RÁCSOS TARTÓK IDENTIFIKÁCIÓS FELADATAI

Építés – Építészettudomány 41 (1–2) 1–21 DOI: 10.1556/EpTud.41.2013.1–2.1

RÁCSOS TARTÓK IDENTIFIKÁCIÓS FELADATAI GÁSPÁR ZSOLT* – FORGÁCS TAMÁS** *az MTA rendes tagja, egyetemi tanár. BME Tartószerkezetek Mechanikája Tanszék 1111 Budapest, Mûegyetem rkp. 3. K mf. 63. E-mail: [email protected] **egyetemi hallgató. BME Építõmérnöki Kar. E-mail: [email protected]

A cikk azt mutatja be, hogy hogyan lehet egy feszültség alatt lévõ rácsos tartó rúderõit (esetleg engedékenységeit, terheit) meghatározni, ha csak a csomópontok koordinátáit tudjuk megmérni, igaz, ezt akkor is, ha a terhet ismert módon megváltoztatjuk. Az ehhez szükséges terhelési esetek száma és az algoritmus függ attól, hogy ismerjük-e az eredeti helyzetben a szerkezet terhét és/vagy a rudak engedékenységét. Az elérhetõ pontosság nagyon függ a mért koordináták pontosságától, a számításnál használt éles jegyek számától. Bebizonyítjuk, hogy bizonyos esetekben ezzel a módszerrel nem lehet a kiindulási állapot minden jellemzõjét meghatározni. Kulcsszavak: rácsos tartó, identifikáció, általánosított inverz, érzékenységvizsgálat

1. BEVEZETÉS Tekintsük a Turco [1] által felvetett következõ feladatot: egy feszültség alatt lévõ ideális rácsos tartó rúderõit kell meghatároznunk, de csak a csomópontok helyzetét (koordinátáit) tudjuk mérni. Igaz, ezeket megmérhetjük akkor is, ha a szerkezet csomópontjaira általunk ismert tehernövekményeket tettünk. Az anyagegyenleteket lineárisnak tételezzük fel, így a feladat egy (esetleg túlhatározott) lineáris egyenletrendszer megoldására vezethetõ vissza. A feladatot többféleképpen is kitûzhetjük. Tekinthetjük akár ismeretlennek, akár ismertnek – a kiindulási állapot terhét, esetleg annak bizonyos komponenseit, – a rudak engedékenységeit. A mért koordinátákról feltételezhetjük, hogy – vagy pontosak, – vagy elõírt tizedesjegyre pontosak, – vagy normális eloszlású valószínûségi változók, ismert szórással.

© 2013 Akadémiai Kiadó, Budapest

2

Gáspár Zsolt – Forgács Tamás

A cikkben meg kívánjuk határozni statikailag határozott, határozatlan és túlhatározott rácsos tartók esetén is a rúderõk számításához szükséges algoritmusokat, majd egyszerû példákon megvizsgálni – a tehernövekmények elhelyezkedésének, nagyságának hatását, – a mérési pontosságok hatását, – a Monte-Carlo-módszer alkalmazhatóságát.

2. A MEGOLDANDÓ EGYENLETEK Feltételezzük, hogy a vizsgálandó szerkezetben – a rudak (µ darab) csak a két végükön, gömbcsuklókkal kapcsolódnak egymáshoz vagy a földhöz (a görgõs megtámasztás kizárásának nem elvi oka van, csak az algoritmusok leírása egyszerûbb), – a rudak anyaga eleget tesz a Hooke-törvénynek (az alakváltozásokat nem korlátozzuk, a rudak nyomottak is lehetnek), – ha egy rudat kiveszünk a szerkezetbõl, akkor az feszültségmentes állapotba jut, vagyis nincs elõfeszítve, nincsenek benne maradandó feszültségek (illetve ha vannak ilyenek, akkor ezt az állapotot tekintjük „feszültségmentesnek”, hiszen ezek nem befolyásolják a szerkezet viselkedését a Hooke-törvény érvényessége miatt), – a csomópontok közül v0 gömbcsuklóval a földhöz kapcsolódik, a többi (v darab) nincs megtámasztva, – a szerkezet csak a csomópontjain kaphat terhet (pl. az önsúlyát is a csomópontokra redukálva modellezzük). Minden rácsos tartó térbeli (D = 3), vagyis ha az összes csomópontot egy egyenesben (D = 1) vagy egy síkban (D = 2) szeretnénk elhelyezni, az nem sikerül. De ha sikerülne is, akkor alkalmas csomóponti teher hatására térbelivé válik a szerkezet. Ennek ellenére elvi következtetések levonása érdekében foglalkozunk olyan szerkezetekkel is, melyek a síkjukból nem léphetnek ki (D = 2). A D = 1 esetén a feladat nem oldható meg, mert az eredeti helyzetben meglévõ rúderõ csak akkor befolyásolja az elmozdulásokat, ha a rúdtengely iránya megváltozik. Összesen (t + 1) darab terhelési esetet vizsgálunk, melyekre zárójeles felsõ indexszel hivatkozunk. Az eredeti helyzetet 0-val, a többit i = 1,...,t-vel jelöljük. [2] és [3] szerint minden állapotban ki kell elégítenünk a D · v skalár egyenletbõl álló G(i)s(i) + q(i) = 0

(i = 0,1,...,t)

(1)

3

Rácsos tartók identifikációs feladatai

egyensúlyi egyenletet és a µ (mivel F diagonálmátrix) egymástól független kompatibilitási egyenletet (Hooke-törvényt): l(i) – l0 = Fs(i),

(i = 0,1,...,t)

(2)

ahol G a rúdtengelyek egységvektorait tartalmazó ún. egyensúlyi mátrix, s a rúderõket, q a csomóponti terheket, l0a feszültségmentes rudak hosszát, l a rudak két végéhez kapcsolódó csomópontok távolságait tartalmazó vektor, F a rudak engedékenységeit tartalmazó diagonálmátrix. (1) és (2) szerint összesen (t + 1 )(Dn + m ) egyenletet kell kielégítenünk. (Megjegyezzük, hogy ha az engedékenységek is ismeretlenek, akkor (2) nemlineáris egyenlet.) A kiindulási állapot kompatibilitási egyenletébõl kifejezhetõ a feszültségmentes rúdhosszak vektora (melyet mindig ismeretlennek tekintünk): l0 = l(0) – Fs(0)

(3)

Ezután levezetjük a megoldandó egyenletrendszereket, melyek felépítése attól függ, hogy mely változókat tekintjük ismeretlennek.

2.1. NEM ISMERT A KIINDULÁSI HELYZET TERHE

Ebben az esetben az algoritmusok függetlenek attól, hogy a rácsos tartó statikailag határozott, határozatlan vagy túlhatározott. A kiindulási állapot egyensúlyi egyenletébõl a rúderõk ismeretében a kiindulási teher utólag számítható: q(0) = –G(0)s(0)

(4)

Az (1) és (2) egyenletrendszer (3) és (4) figyelembevételével átalakítható: G(i)s(i) – G(0)s(0) + Dq(i) = 0,

(i = 1,...,t)

(5)

l(i) – l(0) + Fs(0) = Fs(i).

(i = 1,...,t)

(6)

Végül a (6) egyenletbõl kifejezzük a megváltozott s(i)-ket, és behelyettesítjük azokat az (5) egyenletbe: (G(i) – G(0))s(0) + G(i)F–1(l(i) – l(0)) + Dq(i) = 0.

(i = 1,...,t)

(7)

Ha a vizsgált állapotokban minden csomópont helyzetét megmérjük, akkor a (7) egyenletben csak s(0) és esetleg F ismeretlen. Ahhoz, hogy az egyenletek száma

4


elérje az ismeretlenek számát, a terhelési esetek száma (t) nem lehet kisebb a µ/Dv hányadosnál, illetve e hányados kétszeresénél, ha a rudak engedékenysége is ismeretlen. Ha a (7) egyenletben csak s(0) ismeretlen, akkor a é G (1 ) - G (0 ) ù é G (1 ) F -1 (l (1 ) - l (0 ) ) + Dq (1 ) ù ê ú (0 ) ê ú M M ê ús + ê ú = 0, ê G (t ) - G (0 ) ú ê G (t ) F -1 (l (t ) - l (0 ) ) + Dq (t ) ú êë êë úû úû

(8)

ha F is ismeretlen, akkor a é G (1 ) - G (0 ) ê M ê ( ) t ê G - G (0 ) êë

é Dq (1 ) ù G (1 ) - L(1 ) ù (0 ) ú ú és ù ê M ú ê ú + ê M ú =0 x G (t ) - L(t ) úú êë úû êê Dq (t ) úú ë û û

(9)

egyenletrendszert kellene megoldanunk, ahol az L(i) diagonálmátrix j-edik fõátlóbeli eleme l ij - l 0j , az x vektor pedig az F–1 mátrix fõátlóelemeit tartalmazó vektor. Megjegyzések A) A tehernövekményeket úgy kell megválasztanunk, hogy a rudak iránya és a hossza is változzék, mert a G(j) – G(0) blokkokban a rudak egységvektorainak különbségei, az l(j) – l(0) tényezõkben a rúdhosszak különbségei szerepelnek, és így az értékes jegyek egy (néha jelentõs) része elvész. Becsüljük meg az értékes jegyek számát! Ehhez jelöljük a j-edik rúd kezdõ-, illetve végpontját a-val, illetve b-val. Ekkor (i ) é ¶l j ¶l j ù é Dra(i ) ù (i ) (i ) (0 )T ( 0 ) T é Dra ù (0 )T l j(i ) - l j(0 ) » ê ú ê (i ) ú = [-e j e j ] ê (i ) ú = e j (Drb - Dra ), (10) D r D r ¶ ¶ r r b ú êë a êë b úû û 0 ëê b úû

é ¶e j ¶e j ù e (ji ) - e (j0 ) » ê ú êë ¶ra ¶rb úû

(0 ) (0 )T é Dra(i ) ù e j e j - E = (Drb(i ) - Dra(i ) ), ê (i ) ú (0 ) lj ë Drb úû 0ê

(11)

ahol r-rel a csomópont helyvektorát, D-val a növekményt, e-vel a rúd kezdõpontjából a végpont felé mutató egységvektort jelöljük. Mindkét kifejezésben szerepelnek a rúd két vége relatív eltolódásának a koordinátatengelyekre vett vetületei. Ha a csomóponti koordinátákat d tizedesjegyre tudjuk csak leolvasni, akkor a relatív eltolódást is csak ennyi tizedesjegyre kaphatjuk meg. Ha a

5


rúd két végének relatív eltolódása a hosszegység 10–p nagyságrendjébe esik, akkor a tárgyalt vetületek legfeljebb d – p + 1 éles jegyre számíthatók. A (8) és (9) kifejezésekben megadott mûveletekkel nem nõ az éles jegyek száma. A megoldandó lineáris egyenletrendszerek megoldásának pontosságát az elemek hibáján kívül még jelentõsen befolyásolja az együtthatómátrixok kondicionáltsága és a számítások során használt számjegyek száma (Digits) is. Ha minden bemenõ adatot (csomóponti koordinátákat, tehernövekményeket) pontosan ismernénk (és a rácsos tartó modellje tökéletes lenne), a számításokban sem követnénk kerekítési hibákat, akkor a fenti egyenletek megoldásával pontos eredményeket kapnánk, a túlhatározott egyenletrendszer sem vezethetne ellentmondásra. B) Ha a (8), illetve (9) egyenlet együtthatómátrixa nem kvadratikus vagy gyengén meghatározott, akkor az egyenletrendszert az együtthatómátrix szinguláris értékek szerinti felbontásával, az ún. általánosított vagy Moore–Penrose-inverzének elõállításával oldjuk meg (lásd pl. [4]). Egy m × n típusú (m ³ n ) valós A mátrix szinguláris értékek szerinti felbontása A = USVT

(12)

alakban történik, ahol (például a Maple programrendszerben) az m-edrendû U mátrix oszlopait az AAT mátrix ortonormált sajátvektorai alkotják, az n-edrendû V mátrix oszlopai az ATA mátrix ortonormált sajátvektorai. Az m × n típusú S mátrix Sii elemei az ATA mátrix sajátértékeinek nemnegatív négyzetgyökei. Az A mátrix általánosított inverze: A+ = VS+UT,

(13)

ahol az n × m típusú S+ mátrix nem zérus elemei: ì1 / S ii S +ii = í î 1

, ha S ii > 0 . , ha S ii = 0

(14)

Ha az együtthatómátrix rangja kisebb az oszlopainak számánál, akkor az egyenletrendszer megoldása nem egyértelmû, az általánosított inverzzel a legkisebb normájú hibavektort kapjuk. (Megjegyezzük, hogy a Moore–Penroseinverz elõállításához elegendõ lenne csak a nemzérus sajátértékekhez tartozó sajátvektorok használata. Így ha r jelöli az ATA mátrix nemzérus sajátértékeinek számát, akkor U m × r, S r × r, V n × r típusú.)

6


C) Ha D = 2 vagy 3, akkor t és a Dq(i) megfelelõ megválasztásával mindig elérhetõ, hogy a (8) egyenlet együtthatómátrixának rangja az oszlopainak számával megegyezzen. Más a helyzet a (9) egyenlet esetén. (Ez meglepõ, hiszen a tehernövekményektõl az elmozdulások nem lineárisan függnek.) Ha egy csomóponthoz két olyan rúd kapcsolódik, melyeknek a másik vége fix csomóponthoz kapcsolódik, akkor az együtthatómátrix e két rúdhoz kapcsolódó négy oszlopa lineárisan összefügg. Az ezt bizonyító lineáris kombináció ugyanis csak az eredeti helyzettõl függ. 1 x z

1

y 2

2

j(0) j (i)

1. ábra. A j-edik csomóponthoz kapcsolódó két támasztórúd az eredeti és az i-edik helyzetben

Tekintsük ugyanis az 1. ábrán látható két rudat. A [G(i) – G(0) G(i)L(i)] blokksor e két rúdhoz tartozó oszlopai nemzérus blokkjainak vegyük rendre a cl1(0 ) , -cl 2(0 ) , c, -c skalárokkal való szorzatait (c tetszõleges valós szám). Ezek összege zérus: æ r1 - r j(i ) r - r (0 ) cl1(0 ) ç - 1 ( 0 )h ç l (i ) l1 è 1 +c

r1 - r (i ) 1

l

(i ) j

(i ) (0 ) æ ö ÷ - cl (0 ) ç r2 - r j - r2 - r j 2 ç l (i ) ÷ l 2(0 ) 2 ø è

(l1(i ) - l1(0 ) ) - c

r2 - r l

(i ) 2

(i ) j

ö ÷+ ÷ ø

(15)

(l 2(i ) - l1(0 ) ) = 0.

(E képletekben r a csomópontok helyvektora, l a rúdhossz, az alsó indexek a csomópontra vagy rúdra, a felsõ indexek a terhelési sorszámra utalnak.) Tehát hiába növelnénk a vizsgált terhelési esetek számát, és ezzel az oszlopokban a nem zérus elemek számát, a négy oszlop lineárisan továbbra is összefüggne. Természetesen, ha egy csomóponthoz k > 1 olyan rúd kapcsolódik, melyeknek a másik vége fix csomóponthoz kapcsolódik, akkor ezek miatt az együtthatómátrix rangcsökkenése k–1. Megjegyezzük, hogy az együtthatómátrix

7


rangcsökkenése megszüntethetõ, ha az elõírt tehernövekmény mellett megfelelõ támaszelmozdulásokat is beiktatunk.

2.2. A KIINDULÁSI HELYZET TERHE ISMERT

Ha q(0) ismert és a szerkezet statikailag határozott, akkor a kiindulási helyzet adataiból a rúderõk az s(0) = –(G(0))–1q(0)

(16)

képlettel számíthatók. Ha a rudak engedékenysége is ismert, akkor a (3) képlettel a feszültségmentes rudak hossza is számítható. Teherváltozásra csak akkor van szükség, ha az engedékenységeket is meg kell határoznunk. Természetesen az új helyzetben is meghatározhatjuk a rúderõket: s(0) = –(G(1))–1(q(0) + Dq(1)),

(17)

mely alapján az engedékenység rudanként számítható: Fi =

l i(1 ) - l i(0 ) s i(1 ) - s i(0 )

.

(18)

Ha a szerkezet statikailag túlhatározott,,akkor a (16) és (17) képletekben az egyensúlyi mátrix Moore–Penrose-inverzét kell használnunk. Így esetleg nem teljesül pontosan az egyensúlyi egyenlet, de az egyensúly hibáját a teher hibája, a csomóponti koordináták hibája, esetleg a rácsos tartó modell és a valóság eltérése okozza. Ha a szerkezet statikailag határozatlan és a rudak engedékenysége ismert, akkor a kiindulási helyzet rúderõi a é ù é G (0 ) ù q (0 ) ê (1 ) ê (1 ) ú (1 ) -1 (1 ) (0 ) ú ê G ú [s (0 ) ] + ê q + G F (l - l )ú = 0 ê ú ê M ú M ê (t ) ê (t ) ú ( t ) -1 (t ) (0 ) ú êë q + G F (l - l ) úû êë G úû

(19)

egyenletbõl számíthatók. A tehernövekmények számát úgy kell megválasztani, hogy az együtthatómátrix sorainak száma elérje a rudak számát. Ha a rudak engedékenységeit sem ismerjük, akkor a

8


é G (0 ) ê (1 ) êG ê M ê (t ) êë G

ù é q (0 ) ù ú ê ú G (1 ) L(1 ) ú é s (0 ) ù ê q (1 ) ú =0 ê ú+ M ú êë x úû ê M ú ú ê (t ) ú G (t ) L(t ) úû ëê q úû 0

(20)

egyenletrendszert kell megoldanunk, ahol a változók jelentése a (9) egyenletnél használtakkal megegyezik.

2.3. A KIINDULÁSI HELYZET TERHE RÉSZBEN ISMERT

Elõfordulhat, hogy a terhek egyes komponenseit ismerjük, másokat nem. Például, tudjuk, hogy csak gravitációs (az y tengellyel párhuzamos) terhek hatnak a kiindulási helyzetben, de azok nagysága ismeretlen. Külön esetet jelenthet az is, ha a kiindulási helyzetben az xy síkban van a szerkezet, de z komponensû tehernövekményeket is alkalmazhatunk. Tekintsünk például egy, a kiindulási helyzetében az xy síkban fekvõ rácsos tartót, amelyre csak az y tengellyel párhuzamos (de ismeretlen nagyságú) teher hat. Írjuk az egyensúlyi egyenleteket olyan sorrendbe, hogy elõször az x, majd az y, végül a z tengelyre vonatkozó vetületi egyenletek legyenek felsorolva, és particionáljuk is az egyenleteket ezek szerint: é G (x0 ) ù é 0 ù ê (0 ) ú (0 ) ê (0 ) ú ê G y ú s + ê q y ú = 0. ê G (z0 ) ú ê 0 ú ë û ëê ûú

(21)

E három mátrixegyenlet közül a harmadik G (z0 ) = 0 miatt egy azonosság, tehát elhagyható; a második egyenletbõl a (4) egyenlethez hasonlóan a kiindulási helyzet terhe utólag számítható; az elsõ egyenlet pedig az ismeretlen rúderõkre valóban egy feltételi egyenletrendszer, amelyik a (19), illetve a (20) egyenlet elsõ egyenleteinek helyére kerül:

9


é G (x0 ) ù ê ú (1 ) ê Gx ú ê G (y1 ) - G (y0 ) ú 0 é ù ê ú ê (1 ) (0 ) ú (1 ) -1 (1 ) (1 ) ê Gz ú [s (0 ) ] + ê Dq + G F (l - l )ú = 0. ê ú ê ú M M ê ú ê (t ) ( t ) -1 (t ) (0 ) ú (t ) êë Dq + G F (l - l ) úû ê Gx ú t ( ) ( ) 0 ê Gy - Gy ú ê ú (t ) êë G z úû

(22)

A tehernövekmények számát úgy kell megválasztani, hogy az együtthatómátrix sorainak száma elérje a rudak számát. Ha a rudak engedékenységeit sem ismerjük, akkor a é G (x0 ) ê (1 ) ê Gx ê G (y1 ) - G (y0 ) ê (1 ) ê Gz ê M ê (t ) ê Gx ê G (yt ) - G (y0 ) ê (t ) êë G z

0 ù ú G L(1 ) ú G L(1 ) ú é 0 ù ê (1 ) ú (1 ) ú (0 ) G L ú é s ù ê Dq ú =0 ê ú+ M ú ëê x úû ê M ú ú ê (t ) ú G (xt ) L(t ) ú ëê Dq úû (t ) (t ) ú Gy L ú G (zt ) L(t ) úû (1 ) x (1 ) y (1 ) z

(23)

egyenletet kell megoldanunk. Megjegyezzük, hogy a (23) egyenlet együtthatómátrixának rangja itt is kisebb az ismeretlenek számánál, ha valamelyik csomópont legalább három rúddal is közvetlenül fix csuklóhoz kapcsolódik. Ez a következõképpen látható be. Tekintsük a vizsgált szerkezetnek azt a három rúdját, mely a belsõ csomópontot a földhöz kapcsolja. Az együtthatómátrix e három rúdhoz tartozó hat oszlopa lineárisan összefügg, mert ha azokat rendre (c1 + c 2 )l1(0 ) , -c1 l 2(0 ) , -c 2 l3(0 ) , (c1 + c 2 ), -c1 , -c 2

(24)

súlyokkal szorozzuk úgy, hogy a paraméterek között a c1 (x 2(0 ) - x 3(0 ) ) + c 2 (x 2(0 ) - x x(0 ) ) = 0

(25)

10


egyenlet is teljesüljön, akkor zérusvektort kapunk. Az y indexû sorokra a (24) súlyok és a (15) egyenlet miatt ez triviális. Mivel G (z0 ) = 0, a z indexû sorok is ugyanolyan alakúnak vehetõk, tehát ezekre is teljesül. A legelsõ sor a (25) egyenlet miatt lesz zérus. A többi x indexû sor természetesen zérus lenne, ha szerepelne az elsõ elemében a -G (x0 ) tag, de ennek a tagnak az s(0) vektorral való szorzata az elsõ sor szerint zérus, tehát a valóban meglévõ elemek elõírt lineáris kombinációja is zérus. A ranghiányt itt is egy tehernövekménynél alkalmazott támaszelmozdítással szüntethetjük meg.

3. NUMERIKUS VIZSGÁLATOK A számított mennyiségek pontossága, megbízhatósága függ a következõktõl: A) Mik az ismeretlenek? Ettõl függ, hogy melyik egyenletrendszert kell használnunk – ismeretlen: s(0),q(0) Þ (8) egyenlet, – ismeretlen: s(0),F,q(0) Þ (9) egyenlet, – ismeretlen: s(0) Þ (19) egyenlet, – ismeretlen: s(0),F Þ (20) egyenlet, – ismeretlen: q(0) egy része és s(0) Þ (22) egyenlet, – ismeretlen: q(0) egy része és s(0),F Þ (23) egyenlet. B) Milyen a szerkezet? – statikailag határozott, határozatlan vagy túlhatározott? – milyen a topológiája, geometriai méretei, a rudak engedékenységei? C) A kiindulási állapotban mekkorák a rúderõk? D) Milyen tehernövekményeket alkalmazunk? – Milyen a tehernövekmények eloszlása? – Mekkorák a tehernövekmények? E) Milyen pontosak a bemenõ adatok? – A számításhoz használt számábrázolásban pontos? – A pontos érték az x Þ (10 d x ) / 10 d módon d tizedes jegyre kerekített? – Normális eloszlású véletlen szám kerekített értéke? (A normális eloszlás szórását ismertnek vesszük, a várható értéke pedig a pontos érték.) E szempontok végtelen sok variációt adnak, melyek közül néhányat számpéldákkal vizsgálunk. A 2. ábrán bemutatott 3 szerkezeten végzünk számításokat: – a statikailag túlhatározott „hintán”, – a három rúdból álló Y alakú tartón, valamint – egy sokrudas párhuzamos övû síkbeli rácsos tartón.

11


(a)

(b)

(c) 2. ábra. A vizsgált szerkezetek topológiája: a) hinta, b) Y alakú tartó, c) sokrudas tartó

A vizsgálatokhoz a tartók helyzeteit numerikusan szimuláljuk: az ismeretlennek tekintett mennyiségeket felvesszük (így az azok meghatározásakor elkövetett hibákat pontosan számíthatjuk), a mérendõ csomóponti koordinátákat az (1), (2) nemlineáris egyenletrendszerbõl Newton–Raphson-módszerrel (lásd pl. [3]) nagy pontossággal (20 éles jegyet használva) számítjuk. A további számításoknál 10 éles jegyet használunk.

3.1. A TEHERNÖVEKMÉNY ELRENDEZÉSÉNEK VIZSGÁLATA

1. példa. 3D-s hinta Tekintsük a 2(a) ábrán látható három rúdból álló szerkezetet, melynek kiindulási helyzetét az 1. táblázatban megadott koordináták határozzák meg.

12


1. táblázat. Csomóponti koordináták i

xi

yi

zi

1 2 3 4

3 6 0 9

4 4 0 0

0 0 -0,1 0,1

A meghatározandó mennyiségeket az s (0 )T = [10 20 30], F = 0,00006 0,00007 0,00005

(26)

értékeknek választjuk. Ezekbõl az adatokból az i = 0-hoz tartozó (1) és (2) egyenletekkel q(0) és l0 számítható. Mivel 6 skaláris adatot kell meghatároznunk és terhelési esetenként hat koordinátát mérhetünk, elegendõ egy többletteher hatását meghatároznunk. Háromféleképpen is felvesszük a többletterhet (A, B, C), és mindhárom esetben csak egy-egy teherkomponenst változtatunk: Dq1(1x)A = 1,0, Dq1(1y)B = 1,0, Dq1(1z )C = 1,0.

(27)

Például a „C” jelû tehernövekmény hatására az (1) és (2) egyenletekbõl az elmozdult csomópontok új helyvektorai:

(1 ) C 1

r

é 2,9980596002774180948 ù é 5,9962466069102053079 ù ê ú (1 )C ê ú = ê 3,9941031407839615311 ú , r2 = ê 3,9982128275600874363 ú(28) . ê0,16231938062341812515 ú ê0,058073241760503488423 ú ë û ë û

A három tehernövekmény esetén a 2. táblázat mutatja a rúderõk és az engedékenységek hibájának abszolút értékét (a pontos érték %-ában.). 2. táblázat. A hinta rúdereinek és az engedékenységeinek hibái (%) a három többlettehernél Teher A B C

Ds1( 0 )

Ds2( 0 )

Ds3( 0 )

DF11( 0 )

DF22( 0 )

DF33( 0 )

1,294E-6 7,040E-6 2,127E-6

2,016E-6 8,267E-6 1,095E-6

5,416E-7 3,866E-7 1,997E-6

1,569E-4 6,927E-5 2,213E-3

2,362E-5 9,218E-6 7,674E-4

1,118E-6 6,346E-5 2,000E-2

Ha az engedékenységeket ismertnek vesszük, akkor ugyanezekbõl a többletterhekbõl a rúderõk hibáinak abszolút értékeit a 3. táblázat mutatja.

13


3. táblázat. A hinta rúdereinek hibái (%), ha az engedékenység ismert Ds1( 0 )

Ds2( 0 )

Ds3( 0 )

3,871E-5 5,315E-5 4,223E-3

3,301E-4 1,803E-4 2,263E-3

2,034E-4 7,334E-5 4,210E-3

Teher A B C

E táblázatokból megállapítható, hogy – a tehernövekmények iránya a hibákban jelentõs különbségeket okozhat, – az engedékenységekben elkövetett hiba jóval nagyobb, mint a rúderõk hibája, – ha az engedékenységeket ismertnek vettük, akkor a rúderõk hibája megnõtt. Az utolsó megállapításban leírtakat az okozhatja, hogy – az elsõ esetben (a (9) egyenlet) az együtthatómátrix hatodrendû kvadratikus mátrix, melynek oszlopai kifeszítik a hatdimenziós euklideszi teret, így az egyenlet megoldásakor elkövetett hibákat csak az együtthatómátrix elemeiben meglévõ hibák okozzák, a számított megoldás „pontosan” kielégítheti a pontatlan egyenletrendszert; – a második esetben (a (8) egyenlet) az együtthatómátrix 6 × 3 méretû, így a – pontatlanul meghatározott – „jobb oldal” nem fekszik az ugyancsak pontatlanul meghatározott együtthatómátrix három oszlopa által kifeszített térben, tehát a túlhatározott egyenletrendszernek nincs „pontos” megoldása. 2. példa. Y alakú tartó Tekintsük a 2b) ábrán látható 3 rudas szerkezetet, amelynél a kiindulási helyzetben minden rúd az x,y koordinátasíkban fekszik, egységnyi hosszú, és egymással 120 fokos szöget zárnak be. Meghatározandók a rudak engedékenységei (0,001) és rúderõk: s (0 )T = [2 1 3]

(29)

Ezek alapján a kiindulási helyzetben a tehervektor

q

(0 )

é0 ù ê ú = ê 3ú, ê0 ú ë û

(30)

14


melyet elõször szintén ismeretlennek veszünk. A (9) egyenlet 6 ismeretlenének számításához két többletteherre van szükség (t = 2). Megint 3 tehernövekményeloszlást (A, B, C) vizsgálunk: Dq 1( 1x) A = 1,0, Dq 1( 2y) A = 1,0, Dq 1( 1x) B = 1,0, Dq 1(z2) B = 1,0, Dq 1( 1y) C = 1,0, Dq 1(z2) C = 1,0.

(31)

4. táblázat. A rúderõk és az engedékenységek hibái (%) a három többletteher-eloszlásnál Ds1( 0 )

Ds2( 0 )

Ds3( 0 )

DF11( 0 )

2,482 7,524E+12 2,877E+13

54,97 2,184E+13 2,523E+13

15,01 2,263E+12 1,077E+13

4,961E-3 100,000 100,000

Teher A B C

DF22( 0 ) 4,501E-2 99,9999 100,000

DF33( 0 ) 5,499E-2 100,000 100,000

A 2.3. alpontban közölt indokok alapján a (9) egyenletrendszer együtthatómátrixának rangcsökkenése 2, ez indokolja a kapott eredmények nagy hibáját. (Meglepõ azonban, hogy a hibák sokkal kisebbek, ha a tehernövekmények a tartó síkjában hatnak.) Tételezzük fel elõször azt, hogy az engedékenység ismert, így a (8) képletet alkalmazhatjuk, és a 3 ismeretlen számításához elegendõ egy-egy többletteher: Dq 1( 1y) A = 1,0, Dq 1(z1) B = 1,0, Dq 1( 1y) C = 1,0, Dq 1(z1) C = 1,0, Dq 1( 1y) C = 1,0, Dq 1(z2) C = 1,0.

(32)

Ekkor a hibákat az 5. táblázat mutatja. Itt természetesen az „A” jelû tehernövekménynél nagyok a hibák, hiszen az együtthatómátrix egyik sora zérus, mivel a szerkezet az xy síkban marad. 5. táblázat. A rúderõk hibái (%) a három többletteher-eloszlásnál Teher A B C

Ds1( 0 )

Ds2( 0 )

Ds3( 0 )

33,33 6,725E-4 8,472E-4

133,3 9,231E-5 9,358E-4

44,43 4,786E-4 2,525E-4

Másodszor tételezzük fel, hogy a (30) terhet ismerjük, így a (20) képletet használva számíthatjuk a rúderõket és az engedékenységet. A 6 ismeretlen meghatározásához látszólag elég lenne egy-egy tehernövekmény, de a kiindulási helyzet síkbelisége miatt az elsõ blokksor harmadik oszlopa zérus, ezért itt is a (31)-

15


ben megadott tehernövekményeket alkalmazzuk. A 6. táblázat mutatja a hibákat, melyek nagyon kicsik, ha a többletteher kimozdította a tartót a síkjából. 6. táblázat. A rúderõk és az engedékenységek hibái (%) a három többletteher-eloszlásnál Teher A B C

Ds1( 0 )

Ds2( 0 )

2,483 1,057E-6 3,259E-6

4,966 2,824E-6 5,407E-6

Ds3( 0 ) 1,655 4,661E-7 1,743E-6

DF11( 0 )

DF22( 0 )

DF33( 0 )

4,959E-3 3,697E-7 1,313E-6

4,968E-3 1,117E-6 2,179E-6

4,958E-3 2,178E-6 3,567E-6

3.2. A TEHERNÖVEKMÉNY NAGYSÁGÁNAK VIZSGÁLATA

3. példa. Y alakú tartó A 2. példa tartóját vizsgáljuk, de a tehernövekmény nagyságát változtatjuk. Ha a kezdeti teher ismeretlen és az engedékenység ismert, akkor a (8) egyenletet használjuk. A rúderõk meghatározásához elegendõ egy tehernövekmény: Dq1(1z ) = l. A 3. ábra azt mutatja, hogy hogyan változik a 2. rúdban ébredõ erõ hibája, ha l csupán kis mértékben, 1 és 1,2 között változik 0,0025 lépcsõkben. Megállapítható, hogy a hibák nem nagyok, de a teherparaméter növelésével erõteljesen, gyakran elõjelet is váltva változnak.

3. ábra. Az Y alakú tartó második rúdjában ébredõ erõ hibájának változása (1 £ l £ 1,2)

A 4. ábrán a már egy nagyobb intervallumban, 1 és 100 között változik egységnyi lépcsõkben, melynél kezdetben a hibák abszolút értéke csökkenõ trendet mutat. (Megjegyezzük, hogy l = 100 esetén a rudak fajlagos nyúlása már 0,08.) Megjegyezzük, hogy hasonló jellegû eredményeket kapunk, ha a terhet ismertnek tételezzük fel és a (20) egyenletet oldjuk meg.

16


4. ábra. Az Y alakú tartó második rúdjában ébredõ erõ hibájának változása (1 £ l £ 100)

4. példa. Síkbeli rácsos tartó A 2c) ábrán látható síkbeli tartót vizsgáljuk. A vízszintes rudak hossza és az övrudak távolsága is 2, a függõleges rudaké (melyekkel a görgõs megtámasztásokat helyettesítettük) 1 egységnyi. A rúderõket a (–3,75; 3,5) intervallumban akkoráknak vettük fel, hogy a csomóponti terhek és a reakcióerõk is függõlegeseknek adódjanak. Ezek közül is csak a következõ erõk különböznek zérustól: q1 = q8 = q 9 = q11 = 1, q5 = 2, q15 = -0, 25, q16 = -2, q17 = -3,75.

(33)

A rudak engedékenysége 0,0006, kivéve a függõleges rudakét, amelyek engedékenysége 0,000006. Ha ismeretlennek tekintjük a terhet és a rudak engedékenységét is, akkor a (9) egyenlet használatához 3 tehernövekmény-eloszlás szükséges. Ezeket a következõnek választjuk: Dq 4(1y) = l, Dq11(2y) = l, Dq5(3z ) = l.

(34)

A hibák változásának jellege az elõzõ példában látottakéhoz hasonló (még az elõjelek is változnak). Ennek illusztrálására az 5. ábrán megmutatjuk a legnagyobb hibákkal számított 25. rúdban ébredõ rúderõ és a 20. rúd engedékenységének hibáit l = 1,2,...,10 esetén.

17


( 0) 5. ábra. A síkbeli rácsos tartó s25 rúderejének és az F20 engedékenységnek a hibái l függvényében

3.3. A CSOMÓPONTI KOORDINÁTÁK PONTOSSÁGÁNAK VIZSGÁLATA

5. példa. 3 D-s hinta Az 1. példában is elemzett térbeli hintát vizsgáljuk, de a csomópontok pontos koordinátáit megváltoztatjuk egy-egy véletlen számmal. E számokat a (–0,1; 0,1) intervallumban egyenletes eloszlást feltételezve vesszük fel. A tehernövekmények hatására bekövetkezõ változásokat az így módosított koordináták felhasználásával számítjuk 20 éles jegyre, de a rúderõk, illetve az engedékenységek számításához használt (ún. mért) koordinátákat d tizedes jegyre kerekítjük, vagyis a pontos értékekbõl az x Þ round (10d x)/10d képlettel számítjuk a mért értékeket. A meghatározandó mennyiségeknek most is a (26)-ban megadott értékeket választjuk. Az alkalmazott tehernövekmény: Dq1(1x) = 10. A rúderõk és az engedékenységek hibáit a 7. táblázat mutatja. Az egyes lépésekben ugyanabban a koordinátában is különbözõ lehet a kerekítés iránya, a különbözõ koordináták kerekítésének a hatása valamely ismeretlenre lehet ellentétes is, ezért a d csökkentése nem monoton változást okoz, de a változások trendje a 2.1. pontban leírt gondolatmenetnek megfelelõ. 7. táblázat. A hinta rúdereinek és engedékenységeinek hibái (%) d 10 9 8 7 6 5 4 3 2

Ds1( 0 ) 0,000000380 0,000005909 0,000190658 0,000012361 0,003769864 0,062568778 1,006370807 23,21589702 131,0070320

Ds2( 0 ) 0,000000496 0,000006428 0,000216620 0,000007244 0,004305273 0,075159386 1,119187071 27,04005234 151,8208492

Ds3( 0 ) 0,000000344 0,000002287 0,000100646 0,000006558 0,002262563 0,038869054 0,650668959 13,62694493 72,03607942

DF1( 0 )

DF2( 0 )

DF3( 0 )

0,000024123 0,000171322 0,001249000 0,003243962 0,122952184 3,016070779 3,205613623 93,84317038 52,75875121

0,000019114 0,000106780 0,001224724 0,000927888 0,051781839 0,188177682 13,46565840 88,97141517 47,99403523

0,000030358 0,000063911 0,003354831 0,033681857 0,253730029 5,266139172 23,79220504 6,332858554 53,21354883

18


6. példa. Síkbeli rácsos tartó Újra a 4. példában ismertetett síkbeli rácsos tartót vizsgáljuk, ugyanazokból az adatokból kiindulva esetén. Itt a kezdeti koordinátákat nem változtattuk meg, csak a „mért” koordinátáat kerekítettük különbözõ mértékben. A 8. táblázatban egy övrúd, egy rácsrúd és egy görgõs támaszt helyettesítõ pótrúd esetén mutatjuk be a rúderõ és az engedékenység hibáját. Itt a rúderõk hibái sokkal gyorsabban nõnek mint az engedékenységek hibái és már koordináták 6 tizedes jegyre való kerekítése is teljesen megbízhatatlan eredményt ad. 8. táblázat. A síkbeli rácsos tartó rúderõinek és engedékenységeinek hibái (%) d 10 9 8 7 6 5 4

( 0) Ds10

( 0) Ds21

4,882E-2 6,717E-1 13,07 34,44 21,90 10366 7910

4,050E-2 3,407E-1 22,26 115,1 1532 27778 59601

( 0) Ds29

3,385E-3 1,865E-2 2,488 11,66 189,9 3309 3704

DF10( 0 )

DF21( 0 )

DF29( 0 )

1,044E-4 1,312E-3 2,861E-2 9,781E-2 2,981E-1 14,20 12,33

4,546E-6 7,000E-5 6,230E-5 7,184E-3 1,560E-1 4,334 14,95

8,420E-5 1,352E-3 4,324E-2 1,223E-1 9,905E-1 75,46 4818

3.4. A MONTE-CARLO-MÓDSZER ALKALMAZÁSA

7. példa. 3 D-s hinta Újra az 5. példában is tárgyalt hintát vizsgáljuk l = 10 és d = 4 esetén, de most a számított pontos elmozdulásokat a kerekítés elõtt megzavarjuk egy-egy véletlen számmal (normális eloszlás, 0 várható érték, 0,00025 szórás). Ily módon összesen 100-100 mérést szimulálunk minden koordinátára. E mérések alapján kétféle számításszorozatot végzünk: – minden mért eredménybõl identifikáljuk a rúderõket és az engedékenységeket, majd vesszük az addigi identifikációs eredmények átlagát, – az addigi mért eredmények átlagából identifikáljuk a rúderõket és az engedékenységeket. A 6. ábra mutatja a rúderõk és az engedékenységek hibájának változását a figyelembe vett szimulált mérések számának függvényében. A két számítás eredménye jelentõsen különbözik: az elsõ esetben a változás hullámzóbb, mert az identifikációs eljárás felnagyítja a hibákat, hiszen a koordinátákban egy kis százaléknyi eltérés is okozhat többszáz százalékos hibát a rúderõkben vagy az engedékenységekben. A második módszerrel határértékben


19

6. ábra. A hinta rúdereinek és engedékenységeinek hibája (%) a szimulált mérések számának függvényében

azt a hibát kell kapnunk, amelyiket a kerekítés nélküli (ill. a d = 10) esetben kaptunk, de itt is nagyon sok mérést kellene végeznünk, ha nagyságrendi változást kívánnánk elérni.

4. AZ EREDMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE Ha a csomópontok koordinátáit megmérjük, akkor az ismeretleneket (rúderõk, a feszültségmentes rudak hosszai, esetleg a rudak engedékenységei, a kiindulási helyzet terhe) lineáris egyenletrendszerek határozzák meg.

20


Kimutattuk, hogy ha a terhek és az engedékenységek is ismeretlenek, akkor a közvetlenül a földhöz kapcsolódó rudakban ébredõ erõk meghatározott topológia esetén ezzel a módszerrel nem határozhatók meg, azok meghatározásához támaszt is el kell mozdítani. A példákkal megmutattuk, hogy a számítás eredményének pontossága nagymértékben függ: – a tehernövekmények elrendezésétõl, – a tehernövekmények nagyságától, – a számításhoz használt éles jegyek számától, – az adatok pontosságától. Ez utóbbival kapcsolatban feltehetjük azt a kérdést, hogy a mérnökök rendelkezésére álló eszközökkel milyen pontossággal lehet a szerkezet meghatározott pontjának térbeli koordinátáit megmérni? A szerkezetek pontjainak koordinátáit mérhetjük optikai és mechanikai eszközökkel is. (Ez utóbbinál valójában koordinátaváltozásokat tudunk mérni.) Mindkét esetben a legnagyobb gondossággal végzett mérések hibája néhány tized milliméter. (Eddig a példákban nem használtunk mértékegységeket, hogy kiküszöböljük a méretek hatását.) Ha a mért koordináták az 1–10 m intervallumban vannak, akkor a fentiek szerint az ötödik értékes jegy már megbízhatatlan. Ezzel még a mérnök számára elfogadható hibával meghatározhatók lennének a rúderõk. De milyen pontok koordinátáit mérjük? A szerkezet felületén jelölhetünk meg pontokat, nem az elméleti csomópontban. A megjelölés bizonytalansága és a külpontosság ténye tovább csökkenti a mért adatok megbízhatóságát, ezért nagyon kétséges, hogy használhatók a csomóponti koordináták a rúderõk meghatározására. Igaz ugyan, hogy a csomópont megjelölésében elkövetett hiba hatását csökkenti, hogy minden leolvasáskor ugyanannak a megjelölt pontnak a koordinátáit kíséreljük meg leolvasni. Megkíséreltük a hibát csökkenteni a Monte-Carlo-módszerrel is. A lefuttatott példák azt mutatják, hogy elfogadható számú mérés még nem feltétlenül eredményez jelentõs hibacsökkenést. A mérési eredmények átlagából számított identifikáció valószínûleg kisebb hibával adja meg az eredményt, mint a mérésenkénti identifikációkkal kapott eredmények átlaga.

KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS A mérések lehetséges pontosságáról Kiss Alberttõl és Jakab Gábortól kaptunk hasznos adatokat. A kutatást az OTKA K 81146 pályázat támogatta.


21

HIVATKOZÁSOK [1] E. Turco: An insight into the identification of pre-stress in pin-jointed trusses. DADU, Universitá degli Studi di Sassari, Manuscript, 2010. November 15. [2] Szabó J., Kollár L.: Függõtetõk számítása. Mûszaki Könyvkiadó, Budapest 1974. [3] Gáspár Zs.: Tartók statikája III., Rúdszerkezetek. Mûegyetemi Kiadó, Budapest 1993. [4] Popper Gy.: Numerikus módszerek Mathematica használatával. Mûegyetemi Kiadó, Budapest 2003.

IDENTIFICATION PROBLEMS OF TRUSSES Summary This paper presents a method to determine member forces (and possibly compliance and loads) of a truss under stress if only the coordinates of the joints can be measured. It also holds if the load is changed in a known way. The required number of load cases and the algorithm is dependent on whether or not the loads of the truss and/or the compliance of the members in the initial state is known. The achievable precision is highly dependent on the accuracy of the measured coordinates and on the number of digits chosen for the numerical computations. We shall prove that in certain cases this method is unable to determine all properties of the initial state. Keywords: truss, identification, generalized inverse, sensitivity analysis

RÁCSOS TARTÓK IDENTIFIKÁCIÓS FELADATAI

Recommend Documents