Quantumgedrag van dansende oliedruppels Door Robert Hauer Studienummer: 10659374
Verslag van Bachelor project Natuur- en Sterrenkunde, omvang 15 EC Uitgevoerd tussen 30-03-2015 en 26-06-2015
Institude for Theoretical Physics Amsterdam 7 juli 2015 Begeleider: Dhr. Prof. Dr. T.M. Nieuwenhuizen Tweede beoordelaar: Dhr. Prof. Dr. B. Nienhuis 1
2
Inhoudsopgave Inleiding…………………………………………………………………………………........5 Populair wetenschappelijke samenvatting…………………………………………………6 Samenvatting in het Engels………………………………………………………………….7
1
Het elektron als golf……………………………………………………...…..………9
1.1
Ontdekking van het elektron als deeltje …………………………………..……..........9
1.2
Ontdekking van licht als golfverschijnsel ………………………………………...…..9
1.3
Fotonen als deeltjes…………………………………………………………….……...9
1.4
Hypothese van de Broglie…………………………………………………...…...……9
1.5
Golfvergelijking met massa……………………………………………………..……12
2
Druppels als golf-deeltje dualiteit…………………………………………….....…13
2.1
Overeenkomsten tussen fotonen en elektronen……………………………….…...…13
2.2
Het stuiterproces van oliedruppels……………………………………………......….13
2.3
Interactie met de randen van het bad…………………………………………………14
2.4
Klein-Gordon vergelijking………………………………………………………...…16
2.5
Analogie met de Schrödinger vergelijking………….…………...…………………..18
3
Quantummechanische simulaties…………………………………………………..19
3.1
Mogelijke experimenten met stuiterende oliedruppels…………………………...….19
3.2
Ontstaan van gequantiseerde banen om een middelpunt……………………………..19
3.3
Het tunnel effect………………………………………...……………………………21
3.4
Het Pauli uitsluitingsprincipe………………………………………...………………22
3.5
Dubbele spleet experiment………………………………………...…………………23
4
Conclusie………………………………………………………………...…………..25 3
4
Inleiding Over quantumfysica wordt meestal verteld dat het vreemd en onbegrijpelijk is. Het zou zich slechts in de quantumwereld afspelen en niet na te bootsen zijn in de macroscopische wereld. Inmiddels zijn er enkele klassiekmechanische experimenten uitgevoerd die sterke gelijkenissen met de quantumfysische waarschijnlijkheidsfunctie vertonen. Uit het dubbele spleet experiment met elektronen kan bijvoorbeeld geconcludeerd worden dat deze naast dat ze beschouwd worden als deeltjes ook een golfkarakter moeten hebben. Een probleem echter bij deze theorie is dat als waargenomen wordt door welke spleet het elektron gegaan is, dit golfkarakter verdwijnt. Om dit quantum proces beter te begrijpen is een simulatie gemaakt met stuiterende oliedruppels boven een vloeistof. Deze druppels werden richting een dubbele spleet geleid, waarachter een interferentie patroon optrad. Verdere observatie van deze druppels leidde tot meer inzicht in andere quantummechanische effecten, zoals gediscrediteerde elektronbanen, het tunneleffect en het Pauli uitsluitingsprincipe.
5
Populair wetenschappelijke samenvatting In de 18de eeuw begon men met proeven om aan te tonen dat elektrische lading uit deeltjes bestaat die elektronen genoemd werden. Uit deze elektriciteitsleer kwam later naar voren dat deze elektronen elektrische en magnetische velden voortbrengen. Deze velden bleken een golfkarakter te hebben dat zich met de lichtsnelheid voortbeweegt. Hieruit concludeerde men dat licht uit golven moest bestaan. Einstein had daarna met zijn Foto-elektrisch effect aangetoond dat licht ook uit deeltjes moest bestaan, zodat al snel de vraag rees of licht uit deeltjes of uit golven bestond. Deze dualiteit werd door De Broglie voor elektronen ook voorgesteld. Om het golfkarakter van elektronen te bestuderen is een simulatie gemaakt met een trillend oliebad met daarboven stuiterende druppels. Dit kon op dusdanige wijze dat de druppels voor langere tijd bleven stuiteren en hun beweging beïnvloed kon worden. Vervolgens werden er experimenten met de stuiterende druppels gedaan. Zo bleek de rand van het bad een afstotende werking te hebben en konden er tussen druppels aantrekkende en afstotende krachten gevonden worden die overeenkwamen met de krachten tussen echte elektronen. Dit onderzoek richtte zich met name op enkele quantummechanische aspecten die met stuiterende oliedruppels gesimuleerd konden worden, zodat daar een beter inzicht in verkregen kon worden. Zo is bekend dat elektronen alleen in vaste banen om de kern van een atoom kunnen bewegen. Dit kon gesimuleerd worden door de snelheid van de stuiterende druppel te registreren waaruit de discrete banen weer tevoorschijn kwamen. In de laagste baan van een atoom kunnen maar twee elektronen zich bevinden. Met stuiterende druppels kon inzichtelijk gemaakt worden wat het proces van afstoting van een eventueel derde elektron zou kunnen zijn. Elektronen hebben ook een eigenschap dat ze na een dubbele spleet met zichzelf kunnen interfereren, wat duidt op het golfkarakter van deze deeltjes. Ook het tunneleffect dat verantwoordelijk is voor radioactief verval kon inzichtelijk gemaakt worden met de stuiterende oliedruppels.
6
Abstract From the double slit experiment with electrons one can conclude that electrons are not only particles, but also have a wave behavior. A problem arises when the electrons are detected through which slit they passed, the interference pattern disappears. To understand this quantum process a simulation is made with bouncing oil droplets above a vibrating liquid. These droplets were directed towards a double slit and the same interference pattern appeared as it were electrons. Further observation of the bouncing droplets gave more understanding of other quantum effects as discrete electron orbits, the tunnel effect and the Pauli exclusion principle.
7
8
Hoofdstuk 1 Het elektron als golf
1.1 Ontdekking van het elektron als deeltje In de 18de eeuw begonnen experimenten met een gloeiende lichtbundel tussen een spanningsverschil in een gas [16]. Naast het feit dat de bundel door magneten beïnvloed kon worden vond er impulsoverdracht plaats als er een molentje in de bundel geplaatst werd. Dit leidde samen met de lading-massa verhouding tot het besef dat het om deeltjes zou kunnen gaan, mede omdat de lading gequantiseerd bleek. Deze deeltjes werden elektronen genoemd.
1.2 Ontdekking van licht als golfverschijnsel In de 19de eeuw bleek uit de wetten van Maxwell in vacuüm dat deze als golfvergelijking in de voortplantingsrichting geschreven konden worden. 1 𝜕𝜕2 𝐸𝐸
𝑐𝑐 2 𝜕𝜕𝑡𝑡 2
=
𝜕𝜕2 𝐸𝐸 𝜕𝜕𝑥𝑥 2
(1.1)
Met E het elektrisch veld en c de lichtsnelheid. Omdat deze vergelijking bekend was uit de klassieke mechanica en golven als oplossing geeft, werd aangenomen dat licht als golf beschreven kon worden.
1.3 Fotonen als deeltjes In 1905 werd echter door Einstein met het foto elektrisch effect aangetoond dat licht ook uit gequantiseerde deeltjes moesten bestaan volgens:
𝐸𝐸 = ℎ𝑓𝑓
(1.2)
Met h de constante van Planck en f de frequentie van het licht.
1.4 Hypothese van de Broglie Omdat de lichtsnelheid in elk stelsel met een constante snelheid dezelfde waarde bleek te hebben volgde de relativistische impuls p (1.3) en de massa-energie relatie (1.4):
𝑝𝑝 = 𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾𝛾
(1.3) 9
𝐸𝐸 = 𝛾𝛾𝛾𝛾𝑐𝑐 2
(1.4)
Met 𝛾𝛾 de Lorentz factor, m de massa en v de snelheid van massieve deeltjes. Door de laatste vergelijking te kwadrateren kan met de relativistische impuls de volgende vergelijking verkregen worden:
𝐸𝐸 2 = 𝑝𝑝2 𝑐𝑐 2 + 𝑚𝑚2 𝑐𝑐 4
(1.5)
Hoewel fotonen massaloos zijn, kan hiermee toch de impuls ervan bepaald worden:
𝑝𝑝 =
𝐸𝐸 𝐶𝐶
(1.6)
De Broglie kwam op het idee om deze impuls ook te gebruiken voor deeltjes met massa, zodat deze net als licht als een golf beschreven kan worden. Hiervoor is het zinvol eerst een oplossing van de golfvergelijking (1.1) te vinden:
𝐸𝐸 = cos(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝜔𝜔𝜔𝜔)
(1.7)
Hierin is k het golfgetal en ω de hoekfrequentie. Door (1.7) in te vullen in (1.1) kan een relatie tussen het golfgetal en de golflengte λ gevonden worden:
𝜆𝜆 =
2𝜋𝜋 𝑘𝑘
(1.8)
Uit die substitutie volgt bovendien een uitdrukking voor de hoekfrequentie :
𝜔𝜔 = 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋
(1.9)
Door nu (1.2) in (1.6) in te vullen kan met vergelijking (1.8) en (1.9) de golflengte van deeltjes met massa bepaald worden:
𝜆𝜆 =
ℎ
𝑝𝑝
(1.10)
Met deze vergelijking kunnen elektronen naast dat ze deeltjes zijn dus ook als een golf beschouwd worden. Het golfverschijnsel van elektronen kan het best aangetoond worden met het dubbele spleet experiment. Hoewel dit experiment al rond 1930 bedacht is, werd het pas in 2012 uitgevoerd met lage in intensiteit [13]. Het idee van dit experiment is dat net als bij fotonen een interferentie patroon ontstaat achter de twee spleten, zie figuur 1.1.
10
Figuur 1.1 Weergave van het twee spletenexperiment en het verkregen interferentie patroon [15]. Het weergegeven interferentie patroon wordt binnen de natuurkunde herkend als de samenkomst van twee golven die elkaar op verschillende plekken versterken of uitdoven (fig 1.2).
Figuur 1.2 Het bleek echter dat als waargenomen wordt door welke spleet het elektron gegaan is dat het interferentiepatroon verdween. Om dit fenomeen te onderzoeken is een simulatie gemaakt van dit experiment met stuiterende olie druppels.
11
1.5 Golfvergelijking met massa Voor de hypothese van de Broglie werd in vergelijking 1.5 de massa op nul gesteld. Door deze massa mee te nemen kan de golfvergelijking (1.1) uitgebreid worden met een massa term zodat de Klein-Gordon vergelijking ontstaat [5]. 𝜕𝜕2 𝜓𝜓 𝜕𝜕𝑡𝑡 2
− 𝑐𝑐 2
𝜕𝜕2 𝜓𝜓 𝜕𝜕𝑥𝑥 2
=
𝑚𝑚2 𝑐𝑐 4 ℏ2
𝜓𝜓
(1.11)
Deze massaterm kan met de hypothese van de Broglie omgeschreven worden zodat de aandrijfhoekfequentie van het bad de rol van massa overneemt: 𝜕𝜕2 𝜓𝜓 𝜕𝜕𝑡𝑡 2
−
met ω0 de aandrijfhoekfrequentie.
2
𝜕𝜕 𝜓𝜓 𝑐𝑐 2 2 𝜕𝜕𝑥𝑥
= 𝜔𝜔20 𝜓𝜓
(1.12)
12
Hoofdstuk 2 Druppels als golf-deeltje dualiteit 2.1
Overeenkomsten tussen fotonen en elektronen.
Zoals in het vorige hoofdstuk beschreven, kunnen fotonen en elektronen naast een deeltjes karakter ook als een golf beschreven worden. Het idee van een deeltje dat begeleid word door een golf wordt in dit hoofdstuk toegelicht.
2.2
Het stuiterproces van oliedruppels
Figuur 2.1 Een stuiterende oliedruppel [5].
13
Een simulatie van quantum effecten kan bereikt worden door druppels te laten stuiteren boven een trillend vloeistof oppervlak (Fig. 2.2). De beste resultaten hiervoor werden bereikt met siliconen olie vanwege de lage oppervlaktespanning, verdamping en hoge viscositeit. Met deze eigenschappen kan het contact tussen de druppel en het vloeistofoppervlak dermate kort gemaakt worden dat er geen samensmelting plaatsvindt. In dit oppervlak kunnen bij bepaalde frequenties staande golven gemaakt Figuur 2.2 Het trillende bad worden. Door het bad net onder deze frequentie te met daarboven de olie druppel laten bewegen bleek het mogelijk om druppels van diezelfde vloeistof voor lange tijd te laten stuiteren (fig 2.1). Als de druppel met de helft van de frequentie van het bad stuitert, dan zullen de uitgezonden circulaire golven die ontstaan bij de landing gereflecteerd worden tegen het extra verhoogde vloeistof oppervlak. Bij een lage amplitude landt de druppel precies in z`n eigen golfdal waar de oppervlakte horizontaal is. Hierdoor is het mogelijk door deze Bragg-reflectie de druppel min of meer op de zelfde plaats te laten stuiteren (fig 2.3). Als de amplitude verhoogd wordt vind de landing niet meer in een golfdal plaats waardoor deze onder een hoek wordt weg geketst. Het blijkt dat hiermee een constante horizontale beweging van de druppel bereikt kan worden.
Figuur 2.3 Verloop van het stuiteren van de druppel in de tijd. In deze weergave is te zien dat de druppel met de helft van de frequentie van het bad stuitert. De letters corresponderen met de foto`s in figuur 2.1.
2.3 Interactie met de randen van het bad Omdat de circulaire golven ook tegen de randen van het bad aan komen zal er een afbuiging plaatvinden als een druppel de rand nadert. Via stroboscopische analyse kan de snelheid uitgezet worden tegen de afstand tot de rand. Een lineair verband werd gevonden door de loodrechte gekwadrateerde snelheid uit te zetten tegen de reciproque afstand tot de rand (fig 2.4).
14
Figuur 2.4 Verband tussen de loodrechte snelheid (V┴) en afstand (r) tot de rand van het bad, dat zich aan de rechterzijde bevindt [5].
Omdat de loodrechte snelheid naar de rand toe groter is dan wanneer de druppel van de rand af beweegt zal de hoek van inval met de rand groter zijn dan de hoek van afbuiging. Het pad van de druppel zal dan in een rechthoekig bad weer een min of meer rechthoekig traject afleggen (fig 2.3).
Figuur 2.5 Traject van een stuiterende druppel in een rechthoekig bad. De stippen corresponderen met de maximale hoogte van de druppel [5]. 15
In deze traject weergave lijkt het alsof er een afstotende kracht van de randen is. Deze is te berekenen met behulp van figuur 2.3. Uit de rechte delen van de trajecten van figuur 2.3 is een plaats afhankelijke snelheid te bepalen volgens:
𝑣𝑣⟘2 = 𝑣𝑣02 −
𝐵𝐵
(2.1)
𝑟𝑟
Hierin is v⟘ de loodrechte snelheid ten opzichte van de rand en B is de helling behorend de verschillende takken van de grafiek. De afstotende kracht is nu te bepalen doordat deze volgens de tweede wet Newton evenredig is met de versnelling:
𝐹𝐹 = 𝑚𝑚𝑚𝑚
(2.2)
Deze versnelling is weer te berekenden door de tijdsafgeleide van de snelheid te berekenen:
𝑎𝑎 =
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕
=
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕
=
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝑣𝑣 =
1 𝜕𝜕𝑣𝑣 2 2 𝜕𝜕𝜕𝜕
(2.3)
Hiermee kan door de plaats afgeleide van (2.1) te nemen een verband tussen de kracht en de afstand tot de rand gevonden worden:
𝐹𝐹 ∝
𝐵𝐵
𝑟𝑟 2
(2.4)
Hieruit blijkt dat de afstotende kracht invers-kwadratich is met de afstand tot de rand. Dit komt overeen met de Coulomb of zwaarte kracht tussen elektronen.
2.4 Klein-Gordon vergelijking Voor de ontstane golven in het bad blijkt het mogelijk de golfvergelijking met massa op te stellen, waarbij c nu niet de lichtsnelheid is, maar snelheid van de golven door het medium. De constante van Planck blijft het product van de golflengte en zijn impuls, maar omdat die nu een andere waarde krijgt wordt er de letter b voor genomen. In vergelijking 1.7 is een oplossing gegeven van de golfvergelijking in één dimensie. Voor radieële golven voldoet de volgende oplossing:
Met
𝛹𝛹 = 𝜓𝜓𝜓𝜓
(2.5)
𝜓𝜓 = 𝜓𝜓0 cos(𝜔𝜔0 𝑡𝑡)
(2.6)
16
𝜒𝜒 =
sin(𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑟𝑟)
(2.7)
𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑟𝑟
Met r de straal, kr het radieële golfgetal en 𝜔𝜔0 de aandrijfhoekfrequentie. De akoestische Lorentz transformatie geeft voor deze factoren: 𝜓𝜓 = 𝜓𝜓0 cos(−𝜔𝜔0 𝑡𝑡 ′ )
𝜒𝜒 =
(2.8)
sin(𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑟𝑟 ′ )
(2.9)
𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑟𝑟 ′
Dit mag omdat bij constante snelheid de schaalvergroting genegeerd mag worden [5]. Bovendien geldt dat voor deze bewegende oplossing vergelijking 1.7 herschreven kan worden tot: 𝜓𝜓 = 𝜓𝜓0 cos(𝑘𝑘 ⋅ 𝑥𝑥 − 𝜔𝜔𝜔𝜔)
(2.10)
Met de Lorentz transformatie kunnen de waardes van k en 𝜔𝜔 gevonden worden:
𝑘𝑘 =
𝛾𝛾𝜔𝜔0 𝑐𝑐 2
𝜔𝜔 = 𝛾𝛾𝜔𝜔0
𝑣𝑣𝑥𝑥
(2.12)
Met 𝛾𝛾 de Lorentzfactor. Hiermee kan de golflengte bepaald worden volgens:
𝜆𝜆 =
2𝜋𝜋 𝑘𝑘
=
2𝜋𝜋𝑐𝑐 2 𝜔𝜔𝑣𝑣𝑥𝑥
=
(2.11)
𝑏𝑏
𝑝𝑝
(2.13)
met b de nieuwe constante van Planck. Voor lage snelheden kan een benadering gemaakt worden voor vergelijking 1.5:
𝐸𝐸 = 𝐸𝐸0 �1 +
𝑝𝑝2 𝑐𝑐 2 𝐸𝐸02
≈ 𝐸𝐸0 +
𝑝𝑝2
2𝑚𝑚0
(2.14)
De heren doen nu iets geks om deze Newtoniaanse bewegingsvergeling toe te passen. De afstotende kracht van de interactie wordt in de vorm van een potentiaal toegevoegd. 𝐸𝐸 = 𝑚𝑚𝑐𝑐 2 − 𝑉𝑉
(2.15)
Nu kan een differentiaalvergelijking opgesteld worden met vergelijking 2.8 als oplossing: 𝜕𝜕2 𝜓𝜓 𝜕𝜕𝑡𝑡 2
= −𝜔𝜔20 𝜓𝜓
(2.16)
Als deze vergelijking met de juiste energie uitgebreid wordt voor een bewegend deeltje, moet er een Lorentz covariante vergelijking zijn die in het stationaire geval reduceert tot de bovenstaande differentiaalvergelijking. 𝜕𝜕2 𝜓𝜓
2
2 𝜕𝜕 𝜓𝜓 − 𝑐𝑐 𝜕𝜕𝑡𝑡 2 𝜕𝜕𝑥𝑥 2
= 𝜔𝜔02 𝜓𝜓
(2.17) 17
Dit is weer gelijk aan vergelijking 1.12 die in deze vorm ook wel de Klein –Gordon vergelijking genoemd wordt.
2.5 Analogie met de Schrödinger vergelijking Als de horizontale snelheid van de druppel niet constant is, maar wel kleiner dan de golfsnelheid in het bad dan is het mogelijk de golfvergelijking in een vorm te schrijven die veel gelijkenis vertoont met de Schrödinger vergelijking. Hiervoor wordt zoals zij [12] het doen vergelijking 2.8 met Lorenztransformatie omgeschreven naar een snelheid in de x richting 𝑣𝑣𝑣𝑣𝜔𝜔0
𝜓𝜓 = 𝜓𝜓0 cos �
𝑐𝑐 2
− 𝜔𝜔0 𝑡𝑡� = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅(𝜃𝜃 − 𝜔𝜔0 𝑡𝑡)
(2.19)
Waarbij bij lage snelheden geldt dat γ = 1. Dit kan uitgebreid worden voor een snelheid in een willekeurige richting:
𝜈𝜈 =
𝑐𝑐 2
𝜔𝜔0
𝜵𝜵𝜃𝜃
(2.20)
Vergelijking 2.19 kan nu analytisch gecontinueerd worden in het complexe vlak: 𝜓𝜓𝑠𝑠 = 𝑅𝑅𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖
(2.21)
𝜓𝜓 = 𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝜔𝜔0 𝑡𝑡 𝜓𝜓𝑠𝑠 )
(2.22)
De oorspronkelijke golffunctie wordt nu verkregen door het reële deel te nemen van de in het complexe vlak roterende ψs
Nu voldoet ψ aan de Klein-Gordon vergelijking (1.12) en wordt er naar een oplossing gezocht waarbij het reële en het imaginaire deel van wat hierboven tussen haakjes staat voldoen aan dezelfde vergelijking. Omdat de snelheid laag is mag de dubbele tijdsafgeleide genegeerd worden en zal de volgende vergelijking daaraan voldoen:
𝑖𝑖
𝜕𝜕𝜓𝜓𝑠𝑠 𝜕𝜕𝑡𝑡
=−
De laatste stap gaat met vergelijking 2.15:
𝑐𝑐 2
2𝜔𝜔0
𝛻𝛻 2 𝜓𝜓𝑠𝑠
𝐸𝐸 = 𝑚𝑚0 𝑐𝑐 2 − 𝑉𝑉 = Ѣ𝜔𝜔0
(2.23)
(2.24)
met Ѣ = b/2π als analogon met de constante van Planck. Als vergelijking 2.24 wordt ingevuld in vergelijking 2.23 dan ontstaat:
𝑖𝑖Ѣ
𝜕𝜕𝜓𝜓𝑠𝑠 𝜕𝜕𝑡𝑡
=�−
Ѣ2
2𝑚𝑚0
𝛻𝛻 2 + 𝑉𝑉� 𝜓𝜓𝑠𝑠
(2.25)
Dit is dezelfde vergelijking als de Schrödinger vergelijking uit de quantummechanica met als enige verschil een Ѣ in plaats van een ℏ. 18
Hoofdstuk 3 Quantummechanische simulaties 3.1 Mogelijke experimenten met stuiterende oliedruppels Nu bekend is hoe druppels over een oppervlakte bewegen en wat hun interactie met de rand is kunnen verschillende experimenten gedaan worden die lijken op quantumfysische verschijnselen. In de volgende paragraaf wordt uitgelegd hoe de gequantiseerde elektronbanen om de atoomkern met een druppel zichtbaar gemaakt kunnen worden. Vervolgens kan de rand zo aangepast worden zodat er een soort tunnel effect op treedt. Met meerdere druppels kan inzicht verkregen worden in het Pauli uitsluitingsprincipe en tenslotte kunnen er meerdere druppels naar een dubbele spleet in de rand geleid worden.
3.2 Ontstaan van gequantiseerde banen om een middelpunt Het besef van gequantiseerde elektron banen ontstond met door de verschijning van spectraallijnen in het emissiespectrum van een gloeiend zuiver gas. De redenatie hierbij was dat als de spectraallijnen gediscrediteerd zijn dat die afkomstig moeten zijn van fotonen die tussen vaste elektronbanen terug vallen (fig 3.1). Dit atoommodel kan gesimuleerd worden met het trillende oliebad en kan inzicht geven in het kans proces voor elektronen dat een rol speelt in de quantummechanica.
Figuur 3.1 Lijnenspectra in verband met discrete elektronbanen Als de druppel in een cirkelvormig bad een route aflegt dan lijkt deze in eerste instantie chaotisch van aard (fig 3.2). 19
Door de snelheid van de druppel bij te houden bleek dat deze gecorreleerd was met verschillende vaste afstanden van het middelpunt. Als de snelheid in deze cirkelvormige gebieden lager is kan dit ook geïnterpreteerd worden alsof de verblijfstijd daar hoger is.
Figuur 3.2 Het pad van een druppel waarvan de kleur correspondeert met zijn snelheid.
Als de verblijfstijd per oppervlak gedeeld wordt door de totale tijd kan men spreken over de verwachting de druppel aan te treffen op dat gebied. Dit is ook bekend uit de quantumfysica waarbij kansdichtheidsfuncties bepalen wat de waarschijnlijkheid is een deeltje ergens aan te treffen (fig 3.3).
Figuur 3.3 Quantummechanische kansdichtheid voor elektronen om de kern. Hierin zijn twee gequantiseerde banen te onderscheiden.
20
3.3 Het tunnel effect Energie kan onderverdeeld worden in potentiele en bewegingsenergie. Omdat de som van deze constant is kunnen er natuurlijke verschijnselen mee berekend worden. Zo kan de snelheid (bewegingsenergie) van een bal berekend worden als deze van een berg met een bepaalde hoogte (potentiele energie) afrolt. Andersom kan berekend worden hoe hoog de bal op de berg komt bij en bepaalde beginsnelheid. Klassiek gezien zal de bal niet aan de andere kant van de berg komen als zijn bewegingsenergie te laag is, omdat hij immers over de berg heen moet. Quantummechanisch blijkt het mogelijk om met een te lage bewegingsenergie toch aan de andere kant van de berg terecht te komen via het tunnel effect. Een voorbeeld hiervan is radioactief verval. Twee protonen die positief geladen zijn zullen elkaar afstoten door de coulombkracht, er is echter ook een kernkracht die hen op korte aftand aan elkaar bindt. Er ontstaat dan een potentiaal minimum waarbinnen het gebonden proton zich kan bevinden (fig 3.4). Als zijn energie negatief is zullen de protonen permanent gebonden zijn en als de energie meer is dan de zogenaamde Coulomb barrière dan zullen de protonen vrijwel direct van elkaar af bewegen. Daartussen bevindt zich een gebied, van 0 V tot aan de Coulomb barrière waarin tunnelen kan plaatsvinden. Het proton heeft dan te weinig energie om op de Figuur 3.4 Radieel potentiaalverloop Coulomb barrière te komen, maar het heeft tussen protonen. wel de mogelijkheid door die barrière heen tunnelen. Een soortgelijk proces speelt een rol bij radioactief verval, waardoor er door dit kans proces een gemiddelde duur uitgerekend kan worden voordat een atoom vervalt.
Een dergelijk proces kan gesimuleerd worden met een trillend olie bad met daarboven een stuiterende druppel. In hoofdstuk 2 is besproken dat de rand van het bad een afstotende kracht induceert. Deze afstoting kan ook bereikt als worden door een barrière in het bad te plaatsen, waardoor het bad plaatselijk ondieper wordt (fig 3.5b). De hoogte van de barrière wordt constant gehouden en de breedte wordt gevarieerd. Als de kans dat een druppel over de barrière heen gaat uitgezet wordt tegen de breedte van de barrière, blijkt dat deze exponentieel afneemt bij toenemen de breedte(fig 3.5b). Deze exponentiele afname over de Potentiaalbreedte wordt ook waargenomen in het tunnelproces in Figuur 3.5 Exponentiele kans afname quantumphysica.
bij toenemende breedte van de barrière [5].
21
3.4 Uitsluitingsprincipe van Pauli Volgens het atoommodel dat in paragraaf 3.2 besproken is bewegen elektronen in discrete banen om de kern. Omdat de baan die het dichtst bij de kern ligt overeenkomt met de laagte energie is te verwachten dat, zeker bij lage temperaturen, alle elektronen in de laagste baan zouden zitten. Dit komt echter niet voor. Het blijkt dat elektronen zich houden aan het uitsluitingsprincipe van Pauli. Dit stelt dat deeltjes met massa zich niet in de zelfde toestand (baan en spin oriëntatie) kunnen bevinden. Als bijvoorbeeld een elektron met spin omhoog in een baan zit met een elektron met spin omlaag, dan wordt een derde elektron uit gesloten zich in diezelfde baan zich te bevinden. Een stuiterende olie druppel zal door de Bragg-reflectie een andere druppel aantrekken. Als deze hun minimale aftand tot elkaar bereikt hebben kunnen er twee dingen gebeuren. In het eerste geval blijven ze stationair naast elkaar stuiteren en behouden hun aantrekkende kracht, zodat een derde druppel zich erbij kan voegen. In het andere geval gaan de druppels horizontaal om elkaar heen bewegen, zie figuur 3.6.
Figuur 3.6 Als er een druppel een stationaire druppel nadert kunnen er twee dingen gebeuren. In het linker geval gaan de twee druppels naast elkaar stuiteren en kan een derde druppel toegevoegd worden. In het rechter geval gaan de druppels om elkaar hen draaien en wordt een derde druppel afgestoten.
In dat geval werkt de Bragg reflectie omgekeerd en zal het paar een afstotende kracht genereren, zodat er geen derde druppel aan het paar gebonden kan worden. In dit laatste geval zou je kunnen spreken over een uitsluitingsprincipe, omdat er wel twee deeltjes in dezelfde baan om elkaar kunnen heen draaien, maar een derde deeltje wordt daarvan uitgesloten. 22
3.5 Dubbele spleet experiment In het eerste hoofdstuk is uitgelegd hoe elektronen een interferentie patroon weergeven na het passeren van een dubbele spleet. Omdat dit het golfkarakter van elektronen aan toont is dit goed te simuleren met het trillende oliebad. Om het effect van een dubbele spleet te onderzoeken wordt eerst een enkele spleet van 7 cm in een barrière in het bad gebruikt.
Figuur 3.7 Histogram voor 125 druppels bij spleetbreedte 7 cm (links) en 5 cm (rechts) Naar deze spleet werden van grote afstand één voor één druppels geleid. Vervolgens werd geteld hoeveel druppels er per 50 de spleet verlieten. Na 125 druppels is een histogram gemaakt (fig 3.7a) waarin een interferentie patroon te voorschijn komt. Door de spleet smaller te maken werd waargenomen (fig 3.7b) dat net als bij fotonen de maxima dichter bij elkaar kwamen te liggen. De gefitte zwarte lijn kan beschreven worden met de volgende vergelijking [12]:
𝑓𝑓1 (𝛼𝛼 ) = �
sin(𝜋𝜋𝜋𝜋 sin 𝛼𝛼/𝜆𝜆𝐹𝐹 ) 𝜋𝜋𝜋𝜋 sin 𝛼𝛼/𝜆𝜆𝐹𝐹
�
(3.1)
Met L de breedte van de spleet, 𝛼𝛼 de hoek en 𝜆𝜆F de golflengte van het trillende bad. Deze formule wordt ook gevonden in het geval dat er fotonen door een spleet gaan. Voor het dubbele spleet experiment werden de druppels een voor een richting een dubbele spleet in een barrière in het bad geleid. Als het aantal druppels geteld wordt die onder een bepaalde hoek de dubbele spleet verlaten, dan kan een histogram gemaakt worden, waarin het interferentie patroon van de druppels zichtbaar wordt (fig 3.8)
23
Figuur 3.8 Histogram voor 75 druppels na een dubbele spleet
Hierin voldoet de gefitte zwarte lijn aan een de volgende vergelijking [12]:
𝑓𝑓2 (𝛼𝛼) = 𝑓𝑓1 cos(𝜋𝜋𝜋𝜋 sin 𝛼𝛼/𝜆𝜆𝐹𝐹 )
(3.2)
Met f1 de fit van een enkele spleet en d de afstand tussen de spleten. Deze formule komt overeen met de hoekdispersie die gevonden is bij het dubbele spleetexperiment met elektronen [12].
24
Conclusie De discussie of elektronen en fotonen als deeltjes of als golven beschreven kunnen worden is helaas niet opgelost met dit onderzoek. Het bleek wel mogelijk enkele quantummechanische verschijnselen te simuleren met stuiterende olie druppels. De Klein-Gordon en de Schrödinger vergelijking voor stuiterende oliedruppels bleken veel overeenkomsten te hebben met die vergelijkingen uit de quantummechanica. De quantisatie van de elektronbanen bleek wel op te treden , maar de posities van de banen waren niet hetzelfde als in een echt atoom. Dit zou ook onderzocht kunnen worden met druppels in een roterend bad. Bij het tunnelproces bleek de tunnelkans net als in de quantummechanica exponentieel af te nemen met de barrière breedte. In het quantummechanische proces gaat het om een potentiaal verschil, dus zou je verwachten dat in dit experiment de tunnelkans af zou hangen met de hoogte van de barrière. Het Pauli uitsluitingsprincipe kon goed gesimuleerd worden, maar dit dient nog uitgebreid te worden met roterende druppels rond een zwaardere stationaire druppel. Bij het dubbele spleet experiment bleek met druppels eenzelfde interferentiepatroon te ontstaan als bij het dubbele spleet experiment met elektronen. Verder zou het mogelijk moeten zijn om covalente bindingen tussen atomen te simuleren, waardoor uiteindelijk ook moleculen bestudeert kunnen worden. Ten slotte blijkt het ook mogelijk een metaalrooster te maken bestaande uit tientallen stationair stuiterende druppels met daartussen veel lichtere druppels die als elektronen daar doorheen bewegen.
25
Referenties [1]
R. Brady & R. Anderson. (2015).Maxwell`s fluid model of magnetism.
[2]
Y. Couder & E. Fort. (2006).Single-particle diffraction and interference at a macroscopic scale. Physical revieuw letters, 97(15), 154101.
[3]
Y. Couder. (2005) Walking and orbiting droplets. Nature, 437
[4]
A. Eddi, E. Fort, F. Moisly and Y. Couder.(2009) Unpredictable tunneling of a classical wave-particle association. Physical review letters, 102(24):240401
[5]
R. Brady, R. Anderson. (2013). Analogue Physics, A student`s guide to waves in an ideal fluid. Draft version 0.5
[6]
Y. Couder, E. Fort, C. Gautier & A. Boudaoud.(2005). From bouncing to floatin: Noncoalescene of drops on a fluid bath. Physical review letters, 94(17), 177801
[7]
R. Brady (2013) The irrotational motion of a compressible inviscid fluid.
[8]
A. Eddi, E. Sultan, J. Moukhtar, E. Fort, M. Rossi & Y. Couder. Information stored in faraday waves: the origin of a path memory.
[9]
E. Fort, A. Eddi, A. Boudaoud, J. Moukhtar & Y. Couder (2010). Path-memory induced quantization of classical orbits. Proceedings of the National Academy of sciences, 107(41), 17515-17520
[10]
D. Terwagne, F. Ludewig, N.Vandewalle & S. Dorbolo (2013) PACS 47.55
[11]
C. Hong-Y &F. Hsiang-Ting. (2014)Vortex-mediated bouncing drops on an oscillating liquid. PhysrevE.89.063011
[12]
R. Brady & R. Anderson(2014) Why bouncing droplets are a pretty good model of quantum mechanics. Quant-ph 1401.4356v1
[13]
R. Bach, D. Pope, L.Sy-Hwang & H. Batelaan (2013) Conntrolled double-slit electron diffraction. New Journal of Physics 15 (7pp) 033018
[14]
E. Grundeman, M.Mooij, M. vd Ende (2014) Quantumgedrag bij stuiterende oliedruppels. 2de jaars practicum
[15]
Z. Meraly (2015) A Wave of experiments is probing the root of quantum weirdness. Nature, 278
[16]
H. M. Leicester (1971). The Historical Background of Chemistry. Courier Dover. pp. 221–222. ISBN 0-486-61053-5.
26
