´ I´ ZVUKOVYCH ´ U ´ ˚ NIZK ´ E ´ UROVN ´ ˇ KVANTOVAN SIGNAL E Quantization of acoustic low level signals David Burs´ık, Miroslav Lukeˇs£
Abstrakt Pˇri testov´an´ı kvality A/D pˇrevodn´ık˚u se pouˇz´ıvaj´ı nejr˚uznˇejˇs´ı testovac´ı sign´aly. Tato pr´ace se zab´yv´a kvantov´an´ım vzork˚u sinusov´eho sign´alu o amplitudˇe v rozsahu +/-3 kvantovac´ı kroky. Anal´yza v kmitoˇctov´e oblasti ukazuje vznik harmonick´ych sloˇzek a jejich moˇzn´y v´yskyt v z´akladn´ım kmitoˇctov´em p´asmu (1. Nyquistova z´ona).
Abstract Various testing signals are used for quality testing of A/D converters. This work deals with quantization of samples of sinus signal with amplitude in range +/-3 quantization steps. When analysing in frequency domain we can see harmonics components and their appearance in basic frequency domain (first Nyquist zone).
´ Uvod Rozd´ıl mezi analogovou u´ rovn´ı sign´alu na vstupu a kvantovanou u´ rovn´ı sign´alu na v´ystupu analogovˇe-ˇc´ıslicov´eho pˇrevodn´ıku tvoˇr´ı kvantizaˇcn´ı chybu . Sign´al na vstupu kvantizaˇcn´ıho procesu m˚uzˇ eme napsat ve tvaru
(1)
je kvantizaˇcn´ı chyba. kde je v´yraz pro vyj´adˇren´ı kvantizaˇcn´ıho procesu a Pr˚ubˇeh kvantizaˇcn´ı chyby lze graficky zn´azornit pomoc´ı tzv. pilov´e funkce. Jelikoˇz se jedn´a o periodickou funkci s periodou rovnou kvantizaˇcn´ımu kroku , lze pro stanoven´ı analytick´eho v´yrazu pro jej´ı v´ypoˇcet pouˇz´ıt vztahy platn´e pro Fourierovy komplexn´ı ˇrady. Anal´yza funkce pomoc´ı Fourierov´ych ˇrad je v´yhodn´a z toho d˚uvodu, zˇ e z v´ysledn´eho vztahu n´am pˇr´ımo vyplynou jednotliv´e harmonick´e sloˇzky a jejich amplitudy, kter´e vznikaj´ı v pr˚ubˇehu kvantov´an´ı sign´alu a zp˚usobuj´ı vznik chybov´eho sign´alu.
½
½
David Burs´ık, Miroslav Lukeˇs, Katedra radioelektroniky, FEL
(2)
ˇ CVUT Praha, Technick´a 2, 166 27, Praha 6 tel. 02/2435 2111, e-mail:
[email protected],
[email protected]
84
kde m˚uzˇ eme napsat ve tvaru
dosazen´ım rovnice (3) do (2) dostaneme
½
½
pro kvantovan´y sign´al vypl´yv´a
½
½
½
(3)
(4)
(5)
v pˇr´ıpadˇe, zˇ e kvantovan´y sign´al obsahuje jednu harmonickou sloˇzku o amplitudˇe A a u´ hlov´em kmitoˇctu
(6)
bude vypadat rovnice kvantovan´eho sign´alu podle rovnice (5) takto
½
(7)
z rovnice je patrn´e, zˇ e sign´al obsahuje z´akladn´ı harmonickou a d´ale sloˇzky kmitoˇctovˇe z´avisl´e, kter´e vznikly vlivem kvantovac´ıho procesu. K u´ pravˇe t´eto rovnice pouˇzijeme Jacobiho rozvoj˚u funkce typu . Pouˇzit´ım tˇechto rozvoj˚u dostaneme pro kvantovan´y sign´al v´yraz
nebo
½
½
½
½
kde je Besselova funkce prvn´ıho druhu a ˇra´ du .
85
(8)
(9)
Spektrum kvantovan´eho harmonick´eho sign´alu Ze vztahu (9) je patrn´e, zˇ e spektrum chybov´eho sign´alu obsahuje pouze lich´e harmonick´e sloˇzky, jelikoˇz kvantizaˇcn´ı funkce je funkce t´ezˇ lich´a. Tento vztah je teoretick´ym vyj´adˇren´ım amplitud harmonick´ych sloˇzek vznikl´ych pˇri kvantov´an´ı sign´alu. Obr.1 zn´azorˇnuje pokles amplitud vyˇssˇ´ıch harmonick´ych kvantovan´eho harmonick´eho sign´alu s amplitudou +/-3q v˚ucˇ i prvn´ı harmonick´e. Sign´al o t´eto amplitudˇe m´a jiˇz nezanedbateln´y vliv na spektrum v z´akladn´ım p´asmu. Jak je patrn´e z obr.1 je odstup vyˇssˇ´ıch harmonick´ych kolem -40dB. Harmonick´e sloˇzky jsou vypoˇc´ıt´any do 60-t´e harmonick´e. 0
−10
−20
A[dB]
−30
−40
−50
−60
−70
−80
0
10
20
30 n−tá harmonická
40
50
60
Obr. 1 Amplitudy parazitn´ıch harmonick´ych sloˇzek kvantovan´eho sinusov´eho sign´alu o amplitudˇe +/- 3q
V pˇr´ıpadˇe, zˇ e kvantovan´y harmonick´y sign´al navzorkujeme
½
½
Æ
(10)
kde je vzorkovac´ı perioda, dostaneme po Fourierovˇe transformaci v´yraz, kter´y popisuje spektrum navzorkovan´eho sign´alu
½
½
(11)
kde je spektrum analogov´eho sign´alu Toto spektrum je periodick´e podle vzorkovac´ı frekvence . D´ıky t´eto periodicitˇe zaˇcne b´yt spektrum kvantovan´eho sign´alu v z´akladn´ım p´asmu (1. Nyquistovˇe z´onˇe) ovlivˇnov´ano spektrem z ostan´ıch Nyquistov´ych z´on.
86
Spektrum vzorkovan´eho kvantovan´eho harmonick´eho sign´alu Na obr. 2 je zn´azornˇen vzorkovan´y kvantovan´y harmonick´y sign´al a p˚uvodn´ı analogov´y sign´al. −4
1
Sinusoida nakvantovana s krokem +/−3 kvantizacni kroky
x 10
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0
5
10
15
20
25
30
35
vzorky
Obr. 2 analogov´y a kvantovan´y harmonick´y sign´al o amplitudˇe +/- 3q
Provedeme-li Fourierovu transformaci tohoto diskr´etn´ıho sign´alu, dostaneme spektrum, kter´e je na obr. 3. 0
−5
−10
pokles [dB]
−15
−20
−25
−30
−35
−40
−45
0
5
10
15
20
25
30
35
harmonicke
Obr. 3 Spektrum vzorkovan´eho harmonick´eho sign´alu o amplitudˇe +/- 3q
Jednotliv´e harmonick´e sloˇzky jsou zn´azornˇeny jako pokles amplitudy v˚ucˇ i 1. harmonick´e. Z obr. 3 je patrn´e, zˇ e harmonick´e sloˇzky v 1. Nyquistovˇe z´onˇe maj´ı sv´e obrazy v 2. Nyquistovˇe z´onˇe. 87
Anal´yza teoretick´eho v´ypoˇctu spektra kvantovan´eho harmonick´eho sign´alu Jak je patrn´e z obr. 1 a 3, vzorkov´an´ım kvantovan´eho harmonick´eho sign´alu dojde ke zmˇenˇe jeho spektra. Podle vztahu
(12)
kde jsou vzorky spektra kvantovan´eho harmonick´eho sign´alu vypoˇc´ıt´an´e podle vztahu (9), jsou vzorky vzorkovan´eho kvantovan´eho harmonick´eho sign´alu, uvaˇzovan´y poˇcet vzork˚u na periodu a poˇcet z´on mezi jednotliv´ymi , jsme schopni dopoˇc´ıtat ze vztahu (9) spektrum vzorkovan´eho sign´alu. Vztah (12) tedy vyjadˇruje pˇrepoˇcet spektra kvantovan´eho sign´alu na spektrum vzorkovan´eho kvantovan´eho sign´alu. Na n´asleduj´ıc´ıch grafech jsou zobrazeny spoˇcten´a spektra pro vzorkovan´y kvantovan´y sign´al s amplitudou +/-3q podle vztahu (12) (symbol x) v porovn´an´ı s v´ypoˇctem FFT (symbol o), jenˇz je implementovan´a v prostˇred´ı MATLAB. Jednotliv´e harmonick´e sloˇzky jsou opˇet zn´azornˇeny jako pokles amplitudy v˚ucˇ i 1. harmonick´e.
Odstup harmonickych slozek od 1. harmonicke 10
0
−10
pokles [dB]
−20
−30
−40
−50
−60
−70
0
5
10
15 harmonicke
20
25
30
Obr. 4 Odstup harmonick´ych sloˇzek od 1. harmonick´e v dB, poˇcet vzork˚u 29
88
Odstup harmonickych slozek od 1. harmonicke 10
0
pokles [dB]
−10
−20
−30
−40
−50
−60
0
5
10
15 harmonicke
20
25
30
Obr. 5 Odstup harmonick´ych sloˇzek od 1. harmonick´e v dB, poˇcet vzork˚u 31
Odstup harmonickych slozek od 1. harmonicke 10
0
pokles [dB]
−10
−20
−30
−40
−50
0
5
10
15
20
25
30
35
harmonicke
Obr. 6 Odstup harmonick´ych sloˇzek od 1. harmonick´e v dB, poˇcet vzork˚u 32
89
Odstup harmonickych slozek od 1. harmonicke 0
−5
−10
−15
pokles [dB]
−20
−25
−30
−35
−40
−45
−50
0
5
10
15
20
25
30
35
harmonicke
Obr. 7 Odstup harmonick´ych sloˇzek od 1. harmonick´e v dB, poˇcet vzork˚u 33
Z´avˇer Byly vybr´any cˇ tyˇri d´elky sign´al˚u a to 29, 31, 32 a 33 vzork˚u. Z graf˚u na obr. 4, 5, 6, 7 jsou vidˇet urˇcit´e rozd´ıly mezi hodnotami harmonick´ych sloˇzek, kter´e byly vypoˇc´ıt´any ze vztahu (12) a Fourierovou transformaci. Nejmenˇs´ıch rozd´ıl˚u z tˇechto sign´alu se dosahuje v pˇr´ıpadˇe d´elky 33 vzork˚u na periodu. Rozd´ıly jednotliv´ych harmonick´ych sloˇzek mohou b´yt zp˚usobeny koneˇcn´ym poˇctem Nyquistov´ych z´on (v naˇsem pˇr´ıpadˇe jsme pouˇzili sˇest Nyquistov´ych z´on, coˇz pˇredstavuje v´ypoˇcet 100 harmonick´ych sloˇzek). Nab´ız´ı se ot´azka kolik Nyquistov´ych z´on bude m´ıt jeˇstˇe vliv na v´ysledn´e spektrum sign´alu v z´akladn´ım p´asmu v z´avislosti na velikosti vstupn´ıho sign´alu, protoˇze odstup harmonick´ych sloˇzek kvantovan´eho sign´alu je silnˇe z´avisl´y na amplitudˇe analogov´eho sign´alu. ˇ Projekt byl podporov´an Grantovou agenturou Cesk´ e republiky, grant cˇ . 102/02/0156. .
Literatura ˇ [1] Kadlec F., Zpracov´an´ı akustick´ych sign´al˚u, skripta CVUT FEL ˇ [2] Hrdina Z., Vejraˇzka F., Sign´aly a soustavy, skripta CVUT FEL
90
