Fyzika
Klasická mechanika - popisuje mechanický pohyb t les, které se p emis ují v prostoru rychlostí v << c - 2 oblasti o - kinematika – zkoumá pohyb bez ohledu na jeho p í iny o - dynamika – zkoumá souvislost mezi charakteristikami pohybu a silami, které ho zp sobují Kinematika hmotného bodu - HB – myšlený bezrozm rný objekt o nenulové hmotnosti - pozn.: pojem HB se zavádí p i modelování reálných t les( Z kolem S – Z=HB), jindy se reálné t leso chápe jako systém obrovského po tu HB - poloha HB r ≡ [x, y, z ].... polohový vektor
r ≡ r = x 2 + y 2 + z 2 .... velikost polohového vektoru
-
pohyb HB - platí: ∆s - délka oblouku opsaného hmotným bodem za as ∆t = t 2 − t1 ∆r = r2 − r1 - zm na polohového vektoru za as ∆t - obecn ∆s ≠ ∆r
pozn.: - pohyb HB je popsán , známe-li fci r = r (t ) ≡ [x(t ), y (t ), z (t )] rychlost HB – pro ∆t → 0 : ∆r → dr , ∆s → ds dr = τ ds - elementární délka opsaného oblouku ∆r dr ds - platí: - v = lim = = τ ∆t → 0 ∆t dt dt - potom: • v // τ tj. rychlost mí í v daném okamžiku ve sm ru te ny k dráze dx dy dz • v ≡ v x , v y , v z , kde v x = , v y = , vz = dt dt dt - zrychlení HB ∆v dv d 2 r - platí: a = lim = = 2 - zrychlení v daném okamžiku ∆t →0 ∆t dt dt 2 dv y d 2 y dv dv d x d 2z - potom: a x = x = 2 ; a y = = 2 ; az = z = 2 dt dt dt dt dt dt Dynamika hmotného bodu - dynamika HB je popsána 3 Newtonovými zákony, které p edstavují základ mechaniky - 1.Newton v zákon (zákon setrva nosti): V inerciálních soustavách(tj. takových, které jsou v i sob bu v klidu nebo pohybu rovnom rn p ímo arém) z stává t leso v klidu nebo pohybu rovnom rn p ímo arém, dokud na n nep sobí jiná t lesa(vn jší síla) - pozn.: - existen ní teorém, který popisuje existenci systém s ur itou, z fyzikálního hlediska významnou, vlastností – d ležité pro popis t les - p íklad neinerciálního systému – systém pevn spojený z rozjížd jícím se dopravním prost edkem, nebo s rotujícím t lesem – pozorovatel v nich vidí, že se vn jší t lesa pohybují se zrychlením, ale p i tom na n nep sobí žádná síla F ...p sobící síla - 2.Newton v zákon (zákon síly): F = ma m...hmotnost -
[
-
]
a...vyvolané zrychlení pozn.: • zákon síly je nejd ležit jší Newton v zákon, nebo spojuje p í inu pohybu(p sobící síla) z následku(vyvolané zrychlení • postup p i ešení dynamických problém (pohyb v silových polích (i) – vyjád íme celkovou p sobící sílu(obecn dána vektorovým sou tem všech p sobících sil) 1
(ii)
– ešíme pohybovou rovnici F = ma = m
dv d 2v = m 2 s cílem stanovit funkci r = r (t ) dt dt
-
(závislost polohového vektoru na t) 3.Newton v zákon (zákon akce a reakce) – každá akce vyvolává stejn velkou reakci opa ného sm ru
-
platí: F21 = − F12
Impuls síly -
platí:
t2
I = Fdt t1
-
F21 ...síla, kterou p sobí 2. HB na 1.HB F12 ...síla, kterou p sobí 1. HB na 2.HB t1 ...po áte ní as t 2 ...kone ný as
vyjad uje asový ú inek síly
Hybnost HB - p = mv Moment síly platí: M = r × F r ...polohový vektor p sobišt síly - moment vzhledem k n jakému vztažnému bodu - M ⊥ r , F (vektory v po adí r , F a M tvo í pravoto ivý systém) -
platí: M = r ⋅ F ⋅ sin α
Moment hybnosti b ...moment hybnosti vzhledem k n jakému vztažnému bodu - b =r×p r ...polohový vektor v n mž ur ujeme hybnost - pozn.: - moment síly a moment hybnosti mají zásadní význam p i popisu rota ních pohyb Mechanická práce r2
-
platí: A12 = Fdr
A12 ...práce, kterou vykoná HB p i p echodu z polohy 1 do polohy 2
r1
-
je vyjád ena k ivkovým integrálem, kde r1 je poloha po áte ního bodu a r2 poloha kone ného bodu
obecn platí: (i) F = F (r ) (ii) α = α (r ) Výkon dA - P= P...výkon(vyjad uje, jak rychle se koná práce) dt Kinetická energie -
-
1 2 mv 2 r2 r2 v2 v2 dv 1 A = Fdr = m dr = mv dv = mvdv = mv 2 platí: dt 2 r1 r1 v1 v1 v nerelativistickém p ípad (v<
v2 v1
=
1 2 1 2 mv 2 − mv1 = K 2 − K 1 2 2
tj. došlo ke zvýšení kinetické energie HB Konzervativní silové pole a potenciální energie - • silové pole je zadáno, známe-li v každém bod prostoru fci F = F (r ) - • silové pole je konzervativní platí-li: - integrál po uzav ené k ivce Fdr = 0 - vyjad uje práci, kterou vykoná HB na své uzav ené k ivce 2
• v konzervativním silovém poli je možno zavést potenciální energii U, pro kterou platí: ∂U ∂U ∂U F = − gradU ≡ −∇U ≡ − ;− ;− ∂x ∂y ∂z Explicitní vyjád ení potenciální energie F = − gradU / ⋅ dr -
Fdr = − gradUdr = −
∂U ∂U ∂U dx + dy + dz = −U (r ) + konst. ∂x ∂y ∂z
-
platí:
-
- totální diferenciál po úprav : U (r ) = − Fdr + konst.
- U - potenciální energie HB v daném míst prostoru - konst. - aditivní konstanta jejíž hodnotu ur íme po vhodné volb okrajové podmínky
-
pozn.: - potenciální energii v daném silovém poli dokážeme stanovit až když máme výraz pro F = F (r ) (viz. Cv. 2) r2
-
platí: A12 = Fdr = − gradUdr = −[U (r )]r12 = U 1 − U 2 r
r1
- A12 - práce, kterou vykoná síla F p i p echodu z bodu1 do 2 - dochází k úbytku potenciální energie(práce v konzervativním poli nezávisí na tvaru dráhy Zákon zachování mechanické energie - v konzervativním silovém poli zvolíme 2 libovolné body, ozna íme dráhu, ur íme práci r2
-
platí: A12 = Fdr = viz. výše K 2 − K 1 = viz. výše U 1 − U 2
- platí pouze v konzerv. sil. poli
r1
potom: K 2 + U 2 = K 1 + K 2 - v bod 1 - celková mechanická energie v bod 2 záv r: -oba body v prostoru byly zvoleny libovoln , tj. vztah o rovnosti celkové mechanické energie platí v celém prostoru v konzervativním silovém poli se zachovává celková mechanická energie - pozn.: - - p íklady KSP: - gravita ní pole, pole lineárního harmonického oscilátoru, elektrostatické pole,… - - p íklady nKSP: - vždy, když dochází k bržd ní pohybu(t ení, odpor prost edí) Dynamika soustavy HB - soustava HB slouží jako model reálných t les - pohyb více t les v p ípad , že každé z nich lze zobrazit hmotným bodem - pohyb 1 reálného t lesa, které považujeme za soubor obrovského množství hmotných bod (p edstavy HB nelze použít p i rotaci) - uvažujme systém N HB I. impulsová v ta - uvažujme systém N HB Fi ...celková síl p sobící na i - tý HB dp i - pro i-tý HB platí: = Fi dt pi ...hybnost i - tého HB -
-
E
platí: Fi = Fi +
N j =1
F ji , kde F ji = − Fij
E
Fi ...celková vn jší síla
3
-
po dosazení: N N dp i E = Fi + F ji / dt i =1 j =1 N i =1
dp i = dt
N i =1
E
Fi +
N
N
i =1 j =1
F ji
↓ N i =1
(F
1i
)
+ F2i + ... + FNi =F11 + F12 + ... + F1N + F21 + F22 + ... + F2 N + ... + FN 1 + FN 2 + ... + FNN = 0,
nebo Fij + F ji = 0, Fii = 0 N
d dt
i =1
pi =
N i =1
Fi
E
-
dostáváme:
-
dostáváme:
-
d sledek: - v izolovaném systému platí: Fi = 0, ∀i
↓ P celková vn jší síla p sobící na systém ( F E )
P...celková hybnost systému
dP = F E I. impulsová v ta dt E
FE =0
dP =0 dt
systému se zachovává celková hybnost pozn.: - skok z lo ky, výst el z hlavn , únik spalin z raketového motoru opa ným sm rem II. impulsová v ta dbi dr d d = (ri × mi vi ) = i × mi vi + ri × (mi vi ) dt dt dt dt vi // mivi Fi =0 db pro i-tý HB platí: i = ri × Fi , kde Fi je celková síla p sobící na i - tý HB dt
-
E
Fi = Fi +
N j =1
i =1
dbi = dt
N i =1
pohyb lo ky, zbran a rakety
F ji
dbi E = ri × Fi + ri × dt N
P = konst. , tj. v izolovaném
E
N j =1
ri × Fi +
F ji / N i =1
N i =1
ri ×
N j =1
F ji
moment vn jší síly p sobící na i - tý HB
MiE -
po dosazení: =
N i =1
ri × ( F1i + F2i + ... + FNi ) =r1 × F11 + r1 × F21 + ... + r1 × FN 1 + ... + r2 × F12 + r2 × F22 + ..
. + r2 × FN 2 + ... + rN × F1N + rN × F2 N + ... + rN × FNN = 0, nebo celou sumu lze rozepsat na sou et dvojic r j × Fij + ri × F ji = (r j − ri )× Fij = 0 // Fij
4
B... celkový moment hybnosti soustavy HB , vzhledem -
d dt
dostáváme:
N i =1
bi =
B
N i =1
Mi
E
ME
k n jakému vztažnému bodu M E ...celkový moment vn jších sil, p sobících na soustavu vzhledem k témuž bodu
dB = M E II. impulsová v ta dt
-
dostáváme:
-
d sledek: - v izolované soustav Fi = 0, ∀i
-
dB = 0 B = konst. dt - v izolovaném systému se zachovává celkový moment hybnosti pozn.: - pirueta krasobrusla ky (viz dále) E
ME =0
Dynamika tuhého t lesa - tuhé t leso je tvo eno soustavou HB jejichž vzájemné vzdálenosti jsou neprom nné, tj. tuhé t leso je nedeformovatelné (v mnoha situacích dobrý model t les pevného skupenství) Kinetická energie tuhého t lesa - (i) Transla ní pohyb: • všechny Hby t lesa se pohybují se stejnou rychlostí vi = v , kde v je rychlost hmotného st edu -
N 1 2 m...celková hmotnost t lesa 1 1 mi vi2 = v 2 mi = mv 2 K ...celková kinetická energie t lesa 2 i =1 i =1 2 (ii) Rota ní pohyb kolem pevné osy: • všechny HBy t lesa rotují se stejnou úhlovou rychlostí N N N 1 1 1 1 2 platí: K = mi vi2 = mi ri 2ω 2 = ω 2 mi ri 2 = Jϖ 2 2 i =1 2 i =1 2 i =1
platí: K =
N
J J ...moment setrva nosti t lesa vzhledem k ose otá ení (moment je dán rozložením hmotnosti v t lese) vi = riω ...obvodová rychlost (ri ...vzdálenost od osy otá ení) - (iii) Obecný pohyb: • libovolný obecný pohyb si lze p edstavit jako transla ní pohyb s rotací t lesa kolem osy jdoucí jeho hmotným st edem 1 2 1 2 - platí: K = mv + J 0ω 2 2 J 0 ...moment setrva nosti t lesa vzhledem k ose jdoucí jeho hmotným st edem Moment setrva nosti N J ...moment setrva nosti t lesa vzhledem j n jaké ose otá ení - platí: J = mi ri 2 ri ...vzdálenost i - tého hmotného bodu od osy rotace i =1 - pro základní ástice tuhých látek platí: • objemová koncentrace je velmi vysoká lze p ejít p edstav t lesa jako objektu se • rozm r velmi malý spojit rozloženou hmotností - (p i popisu takových t les lze využít spojitých fcí a diferenciálního po tu) - platí: J = r 2 dm (m)...integrace je provád na p es celou hmotnost ( m)
-
platí:
dm = ρ (r )dV
ρ (r )....objemová hustota t lesa dV ...objemový element t lesa 5
-
r 2 ρ (r )dV
po dosazení: J =
(V )
-
p edpokládáme, že ρ (r ) = konst.
-
2 potom: J = ρ r dV (V )
- pozn.: - moment setrva nosti homogenního válce a homogenní koule vzhledem k jejich ose symetrie Pohybová variace pro rotaci t lesa kolem pevné osy - budeme aplikovat II. impulsovou v tu B... je celkový moment habnosti -
vzhledem k bodu 0 dB E E platí: = M , kde M ...celkový moment vn jší síly dt p sobící na t leso vzhledem k bodu 0
-
platí: B =
N i =1
bi =
N i =1
ri × mi vi
bi ⊥ ri , vi , tj. bi nemí í v obec. p ípad ve sm ru osy rotace
-
platí: bi = bi ⊥ + bi //
-
podobn lze napsat: M E = M ⊥E + M //E
-
-
d N bi // = M ⊥E + M //E dt i =1 i =1 platí: - vektor ω mí í ve sm ru osy rotace, tato osa je pevná v t lese i v prostoru(viz zadání úlohy) zm na dω m že mí it jedin ve sm ru osy rotace, tj. rotaci t lesa zp sobuje pouze složka M //E , která mí í ve sm ru osy rotace d N k popisu pohybu využijeme II. impulsovou v tu ve tvaru: bi = M //E dt i =1 // po dosazení:
-
d dt
N
bi ⊥ +
velikost bi platí: bi // = bi ⋅ sin α = ri × mi vi ⋅ sin α = ri mi vi sin
ri ⊥vi
-
′ ri ...vzdálenost i - tého HB od osy rotace
-
2 platí: bi // // ω , tj. lze psát : bi // = mi ri′ ω
-
po dosazení:
-
M ⊥E ...nemá rota ní ú inky
π
′ ′2 sin α = ri sin α ⋅ mi ri ω = mi ri ω 2 ri′
2 J ...moment setrva nosti t lesa vzhledem k ose rotace d N ω mi ri ′ = M //E ω ...úhlová rychlost je pro všechny HB stejná dt i =1 J d (Jω ) = M //E - pohybová rovnice pro rotaci t lesa kolem pevné osy dostáváme: dt
d sledek: M //E = 0 Jω = konst., tj. ω vzroste, když J se sníží (když krasobrusl ka p ipaží) p edpokládáme: J = konst. dω dostáváme: J = Jε = M //E ε ...úhlové zrychlení, mí í op t ve sm ru osy dt d sledek: M //E ≠ 0 ε ≠ 0 M //E ...startér(když chceme n co rozto it, musíme takhle zap sobit)
6
-
platí: - vektory ω , dω , ε a M //E , mí í ve sm ru osy rotace, která je pevná v t lese(viz. zadání úlohy) a stálá
-
d 2ϕ dω J = M //E - dostáváme dif. rovnici pro fci v prostoru lze p ejít ke skalární rovnici Jε = J = 2 dt dt ϕ = ϕ (t ) , jednozna n popisující rotaci P .: cv. .3 – kyvadla
Základy speciální teorie relativity - Einstein, Poincare, Lorentz, Minkowski Klasická mechanika • poskytuje uspokojivý popis makroskopických pohyb t les o rychlosti v << c • p edpokládá existenci absolutního prostoru a absolutního asu, které jsou nezávislé na pohybu a existenci t les Galileova transformace - transformace sou adnic p i p echodu mezi soustavami S a S ′ , která se pohybuje v i S rovnom rn p ímo a e rychlostí v v kladném sm ru osy x - HB má v ur itém okamžiku sou adnice v S [x, y, z ] a v S ′[x ′, y ′, z ′] x ′ = x − vt y′ = y - platí: z′ = z t′ = t - t ′ = t...tj. as plyne v obou soustavách stejn , tj. as nezávisí na vzájemném pohybu t les Transformace rychlosti - v soustav S má HB rychlost u ≡ u x , u y , u z
[
]
dx ′ d dx = ( x − vt ) = − v = ux − v dt ′ dt dt dy ′ dy v S ′ platí: u ′y = = = uy dt dt u ′z = u z u ′x =
-
na konci 19.století se ve fyzice nahromadilo zna né množství experiment jejichž výsledky bylo nemožné konzistentn vysv tlit(viz. nap . Michelsov v pokus) - klí ový výsledek experiment : - byl a pop ena existence absolutního prostoru a absolutního pohybu bylo nutno revidovat klasickou mechaniku: byla vytvo ena speciální a obecná teorie relativity Základní principy speciální teorie relativity - 1.princip relativity: - všechny inerciální systémy jsou pro formulaci všech fyzikálních zákon rovnocenné - 2.princip konstantní rychlosti sv tla: - rychlost sv tla ve vakuu je ve všech inerciálních systémech stejná - pozn.: - rychlost sv tla nezávisí na tom jestli se zdroj sv tla v i pozorovateli pohybuje nebo nepohybuje Lorentzova transformace - odvodil ji Lorentz, správný fyz. význam ji dal Einstein - odvozena pouze na základ 2 princip relativity - transformace sou adnic a asu p i p echodu mezi soustavami S a S ′ , která se v i S pohybje rovnom rn p ímo a e rychlostí v v kladném sm ru osy x - bodová událost(okamžitý bodový d j) je v S charakterizován sou adnicemi [x, y, z , t ] - platí:
7
x − vt
x′ =
-
1− v
2
y′ = y (i) p echod S → S ′ : z ′ = z
c2
t ′... as nam ený v míst [x ′, y ′, z ′] x...poloha m i e asu z S ′ ur ená v S
v x 2 c t′ = 2 1− v 2 c (ii) obrácený p echod S ′ → S : - soustavy S a S ′ jsou inerciální systémy pro formulaci všech fyz. zákon jsou zcela rovnocenné budou platit stejné transforma ní vztahy, ale znaménko u rychlosti v bude obrácené ( S se pohybuje v i S ′ rychlostí − v ) x ′ + vt ′ x= 2 1− v 2 c y = y′ platí: z = z ′ t−
-
-
v x′ 2 c t= 2 1− v 2 c t′ +
pozn.: • Lornetzova transformace je matematickým základem STR, plynou zní n které významné d sledky: sou adnice a as závisejí na rychlosti pohyb , tj. prostorové dimenze a as nejsou absolutními veli inami, ale mají význam pouze v souvislosti s ur itým vztažným systémem x − vt x′ = ≈ x − vt 2 v 1− << 1 c2 - • pro v << c platí: v t− 2 x c t′ = ≈ t , tj. Lorentzova transformace p echází na Galileovu 2 v 1− c2 Relativnost sou asnosti - p edpokládáme existenci 2 bodových událostí - v soustav S jsou popsány sou adnicemi : [x1 ,0,0, t1 ] a [x 2 ,0,0, t 2 ] , p i emž platí: x 2 ≠ x1 a t 2 = t1 , tj. v S jde o sou asné události v r zných místech
-
0
-
≠0
v t 2 − t1 − 2 ( x 2 − x1 ) c v soustav S ′ platí: t 2′ − t1′ = ≠ 0 , dostáváme t 2′ ≠ t1′ , tj. události jsou nesou asné 2 v 1− c2 v soustav S ′
Dilatace asu - m jme hodiny H ′ umíst né pevn v soustav S ′ , kde mají sou adnice [x1′ ,0,0] - v okamžiku t1′ , resp. t 2′ m eném na hodinách H ′ míjejí tyto hodiny jiné hodiny H 1 , resp. H 2 umíst né pevn v soustav S v poloze [x1 ,0,0] , resp. [x 2 ,0,0] 8
-
v t1′ + 2 x1′ c t1 = 2 1− v 2 c v okamžiku míjení hodin v S platí: v t 2′ + 2 x1′ c t2 = 2 1− v 2 c ≠0
-
-
t1 ... as m ený na hodinách H 1 t1′... as m ený na hodinách H ′ x1′ ...poloha hodin H 1 v S ′ je stejná s polohou hodin H ′ v S ′ t 2 ... as m ený na hodinách H 2 t 2′ ... as m ený na hodinách H ′ x1′ ...poloha hodin H 2 v S ′ je stejná s polohou hodin H ′ v S ′ 0
v t 2′ − t1′ − 2 ( x 2′ − x1′ ) c po dobu míjení hodin v S platí: t 2′ − t1 = 2 1− v 2 c ∆t...doba mezi míjením bodu v S ′ ∆t ′ dostáváme: ∆t = 2 ∆t ′...doba mezi míjením bodu v S 1− v 2 c 1− v
2
< 1, tj. ∆t > ∆t ′ → doba libovolného d je m ená v soustav v níž se tento d j c2 odehrává je vždy kratší než doba téhož d je m ená pozorovatelem v i, kterému se mín ná soustava pohybuje (hovo íme o dilataci asu z hlediska pozorovatele v S ) Experimentální d kaz dilatace asu - prodloužení doby života mionu (µ-mezon) - • mion – elementární ástice o m=207me, má stejný náboj jako elektron, je nestabilní( rozpadá se na el. a 2 neutrina) - • miony vznikají jako druhotné produkty p i srážce primárního kosmického zá ení s atomy Zemské atmosféry ve výšce 30km - • doba života zastaveného mionu je τ 0 = 2.2 × 10 −6 s, kdyby se pohybovat rychlostí c (ve skute nosti v < c ) urazí dráhu 660m, tj. nemohl by být registrován na Zemi - záv r – aby byl registrován, muselo dojít k dilataci jeho doby života z hlediska jeho pozorovatele na Zemi -
platí: v < c
τ=
τ0
1− v
2
τ ...doba života m ená na Zemi
c2 Kontrakce délek - m jme ty , která je pevn umíst l ′ = x 2′ − x1′ - v ase t m eném v soustav S x1 − vt x1′ = 2 1− v 2 c x 2 − vt x 2′ = 2 1− v 2 c
ná ve sm ru osy x v soustav S ′ tak, že lze m it její klidovou délku: lze psát: x1 ...poloha po átku ty e v S v ase t x 2 ...poloha konce ty e v S v ase t
l
-
po dosazení: l ′ =
x 2 − x1 − vt + vt 2 1− v
l ...délka ty e m ená v soustav S
c2 9
Transformace rychlosti - nech se HB (t leso) pohybuje v soustav S rychlostí u ≡ u x , u y , u z -
[
]
[
]
v soustav S ′ pro složky rychlosti u ′ ≡ u ′x , u ′y , u ′z platí: dx ′ dx ′ dt dx ′ 1 u ′x = = ⋅ = ⋅ , chceme dostat na pravé stran ne árkované prom nné dt ′ dt dt ′ dt dt ′ dt
v x x − vt c2 x′ = t′ = 2 2 1− v 2 1− v 2 c c dx −v 1 dt - dostáváme: u ′x = ⋅ 2 v dx 1− v 2 1− 2 ⋅ c c dt t−
1− v -
po úprav : u ′x =
2
c2
ux − v v 1− 2 ux c 1− v
2
dy ′ dy ′ dt c2 u ⋅ u ′y = = ⋅ = y v dt ′ dt dt ′ 1− 2 ux c u ′z = u z ⋅
-
1− v
2
c2
v ux c2 pozn.: • v p ípad , že se pohyb v soustav S d je pouze ve sm ru osy x , tj. u ≡ [u x ,0,0] 1−
ux − v u ′y = 0 u ′z = 0 v 1− 2 ux c - pozn.: • obrácená relace: - využijeme principu relativity → napíšeme stejné vztahy s obráceným znaménkem u v Pohybová rovnice v STR dp - • II. pohybový zákon má formáln shodný tvar jako v klasické mechanice tj. platí: =F dt - • ze zákona o zachování hybnosti v inerciálních systémech, vzájemn vázaných Lorentzovou m0 v , kde m0 je tzv. klidová hmotnost t lesa transformací plyne: p = 2 v 1− c2 - platí: m = m(v ) (s rostoucí rychlostí za íná být m závislé na rychlosti), pro v ≠ 0, m > m0 , tento vztah musí být vzat v úvahu p i konstrukci velkých urychlova -
potom: - u ′x =
10
Einstein v vztah mezi hmotností a energií - nech síla F p sobí na volné t leso po elementární dráze dr , pro vykonanou práci platí: dp dA = Fdr = ⋅ v ⋅ dt = v d (mv ) = v (dmv + dv m ) dt dA = v v dm + mv dv vdv
v2
m2 1 − -
platí: m =
(
m0 1− v
v2 = m02 2 c
)
m 2 c 2 − v 2 = m02 c 2
2
(
)
2mdm c 2 − v 2 − 2m 2 vdv = 0
c2
( ) po dosazení: dA = v dm + (c − v )dm = c dm mvdv = c − v 2 dm 2
-
2
2
2
2
elementární práce vykonaná p i urychlení t lesa p i, kterém dojde ke zm n jeho hmotnosti
-
m ↔v
c 2 dm = (m − m0 )c 2 → A …práce vykonaná p i urychlení T z 0 na v
po integraci: A =
m0 ↔ v = 0
-
na základ platnosti ZZE lze napsat A = K , kde K je kinetická energie t lesa(T je volné)
-
dostáváme: K = (m − m0 )c 2 = m0 c 2
pro v << c :
1 2 1− v
− 1 - obecný vztah pro kinetickou energii c2
(1 + x ) =1+nx n
−
K = m0 c 2 1 −
v2 c2
1 2
− 1 = m0 c 2 1 +
1 v2 1 − 1 = m2 v 2 2 2c 2
<<1
-
pro celkovou energii platí: E = E0 + K E 0 … klidová energie: - je p i azena t lesu, které je v klidu - z ohledem na strukturu výrazu pro K lze psát E 0 = m0 c 2
E = mc 2 - Einstein v vztah mezi hmotností a energií( zákon po dosazení: E = m0 c 2 + (m − m0 )c 2 ekvivalence) - interpretace: - každé hmotnosti, tedy i klidové, lze p i adit energii v látkách je ukryta obrovská energie - P .:- uvoln ním energie z látky o m = 0,7 kg by bylo možno pokrýt celoro ní spot ebu energie v R Experimentální d kaz Einsteinova vztahu (anihilace páru elektron-pozitron) - pozitron je anti ástice elektronu, má stejný, ale opa ný náboj, stejnou m jako elektron - p i srážce elektronu s pozitronem ob ástice zanikají a vzniká χ(gama) zá ení o energii 2m0 c 2 , kde m0 je klidová m elektronu a pozitronu
-
Základy termodynamiky termodynamika studuje: obecné vlastnosti makroskopických systém , tj. systém mnoha ástic, v rovnováze a nerovnovážných stavech • obecné, tj. pro všechny makroskopické systémy spole né, zákonitosti makroskopických proces Základní postuláty termodynamiky - formulovány na základ empirických poznatk
•
11
-
1. postulát termodynamiky – postulát o term. rovnováze 3 termodynamické v ty 1.postulát termodynamiky: - Každý termodynamický systém, který je od ur itého asového okamžiku t = t 0 v jistých asov nem nných vn jších podmínkách (objem, vn jší pole,…), dosp je za tzv. relaxa ní dobu do stavu termodynamické rovnováhy. Dojde k zastavení všech makroskopických proces , stavové parametry nabývají ve všech místech systému stejných hodnot (nap .: tlak a teplota) - pozn.: - postulát p edpokládá vytvo ení podmínek pro nastavení termodynamické rovnováhy (p ítomnost katalyzátoru v p ípad chemické reakce, která by jinak neprob hla) Práce plynu - p edpoklady: 1. – p sobením síly F dojde k posunu st ny soustavy 2. – posun ds je tak malý, že v dV = Sds nedojde ke zm n tlaku - platí: δA = Fdr = F ⋅ dr cos 0 = Fds = pSds = pdV
-
δA …elementární práce vykonaná silou F p i elementárním posunu st ny cos0…protože síla posunula st nu ve svém sm ru pozn.: - elementární práce je ozna ena δA ,a ne dA , protože závisí na zp sobu jakým se plyn dostává z jednoho stavu do druhého platí: • dV > 0 , tj. dochází k expanzi δA > 0 , tj. plyn koná práci • dV < 0 , tj. dochází ke kompresi δA > 0 , tj. plyn spot ebovává práci po integraci: A12 =
V2
pdV V1
-
A12 …práce, kterou plyn vykoná p i p echodu z 1 do stavu 2
obecn p = p (V ) - tato fce je v p ípad termodynamické rovnováhy dána stavovou rovnicí
práce v p-V diagramu:
- pozn.:-je vid t, že vykonaná práce závisí na zp sobu p echodu plynu ze stavu 1 do stavu 2 Stavová rovnice ideálního plynu m p …tlak - platí: pV = RT
µ
V …objem plynu T = t + 273.15 [K] R = 8314.3 [Jkmol-1K-1]…univerzální plynová konstanta m n = …po et kilomol plynu
µ
m …hmotnost plynu µ …tzv. kilomolová hmotnost - pozn.: - ideální plyn – model reálného plynu – 2 základní p edpoklady • vlastní objem molekul plynu je zanedbatelný, tj. molekuly plynu považujeme za HBy • vzájemné p itažlivé síly mezi molekulami (kohezní síly) jsou zanedbatelné, tj. neovliv ují pohyb molekul - platí: - reálný plyn je tím blíže ideálnímu plnu ím je: • objem vypln ný plynem v tší oproti vlastnímu objemu molekul, tj. ím je tlak plynu nižší • kinetická energie neuspo ádaného pohybu molekul oproti potenciální energii p itažlivé interakce mezi molekulami, tj. ím je teplota plynu vyšší Vnit ní energie - vnit ní energie termodynamického systému je dána sou tem 12
• kinetické energie neuspo ádaného pohybu molekul • potenciální energie p itažlivých sil mezi molekulami • dalších druh energie odpovídající p itažlivým silám p sobících v rovnovážném systému(nap . p itažlivá interakce mezi atomy v molekulách, p itažlivá interakce mezi nukleony v jád e,…) P ípad ideálního plynu - zanedbáváme potenciální energii p itažlivých sil mezi molekulami a molekuly považujeme za HBy vnit ní energie je dána pouze kinetickou energií neuspo ádaného pohybu molekul, tj. vnit ní energie závisí na teplot a jeho množství - platí: dU = nC v dT dU …elementární zm na vnit ní energie n …po et kilomol C v …tzv. kilomolové teplo plynu První termodynamická v ta - vyjad uje ZZE - platí: δQ = dU + δA δQ …elementární teplo dodané do systému dU …elementární zm na vnit ní energie δA …elementární práce, kterou plyn vykoná - pozn.: (odlišné ozna ení diferenciálu) - δQ a δA - užíváme δ abychom nazna ili, že dodané teplo a vykonaná práce závisí na zp sobu zm ny stavu plynu - dU - užíváme d abychom nazna ili, že vnit ní energie je stavovou veli inou jejíž zm na závisí na zp sobu zm ny stavu plynu N -
-
po dosazení: δQ = dU + pdV - platí pro libovolný systém v p ípad ideálního plynu: δQ = nC v dT + pdV které vratné d je ideálního plynu z hlediska 1. termodynamické v ty všechny termodynamické d je probíhající v p írod jsou nevratné takové d je nejsou spojitou posloupností rovnovážných stav nelze použít stavové rovnice, tj. popis takových stav je velmi komplikovaný v mnoha reálných situacích je výhodné uvažovat tzv. vratné procesy (probíhají v obou sm rech) takový d j je posloupností rovnovážných stav , tj. p i jeho popisu lze využít stavovou rovnici popis je pom rn jednoduchý (získané výsledky asto velmi dob e odpovídají skute nosti) platí: - reálné d je jsou tím bližší vratným d j m ím pomaleji probíhají (viz relaxa ní doba) budeme p edpokládat: n = 1 , tj. uvažujeme 1 kmol ideálního plynu, který koná vratný d j (i) Izochorický d j platí: V = konst. dV = 0 δA = pdV = 0 , tj. plyn nekoná práci platí: δQ = dU = C v dT , tj. veškeré dodané se spot ebuje na vzr st vnit ní energie, který se projeví vzr stem teploty Q12 …celkové teplo p i p echodu plynu ze stavu 1 po integraci: Q12 = C v (T2 − T1 ) do stavu 2, tj. Q12 > 0 T2 > T1 , tj. teplota vyrostla (ii) Izotermický d j platí: T = konst. dU = C v dT = 0 , tj. nedochází ke zm n vnit ní energie plynu dostáváme δQ = δA = pdV , tj. veškeré dodávané teplo se pot ebuje na práci, kterou plyn vykoná po integraci: Q12 = A12 =
V2
pdV
Q12 …celkové dodané teplo p i zm n stavu 1→2
V1
-
po dosazení: Q12 = A12 = RT
-
(iii) Izobarický d j platí: p = konst.
V2
V dV = RT ln 2 > 0 V V1 V1
13
platí: δQ = C v dT + pdV , tj. dodané teplo se spot ebuje na nár st vnit ní energie a práci, kterou plyn vykoná - po integraci: Q12 = C v (T2 − T1 ) + p (V2 − V1 ) Q12 …celkové teplo dodané do systému Mayer v vztah - platí: δQ = C p dT C p …kilomolové teplo p i stálém tlaku -
δQ …elementární teplo dodané do systému p i stálém -
po dosazení: C p dT = C v dT + pdV
-
pozn.: C p …libovolné teplo p i stálém tlaku
-
C v …libovolné teplo p i stálém objemu platí: pV = RT pdV = RdT po dosazení: C p dT = C v dT + RdT
C p = C v + R - Mayer v vztah (iv) Adiabatický d j - platí: δQ = 0 , tj. d j probíhá v soustav zcela tepeln izolované od okolí - po dosazení: 0 = dV + δA δA = − dU , tj. plyn koná práci na úkor své vnit ní energie - po integraci: A12 = −C v (T2 − T1 ) = C v (T1 − T2 ) , pokud A12 je > 0 , potom T1 > T2 , tj. došlo ke snížení teploty plynu A12 …celková práce vykonaná plynem p i p ech. z 1 do 2 Rovnice adiabaty - platí: 0 = C v dT + pdV pdV + Vdp = RdT - platí: pV = RT - po dosazení: pdV + Vdp R + pdV / 0 = Cv R pV Cp
0 = Cv + R 0=κ
dV dp + Cv V p
Cp dV dp + ,κ = >1 V p Cv
(
const. = ln pV κ
)
pV κ = konst. κ …Poissonova konstanta Druhá termodynamická v ta - podle 1. termodynamické v ty se mohou uskute nit pouze takové d je p i nichž se zachovává energie - naproti skute nosti: - ne všechny d je spl ující tuto podmínku se mohou realizovat - p íklad: - kinetická energie st ely se p i dopadu na m kkou p ekážku p em ní na teplo – nikdo nikdy nevid l obrácený d j - 2. termodynamická v ta se zabývá takovými procesy, které spl ují 1. termodynamickou v tu, ale v daném systému t les se nemohou realizovat. Zejména eší otázku do jaké míry lze p em nit teplo na práci - Planck (1930): není možno sestrojit periodicky pracující tepelný stroj, který by nezp soboval nic jiného, než že by ochlazoval tepelnou láze a konal práci Carnot v cyklus - p edpokládáme existenci tepelného stroje s pracovním prostorem s pístem v n mž se nachází 1 kmol ideálního plynu, který koná vratné procesy - plyn koná následující kruhový d j: I. Izotermické expanze p i teplot T1 : [ p1 , V1 , T1 ] → [ p 2 , V2 , T1 ] − plyn odebírá teplo a koná práci p i expanzi (V2 > V1 ) 14
V2 pV pV > 0 , p i emž 1 1 = 2 2 V1 T1 T1 II. Adiabatická expanze : [ p 2 , V2 , T1 ] → [ p3 , V3 , T2 ] − platí: Q12 = A12 = RT1 ln
− plyn je zcela tepeln izolován, koná práci na úkor své vnit ní energie T1 > T2 Q23 = 0 − platí: A23 = C v (T1 − T2 ) > 0, p i emž p 2V2κ = p3V3κ
jeho teplota klesá, tj.
III. Izotermická komprese p i teplot T2 : [ p 3 , V3 , T2 ] → [ p 4 , V4 , T2 ] − plyn je stla ován V4 < V3 , uvoln né teplo je p edáváno chladi i
pV V4 pV < 0, p i emž 3 3 = 4 4 V3 T2 T2 IV. Adiabatická komprese: [ p 4 , V4 , T2 ] → [ p1 , V1 , T1 ] − plyn je stla ován a zárove zcela tepeln izolován, plyn spot ebovává práci vzr stá (T2 < T1 ) Q41 = 0 − platí: A41 = C v (T2 − T1 ) < 0, p i emž p 4V4κ = p1V1κ − platí: Q34 = A34 = RT2 ln
jeho teplota
-
pozn.: - reálný d j, který je nevratný, obsahuje prvky vratného izotermického a vratného adiabatického d je kruhový d j s 1 oh íva em a 1 chladi em považujeme za kombinaci 2 izotermických a 2 adiabatických d j Ú innost Carnotova cyklu A - platí:η = …charakterizuje míru p em ny dodaného tepla na práci Q A…celková práce vykonaná p i kruhovém d ji Q…teplo dodané do systému - platí: A = A12 + A23 + A34 + A41 -
V2 V + C v (T1 − T2 ) + RT2 ln 4 + C v (T2 − T1 ) V1 V3 po vynásobení levých stran dostáváme: ( p1V1 ) p 2V2κ ( p3V3 ) p 4V4κ = ( p 2V2 ) p3V3κ ( p 4V4 ) p1V1κ po dosazení: A = RT1 ln
(
(V2V4 )
κ −1
)
= (V1V3 )
(
)
(
)
(
)
κ −1
V4 V1 = V3 V2 -
V2 V V − RT2 ln 2 = R(T1 − T2 ) ln 2 V1 V1 V1 V platí: Q = Q12 = RT1 ln 2 V1 po dosazení: A = RT1 ln
15
-
po dosazení: η =
R (T1 − T2 ) ln RT1 ln
V2 V1
V2 V1
=
T1 − T2 T = 1− 2 T1 T1
T2 ...teplota chladi e T1 ...teplota oh íva e
pozn.: • podle 3. termodynamické v ty T>0 η<1, tj.všechno dodané teplo nelze p evést na práci (soulad s 2. tv) • ú innost η vzr stá, když T1 roste Carnotova v ta - ú innost všech Carnotových cykl , které jsou uskute ovány mezi týmiž teplotami je stejná, tj. nezávisí na pracovním médiu - libovolný nevratný cyklus má ú innost nižší (vždy) než vratný Carnot v cyklus uskute ovaný mezi týmiž teplotami Matematické vyjád ení 2. termodynamické v ty pro vratný cyklus - platí: (viz C-cyklus) T −T η= 1 2 T1 A - obecn : η = Q A + A23 + A34 + A41 Q12 + Q34 = - po dosazení: η = 12 Q12 Q12 - zavedeme ozna ení: Q12 ≡ Q1 − teplo dodávané p i izotermické expanzi (T1 ) -
-
Q34 ≡ Q2 − teplo dodávané (spot ebovávané) p i izotermické kompresi(T2 ) Q + Q2 T1 − T2 po dosazení: 1 = Q1 T1 Q T po úprav : 1 + 2 = 1 − 2 Q1 T1 Q1 Q2 + = 0 - tento vztah platí pro libovolný vratný kruhový d j s1 oh íva em a 1 chladi em. T1 T2
Zobecn ní - uvedená variace platí i v p ípad obecn jších vratných kruhových d j (i) – pokud je teplo p ijímáno vícekrát Qi =0 Qi …teplo p ijaté soustavou p i teplot Ti platí: i Ti (ii) – pokud se teplo b hem kruhového d je spojit m ní platí(viz analogie s výrazem v p í.(i)) δQ platí: = 0 - matematické vyjád ení 2. term. V ty pro vratný d j T δQ …elementární teplo p ijímané systémem p i teplot T Interpretace výsledku - p i vratném kruhovém d ji, kde je teplo p em ována na práci nemohou být všechna elementární tepla δQ kladná, tj. ást dodaného tepla se musí odevzdat (n která tepla musí být záporná) všechno dodané teplo p i kruhovém d ji nelze p em nit na práci Matematické vyjád ení 2. termodynamické v ty pro cyklus s nevratným d jem - platí: (viz C-v ta pro nevratný d j)
16
Q1 + Q2 T1 − T2 < → ú innost Carnotova cyklu, který je vratný Q1 T1 ú innost kruhového d je (i nevratného), který p ijímá teplo Q1 p i T1 a teplo Q2 p i teplot T2 Q T 1+ 2 < 1− 2 Q1 T1 Q1 Q2 + < 0 , platí v p ípad , že teplo j p ijímáno 2x b hem kruhového d je T1 T2 - zobecn ní: Qi • pokud je teplo p ijímáno vícekrát <0 i Ti δQ • pokud je teplo p ijímáno p i spojit se m nící teplot < 0 , matematické vyjád ení 2.term. v ty pro T nevratný d j - interpretace: - aby bylo dosaženo v p ípad nevratného kruhového d je téže výchozí teploty T1 jako v p ípad kruhového d je vratného je t eba dodat více tepla na práci je možné p em nit mén dodaného tepla, tj. ú innost nevratného cyklu je nižší - δQ - elementární teplo p ijímané soustavou p i teplot T Entropie δQ dS …elementární zm na entropie soustavy - platí: dS = T δQ …elementární teplo dodávané soustav vratn - pozn.: entropie je stavovou veli inou (viz ozna ení diferenciálu), tj. její zm na nezávisí na integra ní cest (na zp sobu zm ny stavu plynu) 1 δQ S 0 …entropie referen ního stavu S1 = + S0 T 0 S1 …entropie systému ve stavu 1 (dána pokud známe entropii referen ního bodu) Míra nevratnosti obecného d je - p edpokládáme existenci nevratného d je A→B δQ - pro cyklus s nevratným d jem platí: <0 T B A δQ δQ - po úprav : + <0 T B ( vratná cesta) T A (nevratná cesta)
δQ
B
A ( nevr.)
T
δQ
B
A (nevr.)
T
+ S A − SB < 0 < S A − S B - míra nevratnosti obecného d je je rozdíl mezi výrazem na pravé a levé stran
Nevratný proces v izolované soustav - izolovaná soustava: δQ = 0 B
-
platí: A (nevr.)
-
δQ T
viz výše
= 0 < S A − SB
, tj. S A < S B , entropie v kone ném stavu je v tší
výsledek: - p i nevratném procesu v izolované soustav její entropie nar stá; podle 1. postulátu termodynamiky takový systém p echází do termodynamické rovnováhy v termodynamické rovnováze odpovídá maximální entropie systému 17
Termodynamické potenciály (i) Vnit ní energie U - po dosazení za δQ = TdS : TdS = dU + pdV dU = TdS − pdV , tj. U = U (S , V ), kde S a V jsou tzv. p irozené prom nné vnit ní energie U ∂U ∂U - platí: dU = ( )V dS + ( ) S dV p i konstantním V a S ∂S ∂V -
-
pozn.: - na základ analogie s výrazem F = − gradU pot . íkáme, že U je termodynamickým potenciálem s p irozenými prom nnými S a V
(ii) Entalpie H p edpokládáme, že p=konst. 0
-
ozna ení H
platí: δQ = dU + pdV + Vdp = d (U + pV ) = dH ,tj.
δQ …teplo dodané do systému
izobaricky H…tepelný obsah soustavy (entalpie) teplo dodané do systému izobaricky se p em ní na entalpii systému - pozn.: - entalpie je významnou veli inou p i studiu tepelné bilance chemických reakcí probíhajících p i chemických reakcích p i konstantním tlaku TdS
-
-
platí: dH = dU + pdV + Vdp = TdS + Vdp , tj. H = H (S , p ) ∂H ∂H porovnáním dostáváme: T = ( )p a V = ( )S ∂S ∂p pozn.: - analogie mezi U a H dU = δQ pro V = konst. platí: dH = δQ pro p = konst. ∂U potom: Cv = ( )V ∂T ∂H Cp = ( )p ∂T (iii) Volná energie F volná energie je mimo ádn významný termodynamický potenciál, protože dovoluje propojit statistickou fyziku s termodynamickou, p i popisu téhož makroskopického systému pomocí statistické fyziky vypo ítáme volnou energii systému, její derivace pak ur ují významné stavové veli iny p edpokládáme, že T = konst. 0
-
ozna ení F
platí: − δA = dU − δQ = dU − TdS − SdT = d (U − TS ) = dF , tj. práce p edaná systému p i izotermickém d ji se p em ní na volnou energii platí: F = U − TS dF = dU − TdS − SdT = − pdV − SdT , tj. F = F (V , T )
∂F ∂F ) T a S = −( ) V ∂V ∂T Gibbsova-Helmhotzova rovnice ∂F ∂ F - platí: U = F + TS = F − T ( )V = −T 2 ∂T ∂T T
-
-
porovnáním: p = −(
V
pozn.: - tato rovnice je vhodná pro stanovení st ední energie ástic systému E = U , nebo F = F (T ) dokážeme stanovit pomocí statistické fyziky 18
-
pozn.: - analogie mezi U a F dU = − pdV pro S = konst., tj. pro rychlé d je platí: dF = − pdV pro T = konst., tj. pro pomalé d je (iv) Gibbs v potenciál velmi významná veli ina p i popisu chemických reakcí probíhající p i konstantní teplot a tlaku žádáme, aby G = G (T , p ) , tj. nahradíme objem V ve fci F = F (T , V ) dF = − pdV − SdT platí: d ( pV ) = pdV + Vdp po dosazení: dF = Vdp − d ( pV ) − SdT ozna ení G
po úprav : d (F + pV ) = Vdp − SdT dG = Vdp − SdT , tj. G = G ( p, T ) ∂G ∂G S = −( ) p - porovnáním: V = ( ) T a ∂T ∂p Maxwell v tverec(pomocné schéma Váš TrapaS) -
V
F
U(E)
•
•
T
G
S H p potenciály a jejich p irozené prom nné: U = U (S , V )
F = F (V , T ) G = G (T , p ) H = H ( p, S ) vyjád ení diferenciál : - jdeme-li po diagonále od p irozené prom nné proti šipce píšeme dU = TdS − pdV dF = − pdV − SdT dG = − SdT + Vdp dH = Vdp + TdS
T etí termodynamická v ta
-
Nernst: - zobecnil experimentální výsledky získané p i studiu látek p i velmi nízkých teplotách platí: - pro libovolný vratný d j probíhající p i teplot T→ 0 je zm na entalpie ∆S nulová, tj. lim ∆S = 0 ,
-
kde ∆S = S 2 − S1 , S1 a S 2 jsou entropie 2 stav stabilní rovnováhy systému, entropie je stavová veli ina Planck v dodatek: - nejen zm na entropie, ale její absolutní hodnota je nulová p i T→ 0 K, lim S = 0
T →0
T →0
-
pozn.: - Planck v dodatek odstra uje neur itost p i stanovení absolutní hodnoty entropie systému nebo ur uje aditivní konstantu S0 platí: S 0 = 0 T → 0 19
-
experimenty prokázaly, že p i teplotách T→ 0 p estávají vlastnosti látek záviset na T lim C v = 0 T →0
lim C p = 0 T →0
lim ρ = 0 T →0
, tj. zm nou vn jších parametr nelze látce odebrat teplo(viz. Adiabatická expanze → ochlazení látky) látku nelze ochladit na T = 0 K (viz dU = 0dT , tj. nelze odebrat teplo) Jiné vyjád ení 3. termodynamické v ty istou pevnou látku nelze kone ným po tem pochod ochladit na teplotu T = 0 K
Kmity - kmitavý pohyb vykazuje jistý stupe periodi nosti v ase - mechanické kmity – mosty, turbíny, stroje - elektromagnetické kmity – p enos informací Lineární harmonický oscilátor - kmity harmonického oscilátoru jsou popsány harmonickými fcemi, vždy když výchylka z rovnovážné polohy ur uje p sobící sílu vztahem F ≈ r n , r…výchylka oscilátoru z rovnovážné polohy, n∈N -
lineární je když platí: F ≈ r 1
Netlumený lineární harmonický oscilátor k …tuhost pružiny, jejíž hmotnost zanedbáváme - platí: F = −kr F …síla p sobící na HB r …výchylka HB z rovnovážné polohy d 2r - pohybová rovnice: m 2 = − kr dt - 1D: (1 dimenze) – uvažujeme kmity pouze ve sm ru osy x d 2x m 2 = −kx dt 2 d x k + x=0 dt 2 m k - substituce: ω 2 = = konst. (její fyzikální význam bude z ejmý pozd ji) m λ2 + ω 2 = 0 λ1, 2 = ±iω ešení diferenciální rovnice má tvar: x(t ) = c1e iωt + c 2 e − iωt c1 , c 2 …lib. ∈ C obecné ešení dif. rovnice (m že být i komplexní) x(t ) = a cos ωt + b sin ωt a,b…reálné konstanty ešení v oboru reálných ísel x(t ) = A sin (ωt + α ) A …amplituda výchylka z rovnovážné polohy ω …kruhová frekvence kmit α …fázový posun (výchylka v t = 0 m 2π - doba 1 kmitu: T = = 2π k ω 1 1 - celková energie: E = mv 2 + kr 2 2 2 20
-
1D: E =
1 2 1 2 mv x + kx 2 2 2
1 dx 1 1 1 1 m + kx 2 = mA 2ω 2 cos 2 (ωt + α ) + kA 2 sin 2 (ωt + α ) = kA 2 ⋅ 1 = konst. , tj. 2 dt 2 2 2 2 v p ípad netlumeného kmitání harmonického oscilátoru se zachovává celková mechanická energie (jde o konzervativní silové pole) Tlumený lineární harmonický oscilátor - v p ípad reálných kmitavých soustav (objekt ) dochází vždy k tlumení oscilací
-
po dosazení: E =
síla harmonické vazby
-
platí: F =
− kr
brzdná síla
− kb
dr dt
p edpokládáme, že její velikost je úm rná
velikosti rychlosti (velmi dob e pltí pro malé rychlosti) k b …konstanta, která charakterizuje tu sílu Pohybová rovnice d 2r dr - m 2 = −kr − k b dt dt 2 d x k b dx k - 1D: + + x=0 dt 2 m dt m 2b
-
pozn.:
ω02
b…charakterizuje velikost budivé síly ω 0 …tzv. vlastní kruhová frekvence oscilátoru
λ2 + 2bλ + ω 02 = 0
-
charakteristická rovnice:
-
platí: - pohyb tlumeného lineárního harmonického oscilátoru, závisí na vzájemném vztahu mezi velikostmi konstanty b a ω 0
λ1, 2 = −b ± b 2 − ω 02
(i) b < ω 0 , tj. tlumení je slabé - platí: b 2 − ω 02 < 0, tj. λ1, 2 = −b + iω , kde ω = ω 02 − b 2 - ešení má tvar:
-
x(t ) = c1e − bt +iωt + c 2 e − bt −iωt = e − bt (c1 cos ωt + ic1 sin ωt + c 2 cos ωt − ic 2 sin ωt ) =
= e −bt [(c1 + c 2 ) cos ωt + i (c1 − c 2 )sin ωt ], kde c1 , c 2 ∈ C 1 c1 = c 2 = , potom : x1 (t ) = e −bt cos ωt 2 - zvolíme: i c1 = c 2 = − , potom : x 2 (t ) = e −bt sin ωt 2 - ešení lze psát jako: x(t ) = e − bt (a cos ωt + b sin ωt ) , kde a, b∈R - ešení má tvar reálného ísla c1 = A sin α položíme: c 2 = A cos α x(t ) = Ae −bt sin (ωt + α )
- jde o tlumený harmonický pohyb s frekvencí
ω = ω 02 − b 2 < ω 0 , tj. tlumení zp sobuje zpomalení kmit amplituda kmit s asem klesá (rychlost útlumu je dána koeficientem b) (ii) b > ω 0 , tj. tlumení je silné -
platí: b 2 − ω 02 > 0, tj. λ1, 2 = −b ± ω , kde ω = b 2 − ω 02 < b 21
-
ešení má tvar: x(t ) = C1e −bt +ωt + C 2 e − bt −ωt = e −bt C1e +ωt + C 2 e −ωt , jde o tzv. aperiodický pohyb (x(t)→ 0 s asem, nebo b>ω) (iii) b = ω 0
-
platí: λ1, 2 = −b
(
)
ešení má tvar: x(t ) = (C1 + C 2 t )e −bt - jde o mezní aperiodický pohyb (x(t)→ 0 s asem) pozn.: tohoto nastavení systému se používá u ru i kových m ících p ístroj , kde žádáme rychlé získání nam ené hodnoty bez kmit Nucené kmity - v každém reálném kmitajícím systému dochází v d sledku tlumení k úbytku celkové mechanické energie, tj. kmity za ur itou dobu vymizí. Abychom je udrželi je nutno dodávat energii z vn jšku – nejjednodušší p ípad(prací síly, která se harmonicky m ní) - v 1D: Fx = F0 sin Ωt Ω…kruhová frekvence buzených kmit - pohybová rovnice v 1D: brzdná síla d 2x dx m 2 = −kx − k b + F0 sin Ωt - budící síla dt dt - po úprav : F d 2 x k b dx k + ⋅ + x = 0 sin Ωt 2 m dt m m dt -
2b
ω02
-
obecné ešení má tvar: x(t ) = x h (t ) + x p (t )
-
platí: x p (t ) = Aν sin (Ωt + αν ) - hledáme ve tvaru fce, která má formáln stejný tvar jako fce na pravé stran (
-
konst. Aν a αν nalezneme po dosazení o úplné nehomogenní rovnice – výchozí rovnice) p edpokládejme, že b<ω0, tj. tlumení je slabé dostáváme: x(t ) = Ae − bt sin (ωt + α ) + Aν sin (Ωt + αν ) t →∞ , výraz →0
-
platí: x(t ) = Aν sin (Ωt + αν )
-
po dosazení tohoto tvaru ešení do výchozí rovnice s pravou stranou dostáváme podmínku pro Aν a αν (Aν …amplituda vynucených kmit a αν…fázový posun vynucených kmit ) platí: F0 m A =
-
ν
(ω
2 0
− Ω2
)
2
- jde o harmonické kmity (jsou netlumené) vyvolané vn jším zdrojem
+ 4b 2 Ω 2
-
diskuse: - Aν je tím v tší, ím je: • Amplituda budící síly F0 v tší a hmotnost m menší • Koeficient útlumu b menší • Rozdíl vlastní kruhové frekvence ω0 a kruhové frekvence síly Ω menší Amplitudová rezonance - Aν je maximální ⇔ jmenovatel je minimální, tj. nabývá extrémní hodnoty d - musí platit: ω 02 − Ω 2 + 4b 2 Ω 2 = 0 dΩ - dostáváme: 2(ω 02 − Ω 2 )(− 2Ω ) + 8b 2 Ω = 0
[(
(
)
]
)
Ω Ω 2 − ω 02 + 2b 2 = 0 Ω = 0...vn jší zdroj vypnut Ω r = ω 02 − 2b 2 ...rezonan ní frekvence
22
-
platí:
• Ω r < ω 0 , nebo b ≠ 0
• pokud b→ 0, potom Aν → ∞ pro Ω r → ω 0 Rezonan ní k ivka - pozn.: • amplitudová rezonance jako nežádoucí jev • destrukce most – dojde k p ekro ení meze pevnosti materiálu, když se kruhová frekvence vn jších sil p iblíží rezonan ní frekvenci daného systému • rezonance jako žádoucí jev – nalad ní vstupního obvodu p ijíma e na požadovanou délku Skládání kmit - výsledná výchylka je dána vektorovým sou tem díl ích kmitavých pohyb - obecný p ípad: - kmity mají r zný sm r v prostoru, odlišnou amplitudu, kruhovou frekvenci a r zný fázový posun - p íklad stejnosm rných kmit : - uvažujeme 2 harmonické kmitavé pohyby o stejné amplitud ( x01 = x02 ≡ x0 ), stejný fázový posun
-
( α 1 = α 2 ≡ α ) a odlišné kruhové frekvence ω1 ≠ ω 2 platí: x(t ) = x1 (t ) + x 2 (t )...výsledná výchylka po dosazení: x(t ) = x0 [sin (ω1t + α ) + sin (ω 2 t + α )]
ω1 − ω 2
-
po úprav : x(t ) = 2 x0 cos
-
prom nná amplituda závisí na frekvenci:
-
nový signál má frekvenci:
ω1 + ω 2
t +α 2 2 - platí: • pokud ω1 ≠ ω 2 , dostáváme komplikovaný složitý pohyb (hodn r zné frekvence) ω − ω2 ω + ω2 • pokud ω1 ≈ ω 2 , potom 1 , tj. na výsledný pohyb se díváme jako na ≈ 0 << 1 2 2 ω − ω2 ω + ω2 harmonický pohyb s kruhovou frekvencí 1 s prom nou amplitudou 2 x0 cos 1 t 2 2 - praktická aplikace: - amplitudová modulace - princip: - prom nná amplituda nosných vysokofrekven ních kmit slouží k p enosu nízkofrekven ních signál ( e , hudba) - bezdrátový p enos: - ú inné antény pouze pro vysoké frekvence - kabelový p enos: Realizace ω1 = ω vf + ω nf - dojde k se tení 2 signál (sm šova ): ω 2 = ω vf − ω nf , kde ω1 ≈ ω 2
ω1 + ω 2 2
t sin
ω1 − ω 2 2
= ω nf
= ω vf
Soustava vázaných oscilátor - mechanický model jednorozm rného krystalu - význam p i zavedení p edstavy vln ní spojitého prost edí (kontinua) Lineární et zec oscilátor - p edpokládáme existenci N totožných lineárních oscilátor umíst ných v p ímce
a…vzdálenost rovnovážných poloh
23
Pohybová rovnice d 2x - platí: m 2 = Fn = Fn −1,n + Fn +1,n dt
x n …výchylka n-tého oscilátoru Fn …celková síla p sobící na n-tý oscilátor
Fn −1,n …síla, kterou p sobí (n-1)-tý na n-tý Fn +1,n …síla, kterou p sobí (n+1)-tý na n-tý
-
-
-
*…(n-1)-tý oscilátor táhne n-tý oscilátor do jeho rovnovážné polohy **…(n+1)-tý oscilátor tla í n-tý oscilátor do jeho rovnovážné polohy
platí: Fn −1,n = −k ( x n − x n −1 )
Fn +1,n = −k ( x n − x n +1 ) po dosazení: d 2x m 2 n = − k [2 x n − (x n −1 + x n +1 )] , kde n = 1,2,…,N dt - dostáváme soustavu N diferenciálních rovnic, v soustav vystupuje N+2 neznámých ( x0 , x1 ,..., x N , x N +1 ) – je nutno formulovat okrajovou podmínku ešení hledáme ve tvaru: x n (t ) = Ae −i (ωt − qna ) A…amplituda
ω…kruhová frekvence kmit n⋅a…vzdálenost n-tého oscilátoru od po átku
q….konstanta • ešení pro výchylku x n (t ) závisí nejen na ase, ale i na poloze oscilátoru v et zci • stanovení konstant: A – stanovíme z po áte ních podmínek, ω,q…nejd íve stanovíme vzájemný vztah mezi nimi a potom využijeme vhodn stanovenou podmínku
-
pozn.:
-
platí: dx n = Ae i (ωt − qna ) (iω ) dt d 2 xn = Ae i (ωt − qna ) − ω 2 = −ω 2 x n 2 dt x n −1 + x n +1 = Ae i (ωt − qna ) e + iqa + e −iqa
(
)
(
)
xn
-
po dosazení:
[
(
− mω x n = − k 2 x n − x n e 2
= −4k sin 2
+ iqa
-
dostáváme:
)] = +k (e
iqa
−2+e
− iqa
) = +k
e
−e
(2i )2
− iqa 2
=
qa 2
vsuvka: e = cos z + i sin z iz
+e
− iqa
+ iqa 2
e iz − e − iz sin z = 2i
24
k ω=2 m
-
-
-
-
1 2
sin
qa 2
ω…možná hodnota kruhové frekvence, které se ší í
et zcem (ω >0 viz absolutní hodnota) - tzv. disperzní relace, spojuje ω a q grafické zobrazení:
platí: • Fce ω = ω (ϕ ) je periodickou fcí q, tj. jedné hodnot kruhové frekvence odpovídá nekone n mnoho hodnot q, které nevedou k jinému výsledku pro x n = x n (t ) qa • omezíme se na interval ∈ (0, π ) 2 platí: z 2nz qa qna = = π −z 2πn − 2nz 2 po dosazení: x n (t ) = Ae i ( wt + 2 nz ) ⋅ e − i 2πn x n (t ) …toto ešení popisuje ší ení kmit et zcem 1
obráceným sm rem než p i kmitavý stav et zce
-
-
qa = z , tj. je o jiný 2
Vlny ve vzájemné vázané soustav hmotných bod dochází v d sledku vazby k ší ení rozruch – hovo íme o tzv. postupné vln p echod od matematického popisu kmit et zce oscilátor (pro každý oscilátor máme fci x n (t ) )k matematickému popisu ší ení rozruchu (vlny) spojitým prost edím ( v každém míst kontinua
máme v každém ase výchylku u ( x, t ) ; provedeme limitní p echod : (zavedením kontinua): lim na = x charakteristika polohy v kmitajícím kontinuu N →0 a →0
na základ analogie lze napsat: u ( x, t ) = u 0 e i (ωt − qx ) …vlnová fce, popisující ší ení vln ní kontinuem ( v daném p ípad jde o ší ení rozruchu jednorozm rným kontinuem ve sm ru osy +x) Fyzikální interpretace - fyzikální význam má pouze Re nebo Im složka fce - platí: Re{u ( x, t )} = u 0 cos(ωt − qx )
-
1. pro x = x 0 , tj. zvolíme si bod na ose x, dostáváme: Re{u ( x0 , t )} = u 0 cos ωt −
qx0 fázový posun
asový pr b h výchylky v bod x0
-
= u 0 cos ω t −
qx0
ω
t0 -doba, za kterou dorazí signál z po átku
- (jde o harmonické kmity: p . mo ské vlny na t le lov ka, který stojí) pozn.: • T – doba jedné periody 2π platí: ω = …kruhová frekvence T 25
-
2. pro t = t 0 , tj. zvolíme libovolný as platí:
Re{u ( x.t 0 )} =
u 0 cos(ωt 0 − qx )
= u 0 cos q x −
fce vyjad uje výchylky v r zných místech v prostoru v daném ase
ωt 0 q x0
x0 …vzdálenost, do které se rozruch posune z po átku za as t 0 -
pozn.: • platí analogie mezi asovou a prostorovou ástí argumentu vlnové fce t↔x
ω↔q T ↔λ
vlnová délka, charakterizuje periodicitu fce v prostoru
-
doba 1 periody charakterizuje periodicitu v ase na základ analogie ω ↔ q , lze napsat: 2π q= ≡ k (ztotožn ní) - velikost vlnového vektoru
-
platí:
λ
k = kn
-
k …vlnový vektor n …jednotkový vektor ve sm ru ší ení vln ní, má sm r ší ení vln ní kolmým na vlnoplochu pozn.: • vzájemný vztah mezi asovou a prostorovou ástí argumentu vlnové fce, 1 v λ = vt = v = - frekvence (ný)
ν
-
ν
lze napsat: u ( x, t ) = u 0 e i (ωt − kx ) zobecn ní: - argument vlnové fce u ( x, t ) má tvar:
ωt − kx = ω t −
kx
=ω t−
ω
2πx
λ 2π
v
=ω t−
λ
x v
x = t 0 …doba, za kterou se dostane rozruch z po átku do daného místa v x - dostáváme: u ( x, t ) = f t …vlnová fce, která popisuje ší ení rozruchu ve sm ru osy x v Vlny v prostoru 1. rovinná vlna: - vlnoplocha – množina bod v prostoru do kterých se rozruch dostane v daném ase - pro vlnovou fci platí: u (r , t ) = f ωt − k r r …polohový vektor bodu na vlnoploše - po úprav :
(
u (r , t ) = f ω t − -
)
kr
ω
= f ω t−
2πn ⋅ r v λ 2π
λ
≡g t−
nr v
platí: n ⋅ r = 1 ⋅ r cos α = d - vzdálenost mezi vlnoplochami a vlnoplochou jdoucí po átkem 2. kulová vlna: 1 R u ( R, t ) = f t − R…vzdálenost vlnoplochy od zdroje R v 26
