Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(S;r) je množina všech bodů (roviny), bodu S vzdálenost r.

které

mají od

Můžeme také říci. Kružnicí k se středem S a poloměrem r nazýváme množinu všech bodů X v rovině, které mají od pevného bodu S konstantní vzdálenost SX  r , kde r  R , r  0 . Bod S se nazývá střed kružnice, číslo r je poloměr kružnice. Název poloměr používáme také pro úsečku spojující střed kružnice s jejím libovolným bodem. Body, jejichž vzdálenost od středu S je menší než poloměr, tvoří vnitřní oblast neboli vnitřek kružnice. Body, jejichž vzdálenost od středu S je větší než poloměr, tvoří vnější oblast neboli vnějšek kružnice. Úsečka AB, kde A, B jsou dva různé body kružnice, se nazývá tětiva kružnice. Tětiva, která prochází středem, je průměr kružnice; značíme ho d. Stejně označujeme i délku této tětivy d = 2r. Osa každé tětivy prochází středem kružni ce. Dva body K, L na kružnici k nazveme protější, pokud úsečka KL prochází středem kružnice k. Body A, B kružnice rozdělí kružnici na dvě části zvané kružnicové oblouky nebo také oblouky kružnice. Tyto oblouky nazýváme oblouky opačné. Body A, B jsou společné krajní body obou oblouků. 

Oblouk s koncovmi body A, B a vnitřním bodem X označíme AXB . Někdy se můžeme setkat s označením oblouku kružnice pouze pomocí koncových 

bodů AB . Tak lze učinit v případě, že je ze zadání jednoznačné, o jaký oblouk se jedná.. Množina všech vnitřních bodů oblouku AB se nazývá otevřený oblouk AB. Jestliže AB není průměr, pak oblouk ležící v polorovině ABS se nazývá větší oblouk AB, zbývající oblouk je menší oblouk AB. Je-li AB průměr, nazýváme oba oblouky půlkružnice. Úhel, jehož vrcholem je střed S kružnice k a ramena procházejí krajními body oblouku AB kružnice k, se nazývá středový úhel příslušný k tomu oblouku AB, který v tomto úhlu leží. Středový úhel příslušný k menšímu oblouku AB je konvexní úhel ASB. Středový úhel příslušný k většímu oblouku AB je nekonvexní úhel ASB. Středový úhel příslušný k půlkružnici je úhel přímý. Středový úhel obvykle označujeme  .

Kružnice, kruh .......................................................................................................................... Strana 1

Každý úhel AVB, jehož vrchol V je bodem kružnice k a ramena procházejí krajními body oblouku AB kružnice k (V  A, V  B), se nazývá obvodový úhel příslušný k tomu oblouku AB, který v tomto úhlu leží. Na obrázku je znázorněn obvodový úhel příslušný k menšímu oblouku, k většímu oblouku a k půlkružnici.

Obvodový úhel je vždy konvexní. Ke každému oblouku existuje jediný středový úhel a nekonečně mnoho obvodových úhlů. Velikost středového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu příslušného k témuž oblouku.

Všechny obvodové úhly příslušné k danému oblouku jsou shodné. Obvodový úhel příslušný k menšímu oblouku je ostrý. Obvodový úhel příslušný k většímu oblouku je tupý. Obvodový úhel příslušný k půlkružnici je pravý. Poslední větě se říká Thaletova věta. Obvykle ji vyslovujeme takto: Všechny úhly nad průměrem kružnice jsou pravé. Součet obvodových úhlů příslušných k oběma obloukům AB (menšímu a většímu) je úhel přímý. Konvexní úhel BAX (příp. ABX), jehož jedním ramenem je polopřímka AB (popř. BA), kde A, B jsou krajní body oblouku AB kružnice k a druhým ramenem je polopřímka AX (popř. BX), ležící v tečně ke kružnici k v bodě A (popř. B), se nazývá úsekový úhel příslušný k oblouku AB, který v tomto úhlu leží (). Úsekový úhel příslušný k danému oblouku je shodný s obvodovými úhly příslušnými k témuž oblouku.

Kruh, části kruhu Množina všech bodů roviny, které mají od bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r, se nazývá kruh K(S; r). Bod S je střed kruhu. Číslo r je poloměr kruhu. Kružnici k(S; r) nazýváme hranicí kruhu. Body, jejichž vzdálenost od středu S je menší než poloměr, tvoří vnitřní oblast neboli vnitřek kruhu. Body, jejichž vzdálenost od středu S je větší než poloměr, tvoří vnější oblast neboli vnějšek kruhu. Vnitřní oblast kružnice spolu s kružnicí tvoří kruh. Kružnice, kruh .......................................................................................................................... Strana 2

Dva poloměry SA, SB rozdělí kruh na dvě části, které nazýváme kruhové výseče (). Kruhová výseč je průnik kruhu a úhlu, jehož vrchol leží ve středu kruhu. Tětiva AB rozdělí kruh na dvě části, tzv. kruhové úseče (). Kruhová úseč je průnik kruhu a poloroviny, jejíž hraniční přímka má od středu kruhu vzdálenost menší než je poloměr kruhu. Je-li AB průměr kružnice, nazývá se kruhová úseč půlkruh. Veďme ze středu kruhu kolmici na tětivu XY a označme P patu kolmice na tětivě a Q průsečík této kolmice s kruhovým obloukem, tvořícím hranici úseče. Výška kruhové úseče je velikost úsečky PQ. Poměr délky libovolné kružnice o a jejího průměru d je konstantní. Hodnota tohoto poměru je iracionální číslo, které nazýváme Ludolfovo číslo. Ludolfovo číslo označujeme malým řeckým písmenem o  . Platí   d

Obvod a obsah kruhu a další důležité vztahy týkající se kružnice a kruhu r je poloměr kružnice

d je průměr kružnice

Obvod (délka) kružnice

o  2πr  πd

Délka kruhového oblouku se středovým úhlem  πrα a 180  je velikost úhlu ve stupních Délka kruhového oblouku se středovým úhlem ρ a  rρ ρ je velikost úhlu v radiánech Obsah kruhu

S  πr 2 

πd 2 4

Obsah kruhové výseče se středovým úhlem  πr 2 α S 360 je  velikost úhlu ve stupních Obsah kruhové výseče se středovým úhlem ρ r 2ρ S 2 ρ je velikost úhlu v radiánech

Kružnice, kruh .......................................................................................................................... Strana 3

Obsah kruhové výseče s kruhovým obloukem a ar S 2 Obsah kruhové úseče se středovým úhlem  1  πα  S  r2  sinα  2  180   je velikost úhlu ve stupních Obsah kruhové úseče se středovým úhlem ρ

S

1 2 r ρ  sin ρ  2

ρ je velikost úhlu v radiánech

Vzájemná poloha přímky a kružnice Přímka a kružnice mají buď dva, nebo jeden, nebo žádný společný bod. Přímka, jejíž dva body leží na kružnici, je její sečna, společné body A, B jsou průsečíky. Platí S v  r . (). Pata kolmice vedené ze středu kružnice na sečnu AB je středem tětivy AB.

Přímka, která má s kružnicí jediný společný bod T, je její tečna, společný bod je bod dotyku. Platí S v  r . (). Tečna kružnice je kolmá k poloměru, který spojuje bod dotyku se středem kružnice.

Přímka, která nemá s kružnicí žádný společný bod, je její vnější přímka (nesečna). Platí S v  r . ().

KONSTRUKCE TEČNY Z BODU KE KRUŽNICI  je dána kružnice k S; r  a její vnější bod R  najdeme střed O Thaletovy kružnice nad průměrem RS, tedy střed úsečky RS  sestrojíme Thaletovu kružnici O; RS  a najdeme její průsečíky s danou kružnicí k. Tyto body jsou body dotyku. Označíme je T, T/  narýsujeme přímky t = RT, t/ =RT/ - tečny z bodu R ke kružnici k.

Kružnice, kruh .......................................................................................................................... Strana 4

KONSTRUKCE TEČNY KE KRUŽNICI, KTERÁ JE ROVNOBĚŽNÁ SE ZADANOU PŘÍMKOU  je dána kružnice k S; r  a přímka p  narýsujeme přímku která je kolmá na přímku p a prochází bodem S. Tato přímka protne kružnici k ve dvou bodech T, T/.(jedná se o body dotyku)  body dotyku vedeme tečny rovnoběžné s danou přímkou

Vzájemná poloha dvou kružnic Dvě kružnice, které mají společný střed, nazýváme soustředné. Nemají buď žádný společný bod (), nebo mají všechny body společné, a jsou tedy splývající (totožné). Dvě soustředné kružnice k1 S; r1  a k 2 S; r2  , kde r1  r2 , vytvářejí mezikruží (). Všechny body X mezikruží mají od bodu S vzdálenost větší nebo rovnu r2 a menší nebo rovnu r1 . Výseč mezikruží () je průnik mezikruží a úhlu, jehož vrcholem je střed kružnic. Nemají-li kružnice společný střed, nazýváme je nesoustředné.

OBSAH MEZIKRUŽÍ kružnic k1 S; r1  a k 2 S; r2  , kde r1  r2 ,



S   r12  r22



POLOHY DVOU NESOUSTŘEDNÝCH KRUŽNIC k1 S; r1  a k 2 S; r2  , kde r1  r2 : Úsečka, jejímiž krajními body jsou středy těchto kružnic, příp. její délka se nazývá středná.

každá kružnice leží vně druhé; nastane pro S1S2  r1  r2

kružnice mají vnější dotyk; platí S1S2 = r1  r2

kružnice se protínají ve dvou bodech; platí r1  r2  S1S2  r1  r2

Kružnice, kruh .......................................................................................................................... Strana 5

kružnice se dotýkají uvnitř (mají vnitřní dotyk), právě když S1S2 = r1  r2

jedna kružnice leží uvnitř druhé; platí 0  S1S2  r1  r2

Kružnice, kruh .......................................................................................................................... Strana 6