dt)

Persamaan Energi untuk Aliran Fuida Ideal Tinjau” tabung arus” sepanjang garis aliran (streamline) Asumsi 1. Zat cair ideal, μ=0 (kehilangan energi akibat gesekan partikel = 0) 2. Zat cair homogeny dan incompressible (ρ konstan) 3. Aliran kontinyu sepanjang garis arus v

4. V merata pada tampang dan irrotasional 5. Gaya yang bekerja : gaya berat dan tekanan

Elevasi

Z

p+dp

ds

p

z

z+dz

?

Gaya friksi = 0, karena μ = 0

Datum

Gaya yang bekerja = - tekanan pada ujung elemen - Gaya berat - Gaya percepatan akibat perubahan kecepatan sepanjang garis arus Hokum Newton II; ∑F = m.a p.dA – (p+dp).dA – ρ.g.dA.ds.cosθ = ρ.dA.ds.(dV/dt) - dp – ρg.ds.cosθ =ρ.ds.(dv/dt)

dv dv  v. dt ds percepatan tangensial 9sepanjang garis aliran), untuk steady flow : dz cos   ds  dp   .g.dz   .v.dv    x dp v.dv dz   0 g g

1  .g

……………………………………………………………1

Disebut sebagai persamaan euler untuk aliran steady irrotasional, aliran ideal dan incompressible jika diintegrasikan sepanjang garis aliran:

z

dp v 2   cons tan t …………………………………………………………………………..2 g 2 g

Atau

z1 

p1 v 2 p v2 …………………………………………………………………….3   z2  2  g 2 g g 2 g

Pada persamaan 2, ketiga term persamaan mempunyai dimensi panjang (m), dan jumlahnya dapat diinterprestasikan sebagai energy total dari elemen fluida Persamaan 3 dikenal sebagai “persamaan Bernoulli” atau persamaan energy untukm aliran fluida ideal steady, sepanjang garis alir antara dua tampang Z = elevasi; p = tekanan; v = kecepatan rata-rata (uniform) Z disebut juga potensial head = P/ρ.g = takanan energy v2 /2g = energy kinetic perunit berat fluida Modifikasi persamaan Energi Persamaan Bernoulli dapat di modifikasi pada aliran fluida incompressible : 1. Menambahkan tern kehialangan (tahanan geser) pada persamaan 3. Akibat

viskositas dan tegangan geser turbulen dan tahanan (resistances) lain akibat perubahan tampang, valves, penyempitan dan lain-lain. 2. Dengan menambahkan term koreksi kecepatan energy untuk distribusi

kecepatan Kehilanagn turbulensi tergantung pada kekasaran permukaan dalam dari dinding pipa dan perilaku fluida (density dan viskositas). Sehingga untuk aliran fluida riiil incompressible dapat ditulis persamaan: p1  1v1 p  v   z 2  2  2 2  losses ………………………………………………………4 g 2g g 2g 2

z1 

2

α = faktor koreksi energy kecepatan akibat gesekan partikel pada fluida riil, akan menimbulkan „thermal energy‟ sehingga persamaan energy menjadi:

p v p  v z1  1  1 1  Em  z 2  2  2 2  j( I 2  I 1 )  q  ……………………………………5 g 2g g 2g 2

2

Em = eksternal energy (disuplai dari mesin penggerak) I = internal energi Q = energi panas yang ditransfer ke sekitar aliran J = panas ekivalen mekanis Persamaan 5 adalah persamaan Bernoulli pada kasus khusus persamaan energy Faktor koreksi kecepatan (α) v

v' dA

mass

v

uniform

non-uniform

Energy kinetic total = ∑ energy kinetic individual partikel dengan massa ,m. Aliran uniform: Ek total pada tampang = ½ (m1+m2+ …)v2 = ½ (w/g) . v2 = v2/2g perunit berat fluida Aliran non-uniform: Partikel bergerak dengan kecepatan berbeda pada tampang Berat elemen individu dengan luas dA = ρ.dA.v Energy kinetic individual elemen massa =1/2 . ρ.dA.v.v2 Energy kinetik total pada seluruh tampang = ∫ A.1/2.ρ.dA.v3 = 1/2.ρ.A.v‟3.α V‟ = kecepatan rata-rata tampang

1 v 3 v 3 .A    ( ) .dA  ……………………………………………………………………6 A A v' v; 3 . A Aliran turbulen, α = 1,03 -1,3

Aliran laminer, α =2,0 α  koefisien coriolis α ≈ 1,03 – 1,36  saluran prismatic lurus α ≈ 1,15 – 1,5  sungai alam empiris : α ≈ 1 + 3 ξ2 - 2ξ3  ξ = (Vmak/V‟) -1 perhitungan α dari data kecepatan tampang misal : tampang segi empat : A = b.h dan dA = b.dh A

A



h

 v .dA  v .b.dh  v .b.dh 3

0 3

v' . A

3



0 3

v' .b.h h 1 A v'   v .dh  h0 h

3



0

v'3 ..h

h

A v (m/det)

Garis energy tekanan Ditentukan dengan persamaan Bernoulli Gambar

Garis tenaga/energy = tinggi total konstanta Bernoulli H = Z +(P/γ)+(V2/2g) Aplikasi persamaan Bernoulli pada titik a dan B ZA (PA/γ)+ (V2/2g) = ZB (PB/γ)+ (V2/2g) ……………………………………………………..7 Tinggi tekanan di A: hA=PA/γ dan B: hB=PB/γ adalah tinggi kolom zat cair yang berta/satuan luas memberikan tekanan sebesar P A=γ.hA dan PB=γ.hB Dari persamaan 7; garis energy pada aliran zat cair ideal adalah konstan Persamaan Bernoulli pada zat cair Riil -

Zat cair riil  viskositas diperhitungkan

-

Terjadi kehilangan energi akibat : + gesekan antara zat cair dan dinding batas (hf)  primer + perubahan tampang aliran (he)  sekunder

Gambar

Kehilangan enrgi dinyatakan dengan tinggi zat cair

Persamaan Bernoulli untuk zat cair riil dapat ditulis p v p1  1v1   Em  z 3  3  3  he  hf ……………………………………………8 g 2g g 2 g 2

2

z1 

Kehilangan enrgi : h  k

v2 …………………………………………………………………..9 2g

Kehilangan energy primer, k = f(L/D) Kehilangan energy sekunder. K = (1-(A1/A2))2 Persamaan 9 disebut persamaan darcy-weisbach F = koefisien gesekan Darcy – Weisbach Untuk aliran laminar : f +(64/Re) Blasius, untuk pipa halus: f =(0,316/Re0,25)  4000 < Re < 105 Nikuradse

– pipa halus : 1:√f = 2 log (Re.√f/2,51) - pipa kasar : 1:√f = 2 log (3,7D/k) - k = tinggi kekasaran pipa

Colebrook, persamaan gabungan/transisi: 1:√f = 2 log ((3,7D/k) + (Re.√f/2,51))  grafik Moody

Aplikasi Persamaan Bernoulli 1. Tekanan hidrostatis  pada zat cair diam

h

1

h p

2

2

2

p v p v z1  1  1  z 2  2  2 g 2 g g 2 g

zat  cair  diam  V1  V2  0 p1 p  z 2  2  P2  ( Z 1  Z 2 )  P1  h  P1 g g Tekanan  dititik  1  tekanan  atmosfer z1 

P2  h  Pa  h  tekanan  hidrostati s

2. Tekanan Stagnasi Po

silinder

s

Vo

Ps

Po

S = titik stagnasi Va = 0 Tekanan stagnasi? 2

p0

2

v p v z0   0  zs  s  s  2g g 2 g elevasi  titik  0  s p0

2

v p 0  0  0 s 0  2g g 1 Ps  Po  . .Vo 2 2 3. Tabung Pitot  alat pengukur kecepatan -

Titik stagnasi terjadi pada ujung tabung mendatar

-

Ps > P sekitar zat cair  tinggi kecepatan = V2/2g, kenaikan zat cair dalam tabung

h=v²/2g

h=v²/2g

p/s

p/a

p/a

v

ps/a=ps/a+h=ps/a+v²/2g

v a. Gambar tabung pitot

b. Gambar tabung statis pitot

Pretambahan tekanan karena aliran  tekanan dinamis pengukuran tinggi tekanan stagnasi dan tinggi tekanan statis (hidrostatis)  tabung statis pitot (gbr b)

v  2g .

( Ps  P)1 / 2





( Ps  P)1 / 2

 perbedaan  tinggi  tekanan



4. Alat pengukur Debit  Venturimeter Konvergen Lahar

Divergen

Do

Dc

Do

Pc

hm

Ac = luas tampang pipa venture Elevasi di titik 0 = C

po



2



2

vo p v  c  c 2g  2g

Hukum  kontinuita s : Vo  po



2



Q

Q Q ;Vc   substitusikan Ao Ac

2

vo p v  c  c 2 2 g. Ao  2 g. Ac

2 g . Ac Po  Pc 1 / 2 .( )  Ac 2 2  {1  ( ) } Ao

Qriil = CQ  c = 0,97

2 g .( / 4).Dc 2 {1  m }

2 2

.(

Po  Pc



)1 / 2

m = (Dc/Do)2; dimana D = diameter tabung 5. Lintasan Pancaran Zat Cair

Garis energi V²/ 2g Vo²/ 2g

VY

V

Vo²/ 2g

Y

V=VX=VoX VX

VoY

Vo

VoX

Jarak horizontal yang ditempuh partikel X = Vox.t  t = x/Vox Jarak vertikal : Y = Voy.t – ½ g.t2 Komponen kecepatan vertikal Uy pada waktu t : Vy = Voy – g.t Kecepatan pancaran pada setiap titik dalam arah lintasan : V = √V2x + V2y Substitusi nilai t pada y Y = (Voy/Vox)X – (g/ Vo2x)X2  persamaan parabola Puncak ; X = Voy.Vox/g ; y = Vo2y/2g

Datum