + 3 ( x − 1) − 4 ( x − 1) ; e 2e 3e 4e

π

π  π  π  1 π  1 π  c) T3 = +  x −  −  x −  −  x −  ; d) T4 = 1 +  x −  ; 2  2 4 2  2 2 2 2 2

e) T4 = ln 2 + ( x − 1) − f) T4 =

3

2

1 1 3 4 ( x − 1) + ( x − 1) ; 6 8

1 1 1 1 1 2 3 4 + ( x − 2) − ( x − 2) + ( x − 2) + ( x − 2) . 2 4 8 16 32

1 4 4 29. a) M 3 = x + x3 ; b) M 6 = 2 x − x3 + x5 ; 3 3 15

d) M 5 = 1 − x +

1 2 1 3 1 4 1 5 x − x + x − x ; 2! 3! 4! 5!

f) M 5 = x + x 2 +

c) M 6 = 1 −

e) M 4 = 1 +

1 3 1 4 1 5 x + x + x . 30. a) −2 ; 2 6 24

b) 0 ;

9 2 27 4 81 6 x + x − x ; 2 8 80

1 1 1 5 4 x − x 2 + x3 − x ; 2 8 16 128

c) 2 ;

1 d) − ; 5

e)

1 ; 2

f) 0 ;

1 1 1 1 g) 2 . 31. a) 0 ; b) 1; c) − ; d) − . 32. a) ; b) −∞ ; c) ±∞ ; d) . 33. a) 1; 2 2 4 2

b) e ; c) e3 ; d) e−1 .

- 51 -



2   2   2 175  34. a) D f = R, ր:  −∞, −  , ( 2, ∞ ) , ց:  − , 2  , max  − , , min [ 2, −3] ; 3   3   3 27  b) D f = R − {−4} , ր: ( −∞, −8) , ( 0, ∞ ) , ց: ( −8, −4 ) , ( −4, 0 ) , max [ −8, −16] , min [ 0, 0] ; c) D f = R, ր: ( −1, ∞ ) , ց: ( −∞, −1) , min  −1, e −5  ; d) D f = ( −∞, −1) ∪ ( 2, ∞ ) , ր: ( −∞, −1) , ( 2, ∞ ) ;  π e) D f = R, ր: ( 0, ∞ ) , ց: ( −∞, 0 ) , min 0,  ;  4  π π  π 3π f) D f = R, ր:  − ,  + kπ , ց:  ,  4 4 4 4

1  π  + kπ , max  + kπ ,  , min 2  4

1  π ; − + k , − π  4 2 

1  1  g) D f = − , ∞  , ր: − , ∞  ; 2  2  h) D f = ( −2, 2 ) , ր: ( −2, −1) , (1, 2 ) , ց: ( −1,1) , max [ −1;0,18] , min [1; −0,18] .

35. a) D f = R, ∪ : (1, ∞ ) , ∩ : ( −∞,1) , IB [1, 4] ;

b) D f = R − {4} , ∪ : ( −4, ∞ ) , ∩ : ( −∞, −4 ) ;

d) D f = ( −∞, 0 ) ∪ (1, ∞ ) , ∪ : ( −∞, 0 ) , ∩ : (1, ∞ ) ;

c) D f = R , ∪ : R ;

e) D f = R , ∪ : R ;

f) D f = R , ∪ : ( −1, ∞ ) , ∩ : ( −∞, −1) , IB  −1, e2  ; g) D f = R , ∪ : ( −1,1) , ∩ : ( −∞, −1) , (1, ∞ ) , IB  −1, −10e−1  , IB [1, −2e ] ;

 π   π h) D f = R , ∪ :  − , 0  + kπ , ∩ :  0,  + kπ , IB [ kπ , 0] .  2   2 11   b) max není , min  −4, −  ; 3 

c) max [ 4, 73] , min [1, −8] ;

2  e) max [π ;3,14] , min  π ;1, 22  ; 3 

π 4

d) max  −3, 26  , min 0, 5  ;

f) max [1,1] , min  −1, e−4  ;

1  h) max [ −1, 0] , min  ; −1,15 . 37. a) y = 0 ; 2  c) y =

36. a) max [ −6, 63] , min [ 2, −3] ;

b) y =

g) max  2, 4e −2  , min [ 0, 0] ;

3x − 1 5 , x = , zleva − ∞, zprava + ∞ ; 9 3

; d) y = 2 x + 3 ; e) y = 0, x = 3, zleva − ∞, zprava + ∞, x = −3, zleva − ∞, zprava + ∞ ;

f) y = x +

π 2

, y = x−

π

1 ; g) y = , x = −3, zleva + ∞, zprava − ∞ ; 2 2

1 1 1 h) y = , x = , zleva − ∞, zprava + ∞, x = − , zleva − ∞, zprava + ∞ . 4 2 2

- 52 -



38. a)

b) y

2

y=

x 1-x

4

y

x=1

y=

x

3

8-2x

4

2

x= -2

x=2

2 2

-4

0

-2

2

4

6

12

x

-4

- 12

0

-2

2

4

-2

6 x

1 y= - x 2

-2 -4

y=-x-1

-4

-6 -6

c)

d)

y

y

1

MAX IB -2

0

-1

1

2

y=xe 3

-x

4

2 5

x

y=

-1

π 4

π 2

y=arctg

x x-1

1

0.5...IB

-2

-3

-2

0

-1

1

3x

2

-3 -1 -4 -2 -5

-

π 2

-3

e)

f) y

y

6 2

2

5

y=x .lnx

4

-

e

0

y= x+1 +x

3

1 3 2

-

e

2

1 2

IB min 1

2

3

1

4 x -3

-1

-2

-1

0 -1 -2

- 53 -

1

2

3

4

5

6 x



g)

h) y

y 3

π 4 -4

MAX 14 2

2

π 4

0 -1

-2

3π 4

1

-2

2

5π 4

y=sinx+cosx

4

6

8

12 10

x

- 2

IB 8

-3

6 4

3 3 2 y=x + x -6x+4 2

2

min -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1 2

3

4 5

6 7

8

9 x

-2

i)

j) y

y

y=

4

1 2

6

x +x-2

y = sin2x-x

3

4 2 2

1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-7

x

-6

-5

-4

-3

MAX-1

-2

-1 0

MAX IB IB 1 2

IB 3

4

5

6

7

x

-2

-2

min

-4 -3

x = -2

x=1 -6

-4

k)

l) y

y

4 3

3

x = -1

2

2

1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y=e

1-x

2

x

1

-1 -2

MAX

x+1 y=ln x-1

x=1 -2

-3

-1

0

-4 -1

- 54 -

1

2

x



m)

n) y

y

4

3

3

x

2

x+1 y= 2 x +2x

2

min

IB -3

-2

0

-1

e x+2

1

1

-4

y=

1

2

3

4

-3

x

-2

-1

-1

0

1

2

3

x

-1

-2 -2

-3 -3

-4

o)

p) y

inflexní body

y

3

lokální extrémy

6 5

x y=arctg x-1

2

π 2

4

2

1

13 - π 6 0

-1

x y= -cosx 2

3

1

2

3

4

5

6x

-7

-6

3 5 1 - π - π -π -π 2 6 2 6 -5

-4

-3

-2

-1

-1 0 -1

11π 6 1

π2 2

3 7π4 3π5

6

6

7x

6

7x

2

-2

-π 2

-3

-2

-4 -5

-3

-6 -7

q)

r) y

y

2

y=

3 8

x +3x-4 2 x

2 2

7

y= 4-x +2x

2

1

6

-7

5

-6

-5

-4

-3

-2

-1 0 -1 -2

4 -3 3

-4

2

-5

1

-6 -7

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x

-8

-1

-9

-2

-10

- 55 -

1

28 3

3

4 4

5



s)

t) y

y 5

6 5

4

4

3

2

x -4 y= 2 x +1

3

y=ln

x-4 x

2

2

-7

-6

-5

-4

-3

-2

31 3

-1 0 -1

3 3 1

1 2

3

4

5

6

7x

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x

3

4

5

x

3

4

5

x

-1

-2 -2 -3 -3

-4 -5

-4

-6

-5

-7

t)

u) y

y

5

5

4 3

4 2

y=(x +2x+2)e

x

3

2

-5

-4

1

IB -3

-2

x +3x+1 2 x +1

2

1

IB

2

y=

- 3 -1

0

1

2

3

4

5

x

-5

-4

-3

-2

-1

3 0

-1

-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

v)

1

2

1

2

z) y

y

5

5

4

4

3 2

3 2

y=

x +1 ex

2

1

1

IB -5

-4

-3

-2

-1

0

1

IB

2

3

IB

4

5

x

-5

-4

-3

-2

-1

-1

0 -1

4

-2

3

y=x -4x +8x-1

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

- 56 -

IB


5.

5. Integrální počet

INTEGRÁLNÍ POČET ..................................................................................... 58

5.1.

Integrace rozkladem .................................................................................................... 58 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 58

5.2.

Jednoduché substituce ................................................................................................. 59 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 59

5.3.

Per partes ...................................................................................................................... 59 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 59

5.4.

Integrace racionální lomené funkce............................................................................ 60 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 60

5.5.

Iracionální funkce ........................................................................................................ 61 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 61

5.6.

Goniometrické funkce .................................................................................................. 61 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 61 Výsledky úloh k samostatnému řešení .............................................................................. 63

- 57 -



5. INTEGRÁLNÍ POČET 5.1. Integrace rozkladem Úlohy k samostatnému řešení

1. Vypočítejte integrál: 1 4  a) ∫  6x 2 − + 5  dx , x x   x2 + 4x + 4 dx , d) ∫ x+2 g)

∫

3

x + 3x + 1 dx , 3 x

 1 1  b) ∫  x + −  dx , x x3   x2 − 9 e) ∫ dx , x+3

2

e2 x − 4 j) ∫ x dx , e +2

h)

∫

x −1 dx , x −1

x2 − 2 x + 2 c) ∫ dx , x f)

3

x 2e x − 3x k) ∫ dx , 2 x2

i)

∫ ∫

(

x +3

)

2

x x

dx ,

(x − 2 x) 3

2

x

dx ,

e2 x − e x x l) ∫ dx . ex


2. Vypočítejte integrál: 1 a) ∫ dx , x+2 x2 d) ∫ dx , x−2 x2 + 1 g) ∫ dx , x −1 x +1 j) ∫ 2 dx , x +1

b)

1

∫ 2 x + 3 dx ,

5− x ∫ x + 5 dx , 2x + 2 h) ∫ dx , 3 − 2x e)

x2 + 4 x + 8 k) ∫ dx , x2 + 4

c)

x

∫ x + 1 dx ,

x2 + 2x + 2 ∫ x + 1 dx , x2 + 4 x + 8 i) ∫ dx , x+2

f)

( x + 1)

2

l)

∫

c)

∫ sin x + cos x dx ,

f)

∫ sin 2 cos 2 dx .

i)

∫ 1 + cos 2 x dx .

c)

∫ x ( ln x + 1) dx ,

x2 +1

dx .


3. Vypočítejte integrál: a)

∫ ( sin x − cos x ) dx ,

d)

∫ 2 cos

g)

∫ sin

2

x dx , 2

cos 2 x dx , 2 x

sin 2 x ∫ cos2 x dx , 1 e) ∫ 2 dx , sin x cos 2 x cos 2 x h) ∫ dx , cos 2 x sin 2 x b)

cos 2 x x

x

1


4. Vypočítejte integrál: sin x a) ∫ dx , cos x

b)

ex ∫ e x + 3 dx ,

- 58 -

1



d)

3x 2 + 2 ∫ x3 + 2 x − 2 dx ,

e)

∫ (1 + x ) arctg x dx ,

f)

∫ cos

g)

sin 2 x ∫ sin 2 x dx ,

h)

e2 x + x ∫ e2 x + x 2 + 2 dx ,

i)

x2 + 2 x + 2 ∫ x3 + 3x 2 + 6 x + 5 dx .

1

2

sin 2 x dx , 2 x+4


5.2. Jednoduché substituce Úlohy k samostatnému řešení

5. Vypočítejte integrál: a) ∫ 2e2 x dx , d)

∫

1

dx ,

x cos 2 1 g) ∫ 2 dx , sin 5 x

b)

∫ cos ( 4 x + 3) dx ,

c)

∫ sin 3xdx ,

e)

∫ ( 2 x − 1)

f)

∫ 1+ 4x

h)

∫2

i)

∫

c)

∫ 2 x sin x dx ,

f)

arctg 3 x ∫ 1 + x 2 dx ,

i)

∫

c)

∫ ( 4 x + 2 ) sin 2 xdx ,

2

3x

4

dx ,

dx ,

1

2

dx ,

1 1 − 9 x2

dx .


6. Vypočítejte integrál: a) ∫ ( e 2 x + 3e x + 5 ) e x dx , b) tg 2 x dx , d) ∫ cos 2 x g)

∫

arccotg 3 x dx , 1 + x2

∫ sin x cos

2

xdx ,

( cotg x − 1)

4

e)

∫

h)

ln 2 x + 3ln x − 8 dx , ∫ x

sin 2 x

dx ,

2

1 + arcsin x 1 − x2

dx .


5.3. Per partes Úlohy k samostatnému řešení

7. Vypočítejte integrál: a) ∫ xe x dx , x

∫ ( 3x − 4 ) cos 2 dx , g) ∫ arcsin xdx , j) ∫ arccotg xdx , m) ∫ x sin xdx , d)

2

b) e) h) k) n)

∫(x

2

− 2 x + 3) e − x dx ,

∫ x tg xdx , ∫ arctg xdx , ∫ ( x + 1) ln xdx , ∫ e cos xdx , 2

2

x

- 59 -

f) i) l) o)

∫ ln xdx , ∫ arccos xdx , ∫ arctg xdx , ∫ e sin 2 xdx , 3x


x


dx ,

q)

∫

ln x dx , x3

r)

∫

1 − x 2 dx ,

t)

∫ sin ln x dx ,

u)

∫e

c)

∫ 4− x

f)

∫ 4x

l)

3 − 21x − 16 x 2 ∫ x (1 − 4 x )( x + 3) dx .

c)

∫ x ( x + 1)

p)

∫ cos

s)

∫

2

x

x ln xdx , x

sin 2 xdx .


5.4. Integrace racionální lomené funkce Úlohy k samostatnému řešení

8. Vypočítejte integrál: 2 a) ∫ 2 dx , x + 2x 5− x d) ∫ 2 dx , x + 4x + 3 5 g) ∫ dx , 2 + 3x − 2 x 2 j)

8 ∫ 7 − 6 x − x 2 dx ,

x+5 dx , + x−2 4x + 2 e) ∫ 3 dx , x + 2 x2 − x − 2 3x + 1 h) ∫ dx , x − x3

b)

k)

∫x

2

3 ∫ 8x 2 − 28 x + 24 dx ,

2

2

dx ,

1

dx , −1 −1 i) ∫ dx , ( 2 + x )( 2 + 3x ) 2


9. Vypočítejte integrál: 2 − x2 a) ∫ dx , 2 x ( x + 1)

b)

d)

−4 x 2 + 5 x − 6 ∫ x3 ( x − 3) dx ,

e)

g)

2 x2 − x − 1 ∫ x3 ( x + 1) dx ,

h)

5 − 2x

∫ (1 − x ) ∫

4

dx ,

1 − 3x − x 2 − x3

−4 x − 2 2

∫

40 − 6 x 2

2

dx ,

dx ,

f)

dx ,

i)

∫ ( 2 x + 5)( x − 5)

2 − x2 ∫ ( x 2 + 1)( x 2 + 4 ) dx ,

c)

2 − 6 x − x2 ∫ ( x 2 + 1)( x 2 + 4 ) dx ,

x2 + 6 x ∫ ( x 2 + 9 ) ( 2 x − 3) dx ,

f)

3 x 2 + 4 x + 33 ∫ ( x 2 + 9 ) ( 3 − x ) dx ,

∫

(1 − x 2 )

2

12 x 2 − 12 x + 4 x ( 2 x − 1)

2

( 4 − x2 )

2

dx ,

−2 x 2 + 26 x − 35 2

dx .


10. Vypočítejte integrál: 3x a) ∫ 2 dx , b) ( x + 1)( x2 + 4 ) d)

4x ∫ 1 − x 4 dx ,

e)

- 60 -



g)

5x2 − 6 x + 6 ∫ ( 2 − 4 x ) ( x 2 + 4 ) dx , h)

j)

6 x 3 − x 2 + 12 x − 3 ∫ x 4 + 3x 2 dx , k)

x 2 − 3x − 2 ∫ ( x 2 + 2 x + 2 ) ( 5 x + 4 ) dx , i)

∫ (x

2x

+ 1) ( x − 1)

2

2

dx ,

l)

∫x

3

2 dx , + 2x

3 x 4 + 3 x 2 − 18 ∫ x5 + 6 x3 dx .


11. Vypočítejte integrál:

( x − 1)

3

x4 a) ∫ dx , x +1 x4 d) ∫ dx , 1 − x2

x+2 x4 + 6 x2 e) ∫ 2 dx , x −9

x 2 − 4 x + 12 g) ∫ dx , ( x2 + 4)

x4 + 4 x3 − x2 + 5x + 2 h) ∫ dx , i) ( x 2 + 1) ( x + 4 )

j)

6 x3 ∫ 6 − 3x 2 dx ,

b)

k)

∫

∫ (x

x3 ∫ 4 − x 2 dx , 2 x3 + 5 x 2 − 3x + 3 f) ∫ dx , x (3 + x )

dx ,

c)

2 x5

+ 1) ( x − 1)

2

2

dx ,

x4 ∫ x3 + 2 x dx ,

l)

x4 + x2 − 6 ∫ x 4 + x3 dx .


5.5. Iracionální funkce Úlohy k samostatnému řešení

12. Vypočítejte integrál: a)

∫x

d)

∫

g)

∫

j)

∫

3

2 − x 2 dx , x

dx ,

5 + x2 x dx , x +1

b)

∫

1 + x 2 dx ,

c)

∫

1 − x 2 dx ,

e)

∫

x dx , x +1

f)

∫

x dx , x +1

h)

∫x

1 dx , x +1

i)

∫

x dx , x +4

x+3 dx , x+3

l)

∫x

c)

∫ sin x cos

4

4

x dx , x −4

4

k)

∫ 1−

3

1 x2 − 1

dx .


5.6. Goniometrické funkce Úlohy k samostatnému řešení

13. Vypočítejte integrál: a) ∫ sin x cos xdx ,

b)

∫ sin

2

x cos xdx ,

- 61 -

3

xdx ,


cos x ∫ sin 3 x dx , sin 2 x g) ∫ dx , cos 4 x 1 j) ∫ dx , cos x sin x m) ∫ dx , 4 − cos 2 x cos3 x p) ∫ dx , sin 2 x cos x s) ∫ dx , cos x + 1 1 dx , v) ∫ 2sin x cos x

d)


e)

cos3 x ∫ sin x dx ,

f)

h)

∫ tg

i)

k) n) q) t) w)

5

xdx ,

cos 2 x ∫ sin 6 x dx , cos x ∫ 1 + 4sin 2 x dx , sin x ∫ sin x + cos x + 1 dx , sin x ∫ sin x + 1 dx , 1 ∫ ( sin x + 1) cos x dx ,


- 62 -

l) o) r) u) z)

sin x dx , 2 x +1 1 ∫ sin x dx , 1 ∫ cos2 x sin 3 x dx , 1 ∫ sin 2 x − 2 cos2 x dx , cos 6 x ∫ sin 6 x dx , sin x ∫ cos 2 x + 1 dx , 1 ∫ 2sin x cos x + sin 2 x dx .

∫ cos




1. a) 2 x 3 − ln x −

1 +c; x4

b)

2 2 x x +2 x + +c; 3 x

c)

x2 − 4 x + 2 ln x + c ; 2

x2 x2 18 3 9 3 d) + 2 x + c ; e) − 3 x + c ; f) 2 x + 6 ln x − + c ; g) x 3 x + x 3 x 2 + 3 x 2 + c ; 2 2 4 5 2 x h)

x3 x 2 3 24 2 6 12 ex 3 + + x + c ; i) x 2 3 x 2 − x x + x 3 x 2 + c ; j) e x − 2 x + c ; k) − ln x + c ; 3 2 8 13 5 2 2

l) e x −

2 x x +c. 3

2. a) ln x + 2 + c ;

x2 + 2 x + 4 ln x − 2 + c ; d) 2 x2 g) + x + 2 ln x − 1 + c ; 2

j)

1 ln x 2 + 1 + arctg x + c ; 2

x2 f) + x + ln x + 1 + c ; 2 x2 i) + 2 x + 4 ln x + 2 + c ; 2

x k) x + 2 ln x 2 + 4 + 2 arctg + c ; 2

b) tg x − x + c ;

l) x + ln x 2 + 1 + c .

c) cos x + sin x + c ;

g) − cotg x − 2 x + c ;

d) x + sin x ;

h) − cotg x − tg x + c ;

1 tg x + c . 4. a) − ln cos x + c ; b) ln e x + 3 + c ; c) ln ln x + 1 + c ; d) ln x3 + 2 x − 2 + c ; 2

e) ln arctg x + c , i)

c) x − ln x + 1 + c ;

e) − x + 10 ln x + 5 + c ;

1 f) − cos x + c ; 2

e) tg x − cotg x + c ,

1 ln 2 x + 3 + c ; 2

5 h) − x − ln 3 − 2 x + c ; 2

3. a) − cos x − sin x + c ;

i)

b)

f) − ln cos 2 x + 3 + c ;

g) ln sin 2 x + c ;

1 ln x3 + 3 x 2 + 6 x + 5 + c . 5. a) e2 x + c ; 3

x d) 2 tg + c ; 2

e)

1 5 ( 2 x − 1) + c , 10

f)

b)

d)

1 3 tg x + c ; 3

h)

1 3 3 ln x + ln 2 x − 8ln x + c ; 3 2

b) −e − x ( x 2 + 3) ;

e) −

1 5 ( cotg x − 1) + c , 5

1 ln e 2 x + x 2 + 2 + c ; 2

1 sin ( 4 x + 3) + c ; 4

1 arctg 2 x + c ; 2

1 e3 x 3 2 x i) arcsin 3 x + c . 6. a) + e + 5e x + c ; 3 3 2

h)

1 c) − cos 3 x + c ; 3

1 g) − cotg 5 x + c ; 5

1 b) − cos3 x + c ; 3

f)

1 arctg 4 x + c ; 4

1 i) arcsin x + arcsin 2 x + c . 2

c) sin 2 x − ( 2 x + 1) cos 2 x + c ;

- 63 -

h)

23 x +c ; 3ln 2

c) − cos x 2 + c ; g) −

2 arccotg 5 x + c ; 5

7. a) xe x − e x + c ;

d) ( 6 x − 8 ) sin

x x + 12 cos + c ; 2 2


e) x tg x −


x2 + ln cos x + c , 2

g) x arcsin x + 1 − x 2 + c ;

f) x ln x − x + c ;

1 h) x arctg x − ln 1 + x 2 + c ; 2

1 j) x arccotg x + ln 1 + x 2 + c ; 2

i) x arccos x − 1 − x 2 + c ;

 x3  x3 x 2 x sin 2 x cos 2 x k)  + x  ln x − − x + c ; l) x arctg x + arctg x − x + c ; m) − − +c; 9 4 4 8  3  n)

ex ( sin x + cos x ) + c ; 2

q) −

t)

ln x 1 − 2 +c; 2 2x 4x

2

x2 −1

+c,

f)

1 x+2 +c; ln 4 3x + 2

j) ln

e) ln

( x + 2)

9. a)

d) ln

2

u)

x+7 +c ; x −1

1 x + 2 ln +c; 2 x +1 2x

10. a)

1 x2 + 1 ln 2 +c; 2 x +4

x2 + 1 d) ln 2 +c; x −1

g) ln

k)

2x +1 +c; x−2

3 x−2 +c; ln 4 2x − 3

1

( x − 1)

2

−

1

( x − 1)

3

x 1 e) arctg + ln 2 x − 3 + c , 3 2

i)

1 x2 ln 2 +c; 2 x +2

- 64 -

( x − 1)

2

+c;

2

+c;

f) 2 ln

c)

2 2 − +c; x x +1

x+2 1 1 − − +c; x−2 x−2 x+2

i) − ln 2 x + 5 −

f)

3 +c. x−5

1 1 x ln x 2 + 9 − 4 ln x − 3 − arctg + c ; 2 3 3

h)

j) ln x 2 + 3 + 4 ln x +

x ( x + 1)

h) ln

+c;

x x2 + 4 c) arctg x − arctg + ln 2 +c; 2 x +1

x b) arctg x − arctg + c ; 2

1 x 1 1 arctg − ln x 2 + 4 − ln 2 − 4 x + c ; 2 2 2 4

x +c ; x+2

l) ln x ( x + 3) ( 4 x − 1) + c .

x4 1 − +c; 2x −1 2x −1

g)

8. a) ln

3

1 1 − − ln x − 1 + c , x −1 x + 1

h) ln

1 1 arcsin x + x 1 − x 2 + c ; 2 2

( x + 1) d) 3ln x + 1 − 4 ln x + 3 + c = ln 4 ( x + 3)

b)

e)

s)

ex ( sin 2 x − 2 cos 2 x ) + c . 5

1 2x −1 ln +c; 4 2x +1

1 x2 + ln +c; 3 x +1 ( x + 1)

x 1 1 + − 2 +c; x −3 x x

p) x tg x + ln cos x + c ;

2 2  x x  ln x −  + c ; 3 3 

1 2+ x c) ln +c; 2 2− x

+c;

x+2

g)

r)

e3 x ( 3sin 2 x − 2 cos 2 x ) + c ; 13

x ( sin ln x − cos ln x ) + c ; 2

( x − 1) b) ln

i)

o)

1 +c; x

1 ln 5 x + 4 − arctg ( x + 1) + c ; 5

k) − arctg x −

1 +c; x −1


l) ln x ( x 2 + 6 ) +


3 x 4 x3 x 2 + c . 11. a) − + − x + ln x + 1 + c ; 2 x2 4 3 2

b)

x3 5 x 2 + + 13 x − 27 ln x + 2 + c ; 3 2

e)

x3 45 x − 3 + 15 x + ln +c, 3 2 x+3

h) arctg x − 2 ln x + 4 +

x2 +c; 2

)

(

f) x − 2 x + 2 ln 1 + x + c ;

i)

i)

d) −

x3 1 x +1 − x + ln +c; 3 2 x −1

x g) x + 4 arctg − 2 ln x 2 + 4 + c ; 2

x +c; x+3

x2 − ln x 2 + 2 + c ; 2

j) −2 ln x 2 − 2 − x 2 + c ;

1 6 3 + c ; l) 4 ln x + 1 − ln x + x − + 2 + c . x −1 x x

3 2 − x2 ) 3 2 − x2 + c ; ( 8

1 x 1 − x 2 + arcsin x + c ; 2

c)

x2 − 2 ln x 2 − 4 + c ; 2

f) x 2 − x + ln

k) x 2 + 4 x + 4 ln x − 1 − arctg x − 12. a) −

c) −

b)

5 + x2 + c ;

d)

g)

e)

)

(

1 x x 2 + 1 + ln x + x 2 + 1 + c ; 2 2 x x − x + 2 x − 2 ln 1 + x + c , 3

2 ( x + 1) x + 1 − 2 x + 1 + c ; 3

h) ln

x +1 −1 +c; x +1 +1

6 6 6 24 6 5 x x x− x + 32 x − 384 6 x + 768arctg +c ; 7 5 2

j) x +

16 4 3 x + 32 x + 256 4 x + 1024 ln 3

4

x −4 +c;

4 1+ 4 x + 3 3 k) − 4 ( x + 3) − 4 4 x + 3 + 2 ln +c; 3 1− 4 x + 3

b)

sin 3 x +c; 3

c) −

f) arc cotg ( cos x ) + c ;

cos 4 x +c; 4

g)

tg 3 x +c; 3

x x j) ln tg + 1 − ln 1 − tg + c ; 2 2

m)

k) −

d) − h)

l) arctg x − 1 + c . 2

1 +c ; 2sin 2 x

sin 2 x 13. a) +c; 2

e) ln sin x −

tg 4 x tg 2 1 − + ln 1 + tg 2 x + c ; 4 2 2

cotg 5 x cotg 3 x − +c; 5 3

1 1 cos x − 2 2 ln + c ; n) arctg ( 2sin x ) + c , o) ln 2 4 cos x + 2 4

sin 2 x +c, 2

i) ln tg

l) ln tg x −

x +c; 2

1 +c; 2sin 2 x

1 2 − tg x − sin x + c ; + c ; p) − sin x 2 + tg x

cotg 5 x cotg 3 x r) − + − cotg x − x + c ; 5 3

1 x x x q) ln 1 + tg 2 − ln 1 + tg + + c ; 2 2 2 2

- 65 -


x s) − tg − 2 x + c ; 2

t)


2 1 + tg

x 2

+ x+c ;

u)

1 +c; 2 cos x

x tg + 1 1 1 tg x w) ln 2 + c , z) ln +c. 2 tg x + 2 4 tg x − 1 2

- 66 -

v)

1 x 1 x ln tg − ln tg 2 − 1 + c ; 2 2 2 2


6. 6.1.

6.Určitý integrál

URČITÝ INTEGRÁL ........................................................................................ 68 Výpočet určitého integrálu .......................................................................................... 68 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 68

6.2. Geometrické aplikace ................................................................................................... 69 6.2.1. Obsah rovinného obrazce ........................................................................................ 69 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 69 6.2.2. Délka oblouku rovinné křivky ................................................................................. 70 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 70 6.2.3. Objem rotačního tělesa ............................................................................................ 70 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 70 6.2.4. Povrch rotačního tělesa ............................................................................................ 71 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 71 6.3.

Nevlastní integrál.......................................................................................................... 71 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 71 Výsledky úloh k samostatnému řešení .............................................................................. 73 Nápověda k úlohám k samostatnému řešení...................................................................... 74 Obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami ....................................................... 74 Délku oblouku rovinné křivky...................................................................................... 75 Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací dané plochy kolem osy x ..................... 77 Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací dané plochy kolem osy y ..................... 79 Povrch tělesa, které vznikne rotací křivky kolem osy x .............................................. 79

- 67 -



6. URČITÝ INTEGRÁL 6.1. Výpočet určitého integrálu Úlohy k samostatnému řešení

1. Vypočítejte integrál: 4 1  a) ∫  x 2 − 4 x +  dx , x 1

π

b)

0

1

c)

1   1 ∫0  x + 1 + x 2 + 1  dx ,

∫ ( cos 2 x − 2sin x + 2 ) dx ,  x2 − 5 x + x   dx , 3 ∫4  x   9

d)

π

π

1   e) ∫  sin 2 x − 2  dx , sin x  π



3

2

f)

∫  cos

2

x−

0

1   dx , cos 2 x 

4

π 1

4

g)

∫ tg

2

x dx ,

h)



∫  e

2x

− 43 x +

0

0

1 2x

  dx , 

π

x+2 ∫0 x + 1 dx , 1

i)

3

x k) ∫ dx , 1+ x2 0

2

j)

sin 2 x

∫ 1 + cos 0

2

x

dx ,

2

x2 l) ∫ dx . 4 + x2 0


2. Vypočítejte integrál: 1

a) c)

x ∫ ( x − 1) e dx ,

1

b)

0

−1

π

4

∫ x sin 2 x dx ,

d)

0

2 −x

∫x e

∫x

2

dx ,

ln x dx ,

1

π 2

e)

∫π

−

x x cos dx , 2

1

f)

0

2

π

π

2

g)

∫e

x

sin x dx ,

h)

0 2 ∫ ln x dx ,

∫(x

2

− 2 x + 2 ) sin x dx ,

0

π

e

i)

∫ x arctg x dx ,

j)

1

∫(x 0

2

x − 1) cos dx , 2

π 1

4

x k) ∫ dx , cos 2 x 0

l)

∫ x ln ( x + 1) dx . 0




3. Vypočítejte integrál: π 1

a)

1

2 ∫ x x + 1 dx ,

b)

0

∫ 0

x −1 dx , x +1

4

c)

∫ sin

2

x cos x dx ,

0

π

e x ( 2e x + 2 )

1

g)

∫e 0

2x

+ 2e + 2 x

∫ sin (π x ) dx , 1

tg 3 x d) ∫ dx , cos 2 x 0 4

e)

e

5 ln 4 x f) ∫ dx , x 1

0

π 1

2

dx ,

h)

sin x ∫0 cos2 x + 3 dx ,

i)

∫e

x

0

1 dx , +1

π 1

x dx , j) ∫ x + 1) 0 (

sin 3 x + 2 k) ∫ dx , cos 2 x 0

5

4

l)

∫ 0

x+4 dx . x+3


4. Vypočítejte integrál: 2 x −1 a) ∫ 3 dx , x x + 1 ( ) 1 3

d)

x+2 dx , 2 + 1)

∫ x(x 1

1

b)

∫ ( x + 1) ( x 0

5

e)

∫x 3

2

x

2

2

+ 1)

dx ,

x+4 dx , − 4x + 4

c)

∫x

2

1

5

f)

∫x 4

2

4 dx , + 4x 2x dx . − x−6


6.2. Geometrické aplikace 6.2.1. Obsah rovinného obrazce Úlohy k samostatnému řešení

5. Vypočítejte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami: a) x = 0, y = 0, 3 x + 4 y − 12 = 0 , b) y = 0, y = x, y = 6 − x , c) y = sin x + 1, y = 0, x ∈ 0, π , d) y = e x , y = e− x , y = e ,

e) y = ln ( x − 1) , y = 0, x = 5 , f) y = − x 2 − 2 x + 4, y = x 2 − 4 x − 8 , g) x = r cos t , y = r sin t , t ∈ 0, 2π ,

kružnice

h) x = a cos t , y = b sin t , t ∈ 0, 2π ,

elipsa

i) x = r ( t − sin t ) , y = r (1 − cos t ) , t ∈ 0, 2π ,

cykloida

j) x = 2a sin t cos t , y = a sin t , t ∈ 0, π . Výsledky úloh k samostatnému řešení

Neumím nakreslit obrázek - 69 -



6.2.2. Délka oblouku rovinné křivky Úlohy k samostatnému řešení

6. Vypočítejte délku oblouku rovinné křivky: a) y = ln cos x, x ∈ 0,

π

,

3

b) y = arcsin x + 1 − x 2 , x ∈ 0,1 , c) y = ln x, x ∈ 1, 2 , d) y = ln (1 − x 2 ) , x ∈ 0,

3 , 4

e) y = x − x 2 − arccos x , x ∈ 0,1 ,

ex +1 , x ∈ 1, 3 , ex −1 g) x = cos t , y = sin t , t ∈ 0, 2π ,

f) y = ln

h) x = a cos3 t , y = a sin 3 t , t ∈ 0, i) x = t 2 , y =

π

,

2

asteroida

t 2 ( t − 3) , t ∈ 0, 3 , 3

j) x = et sin t , y = et cos t , t ∈ 0,

π

2

.


Neumím nakreslit obrázek

6.2.3. Objem rotačního tělesa Úlohy k samostatnému řešení

7. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací dané plochy kolem osy x : a) y = x 2 − 4, y = 0 , b) y = ln x, y = 0, x = e , c) xy = 3, x = 1, x = 3, y = 0 , d) y = sin x, y = 0, x =

π 2

,

e) y = x3 , y 2 = x , f) y = arccos x, y = 0, x = 1 ,

g) x = a ( t − sin t ) , y = a (1 − cos t ) , t ∈ 0, 2π , a > 0 ,

h) x = cos t , y = sin t , t ∈ 0, 2π , i) x = a cos t , y = b sin t , t ∈ 0, 2π , j) x = a cos3 t , y = a sin 3 t , t ∈ 0,

π 2

.


Neumím nakreslit obrázek - 70 -



8. Vypočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací dané plochy kolem osy y : a) y = x 2 − 4, y = 0 , b) y = x3 , y = 1, x = 0 , c) y = 1 − x, y = 1, x = 1 , d) y = sin x, y = 0, x =

π 2

.



6.2.4. Povrch rotačního tělesa Úlohy k samostatnému řešení

9. Vypočítejte povrch tělesa, které vznikne rotací křivky kolem osy x : a) y = 3 − x, x ∈ −1, 2 , b) y = x3 , x ∈ 1,3 , c) y = x , x ∈ 0, 2 , 1 x −x ( e + e ) , x ∈ 0,1 , 2 e) x = a sin 2t , y = 2a sin 2 t , t ∈ 0, π , d) y =

f) x = a ( t − sin t ) , y = a (1 − cos t ) , t ∈ 0, 2π , a > 0 , g) x = r cos t , y = r sin t , t ∈ 0, π , h) x = et sin t , y = et cos t , t ∈ 0,

π 2

i) x = a cos3 t , y = a sin 3 t , t ∈ 0,

π 2

, .



6.3. Nevlastní integrál Úlohy k samostatnému řešení

10. Vypočítejte nevlastní integrál: 2 x a) ∫ dx , b) x −1 1

2

∫ 1

1 dx , x −1

1

c)

x −1

∫ x ( x + 1) dx , 0

π 1

d)

∫ 0

x −1 dx , x ( x + 1)

e

1 e) ∫ dx , x ln x 1

- 71 -

6

f)

∫ 0

cos x dx , sin x


6.Určitý integrál ∞

∞

2x g) ∫ 2 dx , x +1 −∞

h)

1 ∫0 x 2 + 1 dx ,

i)

0

∞

j)

∫ x sin x dx ,

∞

−x

0 ∞

∞

k)

∫ ( x − 1) e

1 ∫1 x3 + x 2 dx ,


- 72 -

l)

∫e 0

− x

dx .

dx ,




1. a) 2 ln 2 + g) 1 −

c) − k)

4

π

π 4

g) ln b)

π

π 8

2

−

; h)

7 ; 3

b) 2π − 4 ;

c) ln 2 +

4

;

3 25 d) 2 ln − ; 2 162

e)

π

−

8

3 ; 4

f)

π 6

−

7 3 ; 8

e 2 1 10 ln10 π 5 − − ; i) ln 2 + 1 ; j) ln 2 ; k) ; l) 2 − . 2. a) 2 − e ; b) e − ; 2 2 ln 2 2 2 e π

; d)

128 π 1 e2 1 ln 2 − 7 ; e) 0 ; f) − ; g) + ; h) π 2 − 2π ; i) e − 2 ; j) 2π 2 − 18 ; 3 4 2 2 2

ln 2 ; 2

l)

1 2 2 −1 . 3. a) ; 4 3

b) 4 ln 2 − 3 ;

c)

2 ; 12

d)

1 ; 4

e)

2

π

f) 1;

;

e 2 + 2e + 2 3 e +1 π 3 2 3 3 5 ; h) π ; i) 1 − ln ; j) 2 − ; k) ; l) ln + 2 . 4. a) 2 ln + ; 5 18 2 2 2 2 4 8 −

ln 2 5 3 π 2 98 ; c) ln ; d) ln + ; e) ln 3 + 4 , f) ln . 5. a) 6 ; b) 9 ; c) π + 2 ; d) 2 ; 4 3 2 12 5 9

e) 8 ln 2 − 4 , f)

125 4 ; g) π r 2 ; h) π ab ; i) 3π r 2 ; j) a 2 . 6. a) ln 3 3

 5 + 10 − 2 − 1  c) ln   + 5 − 2 ; 2   3 h) ; 2

i) 2 3 ;

f) π 2 − 2π ;

j)

3 d) ln 7 − ; 4

 π2  512 2  e − 1 . 7. a) π; 15  

g) 5π 2 a 3 ;

d) 2π . 9. a) 15 2π ; b) f)

π

h)

π

4 π; 3

( 730 27

i)

e) 2 ,

j)

)

)

3 + 2 ; b) 4 − 2 2 ;

f) ln ( e4 + e2 + 1) − 2 ;

b) π ( e − 2 ) ;

4 π ab2 ; 3

(

c) 6π ;

d)

52 π a 3 . 8. a) 8π ; 105

b)

730 − 10 10 ; c)

π2

g) 2π ;

;

e)

5 π, 14

3 π; 5

c)

2 π; 3

4

13 π π ; d) ( e2 − e −2 + 4 ) ; e) 4π 2 a 2 , 3 4

64 2 2 2 6 π a ; g) 4π r 2 ; h) π ( eπ − 2 ) ; i) π a 2 . 10. a) diverguje; b) 2 ; c) diverguje; 3 5 5

d) 2 − π ; e) diverguje; f)

2 ; g) 0 ; h) diverguje; i) 0 ; j)

- 73 -

π 2

; k) 1 − ln 2 ; l) 2 .



Nápověda k úlohám k samostatnému řešení Obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami

a)

b) y y

5 4 4 3 3 2

2

y=x

3 y=- x+3 4

1

-1 0

-1

1

2

3

y=6-x

1

4

0

1

2

3

4

5

6

x

x

-1 -1

c)

d) y

y

3

y=e

3

2

y=sinx+1 2

y=e

-x

y=e

1

x

1

π 0

-1

1

2

3

x

-2

0

-1

1

x

-1

e)

f) y 3

y

4 2

y=-x -2x+4 2

2

y=ln(x-1)

1

-8

x=5

-6

-4

-2

0 -2

0

1

2

3

4

5

6

x

-4 -1 -6 -2

2

-8

y=x -4x-8

-10

-3

- 74 -

2

4

6

8 x



g)

h) y

y

1

x=rcost y=rsint

0

-1

1

x=acost y=bsint

1

0

-1

x

1

x

-1 -1

i)

j) y

y

4 8

6

x=a(t-sint) y=a(1-cost)

3

4

2

2

-2

x=2asintcost y=asint

1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

x

-4

-3

-2

0

-1

1

2

3

4 x

-2

-1

-4

-2

-6

Délku oblouku rovinné křivky

a)

y y

y

b)

1

2

π 3 0

1

y=arcsinx+ 1-x

2

x

-1

1

0

1

2

x

y=ln(cosx) -1

0 -1

- 75 -

y=arcsinx- 1-x 1

2

2

x



c)

d) y

y

1

3 4

y=lnx 0

0

1

2

1

x

x

2

y=ln(1-x )

-1

-1

e)

f) y

y

0

1

1

x

x

y=ln y= x-x 2 -arccos x 0

1

e +1 x e -1

2

3

x

-1

-1

g)

h) y

y

1

x=acos 3 t 2

x=rcost y=rsint

y=asin 3 t

1

-1

0

1

x

-2

-1

0

-1

-2 -1

- 76 -

1

2

x



i)

j) y

y

3 2 t

2 1

2

1

x=t t 2 y= (t -3) 3 0

1

x=e sint t y=e cost

2

3

4

-1

x

0

1

2

3

4

5

x

-1 -1 -2 -2 -3

Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací dané plochy kolem osy x

a)

b) y

y

1

y=0 1 -3

-2

-1

0

1

2

3

x

y=lnx

x=e

-1

0

-2

1

2

3

x

-3 2

y=x -4

-1

-4

-5

c)

d) y

y

3

y=sinx 1

x= π 2

2

3 y= x

x=1

0

1

-1

x=3

0

1

2

3

x

- 77 -

1

2

3

x



e)

f) y

y

2

1

y= x

y=arccosx

1

y=x

0

3

1

0

x

g)

1

2

x

h) y

y

1 8 6

x=rcost y=rsint


4

2

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0

-1

x

1

x

-2

-4 -6

-1

i)

j) y

y

1

2

3

x=acos t

x=acost y=bsint

3

y=asin t

1

-1

0

1

x

-2

-1

0

-1

-1

-2

- 78 -

1

2

x



Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací dané plochy kolem osy y

a)

b) y y

1

y=1

y=0 -3

-2

0

-1

1

2

3

1

x

-1

y=x

3

-2

0

-3

1

x

2

y=x -4 -4

-5

c)

d y

y

y=1 y=sinx

1 1

x= π 2

y=1-x

x=1 0

0

1

1

2

3

x

10

x

x

-1

Povrch tělesa, které vznikne rotací křivky kolem osy x

a)

b) y

y

3

25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 3 13 y=x 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x=1

y=3-x

2

x=-1 1

- 79 -

x=2 -2

-1

0

1

2

x

-3

-2

0 -1 -1

1

2

x=3

3

4

5

6

7

8

9



c)

d) y

y

1 x -x y= (e +e ) 2

1

y= x

1

x=2 x=0 0

1

2

x=1

x

0

e)

1

x

f) y 2

y

x=asin2t 8

2

y=2asin t 6


4

2

1 0

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

x

-2

-4 -6

0

-1

1

x

g)

h) y

y

1

3

x=rcost y=rsint

t

2

x=e sint t y=e cost

1

-1

0

1

x

-1

0

-1

-2

-1

- 80 -

-3

1

2

3

4

5

x



i) y 3

x=acos t 2

3

y=asin t

1

-2

-1

0

1

2

x

-1

-2

- 81 -


7.

7. Diferenciální počet funkcí více proměnných

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH ........................... 83

7.1.

Definiční oblasti ............................................................................................................ 83 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 83

7.2.

Parciální derivace ......................................................................................................... 83 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 83

7.3.

Tečná rovina a normála ............................................................................................... 84 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 84

7.4.

Lokální extrémy, vázané extrémy ............................................................................... 85 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 85 Výsledky úloh k samostatnému řešení .............................................................................. 87

- 82 -



7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH 7.1. Definiční oblasti Úlohy k samostatnému řešení

1. Určete definiční obor funkce: a) z = x − y − 3 x − y , c) z = ln ( 2 − x ) + arccos 2 y , e) z =

 x+4 x + 2y − arctg  , 4  y −1 

g) z = 9 − x 2 − y 2 − 9 ,

b) z = arcsin ( x 2 + y 2 − 4 ) , d) z = x 2 + y 2 − 4 ,

4 − x2 − y2 , 1 − x2 − y2 xy h) z = arcsin , 2 f) z =

i) z = ln ( 2 + x + y ) − ln ( 2 − x + y ) ,

j)

z=e

k) z = x 2 − y 2 ,

l)

z=

1+ x 2 − y

,

x2 − 4 . y2 −1


7.2. Parciální derivace Úlohy k samostatnému řešení

2. Vypočítejte první parciální derivace: a) z = 4 x + 5 y − 3 , c) z = x 2 y 3 + 4 xy 2 − 4 x , x+ y e) z = , y−x x −1 g) z = , 1− y

1 + y, x d) z = 3x 2 − 2 xy + y 2 xy ,

b) z =

f) z = x3 + 3 y 2 + xy − 7 ,

(

h) z = xy + x + y

). 2


3. Vypočítejte první parciální derivace: a) z = y sin x , y c) z = tg , x x e) z = arcsin , y 1 g) z = − arctg x , arctg y

b) z = sin x cos y , d) z = 3sin xy + y 2 cotg ( y − x ) , f) z = arccos x 2 + y 2 ,

(

)

h) z = sin x 2 + 1 + y .




4. Vypočítejte první parciální derivace: x2 − y2

a) z = e

y

c) z = 2 x , e) z =

d) z = ln

x xy e , y

g) z = ln

)

(

b) z = ln x + x 2 − y 2 ,

,

4 − xy 4 + xy

,

f) z = x 2 + y 2 ln ( x + y ) ,

x + y2 −1 y + x2 − 1

x+ y

h) z = 3 x − y .

,


5. Vypočítejte první parciální derivace: a) z = y sin x + y ,

(

)

 x c) z = y tg  x +  , y   x e) z = x arcsin  y −  , y  g) z =

arctg x , arctg y

b) z = sin ( x 2 − 2 y ) cos y , d) z = 3sin x cotg ( y + 3x ) ,

(

)

f) z = y + 1 − x 2 arccos x , h) z = 2 x + y sin x 2 .


6. Vypočítejte druhé parciální derivace: a) z = 4 x 2 y + 5 y 2 x − 3 ,

c) z = sin ( xy ) , e) z =

y+x , y−x

g) z = arcsin

y +1 + y2 + x2 , 2 x d) z = 3 x3 − 2 x 2 y + y 4 , b) z =

f) z = ln x 2 + y 2 , x , y

h) z = xy + x + y .


7.3. Tečná rovina a normála Úlohy k samostatnému řešení

7. Napište rovnici tečné roviny a normály funkce v bodě: a) z = x 2 y 3 + 4 xy 2 − 4 x, T = [1, −1,?] , b) z = 2 x + y 2 − x 2 , T = [3,5,?] , c) z = ln

1− x + y , T = [ −1,1,?] , 1+ x + y - 84 -



π π  d) z = x sin ( x + y ) , T =  , ,? , 4 4  e) z = arctg (1 − xy ) , T = [ 2,1,?] , f) z = x 2 + 3 y 2 + 2 y − 8, T = [ 2,1,?] , g) z = 25 − x 2 − y 2 − 9, T = [ −4,5,?] , π π  h) z = sin ( 2 x + 3 y ) , T  , ,?  , 2 3  2 i) z = x − 2 x y + 3 y − 4, T [1, 4,?] , j) z = ln ( x 2 + y 2 ) , T [1, 0,?] ,

x , T [1,1, ?] , y sin x − sin y  π  l) z = , T = 0, , ?  . cos y − cos x  3  k) z = arccotg


8. Napište rovnici tečné roviny plochy, která rovnoběžná s danou rovinou, určete bod dotyku: a) z = 6 x 3 y − 2 xy 2 + 7 x − 8 y − 2, α : 23 x − 6 y − z + 8 = 0 , b) z = xe y − cos y + 3, α : x + 2 y − z + 6 = 0 , c) z = x y 2 + x − 6 y + 3, α : 23 x − 16 y − 6 z + 7 = 0 ,

d) z = 3 x 2 y − 2 y 3 + 7 xy − 5 y − 4, α :12 x − 2 y − z + 8 = 0 ,

e) z = ln ( x − 2 y + 6 ) , α : x − 2 y − z = 0 , f) z =

x+ y , α : 4 x − 5 y + 3z − 2 = 0 . x− y


7.4. Lokální extrémy, vázané extrémy Úlohy k samostatnému řešení

9. Určete lokální extrémy funkce: a) z = 4 x 2 + 5 y 2 − 12 x + 15 y + 6 ,

b) z = 3 x 2 − 4 xy + 6 x + 4 y 2 − 4 y + 9 ,

c) z = e x + y ( x 2 + y 2 ) ,

d) z = 3 y 3 − 6 xy + y 2 + 3 ,

e) z = 4 − x3 + x 2 y − 3 y 2 + 20 y ,

1 1 − , x y h) z = ln ( xy ) − 4 x − 9 y ,

g) z = x 3 − 4 xy + y 2 + 4 x + 1 , i) z = ( x 2 − 1)( y 2 − 4 ) ,

k) z = ln ( x 2 + y 2 + 2 x − 4 y + 14 ) ,

f) z = 4 x − y +

j)

z = x y − x2 − y + 6 x + 5 ,

l)

z = e y−x ( x2 + y2 ) .




10. Nalezněte vázané extrémy funkce při daných podmínkách: a) z = x 2 + 3 xy − y 2 , podm. x + y = 3 , b) z = x + y, podm. xy = 1 , c) z = 4 ln y − x, podm. y = x 2 , d) z = sin ( y + 1) + cos x, podm. y − x = −1 ,

e) z = 4 x + xy − 5 y, podm. x − y = 4 , 1 f) z = 4 x ( y 2 − 2 y + 4 ) , podm. xy = , 4 2 4 2 g) z = 2 x + x − y − 3 y + 1, podm. y = x ,

h) z = ln ( x + y ) , podm. xy = 1 .


- 86 -




1. a)

b) y

y

y=x

4

2

2

x +y =5

2

3

2

1

2

-4

-3

-2

-1

0

2

x +y =3

1

1

2

3

4

-2

x

0

-1

1

2

x

-1 -1

-2

-3 -2

-4

c)

d) y y

3

2

1.5

2

1

y= 0.5

1 2

x=2

1

2

-2

0

-1

-0.5

-1

2

x +y =4 -3 1

2

-2

0

-1

1

2

3

x

x

-1

1 y= 2

-2

-1.5 -3 -2

-2.5

e)

f) y

y

4

2

2

2

x +y =4

3

1 2

1 -2

y=1 -3

-2

-1

0

1

2

3

-1

0

x

-1 -1

-2

1

1 y= - x 2 -2

-3

- 87 -

2

2

x +y =1

2

x



g)

h) y 7

y

4

6 5

3

4

y=3

3

x=-3 -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

2

1

2

3

4

y=

2

x=3

1 0

2 y= x

2 x

1

5

6

7

-4

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

2

3

4

x

2

3

4

x

-1 -1 -2 -3

-2

y=-3

-4

-3

-5 -6

-4

-7

i)

j) y

y

6

4

5

3

y=-x-2

2

y=x +1

4

y=x-2

2

3

1

2 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

1

-1

-2

-4

-3

-2

-1

0

1

-1

-3

-2

-4

-3

k)

l) y y

4

y=-x

y=x

4

x=-2

3

x=2

3 2 2 1

y=1

1 -4 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3

-2

-1

0

1

x

-1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4

- 88 -

y=-1


b) z ′x = −

2. a) z ′x = 4, z ′y = 5 ; y2 y

d) z ′x = 6 x − 2 y + f) z ′x =


2 x

, z ′y = −2 x +

3x 2 + y

, z ′y =

2 x + 3 y + xy − 7 3

1 1 , z ′y = ; 2 x 2 y

2

c) z ′x = 2 xy 3 + 4 y 2 − 4, z ′y = 3x 2 y 2 + 8 xy ;

5 y xy ; 2

e) z ′x =

6y + x 2 x + 3 y + xy − 7 3

2

)

(

3. a) z ′x = y cos x, z ′y = sin x ; c) z ′x =

−y y x cos x 2

, z ′y =

2

1 y 2 − x2

g) z ′x = −

y x cos x

, z ′y =

−x y y2 − x2

)

x x2 − y 2

x

; f) z ′x =

x2 + y 2 1 − x2 − y 2

(

e

x2 − y 2

, z ′y =

−y x2 − y 2

b) z ′x =

 x 1 + 2 2  2 x+ x − y  x − y2

c) z ′x =

− y xy 1 xy ′ 2 ln 2, z = 2 ln 2 ; y x2 x

e) z ′x =

1 xy x xy x 2 xy xy ′ e + xe , z y = − 2 e + e ; y y y

1

x2 + y2

( y − x)

2

;

1 x −1 , z ′y = ; 2 1− y (1 − y )

 1 . x + y 

y2 y2 ′ , z y = 3 x cos xy + 2 y cotg ( y − x ) − 2 ; sin 2 ( y − x ) sin ( y − x )

(

x

−2 x

;

y

h) z ′x = 2 x cos x 2 + 1 + y , z ′y = cos x 2 + 1 + y

f) z ′x =



, z ′y =

b) z ′x = cos x cos y, z ′y = − sin x sin y ;

1 1 , z ′y = − 2 x (1 + x ) 2 y (1 + y ) arctg 2

4. a) z ′x =



)  x + 2

2

2

d) z ′x = 3 y cos xy + e) z ′x =

1

( y − x)

g) z ′x =

;

  1 h) z ′x = 2 xy + x + y  y +  , z ′y = 2 xy + x + y  x + y 2  

(

2y

ln ( x + y ) +

e

;

;

 y 1 − 2  x − y2 

d) z ′x =

y x2 + y 2

- 89 -

x2 + y 2 1 − x2 − y 2

1 . 1+ y

 1  , z ′y =  x + x2 − y 2 

x2 + y 2 , z ′y = x+ y

y

;

)2

x2 − y 2

, z ′y =

 ;  

−4 , z ′y = x (16 − xy )

ln ( x + y ) +

x2 + y2 ; x+ y

−4 ; y (16 − xy )


y x2 − 1 − x y 2 − 1 − 1

g) z ′x =

(

)(

x2 − 1 x + y 2 − 1 y + x2 − 1 x+ y

−2 y

h) z ′x = z ′x =


( x − y)

3 x − y ln 3, z ′y = 2

2x

( x − y)

)

, z ′y =

y x2 −1 − x y2 −1 + 1

(

)(

x2 − 1 x + y 2 − 1 y + x2 − 1

)

;

x+ y

3 x − y ln 3 . 2

sin x 2 sin x 2 + 2 x 2 x + y cos x 2 , z ′y = . 2x + y 2 2x + y

(

5. a) z ′x =

)

y cos x + y , z ′y =

(

sin x + y

) + cos ( x + y ) ; 2

2 y

b) z ′x = 2 x cos ( x 2 − 2 y ) cos y, z ′y = −2 cos ( x 2 − 2 y ) cos y − sin ( x 2 − 2 y ) sin y ; c) z ′x =

 1   x x 1 1 +  , z ′y = tg  x +  + −  ; y y y   x x  cos 2  x +   cos 2  x +   y y   y

d) z ′x = 3cos x cotg ( y + 3x ) −  x e) z ′x = arcsin  y −  − y  f) z ′x =

y − x arccos x 1 − x2

9sin x 3sin x , z ′y = − 2 ; sin ( y + 3x ) sin ( y + 3x ) 2

x y − ( y − x) 2

2

2

, z ′y =

x ( y2 + x) y y − ( y − x) 2

2

1 arctg x , z ′y = − 2 x (1 + x ) arctg y 2 y (1 + y ) arctg 2

h) z ′x =

sin x 2 sin x 2 . + 2 x 2 x + y cos x 2 , z ′y = 2x + y 2 2x + y

sin x 2 sin x 2 + 2 x 2 x + y cos x 2 , z ′y = . 2x + y 2 2x + y

b) z ′′xx =

z ′′yy =

y

;

6. a) z ′′xx = 8 y, z ′′xy = 8 x + 10 y, z ′′yy = 10 x ;

6 ( y + 1) y2 + , x4 x2 + y 2 ( x2 + y 2 ) x2

x +y 2

2

(x

2

;

+ 1, z ′y = arccos x ;

g) z ′x =

z ′x =

2

+y

2

)

;

z ′′xy =

c) z ′′xx = − y 2 sin xy ,

d) z ′′xx = 12 x − 4 y , z ′′xy = −4 x , z ′′yy = 12 y 2 ; e) z ′′xx =

- 90 -

−2 xy − , 3 2 2 x x + y ( x2 + y 2 )

z ′′yy = − x 2 sin xy ;

z ′′xy = cos xy − xy sin xy , 4y

( y − x)

3

, z ′′xy =

−2 y − 2 x

( y − x)

3

, z ′′yy =

4x

( y − x)

3

;


f) z ′′xx = z ′′xy =

y 2 − x2

(x

2

+y

z ′′xy =

,

)

2 2

−y

y 2 − x2 ( y 2 − x2 )

z ′′xy = 1 −


(x

−2 xy 2

, z ′′yy =

+y

)

2 2

z ′′yy =

,

x y 2 y 2 − x2

+

(y

x2 − y 2

(x

2

+y

)

2 2

x

2

− x2 ) y2 − x2

x

g) z ′′xx =

;

y −x 2

; h) z ′′xx = −

2

( y 2 − x2 )

,

1 , 4( y + x) y + x

1 1 , z ′′yy = − . 4( y + x) y + x 4( y + x) y + x

7. a) τ : 2 x + 5 y + z + 4 = 0 , n : x = 1 − 2t , y = −1 − 5t , z = −1 − t , t ∈ R ; b) τ : 5 x + 5 y − 4 z = 0 , n : x = 3 + 5t , y = 5 + 5t , z = 10 − 4t , t ∈ R ; c) τ : 4 x + 2 y + 3 z + 2 − 3ln 3 = 0 , n : x = −1 + 4t , y = 1 + 2t , z = ln 3 + 3t , t ∈ R ; d) τ : x − z = 0 , n : x =

e) τ : x + 2 y + 2 z − 4 +

π 4

π 2

+ t, y =

π 4

,z=

π 4

− t, t ∈ R ;

= 0 , n : x = 2 + t , y = 1 + 2t , z = −

π 4

+ 2t , t ∈ R ;

f) τ : 2 x + 4 y − z − 7 = 0 , n : x = 2 + 2t , y = 1 + 4t , z = 1 − t , t ∈ R ; g) τ :16 x − 15 y − 12 z + 127 = 0 , n : x = −4 + 16t , y = 5 − 15t , z = −1 − 12t , t ∈ R ; h) τ : 2 x + 3 y − z − 2π = 0 , n : x =

π 2

+ 2t , y =

π 3

+ 3t , z = −t , t ∈ R ,

i) τ : −4 x + 5 y − 2 z − 6 = 0 , n : x = 1 − 4t , y = 4 + 5t , z = 5 − 2t , t ∈ R ; j) τ : 2 x − z − 2 = 0 , n : x = 1 + 2t , y = 0, z = −t , t ∈ R ; k) τ : − x + y − 2 z + l) τ : 2 x + 2 y + z −

π 2

= 0 , n : x = 1 − t, y = 1 + t, z =

π 4

− 2t , t ∈ R ;

2π π − 3 = 0 , n : x = 2t , y = + 2t , z = 3 + t , t ∈ R . 3 3

8. a) τ : 23x − 6 y − z − 16 = 0, T = [1,1,1] ;

b) τ : x + 2 y − z + 6 = 0, T = [ 2, 0, 4] ;

c) τ : 23x − 16 y − 6 z − 47 = 0, T = [5, 2, 6] ;

d) τ :12 x − 2 y − z − 12 = 0, T = [1,1, −2] ;

e) τ : x − 2 y − z + 5 = 0, T = [ 3, 4, 0] ; f) τ : 4 x − 5 y + 3 z − 2 = 0, T = [5, 4,3] .

 3 3 57  9. a)  , − , −  lokální minimum; b) [ −1, 0, 6] lokální minimum; c) [ 0, 0, 0] lokální 4 2 2 minimum,  −1, −1, 2e−2  není extrém;

;

d) [ 0, 0,3] není extrém;

e) [ 4, 6, 48] lokální

 10   15  1   1  maximum, 0,  není extrém, 5,  není extrém; f)  ,1 není extrém,  − , −1 není  3  2 2   2 

- 91 -



1   1  extrém,  , −1, 6  lokální minimum,  − ,1, −6  lokální maximum; 2   2  minimum,

 2 4  − 3 , − 3  není

g) [ 2, 4,1] lokální

1 1  h)  , , −2 − ln 36  lokální 4 9 

extrém;

maximum;

i) [ 0, 0, 4] lokální maximum, [1, 2] není extrém, [ −1, 2] není extrém, [ −1, −2] není extrém,

[ −1, −2] není

extrém;

j) [ 4, 4,17] lokální maximum;

k) [ −1, 2, 0] lokální minimum;

l) [ 0, 0, 0] lokální minimum, [1, −1] není extrém. 5 1 10. a)  ,  lok. max. ; 2 2

1  1  b)  2,  lok. min.,  −2, −  lok. max. ; 2  2 

π  π  π π d)  + 2kπ , − 1 lok. max.,  + ( 2k + 1) π , − 1 lok. min. ; 4  4  4 4

c) [8, 64] lok. max. ; 5 3 e)  , −  lok. min. ; 2 2

1   1  f)  , 2  lok. min.,  − , −2  lok. max. ; g) [1,1] lok. min. ; h) [1,1] lok. min. . 8   8 

- 92 -


8.

8. Obyčejné diferenciální rovnice

OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE ....................................................... 94

8.1. Diferenciální rovnice prvního řádu – separovatelná, homogenní, lineární, Bernoulliova, exaktní ............................................................................................................. 94 8.1.1. Separovatelná diferenciální rovnice ........................................................................ 94 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 94 8.1.2. Homogenní diferenciální rovnice ............................................................................ 94 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 94 8.1.3. Lineární diferenciální rovnice ................................................................................. 95 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 95 8.1.4. Bernoulliova diferenciální rovnice .......................................................................... 95 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 95 8.1.5. Exaktní diferenciální rovnice................................................................................... 96 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 96 8.2.

Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty .................. 97

8.2.1. Homogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty....................................... 97 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 97 8.2.2. Nehomogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty ................................... 97 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 97 8.3.

Soustavy diferenciálních rovnic .................................................................................. 98 Úlohy k samostatnému řešení ............................................................................................ 98 Výsledky úloh k samostatnému řešení ............................................................................ 100

- 93 -



8. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 8.1. Diferenciální rovnice prvního řádu – separovatelná, homogenní, lineární, Bernoulliova, exaktní 8.1.1. Separovatelná diferenciální rovnice Úlohy k samostatnému řešení

1. Najděte obecné nebo partikulární řešení dané DR: a) y′ sin y cos 2 x − sin x cos 2 y = 0 , b) y′ ( x 2 + x ) = y ,

c) ( xy + y + 2 x + 2 ) y′ = xy + x + 2 y + 2 , d)

1 − y 2 + (1 + x 2 ) y′ = 0, počáteční podmínka

y (1) = 1 ,

6 x2 − 1 , 2 x3 + x 2 f) y′x 2 y = xy 2 + x + y 2 + 1 , g) y′ sin y ( sin x + 1) − cos x cos y = 0, počáteční podmínka y′ h) = e x− y , x i) y′ ln y = x ln x, počáteční podmínka y (1) = e

e) y′ =

j) y′ sin 2 x − y = 4 ,

k) y′ ( x 2 y + xy ) = xy 2 + 2 y 2 + x + 2 ,

l) 2 y′ = ( 2 y + 1)( ln x + 1) .


8.1.2. Homogenní diferenciální rovnice Úlohy k samostatnému řešení

2. Najděte obecné nebo partikulární řešení dané DR: y y a) xy′ sin = y sin − x , x x 2x − y b) y′ = , x+ y c) y′ ( x − y ) = 2 x − y , d) 2 xyy′ = 3 y 2 + x 2 , e) xyy′ = 2 y 2 + 3 xy + 2 x 2 , f) xy ′ = y + x 2 − y 2 , - 94 -

y ( 0) = 0 ,



g) xy ′ = y + y 2 − x 2 , y h) y′ = , x− y i) x 2 y′ = y 2 + 6 xy + 6 x 2 , 3y − 2x j) y′ = , x+ y k) y′x 2 = y 2 + xy + 4 x 2 , l) 4 x 2 y′ = y 2 + xy − 4 x 2 . Výsledky úloh k samostatnému řešení

8.1.3. Lineární diferenciální rovnice Úlohy k samostatnému řešení

3. Najděte obecné nebo partikulární řešení dané DR: a) y′ − 2 y = 2 x , −

x2 2

b) y′ + xy = 3 x e , c) y′ − 2 xy = −2 x 3 , y 1 , d) y′ − = 2 1+ x 2 1+ x 1 e) y′ sin x − y cos x = , sin x 2

f) y′ + y sin x = sin x, počáteční podmínka

π  y  = 2, 2

y 1 = 2, 2 x x y′x − y = x3e x , y′x + y = sin x , y′x + y = x ln x , y′x − y = x 2 ln x , y′ cos x − y sin x = x cos x .

g) y′ + h) i) j) k) l)


8.1.4. Bernoulliova diferenciální rovnice Úlohy k samostatnému řešení

4. Najděte obecné nebo partikulární řešení dané DR: a) xy′ + y = y 2 ln x , - 95 -



1 , y y′ + xy = xy 2 , 2y y′ − =x y, x y 3 y′ + = −3 ( x + 1) y 2 , x +1 y y′ − = y 2 cos x , x y y′ − = y 2 sin x , x xy′ − y = y 3e x .

b) 2x 2 y′ + xy = c) d) e) f) g) h)


8.1.5. Exaktní diferenciální rovnice Úlohy k samostatnému řešení

5. Najděte obecné nebo partikulární řešení dané DR: 1  a)  3 x 2 y + 2 y +  dx + ( x3 + 2 x − 2 y ) dy = 0 , x      y x b)  2 2 + 1 dx +  2 2 + 1 dy = 0 ,  x y +1   x y +1   2x   2y  c)  2 + 2 y  dx +  2 + 2 x − 3  dy = 0 , 2 2 x +y  x +y  d) ( y cos xy + y sin x ) dx + ( x cos xy − sin x ) dy = 0 ,

e) ( cotg x + y 2 ) dx + ( 2 xy − tg y ) dy = 0 ,

 1  f)  cos ( x + y ) − sin ( y − x ) +  dx + ( cos ( x + y ) + sin ( y − x ) ) dy = 0 , 1 − x2      1 y 1 2 xy   g)  2 − 2  dx + − dy = 0  x ( y 2 + 1)2   y +1 x    1  x  h)  arctg y + 2  dx + dy = 0 , x +1  1+ y2   1 1   i)  − − cos y + sin y + y  dx +  x cos y + x sin y + x − 2 2 sin  cos x  

   x y j)  + 1 dx +  2 y − 2 2 2  x −y   x − y2   

  dy = 0 ,  

- 96 -

  dy = 0 , y



    1 1 1 1 k)  − −  dx +   dy = 0 ,  2 x + y 2( x + y) x + y   2 x + y 2( x + y) x + y      xy −x xy y l) ( ye − e ) dx + ( xe − 2e ) dy = 0 . Výsledky úloh k samostatnému řešení

8.2. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty 8.2.1. Homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty Úlohy k samostatnému řešení

6. Najděte obecné nebo partikulární řešení dané DR: a) y′′ − 4 y′ + 3 y = 0 , b) y′′ − 4 y = 0 , c) y′′′ − 3 y′′ + 3 y′ − y = 0 , d) y′′′ + 4 y′′ = 0 , e) y′′ + y = 0 , f) y′′ + 4 y = 0 , g y′′ + 4 y′ + 29 y = 0 , h) y′′ − 2 y′ + 2 y = 0 , i) y′′ − 4 y′ + 3 y = 0, počáteční podmínka y ( 0 ) = 6, y′ ( 0 ) = 10 ,

y ( 0 ) = 2, y′ ( 0 ) = 11 ,

j) y′′ + y′ − 2 y = 0, počáteční podmínka k) y′′′ − y′ = 0, počáteční podmínka

y ( 0 ) = 3, y′ ( 0 ) = −1, y′′ ( 0 ) = 1 ,

l) y′′ − 6 y′ + 9 y = 0, počáteční podmínka

y ( 0 ) = 3, y′ ( 0 ) = 6 .


8.2.2. Nehomogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty Úlohy k samostatnému řešení

7. Najděte obecné nebo partikulární řešení dané DR: 1 a) y′′ + 4 y = , sin 2 x 1 b) y′′ + y = , počáteční podmínka y ( 0 ) = 2, y′ ( 0 ) = 1 , cos x ex ′′ ′ c) y − 2 y + y = , x - 97 -



1 , 1 + ex e) y′′ + 4 y′ + 4 y = e −2 x ⋅ ln x , f) y′′ − 4 y = 8 x 3 , g) y′′ − 4 y′ = 12 x 2 − 6 x − 4 ,

d) y′′ + y′ =

h) y′′ − 4 y′ + 4 y = 18e − x , i) y′′ + 4 y′ + 4 y = ( 24 x + 8) e −2 x ,

y′′ + 4 y = 6 sin x , y′′ − 4 y = 13 x ⋅ sin 3 x , y′′ + 4 y = 4sin 2 x − 8 cos 2 x , y′′ + y = 4 x ⋅ sin x , n) y′′ + 3 y′ + 2 y = 10e x ⋅ cos x − 10e x ⋅ sin x , o) y′′ − 2 y′ + 2 y = 4e x ⋅ sin x ,

j) k) l) m)

p) y′′ − 4 y′ + 4 y = 18e − x , počáteční podmínka y ( 0 ) = 4, y′ ( 0 ) = 7 , q) y′′ − 4 y′ + 3 y = sin x − cos x , r) y′′ − 5 y′ + 6 y = ( 2 x + 1) e 2 x , počáteční podmínka y ( 0 ) = 4, y′ ( 0 ) = 2 , s) y′′ + y′ = 4 x 2 + 1 − xe− x , t) y′′ + y = 4e x + sin x − cos x , u) y′′ + y′ = x 2 − x + 6e2 x , v) y′′ + 4 y = 16 cos 2 x − 4sin x . Výsledky úloh k samostatnému řešení

8.3. Soustavy diferenciálních rovnic Úlohy k samostatnému řešení

8. Najděte obecné nebo partikulární řešení dané soustavy DR: xɺ = x − y xɺ = 4 x + 3 y xɺ = 2 x + 3 y a) , b) , c) , yɺ = − x + y yɺ = 3 x + 4 y yɺ = 4 x + y d)

xɺ = 2 x + 3 y , yɺ = x + 4 y

e)

xɺ = 2 x − y , yɺ = 5 x + 4 y

f)

xɺ = x + 2 y , yɺ = − x − y

g)

xɺ = 2 x − y , yɺ = x + 2 y

h)

xɺ = x + y + e 2t , yɺ = − x + 3 y + 2e 2 t

i)

xɺ = − x − 2 y − t , yɺ = 2 x − y + 2t + 1

l)

xɺ = −3 x + 2 y − sin t , yɺ = −2 x + y

xɺ = 3 x + 6 y + 2sin t j) , yɺ = − x − 2 y − cos t

xɺ = 3 x + y + et k) , yɺ = 3 x + 5 y − et

- 98 -



xɺ = −4 x + y , yɺ = −2 x − 2 y , počáteční podmínka x ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 14 xɺ = 2 x − y n) , yɺ = 5 x + 4 y, počáteční podmínka x ( 0 ) = −2, y ( 0 ) = 4 xɺ = x − y o) . yɺ = − x + y, počáteční podmínka x ( 0 ) = 2, y ( 0 ) = −4

m)


- 99 -




1. a)

1 1 = +C ; cos y cos x

3 d) arctg x + arcsin y = π ; 4

g) cos y =

Cx ; x +1

c) ( y + 1) e y − x = C ( x + 1) ;

1 e) y = ln Cx 2 ( 2 x + 1) + ; x

f) y 2 = Cx 2e

b) y =

l) y =

2

c) y 2 − 2 xy + 2 x 2 = C ;

1 y Cx x − 1) . 2. a) cos = ln Cx ; ( 2 x

d) y 2 + x 2 = Cx 3 ;

2

x

y−x C = ln 2 ; x y − 2 xy + 2 x 2

1 3. a) y = Ce − x − ; 2 2x

k) arctg

b) y = ( C + x ) e 3

−

x2 2

;

h) y = Cx + x 2 e x − xe x ;

C − cos x ; x

i) y =

C 1 l) y = + x tg x + 1 . 4. a) = K ⋅ x + ln x + 1 ; cos x y

y = Cx +

x2 ; 2

1 C sin x = + cos x − ; y x x

b) arctg xy + x + y = C ; e) ln sin x + ln cos y + xy 2 = C ;

e)

x 2 − y 2 + x + y 2 = C ; k)

cos x

d) y = Ce

−1;

1 x

g) y = Ce + 1 ;

+ 1;

C x ln x x + − ; x 2 4

1+ x

k) y = Cx + x 2 ln x − x 2 ; 2

C + ln x b) y = ; x

x 1 c) = Ce 2 + 1 ; y

2

f)

1 C cos x = − sin x − ; y x x

x 1 C 2e (1 − x ) = + . 5. a) x3 y + 2 xy − y 2 + ln x = C ; 2 2 2 y x x

c) ln ( x 2 + y 2 ) + 2 xy − 3 y = C ;

d) sin xy − y cos x = C ;

f) sin ( x + y ) − cos ( y − x ) + arcsin x = C ; g)

h) x arctg y + arctg x = C ; j)

2

1 4 = C ( x + 1) + ( x + 1) ; y

h)

y = ln Cx ; x

l) y − 2 x = Cx ( y + 2 x ) .

c) y = Ce x + x 2 + 1 ; f) y = e

j) y =

f) arcsin

i) y + 2 x = Cx ( y + 3x ) ;

y = ln Cx 2 ; 2x

1  2sin x 1 + sin x  e) y = −  + ln + C  sin x ; 2 4  cos x 1 − sin x 

g)

−1;

b) 2 x 2 − 2 xy − y 2 = C ;

e) ( y + 2 x ) = Cx 2 ( y + x ) ;

h) ye y = C ;

g) y + y 2 − x 2 = Cx 2 ;

d)

2 x

x2 x2 1 1 ; h) e y = xe x − e x + C ; i) y ln y − y = ln x − + ; j) y = Ce − cotg x − 4 ; sin x + 1 2 4 4

k) y 2 = Cx 4 ( x + 1) − 1 ;

j) 4 arctg

−

x y + =C; y +1 x 2

i) x sin y − x cos y + xy − tg x + cotg y = C ;

x+ y +

1 1 = C ; l) e xy − 2e y + x = C . e x+ y

- 100 -



6. a) y = C1e x + C2 e3 x ;

b) y = C1e 2 x + C2 e −2 x ;

d) y = C1 + C2 x + C3e −4 x ;

e) y = C1 cos x + C2 sin x ;

g) y = C1e −2 x cos 5 x + C2 e −2 x sin 5 x ; j) y = 5e x − 3e−2 x ;

c) y = C1e x + C2 xe x + C3 x 2 e x ; f) y = C1 cos 2 x + C2 sin 2 x ;

h) y = C1e x cos x + C2 e x sin x ; k) y = 2 + e − x ;

7. a) y = C1 cos 2 x + C2 sin 2 x −

i) y = 4e x + 2e3 x ; l) y = 3e3 x − 3 xe3 x .

1 1 x ⋅ cos 2 x + sin 2 x ⋅ ln sin 2 x ; 2 4

c) y = C1e x + C2 xe x + xe x ( ln x − 1) ;

b) y = 2 cos x + sin x + cos x ⋅ ln cos x + x ⋅ sin x ;

 x2 3  d) y = C1 + C2 e − x + x − ln e x + 1 − e − x ⋅ ln e x + 1 ; e) y = C1e −2 x + C2 xe −2 x + e −2 x  ln x − x 2  ; 4   2 f) y = C1e 2 x + C2 e −2 x − 2 x 3 − 3 x ;

i) y = C1e −2 x + C2 xe −2 x + ( 4 x 3 + 4 x 2 ) e −2 x ; k) y = C1e 2 x + C2 e −2 x − x sin 3 x −

h) y = C1e 2 x + C2 xe 2 x + 2e − x ;

g) y = C1 + C2 e 4 x − x 3 + x ;

j) y = C1 cos 2 x + C2 sin 2 x + 2 sin x ;

6 cos 3 x ; 13

l) y = C1 cos 2 x + C2 sin 2 x − 2 x sin 2 x − x cos 2 x ;

m) y = C1 cos x + C2 sin x + x sin x − x 2 cos x ;

n) y = C1e 2 x + C2 e x + 2e x cos x ; p) y = 2e 2 x + 5 xe 2 x + 2e − x ;

o) y = C1e x cos x + C2 e x sin x − 2 xe x cos x ; q) y = C1e x + C2 e3 x + s) y = C1 + C2 e − x +

r) y = 7e 2 x − 3e3 x − ( x 2 + 3 x ) e2 x ;

3 1 sin x + cos x ; 10 10

4 3 1  x − 4 x2 + 9 x +  x2 + x  e− x ; 3 2 

t) y = C1 cos x + C2 sin x + 2e x −

x ( sin x + cos x ) ; 2

1 3 u) y = C1 + C2 e − x + x 3 − x 2 + 3 x + e 2 x ; 3 2

4 v) y = C1 cos 2 x + C2 sin 2 x + 4 x sin 2 x − sin x . 3

8. a)

e)

x = C1 + C2e 2t y = C1 − C2e 2t

; b)

x = C1et + C2e7 t y = −C1et + C2 e7t

x = C1e −2t + C2 e5t

; c)

; d) ; 4 1 y = − C1e−2t + C2 e5t y = − C1et + C2 e5t 3 3

x = C1e3t cos 2t + C2 e3t sin 2t y = C1e3t ( 2sin 2t − cos 2t ) − C2 e3t ( sin 2t + 2 cos 2t )

;

x = C1 cos t + C2 sin t f)

1 1 y = C1 ( − sin t − cos t ) + C2 ( cos t − sin t ) 2 2

x = C1et + C2 e5t

;

- 101 -

g)

x = C1e2t cos t + C2 e2t sin t y = C1e 2t sin t − C2e 2t cos t

;


h)


1 x = C1e 2t + C2te 2t + t 2 e 2t 2 1  y = C1e + C2 ( e + te ) + e  t 2 + t − 1 2  2t

2t

2t

;

i)

2t

x = C1e− t cos 2t + C2 e− t sin 2t − t − 1 y = C1e − t sin 2t − C2e − t cos 2t + t + 1

x = C1 + C2 et + 4 cos t

j)

x = C1e − t + C2te −t −

l)

k)

; 1 1 y = − C1 − C2 et − sin t − 2 cos t 2 3

1 ( sin t + cos t ) 2 ;

m)

1 y = C1e + C2 e− t + C2te − t − cos t 2 −t

n)

x = −2e3t cos 2t − e3t sin 2t y = 4e3t cos 2t − 3e3t sin 2t

;

o)

x = −1 + 3e 2t y = −1 − 3e 2t

- 102 -

.

x = C1e2t + C2e6t − et y = −C1e2t + 3C2e6t + et

x = e −3t cos t + 13e−3t sin t y = 14e −3t cos t + 12e−3t sin t

;

;

;


9.

9. Dvojrozměrný integrál

DVOJROZMĚRNÝ INTEGRÁL ..................................................................... 104

9.1.

Dvojrozměrný integrál v obdélníku.......................................................................... 104 Úlohy k samostatnému řešení .......................................................................................... 104

9.2.

Dvojrozměrný integrál v oblasti ............................................................................... 104 Úlohy k samostatnému řešení .......................................................................................... 104

9.3.

Transformace dvojrozměrných integrálů do polárních souřadnic ....................... 105 Úlohy k samostatnému řešení .......................................................................................... 105

9.4.

Geometrické aplikace ................................................................................................. 106 Úlohy k samostatnému řešení .......................................................................................... 106 Výsledky úloh k samostatnému řešení ............................................................................ 108

- 103 -



9. DVOJROZMĚRNÝ INTEGRÁL 9.1. Dvojrozměrný integrál v obdélníku Úlohy k samostatnému řešení

1. Vypočítejte dvojrozměrný integrál v obdélníku D : a) ∫∫ x 2 y 3 dxdy, D = {( x, y ) : x ∈ 1, 4 , y ∈ 2, 4 } , D

b)

∫∫ xe

x+2 y

dxdy, D = {( x, y ) : x ∈ 1, 2 , y ∈ 0,1 } ,

D

c)

∫∫ ln (1 + 2 y )

3 x2

dxdy, D je čtyřúhelník KLMN , K [ 0, 0] , L [3, 0] , M [3, 2] , N [ 0, 2 ] ,

D

 π π  2 xy sin x cos ydxdy , D = x , y : x ∈ 0, , y ∈ 0, ( )  , ∫∫D 2 2   y +1 e) ∫∫ dxdy, D = {( x, y ) : x ∈ 0,1 , y ∈ 1,3 } , x+2 D d)

f)

∫∫ ( 2 x

2

− 3xy + 4 y 3 ) dxdy, D = {( x, y ) : x ∈ 0,3 , y ∈ 2, 6 } ,

D

g)



∫∫ ( x sin y − cos x cos y ) dxdy, D = ( x, y ) : x ∈ D

h)

1

∫∫ ( x + y )

2

0,

π 2

, y∈

π

 ,π  , 2 

dxdy, D = {( x, y ) : x ∈ 1, 2 , y ∈ 1, 2 } ,

D

 y x  −  2 ∫∫D  1 + x 1 + y 2  dxdy, D = {( x, y ) : x ∈ 0,1 , y ∈ 0,1 } ,  1 1   π π π  j) ∫∫  − 2  dxdy, D = ( x, y ) : x ∈ 0, , y∈ , . 2 cos x sin y 4 4 2     D

i)


9.2. Dvojrozměrný integrál v oblasti Úlohy k samostatnému řešení

2. Určete integrační meze pro

∫∫ f ( x, y ) dxdy jednodušším způsobem, jestliže Ω je: Ω

a) čtyřúhelník K [ 0, 0] , L [3,3] , M [ 3, 7 ] , N [ 0, 4] ,

b) čtyřúhelník K [1, 2] , L [ 6, 2] , M [ 6, 6] , N [ 2, 6] , 4 c) ohraničena křivkami y = , x + y = 5 , x d) ohraničena křivkami y = 0, y = x 2 − 3 x + 2 , e) ohraničena křivkami y = 0, y = − x 2 + x + 6 , - 104 -



f) ohraničena křivkami y = 0, y = ln x, x = e 2 , x g) ohraničena křivkami y = x + 2, y = − + 2, y = 0 , 2 2 h) ohraničena křivkami y = x + 6, y = x + 4 x + 6 , i) ohraničena křivkami y = sin x, y = cos x, x ≥ 0 , j) ohraničena křivkami x = 1, y = e x , y = e2 x . Výsledky úloh k samostatnému řešení

3. Vypočítejte dvojrozměrný integrál v oblasti Ω : 1 2 a) ∫∫ ( x − y ) dxdy, Ω : y = , y = 0, x = 1, x = 4 , x Ω b)

∫∫ xdxdy, Ω : x = 0, y = x, x + y = 6 , Ω

c)

∫∫ xdxdy, Ω : y = 0, y = x, x + y = 6 , Ω

d)

∫∫ ( x − 1) dxdy, Ω : y = 4 x , y = 2 − 4 x 2

2

,

Ω

e)

1

∫∫ ( 2 − x − y ) Ω

f)

∫∫ ( x

2

Ω

g)

2

dxdy, Ω : y = 0, x = 0, x + y = 1 ,

+ y 2 ) dxdy, Ω je čtyřúhelník KLMN , K [ 0, 0] , L [3,1] , M [ 3,3] , N [1,3] ,

π

∫∫ xdxdy, Ω : y = x, x = 2 , y = sin x , Ω

h)

∫∫ 2 ydxdy, Ω : y ≥ 0, y = sin x , Ω

i)

∫∫ ( 2 xy − x ) dxdy, Ω : y = x , y = 3

x,

Ω

j)

∫∫ ( x + 6 ) dxdy, Ω : y = x + 6, y = x

2

+ 4x + 6 .

Ω


9.3. Transformace dvojrozměrných integrálů do polárních souřadnic Úlohy k samostatnému řešení

4. Transformací do polárních souřadnic vypočítejte dvojrozměrný integrál v oblasti Ω : a) ∫∫ ( x − 2 y ) dxdy, Ω : x 2 + y 2 ≤ 4, y ≥ 0 , Ω

b)

∫∫ Ω

c)

( x + y) x +y 2

2

2

dxdy, Ω : x 2 + y 2 ≤ 2 x ,

∫∫ 3xdxdy, Ω : x

2

+ y 2 ≤ 2 y, x ≥ 0 ,

Ω

- 105 -


d)

∫∫ dxdy, Ω : Ω

e)

∫∫ Ω

f)

∫∫

1 x +y 2

2


x2 y 2 + ≤ 1, a 2 b2 dxdy, Ω :1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ,

16 − x 2 − y 2 dxdy, Ω : x 2 + y 2 ≤ 4 x ,

Ω

g)

∫∫ ( x + y )

2

dxdy, Ω : x 2 + y 2 ≤ 2ry ,

Ω

h)

 x2 y2  x2 y 2 + dxdy , Ω : + ≤1. ∫∫Ω  a 2 b2  a2 b2


9.4. Geometrické aplikace Úlohy k samostatnému řešení

5. Vypočítejte objem tělesa, které je ohraničeno plochami: a) x = 0, y = 0, z = 0, x = 2, y = 2, x + y + 2 z − 4 = 0 , b) x = 0, y = 0, z = 0, 6 x + 4 y + z − 24 = 0 , c) x = 2, x = −2, y = 2, y = −2, z = 0, z = 8 − x 2 − y 2 , x2 y 2 − , 9 4 2 2 2 e) x + y = r , z = 0, z = v , d) z = 0, z = 36 −

f) y = x 2 − 1, z = y, y = 0, z = 0 . Výsledky úloh k samostatnému řešení

6. Vypočítejte obsah elementární oblasti, která je ohraničena křivkami: 3 a) y = 3 x, y = x, x 2 + y 2 = 4, v I. kvadrantu , 3 2 b) y = x − 2 x − 4, y = − x 2 + 4 x + 4 , c) x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 9 , 1 1 d) x = y 2 , y = 2 , y = , x 2 e) x 2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0, y ≤ x + 1 , f)

( x − 1)

2

+ y 2 ≤ 1, y ≥ − x, y ≤ x .


7. Vypočítejte obsah části plochy: a) z = 0, z = 4 − x 2 − y 2 , b) z = 9, z = x 2 + y 2 , - 106 -



c) x = 0, y = 0, z = 0, 3 x + 4 y + 2 z − 12 = 0 , d) z = 3, z 2 = x 2 + y 2 , e) z = 0, z = x 2 + y 2 − 1 , 1 f) z = x + y, y = x, y = 2 x, y = 1 − x . 2


- 107 -




1. a) 1260 ; b) 9 h) ln ; 8

e2 2 π −2 7 3 π2 5  e − 1 ; c) ; d) ; e) ln ; f) 3696 ; g) +1 ; 27 ln 5 − 2 ( )   2 4 2 2 8 2  j) 0 . 2. a) x ∈ 0,3 , y ∈ x, x + 4 ;

i) 0 ;

c) x ∈ 1, 4 , y ∈

4 ,5 − x ; x

g) y ∈ 0, 2 , x ∈ y − 2, 4 − 2 y ;

π 4

y+2 ,6 ; 4

d) x ∈ 1, 2 , y ∈ x 2 − 3 x + 2, 0 ;

e) x ∈ −2,3 , y ∈ 0, − x 2 + x + 6 ;

i) x ∈ 0,

b) y ∈ 2, 6 , x ∈

f) x ∈ 1, e2 , y ∈ 0, ln x ; h) x ∈ −3, 0 , y ∈ x 2 + 4 x + 6, x + 6 ;

, y ∈ sin x, cos x ; j) x ∈ 0,1 , y ∈ e x , e2 x . 3. a)

245 − ln 4 ; b) 9 ; c) 27 ; 32

4 π3 π 1 32 81 d) − ; e) 1 − ln 2 ; f) 40 ; g) + 1 ; h) ; i) ; j) . 4. a) − ; b) π ; c) 2 ; 3 24 2 120 4 3 3 π ab 256 64 256 π− ; g) π r 4 ; h) . 5. a) 4 ; b) 96 ; c) ; d) 213π ; 3 9 2 4 3

d) π ab ; e) 2π ; f) e) π r 2 v ; 7. a)

π

f)

(17 6

16 π . 6. a) ; 15 3

)

17 − 1 ; b)

π

(37 6

b)

125 ; 3

c) 8π ;

)

d)

41 − 2; 24

37 − 1 ; c) 3 29 j 3 ; d) 9 2π ; e)

- 108 -

e)

π

π2

(5 6

4

+

1 ; 2

f) 1 +

)

3 . 6

5 − 1 ; f)

π 2

.


10.

10. Trojrozměrný integrál

TROJROZMĚRNÝ INTEGRÁL ..................................................................... 110

10.1. Trojrozměrný integrál v kvádru ........................................................................... 110 Úlohy k samostatnému řešení .......................................................................................... 110 10.2. Trojrozměrný integrál v oblasti ............................................................................ 110 Úlohy k samostatnému řešení .......................................................................................... 110 10.3. Transformace trojrozměrných integrálů .............................................................. 111 Úlohy k samostatnému řešení .......................................................................................... 111 10.4. Geometrické aplikace ............................................................................................. 112 Úlohy k samostatnému řešení .......................................................................................... 112 Výsledky úloh k samostatnému řešení ............................................................................ 113

- 109 -



10. TROJROZMĚRNÝ INTEGRÁL

10.1. Trojrozměrný integrál v kvádru Úlohy k samostatnému řešení

1. Vypočítejte trojrozměrný integrál v kvádru W : a) ∫∫∫ xy 2 z 3 dxdydz , W = {( x, y, z ) : x ∈ 0, 2 , y ∈ 0,3 , z ∈ 0, 4 } , W



π

π

 , π , z ∈ 0,1  , 2 2  W  π π  , , c) ∫∫∫ x sin x cos zdxdydz , W = ( x, y, z ) : x ∈ 0, π , y ∈ 0, 3 , z ∈ 4 2   W

b)

∫∫∫ cos x sin y e dxdydz, W = ( x, y, z ) : x ∈

d)

∫∫∫ ln x

z

ln y

0,

, y∈

dxdydz , W = {( x, y, z ) : x ∈ 1, e , y ∈ 1, e , z ∈ 2, 4 } ,

W

e)

x+6

∫∫∫ z ( y − 4 ) dxdydz, W = {( x, y, z ) : x ∈

0, 6 , y ∈ 5, 6 , z ∈ 1, e } ,

W

y+z  π  dxdydz , W = ( x, y, z ) : x ∈ 0, , y ∈ 1,3 , z ∈ 3, 4  , 2 x 4   W 1 dxdydz , W = {( x, y, z ) : x ∈ 0,1 , y ∈ 0,1 , z ∈ 1, 2 } , g) ∫∫∫ 3 W ( x + y + z) f)

∫∫∫ cos

h)

∫∫∫ ( 3x

2

+ 4 xyz − 6 xy 2 − 4 z 3 + 6 ) dxdydz , W = {( x, y, z ) : x ∈ 0,1 , y ∈ 0,1 , z ∈ 0,1 } ,

W

i)



2

+

x y  +  dxdydz , W = {( x, y, z ) : x ∈ 0,1 , y ∈ 0,1 , z ∈ 0,1 } , 2 1+ y 1+ z2 

2

+

y z  +  dxdydz , W = {( x, y, z ) : x ∈ 0,1 , y ∈ 0,1 , z ∈ 0,1 } . 2 1+ y 1+ z2 

z

∫∫∫  1 + x W

j)



x

∫∫∫  1 + x W


10.2. Trojrozměrný integrál v oblasti Úlohy k samostatnému řešení

2. Určete integrační meze pro

∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz , jestliže Ω je ohraničena danými Ω

plochami: a) x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0 , b) z = 4 − x 2 − y 2 , z = 0, x + y = 2, x = 0, y = 0 , c) z = 4 − x 2 , z = 0, y = 2, y = −2 , d) z = x 2 + y 2 − 4, z = 0 , - 110 -



e) x = 0, y = 0, z = 0, x = 4, y = 2, 3 x + 2 y − 2 z + 6 = 0 , 1 f) y = , x = 2, z = 0, y + z = 2 , x g) z = x 2 + y 2 , z = 16 . Výsledky úloh k samostatnému řešení

3. Vypočítejte trojrozměrný integrál, je-li oblast Ω ohraničena danými plochami: 1 a) ∫∫∫ dxdydz , Ω : x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0 , 3 2 + x + y + z ( ) Ω b)

∫∫∫ ( x + y ) dxdydz, Ω : z = 4 − x

2

− y 2 , z = 0, x + y = 2, x = 0, y = 0 ,

Ω

c)

∫∫∫ xy dxdydz, Ω : z = 4 − x , z = 0, y = 2, y = −2 , 2

2

Ω

d)

∫∫∫ (1 + x ) dxdydz, Ω : y = ln x, y = 0, x = e, z = 0, z = x , Ω

e)



3



∫∫∫  3 − 2 x − y  dxdydz, Ω : x = 0, y = 0, z = 0, x = 4, y = 2, 3x + 2 y − 2 z + 6 = 0 , Ω

f)

1

∫∫∫ 2 z ( x + y ) dxdydz, Ω : y = x , x = 2, z = 0, y + z = 2 , Ω

g)

π

∫∫∫ cos xdxdydz, Ω : y = 0, z = 0, y = sin x, x + z = 2 . Ω


10.3. Transformace trojrozměrných integrálů Úlohy k samostatnému řešení

4. Vypočítejte trojrozměrný integrál transformací do válcových souřadnic: a)

∫∫∫ x zdxdydz, Ω : − 1 ≤ x ≤ 1, − 2

1 − x2 ≤ y ≤ 1 − x2 , 0 ≤ z ≤ 3 ,

Ω

b)

∫∫∫

x 2 + y 2 dxdydz , Ω : x 2 + y 2 = 2 y, z = 0, z = 1 ,

Ω

c)

∫∫∫ ( x Ω

d)

2

+ y 2 ) dxdydz , Ω : z = 4 − x 2 − y 2 , z = 0 ,

∫∫∫ zdxdydz, Ω : x

2

+ y 2 + z 2 = 8, z ≥ 0 ,

Ω

e)

∫∫∫ z

x 2 + y 2 dxdydz , Ω : z = x 2 + y 2 , z = 1 ,

Ω

f)

∫∫∫ xdxdydz, Ω : 4 = x

2

+ y 2 , z = 0, z = 4, x ≥ 0, y ≥ 0 ,

Ω

g)

∫∫∫ ydxdydz, Ω : 4 = x + ( y − 2 ) 2

2

, z = 0, z = 1 ,

Ω

- 111 -


h)


∫∫∫ xyzdxdydz, Ω : x

2

+ y 2 = 1, z = 0, z = 4 ,

Ω

i)

∫∫∫ zdxdydz, Ω : ( x − 1)

2

+ y 2 = 1, z = −1, z = 3 .

Ω

Výsledky úloh k samostatnému řešení 5. Vypočítejte trojrozměrný integrál transformací do sférických souřadnic: a) ∫∫∫ zdxdydz , Ω : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , Ω

b)

∫∫∫

x 2 + y 2 + z 2 dxdydz , Ω : z ≥ 0, x 2 + y 2 + z 2 ≤ r 2 ,

∫∫∫

x 2 + y 2 dxdydz , Ω : z ≥ 0, x 2 + y 2 + z 2 ≤ r 2 ,

Ω

c)

Ω

d)

∫∫∫ zdxdydz, Ω : x

2

+ y 2 + z 2 = 8, z ≥ 0 ,

∫∫∫ xdxdydz, Ω : x

2

+ y2 + z2 = 1,

Ω

e)

Ω

f)

∫∫∫ ydxdydz, Ω : x Ω

g)

∫∫∫ ( x Ω

h)

∫∫∫ x Ω

i)

∫∫∫ Ω

2

2

+ y 2 + z 2 = r 2 , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 ,

+ y 2 ) dxdydz , Ω : x 2 + y 2 + z 2 = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 ,

1 dxdydz , Ω : x 2 + y 2 + z 2 = 4, z ≥ 0 , 2 2 +y +z 1 dxdydz , Ω : x 2 + y 2 + z 2 = 4 . 2 2 2 x +y +z

2


10.4. Geometrické aplikace Úlohy k samostatnému řešení

6. Vypočítejte objem tělesa ohraničeného plochami: a) x 2 + y 2 = 1, x + y + z = 2, z = 0 , b) x 2 + y 2 = z , z = 16 , c) x 2 + y 2 + z 2 = r 2 , d) x 2 + y 2 = z 2 , x 2 + y 2 + z 2 = 1 , e) y = sin x, y = 0, z = y, z = 0 , f) y = e x , z = xy, z = 0, y = e , g) y = e x , y = e − x , x = 1, z = 0, z = x , h) y = x, z = y sin x, z = 0, x = π . Výsledky úloh k samostatnému řešení

- 112 -




 1 32 3 2 1. a) 1152 ; b) e − 1 ; c) 3π 1 −  ; d) 2 ; e) 54 ln 2 ; f) 11; g) ln ; h) 5 ; i) π ; 2 27 8 2  

j)

3 ln 2 . 2. a) x ∈ 0,1 , y ∈ 0,1 − x , z ∈ 0,1 − x − y ; 2

b) x ∈ 0, 2 , y ∈ 0, 2 − x , z ∈ 0, 4 − x 2 − y 2 ; c) x ∈ −2, 2 , y ∈ −2, 2 , z ∈ 0, 4 − x 2 ; d) x ∈ −2, 2 , y ∈ − 4 − x 2 , 4 − x 2 , z ∈ x 2 + y 2 − 4, 0 ; 3 1 1 e) x ∈ 0, 4 , y ∈ 0, 2 , z ∈ 0, x + y + 3 ; f) x ∈ , 2 , y ∈ , 2 , z ∈ 0, 2 − y ; 2 2 x

g) x ∈ −4, 4 , y ∈ − 16 − x 2 , 16 − x 2 , z ∈ x 2 + y 2 ,16 . 3. a)

1 3 7 8 ln − ; b) − ; c) 0 ; 2 2 36 5

d)

1 2 2 3 13 652 61 π 9 32 32 e − e + ; e) ; f) 4 ln 2 − ; g) . 4. a) π ; b) ; c) π ; d) 16π ; 4 9 36 9 32 4 8 9 3

e)

4 32 π π r4 π 2r 4 π ; f) ; g) 8π ; h) 0 ; i) 4π . 5. a) ; b) ; c) ; d) 16π ; e) 0 ; 21 3 16 2 8

f)

f)

π r4 16

; g)

π 15

; h) 4π ; i) 8π . 6. a) 2π ; b) 128π ; c)

e2 − 1 2 π2 ; g) ; h) −2. 8 e 2

- 113 -

4 3 π 4  2 π r ; d) π 1 −  ; e) ; 3 4 3  2 

Sbírka úloh z matematika

11.

11. Křivkový integrál

KŘIVKOVÝ INTEGRÁL................................................................................. 115

11.1. Křivkový integrál I. druhu ..................................................................................... 115 Úlohy k samostatnému řešení .......................................................................................... 115 11.2. Křivkový integrál II. druhu ................................................................................... 116 Úlohy k samostatnému řešení .......................................................................................... 116 11.3. Greenova věta .......................................................................................................... 117 Úlohy k samostatnému řešení .......................................................................................... 117 11.4. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě .......................................... 117 Úlohy k samostatnému řešení .......................................................................................... 117 11.5. Geometrické aplikace křivkového integrálu ........................................................ 118 Úlohy k samostatnému řešení .......................................................................................... 118 Výsledky úloh k samostatnému řešení ............................................................................ 120

- 114 -



11. KŘIVKOVÝ INTEGRÁL 11.1. Křivkový integrál I. druhu Úlohy k samostatnému řešení

1. Vypočítejte křivkový integrál I. druhu po dané křivce: a) ∫ xds, k : úsečka AB, A [3,1] , B [ 2,5] , k

b)

∫ yds, k : úsečka AB, A[3,1] , B [ 2,5] , k

c)

∫ xyds, k : úsečka AB, A[1,1] , B [ 2, 4] , k

d)

1

∫ x + y ds, k : úsečka AB, A [0,1] , B [ 2,3] , k

e)

∫ ( x − y ) ds, k : úsečka AB, A[0,1] , B [ 2,3] , k

f)

∫(x

2

+ y 2 ) ds, k : úsečka AB, A [ 2, −2] , B [ 4, 4] ,

k

g)

∫ x sin( x + y)ds, k : část přímky y = x mezi body A[0, 0] , B [π , π ] , k

h)

∫ xe

x+ y

ds, k : úsečka AB, A [1, −1] , B [ 2, 0] .

k

Výsledky úloh k samostatnému řešení 2. Vypočítejte křivkový integrál I. druhu po dané křivce: (Parametrické rovnice kružnice: x = r cos t , y = r sin t , r > 0 .) a)

∫ xds, k : kružnice x

2

+ y2 = 9 ,

k

b)

∫ yds, k : půlkružnice x

2

+ y 2 = 4 od bodu A [ 2, 0] do bodu B [ −2, 0] ,

k

c)

∫ xyds, k : část kružnice x

2

+ y 2 = 1 v I. kvadrantu ,

k

d)

∫ ( x + y ) ds, k : půlkružnice x k

e)

∫(x

2

2

+ y 2 = 1, x ≥ 0 ,

+ y 2 ) ds, k : kružnice x 2 + y 2 = 4 ,

k

f)

∫ x cos arcsin yds, k : kružnice x

2

+ y2 = 1,

k

g)

x

∫ y ds, k : část kružnice x = r cos t , y = r sin t , t ∈ k

h)

y

∫ x ds, k : kružnice x

2

+ y2 = r 2 .

k


- 115 -

π π

, , 4 2



3. Vypočítejte křivkový integrál I. druhu po dané křivce: a) ∫ ds, k : y = 1 + ln x, x ∈ 1, 2 , k

b)

∫ x ds, k : y = 1 + ln x, x ∈ 1, 2 2

,

k

c)

∫ xds, k : y = x , x ∈ 2

−1,1 ,

k

d) e)

k

x3 , mezi body A [ −3, −9] , B [3,9] , 3

∫ sin 2 xds, k :

y = sin x, x ∈ 0,

∫ 3 yds, k : y = k

π

.

2


11.2. Křivkový integrál II. druhu Úlohy k samostatnému řešení

4. Vypočítejte křivkový integrál II. druhu po křivce: a) ∫ x 2 dx + ( y − x ) dy, k : orientovaná úsečka AB, A [3,1] , B [ 2, 5] , k

b)

∫ x dx + y dy, k : kružnice x 2

2

2

+ y2 = r 2 ,

k

c)

∫ ydx, k : první oblouk cykloidy x = t − sin t , y = 1 − cos t , k

d)

∫ dx + dy, k : x = 2 ( cos t + t sin t ) , y = 2 ( sin t − t cos t ) , t ∈

0, 2π ,

k

e)

∫ xdx − ydy, k : část asteroidy x = cos

3

t , y = sin 3 t v I. kvadrantu ,

k

f)

∫ x sin( x + y)dx + cos ydy, k : trojúhelník ABC , A[0, 0] , B [π , 0] , C [0, π ] . k


5. Vypočítejte křivkový integrál II. druhu po dané křivce: a) ∫ ( x 2 + y ) dx + ydy, k : y = x 2 − 3 x − 4, mezi průsečíky s osou x , k

b)

∫ xydx + xdy, k : y = ln x, x ∈ 1, 3

,

k

c)

1

∫ xydx + xdy, k : y = sin x, mezi průsečíky s přímkou y = 2 v I. a II. kvadrantu , k

d)

∫ ydx + dy, k : y = x

2

+ 2 x − 3, mezi průsečíky s osou x ,

k

- 116 -


e)


∫ xydx + xydy, k : y = ln x, x ∈ 1, 4

.

k

f)

1

∫ ydx + ydy, k : y = sin x, mezi průsečíky s přímkou y = 2 v I. a II. kvadrantu . k


11.3. Greenova věta Úlohy k samostatnému řešení

6. Užitím Greenovy věty vypočítejte křivkový integrál II. druhu po křivce: a) ∫ x 2 dx + ( y − x ) dy, k : trojúhelník ABC , A [ 0, 0] , B [ 2,1] , C [ 2, 5] , k

b)

∫x

2

ydx − xy 2 dy, k : kružnice x 2 + y 2 = r 2 ,

k

c)

∫ xdy, k : x

2

+ y2 = 2x ,

k

d)

∫ ( 2 xy − 2 y ) dx + xy dy, k : strany obdélníka x = 0, x = 2, y = 0, y = 4 , 2

2

k

e)

∫ 3xdy + 3 ydx, k : elipsa k

f)

∫ (e

x+ y

x2 y2 + = 1, a 2 b2

+ 3 y ) dx + e x + y dy, k : parabola y = x 2 − 3 x − 4 a osa x ,

k

g)

∫ y sin ( xy ) dx + ( x sin ( xy ) + x ) dy, k : kružnice x 2

2

+ y 2 = 16 ,

k

h)

∫x

2

ydx − xy 2 dy, k : trojúhelník ohraničný přímkami y = 0, x = 0, x + y − 2 = 0 ,

k

i)

∫ xdy − ydx, k : x

2

+ y2 = 2 y .

k


11.4. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě Úlohy k samostatnému řešení

7. K totálnímu diferenciálu určete kmenovou funkci:  1 a) dF = ( 3 x 2 + 2 xy − 2 y 2 ) dx +  x 2 − 4 xy +  dy , y 

b) dF = ( e x + y − y sin ( xy ) ) dx + ( e x + y − x sin ( xy ) ) dy ,

(

)

(

)

c) dF = xy cos ( xy ) + (1 − y 2 ) sin ( xy ) dx + (1 + x 2 ) cos ( xy ) − xy sin ( xy ) dy ,

- 117 -



y   d) dF =  8 x3 y 2 − 6 xy + + 6  dx + ( ln x + 4 x 4 y − 3 x 2 − 7 ) dy , x       2y 2x e) dF =  − sin x  dx +  − cos y  dy ,  1 − x2 y 2   1 − x2 y 2        4x − 6 y 2  dy , f) dF = ( 9 x 2 y 2 − 2sin y + 2 x cos x 2 − 4 tg y + 1) dx +  6 x 3 y − 2 x cos y − 2 cos y    y   x  g) dF =  2 − y  dx −  2 + x  dy , 2 2 x +y  x +y 

  6x  6x  2 h) dF =  y cos xy − 8 xy + 6 ln ( x + y ) +  dx +  x cos xy − 4 x +  dy . x+ y x+ y   Výsledky úloh k samostatnému řešení

8. Vypočítejte křivkový integrál po křivce k s počátečním bodem A a koncovým bodem B: a) ∫ e x + y ( 2 x − y + 2 ) dx + e x + y ( 2 x − y − 1) dy, A [ 0, 0] , B [1, −1] , k

b)

∫ ( 3x

2

+ 6 xy + 3 y 2 ) dx + ( 3 x 2 + 6 xy + 3 y 2 ) dy, A [1,1] , B [ 2, 2 ] ,

k

c)

 π π , ,  2 2

∫ ( y cos xy + 2 x − y sin xy ) dx + ( x cos xy + 2 y − x sin xy ) dy, A [0, 0] , B  k

2   1 1 − 2 ye y  dy, A [ 0,1] , B [1,1] ,  dx +  +   y x+ y  k  1  2 1  x 1  π π  π π  e) ∫  − +  dx +  − 3 + 2 + 2  dy, A  ,  , B  ,  , 2 y cos x  y sin y  4 4 3 3  y k 

d)

 1

∫  x + y + 2e

2x

    y y x x    + dx + + ∫k  1 + x 2 y 2 1 − x 2 y 2   1 + x 2 y 2 1 − x 2 y 2  dy, A[0, 0] , B [1,1] ,       x  y  g) ∫  e x + y − e x − y + 2 dx +  e x + y + e x − y + 2  dy, A [1,1] , B [ 2, −1] , 2  x +y  x + y2   k   sin x sin y 1 2 y   cos x cos y 3 x 1   π  π  h) ∫  − − 2 − 3 − 3  dx +  − 2 + + 4 + 2  dy, A π ,  , B  , π  . y x y x  x y x   2 2   y k 

f)


11.5. Geometrické aplikace křivkového integrálu Úlohy k samostatnému řešení

9. Vypočítejte obsah válcové plochy: a) z = x, y = x 2 , z = 0, x = 1 , b) x 2 + y 2 = 16, z = 0, z = 12 , - 118 -



c) x 2 + y 2 = 4, z = 0, x + y + z = 8 , d) x 2 + y 2 = r 2 , z = r 2 + x 2 + y 2 , e) x + y = 4, z = xy + 6 , 1 1 f) y = , z = 5 , x = 1, x = 2 . x y Výsledky úloh k samostatnému řešení

10. Vypočítejte délku křivky: a) y = ln sin x, x ∈

π π

, , 3 2

b) x 2 + y 2 = r 2 , c) x = a cos3 t , y = a sin 3 t , t ∈ 0, 2π , e x + e− x , x ∈ −1,1 , 2 e) x = a ( t − sin t ) , y = a (1 − cos t ) , t ∈ 0, 2π .

d) y =


11. Vypočítejte obsah obrazců ohraničených danými křivkami: x2 y2 a) 2 + 2 = 1 , a b 2 b) x + y 2 = r 2 , 4 c) y = , y = 0, x = 1, x = 4 , x d) x = a cos3 t , y = a sin 3 t , t ∈ 0, 2π , e) x = a ( t − sin t ) , y = a (1 − cos t ) , t ∈ 0, 2π , y = 0 . Výsledky úloh k samostatnému řešení

- 119 -




1. a) h)

5 17 ; 2

3e2 − 1 2. 4

b) 3 17 ;

c) 4 10 ;

2. a) 0 ;

(

b) 8 ;

)(

c)

);

5 −1

2 +1

2 ln 5 ; 2

d) 1 ; 2

e) − 8 ;

(

)

1 5 5−2 2 ; 3

80 10 ; 3

f) π ;

e) 16π ;

d) 2 ;

f)

g) −

g) r ln 2 ;

(

2 π; 2

h) 0 .

)

2 2 2 −1 . 3

3. a)

5 − 2 + ln

4. a) −

13 5 9 3 π ; b) 0 ; c) 3π ; d) −4π ; e) −1 ; f) π . 5. a) ; b) ln 3 ; c) π + − 3; 3 6 2 2 3

d) −

2

32 27 ; e) 12 ln 4 − ; f) 3 4

3 . 6. a) −4 ; b) −

8 h) − ; 3

g) 0 ;

b)

π r4 2

c) 0 ;

; c) π ; d)

e) F ( x, y ) = 2 arcsin xy − sin y + cos x + c ;

f) F ( x, y ) = 3x 3 y 2 − 2 x sin y + cos x 2 − 4 x tg y + x − 2 y 3 + c ; h) F ( x, y ) = sin xy − 4 x 2 y + 6 x ln ( x + y ) + c . 8. a) 3 ;

b) 96π ;

f)

c) 32π ;

3 π; 4

1 5 g) e − e2 − e3 + ln + 1 ; 2 2

d) 4π r 3 ;

272 125 ; e) 0 ; f) − ; 3 2

c) F ( x, y ) = x sin xy + y cos xy + c ;

d) F ( x, y ) = 2 x 4 y 2 − 3x 2 y + y ln x + 6 x − 7 y + c ;

2 3 7 − 2; 3 π

e)

7. a) F ( x, y ) = x 3 + x 2 y − 2 xy 2 + ln y + c ;

i) 2π .

b) F ( x, y ) = e x + y + cos xy + c ;

e)

d) 0 ;

e)

104 2 ; 3

f)

(

g) F ( x, y ) = arctg c) π ;

b) 56 ; h)

d) ( e 2 − 1) + ln 2 ;

(

)

15 9 1 + . 9. a) 5 5 −1 ; 2 2π 2π 12

)

1 17 17 − 2 2 . 10. a) ln 3 ; 12

e2 − 1 3 c) 6a ; d) ; e) 8a . 11. a) π ab ; b) π r 2 ; c) 4 ln 4 ; d) π a 2 ; e) 3π a 2 . e 8

- 120 -

x − xy + c ; y

b) 2π r ;

12. Řady


12.

ŘADY ............................................................................................................ 122

12.1. Číselné řady ............................................................................................................. 122 Úlohy k samostatnému řešení .......................................................................................... 122 12.2. Řady s kladnými členy ............................................................................................ 122 Úlohy k samostatnému řešení .......................................................................................... 122 12.3. Alternující řady ....................................................................................................... 123 Úlohy k samostatnému řešení .......................................................................................... 123 12.4. Mocninné řady ........................................................................................................ 123 Úlohy k samostatnému řešení .......................................................................................... 123 12.5. Fouriérovy řady ...................................................................................................... 124 Úlohy k samostatnému řešení .......................................................................................... 124 Výsledky úloh k samostatnému řešení ............................................................................ 126

- 121 -

12. Řady


12. ŘADY 12.1. Číselné řady Úlohy k samostatnému řešení

1. Pomocí posloupnosti částečných součtů rozhodněte, zda je řada konvergentní nebo divergentní, najděte její součet, jestliže existuje: ∞ ∞ ∞ 1 1 1 a) ∑ 2 , b) ∑ 2 , c) ∑ 2 , n= 2 n − 1 n =1 n + n n =1 n + 2n ∞ ∞ ∞ 2n + 1 1 1 d) ∑ 2 , e) ∑ 2 , f) . ∑ 2 2 n =1 4 n − 1 n =1 n ( n + 1) n =1 n + 3n + 2 Výsledky úloh k samostatnému řešení

2. Najděte součet geometrické řady: ∞

∞

2n a) ∑ n , n =1 3 ∞ 5n d) ∑ n +1 , n =0 3

b)

∑ ( −1)

n +1

n =1

3 c) ∑ ( −1)   , 4 n =0 n +1 ∞ n 4 f) ∑ ( −1) 2 n +1 . 5 n =0

∞

e)

2 n +1

∞

1 , 5n −1

3n , ∑ 2 n +1 n =1 2

n


12.2. Řady s kladnými členy Úlohy k samostatnému řešení

3. Pomocí vhodného kritéria rozhodněte o konvergenci nebo divergenci řady: ∞ ∞ ∞ n 1 1 a) ∑ n , b) ∑ , c) , ∑ 2n 2 n =1 3 n =1 n ⋅ 5 n =0 n + 1 ∞

n! d) ∑ , n =1 ( 2n − 1) ! n2

3n −1 e) ∑ , n =1 n !

 2n + 1  f) ∑   , n =1  3n + 4 

∞

n2

 n −1 g) ∑   , n =1  n  ∞ 1 j) ∑ , n =1 n n

 1+ n  h) ∑   , n =1  n  ∞ 2 k) ∑ , n n =1

∞  2n + 1  m) ∑   , n =1  n + 2 

n)

∞

∞

2n

∞

n

∞

1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅⋯ ⋅ ( 2n − 1)

∑ 1⋅ 4 ⋅ 7 ⋅⋯ ⋅ ( 3n − 2 ) n =1


- 122 -

n+2 , 3 +1 n =0 ∞ n +1 l) ∑ , n =1 n + 4 ∞

i)

∑n ∞

,

o)

3n !

∑2 n =1

n

.

12. Řady


12.3. Alternující řady Úlohy k samostatnému řešení

4. Rozhodněte o konvergenci alternující řady: ∞

a)

∑ n =1

( −1)

,

∑ ( −1)

 n +1    ,  2n  n

n −1

( −1) , ∑ n =1 ( 2n ) ! n +1 ∞ ( −1) ,

∑ n =1

∑

4n −1

( −1)

e)

n +1

3

∑ ( −1) ∞

∑ ( −1)

n −1

n +1

n =1 ∞

k)

∑ n =0

n +1

∑ ( −1) ( n + 2 )! ,

c)

n

n =0

n =1

h)

∞

,

n

∞

n +1

∞

j)

b)

n =1

n =1

g)

∞

n+2

∞

d)

n −1

( −1)

 n +1    ,  n 

f)

n+2 , n +1

i)

,

l)

n

∞

∑ ( −1) n =1 ∞

∑ ( −1)

n +1

∞

∑ ( −1)

 2n + 1    ,  n  n

n , n +1 2

n =1

n

n +1

n −1

n −1

n =1

2n . ( n − 1)!


12.4. Mocninné řady Úlohy k samostatnému řešení

5. Vypočítejte obor konvergence mocninné řady, pokud lze řadu sečíst, tak ji sečtěte: ∞

a)

∑ n =1 ∞

d)

∑ n =1

∞

g)

∑ n =1

( x − 1)

n

,

n

( x + 1)

n!

b)

n

xn , ∑ n =1 2n

( x − 3) n

3

∞

,

e)

∑ ( −1)

n

n

∞

,

h)

∑ ( −1) n =1

n

∞

,

c)

( x − 2)

n +1

n

n +1

( x + 4)

∑ ( −1)

n +1

n =1

3 ⋅ n! n

f)

n

n

∑ ( n + 1)( x − 1)

∞

,

n +1

∞

k)

∑ ( −1) ( x + 2 ) n =0

n=0

∞

j)

∑ n =1

n ⋅ 4n

( x − 1)

∞

∞

,

i)

xn , 4n

∑ n ( x − 2)

n

,

n =0

∞

,

l)

n=0

∑4

n

xn .

n =0


6. Proveďte rozvoj funkce v Maclaurinovu řadu: cos x a) f ( x ) = e2 x , b) f ( x ) = , x 1 1 d) f ( x ) = , e) f ( x ) = , 1− x 1 + x2 Výsledky úloh k samostatnému řešení

- 123 -

c) f ( x ) = e − x , f)

f ( x ) = sin x 2 .

2n

,

12. Řady


7. Vypočítejte integrál pomocí rozvoje funkce v Maclaurinovu řadu: ex cos x sin x b) ∫ dx , c) ∫ dx , a) ∫ dx , x x x cos x 2 arctg x d) ∫ dx , e) ∫ sin x 2 dx , f) ∫ dx , x x 1 1 1 2 cos 2x dx , g) ∫ e x dx , h) ∫ i) ∫ arctg x 2 dx . x 0 0 0,1 Výsledky úloh k samostatnému řešení

8. Najděte partikulární řešení diferenciální rovnici: a) y′ = 2 y + x3 , počáteční podmínka y ( 0 ) = 1 ,

b) y′′ = y′ sin x + cos x, počáteční podmínka y ( 0 ) = 2, y′ ( 0 ) = 1 ,

c) y′ = xy 2 + x 2 y, počáteční podmínka y (1) = −1 ,

d) y′ = sin x + xy, počáteční podmínka y ( 0 ) = 0 ,

e) y′′ = y ln x + e xy , počáteční podmínka y (1) = 0, y′ (1) = −1 , 1 + x 2 y, počáteční podmínka y (1) = 1 , x g) y ' = 3 y + 2 xe y , počáteční podmínka y ( 0 ) = 0 .

f) y′ =


12.5. Fouriérovy řady Úlohy k samostatnému řešení

9. Rozviňte ve FŘ: −  1 x ∈ −π , 0 a) f ( x) =  , x ∈ 0, π 1 π x b) f ( x ) = − , x ∈ 0, π , sinová i kosinová 4 2 c) f ( x ) = x 2 , x ∈ −π , π , d) f ( x ) = x 2 , x ∈ 0, 2π ,

e) f ( x ) = x 2 , x ∈ 0, π , sinová,

f) f ( x ) = x , x ∈ −π , π ,

1, x ∈ −π , 0 g) f ( x ) =  , 3, x ∈ 0, π h) f ( x ) = x, x ∈ 0, π , −2 x ∈ −π , 0 , i) f ( x) =  x ∈ 0, π  2 - 124 -

12. Řady


0 x ∈ −π , 0 j) f ( x) =  , x ∈ 0, π 1 k) f ( x ) = 1 , x ∈ 0, π , sinová,

l) f ( x ) = π − x , x ∈ −π , π .


- 125 -

12. Řady



1. a) řada konverguje, s = d) řada konverguje, s = konverguje, s = 2 ;

3 ; 4

b) řada konverguje, s = 1 ;

c) řada konverguje, s =

3 ; 4

1 1 ; e) řada konverguje, s = 1 ; f) řada konverguje, s = . 2. a) řada 2 2

b) řada konverguje, s =

diverguje; e) řada konverguje, s =

5 ; 6

c) řada konverguje, s =

12 ; 25

d) řada

3 20 ; f) řada konverguje, s = . 3. a) řada konverguje; 2 29

b) řada konverguje; c) řada konverguje; d) řada konverguje; e) řada konverguje;

f) řada

konverguje; g) řada konverguje; h) řada diverguje; i) řada konverguje; j) řada konverguje;

k) řada diverguje; diverguje;

l) řada diverguje;

p) řada diverguje;

m) řada diverguje;

q) řada diverguje;

n) řada konverguje;

r) řada diverguje;

o) řada

s) řada diverguje;

t) řada konverguje; u) řada konverguje; v) řada konverguje; w) řada konverguje; z) řada konverguje.

4. a) konvergentní;

d) absolutně konvergentní;

b) absolutně konvergentní;

e) divergentní;

f) divergentní;

c) absolutně konvergentní; g) absolutně konvergentní;

h) divergentní; i) konvergentní; j) absolutně konvergentní; k) konvergentní; konvergentní. 5. a) 0, 2 ) , s = − ln ( 2 − x ) ; b) ( 0, 6 ) , s =

d) −5, 3) , s = ln h) ( −∞, ∞ ) ;

4 ; 3− x

e) (1,3 , s = ln ( x − 1) ;

i) (1,3) ;

j) −1, 1) , s = ln

x−3 1 ; c) ( −3, −1) , s = 2 ; 6− x x + 4x + 5

f) ( −4, 4 ) , s =

x ; x+4

1 ; 1− x

k) ( 0, 2 ) , s =

1  1 1 l)  − ,  , s = . 1 − 4x  4 4 ∞ 4 x2 8x3 2n x n 2n x n 6. a) e = 1 + 2 x + + +⋯ + +⋯ = ∑ ; 2! 3! n! n! 0 2x

b)

2 n −1 2 n −1 cos x 1 x x3 1 ∞ n x n x = − + − ⋯ + ( −1) + ⋯ = + ∑ ( −1) ; x x 2! 4! x 1 ( 2n ) ! ( 2n ) !

( −1) x + ⋯ = ∞ ( −1) x ; x 2 x3 = 1− x + − +⋯ + ∑0 n ! 2! 3! n! n

c) e d)

−x

n

n

∞ 1 = 1 + x + x 2 + x3 + ⋯ + x n + ⋯ = ∑ x n ; 1− x 0

- 126 -

n

l) absolutně

g) ( −∞, ∞ ) ; 1

(2 − x)

2

;

12. Řady


e)

∞ 1 n 2n n 2 4 1 1 = − x + x − ⋯ + − x + ⋯ = ( ) ( −1) x 2n ; ∑ 2 1+ x 0

( −1) x 4n+ 2 + ⋯ = ∞ ( −1) x 4n+ 2 ; x 6 x10 + ⋯+ ∑0 ( 2n + 1)! 3! 5! ( 2n + 1) ! n

f) sin x 2 = x 2 −

n

g) e x = 1 + x 2 +

∞ x4 x6 x2n x2n + +⋯ + +⋯ = ∑ ; 2! 3! n! 0 n!

h) arctg x = x −

2 n +1 2 n +1 ∞ x3 x5 n x n x + − ⋯ + ( −1) + ⋯ = ∑ ( −1) ; 3 5 2n + 1 2n + 1 0

i) e3 x = 1 + 3x +

∞ 9 x 2 27 x3 3n x n 3n x n + +⋯ + +⋯ = ∑ . 2! 3! n! n! 0

2

7. a)

∞ ex x2 x3 xn dx = c + ln x + x + + + … = c + ln x + ∑1 n.n! ; ∫x 2.2! 3.3!

∞ cos x x2 x4 x6 x2n n b) ∫ dx = c + ln x − + − + ⋯ = c + ln x + ∑ ( −1) ; x 2.2! 4.4! 6.6! ( 2n ) . ( 2n ) ! 1 ∞ sin x x3 x5 x7 x 2 n +1 n c) ∫ + − + ⋯ = c + ∑ ( −1) ; dx = c + x − x 3.3! 5.5! 7.7! ( 2n + 1) . ( 2n + 1)! 0 ∞ cos x 2 x4 x8 x12 x4n n d) ∫ dx = c + ln x − + − + ⋯ = c + ln x + ∑ ( −1) ; x 4.2! 8.4! 12.6! ( 4n ) . ( 2 n ) ! 1

x 4n+3 e) ∫ sin x dx = ∑ ( −1) +c; ( 4n + 3)( 2n + 1)! 0 ∞

n

2

f)

∞ arctg x x3 x 5 x 7 x 2 n +1 n dx = c + x − + − + ⋯ = c + − 1 ∑0 ( ) 2n + 1 2 ; ∫ x 32 52 7 2 ( )

g) 1, 4625 ;

h) 1, 4652 ;

i) 0, 2979 . 8. a) y = 1 + 2 x + 2 x 2 + b) y = 2 + x + c) y = −1 −

4 3 11 4 11 5 x + x + x +… ; 3 12 30

1 2 1 3 1 4 1 5 x + x + x + x +… ; 2 6 24 60

1 1 1 2 3 4 ( x − 1) − ( x − 1) + ( x − 1) +…; 2 6 24

e) y = − ( x − 1) +

d) y =

1 2 1 4 x + x +… ; 2 12

1 1 1 2 3 4 ( x − 1) − ( x − 1) − ( x − 1) +…; 2 6 12

f) y = 1 + 2 ( x − 1) +

3 5 13 2 3 4 ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1) +…, 2 2 8 - 127 -

5 g) y = x 2 + x3 + x 4 +… ; 4

12. Řady


1 h) y = 1 − x − x3 +…; 6

i) y = 2 + 4 ( x − 1) + 8 ( x − 1) + 2

1 1 4 j) y = x − x 3 + x +… ; 6 24

m) y = 1 + 2 ( x − 1) + ∞

∑

9. a)

n =1

∞

d) 2 + ∑ n =1

h)

4

π

∞

n =1

3 2 4 3 35 4 x + x + x +…; 2 3 24

l) y = x +

1 2 1 4 x − x +…; 2 8

1 1 1 1 1 3 4 ( x − 1) − ( x − 1) +… ; n) y = x 2 − x3 + x 4 +… . 2 12 2 3 8

4 sin ( 2n − 1) x

π ( 2n − 1)

4 sin ( 2n − 1) x

π ( 2n − 1)

sin ( 2n − 1) x

∑ ( 2n − 1)

k) y = 2 x +

47 95 3 4 ( x − 1) + ( x − 1) +… ; 3 3

sin nx π ∞ 2 cos ( 2n − 1) x , +∑ b) ∑ ; n 4 n =1 π ( 2n − 1) 2 n =1 ∞

;

∞

sin nx ; f) n n =1

; e) π + 2∑

; i) π +

2

π

∞

∑ ( −1) n =1

n

∞

∑ n =1

8sin ( 2n − 1) x

π ( 2n − 1)

, g)

∞ cos nx n +1 sin nx . + 2 ( −1) ∑ 2 n n n =1

- 128 -

∞

c) 2∑ n =1

( −1)

n

sin nx ; n

1 2 ∞ sin ( 2n − 1) x + ∑ ; 2 π n=1 ( 2n − 1)


Literatura

BARTSCH

Hans

Jochen.

Matematické

vzorce.

Praha:

Mladá

fronta,

2002.

ISBN 80-204-0607-7. BURDA Pavel. Algebra a analytická geometrie. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 1997. ISBN 80-7078-479-2. BURDA Pavel, KREML Pavel. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - Matematika IIa. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 2004, ISBN 80-248-0634-7. BURDA Pavel, DOLEŽALOVÁ Jarmila. Integrální počet funkcí více proměnných Matematika IIIb. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 2003. ISBN 80-248-0454-9. BURDA Pavel, DOLEŽALOVÁ Jarmila. Cvičení z matematiky IV. Skriptum VŠB-TU Ostrava 1999. ISBN 80-7078-025-8. PAVELKA Lubomír, PINKA Petr. Integrální počet funkcí jedné proměnné - Matematika IIIa. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 1999. ISBN 80-7078-654-X. REKTORYS Karel a kol. Přehled užité matematiky. Praha, SNTL 1968. VLČEK Jaroslav, VRBICKÝ Jiří. Řady - Matematika VI. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 2000. ISBN 80-7078-775-9.

- 129 -

Radka Hamříková VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA

Recommend Documents