bod uva ovan ho oblouku p smenem (nap. N) ahovo it o oblouku ANB, jak ukazuje obr. 1b). Pokud hlovou velikost oblouku AB vyj d me v obloukov m e, plat

MATEMATIKA V ta o hlu t tiv krunice PAVEL LEISCHNER Pedagogick fakulta JU, esk Budjovice

1. vod

V ta o hlu t tiv krunice pedstavuje zobecn n v ty o obvodovch hlech. K een n kterch geometrickch loh je vhodn j. Je znma ji z klasick Hadamardovy u ebnice 2]. Na webu ji najdeme jak v americkch pehledech stedokolsk matematiky, napklad 7] nebo 9], tak i v ruskch materilech pro stedokolky, viz 6] nebo 10]. U ns nen pli znma. Ne ji uvedeme, upesnme si zkladn pojmy.

; a) Oblouk AB

b) Oblouk ANB Obr. 1

Pro d lku oblouku AB zavedeme symbol dAB . Velikost stedov ho hlu, kter pslu oblouku AB budeme stru n nazvat hlov velikost oblouku AB a zna it !AB (obr. 1). N kdy nen jasn , kter z oblouk AB mme na mysli. V takov m ppad meme na obrzku ozna it n kter vnitn Matematika - fyzika - informatika 21 2011/2012

257

bod uvaovan ho oblouku psmenem (nap. N ) a hovoit o oblouku ANB , jak ukazuje obr. 1b). Pokud hlovou velikost oblouku AB vyjdme v obloukov me, plat vztah dAB = r !AB : (1)

2. Vta o hlech ttiv jako dsledek symetrie krunice

Ze soum rnosti t tiv i krunice podle spole n osy rovnob nch t tiv na obr. 2c) plyne dCD = dAB a odtud nsledujc v ta:

Vta 1

Rovnob n t tivy ohrani uj na krunici shodn oblouky. Pi ozna en podle obr. 2a), b) kme, e hlu ' t tiv AC a BD, kter se protnaj v bod V pslu oblouky AB a CD. Za protnajc se t tivy povaujeme i ty, kter maj spole n krajn bod. (Pi ozna en podle obr. 2a) to znamen bu V = C = D, nebo V = A = B .)

; Obr. 2 Oblouky vy at ttivami

Vta 2

Jestlie se v dan krunici protn t tiva BD s rovnob nmi t tivami AC a A C , pi em body A, A le v t e polorovin s hrani n pmkou BD, pak plat dA B + dC D = dAB + dCD (2) 0

0

0

0

a

!A B + !C D = !AB + !CD : 0

258

0

0

(3)

Matematika - fyzika - informatika 21 2011/2012

Dkaz. Oblouky AA a CC jsou shodn , proto lze ozna it d = dAA = = dCC . Zejm plat 0

0

0

0

dA B + dC D = (dAB d) + (dCD d) = dAB + dCD 0

0

pitom horn znam nka plat pro situaci, kdy je bod A uvnit oblouku A B (obr. 3) a doln znam nka plat, kdy je A uvnit oblouku AB . Tm je dokzn vztah (2). Rovnost (3) je pmm dsledkem vztah (2) a (1).

;

0

0

Obr. 3 K dkazu vty 2

Dsledek vty 2. Souet d lek protilehlch oblouk vyatch senami na krunici se nezm n posunut m n kter z nich za pedpokladu, e se seny ped posunut m i po n m prot naj v kruhu krunic ohranien m. Nezm n

se ani souet hlovch velikost oblouk. Vta 3 (o hlu t tiv)

Velikost hlu t tiv, kter se v dan krunici protnaj, je rovna aritmetick mu prm ru hlovch velikost pslunch oblouk t tivami ohrani ench. Pi ozna en podle obr. 2a) to znamen, e 2' = !AB + !CD :

(4)

Dkaz. Stedem krunice veme rovnob ky k t tivm AC a BD. Sestrojen rovnob ky vytnaj na krunici t tivy A C k AC a B D k BD (obr. 4). Pedpokldejme nejprve, e se se ky A C a BD protnaj { 0

0

0

0


0

0

259

obr. 4a). Uitm vztahu (3) pro t tivy A C , B D , BD a potom pro t tivy BD, A C a AC dostvme 0

0

0

0

0

0

2' = !A B + !C D = !A B + !C D = !AB + !CD :

; 0

0

0

0

0

0

Pro situaci, kdy se protnaj t tivy B D a AC je dkaz analogick. 0

0

Obr. 4 K dkazu vty o hlu ttiv

Nakonec uvaujme situaci, kdy se neprotnaj t tivy A C a BD, ani t tivy B D a AC , obr. 4b). Se tenm vztah !A A = !C C a !D D = !B B dostvme !A A + !D D = !C C + !B B odtud 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(!A B + !B A ) + (!C D + !C D ) = (!C D + !CD ) + (!B A + !AB ) 0

0

0

0

0

0

0

0

a po prav zjistme 2' = !A B + !C D = !AB + !CD : 0

0

0

0

Poznmka 1. K dkazm v t 2 a 3 jsme volili statick pstup. Dynamick geometrie nabz nzorn j a poutav j formu probrn u iva, pi n vychzme z experiment s posouvnm se en. Soubor pomcek vytvoench v Cabri II+ k t to s rii lnk me ten i s metodickm nvodem zdarma sthnout na webu z adresy 4].

260


Pomcky umo!uj napklad pro situaci z obr. 3 ukzat, jak t tiva

AC pechz do polohy A C posouvnm se ny AC . Pitom se vykresluj 0

0

zm ny d lek sledovanch oblouk, a tak je pmo vid t, e se posouvnm sou et d lek oblouk nem n. Nudn dkaz v ty 3 lze nahradit kovskou aktivitou: "k pemis#uje t tivy postupnm posouvnm se en za podmnek z v ty 1 z libovoln ho umst n do polohy prm r A C a B D . Ilustraci jedn z monost vidme na obr. 5a): Nejprve byla se na BD pemst na do polohy (1), pak AC do polohy (2), potom (1) do (3), (2) do (4), a nakonec (3) do (5). Nen to sice pesn matematick dkaz, ale l pe motivuje a vede k neformlnmu, trvalejmu poznatku. 0

0

0

0

;

a) Ilustrace posouv n seen b) Dsledek vty 3: ! = 2' Obr. 5

3. Vta o obvodov ch hlech

Obrzek 5b) pedstavuje v tu o obvodovch hlech jako zvltn ppad v ty 2. T tivy AC a BD jsou v takov poloze, e prse k V le na krunici, tedy C = D = V . $hel AV B je obvodov a AOB je pslun stedov hel velikosti !. Plat !CD = !V V = 0 a !AB = !. Vztah (4) m tvar 2' = !

(5)

z n ho plyne Vta 4 (o obvodovch hlech) Obvodov hly, kter pslu t mu oblouku dan krunice, maj velikost rovnu polovin hlov velikosti pslun ho oblouku. Matematika - fyzika - informatika 21 2011/2012

261

Ukzali jsme si, e v ta 3 o hlu t tiv v sob zahrnuje v tu o obvodovch hlech. Pitom nen sloit j, ani jej odvozen nen pracn j. Snadno se zapamatuje a vypovd vce o dokonal symetrii krunice. Pokud je mi znmo, dostupn literatura (s vjimkou 3]) neuvd prv popsan odvozen. Patrn z historickch dvod je v ta povaovna za dsledek v ty o obvodovch hlech a dokazovna n kterm z nsledujcch dvou postup: 1. (klasick) dkaz v ty 3. Pi ozna en podle obr. 6a), na n m jsou symboly hlovch velikost oblouk z praktickch dvod umst ny u oblouk, je podle v ty o vn jm hlu pro trojhelnk BCV velikost hlu CVD rovna sou tu velikost hl CBD a BCA. Odtud a z v ty 4 dostvme ' = '2 + '1 = 12 !AB + 21 !CD = 12 (!AB + !CD ):

;

Obr. 6 K dkazm vty 3 (pomoc vty 4)

2. dkaz z Ponarinovy uebnice 6]. Sestrojme t tivu BE k AC podle obr. 6b). Oblouky ohrani en rovnob nmi t tivami AC a BE jsou shodn , proto plat

!AB + !CD = !EC + !CD = !ED = 2': Snadno lze ov it, e v ta 3 je ekvivalentn s v tou 1. Poznamenejme jet , e k v t 3 existuje analogick v ta o hlu se en, je se protnaj vn krunice. Uvedeme ji bez dkazu, kter ten jist zvldne sm. (Me pout kterkoliv ze zpsob, jimi jsme dokazovali v tu 3.) 262


Vta 6

Pokud se se ny AC a BD protnaj vn dan krunice a krunici protnaj ve vrcholech tyhelnku ABDC , pak pro velikost jejich hlu ', jemu pslu protilehl oblouky AB a CD, plat 2' = j!AB ; !CD j: (6) Poznmka 2. Zavedenm orientovanch hl (resp. orientovanch oblouk) meme v ty 3 a 6 slou it a vztahy (4) a (6) nahradit jedinou rovnost.

5. Z vr

V ta o hlu t tiv je v tinou pokldna pouze za dsledek v ty o obvodovch hlech. I ve sbrkch loh se v rznch obm nch uvd jako dkazov loha na vyuit vztahu (5) (viz napklad 8] str. 7, loha 5, resp. 5] str. 232, loha 109). Pitom by m la b povaovna za v tu zkladn, nebo# vypovd vce o symetrii krunice ne v ta o obvodovch hlech, kterou obsahuje. Navc umo!uje jednodu a pehledn j een n kterch vpo tovch loh o hlech v krunici, jak si ukeme pt . (N kolik eench pklad je ji dostupnch v metodick m nvodu souboru 4].) Clem lnku bylo upozornit na tato fakta a inspirovat didaktickou veejnost k modernizaci vuky kolsk geometrie. Literatura

1] Bogomolny, A..: Secant Angles in a Circle. Cut The Knot: <www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/SecantAngle.shtml> 2] Hadamard, J.: Lecons de gomtrie lmentaire { I. Gomtrie plane. Librairie Armand Colin, Paris 1906. 3] Leischner, P.: Cavalieriho princip, vta o kr jen pizzy a vta o kr jen melounu. Matematika { fyzika { informatika 13 (5), 257{264, Prometheus, Praha 2004. 4] Leischner, P.: hly v krunici. (Soubor pomcek pro v uku.) 5] Polk, J.: St!edo"kolsk matematika v loh ch II. Prometheus, Praha 1999. 6] Ponarin, J. P.: Elementarnaja geometria, Tom 1. Izdate#stvo MCNMO, Moskva 2004. 7] 8] arygin, I. F.: Zadai po geometrii { Planimetrija, Nauka, Moskva 1982. 9] 10]


263

Dva pohledy na een problm JI MAZUREK Gymn zium Orlov

vod

Nau it ky eit probl my je jeden z dvnch a sou asn zcela aktulnch kol didaktiky.1 V matematice je een probl m v novna pozornost odedvna (viz napklad egyptsk Ahmesv rukopis, datovan 1650 p. n. l.). %een vhodnch matematickch loh je i dnes nedlnou sou st vuky matematiky na vech stupnch a typech kol. Probl mem vak zstv, jak ky l pe uit eit tyto lohy, jak u nich rozvjet logick a abstraktn mylen, jak je v st k dosaen stanoven ho cle a k dovednosti ov it si vsledek. K tomuto kolu se hls i &nov kola' prostednictvm svch dokument Rmcov vzd lvac programy pro gymnzia (RVP G) a Rmcov vzd lvac programy pro zkladn koly, v nich jsou formulovny tzv. kl ov kompetence. Jedna z nich, kter se m na kolch utvet a rozvjet, je kompetence k een probl m. RVP G v n kolika bodech upes!uj jej obsah 1, s. 9], tj. k, jak si m k po nat. "k: { rozpozn probl m, objasn jeho podstatu, roz len ho na sti( { vytv hypot zy, navrhuje postupn kroky, zvauje vyuit rznch postup pi een probl mu nebo ov ovn hypot zy( { uplat!uje pi een probl m vhodn metody a dve zskan v domosti a dovednosti, krom analytick ho a kritick ho mylen vyuv i mylen tvoiv s pouitm pedstavivosti a intuice( { kriticky interpretuje zskan poznatky a zjit n a ov uje je, pro sv tvrzen nachz argumenty a dkazy, formuluje a obhajuje podloen zv ry( 1 David Jonassen nap!klad tvrd, e lid jsou !e"iteli problm odprad vna a e "pikov experti nejsou placeni jen za sv znalosti, ale p!edev"m za een probl m ve sv ch oborech 4, s. 17{18]. Metodolog vdy Karl. R. Popper m tezi %&ivot je !e"enm problm' dokonce v n zvu jedn ze sv ch publikac.

264


{ je oteven k vyuit rznch postup pi een probl m, nahl probl m z rznch stran( { zvauje mon klady a zpory jednotlivch variant een, v etn posouzen jejich rizik a dsledk. Tyto teze se tkaj een probl m obecn , z hlediska vuky matematiky jsou vak pli obecn a velmi mlo instruktivn, a proto je nelze povaovat za nvod k een matematickch loh a probl m. Ve vuce matematiky musej bt ve zmn n teze konkretizovny eenm konkr tnch probl m. Pi rozvjen kompetence k een probl m v matematice lze vyjt z dnes ji klasick ho dla George P)lyi 2]. Sou asnm autorem, kter se v nuje een matematickch probl m, je napklad Terence Tao2 , viz 3]. Tento lnek si klade za cl ukzat na dvou nepli obtnch matematickch lohch pstup k een matematickch probl m podle obou zmn nch autor. Zrove! lze nsledujc text chpat i jako podn t pro u itele, jak konkr tn postupovat pi rozvjen kompetence k een probl m v matematice v duchu rmcovch vzd lvacch program.

een matematick ch problm podle George Plyi

George P)lya uvd tyi etapy een probl mu 2, s. xvii]: 1. Pochopit probl m: Je poetil o ekvat sprvn odpov di i een od ka, kter probl m nepochopil. Muste se ujistit, e ci dan probl m pochopili, a to tak, e je nechte vyjdit probl m vlastnmi slovy, a pak jim kladete otzky: &Co je v loze neznmou, kterou mme najt? Jak jsou daje v zadn? Jak podmnky se objevuj v loze? Je mon splnit podmnky zadn? Jsou tyto podmnky dostate n k nalezen een? Na rtn te si obrzek, zavete si vhodn ozna en veli in, zapite podmnky.' 2. Vymyslet pln een probl mu: V tomto kroku je teba najt spojen mezi daji v zadn a neznmou. Pokud ci dan probl m nikdy neeili a nic je nenapad, zkuste jim pipomenout jin, podobn probl m, jeho een znaj. Vyete jednodu probl m, analogick probl m, vce obecn nebo naopak speciln j probl m. Vyete alespo! st lohy. Nakonec byste m li objevit pln een dan lohy. 2 Terence Tao (nar. 1975) je vtz Mezin rodn matematick olympi dy (IMO) z roku 1988 a nositel Fieldsovy medaile (nejprestinj"ho matematickho ocenn) z roku 2006.


265

3. Prov st pln: Pi een kontrolujte kad krok, muste postupovat logicky sprvn (korektn ). 4. Prov st zp tnou kontrolu: Zkontrolujte s ky een. Je sprvn ? Je tm, co se m lo zskat? Je mon een ov it jinak? Je mon pout toto een i k een n jak ho jin ho probl mu? loha 1. Vypot te d lku t lesov hlop ky v kvdru, jestlie jsou dny d lky jeho hran 2, s. 7{15]. 1. "ci znaj Pythagorovu v tu, ale nemaj dn znalosti ze stereometrie (geometrie v trojrozm rn m prostoru). U itel me na vod lohu konkretizovat: za kvdr lze vzt tdu a t lesovou hlop kou je pak spojnice protilehlch roh tdy. U itel kvdr na rtne na tabuli a pak nsleduje dialog s ky: Uitel: ci: Uitel: ci: Uitel: ci: Uitel: ci: Uitel:

&Co je neznmou?' &D lka t lesov hlop ky v kvdru.' &Jak daje mme v zadn?' &Znme d lku, ku a vku kvdru.' &Zaveme si ozna en. Jak ozna me neznmou?' &x'. &A jak ozna me d lky hran kvdru?' &a b c.' &Jakou podmnku vyjaduje zadn? Jak je souvislost mezi neznmou x a hranami a, b a c?' ci: &Neznm x je t lesovou hlop kou v kvdru s d lkou a, kou b a vkou c.' Uitel: &M tento probl m smysl? Jde ze zadn ur it x?' ci: &Ano. Kdy znme a, b a c, znme kvdr, a tm je dna i d lka jeho t lesov hlop ky.' 2. "ci mohou mt probl m s vymlenm plnu een. Proto je u itel navede k probl mu, kter je podobn, a kter ci znaj z planimetrie: najt d lku pepony v pravohl m trojhelnku, ppadn hlop ky v obd lnku. 3. U itel na rtne v kvdru pravohl trojhelnk s peponou x a ci se pust do vpo tu. Pitom dvakrt pouij Pythagorovu v tu a zejm si zavedou pomocnou neznmou (nap. u) pro d lku hlop ky v podstav . U itel kontroluje proces een, vede ky k tomu, aby si sprvnost 266


jednotlivch krok ov ovali (&Je ten trojhelnk opravdu pravohl? Meme pout Pythagorovu v tu?'). Nakonec ci vypo tou d lku t lesov hlop ky v kvdru:

p x = a2 + b2 + c2

(1)

4. Zbv ov it vsledek (1). U itel me km poloit napklad tyto otzky: &Pouili jste vechny daje ze zadn? Je ve vzore ku pro x pouito a, b i c?' &Ozna ili jsme si d lku kvdru jako a, ku jako b a vku jako c. Kdy zam nme hrany kvdru (zam nme psmena a, b a c), kvdr zstane stejn, a proto se vsledek (x) nesm zm nit. Plat to?' &Co se stane, kdy se vka kvdru c zmen na nulu? Bude potom x d lkou hlop ky v obd lnku o stranch a a b?' &Kdy budeme zv tovat rozm ry kvdru, bude se zv tovat tak x?' &Kdy zv tme vechny rozm ry kvdru dvakrt, zv t se dvakrt tak x?' &Co se stane, kdy vechny rozm ry kvdru budou stejn ?' Dky t mto otzkm se zv dv ra k ve sprvnost dosaen ho vsledku a ci si tento vsledek l pe zapamatuj, znalost je l pe ukotvena a konsolidovna. Poslednmu kroku { ov en vsledku { se vak v esk m eduka nm prosted u itel ani ci pli nev nuj, a proto se mezi kovskmi vsledky ob as objevuj &do nebe volajc' nesmysly, v nich napklad vlaky cestuj nadsv telnou rychlost. P)lya uvd, e podobn absurdity nejsou zap in ny ani tak hloupost k, jako spe nezjmem o dan probl m. A lhostejnost k plyne z nedostate n motivace. T it prce u itele matematiky proto podle P)lyi spo v v kladen vhodnch otzek, kter ky motivuj k een probl mu a vedou je (nensiln ) k hledan mu vsledku.

een matematick ch problm, jak je popisuje Terence Tao

Terence Tao doporu uje pout k een probl m nsledujc osnovu 3, s. 1{7]: Matematika - fyzika - informatika 21 2011/2012

267

1. Pochopit typ probl mu: O jak probl m se jedn? Typ probl mu rozhoduje o strategii een. Existuj ti zkladn typy probl m: Probl my, kter za naj spojenm: &Ukate, e : : : ', ppadn : &Vypo t te : : : ' Probl my, kter za naj spojenm: &Najd te : : : ', ppadn : &Najd te vechna : : : ' Probl my, kter za naj spojenm: &Existuje : : : ?' Probl my prvn kategorie jsou nejm n obtn , nebo# cl je jasn formulovn (&je vid t') a jde jen o to najt cestu k jeho nalezen. Probl my druh kategorie jsou o n co obtn j, vsledek je teba hledat i uhdnout. Probl my tet kategorie pat k nejobtn jm. Na po tku je nutn se rozhodnout, zda dan objekt existuje i nikoli, a pak se snait najt dkaz (ne)existence, respektive protipklad. 2. Pochopit daje ze zadn : Co je dno? Obvykle jsou dny n jak objekty a podmnky, kter tyto objekty mus spl!ovat. Dleit je najt spojen mezi rznmi objekty i podmnkami. 3. Pochopit c l: Co chceme najt? Znalost cle pomh zvolit vhodnou strategii k een probl mu. 4. Zvolit vhodn oznaen veliin. Pro daje, podmnky i objekty ze zadn volme co nejjednodu ozna en. Nevhodn ozna en me zkomplikovat een lohy (viz een loha ne). 5. Zapsat, co je znmo (ve zvolen m oznaen ), nakreslit diagram. Zpisky mohou slouit jako podklad pro pozd j pemlen, lov k me zrat na papr, kdy se &zasekne', a nakonec pi psan se me objevit n jak nov inspirujc mylenka. Tmto bodem tedy za n samotn een probl mu. 6. Pozm nit probl m sten . Jestlie dan probl m odolv, je mon zkusit vyeit o n co jednodu probl m, napklad speciln ppad dan ho probl mu. 7. Pozm nit probl m vrazn . &Ohbnm' probl mu (vyput nm sti vstupnch dat, negac cle, apod.) je mon zjistit jeho kl ov, ppadn slab msta. 8. Zkusit z skat sten vsledek, doshnout sten ho c le. +ste n sp ch pi een probl mu (napklad dkaz lemmatu) se me hodit pi dosaen hlavnho cle (dkazu v ty). 9. Zjednoduit z skan vztahy, vyu t zadan data, doshout c le. Je teba vyut vztah zapsanch v bod (5), vybrat vhodnou strategii k jejich 268


een (napklad dosazovac metodu pro soustavu linern a kvadratick rovnice) a pomoc algebraickch i jinch operac dojt k dan mu vsledku. Pi een snadnch loh nsleduje po bodu (5) pmo bod (9). Jestlie je loha pro eitele pli sloit, pedstavuj body (6) a (8) alternativy dalho postupu: eitel me vyeit jen st lohy, analogickou lohu, speciln j ppad dan lohy, apod. loha 2. D lky trojheln ka tvo ti po sob jdouc leny aritmetick posloupnosti s diferenc d. Obsah trojheln ka je S. Urete d lky stran a velikosti vnitn ch hl trojheln ka 3, s. 1{7]. 1. Tento probl m je prvnho typu. Mme najt n kolik neznmch veli in, jestlie jsou dny jin veli iny. %een bude zejm algebraick s (mnoha) rovnicemi spojujcmi neznm veli iny se znmm. 2. Je dn trojhelnk, jeho obsah a vztah pro d lky stran. Proto budeme potebovat vztahy, v nich souvisej d lky stran s velikostmi hl: sinovou a kosinovou v tu, vztahy pro obsah trojhelnka, apod. Dle musme n jak vyjdit skute nost, e d lky stran trojhelnka tvo aritmetickou posloupnost. 3. Chceme najt d lky vech stran a velikosti vech hl. Budeme k tomu potebovat ji ve zmn n vztahy. 4. Hledan hly ozna me standardn , a , d lky stran je vhodn vyjdit symetricky pomoc (prostedn) strany b: a = b ; d, b = b, c = b + d. 5. Zapeme ve, co znme, v podob rovnic i nerovnic: , , , S > 0, b d + + = 180 , sinov v ta: bsin;d = sinb = bsin+ d

kosinov v ta: b2 = (b ; d)2 + (b + d)2 ; 2(b ; d)(b + d) cos obsah: S = 21 (b ; d)b sin = 2(b ; d)(b1+ d) sin = 12 (b + d) sin p Heronv vztah: S = s(s ; a)(s ; b)(s ; c)

6. Dan probl m meme mrn pozm nit a tm jej zjednoduit. Meme napklad uvaovat speciln ppady { rovnostrann nebo rovnoramenn trojhelnk. V ppad rovnostrann ho trojhelnka zskme Matematika - fyzika - informatika 21 2011/2012

269

jednoduchm vpo tem:

p

(2) b = 2p4 S = a = c 3 A dle: d = 0, = = = 60 . Z een specilnho ppadu meme zskat pedstavu o tom, jak by mohl vypadal vsledek v obecn m ppad (kter veli iny a v jakch mocninch i odmocninch se zde vyskytuj : : : ). 7. Probl m meme vrazn pozm nit napklad tm, e st zadn vynechme, msto abychom se snaili jist tvrzen dokzat, meme se pokusit ho naopak vyvrtit, msto trojhelnka meme uvaovat tverec, apod. Toto funguje u sloit jch probl m. V na loze je vak tato cesta k cli zbyte n sloit. 8. Cesta k cli me v st i pes ste n nebo provizorn vsledky, pi nich vyuvme jen st zadanch daj. 9. Jako nejnad jn j vchodisko pro een probl mu se nabz Heronv vztah, nebo# spojuje obsah trojhelnka pmo s d lkami jeho stran (pesn ji s polovinou jeho obvodu). Jakmile se poda ur it d lky stran, z kosinov v ty pak vypo teme hly. Mme tedy Heronv vztah:

kde

p S = s(s ; a)(s ; b)(s ; c)

(3)

s = (a + b + c)=2 = (b ; d) + b + (b + d)]=2 = 3b=2

(4)

Dosazenm (4) do (3) a umocn nm na druhou dostvme:

S = 32b 32b ; b + d 2

3b 3b 2 ;b 2 ;b;d

(5)

Vztah (5) lze roznsobenm zjednoduit: 2 2 2 S 2 = 3b (b 16; 4d )

(6)

3b4 ; 12d2 b2 ; 16S 2 = 0

(7)

Vztah (6) je bikvadratickou rovnic pro b: 270


Rovnice o neznm b (7) m koeny:

b = 2d 2

2

r

2 4d2 + 16 3S

(8)

Protoe b2 mus bt kladn , je v (8) ppustn pouze koen s kladnm znam nkem ped odmocninou. Odmocn nm (8) nakonec zskme b:

s

r

2 b = 2d + 4d4 + 16 3S 2

(9)

a = b ; d, c = b + d, hly , , a lze dopo tat pomoc kosinov (sinov ) v ty (ponechvme na teni). Zp tn kontrola vsledku pro d = 0 (rovnostrann trojhelnk) dv vztah (2).

Srovn n obou pstup

Pstupy G. P)lyi (GP) a T. Tao (TT) jsou si v zsad podobn .3 { Bod GP 1, tedy porozum n probl mu, odpovd bodm 1{4 u TT. { Bod GP 2 koresponduje s TT 6{8 a prvn st TT 9. { Bod GP 3 odpovd druh sti TT 9. { TT na rozdl od GP explicitn nezmi!uje kontrolu vsledku (bod GP 4). Rozdlnost mezi 2] a 3] lze spatovat spe v tom, jakou m li autoi motivaci k jejich napsn, ke komu se ve svch textech obracej a jak mu typu loh se v nuj. P)lya se obrac pedevm k u itelm a studentm matematiky a na modelovch lohch nzorn pedvd, jak by si m l po nat k i u itel v jednotlivch fzch een. U P)lyi pevldaj b n lohy stedokolsk rovn . Tao se zam uje spe na zjemce o matematiku, vybr si lohy pevn z matematickch sout a pedvd matematiku jako zajmavou, zbavnou a krsnou v du.4 Zvdav ten si jet me porovnat, jak se dan aktivity k pi rozvjen kompetence k een probl m dle RVP G z vodu lnku shoduj s pstupy obou autor k een matematickch loh. T. Tao zmi(uje P)lyovo dlo 2] ji na prvn str nce sv knihy. T. Tao zmi(uje P)lyovo dlo 2] ji na prvn str nce sv knihy T. Tao: %I just like mathematics because it is fun.' 3, Preface]. 3 4


271

Z vr

Problematice een probl m je v anglosask literatue v novna zna n pozornost (viz nap. 4] nebo 5]). Clem tohoto lnku proto bylo piblit n kter pstupy a mylenky i esk mu teni (u iteli matematiky). Tyto pstupy jsou sou st een praktickch probl m s vyuitm matematiky (viz nap. 6]) a do jist mry jsou pouiteln i pro een probl m mimo oblast matematiky. Zjemce o problematiku utven a rozvoje jednotlivch kl ovch kompetenc lze odkzat na metodick portl RVP. G. P)lya i jeho dlo jsou dnes ji legendrn, proto si zv rem dovolm citovat jeho slova 2]: &U itel matematiky m jedine nou pleitost. Jestlie napln as ur en k vuce neustlm procvi ovnm rutinnch operac, omez tm intelektuln rozvoj svch k a s touto pleitost nalo patn . Ale pokud pobdne zv davost svch k tm, e jim pedlo probl m pim en jejich znalostem a pome jim svmi otzkami tento probl m vyeit, zakus jeho ci monost nezvisl ho mylen. Tato zkuenost me podntit chu# k k duevn prci a do konce ivota formovat jejich mylen a charakter : : : ' Literatura 1] RVP { Metodick port l. Dostupn na WWW: . 2] Plya, G.: How To Solve It { A New Aspect of Mathematical Method. 2nd Edition. USA: Princeton University Press, 1957. 3] Tao, T.: Solving Mathematical Problems { A Personal Perspective. USA: Oxford University Press, 2006. 4] Jonassen, D.: Learning to Solve Problems { An Instructional Design Guide. USA: Pfei*er, 2004. 5] Bransford, J. Stein, B. S.: The IDEAL Problem Solver: A Guide for Improving Thinking, Learning, and Creativity. USA: Freeman, 1993. 6] Trvn ek, S.: Matematizace re ln ch situac. MFI, 11 (2001/02), . 7, s. 388{398.

272


Zajmav matematick lohy Uvdme zadn dal dvojice loh na pravideln rubriky. Jejich een mete zaslat nejpozd ji do 10. 3. 2012 na adresu: Redakce asopisu MFI, 17. listopadu 12, 771 46 Olomouc. Jejich een lze zaslat tak elektronickou cestou (pouze vak v TEXovskch verzch, pp. v MS Wordu) na emailovou adresu: m@upol.cz. Zajmav a originln een loh rdi uveejnme.

loha 185

Dokate, e

s 3

je pirozen slo.

s

2 + p10 + 3 2 ; p10 27 27

loha 186

Stanislav Trvn ek

Je dn rovnob nk ABCD a bod E , kter nele na jeho hranici. V bodech A, B , C , D jsou v dan m poad sestrojeny rovnob ky a, b, c, d s pmkami EC , ED, EA a EB . Dokate, e pmky a, b, c, d prochzej jednm bodem. Pavel Leischner Dle uvdme bilanci za uplynul (18.) ro nk t to rubriky, kter je zrove! osmm ro nkem dalho cyklu dlouhodob sout e. Redakce obdrela celkem 110 plnch nebo ste nch een od 44 jednotlivc (alespo! jednu vyeenou lohu druh ho cyklu pitom zaslalo 166 eitel). Za kadou pln vyeenou lohu eitel obdrel 6 bod, za ste n vyeenou 3 body( k-nsobnm lauretem t to rubriky se stane eitel, kter zsk od 11. ro nku alespo! k-nsobek sla 93 (rubrika byla zaloena v roce 1993). Poad eitel po osm m ro nku druh ho cyklu dlouhodob sout e: 1. Anton Hnth z Moravan (339 b.), 2. Karol Gajdo z Trnavy (228 b.), 3. Vladim r Pavel z Blovic (213 b.), 4. Jozef M szros z Jelky (183 b.), 5. Miroslav Hbsch z Prahy 5 (156 b.), 6. Ji Steckbauer z Kv tn (132 b.), 7. Frantiek Jchim z Volyn (120 b.), Novmi laurety se stvaj Ji Steckbauer a Frantiek Jchim. Srde n jim blahopejeme. Pavel Calbek Matematika - fyzika - informatika 21 2011/2012

273

bod uva ovan ho oblouku p smenem (nap. N) ahovo it o oblouku ANB, jak ukazuje obr. 1b). Pokud hlovou velikost oblouku AB vyj d me v obloukov m e, plat

Recommend Documents