Analýza – 10. Elementární funkce – Definice funkcí konstantních, funkce identické, funkce k-tá mocnina pro k přirozené a k celé záporné, funkce ntá odmocnina pro n2 přirozené, funkce exp, ln, expa, loga, pro a0 , a≠1 , funkce obecná mocnina (pro reálný exponent), funkcí goniometrických a cyklometrických. Polynomy a racionální funkce. Vlastnosti těchto funkcí.
Elementární funkce Základními elementárními funkcemi nazýváme funkce mocninné, exponenciální, logaritmické, goniometrické a cyklometrické. Elementární funkcí nazveme každou funkci, která je vytvořena ze základních elementárních funkcí pomocí konečného počtu základních algebraických operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení), nebo pomocí skládání funkcí. Dělení elementárních funkcí: Elementární funkce Algebraické (mocninné)
Racionální
Polynomické
Nealgebraické (exponenciální, logaritmické, obecná mocnina goniometrické (sin, cos, tg, cotg), cyklometrické (arcsin, arccos, arctg, arcctg)) Iracionální
Racionální lomené
1. Algebraické funkce Racionální funkce – zahrnují funkce polynomické (celé racionální funkce) a racionální lomené funkce. Iracionální funkce – funkce n-tá odmocnina pro n2 přirozené. a) Polynomické funkce Def.: Polynomem n-tého stupně nazveme funkci Pn, pro kterou platí: a) D(Pn) = R b) P n x =an∗x n a n−1∗x n−1...a1∗x 1a 0 , kde a 0 , a1 , a 2 ... a n ∈ R polynomu, a n ≠0
koeficienty
Věta.: c je nulový bod polynomu <=> je c kořen polynomu (platí tedy Pn(c) = 0; kde c ∈ R ). Věta: Polynom n-tého stupně Pn má nejvýše n nulových bodů. Věta: Nechť Pn je polynom n-tého stupně a Qm je polynom m-tého stupně, tedy: P n x =an∗x n a n−1∗x n−1...a1∗x 1a 0 a Qm x =bm∗x m b m−1∗x m−1...b1∗x 1b 0 . Potom (Pn(x) = Qm(x)) <=> n=m∧a i=b i ; ∀ i=0,1 ... n Lineární funkce – polynom prvního stupně: Pn(x) = a*x + b Nulová funkce – nulovou funkcí nazveme funkci tvaru f(x) = a*x + b, kde a = 0, b = 0 jedná se o nulový polynom Pn(x) = 0 vlastnosti: D(f) = R, H(f) = {0}, omezená, nerostoucí, neklesající, není prostá, v každém x ∈ R má maximum a minimum, sudá, spojitá, periodická s libovolnou periodou p, p ∈ R , grafem je přímka o rovnici f(x) = 0, tedy osa x kartézské soustavy. 1/11
Analýza – 10. Elementární funkce – Definice funkcí konstantních, funkce identické, funkce k-tá mocnina pro k přirozené a k celé záporné, funkce ntá odmocnina pro n2 přirozené, funkce exp, ln, expa, loga, pro a0 , a≠1 , funkce obecná mocnina (pro reálný exponent), funkcí goniometrických a cyklometrických. Polynomy a racionální funkce. Vlastnosti těchto funkcí.
Konstantní funkce – konstantní funkcí nazveme funkci tvaru f(x) = a*x + b, a = 0, b∈ R jedná se o polynom nultého stupně Pn(x) = b vlastnosti: D(f) = R, H(f) = {b}, omezená, nerostoucí, neklesající, není prostá, v každém x ∈ R má maximum a minimum, sudá, spojitá, periodická s libovolnou periodou p, p ∈ R , grafem je přímka o rovnici f(x) = b, tedy rovnoběžka s osou x kartézské soustavy. Obrázek viz dále. Identická funkce – identickou funkcí nazveme funkci tvaru id(x) = a*x + b, kde a = 1, b = 0 vlastnosti: D(f) = R, H(f) = R, není omezená shora ani zdola, je rostoucí, prostá, spojitá, nemá maximum ani minimum, lichá, neperiodická, grafem je přímka o rovnici id(x) = x, prochází bodem [0,0]. Obr. viz dále. Přímá úměrnost – přímou úměrností nazveme funkci tvaru f(x) = a*x + b, kde a ∈ R−{0} , b = 0 vlastnosti: D(f) = R, H(f) = R, není omezená shora ani zdola, je rostoucí (pro a ∈Z ) nebo klesající (pro a ∈Z − ), prostá, spojitá, nemá maximum ani minimum, neperiodická, ani lichá ani sudá, grafem je přímka f(x) = a*x, prochází bodem [0,0]. Lineární funkce - lineární funkcí nazveme funkci tvaru f(x) = a*x + b; a ∈R−{0} b∈R−{0} vlastnosti: D(f) = R, H(f) = R, není omezená shora ani zdola, je rostoucí (pro a ∈ R −{0} ) nebo klesající (pro a ∈R − −{0} ), prostá, spojitá, nemá maximum ani minimum, neperiodická, ani lichá ani sudá, grafem je přímka. y y b
id(x) = x f(x) = b [0,0]
[0,0]
x
x
Identická funkce
Konstantní funkce
Kvadratické funkce – polynom druhého stupně: Pn(x) = a*x2 + b*x + c Ryze kvadratická funkce – ryze kvadratickou funkcí nazveme funkci tvaru f(x) = a*x2+b*x+c, kde a ∈R−{0} , b = 0, c = 0 vlastnosti: pro a>0: D(f) = R, H(f) = <0,∞), zdola omezená nulou, shora neomezená, není prostá, klesající na (-∞,0>, rostoucí na <0,∞), minimum v bodě [0,0], nemá maximum, sudá, spojitá, neperiodická, grafem je parabola. pro a<0: D(f) = R, H(f) = (-∞,0>, zdola neomezená, shora omezená nulou, není prostá, rostoucí na (-∞,0>, klesající na <0,∞), maximum v bodě [0,0], nemá minimum, sudá, spojitá, neperiodická, grafem je parabola. Kvadratická funkce – kvadratickou funkcí nazveme funkci ve tvaru f(x) = a*x2+b*x+c, kde a ,b , c ∈ R , a≠0 b2 vlastnosti: pro a>0: D(f) = R, H(f) = < c− , ∞ ), zdola omezená, shora 4∗a neomezená, není prostá, klesající na (-∞,-b/2*a>, rostoucí na <-b/2*a,∞), v bodě x0 má b2 minimum, x0 = -b/2*, y0 = c− , nemá maximum, není sudá ani lichá, 4∗a 2/11
Analýza – 10. Elementární funkce – Definice funkcí konstantních, funkce identické, funkce k-tá mocnina pro k přirozené a k celé záporné, funkce ntá odmocnina pro n2 přirozené, funkce exp, ln, expa, loga, pro a0 , a≠1 , funkce obecná mocnina (pro reálný exponent), funkcí goniometrických a cyklometrických. Polynomy a racionální funkce. Vlastnosti těchto funkcí.
b2 ]. 4∗a b2 pro a<0: D(f) = R, H(f) = < −∞ , c− ), shora omezená, zdola 4∗a neomezená, není prostá, rostoucí na (-∞,-b/2*a>, klesající na <-b/2*a,∞), v bodě x0 má b2 maximum, x0 = -b/2*a, y0 = c− , nemá minimum, není sudá ani lichá, 4∗a b2 neperiodická, grafem je parabola s vrcholem [-b/2*a, c− ]. 4∗a neperiodická, grafem je parabola s vrcholem[-b/2*a, c−
Funkce k-tá mocnina pro k-přirozené - k-tou mocninou pro k-přirozené nazveme funkci tvaru f x =x k kde k ∈ N − {0 } vlastnosti: pro k = 1 je grafem přímka (viz identická funkce), pro k>1 je grafem parabola ktého stupně, graf vždy prochází body [0,0] a [1,1]; další vlastnosti viz obrázek b) Racionální funkce Def.: Racionální funkcí nazýváme podíl polynomů
Pn ; kde Pn je polynom n-tého stupně a Qm je Qm
polynom m-tého stupně: P n=a n∗x na n−1∗x n−1...a1∗x 1a 0 Q m =b m∗x mb m−1∗x m−1...b 1∗x 1b 0 . Pn Pro racionální funkci platí: Qm Pn =R−{x ∈R ; Q m x =0} a) D Qm - c1, c2, ...ck – kořeny racionální funkce, pro k platí: 0k m Pn =...=−∞ , c 1∪c 1 , c 2 ∪ c 2 , c 3∪...∪c k , ∞ - nechť c1
0: D(f) = R-{0}, H(f) = R-{0}, není omezená shora ani zdola, je klesající na (-∞,0) a na (0,-∞), prostá, nemá maximum ani minimum, lichá, neperiodická, grafem je rovnoosá hyperbola se středem [0,0]. pro k<0: D(f) = R-{0}, H(f) = R-{0}, není omezená shora ani zdola, je rostoucí na (-∞,0) a na (0,-∞), prostá, nemá maximum ani minimum, lichá, neperiodická, grafem je rovnoosá hyperbola se středem [0,0]. Lineárně lomená funkce – lineárně lomenou funkcí nazveme funkci ve tvaru a∗xb f x = , kde a ,b , c , d ∈ R , c≠0 , a∗d −b∗c≠0 c∗xd vlastnosti: D(f) = R-{-d/c}, H(f) = R-{a/c}, není omezená ani shora ani zdola, klesající na (-∞,-d/c) a na int. (-d/c,∞), je prostá, nemá maximum ani minimum, není sudá ani lichá, neperiodická, grafem je rovnoosá hyperbola se středem v bodě [-d/c,a/c]. 3/11
Analýza – 10. Elementární funkce – Definice funkcí konstantních, funkce identické, funkce k-tá mocnina pro k přirozené a k celé záporné, funkce ntá odmocnina pro n2 přirozené, funkce exp, ln, expa, loga, pro a0 , a≠1 , funkce obecná mocnina (pro reálný exponent), funkcí goniometrických a cyklometrických. Polynomy a racionální funkce. Vlastnosti těchto funkcí.
Funkce k-tá mocnina pro k celé záporné - k-tou mocninou pro k-celé záporné nazveme 1 −k funkci ve tvaru f x =x = k , kde k ∈ N x vlastnosti: D(f) = R-{0}, grafem je hyperbola k stupně, další vlastnosti viz obrázek
c) Iracionální funkce Funkce n-tá odmocnina pro n2 přirozené – n-tou odmocninou pro n2 přirozené 1 nazveme funkci ve tvaru f(x) = n x= x n , kde n∈ N , n2 vlastnosti: n-sudé: D(f) = <0,∞), H(f) = <0,∞), zdola omezená nulou, shora neomezená, rostoucí, prostá, minimum v bodě [0,0], maximum nemá, není sudá ani lichá, neperiodická, grafem je je část paraboly n-tého stupně se sklopenou osou, procházející vždy body [0,0] a [1,1].Obrázek viz dále. n-liché: D(f) = R, H(f) = R, zdola i shora neomezená, rostoucí, prostá, nemá minimum ani maximum, je lichá, neperiodická, grafem je je část paraboly n-tého stupně se sklopenou osou, procházející vždy body [0,0] a [1,1]. Obrázek viz dále.
4/11
Analýza – 10. Elementární funkce – Definice funkcí konstantních, funkce identické, funkce k-tá mocnina pro k přirozené a k celé záporné, funkce ntá odmocnina pro n2 přirozené, funkce exp, ln, expa, loga, pro a0 , a≠1 , funkce obecná mocnina (pro reálný exponent), funkcí goniometrických a cyklometrických. Polynomy a racionální funkce. Vlastnosti těchto funkcí.
2. Nealgebraické funkce Věta o inverzní funkci: Nechť f je spojitá a ryze monotónní funkce v intervalu I, který zobrazuje na interval J. Potom k ní na intervalu I existuje inverzní funkce f -1, která má tyto vlastnosti: - D(f -1) = J, H(f -1) = I - funkce f -1 je ryze monotónní v J, je-li f rostoucí (klesající) v I, je-li f -1 rostoucí (klesající) v J - f -1 je spojitá v J; inverzní funkcí k f -1 je v intervalu J funkce f. Funkce přirozený logaritmus – existuje právě jedna funkce kterou nazveme přirozený logaritmus (značíme ji f(x) = ln(x) (v učebnicích log) tak, že má tyto vlastnosti: 1) D(ln) = (0,∞) 2) pro každé x , y ∈0, ∞ je ln x∗y =ln xln y ln 1x ln 1 x−ln 1 =lim =1 ; existuje derivace v 1 a platí ln´(1) 3) lim x x x 0 x 0 =1 Další vlastnosti funkce ln kde a ,b∈0, ∞ k ∈ Z : 1) ln(1) = 0 2) ln(1/a) = -ln(a) 3) ln(a/b) = ln(a) – ln(b) 4) ln(ak) = k*ln(a) 5) pro každé a ∈0, ∞ existuje ln´(a) = 1/a 6) spojitá na (0,∞) 7) rostoucí na (0,∞) 8) ln(x)<0 <=> x ∈0,1 , ln(x)>0 <=> x ∈1, ∞ 9) lim ln(x) = ∞ pro x->∞, lim ln(x) = -∞ pro x->0+ 10) H(ln) = R Pozn.: ln je prostá na (0,∞), existuje tedy jediné číslo x0, pro které je ln(x0) = 1. Toto číslo 1 n. nazýváme Eulerovo číslo, e=lim 1 =2,718 n n ∞ Funkce exponenciála – funkce ln(x) je v (0,∞) rostoucí, spojitá a zobrazuje ho na (-∞,∞). V intervalu (0,∞) k ní existuje funkce inverzní, kterou nazýváme exponenciála f(x) = exp(x) s vlastnostmi: 1) D(exp) = R, H(exp) = (0,∞) 2) spojitá a rostoucí v R 3) inverzní funkcí k exp(x) je funkce ln(x), exp(x) = y <=> x = ln(y), x ∈ R , y ∈0, ∞ 4) pro každé c ∈ R existuje vlastní derivace exp´(c) = exp(c) 5) exp(0) = 1, exp(1) = e 6) pro každé x , y ∈ R platí: exp(x+y) = exp(x)*exp(y) 7) pro každé x ∈ R , k ∈ Z platí: (exp(x))k = exp(k*x) 8) pro každé x ∈ R platí: exp(-x) = 1/exp(x) 9) lim exp(x) = ∞ pro x->∞, lim exp(x) = 0 pro x->-∞
5/11
Analýza – 10. Elementární funkce – Definice funkcí konstantních, funkce identické, funkce k-tá mocnina pro k přirozené a k celé záporné, funkce ntá odmocnina pro n2 přirozené, funkce exp, ln, expa, loga, pro a0 , a≠1 , funkce obecná mocnina (pro reálný exponent), funkcí goniometrických a cyklometrických. Polynomy a racionální funkce. Vlastnosti těchto funkcí.
Def.: Nechť u ∈0, ∞ , v ∈ R . Definujeme uv vztahem uv = exp(v*ln(u)). Pozn.: volím-li ve vztahu v-pevně, lze definovat obecnou mocninu xb = exp(b*ln(x)) s exponentem b. Volím-li ve vztahu u-pevně, lze definovat obecnou exponenciálu ax = exp(x*ln(a)). Funkce obecná mocnina (pro reálný exponent) – obecnou mocninou s exponentem b nazveme funkci ve tvaru f(x) = xb = exp(b*ln(x)), kde b∈ R vlastnosti: 1) D(f) = (0,∞); H(f) = (0,∞) pro b≠0 , H(f) = {1} pro b = 0 2) pro b = 0 je konstantní na (0,∞), pro b>0 je rostoucí na (0,∞), pro b<0 je klesající na (0,∞) 3) spojitá na (0,∞) 4) v každém a ∈0, ∞ existuje vlastní f´(a) = b*ab-1 5) pro b>0 je lim xb = ∞ pro x->∞, lim xb = 0 pro x->0+; pro pro b<0 je lim xb = 0 pro x->∞, lim xb = ∞ pro x->0+ Obecná exponenciální funkce – obecnou exponenciální funkcí (obecnou exponenciálou) o základu a nazveme funkci ve tvaru f(x) = ax = exp(x*ln(a)), kde a0 , a≠1 vlastnosti: 1) D(f) = R, H(f) = (0,∞) 2) pro každé c ∈ R existuje vlastní derivace f´(c) = ac*ln(a) 3) spojitá v R 4) pro a>1 je rostoucí na R; pro 01 je lim ax = ∞ pro x->∞, lim ax = 0 pro x->-∞; pro pro 0∞, lim ax = ∞ pro x->-∞ Pozn.: Volíme-li jako základ e, platí: f(x) = ex = exp(x*ln(e)) = exp(x) Dále viz obrázek.
6/11
Analýza – 10. Elementární funkce – Definice funkcí konstantních, funkce identické, funkce k-tá mocnina pro k přirozené a k celé záporné, funkce ntá odmocnina pro n2 přirozené, funkce exp, ln, expa, loga, pro a0 , a≠1 , funkce obecná mocnina (pro reálný exponent), funkcí goniometrických a cyklometrických. Polynomy a racionální funkce. Vlastnosti těchto funkcí.
Funkce obecný logaritmus – Nechť a ∈0, ∞ , a≠1 . Funkce f(x) = ax je spojitá a ryze monotónní v R a zobrazuje R na (0,∞). Existuje k ní v R inverzní funkce, kterou nazýváme obecný logaritmus (logaritmus o základu a), f(x) = loga(x) a má tyto vlastnosti: 1) D(f) = (0,∞), H(f) = R ln x 2) pro každé x ∈0, ∞ je loga x = lna c ∈0, ∞ 3) v každém existuje vlastní derivace f´(c) = 1/(c*ln(a)) 4) je spojitá v (0,∞) 5) pro a>1 je rostoucí v (0,∞); pro 01 je lim loga(x) = ∞ pro x->∞, lim loga(x) = -∞ pro x->0+; pro 0∞, lim loga(x) = ∞ pro x->0+ 7) pro každé x , y ∈0, ∞ je loga(x*y) = loga(x)+loga(y) Pozn.: bod 2) nám umožňuje pracovat s jedinou logaritmickou funkcí – s přirozeným logaritmem.
7/11
Analýza – 10. Elementární funkce – Definice funkcí konstantních, funkce identické, funkce k-tá mocnina pro k přirozené a k celé záporné, funkce ntá odmocnina pro n2 přirozené, funkce exp, ln, expa, loga, pro a0 , a≠1 , funkce obecná mocnina (pro reálný exponent), funkcí goniometrických a cyklometrických. Polynomy a racionální funkce. Vlastnosti těchto funkcí.
Funkce sinus – Existuje právě jedna funkce, kterou nazveme sinus a kladné číslo, které označíme znakem π takové, že funkce sinus(x) = sin(x) a má tyto vlastnosti: 1) D(sin) = R 2) fce sinus je rostoucí v intervalu <0,π/2>, sin(0) = 0 3) pro každé x , y ∈ R je sin(x+y)+sin(x-y) = 2*sin(x)*sin(π/2-y) sin x =1 4) lim x x 0 Funkce kosinus – definována vztahem kosinus(x) = cos(x) = sin( π/2 -x) Další vlastnosti funkce sinus: 1) je lichá 2) rostoucí v intervalu <-π/2,π/2> 3) sin(π/2) = 1, sin(-π/2) = -1 4) je periodická funkce s periodou 2*π 5) pro každé x , y ∈ R je sin(x±y) = sin(x)*cos(y)±cos(x)*sin(y) 6) pro každé x ∈ R platí sin2x+cos2x = 1 7) pro každé x , y ∈ R je sin(x)+sin(y) = 2*sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) 8) pro každé x , y ∈ R je sin(x)-sin(y) = 2*cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) 9) spojitá v R 10) v každém x ∈ R existuje vlastní (sin(x))´ = cos(x) 11) H(sin) = <-1,1> Vlastnosti funkce kosinus: 1) D(cos) = R, H(cos) = <-1,1> 2) rostoucí v intervalu <-π,0> 3) cos(0) = 1, cos(π) = -1 4) je sudá, periodická s periodou 2*π 5) pro každé x , y ∈ R je cos(x+y) = cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y) 6) pro každé x , y ∈ R je cos(x-y) = cos(x)*cos(y)+sin(x)*sin(y) 7) pro každé x , y ∈ R je cos(x)+cos(y) = 2*cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) 8) pro každé x , y ∈ R je cos(x)-cos(y) = -2*sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2) 9) spojitá v R 10) v každém x ∈ R existuje vlastní (cos(x))´ = -sin(x)
8/11
Analýza – 10. Elementární funkce – Definice funkcí konstantních, funkce identické, funkce k-tá mocnina pro k přirozené a k celé záporné, funkce ntá odmocnina pro n2 přirozené, funkce exp, ln, expa, loga, pro a0 , a≠1 , funkce obecná mocnina (pro reálný exponent), funkcí goniometrických a cyklometrických. Polynomy a racionální funkce. Vlastnosti těchto funkcí.
Funkce tangens – je definována předpisem f(x) = tg(x) = sin(x)/cos(x) a má tyto vlastnosti: 1) D(tg) = R- x∈ R , x=2∗k 1∗ , k ∈Z 2 2) je lichá, tg(0) = 0 3) je periodická s periodou π 4) spojitá v D(tg) 5) lim tg(x) = ∞ pro x->π/2 zleva, lim tg(x) = -∞ pro x->π/2 zprava 6) H(tg) = R 7) pro každé a ∈ Dtg existuje vlastní derivace (tg(x))´ = (sin(x)/cos(x))´ = ((cos(x)*cos(x)-sin(x)*(-sin(x))/cos2(x)) = 1/cos2(x) 8) v každém intervalu I, I ⊂Dtg je tangens rostoucí
{
}
Funkce cotangens – je definována předpisem f(x) = cotg(x) = cos(x)/sin(x) a má tyto vlastnosti: 1) D(cotg) = R- { x ∈ R , x =k∗ , k ∈ Z } 1) je lichá, cotg(π/2) = 0 1) je periodická s periodou π 2) spojitá v D(cotg) 3) lim cotg(x) = ∞ pro x->0+, lim cotg(x) = -∞ pro x->04) H(cotg) = R 5) pro každé a ∈Dcotg existuje vlastní derivace (cotg(x))´ = (cos(x)/sin(x))´ = ((-sin(x)*sin(x)-cos(x)*(cos(x))/sin2(x)) = -1/sin2(x) 6) v každém intervalu I, I ⊂D cotg je cotangens klesající
9/11
Analýza – 10. Elementární funkce – Definice funkcí konstantních, funkce identické, funkce k-tá mocnina pro k přirozené a k celé záporné, funkce ntá odmocnina pro n2 přirozené, funkce exp, ln, expa, loga, pro a0 , a≠1 , funkce obecná mocnina (pro reálný exponent), funkcí goniometrických a cyklometrických. Polynomy a racionální funkce. Vlastnosti těchto funkcí.
Funkce arkussinus – Funkce sinus je v intervalu <-π/2,π/2> spojitá, rostoucí a zobrazuje tento interval na interval <-1,1>. Existuje tedy v intervalu <-π/2,π/2> inverzní funkce k funkci sinus, kterou nazveme arkussinus, f(x) = arcsin(x) a má tyto vlastnosti: 1) D(arcsin) = <-1,1>, H(arcsin) = <-π/2,π/2> 2) je rostoucí a spojitá v <-1,1> 3) funkcí inverzní k funkci arkussinus v intervalu <-1,1> je funkce sinus v intervalu <-π/2,π/2>, (arcsin(a) = b <=> a = sin(b), kde a ∈〈−1,1〉 , − b∈〈 , 〉 ) 2 2 4) je lichá 1 5) pro každé a ∈−1,1 existuje vlastní derivace (arcsin(a))´ = 1−a 2 6) arcsin´zprava(-1) = arcsin´zleva(1) = ∞ Funkce arkuskosinus – Funkce kosinus je v <0,π> spojitá, klesající a zobrazuje tento interval na interval <-1,1>. Existuje tedy v intervalu <0,π> inverzní funkce k funkci kosinus, kterou nazveme arkuskosinus, f(x) = arccos(x) a má tyto vlastnosti: 1) D(arccos) = <-1,1>, H(arccos) = <0,π> 2) je klesající a spojitá v <-1,1> 3) funkcí inverzní k funkci arkuskosinus v intervalu <-1,1> je funkce cosinus v intervalu <0,π> 4) pro každé x ∈〈−1,1〉 je arcsin(x)+arccos(x) = π/2 1 5) pro každé a ∈−1,1 existuje vlastní derivace (arccos(a))´ = − 1−a 2 6) arccos´zprava(-1) = arccos´zleva(1) = -∞ Funkce arkustangens – Funkce tangens je v intervalu (-π/2,π/2) spojitá, rostoucí a zobrazuje tento interval na R. Existuje tedy v intervalu (-π/2,π/2) inverzní funkce k funkci tangens, kterou nazveme arkustangens, f(x) = arctg(x) a má tyto vlastnosti: 1) D(arctg) = R, H(arctg) = (-π/2,π/2) 2) je rostoucí a spojitá v R 3) funkcí inverzní k funkci arkustangens v R je funkce tangens v intervalu (-π /2,π/2) 4) je lichá 5) lim arctg(x) = π/2 pro x->∞, lim arctg(x) = -π/2 pro x->-∞ 1 6) pro každé a ∈ R existuje vlastní derivace (arctg(a))´ = 1a 2 Funkce arkuscotangens – Funkce cotangens je v intervalu (0,π) spojitá, klesající a zobrazuje tento interval na R. Existuje tedy v intervalu (0,π) inverzní funkce k funkci cotangens, kterou nazveme arkuscotangens, f(x) = arccotg(x) a má vlastnosti: 1) D(arccotg) = R, H(arccotg) = (0,π) 10/11
Analýza – 10. Elementární funkce – Definice funkcí konstantních, funkce identické, funkce k-tá mocnina pro k přirozené a k celé záporné, funkce ntá odmocnina pro n2 přirozené, funkce exp, ln, expa, loga, pro a0 , a≠1 , funkce obecná mocnina (pro reálný exponent), funkcí goniometrických a cyklometrických. Polynomy a racionální funkce. Vlastnosti těchto funkcí.
2) je klesající a spojitá v R 3) funkcí inverzní k funkci arkuscotangens v R je funkce cotangens v intervalu (0,π) 4) pro každé x ∈ R je arccotg(x)+arctg(x) = π/2 5) lim arccotg(x) = 0 pro x->∞, lim arccotg(x) = π pro x->-∞ 1 6) pro každé a ∈ R existuje vlastní derivace (arccotg(a))´ = − 1a 2
Zpracováno z přednášek MANS1,2 a z knihy Matematická analýza pro učitelské studium, 1. semestr, Jiřina Frolíková, SPN Praha, 1980 11/11
