Goniometrické funkce Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové Vyjadřujeme-li úhly v míře stupňové, je jednotkou stupeň ( 1 ), jestliže v míře obloukové, je jednotkou radián (1rad). Ve stupňové míře se používají i menší jednotky. Minuta ( 1 ) pro šedesátinu stupně a vteřina ( 1 ) pro šedesátinu minuty. Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1.
B 1
AB 1 o
180 rad , 1rad 1 571745 180
1 A
V obloukové míře se zpravidla vynechává značka jednotky.
Orientovaný úhel Většinou se definuje jako uspořádaná dvojice polopřímek VA a VB se společným počátkem V. VA nazýváme počáteční rameno, VB koncové rameno. Pokud se koncové rameno otáčí proti směru hodinových ručiček, jde o otáčení v kladném smyslu, pokud ve směru hodinových ručiček, jde o otáčení v záporném smyslu.
Je-li počáteční rameno totožné s koncovým, mluvíme o nulovém orientovaném úhlu. Jeho velikost je 0 nebo 0 (rad).
Goniometrické funkce ostrého úhlu
a délka protilehlé odvěsny , c délka přepony b délka přilehlé odvěsny , cos c délka přepony a délka protilehlé odvěsny , tg b délka přilehlé odvěsny délka přilehlé odvěsny b . cotg a délka protilehlé odvěsny
sin
Určování funkčních hodnot Základní hodnoty goniometrických funkcí si můžeme odvodit uvedenými vztahy buď z rovnostranného trojúhelníka o straně 1 nebo pomocí čtverce o straně 1. Výška ve vyznačeném trojúhelníku
3 , potom například 2 3 1 3 1 sin 60 2 sin 30 2 , , 1 2 1 2 3 3 cos 30 2 , 1 2 1 1 1 3 3 tg30 2 ...rozšíříme... 3 3 3 3 3 2
má velikost
Hodnoty pro úhel 45 určíme z poloviny čtverce o straně 1. Úhlopříčka má velikost 2 . Potom
1 2 2 1 ...rozšíříme... , 2 2 2 2 1 2 . cos 45 2 2
sin 45
Pokud si nechcete hodnoty vždy znovu odvozovat, je vhodné si je zapamatovat.
0 ( 0)
6
sin
0
cos
1
tg
0
cotg
není def.
( 30)
4
( 45)
3
( 60)
2
( 90)
1 2 3 2 3 3
2 2 2 2
3 2 1 2
1
3
není def.
3
1
3 3
0
1 0
Rozšíření definic z ostrého úhlu na R se provádí pomocí bodu na jednotkové kružnici se středem v počátku, přesněji pomocí souřadnic průsečíku ramene úhlu s kružnicí, označme si tento bod K x k ,y k .
x K cos x y K sin x Poznámka: Pro úhel z intervalu 0, 2 si kdykoliv odvodíte sami pomocí
pravoúhlého trojúhelníku.
Grafy goniometrických funkcí a) f : y sinx , základní perioda 2 , D(f ) R , H (f ) 1,1 y
0
x
b) f : y cos x , základní perioda 2 , D(f ) R , H (f ) 1,1 y
0
x
c) f : y tg x , základní perioda , D(f ) R (2k 1) , k Z , H(f ) R 2 y
0
x
d) f : y cotg x , základní perioda , D(f ) R 2k , k Z , H(f ) R 2 y
0
x
Goniometrické vzorce Uvedeme si jen některé vzorce vyjadřující vztahy mezi hodnotami goniometrických funkcí. Ty, které se používají nejčastěji při úpravách algebraických výrazů nebo při řešení goniometrických rovnic.
sin2 x cos 2 x 1 ,
tgx
cos x sin x , cotgx , cos x sin x
(tj. tgx cotg x 1, potom např. tgx
1 ), cotg x
sin 2x 2 sin x cos x , cos 2x cos 2 x sin2 x
Součtové vzorce pro sinus a kosinus:
sinx y sin x cos y cos x sin y sinx y sin x cos y cos x sin y cosx y cos x cos y sin x sin y cosx y cos x cos y sin x sin y
Pomocí vzorce pro cos 2x můžeme odvodit vzorce pro goniometrické funkce x 1 cos x x 1 cos x x argumentu . Platí sin a cos . Tyto vzorce 2 2 2 2 2 1 cos x využíváme například v integrálním počtu k úpravě sin2 x . 2
Úpravy goniometrických výrazů Podobně jako u výrazů algebraických je účelem výraz zjednodušit.
Příklad: Zjednodušte
sin2 x cos 2 x cos x . sin x cos x
Řešení: Výraz je definován když sin x cos x 0 , tedy kromě hodnot pro které platí sin x cos x . Tedy x
k , kde k Z . 4 Pro úpravu čitatele použijeme vzorec a 2 b 2 a b a b .
sin x cos x sin x cos x sin2 x cos 2 x cos x cos x …vykrátíme… sin x cos x sin x cos x sin x cos x cos x sin x .
Příklad: Zjednodušte
tg 2 x 1 . cotg 2 x 1
Řešení: Výraz je definován když jsou definovány funkce y tg x a y cotg x a je-li
cotg 2 x 1 0 . První dvě podmínky jsou splněny x k pro všechna x R .
2
, k Z , poslední platí
Řešení: Přepíšeme funkce ve zlomku pomocí funkcí sin x a cos x , potom budeme upravovat složený zlomek. sin2 x sin2 x cos 2 x 1 1 2 2 2 tg 2 x 1 cos x cos x cos 2 x sin x tg 2 x 1 cotg 2 x 1 cos 2 x sin2 x cos 2 x cos 2 x 1 sin2 x sin2 x sin2 x
Řešené příklady: Za předpokladu, že je výraz definován, zjednodušte zadaný výraz 1.
3 sin2 x cos x 1
Řešení: Ze zadání plyne, že nemusíme stanovit podmínky, kdy je výraz definován. I když v tomto případě je to jednoduché, protože cos x 1 když x 2k , k Z . 3 sin2 x 31 cos 2 x 31 cos x 1 cos x 31 cos x cos x 1 cos x 1 1 cos x
2.
1 sin2 x cos 2 x 3 3 cos 2x
Řešení: Nahradíme v čitateli 1 sin2 x a ve jmenovateli vytkneme 3.
1 sin2 x cos 2 x cos 2 x cos 2 x 2 cos 2 x 3 3 cos 2x 31 cos 2x 31 cos 2 x sin2 x Ve jmenovateli jsme pomocí vzorce rozepsali cos 2x a v dalším kroku nahradíme 1 sin2 x . 2 cos 2 x 2 cos 2 x 1 . 2 2 2 3cos x cos x 3 2 cos x 3
3.
1 tg 2 x 1 cos 2x cos 2 x
Řešení: Funkce v prvním zlomku zapíšeme pomocí funkcí sin x a cos x . sin2 x cos 2 x sin2 x 1 2 1 tg x 1 1 1 cos 2 x cos 2 x 2 2 2 2 2 2 cos 2x cos x cos x sin x cos x cos x sin x cos 2 x
Protože po nahrazení tg 2 x vznikl složený zlomek, převedli jsme jeho čitatel na společného jmenovatele. Teď můžeme zlomek zjednodušit.
cos 2 x sin2 x 1 1 1 0. 2 2 2 2 2 cos x cos x sin x cos x cos x cos 2 x
1 tg 2 x 4. tg x Řešení: Přepíšeme funkci tg x pomocí funkcí sin x a cos x . Potom budeme upravovat složený zlomek.
1 tg x tg x 2
1
sin2 x cos 2 x sin2 x cos 2 x sin2 x cos x 1 cos x cos 2 x cos 2 x 2 sinx sinx cos x sin x cos 2 x sin x cosx cosx
1 . V tomto tvaru můžeme výsledek ponechat. Kdybychom zlomek cos x sin x
rozšířili číslem 2, mohli bychom jmenovatel upravit ještě podle vzorce pro sin 2x . 1 2 2 . cos x sin x 2 sin x cos x sin 2x
Příklady na procvičení:
sin2 x 1 1. cos 2 x 2.
cos x cos 3 x sin x sin3 x
sin 2x 3. cos 2x cos 2 x
6.
tg x 1 tg 2 x
7.
cos 2x cos 2 x cotg x 1 cos 2x
8.
4.
1 cos 2x 1 cos 2 x
9.
5.
1 cos 2 x sin 2x
10.
1 tgx 2 1 tg 2 x tg 2 x 1 cotg 2 x 1
sin x cos x 2 sin 2x sin2 x sin x cos x 2 sin 2x
Výsledky: 1. 1 , 2. tgx , 3. 2cotgx , 4. tg 2 x , 5. cotgx , 6. 9. tg 2 x , 10. cos 2 x .
1 1 sin 2 x , 7. tg x , 8. 1 sin 2x , 2 2
