MAG YA R HONVf!.DEL M 1 SPORTSZOVBTS f!. G
25
FÜZETE,/
SZÉPE DEZSŐ -~ ----
-
-
' -·
Rádióamatörök matematikája ll.
SZÉPE DEZSG
RÁDIÚAMATÚRÖK MATEMATIKÁJA II.
MAGYAR HOllo""VÉDEL:.\!I SPOBTSZön'H'H 1~1
MAGYAR RONVÉDELMT SPORT~ZÖVETSÉG :RÁDIÓA:\UTÖR FUZETEI 23. SZÁl'(
GOND.A GÁBOR
S!!:er"keszti: KUN JÓZSEF
Kiarlja: Magyar Honvédtlmí
Sportszövets~g
Rákóczi Kiadó
Ftltl&r: Kádl\r Albtrt 6ll262fl Zrlll.fl ~y~;~IZld&, Budapellt
Ez tt m&8Ml~ füttt, t!tMMrlt tekintve - ~tt4'6b mMt81-e.fnbtek ss6l. Igye. keztünk világos es egyszerű példálron keresztul bemutatn:. a nagyobb gyakorlatot igényl/J matema,tikai tiaaz~jüggésék helyu megoldá.H tnl!lMtét. Azoknak, akik lelkiiamerl!lteBtJn átta,nulmányo=ták a~ el86 lii.zet min4 a tiz fejszeiJ,t,
élJ mittil ttibb példát oldoteak ml!lg -
Mm
fog e mrúodik f'éat:
~sbb nehézség&~
okózni. E füzet fejez eteihez kb. 34 példát adunk közre, melyeket a bizl08tlbb gyaktwlat nugattrzése céljából dolgoztunk ki. A példák véget-édményeit ú f$ltwnutt.ük, 'Mgy mi»dtnki tllen(irizheese 8Wmítá-eainak helyeseégét. Rtmélem, hi'Jgy e két filzet hastMB aegít6fév~ válik azokn~d: az ~dkfulk, Gkik nem idegenkednek a matematikát6l - ú gyakorlati munkájuk 80l'án alkalma._ ~k il.
l*
3
I. FEJEZET VILLAMOSSlGTAS EGYENLETEL'\EK CÉlS7ERC fR{S:MÓDJA.
Az előbbiekben már szó volt az egyes összefüggések írásmódjairól, és a dimen:z:iók 8talakít.ásé.ról (konstans-képzés), de szükséges, hogy megismerkedjünk közelebbről a mennyiségek írásmódjaivaL Vonjunk párhu~amot a mértékfüggetlen (C. G. S.) és a mértékfüggő PL K. S.) rendszerrel. Ez utóbbit Gíorgi-féle rendszernek is nevezzük. E Gíorgi-rendszer fő törekvése a már alkalmazott és meglevő elekt.romágl'lel!eS egységeknek, egy, a klasszikus mecbanikát is átfogó m4rt·ékrendszerré valo kibővítése - éspedig úgy, hogy a rendszer négy alapdimenzióval rendelkez-
zen. A. Giorgí-rendszer villamos körökre alkalmas egységei az eddig használtakkal a~onosak.
I<Jltérés csupán néhány mágneses (indukció,
térerős~ég)
egységben van.
~fi vel a rendszer négy dimenziós (V. A. J\1. S.), a dimenzió egyenletekből kíküszöbölhetők a sok, t.évedésre okot adó törtkitevők. Azok, akik már számoltak Gíoqziféle rendszerben tudják, hogy mennyire leegyszerűsíti és áttekinthetővé teszi a
llZámítá.st. A Giorgi-rends~ert nemzetközileg elfogadták, és ezért helyesnek tartjuk, hogy amatőreinkkel megismertessük. A Giorgi-rendszer vitathatatlanul kényelmesebb és egyszeríibb írásmódot enged meg. Ennek előnye megmutatkozik a~ ellenőrzésnél, a és nem utolsósorban az oktatásnA.!. Gyakorlati előnye még (a négy kifolyólag), hogy a mennyiségek, és a mennyiségek egységei közötti összefüggések mindig azonos alakúak. Ha pedig elméletileg tárgvaljuk az összefüggéseket. úg~· a mértékfüggetlen írásmód szerint a mértékegységekkel nem is kell tör6dni. Befejezésként meg kell említenünk, hogy amíg a mértékfüggö eljárásnál az egységkérdés előre meghatá· lWtt - éspedig úgy, hogy az egységek a használt képlethez vannak szabva így a mértékfüggetlen írásmódnál tetszőleges egy. sél{ekben helyettesíthetjük h> az eg~·es mennyi3égeket - az egyetlen kérdéses ménnyiség kivételéyel -, mely a ,,álasztott ,-alameh' egyégben kiadódik. Előfor dul &zonban. hogy az eredményt nem a ki,·ánt egységben kapjuk. akkor az eredménvt át kell számitanunk ami bizom• soko;zor több lépé6ben sikerül csak. ·És most bemllte.tunk két összehasonlító példát a mértékfüggetlen, és mértékfliggő rendszerben:
J, pelda. l. JJt~határoUJnd6 "rt11 l = 4000 m,éter wszú, q = 2 nigyzetm.:Zli.,._ uruztmeüuetü vörösrézhuz<:Zl ellenálláea.
a) Mérrekfüggetúm 1,rti8m,óddal jeiirva az alapöaszejuggé8t, kapju}(.l lr
~e
l
-, q
~~~ t:t
e
[} mm2 O,Ol'iö - - - egysigben van adoo.
m
4 km
Il
= 0,0175.
m
4
1oa
2
=
0,01715. :? • 103
"""
0,0350 . J03 = 3!) Q. b) A
mértékfüggő
l=4·J03 m;
P.
= 1,75 · JO-B
Giorgi-remlszerben pedig:
q= 2.10-• m";g= 1,75·10- 8 !} m
4. 70 3
=
2 • IO--•
1,75. JO-B· 2. JO' melyben
2. F egyúnk rnost eg;?J
=
q
3,5. 10 =35!}.
n~ágneses d~men-zió
'is szerepel. trw<szforrnátor, rnelynek = 10 OOO Gauss indukeiót
111 el:kora 46
enge•lünk a) A
U
=
-y2 :r2-- • l • B • q =JOB
4,44 .
a ern'!.
t.
B •q
50 4,44 -- • 10 OOO G. 45 cm 2 se c
=
l
IO-BVsee 10s . - • - - - cm2 = l V sec cm2
b) G-iorgi-rendszerben (az
elő::ő<:el egyező
eg-yenlet szerint):
(10000 G= l T'oltseejm')
u= 4,44
so
JV8ec . - - - • 0,004ii mz
se c
=
1 V
1H::.
c) Kiszámitha/juk még aszokásos k-ifejezetten számérték (az általánosan ismert) egyenlet szerint is. A szakitsos alakja:
n=
U· J0 8
(l)
B· l· q· 4,44
kifefezve U -feszültséget.
U
4,44 • l· B · q· J 0- 8
,V
=
1,44 . 4'; • 5 . JOt . JO' • 10- 8
4,44 · 50 • 10 OOO • 45 • J0-8
=
=
l Volt.
A G-iorgi-léle írá.vm6dot természetesen gyakorolnunk kell, ahhoz, hogy bi:a to.mn számolha-ssur,k vele.
II. FEJEZET MAGAS\DB FOKÚ .1\:LAP\It:'U::UTEKKIL (lg, ln, ex) VALÓ S7Á2\fOLÁ!l SZ.-Ui'i.LlUK A logaritmus fogalma:
Az egyenlő alapú hah·ánymermyíségek szorzásakor, osztásakor, a hatvány. mennyiség hatv:myozásakor, vagy gyél1cvonáskor - a hatványkítevőkkel eggyel alacsonyabbfokú műveleteket végzünk Igy pl.: az összeadúst a szorzásnár, a ki\·onást az osztásnál, az osztást a gyökvonásnál, és a szorzást a hatványozásnal - eggyel alacsonyabbfokú miiveletnek mon
5
Ha valamely tetszöféges alap ha.tványait. egy táblá2atba foglaljuk, f•kkor a fenti JnÜveleteket igen könnyen elv8ge.óotjük. Számoljuk ki, és foglaljuk táblácatba a 2 alapszám 9-ig terjedő hatványait, 1. táblázfAl
[o[
n
12131415161718
l l2l4l
8
16
Tegyük fel, hrJ§;?":r üsszeszoro:::.zuk a
l~S~st
q
2n
l
kitevőket,
l 64
32
4- gy t-J ..A fenti
1128,256 512 t~blázatot
a kövctkezó .. szorzandó) (Eggyel ala•:"oHy&bofokú műveletet végzünk.)
~éppen használjuk~
fölé ili:
j
9
u táblúzac:~Jan e
és
sz~ün
(,;)zorzó
<~n
9 És most megkeressük ehhez a 9-hez. müH Líte,-őbCz tartoLÓ számot, és az ez alatt levő érték adja aJenti szoi·z:1s ;JI:?. Ha a túblAz~::..tunkat kib6víie!1énk, tetszőleges számokra. is lll Ln '--lc"teket. A felhő sorban levő számokat az alsú sz,1mok a!üpú """·ezzük. Jelölése: n = lg2 q; vagy hatnin;, alakban q ;Cn, a két mlíve!et egymásnak inverze. A műveletek, mellvel adott hatvándwz és alapjához me;l'határozzuk a kitevöt - logaritrnuskere~ésnek never.zük: ,, alapjául bármely pozitív szám (a O és l A gyakorlatban két fajta alap ú el, az egyik a tízes alapszámmal rendelkező Briggs-fele r0mbzer, je 1 :H,:·~e a természetes alapú a· ur:tlis). Napie~, ffi\Jlynek alapszáma e 2,7l82S ... .Í"';)]'"'' lVIielőtt rátérn6nk a logaritmus nume:·il<us szc.'Já .. lyaira, az alábbiakban a logaritmussal elvégezheté.í műwleteket általánosságbaJJ. foglaljuk össze.
+
Logaritmussal való szorzás: lg (a . b)
=
lg a
+ lg
b
(2)
Logaritmussal való osztás: (3)
Logaritmussal történü hatván)'OZás: lg "'"'
n lg Al
(4)
Logaritmussal való gyökvonás:
"
lg(k n
(5)
Az egyes logaritmus-rendszerek közőtt (itt az ln és szetesen meghatározhatjuk az átszámítási (:\!.) A műszaki gyakorlatban miudkét alapú log~
E:e•: kc-zöljük a két rendszer egymásba történo átszámítási képleteit: E> ,;. ;;J-e<; alapú logaritmus-rendszerből az e-ale.pú logaritmus-rendszerre térünk
Ink Ha pedig az e-e.Iapú
2,3025851
logaritmus-rendszerről
(ti)
térünk át a 10-ea a.la.pd logaritmus-
r~ndsz:erre:
lgk = M, Ink; M 2
0,4342945
('l)
A számok logaritmusaí egész és tizedos törtrészekből állnak; az egész rész a karak!crisotika (Jellamző), a törtrész pedig a maníisszr.L (pótlék). Az l-nél nagyobb számok Jogaritmusai pozitlvak. a nulla és egy k&zé eső számok pedig negatívak. A pozttív karakterisztíka a mantíssza elé - a negativ karakterisztike. pedig & mantíssza után keriil. A karakterisztika meghatározása a logaritmussal való számolás egyik fontos feltétE'!e, és azért az alábbiakban ilyen karakterisztika megállapító példákat köz. Junk (a 10-es alapú rendszerben): lg lg lg lg lg lg lg
2 36 125 6825 0,21 0,015 0,00232
=o, =l, =2, =3, =O, •.. -1 o, ... -2 =0, ... -3
, • , ,
mert mert mert n1ert
, mer_t
< 2 < 36 125 < 682 5 < w-• 0,21 2 I 0- < 0,015 10° IO• 102 103
, mert , mert I0-3
< 0,00232
<
101
< J02 wa < 10' < 10° < 10-1 < w-•
E példák alapján amatőreink is próbáljanak hasonló jellegű ka.rakterisztika megállapításokflt gyalwrló jelleggel végezni. A karakterísztikát tehát rnindig mi állapítjuk meg (a 10-es rendszerben) - és csak a mantisszát vesszük a logaritmus táblázatbúl. Például: állapítsuk meg, és keressük ki a logaritmus táblázatból a lg 1825 .t A karakteriszt.ika 3, ... ; , ; mert 10" 1825 104 A mantissza megállapítását ötjegyű logaritmus táblázatból végezzük a követ. kezöképpen (természetesen lehet négyjegyűből is). A logaritmus táblázatban a függőleges N. oszlopban megkeressük a 182-t, majd ezen a soron jobbra wvábbmenve, a felső sor 5-ős értékénél leolvassuk az itt található számértéket 26 126.
<
<
Tehát: lg 1825 = 3,26126 Ha nincsen ötjegyű logaritmus táblánk, úgy lineáris interpolálást kell alkaJ. ma.zui. Az interpolálás míívelete a követ.kezőképpen történik: 1negkeresaük az adott számot (182-t az 5-ben) közrefogú két szám különbségéhez (10) a mantisszák mekkora különbsége tartozik (ez a táblabeli különbség), és aránypárral meghatá-o rozzuk, hogy az adott szám és a két közrefogó szám kisebbike közötti k;ülönbségre (utolsó jegyre) mennyi különbség, jut. Határozzuk meg a lg 1825 értékét most négyjegyű logaritmus tábla segít~ gével lineáris interpolálás alkalmazásával. lg 1820
3,2600;
A közrefogó két sz.ám kalönbsép 1830 - 1820 = lQ
A m11nt.isszák különbsége: 2625 - 2601 = 24 Az adott szám és a legkisebb közötti különbség 1826 Tehát felállltva az a.rá.nypárt: 10: 24- li: :lll
1820 _, i
Megoldva az aránypárt
•=
24. 5
ll
10
tehát: lg 1825 = 3,2600
+
12
3,2612 TermészE>ü?sen az előbbi ötjegyű mantissza helyett, most értelemszE>rliE>n négyjegyűt fogunk L.apni. Ha ,-ísszukercsósrő! van szó - tehát a logaritmus é!'tékéből akarjuk a számot maghatározni, akkor az előbb ismertetett interpoláiást fordított sorrendben v8gezzük eL Tehát a visszakeresés menete a következő: El6ször a kurakterisztikából megállapítjuk a szám első értékes jegyének helyi értékét, majd a logaritmus táblázatból (ter:nészete;;en c3a.k akkor, ha az adott mantissza a táblá~atban fellelhető) a mantissza. sorának X. oszlopához tartozó - első sorban levő számát írjuk.
Pl. a) lg ;;c
2,2528
A karakterisztika 2, tehát a számnak három értékes egész jegye lesz. Jelöléssei a következőképpen szoktuk feltüntetni:
X= ... , .... A Il:la.ntisszát a 2528-at megtaláljuk a 17-es sor 9-es oszlopában és így x~
b) lg;;c
0, 7307
2;
179
x=?
A -2-es karakteri•ztil,ából azt láthatjuk. helyén fog állni. A szokásos jelóU•si
x
0.0 ...•
X értéke;
a szám
első
értf>kes jegye a századok
A mantissza a 73. sor O. oszlopában található, és így x 0,05380
Ha visszakereséskor nem találjuk a táblázatban az adott mantigszát, úgy a már ismertetett lineáris interpol~.c1Ót aíkalmazzulc
Pl. lgx = 3,2275; X = ? {négyjegyü tábla alkalrnazá5ánál) A karakterisztika 3, tehát négy egész jeg~-e lesz a számnak. :lfegállepitjuk a közre. mantisszákból a táblabeli különbséget 2:279 22.53 = 26 t·-; az adott mantissza a két közrefo~ZÓ kisebbik mantissza kózöcti különhsé"et 2 275 - 2 253 22. arányos résznek rnegfelelő számot aránypárral határozzuk meg: 26: 10 =22:
X=
22. 10 26
x
=~8
Tehát a 2273 mantisszához tartozó 168-as számértékhez negyedik jegyként a 8-ast írjuk.
lgx
3,2275; X= 1687
A logaritmusokkal való számolás előnye természetesen csak megfeÍel6 begya· korlás után fog megmutatkozni. Amennyiben számításainkat csupán három
8
értékes jegyre akarjuk meghatározni, úgy elegendő, ha a 25 cm-es Jogarlécet használjuk (lásd: Balogh "~nur: "A loearléc" cimií könyvt:t). Az alábbiakban egy púr péld{tt ~cöz:ünk az összetettebb Iogaritmáiásának köréből - egyidejűleg az áttekínlhetőségre, és gyors ellenőrzésre is útmutatást adunk. Számításainkhoz ötjegyű táblát használ tunk.
l. példa. 1. felaáat: Elsr5nelc nézzük az alábbi eqN8Ze1'1~ példát: a) Ki almrjuk s:ámiíani rádiókészülékünk f:rzékenységét 20 dB-es jel)zaj viszony raPlleU. kell hará;·oznunk a szabványos SOm W-os alapra vonat· Első léphként fe ..izültsiget (5 oMnos terhelő ellenállás esetében). koztntoU Felirva a jól i!$mert (S) Először áifulánositsulc a
feladat 'fnegoldá.sát, logar·itmliljuk mindkét oldalt.
kapfuk lg N
lg U J,fost
keres.s~il:
2
ki a loyaritmus Z é.s X számok megfeleW (logwrit-) érltkr!l.
f,.s ~égezzük el a kijeíólt n. illeletet:
lg
lg N
=
Jg 0, 0§
=
z
lg 5 = 0,69897
0,69897 - 2
lg N=
lg Z+ lg N
2
-
2
- - - - - - - - - = 0,69897 - l
2
lg 0,69897 - l = X; X= 0,5 V Tehát a O. feszültségszint, amelyhez viszonyítjuk a 20 dB-t, 0,5 V len. Az a kérdés, hogy ehhez a 0,.5 V-os alapszinthez mekkora feszultségérték fog 20 dB-ea o~illapítás rneltett tartozni? Ez gyakorlatilag annyit jelent, hogy a rádió7.,észülék bemenetére csatlakozotl szi(J'nál kábellel pontosan akkora naqyfrekvenciás (Af 80%, j= 400 H~) jelfeszii/t.'Jéget táplúlun!~ a kés:ülékbe, mely a végfokozat kimenetére (kimen:ó trafó szekundereJ kapcsolt csővoltmérCn 0.6 volt feszültséget mutat. Ez felel ohm) mellett az 50 millíwattnak. az·,arlott dB -es Ú ff.'! áll i tj•.;k be, hort?! ,l;;ikapcsoljuk a szignála késciilél~ hangerőszabályozójával olyan kim.eneti a 0.-5 volthoz (mínt alapszinthezJ képest 20 dB-es rneg ezt a f(Jszültséget. Ehhez át keU Í8mert összefüggését hatványmennyiséggé.
9
lia a C8't1lapításnak 20 dB-t veszünk, akkor a Uk·1
10 1 = - - vagy átírva Ube
ub
e
=
20 helyettesítéaael (10)
10
Ez gyakorlalilag tíz,szeres feszültségcsökkmést jelent. A fenti példára vonatkoztmva a 0,5 110/los O db-es érUkhez 0,05 V -os fes~ültségérték fog 20 dB-es szintváltozás mellett tartozni. A rádiókész·iíl~k zajkoj)átolt érzékenységét az ehhez a feszültséghez (0,05 volt) tartozó nagyfrekvencia« bem
2. feladat: Nézzünk moat egy bonyolultabb öaszefűggés loqaritmus8al történő megoldását. F'eladatunkul tűzzük ki, hogy rneghatározz11k <:U.'f hanyjrd.:uenciús végerősítő ,.A" osztályban dolgozó végcsö·v6nek katúdkonden,"
t'k
= lá. Rk
vl. + 1
Rk •
811)·;--72
-iöoó ···
• &
Dimenziók: Rk !2. SA mA/V, ok p.F Elsőként helyrs, hu u.; ·il.'!''" összefiiggéselcet álta. lánosUva logw"ií'liHÍ/iok i•íl átgondolva a meg. oldá8 el-vi u.enct•'l. Kü}IJn_ figye~mct :!nl• ~:u·!: //()f/Y a képletben az össze. adas
t:S
a kl vona,..,
·mu~rr'J(
!í·
leteket ped·ig 'n<"rn. i'wlf"ak ehhe~ hasonló esf'i• kl· r· n l~hctősi:gekhez ld l'' .,t. m,lil L ábra zünk el. Ha köz{,en iis":u.ulrís pel, 1JÚszaulakílj~tk a lo!furil:n
1'ik.•1h1~.< tijra logan:tmáha (most már lehet) d u :•:lit A teljessé.'! ked11éért mcgem.litj1i.k ·még, k1:vonandó tag műveltiileg elhagyható éR c;; 11 értékű változá.•t okoz, akkor már a loguri/t,/IÍ/<Í' Jelen esetben ez az út nen~ ]ú·rható, 1nert U'ii!Ínt l1í/Ni /oy]?.tA~, a négyzetes tag é;·tlke rv 1,82 lesz, és itt múr 'l't:!tociÍst íelent a - 7,25 elhanyagolása. E feladat megoldásút Mrom lép~sben végezhetjük el: a)
Előazőr
logaritmúljuk a gyök-kifejezéB dtltti törtet. ti!Ttr.s IJsozcfüggését e/t·,'gezz·íik a négy, /l('h)le.
c) Logari.máha dvégcizük a b) alatti s:•Ím.frlt'/c g,11ökvonását és ősszel adjuk (szorozzulo) az a) pontbeli wtrur"'"'""' lrir'keH:el. Az ·Í!l!J kopott htéke viss::aalakítjttk. Ezzel r:lt;;;:c•r1.<en ágy járunk el, Tekintve a b) pont alatti értéket) numeriku
10
A megoldás menete a köt•etkez5:
eUJször általános·ítva ·írjuk fel összefüggé.
(
l+
Rk • S A )" 1000
1,26
Ezután az egyszedl, fogás után loga·ritmáli'un'k. lg ck = lg 31sooo -
(lg
lá
+ lg RkJ +
Most már konkrét számértékekkel bekelyettwítve végezketjük el a hiPúzöU feladatot. Rk SA=
lá =
150 Q 9 mAJV 50 Hz
A =
(
l
150. 9)' +- 1000
A = 2,350 2
lg A
=
lg 4,21 = lg lá
= lg
2 50
lgRk =lg 150 lg 318000 lg já +lg Rk !gy ebből
=
1,25
-
0,63043
rv
=
1,26 4,21
0,316U
= 1,69897 = 2,17026
= 5,50243
1,69897
+ 2,17026 3,86928 + 0,31521 1,94843
lg Ok= 5,50243- 3,86923 ok= 88 pF
Tehát a katódkondenzátor (Ok) értéke, melyet számUáesal határoztunk meg, 88 flF'-ra adódott, ilyen értéket azonban nem gyárt az ipar, cllért kerekítünk 100 flF-ra. A hiba, melyet ezzel a kerekí'téssel elkövetünk, kisebb lesz, min' .5%, az erősítÉsre vonatkoztat·va (50 Hz mellett ). A helyesbített Ok értéke: 100 pF, ami szokásos érték.
Az ln (logaritmus naturális = természetes logaritmus} rendszer, amel:ynek az alapszáma e= 2,71828, az amatőr gyakorlatban leginkább a légroagoti teker• esek számításának meghatározásánál játszik szerepet. Ebben a logaritmus-rendszerben a müveletek már ismertetett szabályai ugyanúgy érvényesek, mint a 10-es alapú logar-itmus-rendszerben. A számértékek ln-rendszerben történő logaritmálásnál két módszert követhetünk. Vagy átszámítjuk-az ln értékét lg értékre (nem mindenkinek van ln logaritmus-táblázata}, vagy az ln-táblázatból közvet.lenül meghatározhatjuk a kívánt szám logaritmusát. A tábla használatáról kell még egy pár szót szólnunk. UgyanÍIII a. legtöbb ln-táblázat a számokat }.t(íJ 1000-ig tartalmazza. Amennyiben nagyobb a szám, melyet logaritmálni akarunk - mint 1000, úgy az illető számot fel kell bontanunk két vagy több szorzatra, mely szorzatban a szorzók és szorzandók 1-tűl IOOO·ig terjedhetnek. Nézzünk ene egy példát: Leb'Yen számunk, melyet logaritmálni akarunk, a következő: 14 600. Fel kell bontanunk e számot két 1000 alatti szám szorzatára. E felbontási műveletet a legcélszerűbben és egyben legkönnyebben logarléc segítségével végezhetjük el.
ll
Itt ugyanis pár próbatologatással hamar megtaláljuk a kívánt
lö:Z:Ol':z:ót
éa szor·
zandót. 14600 = 50 . 292
M08t mindkét oldal logaritmusát (ln!) felírva ln .14600 = ln ln
ln (50 . 292) ln 50+ ln 29! 6,21461 5,676i5
=
39 1000 -
ln 14600 = 11,89138
11,89136
Eg:ynél kisebb számok ln-át ugyancsak a fenti ~zempontok alapján (osztással) kaphatjuk •neg. Itt meg kell emLtenünk, hogy egynel kisebb azámok ln-a rnindig negativ. Pékkí.ul: lileil.llyivel egyenlő ln 0,039? Itt a 0,039-t átalakítjuk törtkifejezéasé. ln 0,039
=
ln 39 Jn 1000
=
ln (39 : 1000) ln 39 - ln 1000 5,96015 6,H07i6 ln 0,039
0,94161
Ha nincsen ln-táblánk, úgy a már közölt
.f
(~;
- 0,94161
""I,) rnodulusokkal 'l'égezzük az
lg-tábla alapján az átszá.mitásokat.
a.
példa. 1lfo8t
pedig nézzünk A ?iie!l{kflt
az ln-ra ra!6 alkalmazás tárgy-
körébő/.
rt:l.'.:-rci5
i;r_i,~ri:_tla:t'Us
fényezőiét
adott L[cml
=
8 bn'
[zn 1 ~ 8-
-'-
{12)
0,2'!057 -'- 0.7261
Szerepe/jenek az alábbi ada,tok: b
a= 4,5 cm l= 4,7 cm 8 1,2 cm ti 535
L.=? Az L értékének ilyen bonyolult képlettel történő kiszáy,;I/á,•ánál he/.
2.
8 bn"
8· 4,5 · 535 2 = 36· 28,7- 10• = 10,.33 · ltl" l+ 8 0,2235-b ln
b l-i-8
12
= 0,2235 4,5
ln5,9
5.9 4.5
= 0.2918
ln 0,764
Fel"datunk kiszámítani az mennyiség szá.mértékét.
ln 0,764
Jdöliűk
ezt ln O, 764 = A-val
A h
?
A= ln 0,764-et átszá.molfuk tizes alapú logaritmused. ln 0,764
Z,3 ·lg 0,764 = 2,3 · {0,885- l) = 2,03- 2,3 = -
0,27
Oldjuk meg a fentebb kiszámított értikekkel az összejüg:~ést Ú;Jy, hogy elószö1' végezzük el a szögletes zárójelben levő, immár numerikus miveleteket. -fJ,27
+ 0,2918 + 0,726 =
0,7l8. L= 10,33 · 10' · 0,748
7,7 • 10' em= 7,7 mH
A logaritmus naturális értékek meghatározásinál legyünk mindig kőrül tekintók. A 10-es alapú logaritmustól e!térően itt a karakterísztika és a mantissza már bennefoglaltatik a táblázatban. Az exponenciális vagy másképpen eX (olvasd e ad x) függvény ismeretének és a vele való számolásnak nagyon JÓ hP.sznát vess?.ük, ha p9ld,1,u! kt',M:íteni akarunk fix elemekből egy ol,·an potenciómPtert. melynek karakterisztikája dB-ben tineári.8 - és adott őssz (ohm) értékekkel rendelkezik.
4. példa. Tervezni kell például ell!J 20 dB-M, 50 kQ-os potPcnciómétert 12 elemből. A kérdés az, tnilyen drtékJl e!em?i-ckel va[ósithrüfuk rrt
3. ábra Tenáf a fenti ellenállá-sokat: R 1 • R, ••. R 11 Ú']IJ keU meqt•ál!:áris skdlát nyerjünZ:. Ter1nészetesen a-nn~tJ; nincsen ~:~etn;ni <1-kadálya. hoJY több tagból épí'sük fel poteació,nstenínket - más dB-es érték, é<s más elleni 1lásiwték mellett. ll>fen ,z lvmg/rekvenciás nu!résekrdl tesznek jó szolgálatot. Ez szerepsl a h'Isonló feládiitok téln'IkiJréből. A?;- atáMi összefüggés megadja az·elleruUlások eJym•ís 1dáni összegét. Ahhoz, hogy megkavlv>ssu!~ az R 1, R, ... R" tag!Jk egyenkénti értékit, a második kisuimifoft értéktől kezdódiien 1m>tiiq ki kell vonnunk az R értékét az előbbi kiszámított értékből. A me/lékelt kúiolgoZ'ÍsnA:r ez! vihígosanc láthotjJJ,]c. dB~ben
Rp
R = - - - ; ·A kis k egy arányossági szorzó.
(13)
ek."
F-n
k=-F
(U)
.13
A felölések értelmezése a következ/J: R(K:!J)
Rp(iO)
e k
N F n
=
A potencióméter részellená.llásalnak az inetl/ összege. A potencióméter végellenálliÚ!a.
tagig szdmítoU
1H1c
A természetes logarUmUB alapszálma 2,71828. Arányo.9sági tényezí$. A szükséges összesillapítás - Néperben (1 dB 0,115 N). A potenciómétert alkotó ellen&lláselemc/; szánw. A számított tag (n 0, 1, 2, ••• 12) sorszáma,
Számoljuk ál a kh•ánt 20 dB-t Néperbe:
20 . 0,11S
20 dB
=
2,3 N
Ennek, és a többi tényezők ismeretében most már meghatározhatjuk a potenciQ. méter lánc első (R 1 ) tag ellenálliÚ!át.
A k
tényező
t!rtéke : É=
n
F
12- O
---
12
F
=l
Határozzuk meg az R értékét is: 50
ek.N
=--=r el.2,3
Itt az e3 , 3 értékit meghatá.rozhatiuk e..: j.tggvény-tá.blázatból, oogy logarítmálv'J 2,3. lg 2,7182 - és a 23 cm-es Gammc:-1ogarléc - lg e 2 , 3 = 2,3. lg e segitségével. Tekintetbe véve a szükséges pontosságot, célszerűnek látszik az e/.só mgy második máiUzer szerint történő számitás. Ha az R kQ-ban azámitjuk, akkor a számítás menetében az R értékét eznd-, tizedesiegy pontasságra számitsuk. Mi. tekintve a számítiÚI viszonylag terjedelmes voltát, a részléleredmén.veket (a lui.rom példa kivételével) nem közöljük, de az R 3 -a8 tagig ri.ozletesqn bemutatjuk a azámítiÚI gyakorlati menetét. Innen már jól köt~·ethetö a toc·dbbi számítás gondolatmenete és techn,ikája . •tiindenekelőtt határozzuk meg az e 2 , 3 számszerű értékét. A 10-es alapú logaritmus-tábla felha.szná/á.sáeal logaritmálva kapjuk. 1. 2,3 lg. 2,'1182 V isszakeresve:
=
2,3. 0,1,31,3 = (),99889 lg 0,99866
=
x; x
=
(0,4343
lg
2,'1182)
9,98
M ost már behelyettesíthetjük az R képletbe a kiszámított adatokat. Itt kivételesen R = R1 -el. 50 9,98
5,010; R 1
=
5,010 kO
S. Mie!őtt at. R 3 -t meghatároznánk, ki kell számolnunk ak (n érté két.
12-1 k=-12
14
11
12
=
0,9166; k • N = 0,9166 • 2,3
=
1)
2,1082
f~:I;ktor
fgy az ek. !l' /tlggvény értéke: tg e2,1082
= 0,9155
= 2,1082. lg 2,7182
Visszakeres-ve a logaritmus.táblázatban: lg 0,9155
=:r;; :r;=
60
R=
8,2"8
6,075 kQ
<5,23
Ez az érték (6,07.5 kQ) a potenciómétert alkotó h!t d.wj (R, +R,) részellenállások egyiirt-es összeges Ebből a tényleges második tagot (R 2 -t) egyszerű kivonással határozhatjuk meg.
R, 3. Az
előbbiek
6,075- 5,010
1,06.5 kQ
ala.pján határozzuk meg az R 3 -as tagot ilt. 12- 2
10
12
12
l;=--=
lg el,9165
= 0,8-333; k • N = 1,9166
1,9165 • lg e
lg 0,8324 =
:r;:
0,8324 6.80
:r;
50
- - = 7, 352 kQ; R• = 7,352
6,80
6,07.5 = 1,277 k{J
Az ellenállások értékeinek további meghatározása a,z ell3bbiekk
R, R,
1,5'!6 1,8'11 R, 2,'J90 R, 2,73-3 R6 4,3.35 R, 4,098 R 10 = 4,99.3 R 11 = 5, 765 R 12 = 7,30.9
kQ kQ kQ /:Q !:Q
kQ kQ kQ kQ
Ha az !gy ka.pott ellenállásértékeket összegeuúk, att tapaaztalfuk. hogy az ellenállások összege kb. 15~ 0 -os eltérést m1~tat a kívánt 50 kQ-os végértékt/Jl. Ez a viszonylag nagy eltérés onnan adódik, hogy csak 12 pontban közelitettük meg az ln görbét - ha azonban kb. 100 tagból építiük fel potencióméterúnket - , ÚIJY már a hibaszázaUJc lec.sökken 3•';, alá. Errol a lényege& szempontról ne feledkezzünk meg a tervezésnél. A potenci.S. a let. méter elemeinek számát (így a pontossá;;ot) m~indig az 'llkalmazás használás helye dönti el. A gyakorlati kilJitelezés még egy lényeges pontJára hiviuk tet a figyelmet, ugyanis a sz,ímitás folyamán az egyes elemek (R 1 , R, ... RnJ értékei kisebb és nagyobb ohmikus értékeket ''esz le! Ez '1 ie! enaé(l P példán Mlül i.s meg· mutatkozott. A számolás befeiezésével a potencióméter elemeinek értékét - az első (R1 ) tagnak a kívé.telével - ni!vekvo ohmikus érték szerínt rendezve ~ valósítsuk meg a gyakoriari ki>Jitelezést.
15
Természete/Jen {>,s logikus, hogy az R" R, , .. R 1• elleruHláBok lehetőleg ~zá~ lékos (1%) tűrésilek legyenele még f obb, ha egyenként bernér:fük őket, es ~gy biztosújuk a számított érték gyakorlati pontosságát. A fenti ex függvény alkalmazási példáit. még tovább folytathatnánk, hiszen
e függvényt tartalmazó öoszefü;:rgések és képletek sokat szerepeln.ek
a~ ele~tro
nikus számításokban. Ugyanis nagyon sok fizikai jelenség, pL tranzrens Jelensegek (be- és kikapcsolás) - egy adott G ért<'kú konrl,mzátor feltöltése. kisütés':' válta!wzó áramú jelenségek, mind az exponenciális, vagy logaritmikus görbe függvényének menetét követik.
IIT. FEJEZET A LOGARLÉC KEZELÉSE
A gyakorlati szakembernek - a számításoknál ma.napság szinte nélk:ülözhetetlen eszköze a logarléc. A logarlécet bizonyára sok amatőr ismeri, és sokan használják ís - és még többen szeretnék megismerni. Akík a II. fejezetet lelkiismeretesen áttanulmányozták - és meg is értették e. logaritmussal való számolás lényegét -, azoknak sok nehézséget nem okoz a logarléccel való számolás technikai része. A következőkben a magyar gyártmányú, 30 cm-es logarlécen (Gamma 2512) ismertetjük a fontosabb alapműveletek elvégzését. Egyébként akinek kís logarléce van, llfJy&núgy tudja az ítt tanultakat alkalmazni, de 'maga a számolás, értelemszerűen, kisebb pontossággal történik. Természetesen nem térhetünk ki a lehetséges műveletek eh·ég~.t!!enek ismer. t61tésére - csupán a helyes léckezf'li'>s alaps mar-0matibu mííveletek. A loga.rléc a léctestblíl, mozgat.ható és a z ús:cne,·ezett fulóból álL A futó üveg (rnüanyag) lapján karcjelek melyek mer."legesek az egyes akálákra. Ezek a karcjelek, mint azt kés(ébb látni fogjctk, a számolás megkönnyítéset szolgá!ják. (A történelmi hűség kedvéért megemlítem, hogy az el5<5 Jogarlécet 1624-ben Briggs készítette.) A Gamma-lécen a következő skálák találhatók:
4. ábra.
5. ábra.
A fenti skálák a következő műveletek el,1é$;~ze,séJre szolgálnak; A és B skálák szorzás és osztás e111e;zz.és<'''e G és D skálák a négyzetre emelés hatványozás mellett elvégez· J!J skála F skála
16
het,jük, a szonást és osztást is ';,J 2; a reciprok skála (sok lé cen pírossal jelölve) a köbreemelés és köbgyökvonás skálája '
9 skála • K skála L skála
az alaplogaritmus (10-es alapúl skálája v-1--;;; skálája szögfüggvények (trigonometria) skálája
A G és L
skálák a logarléc oldalán hel\•ezkednek el. A pontos számításokhoz a legalapvetőbb fontosságú, hogy az egyes skállikon megbizhatóan le tudjuk olvasni a:l érté:Zeket. .Jól megnézve az egyes skálákat, fő és mallék osztásokat láthatunk. A leolva,sásnál ezek tisztázása alapvető fontosságú! Azt is láthatjuk, hogy egy szá:nérték leolvasási pontossága pl. a.z A llk:ó.la elsű cca. :W% -ban pontosabba.n eszközi~lhetó, mint a "kála utolsó harmadában. ;>[ár itt megjegyezzük, hogy ne foglalkozzunk a tizedesvessző helyének a megállapításával. Helyesen tesszük, ha fogunk egy lécet és minél több skálaolvasást gyakorlatot végezünk. P~óbál_juk megszokni, hogy az egyes osztások között becsléssel álla.pítsunk meg számértékeket. Példaképpen nézzük az A skálának első részén történö különböző számértékek leolvasását. A műveletek megkezdése előtL foglalkoznunk kell a szárnjegys,;ám megállapításával. Az egyes feladatoknál majd látni fogjuk, hogy mílyen módszerrel áJ.J.apíthatjuk meg az.eredmény jegyeinek számát. PL: Szám ...... 18032, 1430, 252,82, 0,2, 0,0025, 0,000008 Számjegyszám 5 4 3 o -2 -5 Vigyázzunk, két egymás utáni - jel pluszt eredményez (- 4 .. - 4 +5= l}.
-
- 5
=-
Híiveletek logarléecel. Szorzás: nasználati skálák: A, B (C, D) pl.: 4. 2= 8 A léckezelés a következő: A skálán megkeressük a. 4-et. ide helyezziik a. mozgó nyelv B skálájának l-es jeiét, és a B skála 2-es jele alatt (a 2-seJ elvágólag) leolvassuk az A skálán az eredmónvt: 8-at. Az er·edmény ert az egyenlő alapú ha.tvJuyokkal amúgy is sokat fogunk számolni. PL: szorozznk az alábbi két súmo•
;?
:~tö
. .)
=
16:10
írjuk lit (későbbiek folyamán ezt fejben végezzük el) az eredmény megállapítása. végett a 326-ot 10-es alapú hatvány alakba. 326
=
3,26 102
A szorzás így alakul: 3,26 · 5 · 10 2, a lécerr csupán a 3/26-ot kell 5-tel szorozni. Az eredmény kétjegyű szám lesz (3, 26 • 5 ~ 16 lesz),
.., 100-zal.
2 Rádióamatör II.
es
ezt kaU szorozni IO' ~
17
A léckezelés a következő: az A skálán a 3,26-os értékre (a tizedesvesszőtől eltekintünk) állítjuk a B skála jobboldali 10-esét (ha a balo~clati l-est állíi;anánk oda, akkor a szorzat a skálán kívül esne és így nem tudnánk leolvasni de a tényezők felcserélhetők, asso3iatív A B skála 5-öse alatt az A skálán leolvassuk az eredményt; 16,3 (mert két kell állnia) és ezt szorozzuk 10%-al; 16,3 JOZ 1630 lesz a szorzás Itt pontossan megkaptuk az eredményt.
(
•
7. ábra.
6. ábra. Egynél
ki~bb
számokat Ís hasonlóképpen szorzunk. 0,0000780 Átalakítva tizes alapú hatványokká: 0,0065 65 • lO-' 0,012 12 . J0-3
Pl.: 0,0065 • 0,012
A 65 • 12 szorzat eredménye 3
jegyből fog állni (első közelítésben beállítá~ a 12 • 6fí-ös szorzatra
a 65 • 10 karjuk: 780 Az egyenlő a\apú hatványokat összeszorozzuk: 10IO---' s szorozva a 780-at, kapjuk: 780. 10-7 0,0000780, mely érték pontosan a szorzat lesz.
-= 650). Aszokásos módon elvégezve a
4 -I0- 3 =
Os;r;tás: az osztáshoz az A és B skálákat használjuk. Pl.:
4
2
A léckezelés a következő; a szorzástól elt.érően itt az o~ztót helyezzük szám alá, és az l-esnél, illetve a 10-esnél olvassuk le az eredményt .
•l ' • •
l
~
l
l
;l
fl
! J
~
l l J
+\'
~'T
8. ábra.
4 910
9. ábra.
"
Az eredmény jegyeinek megállapítását itt is a hatványalakba való hozássa.l határozzuk nneg. 6 6 Pl.: 10- 1; a 6: 3,6.al várható eredmény jegyszáma: l, 3,6 36
18
A léckezelés a következő: a B skálán a 3, 6-ot rá állítjuk az A skála 6-os jegyére, és a B skála 1-sénél az A skálán leolvassuk az eredményt; 1,676 (itt az utolsó 6-os "saccolva" van). Ezt az er"dményt kell szorozni lQ-l.nel; 1,676 : IQ-l == 0,1676 lesz az osztás eredménye. SzQrzás és osztás a reciprok (E) skálán. Szorzás: a reciprok skálával pl. tettebb számítások.
egyszerűbbé
válnak a törtes :!4
Pl.: szárnítsuk ki a reciprok skálával a Ezt a
következő
alakban irhatJ'uk fel:
'
6
műveletek,
és az össze-
törtet.
24
6
l
24·6
fgy az osztá.s helyett szorzást kell elvégeznünk. A műveletekhez az A és E skálákat fogjuk használni. A léckezelés a következő: az A skálán megkeressük a 24-et. ide helyezzük a:< E skála 10-eseét, és az E skála 6-osánál a középső karcjel segítségével az A skálára vetítve - Jolvassuk az eredményt: 4-et.
10. ábra.
Osztás: pl.:
312
0,03619
átírás hatványalakba, és az eredmény jegyeinek megállapítása;
. 102
3,12
- - - - - - = - - 10-l 8,621 ' 10"
a törtkifejezést közelítóleg fejben elosztva; O, lesz az eredmény.
8,621
A léckezelés a következő: az A skálán megkeressük a 3,12-őt, ehhez az értékhez állítjuk az E skála 10-esét, és az B skála 8,621 jelénél a karcjel segítsé:gével az A skálán leolvassuk az eredményt: 0,362 lesz. Ezt szorozzuk 10-1-el; 0,362 IO-l ~ = 0,0362-őt kapunk, ami a pontos szorzás kerekített eredménye.
Négyzetreemelés és gyökvonás. Négyzetreenwlés; A négyzetreemelés és gyökvonás a hat,v'ányozás egyik speoiá.lis esete. Az egyik l
esetben a 2, a másik esetbenaz--ed a hatvány 2
kitevő je.
Ezért két olyan skálá.ra
van szükségünk, melynél az egyik skála egysége fele a másiknak. Ezt a célt ezol. gálja a D skála D 1 és D, része. A négyzetreemelésnél az eredmény számjegyeinek megállapítása a következő. képpen történik: A négyzetreemelésnél a számjegyek száma előreláthatóan meg fog kétszereziídui. Szabályként fogadjuk el, hogy ha a D, skálán olvassuk le az eredményt, úgy l-et le kell vonni a várhat6 kétszeres jegy értékéből - a D, skálán olvasva le az eredményt, a várható jegyek száma változatlan marad. Pl.: 22 = 4 2*
19
A léckezelés menete a következő: az A skálán megkeressük a 2-ót, ide helyez. zük a középső k'trcjebt - és a D 1 skálán leolvassuk az eredményt: a 4-et. ElTle1jük n?J;--·zette a ()3~at! ö3~ = 396~. , A léeh::eE.elé;:; merL5t'3 a k•J'\··eUn:~ző: az .._4. sk.-J.lán beóJiítjuk a. karejelet a 6S~ai!l ·értékre, és a s'd.L:\n lr•o'vassu.k az eredmhl•.·t: 3:Jd7. (A 63 kétjegyű szám, tehát 2 · 2 =4 f')'? áHni a D_:·BS slxA,fán az eredn1~~üy.) Gyökvonás. gyokvo'"ásnál a D sLitán áll;tjuk be az értékeket, és az A skálán oiY2L:;stll~ az ered1nényt. Azt kell min(lenekelőtt tudnunk, hogy mel;y;k (D 1 , DJ skálán induljunk ki a se:ámolásnál. A szabály a következo: ha a gyökjel száma pá,ros, JYiratlan, akkor a. inrlnhtnk ki~ ~\·el~ szir~_1ának megálla,pí,:,~j h1 alkuln1azú-sa effitében a küve::kezD kép~c"ttel történik: l
n
lL ábra.
(15)
.2 n -lesz.
A D 2 .es skálánál pedig:
(16)
2
v5
. Pl.: = 2,2360 A léckezelés menete a következ,';: a D 1 -es s!dL'n megkeressük az 5-öt és a· futó karcjelének segítségével leolvasi>uk az eredményt az A skiilán: 2,238,
A számjegyszám megállapítása:
n 2 -l
24,859 Pl.: ]Í618 A léckezelés menete a következő: 618-at, és a karcjel segitségével az A
lesz.
skálán (met>t páratlan) beállítjuk a kapjuk az eredmenyt: 24,8-at.
3 l A szá~~yszám meg8Jlapítása: ----;--- = 2 lesz, így
az eredmény: 24,8
A futón lévo karcjelek szerepe a szúmitá5okn:íl. A kör teriiletének meghaM,rozásánál a léeen való kiszámításkor az alábbi összefüggést alkalmazzuk:
(-d )'
F•. . 1,13
A d dimenzíójában ka.pjuk a területet is. A futó bá.lold'
F_(--3)' _ 9 (A kör területének e kevP.sbé ismert
F
d
7,06 cm 2
l,27ő9
1,13
képH~te
2
r'lt= ( 2) n=
kovetkezö (
d
)
ósszefilggésből
2:f;" =
(
á
1,13
szá.rmazt&tható:
)' A szerk. megj.)
20
A léckezelés menete a következő: az A skál.in beA!Htjuk a 3-at, a középa/5 karcjellel, és a baloldali karcjel segítdégével a D 1 skálán a. terület eredményt. olvassuk le: 7,06 cm". " A harmadik karcjelet (a Gamma 251~ lécen') a futó jobboldalán a lóerő és a lcilou•att átszámításánál l kW L3:í.3 lől az A, illetve a skála 18ptékében; 1,35;) egységnyi osztásra van. PL: 16 kW hánv lóerő~ A léckezelé; menetc a kih·etkezó: A halszehó lm~cjclet az A skálán a 116-os jel• hez állítJuk, és az A skálán a jobbszélw karcjelnél kapjuk az eredményt; 21,7 lóerő. (Lásd a 12. ábrát.) Az amatőr szempontjából érdckeB még a lg (G) és a t.rigonometrikus (L) skála. A logaritmus skála alkalmazásánál az A ská. lán a. futó kiJzéps6 kawjelét állítjuk a w>n~n<m:• landó száanértékre, és a O skálán kapjuk a logarit.mu3t. (A karakterisztika megállapítását lásd a Il. fejezetben.) PL: Mennyi 225-nek a Jogaritmusa? A karakterisztika 2 lesz, sa léckezelés menete pedig a következő: az A skálán beállitjuk a 225-öt. a k~!'C'jel segítségéve!, rna.jd a lé-cet mag~ntl: felé dönt\·e az oldalán leoh·assuk a lg. ér·tékét; 2,3i'íij·üt. 12. ábra A visszakeres.Ssn~l fordítva járunk el. Megállapitjuk a mantisszát és a középséí kar~jelet a lg ér. tékre állítva, az eredményt az A skálán olvassuk le, Pl.: num lg 1,469 = 2>;,23 A t.rígonomotrikus számértékeket a léc oldalán levő L skálán olvashat,iuk le. .A nagysi';(rendi megállapításokat (az értékváltozásokat) lásd az V. fejezetben. Pl.: sin 30° 0.5 A léckezelés menete a következéí: az L skálán megkeressük a sinuszos skála beosot.ást (balról a felsé!) a kar<'j:>h:>t a 30-as értékre állftva, az A skálán (a középső karcjel alatt) leolvassuk az eredményt·: 0.5 · .I<J
IV. FF..JEZET EGYE.VLETEK -
EGYE'VLETEK '\TEGOUl.\S.\NAK :\IEN'ETE -
Ft\GGVÉl\iY
MHÜZOtASOK •. Az egyenlet fogalma alatt értjük az olyan algebrai kifejezést (képletet), melyben az egyenlőség jelével, számokat és mennyí:;égeket kapcsolunk össze meghatáro7-ott tön·ényilzerííe.'lg mE'llen. Az egyenlőségjel ( ) a bal- és jobb oldalon levő kifejezések egyenlő értékét jelenti. Ilyen egyenlet.ekkel már f'ddig is számoltunk, mert ha egy képietet megoldot.tunk, akkor tulajdonképpen t"elíesítettük az c;gy<'nlot felt-ételét. A képlet vagy formula az egyenlet a~on fajtája, mellyet egy konkrét fizik:ai törvényt fejezünk ki. Ilyen egy,;zerü egyenlet. például az Olun-törvény, Ux = R . I; vagy a Kirohhoff-törvény: Ix
=
i1
+i +i 2
1
Itt az indexbe tet:t x utal a keresett ismeretlen mennyiségre,
21
Abban a apeciális esetben, amíkor a bal- és jobboldalon levő mennyiségek azonosan egyenlők; azonosság áll fenn, melyet az azonosság jeiével - fel is szaktunk tüntetni.
125 mY
0,125 y
A tulajdonképpeni egy•mleten olyan egyenlőséget értünk, melyben az ismeretlen vagy ismeretlenek (x, y, ... ) mellett szerepel még egy vagy több ismer$ mennyiség is. Általánosan felírva: ax+by-c
O
Az egyenletek megoldási eredményeit - gyökeit - vísszahelyettesltve az ismeretlenek helvé>be; ka.punk. Itt már most meg kell jegyeznünk és ez az egyenleiel-:Jzel ;.-a1ó szabálya , hogy a vagy gyökök vbszahelyettes~tését L-:.iudig a "alap') ~G[~yenlethe vissza. Egy egyenlet csnki,:i nkkor határozott, ha az isrncTetlent egy megható.rozott, konkrét el•~gíti ki. Határozatlan az egyenlet akkor, ha az ismeretlent végtelen sok "konkrét" ~rték elég[t. ki. Matcmatílmilag, algebrai (racion{tlis) és nem algebrai (transceudens) egyenle· teket, klilönböztetünk meg. Racionális az egyenlet akkor, ha a négy alapművclettel, és racionális kitevőjú szám hatványával van felépih·e.
Pl. 3x2
-
sx
+6
125 raeionáJis egyenlet.
~fl:anscendens egyenlet pl. e1,6 x :Mi ítt mindkét típussal fogunk feladatokat külön-külön kidolgozni és megoldani. Az algebrai egyenleteket as:~:erint osztályozzuk, hogy hány ismeret,Jen - és az ismoretlen vagy ísm~ret!onek hányadik hatványon fordulnak elö. Így például:
a)
elsőfokú
b)
elsőjokt4
egyenlet.
<:gyehlcl. c) tiszta és vegyes másorifokú - egy- és kétismerellenes egyenlet.
n) n-ed fokú n-ismeretlenes egyenlet, Az elektronikni szá-mítási prsxlsba!l rrlinden rendll és fajtdijll rendszer) előfordulhat,, Ezeket v( r;í:; i<'>,c an1i a. gyakorlatban s:::iiks ;3•:::1 ht:t:.;::::::L'd:.t.~o.--.;, i~·t p Ez:~~'::. itt· csak az. alapsza!J::lyokat és a, nle[[o!d:::tsok , tatni. E:ölj:.l.róban csak annyit, ahol a~ egycnl0s;~get nél: a~oows a!gdm'l.i Ezért, ha az mennyis?ge!~et)
mérleget, (egyenlet· (algebrai YCszti. Ezért n.:c: euven ..
az
na:syon lén:y·egc:s, hogy \·.:::.]a.r::ilyen let egyik oldaláról a másik oldaha v.iszünk j<'l gondoljuk ;:.z alábbi po'lltok· ban felsorolt - ide vonatkozó szabályokat és azok alkalmazásait.
Al! egyenlelrendezés
szabál~' ai:
l. Szabad a2· kivonni. Ebbűl twve,u~c:z,,;,, eét68 el!;j,:ll!'r' rf~rt
núnikét
a nicnnyislget arln·i, ·vaqy oti-JtítJl n 1JUÍ&ikra "elien· /;ot,~}P,'fl':'et.r1j vi•..,~,-n~' út.
B. Allf egyenlet mindkét oldalát 8Zabad UIJYanazrm mennyiséggel (számmal)
norozni vagy wzt
G. példa. a). Adva van lcr!t soro.Y (O" 0 2) kondenzátor Oe eredő loopcitás értéke, és az egyUc mondjuh: 0 1 l.Yl)Oaátrís. Kérdés, m,eldwm a O, kapacitás? Alap össze-
jügg;!.>!:ént vernük
a
lcét soros
kondenzátor eredójének
meghatározására
szolgúló összefüggést. (lS)
(A 0 1 jelölés nelJJetl a Ox jelölést veussiik be, merl ez az ismeretlen kapacitás.) Nézzil-le a renclezés rne-netét U~Jé.r:a·lU lépésre. Felírva most már 0 1 =-w Ox. behelyettesítésével az összefüggést ;
o". o,
Oe=---Ox +O, El.. ő lf:;Jésként m:gyük át az összefüggés baloldarám - a jobboldali n e t• e • z ő b e n szereplő Ox + O, kifwiezést. A iobbolrlali oszlóból a baloldalon az
(Ox
+0
2)
•
Oe = Ox. • 0 1
11Jlvégez1'e a kiielölt szorzást:
Vigyük át á jobboldalra a 0 2
•
Oe tagot (összeadásl16l kivonás lesz).
Ox • Oe = Ox • 0 2
-
02
•
Oe
Hozzuk át a baloldalra a Ox • 0 2 tagot ellenkező előjellel.
23
:IJ![ost má;r a
balolrlnlon vannak a
ismerellen kifejezések, csak az a kellemetszerepe!nek. Ha a Ox k·ifejezést a bal· irfnl.: jel:
len~
hogy a balol:lnl nú,ulkh alJaU J::(:t tagból kt·e,nelce
}_;7eit.t'JL
A Cx 1nelh·tt áll0
111;nt
m·i~veleti érteiw
Cx. = -
·
c,.
s::or·::.ntot. a jobQo,ld~lra (elleJttéteB
kapjuk.
c"
összefüggésből kifejeztiík. jobb oldul,ín negat-ív kije. !t~~_-:O.íd0 esetel~·ben. umikor a ·matenuJ.tik:ai rnűvt5lf/ek (~t._{ n ,;.':-.'!f:;e i ri t! .-,(_n·r: n Pua t~ 1' ki/f'Jr ::?.•.:t kn pu-nk a utatent-atika-i rrte;]oldá,.;d jlz;l.-ut (~tl(;-lurcL:;:,;· (,r.,· . u'::o::gá!idink. 1tt fiz·ikai lrtele·m alatt az A úz.,·qnlat logikai menete a kö!•etkld 1n.en n !t/b·(' g s:u.hnirtékéből megitatá· rozzuk a (&iz0nuos rrwllett) hannadil.at me/y nem lehet má.•, 1n;nt az előbbiel:hez },asonló Az eredmény tehát nem lehet más, száraértik. Hogy ez rnennyire igaz, arra ·vizsgáljunk. meg egy
Ezzo/ az ismuO!c11
Az tisti p
=
Í<&if."
Legyen: Ce
5 p.F, C,
B~helyettesHt•e
a számadatokat
u:
10 p.F; akkor rnekko-ra a 0 1 előbb
5, 10
5
10
=
?
kiszámított összefüggésbe:
-5
+ 10 11F
A kijött pozitív érték nem<ísak fizika.ilag, de matematikailag is hel.,·es. Hiszen az f'T'i>dő n1incli::; kí:->f'hb' bárrüelyik le~ .. kisebb aíkotónál), ha a C'e·bő] nagyol;b nurnNikus érté-ket nmunk ki- negatív értéket kapunk. Xt>gatJv oszl.va neg:at~vval, pozitívat etEdinényez. TennéSzetesPn nem mindig ilyNr és egyi<:étcrűen bizon~·ítható a kapott negatív e~őjel, reális, irreális volt!>. A lllásodfokú egyenletnek a negatív gyöke .is adhat fi2ikailttg is he•lyes Viavázzunk rnindirr hoov a rnegfslelő és helyes fizikai értelm~zéRben vizsgál]~k a.z illető " c"
a fizikai értelrnezésb[)J (soro--;
b) Nézzünk moat ~rm bonyolultabb összef'iiggésnek az adott x ténl!ezőre való ki.lejt{.sPt. rendezédt. Határoz? ak meg egy kirtlen ő szelc!mder."tekercsé?,ek (R 52 ) ohmos ellenállását az alábbi parmrtéterek a
=
'1/ Rpr
= hatrhiok = a primertekercs ohmos ellenállása
Rt
=a
óttt'tel
terhelő
e/lenál/cíB (s.?ekwvler tekercsen)
A feladat. megoldását a ki1nenő transzformátor (17) hatásfok számításának R,;z (m{!lt 'ismeretlen) kíjejtésh•el oldjuk ·me.g. A hatásfok kiszámi/Jsának Up/ete:
képletéből történő
fl=
Rpr
+
Rsz = Rx.
Áz ellenállás mennyiségek az alapdimenzióban (Q) értendők,
.24
(19)
Atooz'IXI a ne'!Jezót a baloldalra azorzóként (vigyázni a zárójelek helyes alkal· mazrí.sára), itt a nevezőt, mint egytagot jogj-uk jel, ezért itt szögletea záróiélet kell alkalmazrmnk. 11 [Rpr
PeJbontfuk a
belső
+ a2 (Rx + R 1}l
= a2
•
Rt
(kerek) zárójelet; beszorzmtk a 2-tel
1J • [Rpr
+ a2 • Rx + a2 • Rt]
= a2 • Rt
A azögletes zárójelet ú.gy bontjuk fel, hogy a baloldaü;n Zetl4 ~ d:Wisazük G jobboldalra osztóként :
Az Rpr-t átt•1:sszük a fobboldrrlra - azért csak az Rpr·t, mert a máscik két tagból közös tényezőként k1i!melhetjük (szorzóké;1t), maid az a 2 -ei.
Baloldalon a lciemelést elvégezve:
d baloldali a2-et átvisszük a jobboldalra, mint oszt61 - Rpr Rt Most átvisszük a jobboldalra az ismert Rt-t, és az --vel 7J
közös
nevezőre
hozunk. = l!.t_~!í_ Rt
''l A jobboldali első törtből R 1 -t kieme/ve, varwis azt szarzóként /rilí'l'Va, és majd 11-val egysze.r·"sitve:
A következő alal;;fa (formulára) irva a fenti összefüggést kapjuk, az eredetileg kivánt összef-üggAst: l
R (t
'll
l) --}?pr a"
(20)
Talán egy kissé részletesen j;; ,-ezettük le az átalakítás menetét, de szüksé· gesnek tartottuk, hog~' a kisebb matematikai gyakorlat.t.al rendelkezők is Yilá· gosan megértsék a végeredménybell általánositható képlet-átalakítás, egyenletrendez,'*s s:zokásos Inenetét. Tanáí'sként azt- t.udjuk amatűr<'inknek aclnL hogy még (természetesen csak kezdet-ben) a sokszor egyszertmek is tíín0 J.t·alakítást se végezzék "fejben", hanera irjá.k papírra a közbenső lépéseket is, a logikai sorrend betartásával. A közölt példákkal raár tulajdonképpen az elsőfokú egyismeretlenes egyen. teteket oldottuk meg. ·
25
A megoldás általános elveit és szabályait a.
hatj Uk
következő
pontokban foglal"
ÖS3Ze:
a) :lz ismeretlen szempontjából Baloldalra az ismeret;oMohlolra <.iZ b) Elvé;;ezziik a hogy a zárójele.s kifeiezé. aeket mindig IJdülről c) ÖsszeTonjuk az kapott eredményeket, majd egyszerilsítilnk. d) Ha szükséges, úgy mindkét oldalt beszorozzuk (- 1)-gyel. ugyanis kívánatos, hogy a gyökiJt vagy gyökiiicet pozitív elújelii.. számként kapjuk meg. e) meagyőződünk a megoldá11 helyességéről (az alapegyenleibe vissza!). Az olyan feladat.ok iémakörébeu, melyek egyenletekkel oldhatók meg, találunk olyan feladatokat is, melyeket nem tudunk az eddig ismertetett módszerekkel megoldani mert az egycnlet.bon két ismeretlen is szerepel (az első fokú hatványkitevővel). Ezeket az egyenleLeket kétismeretlenes elsőfokú egyenleteknek vagy egyenlet-rendszereknek nevezzük. Egy ilyen egyenlet csak akkor oldható meg, ha mindkét ismeretlen mennyiségre fel tudunk állítani két - egymástól független összefüggést - egyenletet. Ilyen egyenlet általánosan felírva. a következőképpen történik. x lent
x+y=c:-+l=d y
Itt az x és y az ismeretlen algebrai kifejezéseket íelentik. Az ilyen egyenleteket vagy egyenlet-rendszereket a gyi:ikökl·e megoldva az alábbi módszerek szorínt történhet:
a) behelyettesítésset (szubsztitúcíús módso1.er); b) egyenlő eyyiUthatók (angol múdszer); c) a két egyenlet egyenlővé tételllJel (francia módszer); d) grafikai módszerekkel. Az alábbi póidákban az a) és d) pontokban ismertetett megolc!Psokat fogunk bemutatni,
6. példa. Példa az a) ponthoz Egy elektroncsö-ves vált~tkooócírmn és az u"
ml:dszer). . , . • • mr:t a!tarJU~~ ltnf:~ro:n; az ~a anód t•C
Ug
rács-vezerlőfe.;zültség
Ra Rb 8
mttnkaellenáliiÍ.< a CHŐ belső ellenállá8a a cső mere.cleksége.
/riuk fel először az első összefüggéat, mellyel meghatározhatiuk az ua értéldt. (ua = uy; ia = ix) (21.) I. /rjunk fel még egy összefüggést ís, mellyel az ia értikét határoz/wtjuk meg. II.
26
ix
S • Ug
(U)
Az első egyenletet helyellesitsük be a második egyenletbe - itt az "a" apeciális esete fordul elő, arnikor már az els{) egyenlet az egyik ismeretlenre nézve meg• tlan oldva. ix • Ra ix =S· U g - - - Rb Az Így felírt egyenletben már csak egy i..9rneretlen szerepel, és ezt az előzókben ismertetett szabályok szerint meg tudjuk oldani. V égezzíik el lépé8'1'ól lépésre a megoldást: először hozzunk közös nevezÖ'I'e.
Rb · S • ug - Íx • Ra
Rb 1gy eltüntelve a törtet, kapjuk az alábbi kifejezést: Rb •
ix
= Rb • S • Ug -
ix • Ra
Hozzuk át baloldalra az ismeretlent tartalmazó Rb • ix
+ ix • Ra
~·x
• Ra kifejezést:
Rb • S • Ug
.4 baloldali két tagból az ix-et szarzóként kiemelve-l Íx (Rb
+ Ra) = Rb
• S • Ug
.4.z ix együtthatóját a jobboldalra, mint osztót
átfi'Í-W
Rb +Ra Behelyettesítve a feladat konkrét megoldási paramétereit, ezzet az összefüggéssei már meg is határoztuk az ix = ·ia ér télcét. Az uv = ua értékét egyszerűen úgy kapjuk meg, hogy az ix ia értékét behe. lyettesítjilk az első egyenletünkbe. Ha ezt a behelyettesitést el~·égezzü.k, az aláMi általános összefűggést kapfukl
~=
Rb • Sug
·~ ~ Rb +Ra A fenti összefüggést (24.) átrendezve kapfuk, a sokak eléitt iól ismett eriJ.. sítési formulát. Amint látj·uh a képlet ilyen értelm{;, átrendézése lehetséges hiszen a azorzat tagjai felszerélhetők. Rb ·Ra ua= uy = ~-- · Sug (24. 8>) Ra+ Rb Mindaddig algebrai mennyiségekk~l célszerű számolni, ameddig a kívánt x, rJ értékekre meg nem oldottu,k az egyenletet vagy egyenleteket. A fent kapott ká összefüggésben, melyeket er6sitőfokf)zatok méretezésénél. használhat·unk ' a megjelelő numerikus értékeket ki-ki az egyéni 'Problémájának megfsleweA beirva végezze el a megoldott problémát, Egyenlet-me-goldás grafikai módszerrel (d) ponthnz Az egyenletek grafikus jellegű megoldása értékes lehet a gyakorlati szakember !'észére, mert az újból való számolás - egy, a Iteresett értéktől eltérő adat eseté. ben mellőzhető, és a függvényértékek egész sora olvasható ki a gőrbéből (egye• n<;sből). Sok esetben az egyedüli megoldási út grafikai eljárással történik.
27
A grafikus megoldáshoz a pontosság fokozása érdekében általában roiHíméter. papírt használunk. Elöljáróban szükséges, hogy megismerkedjünk a függvény fogalmával. Egy összefüggés, képlet - általánosságban több adatból - a szükséges behelvett.esít.és mán egy, a keresett adat.ot hat.ározza meg. Ez máské pen annvit jelent, hogy a függetl<•n vál:otók ól (a képlet paramétereitől\ valamilyen matematikai eljárással függ a keresett érték - mint függő változó. Ezt a fogalmat a matemat·ika fgy jelöli: y = ~
t
(x)
a független változó, a függő válto,;ó,
'll
Itt az t hetű szimbóluma j'elké'pezi a függőség milvenségét (minőségét). Könnyen belátható, hogy vannak egy. és többváltozós függvények. :\li az eg,rVí'htozós függn>nl·elü:el fogunk foglalkozni. Ké vagy több vállozó es<>téhen rögzitjük (adot.t konkrét számér(ék<'kkel) az egynél tobh függetle11 változókat - és igv (egyváltozás függv ·nyt kapván) áln•ázoljuk. Az x = a értékhez tartozó t (a) számszerűfüggvényérték az "a" helyen levő helyettesitési értéke az y t (x) függvény nek. A függvénveket a Deseart.es.féle derékszögű koordinátarendszerben úgy ábrázoljuk, hogy a független változó mir1den lehetséges (szükséges) értékéhez meghatározzuk a független (y) változó megfelelő értékét. Így egy számpár-soro. latQt k.a.pun.k (értéktáblázatot), mely pontokat ábrázolva, kapjuk a függvény (képlet.) grafikai alakját. ' A Descartes-koordinátarendszer két egymásra merőleges egyenesből áll, rnelyeket tengelyeknek nevezünk. A vízszintes egvenest x (iksz) tengelynek (abe'ssza) - a függőleges egy.mf3st pedig y (ipszílon) tengely. nek (ordináta) nevezzük. A mellékelt koordinátarendsz<>rben az irányok, ígv a számok elójelf' is ért;;;l. n1ezve van. Gya.korlásk( ppen nézzük egy függ:,·ény ábrázolását. Abdizoljuk az y f (x) = U[vJ RIQ] · lr_.,J függvényt. Az ohm.képlet itt kétniltozós függv(nyt 13. ábra. jelent, hi8 en két független vált.ozót (R, I) tartalmaz. EgyváJtozós függvényt. ehből úgv k<'pezünk. hop;.~ az E"QVik niltozót, mondjuk az R·Pí Hx,<1juk l() ohmban. é.; a.ü vb;;?iÓ!iuk, hogy az áramerösség és feszült2~g hogy;:w (milyen függv8ny sz,f'rínt) változik. Alakítsuk át a képletet:
l=
r~-. u) 1
228
R
R
t ennél az összefüggésnél képiétesen az ' 10 müveletot: tört szorzása egész sz.iimrr:al.
Vagyis y =I = végzendő
D
t jelenti az el·
Képezzük most az értéktáblázatot. Egyszerűen úgy, hogy a (25) képletbe a független változó (U) megfelelő értékeit behelyettesítve, kapjuk az I (függő vé.ltozó) értékeit.
Ábrázoljuk ezeket a pontokat. Tekintve, hogy pozitív eredményeket kaptunk - igy elegendő lesz a koordinátarendszer első negyedét (I.) [elvennünk. Az ábrázolá<~ a következt)képpen törtécnik: az x tengelyt kinevezzük az U tengelynek *~• f:rt>J 1- fst1 az y-t pedig I-nek. Most tetszőleges eg5-ség_ben -t--::;;_--------7( beosztjuk a tengelyeket és az U tengelyell . U t - - - - - - - - - f megkeressük az lO-et, erre mer6legesen fel- J l l t - - - - - - - - L megvünk az I te!lgely I pontíáig. Itt egy pontot kapunk, így vesszük fel a többi pontokat Z$ is; ezeket összekötve kapjuk a (25) összefüg+----.....,.~ gést grafikus alakjában. Ez maga a függvény. E függvény alkalmazásával bármely tetszőle ges köz benső értéket meg lehet hatál'ozni száx molás nélkül (egy vonalzó segitségével). Határozzuk meg pl.: a 35 V-o>~ feszültségértéknél mekkora lei
I.
3x
5
+ 2!J
fL
7-x
3y
Hozzuk míndkét egyenletet y alakra..
3x- 5
I. y = - 2
II.
7-:e
y=--
3
Mindkét egyenletrendszerre számoljuk ki az értéktáblázatot, és ábrázoljuk. Az ögyenleteknél az értéktáblázatkialaldtúsánál a független változó érté. keit lehet.l\leg úg_v adjuk meg, hogy az ért,ékek szinnDetrikusak legyenek a zé ... rus pontl'l>,
115. ábra
(Pl.: -2, -l, O, l, 2.) Az elsőfokt1 egy. és többismeretlenes egyenletek;1él általában elegendő, ba a független vál tozónak két, három 5zámértéket adunk. Az I. egvenlet értéktáblázata:
- 29
A II. egyenlet, ért.éktáhlázata: ll.
+l
-l
o
8
7
T
T
3
2
4
3
Ha a két egyenlet értéktáblázata megvan, úgy ugyanabban a koordinátarendszerben - először az egyik, majd a másik egyentetet ábrázoljuk, és így lcét E>gyenest l!;apunk, Ahol a két egyenes egymást metszi ~ azon a ponton a két egyenlet egymást kielégíti, s ez a pont egyben a megoldá.s gyökeit (a keresett x, y értékeket) ~s megadja. Ha e pontból úgy az x, mínt az y tengelyekre merőlegest húzunk - úgv az ll' és y tengelyelcen levő metszéspontok megadják a keresett gyököket. Jelen 2 példánál: x ~ 2 ; y ~ 1,5 lesznek a két egyenlet megoldási pontjai. 3 Ha kettőnél több ismeretlent taJ'talmazó egyenletrendszerünk van - úgy annyi ellent nem mondó egyenletünknek kell lenni, ahánv ismeretlenünk van. :Megoldásk~nt rendszerint a behelyettesítő (a) módszert alkalmaz:mk. Fokozatosan kifejtjük az egyenleteket - majd visszahelyettesítünk.
Tiszta és vegyes, másodfokú egyismeretlenes egyenletek Azt az egyenletet, malyben az ismeretlen tényező legmagasabb hatvány2: másodfokú (kvadratíkus) egyenletnek nevezzük. A másodfokú egyenlet lehet: a) tiszta másod.fokú.;
kitevője
b) hiányoa másodfokú; c) vegyes m.ásodfol.:ú.
Nézzük közelebbről a fenti pontokat. a) Tiszta másodfokúnak akkot• nevezünk egy egyenletet., ha abban az isme. retlen (x) tényező csupán a második hatványon fordul elő - és adva van még egy konstans (állandó) számérték. Általános alakja: (nullára redukált alak). Megoldása rendezessel és gyökvonással történik. Réndezzük x'-re a fenti á'ltalános alakot: c
z2= - a
Az x-et úgy kapjuk meg, hogy mindkét oldalból gyöl,öt vonuuk.
X!,2
=±v- :
A két gyököt különválasztva, kapjuk (a gyökvonás
(26) kétértékű művelet!}:
az a. t mindig pozitívnak vehetjük - ha negativ, ( -l)-gyol boszor:mnk. c < O es3tében az egyenletnek k.\t való~ értékű megoldása van, O es
c>
Pl.: 2x2 2;
ll=
-
32= 9
-32.
Behelyettesítve a (26) oldóképletbe:
=t~ly
érték valóban kielégíti az egyenletet.
b) Hiányos máso."tfolcú. egyenletről akkor beszélünk, ha az ismeretlen úgy a. második, mint az első hatványon szerepel és nincsen állandó tag.
Általános alakja: Emeljük ki az x-et
szorzótényezőként:
z (a:n +b)=
o
lesz. Ez az egyenlőség csak abban az esetben állhat fenn, ha a szorzat egyik ténye. zóje zérlj,S. Ezért vagy az ax + b = O, vagy x = O. A gyökök ebben az esetben:
b
o
x
a
Pl.: 6x 2
a
-
6;
lOas = O b
lO
Kiemelve
x
(6x- 10)
o
A gyökök ~
10
5
6
3
o
x2
e) Vegyes másodfok(, egyenletról akkor beszélünk, ha az ismeretlen a második
és első hatványon is előfordul
és még egy állandó is szerepel. Általános alakja: a;;v2 +bx+c
U
Ez az egyenlettípus, mint azt a közölt gyakorlat;, példán ts oátm IOf1JUk, rná.r általános ~rdeklődésre~ tarthat számot. mcrt sok es3tben feladatok algebra megoldása ennek hiányában lehetetlenné válik A fenti egyenletben az aa;2.es iag a má~odfokú, a bx-es tag az elsőfokú. és a c az abszolút tag.
31
A levezetés mellózésével ha.tá.ro:tha.tj uk.
kö<~:öljük
e.z oldóképletet, mellyel a gyököket meg.
-b± Y~
(21)
2a
Válasszuk külön a. két gyököt: -b
A gyökök minősége a gyökjel alatti b 2 - 4ac mennyiségektől függ. Ezt a. b1 polinomot diszkriminiÍ,usnak (D) nevezzük. Három esetet különböztetünk meg: l. 2.
3.
-
4ae
>
O akkor két egymástol különböző valós gyök va.n. D O a gyökök e,gymással egyenlők (x 1 =x,). D
D
Nézzünk most egy gyakorlati példát a vegyes másodfokú egyenlet alka.lmadsá.ra.:
1. példa. RádJókészüUkiinkben a hulltimváltá.st úgy akarjuk megoldani, lwgy G Bávot ('illetve sávokat) kéí teke~·c.9 soros vagy párhuzamos kapcsolásával alakítjak kl: . .A rezgőkör t; szánvittisokból az e;Jyik esetben az jön ki, h<Jgy sorba kötve a kél tek~rcset (Lx, Ly), az uedő induktivitás 250 p.H- párhuzamosan kötve G tekercselcet pecUg 30 pH lesz. ' JYieg kell Jntár;;znnnk az Lx és Ly ismeretlen öninln,l;;ciójú. tekerC8eket. ~V.11ilvánvaló, hogy 'itt kétismeretlenes egyenletről van szó. hiszen sem az Lx, se-rn az Lv telcercsek~et nem i8íítte.rjüJc. K-it eqyÚÍJetet k~ll teld~ feüiWtani. Az egyenletek fe!cí'lításq miruUg az aiioU probléma függvénye. Jelen esetben a két egyenlet feláJütmm így alakul:
l
I.
Lx+ Ly
JI.
Lx ·Ly Lx+ Ly
250 =30
Mos!, hagy arlva van a két egyenletünk (az a. pont értelinében); ki kell /efez. az egyik egyenl0tből az e:;yik ismeretlent - és az í gy kapolt értéket be kell hdyettesíteniinJc a 11><Í'Iik e!l!/Cnlet azúnos algebmi kifejezésébe,, .A gyalcorlatban lehet6/eg az egysurűbb egyen!etbJl (I.) -tejezzitlc ki valamelyik (tetszőleges) ismeretlent. fi'ejezzük ki mi az Lx -et. ni~nk
I.
Lx~
250
Ly
Helyettesitsilk be az Lx értékét a ll. eil'Jenlet Lx értékeinek a helyébe: _ c : . __ _ ___,._;,_.
= 30
Ly+ (250- Ly) Ezzel a behelyettesit
32
Ti1nte8stlk el a: fenti egyenletból a törtet (a ne!'ezóvel megszorozzuk a jobb oldalt -
tag;~t
vigyázzunk, több
Ly (250- Ly)
<öbb ta.gú,Jal szorzunk !). ,30 Ly
IMO -
T
A jobb oldalon lehet "fl,lfSUrŰ,.;ileni; .30 ká8os, nullára redukátí alakra:
Ly (2JO Végezzük el a
Ly) -
o
7JOO
szorzri~t. é8 /OfJ!JÓ hatványkitevő
L;
+ 250Ly
30 Ly
éa hozzMk az egyenletet a szo.
-
szerint rendezzük az elJyenletet.
7500
= O
szorozzunk be ( -1)-gyel L~
2!)0Ly
+ 7.500 =
O
Helyettesít.sünk be az (27} oldóképletbe az alábbi adatokkal:
a =
+ l;
b
-250;
2. l Előaz/ir is határozzuk meg a D (diszkrimináns) értélcét. D 250~~ 4· 1500 (2, 5, 10 2 ) 2 4. 7,5 J03 3.%. 104 >O, tehát két egynuisft)l különböző valós gyökiink va/:1., melyd: megctdják a keresett; Ly L, és Lx = L 1 induktim:túsok értéket. Végezzük el a gyökvonást a D = 3,2-5 . 10'-ből
vs,z-:s-:-w• Ezt az értéke,t
először
250 ::111
1so
x 1 , majd x 2 oldóképletbe helyettesítve kar> JUk:
=
-l-
2 -L
'
250 - 180 2
+
432 ;Z
70
=215
35
Tehát: L 1 215 !J.H, L 2 = JS !l H-es tekerc8ek kellenek a feladat mego!dáaához. A tekercsek gyakorlati kivitelezése csatolú.smentesen kell, hogy történjék, mert. ellenkező esetben a kapott irtékek nem fedik a valóságot.
A vegyes másodfokú egyenlet grafikus (függvénytani) megoldása. Al!: elsőfokú egyigmeretlenes egyenletnél már ismertet,tük a grafikus megoldás lényegét és a. gyökök meghatározás>i.t. A vegyes máso:ifokú egyenletet is meg lehet gra.fikusa.n old,~ni, Az alábbiakban egy ilyen módszert köt:!ünk. Tudnunk kell, hogy· azok a. függvények, melyeknél a. független változó az elsö ha.tvinykitevőn szerepel - a. koordináta.randszerben ábrázolva. egy egyenesli adnak. E~ az illető Higgvény grafikai képe. Ha a. független változó a má:>odik hatv.í.nykitevőn szerepel, ábrázolva · paraholát kapunk. '. A vegyes másddfoku egyenlet grafikus megoldásán>il úgy járunk el, hogy ma.tema.tikai!a.g felállítjuk az egyenletet - nullára. redukálva. Ezutári úgy ren• 3
Rádióamatőr
IL
33
dezzük az egyenlet,et, hogy pl. az egyenlet bal oldalára c"ak a tiszta másodfokú tag kerüljön, jobb oldalára pedig az elsőfokú tag a constans. Tehá. matematikailag felírva:
+
a.x 2 =bx+c alakot kapunk. Most
ebből
y1
két függvénykapcsolatot csinálunk:
axz:
y2
bx
+e
y2 )
(y1
Külön éetéktáblázatot készítünk az y1 -nek és az y 2 -nek és egy koordináta. rend'!zerben ábrázoljuk mind a két függvényt. Igy kapunk egy másodfokú paraholát és egy olyan eg venest, mely két helyen {feltéve, ha van valós érték) metszí a parabolát. Ez a kettő metszéspont lesz a. vegyes másodfokú egyenlet x" y 1 megoldása. Lássunk egy példát: Ábrázoljuk a következő vegyes másodfokú egyenletet egy tiszta másodfokú és egy elsőfokú függvényalakra bontva. És állapft,;uk meg a gyököket,
2x"- 3x- 5
O
Rendezzük a már ismertetett alakba az egyenletet:
2x'
3x
+5
Írjuk mindkét oldalt önálló függvényként:
IL Késllítsülr el
mindkettőnek
y,=
3x +IS
az értéktáblázatát. ro l -2 - l ~ l 2 II - - - · - - · - - - - • y l -1 2 5 8 ll
ÁbrázolJuk az y 1 és y 2 függvények értékM,blázatait, és a metszéspontoknál olvassuk le e. gyököket. 2,5 az eredmény. Y1
Jt 2 •.Z,S
!Ir X: kiN/ e1ilt
o&
Wt:i,.
Vo"olzát~t:JI /!PV'Itlh'!Jnn.jJ:iN
16. ábra.
V. FEJBZET TniGOXO:UETRJt{US ÖSSZEFÜGGÉSEK
GYAKORI,ATI ALKAUfAZ,\SrK
A váltóáramú technikában gyakran találko,;nnk olyan összefüggésekkel, :::-.el;.·ekben előfordul a sin (szinusz) és cos (koszinusz) trigonometrikus függ"\·ény ·.-alamilyen alakban. Ebben a fejezetben a trigonometria (hát•omszögtan) matematikai alapössze. :··-~;;(.seivel és számolástechnikai szabályo:úval ísrner0et.jük n1eg ainatűreinket. Egy dei·ékszögií a hitromszög param6tercinek (jellemzőinek) .l~se a következőképpen a két rövidebb oltlal t (AC, C B) befo:s<'mak, ; :wsszabbík oldalt (AB) pedig átfogónak nevezzük. Az oldalak jelölésére az '> .>ce kisbetiíit (a, b, c) szoktuk felhasználni. Az oldalal
j'""
b
a szög koszinusza (cos)
c
szemben
a szög tangense (tg)
fokvő
a szög mell0tt lévi) befogó
a szög kotangen8e (ctg) =
a
szö~gel
szcntbcn
fekvő
beJogó
a
A fenti 17. ábra jolöléseit tanva sz.em olőtt, fejezzük ki az CG szög ·J~ögfügg ,·ényeit, és hasonlítsuk össze a {J értékeivel: b
si u {J He az
Cll
és
fJ
--;cos/J c
a
b
c
a
- ; t.g{J
a
ctg {J
b
szé>goket. összehasonlítjuk, kapjuk:
sin CG = cos {J ;
COS
sin
fJ :
tg
Ct
ctg
p;
ctg CG
tg {J
mint 9(JC - x (ugyani' a háromszög bels() szögeinek 0'>;,~ge 180' -, a derékszögben pedig e,;y sziir.; méLt· !JO"). Így kimondhatju1,, !:ogy a {J az CG·na!< póts::li:Je (p6tszöge;;: ogyúbkéuL egym.Ást 90°-ra egészítik ki). A
3*
,B szög azonha,n nem
CG
ITHÍS,
3S
írjuk fel a pótszögeket: sin
D: =
tg
D:
=
cos (90° - a)
cos D:
= sin (90" ._ cr.)
ctg (90°
ctg D:
=
o:)
a:)
tg (90°
. A S?lögfílggvényeket geom'otriai eszközökkel szemléletesen lehet ábrázolni. A matematikában ez az úgynevezett egységsugarú (r pl. l cm-rel) körrel tört-énik,
11
f• ~~nyi
pl.',_
18. ábra.
Ha a.z egységsugarú kör "' tengelyét meghosszabbítjuk, és a sugarat a.z 6ra.mutató járásával ellen•étes irányban körbe forgatjuk, kiterítve megkapjuk a szinusz- és koszinuszgörbét. Amint látjuk, az eg~·s,~gHngarú körben a különböző (szám szerint 4) fő szög. hely.,;eteket n-vel jelöljük é~ radiánegysbgekben fejezzük ki. lo.t i i.s az a radián l A telje~ kör kel'i.ilete: :!rn s ha a sugara egységnyi. 2· l · n = :!n. Ez a ~n a teljt>s körl'e vonatkm>otatva 360°-m;k felel meg, Ha a szögelfordulást az ívvel fLka.rjuk meghatározni, akkor:
f!J
~
i=
·.iD·"'
.
l
'
2n
n
360
•IX
180
• IX=
0,01745
hos~zúsággal is mega:dhatjuk. Ezt a számot a szög neYezztik és egyBége· a radü€-n,. 1 ra·liún a·nnab a szö:~tnek az í.t~mé·rtPk-szánut, nu?lNhez tartozó ivhosszliság az eg:JÚ.gsugarú l-lir sugarával r 1-utJel
egyen[c7.
19. ábra
Az átszámítás a szög és radián között.: l radián 57,296°; 1° = 0,01745 rad.
Néhány fontosabb fokérték radiánban kifejezve:
2. tábláza' Szögérték
Ívmérték
l
3 60°
l 80°
90°
l
2 :n:
,.
n 2
A teljesség kedvéért megemlitjLik. hogy a a teljes kör 360°, 1° = öO', l' = 60" -nek
36
l l
60°
30°
t•
n --
n --
--
3
.
6
n
l 80
mértékben számolva. a szögeket: meg.
(Napjainkban kialakulóban van egy új egység: az új fok (jele: g) fogalma.. Itt a teljes kört 400 részre osztották fel. A teljeskörtehát 400g, A 90°= lOOg stb, Ez az új fok azonban még nemigen terjedt át amindennapi életbe.) Az egységsugarú körben definiá\va vannak az egyes szögfüggvényeknek az illető körnegyedben levő értékei, melyeket az alábbi táblázatban foglaltunk őssze
3. táblázat
90"
180°
:noc
3 60°
l
o
-l
o
sin
--- - - - o
cos
-
l-
o
l
o
±=
o
±=
o
-l
--- --- - - ±=
tg
---
-
~
o
ctg
± =
A gyakorlati feladatoknál az egves szőgek értékcit szőgfüggvénytáblázatokból b&tározzuk meg. Mi itt ugyan ismertet.Fik a függvénytábla haszm\latát, de megjegyezzük, hogy a logarlécpontosság teljesen elegendő ~zámításaín!má.L Pl.: keressük ki sin ~6,34. = ? Vegy(ik elő a szögfiiggvénytáblá.zatot és keressük ki sin 26,30° és sin 26,40° értékeit. sin 26,30° = 0,4431; sin 26,40° = 0,4446 0
A szőgek különbsége: 26,40° - 26,30° = 0,10°. A súnuszértékek táblabeli különbsége: 0,4446 0,4431 = 0,0015, Itt a már jól ismert lineáris int,erpoláeiót fogjuk alkalma.zni. Amíg a szőg 10 századfokkal nilvekszik, addíg ~zinu~z,\nak fJ,z értékoe IR t.ízezreddei nií. Ha a változást arányosnak tekintjúk. felállíthntjuk iLZ a.1·ánypárt. Ugyanis ha tizedfoknak ló tízezred eltérés felel meg, akkor 26,34° - 26,30° 0,04c-nak pedig x. Az aránypár a következő:
4 .
[ú-1
to-• IO-', 15. to-• 15 .
innen
15 . 10-• • 4 . 10-2
lQ-2
x =
4. IO-", x
uo. w-•
~= ----~~--------I0- 1
10-l
= 6
lQ-• = 0,0006
vagyis
sin 26,30° sin 26,34°
+ =
0,4431
6 0,4437
37
A többi szi:igfíiggvénynél is (cos, tg, ,ctg) hasonló módon hat.ározzuk iueg
a tábL\,za.tlmn nem lev{í éJ'lékeket."' Visszakeresésnél is a
fen~i
szempontokat tartsuk szem 0,8034-et: ? is megkeressük a két közrefogó számértéket:
előtt..
Pl. keresslik vissza a sin Először
53° 30 53° 24 táblabali klilönbség
0,0011
6
a szögkülönbség
A mí számértéklink 0,8034 - 0,80:?8
0,0006.del több a ki:;übiJiknél. A vál· tozást arányosnak tekintve: a ll tízezred szinusznövekedésnek 6 szögnövekedéa felelt m0g, akkor a 0,0006 szinusznövekedésnek :v felel meg.
Az arányt felállítva.: 6· IO-'
ll· IO-' 6
$
ll . 10- • : 6 = 6 • 10- • : :v
•
6.
IQ-•.
u . Io-•
6
36 ll
3 lesz a növekedés, tehát
+
53°24 3
=
53°27
Próbáljuk ezeket az értékeket gyakorlásképpen logarlécen is meghatározni. E rövid, de st.(ikg:\ge8 bevezetés után rátérhetünk a trigonometriAnak &!: elektromosságtanban való alk.ihnazásaira. A váltakozóáram előállitását mindenki ismeri, s ezért csak röviden foglaljuk össze. Ha egy drótkeretet (tekercsot) homogén mágnestérben az erővonalakru. meri)logesen egyenletes f'ebességgel - forgatuuk, akkor a keretben indukálódott feszültség lefolyása (időben) szinuszos lesz. (20. ábra.) Az aláhbi ábrán szemléletesen ábrázoljuk a drótkeret elfordulásí szögének függvényében a. pillanatnyi fes~ültdégértékeket. · Az ábrán nagyon jól látható, hogy az indukált feszültségnek egy períóduson belül {a teljes szinusz hullám lefolyása alatt) két maximális ( Emax• Emaxl és töbh pillanatnyi (ed feszültség értéke van. Az ábrán láthatjuk, hogy az elfordulás szögeinek szinuszát kifejezhetjük - a pillanatnyi (et) és maximális :B J ii J!f. lll K (Emaxl feszültségek arányával.
+
"
sin q>
t sin q>
-·
"'h
~;
E max - et~ ..........
E max
'
et!
Emax sin tp
lltz
Emax sin 'fl
20. ábra • A sinus és cosinus függvényeknél hozzáadjuk -
a tg és ctg
fűgt!vényeknél,
pedig kivonja!<.
liiielőtt meghatároznánk a pillanatnyi feszültség jól ismert formáját ki kell térnünk az w = 2nf szögsebesséy fogalmára. Mint azt az előzőkben már ismertettük, egy szög kifejezheM radiánnal (ÍV· hossz úsággal) is. A azögsebesség pedig nem más, mínt egységnyi időre e8Ö szög elfordulás, vagy radián. 2n w = ; T = a periódus idő, mely a frekven-
T
.
ci ával T
=-
l
t
arányban függ össze.
Tehát:
rp =wt
2nt l
=21C/t
21. ábra.
f Ezt behelyettesítve a pillanatnyi (et) feszültség értékébe, kapjuk:
8. példa. N ézzünlc egy gyalcorla
Uo= 10 V;
1
1
f
]()3
T = - = - sec.
t
1 .f= - - - 8eC. 6. 103
Ut= U0 8inwt Végezzük el a behelyettesítést;
Ut
2· n
=
U 0 sin-- • t T
l1'fuk be a numerikus számértékeket:
Ut=lOain
360 • ltP 6·1ffl
Elöször elvéget:zük a slli'll!U808 kittiet:.éshen kijelölt mf.!veleteket (ne ;n;""' 3,1415-el, honem Yadiánban értendő)
meg, hogy itt a
• 10' •
10~
6. 10 3
3,6 • 102 ----=60 6
Ezul az értékkel feti.rva az ösnetüggést;
sin 60°
Ut= 10 • ín 60
_Ut = 10 · 0,866
=
=
0,866 igg
8,66 volt tesz.
ttle.dk~zzüJr.i
·
A további feladatmegoldások végett ismertetjük a szögfúggvények 10-es alapú. táblá~'lt használatát-. A s1:ámolás gyorsabbj. tételéhez a legtöbb logaritrnustáblában megta!alha.:jnk a üigonom2trikns logar;tmusát is, ~"- S?;-Jg~üggv-ényekn§l a fü.~gvény~rtékek valódi t ö r, - ezért a. logaritm•J,s
tábláz;atb:·ték közös karakteris?.tikája - 10 legven. ]''}z úgy valósitható meg, hogy egyidőban ugyanannyi pozitív egészet. is hozzáadunk a logaritmus egés7. részéhez. Pl.: O, .... -3 felh·ható !gy is: 7,... 10 A táblázatban a 10 ért2keket nem szaktuk kiilön feltüntetni, de a tényleges számolásnál n1Índig hozzáírjuk. • /Ug tg táblázatban c,;ak a 4;)•-ná] kisebb scö:rek lg tg-ének karakterisztikáját egészitették ki - hiszen csak e kisebbek l-nél. Visszakereséskor a ahol ez szükséges, ki kell egészíteni 10-•·e, Pl.· keressük ki az alábbi szögfügg,· 'ny logaritmnsát; (Az interpolácíót ezeknBI a tAblázatoknál is az edeiig tanult-ak értelmében végezzük el. A főfüggvényeknél (öin, eos) az arányos részt hozzáadjuk, a pót• függvényeknél (tg, ctg) pedig levonjuk.) lg sin ::!8./tF
Az adott szöget közrefogó két szögérték lg sin :::8.80° lg sin 28,70°
9,68~8
=
a táblázatbeli klilönbség
10
9,6814
-------0,0014
Az interpolálást elvégel\,ye (ezt mindenki maga végezze el) a lg sin növekedésnek 8 tizezred rész felel meg, tehát;
lg sin 28,76°
+
9,6814 0,0008
10
;=
9,68:!2
10
=
9,8814 -
10
Példa a visszakereses•·e: lg .>in 9.8817 9,8810
IO IO
=
=
----·
0,0007
t
lg sin 4fl 0 36 lg sin 49°30 lesz a tábh1belí különbség, é~ ez 6 növekedésnek
felel meg. Elvégezve az interpohUást: 3 perc lesz, tehát;
+
49° 30
:;
4!) 0 33
Sok feladat megoldásánál előfordul, hogy az illetó szögfüggvény na.gyobb !)0°-nál s így ozek értékeit a szögflíggvénytáblázatból közvetlenül nem tudjuk kiolvasni. E.<ekban az esstekb9n mes-/dldpítjtú, hogy ;a ·ké!Í'éi3ett szögérték melyík neg;yedben (ely,;é;sköl' negyedben) talál>mtú - és a 4. t,ib!áit.m;ba.H közölt jelváltást fig.yelembe véve, az alábbi összefüggések segitségével hatá;t'oZ:Guk meg a keresett (o:; 90") szögfüggvényt,
>
.40 . l
4. tábl áza.t.
l l l l I.
sin l_+ l
coe
III.
IV.
1-=-
-
Il!
_+
-
+
-tg
+
-
ctg
+
-
l
-
+
+
-
+
-
II. negyed
III. negyed
a.= +sin (180° cos a.= -cos (180° tg a.= -tg (180°
ain
i
-o;) -o;) -o;)
ctg a.== -ctg (180° -
o;)
sin a.= -sin -cos cos o; tg IX= +tg
(ct -
ctg
(llt -
o;=
+ctg
(o; (o; -
180") 180°) 180°) 180°)
IV. negyed sin
(360°- llt)
008
llt= +cos
(360° - ct)
tg
llt =-tg
(360°- llt)
ctg llt =-ctg (360°- llt)
LáBI!Unk mindhárom negyedre egy-egy számpéldát. a) cos 140° = - cos (180° - 140°) = - cos 40° = b) tg 125° = - tg (180° -
c) ctg 140° = -ctg (180° d) sin 255° =
1:!;")0 )
= -
tg 55° = -
140°) = -ctg 40°
- sin (255° - 180") =
-
o, 7 660
1,428
= -
1,192
sin 75° = -0,966
l• példa. Nézzünk pélt:lákat t:t trigonometria tárgylcl5r~ból. 1. Egy antennatartó oszlopát o íalpprmttól h = 7 miter magasságban kik6tiük - ·ú.gy, M!J!J a ..kikötő mere·vítő kábelja = 70°-0B szöget zár be a vízszinte&el. Melrorra a merevítőhuzal hossza? ·
·.41
Á
~tinuaz
ö.•!l!e/iiggést felírtXJ, 1 7
Mlt=-=71'1" o
,.
sin 70"=-:
r
o=---
Bin 70"
e
a táblázatból 8in 70° = 0,9397 a igy a merevítő httzal lwssza: 7
22. ábra
0,9397
t.
7,4/5 mét.w
Ugyancsak a jen# példáhól kiindulva, azt szeretnlnk meghatároztti, hogy a c 7,15 m-es rnerevítő kuzalt - milyen távol~ágban kössük ki a talpponttól {a ?)
a: kotangens tételt alkalrnazva: (1,
ctg 70°
= --- ; teMt h
a
=
h • ctg 711"
behelyt.ttesUve:
o= 7. 0,.3640 J.
A teljesítrnényténJJezö {cos p) Jogabna múulenki előtt ismert. A 23. ábrán a telje8Ítményháromszög •megtUJja az össze. júggb;eket; a valós, látszólagos, és vattnélküli telie&itmények között.
•'nvl- illj .".. (W)
látsrolagos telj. N 5 =
VN! +N~
vattnélküli teli. N b
(29)
23. ábra
{kVÁ)
(30)
(W)
(31)
Ámennyiben ismert a táziaeltolás ('fJ) sz/ige, akkM telírhatjulll: Nw = N 5 • coa p = U •,l • cos tp és Nb = Ns · 8in rp = U • l • sin rp Pl.: egy váltóáramú k&rben az U é8 l közöttí fáziseltolás ezöge 'P "" 50", A voltmb·ő U 380 V -at, az árammérő pedig I 10 Á·f mutatnak. Meklcorák a körben a különbiiző telie
o) A lát8wlagos telje
=
U •l
=
380 • 10 = 3800 V A = 8,8 k V Á
bJ A. tényleges teliesítrnény 1
Nw = U • l • cos rp (cos 50° = 0,64)
-= 380 • 10 • 0,64 = 243 2 W
= 2,4 k W
fl A '!Xtltnélküli teljesitt1Wny J
VI, FEJEZET KOMPLEX SZÁM ÉS A VELE VALÓ SZÁMOLÁS AZ ELEKTno:UOSSÁG'I ANDAX. Az elektromosságtanban három ismert paraméterrel (R, L, C) arlott kapcsolást építünk fol, s ha ezt váltakozó árammal tápláljuk, azt tapasztaljuk, hogy ha a hagyományos elektrotechnikai számításokat vettük alapul (amennyiben ez lehetséges) - úgy mérésaink ezekkel nem egyeznek mog. 10. példa. Egy konkrét példán illusztrálva az elmondottakat; adva van ef11J önindukció e tekercsünk L 0,1 H, és a jelcsévélt h.uzat ellenállása R = 50 ohm.. Kössük először egyenáramra, ma:id váltóáramra a tekercsel, és 11zámítsuk ki mindkét e.setbcn az átfolyó áramerő.Ységet. a) U= 100 V-os egyendramra kötve: 100 -=2A
l
.;o
b) Ugyancsak U 100 V-os váltójuzült8égre kapc!Wl'!Xt ahol f 800 Ht!!, azt tapasztr
u z
l=-
(32)
Tudjuk, hogy ideáli-l esetben az iJnindukciós tekere<J rp 9(1' -kal késlelteti az áramot a fe,szültséghez képest. Igy az áramokat jelrajzolhatjuk a vektorháromszőg segitségével (ez vonatkozik a jeazüUségre éli e!lenállá;rra ia). Ha a feszültségeket veaszük alapúl, akkor a derücszögir, háromszöu euyik befogófa:
A mállik befogófa: UL ... l • X L =- l • és igy az átfogó:·
U
0>
L
I. Z
A Pythagorász tétellel meghatározhatjuk az U, l, é8 Z értékeket.
u
=,.Vqi +u~
(33}
43
(U)
u
u
1----~==== - Z R2 (w L J2
(3S)
Y +
Most már meg tudjuk határozni a tekercsen átfolyó áramot.
w= 2nf = 6,28 · 8 10' = 5 J0 3 wL (Lw)'
és így a látszólagos
z=
~
5 . J 03
2J-J0 4 ;
=
~'omple.r
•
J o- 1 = 5 • J 0 2 ohm
R'= (5. JOl)'= 25, J (JI
(együttes) ellenállá
v-zrnP + z5-IO' =y 2s 10' r1+ Jo' J .5 • JOl . J0,05
és így az
~
508 ohm
áramerősség:
JOO
l=--=
O,J9.~
.503
A, tehát
közel tizedrésznyire csökken az árameróss~g
f""'
=800 Hz-en .
.M eghatározhatjnk még a fázis késési 8ZÖget is tgrp így a szög
IwL
L·w
J,R
R
a fenti ábrából;
egyenlő:
ru-L rp= arc tg -R--.=
r
500 tp= arc t g - = arc tg J(} = 84,25" 50 .
luz a;e áram késése a feszültséghez képest.
Ha kondenzátort kapcsolunk váltóáramú körbe, akkor ott is vektoriálisarr ábrázolhatjuk az U, U c. Ur feszültségparamétereket egy derékszögű háromszög ben, A kondenzátor esetében az áramerősség sietni fog a feszültséghez képest. . lVlindkét L, C paraméternél a~ áramforrás fe • ~ szültsége a vektorábrának megfelelően, két részrE; oszlik. Egy látszólagos, (mely az XL, Xe függvénye) és egy valós (LR, CR vagy R) részre. Az eredőt, mely a derékszögű háromszög átfogója - - komplex fe. 25. ábra. szültségnek, ellenállásnak, vagy áramerősségnek nevezzük. A komplex kifejezés itt azt jelenti, hogy az eredő egy valós, és egy Játszólagos rész ből, vagy részekből tevődik ÖHsze. Ha azonban nem_ ilyen egyszerű kapcsolás eredőjét vizsgáljuk, hanem pl. az 29. ábra összekapcsolt, rendszer eredőjét akarnánk kiszámítani - akkor igen nehéz feladat állana előttünk. Először is ki kellene számítani az egyik, majd másik soros ág látszólagos el!ená:ilását - és úgy az eredv
.
-'44
•1-lf
dő~,
- de közben vigyázni kellene a fáziss;>;ög helyességére is. Ez igy szinte lehetetleD feladat volna. Az ilyen feladatolmál, amikor az ámmköri elemek számításánál - derékszöget adó, vaktorháromszögek adódnak, a matematika az un. komplex számolási módszerrel siet a szakember segítsf>gére. Vegyük előbb át az imaginárius, vagy képzetes számok mibenlétét -és számoJási szabályait. Végezzük el az alábbi gyökvon~
y--8
-
2 me rt: (- 2) (- 2) (- 2)
= -
8
Y-
De mi a helyzet a 16 = ? Azt már a szokásos módszerrel elvégezni nem tudjuk, de az alábbi alakba átírhatjuk:
y~-0 =
V16 Y=I = 4 Y=I
A y--1 nem végezhető el a valós számok körében, ezért ezt képzetes számnak nevezzük. A képzetes szám egysége éppen ez a = i az elektrotechnikában j. Ezzel a jelöléssei már elvégezhetjük a gyökYonást:
Y-16=4
=4;
Tehát a m1nusz 16 gyöke két részből; , 11,~p.- "'-44 egy valós (4) és egy képzetes (lj) szán.ból tevődik össze. Az ilyen komplex (összetett) számokat egy olyan koordináta-rendszerben ábrázolhatjuk melynek x tPngelyén a valés y tengely én (képzetes t~ngely) pedig az ima· Wllá. ginár!us számokat visszük fel. Pl.: 3 + 2 j oitt a 3 a valós a Zj pedig az imaginárius részt jelenti. A komplex szám ábrázolásakor - rnely 26. ábra. s.. komplex számsíkon történik (a komplex sik: a valós és képzetes tengel:vek által meghatározot:t sik) ca számot az ezen a síkon fekvő pont fogja képezni. Abrázotjuk a 3 + ::j kompiPx Rzámot. 2j vektort kapunk, melynek Üt "'i. P: ~, --'-
J.......,
-------
ll. példa. Sézziinl-: mo.Yt
27. ábra.
dJt. Melrkora lusz a ha; L= 0.8 H, R 3,10' Q, j
= 8,102 Hz
45
Felvázolva rajzban a komplex ellenállá8t Amelyből
Ú'!Ja
ezt a Z vektort a komplex azámsíkon fel· áb·rázolhatiuk : (36)
Z= R+ jruL művelstek
Foglaljuk össze az aritmetikai lyait, a komplex szúmokkal. ; 3j
Kivoná8
l
+ 5j = 2i =
6; -
5i • s;
""'
(3
l6f
;-=4
4f
28. ábra
szabá-
+ 5)i = Si = 4i
(6 - 2)i
(5 • Sli"
=
~
40
Y=I . Y=-r = -
mert
~~· lUH
itt a iruL jelenti a képzete8 ré8zt.
1
i
mert- =l 'Í
A fenti alapmííveletek elvégzéséhez még az osztásnál kell annyit megjegyez. nünk, hogy a nevezőbl51 míndíg el kell tüntetni a képzetes számot. Ezt úgy tudjuk könnyen megtenni, ha a nevezűt és számlálót is egyaránt megszorozzuk; a nevező konjugált komplexéveL Egy komplex szám konjugáltja alatt értjük azt a másik komplex számot, melynek valós tagja és abszolút értéke 6Z előbbiével egyenlő, de képzetes tagilinak előjele ellenkező. Pl.: (2
+ üj)
konjugáltja; (2 - 6j)
lzorozzunk rneg ég"Y komplex számot a konjugáltjával; (8 At
+ 4i) {3
eredm~ny
-
4;) ~ 9 - 12?
+ 12j + 16 =
9+ 16
=
25
való• ozárnot 11.d, s ez a valós szám értékének négyzetével
.agyenlő.
Nézzünk a.z osztáara egy példát. 13
+ 16?
'
4+ 3i
A nevezőből valós lesz, ha szorozzuk (4 - 3j)-vel, .de egyidejl'íleg meg kell a számlálót is szoroznunk, hogy ne vá.ltozzon a tört értéke. 52
+ 64j
-
39i
16 +9
46
+ 48
IO!t+ 25f . =4 25
+i
Az alábbi táblázat jó azoigálatot tesz a komplex számokkal való számítáIOknál. két
l képzetes '-·
Összege Különbsége Szorzata Hé.nyadosa
l
képzetes képzetes valós valós
konjugált komplex.
komplex
komplex kon1plex komplex komplex
valós képzetes valós komplex
á. táblázat. A komplex számokkal végezhető r'· •müveletek után, térj ünk rá hogyan ezeket alkalmazni a váltóáramú ,,,, knél.. A következő négy szabály bút·m~,., bonyolult áramkörnél is érvényes:
1.
Z= R+ jX
J.
Z ...
(37~
y'R2 +"XI x
(SS)
s. , -tg"R 4.
leh~
(~.
l
Y=-=G+-r• z . ,.
(40)
12. példa. Kövessük az eddig elmondottakat egy gya1cor7ali példán. Legyenek a mell4kelt h' prao/ás szerinti adatole a következők; R 1 .."2. 10 3 Q R 2 =5. 10 2 Q 01 o, 4 pF
Oz= 2. 10' pF L 1 =5. 102 mH L 2 =6 H
l
8. 102 H"
Elvégezt>e a li'ZfJ."/cQégea milveleteket a feladat tényleg611 (numerikus) megoldá.m elót!.
X = fwL,
_!_)
+ (- ; wal
= j (wL1
-
-
1 -) (!)ol
(41)
(If)
29. ábra
47
H::~tárazzu.:1c
Z~ &tt~bket:
tri3rJ az á;ra szerinli Z,,
z, R,+ ;x, z2 R2 + fXt
(4/t) (44)
E~á7tal két párhuzamosan kapcsolt látszólagos ellenálláss4 egyszerl:.södlJte 29. ábra.
(U) Irjuk be a Z 1 és Z 2 értékeit:
(46) Végezzük el a számlálóban a kijelölt szorzást:
Ze
=
~~~---''··--'--'ó.~_!_--'---''--''---'--"-
(R1
lJ gy a
+ íX 1) + (R 2 -
jX 2 )
(47)
számlálóban, mint a nevezőben válasszuk szét a valóa bJ képzetQ tago~:
(48)
V égezz·ük el az osztást; tehát a számlálót és ne·vezót is ezorozzu'• a nevez6 konjugált komplex-kifeiezéssel: (R, + R 2 ) - i ( X 1 + X 2) -vel. (49) Nlosr elvégezzük, a kijelölt szorzás1 műveleteket, és rögtön kidönválasztjuk a valós é8 képzetes részt, ·kapjuk a következőket;
R~R2
z-e-
(R 1
+
R, R~
+ R2 )1
+ R, x; + R2 X~ (X,
RiX2
+ Ri X 1 + Xi X 2 + X,x; 2 )2 + (X 1 + X 2) '
+ X 2 J2 +1----(R, + R l
Ezzel
(50)
eljulothrnl~
egy olyan !!alós, és képzetes ré-szhez álló komple:r számhoz, - R" R 2 , X" .N. 2 , értékeinek behelyettesítésével megkaphatjuk " keresett Ze értékét ; Határozzuk meg az (41, 4'.2) egyenletekből az X,, X 2 értékeit:
melyből
X,
i 2000 ohm; X 2
i
20 OOO ohm
• Igy a látszólagos ellenállás: Ze=
804 5 4,9
960·5
+i
4,9
=
1642
+ i 1960
ohm .le.n
(Itt szándékosari nem. végeztük el részletesen a behelyettesítloeicet, gyakorlat lesz a képletekkel való azámolda c. fejezethez.)
ió
48
-e oogyon
Határozzuk meg még a Ze vektc;r abszolttt értékét
lZel
=
VJIU:!~ + 1960~ = 1
25,4 . 10 2 ohm
a Ze rektor hn.~8zdt. ped·ig:
Ezzel A
arc tg
Rx
=
arc tg
1960 1642
tg 1,194
50,05"
Vagyis az ámm q; 60.0/5°-ol kéúk n je.n·iil/.9f>ghez h!pe3t, A tovt
+
számítási mód nagy segíts,'.get jelent a számítással dolgozóknak• mE'g lehet állapítani, hogy az illető áramkörben ho<5yan alakulnak
A
hiszen majd a
A kon.plex az alábbiakban a latin, elnevezéssel a fogairnak össr>:f'filggésPt,
-
\'an elterjeclse. Ezért a megfelelő magyar
Z (lmpedancin); Látszólagos ellenállás
z
jX
R
Y ( Admittancia} ; Látszólagos
y
vezetőképesség
iB
G
R (Resistencia); vMós (ohmos) ellenállás R G
G
(Kondukrancia·); 'V'alós (ohmos) yezetőképesEég l G
X (Reaktancia); Képzetes ellenállás
x
l
B
B (Sttscepta,wia); Kéf>zetes B
wzetűk0pesség
x
Xe ( Kapacitancia); Kondenzátor képzetes ellenállása l
wO
.
(..... 1>
XL (Ind'Uktancia); Önindukciós tekeros képzetes ellenállása
X1 4
Rádióamatőr
iwL
n.
:\'
49
VIl. FE.JEZET A GRAFIKAI SZAMOLAS ELEMEL A gyakorlati szakember sokszor van abban a helyzetben, hogy egy számítási eredményt, (vagy számítási sorozatot) rövid idő alatt kellene produkálni. :Maga a számítás műveleti elvégzése, hosszadalmas és időtrabló feladat lenne - és az ad&· tok;at csupán néhány százfllék pontesságra kellene meghatározni. Ilyen esetekben nagyon megkönnyiti a számolást, és nem utmsó sorban átte. kinthetövé teszi - ha grafikus módszereket alkalmazunk. A grafikus számolás nem t,évesztendő össze a grafikus ábrázolással - ne gondoljuk, hogy csupán díagrammok vagy nomogrammok szerkcs:désére szorítkozik, hanem az egyes feladatok gyors műveleti elvégzése a feladata. A grafikus számolás bizonyos foku biztonságérzetet ad - amellett a pontossága nagyság•\ ábra esetében vetekszik a Jogartéc (J,ó illetva
kielégitő, megfelelő
is
l% -os pontosságávaL Nagy előnye az is, hogy nem kell minden esetben speciália beosztású papír (milliméter vagy logaritmikus) az esetek többségében megfelel egy sima vagy közönséges kockás papír is. Egy logarléccel, elégíteni.
körzővel
és vonalzókkal a rajzszámolás igényeit ki is tudjuk
E fejezetben a rajzszámolás alapjaival, alap eszközeivel ismertetjük meg célunk az, hogy az alapfogalmak ismertetésével bizonyos fokú áttekintést és jártasságet adjunk azoknak, akik a számolási módddal behatóbban 8 zeretnének foglalkozni. amatőreínket,
A számegyenes fogalmából ismert, hogv egy adott geometriai távolsághoz egy konkrét számértéket rendeltünk és i3merc, hogy egy adott számhoz (az egységtől függö) geometriai távolság tartozik. A raj:,;számolás alapjait ezek a megállapítások képezik. Nézzük a fontosabb alapműveletek grafikus számolásának menetét; az egység meghatározását mindig a feladat jellege, és az ábra nagysága határozzák meg. Helyes ha a grafikai számolásokhoz míllíméter papirt alkalmazunk - éS kivánatos, hogy egy általunk meghatározott papírból egy mércét vágjunk ki· Ha valakinek van 4 hasáb mércéje, mely általában több léptékü arányos osztást tartalmaz, úgy azt nagyon jól használhatja.
1. :'isszeadás; a Egy rése a összeget.
+b
c
tetszőleges kezdő
egyenesre való adott távolshgok. mint összeadándók felmé. és végpontok távols.lga adja. (a léptél' átszámitós után) a keresett
S. Kivonáll; a 11
~
,.
'!
.1.
.-1-
1-------t---------i io-o------•Hó
----.....!
b=c
>
Az a b esetében pozitív számot, a b eseté ben pedig negatív számértéket kapunk. A második esetben az előre felrajzolt e,n-cnesen a kezdéi (0) pontot úgy kell ki jelölni, hogy a~.egyenes balra (tehát a ne.
<
30. ábra.
gatív tartományban) is folytatódjék. a) a b esetében Fel vesszük a kiscbbltendőt O-tól jobbra haladva, $;,innen balra haladvu. "-- fel• mérjiik a kivonandót. A külön'•,hgel e pont és a. llull",között kapjuk.
>
50
'
t.......... R• b
-·
T
.....
-· 1: ..... J . .....-
]
]
Q-
"
!l. ábM.,
32. ábM.
b) a< b esetében Ugyancsak felvesszük a kisebbítendőt a O-tól jobbre. haladva, e pontból balra haladva a kivonandó felmérésénél á.tjutnnk a negatív tartományba (mert b> a) -így a különbség a negativ részen lesz.
J. Szorzáa; a. b= c A szorzás grafikus eljárása., terülatmérésre vezethető vissza. Az előjel szabály ide is vonatkozik, bár ki&\16 szekatlan lesz a "negativ teriilet" fogalma. Szae;tl; még tégladiagrammnak ill ;Qevezni.
w
33. ábra.
l. Négyzetreemelés ; a • a
al
'Tulajdonképpen a szorzás speciális esete. Téglalap helyett négyzet alakú ábrát l
34. ábra.
1-Kéttagú kifejezés négyzete; (a
+ 2ab + b
2
+ b)l
""' a2
+
Ez is meghatározható grafikuf!ll.n. Teljesen ha. sonló meggondolásokkal határozhatjuk mí:>g kettőnél több tag négyzetét .is.
·--
D+
"'
11
Q·b
"'
...
Q·b
36. ábra. 5. N égyzetgyök~>onáa; Mi i t t két esetet, killönböztettink meg, a) gyökvonás adott ~zámból b) gyökvonás szorzatból
51
y;;= k
a) Vonjunk gyököt egy adott (l) számból; Egy adott. egyenesen felvesszük az tlgys0get. jobbra haladva felmérjük. Az a
Ettől
a ponttói az aitott számot {! + l l távolsig felezőpontjából sug-árral
ff'olkürt rajzol unk. 1\Iost az adott (felmért), számérték kezdőpontjára merőlegest állítunk. A keresett gyököt az a távolság adj<>, mely a kö1·ív és a merőleges egye.o.ea metszéspontjától - az alappontig terjed.
36. ábra.
Y3
Pl.: gyakorlásképpen vonjunk győköt 3-bóL Tehát = ? Helyésen tesszük, ha papiron, vonalzóval és körziivel a k<'zünkbcn elvf
~ l
.
J
::17. ábra.
38.. ábra.
fa .
b) Y on junk gyöki:\ t az a . b szorzatból b k Az adott. e!lvene>•re felméJ•jük a gyököR kifejezés szot•zatának nagyobbík tényezőj<'-t. Az távolság v<'gpontjából víss7.amérjük a kisi>bbik t<-nyezfít. Most az o.~ felezőpontjából egy T
ox
sugarú félkört. rajzolunk. A. B pontból
a félkörhöz érintőt h<JZlUJk (az érintő egy ponton érinti a kört.) Az érintő pontra (C) a kör középpontján átmenő merűlegest állítunk. A szorzatból yont gyököt "' BC t&.volság adja.
39. ábra
52
Vonhatunk még gyökőt a mértani középarányos definici6ja értelmében is. Ugyanis a derékszögű háromszögben a magasság mértani középarányos, az átfogó két szelete (a, b) között.
A néhány bemutatott alapszámításból már lehet látni, hogy a grafikus számí. tások geometriai szerkesztésekre épülnek feL A grafikus számítások az összetettebb képleteknél válnak igazán előnyössé. Ilven számító ábrákkal többé kevésbé már mindenki találkozott. A számoló ábrák kétfélék lehetnek: a) görbeseregos (hálós) ábrák b) pontsoros ábrák A görbeseregos iibrát megismerhetjük a derékszögti koordiná.ta. rendszerról. vagy a ferdeszögű ko01·dü1áta rendszerrőL A pontsoros ábrára a három egyenes, vagy görbe vonal a jellemző. A sziikre. szabott terjedelem miatt sajnos nincs médunkban bemutatni az egyes típusú számolóábrák szerk-::s,otését - de az úbmtatást megadjuk. Ha egy adott képietet (az alkl\lmazásnak megfelelően) egyváltozás függvénnyá át tudunk alakítani úgy a mái' ismertetett értékt.á,bláz.at segítségével egy koordi. nátarendszerben ábrázolni is tudjuk. A függvény néhány pontjának ábrá,zolásakor már előre lehet látni a görbe (egyenes) jellegét és így rendszerint elegendő, ha. három ponton (a képlet alkalmazási tartományan belül egyenletesen elosztva.) ábrázoljnk, illetve rajzoljuk meg a függvényt. A legegyszerűbb ilyen számolóábrát bizonyára mindenki ismeri, és sok amatőr alkalmazza is. Két vagy több ellenállás parallel - illetőleg kondenzátorok soros kapcsolásá· nak eredőjét a.z alábbi egyszerű grafikai módszerrel határozlu"tjuk meg,
40. ábra.
Egy vízszintes egyenesre adott távolságban - az a.!apra. merolegesen két egyenest állítru1k. A két le3z az R 1 ill. R 2 (C,. C2 ) ellenállások (konden. zátorok) tengelye. Az adott paramétert e függőlegfis egyenesekre mérve, a kapott végpontokat mindig a m:ísik t"gyenes talppontjával összekötve s a két egyenes (átló) metszéspontját az aJappal parallel az egyik függőleges egyenesre kivetítve; kapjuk a keresett Re vagy Ce eredő értékét.
53
VIII. FEJEZET
AZ INTEGRÁLÁS EGYSZERŰ FOGALMA Talán szoka.tlan és meglepő, e füzet keretein belül foglalkozunk az integrálás fogalmával. Igaz ugyan, maga az integrálás igen nehéz művelet - nem lehet egy sablont, egy általános oldóképietet megállapítani - és nagy jártasságat kíván, főleg a függvénytauban. Ha az integrálás számítástechnikai műveletének az elsajátítását tűznénk ki célunkul - úgy egy, de legalább ket.tő ilyen terjedelmű füzetet tölthetnénk meg. Ez nem lehet célunk, de mint azt a későbbi feladatok ismertetésénél látni fogjuk a számoló és tervező amatőrnek - mégis szüksége van az integrálás műveletének ismeretére. Nézzük meg, hogy mit is jelent maga az integrálá.s és mire lehet alkalmaznit Az integrálás tulajdonképpen teriiletszámítás. Addig, amíg a síkidomokat (tehát az egyenesekkel - legfeljebb körívekkel) ha.tárolt területeket elemi módszörekkel ki tudtuk számítani már E okkal nehezebb a feladatunk akkor, amikor szabálytalan sikidomok területét akarjuk meghatározni. PI.: Határozzuk meg az alábbi síkidom területét. A feladat tulajdonképpen két flrerület kiszámítására vezethető vissza. a) Meghatározzuk a téglalap területét (f') 7'
a • 2r1
A keresett t terület - a két félkör területév&l kisebb, mint a T téglalap kiszámított területe.
-~~~~~~~-,_~1
,.
41. ábra.
b) Ha r, r 2 -vel, úgy kiszámítjuk az re sugárral a telje:s kör területét, és kivonjuk a téglalap területéből. Igy megkaptuk a keresett idom t területét. Tehát a kör területe:
T1
1
1'1
n="; n
A két terület különbsége: 7' - T 1 '!lehM; a :lr1 -,.::-r; = t; egvszerúsitve r 1 (2a - r 1 :-r;) =t lesz a. keresett t.erület. Ez az összefüggés egyúttal a hasonló esetek oldóképlete is. Amint láttuk itt elemi módszerekkel sikerült a feladatot megoldani de nézziink egy másik példát. , Szükségünk van az alábbi terület pontos értékere, :mely két parabola metszéséből kell3!,kezett; !f1
Y2 Egy gyakorlati· ember a feladatot a következő. képpen oldja meg. A két paraholát egy nagy milliméter papiron ábrázolja - és az így kimetszett területet meghatározza a milliméterpapír négyzet osztásának segítségéve!, és a végén kerekít . . Ez ebben az esetben még viszonylag könnyen kis ia vitelezhető - de egy bonyo1ultabb görbével (görbékkel) határolt terület esetében, már nem járható út,
54
42. ábra.
És itt jön segítségiinKre az integrálás. Az inte«rál módszer a következókből áll; az illető görbe alatti területet tégla.. lapokkal sok részterületté osztjuk fel. Ezeket a terülebkE't, már elemi mó•lszerekkel (a· b) megha,+,ározhatjul~. {•s ha a sok kis rószterüldet összegezzük- igen na;;y ponto;sciggal megkapjuk a kei'esett; görbe alaMi területet. Ez a gondolatmenet a mellékelt ábrán jól látható.
43. ábra. .•. th n megszüntetbetjük, vagy legalább is elhanyaA nihateriil"teket; golbatjuk, ha a mind'm hai áron túl szaporítjuk. Tehát végielt:u sok elemi téglalapból építjük fel a teriiletet.
Matematikusarr felírva; b
T
=
2:
Ll t 1
+ Ll t 2 + ... + .1 tn
=2f
(z;} · (.1 z;}
a
Ezt a feladatot tölti be a határozott integr-iL (.E-ja) az illető függvény határozott integrálját l um ban. Az integrál
1nűveleti
terület. összeg hat~rhtrke, elő az a, b intetval·
jele;
A~
f(x)
d%:,:~
t, /(:~J;)
• .1 :11í
Az integrálás müveletének ismertetésére nem boesátkozhatunk. 1\snpán megemlítjük, hogy kitlőn táblázat van az egyes ~ggvények határozot' ·n'AeráJ. jának o. meghatározására. Ezután a rövidke elméleti bevezetés után térjünk vissza a 4:l. ábrám. A ~zá molást mellőzve a, t = 1,54 terület egység~el. A terület egység itt azt jelenti, hogy az illető koordin·ita-rendszerben egyégül felvett terület 1..~4-s"erese a tPn~·lpces terül €It. Ahhoz, hogy a:natőroínk többs8ge mtegrálm tudjon - egy olyan múdszf'rt kell kezükbe adni, mely nélkülözi úg;f a differenr;iál, mint az integrál számítások elméleti résl!eit - de a gyakorlat. szermpontjából kielégitő. Ez a módsl!:er, mely éppen az integrál lényageiből fakad - egyszerü súlymérésre is visszavezetheti:,
Mielőtt
ismertetnénk ezt a módszert, nézzük meg hogy tulajdonképpen hol
is van szükségünk az integrálásra. l. Osz~illos;:kóppal felrajzoltunk egy impulzust, mely az illető körben az ára.m. változásnak fel9llneg. :.r~g a~~arjuk h.-ttí,ro,~ní ezt nz ára:nerősséget. E--. t a görbe által határolt terület adja meg - pontosabban a görbe határozott integrálja,
44. ábra.
!. El akarJuk késziteni az alábbi forgókondenzá.tor rotorját (forgórés7.ét). Ehhez szükségünk van egy-egy lemez területének ismemtére. A wrW.etet is a görbe (archimedesi spirális) határozott integrálja adja me&-
45. ábra. Nézzük most magá.t az integráJási módszert. Ennek értet. Egy határozott integrál értékét a görbe alatti terület adja mében a görbét (a görbével hat·árolt sikidomot) lehetőleg lé!)tékben megraj. zoljuk mondjuk milliméterpapírra. Ezt a papírt egy Jemezre (pl.: karton, alumínium stb.) ragasztjuk, és az idomot a lemezből Ugyanazon anyagból kivágjuk még a terület Lehetőleg analitikai (patikai) mérlegen lernérve e két lemezke súlyát, akkor a két súly aránya megadja a határozott integrál (a keresett terület) értékét. Az os:<~eilloszkópon tehát egy átlátszó papírra (pausz) felrajzoljuk a görbt!t, utána ha sziikséges - felna:zyítjuk, majd mérleggel elvégezzük az íntegrálást. Amatőreink helyesen teszik, ha el:ísröt• mondjuk kört integrálnak és keresik a területét. Ez a módszer annil is ink·ibb mert a kijött ered. ményt le is lehet ellenőrizni. és így megszerák a gyakorlatot is. A:<~oknak, akik impulzusic:Jchnikeival is fo.;;lalko?.nak, nagy segít.6társuk lesz a_,; ebben a. fejezetben ismertetett integrálAsi elj4rás - az impulzustechnikában a feszültséget és áramot na:syon nehéz lenne enélkül meghatározni. Alapfeltétel természetesen egy oszcilloszkóp, lehetőleg Ebben a fejezetben csupán az alk,.lmazási lehetőségekre figyeimét felhivni.
56
IX. FEJEZET
ELEKTRO
es R.4DIÓTECHNIKAI
KÉPLETEK -
TABLAZATOK
Ebben a fejezetben azoknak akarunk segítségére lenni, akik viszonylag sokat ll!!:ámolnak. Összegyííjtöttük azokat a fontos és nélkülözheteUen képleteket., melyek gyakran előfordulnak az amatőr gyakorlatában. A képlet,eket, igyekez. tünk térnák szerint is rendezni. hogy ezáltal megkönnyítsük az alkalmazás és keresés, sok esetben igen hosszadahnas voltát. Ezenkívül néhány fontosabb táblázatot ís közlünk.
Elektrotechnikai összefilggések. Ohm-törvé.ny és teljesitményszá.mítá8 U =l. R N
(V, A,!}}
(51)
U=-
(V, lV, A)
Í·
u= Vs-=R u. r
(W, V, Al
I
N=
N R d
l'·R
(V, W.!}} (W, A, D)
(!·l
(D)
q
fD73-. -l-·~
q. R l=--
(53) (.14) (55)
(56)
(mm}
0,7854. d2. R
____""__
e
2)
(m)
e
(57)
(58)
A fent képletekben a jelölések a következők: l hosszuság (m) d átmérő (mm) q kere'sztrnetszet (mmt) R ell'6náJlás (Q) (! = fajlagos ellenállás (D mm2 fm) Ellenállás-számítások a hőhatás figyelembe vételével: (mm)
d=
Rw Uk
B=-=----...:::.lk
Uw Rw = lw
(mm 2 )
(60)
(D)
(61)
(D}
(62)
d'
Rk
Rwu = ,__;.:._ _ __:_:_
(l
~)
(59)
(63)
57
rézre
(64)
&IZ
alwníniumr&
(65)
Rk A fenti képletekben a. jelölések a következők: d = átmérő (mm) lk és lw = áramerősség (A) hidegen (k) és melegen (w) l = a vezeték hossza (m) Rk és Rw = eU~náUás (Q), hidegen (k) és melegen (w) Uk és Uw = feszültség (V), hidegen (k) és melegen (w) ü hőmérsékletkülőnbség (a t 2 - t 1 ) a; = hőfoktényező (lásd a 6. táblázatot) q = fajlagos ellenállás Rézhuzal
terhelhetős6ge
2,5 A m1ll2.re)
(8
VI
a,=
2
d= 0,11{! ' 20
Rézhuzal
terhellletősége, tetszőleges
d=
0,8.
mm, A)
(6&)
(mm, m.A)
(67)
s-re: (mm, Afmm 2 )
(68)
8
Á hál-ózati transzformátor számítástina · képletei:
108
n=------------B· l· g· 4,44
(69)
?tpr = 0,95 ·n nsec = 1,05 . n
A
=
(70) (71)
(A
d' • ,
N sz ek Npr = -----
O, 71 Aett)
(W)
(mm 2)
(72) (73)
11 A képleteknél alkalmazott jelölések:
n A fl B
voltonkénti menetszám, a tekercs térkitöltésének tényezője_ a t1·anszlormátor hatásfoka, a vasban megengedett indukció, a hálózati frekvencia.
A rádiótechnika képletei. Á hullámhossz, frekvencia- és periódu.siiM
.l
3 l (lá
= -j
T = -
l
t
(m, kHz)
(msoo, kHz)
(74)
(75)
Thomsan-féle összc/i1ggM
(Hz. H, F) 25 333
12
•
(76)
(H, MHz, pF)
c
a ~.lÍ--;::;; 100 i
177)
(m, mn, cm)
!78)
A frelcvenciaátfogá,s képlete
t, v~;
12 Porva.~magos
(MHz, kHz, Hz)
te:/cerc; menetszáma: !pH)
Beépített tekercs jósága
__ fo_
Q
fo
ISI)
2tlf
a rezonáns frekvencia,
=
!!!:.!
a rezonáns frelq,;e~ kkeués).
t1
a
!QU
Xe
= ---2 n·
f
.c
531 • }.
(!J, pF)
í 8 l)
(!J, m, pF)
Xe=--
c
Tekercs látszólagoa elknállása • L
6,2:l
XL XL
IO• 1,885, L
=
}.
(!J. fiH, Hz)
IR 3 l
({), om, m)
(!i 4)
.A hullámellenállás képlete Z =
V*
Z= 10'
l{L
va
lA 5)
(D, H, F)
(86)
(!J, H, pF)
A -c-ezeték látszólagos ellenállá-sa rádiófrekvencián
Vr = 5 102
Ve-:7
(MH:.:) (p;
n mm /m) 2
(87)
59
Zajfeszültség meghatározá.sa, szobahóm.érsék7eten (kb. 20 CO)
4to-aYR ·!JI
U-ro
(,uVett• k.O, H>::)
(88)
B, L, O tagok idliállandója L
R·O Hangolhat)
aáve~űrók
(.0, F, H, soo)
R
(89)
kritikus csatolása (90)
(91)
A1: optimális Q érték
1,75 K~u
(92}
.A azükeéges esatoláai tényez& F = 1,2 Ktr F = sávszélesség Kfr =a. csa.tolás(tényező az f0 frekvencián.
A csatolási
tényező
M
rezgőkörben megengedhető
A
R OaiUapítáai ténye;:/}, soros
megengedhető
6,28 · f ·L
=
(Q, kHz, mH)
Q
maxímáUa
R
erősítés
erősítőfokozat
(Q, F, H)
(96)
10' 3 • j· Rg • Oag
(kHz, k.O, mpF)
(97)
dinamikWJ meredeksége (98)
eróaitőjokozat erősítéBe
A
60
(95)
{a begerjedési határ rádió és KF fokoza.toknál)
(k.Q, mA/V}
J!Jlektroi!Möves
(94)
rezgőkö-rnél
Au max = Elektroncsöves
(,uH)
akt!v elltmáüás
D A
(93)
~
S
Rb ·Ra Rb +Ra
(mAjV, kD)
(99)
A kGt6dellenállás értéke (100)
A segédrácacllenállás értéke (101)
A kGt6dkondenzdtor értéke 477000
1f ( + -w--)2 Rk. SA
l
Ok = Íu • Rk ,
(102)
l;ll
Bk= ohm,
SA= mAjV, ok pF,
fu
=
Hz, az alsó határfrekvencia.
A segédrá<:slwndenzátw értéke
- 1,25
Bsg.
(103)
R;sg "" ohm, Ssg= mAjV,
Osg
=
pF
E képlet alkalmazásához a következőket fűzzük hozzá: Dsg = a segédrács áthatása a vezérlőrácsra (O,~),
s a R1sg
; a = a segédrács és anódáram viszonya,
l - - - - ; az itt alkalmazott Dsg Ssg
11
jel párhuzamos ellenállások éredójét
jelenti. Sorosan kapcsolt önindukciós tekercs
L,.
L1
eredője (1lf
+ L2
=
O)
(H, rnH, fiH)
Párhuzamosan kapcsolt. önindukciós tekercsek ere
(104) O)
(H, rnH, pH) Q8atolt 8
(105)
önindukciós tekercsei: eredóje Le
=
L1
+ L2 ±
2M
(H, rnH, pH)
(106)
OB<Jiolt párh'U2a'111Q8an kapcsolt önindukciós tekercsek eredélje -
llf2
L e = ---'---"---L1 + ±2M
(H, rnH, ,uH)
(107)
61
.ól kondenzrítorban r:árolt energia nagysága
(joule, F, 11)
(108)
(joule, H, A)
(109)
.ól tekercsben tárolt energia nagy&ága
L·P 2
6. táblázat Fajlagoa ellenállás és
Alumínium Arany Réz Nikkel Platina Ezüst Cink Cin
hőfokegyüttható
20 C0 -nál
Qmm2fm
l C0 -ra
0,02818 0,022 0,0175 0,08 ... 0,11 0,094 0,017 0,06 0,1 ... 0,13
0,00396 0,004, 0,00389 0,004 0,0039 0,003i 0,0038 0,0042
7. táblázat Kapacitás látszólagoa ellenállása néhány frekvencián [Q]
o p.:b' I'F I'F 11-F 11-F 11-F p.F p.F p.F
0,1392
o,~ ~.t}'
())31~4
1000 ~
100 5:1 2á 10 5 :l l
0,1 50000 25000 10000 5000 1000 500 2~U
100 fi(!
25
10 :;
62
1000 kHz
p.F pF pF pB' pF pF pF pB' pF pF pF pF pF
],5!:<2
J 272
:ns
636 S18 636 1272 318 6:)6 12i2 318
636
2,1~4
es lii920 :nc4u 10•
6.:Wí l::i,92 31,04, l.'iH,2
JO'l
~18.4
63
3184 63öS ]592 :H 84
C0G,S },)}!::;
1}92\J
:ns4
3l~.liJ
10' 10• 10'
ti 3 680
3184
636 8
10'
}.~,~!:!U
lúZ
31840
10 MHz
0,1592 0.3181 \Ú368 1,592
3JS4 1 ü.r,z 31,84 63.6ií
159.2 Jl8,4 636.8 ]592 3184
X. FEJEZET MATEMATIKAI JET.ÖtÉSEK. FONTOSABB ,\UA\'DÓK - ET,EKTROl\IOS i\
>< kisebb sokkal nagyobb
egyenló azonosan egyenl() ~ nem egyenl
>
nagyobb kisebb vagy egyenl()
nagyobb vagy egyenUi
Matematikai Jelölések:
+
(pluszJ összeadás (mínusz) kivoná8 • X szorzás; (pl. a • b vagy aXb
vagy ab) -
osztáa
(a :
b vagy
+)
% százalék oj 00 ezrelék am a az m-edik hat·ványon négyzetgyök pl ;z hm határJ·rték oo végtelen l a l az a szám abszolút érté ka i pl.l-51 5 sin szinusz cos koszi nusz tg tangens ctg kotangen8 6 háromszög q szög ; pl.
r-
0
v
fok } perc 50° 10' 06" másodperc • • • tól és {gy tovább :t+ párhuzamos és egyenlő a" a null index, azonos menynyi8égek jelölésére f' rádiusz (sugár)
n
y~ n-edik gyök; pl: v~ Iogb b a lapú. loga-ritmus; pl• 5= log" 32 lg 10-es a lapú logar-itm1<s; pl.. 2 lg 100 ln a természetes logar·itrnv s; pl. l = ln e (l, [], {} zárójet J a mű1•eleti <~or rendet ielzik ; ( yömböly1í, ;,zögletes, kapcsos). ! jaktoriáUs. pl. 3! 1.2.3 = 6 n a Ludolf-féle szám; 3,141.593 e a terrné.:;zete.< loga·ritrnus alap szánta~· 2, 7181282 d differenciál Li nöt•ekmény; pl. Ax k
:E
Bumma ;
J
integrál
l'
summa i-wl k-ig
ll paralel _l_ merúlege.s AB a-b távolság
-
A B a-b iv tart • • . -hoz; pl. n-+ 5-höz f(i, tp() jüggvtn];jelek; Pl. y f (x) n = tp (x, y, z) · d dia me ter ( átrnérő)
NÉHÁNY FONTOSABB 1\IATEliATIKAI ÖSSZEFCGGÉS, ÉS EZEK LOGARlTllt:;SAI:
.
mennyiaég
v:z v-
1,41422 1,73205 3,14lfí9 1,57079 1,04719 0.78539 0,31831
3
n
n/2 n/3 n í4 8117!:
1'0 f;;
y-2
Ile
fu.
10
v-:-
9.86960 31.00627 l, 772 45 4,44288 2,71828 0,36788 2,30258
0;15052 0,23856 0,49715 0.19612 0,02003 0,89509 - l 0,50285 - l 1,75812 0,99430 1,49145 0,24857 0,64766 0,43429 0,56571-1 0,36222
0,8862
0,9475 - l
57,2!);:383
y;n e
lg n
l
3. táblázat.
liBRTÉKEGYSÉGEK k'lSEBB ÉS NAGYOBB JELÖI~ÉSE -
T
t era
1012
G
giga
1o•
l OOO OOO OOO
M
mega
IQ'!
l OOO OOO
k
kilo
10"
l OOO
h
h ekto
102
100
lQl
10
dk deka d
l OOO OOO OOO OOO
deci
I0-1
0,1 0,01 0,000 001
e
centi
10-2
m
milli
p.
rnikro
w-• w-•
Jll
nano
I0-9
0,000 OOO 001
p
pi ko
lQ-12
0,000 OOO OOO 001.
0,001
4. táblázat
64
ELr>'El'EZÉSE. -
A glirög ábécé. A a; alfa p béta ganuna .1 ö delta E 1'. epszilon Z C zéta H r; éta théta
r y
i
P o ró
I t ióta K :v. kappa A ?. lambda M p. m(í N v nű S,; kszi O o omikron II n pi
B
e {}
r: Ö szigma T
1:
tau
Y v üpszilon tP
((J fi
x x
khi
'P 'P pszi Q w omega
5. táblázat
EI.EKTROlt:OS liÉRTÉKEGYSÉGEK ATSZ.;\JtfTclSAI.
1A lA
1000 mA 10 3 mA lmA
1p.A
1000000 p.A
Kapneltás átsziimítása: 1 F 10'" pF 9. 10u cm = o• nF = 10• p.F l pF lQ-12 F l nF w-• F l p.F 10-• F lp.F l0 6 pF l pF IO-' p.F l nF 10-• p.F l pF 0,9 cm l cm 1,1 pF
v v
l l
w•p.A I0-3 A IQ-• A
1000 mV 103 mV l mV l p. V
1000000
w-• v w-• v
Frekvl'nela átszámítása: l jJHz 106 llz l kHz 10 3 llz l H:; 10-a leli;;;
103 kHz IQ-3 2'.fllz IQ-• MHz
Ellmuillások átszámítása: l MQ = 103 {;-[) l kQ = 103 Q. l Q
=
p.V
JO"p.V
10' Q IQ-a MQ
w-•
I0- 3 kQ
átszámitása: l 0 3 mH = ; 106 p. H l mH. = IO-" H l p,H = w-• H l cm = w-• H
l.iQ
lndul;:thlh\~ok
l H
=
109 cm
KWönbözö CIJJ'ségek:
l Kilowattóra (kW ó)
1000 \Yattóra (Wó) = 3600000 \Vattseknndum (Ws) = 1.3.5\J Lóerőóra (LEó) = 859,il Kílogramn~alória (kcal)
l Wattóra (Wó)
0,001 k.Wó =
3GOO \Vs 0,001359 Lóerőóra (LEó) 0,859.5 kcal
l Wattsekundum (Ws)
5 Rádióamatör
=
l Joule (zsul) 0.00027778 Wó 0,000239 kcal
II.
65
i'
l
Lóerőóra
(LEó)
l Kllogrammka.lória (kcal),
l kilowatt (kW)
0,736 kWó 736 Wó 633 kcal
=
= az a meleg menny1ség mely l kg vizet 14,5 0°-ról 15,5 C0 -ra melegít fel = 1,164 Wó 4189 Ws
1000 W = 1,359 LE = 0,~388 kcalls = 859 kcal/ó
0.001 kW = OJJ0136 Ll<J = 0,000::383 kca!Js O,S59 kcal jó
l Watt {W)
=
NEHÁNY FONTOSABB J\L\TE:'IIIATIKAI KEPLET Hat\·finyozás és gyökvonás
g:n+an+an=3an
Logaritmus
lg(m. n)
lgm
=
+
lg~
lg ( : ) = lg m lg ( mn
lgn
J = n . log m l
n-
lg}/m =-:;.-·Igm a• = l 0,434. lg2 a =
(am)n = am.n
ln a = (a . bJn = an • bn
(;r= :: l an
g-1=-
llásodfokú
0,434ln a
2,3 .lg 10 a
~'!n•enlct
a.x2+bx+c=0 -b
Xl,2
±YI;?·-=4M" Za
Számtani kiJ:I!i-parányos
a Imaginárius (képzetes) egység
b
a1
+ a 2 + ... +an n
i=V-1 1..".=-1
1\lértani li:özéparányos
f=-i
i'=l l -:- =
'
-1
Százalékszámítás Ö· p
iiJo'
100. --.o ö 8Z
P=
..
100.
8Z
--·
Zill'ó)elek lelbontása a (b+c) = («
+ b)
• (c
+ d)
ab
ac
+ ad + be +
ac
l1d,
emel~s
Négyzetre
(G
+ b + c)'
(a
± b)2 = a 2 + b2 .±. = a2
+ b' + c2 +
Zab Zab + 2ae
+ 2bc
Köbreemelés (a+ bp
a•
+
+
b"
3a"b
+ 3ab'
Számtani sorozat !ln
=
t:H
+
1) d
(n
[Zal
Sn
Mértanl sorozat an
al . qu-l
Sn =
~(q~J) q-1
A háromszög területe • sin ce • sin 2 2 sifi)! a háromszög oldalai az a oldallal szem b<"n fekvő szög a b old~,llal szemben f"kvő s·lüg a c oldallal szemben fekvő ezög
a· m
c2
b · c ·sina
2
ahol a, b, c, Ct
a
b+c
8=
A trapéz területe
t=
a
!'' •'Illi
ahol az a és c a párhuzamos oldalak, m a magasság
A kör kerülete
k
2rn
dn
A kör terillete d2
Trigonometria
a
tg ex
(n+ l) d]
~~~-z---~.,.
= h'
b
ootg ex.
•
(),778
ahol a derékszögű hárornsrög egyik hegyes szöge az o:, az átfogó a c, a szög· gel szemben levő befogó az a ~s a szög mellett levő befogó a 8 sin sin cos cos
+ {J) sin a: • cos fJ + cos a: . sin fJ (a:- {J) sin Ct. • cos fJ - cos Ct. • sin {J (a: + {J) cos Ct. • cos fl - sin a: • sin {J (a: {J) cos Ct. • cos fl sin a: · sin p Bin 2Ct. 2 sin rx ~ co~ Ct cos 2oc =· cos;; o: - sin 2 " sin 2 Ct. + cos 2 a: = l sin a: l tg Ct cos a. cotg Ct. (a:
Közclítö képletek
sinx""" x - x'+· x" 6 l20 cos "'
<'tJ
l
x"
+ ::_ 24
A Jegfontosabb alapintegrálok
Függvény
Integrál
o
konstans
l
(~r f'Z
l
68
lll
l
-
x
ex
-x
ln x
cos x
sin x
sin x
-cos x
l
Kidolgozott példák köztése -·a megol!lás menete nélkül közlésé>el. *
az eredmények
1. Jfekkora ctz ellenállása a, 1 11 F-o,, kontlenzátonwk, f = 50 Hz-en? 1000 kHz-es frekvenciájú, generátorra kape<JO• 2. L 100 mH-is ? lnnk, mekkoi·a lesz az &. Jiilyen frekvencián rezeg az a rezgőkör, melynek parométerei O 500 pF', L= 2 mH? 4. •'-'!ekkora egy tekercs látszólagos ellenállása, ka R = 10 ohm, RL 3.1,4 ohm,
Re ? S. J[ ekkora anna~' a kowlenzrítornak a kapacitása, melyet egy R ellenállással sorba kött•e a látszólagos elleru111úsa 95~ okm le,z? B = 910 ohm. f = 50 Hz. 6. Jlekkorák rtzok az B, és R 2 e11endllá.sok, melyeket ha sm·lm kapc.sol•mk. r 8 = 15 olwwt; ha pedig parallel kapcsol unk, 1Ífl!l rp = .J, 6 Q 'kapimk•. Határozzuk meg az R 1 és R 2 -t. 7. I:rJY váltóáramli kiirben (j SO Hz) 20 H-s fojtóte'kerc8 van. Milyen kapacitást ke./l alkalmaznunlc, hoyy rezonáns kört rtlukitsunk ki? 8. Jiekkora az id,)átlan:tója annrtk rt lckeresnel.:, melynek R 100Q, L= 2J H? 9. Jfilyen na:m annak a kondr>~zátornak a kapacitása, mely egy R 50 kQ dlert• rWrhsal sorba kötve - az időúJlandr5 0,2 scc? 10. illekkom annak a tekercsnek az ellenúl/ása. melynek L= 2 mH. 10 3 kHz? .ll. Egy középhultán>Ú rezgőkör 200-600 rnéterig terjed. Mekkora az L értéke, G ,;oo cm -es forgó esetében J 12. L 0,[8 mH, i= UOO kHz, O ? .• w = 311, G = 8 aF. L = 2 H, R = 50 ohm a'íatok mdlett mekkora a láts:Ó,· 1"· Ü1f}os eJ·ed,)el/enálÚís? If:s mekkom árwn fog U 300 volt váltakozó fcsziiítség mellett lohrn i? Jlckkom ;z illesztő eUewílüísa annak az elek-troncs6nek. mclyn!:l Ua = 2JO V la 36 mA? 15. illekkora a kölcsönös (c11) induktivitás tényezőíe, ha, k = 0,5 és L 1 = 0,[1 H,
u.
L2
=
4,[1 H?
16. C 2J[j pF, D= O,J mH, ! = t68 kHz, f = ff kHz. mekkora az R értéke! 17. A 16. példa miatrtit te/használva határozzuk merJ, mekkora az f a kritilws csatolásnril? A k d 2 -vel. 6 1n1nZ; l 1200 rnétrr~ rtf,'iliJen 18. l!Jg.t} rtbHn-íniurn -oezetélc keret'l,;.tnu:u;·zete q naqu n •:ezetélc e/lenrí/lú.,;u? (g = 0,0:!778). 19. 11fckkora tcrhdhctli a. d= O,!Jj mm-es huzal, h'' a mr;1cngedctt áratn1>-tai~.séy 4
0, 7G H, C 100 plP f 20. :tlekkom rt z rdáúbi ariatok mcl/ett o !ud/rimdlmállás: L 21. 8:€./nn-o!fuk át n kettes ;;;;úm.,:·r:rul.<J:erb(~ 11- !10, l:; 1 8-:ri;noi~Y'-l. 22~ Voniunk (]'}Ökrit a 0.00:!101, J,)J.1;!l, .J[.f18l ?Jzámokl•ól. 21. Ol
(
.
5
91-
.3 )
4--~-
9
.) a)
7' ·--6-=i
5
4--+ 9
3
47
8
1
2
---=?
6
5
b)
ij
e) 7-- :4= 1 6
d)
l
2
7
ll
,
4 - · a-/j
4
7
9
=l
"' Eredmé11.yek a 70. olrlrl/on.
u9
25. E'll!.'ljú'k tl.égyz~tre 11 kilvetk~z!i .wfmok11t: 0,14'?2 = ?, 12,1SZ,.. ? 26. Kere&.fflk ki a következő széúnwk logarumuaát: lg 10806, lg 0,009, lg 99011, lg 0,1342.
87. Logaritmus alkalmazásával oldjuk meg a
következő
feladatokat:
~ld
8,6 ·n· 51,4 b=--·----, 360
b)
6,354 3
c)
J • 0,01234 = f
d)
17 X=-=, 123
=,
M. Sztimíleuk ki lg seg!ts~gét•el a k(i•Jetkezlí számok ln-jét: ln 3, ln 30, ln 300. 29. Ol/l juk meg az alábbi egyenleteket: o) Melyik at a szám, amelynek ot<Jzöröse 10-zel kisebbitve ugyanakkora szdmót ad, mint a szám háromszorosa 2-vel na.gyobbilva? b) Em! tgyenlő~zárú lútromsz(ig szára J m-rel nagyobb, mint a:; alapia; mekkorák az oldalak, ha a keridet 18 m? 30. Oldjuk meg az alábbi kétismerellenes egyenletrendszert: !lx+ y= 19
.Jx+2y=18J
81. KeruBük ki a
következő
szögek értékeit a
szőgfüggv&nytOOlázatl>ólt
6) tg a.
t'J) t(l 47" 17 ""' , b) etg 85,1!,0 = ,
a. a) ctg a. a
=
0.0652
= r> =
li, 763 ?
32. Számítst~k ki a z1 ~ 2 - 2f és z2 = 3 + 3j komplex azámole azorzatát. 88. Y ég&zVk el az alább' lwrnplex számok osztását :
1-i
J+ 2i
='
A példák helyes megoldásának eredményei: 1. {3IS2), 2. {6,28. 10• D), 3. (159,2 kHz), 4, (33,0), ~. (ll ,u Fl, 6. (R,. 9.0, Rz= 6,0), 7. (0,5 ,uF), 8. (2,5 sec), S. (C= 4 ,uF), 10. (RL 2. 6,28. lO'.Q), 11. (L"" ""' 0,18 mH), 12. (C 60 pF), l :l. (Z = 235,4Q; I 1,27 AJ, U. (R 7 . l O' D), 15. (O, 75 H), HJ. (25,86D), 17. (12,13 kHz), 18. (5,556D), 19. (3 A), 20. (40 k.Q),
=
17
2
; b: 13U; It. (1011010,10001001,), 22. (0,049, 229, 562), 23. (0,13), 24. ( a: 130
23 17 ) c: l - ; d: l - __ ,; 25. (0,020164, 147), 28. (4,0336650, 0,95424 - 3, 24 28 3,99590, O,l277ti- 1,), 27. (a, 3,86, b) 256,6, c) 0,03702, d) 0,1382), 28. (1,09861; 4, y = 3), 31. (a) 3,4()120; 5, 70378), 29. (a.) 6, b) alapja 4 m, szára 7 m), 30, (x l .5 1,083; b) 0,0852; c) 3°44'; d) 9°84'); 32. 12 33.- - j -
=
13
13
TARTALO::\iJEQYZÉK I. RÉSZ (24. sz. fiizet) l. Szám és d1:menzió fogalma, kanstansok • , •• , ••• , •• , • , • • • • • • • • • • • /Szr;ímrendszerek és alkalmazásuk • • • • . • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • :Műveletek a kettes számrendszerben Q,;;;szeadás .............. ~ .. ., .. ~ ............................... , ...... " Ki vonás S
n.
4 8
ll ll
12 12 14
ki.Jz5nséges és ti.Jrt számokkal ••••••••••••••• , •••• , • Összeadás ••...........•.••••••••.•..•......••••••••••••• Ki vonás, negatív számok •.••.................•.••••••••• , Szorzás ....•..•....•....••..•.•...•.....•....•••••••••••• Osztá.!! •.•.•.••••.••.••••••••••••••••••••••••••••••••••• , A s><»mok oszthatóság& ..........••.••••••••••.•..••..•••• Tórzstényezőkre való bontás ...•.••••••••••••••.•••.•••••• Törtekkel való műveletek •......•.••.••.••..•••.•....•••• Összea.dás.kivonás ...•..........•.•.•••.••...•••.••••• Szorzá<> .......••••..•..•.••....•...•..••.•••••••••• , Osztás ............ ~ ....... ~ ....................... t . . . . . . . • • Tizetles f,örtek ................ ~ ............. ,. ............. , .. .
14
IV. Arány és a'ránypár, százalékszámítás ••••••.••..••.•••••• , •• , .....
28
III.
Alapműveletek
"VI~ veletek ~z /:.rát;ypárr~l
............•• , ••.....•..••••••• Szarntam kozeparanyos .........•..•.•..••.••. , ....••••••• Mért~ni középarányo$ •...........•.••..••••..••.••• , , •• , Százalékszámitás ..• , •....••.... , ••.. , •• , •••. , . , .•. , •• , , ••
V. Hatványozás és flYI.!kvonás Hatván~"ozás
kl.!zi.Jns~g~s a~('imokkal
k tiefflllfUirttlfkel
................. , .. ~ ........ * ................. • •• Xégyzetr.,emelés egész szá,nokkal .........•••••.•.. , • , • , ••• Xiigyzetreernl;)lé> tört számokkal •...........•••••••••••.••• N;!-g;vzetreemelés tizedes törttel ..•..•••• , •••.•••••.••••••. , l'tfűve!etek hatványokkal .....•..••••••.•.•...•. , •.• , • , , ••• Osszeadás-kh·onás ..................... , ............ . Sz orzás ................................................................ . Osztás ~ ..................................................... . HatYány hatvúnya ............ , •••..•••. , .•.••• , • , , • Gvökvonáe tört kifejezésből .......•...•••••••.•.•••••• Gvökvonás hatvány kifejezésből .....••.•.•..••••..•••• Gyökvonás gyökből •..........•....••...•..•.......••
15
16 17 19
21 22
24 24
26 26 27
28 32 33 ~
16 36 37 38
3 !J 40 41
41 42 42 43 44
45
r z'
A 8Zámítá8ok pontos.;YÍf!a, kerekft,:Sf,k ' ' . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
l' II. A számítások
ellenőrzése
.•...• , • , . • • • . . . • . • . • • • . • • • • • • • • • . • • • • •
47 49
VIII. Algebrai alapfogalrnak, kf:pletekfcEl t>aló számolások •• ,, ••••• ,......
51
A z{;rójelek használata .... , ......•••••••• , •. , •• , , • • • • • • • • • ~lüveletek algebrai mennyiségekkel
51
()r;szeadúsRlr..i\'Oilás ......................... " • • • • .. • • • • . • •
52
Szorí':ÚS ~ •••••.•• ~......................................
52
Osztás •••••...•. ,, .•••••••... , •••••• , ••• , , • , •••••••• ,
1:>3
.••• ._ ... ,.,,. ....... , ~ ...•.•.
59 61
Szárn,tarti sor
~................
l\ fértani sor . ~ ••• , . , • , • , , .• , •••.......•............ , .
II. R~SZ (25. sz. füzet)
I. Villarnosságtan egyenhteíne'k
II. l'rlagasabb lok·ú
célsze•·ű
alapműt·eletekkel
írásmódja
4
mló s!dmoltí"i szabályok
A logaritmus fogalma és mún·letei •...•...•.••.•.•.•• , ••• ,
5 ]6
III. A logarJéc ke;elése Mű>·eletek
a logarléccel ....... ~ • ~ ~.. Osztás .......•.......... , .. , . , . . . . • • • . . . . . . • • • . • • • • • . • ~zorzú.::.: ~$ osztás a reeiprok skálán .............. ~. ~ •• ~ .. ~ =~'8gy7.etreenH:>l,:;.s, g;,·,'jkvtntB.s .................... ,. •• ~" ~... .Egyél> művel<:tck •...••• , ••••. , • , , ••• , • , ••• , , , • • • • • • Szot·~&.s ~
I V. Egyenletek
v
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •· ••
egyenletek megoldásának tnene/e -
............
f'iigg'VényábPákkal •
21
Az egyenlet.t•endezés sza hJ1ya.i ...................... ,. • ~ •.. ~ . . Egyen1Ft megoldú;; grafikai múdszerrel . . . . . . . • • . . . . . . . . . . . . ~['is~te· és veg;~·es, má,odfokú egyismeretlenes egyenletek Y egyes másodfokú egyenletek grafikus megalására , ..•. , . . .
22 27 30 33
V. Trigonometrikus összefiiggéselc, gyalcorlati alk·ahnauísuk VI. Korn7Jle.r száti~ Js a 1~de va/ú s.-:úmolús az elekl'i·o>nossúr1ta1tban . . . . . •
Vll. A grafikai Bzámolás elemei
••••• , ....... , ...... , .•..••.. , . .. ..
VIII. Az integrálás egyszer/í fogalma IX. Elek~ro l!s TÚdi61ecJuu'kai k~phtek, túbhí::atok
X. Néhány jontosabb nHIÜitlat;kai képlet XI. P.Udák, fel.tdatok .••.•.•••• ~ .................... , ...... - .... ••• ••
72
l '7 18 19 ]9 :i:O
3!}
43
50
54 57
6:1 69
Ara: 6,- Ft
l MIGYIR HOIY~DELMI SPORTSZÖYETS~G
A SOROZAT EDDIG MEGJELENT SZÁMAI: l, sz. BÁNSZEGI: Hogyan lehetsz 2. sz. FtJVESI:
Első
rádióamatőr?
(3,60)
rádiókészülékern (3,60)
3. sz. STEFANIK: Tanuljunk morzét! (3,60) 4. sz. LENGYEL: Rókavadászat rádióval (2,40) 5. sz. KUN: Televizió távolsági vétel (3,60) 6. sz. MAKAI: Amatör magnetofon három sebessé3re (3,60) 7. sz. HETÉNYI: Televízió- és URH-antennák (3,60) B. sz. FtJVESI: Epftjük első hangszórós rádiónkat (4,80)
9. sz. GYURKOVICS: TelevíZió készülékek javltása I. (AT 301) (3,60) 10. sz. ZOLTÁN: Amatfu' TV vevőkészülékek (4,80) ll. sz. GYURKOVICS: Televízió készülékek javítása II, (AT 501) (3, 60) 12. sz. SÖREG: Hat elektronikus hangszer (3,60) 13. sz. HAZMAN-HRABÁL: 1000 tranzisztor és dióda adatai I. (6,00) 14. sz. HÁZMAN-HRABÁL: 1000 tranzisztor és dióda adatai II. (7,20) 15. sz. HIDVll:GI: Kezdő rádióamatőr adástechnikája (6,00) 16. sz. RADVÁNYI: Hazai magnetofon készülékek (6,50) 17. sz. HEIM: Elektronikus készülékek
fotoamatőröknek
(4,80)
18. sz. SZl!:KELY: HI-FI erlísftők (4,80) 19. sz. GYURKOVICS: Televíziókészülékek javítása ID, (AT 403) (4,80) 20. sz. l!:RCZFALVI: Televízió készülékek javítása IV. (1\lun.k:ácsy) '3,60) 21. sz. ROSTÁS: URH vételtechnika amatöröknek 1. (4,80) 22. sz. ROSTÁS: URH vételtechnika amatőröknek II. (6,-) 23. sz. GONDA: Stablllzátorok elektroncsővel és tranzisztorral {6,-) 34. s:z;.
szl!: PE;
Rádít'>amatörök matematikája
ELŐKÉSZ Ü LETB ElV: Hllsz tranzisztoros kapcsolás A füzetsorozat megjelent számai beszerezhetl'ik a KISZ rádióamatör és ezermester boltjaiban, és a könYVesboltokban, vagy postán megrendelhetők a:z; amatőrbolt eimén: Budapest, VI. Lenin- krt. 92.
