t^
I
1*,
't: ),
i l?t \!
!
"
"*t*rg*i,r,V,:t..i,
qk)
Qmr
.fi
z-
7*,' 4-
MEKANIKA
TEKNIK 2 STATIKASKEGUNAANNYA
,-i
!r
it
BALOK TERUSAN KONSTBUKSI PORTAL STATIS TIOAK TERTENTU PERUBAHAN BENTUK EIASTIS' GARIS PENGARUH
PERBAIKAN
BUKU RUSAK {trH. l9e7 11995
/'1\ JV) YJV
PENERBIT KANISIUS
lr. HEINZ FRICI(
Mekanika Teknik
-
Statika dan Kegunaannya 2
02801 8
Kata pengantar
O Kanisius 1979 PENERBIT KANISIUS (Anggota IKAPI) Jl. Cempaka 9, Deresan, Yogyakarta 55281 Telepon (0274) 88783, Teleks 25243, Fax (0274) 63349 Kotak Pos 1125Nk, Yogyakarta 55011 Cetakan perlama 1979 Cetakan kedua 1981 Cetakan ketiga 1982 Cetakan Cetakan Cetakan PERPUSTAKAA..I DAERAH Cetakan Cetakan 1991 J {W q, Til\{U;{ Cetakan
1e88
ISHO
MILIK
* statika dan kegunaannya ini mencakup sebuah Pengantar ke dalam Metode perhitungan sistim statis tidak tertentu dan sebuah bab tentang garis pengaruh. Lampirannya dengan jumlah tabel-tabel yang cukup luas juga dapat mengisi kekosongan dalam bidang ini di pasaran buku statika. Di samping itu tabel-tabel itu akan berguna sekali dalam praktek. Buku ini ditutup dengan daftar kependekan, daftar istilah penting dan pustaka. Atas dasar kenyataan, bahwa di lndonesia nilai ukuran-ukuran seperti kg, kgi cm2. t, tm dsb. masih berlaku, maka tidak digunakan nilai ukuran-ukuran yang baru seperti N (Newton), KN (Kilonewton) dan MN (Meganewton). Untuk kebutuhan konversi dapat digunakan petunjuk berikut: Gaya-gaya : dasarnyaialahkN (kilonewton) : 1'000 N :0.001 MN Beban : kN/m dan kN/m2 Momen : kNm Jilid kedua buku llmu mekanika teknik
Tegangan
:
N/mm2
Dasar-dadbr Newton dihasilkan dari Fisika, yang menentukan kecepatan jatuh g : 9.80665 rirls2. Diatifrkan dalam bidang pembangunan, yang men{hitung dengan faktor keamanan yang besar. maka 9: 10.0 m/s2 boleh dikatakan cukup teliti. Untuk konversi dapat dikatakan, bahwa:
1kg:1kP=t0N
atau 1t : 1Mp : 10kN
:
0.01 MN dsb.
Ucapan banyak terima kasih saya sampaikan pertama-tama kepdda VEB-Verlag f0r Bauwesen di Berlin, Jerman Timur, yang telah menyerahkan dengan cuma-cuma copyright bab 8. (Perubahan bentuk elastis) dan 9.'(Garis pengaruhl, serta B.G. Teubner Verlag di Stuttgart, Jerman Barat. Kemudian pengajar statika saya, lr. Adam Magyar'di Z0rich, Swis, yang telah memperkenalkan kepada saya rahasia-rahasia statika pada tahun 1962-65, Wakil Pimpinan Pendidikan lndustri Kayu Atas (PIKA) Semarang, Sdr. l. Susmadi, sebagai korektor bahasa lndonesia dan lr. Mlodzik dari Biro lnsinyur Fietz + Leuthold AG di ZUrich, Swis, yang telah rnenyediakan diri meneliti semua rumus dan menghitung kembali contoh-contoh. Perlu ditambahkan di sini, bahwa baik dalam pemelihan bahan maupun dalam susunan kepustakaan diusahakan selengkap mungkin. Semoga buku ini akan bermanfaat sekali bagi para mahasiswa dan para arsitek dalam praktek dan mendapatkan sambutan seperti yang saya harapkan dan yang memberikan kekuatan kepada saya untuk menyelesaikan tugas ini. Kebahagiaan akan memenuhi hati saya menerima imISBN 979-413-345-0 Hak Cipta dilindungi Undang-undang.
Dilarang memperbanyak karya tulis ini dalam bentuk dan dengan cara apa pun, termasuk fotokopi, tanpa izin tertulis dari penerbit. Dicetak oleh Percetakan Kanisius Yogyakarta
balan jasa itu.
I
Kami menantikan saran dan usul ke arah perbaikan, yang pasti akan timbul setelah penggunaan buku ini, dengan tangan terbuka dan senang hati. Terbitan pertama ini dimungkinkan oleh subsidi yang kami terima dari Liechtenstein Development, Vaduz, Principality of Liechtenstein. Semarang, Maret 1978
lsi buku: 1.
lr. Heinz Frick
Jilid l, halaman:
Pengetahuan dasar tentang statika
13
1. 1
13
Pengetahuan dasar
1. 1. 1 Pembangunan pada konstruksi batang dan rangka 1. 1. 2 1. 1.3
batang Beban pada konstruksi batang dan rangka batang Tumpuan pada konstruksi batang dan rangka
't4
batang
17
1. 1. 4 Sifat-sifat
2.
bahan bangunan
19
1. 2 Gaya 1. 3 Mengumpulkan dan membagi gaya dalam satu bidang 1. 3. 1 Ukuran dan jurusan pada gaya 1. 3. 2 Gaya-gaya dengan titik tangkap bersama 1. 3. 3 Poligon batang tarik "l. 3. 4 Pembagian satu gaya R pada tiga garis kerja 1. 4 Momen 1: 4. 1 Momen satu gaya 1. 4. 2 Momenkumpulangaya 1. 4. 3 Gayaganda 1. 4. 4 Pindahan sejajar dari satu gaya 1. 5 Syarat-syarat keseimbangan 1. 6 Penggunaan syarat-syarat keseimbangan pada perhitungan
20 21 21
23
26 32
35 35 35 37 38
38 40
konstruksi batang dan rangka batang 1. 6. 1 Perhitungan reaksi pada tumpuan
N
1. 6. 1. 6.
Gaya dalam
B
Pdrjanjian tanda
44
2 3
llmu inersia dan ketahanan
46
2. :l Besaran-besaran lintang 2. 1. 1 Titik berat pada bidang t'.' 2. 1. 2 Momen lembam dan momen sentrifugal
M
bidang
2. 1. 2. 1. 2. '1. tv
16
46
pada
3 Momen lemban pada sistim koordinat berpindah 4 Momen lembam pada sistim koordinat terputar 5 Lingkaran Mohr
49 50 52 55
2. 2 Tegangan normal 2. 2. 1 Ketentuan keseimbangan 2. 2. 2 Ketentuan perubahan bentuk 2. 2. 3 Hubungan antara masing-masing tegangan 2. 2. 4 Garis sumbu nol 2. 2. 5 Gaya tekarr dan gaya tarik 2. 2. 6 Momen lentur 2. 2. 7 Momen tahanan 2. 2. 8 Besaran inti 2, 3 Tegangan geser 2. 3. 1 Tegangan geser oleh gaya lintang 2. 3. 2 Tegangan geser oleh gaya torsi 2. 4 Fegangan-tegangan 2. 4. 1 Tegangan linear 2. 4. 2 Tegangan dalam bidang 2. 5. Penggunaan dan keamanan 2. 5. 1 Keamanan 2. 5. 2 Beban yang berulang-ulang 2. 5. 3 Teori-teorititik patah 2. 6 Tekukan 2. 6. 1 Macam-macam tekukan 2. 6. 2 Contoh-contoh 2. 6. 3 Tekukan pada topang ganda
2.7
2. 8
3.
97 98 101
3. 1 Pengetahuan dasar 3. 2 Balok tunggal 3. 2. 1 Balok tunggal
101
dengan satu gaya Balok tunggal dengan beberapa gaya Balok tunggal dengan beban merata Balok tunggal dengan beban merata terbatas
103 103 105 108 110
dengan satu gaya pada ujung yang bebas 3. 2 Konsole dengan beberapa gaya 3. 3 Konsole dengan beban merata 3. 4 Konsole dengan gaya horisontal 3. 5 Konsole dengan macam-macam beban dan gaya Balok tunggal dengan konsole 3. 4. 1 Balok tunggal dengan satu konsole 3. 4. 2 Balok tunggal dengan dua konsole
Balok tunggal bersudut 3. 5. 1 Pengetahuan dasar 3. 5. 2 Balok tunggal bersudut siku 3. 5. 3 Balok tunggal bersudut miring 3. 5. 4 Balok tunggal dengan lengkungan miring 6 Balok rusuk Gerber 3. 6. 1 Pengetahuan dasar dan kemungkinan-kemungkinan pemasangan engsel pada Balok rusuk Gerber
3. 6. 2 Contoh-contoh
87
Kontruksi batang
3. 2. 2 3. 2. 3 3. 2. 4
3.
86
96
120 120
3. .1 Konsole
3. 5
81
93 95 96 96
117
Konsole
3. 4. 3 Contoh-contoh
81
91
Syarat Mohr Penentuan lendutan menurut Mohr secara grafis Contoh-contoh
3. 4
115
3. 2. 7 Contoh-contoh 3. 3. 3. 3. 3.
B1
91
2. 8. 2 2. 8. 3 2. 8. 4
3. 3
63 63 64 65 69 69 72 73 73 76 79 79 79
fekukanex-sentris
113
dan
gaya
61
2. 7. 1 2. 7. 2 2. 7. 3
Tiang terbengkok Tiang yang tertekan ex-sentris Tiang dengan beban lintang Perhitungan lendutan dan garis elastis 2. 8. 1 Pengetahuan dasar
3. 2. 5 Balok tunggal dengan beban segitiga 3. 2. 6 Balok tunggal dengan macam-macam beban
57 57 59 60
3. 7 Konstruksi portal tiga ruas dan konstruksi 3. 7. 1 Pengetahuan dasar 3. 7. 2 Konstruksi portal tiga ruas 3. 7. 3 Konstruksibusurtiga ruas 4.
Konstruksi rangka batang (vakwerk) 4. 1 Pengetahuan dasar 4.
2
4. 3
Pembangunan konstruksi rangka
busur tiga ruas
123 123 127
129 134 134 134 143
152 153 153 158 160 160 161
168
V
176 176 178 178
batang
4. 2. 1 Ketentuan statis 4. 2. 2 Kestabilan konstruksirangka batang 4. 2. 3 Pembangunan dan bentuk konstruksi rangka
121 121 121 122
180
batang
181
183
Penentuan gaya-gaya batang 4. 3. 1 Perhitungan gaya batang menurut 4. 3. 2 Perhitungan gaya batang menurut
Cremona Cullmann 4. 3. 3 PerhitungangayabatangmenurutA. Ritter
183 185 186
4. 4 Tambahan pengetahuan tentang konstruksi rangka batang belah ketupat dan konstruksi rangka batang berbentuk
4. 5
Contoh-contoh
K
188 190 vil
5. Perhitungan alat-aiat sambungan
5.
1 Alat-alat sambungan baja
5. 2
203 203
5. 1. 1 5. 1. 2 5. 1. 3
207 212
5. 2. 1 Gigitunggal
226 226
Sambungan keling dan baut pada konstruksi baja Sambungan las Contohsambungan-sambunganbaja Alat-alat sambungan kayu
5.2.2
6. 6. 6. 6.
203
Paku
5. 2. 3 Baut dan baut pasak khusus 5. 2. 4 Pasak cincin, bulldog connector dan plat paku 5. 2. 5 Konstruksi berlapis majemuk dengan perekat 5. 2. 6 Contoh sambungan-sambungan kayu
227
230 235 239 241
6. 1 Balok terjepit 6. 1. 1 Pengetahuan dasar 6. 1. 2 Gaya-gaya pada balok 6. 1. 3 Lendutan 6. 1. 4 Balokterjepitsebelah 6. 2 Balok terjepit elastis 6. 2. 1 Pengetahuan dasar
7. 2. 2 Pengaruh atas titik simpul yang goyah 7. 2.3 Contoh-contoh 7. 2. 4 Konstruksi portal bertingkat dengan titik simpul
terjepit
6. 2. 2 Sistim titik potong 6. 2. 3 Jarak penting pada titik potong 6. 2. 4 Macam-macamjepitan
6. 3 Sistim titik potong pada balok terusan 6. 3. 1 Pengetahuan dasar 6. 3. 2 Menentukan titik potong 6. 3. 3 Gaya-gaya pada balok terusan 6. 4 Persamaan tiga momen (Clapeyron) 6. 5 Sistim Cross pada balok terusan 6. 5. 1 Pengetahuan dasar 6. 5. 2 Perjanjian tanda pada sistim Cros 6. 5. 3 Momenjepitan 6. 5. 4 Momen pada titik simpul 6. 5. 5 Momen jepitan dan momen distribusi yang disalurkan vil
yang goyah
253 253 253
2il
262
2U 265 265 266 270 271
274 274 275 277
282 286 286 287 287
28 289
engsel distribusimomen Cara distribusi momen menurut Cross Contoh-contoh Balok terusan dengan ujung pada Persiapan cara
7. Konstruksi portal statis tidak tertentu 7. 1 Konstruksi portaldengan titik simpulyang kaku 7. 1.'l Pengetahuandasar 7. 1. 2 Cara distribusi momen menurut Cross 7. 1. 3 Contoh-contoh 7. 2 Kontruksi portal dengan titik simpulyang goyah 7. 2. 1 Penurunan tumpuan pada balok terjepit
Jilid ll, Halaman: 6. Balok terusan
5. 6 5. 7 5. 8 5. I
8.
Perubahan bentuk elastis
8. 1 Pengetahuan
dasar
8. 2 Teoriter,tang kerja virtual 8. 2. 'l Kerja virtual 8. 2. 2 Persamaan kerja pada konstruksibatang 8. 2. 3 Persamaan kerja pada konstruksirangka batang 8. 2. 4 Hasil pOng-integral-an pada kerja virtual 8. 3 Syarat-syarat brikatan pada perubahan bentuk elastis 8. 3. 1 Syarat Betti 8. 3. 2 Syarat Maxwell 8. 3. 3 Syarat Castigliano 8. 3. 4 Syarat Mohr 8. 3. 5 Ringkasan 8. 4 Contoh-contoh 8. 4. 1 Pergeseran dan'perputaran pada konstruksi batang 8. 4. 2 Pergeseran pada konstruksi rangka batang 8. 5 Garis elastis pada konstruksi batang 8" 5. 1 Pengetahuan dasar 8. 5. 2 Penentuan bobot-beban W 8. 5. 3 Penentuan garis elastis dengan bobot beban W pada konstruksi batang
290
292 292 293
304 304 304
304 305 322
322 324
326
82
u2 342 343 343 345 350 351
354
3il 355 356 357
358 359 359 369 372
372 372
374 ix
8.
6
Garis elastis pada konstruksi rangka batang
379
8. 6. 1 8. 6. 2
379
8.6.3 8.6.4
Pengetahuan dasar Penentuan garis elastis dengan bobot beban W pada konstruksi rangka batang Ringkasan
Contoh
9. Garis pengaruh
9. 1 Pengetahuan dasar dan penggunaan garis pengaruh 9. 1. 1 Pengetahuan dasar 9. 1. 2 Penentuan garis pengaruh 9. 1. 3 Penggunaangarispengaruh 9. 1. 4 Ringkasan 9. 2 Garis pengaruh pada balok tunggal 9. 2. 1 Garis pengaruh pada reaksi tumpuan 9. 9. 9. 9. 9. 9. 9.
3
2. 2 Garis pengaruh pada gaya lintang 2. 3 Garis pengaruh pada momen lentur 2. 4 Beban yang tidak langsung 2. 5 Garis pqngaruh pada lendutan 2. 6 Ringkasan 2. 7 Contoh-contoh
4
5
6
384 384
389 389 389 390 391
393 393 393
9.
6. 2
9.
6. 3
9. 6. 4
l. 1
Rumus-rumus yang penting
l. 1. 1 l. 1. 2 l. 1. 3
l. 1. 6
407
l. 1. 7
409 410
l.
1.
8
Garis pengaruh pada busur tiga ruas
415 415
l.
1.
I
Perhitungan dengan beban yang tetap
4. 2 Garis pengaruh pada reaksi tumpuan 4. 3 Garis pengaruh pada momen lentur 4. 4 Garis pengaruh pada gaya normal dan 4. 5 Ringkasan 4. 6 Contoh,
gaya lintang
Garis pengaruh pada konstruksi rangka batang 9. 5. 1 Pengetahuan dasar 9. 5. 2 Konstruksi rangka batang dengan tepi sejajar
9. 5. 3
411 418 419 421 421
424 424 425
l. 2. 6
Konstruksi rangka batang dengan batang tepi tidak sejajar
429
terusan Rumus-rumus yang penting pada bab: Konstruksi portal statis tidak tertentu Rumus-rumus yang penting pada bab: Perubahan bentuk elastis Rumus-rumus yang penting pada bab: Garis peng-
Tabel-tabel l. 2. 1 Penentuan titik berat pada bidang yang datar l. 2. 2 Penentuan momen lembam dan momen tahanan l. 2. 3 Nilai-nilaibahan baja profil l. 2. 4 Nilai-nilaibalok kayu segiempat
l. 2. 5
459 461
462 462
Rumus-rumus yang penting pada bab: Balok
aru h
l. 2
I
459
,lumus-rumus yang penting pada bab: Perhitungan alat-alat sambungan
406
459
Rumus-rumus yang penting pada bab: Konstruksi rangka batang
l. 1. 5 2106
452 452
Rumus-rumus yang penting pada bab: Konstruksi batang
l. 1. 4
399 399
450
Rumus-rumus yang penting pada bab: llmu inersia dan ketahanan
398
49 49
Rumus-rumusyang penting pada bab: Pengetahuan dasar
395 396
437
rB8
459
411
4: 1
Pengetahuan dasar 9.6.1 Garis pengaruh pada reaksi tumpuan yang statis berlebih Garis pengaruh pada reaksi tumpuan, momen lentur dan gaya lintang Penentuan garis.garis pengaruh secara grafis
Lampiran
394
Gerber konsole balok tunggaldengan konsole balok rusuk Gerber
Garis pengaruh pada balok terusan
9. 3. 5 Contoh-contoh 9. 9. 9. 9. 9. 9. 9.
9.
379
Garis pengaruh pada konsole, pada balok tunggal dengan konsole dan pada balok rusuk 9. 3. 1 Garis-pengaruh pada 9. 3. 2 Garis pengaruh pada 9. 3. 3 Garis pengaruh pada 9. 3. 4 Ringkasan
9.
9. 5. 4 Ringkasan 9. 5. 5 Contoh-contoh
462
4U 464 465 467 467
470
472 484
Tegangan tekuk yang diperkenankan untuk baja
ST 37
87
Faktor tekuk yang diperkenankan untuk kayu kelas I s/d lV
/l88 xi
l. 2. 7
Penentuan tegangan
l. 2. I
maksimal pada konstruksi batang Penentuan momen dan reaksi tumpuan pada balok rusuk Gerber
l. 2. I
o
maksimal dan lendutan
f
499 505
2.12 Penentuan bagian beban pada syarat persamaan
tiga momen menurut Clapeyron Penentuan momen dan reaksi tumpuan pada balok terusan l. 2.'14 Hasil peng-integral-an pada kerja virtual t. 3 Daftar kependekan t. 4 Daftar istilah penting t.
496
Penentuan momen jepitan pada balok terjepit dan pada balok terjepit sebelah
t.
Balok terusan
494
Nilai-nilai alat sambungan kayu seperti paku, baut, baut pasak khusus, pasak cincin, bulldog connector dan pelat paku
l. 2.11
6.
Nilai-nilai alat sambungan besi seperti keling, baut dan las
l. 2.10
rtg3
509
2.13
512 516 518
6. 6.
1. Balok teriepit 1.1. Pengetahuan dasar
Jepitan pada suatu balok terjadi kalau sudut putar tumpuan o dan B lebih kecil daripada balok tunggal garis elastis mengubah lengkungan makin keras penjepitan makin lebih dekat pada pertengahan balok terjepit. Jepitan maximal terjadi kalau sudut o dan l) : 6. Oleh karena balok terjepit merupakan tiga kali statis tidak tertentu, maka kita tidak dapat berhasil menggunakan syarat-syarat perseimbangan. Yang sebetulnya harus kita cari ialah:
M,; Mrdan H
520
t. 5 Pustaka
Gambar6. 1. 1. a.
Pada umumnya gaya H boleh dihapuskan, jikalau digunakan sistim tumpuan jepitan seperti berikut, tinggallah perhitungan M, dan Mr.
Gambar6. 1. 1. b.
xI
253
6.1.2. Gaya-gaya pada balok terjepit Kita memilih suatu sistim dasar yang serupa dengan sistim yang kita punyai, kita terapkan untuk balok terjepit dengan panjang (lebar bentang) / kita memilih satu balok tunggal dengan lebar bentang /. Pada sistim dasar ini kita pasang semua gaya dan beban yang ada dengan tambahan momen M, dan Mr. Dengan menentukan sudut putar tumpuan (pada contoh ini a = D : 0l kita bisa
t, b-asl'[]r-$-Adoz tYtt-w
Mz:
(0
Pada contoh di atas dengan sudut putar tumpuan
menentukan syarat-syarat elastis dan selanjutnya dengan superposisi perhitungan statika dengan menggunakan persamaan elastis.
llol ' at
-
or'
o
:
Dz
[]
:
- la - ool' At - 0t' az
(6.2.)
o momen jepitan M ,; M,
menjadi:
Mr
b-3-t-:-a-F^ ' rvr: at'P2^ Pl'02
/
y1.
'
!t-!tl-o-:t : or' 0z
- At' az
(6.3.
)
Cara.perhitungan sudut putar tumpuan: Cara paling mudah untuk mencari sudut putar tumpuan ialah dengan membebani sistim dasar dengan diagram (bidang) momen yang direduksikan dengan faktor
Perubahan bentuk
t/E.
pada sistim dasar: oleh gaya dan beban
aJ 0o sudut
a., dan B,
putar
tumpuan
olehM,:1 dti A1 sudut
t.
(
Sistim dasar A
putar
tumpuan Diagram momen
\----..\
pt,-1
t'
Bidang momen yang dibebani
:
oleh M, 1 a2; ll2putar tumpuan
Gambar 6. 1. 2. b.
Gambar 6. 'l. 2. a.
Dengan superposisi bagian-bagian dari sudut putar tumpuan kita mendapat persamaan elastis seperti berikut:
e : eo * M.,.a, -f Mr.a,
A=0"+M.,.A1 +M2.A2 254
(6.1)
'l
['
at:
I 3Er
0r:#
(6:4.
)
255
I Untuk mencari M,dan Mryang sebenarnya kita hanya harus mencari ao dan Bo.
ardan l),
Mencari ao dan
fi6.
Sebagai dasar dapat dikatakan, bahwa oo dan Bo bisa didapat dengan membebani sistim dasar dengan M,diagram (bidang) momen yang direduksikan dengan faktor I / E.tl. Contoh beban merata: i
Diagram momen
|,
Sistim dasar
E
tsidang momen yang dibebani
I
t.l
Gambar 6.
I lJz = 3Et I a2 = 6Et
Diagram momen I
1
.
2. c.
I Bidang momen yang
(6.5.)
I
dibebani Gambar6. 1.2. d.
l'l
Hasil tentang
ai 0i
A1
az; 02
il
= []t
0, =
oo
=
Ao
= Ra = Rrdari bidang momen yang dibebani
(6.6.)
Ra=Re:+
az
i t#t
do=
ao=f,
(6.9.)
Dengan hasil ini kita bisa mengisi persamaan elastis. Maka:
u, = rv,
=
ltzo ltzB
-
fit
-
- at
Dan pada contoh dengan
Mr= -t2os-fist Mz=
eos
- Bryf .4t
tztt,
.Tt
o
- "d)
: [] : o - M,;
+
Sekarang momen jepitan M, dan M, dapat dihitung:
M,=-P#,-#;lT',
$.7.1
Mrmenjadi:
,'l Mt= Mz=
Mr=Mz
(6.8.)
karena sistim symetris
-qi'z
(6.10.
-(2Bs-asl'+ I
256
)
257 ,t
-r:i-rl
:-"-:':-
',J
irr
'$i.r,
iifl.Anl
i I
l
Ir
Contoh gaya Pusa t:
P
Sistim dasar
P.a
ao: [Jo: E.l ',
,r4 4,
4z
v
m,=-lz
=4./
ffi
l-
- -a-P'l qo-Po4El dan untuk
Mt =
M,= -1,
4
P.
l1
16El
P.a E.t
a
z
- P.a 0o:fi0: Z.f t(a+c)
(6.13.
)
(6.14.
)
dan untuk M, = Mz
Dlagram momen
P'
+
lfi u+c) - lfi o*a)
l
2Et I
P'a (a + c) Mt: Mz -
Bidang momen yang dibebani Gambar 6. 1. 2. e.
Contoh dengan beberapa gaya:
oo=
fio:
P.12 16El
I
(6.11.)
Sistim dasar Mz
+# -
P. l' | 2El 16Et '' t
Mt= Mz=
-+
(6.12.
)
Diagrap momen
Contoh dua gaYa Yang simetris:
Bidang momen yang dibebani Gambar6. 1.2. g.
Sistim dasar
Diagram momen
Bidang momen Yang dibebani Gamb'ar 6. 1. 2. f .
288
Mencari bidang M menurut bab. 3. 2.2. Mekanika teknik - Statika dan kegunaannya jilid l" Selanjutnya dibebani sistim dasar dengan bidang M"yang dibagi dengan f . /. Selanjutnya menentukan reaksi tumpuan ao dan Bo.
Menentukan diagram momen dan diagram gaya lintang
Untuk memungkinkan gambaran diagram momen kita menggarBbar diagram momen Mr, diagram momen jepitasn M, dan M, dan selanjutnya semua disuperposisi. Hasil sekarang menjadi momen dari balok terjepit. 259
Harus memperhatikan tanda (+,-) dari M, dan Mr. Biasanya gaya lintang yang lebih besar harus berada pada tumpuan dengan momen jepitan yang lebih besar. Dengan rumus tentang gaya lintang bisa juga ditentukan reaksi tumpuan seperti berikut:
Sistim dasar x
I
I
Rt:
Diagram momen
l+
\
I
lr(
H, ll
uX'
Diagram momen oleh
,
l'1,
--/1
'l
Mt
.I
t,,
Diagram momen oleh M2
rt
N
t/2
yang disuperposisi Gambar6.
tllHl
momen
l.2.
i*', I
(perhatikan tanda ( +,
-)
A
L!, I
dtiiltY
q.l?
MF-r,
q-
=
12
2l Gambar 6.
--t
1
z
A
:
Qokarena M,
Mol
Ra: Ra: RAo:
- Mt =
2. k
A
R1n
Balok terjepit dengan gaya pusat (6.15.
Diagram.momen:
)
p.l
T Untuk menggambar diagranr gaya lintang kita
P.
T
tambah On dari sistim dasar dengan M, - M,
t
Momen, gaya lintang, tumpuan:
Gambar 6. 1. 2. i.
MFmar:
260
'l .
(6.18.)
24
h.
lt
q.
B
pada momen M, dan Mrl
Rumus untuk menentukan O
)
1T
Momen, gaya lintang, tumpuan:
Momen pada titik x adalah:
M=Mo+Mr.
(6.17.
tM'
Contoh-contoh: Balok terjepit dengan beban merata Diagram momen:
A
Diagram tlt
n'll
oleh Mo
I I
Re: Ran +
Rao
a:ao+ryiM'
(6.16.
)
!*
:+
I
Gambar6. 1.2.
I
(6.19)
A= .Mol
Rt:
Aokarena Re
Mr- Mt:0
= RAo:
Rao
261
d 1.3. Lendutan
Contoh gaya pusat:
Perhitungan lendutan pada balok teriepit didapat dengan superposisi dari lendutan-lendutan pada sistim dasar: Gaya-gaya dan beban pada sistim dasar fo memperlakukan lerrdutan sebesar . Jepitan atau momen jepitan pada sistim ., f dasar memperlakukan lendutan sebesar Lendutan pada balok terjepit adalah (6.20.) , superposisi lfo- f^l
Re=
.
fo
= Ra,* *
,
5
#,
q'lo
'": 3f4'E.r
*.-,e
a
Ro:+*
l' _ q'lo 8 96.8/
q-P 'm 12'E'l t:-
I 8ft P.
Contoh beban merata:
Re=Ra=+# ilo
ro: Ratt
- 1l'
t 'o--
q'ln 5 384: E.l
. -
g.12 12.
E-l
Gambar6. 1.3. b.
- 4p'P p'P '?= 4aEt ilEl q.
l2
I
lo
6.
, _ P'P '192Et
16.?21
1.4. Balok terjepit sebelah
%.El
Seperti pada balok terjepit, kita pilih juga satu sistim dasar, yaitu balok tunggal.
d
t2tt Gambar6. 1.3. a'
Gambar6. 1.4. a.
4g'lo
5q.lo r= 'naE - 3tqr|
=
', -
Q' lo
38/.-Et
(6.21.
)
Pada sistim dasar ini kita pasang semua gaya dan beban yang ada dengan tambahan M,.
Kita menentukan selanjutnya, bahwa sudut putar tumpuan o
= 0.
Syarat-syaratelastis: q= eo+
Mr=-00 A1
Mr =
262
q-:o A7
(kalau a
=
(kalau a
)
0)
0)
M,.a,, =
0
:
(6.23.)
$.24.1
263
6.2.
Contoh beban merata:
q.
Mo*r. -.
12
6.2.
8
Mri ao=
q.
t.
Balok terjepit elastis Pengetahuan dasar
It
24.E1
I
or=__TEl_ o.13 3El - t Mr=-zlr--t Gambar 6. 2. 1 . a.
(6.25)
E,="#l
pada besarnya momen jepitan.
o:= -rr'Mradalah jephan elastis jepitan
r:3 r---;-l *
llt
I
l'*'=
nAo
(6.26.
)
|
Hanya pada tumpuan dengan
momen M -- 0.
Gambar6. 1,4. b.
Suatu ujung balok pada umumnya terjepit elastis jikahu sudut putar tergantung pada tumpuan sebelah kiri. e, adalah ukuran pada tumpuan sebelah kiri dan sudut pada tumpuan yaryg terpotong dari balok terjepit pada momen M r = - 1. ll = - e7' M2adalahjepitan elastis pada tumpuan sebelah kanan. e 2 adalah ukuran jepitan pada tumpuan sebelah kanan. a = - €l,' Mr dan B = - ez' Mz adalah syarat-syarat elastis pada baloil< terjepit elastis. Atas rfasar ini kita juga bisa menggunakan sebagian dari persamaan elastis yang sudah ditentukan pada bab 6. 1. Balok terjepit. catatan: persamaan elastis hanya boleh digunakan untuk konstruksi balok di atas
tiang yang kaku dan bukan di atas tiang yang goyah atau tumpuan yang bisa mengalami penurunan. Persamaan elastis yang baru adalah:
M,_M, A = ao+ --T-' A=Ao+
A:Oo+\l
a
Ra
M I
=
,^= l6.Tt.l
Reol-
#
+
+
:
ao
*
M1' a1 * M2' a2=
+ Mt' + Mz' flz= 0 = Ao At -
Reaksi pada tumpuan:
Gaya lintang:
g.l
as
8
*
M1(a,
*
e1)
*
M2' o2 =
Q
0o+Mr'0r+Mrlfi2+ql=0 Atas dasar persamaan elastis ini kita bisa mencari momen jepitan
M,
dan M,
menurut rumus berikut:
(6.28.)
2U
Ez. Mz
atau:
,^=Y rr:3#
et' Mr
Mt=
(a1
fio'az- o61fi, + e * e1) (82+ e2l - o2
(6. 29.)
265
Mz=
ao' Dt (a1
*
e1)
-
lB,
Be
+
(a1
+
erl
-
Mr. llt + Mrlp, + er) = O e1)
az'
Dt
(
6.29.
alau,
)
M'=Mt
Dt
fiz*
ez
menurut Gambar 6.2.2.b.:
M2
Kita memilih satu balok terjepit sebelah tanpa gaya dan tanpa beban, hanya dengan momen sebelah tumpuan sendi. Atas dasar ini balok akan melengkung dan kita bisa menggambar diagram momen.
\ n, ,, \ '
Gambar 6.2.2.b.
Dengan persamaan elastis atas dasar ao : o kita boleh berkatat
b:
dan selanlutnya:
M{a1
*ql+Mr'qz=0
atau: ?
Gambar6.2.2. a.
Oleh karena diagram momen adalah satu garis lurus, kita bisa menghitung tempat per-
bandingan dengan momen M,dan Mr'. M2
atau:
dan selanjutnya:
t_b llt t
Ao'a'b-ao'a(l-b) a2'd'l i6,32.)
Mz= (6.30 e1
a
'a'B-lJo(l*a)b o2' d' I
)
Pada bagian kanan kita bisa menggunakan perhitungan yang sama dengan hasil seperti berikut: (K menjadi titik potong sebelah kanan dengan jarak bl 266
lt2+Ez:
Menurut rumus (6.29. ) kita boleh menghitung M1 dan M2*bagai;
Er
a.' I ot+ a2+
(6.31.l
-a ar + et= o, I-Z-
az ar+Er =l-l-a o, : bAz*ez l-b
Mt=
l-a
a:a2 qr+ l-a
Dt'l B1+p2+e2
Dengan perhitungan ini kita mempelajari bahwa: Jarak titik potong a.dan b tidak bergantung pada besarnya momen M,dan Mr. Dengan menggunakan pengetahuan ini kita bisa mencari M,dan Mrseperti berikut:
#: -;i,
titik potong J. Boleh dikatakan jarak a untuk titik potong J adalah suatu
b
Mr -_ l-b atau: A' - b lJt* tz l-b
6.2.2. Sistim titik potong
Kalau kita menarik garis siku-siku dengan balok pada titik potong J dan titik potong K (garis titik potong). garis titik potong itu menentukan momen titik potong sebesar M,dan M*. Keuntungan pada M,dan Mradalah bahwa mereka dapat dihitung lebih mudah daripada M, dan Mz dan pada bagian besar M, dan Mrbisa juga ditentukan secara grafis: 267
Jarak titik potong untuk / tetap menurut rumus (6' 30.) dan (6. 31. ):
,,1 az'I
I
d1
r'
+ aZ+
'= t.
I aet I -+ 3Et
t1
---] o"**,u
t1
6fl+
b=
M*=-+ x
az
,*ry
.2.2.c. Momen pada titik potong untuk / tetap menurut rumus (6. 33. )
Mi: y!#ry
Atau dengan bantuan rumus (6. 32. ) hasilnya M ,dan M rseperti berkut:
Mt=-'r'oo I
"f (6.35.)
I
I
Mi=Mr'+.urI M*= Mt 1* *, Lf
I
M, = -a---!o 'loz
(6.33.)
=
6' a' E' l'
an
(6.36.)
ta
Mx:-y!+ru
Hasil ini berdasarkan pada konstruksi sederhana yang dinamakan garis bersilang dan potongan garis bersilang:
IK-Mx
M,.t
a
a
I
''' -
at
b
^tK'=M, atau: K't-
Contoh beban merata:
I
ao.l a2a
t--
Mt
q'a'l dan selanjutnya:
K':-'o a2l0tI x=--o
(6.34.)
c'b'l
Gambar 6. 2. 2. d.
Dengan pengetahuan tentang titik potong dan garis bersilang dan pada balok dengan momen lembam / tetap kita bisa menentukan garis penutup pada segala diagram momen pada balok terjepit dan balok terusan secara grafis.
Untuk balok dengan momen lembam / yang tetap adalah beberapa hubungan yang memudahkan perhitungan jarak titik potong dan momen titik potong seperti berikut: 268
Bukti dari gambar:
Mi
q.t2:, J 82
tvt, --
o'a'l ' I
(sama juga untuk M*) 269
Jarak titik potong pada balok tunggal:
Contoh gaya P dengan jarak c dan c':
I
oz' I
(6.39.)
a1+d2+81 I @ garis penutup
Gambar 6. 2. 3. b.
6. 2.
4. Macam-macam iepitan Pada suatu
titik simpul kita bisa menerangkan persoalan:
.\.-.\.
_a_:u'.t-! M,' l2
p.c/!j
Gambar 6. 2. 2. e.
c')
4
6.l.El Qo
p.u."J--!!L-!' Mi: ,r= ' tt
_ P.b ,:_J!l_9)
Bukti dari gambar:
a K'I=u.
Gambar 6. 2. 4. a.
Mi :u(l:"') Mo 12
Mi= P'a
Batang 1 yang dihubungkan dengan kaku pada batang-batang2s/d 4 menerima momen M.
P.c.c'
Y!- t K' i+c'
Kejadian ini menimbulkan dua pertanyaan: 1. Bagaimasna besarnya bagian momen M padabatang-batang2s/ d 4.? 2. Berapa besarnya ukuran jepitan batang 1 terhadap batang-batang2s/d4? Di bawah akibat momen M semua batang-batang memutar dengan sudut a karena hubungannya yang kaku. Kita mengambil salah satu batang, umpamanya batang 2, dan memperhatikan kejadian itu dengan teliti: Andaikata sudut putar a - E' M' alau dengan kata lain, sudut putar a adalah perbandingan dengan bagian momen pada batang 2. Ukuran jepitan e ' adalah sudut pada ujung atas 2 atas momen M' : 1.
6.2.3. Jarak penting pada titik potong Jarak titik potong pada balok ter.iepit kaku:
olehkarenaa
270
,
0
-
El = €2
:'0
|I b: llr't ' a= az'l at+q2 I ^_ fir+Az
Gambar 6. 2. 3. a.
bagi / tetap
:
d-
6-E.l
lt 1_ 3.E.t ' 6.E.t
(6.37.)
Pendapat ini bisa digunakan juga pada batang-batang lainnya. Ukuran jepitan menentukan daya pencegah terhadap putaran oleh momen pada batang 1. Ukuran dan besarnya ukuran jepitan pada hal ini hanya tergantung pada momen lembam /, modul elastis E dan macam tumpuan pada ujung bawah. Atas dasar ini maka disebut ukuran jepitan sendiri. Kebalikan dengan ukuran jepitan pada batang 1 yang hanya tergantung pada
:b
(6.38.)
momen lembam /, modul elastis Edan macam tumpuan pada ujung bawah batangbatang 2 sld 4, dan bukan pada momen lembam / dan modul elastis Fsendiri. Atas dasar ini maka disebut ukuran jepitan asing. 271
Perhitungan ukuran jepitan sendiri
l. Jqitan pada ujung bwah yang sudah diketahui: a- pada ujung bawah sebagaijepitan elastis berhku p€rsamaan a=My|ar*M2'a2 11,
Az=
1.
fl
0.r
b.
:
01+
hh 02 = 6Ej
a2
;
i
E1
=
oz-f;.a, I
q = at - ---: al +E2 _
(6.,!0.)
c.
,,' =-!4 E
I
pada ujung bawah sebagai engsel berlaku persamaan elastis berikut:
h l0 hr t':3'r-l,n'u6,1
'
4
llihat juga rumus {6. 42.)l
3Et
Perhitungan ukuran jepitan asing dan pembagian momen pada titik simpul Persamaan momen pada titik simpul adalah: dan selanjutnya:
M
dan selanjutnya:
: M'+ M" + M"'(11
oleh karena semua berputar dengan sudut a, maka dapat dikatakan:
G.42.)
a = M.Er=
M'.e': M".e":M".t"'
M'=!!--!'
; M":AL'
E.
2. a.
dan selaniutnya: llihat juga rumus (6. 41 . )l
3
o.2
t2=g
at = lEi
a1
(6.44.)
h3h tt= 3Ert- -3t'aCt
o - h .o - h t'2'3El,Pr-6El
t
pada ujung bawah sebagai engsel berlaku persamaan erastis berikut:
E2: a
I 2b -3a 6El t-a
'
pada ujung bawah sebgai jepitan yang kaku berlakrr persamaan elastis berikut:
et.=
oz
dan selanjutnya:
I
:
a=E7
(6.43.)
dan selanjutnya:
pada ujung bawah sebagai jepitan yang kaku berlaku persamaan elastis berikut:
El=01-:=
c.
2.
Dz= ot
Gambar 6. 2. 4. b.
b'
lal * ,, : t_i Alt 3 Et
o:Mt'ot-Mt.A'az 'llz+q untukMl=1'
0,': att
',
elastis berikut:
fr = Mt'h + Mz'h= -,82.M2 dari2 : Mt' h = - M2lE2 + lt2) diisi dalam 1.
I
I
3Et
Titik potong pada ujung bawah yang sudah diketahui: pada ujung bawah sebagaijepitan elastis berlaku persamaan
l2l
hasil ini dimasukan ke dalam (1): elastis berikut:
,o=00+Mr'0t+Mz'[]z \ ' )n'=l i.o=o (karenatirjakacia
M=M.\ *u LI,L
'-,',
1
E1
E'L
T
*M +, Et =
't
t'L
beban)
Gambar 6. 2. 4. c.
272
Mz: -1;Mr= t a- ra.ner: -fi
1_1_1€1
t
1
t
t
(6.45)
273
Hasil ini melihatkan, bahwa kebalikan ukuran iepntan asing ialah jumlah kebalikan ukuran jepitan sendiri. Kita tadi sudah melihat bahwa
M' : M' il t' dan M' = M' 4/ e" Bisa dikatakan bagian momsn M', M" dsb. bisa ditentukan dengan momen yang dikalikan dengan satu perbandingan. Perbandingan ini kita tentukan dengan pr (
Gambar6.3. 1. a.
koef isien distribusi).
Artinya: ukuran jepitan asing pada batang yang dibebani dibandingkan dengan ukuran jepitan sendiri pada batang yang tidak dibebani.
Pada dua batang selalu ada dua perbandingan 1r (koefisien distribusi), dengan memperhatikan batang yang mana yang dibebani. Sebagai keterangan, koefisien distribusi p selalu diberi tanda panah seperti terlihat pada contoh berikut.
Sebagai sistim dasar kita memi!ih beberapa balok tunggal dengan momen tumpuan yang disuperposisi pada sistim dasar. Persamaan elastis dengan pengertian bahwa garis elastis berjalan harmonis, adalah:
[]:-o'
Contoh perhitungan koefisien distribusi ir.
A':-o"
Atas dasar pengetahuan ini kita langsung bisa menentukan sebagai persamaan
rt= + F,: ? '1
(batanglyang
elastis syarat persamaan tiga momen (lihat bab. 6. 4.)secara analitis atau bisa juga menggunakan cara graf is.
dibebani) (batang 2yang dibebani)
t1
pr+= q
,x:
E3 E1
dsb.
Kita memikirkan balok terusan hanya menerima beban pada satu bagian antara dua tumpuan sebagai balok terjepit elastis dengan:
Gambar6.2.4. d.
Dengan rumus yang tadi (6.45.) digunakan untuk menghitung ukuran jepitan asing, kita bisa menentukan p hanya dengan menggunakan ukuran jepitan sendiri seperti terlihat pada rumus berikut: Ez' El _ : -----1 E2l.- L3
a
lt2
:
E3
E2*
E3
-
6.
3.
6. 3.
Gambar6.3. 1. b.
Sistim titik potong pada balok terusan
1. Pengetahuan dasar
Sistim atau konstruksi balok terusan terjadi kalau suatu balok lurus menumpu tiga kali atau lebih. Balok terusan di atas tumpuan itu boleh berputar bebas akan tetapi tumpuan itu menjadi kaku, dengan maksud agar tidak bisa turun
a:*tr.M,
D:*cz.Mz
Sekarang semua bagian balok terusan sebelah kiri dari bagian yang kita memperhatikan adalah suatu sistim yang terjepit sebelah kiri dengan momen sebelah kanan seperti dibicarakan pada bab 6. 1. 4. (balok terjepit sebelah). Titik momen nol ada pada titik potong J"
Pada bagian balok terusan yang sebelah kanan dari bagian yang
Dengan cara ini ditentukan bagian per bagian dari balok terusan yang diperhitungkan. Sesudah ditentukan semua diagram momen pada semua bagian balok terusan tinggal disuperposisi saja.
6.
3.2. Menentukan tatik potong
atau naik tempatnya. Lihat juga
bab7.2.'l . (penurunan tumpuan pada balok terjepit). Pada konstruksi bangunan rumah syarat atau ketentuan ini biasanya boleh
Penentuan secara analitis:
digunakan.
momen lembam
274
kita
memperhatikan adalah suatu sistim yang terjepit sebelah kanan dengan momen sebelah kiri dan titik momen nol ada pada titk potong K.
Ukuran iarak a dan b untuk titik potong
/
J
dan K pada balok dengan
tetap, telah kita tentukdn pada bab 6. 2. 2. dan 6. 2.
3.
275
I
pada balok terjepit:
Rumus-rumq5nya ialah seperti berikut: 1
.
pada balok yang terjepit elastis:
d-
b:
2.
pada balok terjepit:
l'
5+ 6 E ll't1
z+t,sl
3+1,5V
3.
3+ 6El'ez I
d=b=
b'=
I
(6.47.)
pada balok tunggal dengan tumpuan yang bebas pada putaran:
a'=
I
r
,*'i
; b=
f
,* 7
(6.2t8.)
3
Penentuan secara graf is:
3.
pada balok tunggal dengan tumpuan yang bebas pada
Cara grafis hanya boleh dilakukan pada balok dengan momen lembam / tetap.
putaran: ? - jJ
Ukuran jarak a'dan b' untuk titik potong berikutnya J' dan K'pada balok dengan momen lembam /tetap, kita menentukan atas dasar rumus (6.30.) rumus-rumus berikut:
Gambar 6. 3. 2. a.
6.3.3. Gaya-gaya dan momen pada balok terusan 1.
pada balok yang terjepit elastis:
l' /
lebar bentang dari bagian Yan9 diperhatikan
lebar bentang dari bagian YanO diperhatikan
/
Pada balok terusan menurut gambar berikut (6.3.3. a.) dengan beban merata t/m ditentukan momen-momen dan diagram masing-masing momen dengan superposisinya.
t*+tz--:rl
l'
lebar bentang bagian kanan dari
1:
8.5
lebar bentang bagian kiri dari
l'
Contoh
(
6.46.
)
r
3. +1r- *bl
l'
Gambar6" 3.3. a.
276
277
Contoh
2:
Pada balok terusan menurut gambar berikut (6.3.3.c.) dengan beban merata g = 5.2.t/m dan gaya-gaya Pt : 15.0 t dan Pz = 20.0 r ditentukan motnen-momen dengan masing-masing diagram momen dan superposisinya dan diagram gaya lintang dan reaksi pada masing-masing tumpuan.
,'T = 5.'z Llm
a = 5.6<.
I U= 2.9.
a-3.o
I
h,'-;1rc
Gambar 6.3.3.c
Diapram momen beban
B
E
s rl
N
C-D
iagram momen
disuperposisi
penutup masing-ma diagram momen gaYa P,
-
-\-
Gambar 6.3.3.d
;5
t
o p I
o' ol
;t
279
F.
u
\t
"2
2-o
Menentukan masing-masing reaksi tumpuan secara grafis: Q,
qr' 26'ot
!s.2a I l?' trot
Qr'
16.4 €
diagram momen beban -+
diagram momen beban Gambar situasi (dibagi sebagai 3 balok tunggal)
O : resultante g pada masing-
masing bagian.
*--/
Gambar gaya (1 cm
:
10
t) Gambar 6.3.3.f
.
Menentukan diagram gaya lintang:
Dengan bantuan masing-masing reaksi tumpuan, kita dengan mudah
bisa
menggambar diagram gaya lintang seperti berikut:
-BiBt
Gambar 6.3.3.e
280
Gambar 6.3.3.9.
6.
4. Syarat persamaan Kita perhatikan dua bagian
tiga momen (Clapeyron).
Untuk
memudahkan kependekan berikut:
I dan l'yang berturut-turut pada suatu balok
terusan:
l.+ sebagai , +
I
sebagai
lc
4
perhitungan, maka biasanya digunakan kependekan-
Seoagar
6E 'ao
f
6E
n sebagai ,
' lJ,
Persamaan tiga momen menurut Clapeyron kemudian kita tentukan sebagai:
llr
11j
142
Gambar 6. 4. a
M1l" + 2M2(le + /[,) + M34
= -8'
l"
- 9'4
(6.49.)
Persamaan elastis yang berlaku pada tiap-tiap tumpuan adalah:
l.2.
momen, pada lampiran.
o' = qo' * Mz' .ar' + Mr'ar' dan oleh fi + a' : 0
dan ,8 ini pada umumnya dapat kita tentukan menurut tabel persamaan tiga 12. Tabel-tabel untuk menentukan bagian beban pada syarat
E
Bagian beban
D=Ao+Mt'pr+M2.02
Bagian beban pada beberapa balok terusan yang sering timbul:
kemudian kita dapat:
Mr'At + Mr(Jr+
o1'l
+ M.'at' *
Do *
l. a6'
=
Balok terusan dengan beban merata:
Q
Pada persamaan elastis ini ada tiga nilai yang belum diketahui, yaitu tiga momen pada tiga tumpuan yang berturut-turut. Oleh karena itu persamaan elastis ini boleh dinamakan persamaan tiga momen atau dalil tiga momen, ditemukan oleh Clapeyron pada tahun 1857.
Persamaan tiga momen ini berlaku untuk semua kemungkinan seperti momen lembam / tidak tetap, macam-macam gaya dan beban dan macam-macam lebar bentang (l dan l'tidak sama). Pada balok terusan dengan / tetap, dan dengan menggunakan nilai sudut putar tumpuan o dan B yang sudah diketahui dapat kita tentukan:
M,.
+H *
M/+ * #,
*
*,.*-: *
oo'
-
fio
atau pada balok terusan dengan momen lembam / tidak tetap:
w' + + 2Mz. rr. l+ r lt+
M,t'+
:-
6Eoo'
? - u*, ?
Kita melihat, bahwa perbandingan momen lembam harus ditentukan demikian rupa, sehingga /" menjadi momen lembam suatu bagian sembarang pada balok terusan ini dan / menjadi momen lembam bagian balok terusan yang lain masingmasing. Dalam persamaan tiga momen ini bagian kanan menjadi bagian beban oleh karena hanya bagian ini yang mengalami perubahan oleh beban pada balok terusan.
282
Gambar6.4. b.
q' 13 ao: Do= Zq.et dan kemudian dapat kita tentukan bagian beban sebagai:
e
=sF"6=#
n
=+0,=+
2.
Balok terusan dengan gaYa Pusat:
P
P
\-1J
Ltz
I I
t
\V.
I
!t"
t!/, I
Il
Gambar 6. 4. c.
283
P.
12
oo: Ilo= lAf t
t: f,.e'. r 3.
Menerrtukan mcxren:
dan kemudian dan
r:*
o' 12 Mor=Li=
-P.1.
6.5.
4.22
:14.3tm
6.5 . 5.32
:22.8tm
,
o' 12
M*=-;=
,
Balok terusan dengan satu gaya sembarang:
J \-
P_
t,
M, + Mtl + ZMrll+l'l + Mrl' Ir+-l 4.2+5.3 0 0 !i,t 09.50
c
P
b
ffi
,
g" l'2
,,
Jyf+.2 _. 6.5r5'3', s.a Gambar6.4. d.
a
12
44
I
t
,o=
q'
E
a
t
:-lnt-s,t' \q#
+
rt
dan
o'o=l-3-!' b'
:
2.M2-t951 Momen tumpuan B lMzl
+ l'l
-
MB =
-
19.0
362.3
tm
Diagram momen:
dan kemudian dapat kita tentukan bagian beban sebagai:
n=Y
.., = l" i:r'o' ft, + t,)
* : T'0" 4.
''1r'b r, +
Gambar 6. 4.
Balok terusan dengan bentuk beban yang lain bisa dilihat pada tabel l.
2.
12.
pada lampiran
Menentukan masing-masing reaksi tumpuan: q I MB 6.5' 4.2_n= ^ RA =t_i=-__, '
Contoh:
(6.4. e.) dengan beban merata q = dengan bantuan syarat persamaan tiga
Pada balok terusan menurut gambar berikut
6. 5
f.
a)
t/m ditentukan momen tumpuan
I
momen menurut Clapeyron. Selanjutnya kita menentukan tumpuan masing-masing untuk menggambar diagram gaya lintang. (Momen lembam / tetap).
q'
^
19.0
MB 6.5'4.2 19.0
I
e.2t r
l' + MB= 6.5' 5.3* 19.0= 20.8 I t ', -t S: q't' ue :6.5:! _ I: = 13,6 t ^ Hs=2-r:2-53:' q'
^ RBkun"n
=f
Rs
=
Re*iri
*
RBk"rrn
=
18'2 + 20'8
=
39'0 t
Dengan bantuan reaksi tumpuan masing-masing kita bisa menggambar diagram Gambar 6. 4. e.
284
gaya lintang seperti berikut:
285
6.5.2. Perjanjian tanda pada sistam Cross Perjanjian tanda pada sistim Cross hanya digunakan untuk melakukan distribusi momen. Pada semua perhitungan dan penentuan yang lain kita menggunakan perjanjian tanda yang sudah diketahui dan yang ditentukan pada bab 1.6.3. Perjanjian tanda pada sistim Cross adalah:
Momen jepitan adalah positif ( + ) jikalau momen jepitan akan berputar pada suatu titik simpul searah jarum jam, dan menjadi negatif (-)jikalau akan berputar berlawanan arah jarum jam. Gambar 6. 4. g.
Misalnya: Pada tempat gaya lintang menjadi nol {x1 dan x2) kita bisa menentukan momen maximal Mrldan Mr, menurut rumus (6.26.)
Ro q
,,' :
: = :+ 6.5 + 1.42m;
13.6 x, = R^ - -:-: + Z.O9m; 'q6.5
-
6.
5. 6. 5.
y
Y 13.0
+
6.5 tm
R",
13.62
2q
13.0
+
14.2 tm
Mxr 'r'xt = - 2q = MxZ =
#
trL * [
ffi
Sistim Cross pada balok terusan
\
1. Pengetahuan dasar
Jikalau pada suatu balok terjepit elastis kita mengetahui nilai momen jepitan. Kita dengan mudah bisa menghitung gaya-gaya yang timbul, menurut
-
rumus (6. 15.) dan (6.16.) misalnya:
M= Mo+Mt-l**r-1 L1:
tl^-i-
"t
. Mr-M,
Padahal jepitan kaku momen jepitan dapat dihitung dengan cepat atau dapat diambil dari tabel-tabel (lihat lampiran 9.2.6.). Sistim Cross menggunakan keuntungan ini dengan ketentuan. bahwa pada suatu balok terusan yang semua bagian-bagian berada dalam keadaan terjepit kaku sebelah-menyebelah. Momen jepitan yang akan timbul pada tumpuan-tumpuan pada umumnya bukan menjadi nol, melainkan timbul suatu momen jepitan pada tiap jepitan yang ditentukan. Dengan sistim Cross kita sekarang melepaskan satu demi satu jepitan dan momen jepitan yang timbul akan disalurkan pada balok terusan. Cara ini dapat dilakukan sampai pada tiap-tiap titik simpul atau tumpuan momen jepitan menjadi nol, atau hampir nol (distribusi momen).
286
Gambar 6.5.2.a.
Dengan menggunakan perjanjian tanda pada sistim Cross ini, pada balok terusan misalnya momen pada satu tumpuan sebelah kiri dan sebelah kanan tidak mempunyai tanda yang sama, melainkan mereka bertanda ( + ) dan (- ). Oleh karena itu cara distribusi momen baru mungkin kalau jumlah momen suatu titik simpul menjadi nol. Akan tetapi untuk menentukan diagram momen misalnya. kita harus melakukan perjanjian tanda dari bab 1.6.3.
6.5.3. Momen jepitan Pada balok terusan dengan lembam /tetap dan dengan beban sembarang momen jepitan boleh ditentukan seperti berikut:
Mt: -l2ao-lrrrT' Mz: -(2Ao-.rrT' 2a7
Sesudah sudut putar tumpuan oo dan fi,, ditentukan, momen jepitan pada balok terjepit kaku bisa dihitung atau diambil pada tabel-tabel {lihat lampiran 9.2.6.).
.6.5.4.
atau:
Mn: "tt
Mr: M2: Ms:............
Momen pada titik simpul
Jikalau kita menjumlahkan semua momen jepitan pada suatu titik simpul. jumlah momen jepitan tidak menjadi nol. melainkan jumlah itu menjadi resultante momen jepitan (momen residu). Selanjutnya kita melepaskan titik simpul yang kita perhatikan dengan jepitan kaku pada titik simpul sekeliling. Sebagai keseimhangan pada titik simpul yang kita perhatikan kita pasang sekarang salu momen distribusi dengan nilai yang sama dengan resultante momen jepitan tetapi dengan tanda ( + ) (-)terbalik. Oleh akibat ini momen distribusi (M,ratau M) titik simpul akan berputar dengan sudut o seperti sudah ditentukan pada bab 6.2.4. (macam-macam jepitan).
atau
!+t lt
oF,'' ' 4El! ,............4Eb lz l, ' ""' ' ln
ketentuan ini boleh diperpendek lagi dengan 4 E dengan penentuan kekakuan batang seperti berikut
l,
ln
- u
h=x'
t:r'
/<
sebagai angka
(6.50.)
boleh kita katakan:
Mr: M2: M,
=
........
1y1n
=
atau:
/]
Mt:M'*r,r,:M
hln il1
f
perbandingan angka kekakuan batang.
Sebagai koefisien distribusi p pada titik simpul yang kita perhatikan kita boluh berkata: Gambar 6.5.4.a
Pada bab macam-macam jepitan itu kita tentukan ukuran jepitan e' sebagai sudut putar a dengan momen M = 1 pada ujung batang itu. Oleh karena pada titik simpul yang kita perhatikan semua batang berputar dengan sudut a yang sama. kita bisa menulis:
-* Mz.tz =
Ms.4........ :
Mn.en
dan sebagai persamaaan momen pada titik simpul itu:
M
: Mr + M2 + M, + ............ M,
selanjutnya:
Mr:
Mr:
(6.51.)
yaitu: momen distribusi Ml atau M dapat membagi batang masing-masing menurut
ilt
l, l,
: Mt.tt
bu
Mq
et
tt
a
*i Mz=r'bu, *,:*
€-t'. t.z
k1
t,|=Et
ur= >k 2
bagi batang 1, dan
bagibatang2dsb.
6.5.5. Momen jepitan dan momen distribusi yang disalurkan Momen Mn yang berada sebagai bagian momen distribusi pada batang n pada titik sinrpul yang kita perhatikan sebagai 'lepas' menyalurkan Momen /1,7', kepada ujung batang, yang dijepit kaku. Sebagai koefisien induksi y kita menentukan perbandingan antara momen distribusi yang disalurkan dan dengan momen distribusi pada batang n.
atau:
111
',r
-:
€1 €2 €3
.........En
{6.52.}
Ukuran jepitan c, s/d e, pada momen lembam / yang tetap.dan dengan ujung balok terjepit menjadi' ln
4Eln 288
Gambar6.5.5.a.
289
M', boleh diperhitungkan menurut bab 6.1.4. (balok terjepit seperti berikut:
Pada umumnya sebela
h)
M'n: -
lZ
Ir
30 a1
jikalau momen lembam I tetap pada baloknya:
oo= Mn'l 6Er
Akan tetapi momen jepitan pada balok terjepit sebelah bisa juga dihitung dengan menggunakarr ketentuan tentang balok terjepit, misalnya:
;
q1:
I Hr
Gambar 6"5.5.c
N
Hrh
3Ei
Ms:Mr+0.5Ml
dengan hasil seperti berikut:
*;:t
(6.M.)
,,
(6.53.
Ma:
)
, - ) adalah sa'ma untuk M, dan M'n. Hasil ini juga bisa kita cari dengan menggunakan metode atau sistim titik potong dengan jarak titik potong a = l/3 seperti ditentukan pada batang yang terjepit kaku sebelah dan dengan momen lembam /tetap (lihat juga bab6.2.3.). Momen jepitan dan momen distribusi yang disalurkan harus diperhatikan nanti kalau kita akan menentukan nromen jepitan pada titik simpul berikutnya.
M, +
0.5 M2
perlu diperhatikan, bahwa tanda ( +
6.5.6.
Harus diperhatikan, bahwa Ml dan M2mendapat tanda ( + , -, ) yang sama. Momen lepitan ini sekarang bisa beraksi pada titik sirnpul.
Angka kekakuan k': Pada distribusi momen kita harus memperhatikan juga perobahan angka kekakuan batang (k1 pada batang yang punya tumpuan rol atau engsel sebelah:
Batang dengan engsel pada ujungnya
ukuran jepitan pada tumpuan rol ukuran jepitan pada jepitan Gambar 6.5.6. a
menjadi: €r :
menjadi:
,' :
I
*r 01,
,
Pada bab 6.5.4. (Momen pada titik simpul), rurnus (6.50.) kita menentukan semua
Kalau kita melihat batang AB yang disambung kaku pada titik B dan punya tumpuan rol atau engsel pada u.lung,4 perhitungan dapat dimudahkan sekali kalau kita tidak memakai cara balok terjepit, melainkan langsung menggunakan ketentuan tentang momen jepitan dan momen distribusi yang disalurkan, tentang angka kekakuan batang dan tentang koefisien induksi. M e nentu ka n momen jepita
n
:
Pada umumnya digunakan pengetahuan rumus (6.23.)
M.:'
untuk batang yang punya tumpuan rol atau engsel sebelah kita
harus
memperhatikan perbandingan Ildengan X' yang menjadi 3i4. (angka kekakuan batang k'). Pada perhitungan angka kekakuan batang k' kita harus menghitung kali 0,7b untuk mendapat k'pada batang yang punya tumpuan rol atau engsel sebelah:
k'
lto
:
0.75
'
I
-7
(6.55.)
fi,
Gambar 6.5.6.b
290
4Et
Dengan cara itu kita memudahkan perhitungan angka kekakuan batang k. Tetapi
Gambar 6.5.6.d.
291
Oleh karena tumpuan ro{ atau engsel tidak bisa menyalurkan momen apa pun koefisien induksi y menjadi nol.
6.5.9. Contoh-contoh Contoh
(6.56.)
dan dengan momen lembam
6.5.7. Persiapan cara distribusi momen l.
ln ln
:kn
....
pada
Q. l+/m
tbptiap batang
pada tiaptiap titik simpul
2k
Gambar 6.5.9.a
....
pada tiap-tiap batang
Semua nilai ini kita isi pada gambar (lihat contoh-contoh bab 6.5.9.). Perbedaan antara sistim titik potong dengan cara distribusi momen menurut Cross adalah, bahwa dengan sistim Cross bisa digunakan momen lembam / yang berbeda pada tiap-tiap bagian balok terusan.
2.
I
Kita menentukan momen jepitan pada balok terjepit atau balok terjepit sebelah pada tiap-tiap bagian balok terusan yang dibebani dan mengisi hasil juga bersama tanda ( + , - ) pada gambar (iihat contoh-contoh pada bab 6.5.9. )
I
0.?08 .0.75
-
0.167 0.
0.t56
IK
Menentukan momen jepitan:
6. 5.
&ban merara I t/m
/ yang tetap, ditentukan momen-mornen maximal
pada tumpuan dan pada bagian masing-masing. (oleh karena nilai I jikalau momen lembam / tetap, tidak penting, karena sebenarnya hanya perbandingan, kita boleh menggunakan nilai / = 1.)
Menentukan nilai-nilai bagi batang masing-masing:
kn
ln
1:
Pada balok terusan menurut gambar berikut (6.5.9.a.) dengan
k
{x
0.
95
0.529 0.471
. 07s
r39
*
0.1?5
0.
G4
o.527 0.473
Y
-2.88 +4.32 @ -0.76 -0.68 +0.M
-4.32 -0.34 +0.08
+ 4.50
+0.6
o
8. Cara distribusi momen menurut Cross Cara distribusi momen mulai dengan resultante momen jepitan (momen
residu) terbesar. Selanjutnya momen distribusi yang sama besarnya dengan resultante momen jepitan tetapi dengan tanda (+,-) terbalik disalurkan pada batang-batang yang dihubungkan pada titik simpul itu, dan kepada titik simpul berikutnya. Momen yang disalurkan harus diperhatikan pada perhitung€n momen distribusi pada titik simpul berikutnya menurut koefisien induksi. Dengan menggunakan begitu persiapan pada titik simpul itu pada permulaan tidak seimbang dan harus dikoreksi dengan perobahan momen distribusi sampai perhitungan ini cukup
teliti. (Jikalau dihitung dengan tm sampai satu angka sesudah koma). Momen pada ujung batang masing-masing sekarang boleh digunakan untuk menggambar diagram momen dengan perhatian pada perjanjian tanda yang lama (lihat bab 1.6.3.).
292
293
Perhitungan momen Mmax BC pada bidang 8C: kita boleh menggunakan rumus yang baru seperti berikut:
Perhitungan momen jepitan Mo: (lihat juga pada tabel-tabel bab 9.2.6.)
Momen
Momen
: -
2.88 tm
!'L2' : 12
4.32 tm
: -
4.32 tm
Bp;r;
Momen 9k"run Momen
M.u,:
-0
Momen A
:
--
_
Momen B6nrn
Cp;r;
Cku,run
q't: : 12
= -
g:_!' 8
=_
'r
.6.0, 8
=
Momen jepitan yang terkecil beban merata
Menurut rumus (6.17.) kita bisa menentukan reaksi tumpuan Ba
-* 4.50 tm
4.32: .+ 1.44tm : t:tfie ' Fi,= - 1.44'0.529 : - 0.76 tm AMa *i,i LMB krnun : LMa pz |-t.*,= - 1.44' 0.471 : - 0.68 tm : @ ttMc -4.66 + 4.50: -0.16tm AMcxi,i : AMc'Fz': * 0.16'0.527: + 0.08tm l +0'16tm f,Mckunun : AMc'j"r: ='f 0.16'0.473: +0.8&tm | Perhitungan momen Mmax AB pada bidang l8: menurut rumus (6.26.) kita boleh menentukan Mmax AB = Raz/2 g dengan reaksi -- 2.88 -r
A4t-
!,
RB
:
Rau
=
RB
: Rao* M,: I
Distribusi rnomen menurut Cross:
LMa
(6.57)
di dalam rumus ini, masing-masing bagian berarti: Rc : Reaksi pada tumpuan dengan momen jepitan yang terkecil
Mc :
Momen D
O
1t _ *,
Reo
q.l 2
MmaxBC=
*
I
=2t. 7.2 = + 3.6t M,
*Ma=ry -
*
3.66 + 4.58
: +3.6
= +4.06t
3.66: +4.satm
Contoh 2: 'l Pada balok terusan menurut gambar berikut (6.5.9'b. ), lihat juga contoh pada bab 6.3.3. kita menggunakan cara distribusi momgn menurut Cross, kemudian kita menentukan semua reaksi pada masing-masing tumpuan untuk menggambar diagram gaya lintang dan menentukan maximsl pada masing-masing bidang. q
:
total 8.5tm
lz
:
6.0O m
tumpuan Rapada tumpuan rol atau engsel, dan menurut rumus (6.17.)kita menentukan R4 itu sebagai:
:q-'-t *tvtq-:1i-1f R" IlA"7--l__-{-43_-
,*", o,
: H'
- ljq:+1.641
Gambar 6.5.9.b
1.642
: + 1.34tm
.)
Perhitungan momen MmaxcD pada bidang CD.' menurut perhitungan momen Mmax Co kita tentukan:
=,;' -ry=
RD
Mmax
294
CD
-
ryp' 2q
T-T:1224'
2.242 --{
lc = 5,00 m
:
I
k= 7
:k = k Y: rtk
1
1
1
1
(k')0.167
0.167
0.500
(k') 0.150
0.667
0.500
0.500
0.250
0.750
0.769
231
+ 2"50 tm 295
-
21.25
25.50 - 25.W + 2.83 - 2.83 + 26.56 - 9.12 - - 18.25 - 5.48 3.92 * + 7.95 + 23.4 - + 11.92 - 9.17 2,!5 + 1.72 0.57 * + 1.14 4.37
* +
* + 0.4 0.98 0.73 * + 0.37 0.14 * -- 0.28 0.18 * + 0.09
12
@
MomenC
Momen 017
g.12
Momen Dpru,
1.6i
@*
o.2o
0.25 0.10 0.06
12
Momen
0.11
: -2.83tm 8.5 . 5.02
8
1
0.12 * + 0.20 * +
8.5-2.0'
=
2.83tm
2.18 0.55
_ g.l'
C6r",
Momen
E
=
26.ffitm
0
Distribusi momen menurut Cross:
o Perhitungan momen jepitan Mo: (lihat juga pada tabel-tabel bab 9. 2. 6.)
@
Momen/
o
0
MomenB*i,i--+=-!.5#g =-
21.25tm
@
LMo
+26.56-2.83= +23.73tm
aMo *iri
LMo'rr: -
LMD kurun :
LMo'y= *23.73.0.231 : -5.8tm
aMc
-
LMc riri LMc kunun :
LMo' u : LM"'tr:
LMo
+ 11.92tm
LMo *iri
LMo'
kurr, = LMo. t, =
LMc
-
LMc k"nrn
Momen 296
- t#:
--9'5#g'
= - 25.fi tm C*;;= MomenB = -25.50tm
@
y-
LMD
aMc xi,
Momen Bkanan:
25.50
aMa aB kiri
LMa'P
23.73.0.769:
6.29
: -
31.79
+ 31.79'0.750
18.25tm
-
tm
:
+ 23.4tm
+31 .790.250: +7.95tm
: .52 .A.231 : -
-'11.92.0.769
-
'l
1
9.17 tm 2.75 tm
+
31.79
tm
-
11.92
tm
4.58 tm
LMc'y = +4.58.0.750= +3.4tm : LM"' t, : + 4.58. 0.250 = + 1.14 tm *21 .25 + 29-99: + 8.74tm La. t, = - 8.74. 0.500 : * 4.37 tm
-
- 23.73 tm
8.74. 0.500
=-
4.37 tm
+
4.58 tm
-
8.74tm
dsb. ".... 297
Menentukan momen maximal pada rnasing-masing bagian balok:
Menentukan masing-masing reaksi tumpuan:
Re
Ab 19.13 5.76 = 13.371 l' 211 : 9-!-L + M| = 19.13 + 5.76 = 24.Bgt 2t
=
RA
*iri
R B k"nun
R c
*iri
Rckrru, RD
RD
RE
uri
kur*
q'
t
-- Q.lt ' lz 2 *ryL--n4, _ - Q.lr 2
Mc
- Mo = lJ
MD Q.lq + ---::
2
lo
:
a.n + o.1o = 8.60t B.Eg
-
* Q'lq - YL : lo 2
=
1,57 m)
MmaxDE=
(xpo=-'R. = q
2.'l6m)
32.75t
*
=+19'74tm
- -;
- i - Mc : 34.31 - 17.80 = + 16.51tm MmaxcD : rf, *Ma :+ 4.18 - 17.60: + 13.45tm MmaxBC
R1^
Dengan hasil ini kita bisa menggambar diagram momen:
I
Gambar 6. 5. 9. d
0.10 = 8.60 t 32.58
=
t*as
51.741
Q'lz
: zs.il+ 1"35 = 26.851 I 211*ryt-Mc _ ryE--itc : 25.s0 - 1.3b :24.1st - Q.tz l, 2 I -
R"
MntaxAts:*=+10.521m
t1 ^ .24 + 2.93
:
2r.2s,, 2.93 :
Us
I
24.1.81
18.32
-fte
t
t
+ Dengan hasil ini kita menggambar diagram gaya lintang: Pada contoh 2 ini kita perlu memperhatikan dengan khusus momen maximal pada
tumpuan I yang dengon -25.85 tm jauh lehih besar daripada momen terbesar berikutnya (bidang DE, + 19.74 tm.) Kemungkinan untuk mengawasi kejadian ini tergantung pada bahan bangunan yang dipilih:
1. a.
Konstruksi beton bertulang: Pada konstruksi beton bertulang ada dua kemungkinan: dengan merendahkan ketinggian puncak momen pada tumpuan I jikalau tiang beton bertulang yang menjadi tumpuan I cukup lebar, kita boleh menggunakan rumus berikut:
Ms':Ms*
ms-4LAt 2
*, =Li * hlt4 ln Gambar6.5.9. c
298
(6.58.
)
Gambar 5.5.9.e.
299
Perhitungan momen jepitan Mo:
Momen A,
A'
:0
Momen D
Momen Bp;,;
_q_'
l'
5.2. 6.42
:
l-
8
-26.62 tm
=
-
Momen D'
=
Momen Ckurun
P' a2' b
-21.23 tm
t, :-- LU =-l1.5qj! 20.32 . 4
: -
Momen D
35.92 tm
Distribusi momen menurut Cross:
Momen
B'p11
P'a.b (t1al= = --t,
15'3.6.28
2.e+
' to =
-
Momen B*i,i
-
18.46 tm
@ LMe AMakiri
*45.08tm
aMc
_
Momen C1;
g'12
'LM,
12
=
Momen Bsrnu,
= -10.83
tm
+
10.83 ..
_
34.?q
u
- LMs.y- +34.2s 0.369: + l2.Mtnr AMBkur", = LMe U=*34.25 0.63 1 = +21.61 tm
@ aMc Momen 8.Kanan
45.08
@
xirt
rrrun
aM a xiri aM I
-0.02+40.82= - +o.agll AMc'y - *40.80'0.583 = -23.79tm AMc y =-40.80.0.417- +17.01 tm
=-
aMa
krnun
+ 34.25 tm
1'l
..
40.80 tm
+
11.90tm
.90 rm
tMe.p = + 11.90.0.369 AMe s = + 11.90.0.631
tnr
= +
4.39
= +
7.51 tm
)
|
dsb...... ...... Momen
C6r*
Momen C'kr*n
* _
___tg' 12
5.2. 7.02 =__/__=
_ ._P.a.bz_ 20.3.4, 12 -- 7^0, Momen C6n.n
--21 .23 tm
=
-
19.59 tm
-
t10.82
Menggambar diagram momen dan diagaram gaya rintang bisa rihat pada contoh 2
bab 6.3.3. (gaya-gaya dan momen pada balok terusan).
tm
302 303
selanjutnya melepaskan satu per satu titik simpul sampai semua momen pada satu
titik simpul menjadi seimbang. atau boleh dikatakan resultantenya menjadi
7.
Konstruksi Portal statis tidak tertentu
7.1. Konstruksi portal dengan titik simpul yang kaku
7. 1.
4.
1. Pengetahuan dasar
sistim cross yang digunakan untuk perhitungan statika pada balok pada sudut terusan pada bab 6 juga dapat digunakan untuk menentukan momen pada konstruksi porral, jikalau titik simpul tidak bisa bergerak, walaupun boleh memutar.
(tidak Titik simpul atau titik sudut pada konstruksi portal menjadi kaku
bisa
gaya horisontal bergerak), iikalau misalnya konstruksi portal itu bisa menyalurkan
kepadalotengbetonatausuaianginhorisontaldankepadadindingbangunanyang kaku. Akan tstapi hafrls dikatakan bahwa pada banyak konstruksi portal titik simpul tidak boleh dinilai sebagai kaku.
Misalnya pada konstruksi portal dua ruas dengan gaya Fo (lihat gambar 7.1- 1. a. sebelah kanan) titik simpul (titik sudut) dengan pasti akan bergerak di bawah gaya Fo. Soal-soal seperti itu kita namakan konstruksi porial dengan titik simpul yang goyah
nol.
Semua batang harus dihitung sebagai balok terjepit atau terjepit sebelah. Selama pada satu titik simpul resultante momen belum menjadi nol kita harus memasang satu momen distribusi seperti pada balok terusan. Perhitungan momen boleh digunakan menurut urutan berikut: 1. Perhitungan momen iepitan pada ujung kiri dan kanan batang masing-masing sebagai balok terjepit atau balok terjepit sebelah' 2. Menentukan resultante momen jepitan lLMl pada titik simpul masing-masing' 3. Membagi momen distribusi menurut angka kekakuan batang pada batang
5.
masing-masing (zt) ke Menyalurkan momen jepitan (momen residu) menurut koefisien induksi titik simpul berikutnya.
Menentukan resultante momen jepitan (AlV) pada titik simpul berikut dan
seterusnYa menurut 2' s/d 4'
Memperhatikan perjanjian tanda ( + bab 6. 5. 2.
,
-
) pada sistim Cross seperti dibicarakan pada
7.1.3. Contoh-contoh contoh
1: Konstruksi portal dengan titik simpul yang kaku, lihat Gambar 7. 1. 3. a.
berikut.
Dicari: Mirmen-momen pada tumpuan. titik simpul dan pada batang, reaksi tumpuan-tumpuan dan diagram gaya normal dan gaya lintang' 2
Fo
(lihat bab 7. 2.). GambarT' 1' 'l ' a' gaya Pada perhitungan momen pada sudut portal pengaruh atas gaya normal dan lintang boleh pada prakteknya dihapuskan' portal menurut cross boleh digunakan hanya pada
Perhitungan konstruksi
konstruksi portal dengan momen lembam
/
pada masing-masing batang meniadi
tetap.
7.1.2. Cara distribusi momen menurut Gross DenganmenggunakansistimCrosspadakonstruksiportalkitabisa akan bisa menentukan momen piaa suout-sudut. Dengan momen itu kita normal dan gaya menentukan reaksi tumpuan, momen pada batang-batang,'gaya lintang.
MenurutCrosskitatentukansemuatitiksimpulsebagaikakudandenganbegitu,
batangmasing.masingmenjadibalokterjepit.Sepertipadabalokterusankita 304
Gambar 7. 1. 3. a.
6
Momen lembam /:
batangl batang2 batang3 batang4 batang3
-3\* - 4| + -4 + 5 -6 - +
B, H,
l=-= '12
=
67'500 cm{
/ = 686'6O0 cma I = 416'000cma / = 160'000cma 305
batano4 uatanJ5
-
7I
| = 312'5oo4cm4
- 8l-
Perhitungan momen jepitan: q = 4tlm
Angka kekakuan batang k:
batangl-3 batangz-4 batang3 - 4 batang4 - 5 batang3 - 6
i::ffi;_;
*,, I krn I
k.. ko.,
kr"
I[]
Koefisien distribusi p: Titik simpul3:
=
L"
= . 981
Lr.u
= 320 cm3 - 1'465.75 cm3
rkg
168.75 cm3 cm3
981 cm3 832 cm3 320.cm3
=
625 cm3
#Mqs=M?.q="
batang
3-l
batang 3.-4 batang
-,
:
g.,:
-, yrn:
3-6 -. pr3_u:
rq6e7s = 981
1469.75 320
=
= Sl
cm3
batang
4-3
=
1.0(X)
:
0.376 zooo.Ts =
batang
kn-s
832
cm3
ko-z
625
cm3
4-5 -, po_u: 832 = 0.319 2606j5 625 batang 4-7 -, po., = = 0.240
1O4O
tcm
-6 +1
f-T7jd1
_t9
GamLrar 7. 1. 3. b.
oo :H:]I;H
tE8
:-,
**l**NBlBgs
=1
l-196
H:tlffiiq
r273
F] r+lt{l+tt++t I I l**: LLlt
3 + ll
eooo iZ
I
eoo
+369
+17
:_3. L{!9J
0.065 zooo7s =
.
&r
k4€
= &12
cm3
[ratang
5-4 -, p5-o=
Lr{
= 625
cm3
batang
5-8 -,g5"=
:lq
=
cm3
832
u57 625 1457
f;td .6 3t) -+l17
t:iid
zoooTs
-19
-t7E
=
1.000
=
0.570
'I
koefisien distribusi p:
1'457
:
batang
2'606.75 cm3
Titik simpul 5:
12 = -10'40tm= - 104O tcm
L2261
168.75 cm3
=
12
5.0 . 5.02
t.J0t
168.75
4-2 -, yo_r=
Mq.s
-
-35/,
981
..,r4_3:
Ms,c=
0.667
(5)
koefisien distribusip
_q'l'=
-'Y'3'4=-12=
0.1'15
0.218 raogTs =
rFs
Mq,s-
Distribusi momen menurut Cross:
168.75
\n
:&
306
= = =
: -16.3[ttm= - 1G33 tcm - 1633 tcm
---=;-tz
3
-
Titik simpul4:
k3.
67',500
= 400 = 1€i8.75 cm
koefisien distribusip
k,_r
4.0 .7.02
p1.,_*9_!,
.
&s = I.000
-+8 +
/65
Kita mulai dengan distribusi momen pada titik simpul dengan resultante momen jepitan aM yang terbesar, pada contoh I ini, dengan titik simpul 3. Resurtante jepitan LMrpada titik simpul 3 ini nrenjadi + 1,633.tcm, yang akan Tomen dibagi sebagai momen distribusi kepada batang 1 _ 3, batang 3 _ 4 dan
batang 3
= 0.€0
r.10a
-
6 menurut koefisien distribusi g:
AM3= + 1633tcm. AM31 .. - 1633 0. 115 : - 188tcm LMro- -- 15i!3.ttE7 - -108gtcm AMs'= -1633.0,218= - 356tcm
l J
-
^M.=-1633tcm 307
Momen distribusi ini .akan disalurkan kepada tiap-tiap titik simpul yang berikut menurut koefisien induksi y:
kepadatitiksimpul 1:- 188.0.5= kepada titik simpul4 : - 1089 . 0.5 : kepadatitiksimpul6 : - 356. 0.5 :
2. AMq = -
1633
-
545
+
10210
94tcm
-
=-
tcm 178tcm
545
Disitribusi momen berikut dilakukan pada titik simpul 3 dengan AM, : 1 214 - 216 : + 168 tcm dsb. sampai distribusi momen kesepuluh (sampai semua resultante momen jepitan pada titik simpul masing-masing menjadi nol).
Menggambar diagram momen : Pertama kita tentukan tanda (+,-) dari momen-momen yang baru diteniukan dengan sistim Cross.
1138tcm
= + 1138' 0,376 = + 428tcm AMq,z= + 1138'0,065 = + 74tcm LMq,s = + 1138' 0,319 = + 363tcm AMqt = + 1138'0,240 = + 273tcm LMq,s
5.
t I
AMq
=*
Momen pada batang-batang yang horisontal adalah positif ( + )jikalau ada gaya tarik pada sisi bawah dari batang horisontal itu, dan menjadi negatif (- ) sebaliknya. Momen pada batang-batang yang berdiri adalah posisif (+ ) jikalau ada gaya tarik pada sisi dalam (pada portal) atau sisi kanan (pada tiang tengah) dari batang vertikal itu, dan menjadi negatif (- ) sebaliknya.
1138rtcm
Momen distribusi ini akan disalurkan kepada tiap-tiap titik simpul yang berikut menurut koefisien induksi y: kepada titik simpul 3 '. + 428. 0.5 : kepada titik simpul 2 : + 74 .0.5 :
kepadatitiksimpul 5:+ 363.0.5 kepada titik simpul 7 : + 273. 0.5
3.
+
+
=+ =+
214 tcm 37
Atas dasar perjanjian tanda
tcm
182tcm 137
Pada
tcm
- - 1040 + 182: - 858tcm LMs,o: +858.0,57: +489tcm AM5
LMs,= +858.0,43: +369tcm
)
l
t
-L
Mu
= + 858tcm
: + 245tcm 8: + 369.0.5: + 185tcm
kepadatitiksimpul4 : + 489. 0.5
titik simpul 3:
batang3-4=-6.02tm batang3-1: +2.O8tm batang3-6= -3.96tm Pada
Momen distribusi ini akan disalurkan kepada tiap-tiap titik simpul yang berikut menurut koefisien induksi y: kepadatitiksimpul
(+,-!
ini kita boleh menentukan tanda-tanda momen
seperti berikut:
titik simpul4:
batang4-3*-18.82tm batang4-2= - 0.61 tm batang4-5=-15.95tm batang4-7 = + 2.26tm
titik simpul 5: batang5 - 4 : - 3.83tm Pada
batangS*8: -3.83tm Padatumpuanl
= -1.04tm
Pddatumpuan2: - 1.30tm Padatumpuan6: + 1.98tm PadatumpuanT
=-
1.13tm
PadatumpuanS: + 1.92tm
-1,04
4.
Distribusi momen sekarang mulai lagi pada titik simpul dengan resultante momen jepitan yang terbesar. pada contoh 1 ini, pada titik simpul 4: LMA: + 245tcm LM^.s: -- 245 .0,376 : - 92 tcm AMo.z= *245.0,065: - 16tcm -245tcm
: * AMo., : * AMq,s
: 245. 0,240 : 245.0,319
78tcm
I
59tcm
I
- ^M4=
Momen distribusi ini akan di5alurkan kepada tiap-tiap titik simpul yang berikut menurut koefisien induksi y: kepada kepada kepada kepada
titik simpul titik simpul
3: 2:
titiksimpul5 : titik simpulT : -
92. 0.5 16. 0.5 78. 0.5 59 . 0.5
: ==: -
3,04
tcm tcm 39tcm 30 tcm 46 8
299 2
Gambar 7. 1 . 3. c. +1,98
308
Mpn
309
(Penentuan momen maksimal pada bidang masing-masing lihat selanjutnya sesudah penentuan reaksi tumpuan dengan gambarT. 1. 3. h.). Menentukan gaya lintang (O): Oleh momen iepitan pada ujung-ujung batang dan bebanan pada batang itu kita bisa menentukan ukuran gaya lintang menurut rumus (6. 16.) berikut:
Rs,q=-14.92+5,0'5,0
^.,u=H#&=1,le*
dengan Oo : Gaya lintang oleh beban pada sistim dasar (balok tunggal) Untuk menerangkan momen pada ujung batang masing-masing untuk perhitungan gaya lintang kita gambar sistim statis dari portal tsb. dengan ukuran dan jurusan momen:
I
86 = 1,19t* ,0,,
M".M
= 10,08
AsA=
-
10'08t
..".Os,0-Oo=-1,191
I
=ulii4:0,68t*
I
R7 = 0,68t*
""'Ql-Q7=+0'68t
I
,r.r=E*W=1,15t*
I
Rs = 1,15t -
OO)
tl
I
Hasil digambar pada sistim statis dari portal tsb:
.
GambarT. 1.3. d.
Untuk perhitungan gaya lintang pada batang yang vertikal dan yang tanpa beban kita hanya perlu menentukan reaksi pada tumpuan dengan hasil berikut: Gaya lintang:
Reaksi pada tumPUan: R1
_ 1,M + 2,08:
R?,.r
=
4,0
0.78t
*
0.78tt
Rq,z
= 0,23t *
Rs,t
-
4,0.7,0 2'
Dengan menentukan tanda ( + gambar diagram gaya lintang.
I
...C,2:O.q,z- -0,231
I 6,02
-
18,82
7,0
12,17
tt
Q,+
=+
-
) dari gaya
.l.3.
e.
lintang seperti berikut. kita bisa meng-
Gaya lintang pada batang yang horisontal adalah positif ( + ) jikalau batang sebelah kiri dari satu potongan sembarang akan naik ke atas, dan menjadi negatif (- ) sebaliknya. Gaya lintang pada batang yang berdiri adalah posisif (+ ) jikalau balok sebelah bawah dari satu potongan sembarang akan bergerak ke kiri, dan menjadi negatif ( - ) sebaliknya. Pada gambar diagram gaya lintang kita perhatikan ketentuan-ketentuan berikut:
15,83
t
t
O+,s
=-
15'831
5,0 ' 5,0 x+s= 2 -
14.92
t
I
Q,s
=+
14,921
310
,
GambarT.
12,17t
Rq,s=-12,17+4,0'7,0 15,95 -'3,83 5,0
2s=1.1s
.....O1 :Os,r:-0,78t
I
:0,23t-
R2
I
PrQm
Pada batang yang horisontal gaya lintang yang positif ( + ) cligambar sebelah atas dari batang itu, dan yang negatif (- ) sebaliknya. Pada batang yang berdiri gaya lintang yang positif ( + ) digambar pada sisi luar (pada portal) atau sisi kiri (pada tiang tengah) dari batang vertikal itu, dan yang negatif ( - ) sebaliknya. 311
a78I
Gambar 7. 1. 3. g.
q68
l0tt
1,15
Gambar 7.
1
. 3. f
.
Gaya pengikat horisontal pada titik simpul (Fr):
Konstruksi portal dengan titik simpul yang kaku pada contoh 1 ini menjadi kaku
Menentukan reaksi-reaksi tumpuanr Dengan ketentuan momen-momen jepitan, gaya lintang dan gaya normal dan gaya pengikat horisOntal pada titik simpul 3 sebetulnya semua 14 reaksj tumpuan sudah diperhitungkan. Reaksi tumpuan tsb. adalah:
oleh pengikatan horisontal pada titik simpul 3. Reaksi tumpuan horisontal {Fr} adalah:
padatumpuanl:
o,nt b uett
pada tumpuan
+ +
A23
+
q8
+
u,f ZH = 0 = - 161*0,78 + 1,'19 + 0,23 - 0,68 Fs= 1,42-2,61 = - 1,19t(gayatekan)
1,15
Menentukan gaya normal (lV): Pada konstruksi portal seperti pada contoh 1 ini gaya normal bisa ditentukan sesudah gaya lintang ditentukan. Menurut gambar 7, 1. 3. e. dan perhitungan reaksi tumpuan pada titik simpul 3 kita bisa menentukan pada bdtang-batang yang horisontal: Nr.o
-
No.s=
1.,19 - 1,19 = - l,60t 1,60-0,23+0,68: -1,15t -
Q,'78-
dan pada batang-batang vang berdiri:
Ns.o= -12,17t Net= - 15,&3- 14,92= -30,75t N s.a = - 10,08 t
R,n = -
M1
2: Rrn = M2 = padatumPuan6: F. = padatumpuano: nru = 8'n = Mo = padatumpuanT: R* = R-ln = M7 padatumpuanS: 8ru = 8rn MB =
0.78
1
1.O4tm
+ 0.23 t - 0'30tm + 1.19t - 12.17t $ 1'19t $ 1'98tm -30.75t
-
+
0'68
1
tm 10.08t 1.'13
1.15
t
1'92tm
Pemeriksaan m€nurllt syarat-syarat perseimbangan
:
2V = 4,0.7,0 + 5,0. 5,0 - 12,17 -30,75 - 10,08 = 28 + 25- 52,0 = 0 2H = *0,78 + 0,23 + 1,19 + 1,19*0,68- 1.15 = -2,61 + 2,61 = 0 Reaksi pada tiap-tiap tumpuan:
t&'tm
Gaya normal diperhitungkan gaya tarik sebagai positif (+ ) dan gaya tekan sebagai negatif (-). Pada gambar diagram gaya normal kita perhatikan ketentuan-ketentuan berikut:
Pada batang yang horisontal gaya normal yang positif (+ ) digambar sebelah bawah dari batang itu, dan yang negatif (- ) sebaliknya. Pada batang yang berdiri gaya normal yang positif (+ ) digambar pada sisi dalam (pada portal) atau sisi kanan (pada tiang tengah) dari batang vertikal itu, dan yang negatif (- ) sebaliknya.
312
GambarT. 1.3. h.
t!fr
Menentukan momen maximal lMrdan M*l: Momen maximal bisa ditentukan seperti pada balok terusan pada rumus (6. 57): 313
rumus (6.57.)i
yaitu:
M^r,
R-2
Angka kekakuan batang
i--Mc 12.172
Mx
*#-3.&l-
+ 6.32tm
Ukuran x dan xr dapat ditentukan pada tempat gaya lintang menjadi nol:
A,
batans't
-2'
ki,r=
!]- = 3 lgp 14h,45O0
batang3
- 4t
ki," =
14hr4m -b'!- =g'
Z.q.O-6.02:+12.5tm
M,,
batans2-3*
k;r=+
Koefisien distribusi
12.17-4.0'x:0
f:
kr,z
. t'-;
t6
=,.:],",",2eemdaritianstensah)
x dan x,dapat diukur dari tumpuan dengan
reaksi iumpuan verfikal yang terkecil (lihat gambar 7. 1. 3. h. dan diagram momen 7. 1. 3. c. ).
Contoh 2: Konstruksi portal dua ruas. Dengan suai angin konstruksi menjadi kaku pada titik simpul (sudut). Menentukan momen jepitan untuk beban konstruksi atap (loteng) dan untuk beban horisontal oleh tekanan angin.
:
kz.r
= Ekz =
:
= #=?fficnf
koefisien distrilcusi p: batang 1
24O cm3
batang
2'?fscm3
- 2- ur,., =ffi=0.095
2-3*ur.r:ffi:qS ZPz
2'520 cm3
titik simpul 3:
koefisien distribusi p:
kr.r
batang 2
=
2,2&) cm3
= Ik, :
2OI cm3
ke,r
2'431
201 cm3
p:
titik simpul 2:
or' = -10;G
1073P
= 240cm3
=
- 3* nr., :#=0.920
batans3-4*r.,.=ffi=o-.P
&s:
"* '
Perhitungan momen jepitan: momen jepitan oleh beban merata (konstruksi atap) g
M,: M,:
1'000
- # : -i#
:
1'000
:
4.0
t/m
-21,33tm
Distribusi momen menurut Cross: (diperhitungkan seperti biasa)
oooo@@
6 Ed66rbNr6brcoi**lJo]
Gambar 7. 1. 3. i.
Momen lembam
-296
/:
'batangl-2 - /: 1e_l{' : 12
34it4'
batang2
-3
/=
batang3
-4
: l: 3,0:ry' 12
3t4
:BEESIPTF\I I IISI I *1'1*,1* ,l* ,l* 'l*,lL!
12
=
_lJ
=
't6,00 dma
182,@dma 10,72dma
=
=
16O(XX) cma
---J
-t
trT7d
qts *rs qrsqET lEllrotq l{t t\Eh6N5tqsts. 15il I I tNNN+tqr I rll+ rl+ rl+ rl+ rl+ rl+
eocooe
1.r71
l;m
;-5 @
1822000cma
10710 cma
GambarT. 1.3. k.
315
Menggambar diagram momen:
Pada permulaan contoh 2 ini kita menentukan bahwa konstruksi portal dua ruas ini
dengan memperhatikan perjanjian tanda kita bisa menggambar diagram momen oleh beban merata (konstruksi atap)
o=
boleh dihitung dengan titik simpul sebagai kaku oleh konstruksi suai angin. Sekarang kita harus memeriksa, apakah suai angin betul cukup kuat untuk
4.0 tl m seperti berikut:
menerima gaya horisontal oleh tekanan angin.
Menentukan gaya lintang (O): Untuk perhitungan gaya lintang pada.batang yang vertikal kita hanya perlu menentukan reaksi horisonlal pada tumpuan masing-masing.
ZMz= o = Rn's.oo + Rtt
Gambar7.1.3.1. Perhitungan jepitan momen jepitan: momen jepitan oleh beban (tekanan) adgin
w = 1.2t/
M2= ^ -375 (l)+ 36 -
+--2
r--2. l-d291
-ry{
=
-*(1!_!g
12'!t +
M2l
*
m"
=-3,0+
tf
1.2'5.02 0+3.29 xzl= z - s.o
m
=
-12y
Mz- Mz ^ n2'3=8po =-
= _3,75tm
Rs,z =11 -J
=
3,29
-
0,18
= * z,ut
-01
= + 3.66
=42
1
=+0'431
8po
+ 0.43t
)
Mz 0,1R ^Re,q: - ?, = -rn = -o,ost
E,!J Distribusi momen menurut Cross:
fiqA=
I
-o.ost
I
Gaya pengikat horisontal pada titik
=Q2's
=
o,,o
simgul2lF):
Dengan memperhatikan catatan di bawah gambar 7. 1.3. n. reaksi gaya pengikat horisontal F, harus disalurkan oleh suai angin: (pada perhitungan kita memilih jurusan F, dari kirl ke kanan)
Gambar 7. 1. 3. m.
Menggambar diagram momen: dengan memperhatikan perjanjian tanda kita bisa menggambar diagram momen oleh beban (tekanan) angin w = 1 .2t/ m seperti berikut:
Fz:
R2,.,
*
Be,o
Tanda minus
=-
(-)
3,66
1-
0.05 1
=-
3.71
t
menentukan bahwa pilihan jurusan
F,
dari kiri ke kanan
sebetulnya salah, dan F, berjurusan dari kanan ke xiri, yaitu gaya tarik. Menentukan gaya normal
(y't/):
N,,r= Or,r= +0.213t Ns.a=
-Qz,s: -0.43t Nz,s:Fz*O2,,= -3.71 + 3.66=-0.05t Menentukan reaksi-reaksi tumpuan: reaksi tumpuan masing-masing oleh tekanan angin (w) adalah:
R,* = -2.!ll R'u = -0'43t pada tumpuan 2 : F, = - 3.71t (oleh suai angin) padatumpuan4: Rou = +0.€t Ro* = -0'05t padatumpuanl:
Gambar7.1.3.
316
n.
-
317
Koefbien distdrusi p: titik simpul 1:
Menentukan momen maximal dsb. menurut contoh. 1.
Contoh 3: Konstruksi portal bertingkat menurut garnbar 7. 1. 3.
pengikat horisontal Fo, dan
o. Dengan pertolongan gaya
d,, kita bisa menentukan sistiminisebagai
kaku.
Dicari: Momen-momen menurut Cross.
tot 3p0
q=\0t'/n
Fot
tot
25/35
For
4
2s/60
-25/65
2s/45
25/t
batangl
-2
-
r1,2= 1251 = 0.762
batangl
-4
-
111,4=
titik oimpul2:
koefisien distribwi p:
I
a s
krz = L. zh =
g(Dcnf 2S crf
l'198crrP
=450000crd
fficnf kr, kr, = 953 cnf kt, = 474crr? Ik = 1'725"*r
batang3 -2 + batang3
25.46
It" La |!* q" :\
= 189600 cma /s,s : 260000 crna /a,z
= = = =
318
r.,r=
batans4._S -
batans4-1
-7'
p4.1
=#=0.173
Fr,s
=
#
= 0.552
ret
=
ffi
=-!.ns
'+4
cnf
2'e+z
cnf
batang 5
-
6
batang 5
-
8
900crYf
batanss
-
*
F5,6=
ku = So"t
L, = Ecrnr k'u-e = 250 cnr3 :\ = 1',r148 cnf
= 1'([0 =0.32i!
=o.ru,
# =0.*
P5,8=ffi=o.u IPs
titik simpul6:
1'000
ffi -o'^t
651
444cnf
=
:
-4 + rr.o= # batanss -2 + ,r.r= #
953 cnr3
:953cms I :- s7?W 600
kr,, t batangl-2 kr,rdanks,o:900cms batang2 - 3danbatang5 - 6 k,.o dan k..u -- 298 cm3 batang 1 - 4 dan batang 3 - 6 batang2-5 kz_s=444cm3 batang4-7 ko,:474cnf batangS-8 ks.s =650cm3 batango-e ,'o, : 1_ffi = 25ocm3
'+2
koef isien distribusi p:
Angka kekakuan batang k:
i
yz.t=
koefisien dbtribusi p:
titik simpul 5:
= l.(trO
+ F3.6: M :_ j!1s - 6 iiss :re = l.(trO
batans4
25 - 353
=_0!s
# = o.oto batans2-3 + ,".r= ffi:0.$2 batans2-s * ,r,u=#-iJg ko€f isien distribusi,r
titik simpul3:
titk simpul4:
25.653
batang4-5 + ko,u
:rr
1-
batans2-
Momen lembam /:
lz,z: ls,a=25'a603
2S 1%1
6
0
Gambar 7. 1. 3. o.
.
953
kr-, = 963 crnl kr. = fficrna Ek, = 1'251 "rP 9tB cnf L-, = l9:. : 900 cnf t-. = 444cm3 z\= 2'an cms
+
koefisien distribusi p:
= l'GD
koefisien distribusi p:
+ ,.,u= # batang6*3 + r.,.= ffi batans6-9 4 ,r,r=ffi batans6-5
-O.V2 =0.Z)6
=-o.y
:+t6 =
1'000
319
--\ Perhitungan momen jepitan:
pada titik simpul3
Mt,t= Mz,t= -4r!gj!{eu = Mz) =
M\t= Mt,s Ms,n
Ms,a=
=
-'o'H#'* -
-
-
1o'o 'l-Lq' 5'0'?
-
1,0)
padatitiksimpul
=
-
8,ootm
15,0 . 6.0 8
15,0' 6.0
=-
M,s= -18'oo- 5'oo=
-
=-
18,19 tm
=-
12,64 tm
1l,25tm
Distribusi momen menurut Cross:
Menggambar diagram momen
TIT]T]B
-303
:rra
+78
;Ti|
+41
ft-rTit
;t0 +l fiia
oo
Pl
t:
2.48tm
= = = = = = = = =
+ 4.37 tm -* 9.10tm 4.73 tm 16.61 tm - 'l + +
5.14 0.95 0.52 4.55 2.80
tm tm tm
tm tm
1.75 tm
:
GTBa-l
o@o
-1
-10
+210
-291
-t
1
I
_Jl
+8
l-12d
+12
2 6
+180
+21 -,
-o
-
oo@
@o@
sxE$Br**NI Nqtn$t i * ,l * rl* .l[*]
Enil,
batang 3 batang 3
4: batang4batang 4 - 5 batang 4 - 7 pada titiksimpul5 : batang 5 - 4 batang 5 - 6 batang 5 - 2 batang 5 - I padatitik simpul6 : batang6 * 5 batang 6 - 3 batang 6 - 9 pada tumpuan 7: = + 2.37 tm pada tumpuan 8: = - 0.26 tm
12,otm
(5,0
:
+00
52
-463
lEll'9sEle* +l
lPll rl+ I rl+r
=-0 -1
Lltr+
r
@oo
l-4731
l-uitr*qrqqs *lB*i
lsllr +l+ + lLl
oo
+175
@
r
I Gambar 7.
1
.
3. p.
Atas dasar perjanjian tanda ( +, - ) bagi momen-momen kita dapat menentukan tanda-tanda momen seperti berikut:
1: batangl-2 \ batangl-4 t pada titiksimpul2 : batang2 padatrtiksimpul
1
batang2
batang
320
2-
3 5
= - 4.28 tm - 13.95tm = - 12.57 tm = + 1.38 tm 321
7"2. Konsiruksi portal dengan titik simpul yang goyah
7.2.1. Penurunan tumpuan pada balok terjepit
Gambar 7. 2. 1. c.
Jikalau pada satu balok terjepit satu tumpuan mulai turun vertikal ke bawah, penurunan tumpuan itu mengakibatkan momen jepitan pada dua tumpuan jepitan yang mempunyai ukuran dan tanda (+,-) yang sama sebelah kiri dan sebelah kanan. Besarnya ukuran tergantung pada ukuran penurunan tumpuan d
(yang selanjutnya dinamakan sebagai koefisien pergoyangan) dan pada angka kekakuan batang. Pada balok terjepit dengan momen lembam / tetap, momen jepitan (Mn) menjadi:
Mix=
=u*',0 r
dsn.k: l/l
3E. l.d
4E'd
--tk'
dgn.
k'
=
3t 4l
, ='u;:" :
3
ffi000 cm{
Angka kekakuan batang k'.'
3 880000 : k'tz: 4 800
- 3
k'z-r--
3 880000
?'
600
:
825 cm3
1100 cmr
Koefisien distribusi:
terusan misalnya atau konstruksi portal menurut sistim Cross.
=
koefisien distribusi:
825 cm3
batangl
-2
Ft.z*
ki-: = 1'100 crn3 Ik, : 1'925.'n'
batang2
- 3
Fz,t=
k'r-t
0.2.t
ditentukan, kita selanjutnya bisa mencari momen masing-masing pada balok
825 1925 1
100
1925
Zp,
=
A,4fr3
=__qtr
-
1,000
Perhitungan momen koreksi pergoyangan (M4):
Gambar balok terjepit dengan penurunan tumpuan
Mi*z,t = Gambar7.2. 1.
sebelah L
-
titik simpul 2:
Sesudah momen jepitan (M,rl oleh ukuran penurunan tumpuan d pada balok terjepit
Gambar balok teriepit
batang 1 -- 2dan batang2
batang2
(7.1.1
dan pada balok terjepit sebelah momen jepitan (M,rl menjadi:
1t
/-'
batangl-2
+6+d
Mi*: +
Momen lembam
a
!:f*!
Mikz,t:Ll-!
k,t.z
: 4-?1#ryj
k,z-t
:
B2s
=
2600000 kscm
1'219009'3 1r00
-
4620000kscm = 46,2tm
=
26,00 tm
Distribusi rnomeft menurut Cros6:
+Hi*
dengan penurunan tumpuan rol
+
| 0,42s
|
l+
Ek.ts2s I a2y 0.572
Gambar7.2. 1. b.
Contoh: Pada balok terusan dari beton bertulang tumpuan 8 mengalami penurunan tumpuan sebesar 3 cm oleh karena pondasi di bawah tiang itu tidak cukup kuat. (E : 210'000 kg/cm2). Dicari: Momen koreksi pergoyangan lM,rl yang timbul oleh penurunan tumpuan I itu. 322
Contoh ini memperlihatkan dengan Mix = - 34.65 tm suatu tegangan yang tihggi sekali pada sistim statis tidak tertentu oleh suatu turunan tumpuan yang agak kecil.
323
,/ 7.2.2. Berpengaruh atas titik simpul yang goyah
Momen jepitan Mopada konstruksi portal yang terjepit dan dengan titik simpul yang
Seperti berulang kali ditentukan sistim cross sampai sekarang hanya boleh dilakukan kalau titik simpul pada waktu mendistribusi momen menjadi kaku. Ketentuan ini pada banyak hal tidak betul. Tanpa misalnya loteng dari beton bertulang atau konstruksi suai angin yang khusus, hampir semua konstruksi portal
kaku adalah:
menjadi goyah.
Mo.r: * Mo., -* * Mo,z = Mo,t- *
contoh: Konstruksi portal yang terjepit. Untuk memudahkan perhitungan ini kita tentukan, bahwa angka kekakuan batang k : 1 untuk semua batang. Atas dasar itu, koefisien distribusi F : o.s untuk semua batang. Harus diperhatikan, bahwa
Momen jepitan dengan tanda (index) Mo menentukan, bahwa momen jepitan itu ditentukan pada konstruksi portal dengan titik simpul yang kaku. lni hanya mungkin oleh gaya Fyang menerima gaya horisontal pada batang 2 3.
koefisien induksijuga menjadi
y:
2.69tm 5.38 tm 4.22tm 2.11tm
-
0.5 seperti biasa.
Suatu gaya pengikat horisontal (F) menjadi positif (+ ) jikalau jurusannya ke kanan, dan menjadi negatif (- ) sebaliknya.
Untuk menerangkan momen jepitan pada tiap-tiap ujung batang pada perhitungan gaya pengikat horisontal (fl kita menggambar sistim konstruksi portal yang rer.jepit dengan masing-masing momen.
Gambar7.2.2.
Perhitungan momen jepitan
a
:
Mt,z : -
P' a'
bz
t?
P' Mt,z : *
a2' b
t,
12,0:?,9_-:,0' _ _ 8 64 9,0,
Gambar-l
,3t;_9.4=_5,76tm
Perhitungan gaya pengikat horisontal F0: Gaya pengikat horisontal Fo = gaya lintang A.,.,
ZMt = Distribusi momen menurut Cross:
ocoe rll
Q
= Qr,z' 4,0 + Msj +
c
*
ArA
Ms,2
At.z: -114(Mo,j+ Ms,2l: -114 ZM4 = 0 = O:,q' 4,0 - Mo,s - Mo,q
(2,69
+ 5,38) = -2,02r
As,q: 1/4(MsB + Mo,ql = 114A,22 + 2,11r,: 1.58t Fo= -2,02+1,58: -0,44t
BBlagRe**tm 6+R I ldl * ' + r+ r+
.2.2.
t_
il
Atas dasar perhitungan ini kita lihat, bahwa gaya pengikat (Fo)jurusannya ke kiri.
Tanpa gaya pengikat horisontal (Fo) konstruksi portal yang terjepit bergerak ke kanan dan perlu diperhitungkan lagi sebagai konstruksi portal dengan titik simpul yang goyah dengan koefisien pergoyangan d. Koefisien pergoyangan d mengakiGamt:ar7.2.2.tt 324
batkan momen jepitan M,* sebagai tambahan bagi momen jepitan Mo yang bisa kita tentukan dengan cara distribusi momen menurut Cross. t
325
Jalan lain sebotulnya lebih berguna. Kita memilih suatu koefisien pergoyangan J (ukuran bergerak) dan menentukan momen jepitan M;p menurul bab 7. 2. 1. Oleh momen jepitan Mp pada batang vertikal kita mendapat suatu gaya pengikat horisontal F;1 Oleh karena gaya pengikat horisontal Fo pada konstruksi portal dengan titik simpul yang goyah harus menjadi nol kita memilih koefisien pergoyangan J {ukuran bergerak ) begitu, supaya :
Fo-i'F*=O
atau n=-
F9
(7.3.)
Fik
Selanjutnya momen jepitan Mp oleh kcefisien pergoyangan dengan fektor oengikaf g. Momen jepitan Makhirnya menjadi
d harus
Perhitungan gaya pengikat horisontal (F;1i;
3,00tm
r\
1l-
2M.r:0
400 tm
I J-i- J*
!00
tm
400 tm
Fik' 4,0 + 3,0 + 4,0 + 3,0 + 4,0 = 0
- = 3,0+4,0+3,0+40 t* = q,o Gambar 7. 2. 3. c.
dikalikan menurut rumus (7. 3.) kita boleh menentukan
M
:
Mo + F' Alli*
3.5t
v.4.t
Lebih mudah lagi momen jepitan M bisa kita tentukan jikalau kha tidak memilih J, rtelainkan langsung memilih momen jepitan /1,f1.
koef isien pergoyangan
7.2.3. Contoh-contoh Contoh 1: Konstruksi portal vang terjepit, lihat gambar 1.2.2. a. mengalami pergerakan sebesar d (koefisien pergoyangan). Pergerakan d menjadikan momen Mp.1 ,2danM;p43sebesar + Stmpadabatang 1-2dan mornen M,y1,1 danMp3.4 sebesar "+ 5 tm pada hratang 3-4.
t,: . #
:0,126
I
dengan:
(F" lihat pada gambar 7 .2.2. d.l
menurut rumus (7. 4.) kita boleh menentukan momen jepitan M seprti berikut (Mo lihat di bawah gambar 7. 2.2. b.l:
M : Mo + i' M, = Mo* 0,126 tm Mt: Mo,t+ y'Mr,, : + 2,69 -0,126'4,0 Mz: Mo,z+i'Mt,z: - 5,38+0,126'3,0 Mz: Mo,z+y'Mt,t - - 4,22-0,126'3.0 Ma : Mo,o + y' Mr,o = + 2,11 + 0,126' 4,0
: : : :
+ 2,'l9tm - 5.00 tm - 4,60tm + 2,6'l tm
Contoh 2: Konstruksi portal yang terjepit seperti pada contoh 1, tetapi dibebani oleh gaya horisontal P
=
3.0 t pada tiang 1-2.
Angka kekakuan batang * = 1 untuk semua batang. Atas dasar ini koefisien distribusi g = 0.5 untuk semua batang.
Gambar 7. 2. 3. a
Distribusi momen (Ma) menurut Cross: Hasil momen Mipadalah:
Mi*.t = Mi*.2 : Mi*,s = Mi*.q =
-4.0tm +3.0rm
-3.0tm + 4.0tm
Gambar 7
326
2.3.
b
Gambar 7. 2. 3. d
321
Perhitungan momen jepitan
M, "
:
h 88 = -3-.9_-4'0 = -
P'
: M,. = -
1,Stm
Distribusi momen menurut Cross: s .. b,i<-
';',i -l:
Hasil momen jepitan Mo adalah:
t5a
Mo.r = - 1.9tm Mo.z = -0.7tm Mo,r = +0'2tm Mo,a : - 0.1tm
t5-
"a:a
Catatan: Pada contoh 1 dan 2 momen Mp oleh pergerakan d (koefisien pergoyarrgan) adalah simetris (panjangnya dan momen lembam yang sama pada dua kaki konstruksi portal, batang 1-2 dan batang 3-4) oleh karena itu angka kekakuan batang k1.2dan k3-a menjadi sama juga. Tetapi misalnya pada contoh konstruksi portal dua ruas dengan tumpuan berengsel atau terjepit menurut gambar 7.2.3 g. dan h. momen M;pberlainan pada batang 1-2dan batang 3-4.
Gambar 7. 2. 3- e.
g.
7. 2. 3. g. Gambar7.2.3. Gambar
Perhitungan gaya pengikat horisontal (Fo): A7
tm
Menurut rumus (7. 1.) kita boleh menentukan momen jepitan Mpseperti berikut:
A2 tm
(lihat gambar 7. 2. 3. h)
lMro-g co
P
s
i
N'
3t
Fo'4,0 + 3,0.2,0 + 0,7 - 1,9 + 0,2 + 0,1
I
sa
-+'
J
I
\J
5 S
"
I
I
4
s-
:0
6,0-0,7+1.9-0.2-0.1 4,0
_.t
Ql tm
1,9tm
Gambar 7. 2. 3. f
Perhitungan momen lMipl seperti pada contoh
1
oleh
d-:
-
1,275 + t1 3,5 = 0
Menurut rumus (7.
4. )
!
dengan:
F=1ff
=0,3M
kita boleh menentukan momen jepitan M seperli berikut:
M - Mo + 0,364 Ml Mt = - 1,9 + 0,364(-4,0) = - 1,9 * 1,456 = - 3,356 tm Mz : - 0,7 + 0,364'3,0 : * 0,7 + 1,092 + 0,392 tm M,= +0,2+0,364(-3"01 = -0,892tm Mn: - 0,1 +0,364.4,0 = + 1,356tm 328
3-4 Ul *
Mi*,, =
6!:!Ld :61' ht'
&:d
hr
-d = y+!f!6 E' kt
6!.!r.d _6E.kr-d A utu_h, h,, h, 6E.k,
oleh karena d parla titik simpul 2 dan d pada titik simpul 3 harus sama. kita boleh menulis:
Yu h, = Y-t&t:L 68.k,
berikut:
Menurut rumus (7. 3. ) kita boleh menentukan F,k
M* t= "tK't
Atas dasar pengetahuan ini, kita bisa menentukan perbandingan antara Mik,l (momen jepitan sebelah kiri) dan M6., (momen jepitan sebelah kanan) seperti
Perhitungan gaya pengikat horisontal (Fa)seperti pada contoh 'l : F;1 = 3.51.
y.
pada batang
_ztn
-
pada batang 1
6E.kt
Mrk,l -. 4.0 rm Mir.,z : +3.0tm Mtr,r : -3.0tm Mit,q : +4'0tm
Fo +
Gambar7.2.3. h.
W-kr.k, Mi*.,
ht '
(7.5.)
h,
pada konstruksi portal dengan dua ruas dengan tumpuan berengsel lihat pada gam-
bar7.2.3. g. kita menentukan:
w=ki.k" Mi*,, ht h,
(7.6.
)
Jikalau pada konstruksi portal dua ruas satu kaki tertumpu engsel dan kaki kedua terjepit seperti pada gambar 7.2. 3. i. berikut, kita menentukan momen jepitan M;p oleh pergerakan d (koefisien pergoyangan) menurut rumus berikut:
329
Gaya pengikat horisontal Fo* bagi tekanan angin sudah ditentukan di muka dengan i:2 .,. 3.71 t.
Gambar7.2.3.
i.
Seka!'i:in;J kita memilih suatu pergerakan d (koetisien pergoyangan) yang mengakibatkan satu momen Mi*,2 = 10 tm. Jikalau titik simpul 2 bergerak oleh M7r,2 sebesar d, ritik simpul 3 bergerakjuga sebesar d; menurut rumus (7. 6.) kita boleh
(
nrenurut rumus (7. 1.) dan (7. 2.) momen jepitan M;1 adalah: pada batang 1 -2Ul
padabatang3-4(r)
-
Mi*.r
-
Mi*.,
=
-
6+?d :
4+d
-
9!#j 4 E'
-
a=
menentukan:
Ua.t!,
fl
uu :
{}.L.
Mi*.r=
*,*,,
!il :
Mi*,, hr,z hr,o
!"' d * a = Ut*t!,,
kemudian:
o#:
2Q . 201 ' 1o,o
_
400
500
o,€ 0,503
'# : 'to,zt6tm
oleh karena pada titik simpul 2 dan d pada tkik simpul 3 d harus sama kita bisa menentukan perbandingan antara rnomen jepitan M;p1dan M;p,rseperti berikut:
w:3kt.2k,' ' Mi*,, hr
h,
Distribusi momen Mik menurut Cross:
17.7.t
c
'i*+1000
-01 +5
kita
+26
tidak mencari gaya pengikat horisontal Fpada konstruksi portal dengan titik simpul yang kaku, melainkan dihitung sebagai konstruksi portal dengan titik simpul yang
ffi
contoh 3: Pada contoh 2 (konstruksi portal dua ruas) lihat gambar 7. 1. 3. i.
'^ tm ( .\_
gBTtm
9.37
r'i'
(IIII:Ii:FiFT lT) (--) (+,
rN
goyah.
r__l
q=40t/m
3,75
tm
Ql3tm
ss
Ti J
k.
Garflbar 7.2" Garnbar 7.2"3. 3. k
I'l i_l* Gambar 7. 2. 3. l.
-Mo.z: Mo.s = -
3.75tm 3. 13 tm (lihat gambar 7.3.2. l.l
Gaya pengikat horisontal Fobagibeban merata:
3,13 _ 3,75 Fa:-. _-_ * " - =-0,75+0,78=+0,03t 5,0 4,0
330
GambarT" 2.3.
m.
Momen M,radalah:
Gambar7.2.3. n.
Mix.z: + 9.37tm
M*.s:-9.87tm Gaya pengikat horisontal F,1 oleh momen Mik:
Fx
Ukuran konstruksi portal, beban merata, tekanan angin, angka-angka kekakuan batang dan koefislen distribusi dsb. diambil dari contoh 2, bab7. 1.3.
Momen Mo adalah:
7
: +ffi . ffi
=
1,874 + 2,47 =
4,s4t
Menurut rumus (7. 3.) kita bisa menentukan rl:
u --
-
F./Ft^
,t=- 0.03 4,U
=-0,0069=0
Oleh karena r: (hampir) nol pergoyangan pada konstruksi porta{ dua ruas ini karena beban merata (konstruksi atap) boleh dikata.kan tidak ada. Akan tetapi pergogyangan ada oleh beban (tekanan) angin. Menurtrt rumus (7. 3.) kita blsa menentukan pr:
u=-
(-3.7)
454 ==+0,85 3['1
E
Momen Mo sudah ditentukan pada gambar 7. 1. 3. m. dan 7. 1. 3. n. dengan:
'tr.t
Mo,z= -3,29tm = + 0,18tm
FI
Mo,t
Menurut rumus (7. 4. ) kita bisa menentukan momen M2dan M, seperti berikut:
M = Mo+ l'Mix Mt= -3,29+ 9.37'0,85: -3,29 + 7,96: + 4,67tm Mt: + 0.18-9,87'0.85: +0,18-8,39= -8,21tm
Gambar
Gambar7.2.4. a.
dan rumus (7. 4. ) seperti berikut:
Ft,o Ftt.,
t lrt' Ft,, + w' *
irr ' Ftt..
Ft,z
+
:
+ ttz' Ftt,z:
dengan faktor pergoyangan N b
I-r1
0
(7.8.
0
(7.9.)
3,00 w7
lt< |
o c)
iW+ ..l+ t3,5
iil
7.38
2,48
l;-'1,I' 11,l*- q95 *
437
tm
4,
/J
+,.\-
o it'
Fto
14
I
I
J--
2,80
Gambar7.2.4. d.
t
5,00, Gambar7.2.4. c
332
428
,u
Sistim perhitungan pada konstruksi portal dengan titik simpul yang goyah menjadi lebih sulit jikalau ada beberapa gaya pengikat horisontal (Fo). Misalnya pada konstruksi portat bertingkat pertama kita menggerakkan tingkat satu dengan koefisien pergoyangan d-1. Selanjutnya kita memperhatikan tingkat satu sebagai kaku dan menggerakkan tingkat dua dengan koefisien pergoyangan J,, dsb. Pada prakteknya kita mulai perhitungan pada tingkat teratas dan menurun tingkat demi tingkat ke bawah.
(7.10.)
Contoh: Pada contoh 3, konstruksi portal bertingkat dengan titik simpul yang kaku, Iihat gambar 7. 1. 3. o., kita tidak mempunyai lagi gaya pengikat horisontal Fo.1 dan Fo,11 melainkan suatu tekanan angin W, ..- 1.5 t dan Wo: 3.5 t. Ukuran portal, beban merata dsb., angka kekakuan batang dan koefisien distribusi masing-masing diambil juga pada contoh 3 bab 7. 1. 3. Gambar situasi dan gambar dengan momen masing-masing diperingatkan sebelah bawah:
2.3. o
goyah
)
dan p, kita boleh menentukan M seperti berikut:
M = Mo + yi Mt + yz'Mz
7.2.4. Konstruksi portal bertingkat dengan titik simpul yang
2. 4. b.
Dengan memperhatikan perhitungan secara ini, kita boleh memenuhi rumus (7.3.)
Perhatikan perobahan besar bagi momen ini kalau dibandingkan dengan momen Modari portal dua ruas dengan titik simpul yang kaku. Menggambar diagram momen-(Mo + y.Mll oleh tekanan angin:
Gambar 7.
7.
J,._ tm
?,37
a52 t,
ls-
1,75
lo
l,* l'*
0,26
Gambar7.2.4.
e.
333
Gaya pengikat horisontal F1,o dan F;1,o
Fs1.o oleh gaya dan beban yang vertikal menjadi: oleh momen jepitan dari batang 1-4,2-5 dan 3-6 menurut Gamhrar 7.2. 4. d.
M11
menurut Cross:
o(9o
-,-- =- *0,vl7t - 4,28 * 4,37 + 1,8 + 0,95 + 2*9t 39 3,00--:*-
Fu,o Fq,o
Distribusi momen
eo@
*l3gP-llpl
sRtB;t*lisl ll+
rl+lLIl
rlt
+r
I+lLrl
oleh momen jepitan dari batang 4-7 ,5-B dan 6-9 menurut gambar 7 .2. 4. e.
Fr,o: + 0,347 +
-
4,73
2,37 + 0,52 + 0,26
-
+
4,00
1,15
=-
0,796
,rLLo +26-
t
@oo
Gaya pengikat horisontal Fyyl,o dan F1ry11,o oleh gaya (tekanan) angin. Oleh karena tekanan angin W, dan Wo membebani konstruksi portal ini pada titik simpul 'l dan 4,
tekanan angin tidak mengakibatkan momen pada konstruksi portal ini, Gaya
Ganl
pengikat horisontal
-_-J -9 I - l2t -83
Fwrr,u
: -
F,,ry1,o
dan
F*,,
1,5t
F1ry'1.o
: -
menjadi sama dengan WrdanWo.
3,5t
Perhitungan rnomen M1 dan Mnoleh pergerakan (koefisien pergoyangan) d, dan d,, sembarang: Atas penentuan koefisien pergoyangan d1 yang sembarang bagi tingkat satu pada konstruksi portal bertingkat ini, kita juga harus mencari koefisien pergoyangan ,11 untuk tingkat dua untuk menentukan momen Mldan Mupada akhirnya. Setindak demi setindak kita bisa menghitung seperti berikut:
+1000
lEllt*ro+iG lNq+6 I l+N Llllr+ll+lt lHll lA[
@ -96
Penentuan momen Mil:
Koefisien pergoyangan d', sembarang pada titik simpul 1 rnengakibatkan pada
batang 1-4 suatu momen M6,rdan Mi*,. : + Menurut rumus (7. S.)tita boleh menghitung:
'10
hz,s
Atas dasar distribusi momen menurut Cross momen-momen Mn rneniadi: pada titik simpul
hr,o
kz
s
-Miu,, - kr,.o
tvtik'2. -= M.1.. !-]-L -M, 'vt*'r k*
Menurut contoh 3 pada bab 7 . 1 . 3. angka kekakuan batang kr-r zlzl.t[,
Mix,,
=
10.0. 444/298
:
:
298 dan
kr-, =
14,90 tm
Oleh karena angka kekakUan batang 3-6 sama dengan batang 1-4 kita boleh menentukan, bahwa Mi*,. = M;1,6 juga menjadi 10 tm seperti juga Mip,rdan M;p.0.
334
2l
7.54tm
3 2\ batans3-6t pada titik simpul 4: batang 4 batang 4 - 5 batang 4 - 7 pada titik simpul 5: batang 5 - 4 batang 5 - 2 batang 5 - 6 batang 5 - 8 pada titik simpul 6: batang 6 - 5 batang 6 - 3 batang 6 - 9
6.37 tm 6.13 tm 12.50 tm
pada titik simpul3: batang
s6l66jrr16ya kita menentu kan
Mi*,r:
1: batang 1 -
batang 1 - 4l pada titik simpul2: batang 2 - 1 batang 2 - 3 batang 2 - 5
oleh karena h2 5 soma dengan hj_4 kita menentukan:
W
Garnbar 7. 2. 4. f.
tm.
Mir.r-&;-.luMix.,
r
CIo@
7.34tm 7.78tm
1
+
5.72 2.06 5.17 12.6'l + 5.30
tm tm tm
tm tm
2.14tm + +
6.19 tm 7.49 tm 1.30
tm 335
-v 7: : +
rumpuan
Distribusi momen M7 menurut Cross:
1.03tm
: + 1'07 tm
\r6a rumpuan 8:
, oengikat horisontal Fx,2dan
o@e
@eo
\ad'
sr-:t**li{l +1 I r1+ rll +t
* ctr do cJls-l Nq t$l +|lr.lrqt+l
F1,2oleh My:
Gay'"'
12.5
-41
734
4'li-\-\2-
i\-
{u-
tnt
1,03
1,30
tr
J,* I,*
l,
7,49
12,61
.rnin
2,14
2,06
1,07
Gambar 7. 2. 4. h.
-n67.2.4.9-
E@
+2 +6
G|f'-
:.-T
.rrrut gambar
7
.2.4. g. gaya pengikat horisontal
F11,2
meniadi:
-txtt
lle"'l z
-140nurut
+1380
- t!! Bl. l.,i-Tlrl il5 e@oo +7
-
3'oo
Ft,,
[.r r;al
gambar7. 2. 4. h. gaya F1,2menjadi:
dlt'
2.06
-
il-.--18,42*ff
-
1.03
-
2,14
-
1,07
momen Mi.
*.]13!
^ooilan p0r'l-1sn pergoyangan d1 sembarang pada titik yoe"no4_7 pada titik simpul 4 dan 7 suatu momen
= _ 20,31
4 mengakibatkan Mi*,a - M*.7 - + '10 tm. simpul
bat'',irtrumus (7. 5.) dan rumus (7. 7.) kita boleh menghitung: t\,lEI'"
M,r.o tril,b,
[*]l**1.:lesisl
+ 7J8 + 12,fi + \2,61 + 7,34 + 7,49 _ .a lg'azA.r +t
,il
,*,
:1o,oo
2 k6.g
3 kq.t
'
H:
,o,oo
13,8
?:ffi=
tm
3.5tm
Gambar7.2.4.
pada
i
Atas dasar distribusi momen menurut Cross. momen-momen Ml meniad|.
padatitiksimpul 1: batangl
-2\= 4t pada titik simpul 2: 1 = batang2-3 = batang2-5 = pada titik simpul 3: batang 3 - 2 I= batang 3 - 6, padatitiksimpul4: batang4-1 batang4-5 batang4-7 pada titik simpul 5: batang 5 -4 = batang5-2 = batangS-6 = batang5-8 = pada titik simpul 6: batang 6 .. 5 = batang6-3 = batang6-9 = batang 1 batang 2 -
_ + * + + + + +
0.57tm 0.46 tm
0.25tm 0.71tm 0. 17
tm
1.35tm 6.35tm
7.70tm 5.84 tm
l.60tm
3.94tm + 11.38rm - 2.fXl tm -* 0.35tm 3.18tm 337
pada tumpuan pada tumpuan
7: : 8: :
Mornen pada titik simpul 1: bratang 1-2 =- 4,28+0,1094'(*
8.85 tm 12.59 trn
batang Gaya pengikat horisontal
057
F11.1
Q7t
tt;-
batang 2*1 batang 2 * 3 batang 2*5
t,
1,60
k.
GambarT' 2.4. l.
a,57
-
0,71
-
0,17 - 1,35 3,00
-
F11,1
4,',r3
tm
4,13 tm
= -13.95+0,'1094'(+ 0,46) + 0,0282'(- 6,37) = = - 12,57 + 0,i094' {- 0,25) + 0,0282'( + 6,131 = - + 1,38 + 0,1094'(- 0,71) + 0,A282 '(+ 12,501 =
-* 14.08 tm 12,43tm +'l ,65tm
+1,8+
7,70
+
11,38 + 3.18 + 8,85
+
12,59
4,m
3-2 : 3-6 = -
0,17) + A,0282'(- 7.34) "= 2,M +0,'1094'(+ 0,17) + A,0282'l-- 7,&l = 2,48 +0,1094'{+
Momen pada titik simpul 4:
Eo .i - 0,35 : .r.CO
1,60
batang batang
-
2,67 tm 2,67 tm
menjadi:
4*1 : + 4--5 = batang 4-7 = -
batang batang
dan menurut gambar 7. 2.4.1. gaya F;.1 menjadi:
FLr=
+0,0282'(+ 7,54l= +0,0282'(+ 7,541 -
0,35
menurut gambar 7. 2. 4. k. gaya pengikat horisontal
il.t -
0,57) 0,57)
Momen pada titik simpul3:
Gambar7.2.4.
,
+0,1094'(-
Momen pada titik simpul2:
,1,* *lr- ,]r.-
l,J|tm
4,28
clan F1,1 oleh Mp
An
ri-
1*4:*
=+
12,51
4,37 +0,1C8)4'("r9.10 + 0,1094'(+
4,73+ 0,1094'(+
'1,35) + 0,0282 ' 6,35) + 0,0282' 7.7 l .+ 0.0282'
(- 7,78) = + (+ 5,721 = { - 2.06i = -
4,30 tm 8,24 tnt 3,95 tm
t
Penentuan faktor pergoyangan tr1 dan 1t2i Faktor-faktor pergoyangan 1,lt dan p2 bisa diperhitungkan dengan penggunaan
rumus (7.8.)dan rumus (7.9.)seperti berikut:
+ ltr' Ft,, + irr' Ft,z :O Ftt,o + lrr ' Flt,, + lrz' Ft,z: O
Momen pada titik simPul 5: batang 5*4 = * 16,61 + 0.1094'(batang 5 -- 2 = -- 0,95 + 0,1094'( +
batang batang
5-O : 5-8 :
5,84) + 0,0282' (- 5,171 = 1,6 ) +" a,0282 '(-- 12,61) = +0,1094'(+ 3,9'4) + 0,0282' (+ 5.30) = -15,14 + 0,52 + 0,1094'(+ '11,38) + 0,0282 ' (-. 2,14) =
* 17,40 tm -* 1,13tm 14,56tm + 1,70 tm
Ft,o
Momen pada titik simpul6:
a) dengan hasil pada gaya dan beban vertkal:
- 0,796 + lL'12,51 + lz' l- 20,3) : 0 - 0,U7 + lrr'(- 1,58) + lz'18,42:0 b) dengan
Fr = 0,1094
yz'(- 20,3) : 'l - ,5 + lr''(- 1,58) + ttz'18.42:
0 O
6-5 : 6-3 : + 6--9 : -
4,55 + 0,1094't- 2,83) + 0,0282 '{- 6,19} = - 5,03tm 2,80 + 0,1094'(-' 0,35) +0,0282'lt'7,491 =+ 2,97tm 1,75 + 0,1094' (- 3,18) +0,0282'(+ 1,30)=- 2,06tm
lz= 0,0282 Momen pada tunrpuan 7:
hasil pada gaya (tekanan) angin:
3,5 + itt'12,51 +
batang batang batang
lVl.r
t\:
,=
+
2,37 + 0,1094.
(*
8,85)
+0,0282.{+
1"03}
= + 1,43tm
A,0282.1+
1,07)
=-
O,479
b:0,123
Momen-momen oleh beban vertikal sebetulnya bisa ditentukan menurut 17. 10.1 seperti berikut:
Momen pada tumpuan 8:
Me: * 0,26+ 0,1094. (*
12,59) +
1.61tm
M = Mo+ ltt'Mr + iz' Mt Momen Mo diambil pada contoh 3 di bawah gambar 7. 1. 3. p. 338
339
Gambar diagram momen oleh gaya dan beban vertkal:
Momen pada titik simpul 4:
batang4-1:0,479'l+ batang4- 5 = 0,479.(+ batang4-7:0,479'(+
s
r' 6
t\ lo 3's{'
Momen pada titik simpul 5:
batang batang batang batang
5555-
4 = 0,479' (2: 0,479 . (+ 6 : 0,479 . (+ 8 = 0.479' (+
Momen pada titik simpul 6:
batang batang batang
Ir;ii
+ 0,123.1* +lO,tZS.l+ 7,70t. +0,123.(1,35)
6.35)
6- 5= 6- 3= 6- I =
5,84)
1,6
)
3,94) 11,38)
+ o,'t23 . (- 5,17) = + 0,123 . (- 12,61 ) = + 0,123 . (+ 5,3 ) : + 0.123 l- 2,141 =
. l. l. (-
2,831 0,35) 3,18)
+ 0,123 . (+ 0,123 . l+ + 0,123 . (+
6,19)
0,479 (-
8,85)
+
' (+
1,03)
0,479 0,479 0,479
Momen pada tumpuan 7:
Mz =
Momen pada tumpuan 8:
Ma
:
= -0,31 tm = + 3,74tm 2,06) = +3.2t4tm
7,781 5.721
0,479
0,123
. (_ j2,S9t + 0,123 . (+
- 3,42 tm - 0,78 tm + z,il tm + 5.18 tm
: - 2,"12 tm 7,491 = + 0,75 tm '1.3 ) = - 1,S tm : -
1,07) =
-
4,10 tm
5,89 tm
Gambar diagram momen oleh gaya (tekanan) angin: (o
(o
Gambar7.2.4. n.
?+r,20
_
Gambar7.2.4.m.
Momen-momen oleh tekanan angin yang sebetulnya bisa ditentukan juga menurut rumus (7. 10). perlu hanya diperhatikan. bahwa Mo : O. Momen pada titik simpul
batang
1:
1-2 =0,479'l-
batangl-4=+0.62tm
0,57)
+ 0,123'l +
7,5a1
= + 0,65tm
Momen pada titik simpul 2:
batang2-1=0,479 '(+ 0,46) + 0,123'l+ 6,37) = -0,56tm batang2-3:0,479 '(-0,25) + 0,123'(+ 6,13) = + 0.63tm batang 2 - 5 = 0,479' l- 0,711 + 0,123' (- 12,50) = + 1,20 tm Momen pada titik simpul 3:
batang batang 340
3 - 2: 0,479'l+ 3-6 : -0,73tm
0,171
+ 0,123'l-
7,231
: -
0,82 tm
341
Dengan pengetahuan yang ada sampai sekarang kita hanya bisa menentukan len-
dutan pada balok tunggal menurut bab 2.8. (Perhitungan lendutan dan garis elastis). Untuk perhitungan lendutan pada konstruksi rangka batang misalnya
Perubahan bentuk elastis
8.
belum ada pengetahuan dasar.
Pada bab-bab berikut kita menentukan cara untuk memperhitungkan perubahan bentuk elastis tidak hanya pada konstruksi batang dan rangka batang melainkan juga perubahan titik simpul pada tiap jurusan sembarang'.
8.1.
Pengetahuan dasar
8.2.
Teoritentang keria virtual
Pada bab 2. (llmu inersia dan ketahanan) sudah ada beberapa ketentuan dan rumus tentong perubahan bentuk. Dengan pengetahuan itu, terutama bab 2. 3.
8.2.1. Kerja virtual
2. (Gaya torsi) dan 2. 8. (Perhitungan lendutan dan garis elastis), kita bisa menghitung lendutan dan putaran pada konstruksi batang dengan garis sumbu yang lurus. Pada perhitungan perubahan bentuk untuk konstruksi rangka batang dan untuk konstruksi derrgan sistim statis tidak tertentu kita dalam bab ini mencari metode-metocje untuk menentukan perubahan bentuk pada konstruksi-konstruksi
Asas tentang kerja virtual ditemukan oleh Lagrange pada tahun 1788. Tetapi harus dikatakan, bahwa pada prinsipnya kerja virtual sudah diketahui lebih dahulu. Mengenai asas kerja virtual kita mengakui bahwa ini bukan satu ketenttlan atau perjanjian, oleh karena dalam beberapa hal asas ini tidak mungkin dibuktikan. Akan tetapi dari penggunaan dan pengalaman kebenaran asas tentang kerja virtual
dalam bidang. Selanjutnya kita terutama memperhatikan perubahan bentuk elastis, sedang hubung6n hubungan teoretis hanya ditrerikan sedikit saja, menurut keoerluan dan secara umunl. Teori-teori tentang perubahan bentuk elastis yang lebih luas dan lebih dalam membr.rtuhkan keluasan studi/mata kuliah jurusan arsitektur. Berikut daftar perubahan bentuk dalam alasan yang bisa mengakibatkannya:
Gaya normal perubahan suhu seragam
Momen lentur ba-
wah pada suatu konstruksi batang
Pada konstruksi batang dan rangka batang momen torsi tidak timbul, karena itu selanjutnya kita membatasi diri pada pembicaraan tentang pemutaran. Juga pada bab 2. (llrnu inersia dan ketahanan), kita telah mempelajari, bahwa pengaruh gaya
lintang pada lebar bentang dan ukuran balok yang biasa, pada umumnya kecil sekali. Karona itu selanjutnya kita juga mernbatasi diri pada pembicaraan tentang hal itu dalam buku ini. Fada umumnya kita hanya memperhatikan gaya normal, momen lentur dan perbedaan suhu untuk menentukan perubahan bentuk, dan terutarna yang harus diperhatikan ialah lendutan.
342
menerangkan seluruh Statika atas dasar asas tentang kerja virtual, kebalikan dengan misalnya buku ini, yang menerangkan dasar-dasar statika atas jajaran (belah ketupat) gaya-gaya.
Selanjutnya penerangan mengenai asas kerja virtual langsung mulai pada konstruksi batang dan rangka batang dalam bidang. oleh karena bagi kita dalam buku ini yang penting ialah prakteknya. Oleh karena itu asas tentang kerja virtual pada suatu titik atau suatu benda dalam ruang kita terbatas. Kata 'virtual' dari bahasa latin = virtus : kemungkinan, kemampuan, mengandung maksud, bahwa pergeseran/pergerakan dalam jurusan sembarang harus mungkin. akan tetapi hubungan antara bagian-bagian konstruksi batang atau rangka batang tidak boleh terusakkan.
Gaya lintang
Suhu yang berbeda pada sisi atas dan sisi
sebetulnya sudah cukup dibuktikan. Ada beberapa buku ilmu mekanika teknik yang
Sebagai keterangan kita membayangkan suatu konstruksi batang atau rangka batang dikenai gaya-gaya P1 dan momen-momen M1. Gaya-gnya dan momen-momen ini menjadi satu kumpulan yang seimbang. Kita boleh rnengntakan:
trr-o tr*r* t*r=o
Dalam rumus ini ry menjadi jarak siku-siku dari gaya Ppdan suatu titik kutub sembarang. Perubahan bentuk pada konstruksi batang atau rangka batang mengakibatkan pergeseran d dan perputaran (p, pergeseran titik simpul k yang bertepatan dengan jurusan gaya-gaya P1 disebtltkan sebagai d1. Selanjutnya kita membayangkan beban konstruksi batang atau rangka batang oleh suatu kumpulan gaya virtual. Untuk gaya-gaya virtual dan momen-momen virtual ini kita boleh juga mengatakan: 343
4F* =
o
itrrrr
* |Mx:
O
Selanjutnya kita menyebutkan sernua g6ya, mom€n, ukuran atau nilai yang berhubungan dengan kumpulan gaya virtual dengan garis melintang di atas hurufnya. oleh kumpulan gaya virtual titik simpul k mengalami suatu pergeseran virtual d1. Tergantung pada bentuk dan cara konstruksi batang atau rangka batang dan menurut besarnya kumpulan gaya virtual, pergeseran virtual bisa amat kecil. Batasan ini sebetulnya suatu keharusan supaya jurusan gaya-gaya p1 tidak mengalami perubahan. Pada gambar (8.2. 1. a.) berikut kita melihat suatu titik simpul
k
pada suatu konstruksi batang atau rangka batang dikenai gaya-gaya p1 (resultante). oleh beban kumpulan gaya virtual titik simpul k mengalami pergeseran ke k-. Karena penggeseran lurus v1 menjadi amat kecil kita juga boleh mengatakan, bahwa penggeseran itu menjadi satu sektor lingkaran dengan jari-jari ek, atau dengan kata-kata lain, tiap pergeseran yang amat kecil boleh juga ditentukan sebagai suatu putaran O pada suatu titik kutub O.
\ Gambar8.2.1.a. Pada persarnaan keseimbangan di atas titik kutub masih sembarang. Pada gambar 8.2. 1. a. dipilih titik kutub O dan boleh dikatakan: so
d1-vlcosW &: qrcosV 6] = p^a*cos V=
n
2Ppi 1+ \Mptp = g
*
0
momen virtual) menjadi nol. Antara gaya-gaya P1 dan momen-momen Mkyang diterima oleh konstruksi batang atau rangka batang, dan gaya virtual P1 dan momen virtual Mptidak ada hubungan. Hanya dasar-dasarnya yang sama yang menentukan bahwa jumlahnya harus seimbang. Giliran ini boleh juga dibalik, sehingga pertama kumpulan kerja virtual meng,enai konstruksi batang atau rangka batang, dan pergeseran diakibatkan oleh kumpulan gaya Ppdan momen M1. Ketentuannya tidak diubah, dan hasilnya seperti berkut:
+
lMr*=s
(8.2.)
Rumus (8. 2.) boleh digunakan untuk menentukan konponen perubahan bentuk oleh suatu kejadian perubahan bentuk yang tertentu dan oleh suatu kefadian perubahan bentuk sembarang. lsi rumus ini dinamakan sebagai asas kerja virtual. Rumus ini menjadi dasar $erhitungan-perhitungan perubahan bentuk pada sistim statis tidak tertentu. Sebagai kebalikan dari dasar itu kita bisa mengatakan selanjutnya:
tadi, maka rerdapat rumus (8. l.):
(8.1.1
1
Menurut ketentuan ilmu alam suatu hasil kali di bawah satu angka jumlah r adalah suatu kerja. Oleh karena kerja ini diakibatkan oleh suatu kumpulan gaya virtual kita menamakan kerja ini kerja virtual. 344
beban. gaya dan momen menjadi seimbang, seharusnya jumlah pergeser-
an oleh kerja virtual yang amat kecil (jumlah gaya virtual dan jumlah
gaya menjadi nol, gaya-gaya itu berarti dalam keseimbangan.
hasil-hasil ini bisa diiskan pada rumus ZM
1
Jikalau suatu konstruksi batang atau rangka batang yang menerima
Jikalau pada suatu pergeseran virtual sembarang pada suatu konstruksi batang atau rangka batang jumlah semua pekerjaan dan junrlah semua
r*tp
rk= {r q = n
Rumus (8. I.) menentukan, bahwa jumlah semua kerja virtual menjadi nol, atau dengan kata-kata lain:
iPkdk
,
tr :
Jikalau gaya virtual dan pergeseran berjurusan sama atau momen virtual dan perputaran jurusannya sama, kerja virtual menjadi positif (+ ) jikalau krorlawanan menjadi negatif (-).
8.2.2. Persamaan keria pada konstruksibatang Pandangan-pandangan dari bab 8. 2. 1. yang umum kita lanjltkan pada konstruksi batang. Pada bab 8.2.'l . ditentukan, bahwa jumlah gaya dalam dan gaya luar seimbang. Juga pada konstruksi batang jumlah kerja virtual harus menjadi nol. lni berarti, bahwa kerja virtual luar 4, menjadi sama dengan kerfa virtual dahmA;. 345
selalriutnya kita perhatikan kerja virtual luar. sampai pada saat ini belum ada ketentuan apa pun bagi gaya virtual baik banyaknya maupun ukurannya. sebetutnya srr€ttu gaya
Fatau yang berhubungan dengan satu
mo{yleR &ddengan reaksi-reaksi
tumpuannya sudah mencukupi untuk penentuan nihi beban virtual. pada umurnnya dianggap F
=
1.0 atau M
=
1.0 maka kita katakan:
Ai
dengan Pk = 1,0 Aa = f,O,px + ZCc: Ao, dengan Mk : 1,0 Aa
=
t,Oa* + ZCc:
2. lVlomen lentur Oleh pembebanan dengan momen lentur maka batang akan melengkung. Perubanan J:entuk oleh sudut putar rp pada garis elastis boleh ditentukan seperti
berikut:
A:,J"'-i
: 41-
2Cc
1,4 qk
= Ai
M
-ds EI
keria virtual dalam oleh momen lentur boleh kita tentukan sebagai berikut:
Nilai dpada penentuan ini meniadi reaksi tumpuan oleh beban virtual dan c meniadi pergeaeran tumpuan pada arah (jurusan) reaksi tumpuan. Penentuan ini b&h iuga dirrbah dengan hail berkut: 1,0 dk
,^- q--) ( oan
!=A.].Y.'rq--M - Et 'G--E/ Aiw =
rMM o"
(8.4.)
) -pT
- tCc
Pergeseran pada titik simpul k sebetulnya adalah kerja virtual dalam, dikurangi dengan kerja virtual tumpuannya. Kemudian kita harus menentukan kerja virtual dalam. oleh karena kerja virtual luar menjadi hasil kali gaya virtual luar dan penggeseran yang sebenarnya. Atas dasar ini boleh kita katakan, bahwa kerja virtual dalam seharusnya hasil kali beban virtual dan perubahan bentik yang sebenarnya. Selanjutnya kita menentukan kerja virtual dalam oleh pengaruh masing-masing.
1. Gaya normal Perubahan memanjang pada suatu batang oleh gaya normal dapat ditentukan
3. Perubahan suhu seragam (t"l Perubahan paniangnya batang oleh perubahan suhu seragam adalah:
As
- 4/ss
t'
atau: As - J
or'rds
kerfa virtual dalam oleh perubahan suhu seragam boleh kita tentukan sebagai berkut:
r rly'a,tds
Ao,: J
(8.5.)
dengan:
As=
N
4. Suhu yang berbeda.pada sisi atas dan sisi bawah pada konstruksi
EF'
betang (Atl
Baiklah kita meneliti rumus ini obh karena mernilng mungkin gaya normal (rv) atau luas batang (F) tidak menjadi tetap pada selr.rruh paniang (s) dari batarlg itu, rnaka kita menulis:
a": Joa" :
I !, o'
346
f
8rro,
melengkung. Perubahan bentuk oleh sudut putar tukan sebagai berikut:
1 1 _ d
kerja virtual dalam oleh suhu yang berbeda pada sisi atas dan sisi bawah boleh kita tentukan sebagai berikut:
(8. 3.)
a,o,=
{ nff
a'
(8.6.)
347
5. Gaya lintang Walaupun kita menentukan atas dasar bab 8. 1., bahwa pengaruh gaya lintang terlalu kecil dan boleh diabaikan, kita menentukan selanjutnya kerja virtual dalam. Pergeseran pada garis sumbu oleh gaya lintang adalah:
w= )
(xA *
ds
kerja virtual dalam oleh gaya lintang boleh kita tentukan sebagai berikur:
a,o-Jffa"
(8.7.)
Dengan begitu kita sudah mengetahui masing-masing bagian dari kerja virtual dalam. Persamaan kerja pada konstruksi batang dibaca seperti berikut:
t,odr=
I#a"+ J !,
o,:
I#
a"--
f N,s,a,+ J u ff
a,->cc (8.8.)
'l
Sebetulnya faktor. .O pada sebelah kiri boleh dihapuskan oleh karena tidak ada pengaruh atas hasil persamaan kerja ini, walaupun kita tidak boleh lupa, bahwa faktor il6 sebelah kiri menjadi kerja virtual luar. Pada persamaan kerja pada konstruksi batang ini masing-masing bagian berarti: M, N, Q Momen. gaya normal. gaya lintang pada titik x oleh beban yang
Dengan bantuan rumus (8.8.)kita bisa menentukan pergeseran d* pada suatu titik pada satu konstruksi batang di bawah pengaruh momen lentur, gaya normal, gaya lintang dan perubahan suhu. Selanjutnya kita menentukan masing-masing diagram gaya lintang, gaya normal dan momen oleh beban sebenarnya (dasar) dan selanjutnya kita tentukan diagram masing-masing tsb. oleh gaya virtual Fr = 1.0. Pada waktu itu gaya virtual F1 = 1.0 bekerja pada titik dan jurusan pergeseran d1 yang dicari. Jikalau kita mencari perputaran 91 garis sumbu batang pada titik k kita juga boleh menggunakan rumus (8.8.). Sekarang hanya kita pasang momen virtual ilr = l.g pada titik dan jurusan putaran yang dicari. Bagi beban ini kita menentukan diagram masing-masing tersebut. Momen, gaya normal dan gaya lintang berhubungan dengan suatu bagian batang yang amat kecil (ds) pada suatu titik sembaran S. M, N, Q dan il, y'rl, O menentukan nilai-nilai pada titik x pada suatu konstruksi batang. Pada perhitungan integral fungsi-fungsi pada tiap-tiap gaya harus dikalikan sebelum diintegralkan. Pengintegralan berhubungan dengan seluruh panjangnya konstruksi batang. Pengintegralan itu mula-mula kita rasa agak sulit. Akan tetapi pada pembebanan yang biasa timbul, kita mempunyai tabel-tabel yang sudah diintegralkan pada lampiran l. 2. dan penggunaannya dapat diterangkan pada bab 8. 2. 4. (Hasil pengintegralan pada kerja virtual). Persamaan kerja pada konstruksi batang (8. 8. ) diisi semua kemungkinan pembebanan pada konstruksi batang dalam bidang. Suatu perubahan tumpuan
k
tidak terjadi selalu, dan pengaruh pada .suatu perubahan suhu
Atas dasar ini, selanjutnya tinggallah suatu rumus yang jauh lebih sederhana:
sebenarnya
M, N,
d c
t
Af h s ds I, F, E, G
at x
348
A
Momen, gaya normal, gaya lintang pada titik x oleh beban virtual = 1.O atau M* = 1.Q pada titik ke arah d1 atau dengan sudut p1
Fp
Reaksi tumpuan oleh beban virtual Pergeseran sebenarnya dari titik tumpuan dalam jurusan reaksi tumpuan (pada umumnya menjadi nol)
Perubahan suhu seragam Perbedaan suhu antara sisi atas dan sisi bawah pada suatu batang Tinggi balok (batang) Panjangnya balok (batang) Sebagian dari batang yang amat kecil Momen lqpbam, iuas batang dan modul elastis pada batang Modul pergeseran (lihat bab 2. 3. 1.) 1 /oC angka penguluran suhu faktor koreksi (kappa) bagi gaya lintang, oleh karena gaya lintang sebetulnya tidak tetap pada tingginya bentuk batang. Nilai tergantung pada bentuk (m,isalnya bagi bentuk segiempat sejajar x = 1.2)
biasanya
diperhitungkan terpisah. Pengaruh pada gaya normal dan gaya lintang, seperti sudah dikatakan pada bab 8. 1. (Pengetahuan dasar) blasanya boleh diabaikan.
1,Odk:
f uart ) :; a"
Jikalau kita perhatikan momen lembam / yang tidak tetap, kita isikan suatu perbandingan momen lembam l./ I ke dalam rumus yang tadi seperti pada syarat persamaan tiga momen (Clapeyron) (6. zl9.) atau pada bab 2. 8. (Perhitungan lendutan dan garis elastis) dan menghasilkan:
l,oEtcau:
ft
)uula"
{8.9.}
Biasanya digunakan hanya persamaan kerja pada konstruksi batang ini untuk menentukan pergeseran pada konstruksi batang. Pada bab8.4. 1. (Pergeseran dan perputaran pada konstruksi batang) kita mendapatkan beberapa contoh yang menggunakan persamaan kerja pada konstruksi batang (8. 8) dan (8: 9.).
8.2.3. Persamaan kerja pada konstruksi rangka batang
8.2.4. Hasil pengintegralan pada keria virtual
Atas dasar pengetahuan persamaan kerja pada konstruksi batang kita bisa dengan mudah menentukan persamaan kerja pada konstruksi rangka batang. Pada konstrukei rangka batang tidak ada momen lentur dan gaya lintang. Gaya normal, pada konstruksi rangka batang ditentukan sebagai gaya batang S dan .S menjadi tetap pada seluruh panjangnya batang s, dan oleh karena itu tidak perlu lagi menghitung dengan integral. Selanjutnya cukup jikalau dihitung dengan I (jumlah) batang dan beban. Maka persamaan kerja pada konstruksi rangka batang dibaca sebagai berikut:
Pertama kita menghitrng pergeseran dengan bantuan persamaan kerja pada konstruksi batang pada suatu contoh sederhana. Kita akan menentukan lendutan pada pertengahan suatu balok tunggal dengan momen lembam / tetap dan beban merata S. (lihat gambar 8. 2. 4. a.l . Pada contoh ini kita mendapat momen lentur dan gaya lintang, yang pada contoh
ini kita abaikan. oleh karena pada contoh ini tidak ada perubahan suhu
atau
penurunan tumpuan kita boleh menggunakan persamaan kerja pada konstruksi batang {8. 9.). Gaya virtual P = 1.0 kita tempatkan pada tempat dan jurusan pergeseran yang dicari.
Loa*
=:H
"
+ :s-a,rp-
Ic"
Contoh:
(8. 10.)
Beban yang sebenarnya dengan bidang momen M
Pada persamaan kerja pada konstruksi rangka batang ini masing-masing bagian berarti: S gaya normal pada batang vang sebenarnya 5 gaya normal pada batang oleh beban virtual P1 = I.0 pada titik simpul t pada jurusan pergeseran d1 s panjangnya batang masing-masing Bagien-bagian yang lain sama seperti pada bab 8. 2.. 2. Persamaan kerja pa(a konstruksi batang (8. 8.). Oleh karena sekarang kita memperhatikan konstruksi rangka batang kita lmrus mengawasi, bahwa gaya virtual P : 1.0 tidak bekerja lagi pada suatu titik k sembarang, melainkan pada suatu titik simpul *. Untuk menentukan pergeseran dp, kita pertama-tama dengan bantuan Cremona atau Cullmann-Ritter mencari gaya batang S masing-masing yang se[enarnya. Selanjutnya sekali lagi untuk mencari gaya batang S masing-masing oleh gaya virtual P: 1.0 pada titik simpul k, yaitu pada titik simpul yang akan kita cari pergeserannya d1. Kemudian kita meng-superposisikan-kan dua hasil ini pada batang masing-masing. Seperti sudah ditentukan pada bab 8. 2. 2. (Persamaan kerja pada konstruksi batang) kita boleh menyederhanakan persamaan kerja pada konstruksi rangka batang (8. 10.) Eeperti berikut:
W
oleh
_E
1,OEFc6k: ).SS
Pada bab 8.
4.2.
;:
s
(8. 11.)
dan(8. 11.).
350
M,
-
Garnbar 8. 2. 4. b.
g!2,
10.)
*
*.
*,
oler,F =1,0,
fr, -
]rl* -ull
oleh karena batang pada contoh ini menjadi lurus dengan morlen lembom / tetap kita boleh mengatakan, bahwa ds = dx dan kemudian I = lcdan l"/t - 1. t/2
Etd:2[(qrr- *,) la^ 4
t/2
=
*
! (* -
*,1 a, =
Et6=*('rz-"1
(Pergeseran pada konstruksi rangka batang) kita mendapat con-
toh yang menggunakan persamaan kerla pada konstruksi rangka batang (8.
q:
lk?
W
Gambar 8. 2. 4. a
Et6 _
Bebanvirtual P= t.O dengan bidang momen
:#
*1, €
- iL;
denoan -
6 =5
3!:-
wEt
Hasil ini sudah kita ketahui dari bab 2. 8. (Perhitungan lendutan dan garis elastis) hanya penentuannya dengan cara ini lebih sulit. Akan tetapi hasil ini boleh kita ubah lagi seperti berikut:
Etd-*r,= fr+[r="unrr 351
r Perhitungan f./.d pasti akan lebih sederhana lagi jikalau kita m€ngetahui nilai c. M dan M menjadi ukuran momen maximal yang sebenarnya dan oleh beban virtual F : 1.0. c menentukan bentuk-bentuk dari tiap-tiap bidang (diagram) momen yang akan dikalikan. Selanjutnya kita menentukan beberapa persamasn untuk kombinasi b€ntuk bidang momen masing-masing. Ordinat-ordinat bagi bidang momefl kemudian ditentukan dengan i dan k dengan s sebagai panjangnya batang. Pada persamaan berikut kita litrat, bahwa E/.d,1 meniadi sama dengan integral JMi M* ds oleh bidang momen M;dan Mppda paniangnya batang s.
1. Trapesium
*
3. Trapesium - bidang segiempat:
Kejadian ini merupakan suatu kelanjutan dari kejadian kt - k2 -- k.
ke2dengan
Eldik
-
Ul
{r,a*
+
ir3kl
Etr);p:)t,,*,.t*,
c=1
1
(8. 14.)
bidang sembarang: Gambar 8. 2. 4. e.
,,ffi]ilIflffiflu
.,;i
Mi=itf
ss
rs
Etdip=)Utr*o,: 0
4.
Bidang segiempat
gf un*a, *lr*'** 00
-
segiempat: Kejadian ini merupakan suatu kelanjutan dari kejaCian ke 3 dengan i1 = i2 = i.
Gambar 8. 2. 4. c.
lntegral pada rumus ini berarti momen pada bidang motren M1 dibandingkan pada ordinat sisi kanan fi) dan ordinat sisi kiri (77i. Selanjutnya dapat kita katakan:
El6ik=
2.
!liry,+
Trapesium
-
Eld,r = ;11"
)
Gambar 8. 2. 4. f.
trapesium: Kejadian ini merupakan suatu kelanjutan dari kejadian ke 1.:
.
Etdik=
a
El6ik
=
5.
Bidang segitiga
-
segiempat: Kejadian, ini merupakan suatu kelanjutan clari kejadian
|t1t,"3"***o]") *f tlr,"{"* |
El6ik=
Wr*,
f
+
irk,
+ i2& + 2i2k2l
t,;fr*,+k2) + irlkr+2k)l
Gambar8.2.4.
ke3dengan i7
= il6nir:
Q
.''flffilffirm**,,-,
] *, f"t
*rt (8.13.)
tt,:,r:Iifs Gambar8.2.4.
c:1
1
(8. 16.)
g
d
FUI''ilGAS 352
(8. 15.
l
k,'k
(8. 12.)
iryll
c=
T. A. t9,.'7 I i*98
353
6.
Bidang segitiga
-
segitiga searah: Kejadian ini merupakan suatu kelanjutan dari kejadian ke2 dengan it = i: iz - O; kt : k dan kz : O
*'fill.llllmffirrrrTn,, ,-,
Etr\;1,=fuz**ot rns,r
: ! *s
Bidang segitiga
*
I, u o *, - In ,
o;,
(8.2.Ikita tentukan, bahwa giliran kumpulan gaya s,),renarnya dan kumpulan gaya virtual boleh juga bolak-balik sehingga kita jugla boleh Pada rumus (8. 'l .)dan
berkata:
.:+
(8.17.)
A, I*r 4u.rJ oo
q'GF*
jrn4r,
jikalau kita memperbandingkan rumus,47 dengan rumus 4; kita boleh menentukan,
:
bahwa A, A,. Kerja virtual luar pada ,'{ menjadi A" = Z P.J (lihat juga rumus (8. 1. )) ctan kerja luar pada,4i menjadi Aa >P.a ttifratluga rumus (8. 2.)). Dengan ini syarat Sefti berbunyi:
:
GambarB.2.4. h.
7.
o,: JN * i'r r
segitiga berlawanan: Keladian ini merupakan suatu kelanjutan dari kejadian ke2dengan it = i;iz: O;kr: Odan kz= k
Jumlah kerja virtual oleh gaya F pada pergeseran d oleh P menjadi sarna dengan jumlah gaya P pada pergeseran J oleh gaya virtual P.
Et(tik=f,t**oi tu,r
: !o i*s
c=
1
6
(8. 18. )
Gambar 8. 2. 4. i.
Pada semua kemungkinan yang lain bisa digunakan tabel-tabel 1.2. 14. (Tabel-tabel hasil pengintegralan pada kerja virtual) pada lampiran buku ini. Biasanya hanya dikerjakan dengan menggunakan tabel-tabel itu. Harus dipe;hatikan, bahwa tabeltabel itu hanya boleh digunakan jikalau momen lembam / tetap. Contoh-contoh
pada bab 8.4. 1. (Pergeseran dan perputaran pada konstruksi batang) menerangkan penggunaan tabel-tabel itu.
8.3.
(8.19.
'P.d:>P,F
Syarat-syarat berikatan pada perubahan bentuk elastis
8.3. 1. Syarat dari Betti Betti menentukan pada tahun 1872 tentang ikatan pada perubahan bentuk elastis: Kita perhatikan hasil kerja virtual dalam oleh suatu gaya normal N, gaya lintang O dan momen M dengan gaya-gaya virtual oleh Pyang menjadi N; A dan ili. Menurut rumus (8.3.); (8.4.)dan (8.7.)kita boleh berkata:
)
Syarat ini juga boleh digunakan jikalau tidak ada gaya P dan gaya virtual P, melainkan momen M dan momen virtual M. Pergeseran d dapat diganti dengan sudut putaran rp dan Jdengan 9.
8. 3.
2. Syaratdari Maxwell
Maxwell menentukan pada tahun '1864 tentang keterikatan pada perubahan bentuk elastis sesuatu yang sebetulnya menjadi suatu kelanjutan dari syarat dari Betti. Jikalau kita menentukan, bahwa: d1o menjadi pergeseran titik k pada jurusan gaya Pp ,= 1.0 oleh beban yang sebenarnya. dri menjadi pergeseran titik k pada jurusan gaya Pp: 1.0 oleh gaya Pi : 1.0 pada titik
dir
L
menjadi pergeseran titik i pada jurusan gaya P;
=
1.0 oleh gaya P1
:
1.0
pada titik k. dsb.
.
....
Selanjutnya bidang momen yang akan diintegralkan mendapat indizes yang sama seperti d, maka misalnya: rlIX ,
rM
J
M,
I - " EI
ds
atau
,\*o:
rM, M ) -ff
dt
354 355
r Pada rumus ini bagian masing-masing berarti: Mi = bidang momen oleh gaya P : 1.0 pada titik i Mr : bidang momen oleh gaya P : 1.0 pada titik k Mo : bidang momen oleh beban yang sebenarnya
Sebagai fungsi dari Pi kita tentukan:
. 1^. 1 Pi Ar:iPi6ir:Z c
pr : 1.0 dan oleh Selanjutnya diintegralkan. Untuk menentukan misalnya d1; bidang momen yang harus kita cari sebetulnya sama jalannya seperti tadi (gaya Pi : 1.0 dan gaya virtual e* : 1.91 Kemudian seharusnya hasil masing-masing menjadi sama, atau dengan kata-kata lain syarat dari Maxwellberbunyi: Untuk menentukan d,1 kita mencari bidang momen oleh gaya
gaya virtual Pi
dan
A1x
kemudian
lo? A": i a* *o,
= 1.0
Pergeseran suatu titik i oleh gaya P : 1.0 pada titik dengan pergeseran titik k oleh gaya P : 1.0 pada titik i.
=
(kerja pada jurusan pergeseran) (kerja tidak pada jurusan pergeseran)
Pld1n
1P;,\,,1
dengan memperhatikan, bahwa P;tidak terganrung dari Ax boleh kita tentukan:
JAa _
k menjadi sama
OPi
P
;
*o
*'lill
=rl/l +{J/tt:t\i'
(i) = derivasi)
dengan hasil yang menjadi syarat dari Castigliano:
0A. lPi
(8. 20)
1Ai
8.21.t
aP,
Syarat ini boleh dilakukan pada konstruksi batang maupun konstruksi rangka batang.
8. 3.
8.
3. Syarat dari Castigliano Syarat yang ditentukan Castigliano pada tahun 1879 tentang perubahan
bentuk elastis sebetulnya bisa berguna pada konstruksi batang dan konstruksi
3.4. Syarat dari Mohr
Syarat yang ditemukan Mohr pada tahun 1868 menentukan perubahan bentuk. oleh karena mudah digunakan, syarat Mohr pada umumnya paling disukai. Penggunaannya terbatas pada balok tunggal.
rangka batang tetapi syarat dari castigliano jauh lebih rumit daripada sistim yang
lf ..-# *
lain yang lebih mudah dan merupakan kelanjutan pada praktek.
(t)
Atas dasar lengkungan k pada suatu balok boleh kita tentukan:
Pada suatu balok tunggal dengan gaya P; kita
*:1=
tambahkan beban dengan suatu kumpulan
a
s/d Pr. Kita boleh mengsuperposisikan dua beban ini untuk menerima gaya P1
jumlah kerjaluar A,.
__y:_ ..,,,, y'z1t1z r
11
+
8.22.t
Gambar 8. 3. 4. a.
Oleh karena itu kita selanjutnya boleh menentukan untuk suatu potongan balok yang melengkung menurut gambar 8. 3. 4. a.:
k-it--f::-
ds
lr+tr) Gambar8.3.3. a. s/d c.
Atau dengan bentuk lain,4, menjadi:
Aa,=Ar+A1 +Alt.
=
1161q=
jy
Persamaan pada garis elastis kemudian terbaca:
dq'l
,ir=;=Y
,,M
=- rt
(8. 23.
)
356 357
a Selaniutnya kita menentukan hubungan-hubungan seperti berikut:
tetap. Jikalau tidak. kita boleh menggunakan suatu momen lembam dengan per-
r
M-Mo+)Odx,
dMr ,1, -o
o' )odx'
d2M
0x'
bandingan l"/1. Pada konstruksi rangka batang persamaan kerja menjadi suatu jumlah, dan oleh karena itu penggunaannya tidak mengalami kesulitan. 5. Syarat dari Maxwell menentukan, bahwa pergeseran dp suatu titik i oleh gaya P : 1.0 pada titik k menjadi sama dengan pergeseran dki titik k oleh gaya P : 1.0
4.
pada titik
8.24.)
tl
Jikalau kita menrbandingkan persamaan (8. 23.) dan (8. 24"1 kita bisa melihat, bahwa mereka beiarti berkeluarga.
'\ dx' ,l
I
M Ll
dall
d2M
;;(, x'
Persamaan ini menjadi dasar syarat Mohr yang bisa selanjutnya digunakan secara grafis atau secara analitis seperti sudah diterangkan pada bab 2. 8. (perhitungan lendutan dan garis elastis).
8.3. 5. Ringkasan
Contoh-contoh
Dasar perhitungan adalah rumus (8.8.) dan yang dipersingkat (8.9.). Rumus (8. 8.) kita tambah dengan perbandingan momen lembam /. dan tiap-tiap bagian dengan perbandingan luas batang F" seperti berikut:
1,oEt"dr
=
I *n j
o,
atau
rangka batang yang dibebani, ada dalam keadaan seimbang (termasuk reaksi pada tumpuan masing-masing) dan konstruksi ini rnenerima suatu pergeseran oleh suatu kumpulan gaya virtual, kita boleh mengatakan, bahwa jumlah kerja virtual oleh gaya itu menjadi nol. Jikalau kita membalik urutan ini, kita mendapat asas tentang kerja virtual. Asas ini menjadi dasar untuk perhitungan perubahan bentuk. 2" Pergeseran pada suatu titik pada suatu konstruksi batang atau rangka batang dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan kerja dengan menggunakan satu gaya vitual Pp: 1.0 atau satu momen Mr : 1.0. Kerja virtual luar ini menjadi sama dengan kerja virtual dalam, dikurangi oleh pergeseran reaksi tumpuan yang biasanya menjadi nol.
+
pada umumnya dengan menggunakan tabel-tabel tentang hasil peng-integral-an di
mana bentuk-bentuk dan kombinasi-kombinasi yang sering timbul sudah ditentukan sebagai nilai integral JW,Wods. JW,Wrds menunjuk bahwa tabel-tabel tentang hasil peng-integral-an tidak hanya berlaku untuk bidang (diagram) momen, melainkan juga untuk bidang gaya normal dan gaya lintang, walaupun biasanya pengaruh pada gaya lintang dan gaya normal boleh dihapuskan. oleh karena itu pada umumnya pada tabel-tabel hasil peng-integral-an digunakan nilai integral I M;Mrds. Pada batang atau bagian batang yang diperhatikan seharusnya momen lembam /
rr"l
J
*
t
No,t,as
J
-*
*I
| o, * ff,j.oo';* n
-f
(8.25.)
as-:cc ]
Dengan rumus (8.25.) ini kita bisa menentukan d* dengan memperhatikan segala pengaruh dan kemungkinan. Menurut keperluan, kita juga bisa menggunakan bagian masing-masing dari rumus (8.25.)ini. Dalam perhitungan kita perhatikan hal-hal sebagai berikut: 1. Menentukan sistim statis, gaya dan beban dengan diagram momen (M"1, gaya normal (/U.) dan gaya lintang (O,i. 2. Menentukan momen lembam / (jikalau belum tentu kita memilih suatu momen
lembam taksiran) atau menentukan perbandingan momen lembam pada
3. Ferhitungan kerja virtual dalam pada konstruksi batang bisa dilakukan
358
4.
8.4.1. Pergeseran dan perputaran pada konstruksi batang
q
1. Asas tentang kerja virtual menentukan: Jikalau suatu konstruksi batang
8.
/.
masing-masing batang.
3. 4. 5. 6.
Jikalau perlu menentukan panjangnya batang s. atau /" dengan perbandingan momen lembam /" seperti ditentukan pada syarat persamaan tiga momen (ClaPeYron) lc : l' lc/1. Menentukan pergeseran dan perputaran yang akan dicari dan memasang gaya virtual P = 1.0 atau momen vitual M = 1.0 pada tempatnya. Menentukan diagram momen M, dan jikalau perlu juga diagram gaya normal rV dan gaya lintang O. Memperhitungkan pergeseran atau perputaran dengan rumus (8. 25.) dan dengan bantuan tabel-tabel hasil pengintegralan pada kerja virtual pada lampian 1.2. 14. 359
I
Contoh 1: Pada konstruksi portal dua ruas dengan momen lembam / tetap (lihat gambar Lrerikut) dicari:
E; El
t-
Fertanyaan 1: Pada tempat dan jurusan d6 kita menempatkan gaya virtual P dan menentukan diagram momen M berikut:
tlcm2
:P
E w -1.0t/ n 46- 1,0 t
I MS
Gambar 8. 4- 1 . a
1.
2. 3.
1.0
diagram M (nilai dalam t)
300'000 cma 200 cm2 2'1OO
=
Pergeseran tumpuan b oleh beban angin w : 1.0 t/m dengan memperhatikan pengaruh momen lentur. Pergeseran titik simpul (sudut) c oleh beban angin w dengan memperhatikan pengaruh momen lentur dan gaya normal. sudut perputaran garis elastis kaki a-c pada tumpuan a dengan perhatian pengaruh-pengaruh seperti pada titik 2.
Penyelesaian:
Menurut ketentuan untuk perhitungan titik 1 s/d 6 kita sudah mengetahui titik 1, sistim statis. Titik 2 dan 3 tidak perlu diperhatikan oleh karena momen lembam I sudah diketahui dan menjadi tetap. Akan tetapi kita harus menentukan diagram momen Mo dan diagram gaya normal y'y'o menurut ketentuah pada bab 7. (Konstruksi portal statis tidak tqrtentu) kita mendapat hasil berikut:
Momen-momen digambarkan pada sisi yang menerima gaya tarik. Penentuan tan(+,-) sebetulnya tidak perlu, yang penting hanya penentuan ordinat masingmasing dan bentuk bidang (diagram) momen. Selanjutnya kita dapat menghitung dengan urutan kaki kiri, batang horisontal, kaki
da
kanan: 1,0
1l Et)t,o i24,0 6,0 ' 6,0 r 4,Ol2' 24,0' 6,0 ' 24,0'4,0 ' U 148,0.4,0 -q,o 2 4,ot . 4.0
1,0 Ehbo El(\ bo
diagram
=
.
tJbo
,\
diagram M (nilai dalam tm)
Gambar 8. 4. 1 . c.
tt
650,67 t2nrl 650,67 tmr 650,67
2,1 . 101 . 3,0'
-
8,0 . 6,0 '
10-3
-
0,0103 m
1,03 cm
y'V
(nilaidalam t)
Pada perhitungan ini pada kaki kiri kita mengintegralkan segitiga-segitiga, pada batang horisontal trapesium-trapesium, dan pada kaki kanan parabol segitiga.
-
Jikalau dua bidang (diagram) momen berada pada sisi batang yang sama, hasil pengintegralan menjadi positif ( + ), jikalau tidak hasilnya menjadi negatif ( - ).
Gambar 8 36C)
4.1
b
Jikalau hasil pengintegralan men.jadi positif ( + ), maka jurusan gaya virtual P menjadi sarna dengan jurusan rj. Pada pertanyaan2: Pada tempat dan jurusan d. kita menempatkan gaya virtual P = 1.0 dan menentukan diagrarn momen dan diagram gaya normal 361
P =10
diagram
Tl,5 lu
M
diagram
rV
GambarS. 4. 1. d.
Kita menentukan pergeseran d. oleh tiap-tiap akibat tersendiri: pengaruh oleh momen lentur (lihat gambarS. 4. 1. b.dan d.):
11 '6,0'6,0 + 6 4,0'6,02' i24,0
24,0 + 8,0) + 0
E16", :2gg + 224:5'l2tms
.
512
d"M
=
.lO7 2."1 .
dcrvr
=
0,814 cm
.35.
,,0-3
=
diagram
fi
0,00814 m
kita menentukan perputaran <pa oleh tiap-tiap akibat tersendiri: pengaruh oleh momen lentur (lihat gambar 8. 4. 'l . b. dan e. ):
a)
11
'1,0
- 6 4,0.1,0.2
Elq'uy
=
Elqupl
= *72,0-37,3 - *i09,3tm
QaM '=
b) b)
fr
Gambar 8. 4. 1 . e
a)
EldcM =
diagram
224,0
6,0
_ 109,3
,-1_TO, :"0. rOa =
24,0 + 8,0)
-
0
0,00174
pengaruh olch gaya normal (lihat gambar 8. 4. 1. b. dan
e. ):
pengaruh oleh gaya normal (lihat gambar8. 4. 'l . b. dan d.):
- -i,0' 4,0' 0,25' 6.0-1,0' 4,0' 0,25. 4,0,. -10,0t , 10,0 ,paN =, 1 . 10?. ) o. 1,,,2= -0,00002
EFgpuu
= 1,0' 4,0' 1,5'6,0' : 0 - 1,0'4,0"1,5' EFI"N = 36.0+24,0= 60,0tm EFdcN
. d"N
=
,r"*
-
c)
60,0
,j. ,pa:10,:
4,0
o,ooo14m
c)
perputaran gs, diterima oleh superposisi: (Pao
:
eao
: -0,00176Pq
0,014 cm
pergeseran d" diterima oleh superposisi:
r\ro: r\", + drN = 0,814 + 0,014 = 0,828cm Dengan hasil ini kita sudah membuktikan, bahwa pengaruh pada pergeseran oleh gaya normal biasanya begitu kecil maka kita boleh mengabaikan perhitungan. Pada pertanyaan 3: Pada tempat dan jurusan rpu kita tempatkan momen vitual M : 1.0 tm dan kita tentukan diagram momen dan diagram gaya normal
-0,00174-0,00002
-
-0,00176
= -0,'lo
Tanda negalif (-) menunjukkan, bahwa perputaran rpa berlaku terhadap jurusan momen virtual M. Dengan hasil ini kita juga membuktikan, bahwa pengaruh pada perputaran oleh gaya normal biasanya begitu kecil, sehingga kita boleh mengabaikan perhitungan.
Contoh 2: Pada rusuk 'Gerber' berikutnya dicari lendutan di tengah bagian balok yang tergantung antara engsel dan tumpuan C. Beban merata sebesar q = 1.0 tl m; nrodul elastis E = 2'100 t/cm2 dan laa : lec: 9'800 cma.
362 363
r A-B -
Selanjutnya kita dapat menghitung (dalam urutan; bagian balok - bagian balok tergantung): El6mo
:
0
+
111 a4,0.
1,0.5,0 +
1
34'0.1'0.2'O
diagram momen Mo
Penyelesaian: Diagram momen Mo sudah ditentukan pada gambar 8. 4. 1. f. Oleh karena dengan menggunakan tabel-tabel hasil pengintegralan kita dengan bidang momen Mo ini tidak dapat ditemukan, kita akan membagi diagram momen pada empat bebanan
dasar, yaitu: momen pada bagian balok yang tergantung, gaya pada engsel, ,4
-I
1,0.5,0
f,r,0.'t,0.2,0
-
+o*
T3,125.
]z,o
1,0.5,0 + 0
+
.1,0.4,0.f, +o+o+o
Eldmo = 11,78 tm3
Gambar8.4. 1. f
momen pada konsole dan momen pada balok
+
i2,0.
konsole
seperti berikut:
11,78 . 105 s_ vm| - z,t .ror.s3. to, = 0,572 cm
Contoh 2 ini menerangkan, bahwa pada diagram (bidang) momen agak rumit kita boleh membagi diagram momen itu ke dalam beberapa diagram momen yang agak sederhana supaya kita bisa menggunakan tabel-tabel hasil pengintegralan pada kerja virtual {r1.2. 14.1.
diagram momen oleh beban merata
Contoh3: Pada konstruksi portal berikutdengan dt
pada bagian balok yang tergantung
/=
150'000 cma;
h
:
:
1
12' 10-6Srd
;
70cm dan E = 2'100tlcm2 menurut gambarS. 4. f . i.
diagram momen oleh gaya yang timbul pada engsel
diagram momen oleh beban merata pada bagian konsole
diagram momen oleh beban merata pada bagian .4
-I
Gambar 8. 4. 1. g.
Untuk menentukan lendutan maksimal pada tengah-tengah bagian balok yang. tergantung, kita memasang satu gaya virtual P = 1.0 pada tempat dan jurusan lendutan yang dicari, dan menentukan diagram momen
fr
menurut gambar berikut:
Gambar8.4. l.
Dicari:
1.
2.
Pergeseran vertikal pada
1.0
t/m
pada batang
Pergeseran vertikal pada titik 1 oleh suhu yang berbeda pada sisi atas dan sisi 1 dan 2-b oleh At = 20o.
-2
Penyelesaian:
diagram momen M Gambar8.4. 1. h.
364
:
2-b. bawah pada batang
fi;tooo-4,*:.
titik 1 oleh beban merata e
i.
Penentuan bidang (diagram) momen oleh beban merata dan oleh gaya virtual 1.0 t pada titik 1 seperti berikut:
P: 365
dicari:
P=fit
1. 2. 3.
diagram momen Mo
- - !n,s.4,0.
Etdlo
dro =
1o,o
=
-
=
-
0.53 cm
166,7. 106 -.10t.
2,'t
150.
103
Pergeseran vertikal pada engsel c oleh perubahan suhu pada sisi atas batang horisontal dengan tr : 40o dan pada sisi bawah tZ : 10". Perputaran garis sumbu pada tumpuan b oleh perubahan suhu seperti diterangkan pada titik 2.
Penyelesaian: Gambar8.4. 1. k.
Pada pertanyaan 1:
Pergeseran vertikal pada engsel c oleh beban angin w.
Penentuan bidang momen oleh beban angin w pada batang (kaki) kiri:
166,7tm1 diagram M (tml
Pada pertanyaan 2: Atas dasar rumus (8. 8.) dan rumus (8. 25.) kita dapat menentukan pergeseran oleh perbedaan suhu seperti berikut:
o,=
Gambar8.4. 1. m.
Init":H Jno"
Untuk telitinya pengertian kita menggambar pada batang vertikal sebelah kiri
lntegral ini menentukan bidang momen M oleh gaya virtual P. 12.10'6.20 'l , ot = + 4,0) : 0,0096m
diagram momen oleh beban angin w, dan diagram momen oleh reaksi tumpuan a yang horisontal sebelah kanan. Selanjutnya kita tentukan momen lembam perbandingan seperti berikut:
drr = 0,96 cm
l" = l"
O,
Hasil integral
Z4,O(10,4
f Mlf
ds menjadi positif (+ ) jikatau pembengkokan garis sumbu
oleh perbedaan suhu berjurusan sama dengan beban virtual P yang dipilih sembarang, dan bagian konstruksi batang yang lebih panas adalah juga pada sisi yang menerima beban virtual.
contoh 4: Pada konstruksi portal tiga ruas menurut gambar berikut dengan s sebagai tiang (batang) yang vertikal dan rg sebagai batang yang horisontal dengan nilai-nilai berikut /n = 100'000 cma; /" = 120'000 cma; f = 2'1@ tlm2; hs: 50 cm; h" = 60 cm dan at = 12.10-6/grd.
4:L+=
th
: tn
k
:
u,o
1-3i1910,
=
7,2 m
5,0 m
Pada pertanyaan 1: Pada tempat dan jurusan d" kita menempatkan gaya virtual P: 1.0 dan menentukan diagram momen, dan untuk penyelesaian pertanyaan 2 juga
langsung diagram gaya normal.
diagram momen M
q I
I diagram gaya normal
1,, t,ut 366
ltoo
Gambar 8. 4.
l.
l.
ff(=
tt
Gambar8.4. 1. n. 367
r Selanjutnya hasil pengintegralan menjadi:
Et"6"s: 11 412,5.1,5.5,0 - 5 18,75.1,5.5,0 +- 3 Elcdco = 23,4 -46,9 + 15,6 : -7,9tm3 1
- 7,9 . 106 6co = . 2,1 103 . 1.2. 10s
=-
Oleh karena bidang momen pada batang yang horisontal sebelah kiri dan kanan dari engsel meniadi sama besarnya dengran tanda (+,-) berlawarian, maka jumlah
bidsng momen itu meniadi nol. Selaniutnya kita hanya perlu memperhatikan
6,25. 1,5.5,0
diagram gaya normal untuk menentukan
qot : 96.0
0,0314 cm
Oleh karena hasil menjadi negatif (-) maka kita ketahui, bahwa jurusan d"oterhadapjurusan gaya virtual P, atau dengan kata lain, berjurusan dari bawah ke atas. Pada pertanyaan 2: Perubahan suhu itu kita bagi atas: a) Perubahan suhu seragam ts : 10o dan b) Perbedaan suhu pada sisi atas dan sisi bawah batang sebesar At
=
30o.
Menurut rumus (8.25.)kita dapat menentukan:
a,=
f
No,t,arn
I
, dcts :
qt t" f ruAs dan J -
(* 6rar:a,Lt T )
Mds
lntegral ini menentukan diagram (bidang) momen M dan diagrarn gaya normal oleh gaya virtual P(lihat juga gambar8.4. 1. n.).
: - 12' 10 9' 10'0,3'600 : - 0,02cm ._, = 12. 10 6.30 22 - 1 150.300 : + 0,27 cm dcLt dcrs
d"t : -4,02 + 0,27 : + 0,25cm Pada pertanyaan 3: Pada tempat dan putaran qpo kita memasang suatu momen virtual:M 1.0 dan menentukan bidang (diagram) momen dan diagram gaya normal:
:
Gambar8.4. 1. o 368
O,OO72
0,130
1.
4.
Penentuan gaya batang masing-masirrg oleh beban sebenarnya dengan meGggiunaka n cara Cremona atau Cu Jlman- R itter. Penentuan gaya batang Smasing-masing oleh beban virtual P * 1.0 denE;an cara grafis (Cremona) atau analitis (Cultrnann-Bitter). Mencari haeil dengon menggunakan persamaar'! kerja pada konstruk$i rangka
batang. Perhitungan oleh beban atau perutlahan suhu iebih baik dilaksanakan
5. ly'
:
Daaarnya pacJa perhiturrgan adalah rumus {8. 10.}dan rumus (8. 11.). Untuk mencari hasilnya kita bekerja setapak demi setapak seperti berikut: Fenentuan paniangnya s dan luas batang Fbagi tiap-tiap batang. Pengurangan luas bateng oteh lobang baut atau alat sambungan lain tidak usah diperhatikan.
3.
Oleh karena perubahansuhu ini hanya dialami batangyang horisontal (R) kita dapat menentukan bagi ts dan At masing-masing d",. dan d"41 berikut:
' 10-5' 10'0,10'600
8.4.2. Fergeseran pada konstruksi rangka batang
2.
nrffa,
:
12
rp61"
masing-masing tersendiri.
Menjumlal*an hasil pada semua batang pada konstruksi rangka hatang' Perhiturygan ini pada umumnya dilalwanakan dengan beban dalam f dan ukuran
dalarn cm sebagai tabel seperti terlihat pada eontoh-contoh berikut.
Pada
prakteknya persamaan kerja pada konstruksi rangka batang digunakan dalarn bentuk berikut:
6d(
:
:SSi-
(8.26")
Contoh 1: Pada konstruksi rangka hatang berikutnya dicari pergeseran pada titik sinrpul m. Ukuran masing-masing batang terlihat pada tabel berikut. E -= 100'000 kg/cm2:
Gambar 8.4.2.a.
369
Penyelesaian: Pada titik simpul dan jurusan d- kita tempatkan suatu gaya virtual P terlihat pada gambar 8. 4.2. b. berikut.
=
1
,0 seperti
At-
15,0
t GambarB.4.2. c.
Penyelesaian:
Gambar8.6.4.
Padatitiksimpul sdan jurusandskitaternpatkansuatugayavirtual P
b
Dengan mengunakan sistim Cremona atau Cullmann-Ritter kita menentukan gaya batang S oleh beban sebenarnya dan gaya batang S-oleh beban virtual, dan mengisi hasilnya pada tabel berikut. Perlu diperhatikan, bahwa pada jumlahan batang 1 sld 4 bersifat ganda (kiri dan kanan) maka batang 5 hanya timbul satu kali. batang
s
F
s/F
s
s
Dlm.
Icml
lcm2l
[1/cml
(t)
(t)
I
600 360
1m
+ 4,5
+
360 360
160
6,00 2,25 2,25
120
3"00
-
-* -0
2.
3 4
160
>1....7 211....4 5 Edn
400
100
4,00
+
5,4
3,6 1,8
2,
(t/cml 0,75 0,90 0,90
+ 1,0
20,25 10,92
7,28 0,00
370
F
s/F
s
s
SSs/F
lcml
lcm2l
[1/cm]
(t)
(t)
(t/cm)
24,6 38,4
29,3 15,6 29.0
+
720 600 400
7
'r3,8
2....7
-
18,0 15,0 10.0
+
-
1,8 1,5 1,0
950 351
290 1591
d",=ffi:o,76cm Pada pertanyaan 2: Perubahan suhu hanya dialami batang 1 dan 2, dan oleh karena
Contoh 2: Pada konstruksi rangka batang berikutnya dicari penurunan titik simpul s
1. 2. 3.
s
1,2
perhitungan, kita bisa memudahkan perhitungan dengan menentukan pertama
2'100t/ cm2, a1: 12.10-6 grd'1 , F1 = Fz:24.6cm2, 13.8 cm2, oleh: Gaya P = 10 t pada titik simpul s Perubahan suhu t : 20" pada batang 1 dan2 Pergeseran tumpuan a sebesar ca : 1.0 cm ke kanan
batang
3,4
84.90
-
: fi:
Pada pertanyaan 1: kita gunakan tabel seperti berikut:
8,00
semua batang nol.
F7:
dan .93
Gambar8.4.2. d
38,45 76,90
Oleh karena tiap batang yang tidak punya gaya batang (batang nol) tidak ikut dalam
cm2,
t =S
= l.0seperti
SSs/F
u,9 . d*o= ,Oa =0,85cm
dengan E
terlihat pada gambar 8. 4.2. d. berikut. Pada beban ini batang 5 dan 6 menjadi batang nol, dan
Ft: Fq:
38.4
itu persanraan kerja pada konstruksi rangka batang hanya perlu pada dua batang itu. Oleh karena batang'l dan2 nrempunyai beban Syang sama, perhitungan dr, kemudian menjadi: d"1 : sa1f"s : 1,8-12. 10 6 .20 .720 = 0,31 cm Fada pertanyaan 3: Pergeseran ca pada tumpuan a berjurusan ke kanan. Oleh karena reaksi tumpuan A6oleh beban virtual F - l.O berjurusan ke kiri, kerja virtual menjadi negatif (* ):
An = 1,gr cu = 1,0cm e, =- 1,5.1,0= -1,5tcm t,od. = ->Ci ds: + 1.5cm
371
8.5.
Garis elastis pada konstruksi batang
8.5. 1. Pengetahuan dasar
Gambar 8. 5. 2. a
2.8.
(Perhitungan lendutan dan garls elastis) pada bab ini tidak dikemukakan pengetahuan baru, melainkan bersifat memperdalam pengetahuan yang sudah-sudah. Sebagai peringatan kita selanlutnya mengatasi setindak demi setindak penentuan garis elastis menurut syarat Mohr (lihat bab 2.8.2. dan 8. 3. 4.): Seperti telah dikatakan pada bab
1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 8.
Penentuan reaksi tumpuan dan diagram momen oleh beban sebenarnya. Pembebanan konstruksi batang pada titik 1. dengan diagram (bidang) momen itu yang dinegatifkan (-). Perhatikan perubahan momen lembam .dengan mempereduksikan diagram momen yang sepadangnya. Pemotongan diagram momen itu ke dalam bagian-bagian. Garis batas diagram momen yang lengkung dengan begitu dapat diluruskan pada bagian masingmasing. Penentuan titik berat pada bagian masing-masing. Pembebanan konstruksi batang dengan gaya-gaya yang menjadi resultanteresultante pada bagian masing-masing diagram momen. Penentuan reaksi tumpuan oleh bebanan titik 5. itu. Reaksi tumpuan ini menjadi sudut putar tumpuan (o,p) dikalikan dengan F. /. Penentuan diagram (bidang) momen oleh bebanan titik 5. itu. Garis batas diagram momen sekarang menjadi garis elastis dikalikan dengan E /. Penentuan momen maximal oleh bebanan titik 5. itu, pada tempat dengan gaya lintangnya menjadi nol. Momen maksimal itu menjadi lendutan maksimal dikalikan dengn E /.
Penentuan garis elastis menurut syarat Mohr ini tidak rnenjadi sulit. Oleh karena pelrentuan secara analitis memerlukan banyak waktu, biasanya digunakan cara graf is.
Yang menjadi paling sulit pada perhitungan itu, yalah penentuan titik berat dari bagian masing-masing dari bidang momen. Selaniutnya kita menentukan suatu persamaan yang mernungkinkan perhitungan tsb. tanpa menentukan titik berat masing-masing bagian bidang momen dahulu. Dengan menggunakan persamaan yang baru ini, kita bisa memudahkan titik 3 s/d 5 pada perhitungan garis elastis menurut syaral Mohr.
8. 5.
2. Penentuan bobot-beban W Kita memperhatikan suatu balok tunggal yang dibebani oleh suatu dia-
gram (bidang) momen seperti berikut: 372
Suatu potongan sembarang, kita tontukan dengan
k, potongan di samping
kiri
dengan k-1 dan yang di samping kanan dengan k+1. Jarak k*1 sld k kita tentukan dengan,{p dan jarak k sld k+ 1 dengan ,i1 * 7 dsb. Ukuran atau iarak bagiarrbagian diagram momen ini menjadi sembarang. Akan tetapi seharusnya momen lembam / menjadi tetap pada satu bagian. Ukuran dan luas pada bagian-bagian bidang momen ditentukan begitu, maka gaya sebagai resultante bagian bidang momen tidak bekeria pada balok tunggal pacia titik beratnya, melainkan pada tempat potongan, misalnya & k + 1 dsb'
aza:--\-
r; t -*i,--
<*- t'l
f?
Gambar8.5.2. b
Gaya-gaya ini ditentukan dengan E. lr. Wp. Nilainya ditentukan sebagai reaksi tumpuan pada dua balok tunggal dengan lebar bentang,Il dan,l1* 7. Dengan gayagaya E. l"' Wx ini kita membatasi lagi balok tunggal dari gambar 8. 5. 2. a. dan mendapatkan garis elastis sebagai diagram momennya. Namanya bobot-beban W Perhitungan E. lc. Wk dilakukan dengan meratakan bagian bidang mon'len yang sebenarnya melengkung. Kita mendapatkan trapesium yang bisa dibagi dalam dua segitiga. Nilasi We ditentukan seperti berikut:
1 t-2 * lrrr^r*, 1 l^ El"Wp=rMrr^rii* iM*),* i 5 'l
Et".wp
*i
= [ tr*r, + 2Ml li + QMp + M1,ar),\i ]1l
* irr.,^0,,
il;
18.27.1
dengan penentuan, bahwa:
ti:I*
l^
i
dan trirt:
LL,r,'l;q,,
?B
----
Pada tumpuan sebelah kiri dapat kita katakan, bahwa ,( itu ,\1* 1 : ,tr. Bobot-beban Wo menjadi pada titik itu:
Elcwo =
,\i 6
=
0 dan ,l*
:
0 dan karena
(8.28.)
12Mo + Mrl
diagram gaya lintang O Sebaliknya pada tumpuan sebelah kanan kita tentukan ,1, dengan bobot-beban W,:
Etcwn- * rr,r+2Mnt
k = nl ,lr* r =
o dan 11 =
Au= Qu-i-
(8.29.)
Jikalau misalnya semua bagian dari suatu bidang momen sama lebarnya dan momen lembam / dari balok tunggal menjadi tetap kita bisa menyederhanakan
M*= Mx, + O1l1
rumus (8. 27.) seperti berikut:
Etwk
:t
Px.t
Gambar8.5.3.
rrr., + 4M*
-+
Mk+lt
a.
(8.30.) Persamaan kedua tentang diagram momen bisa kita tentukan juga dengn kata-kata
Selanjutnya pada tumpuan kiri bobot-beban Wo menjadi:
Etwo:IOmo*u,t
(8. 3'r.)
berikut:
Momen lenlur Mp pada suatu titik sembarang k pada suatu balok tunggal menjadi sama dengan momen lentur M2-1 pada titik k-l sebelah kiri, ditambah dengan hasil kali gaya lintang Oft antara titik
dan kemudian pada tumpuan kanan bobot-beban W, menjadi:
Etwn: tr*,,,+2M,)
(8. s2.)
k dan titik k-l
dengan jarak 11.
Contoh 1: Pada balok tunggal A-B berikut dicari garis elastis dengan menggunakan bobot-beban W. lo : 24'0O0 cma; l, = 4,W cma dan E = 2'100 t/ cm2.
20
t/m
8.5.3" Penentuan garis elastis dengan bobot beban W pada konstruksi batang
Pada bab 8.5.2. tadi kita rentukan persarnaan yang membantu kita pada perhitungan pembebanan oleh diagram mornen dengan gaya-gaya yang dikalikan dengan E.l. Pada bab ini kita mencari jalan untuk menentukan garis elastis dengan cara yang paling mudah. Kita ingat konstruksi diagram gaya lintang dan diagram momen, dengan ketentuan seperti berikut:
374
Gambar8.5.3.
b.
Penyelesaian:
Beban merata dibagi sembarang seperti misalnya pada gambar dan reaksi tumpuan Radan R6dapat ditentukan sebagai:
berikut8.5.3' c., 375
uo =
i_ror,oo.
,, = #2,0.
5,10. 7,6b = 7.65t
E,10 " 2,58
:
2,sEt
8lrl
1l'
I
eIE co
aN
I Gambar8.5.3. c.
t\ rl ro
Sebagai perbandingan momen lemban kita memilih /1 oleh karena /1 sudah berada pada bagian besar pada balok tunggal ini. Selanjutnya ditentukan:
lc:lt
l: =r l1
t^
i-
ltl1300
24000
o
= 1,*5
Pada perhitungan ini kita menggunakan suatu tabel seperti berikut. Baris 1 s/d 6 berisikan data-data dari beban yang sebenarnya. baris 7 s/d 1'l berisikan data-data untuk penentuan bobot-beban W, baris '12 dan 13 brerisikan data-data yang diperlukan untuk reaksi tumpuan R; dan fr6 yang rnenjadi sudut putar tu{tlFxren o, B dikalikan dengan E.l dan baris 14 sld 17 berisikan data-data dari beban oleh bobot-beban W"
1r' (o
ti I
376
E
o
l-
l.
Bobot-beban Wditentukan menurut rumus (8. 27.):
:
lMr-, +
6
ElcWk
6
ElcWk: mk + nk Elcwk =
2 Mkl
+
*,-r
8.6.
lk + Q Mk + Mp11l ),iaa1
npl
8. 6.
Misalnya pada titik 4:
6ElcW4: lMt+2M4ll'4+ (2M4+ Msli's: m4+ mq
:
{'12,N +
2'
na
=
12' 14,36
+ 14,50)'0,90 :
ElcW4:
1
6137,2
Penentuan R a dan
14,361.'
196
n4
38,9tm2
1m2
seperti berikut:
1
Rr=
+ElZW4;: Et">wi +
Ra =
E
l"LWi
-
Re
= ElcZWi
1. Pengetahuan dasar
Pada konstruksi batang garis elastis menjadi garis surnbu batang yang melengkung. Pada konstruksi rangka batang ketentuan ini tidak lagi benar, oleh karena perubahan bentuk berasal dari perubahan panjangnya batang masingmasing, dan pergeseran titik simpul masing-masing selanjutnya. Pada konstruksi rangka batang kita menentukan suatu garis elastis pada batang tepi bawah. Garis elastis ini tidak merupakan suatu garis melengkung, melainkan suatu poligon. Semua batang pada suatu konstruksi rangka batang harus tetap
0.90 = 37,2tm2
+ 38,9) :12,7
Garis elastis pada konstruksi rangka batang
- E t">Wi I;
Hasil masing-masing boleh digambar seperti berikut sampai kita mendapat garis elastis:
diagram momen lentur (tm)
menjadi lurus, karen mereka menerima gaya normal saja dan bukan momen lentur. Garis elastis pada suatu batang tepi menjadi tentu sesudah pergeseran masingmasing titik simpul rnenjadi tetap. Dengan diagram pergeseran Williot kita mengetahui secara grafis untuk menentukan pergeseran titik simpul pada konstruksi rangka batang, walaupun dalam rangka buku ini, kita tidak bisa mempelajari diagram pergeseran Williot tsb. di atas. Pada konstruksi rangka batang dengan hanya beberapa titik simpul dan bentuknya simetris kita bisa menggunakan rumus jumlahan, yang akan diterangkan pada bab ini. Hanya jarrglan meremehkan keluasan kumpulan angka-angka. Pada konstruksi rangka batang dengan banyak titik simpul kita selanjutnya menentukan suatu perhitungan atas dasar perhitungan garis elastis pada konstruksi batang.
8.6.2. Penentuan garis elastis dengan bobot-beban W pada konstruksi rangka batang
Penentuan garis elastis pada konstruksi batang dilaksanakan dengan bobot-beban W. Bobot-beban W itu yang dikalikan dengan E' / menjadi suatu bagian dari diagram momen. Kita mengerti, bahwa kejadian ini tidak mungkin pada konstruksi rangka batang, oleh karena pada konstruksi ini hanya tirnbul gaya normal dan bukan momen lentur. Berdasarkan atas pengetahuan ini kita harus menentukan pertama bobot-beban W pada konstruksi rangka betang dengan rumus-
bobot-beban W (tm2)
rumus yang baru. Sesudah bobot-beban
garis elastis (ukuran dalam cm)
W ditentukan, baru kita
boleh
menyelesaikasn perhitungan seperti pada konstruksi batang.
Atau dengan kata-kata lain kita memilih suatu balok tunggal sebagai sistim dasar dan membebani sistim dasar ini dengan bobot-beban W yang ditentukan secara baru dan kemudian menggambar diagram momen yang menentukan garis elastis 8. 5.3. d.
378
konstruksi rangka batang itu. 379
Selanjutnye kltaraenentulan bobot-bebon W pada konstnlksi rangka
bat4: l6p
d*
-
6p.)
tr**,
- 6x-,
= {d,+r -
11
dx-,
-
+ Wrl**,
d1)
d*
T':-^i;;;-"** wk:6\y,-dq#
(8.33.)
Pada rumus (8. 33.) ini hubungan antara bobot-beban W dengan orclinat garis elastis sudah ada, walaupun rumu6 ini belum dapat digunakan untuk p€rhitungan nilai bobot-beban Wp. Selanjutnya kita mengubah rumus (8. 33. ) sebagai berkut:
wk:i d1,wx
Gambar8.6.2. a. Pada gambar
8.
: * lr
6* .
€tk _ lk ak"Fr-- l--
-lk*r_--o**' oki
dan selaniutnya:
a*: dx-6x-,
dk+t: dk+r: 6**r-
dp
* bpal
Jikalau kita kemudian membandingkan segitiga yang diarsir pada gambar situasi dan gambar gaya (lihat gambar 8.6.2. a.). Oleh karena semua tiga sisi meniadi sejajar kita boleh mengatakan segitiga-segitiga itu menjadi sebangun dan per-
dkn,
dk
&-ln_rt,rn-or,+ (
*
+
r**1,)
a*
-,r,**1,d**,
Rumus ini terdiri dari hasil kali faktornya yang meniadi pergmeran sebenarnYa. Kalau kita mengetahui 1ii1 dan 1/11*1 sebagai beban virtual dengan haEilnya, bahwa bobot-beban Wsebetulnya menjadi kerja virtual luar. Pada bab 8. 2. 2. lPersamaan kerja pada konstruksi batang) kita sudah menentukan, bahwa keria virtual luar lA,l meniadi sama dengan keria virtual dalam (,4/.
Atas dasar pengetahuan ini kita boleh menentukan bobot-beban yy
6.2. a. teb. di atas kha lihat suatu bagian konstruksi rangka batang
dengan garis elastb pada batang tepi bawah. Garis elastis dapat ditentukan dengan gambar poligon batang iarlk oleh bobot-beban W. Atas dasar pengertian konstruksi grafis ini kita boleh menentukan perbandingan-perbandingan berikut:
,
sebagai:
(8.34.) Dalam rumus (8. 34.) ini As menjadi perubahan panisngnya batang s oleh bebon yang sebenarnya. S menjadi gaya oleh beban virtual 1/i1 dan 1l)q*1. Padegnmbar 8. 6. 2. b. kita melihat beban keria virtual yang harus kita pasang pada titik simpul k untuk menentukan bobot-beban W. kita juga melihat, bahwa jurnlah beban menjadi seimbang. Harus dikatakan di sini, bahwa beban virtual tidak selalu harus menjadi P-: 1 .0 t. Gambar8.2.6. c.
Gambar 8. 2. 6. b
bandingan dibaca seperti berikut:
bu-, : W, 't' :^*' Ak+t 17
dan
b*+t: W*l*n,
Kita selaniutnya mengisi hasil a1;
jikalauH = a1
1
11d6r1 bpl1 ke dalam rumus tsb. di atas
dengan tujuan menentukan hubungan antara bobot-beban Wdengnn ordinat garis elastis:
r?,-**,,
380
381 I
I
Oleh karena kumpulan beban virtual menjadi seimbang mereka tidak menyebabkan
reaksi-reaksi tumpuan. Oleh karena itu hanya batang-batang antara titik simpul 1 dan k + I menerima beban S. Tanda I dalam rumus (8. 34. ) selanjutnya hanya berisi bagian konstruksi rangka batang tsb. di atas. Jikalau kita pada kumpulan gaya virtual menentukan dimensi sebagai (1/dimensi panjangnya) kita mendapat bobot-beban W tanpa dimensi. Bobot-beban W pada konstruksi rangka batang pada umumnya ditentukan menurut gambar 8. 2" 6. b. dan c. seperti berikut: Gaya virtual S menurut gambar 8. 2. 6. b.:
k-
Op
= Oo*,
=.
*' hpcosy
U*:U*+r:0
p
rkr ur,:-*
vr=o
|tnur
+ Auk+r)
- #-*rw.,Mr_ nr"#.,^dk+l
o**;, v*+t=**,
+
+,L)av* Ak+1 (8.36.)
Dengan rumus (8.35.)dan rumus (8.36.)ini kita bisa menentukan bobot-beban W pada konstruksi rangka batang. Harus diperhatikan tanda ( + , - ) pada perobahan panjangnya As pada batang masing-masing. Pada konstruksi rangka batang dengan batang tepi atas dan bawah sejajar dan masing-masing bagian dengan ukuran yang sama kita boleh menentukan:
gt: tpr+1: q: y*:0 It:lr+t:,\=konstant ht: h = konstant
D*,t= *
Dr= +
+
konstanttetap)
Gaya virtual S menurut gambar 8. 2. 6. c.: ,|
U*
= U**t
^
h pcos
Vqa:0
Op:Qo*.'t=g
ht
p.1
Vk=
Dqx*t: *
hpcostPpll GambarS. 2. 6. e.
GEmbar 8. 2. 6. d.
11 lp lq**r
vqt*t
-* o
Selanjutnya pada konstruksi rangka batang dengan diagonal yang naik (gambar 8.
Selanjutnya pada konstruksi rangka batang dengan diagonal yang naik (gambar 8. 2.6. d.), kita boleh menentukan bobot-beban Wsebagai:
2.6. b.), kita boleh menentukan bobot-beban Wsebagai:
wt: -|toor*
*r = -E*ru(ao1,
+ Ao111)
*
a**rodk
+ hk*,pk-
Lo1,ai*
fi-*tur+
Ad111)
-]ror*,
+ avk+r)
Ldr*t (8.37.
1
dan pada konstruksi rangka batang dengan diagonal yang turun (gambar 8.2.6. e. ), bobot-beban Wmeniadi:
-;Avk1-i-Ayr,.t Ak Ak+1 (8.35.) dan pada konstruksi rangka batang dengan diagonal yang turun (gambar 8. 2. 6. c. ),
382
bobot-beban I4lmenjadi:
)
*r = +
tLup
+
^uk+1t
-
fi*toru + adp,"1l * |
or*
(8.38.
)
383
Penyelesaian: Pada pertanyaan 1: Karena sistim menjadi simetris kita hanya harus menentukan beban pada batang masing-masing yang sebenarnya So dan beban oleh gaya virtual P = 1.0 pada titik simpul 1,2dan 3 pada batang masing-masing (51, 52 dan se). Penentuan ini boleh dilakukan dengan empat kali menggunakan cara grafis (Cremonalatau cara analitis (Cullmann-Ritter). Oleh karena Oz = Ozdan O'2: g', dan U1 = Uzdan U's = U3,dan U'2 = U'lmempunyai gaya yang masing-masing sama, tabel 1 dijadikan satu batang dengan panjangnya s misalnya 02 + 03 dsb. a) Beban virtual P : 1 .O pada titik simul 1 (nilaiSl ): Ukuran dan sebagainya seperti pada gambarS.6.4. a.
Ssudah kita menentdRafi bobot.beban W kita membebani suatu balok tunggal sebagai rbJim dasar dengan bobot-beban Witu dan mendapat garis elastis dengan orclinat yang di*alikan derqnn F.
8.6.3. Ringkastrt 1. Sebagai goris elastis
pada konstruksi rangka batang pada umumnya kita tentukan garis eta'stie pada batang tepi bavrmh. Garis elastis menjadi suatu poligon bukan garis lengkung, oleh karena batang masing-masing tidak mebngd
2. 3. 4. 5.
sing-masing kita tentukan gario elastis itu. Pada konstruksi rangka batang dengan beberapa titik simpul saja kita boleh menggunakan rumus jumlahan yang berulang kali digunakan. Pada konstruksi rangka batang dengan banyak titk simpul kita menentukan gnrie elastis dengan bmntuan bobot-beban W. Kita nnenentukan bobot-beban wmenurut rumus (8.35.) s/d rumus (8.38.). Untuk itu kita memerlukan peru.lcahan panjangnya batang masing-masing oleh beben yang sebenarnYa.
Dengnn bobot-beban w kita membebani sistim dasar dan menerima garis elastis sebagai diagram rnomen'
-
suatu balok tunggal --
Gambar 8. 6. 4. b
b)
Beban virtual P
=
1.0 pada titik simpul2 (nilai52):
8.6.4. Contoh Pada ksnstruksi rangka batang berikut dengan beban yarq tentu dan : 2'lC{Jllem2 harus ditentukan garis elastis menurut/dengan: bantuan rumus iurnlahan
dengran E 1
.
2. bafiuanbobot-beban W
I A';',- qtost I
c)
Gambar 8. 6. 4. a.
384
Beban virtual P
Gambar 8. 6. 4. c.
=
1.0 pada titik simpul 3 (nilai 53):
Gambar8.6.4. d.
385
Tabel 1:
Pergeseran vertikal pada titik simpul 1 s/d 3 menurut rumus jumlahan moniadi:
Baris 1 s/d 4 berisikan data-data konstruksi rangka batang, baris 5 s/d 8 berisikan
gaya batang masing-masing oleh beban sebenarnya dan oleh beban virtual dan baris9s/d 1l menjadi hasil rumus jumlahan, yaitu SoSl s/F: E. d1 dan SoS2s/F : E.dzdan SoS3s/F = E.6t.
,i.'
1?J g:0,725cm
:
2100 3172,1
r].:
'
gaya batang
s
tang
F
s/F
E. d,
E. 6,
E' dt
Itl
(t/cm)
(t/cm)
(t/cm)
I
9
10
l1
so
sr
s2
sr
(cm tl It)
(t)
(t)
6
7
lcm)
lcn|)
2
3
4
oI
424 60,0
7,07
-26,7 -1,237
o ,o,
912 70,0
13,03
-29,6 -0.587
o io;
912 70,0
13.03
oI
424 60,0
7,07
U ,U,
700 20,2
34,65
5
-29,6 -o,242
,1,000
-0,701
-1,370 -0.968 *0,562
-0,968
-26.7 -0.177 -0,410 -o,707 + 18,9
+ 0.875
U,ui
1000
24.6
N,70
+28,8
U ;U;
7N
20,2
34.65
+ 18.9 +0.125
+ 0,333
+ 0,708
+ 0.500
+0,778 + 1,333 + 0,290
+ 0,500
D
s(n 12,63 39,65
+ 12,9 -0,309
+ 0.800
+ 0.569
D3
673
9.67
70,00
+ 0,54
+ 0,772
-0.509
D:
673
9,67
70.00
+ 0,54
-0,128 -0,301
D
500
12,63
39,65
+ 12,9
+0,141
300
9.60
31.25
0,0
+ 1,00
8,1
0,00
0.00
0,0
0,00
8,1
0,0
2
367 31,0
3
450
9.60
V"7
367 31.0
V:I
300
Jumlah
:
11
,82
-
't6,90
11,U
9,60 31,25
-
+ 0.332
+ +
+ 0.569
0,00
0,00
226,5
+ 188,5 + 529,0 + 217,0 + 77,3
+ 93,2 + 33,4 + 573.5 + 463.0 + 390,0 + 912,0 + 81,8 + 189,8 +
188.8
+
410,0
12,5
+
29,2
+
167,7
4,8
-0,509
+ 0.328
233,0
+
72,1
11,4
+
+ 327, 5 + 291,0 _ 19. 2 291,0 0
0
0
0
0,00
1.000
0
0
0
0,00
0,00
0,00
0
0
0
0.00
0,00
0.00
0
0
0 + 3775.2
Cm
cm
'l = 0,00333
'l
19. 2
0
:34].2 = 1 8o 21ffi
1',| " i,, aOO
+ 1563, 0
+
=1.51
Pada pertanyaan 2'. Pada penentuan garis elastis dengan bobot-beban W kita menentukan pertama perobahan paniangnya batang masing-masing As = So s/F. Karena itu kita tentukan gaya batang So oleh beban sebenarnya. Semua dihitung sebagai tabel pada tabel 2 yang berikut. Karena konstruksi rangka batang pada contoh ini menjadi simetris kita hanya memperhatikan satu bagian saia. Penentuan E. W1 dan E. W3 leriadilah dengan rumus (8. 36.) dan E. Wz dengan rumus (8.35.). Sebagai pendahuluan kita menentukan beberapa nilai yang akan diperlukan.untuk menentukan E. W1 sl d E. W3:
+ 373,5 + 373 5 + 133, 3 + 327, 5
0,00
}3172
'
133, I
0
+ 1521.9
,\-
2'too
i-
0,0[,0472 300'0,707 --
tp, 1',I ircot,4r, -
367 '0,743
h2cos
4so:0,743
:
0,00417
:
0,00367
=
0.00299
= 0,00222
1
1
hrcosyl 11 h, cos rp1 11
300 ' C),800
1
4rlo
h2cosy2 11 hrcos rp2
1
367'0,987 367 ' 0,800
-
0.00276
0.00341
Misalnya penentuan W, menurut rumus (8.35.):
11111
'
h2cosyt
h2copq2 '
hrcosrpl '
)2
il
dan selanjutnya:
386
EW2
= -0,00276 (-385,0) + 0,00341
EW,
-
+'l ,062+ 1,745+0,139
:
' 512,0 + 0,00367 ' 37,9
2,946t/cm'?
3Bl
Tabel 2: s
F
s
EAs
EW,
Icm1
lcm2
Icml
It/ cml
It/ cm|l
2
3
4
6
6
or
424
60,0
-26,7
-
Orot
912
70,0
-29,6
-385.0
U,U,
700
20,2
+ 18,9
+ 655,0
500
24,6
+28,8
+ 586,0
D
500
12,6
+ 12,9
+512,0
D2
673
9.6
+ 0,*
+ 37,9
I
300
9,6
0
2
367
31,0
3
450
9,6
batang Dimensi I
3
-
188,8
-
0
[t/
cm21
Y2EW!
7
8
9. 1. Pengetahuan dasar dan penggunaan
+1,62
+ 1,745
-2,135
+0,139
9. 1. -0,114
0
0 + 0,953
+ 2.946
0
+ 1.188
Dengan bobot-beban W yang baru ditentukan pada tabel 2 kita akan membebani sistim dasar (balok tunggal) pada/dalam tabel 3. dan mendapat garis elastis dengan pergeseran d pada titik simpul masing-masing. Tabel 3: EW*
i
[t/ cmzl
lcml
k Dim. Sp.
1
2
.
E.o
E.O.l
EM
d
[t/ cm2l
It/ cml
[t/ cml
Icm)
3
4
a 1
0.953 400
2
4,134
500
1.188
5
6
0
0
1526,1
0,725
1653,6
2,9tt6
1. Pengetahuan dasar Dengan ketentuan-ketentuan statika yang kila ketahui sampai sekarang,
kita dapat menentukan reaksi tumpuan dan gaya batang pada. suatu konstruksi
95,8 0
batang atau rangka batang dan kemudian menentukan ukuran batang, tegangantegangan yang timbul dan perubahan bentuk elastis. Penentuan-penentuan ini selalu berdasarkan atas beban dan gaya yang tentu dengan nilai, jurusan dan titik tangkapnya. Pada beban merata kita memperhatikan berat sendiri beserta beban berguna, yang walaupun bergerak dan tidak tetap, dihitung juga seperti beban tetap. Akan tetapi pada banyak konstruksi bangunan timbul beban bergerak misalnya jembatan lalu lintas, jembatan kereta api, rel derek dsb. dengan titik tangkapnya yang selalu beralih-alih. Pada umumnya beban bergerak ini bekerja sejajar anting dan pada bab ini kita hanya memperhatikan beban yang berjurusan sejajaranting. Kemudian juga beban bergerak ini berjarak.tetap. Pada beban yang tetap (mati) walau gaya-gaya dalam suatu batang berubah. pada tiap-tiap potongan tertentu ada juga gaya-gaya dalam tertentu. Pada beban yang bergerak nilai gaya dalam berubah pada tiap-tiap gerakan beban itu. Untuk menentukan ukuran-ukuran batang selanjutnya kita harus memperhatikan nilai reaksi tumpuan dan gaya batang yang maksimal dan yang minimal pada potongan mming-masing. Untuk penentuan nilai-nilai maksimal dan minimal ini,kita menggunakan garis pengaruh' Gambar g. 1. 1. a.
7-gaya-gaya 3179,7
1,51
3773,7
1,80
p
beban merata -to.r t/h
2,376
Hasil-hasil ini menjadi sama dengan hasil-hasil pada pertanyaan 1, walaupun pekeriaan 2 (dengan mengunakan bobot-beban Wl jauh lebih sederhana daripada dengan penggunaan rumus jumlahan.
pada pertanyaan
388
qr-
t0.0 t /n
594,0
A00 3
garis
pengaruh
+1,n2 +1,fi2
+2,18
0
tal
9. Garis pengaruh
It/ cmzl
+ 0,88,
0
8,1
Ewz
------+--
=32500
-
Garis pengaruh harus kita tentukan untuk semua nilai statika seperti reaksi tumpuan, gaya lintang atau lendutan pada suatu titik tertentu, dan menjadi suatu garis dengan sifat khusus masing-masing. Penentuannya hanya menjadi satu bagian dari 389
soal-soal yang timbul tetapi penggunaannya terletak pada penyelesaian yang
Untuk menentukan ordinat-ordinat 4 salah satu garis pengaruh kita menggulingkan suatu gaya P : 1 .0 (t) pada seluruh konstruksi batang. Pada titik tangkap masing-masing oleh gaya P = 1 .0 ini kita menentukan pengaruh atas nilai statika yang dicari dan menentukan hasil ini sebagai ordinat 4 di bawah titik tangkap itu. Ujung-ujung ordinat 4 masing-masing
menentukan gaya-gaya dalam yang dicari. sebagai gaya-gaya P kita menentukan misalnya roda-roda suatu kereta api dsb. dan beban merata menjadi misalnya lalu lintas mobil dsb. seperti dilihat pada gambar 9. 1.
9.
I
a. di atas.
yang dihubungkan dengan suatu garis kita tentukan sebagai garis
1.2. Penentuan garis pengaruh
pengaruh dan luasnya sebagai bidang pengaruh.
Pada perhitungan statika pada suatu konstruksi batang atzu rangka batang dengan gaya-gaya dan beban mati kita menentukan suatu potongan sembarang untuk penentuan gaya-gaya dalam. Juga pada gaya-gaya dan beban yang bergerak kita harus tahu di mana potongan sembarang bermanfaat dan untuk gaya dalam yang mana kita harus menentukan garis pengaruh. Dengan pengetahuan ini kita dapat menentukan titik tangkap dari gaya atau beban yang kita perlukan pada penentuan gaya dalam yang maksimal dan yang minimal. walau nilai maksimal dan minimal ini mungkin tidak menjadi nilai maksimal dan minimal pada batang yang diperhatikan, nam!n menolong menentukan garis pengaruh dan titik tangkap yang bersangkutan. P
Catatan: Pada beberapa buku statika lain untuk kependekan ordinat garis pengaruh juga digunakan I atau y. Ordinat-ordinat pada suatu garis pengaruh dapat meniadi positif atau negatif. Selanjutnya kita menentukan, bahwa ordinat yang positif kita gambar ke bawah dan ordinat yang negatif kita gambar ke atas dari suatu garis dasar dengan titik batasan (n = 0) antaranya. Walaupun suatu garis pengaruh digambar pada seluruh
konstruksi batang, pengaruhnya tergantung hanya pada satu titik yang di-
perhatikan (misalnya tumpuan ,4). Garis pengaruh meniadi terlepas/bebas dari gaya-gaya atau beban yang bekerja pada konstruksi batang dan dapat juga ditentukan tanpa memperhatikan beban yang bekerja pada konstruksi batang itu.
pada titik tangkap
1,2dan3
9.
1.3. Penggunaan garis pengaruh
Keterangan-keterangan berikut membicarakan satu gatis pengaruh pada reaksi tumpuan sebagai contoh. Caranya sebenarnya dapat iugn dilakukan pada garis-garis pengaruh yang lain.
t1r' A pada titik tangkap 112'
11r'
I
A pada titik tangkap 2 A pada titik tangkap 3
Gambar
9.1.2.a.
untuk menentukan garis pengaruh kita menggulingkan suatu gaya p pada seluruh
panjangnya konstruksi batang dan menentukan pada tiap-tiap
titik tangkap pengaruhnya atas reaksi tumpuan atau gaya dalam. sebagai keterangan kita perhatikan gambar g. l. 2. a. di atas. Gaya p pada bagian kiri dari balok terusan itu menyebabkan reaksi tumpuan A yang positif (+ ). Reaksi tumpuan 4 ini makin besar makin dekat gaya ppada tumpuan,4. Jikalau gaya p misalnya bekerja pada bagian kanan, maka reaksi tumpuan.4 menjadi negatif (-). Nilai reaksi tumpuan A oleh gaya P yang bergerak kita tentukan sebagai ordinat 4 pada titik tangkap masing-masing. Hubungannya dapat kita lihat pada gambar 9. 1.2. a. Garis itu sebetulnya sudah menjadi suatu garis pengaruh pada reaksi tumpuan 4. 390
Ordinat 4' A untuk gaya P' 1,0 pada titik tangkap A' P1q1 * P242 + Ptnt
Gambar 9. 1.3. a.
Suatu gaya P = 1 .0 (t) mengakibatkan pada tumpuan 4 suatu gaya (reaksi tumpuan) sebesar (1. 0) 4. Oleh karena itu, satu gaya sebesar Pmengakibatkan suatu reaksi tumpuan sebesar P. 4 . Jikalau pada konstruksi batang di atas bekerja suatu kumpulan gaya dengan n gaYa P, tiap-tiap gaya P; mengakibatkan reaksi tumpuan Pi.ei. 391
Reaksi tumpuan dapat kita tentukan:
Ra =
t
l=n i+1
Fini
9.
1.4. Ringkasan
1.
{9. 1.} I I
Sebagai penentuan reaksi tumpuan Fa dengan bantuan garis pengaruh kita dapat menentukan: tiap=tiap gaya P1 harus dikalikan dengan ordinatnya 4i dengan memperhatikan tanda (+, -)kemudian hasil kali masing-masing dijumlahkan. Fa maksimal kita dapatkan dengan memasang kumpulan gaya itu pada bagian dengon ordinat garis pengaruh 4 yang positif, dan Ra minimal dengan memasang kumpulan gqya itu pada bagian konstruksi batang dengan ordinat garis pengaruh 4 yang negatif . Gambar garis pengaruh membantu kita dalam pencarian titik-titik yang paling jelek dan yang paling ideal. Nilai maksimal kita dapatkan dengan memasang gaya-gaya yang terbesar pada tempat dengan ordinat garis pengaruh 4 yang terbesar.
Jikalau kita atas dasar ketentuan ini belum dapat menentukan titik-titik tangkap kumpulan gaya, kita harus mendorong kumpulan gaya itu demikian rupa, eehingga gaya berikut bekerja pada titik dengan 4r"r. d,
2.
I l l
Garis pengaruh kita gunakan untuk penentuan nilai maksimal dan minimal pada reaksi tr-rmpuan dan gaya dalam pada beban yang bergerak. Dengan mernperhatikan bentuk garis pengaruh dapat kita menentukan cara pembebanan pada suatu konstruksi batang atau rangka batang supaya beban itu mengakibatkan reaksi tumpuan atau gaya dalam yang maksirnal atau yang
mimimal. Garis pengaruh dapat kita gambar dengan satu gaya P = 1 .0 (t) yang kita gulingkan pada seluruh panjangnya konstruksi batang atau rangka batang. 4. Pada penggunaan garis pengaruh kita membebani hanya bagian-bagian dengan ordinat 4 yang positif atau yang negatif saja. Pada beban merata kita mengalikan beban dengan bidang pengaruh. Pada gaya atau kumpulan gaya kita mengalikan gaya masing-masing dengan ordinatnya 4 dan menjumlahkan hasil kali itu. Nilai maksimal kita dapatkan dengnn memasang gaya-gaya yang terbesar padg tempat, yang ordinat garis pengaruhnya 4 terbesar. 3.
9.2. Garis pengaruh pada balok tunggal 9.2. 1. Garis pengaruh pada roaksitumpuan
Gambar
9.1.3.
b.
Beban merata akan kita bagi atas potongan dx yang kecil. sehingga beban itu bekerja sebagai satu gaya P. Hasilnya dapat diringkaskan menurut rumus (9. 1.) dan gambar 9. 1. 3. b. di atas sebagai: nn rr Ra = ) Q dx 4 = s) n dx : mm
eF(m.n)
Seperti telah dibicarakan pada bab 9. 'l . 2. garis pengaruh pada misalnya tumpuan .4 dapat kita tentukan dengan menggulingkan suatu gaya P = 1,0 (t) pada seluruh panjangnyo lebar bentang 1 pada balok tunggal yang diperhatikan. Pada tumpuan A gaya P = 1,0 mengakibatkan suatu reaksi tumpuan sebesar I a = 1,0 yang menentukan ordinat 4 garis pengaruh sebagai n = 1 ,0.' Jikalau gaya P = 1,0 bekerja pada tumpuan I reaksi tumpuan pada tumpuan 4 menjadi nol (Ro = 91. Oleh karena itu, ordinat 4 garis pengaruh pada tumpuan I menjadi n : 0 juga. Jikalau gaya P: 1.0 bekerja pada titik tangkap sembarang dapat kita tentukan reaksi tumpuan 4 sebagai Fn = 1,0 . z'/l dengan ordinat 11 garis pengaruh sebagai
4=
z'/l' 1,0.
Hasil ini menjadi persamaan suatu garis lurus, dan berarti, bahwa kita hubungkan titik ordinat 4 = 1,0 pada tumpuan dengan titik ordindt tumpuan seperti terlihat pada gambar 9.2. 1. a. berikut:
/
I
b&h meng4 = 0 pada
Nilai lntegral ini menjadi luasnya bidang pengaruh antara titik m dan titik n..
t9.2.t Pada beban merata kita harus mengalikan ordinat g dari beban merata dengan luasnya bidang pengaruh di bawah beban merata itu. Nilai maksimal juga kita dapatkan dengan memasang beban merata pada tempat, yang ordinat garis pengaruhnya 4 terbesar.
392
DAI
Gambar 9.2. 1.
--i a
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan ,4
Garispengarur",# 393
Jikalau kita ingin menggambar garis pengaruh pada reaksi tumpuan I kita dapati ordinat 4 garis pengaruh pada tumpuan B sebagai 4 - 1,0 dan pada tumpuan.4 sebagai 4= 0. Lihatjugagambar9.2. 1.a. di atas (Penggunaangarispengaruh). Maka pada penentuan reaksi tumpuan oleh kumpulan gaya yang tertentu, dan be-
Kita dapat menggambar garis pengaruh pada gaya lintang pada suatu potongan sembarang dengan menentukan ordinat 4 garis pengaruh pada tumpuan ,4 sebagai
kerja pada bagian garis pengaruh dengan ordinat 4 besar kita dapat menentukan reaksi tumpuan 4 sebagai jumlah gaya-gaya yang dikalikan dengan ordinat 4 masingnrasing seperti juga terlihat pada gambar 9.2. 1. b. berikut:
barang.
Ra=2P;4i =2P1
zi
i : j
'l
1,0 dan pada tumpuan I sebagai n : - 1,0. Hubungan vertikal antara dua garis ini dapat kita gambar pada potongan sem-
n=
Penggunaan garis pengaruh pada gaya lintang kita lakukan dengan mengalikan bagian ordinat 4 yang positif dengan O dan bagian ordinat 4 yang negatif dengan gaya lintang O.
>P,'i
9.2.3. Garis pengaruh pada momen lentur Gambar9.2. 1. b. Garis pengaruh pada reaksi tumpuan,4
9.2.2. Garis pengaruh pada gaya lintang Gaya lintang sebetulnya jumlah semua gaya yang bekerja siku-siku pada garis sumbu batang (balok tunggal) sebelah kiri atau yang dalam hubungan yang sama sebelah kanan pada suatu potongan. Jikalau suatu gaya P : 1.0 bekerja sebelah kanan dari potongan c maka gaya lintang Q" = Ra. Oleh karena itu pada suatu gaya P = 1.0 yang bekerja antara potongan c dan tumpuan I garis pengaruh gaya lintang menjadi juga garis pengaruh reaksi tumpuan ,4. Jikalau gaya P = 1.0 bekerja sebelah kiri dari potongan c maka gaya lintang O" : RA - 1.0 = - Ra.Oleh karena itu pada suatu gaya P = 1.0 yang bekerja antara tumpuan ,4 dan potongan c garis pengaruh pada gaya lintang menjadi juga garis pengaruh pada reaksi tumpuan 8 yang negatif . Lihat gambar 9 .2.2. a. berikut:
Sudah kita ketahui, bahwa suatu gaya P = 1,0 pada suatu balok tunggal pada tumpuan masing-masing tidak rnengakibatkan suatu momen. dan karena itu ordinat 4 garis pengaruh pada momen lentur pada tumpuan masing-masing men-
jadia
:
g.
Jikalau kita memperhatikan suatu potongan c pada balok tunggal ini dan gaya P : 1,0 bekerja pada titik potong c, maka gaya P = 1,0 mengakibatkan suatu momen sebesar M : 1,0. x. x' /1. Hasil ini berarti bahwa ordinat 4 pada garis pengaruh pada titik potong c juga menjadi 4 : 1,0. x. x' /1. Jikalau gaya P = 1,0 bekerja di sebelah kanan potongan c sembarang, maka momen itu menjadi M = R a. xdan ordinat 4 = R a.i. Hasil ini berarti, bahwa garis pengaruh ini menjadi garis pengaruh pada reaksi tumpuan .4 yang dikalikan dengan x, dan menjadi suatu garis lurus. Gaya P = 1.0 yang bekerja di sebelah kiri potongan c sembarang mengakibatkan momen M = R6. r. dan ordinat n : Re. x,yang menjadi garis pengaruh pada reaksi tumpuan I yang dikalikan dengan x ' . Lihat gambar 9. 2. 3, a. berikut:
Garis pengaruh pada momen /U
---.-.il
Garis pengaruh pada gaya lintang O"
--J-j Garis pengaruh pada gaya lintang O7
Gambar
9.2.3.a.
Kemudian kita dapat menentukan garis pengaruh pada momen lentur dengan = x . x' /l padatitik c dan menghubungkan nilai ini dengan titik tumpuan A dan B. menentukan ordinat 4
395
Cara lain dapat iuga kita lakukan dengon nrenggenrbar ukuran x di banreh tunpuan
Pada beban yang tidak langsung garis pengaruh harus menjadi suatu garis
di bawah tumpuaR 8, hubungkan titik-titik ini dengan titik tumpuan yang di depan, dua garis lurus ini harus rnerptrn1lai tit& potoflg cli bawah potongan cdan ordinatnya harus n - x. x'/1.
lurus.
,4 dan ukuran
x'
9.2.4. Beban yang tidak langsung
Selanjutnya kita perhatikan satu balok tunggal dengan beban yang tidak langsung menurut gambar 9.2. 4. c. berikut. Dicari: garis pengaruh pada tumpuan A, pada gaya lintang O dan momen lentur M.
Pada banyak jenis konstrukei bangunan, terutama pada konstruksi jembatan beban berguna diterinra oleh balok tunggal yang melintang dan yang duduk di atas konstruksi batang utama. Kejadian ini kita namakan beban yang tidak
Gambar9.2.4. c
hrqsung. Beban yang tidak langsung
GarSar 9.2.4.
Suatu gaya P yang bekerja antara titik m-ldsrn titik rn rnengakilratkan simgrl dengan konstruksi batang utama suatu beban sebesar:
P-', = P'T
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan,4
a.
@a titik
P-= P:
Pada penyelesaiannya gaya Psebenarnya harus menjadi sama dengan jurntah gaya dan P.-1 dan kita dapat menentukan:
is I
L--
P-:t4m-1 *Pm4m
h = Pfn,-.r*elnc' 14n-1
Garis pengaruh pada momen
lentur M"
c'
* T4-=4o*4u
Sebagai keterangan bisa dilihat gambar 9. 2. 4. b. berikut:
Gambar9.2.4. b
Ordinat 4 di bawah gaya P sebenarnya terdiri dari dua komponen 4o dan 4r. Nilainya ditentukan dengan garis hubungan ordinat garis pengaruh 4* dan 4._1 . Hasil ini dapat kita tulis sebagai:
396
Garis pengaruh pada gaya lintang O,
P,
h =
__-1
Kita dapat menggambar garis pengaruh masing-masing pada beban yang tidak langsung seperti garis pengaruh biasa. Kemudian kita menggambar garis hubungan yang lurus antara ordinat 4 pada titik rn dan 4 pada titik rr-1, seperti terlihat pada gambar 9. 2.4. c. di atas. Dengan menggunakan cara ini kita dapat melihat, bahwa pada garis pengaruh pada reaksi tumpuan tidak ada perubahan. Pada garis pengaruh'pada gaya lintang kita dapatkan suatu garis penghubung miring dan pada garis pengaruh pada momen lentur dapat kita potong titik puncak di bawah gaya P. Pada penyelesaian penentuan ordinat-ordinat pada beban yang tidak langsung sebaiknya kita menghitung dengan perbandingan-perbandingan berikut. Pada beban merata yang tidak langsung garis pengaruh pada gaya lintang menjadi agak sulit karena titik n = 0 tidak sama dengan titik potong c. Untuk memudahkan perhitungan kita menentukan luasnya bidang ( + , - ) fi dan dari bidang pengaruh dan luasnya bidang pengaruh seluruhnya'F seperti berikut:
F2
397
Dengan superposisi pengaruh masing-masing kita dapatkan:
2-1 I I
(n
hl
:
drs: Pir + P2dD +
1,0)
Prdr,
+ ... +
Pndrn
Atau menurut syarat dari Maxwell llihat bab 8. 3. lh
dn:
I
L
I.,
Gambar9.2.4. d.
P.f... + Pr6r,
+
13d31
2. )
dapat kita tentukan:
+ ... + Pndnl
Hasil ini berarti, bahwa d4menjadi lendutan atau dengan kata lain ordinat garis elastis pada titik
1,2,3, ....., n oleh gaya P :
1.0 pada titik 1. Ordinat garis elastis
ini kita kalikan dengan nilai gaya P sebenarnya. Jumlah hasil kali masing-masing
Ft:-ln,t"+r,t clic=hr:lhr+hrl
F,-
cr
-!nll,""*l
q, P2, P3, . .. .. . . , Pn Karena ketentuan ini menjadi sama dengan ketentuan garis pengaruh pada lendutan, dapat kita tentukan: menjadi lendutan pada titik 1 oleh gaya
h,:h!
h,=h1 a
- " a+b
Garis pengaruh pada lendutan titik
1 a2 a+b+c 2" I a+b ,!
_--
-
garis elastis oleh gaya P
ha2
-Z
'
2 a+b
F=fi+Fz: F
:
Ft
'tF-:-- 2 a+b
h b2*a2
z
a+b
+ Fr: Iw-ul
(9. 3.
)
+ al
a+b
3.
(9.4.)
4. 5.
9.2.5. Garis pengaruh pada lendutan Atas dasar pengetahuan pada bab 2. 8. (perhitungan lendutan) dan bab 6. (Lendutan) kita perhatikan suatu balok tunggal yang dibebani dengan beberapa gaya. Lendutan pada suatu titik 1 sembarang oleh beban yang sebenar-
1.3.
nya kita tentukan dengan kependekan d16. = 1.0 yang bekerja pada titik 1 mengakibatkan lendutan pada titik sebesar d11 dan kemudian oleh gaya P1 lendutan pr . d.1. Suatu gaya P = 1.0 yang bekerja pada titik 2 mengakibatkan lendutan pada titik sebesar d.12dan kemudian oleh gaya P2 lendutan pz. dn.
suatu gaya P
Seterusnya kita mendapatkan lendutan Ps.d asld 398
pr.
.0 pada
k
titik
sembarang menjadi sama seperti rt sembarang.
9.2.6. Ringkasan 1. Garis pengaruh pada reaksi tumpuan ,4 mempunyai pada titik tumpuan 4 ordinat I : 1.0 dan pada titik tumpuan I ordinat 4 : 0 dan menjadi suatu garis
2.
h lb-allb
1
"+b
dan selanjutnya
-ha2_hb2 l-:-
=
61n.
lurus.
Garis pengaruh pada gaya lintang terdiri dari garis pengaruh pada reaksi tumpuan A yang positif dan garis pengaruh pada reaksi tumpuan I yang negatif dengan garis pengubung vertikal pada titik potong c. Garis pengaruh pada gaya lintang menjadi negatif pada bagian balok tunggal sebelah kiri dan menjadi positif pada bagian yang kanan. Garis pengaruh pada momen lentur mempunyai nilai (ordinat) n = x . x'/l pada titik potong c dan ordinat n : 0 pada titik tumpuan A dan 8. Antara titik-titik tertentu ini garis pengaruh menjadi garis lurus. Garis pengaruh pada beban yang tidak langsung harus menjadi garis lurus. Garis pengaruh pada lendutan pada titik k sembarang menjadi sama seperti garis elastis oleh gaya P = 1.0 pada titik k sembarang.
9.2.7. Contoh-contoh Contoh 1: Pada gambar 9. 2. 7. 1. a. berikut kita melihat suatu balok tunggal (jem
1
1
batan) dengan suatu kumpulan gaya (kereta api). Jikalau dua kumpulan gaya itu satu per satu atau bersama bisa lewat jembatan ini, dapat kita tentukan dengan bantuan garis pengaruh nilai-nilai seperti berikut: 1. Reaksi tumpuan A maksimal 2. Momen maksimal pada titik potong c dengan jarak x
:
5.0 m 399
Contoh 2: Suatu balok tunggal {jembatan} dengan lebar bentang / = 25'00 m dengan balok melintang dengan jarak = 5.00 m dibebani secara tidak langsung oleh kumpulan gaya (kereta api) atau kumpulan gaya (gerbong). Berat sendiri
'konstruksi batangini menjadi g=1.5tlm, lihatjugagambar9.2.7.2'a,berikut. Tempat kereta api dan gerbong menjadi sembarang. Nilai-nilai yang dicari: 1. Reaksi tumpuan ,4 maksimal 2. Momen maksimal pada titik potong c dengan iarak x = 10.0 m 3. Pada titik potong c itu ditentukan gaya lintang 4. Gaya lintang yang maksimal dan yang minimal pada titik potong c'dengan
jarakx = 6.00m.
Roda pertama dari kumpulan gaya (kereta api) kita pasang tepat di atas tumpuan A
dan kereta api kedua kita pasang sedekat mungkin (lihat gambar 9.2.7.2. b.l. Penyelesaian kita pisahkan atas berat sendiri (g) dan kumpulan gaya (P seperti berikut:
10.0 m:
x
:
10.0 m menjadi sama dengan titik tumpuan
pada beban yang tidak langsung rnenjadi suatu ganis lurus, hasil gaya lintang pada potongan kiri atau kanan dari titik potong c harus menjadi sama (lihat gambar 9. 2. 7.2. e. dan f . berikut). Pembebanan harus sama seperti ditentukan pada gambar L
2.7.2.
anr
= 10,0(1.00 + 0.94 + 0,88 + 0,88 + 0,82 + 0,76 + 0,70 + 0,46 + 0,210 + 0,34 + 0,28 + 0,22 + 0,161
Re
-
:
69,6
d"
=
10.0 m:
Karena kita pasang kumpulan gaya demikian rupa, sehingga salah satu gaya P bekerja pada titik potong c kita tidak usah memotong puncak garis pengaruh pada momen lentur dan ordinat 4 pada titik potong c dengan jarak x = 10.0 m dapat kita tentukan sebagai:
10,0.15,9_
2ro
-
: t,s1)
tl5,0
as,= 1,5Tn
o,o
t
Penentuan momen maksimal pada titik potong c dengan x
n= xx' r :
x=
18,75t
Rap
2.
Penentuan gaya lintang atas dasar beban tadi pada titik potong c dengan jarak
Selanjutnya kita dapatkan hasil gaya lintang sebagai:
1
Rnc: gF:1,521,0.25,0 =
1A,0. 6,96
3,
balok melintang (tiap-tiap 5.0 m) kita hanya dapat menentukan gaya lintang sebelah kiri (/) dan sebelah. kanan(r) dari titik potong c itu. Karena garis pengaruh
Penentuan reaksi tumpuan ,A maksimal:
p
(0,60 + 1,50 + 4,2o + 5,10 + 6.00 + 5.40 + 4,80 + 4,20 + 2,N + 1,80 + 0,20) : 10,0.36.20 = 362.0tm
Mp:10,0
Karena titik potong c dengan jarak
Penyelesaian:
1.
Karena kita tidak tahu apakah ini betul-betul men.iadi momen Mp maksimal, kita harus juga memeriksa kemungkinan gerbong sebelah kiri dan sebelah kanan dari kereta api itu (lihat gambar 9.2,7.2. d.) dan mendapatkan nilai yang sedikit lebih tinggi dari nilai yang tadi:
Qp1
5,0) = 7,s t
-
1o,o) = o
= 1Q,Q(*0,04 -
0,10 + 0,12 + 0,36 + 0,60 + 0,54 + 0,48 + 0,42
+ 0,24 + 0,18 +
0,021
Ap1: 10,0.2,82 = 28,2t Oo,
:10,0{-
0,04
-
0,10
+ 0,24 + 0,18 +
6,00 = =o'(ru
Selanjutnya kita pasang kumpulan gayd (kereta api) demikian rupa, sehingga bekerja pada titik potong c dengan jarak x = 10.0 m. Sebelah kanan kita tempatkan
-
Ao,
=
10,4
{-- 0,48} =
-
- 0,28* 0,34 -
0,40
*
0,16 + 0.08 + 0,32
0,02)
4,80 t
suatu kereta api lagi dan sebelah kirl suatu gerbong sedekat mungkin (lihat gambar 9.2.7.2. c. berikut) dan terdapat nilai-nilai seperti berikut:
Ms
:
1
225,O.
6,0. 1,5
:
112,5tm
Mp= 10,0(0,60 + 1,il + 4,20 + 5,10 + 6,0 + 5,40 + 4,80 + 4,2O + 1,80 + 0,60) Mp 402
=
10,0 .35,40
=
354,0 tm
Gambar situasi
Gambar 9.
2.7.2.
a.
403
tso t50 150 t'o %tm_
150
-,150,t50,150 ts7
150
Garis pengaruh pada gaya lintang
0",
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan ,4
s)
|
c)
_-r-
l
l
----
Garis pengaruh pada gaya lintang
t50
t0
Garis pengaruh pada momenlentur M"
A",-",
__
t50
i--r-
2000
h) 450
--.J:.1 -
100
-1
d)
Garis pengaruh pada gaya linlang Q",
4.
Garis pengaruh pada momenlentur M"
404
Gambar9.2.7.2. b. s/d e.
x=
6.0 m:
Menurut gambar 9. 2.7.2. g. kita mendapatkan Q", -r, dengan memasang kereta api dan satu gerbong pada bagian garis pengaruh yang positif. Kita mendapatkan hasil:
:
1,sT
Apmax
=
10,0(0,36 + 0.@ + 0,54 + o.zl8 +o,42 + 0,36 + 0.18 +o,121
Apmax
=
10,0.3,06
os
Garis pengaruh pada gaya lintang O"7
Gambar 9.2.1.2. f. s/d h.
Penentuan gaya lintang yang maksimal dan yang minimal pada titik potong c' dengan jarak
----1
-i,
tls,o
:
- s,o) = 7,s t 30.61 405
Selanjutnya menurut gambar 9.2.7
.2. h. kita dapatkan
Ar,
-6
dengan memasang
sebagian dari kereta api pada bagian garis pengaruh yang negatif. dapatkan hasil: Qpmin
9.3.
= =
10,0 10,0
(-
(-0,440) 0,020
0,080
=-
-
4,40
0,140
t
-
Kiu
men-
(+.-)
garis
pengaruh pada gaya lintang domikian rupa, sehingga gaya lintang menjadi positif jikalu tumpuan iit.t", tr.puan konsole berada di sebelah kiri dan menjadi negatif konaole berada di sebelah kanan.
0,200)
Garis pengaruh pada konsole, pada balok tunggal dengan konsole dan pada balok rusuk Gerber
9.3. 1. Garis pengaruh pada konsole Penentuan garis pengaruh pada konsole sebenarnya tidak ada kesulitan-
9.3.2. Garis pengaruh pada balok tunggal dengan konsole
: 1'0 bergprak Jikalau pada suatu balok tunggal dengan konsole gaya P pengaruh antara tumpuan.4 dan 8, konsole itu tidak mempengaruhi bentuk garis ankonsole dengan atau dengan kata-kata lain: garis pengaruh pada balok tunggal pada tunggal. pengaruh balok garis tara tumpuan A dan B harus sama seperti Jikalau gaya F: 1.0 bergerak pada konsole yang sebelah kiri, reaksi tumpuan R1 akan.tumbuh linearsampai gaya P = 1.0 bekeria pada ujung konsoleyang bebas dengan nilai:
nya.
Jikalau gaya P = 1.0 bekerja pada suatu titik sembarang reaksi tumpuan juga menjadi Ra: 1.0, dan garis pengaruh pada $uatu titik sembarang juga harus mempunyai ordinat n : 1.0 maka garis pengaruh ini menjadi suatu segiempat menurut gambar 9. 3. 1. b.
Gaya lintang hanya timbul jikalau P : I.0 bekerja pada ujung konsole yang bebas, yaitu pada gambar 9. 3. 1. a. sebelah kanan dari potongan sembarang z'. Gaya lintang selalu menjadi O = 1.0 tidak terikat pada titik tangkap gaya P: 1.0 selama titik tangkap itu berada antara potongan yang kita perhatikan dan ujung konsole yang bebas. Garis pengaruh pada gaya lintang juga menjadi suatu segiempat antara potongan z'yang diperhatikan dan ujung konsole yang bebas, seperti terlihat pada
garnbar9.3.
1. c.
Garis pengaruh pada momen lentur hanya timbul jikalau gaya P = 'l .0 bekeria antara titik potong z'yang kita perhatikan dan ujung konsole yang bebas. Antara tumpuan dan titik potong z'orclinat n garis pengaruh menjadi n : 0. Dari titik potong z; ke kanan ordinat 4 tumbuh linear sampai gaya P = 1.0 bekerja pada titik ujung konsole yang bebas dan mengakibatkan suatu mornon sebeear M -= 1,0. z dengran ordinat 4 : z, seperti terlihat pada gambar 9. 3. 1. d. berikut: al
Gambar9.3. 1. a. s/d d.
A
-t-
"--]-:ru-4, at
406
Perlu diperhatkan, bahwa tempat tumpu'an menentukan tanda
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan
4
Garis pengraruh pada gaya lintaqg Or,
RA:
a.+l t-
1,0--!
Jikalau gaya P = 1.0 bergerak pada konsole yang sebelah kanan, reaksi tumpuan 86 akan tumbuh linear juga dan kita dapat menentukan pengaruh atas tumpuan ll sebagai:
RA
a. : - 1,0;
pada Garis pengaruh pada reaksi tumpuan ,4 berbentuk selanjutnya seperti terlihat gambar 9. 3. 2. b. Garis pengaruh pada reaksi tumpuan I kita dapatkan secara kiasan (lihat gambar 9. 3' 2. c.). Gayalintang-padatitikpotongcmenjadi samapadaP= l.0sebelahkiri dari titik poiong c, dengan reaksi tumpuan RB yang negatif' Pada P : 1 '0 sebelah kanan garis dari titik porong c sama dengan reaksi tumpuan Ba' Kejadian ini menentukan berikut' gambar pada 9 '3'2"d' pengaruh pada gaya lintang O" seperti terlihat p Moien lentur pada titik potong c menjadi negatif jikalau gaya : 1 .0 bekerja pada sebagai: tentukan kita dapat ordinat atau Hasil 4 salah satu konsole.
M:-Rsx'=-
Ir
M: - R4x: -
?,
pada konsole sebelah kiri, dan pada konsole sebelah kanan.
gambar Penentuan garis Pengaruh pada momen lentur dapat kita lihat pada
9. 3. 2, e, berikut: Garis pengaruh pada momen lentw M,. 407
--1-)
Garis pengaruh oleh gaya P = 1.0 terhadap potongan z, atau 2,, sembarang pada bagian konsole dapat kita tentukan seperti pada konsole Lriasa pada bab 9. 3. 1. (Garis pengaruh pada konsole).
Gambar 9. 3. 2. a. s/d g.
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan 4
9.3. 3. Garis pengaruh pada balok rusuk Gerber Pada penentuan garis pengaruh pada balok rusuk Gerber kita perhatikan balok rusuk Gerber menurut gambar 9. 3. 3. a s/d h. berikut. perhitungan balok rusuk Gerber dengan beban yang tetap dapat dilakukan menurut bab 3. 6. (Balok rusuk Gerber).
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan
I
lngat, bahwa bagian balok yang bergantung (tumpuan A s/d engsel 91 ) pada perhitungan menjadi suatu balok tunggal. Ketentuan ini dapat kita lakukan juga pada penentuan garis pengaruh. Jikalau suatu gaya bekerja sebelah kanan dari engsel 91 maka gaya itu tidak berpengaruh atas tumpuan
A,
gaya lintang O maupun
momen lentur M.
Garis pengaruh pada gaya lintang Oc
Garis pengaruh pada momen lentur M"
Garis pengaruh pada gaya lintang Qr, dan Q.r.,
el
il',
Garis pengaruh pada
momen lenlur Mz,dan Mz
Kesimpulan: garis pengaruh pada bagian balok rusuk Gerber yang bergantung hanya menerima pengaruh oleh gaya-gaya pada bagian yang bergantung itu. Lihat juga gambar 9. 3. 3. a., c. dan d. Pada penentuan garis pengaruh bagian balok rusuk Gerber yang menjadi balok tunggal dengan konsole pada kedua ujung (antara engsel g 1 dan 92) kita perhatikan dahulu bab 9. 3. 2. (Garis pengaruh pada balok tunggal dengan konsole). Jikalau misalnya gaya P: 'l .0 melewati engsel gt pada jurusan ke tumpuan A, maka pengaruhnya atas tumpuan 8 makin lama makin kecil. Jikalau gaya p: 'l .0 bekerja pada tumpuan A gaya P itr: tidak mengakibatkan reaksi lagi pada bagian balok rusuk Gerber antara engsel-engsel g1 dan 92 maka ordinat garis pengaruh n : O. Atas dasar kejadian ini dapat kita tentukan garis pengaruh pada bagian balok rusuk Gerber antara engsel-engsel 91 dan 92pada reaksi tumpuan RB, gaya lintang O2 atau momen lentur M2, seperti pada balok tunggal dengan konsole. Kemudian dari ujung konsole yang menjadi engsel 91 atau 92 kita hubungkan titik itu dengan titik tumpuan A atau D, masing-masing karena ordinat n = 0. Lihat juga gambar 9. 3. 3. b., e.,t., g. dan h. berikut. Pada balok rusuk Gerber dengan beban yang tidak langsung. ketentuan-ketentuan dapat kita lihat pada bab 9. 2. 4. (Beban yang tidak langsung). Akhirnya dapat kita tentukan: 1.
Atas dasar gambar 9. 3.2. b. s/d e. dapat kita tentukan: Garis pengaruh pada reaksi tumpuan, pada gaya lintang dan pada momen fentur pada suatu potongan c antara tumpuan A dan B kita dapatkan dengan garis pengaruh pada balok tunggal yang diperpanjang lurus sampai
ujung konsole masing-masing.
2.
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan, pada gaya lintang dan pada momen lentur terdiri dari garis-garis yang lurus.
Garis pengaruh pada semua tumpuan mendapat ordinat kekecualian misalnya tumpuan
A
n : 0
dengan
pada garis pengaruh pada reaksi tumpuan ,4
dsb. Garis p,engaruh pada tiap-tiap titik engsel mengubah jurusan (titik engsel patahan garis pengaruh).
:
titik
408 409
Gambar 9. 3. 3. a'
s/d
h.
Garis pengaruh pada reaksi tum-
puan.4
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan
I
Garis pengaruh
pada gaya tang
lin-
O1
Garis pengaruh
pada
momen
lentur M1
Garis pengaruh pada gaya iintang A2
Garis pengaruh
pada
momen lentur M2
Garis pengaruh
pada gaya
lin-
tang O1
3
Garis pengaruh pada balok tunggal dengan konsole pada reaksi tumpuan, pada gaya lintang dan pada momen lentur pada suatu potongan sembarang antara dua tumpuan balok tunggal ini kita dapatkan dengan memperpanjangkan lurus garis pengaruh pada balok tunggal sampai ujung konsole masing-masing. Garis pengaruh pada balok tunggal dengan konsole pada reaksi tumpuan, pada gaya lintang dan pada momen lentur pada suatu potongan sembarang pada bagian konsole, dapat kita tentukan seperti pada konsole biasa. 4. Garis pengaruh pada bagian balok rusuk Gerber yang bergantung, dapat kita tentukan seperti pada balok tunggal biasa. Garis pengaruh pada bagian balok rusuk Gerber di antara dua engsel, dapat kita tentukan seperti pada balok tunggal dengan konsole dan kemudian menghubungkan titik ujung garis pengaruh pada engsel dengan titik tumpuan berikut dengan ordinat 4 = 0 dengan garis lurus. Garis pengaruh pada reaksi tumpuan, pada gaya lintang dan pada momen lentur terdiri.dari garis-garis yang lurus (pada semua konstruksi batang yang statis tertentu) dan selalu mengubah jurusan pada suatu titik engsel. Garis pengaruh kemudian mendapatkan pada semua tumpuan ordinat 4 = 0 kecuali pada tumpuan yang ditentukan dengan garis pengaruh pada reaksi tumpuan itu.
2.
9.3.5. Contoh-contoh Contoh 1: Pada suatu rel sebagai balok rusuk Gerber berjalan dua derek menurut gambar 9. 3. 5. a. berikut (tekanan derek dalam kurung menjadi beratnya derek sendiri). Dicari:
1. Reaksi tumpuan R4, Rsdan R6 2. Momen lentur pada pertengalun bagbn,4-B 3. Momen lentur pada pertengahan bogian engsel grC 4. Momen tumpuan M6 5. Gaya lintang pada tumpuan I
Garie pengnruh
pada
momen lentur M1
9.3.4. Ringkasan 1. Garis pengaruh pada konsole membentuk
410
Gambar9.3.5. a. Penyelesaian:
pada reaksi tumpuan dan pada gaya pada lentur suatu segitiga dengan titik momen persegi dan empat lintang suatu puncak di atas ujung konsole yang bebas dan titik ordinat4 = 0 pada potongan
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan masing-masing yang maksimal dan yang
yang diPerhatikan'
minimal dapat dilihat pada gambar 9. 3. 5. b. berikut.
1.
Penentuan reaksi tumpuan Ra, Rsdan Rg;
411
Pada tumpuan,4 kita dapatkan nilai maksimal dan minimal seperti tergambar pada gambar9. 3. 5. b. sebagai:
RA*", = 10,0(1,075 + O,U2l + 14,0$,741 + 0,4751 :36,2t RA-i,: 10,0 (- 0,100 - 0,333) + 14,0 (-0,300 0,211) = Pada tumpuan
I
-
-
:
:
11,51
maksimal dan kemudian dapat ditentukan: 14,0 (1,333 + 0,9fl7l = 54,7 t
+
Nilai minimal kita dapati dengan memasang derek pada bagian garis pengaruh yang negatif karena pada derek kiri satu roda masih berdiri pada bagian garis pengaruh yang positif (lihat gambar 9. 3. 5. b. ), maka kita menentukan, bahwa derek itu menjadi kosong (tidak bekerja) dan yang diperhatikan hanya berat sendiri. Nilai minimal selanjutnya menjadi: RB
-in =
5,0
(-0.075 + 0,158) +
14,0 (0,033
-
0,3221
: -
Penentuan momen lentur pada pertengahan bagian A_ B: Kita menentukan ordinat 4 garis pengaruh pada titik potong di pertengahan bagian
,4
kita dapatkan nilai maksimal dengan memasang dua derek ini
pada tempat dengan ordinat 4 RB-u* 10,0 (1,000 + 1.233)
2.
3,635
-I
'
sebagai:
xx' I
6,0'6,0 12,0
Kemudian dapat kita gambar garis pengaruh seperti terlihat pada gambar 9. 3. 5. c. berikut. Nilai-nilai Mmax A_B dan M*;n 4-s kita dapat kita tentukan sebagai:
: Mmin A-B : Mmax
10.0(1,000 +2,4ol0)
A_B
+
14,0(3,000+ 1,4O0)
:
95,6tm
10,0(-0,600-2,000) + 14,0(-1,800-"t,2671: -69,0tm
2W 2M t20
3m
Garis pengaruh pada momen
lenlur M^.r4_s
Garis pengaruh pada momen
lentur
t
Pada tumpuan C kita hanya dapat menentukan nilai maksimal. karena tidak ada pengaruh yang negatif dan yang bisa menentukan nilai minimql. Selanjutnya nilai maksimal menjadi:
Rc-"r= 10,0Q,ilz
+ 0,876) +
14,0 (0,975
+
1,2421
:
46,2t
Rc-in=o Garis pengaruh pada reaksi tumpuan
4-r,
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan.4n.';n
Gambar9.5.3. c.
3.
Penentuan momen lentur pada pertengahan bagian g-C..
Garis pengaruh dapat kita tentukan seperti pada titik 2. dan seperti terlihat pada gambar 9. 5. 3. d. berikut. Pada penentu an M^lng-c kita mendorong satu derek ke bagian kiri yang tidak mempengaruhi bagian g-i. Kemudian dapat kita tentukan nilai M^rr*g dan M^inn-6 seperti berikut:
Garis pengaruh
Mmax
pada reaksi tum-
Mmin
puan
8-",
Mm6A-B
s*c = s-c =
10,0(1,0O0
+2,4001.+ 14,0(3,000+ 1,40/ll. = 95.6tm
14,0(+0,150-1,450)
= -18,2tm
Garis pengaruh pada momen lentur Mmarg-c
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan 8r;n
Garis pengaruh pada reaksi tum-
puan
Cr*
Gambar9.3.5. b.
4't2
Garis pengaruh pada momen lentur M.;nn_g
Gambar 9. 3. 5. d.
413
4.
Penentuan momen tumpuan 8:
Kita menggambar garis pengaruh pada momen tumpuan I pada bagian konsole s€belah kanan dari tumpuan L Ujung konsole (engsel g) kita hubungkan dengan garis lurus dengan tumpuan C fi - O) dan sampai ujung konsole yang di sebelah kanan dari tumpuan C, seperti terlihat pada gambar 9. 3. 5. e. berikut. Nilai-nilai M^r* gdan M,6n Bdapal kita tentukan sebagai:
= 10,0(-1,200-4,m0) + 14,0(-3,600-2,533) = -137,8tm M.n a = 14,0(-0,100 + 0,967) = 12,15tm MtmxB
Garis pengaruh pada momen tumpuan Mmax B Gambar 9. 3. 5. f.
Garis pengaruh pada gaya
lintang A^a*
B,
Garie pengaruh pada filornen tumpuan MminB Gember 9. 3. 5. e.
5.
Penontuan gaya lintang pada tumpuan 8..
Karena pada titik potong yang kita perhatikan (titik tumpuan 8) ada bekerja suatu gaya (reaksi tumpuan 8); maka kita harus menggambar garis pengaruh pada gaya lintang sebelah kiri (4 dan sebelah kanan (r) dari tumpuan-B itu seperti terlihat pada gambar 9. 3. 5. f. dan 9., dan kemudian kita dapatkan nilai O.u, dan Or;n juga dengan nilai sebelah kiri (4 dan sebelah kanan (r) sebagai Amax Bt Amax B, Amin Bt d6n O]n;n,sr seperti berikut:
= Amax Br = Amax B, = Amin Br = Amin
414
Bt
10,6'0,4@-0,63A + 14,0(-0,733-l,m) = -34,6t 5,0(+0,075-0,158) + 14,0(-0,088+0,081) = +0,6t 10,0(1,000+1,000)
Garis pengaruh pada lintang Am6 Br Gambar9.3.5. g.
9.4.
+ 14,0(1,000+0,733) = +4,25t
14,01+0,025-0,242)
= -3,04t
9. 4.
Garis pengaruh pada busur tiga ruas 1. Perhitungan dengan beban yang tetap
'
Sebagai dasar pada penentuan konstruksi busur tiga ruas dengan beban yang tetap kita perhatikan penentuan-penentuan bab 3. 7. 3. 2. (Konstruksi busur tiga ruas dengan gaya-gaya pada dua bagian busur), terutama penyelesaian secara analitis (lihat gambar 3.7 . 3. f . pada jilid satu buku ini). Atas dasar ketentuan-ketentuan itu dapat juga kita tentukan garis pengaruh pada beban yang tetap.
4't5
Dangan v7 sebagni resultante semua gaya yang vertikal pada bagian konstruksi busur tiga ruas yang sebelah kiri dari potongan $crnbarang x. y menjadi positif iikalau berjurusan ke atas.
Hl rneniadi resultante semua gaya yang horisontal pada bagian konstruksi busur tiga rllas yang sebelah kiri dari potongan sembarang x. l/ menjadi positif iikalau berjurusan ke kanan. Rurnus (9. 5.) dan rumus (9. 6.) hanya dapat digunakan pada konstruksri busur tiga ruas dengan beban yang tetap.
9.4.2. Garie pengaruh pada reaksi tumpuan
Gambar9.4. 1. a. Reaksi tumpuan R4 dan Rs dan kita bagi atas komponen 'horisontal' H'a dan H's dan komponen vertikal, yaitu 8a, dan 86, menurut rumus berikut: RAn
:
I
re,u, orn
Ra, =
I
Pada beban tetap reaksi tumpuan R4n dan ff6, menjadi sama pada konstruksi busur tiga ruas dan pada sistim dasar (balok tunggal dengan lebar bentang = 0. Oleh karena itu garis pengaruh pada reaksi tumpuan )rang vertikal harus menjadi sama $eperti pada garis pengaruh pada reaksi turnpuan pada balok tunggal (lihat garnbar 9. 4. 2. a. dan b. ). Komponen horisontal H pada beban yang tetap dapat kita tentukan tlengan rnorren
pada erqsel pada si$tim dasar, yang dibagi dengan tingginya titik puncak (cian
engsel) f pada konstruksi busur tiga ruas. Garis pengaruh komponerr horisontal
R4, dan R6, menentukan juga reaksi tumpuan pada sistim dasar, yaitu suatu balok tunggal dengan lebar bentang I seperti terlihat pada gambar 9. 4. 1. a. di atas.
momen lentur pada sistim dasar (lihat bab g. 2. 3.) dengafl ordinatnya rnasing- masing dibagi dengan tingginya titik puncak f. Jr.#OrO;nat garis &ngarr;4 pada engsel g kern"rudian menjadi: ,n
:
Kemudian komponen horisontal H menjadi:
H = Hn =
He:
H'4coso
=
H'Bcosa =
I/
dapat kita gambar demikion rupa. sehingga kita gambar garis pengaruh pada
ze'",
(lihat.iuga ganrbar 9. 4. 2. c.).
,,"o", ='fo
Garnbar 9. 4. 2. a.
s/tl c.
Dengan M* sebagaimomen lentur pada sistim dasar pada titik engsel g dan dengan fsebagai tingginya engsel dari garis penghubung tumpuan 4 dan tumpuan 8. Momen lentur pada potongan sembarang x dapat kita tentukan sebagai:
Mr: Mw- HY
o'
Dengan M, sebagai momen pada titik x sembarang pada sistim dasar flihat juga gambar 9. 4. 1. a.). Pada penentuan gaya normal dan gaya lintang kita menggunakan rumus-rumus dan pengetahuan dari bab 3. 7. 3.2. dan menentukan pada potongan x sembarang:
- N, = Ax 416
-
IVTsin
2Vtcos
-
+ ZHlcostp 2H1sin
L-ls
L--"''-
------]:=:"o
Garis pengelruh pada reaksi tumpuan rt?7,
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan frp,
(9.5.) (9.6.)
Garis pengaruh oleh
komponen horisontal H 417
Gambar9.4.3. a. s/d
e.
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan 4
#toro
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan 8 Gambar 9.
Garis pengaruh pada momen
4.2. d. dan e.
lentur Mo,
Penentuan garis pengaruh pada reaksi tumpuan .4 dan I dapat kemudian kita lakukan dengan superposisi garis pengaruh pada reaksi tumpu?n Rqv atau Rs, dengan garis pengaruh oleh komponen horisontal H seperti terlihat pada gambar 9. 4.2. d. dan e. di atas.
Jikalau tumpuan
A
dan
I
tidak berada dalam satu dataran maka kita
Garis pengaruh oleh komponen horisontal H yang dikali-
c)
kan dengan ukuran y
harus
Garis pengaruh pada momen lentur M, yang di-superposisi-
memperhatikan pengaruh sudut a. Atau dengan kata-kata lain garis pengaruh oleh komponen horisontal H harus dikalikan dengan tan a sebelum di-superposisi-kan menurut gambar 9. 4.2. d. dan e. di atas.
kan
Garis pengaruh pada momen lentur M, yang di-superposisi-
9.4.3, Garis pengaruh pada momen lentur
kan
Pada penentuan garis pengaruh pada momen lentur dengan beban tetap perhatikan rumus berikut: kita
Mr: Mor- HY seperti pada garis pengaruh pada reaksi tumpuan, garis pengaruh pada momen lentur terdiri dari suatu kombinasi dua garis pengaruh .yang sudah kita ketahui. Garis pengaruh pertama ialah garis pengaruh pada momen lentur pada suatu titik
9.4.4. Garis pengaruh pada gaya normal'dan gaya Kita memperhatikan rumus
-
xx'
garis pengaruh kedua ialah garis pengaruh oleh komponen horisontal H yang negatif dan yang dikalikan dengan ukuran y. Y ialah tingginya busur pada titik sembarang x ilihat gambar 9. 4. 3. a. berikut). ordinat 4s di bawah titik engsel I kemudian menjadi:
N, = IVTsin
*
pada
ZHlcosQ
Karena sebenarnya Hr
:
H dapat kita tulis:
- Nr= (Ra*2P7)sinP RA :
Y
+ Hcosp
Ra, + //tan a
Jikalau kita men-superposisi-kan dua garis pengaruh ini kita dapatkan garis pengaruh pada momen lentur seperti terlihat pada gambar 9. 4. 3. d. berikut
dan kemudian:
(bidang yang diarsir). Boleh juga menggambar garis pengaruh pada momen lentur ini seperti terlihat pada gambar 9. 4. 3. e. berikut.
-
I
418
x
Menurut bab 9. 4. 2. dapatkita tentukan. bahwa
lrl,
n= tf
pada titik
konstruksi busur tiga ruas dengan beban tetap yang berbunyi:
sembarang x pada sistim dasar (lihat juga bab 9. 2. 3. ) dengan ordinatnya:
n: l
(9.5.) gaya normal
Iantang
N,
:
(Ra,
+
Htana
- ZP/sinq + H cosP 419
Pada rumus ini R4, - EPt meniadi gaya lintang Oq, pada suatu balok tunggal dengan lebar bentang = I oprda titik sembarang x:
Garis pengaruh oleh komponen horisontal l/ yang dikali-
- Nr= Osrsinrp + Htanasinrp + Hcostp - N, = Osrsin 9 * ;;;
H
(sino sin rr
*
kan dengan
faktor
sin (rp-o) COs
cosa cosp)
-'l
t
o
Garis pengaruh pada gaya lin-
tang O, yang disuperposisikan
cos(P
* N. = Qorsing * ,
*
o)
(9.7.)
COs a
e)
Garis pengaruh pada gaya lin-
tang Oor yang dikalikan
\
ngon sin
E
Penentuan gaya lintang atas dasar rumus (9. 6.) pada titik x ssmbararp pada konstruksi hrsur tiga ruas dengan bebon tetap kha lakukan demikian ruia. sehingga:
Garb pengaruh oleh komponen horisontal H yang dikali-
f)
kan dengan
=
Oorcos
a, =
- *"
aorcosp
-,
(sin rp cos a
sinlq
-
- o),
cos a
Gambar9. 4. 4. c. s/d g.
cos rp sin o)
9.4.5. Ringkasan (9.8.)
Jikalau tumpuan A dan B berada dalam satu dataran, maka a = 0. Rurnus (9. 7.) dan rumus (9. 8.) dapat kita tulis seperti berikut:
-
N, = Osrsinrp + Q,
coe(r+r'o)
Garis pengaruh @a gaya normal fl, yang di-zuperposisi-kan
q + Htanoc,osg - Hsinq
ox = oorcos.
f6119;
cos o
Or=IYTcoeq-ZH1sin9 Ox
de-
Penentuan garis pengaruh pada konstruksi busur tiga ruas berdasarkan rumus-rumus penentuan reaksi tumpuan, !'nomen lentur, gaya norrnal dan gaya lintang pada konstruksi busur tiga ruas dengan beban tetap.
Kita dapot menggambar garis pongaruh pada konstruksi busur tiga ruas selalu dengan men-superposisi-kan dua komponen dengan garis pengaruhnya yang dikalikan dengan satu faktor.
Hcos
= Aorcosp - Hsinq
9.4.6. Contoh Suatu konstruksi busur tiga ruas yang berbentuk parabol menurut gambar 9. 4. 6. a. berikut. Dengan bantuan garis pengaruh masing-masing kita cari: reaksi tumpuan, momen lentur, gaya lintang dan gaya normal pada titik x oleh berat senGambar9.4.4. a. dan b.
\--------L-
ili 420
diri gr
=
1.0
1/mdanbobanq = 3.0t/m.
1,
Garis pengaruh pada gaya lin-
tang Qo, yang dikalikan dengan cos
rp
Gambar 9. 4. 6. a.
421
Penyelesaian: Penentuan nilai y dan rp menurut ilmu ukur:
=
en'
t=12,@m f=4,00m x=3,00m x,=9,00m 11
= lr=
t
menurut persamaan parabol dapat kita tentukan:
y
=
y' =
#,il - x) = \#3,0.s,0 #
tan(p =
Gambar9.4.6. d.
^s'
6,00m
u
-2x) =
)#
Garis pengaruh pada gaYa lintang
A, = QorcosP - Hsinrp Padax : 3'00 m oleh Osrcosrp * 4, = l,Ocosrp = 0,882 oleh Hsin e - rlg= 0,750'0,555 = 0,416
= 3,oom
fi2n -2.3,0) = 0,667
0,667 p = 33,7o
sin(p =
\
s
9,5,55 cosp = 0,832
R
E.'
5B.
Penentuan garis pengaruh masing-masing: Gambar 9. 4. 6. b. dan c.
Gambar 9. 4. 6. e.
Garis pengaruh pada gaya normal Garis pengaruh pada reaksi tumpuan i9a dengan 4, : t,@ Garis pengaruh oleh komponen horisontal H dengan
nc:
lrl, 6,0.6,0 =ffi:0,750 -V
-
N, = Osrsinrp + HcosrpPadax:3.0m
oleh Oo, sinp * nr: l,Osine = 0.555 oleh Hcos q * Hg: 0,750.0,t1i]2 = 0,@4 Hasil oleh penentuan garis pengaruh: Pada reaksi tumpuan masing-masing: 1
RA-"r= Garis pengaruh pada momen lentur M, = Mo, H.y pada x = 3.0 m
-
xx' 3,0.9,0 4ox: ,:6=2,250 ns =
t.l.
iv:
0,750.3,00 =
T 1
H-a, =
2
1,0.12,0(1,0+3,0) =24,0t 0,75.12,0 (1,0
+ 3,0) = 18,0t
Pada momen lentur:
2,2fi
Titik dengan momen nol kita dapatkan pada titik 4.&) m dari tumpuan ,4 menurut gambar 9. 4. 6. c. di atas. Luasnya bidang momen yang negatif dan yang positif selanjutnya meniadi: 1
F1: ,4,ffi.125: 422
+2,70 423
1
r_ = z 7,2O.0,7W= _2,70 F =F++F =0 Karena beban oleh berat sendiri selalu ada pada seluruh konstruksi busur tiga ruas yang pada contoh ini meniadi simetris dengan garis / -- 8 yang horisontal dapat kita
tentukan: Ms =
A.
iJntuk menentukan nilai batasan pada momen lentur oleh beban q kita membetrani hanya bagian dengan bidang pongaruh yang positif atau yang negatff, yaitu:
= + 2,70.3,00
Mpma'
Mpn* =
-
2,70.3.00
= 8,10tm
= - 8,10tm
Pada gaya lintang:
Os=0 Aon,,,
=*
Ool-iri= *-
0,416.3,0.3,0 1,87
* 't,87 t
1
Pada gaya normal:
= --1,0 r+ 12,0.0,6a4 -*a,o.o,rss * ]s,o.o+ror Ns= - 1,0.5408 = -5,408t Mrma = -- 3,0.5,rm = - 16,224t Nrr*o = O N min= -21,53t Ns
A. Ritter). Persamaan-petsarnaan itu memperlihatkan. bottwa gayi, hdt,fitng dapat ditentukan dengan molnen lentur dan gaya lintang pada suatu srstirn d{}s,ar (balok tunggal} dengan suatu faktor menurut bentuk korxstruksi rangka batang rrnaring-masing. Karena itu garis pengaruh pada gaya batang {unpa faltorfaktor itu) biasanya meniadi sanxr saperti garis pengaruh pada ggya lintang dan [rarang merurrut
mornen lentur pada balok tunggal. Kadang-kadang garis perqaruh hanrs disup6rp(,sisi-kan seperti pada konstruksi busur tiga rua$. Pada dasar-dasar konstruksi rangka batang telah kita tentukan, bahwa gaya-gsy8 hanya dapar bekerja mda titik simpul masing-masing. Jikalau kernudian timbul gaya-gaya yang bekerja antara dua titik simpul, kita harus memperhatikan pengotahuan tentang beban yang tidak langsung {lihat bab 9. 2. 4. ). Pada penentuan garis pengaruh pada konstrukai rangka baung harue kita pertrotikan batang tepi yang menerima beban. Pada umumnya batang topi itu ditandai dengan garis putus.
9.5.2. Konstruksi rangka batang dengon batang tepi ceisiar Fersarnaan gaya batang pada konstruksi rangka batang dengan batang tepi seiajar menurut pengotahusn dacar A. Bitter (lihat bab 4. 3. 3.) dapat kita to{ttukan: Pada batang tepi atas (O) dan bawah (U): (9.9.1
ParJa
Garis pengaruh pada konstruksi rangka
9. 5.
batang 9.5.
f.
Pengetahuan dasar
Tidak mungkin dalam bab ini kita memperhatikan sernua kemungkinan mengenai garis-garis pengaruh pada konstruksi rangka batang yang statis tertentu. (ita akan membatasi diri pada beberapa macam konstruksi rangka batang yang psnting. Ketentuan-ketentuan pada konstruksi rangka batang itu iuga dapat digunakan pada konstruksi rangka batang yang lain. Reaksi tumpuan pacia suatu konstruksi rangka batng biasa menjadi sama seperti pada suatu balok tunggal dengan lebar bentang yang sama. Oleh karena itu juga garis pengaruh menjadi sanra dan kita mengabaikan konstruksi garis pengaruh pada reaksi tumpuan pada konstruksi rangka batang selan.iutnya. Pada pener"ltuan garis pengaruh pada gaya batang kita menggunakan gmrsamaan pada beban yang tetap yang telah kita pelajari pada bab 4. 3. 3. (Ferhitungan gaya 424
D
batang diagonal (O):
-
a +'----:*-(p
(9.10.)
Sln
Pada batang vertikal ( V):
V=l:PalauV=OatauV=tA
(9. 1r.
)
Garis pengaruh pada gaya batang tepi dapat i(ita gambat dengan penentuan geris pengaruh pada momen lentur lxda sistim dasar (balok tunggal) dengan ordinatnya n yang dibagi atas ketinggian h konstruksi rangka batang itri (lihat iuga gambar
9. 5. 2.
a.
s/dc").
Garis pengaruh pada gaya batang diagonal dapat kita gambat dengan penentuan garis pengaruh pada gaya lintang pada sistim dasar dengan ordinatnya 4 yang 425
dibagi atas sin g (dengan 9 sebagai miringnya diagonal menurut gambar 9. 5.2. a., d.dane.) 4 = l.0menjadi 4 = 1/sin
diperhatikan, atau menjadi nol (lihat juga gambar 9. 5. 2. a. dan f.), atau garis pengaruh pada gaya batang vertikal menjadi sama dengan garis pengaruh pada gaya lintang (lihat juga gambar9. 5.2.5.,l. dan m. berikut). Sebagai keterangan kita perhatikan pertama suatu konstruksi rangka batang dengan batang tepi sejajar dengan diagonal yang turun naik seperti terlihat pada gambar 9. 5. 2. a. berikut:
Gambar9.5.2.a.sldl.
Pada garis pengaruh pada gaya batang diagonal kita pertama menentukan garis pengaruh pada gaya lintang dengan ordinat n : 1/sin rp.
Dua titik ujung diagonal yang diperhatikan kita hubungkan dengan dua garis pengaruh itu (lihat gambar 9. 5. 2. d. dan e. di atas), Pada penentuan garis pengaruh pada konstruksi rangka batang dengan beban yang tidak langsung kita perhatikan rumus (9. 3.)dan rumus (9, 4.). Tanda (+,-) pada garis pengaruh pada gaya batang diagonal menentukan juga tanda gaya batang masing-masing. Pada penentuan garis pengaruh pada gaya batang vertikal kita pasang ordinat 4 = 1.0 di bawah batang vertikal itu (lihat juga gambar 9. 5. 2. f. di atas). Jikalau gava p
= 1.0 bekerja pada suatu titik simpul pada samping batang vertikal V1 yang kita perhatikan, maka tidak ada gaya batang dan karena itu ordinat 4 = Q. Pada konstruksi rangka batang dengan batang tepi bawah yang dibebani seperti misalnya dapat dilihat pada gambar 9. 5. 2. a. di atas batang vertikal V6 dan Vp*1 menjadi batang tanpa gsya (batang noll dan karena itu juga ordinat goris pengaruh
4:0' Sebagei kamungkinan keduc klta perhatikan suatu kon8trukei rangka batang dengan diagonalnya naik (atau turun) semuanya, menurut gambar g. 5. 2. g. berikut: Garis pengaruh pada gaya batang tepi bawah U1
Gambar9. 5.2. g. s/d l.
Garis pengaruh pada gaya batang tepi atas
Garis pengaruh pada
A1
gaya batang bawah
Garis pengaruh pada gaya batang diagonal Dp
Garis pengaruh pada gaya batang diagonal
tepi
V1
Garis pengaruh pada gaya batang tepi atas
,7 /'fL,-.;Ela#
O1
Garis pengaruh pada gaya batang diagonal
Dk*t
Dp
Garis pengaruh pada gaya batang vertikal
Garis pengaruh pada
V*
gaya batang vertikal
Vp dengan batang
Garis pengaruh pada gaya batang tepi dapat kita gambar rnenurut ketentuan tadi (lihat gambar 9. 5. 2. b. dan c.). Karena titik k yang kita perhatikan menjadi juga suatu titik simpul, garis pengaruh menjadi suatu garis lurus sebelah kiri dan sebelah kanan dari titik k itu. Tanda (+,-) pada garis pengaruh pada gaya batang tepi menentukan juga tanda gaya patang masing-masing.
tepi bawah yang me-
-
nerima beban atau pada V*-'r dengan ba-
tang tepi atas yang menerima beban
426
427
,
//t
E.l
Garis pengaruh pada gaya batang vertikal Vp dengan batang tepi atas yang menerima beban atau pada V1*1 dengan batang tepi bawah yang menerima beban
sama timbul pada u,iung masing-masinS pada konstruksi rangka batang ini yang dapat kita lihat pada gambar 9. 5. 2. a. di atas. Sebagai kemungkinan ketiga perhatikan suatu konstruksi rangka batang dengan batarrg tepi sejajar dan dengan diagonal saja seperti terlihat pada gambar 9. 5. 2. p. berikut: Gambar 9. 5. 2. p. s/d s.
tr-l-.-
Garis pengaruh pada
gaya batang V**2
Garie perpnruh pada
gaya batang tepi bawah Up dengan pe-
dengan batang tepi
bawah yang
mene-
ngaruh beban
rima beban
o/
IN
Gambor 9. 5. 2. m. e/d o
Garis pengaruh pada gaya batang vertikal Vo dengan batang tepi atas Yang menerima beban
Penentuan garis pengaruh pada batang tepi dan pada gaya batang diagonal ,rrerrurut gambar 9. 5. 2. h. s/d k. di atas tidak mengalarni kesulitan dan dapat dilakukan seperti pada contoh konstruksi rangka batang dengan diagonal yang turun naik pada gambar 9. 5. 2. a. dsb. Penentuan garis pengaruh pada gaya baung vertikal harus seimbang dengan gaya lintang Oseperti ditentukan pada rumus (9. 11.). Batang vertikal Vsekarang berdiri pada suatu titik simpul yang fuga menerirna beban. Fada titik itu gaya lintang O iuga mengubah nilainya. Timbul sekarang pertanyaan apakah pilai gaya lintang sebelah kiri atau sebelah kanan dari tltik itu berpengaruh. Jawaban pertanyaan ini pada konstruksi rangka batang dengan semua diagonal turun atau naik menjadi penting setali dan hanya mungkin jikalau batang tepi yang menerima beban sudah ditentukan. Pada penentuan kita perhatikan potongan l-l menurut A. Ritter seperti digambar pada gpmbor 9. 5. 2. g. di atas. Potongan l-l itu kena batang vertikal V1. Gaya lintsng yanq borpengaruh ada pada bagian yang potongannya l-l dikenai batang tepi yang mone.fona beban. Jikalau batang tefi yang menerima beban menjadi batang tepi bawah. maka garis pongaruh pada gaya batang vertikal Vs dapat dilihat pada gambar 9. 5,2. 1. di atas. Garis penganrh ini menjadi sama dengan garis pengaruh pada gaya batang vertikal Vpl pada batang tepi atas yang menerima beban. Pada keiadian yang berlawanan kita perhatikan gambar 9. 5. 2. m. Pada batang vertikal V1*2 yeng di tengah-tengah konstruksi rangka batang ini kita perhatikan ketentuan-ketentuan pada konstruksi rangka batang dengan diagonal yang naik turun dan mendapat hsil seperti terlihat pada gambar 9. 5. 2. n. Pendapatan yang 428
yang
tidak langsung Garis pengaruh pada gaya batang tepi atas
,
D---i;.,,
Q*
*2[-]-----.__,! V-
I fr I ___J
Garis pengaruh paoa gaYa batang diagonal Dk
Pada penentuan garis pengaruh pada batang tepi bawah pada konstruksi rangka batang ini harus diperhatikan pengaruh oleh beban yang tidak langsung, seperti dibicarakan pada bab 9.2."4. Atas dasar ketentuan itu garis pengaruh antara titik sirnpul
k-
1
dan k +
t
harus menjadi garis lurus, seperti terlihat pada gambar 9. 5. 2.
q. di atas.
Pada penentuan garis pengaruh pada gaya batang diagonal O1 kita juga menghubungkan dengan garis lurus suatu bagian yang ada antara dua titik simpul pada batang tepi bawah. Karena itu garis pengaruh pada gaya batang diagonal Dp* 1 menjadi sama dengan tanda ( +, - ) berlawanan.
9.5.3. Konstruksi rangka batang dengan batang tepi tidak seiajar Penentuan garis-garis pengaruh pada konstruksi rangka batang dengan batang tepi tidak sejajar berdasarkan atas persamaan-persamaan penentuan gaya batang oleh beban yang vertikal dan yang tetap (mati). Kemudian kita perhatikan suatu bagian konstruksi rangka batang dengan batang tepi tidak sejajar seperti terlihat pada gambar 9. 5. 3. a. berikut. tlagian konstruksi rangka batang kita potong menurut potongan yang ditentukan dalam gambar 9. 5. 3. a. dan perhatikan bagian sebelah kiri potongan itu. 429
-r;-t.,
menurut rumus (9. 12.) dapat kita tentukan:
/
U cos0 --
ff o^"
ocosy =
-+
dan kemudian kita dapatkan:
Dcosy + Gambar9.5.3.
a
Kita tentukan gaya batang tepi dengan syarat keseimbangan 2M : 0 dan sebagai titik kutub kita pilih titik potong dua gaya batang yang lain seperti telah ditentukan pada bab 4. 3. 3. Jumlah momen semua gaya luar selanjutnya kita tentukan sebagai M dengan index , pada batang tepi atas dan dengan index , pada batang tepi bawah. Kita dapat menentukan:
Mo-Uro:Q
Mr+ Orr=g
rodan rrdapat kita tukar dengan:
ro = hocosA
r,,
=
hucosy
kemudian persamaan pada gaya batang tepi dapat ditulis demikian rupa, sehingga:
.MoMoM, ro ho cos[t
ru
Mu hu cosy
o:
i*
(eo,
(9.12.
)
berhadapan. Sebetulnya rumus (9, 9.) menjadi suatu bentuk khusus pada rumus (9. 12.)dengan A = 0,T - Odanr : h. Atas dasar pengetahuan ini dapat kita tentukan, bahwa penentuan gaya batang tepi pada konstruksi rangka batang dengan tepi yang sejajar dan dengan tepi yang tidak sejajar menjadi sama, hanya dengan memperhatikan jarak r yang menggantikan ketinggian konstruksi rangka batang h. Gaya batang diagonal dapat kita tentukan dengan syarat keseimbangan ZH : 0 dengan hasil seperti berikut:
(9.13.)
Atas dasar rumus (9. 13.) kita lihat, bahwa garis pengaruh pada gaya batang diagonal menjadi suatu superposisi atas dua garis pengaruh yang sudah diketahui seperti terlihat pada gambar 9. 5. 3. e. berikut.
Karena penentuan dan gambaran garis pengaruh ini menjadi agak rumit, maka dapat kita hitung gaya batang diagonal dengan cara lain juga. Kita memperhatikan gambar 9. 5. 3. b. berikut dengan potongan yang telah ditentukan. Dengan titik potong i bagi dua batang tepi konstruksi rangka batang ini sebagai titik kutub kita menentukan syarat keseimbangan ZM, : g. Jikalau sekarang suatu gaya P: 1.0 membebani bagian konstruksi rangka batang yang sebelah kanan dari potongan kita dapat menentukan syarat keseimbangan pada bagian kiri (tanpa beban) konstruksi rangka batang ini sebagai:
D*: - RA+ ,dk
ra*:O
Garis pengaruh pada gaya batang diagonal Dppada bagian kanan konstruksi rangka
batang ini sebenarnya menjadi garis pengaruh pada reaksi tumpuan RA yang negatif dan yang dikalikan dengan
a
p/ r4p.
Jikalau gaya P: 1.0 membebani bagian konstruksi rangka batang yang sebelah kiri potongan. maka kita dapat menentukan persamaan pada bagian kanan (tanpa beban) dari konstruksi rangka batang ini sebagai:
-
Rebr + Dr6r
-
Q
Dx:
+ RB
-l!L
yang menjadi garis pengaruh pada reaksi tumpuan RB Yang dikalikan dengan bp/r6p, seperti terlihat pada gambar 9. 5. 3. f. berikut. Pada bagian beban yang tidak langsung kita hubungkan garis pengaruh dengan suatu garis lurus. Konstruksi garis pengaruh pada gaya batang diagonal Dp dapat diperiksa karena dua garis miring dari garis pengaruh harus mempunyai titik potong pada titik kutub i dengan bukti seperti berikut:
dp : ak:
bp
fa* 430
- *l
-Raar:Pr
Jikalau kita sekarang membandingkan rumus (9. 12.) ini dengan rumus (9.9) kita melihat, bahwa sebetulnya kita hanya mengganti ketinggian konstruksi rangka batang h dengan jarak yang siku-siku r antara titik simpul (kutub) dan batang tepi
Dcos
Mo M, ho hu
fa*
-:
Dk
431
Sedang pers{rmaan penentuan gaya batang vertikal pada konstruksi rangka batang dengan batang tepi seiaiar berbeda menurut benruk diagonalnya maka penentuan gaya batang vertikal pada konstruksi rangka batang dengnn batang tepi tidak sejajar menjadi lebih rumit lagi. Biasanya gaya batang vertikal hanya dapat ditentukan dengan suatu potongan lingkaran, keliling tilik simpul yang diperhatikan, seperti terlihat pada gambar 9. 5. 3. g. berikut. Persamaan percntuan gaya batang vertikal terdiri dari beberapa bagian yang berarti, bahwa garis pengaruhnya kita dapatkan dengan superposisi.
Pada penentuan gaya batang yang vertikal, sebagai keterangan kita perhatikan per-
tama suatu konstruksi rangka batang dengan diagonal yang turun naik rnenurut Gambar 9. 5. 3. S. berikut:
i---#\:-
v;t/' Gambar 9. 5. 3. g
Menurut persamaan keseimbangan dengan suatu potongan lingkaran: Vx
-
P*
-
U1 sin
A*
IV = 0 dapat kita tentukan
+ U**rsin p1*,
:
0
V*- Px* UlcosfltanDk + Upllcosfipartanpl*, :
0
Menurut rumus (9. 12.) dapat kita tentukan:
Garis pengraruh pada
gplm batang tepi ba-
tuf
lJpcosBl =
wah U
vx = P*
Garis pengaruh pada gaya batang tepi atas
o dua kemungkinan menggambar garis
pada titik simpul k
*
lJp,,1cos{}pa, =
+ (9. 14.)
tang1,n1l
$r"nB1-
Jikalau kita memperlakukan penyelesaian ini pada titik simpul t- / kita dapatkan:
-
e)
Vx.,
-
A*.rsin y1-, + Olsin 7* = g
P*-,
Vkl + Pk-l f
01-1 CoS),1-1
pengaruh pada gaya batang diagonal D
o1-1 cosy/<.r
l.hr'w1q
V*-,
:-
= -- +*h*-,
P*-,
+
#
-
tan y1-1 - O1 cos yk tanyk = 0 Op cos yk
:
(tan 7u-, -- tan y1 )
-!&'L h*-, (9. 15.
)
Dr
,a
Gambar9. 5. 3. b. s/d f.
432
Jikalau tidak ada gaya yang bekerja pada titik simpul yang kita perhatikan P = 0 rumus (9. 14.)dan (9. 15.)menjadi rumus (9. 11.)jikalau batang tepi menjadi sejajar, karena Dr = O, |x-r : 0,/t-r : 0 dan y1 = 0. Ketentuan ini mernbuktikan, 433
r bahwa garis pengaruh pada gaya batang vertikal betul-betul menjadi suatu superposisi dari dua garis pengaruh yang sudah diketahui. Jikalau kita perhatikan kemudian suatu konstruksi rangka batang dengan diagonal berarah sama seperti terlihat pada gambar g. s. 3. h. berikut dan dengan batang tepi bawah yang menerima beban, dapat kita tentukan: k
RA- Z
Pp
+
opsinyp
R.q-lPx t A*nrsinyl*, + or
-
&o t6n ytr*1
* ff
U1 sin
rrnr1x
-
Dr-
vt
:
V*
=0
o
* Uk*rsinpl*, + Vk:O
1
A**, *
Okcosy*tan yk
* lJ*+tcospl*ltanpp*, + Vk:
O
Gambar 9. 5. 3^ i.
Jikalau batang tepi atas menerima beban, maka kita harus memperhatikan gaya lintang 01*1 pada bagian kanan konstruksi rafigka batang yang terpotong. persamaan gaya batang vertikal V1 kemudian dapat kita tentukan seperti berikut: Gambar9.5.3.
h.
Batang tepi atas yang menerima beb,an: V1 =
Menurut rumus (9. 12. ) dapat kita tentukan:
Ol,cosyp=
okr,-
t)p,1cosfi1,.r=+
-+
ffru"yr
*
&t
rtanB1*t
+ vk:
* ak*,.
Batang tepi bawah yang menerima beban: V1 = + ok +
ff
+
ftan Br
Ur. fip
*
-tan
y111)
tany1,*
(9.17.) 1l
o
Jikalau batang tepi atas menerima beban, maka beban ,,0"* ,"rp"ngaruhi bagian kiri konstruksi rangka batang yang terpotong. Kemudian gaya lintang bagian kanan itu o1 menggantikan o1* 1 . Persamaan gaya batang vertikal v1 kemudian dapat kita tentukan seperti berikut:
Kemungkinan-kemungkinan superposisi garis pengaruh menurut rumus (9. .l4. ) s/d rumus (9. 17.) dapat kita perhatikan pada gambar g. 5.3. k. berikut. Karena penyelesaian pada gambar itu dapat dilakukan pada konstruksi rangka batang dengan batang tepi sejajar maupun tidak sejajar kita memilih sebagai sistim dasar suatu balok tunggal seperti terlihat pada bagian atas gambar 9. 5. 3. k. berikut. Sistim dasar
Batang tepi bawah yang menerima beban: V1 = Batang tepi atas yang menerima beban: V*
-
ak
*,
: - At +
.
+ Mk hk
(tan y1
(tany1
-
-
tan B1.,
Garis pengaruh pada 1)
(9. 16.
gaya batang vertikal )
tanBl*1)
-fftorD,
iantt,.,1
V1 menurut
rumus-
rumus:
(9.14.) Jikalau kita memperhatikan selaniutnya suatu konstruksi rangka batang dengan diagonal berarah sesama seperti terlihat pada gambar g. S. 3. i. berikut dan dengan batang tepi bawah yang menerima beban, dapat kita tentukan: 434
(9. 15.1 435
r (9. 16.1
At
dengan batang tepi bawah yang menerima beban
---.*.--J
(9. 16.)
dengan batang tepi atas yang menerima
Itan 7, - tan Br-r)
,*
0,! EI
Garis pengaruh pada gaya batang vertikal V1 dengan batang tepi bawah yang menerima beban
beban {tdn lr\ - toh
h.t)
I
{9. 17.}
dengan batang tepi atas yang menerima beban
l\'tmy,.,1
i
(9.17.)
L**----
dengan batang tepi bawah yang meneri-
Gambar9. 5.3. k.
ma beban
Penentuan garis pengaruh pada gaya batang vertikal pada konstruksi rangka batang dengan batang tepi tidak sejajar dan dengan semua diagonal yang turun atau naik, dapat kita lakukan menurut pengetahuan A. Ritter seperti pada penentuan garis pengaruh pada gaya batang diagonal. P: 1.0 bekerja pada bagian kanan dari konstruksi rangka batang yang terpotong penentuan dapat kita lakukan pada bagian kiri yang tidak dibebani:
Jikalau gaya
- R4ap- V1 rv*:0
V*:-R^+
Garis pengaruh pada gaya batang vertikal V1
dengan batang tepi atas yang menerima
(9. 18. )
beban Gambar91 5.3.
Kita lihat, bahwa penentuan garis pengaruh pada goya batang vertikal menjadi sebenarnya garis-garis pengaruh pada reaksi tumpuan masing-masing yang dikalikan dengan faktor masing-masing. Harus diperhatikan ketentuan batang tepi yang mana yang menerima beban seperti terlihat pada gambar 9. 5. 3. 1. di atas'
9.5.4. Ringkasan 1.
2.
Jikalau gaya P : 1.0 bekerja pada bagian kiri dari konstruksi rangka batang yang terpotong penentuan dapat kita lakukan pada bagian kanan yang tidak dibebani:
-RBbk+Vk rv*=0
Vt-- + Ro
br fvk
3.
(9. 19.)
1.
Penentuan garis pengaruh pada reaksi tumpuan pada konstruksi rangka batang menjadi sama seperti pada balok tunggal dengan lebar bentang yang sama. Penentuan garis pengaruh pada gaya batang kita lakukan atas dasar pengetahuan penentuan gaya batang menurut A. Ritter dsb. yang kita dapatkan dari garis pengaruh pada momen lentur dan piada gaya lintang pada bakck tunggal dengan lebar bentang yang sama. Pada konstruksi rangka batang dengan batang tepi sejajar dapat kita tentukan: Garis pengaruh pada gaya batang tepi kita dapatkan dengan membagi garis pengaruh pada momen lentur dengan ordinatnya 4 oleh tingginya konstruksi rangka batang h tsb. Garis pengaruh pada gaya batang diagonal kita dapatkan dengan membagi garis pengaruh pada gaya lintang dengan ordinatnya 4 oleh sin rp.
Pada penentuan garis pengaruh pada gaya batang vertikal kita
Sistim dasar 436
harus
memperhatikan cara pemasangan diar cnal-diagonal. Pada konstruksi rangka batang dengan diagonal yang naik turun batang vertikal menerima gaya vertikal menerima gaya vertikal pada titik simpul. Pada konstruksi rangka batang dengan diagonal semua naik atau semua turun batang vertikal menerima gaya lintang pada bagian kiri atau kanan dengan tanda (+.-) berlawanan dengan 437
r diagonal. Pada konstruksi rangka batang dengan diagonal saja kita harus
4.
memperhatikan beban yang tidak langsung. Garis pengaruh menjadi suatu garis lurus antara dua titik simpul. Pada konstruksi rangka batang dengan tepi tidak sejajar dapat kita tentukan: Garis pengaruh pada gaya batang tepi kita dapatkan dengan membagi garis pengaruh pada momen lentur dengan ordinatnya 4 dengan jarak r yang sikusiku antara titik simpul (kutub) dan batang tepi berhadapan. Garis pengaruh pada batang diagonal kita dapatkan dengan superposisi dua garis pengaruh yang sudah diketahui atau dengan bantuan penentuan gaya batang menurut A. Ritter. Penentuan garis pengaruh pada gaya batang vertikal menjadi beraneka warna menurut cara pemasangan diagonal-diagonal, menurut batang tepi yang mana
yang rnenerima beban dsb. Hanya pada konstruksi rangka batang dengan diagonalnya yang turun semua atau naik semua, dapat kita menggunakan pengetahuan penentuan gaya batang menurut A. Ritter.
1.
Penentuan garis-garis pengaruh pada gaya batang tepi bawah (lihat gambar
9. 5. 5. 'l . b. s/d e. berikut):
Batang Uldan U7 menjadi batang nol. Pada U2dan U3 momen pada tumpuan ,4 yang berpengaruh. Garis pengaruh pada gaya batang Uq, Usdan U6 berdasarkan pada momen lentur pada sistim dasar pada titik simpul yang berhadapan. Juga pada batang Uc, Us dan U6 harus kita perhatikan pengetahuan tentang beban yang tidak langsung. batang Uz
4o: -
= Ut:
a1
n,
batang Uo
_:j
=
= _2,000
:
xqX'q 6.0.15.0 = lh 21,0.3.0
9.5..5. Contoh-contoh Contoh 1: Pada suatu derek berkonstruksi rangka batang portal menurut gambar
9. 5. 5. 1. a. berikut dicari garis-garis pengaruh pada gaya batang
masing-
masing.
4o
= - 4a: -
= 1,428
1,428
h: 1,428ffi : o,zr+
tto:
-1,428#:
ns:
1,428H:
-0,286
't,141
batang Ur: qe
12,0.9.0 :-ifx{'a =ffi
4o=
-i,714f,-:
ry= 1,714#=
=1,714
-0,857
4ro=
-1,714#:
-0,571
n,=1.714#=1,142
1,2tA
batang Ur:
x{'a
Gambar 9. 5. 5. 1 . a.
th Penyelesaian:
Karena kita hanya memperhatikan gaya-gaya yang sejajar anting, reaksi tumpuan masing-masing menjadi vertikal dan reaksi tumpuan H = O dan karena itu gaya batang D : Ojuga. 438
4o=
=
#f,:f,
-0,*#=
= 0,8s8
-0,286
4ro
=-
0,858
439
b)
Garis pengaruh pada gaya batang lJz
= lJi
n,.-ry:;*=1,0s2 batang
O2:
n,=+=#=1.ooo c)
Garis pengaruh pada gaya batang Ua:
4r=0
batang Ot
=
4r=0
0e:
4r=- *=-HH:-o,Bse batang Os
d)
4,=
-
O7:
-1.714
O6:
# = -#f# = -t,4zl
batang Oe
:
O16:
n,n=f=*3 =t,*
Garis pengaruh pada gaya batang U6:
)
Garis pengaruh pada gaya batang O1:
g) rll
Garis pengaruh pada gaya batang 02:
f
Gambar9.5. 5. l. b. s/d e.
?.
Ao:
n!: = '" - !#t lh = --9'0-'12'0 21,0.3,0
Garis pengaruh pada gaya batang Us:
batang
e)
=
Penentuan garis-garis pengaruh pada gaya batang tepi atas (lihat gambar
9. 5. 5. f. s/d l.
berikut):
Pada batang O1 dan O2\ang berpengaruh adalah momen lentur pada titik simpul 1 pada konsole. Garis pengaruh pada gaya batang O3 s/d 06 berdasarkan pada momen lentur pada sistim dasar, dan batang O9 dan 01g kita perhatikan momen pada tumpuan 8.
I
h)
Garis pengaruh pada gaya batang 03
=
Oa,:
batang Or: COSY
440
=
3.0
/tot+
1,o-
=
0,95 r = hcosy:3,0.0.95 :2,85
Gambar9.5.5.1. f. s/d
h.
441
i)
Garis pengaruh pada gaya batang 05
=
06:
batang D2:
D=
= stn -l! g srn (p =:=
= 1,414 4o: 4t = 1,414 4r :
o
Antara titik simpul 1 dan titik simpul 2 harus kita perhatikan beban yang tidak langsung.
k)
Garis pengaruh pada gaya batang Ot
batang Dss/d Ds:
=
Pada semua garis pengaruh pada gaya batang diagonal ini dapat kita tentukan:
Oe:
4a =
- 4r:;;;
1,0
*-
r/T: t,+t+
cp
=
45o
,,:nol=1,414ffi=o,4o4 l)
Garis pengaruh pada gaya batang O9
:
tto=*af=r,u+#=0,fr2
O16:
batang D1s:
I
1.0
4ro:--::-=-1,414 srn (p Gambar9. 5. 5.
l.
i. s,/d
L
m)
3.
Penentuan garis-garis pengaruh pada gaya batang diagonal (lihat gambar
9. 5. 5. 1. m. s/d
4g=0
s.):
Garis pengaruh pada gaya batang diagonal D1 dapat kita tentukan menurut rumus
Garis pengaruh pada gaya batang D7:
IN
l: _\ \
lr
(9. 13.) dan pada garis pengaruh pada gaya batang diagonal yang lain kita perhatikan rumus (9. 10.). Pada batang diagonal D2dan D1s kita gunakan garis pengaruh pada gaya lintang konsole dan pada batang diagonal yang lain garis
n)
pengaruh pada gaya lintang pada balok tunggal.
Garis pengaruh pada gaya batang D2i
batang D1:
1 I M, Mo o= cos(p hu - ho '
r____v
I
'
1 = \raTi@-:1,2o g
cos
Garis pengaruh pada gaya batang D3:
3,0
karena mornen lentur Mo
=
---; :r
0 dapat kita tentukan:
o=*+ ,,=*l H= M2
o)
R
sl
-1,20H=-1,200
:.1
L--
Gambar9.5.5.1. m. s/d o. 443
p)
Garis pengaruh pada gaya batang
-Dt = Dd
Karena batang tepi atas tidak menerima beba'n, rnaka Pl
= 0 dan kemudian
iuga
Iz=0danselanjutnYa:
:l
ffant, tanrr = $ = 4o= - {f o.rea= -0,333 4r=o vr=
e
L
q)
Garis pengaruh pada gaya batang
-
Do
= Dl
O,aSa
batang Y3:
4a=-1,@0
4o=
_r,mo#=_1,2{t
batang Y8: 41e
r)
Garis pengaruh pada gaya batang
-
Da
=
t)
Ds:
=
1.000
4g=0
Garis pengaruh pada gaya tratang V
1:
u) Garis pengaruh pada gaya batang y2: ;[-->__ _
?
Garis pengaruh pada gaya batang D1o:
v)
Garis pengaruh pada gaya batang y3:
w)
Garis pengaruh pada gaya batang V6:
Gambr9. 5.5. 1. p. s/d s.
4.
Penentuan garis-garis pengaruh pada gaya batang vertikal (lihat gambar 9. 5. berikut):
5. 1. t. s/d w.
Gaya batang vertikal V l dan Vs menjadi sama dengan beban pada titik simpulnya. Gaya batang vertikal V3 menjadi sama dengn reaksi tumpuan,4. Batang vertikal l/2 menerima beban oleh batang tepi atas yang mengubah jurusannya pada titik sirnpul
l,
tetapi batang vertikal Vas/d V7 menjadi batang nol.
batang
Gambar9.5.5.
4o
t. s/d
w"
menurut rumus (9. 15.)
'
Vz
jembatan kereta api berkonstruksi rangka batang dengan diagonal saja menurut gambar 9. 5. 5. 2. a. berikut, tentukanlah gayabatang u, o dan D oteh berat sendiri S : 2-O t/m dan oleh kereta api seperti ditentukan pada gambar 9. 1. 1. a. dan gambar 9. 5. 5. 2. b. dan c. Titik simpul pada batang tepi atas
Contoh 2:
= 1,000 4r = 0
batang Y2:
444
1.
t/1:
=-
Pr
*
ff
,ru"y,
-
tan y2).
Pada suatu
berada pada suatu garis Parabol.
M5
2. hs
Penentuan garis pengaruh pada gaya batang O:
:
7,56
cos/= 12
+
12 (8,0
-
7,56)
-+=:V 4.02 + 0.442
:
7,78m ts = hs cos y
=0.904
:
7,78.O,W = 7,73 m
xi's n,0.28,0 4s=- rh =Asra?,n=-r'5r
tt00 -4000 Gambar 9. 5. 5. 2. a.
1
og= -2,0 ,1,51
Penyelesaian:
2.
Penentuan garis pengaruh pada gaya batang U:
ht = hq
ho
x4x'o = 4,0
= 4,@ + 3,56 =
xex'o h,= - th, -
+
Op
= -72,5t
+ 0,423 + 0,W + 0,664 + 0,785) 11 -5,2 18,02(0,905 + 1,51) + ,1,51.28,01
=-
ffi16,0.32,0
7.56 m
.48,0
12,5 |.0,302
Or= -12,5.2,718 -5,2(9.66 +21,14l,:
16,0'32,0
-
194,0t
1'41 4a,0.7,fi- =
Karena pada batang
u
harus kita perhatikan pengaruh oleh beban yang tidak
langsung, maka kita tentukan:
nt: r,arffi= 1,058
n5=
5.?0
1,41ffi='t,ztz
Selanjutnya kita harus mencari penempatan kereta api yang paling tidak menguntungkan sistimnya. Kita memilih jarak-jarak tsb. seperti terlihat pada gambar g. 5. 5. 2. b. berikut.
-1 Uo= 2,01
1,058 +
712,0. Uc = 2.0 (6,35 + 9,16 +
Up : Up
8,0,11fi,058 + i2i2t + ,28,0.1,232t
17,24t = 2,0.32,75: 65,6t
12,5(0,352 + 0.49t + 0.635 + 0J76 + 0,917)
+ 5,2(9,16 + 12,5.3,174 + = 5,2. 26,4 = 39,6 + i37,2 = 176,8 t
17,241
Garis pengaruh pada gaya batang
3.
446
b.
Gambarg.5. S.2. c.
gambar
Kita tentukan pertama titik potong batang tepi bawah dan batang tepi atas dan jarak siku-siku titik potong itu ke batang diagonal D yang kita perhatikan.
hz
Gambar9.5.5.2.
O
Penentuan garis pengaruh pada gaya batang D (lihat juga 9. 5. 5. 2. d. sld f. berikut):
a::ho=
Garis pengaruh pada gaya batang U
t/m
:
ai=
la1
ho
+ll:h,
* lt;!t rr*z:
4,0.8,0 2,22
di =
4,0 +
:14,4m
bi
hoA
hr4.
ho
4.O
48fr,
:
ai + I
8,0'210,0
=
14,4 +
:
6,22m
€,0 + uE,0:62,4m M7
Jarak 16 dapat kita tentukan dengan mudah karena dua segitiga yang di-arsir pada gambar 9. 5. 5. 2. d. menjadi sebangun. Karena itu r4 rnenjadi 15.5 m. Ordinat-
ordinat 4 pada reaksi tumpuan masing-masing kemudian menjadi: d;
qo=
a=
14'4 15,5
=
9.6.
n,=*=W=4,02
o.g3o
Penentuan penempatan kereta api yang paling tidak menguntungkan sistimnya dapat kita lihat pada gaya batang D maksimal (gambar 9, 5. 5. 2' e. ) dan pada gaya batang D minimal (gambar 9. 5. 5. 2. f . )
Ds = z,o( o,sss ' 6.ao |
= Dpmin =
Dpnnx
-:-
}
o,osz ' 41,60}
12,5(0,067 + 0,201 + 0,335 + 0,1121
-
*26,84 t
= +8,941
+ 0,666 + 0,636 + 0,605) -12,51O,4g7 + 0,697
Garis pengaruh pada balok terusan
9.6. 1.
Pengetahuan dasar Sampai saat ini kita hanya
memperhatikan dan menentukan garis
pengaruh pada sistim statis tertentu. Sesudah kita ketahui beberapa ordinat 4 yang penting, maka garis pengaruh sudah dapat digambar. Garis pengaruh pada sistim statis tidak tertentu menjadi bukan garis lurus, melainkan garis bengkok. Penentuan ordinat-ordinat 4 pada urnumnya nremerlukan banyak pekerjaan dan perhitungan sampai garis pengaruh itu dapat digambar. Pada gambar9.6. 1. a. berikut dapat dilihat garis-garis pengaruh pada suatu balok terusan. Kita melihat, bahwa terutama pada bagian balok terusan dengan nilai yang kita cari, bentuk garis pengaruh, walaupun melengkung, meniadi sebangun dengan garis-garis pengaruh pada balok tunggal. Oleh karena itu, pengetahuan garis-garis pengaruh pada balok tunggal dapat membantu tanggapan kita pada penentuan garis pengaruh pada balok terqsan.
1
-2,0 129,6'0,s74 Dpmin
=
-12,5'3,101
-
17,0
.)n
V7,.
'////z
72.
Gambar
9.6.
1. a
77.
D
= -55,8t
Garis pengaruh r:'ada reaksi tumpuan,4
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan B
_.=Il
+.t?.5
Garis pengaruh pada gaYa batang
t
D-r,
e)
Garis pengaruh pada
momen lentur M pada titik sembarang m
Garis pengaruh pada gaya batang Dmin
48
:
Gambar
9.5.5.2. d^ s/d f
Garis pengaruh pada gaya lintang O pada titik sembarang n 449
Garis pengaruh pada momen pada tumpu-
anB
Karena penentuan garis-garis pengaruh pada balok terusan sering diperlukan walaupun penentuan menjadi agak rurnit maka biasanya digunakan tabel-tabel. Tabel-tabel itu pada balok terusan dengan jarak tumpuan masing-masing menjadi sama dan dengan momen lembam / tetap ditentukan ordinat-ordinat 4 pada titiktitik sepersepuluhan lebar bentang /. Tabel-tabel itu ditemukan oleh misalnya: A n g e r- T ra m, Zel lerer, Ka pf erer atau K le i nl og el. Penentuan garis-garis pengaruh pada balok terusan dengan beban tidak langsung masih tetap berlaku seperti pada balok tunggal dsb., maka oleh itu garis-garis pengaruh bukan lagi menjadi garis lengkung r'nelainkan gar'is poligon' penentuan garis-garis pengaruh pada balok tefusan dapat dilakukan secara analitis atau secara grafis dengan bantuan sistim titik potong, lihat bab 6' 3' Dalam rangka buku ini garis pengaruh pada balok terusan kita bicarakan hanya pada prinsipnya dan tanpa contoh-cgntoh karena penyelesaian terlalu luas untuk tujuan buku ini.
9.6.2. Garis pengaruh pada reaksi tumpuan yang statis ber' lebih Garis-garispengaruhpadareaksitumpuan,momenlenturmaupungaya
lintang pada suitu sistim statis tidak tertentu berdasarkan pada garis pengaruh pada reaksi tumpuan yang statis berlebih. Karena'itu pertama kita tentukan garis pengaruh itu' Sebagai keterangan kita perhatikan suatu balo,k t"rrr"n terletak di atas lima tumpuan, seperti terlihat pada gambar 9 .6.2. a. berikut. Kemudian kita menentukan reaksi tumpuan vertikal Ra, RC dan Lgp,sebagai reaksi tumpuan yang statis berlebih dengan nilai X,, X, dan X.. Pada beban yang mati (tetap) dapat kita tentukan tiga persamaan berikut untuk mencari tiga nilai yang statis berlebih , Xr, Xrdan Xr:
6rrXr+dnX2+d,,X3--d., 62rXr
+
d22X2
+ dpX3 = -
6ro
=*
63s
6rrX, + drrX, +
d31X3
Pada rumus-rumus ini d1; misalnya menjadi pergeseran titik k oleh gaya X7 Bagian beban d1o rnenjadi p"ig"rerrn titik k oleh beban yang sebenarnya. Semua pergeseran ditentukan pada sistim dasar, yaitu pada balok tunggal' 450
bo
Gambar 9" 6.2. a.
Pada penentuan garis pengaruh beban atau cara pembebanan pada sistim statis biasanya belum diketahui. Karena itu nilai d1o belum dapat kita tentukan dengan suatu angka tertentu. Jikalau kita menggulingkan suatu gaya P = 1,0 pada seluruh panjang balok terusan ini nilai dp, berubah pada tiap-tiap pergeseran gaya P itu. Jikalau kita menentukan pergeserart dro dengan P : 1,0 sebagai ordinat di l r:wah tiap-tiap titik tangkap gaya P itu, maka d16 sebetulnya menjadi garis pengaruh pada lendutan'pada titik 1 pada sistim dasar yang statis tertentu. Sama saja dapat kita tentukan pada d2s dan d36 Menurut bab 9. 2. 5. garis pengaruh pada lendutan rnenjadi garis elastis oleh suatu gaya F = 1,0 pada titik 1,2atau 3. Nilainya dapat kita tentukan dengan cara-cara yang sudah diketahui, dan yang kita tentukan sebagai
d*.. Selanjutnya kita memperhatikan tiga persamaan di atas. Sebagai nilai dr* d2- dan kita ketahui garis-garis pengaruh pada lendutan pada titik 1,2 dan 3 yang menjadi identik dengan garis elastis pada sistim statis tertentu oleh gaya P : 1.0 pada titik 1.2 atau 3. Bagian kanan pada tiga persamaan d1., dz. dan dr,, itu pada tiaptiap titik sembarang pada balok terusan ini berisi suatu nilai. Karena itu pada Xr, X, dan X, kita mendapatkan nilai-nilai yang tergantung dari titik tangkap gaya P : 1,0 dan yang rnenjadi ordinat-ordinat pada garis pengaruh pada reaksi tumpuan yang statis berlebih. Karena nilai-nilai 6kntidak menjadi tetap kita belum menrlapatkan hasil pada tiga persamaan ini. Tetapi karena d,1 rnenjadi pergeseran suatu titik i oleh x1 : 1"0 pada titik k. Dengan d1- kita menentukan garis elastis oleh gaya P = 1 ,0 pada titik k. Jikalau kita memperhatikan ordinat garis elastis pada titik i yaiig menjadi d,1 yang pada saat ini menjadi juga dp, (Lihat juga rumus (8. 20.), Syarat dari Maxwell). Pada sistim $tatis tertentu dengan satu nilai yang statis berlebih, perhitungan ini menjadi mudah karena kita hanya membagi ordinat garis elastis d1p atas d11 dan mendapat ordinat garis pengaruh pada X7.
dr-
451
bab 6. 3. 3. contoh 2 (lihat gambar 6. 3. 3. f. dan 9. 6. 4. 1. d.) dan dengan hasil reaksi tumpuan masing-masing dapat digambar diagram gaya lintang (lihat gambar 6. 3. 3. g. dan 9. 6. 4. 1. e. berikut):
Atas dasar penentuan-penentuan di atas dapat kita menentukan garis elastis pada reaksi tumpuan yang statis berlebih X t , X z , - . X n ' Tinggallah kemudian penentuan garis pengaruh pada reaksi tumpuan, momen lentur dan gaya lintang.
9.
6.3. Garis pengaruh pada reaksi tumpuan, momen lentur dan gaya lintang Pada balok teRlsan dengan beban tetap (mati) dapat kita tentukan reaksi
tumpuan, momen lentur dan gaya lintang dengan bantuan reaksi tumpuan yang . Xn dengan superposisi: statis berlebih Xr, Xz R,rlo +
XrRa, + X2RA2 +
M
Mo
+
o
Qo
+
X,M, XrA,
Ra
+
XrM,
+
+
Xra,
+
+ X*Mr + ...'. XrQ* + .... XpRap
* + +
XnR4n XnMn XnAn
Pada penentuan garis-garis pengaruh kita gunakan cara yang sama. Garis pengaruh pada reaksi tumpuan ,4 kita dapatkan oleh superposisi ordinat garis pengaruh ,94p. dengan Ra1, \anQ dikalikan dengan ordinat garis pengaruh pada X1, dengan Ra2 yang dikalikan dengan ordinat garis pengaruh pada X2 dsb. Pada penentuan ini Ra7 menjadi reaksi tumpuan oleh X7 -- 1.0, Rnz menjadi reaksi tumpuan oleh X2 : 1'0 dsb. Sebagai ringkasan dapat kita katakan, bahwa garis-garis pengaruh pada balok terusan atau pada sistim statis tidak tertentu yang lain terdiri dari bagian-bagian seperti berikut: 1. ordinat garis pengaruh pada sistim dasar (balok tunggal dsb.) dengan nilai
/-J r=r:1"
Ra6, Asdan Ms.
2. Ordinat garis pengaruh pada reaksi tumpuan yang statis berlebih Xt, Xz
.. . Xndanyangdiakibatkan olehXT = 1'0, Xz: 1.0, .'..' Xn : 1'0pada titik yang kita perhatikan dan yang harus dikalikan dengan Rnr, Raz, ..." R4naldu Mr, Mz, . Mnatau Q1, Qz, ..... Qu' Kita melihat bahwa pemborosan perhitungan untuk penentuan garis-garis
-:
pengaruh pada sistim yang statis tidak tertentu menjadi besar sekali.
$
Akan tetapi kalau kita memperhatikan cara perhitungan ini kita dapat melihat, bahwa caranya menjadi sebetulnya sama seperti pada perhitungan balok terusan secara grafis dengan menggunakan slstim titik potong (lihat bab 6.3.). 9.
1.
"l':
/t
Hfr, -1,_l
a
6.4. Penentuan garis-garis pengaruh secara grafis Penentuan momen lentur dan gaya lintang pada balok terusan dengan beban yang tetap (mati):
Pada suatu balok terusan dengan macam-macam beban dan gaya seperti terlihat pada gambar 9. 6. 4. 1. a. berikut kita tentukan titik potong menurut bab 6. 3. 2' (lihatgambar9.6.4. L b.)dan kemudian dengan superposisi dapat kita menggambar diagram momen menurut bab 6. 3. 3. (lihat gambar 9. 6. 4. 1 . c. ). Kemudian kita menentukan masing-masing reaksi tumpuan secara grafis seperti diterangkan pada 452
Yz'
I
{ t
Gambar9. 6. 4. 1. a. s/d e.
453
2.
Penentuan garis-garis pengaruh pada balok terusan dengan beban yang tadak tetap (bergerak):
Supaya penentuan garis-garis pengaruh yang menjadi garis lerigkung menjadi seteliti mungkin, biasanya bagian balok terusan masing-masing dibagi sepuluh. Pada contoh berikut, lihat gambar 9. 6. 4. 3. a. s/d g. kita hanya membagi empat supaya gambar tidak menjadi terlalu rumit. Seperti pada beban tetap kita pertama menentukan titik potong J,
a/ AQ2-auqk0r
rlJ
I
Qz-+
J',6
utk0u
H7
7
y'
Q2:a'utl.<
6'
bt
S,
J"'4'
H
K
J, 4
1t3'utk
ct'qr:r,utk ll,
n2-4
J', J'dsb.
/Q2:a'utk0r
Ht-
r
llt Ia
dan
K, K', K'dsb. (lihat garnbar9.6.4. 1. b.). Kemudian kita menggulingkarr suatu gaya P - 1.0 pada seluruh panjangnya balok terusan ini. Gaya P = 1.0 selalu berhenti sebentar pada msing-masing titik yang kita tentukan tadi. Pada tiap-tiap
perhentian ini kita menggambar diagram momen Mo (lihat gambar 9. 6. 4. 3. a. dan b.). Diagram momen itu dapat digambar dengan bantuan potongan garis bersilang, lihat juga gambar 6.2.2. c. pada bab 6. 2. 2. Karena contoh ini menjadi simetris, cukup jikalau digambar garis pengaruh pada bagian pertama dan kedua. 3. Garis pengaruh pada mornen lentur: Jikalau kita mau menggambar garis pengaruh pada momen lentur pada titik sembarang 3 (M3) kita rnengukur dari diagram momen pada titik 3 semua nilai42sld4a yang sebagai ordinat garis pengaruh kita gambar pada tiap-tiap titik. misalnya 42 pada titik 2, 16 pada titik 3 dsb. Ujung-ujung ordinat ini dihubungkan dengan garis lengkung dan mendapat garis pengaruh pada momen lentw M3 (lihat gambar 9. 6. 4. 3. a. dan c.) Cara ini berlaku pada bagian balok terusan yang diperhatikan. Pada bagian-bagian yang lain kita mengukur nilai ordinat 46 si d 49 antara garis sumbu balok terusan dan garis penutup dari diagram momen (lihat gambar 9. 6. 4. 3, b. dan c.). Karena balok terusan pada contoh ini menjadi simetris nilai ordinat 42'sld '.i4'dan 46's/d 49' dapat diambil pada titik 3'sebelah kanan (lihat gambar 9. 6. 4. 3. a. dan b.). Maka dapat kita lakukan penentuan garis pehgaruh pada momen lentur M7. Kita lihat, bahwa penentuan momen maksimal kita dapatkan jikalau semua beban berada pada satu bagian dari balok terusan, dan bagian sebelah kiri sena bagian sebelah kanan tinggal kosong. Pengaruh suatu gaya atau beban atas bagian ketiga sudah hampir menjadi nol. Yang harus kita perhatikan dengan khusus ialah suatu titik sembarang (9) yang berada antara suatu titik potong (K) dan suatu tumpuan (C2l seperti terlihat garis pengaruhnya pada gambar S. 6. 4. 3. a. berikut. Nilai momen maksimal kita dapatkan pada suatu beban merata terbatas. Sebagai garis putus pada gambar itu dapat dilihat garis pengaruh pada momen lentur pada titik potong K'. Pada penentuan garis pengaruh pada momen tumpuan Mlkita dapat mengukur 42' s/d qa' dan 46' s/d qe' pada C3 (lihat gambar 9. 6. 4. 3. f.). Pada penentuan garis pengaruh pada momen tumpuan Mil kita dapat mengukur semua ordinat 4 pada tumpuan C2 (lihat gambar9. 6.4. 3. a., b. dan g.). Kita lihat. bahwa penentuan momen maksimal kita dapatkan iikalau semua beban berada pada bagian sebelah kiri dan kanan pada tumpuan yang kita perhatikan. Bagian-hagian sesudahnya sebaiknya ditinggalkan kosong. 454
/Qsts'utkQ5
15'-n,utkl,ft
\
Z' 45:-s'utk ll7
tl zioislo'
utk l/3
knt4e-eutku'
il,S*,s
s 'S-s +x: Garis pengaruh pada momen lentur M3
Garis pengraruh pada mornen lentur lVfi
Garis pengaruh pada momen lentur M9
455
7 89t0g',g', ' ./; Garis pengaruh pada momen tumpuan
Mg
+
+
Garis pengaruh pada momen tumpuan
4.
{a 1 ! ls
Gambar 9. 6. 4. 3. a- s/d g.
M11
Garis pengaruh pada gaya lintang O3
$ {<
\ R-'
Garis pengaruh pada gaya lintang:
Pada penentuarr garis pengaruh pada gaya lintang (lihat gambar 9. 6. 4. 4. a. s/d
f
s.
mengingat, bahwa dua momen tumpuan menurut perbandingan nilainya dan tanda (+,-) mengakibatkan suatu tambahan atau kurangan pada gaya lintang atau reaksi tumpuan menurut rumus (6. 16.) dan (6. 17.) yang kemudian dapat ditulis seperti berikut:
:
oo(Ras) * ta--lm1 =
Qo
t
Perbedaan AO dapat kita tentukan secara grafis dengan mudah. Seperti terlihat misalnya pada contoh 2. gambar 6. 3. 3. f . pada gambar gaya dapat kita tentukan dengan suatu garis sejajar dengan garis penutup s yang kena titik kutub, nilai reaksi tumpuan kiri atau kanan. Pada poligon batang tarik menurut gambar 9. 6. 4. 3. a. dan b. garis penurut menjadi garis horisontal. Perbedaan antara garis horisontal dan garis sejajar pada garis penutup masing-masing kiri dan kanan pada suatu tumpuan menentukan nilai AO pada garis pengaruh pada gaya lintang, seperti terlihat pada gambar 9. 6. 4- 4" g. berikut. Karena pada bagian pertama pada balok terusan ini semua garis penutup naik ke kiri dan
kurangan-kurangan pada bidang gaya lintang yang negatif. Jarak antara dua garis ini selalu harus menjadi 1 (lihat gambar9. 6. 4. 4. b dan c.). Karena pada bagian-bagian yang kita perhatikan hanya timbul momen pada tumpuan dapat kita tentukan ordinat-ordinat untuk garis pengaruh dengan mengukur ukuran H (jaraktitik kutub pada gambar gaya) dari titik potong J ke kanan atau K ke kiri. Pada titik itu kita dapat mengukur siku-siku pada garis sumbu balok terusan sampai garis penutup rnasing-masing. Jarak titik kutub H dapat kita tentukan dengan menggambar garis sejajar dari poligon batang tarik pada bagian balok terusan yang diperhatikan oleh p 1.Q pada ujung-ujung gaya P = 1.0 itu. Jarak H sebenarnya selalu harus menjadi sama karena P : 1.0 juga selalu sama. 456
Garis pengaruh pada gaya lintang 07
-t/
Ao
kita terima tambahan-tambahan pada bidang gaya lintang yang positif
\
RS
\
.
berikut) kita sebaiknya mernperhatikan suatu balok tunggal (lihat bab 9. 2. 2.1 dan
o(RA)
s Re
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan
4
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan
C1
s RS
+
&
RS {
s,
Rl
t
+
g
R{?
ll*
s
R9
t
Re
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan C2 Gambar 9. 6. 4. 4. a. s/d f.
Gambar 9. 6. 4. 4. g.
457
I 5.
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan: Penentuan garis pengaruh pada reaksi tumpuan menjadi sebetulnya suatu garis pengaruh pada gaya lintang pada suatu titik tumpuan. Garis pengaruh pada reaksi tumpuan sebetulnya juga dapat ditentukan dengan melankaui tumpuan yang diperhatikan, dan memasang suatu gaya P = 1.0 yang membebani balok terusan pada titik tumpuan itu. Sekarang kita tentukan garis elastis pada balok terusan itu dan garis elastis ini menjadi garis pengaruh pada reaksi tumpuan itu. (Syarat dari Land. ).
I 8 I
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan,4
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan Cr
Garis pengaruh pada reaksi tumpuan C2
Gambar9.6.4.5.
a.
[*ampiran l.
1.
Rumus-rumus yang penting
1.1.1. Rumus-rumus yang penting pada bab 1. Penge tahuan dasar Nomor:
Uraian rumus:
(1.1.)
Penghubung antara tegangan yang timbul dan tegangan yang diperbolehkan Syarat Hook
20
11.2.1
Penentuan dasar suatu gaya P Penentuan dasarsuatu gaya P
22 22
Hubungan antara nilai dari ilmu ukur dan nilai dari mekanika teknik (statika) Penentuan resultante pada dua gaya Penentuan resultante pada dua gaya Syarat tangkai pengungkit Fersamaan momen pada gaya yang sejajar Penentuan resultante pada beberapa gaya yang tidak sejajar Tiga persamaan untuk membagi suatu resultante r9 atas tiga garis
22 24 25 30 30 32
kerja
33
(1. 3.)
(1.4.)
(1.5.)
6.) 7.) 8.) ) . 0. )
(1. (1. (1. (1. 9. (1
1
(1.11.) 11
Halaman:
. 12.1 Syarat persantaan momen Ritter
(1. 13.l (1. 14. ) (1. 15.) (1. 16.)
Momen dari satu gaya Momen dari kumpulan gaya Syarat-syarat keseimbangan gaya Syarat-syarat keseimbangan momen 11 . 17.1 Syarat-syarat keseimbangan gaya dan molnen
20
v 35 36
38 39 39
1.1.2. Rumus-rumus yang penting pada bab 2. llmu inersia dan ketahanan ,2.
1.1
12.2.1
{2.3.)
12.4.1
(2.
458
5.)
Ketentuan jarak titik berat pada umumnya Ketentuan jarak titik berat pada trapesium Penentuan momen lembam pada umumnya Penentuan jari-jari lembam pada umumnya Momen lembam oleh jari-jari lembam dan F
6 I 49 50 50
r Momen lembam pada sistim koordinat berpindah Momen lembam pada sistim koordinat pada titik berat Momen lembam pada segiempat pada titik berat (x, y) Momen lembam pada segiempat pada sisi-sisi (x', y') (2. 10.) Momen lembam pada segitiga (x1 Q.'11 .l Momen lembam pada trapesium pada sisi bawah (x) 12. 12.1 Momen lembam pada trapesium pada titik berat (u, v) 12. 13.1 Koordinat u dan v pada sistim koordinat terputar (u, v) terputar pada koordinat sistim lembam 12. 14.1 Momen (2. 15. ) Momen lembam pada sistim koordinat terputar (u, v) (2. 16. ) Sudut putar a pada sistim koordinat terputar 12. 17.1 Momen lembam utama /1 dan /2 (2. 18.) Syarat-syarat perseimbangan gaya luar dan gaya dalam (2. 19.) Persamaan penguluran pada potongan yang datar 12.2O.l Tegangan o pada penguluran yang datar dan Etetap Q.21 .l Persamaan penentuan gaya normal N 12.22.1 Tegangan o pada sistim koordinat bertitik tangkap pada titik (2.23.1 Tegangan o pada sistim koordinat terkonyungsi 12.24.1 Persamaan garis sumbu nol
50
) Q.7.1 (2.8.\ (2. 9. ) (2. 6.
n.l
berat
-
U.l
.l
12. N.l Tegangan utama dalam bidang ,.2. 41.1 Hubungan antara gaya tekuk dan lendutan batang tekuk .2.42.1 Penentuan pelengkungan pada batang tekuk 12.43.1 Penentuan pelengkungan pada batang tekuk a ( 1 12. M.l Penentuan gaya tekan Psryang bahaya 12.45.1 Penentuan gaya tekan PpfanQ bahaya .2. 6.1 Penentuan tegangan o17 |on$ bahaya 12.47.1 Penentuan tegangan okr pada sepenjangkanan plastis pada baja
460
37
61
6'l 61 61
62 63 63 63
64 64
.)
ST
Q.5"t.l
55 58 59 60 60
Rumus garis sumbu n
(2. 30.) Tegangan o oleh momen lenlur Mr, Mrsaja (2. 31 Tegangan o oleh momen lentur M, saja Q.32.1 Tegangan omaxpada sisi atas dan sisi bawah (2. 33.) Penentuan besaran inti k Syarat keseimbangan tegangan geser Q. (2. 35.) Syarat keseimbangan tegangan geser (2. 36.) Penentuan omaxpada segiempat sejajar (2. 37 Penentuan o -urpada prof il baja berbentuk / (2. 38.) Tegangan linear (2. 39.) Tegangan dalam bidang
(2.50.)
51
t2.52.t (2.53.)
il il
terkonYungsi
Q.
5'l
52 52 53 53
,.2.26.1 Tegangan o pada sistim koordinat terkonyungsi
Q.28.1
M.t
Q.49.1
51
Q.25.1 Koordinat xn dan yn dari garis sumbu nol dengan garis sumbu 12.27.1
t2.
51
65 67 70 71 71
72 74
n
77 82
82 82 83
u u
Penentuan ),iapada topang ganda konstruksi
baja
Penentuan t4pada topang ganda konstruksi kayu Penentuan tegangan omax pada tiang terbengkok Hubungan antata a* yang sebenarnya dan orft yang diperbolehkan pada tiang terbengkok Hubungan antara o,1 yang sebenarnya dan or1 yang diperbolehkan pada tiang yang tertekan eksentris Hubungan antara o6 yang sebenarnya dan or1 yang diperbolehkan pada tiang dengan beban lintang
Nomor:
Uraian:
(3.1.)
Reaksi tumpuan pada balok tunggal dengan satu
) )
(3.4.) (3.5.) (3.6.) (3.7.)
o2
95
)
(3.9.) (3. 10.)
(3.11.) 13.12.1
halaman:
gaya Momen maksimal pada balok tunggal dengan satu gaya Reaksi tumpuan pada balok tunggal dengan gaya pusat Momen maksimal pada balok tunggal dengan gaya pusat Reaksi tumpuan pada balok tunggal dengan beberapa gaya
103 103 104 105 105
Reaksi tumpuan pada balok tunggal dengan dua gaya Pyang simetris 107
Momen makimal pada balok tunggal. dengan dua gaya
simetris (3. 8.
92
Rumus-rumus yang penting pada bab 3. Konstruksi batang
t.1.3.
(3. 2. (3. 3.
88 90 92
P
yang
merata dengan beban merata
Fleaksi tumpuan pada balok tunggal dengan beban
Momen maksimal pada balok tunggal Momen pada titik x sembarang pada balok tunggal dengan beban
107 108 108
merata
108
Momen maksimal pada balok tunggal dengan beban merata terbatas Momen maksimal pada balok tunggal dengan beban segitiga yang
111
simetris
113
(3. 13.)
Momen maksimal pada balok tunggal dengan beban segitiga yang
(3. 14.)
114 satu hadap saja Momen maksimal pada konsole dengan satu gaya pada ujung yang
bebas
(3. (3. (3. (3. (3.
15.) 16.) 17.) 18.) 19.)
(3.20.)
Momen maksimal pada konsole dengan beban merata Momen maksimal pada konsole dengan gaya horisontal Gaya normal dan gaya lintang pada balok tunggal yang miring Tegangan amaxpada balok tunggal dengan lengkungan miring Momen maksimal yang bercita-cita pada balok rusuk Gerber Jarak engsel yang bercita-cita pada balok rusuk Gerber
120 121
122
144 152 155 156
85 461
1.1.4.
Rumus-rumus yang penting pada bab 4. Konstruksi rangka batang
(4. 1.) 14.2.t
Persamaan keseimbangan pada rangka batang
(4.3.) (4.4.) (4.5.)
Penentuan Penentuan Penentuan
!.1.5. (5.
1.)
(5.2.) (5.3.) (5.4.) {5. 5. ) (5. 6. )
(5.7.)
Penentuan
konstruksi rangka batang yang statis tertentu gaya batang tepi atas O menurut Rhter gaya batang tepi bawah U menurut Rifter gaya batang diagonal D menurut Ritter
179
179 187
187 188
Rumus-rumus yang penting pada bab 5. Alat-alat sambungan Beban yang diperkenankan satu keling atau baut terhadap tegangan geser 204
Beban yang diperkenankan satu keling atau baut terhadap tekanan dinding lobang 204 Gaya lintang A6pada topang ganda dari baja 223 Gaya pergeseran fpada topang ganda dari baja ?23 Momen M pada topang ganda dari baja 224 Tegangan normal o6 pada gigi tunggal 227 Tegangan geser r pada gigi tunggal 227
(6. 16.) (6. 17. ) (6. 18.) (6. 19. )
Balok Balok Balok Balok (6. 20. Balok (6. 21 . Balok {'6.22.1 Balok (6. 23. Balok i6.24.1 Balok (6. 25. Balok
teriepit dengan beban merata: momen maximal terjepit derorgan gaya pusat: mo{nen maximal terjepit: menentukan lendutan f ) terjepit dengan beban merata: lendutan maxirnal ) terjepit dengan gaya pusat: lendutanmaxirnal terjepit sebelah: momen jepitan kalau a = 0 ) terjepit sebelah: momen jepitair kalau a ) 0 terjepit sebelah dengan beban merata: ) momen jepitan (6. 26. ) Balok terjepit sebelah dengan beban merata: momen maximal i.6.27.1 Balok terjepit sebelah dengan beban merata: gaya lintang (6. 28. ) Balok terjepit sebelah dengan beban merata:
(6.29.) (6.30.) (6.31.) (6.32.) (6.33.) (6.34.) (6. 35.
t. 1.6.
Nomor: Uraian rumus: (6.1.) Balok terjepit: persamaan elastis (6. 2. ) Balok terjepit: momen jepitan
(6.3.) (6.4.) (6. 5. ) (6. 6. )
(6.7.)
(6.8.) (6.9.) (6. 10.) (6. 11.)
(6.12.) (6. 13. ) (6. 14.)
(6.15.) 462
2il
: oleh Mt :
Perhitungan sudut tumpuan Perhitungan sudut tumpuan oleh M2 Persamaan sudut tumpuan Balok terjepit: momen jepitan
Balokterjepit: momenjepitan a = 0 Balok Balok Balok Balok Balok Balok Balok
(6. 37.
halaman:
Balokterjepit: momenjepitan o = D
0 1
=l =
0
terjepit dengan beban merata: sudut tumpuan terjepirdengan beban merata: momen jepitan terjepit dengan gaya pusat: sudut tumpuan terjepit dengan gaya pusat: momen jepitan terjepit dengan dua gaya: sudut tumpuan terjepit dengan dua gaya: momen jepitan terjepit: menentukan momen pada titik x
)
(6.36.)
Rumus-rumus yang penting pada bab 6. Balok terusan
255 255 255
)
(6.38.) t6.39.) (6.40.) (6.41.)
$.42.t (6.43.) (6. 44. (6. 45.
)
256 256
(6.46.)
256
$.47.t
256
258
(6. (6. (6. (6.
258
(6.52.)
259 259
(6. s3.) (6. s.) (6. 55. )
257 257
2ffi
terjepit: menentukan gaya lintang terjepit: menentukan reaksi pada tumpuan
48. 49.
)
) )
s0.) 51.)
tumpuan jepitan Jarak titik potong a Jarak titik potong b reaksi pada Balok terjepit elastis: momen
Perhitungan momen jepitan dengan jarak titik potong Perhitungan momen pada titik potong J dan K Potongan K dan K' pada garis bersilang
Jaraktitikpotong adanb
dengan/tetap
Perhitungan momen pada titik potong dengan /tetap Jarak titik potong pada balok teriepit Jarak titik potong pada balok terjepit dengan / tetap Jarak titik potong pada balok tunggal Perhitungan ukuran jepitan sendiri pada jepitan elastis Perhitungan ukuran jepitan sendiri pada jepitan yang kaku Perhitungan ukuran jepitan sendiri pada engsel Perhitungan ukuran jepitan sendiri pada jepitan elastis Perhitungan ukuran jepitan sendiri pada jepitan elastis Perhitungan ukuran jepitan asing Jarak titik potong a' dan b' pada balok terjepit elastis Jarak titik potong a' dan b' pada balok terjepit Jarak titik potonq a' dan b' pada balok tunggal syarat persamaan rrga mornen (clapeyron) Penentuan angka kekakuan batang k Perhubungan antara momen distribusi dan angka kekakuan batang Penentuan koefisien induksi y Penentuan koefisien induksi y pada balok dengan /tetap Perhitungan momen jepitan pada balok terjepit sebelah Penentuan angka kekakuan batang k' pada balok terjepit sebelah
2@ 261 261 261
b2 2f,2 263 263 243
2U 2U 2M
2U 265
ffi
267 267
28 268 269 269 270 270 271
272 272 272 273 273 273
276 277 277 283 289 289 289 290 291 291 463
r56.) (6.57.) (6.
292
Penentuan koefisien induksi y pada balok terjepit sebelah
Balok terusan dengan beban merata: momen maksimal pada satu 295
bagian
(6.58.)
1.1.7. 17.
1.1
17.2.1
(7.3.) 17.
4.1
(7.5.) (7.6.) (7.7.1
(7.8.) (7.9.) (7.
r.
10.)
1.8.
) ) ) (8.4.) (8. 5. ) (8. 6)
(8.
1.
(8. 2. (8. 3.
(8. 7) (8. 8)
(8.9.) (8. 10.)
(8.11.)
Merendahkan ketinggian puncak momen pada momen yang negatif 299 ( - ) di atas tumpuan pada konstruksi beton bertulang.
Rumus-rumus yang penting pada bab 7. Konstruksi portal Momen jepitan M;ppada penurunan tumpuan pada balok
Momenjepitan Mppadatumpuanpadabalokterjepitsebelah Faktor pengikat t' pada gaya pengikat horisontal pada konstruksi
322 322
panjangnya kaki berbeda dan yang terjepit sebelah dan berengsel
menYebelah
330
Penentuan gaya pengikat horisontal rl = 0 pada konstruksi portal 333 bertingkat pada tingkatsatu : portal pada konstruksi 0 Penentuan gaya pengikat horisontal Frr 333 bertingkat pada tingkat dua 333 Penentuan momen M pada konstruksi portal bertingkat
(8.20.) (8.21.)
8.22.1 (8.23.) t8.24.t (8.25.) (8.26.) t8.27.t (8.28.) (8.29.) (8.30.) (8.31.) (8.32.) (8.33.) (8.34.) (8.35.) (8" 36.)
(8.37.) (8.38.)
Rurnus-rumus yang pentang pada bab 8. Perubahan bentuk elastis
Hasil pengintegralan pada kerja virtual: Bidang limas - bidang sembarang Bidang limas - bidang limas Bidang limas - bidang segiempat Bidang segiempat - bidang segiempat Bidang segitiga - bidang segiempat Bidang segitiga * bidang segitiga sejajar bidang segitiga tidak sejajar Bidang segitiga
-
dari Betti dari Maxwell dari Castigliano dari Mohr tentang lengkungan k dari Mohr tentang persamaan garis lengkung dari Mohr Pergeseran dan perputaran pada konstruksi batang Persamaan kerja pada konstruksi rangka batang pada prakteknya Penentuan bobot-beban W I pada konstruksi batang Bobot-beban Wopada tumpuan kiri Bobot-beban Wnpada tumpuan kanan Bobot-beban Wppada momen lembam /tetap Bobot-beban Wopada /tetap, pada tumpuan kiri Bobot-beban Wrpada /tetap, pada tumpuart kanan Bobot-beban Wppada konstruksi rangka batang Bobot-beban W p pada konstruksi rangka.batang Bobot-bieban Wppada diagonal yang naik Bobot-beban Wppada diagonal yang turun Bobot-beban Wp pada diagonal yang naik pada konstruksi rangka batang dengan tepi sejaiar Bobot-beban Wp pada diagonal yang turun pada konstruksi rangka batang dengan tepi sejajar
Syarat Syarat Syarat Syarat Syarat Syarat
352 352 353 353
353 354
3il 355
356 357 357 357
358 3s9 369 373
374
374 374 374 374 381 381
382 383 383 383
344
Persamaan keseimbangan kerja virtual Persamaan keseimbangan kerja virtual dengan giliran terbalik Kerja virtual dalam oleh gaya normal Kerja virtual dalam oleh momen lentur Kerja virtual dalam oleh perubahan suhu seragam
345 346
r. 1. 9.
u7 u7
Kerja virtual dalam oleh suhu yang berbeda pada sisi atas dan sisi u7 bawah 3A Kerja virtual dalam oleh gaya lintang Persamaan kerja pada konstruksi batang 349 Persamaan kerja yang diperpendekkan pada konstruksi batang 350 pada rangka batang konstruksi Persamaan kerja
w
Persamaan kerja yang diperpendekkan pada konstruksi
(8.15.) (8.16.) (8.17.) (8. 18.) (8. 19.)
326 yang goyah perhatikan faktor yang goyah jepitan dengan pada konstruksi Momen 326 pengikat! Perbandingan antara momen jepitan pada konstruksi portal dengan panjangnya kaki berbeda dan yang terjepit pada tumpuannya 329 Perbandingan antara momen jepitan pada konstruksi portal dengan panjangnya kaki berbeda dan yang berengsel pada tumpuannya 329 Perbandingan antara momen jepitan pada konstruksi portal dengan
batang
M
terjepit
18.12.t (8. 13.) (8. 14.)
rangka 350
(9.1.) (9.2.) ((9.3.)
Rumus-rumus yang penting pada bdb 9. Garis pengaruh 392 Reaksi tumpuan oleh kumpulan gaya P dengan garis pengaruh 392 Reaksi tumpuan oleh beban merata g dengan bidang pengaruh Luasnya bagian (+)atau bagian (-) pada bidang pengaruh pada 398 beban yang tidak langsung
(9.4.)
Luasnya bidang pengaruh seluruhnya pada beban yang tidak
(9.5.)
Gaya normal pada titik
langsung beban
tetap
398
x
pada konstruksi busur tiga ruas dengan 416 465
(9.6.) (9.7.) (9.8.)
Gaya lintang pada bebasan tetap
t.2.
titik x pada konstruksi busur tiga ruas dengan
Gaya normal pada titik
416
x
pada konstruksi busur tiga ruas dengan 420
beban tetap
Gaya lintang pada titik x pada konstruksi busur tiga ruas dengan 421
425
sejajar
(9.11.) Gaya batang vertikal pada konstruksi rangka batang dengan
tepi
sejajar
425
1.9.12.1 Gaya batang tepi pada konstruksi rangka batang dengan tepi tidak seja.jar
13.)
(9.
14.)
(9.
15.)
(9.
16.)
(9. (9.
17.) 18.)
(9.19.)
Gaya batang diagonal pada konstruksi rangka batang dengan tepi tidak sejajar Gaya batang vertikal pada konstruksi rangka batang dengan diagonal turun naik dan tepi tidak sejajar Gaya batang vertikal pada konstruksi rangka batang dengan diagonal turun naik dan tepi tidak sejajar Gaya batang vertikal pada konstruksi rangka batang dengan semua diagonal berarah sesama dan tepi tidak sejaiar Gaya batang vertikal pada konstruksi rangka batang dengan semua diagonal berarah sesama dan tepi tidak se.iaiar Gaya batang vertikal pada konstruksi rangka batang dengan semua diagonal naik atau turun dan tepi tidak seiajar Gaya batang vertikal pada konstruksi rangka batang dengan semua diagonal naik atau turun dan tepi tidat< sejajar
430 431
433 433 434 435
Persegi-empat
ESH
,ffi
*ffi ,/\
,f"\ I "//\ \ i ti
_ n:m.n F: a+b. 2
r
h'+h" : ---z --'s
L-:_rl
-
A-:--
h a+2b 3 a+b
S pada titik F"rotong garis
FJ dan Glt, F dan G men jadi titik tengah diagonal ,a,C dan BD, cian jarak Cll - AE dan DJ = BE.
Segitiga
/,{
r,{flfl
h
"= i
Trapesiurn
Segiempat sembarang
.d1\ .e
e:,
F=a2
F:a'h n : /6t-.t
436 436
F:a'b dengan sama sisi:
Jajaran
t#i:s\
466
jarak titik berat e
luasnya F
Bentuk 420
beban tetap
) Gaya batang tepi pada konstruksi rangka batang dengan tepi sejajar (9. 10.) Gaya batang diagonal pada konstruksi rangka batang dengan tepi
(9. 9.
(9.
Penentuan titik berat pada bidang yang datar
1.
I
F=,
9-:I'
:' l-:lu
h
h = b.siny
467
Bentuk
iarak titik berat e
-
Segi-banyak sama sisi
u U_--
n' R2 __qi64
p;
^u = n.r..tg I
n 3 4 5
6
1.132 1.414
R R
2r
r,176
R
1,453 r
1R
r
1t
I
0.8678R 0,7654R
9 'to
0,6840R 0,6180R
7
3,4M
0,5635R 0.51 76R
0,39028 0.3129R
0,5774s 0.7071s 0,8506s
'ls
0,9631 r
1
0,8284r 0,7279r 0.6498r
1.307 s 1,462 s 1,6',t8 s
0.5873r 0,5359r 0,3979r 0.3'r67r
1.775 s 1.932 s
.152
2r
seperempat lingkaran
r 180
-n
0,5
0,5
s
0,7071
1s?
0.6882s 0,8660s
0,8090 0.8600
s1
2,598 s'
1,038 s 1,207 s s
0,9010 0,9239 0.9397
s
0,9511
1.035r
1,703 s 1,866 s
1,O20r
2,514
2.563r
'1,012 s
0.9595 0,9659 0.9809 0,9877
1
.1
1
,'l
55r 55r
,374 1,539 1
1,O42r
s
0,4330s' 1,772
3,634 s2 4,828 sl 6,182 s? 7.694 s'] 9,366 s'
11,20 20,11 31
,57
1,299R,
5,1961
3
412
4
2,378R1
3,633r?
2.599R'
3,4&r2
5 6
2F'2
2.736R'
3,371rt
1
2.82tiqt
3,314tt
2.893R' 2,939R'
3,27612
8 q
2,974R7
3.23012
sz
3R,
s2
3,061R'
s1
3.090R1
s =30 mm R -- 0.8506 30 = 25.52 mm r - 0,6882 30 . 20.65 mm F -1.72A 30, = 1548 mm,
conloh2:
'
3,24612
10
3,1831 3.1 681
R 75 rnrn n 12 r = 0,9659 '15 = 72,44 mm s =0,5176 75 =.38,82 mm F ,3. 75'? ..16875 mnr'l
4
,2.-
z
=d2
8
e," =--r
F,
:
rz(1-
= 0,2234?
o,urcr,
it:
Sektor lingkaran
r
e' =
12-3n'
luasnya F':
b : t2 n'ao
-t = 2 360- =o'0a87266' qo' . 2'F = roo'n :0,017453 . ( o =; qo -1808t-s ) co < 900 _ - 3 le(1500 e' :# = s7,2s69
2s "3b
2
12inr
= 0.7766 r
2 sino - 3 ' arc,
12
12' s
=3.F sektor
e
=-2n
sektor
600
900
4\[2 I 8:-^-
r
Jn
:0,6002
= 0,6366 t
segmen lingkaran
rz,qo'n
-
u'd
Setengah lingkaran
= 0,5756 r
3,215t
Lingkaran
F =r2.r=Or+
= 0,4244 r
'10*.3r
' contohl;n -5
JN
4
180 n 180 n
e
e2: 3n-4 ^-r Jtr
4
€r::_l'
F=r2'n
n
2vrR'?
0.2887s
o,414r
lstn-
180
- r,: 2 R "in s - cos180 =H n =2 ctg
banyaknya sudut
s
2.563 s 2.563 s
:
S
jarak titik berat
0o :180-,,
cos
u = n'S2 o_ "rn,
:
n
R=-
2
Eentuk
360
r{b-s, +s.h
2'180 s2h th2+r'ao'n
b
:
s
= 2. r. sn
h
:
186-
2
sl
2
"- l2r
r3
' sin3 o
3
-- 0,017453r.q00
f
=
r ( 1 -cos+
zr/
l :r
uzr-nl
- vC=
1,
tso
=ts$
=
il=
Elips
er= *r:0,4244r ez
3n-4 = Jn- :
=
,lt -";o - v/ibl
0,5756 r
468 469
r
1.2.2. Penentuan momen lembam dan mornen tahanan Mornen I
Momen tahanan Ut/
Momen fid1
flt'
:
: *
J
: -
0,7854 ra 0,05
A-
d.
19t-a:y
64
e:---
4
4
lx:
12
6bllJrirlb-" 2b * br
32
: !-l b trl
h2 6b2+6b_b1+b12
!dt
64
momen tahanan t/l/
momen lembam /
0,7854 r3 0,1 d3 H4
tt
-n
D4
lt
R4
-ra
-n-hl H1
t/. ltz
Pada pipa dengan dinding yang tipis:
-
_ ha : 0.1179 I: H 12H
_H4
l:W'R
0,1'1785 hr
"- lrfr
-BI! :--!
0,1098 ra
bh2
qn!{, 2
ls
3
a
J-., : st/t : :
9,525.,
0,0549
rr
l))* o'"" "
: lss : lxy
r{ 0,0165 r{
-
0,865
5vl
0,5413 ra
r3 -J-16 : 0,54'13 rr
2,598 rz
ls
r
:
et: 0.42:44 r er :0,5756 r
0,125
0,0075
lxy : l5s s
0,125
.l:a.:-
+ g}1
et ez
: :
w
:
w:
Bll3-bh3 -;.H
B-[ -t ! !1 6H
Be,3-bh3+ae23 e1
3
1 2
aH2*bd2 aH+bd
' ez: H -et
rr
l))- o,'' "
j1
12
a:rvi
16
F
I
:
ll t 2- t'
17
Wt - 0,2587 rr w2 : 0,1908 r! et :0,4244 r ez :0,5756 r
h".
H
e:
w:T- q.[,.(+)']
n,
-h4
5H
-d1
D
4
_Ii 17
3b+2br h 3b+2bl 3 2b+bl
W:
:
0,2234 r 0,7766
r
11
Q,@{'( ;a
1+2]/2 ___-_ r. 6
: :
L
0,6906 rr
0,5381 r'.
: :
0,8758 er 0,0547 a{
e
0,8758 c: 0,1095 a3
:0,974 r
4
-
Lb
b^,
0,7854 b a:
4
:
",
0,7854 b a,
471
'-1e2
1.2.3. Tabel nilai-nilai pada bahan baja profilmasing-masing 1. 2. 3. 1. Tabelnilai-nilaiprofilbaja I NP Sx
-_-
:
mom€n statis pada separuh luasnya profil
= {i jarak titik berat pada bagian ta!'ik dan tekan momen lembam ., -- l, -ux ^, momen statis pada sayap Jx S,.
1
a
It :
momentembam
: +[2b.
tr + (h - 2t]s3l
torsi menurut rumus A. F6ppl
Bentuk
ukuran-ukuran h
41lt
lo lmm
t
r2
mm
mm
35 40 42
3,75 3,9
qg
7,3
100 170
50
4,5
5,8
)1
58
5,1
11+O
66
8,6
3,4
74 87 90
6,3 6,9
20
160 180 200
2t
770
9B
8,1
12,2
24
2A
740 750 260 280
30 32 34 36
300 320 340 360
125
143
13
3B
a0
380 400
4211t
42'5
14,4 15,3
6
60 80
t0
I
12 14
l5 t8
25
76
qq 10,4
4,1
11 ,3
4,5 4,9
106
8,7
13,1
9
13,6
113 119
14,1
10,8 '1 1,5
45
454
149 155 163 170
tt?1lt
4t5
118
50 55 60
500 550 600
185
472
7,1
1'10
131 137
200 215
cm2 4,7 5,9 7,58 10,6 14,2 '18,3
3,7 4,6 5,95
't7,9 21,9 26,3
46,1
31,1
1tt,1
36,7 39,0 41,9
15,2
6,1
61,1
48,O
16,2 17,3 18,3 19,5
6,5 6,9 ??
69,1
54,2
77,8 86,8
61,1 68,1
7,8
97,1
76,2
20,5 71,6
8,2 8,6
107 1't8
132
24,3
9,7
17,1 1B '19
25,6 27,0 30 32,4
10,3 10,8 41 0 13
81r,0
92,6 104
147
180 713 754
34,1
77,8
8,32 11,7 14,4
72,8 77,9 33,5 39,5
q?Z
15,3
141 167 199
328 573
iy
cmalcmll.-
cm4
49,7
23
garis sumbu y-y
ry I wy'l
lx
5,4 5,6
16,)
21,6
garis sumbu x-x
berat
6,8 11,4 19,5
'1,8
34,2 54,7 81,9
4,O1
12,2
4i81
I t,)
5,61
35,2 54,7 o. )
935
117
1 450
161
2 140 3 060
214
4 750 4 970
354
5740 7 590
442
9 800 12 510 15 700 19 610
653 923 1090
24 79 35 45
278
397
3,6 5,9 6,29
7,4 3,20
6,40 7,20 8,00 8,80
117
162
2,0 3,0 3,00
0,87 0,96
4,88
4,73 6,79 11,4
3,67 5,02 6,84
1,07 't,23
19,9
o
10,7
't,40
47,7
12,0
14,8 19,8 26,0 JJ, I
1,55 'l,v1 1,87
q?1
68,0
13,7 15,5 17,7 18,9
2,20 2,27 2,37 2.45
98,4 114
7,56 2,67 2,80 2.90
7,41
9,59 10,0 10,4 't1,1
221 288 364
41,7 46,5 51,0 61,7
11,9 12,7 13,5
451
72,2
756
lobang
Sxls*ls', cm3 l.-1.-
0.91
ana
'10,3
125
162 706 231 ?57 316
20,6 21,5
17,4 14,6
4,66
16,8 19,1 21.1
7,08 10,3 14,6
23.4
20,1
16,t
2:t,o 31,3
27 76 30 34 38
44 46 57 56
11
14 14 17 17
I
78 4'l 59
0,210 0,2s7 0,304
5
75 92 109
0,370 o,439 0,502
125
0,575
142
0,640
l6 l8
159 175
0,709 o,775
20 22
o,877 0,906
715
0,966
23 26 28
20
241
1,03
30
2A
257 274
'1,09
t2
290
1,21
36
1,27 1,33 't,41
38 40 4211t
1,48
1.5
1,55 1,63 1,80 't,92
50 55 50
457
27,4
540 638
29,1
32,4 34,6 36,9
-?0,7
39,1
61,2 78,2 97,5 173
64 70 74 74
41,4 43,6 46,5
150 183 233 288
80 84 86 92
26 26
305 373 343 363
354 449 618 875
96 100 110 120
16 76 26 26
444 485
74',1
3?,4 34,1
970 850
203
3,30 3,43
857 1020 1 200
56 480 68 740 99 180 1 39 000
2380 2750 361 0 4630
18,6 19,6 ?1,6 23,4
2090 2090 7480 2480
235 768 349 434
3,50 3,72 4,07 4.30
1m 1670
2120 2730
36,2
49,1
40,4 42,4 46,8 50,9
52,1
54,6 60,0 66,5
u
o,844
1E 7
3,1 3
!0
l2 l4
200 208
481
3,02
I
19?.
58
149 176
4112
17 17 20 20
62
't31
4674
1,72
mzlm
36,1
975 60 1440 r 730
.490
'10,2
mm
47,8
15,0 15,7 16,7 17,7
r1
0,488 0,552 0,928
U
30,1
1160 1460 1740 7040
010
3,94 5,68 6,93
bentuk h1
27,8
't4,2
210
cm4
w ldrmax mmlmm
14,U
s55 674 818
782
l1
20 23 1? 23
384 404
't,15
?t
47112
473
1.2.3.2. Tabel nilai-nilai profil baia U NP Sx
= momen statis pada separuh luasnya profil I
S, : * jarak titik berat pada Jx
)^= E:
bagian tarik dan tekan
tekan momen lembam momen statis pada sayaP
:
[2b.t3 + (h-2t)
It =
momen lembam
6:
torsi menurut rumus A. FoPPI jarak yang menentukan lr2 = lv2
+
: 2l'
s3]
pada dua prosil
baia U NP
Bentuk
'.l'l
E
-
8
t0 12
5
i
'. T-.; rot lool 120 I 55
l4oleol tt '160 I es rol lsol 200 7s
l4 16
I
t8 20 27
I rol 240 I ,, 2601 901 I
220
24 76
I
2Boj gsl 3oo I roo
B 30 12 35 38 40
T-
t
320 350
100 100
381
102
400
1'10
I
mm
mm
ev]r,
F
cm2
o"'I
6
8
6 7 7
8,5 9 10
7q
10,5
8
11 11 ,5
8,5 9 9,5 10 10 10 14 14 13,3 14
4 4,5 4,5 5
5,5 5,5
,0 13,5 17,0 20,4
11
24,O
17,5
6.5
28,0 32,2 37,4
13 14 15 16
6,5
47,3
7
48,3
8
s8.8
17,5 16 '16
18
6
8,75 o
11,2 9
75,8 77,3 79,7 91,5
a,s+
la
::l :l-
| t,+s
I
106
10,511,ss1206 13,4 1 1,60 364 ta.o : t;ts I 605 92s 18,8 I 1,84 | zz.o 't t,gz J I :so 1910 25,3 2,0',1 29,4 2,14 | 2690 37,2 2,73 | 3600 37,9 2,35 i 4870 41.8 \ 2.53 I 6280 46,2 z,to | 8o3o s9,5 I 2,50 I 10 870 60,6 2,40 | 17840 ez,o i z,ts I rsz:o zr,alz,eslzotso
I - --:11t''i1::n'"'*r1*n11"":11"1-l--l l-l :-i ;TT EJff l- l: I
-1
fw t05. tg5.
mmmm]
rl
cm3
ty cm4
*r]iy cm3 i
26,5
3,10
19,4
41,2
3,91
29,1
60,7 86,4
4,62 5,45
43,2
11 ,1
62.,7
14,8
813
16,3
'115
6,2',1
150 191
114
245
6,95 1,70 8,48
197
300
9,22
248
37'.i.
9.,99
317 399 495
148
448 s35
10,9 11,7
679 734
12,1
826
14,1
597 570 613
1 020
14,9
846
1?,9
6,36 8,49
2?-,4
s'x
cm
.*r | .-
cm
cm4
1,33 1"47 1 ,59 41<
15,9 24,5 36,3 51,4
6,65 8,42 10,0 11,8
7,41 9,61 '12,0
2,74
't,89 v,o?
r'r8,8
13,3
dl,6
r3,r
16,4 18,8 21,3 23,5
9,98 12,6 17,0
75,9 28,2 30,2 32,3
20,8 23,7 33,2 40,6
35,4 40,2 45,9 46,9
69,2 63,2
11.',l
33,6
7,14 2,30
39,6 47,7 57,7 67,8
7,42 2,56 2,74 2,90
179 221
80,6 75,0
2,81
413 459 505 618
2'1,0
78,4 102
235. 90 300. 7s 300. 78
474
105
65
145
bU
235 300 300
90 78
8
2,77 7,78 3,04
I
10 10 10
I
12 10 13
5 5 5,5
42,4 42,8 47,6
266 316
16,8 18,5 24,1
21,8 23.6 75,4 7'6,3 ?.8,6
3't,1 32,9
14,1
l1
i +ar+
" lxfifx ll-ll wrdlin, I '
^'
I lobano,
I
l_-La_]+l
t,Y6 4,30 6,02 7,81
67,1
85.2
zB
U
mA:
1.. l-.i.,,:"J ttL I - I,zslt+
mm
m2/m
+o
o,312 o,377 0,434
t0
a,489
t4
42l',to4 130114 64 s51120i30117 s2 70 I 14A I 3s I 17 I 98 8211s6135120111s 96t174'401201133 io8 I rqo +o I z: I rsr 'tLz I 208 I 45 I 23 167 134 i 724 I 45 I 26 )184 146121+olsol26i200 160 I 262 I 50 26 I 716 174 I 282 | ss ) ?6 1232 182 I 286 5s I 26 I 246 204 | 300 I ss I 26 1282 230 I 324 I s5 | 26 1312 240 I 346 I 60 I 26 1324
Profil baja dengan ukuran khusus
8 12
o,546
16
0,6't1 0,661
zo
0,718
22
o.775
24 26 28 30
0,834 0,890 0,950 0,982 1,05 1,11
1,18
bangunan
i8
t2 35 38 40
I tt
I ": f \i,
Profil baja dengan ukuran khusus bangunan
--l -'-
4,07 5.43
8
xliEx
s*1,,
Profil baja dengan ukuran knusus kereta api
65 60
t
gans sumbu y-y
garis sumbu x-x
berat
ukuran-ukuran
9,00 10,7 11,1
61,2 53,it
272 145 209
't3,2 11,9 40,5 24,2 34,7
l--l-'- 4,18 ,,,ur]rr,.'r,rol,o,o 8,80 | 10,4 Iio,',,
-- 1 -- r---t36 i ',,2 I ,, | 36 t.
I 49,2 1i,9 I 15,8 4,76 68 't?.8 ' 2,s3 i 17s ,1e,2 12s,8 t1e,s eB ] raa I 1,84 i204 1241 40,6 116,1 182 t 242 z,'to t, zlt 24,7 :e,r I z:,0 raz ] zs4
1,6s
ilirr:r
35 i
-r----
I ,o ,0, 1o,o:. 17 | 111 |
so I ze I ro: A 23 I 257 40 ' 23 j z+s i
105. 65
0,494
t45.
o,zas
235.
0,857
300.
o,esa
300. 78
60
r5 '0
475
T 1.2.
3.3. Tabel nilai-nilai profil baja
L
lxy - momen sentrifugal
It :
momen lembam
:
-0
J9
12u-.1
,'
!
torsi menurut rumus A. F6PPel
-11 12 =, jarak garis sumbu
Bentuk
L
1. a.
s
mm
15.3 t5.'4
3,5
20. 20' 3
I
5
30.
t0.
3
4 5
35.35.{ 6
10. 40.
{ 5 a
0,48
1,05
0.51
0,60 o,64
1,12 1,45
4
25.25.3
0,82
3,5
1,42 1,85 2,26
1,12 1,45 1,77
0,73 0,76 0,80
1,74 2,27 2.75
't,36 1,78 2,18
0,84 0,89 0,92
ajo
1,00 1,08
2,67 3,87 3,08 3,79 4,48
3,04
2,42 2,97 3,52
0,67 0,73 1
,41
1,77
2,47
l1
wx
lX
t(
cm4
cm3
cm
0,t5
0,15 0,19
o,43 o,42
0,19 0,39 0.48
0,28 0,35
0,59 0,58
1,03 1,08
o.79
1,'13
1,1I
u,45 0,58 0,69
0,75 o,74 o,77
1,18 1.24 1.30
1,41
0,65 0,86 1,O4
0,90 0,89 0,88
1,42 1,53
7,96 4,14
1,18
1,05
't,71
1,O4
0,85
0,90
1,O1
1,8'l 2.16
4.48 5,43 6,33
't,56
1,97
7,43 't0,4
2,43
1,98
't1,o
1,51
2,2',1
14,6 17,9
3,05 3,6'l 4,15 5,20
1.56 1,64 1,72
2,71
17,3
4.&
1,66
2,32
22,1
'1,64
2.,43
25,3
5.72 6,97
1,69 1.77 1,85
2,39 2,50 2,62
22,8
1,85 1,93
2,62 2,73 2,83
1,12 1,16
2,83
1,58 1,64
't,70
'1,20
bentuk
garis sumbu x-xdany-y
,
4,30
1o,50.5
4,80
3,Tt
6
,
)
5,69 6,56 8.24
4,47 5,15 6,47
53'tt.6
6,31
4,95 6,46
8
t0 40. 60. a
t
t0
63.6t''
,
1o.70
fi -, ) tl
13.,5-'
t
t0
l2
3,38
5,86
4,60
8,23 10,1
7,90
6,91
5,42
9,03
7,@
1',t,1
8,70 11,0 13,2 9,40 11,9 14,3
10,r
ll,5 14.1
15.7
8,69 6,83 8,62 10,3
't,28 1,36
3,18
1,40 1,45 1,49 1,56
3,54
2,@
1,8',1
7,O4 7,1',|
7,38 9,34 11,2
1,97 2,05 2,11
2,79 2,90
7,94
2.@
9.03
2,13
2,95 3,Ol 3,12 3,24
11,1 11,1
2.2'l 2,79
3,0'1
,t2,8
hl
tfl
cm4
cm
cm4
cm
115 139 161
29,6 35,9 43,0
181
3,06 3,03 3,00 2,96
1,55 1,54 1,53 1,54
184
3,45
47,8
218
3,4',1
57,1
1,75
68,2 80,9
250
3,39
55,9
1,7 4
92,1
280
3,82 3,80 3,77
328
372
3,31
34,9
8,4',1
33,4
7,18
4',1,3
9,W
66,4
,95
86,7 98,3
1,95 1,94
98,6 116 133
2.,16
140
10,7 16,8
12
14
23 ?3 26
0"351
t0. 90. I ii
23 23 76
0,390
100. t00. t0
0,430
t3
'14
701
10,1
16,5
186
7,34
23 26 26
0,469
232 264
5,00 4,97 4,94
194 223 751
2,54 2,51
278
14,1
0,508
2,t2
354
31,0
23 26 76
5,38 5,36 5,33
262
2,74 2,73 2,72
376 475
19,4 79,5
76
o,547
1150 1 280 1340 510 1670
5,77 5,74 5,70
347 438
750 950 2140
6,15 5,13 6,10
453 506 558
705
4,62 4qq 4,56
750 857 959 10',10
2,15 2,14
'10,8
1,35 1,33
1,50 1,49 1,47
298 334
25,1
11
1
rr0. tt0.
)3
10 17 14
76
t20. t20' t! t3 t5
t30. t30.
12
l4 !6 t&0. tgo. t3
42,6
1,82 1,80 1,78 1.96 1,94 1.91
1
1
1
2690
2,C8
3260
6,96 6,93 6,90
7',1,4
9,67 11,0 13,5
82,4
'15,8
1,78 2,76 2,25 2.72
3740 50 4540
7,78 7,75 7,7?
)970
41
391
558
498
25,9 38,4
617
54,3
3,14
648
34,0
3,13 211
722
49,1
791
68,1
2,94 2,93 I q?
t6 t8 4,625
l9
46,5 65.8 89,8 400
51 ,9
o.185
550
73,5 100
3,50 3,49 3,49
943 050 11 60
3,91
1
3,90 3.89
1 1
690
t60. t60. t5 11
0,705
619 757 830
1
0,586
180. t80. t6 18
20 200 . 200. 't6
t8 20
477 476
72
1,62
2,'t2 2,10
8,43
162
8
l0
2.35
541
4,',l8
140 164
80. 80.
20 23 23 23
23
4,21
12,7
58,9
59,0
2,57 4,95 8,44 13,2
6,93 11,9 18,7
4,73
'1o,6
5?.,4
'l
42,7 ,6
51
186
379 444 s05
2,2e
79,1
42.4 52,6 61,8
48,6
a.a'5
1,91
5,29 6,88
48,8
L
rl:71 i€
675
45.15.5
t -e
garis sumbu x-x dan Y-Y
Bentuk I
a. a.
lxlWt
S
cm
mm
8tt" 80.
crh 2.42
102 115
12,6 15,5 18,2 20,8
116
18,0
2,74
138 158
21.6
7,72
25,1
2,69
171 241 23s
24,7 29,2 33.s
3,M
30,1 41,O
3,36 3,34 3.32
72.3 87.5
3,20
15,1
9,66 11,9
2,26 2,34
l2 t4
17,9
14,1
2,41
20,6
'16,1
2,49
,0. ,0. , il
12,7 14,7 17,1
2,54 2,62 2,74
3,59 3,70
t3
15,5 18.7 71,8
t00. 100. l0
'19,2
15,1
2,82
l2
22,7
lt1
26,2
17,8 20,6
2,90 2,98
3,99 4,10
fio- lr0.l0
21,2
16,6
4,34
75,1 29,O
'19,7
3,07 3,15
/+,45
239 280
22,8
3,21
4,54
3'19
25,4 29,7 33,9
19,9 23,3 26,6
3,36 3,44
341
3,5'.1
4.75 4,86 4,96
30,0 34,7 39,3
73,6 27,2 30,9
3,64 3,72 3,80
5,15 5,76 5,37
4"12
35,0 40,0 45,0
27,5 31,4 3s,3
3,92.
40,3 45,7 51,0
31,6 35,9
4.21
4,29 4,36
36,7
0
12,3
t0
l7 l4
t20. r20-
li
l3
t5 t30. 130.
12
lt
t6
3,31 3,41 3,51
3,81
4,21
ix
.-'
cm{ I
394 446
54 605
rf
35,7
2,41
7,39 2,36
e
cm4
t6 t8
q,1
4,00 4,08 10,6
15
46,1
l7
s13
q,7
57,5
45,1
43,5 48,6 s3,7
5,02 5,10 5,18
12,7
70
55,4 61,9 68,4
la
61,8
48,5 54,3 59,9
5,52 5,50 5,68
14,1
l,
rto. lEo. 16
!8
200. 200 -
39,5 46,0 52,5
3,66 3,64 3,63
50.4 58,2 55,8
3.97 3,94 3,92
63,3 72.3 91,2
4,27 4,75 4,23
5,95
78,7
6,17
845 949 1050
88,7 99,3
4,58 4,56 4,54
6,35 6,46 5,58
1100 1 230 1 350
95,5 108 118
4,88 4,86 4.84
7,11
1
680 1870
130
5,51
5,49
7040
145 164 162 181
6,15 6,13
t0
fr 478
69,1
76,4
199
6.1',|
7,80 7,92 8,04
7340 2600 2850
1,,
cm4 I ..
cm
a.a.s
mmlmmlmm
66.4
2,51 4,95 8.44 13,7
68,2
4.',t1
80,9
7,47
,55
47,1
1,54 1,53 1,54
51 ,6
mm
3.45
47,8
218 250
3,41
57,1
3,3e
55,9
280 328
3,82 3,80 3.77
7?'l
104
86,2 98,3
121 137
10,7 15,8
)3
379 444 505
4,?.3
6,93 11,9 18,1
23
59,0
1,16 1,75 1,74
92,1
12.1
6,21
80.80.8
20
184
48,6
1
t0
23 23 13
'14 0,351
98,6 I tb
7,16
140
4,71
4,18
'133
2,14
186
23
0,390
2,
201
10,1
162
134
232
1
6,5
185
2,34
260
25,1
76 26
750 857 959
s,00 4,97 4,94
194
2,54 2,53
278
14,1
010 50 1 280 11
762
5,38 5,36 5,33
298
334
2,11
)ai
19,4 )qq
25,9 38,4
612
54,3
3,14 3,13
648
34,O
3,12
791
68,1
3,50 3,49
000
1+6,5
1110
830
3,49
1210
65,8 89,8
943 050 1 160
3,91
1
400
51 ,9
3,90
1
550
73,5
3.89
1
690
5,77
341
5,74 5,70
391
438
750 950 2140
6,15 5,13 6.10
506 558
2690 7970 3260
6,96 6,93 5,90
3740 4150 4540
7,78 7,75 7.72
453
679
2,93 2,93
tt0.tt0.t0 17
ll.
23 26 26
o.469
0,508
o,541
t5 17
0,586
t50.t50.t4
t6 t8
t6 I
0,625
t60.160.15 17
49,1
1
5,4'l 1
0,430
42,6 498 558
1340 1510 1670
1
33,0
316 475
l2
26
140
-154
r00.100.t0
)3
4,62 4,59 4,56
317
9
It
1q
625 70s
l5
l7
i3
)6
2l
541
90. t0.
73
3,00
638 723 805
7,22 7,33
wllwrldr
181
161
1
t60. t50.
4,49 4,57 4,65
tn -rl 79,6 35,9 43,0
3,4;i"
5,54 5,66 5,77
6,O7
L
1l
3,06 3,03 3,00 2,96
115 139
1
t40-l{0.ll t5 l, . ll lso t50.
bentuk
-t if
t9 0,705
t80. t80. t6 t8 20
0.78 5
200. 200. t6 IE 20
100
4t9
U
1.2.3.4. Tabel momen lembam I dari bagian badan dari profil baja
1.2.3.5. Tabel nilai-nilai pipa air ,t
I
i Momen lembam / pada badan dengan tebalnya dalam tabel berikut dapat kita menggunakan nilai saja, yang dikalikan seperlunya.
f tidak ada t = 10 mm
1
E
o !
o G
: f
txh mm 50 60 70
/, (cma) dengan t (mm): 8
8,&t 14,4 22,5
10
10,4 18,0 28,6
15
12,5 21,6 34,3 51,2 72,9
15,6 27,0 42,9 64,0 125 166
144
100 133 173
80 90
34,1
42,7,
48,6
60,8
100
66,7 88,7 115
8it,3
110 120
12
111
h mm 500 550 600 650 700
9'1,1
130
147
1
Stit
220
216 275
140
1&t
229
274
343
750 800 850 900 950
/,
(cma) dengan
8
83&!
10/.17 13865 18000
11092
14400 18i,08
22885
22ffi7
28s8tit
28125
35r56
34r38
42667 tr1177
40942 48600 57158
60750 71448
225
457
572
200
533 617 710
667
210
273 328 389
281 341
&t8
409 486
491
772
24A
922
887 1014 1152
2fi
1042 1172 1312 146it 1626
1302 1 465 1640 1829 2032
1800
2250
1986
24A3 2731 2995 3275
220 230
811
422 512 614 729 857
410 583 686 800 926 1065
1000 1158
1217
1331 1521
1382
1728
563 1758 1968 2't 95 2439
1
2700 2979 3277 3594 3930
3375 3724 4096 4492 4913
428€
5359 5832
1000 1050 11 00 1 150 1200
06067 77175 8873ii 't 01392 1 I 5200
r250 1300 1350 1400 1450
130208 146467 164025 182933 203242
500 1550 1600 1650 1 700
225000 248258 273066 299475 327534
281250 310323 341333 374344
I 750
357292 388800 422108 457266 494325
44061
1
260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380
390 400 425 450 475
2185 2396 2620 2858 3110 3377 3658 3955 4267
5118 6075 7145
3573 3888 4221
4573 4943 5333 6397 7594 8931
954 2197 2460 2744 3048
1
10.2 13,6
6,2 8,9 17,4
2 2,35 2,35 2,65 2,65
0,410 0,654 0,858 1,43 1,59 2,46 3,17 3,65 5,17 6,63 8,64 12,4 't6,7 19,8
inch
tlt
15625
20797 27000
u328
tls' lz'
,ll
1tL'
42875
11lt'
5273/
21lz'
64000 76766
17,1
v,4
21,6
33,8 42,4 48.4 60,2
27,2 36,0 41,8
76,O
68,6
3,25 3.25 3.25 3.65 3,65
88.8
80,6 105 130 156
4,05 4,50 4,85 4,85
4666 5065 5487 5932 6400 7677 9113 10717
632 6859 7415 8000 9596 1
1391
13396
1800 1850 1900 1950
244141
219700 246038 274400 304863
274625 307547 343000 42',1875
mm I
465484
614125
7 II
869922 729000
8 9
5615'.16
0,888
1423828
101391 7
1520875
490
2W0
81 1 133 8651 92
921600 980408
1
olr
F
dm3/m
0,407 0,650 0,8s2 1,22 1,58
0,515
0,302
0.0302
0,831
o,622
o,0622
1,@ 1,56
'1,21
2,O2
3,66
o,121 0,204 0,366
2,44 3,14
3.1',1
4,00
'1o,2
3,61
4,&
13,8
5,10
6,49 8,29
27,O
6,51
10,8 15,5 20,s 24.4
8,47 12,',|
't6,2 19,2
2,M 5,83
37,0
0,583 1,02 1,38 2,20 3,70
51,1
5,'11
86,7 133 190
8,67 13,3 19,0
nilai-nilai sta trs
wl,
I
.-, I
6275 | cm.
o"o:zol o.o
o,uttl
I
o.'nt
cm
.;l .; o.zozl
o.qoo
o.os:rl o.ro+l o.:ssl o.sze o.oezzl o,zool o.esal o.eeg o,os4sl i,so I r,rz I o.aoz ttt
o.roel r.eol z.rzlr.oe o:ttz I t.tt, | :,es I r.rs
I I
o.rszlrr.a ojag lzai o,z:r s+,: I o,ztglso,s o,:sglz:: 0,43e 467 0,s1e i785
a.ezlr.oo s.eo
I
z.or
lt+,2 | z,se lzr,e l:.oo l+o,a lr,ee i se,r I o,tt es.2 |
|
s,67
,@
:__
i-l
_l
'
1_-.__
| r _l :_ l
l_tl
0,78s,
0,e82
1,57 2,26 3,08
1,71 2.54 3,46
l
1,964 2,827 3,848
I
4,02 5,09 6,28 6,79 9,24
7,92
9,05
I
4,52 5,73
5,O21
6,362 7,8s4
7,O7
4,02
ilo.l
'10,8
8,04
'12,3
1
10,1 3.9
1
12,"1
14,1
16,',|
18,1
20.11
t8
2,00 2,47 2,98
20,4
22,0 26,6
25,1
27,9 28,3 14,2
25,45 31,42
119.0
15,3 18,8 22,8
.17,8
7,60 11',1,4 115,2
38.01
17,1
31,7 37.2
35,2
43,1
49,!
44,7 47,8 55,4
45,24 53,09 61,58
63,6 72,4 81,7
70,69 80,42 90,79
N
t
x u B
1622234
1382400
I 728000
30
1225510 1302083
't470613
1
8it8266 r953125
t2 g
*
38
480
> o-lj:.o
1,58
1297784
1562500
o o
G
t6
ll
152000
I 081
co
r,r: i r,+r 1,s4 | 1,e2 r,o, l r.r., z,sl I :.ra t,st i z,to I t:rt 3,e3 ,,r, l r,r, lo,r, lr.r, :,ooln,ez{r,rslz,zo
0.302
l2
39062 1216700
.a laq
G C
cm2
o.r, i o,rr, | o,s6s o.a+a o,nol1.1s )I i,or l r,r.r l 'r,zt I t,gt I
0,222
857375 926859
r57625
o
luasnya dalam cm2 total
o,rsl
to
1242297 1331000
-o
cm2
kg/m
791453
1 1
r
1I
0,395 o.499 o,617
949219
795375
s6 I
512000
8873i13
2230
717921
771750 8281 98
.g .o
G
Banyaknya besi beton
dlc
1000000 1076890
6 ls, e l:s € 8lE E
c
o
o.
'd.
1.2.3.6. Tabel besi beton
38t078
800000 861 51 3 926100 993838 1064800
533331 574342 61 7400 662558 709867
1041667
195313
1830&t
666667
2000 2050 2100 2150 2200
2350 2400 2450 2500
162760
535938 583200 633163 685900 741482
53,O
12s000 114704
216000
5 486000 527635 571583 617906
16,1
46,9
114 1@
125
101172
00000 1 576:l
40941 7
o
kg/m
16538
337500 372388 409600 449212 491 300
o
-o
mm
172800
254052
E
o)
mm
166375 190109
22ffi67
G
o)
o 93 C: 69 Po o6' -oE -Oo
mm
133100 152088
205031
.9.
o
o
er) ke/m
1001 7
126740 144000
c
.9.
J- -o gE
g2)
1
1
o)
c
=
s
83i|33 96469
1
o
c
E
f
dii)
165 150 160 170 180 190
T G o)
o
o'o
c
ar)
12500
91
o)
o
sc',
CD
1D
t
12188 51200 61413 72900 8s738
G G
=)
15
21600 27463 34300
a f !
th3
t(mm):
l2
10
c
E
i
0
1,71
6,03
I
,., 1r,., 1,0,, lrr., 6,28 19.42 l't2.6 t1s.7
118,1 122,6 'to,6 1113,6 15,9 171,7 1 26,5 12,3 118,s 124,6 l:O,s 14,1 12',t,2 128,3 135,3 16,1 i74.1 132,2 14o,2 18,2 :l17,2 136,3 l+S,q |,r,o | I I 22.7 I 34,0 | ts,e I| ss.z 12s.1 137.7 1s0.3 67,a 9,O5
3,55 4,17 4,83 5,55 6,3'l 7.13 7,99 8,90 9,86
|
10,2 11,3 12,6
,,r *., L.,
31,9 36,9
i I
I
30,4
41,5
4L,4
49,5
48,3
56,3
64,3
54,5
63,6
72,6
6',1,'l
71,3 79,4 88.0
68,0 75.4
56,5
81,4 90,7 101
91,6
11,31
5,39
101,8
102
1',13,4
113
125,7
1.2.3.8. Tabel nilai-nilai profil kanal
C berkembar
-+- I
I
garis sumbu Y-Y
u kuran-ukuran
hb mm mm l00x50x20
c
s
mm
mm
125x50x20
l, IW, li,
cm4l cm3 I cm
2.3 3.2
5.17i 4.06 1.86 80.7 16.1 3.95 19.01 6.06 | 1.92 7.01 I 5.50 1.86 107 21.3 3.90 24.51 7.81 | 1.87
4.0 4.5
8.551 6.71 9.4t1 7.43
1.86 1.86
2.3 3.2 4.0
5.75 4.51 7.81 6.13 9.55 7.50 a.32
1_69
4.5
125 x
50
6.321 rq6 8.61 | 6.76 11.71 9.2A
3.2 4.
4.0
150x75x20 1&x75x26
3.2 4.0
I
| 7.01
i
I
217 238
l
|
sl
1.il
I
5.50 2.121 't.51 2.11
i
9.571
l rr al
9.22
2.11
lrozl
8.01
2.51
lrz.ol
9.85 2.51 11.0 2.50
4.5
I
3.2 4.0
l,nul
ra.o
6.33 l 1.86 8.19 1.81
J 55I
I
I
3.2
1.68
6.22 1.89 21.9 4.88 8.02 1.85 29.0 4.U 34.7 4.77 33.1 9.38 1.81 38.0 4.74 33.5 10.0 1.78
181
1.81
4.9s 11.s5 1379 21.9 4.88 20.6 6.22 1.89 6.76 I 1.54 181 29.0 4.82 26.6 8.02 1.85 9.55 7.s0 | 1.86 217 34.7 4.71 33.1 9.38 1.81 10.0 1.78 38.0 4.74 33 10.6 8.32 I 1.86
2.J
65
1.ffi|
137
3o.el 9.82 |
8.61
4.5
150 x
I I
25.4 3.85 27.7 3.82
hbc mm mm
s
mm
mm
I
lrs.ol
4.5
Ir+al
3.2
I rr.el
4.0 4.5
I ro.z
8.27 2.66 10.2 2.65 11 .3 2.85
10.5
1
1.75
9.37 2.42 12.2 2.37 '14.5 2.32
20
2.3 3.2
10.34 't4.01
8.12 11.0
214
2.3 3.2
11.rNl
9.02
274
15.60
12.3
garis sumbu y-y
ty I wri
i
17.8 2.76 21.3 2.72 23"3 2.69
zfix75x25
4.5
l,o,
23.8 2.62
I I
l,utl
14.9
150x130x 200x150x
20 20
140
28.0
3.90
187
37.4
43.8 58.0
4.88 4.82
167
255
33.4 45.0
3.81
362
66.1
351
il.0
476
73.2
5.00 4.99
834
1',t1
5.94
2.3 3.2
19.14
11.0 15.0
496 6An
88.6
5.94 5.89
3.2
23.62
18.5
1432
1zl3
7.79
14.O2
3.68 3.65 3.38
2.82 tl.J 20.6 2.78 22"5 2.75
3.2 | ,,,1 9.52 12.33 4.0 lrs.ol 11 .1 lz.sz 4.5 I ro.z I i3.1 lz.zz
12.7
20
3.95
19.8 2.66
2@x75x25
I
125x100x
32.2 42.8
161
15.3 2.74 1A.2 2.69
z.rs
lra.sl
L
9.27 12.19 11 .4 lz rg
100x100x
| I
15.8 2.61 18.9 2.62 20.6 i.m
200x75x20
garis sumbu x-x
Ukuran-ukuran
6.32
2.3 3.2 4.0
50 x20
1.68
i
28.71 9.131 1.83
121 135
483
482
I Ukuran-ukuran
hbc mm mm
100x100x 125x100x
garis sumbu y-y
mm 20 20
mm
2.3
10.34
8.12
16't
2.,
32.2
3.94
73.8
14.01
1'1.0
214
42.8
3.91
97.5
2.3 3.2
11.49 15.60 't4.02
9.02
274
43.8
74.1
12.3
362
58.0
4.88 4.82
x
20
2.3 3.2
200x150x
20
3.2
130
lv IW, I
S
19.14 23.62
11.0 15.0 18.5
14.8 19.4
2.67
14.9 19.4
2.55
2.U
2.fi
't45
22.3
88.6
5.95 5.89
193
29.7
3.22 3.18
144
7.81
297
39.6
3.54
496
66.1
6& 1442
97.2
i
4.2.4. Tabel nilai-nilai balok kayu segi empat Momen
I
'Y
lsa
wx
ly
ly
wv^
tY
cm4
cm3
cm
cm4
cmJ
cm
m3/m
2.4
4.8
11.5
22.1
9.2
1.39
qtr
4.6
5
15
31.3
12.5
'1.45
11.3
AF
0.69 0.87
0.0012
3
4
6
169
24 42 66 95 129
1.73
8
24 32 40
71
4 4
2.31
32 43
21
2.89 3.47
u
18
72
1925
214
4.62 5.20
5
8
40
213
53
2.31
83
33
1.M
0.0040
6 6
36
108
36
1.73
108
8
2,31
144
60 72
36 48 60 72
1,73 1,73 1,73 1,73 1,13 1,73 1,73 1,73 1.73
0,0036 0,0048 0,0060
2,31 2,31 2,31 2,31
0,m64 0,m80 0,m96
2,31
0.0128 0,0144 0,0160 0,0176 0,0192
14
56
W, =
lembam i,
6
4
1.'16
43 4t]
1
16
96
20/,8
256
4,62
28
18
108
324
5,20
324
108
120 132
400
6
20 22
2916 4000
5324
4U
5,77 6,35
360 396
120 132
8 8
8
64 80
y1
85
't0
6 6 6 6 6
12
I
12
()6
8
14
112 128 144
16
't76
10
100
12
120
10 10
0,289 b
3l
u
'10
8 8
: rf +F = 0,289 h
u
75 85 96
14
6
12
6
169
4.U
53
256 500 864 1372
18
bh'
0.m24 0.0032 0.0040
u
4
20 22 24
12
aa
0.00'15
16
't2
I
hb3
32
1.16 1 .16 1 .16 1.16
16
V
333 570 906 1352
10
4 4 4 4
8
: 1..:/i YF 4U
F cm2
bh3
*rY Jari-jari
h CM
I
lembam l^ =
Mom.en penahan
b CM
y1
160
't92
426
106
192
512
128
1829
261
4,U
597
149
2730 3888 5333 7098 9216
u1
ffi2
170 192
533 645 768
4,62 5,20 5,77 6,35 6,93
833 144o
2N
2286
'160
10
20
10 10
22
2@ 220
3413 4860 6666 8873
't0
260
284
96
2,89 3,46
140
10
u
2,31
14
1
4,M
180
85
16 't8
2N
196
216 252
133
10
24 26 28
2,89 3,46
666 1152
10 10
180
144
100
1520
14646 18293
432
166
326 426 540 666 806 960 1126 1306
2,89 3,46
768 853 938 1024
213
2U
2fi
233
26
2,W
300 333
2,89 2,89 2,89 2,89 2,89 2,89
166
200
7,51
2000 2166
8,08
2333
400 433 466
4,U
2,31 2,31 2,31 2,31
2,89 2,89 2,89
833 1000 1 166 1333 1500 1666 1833
4,62 5,20 5,77 6,35 6,93
.16 1.16
366
0.0@8 0.0056 0.0064
0.c072
o,@72
0,m84 0,0096 0,0108 0,0120
0,0r32
0,0112
0,0100 0,0120 0,0140 0,0160
0,0180 0.0200
0,0220 0,0240 0,0260 0.0280
I l. 2.5. Tegangan tekuk yang diperkenankan untuk baia ST 37
lx
b
h
CM
cnl
F crn2
12
12
1M
1724
12
14
168
12
16
192
1?
1B
12
20
216 240
2144 4096 5832 8000
12
Zil
10&8
12
22 24
12
26
cm4
3824 17516
288 312
1
wx
a CMJ
512
4,62 5,20 5,17 6,35 6,93 7 tr1
2304 2592
1568
8.08
4032
o/t
3,46 3,46 3,46 3,46 3,46 3,46 3,46 3,46 J,40
451 597
4.O4
3201
4,62 5,20 5,77 6,35 6,93 /,51 8,08
3658 4116
457 E11
4,U 4,U
4,62 5,20
648 800 968 1152
14
196 224
3201
)q1
6804 9333 12422
156
16128
344
'20
14
22
14
24
14
26 28
14
280 308 338
3& 20,
933 129
20505 25610
577 829
5461
682
t6 t8
256
16
288
7116
16
)n
320
L roooo
It)
22
1)
16
BM
26
384 416
Il2uu
/o
M8
zszos
066 1290 1 536 1 802 2090
8748
o)a
16
24
16 16
I I
rargz
tusz
0,01441
28
1128
14
l4
V
m3/m'
201 6
21952
14
ty CM
4,U
336
16
wY^
CMJ
3,46
28
14
ly cm4
288 392
12
4778
tX
crn
1
336 384
432
2880 31 68 3456
480
37M
624
0,02u 0,0288 0,0312 0.0336
/*
0.0196 0,0224 o,0252
itL:
4,u
7U
4,U
849 914
4,U
5461
682
6144 6826 7509
768 853 838 1024
4,62 | 0,0256 4.62 I 0,0288 4.62 lo.032o q,oz lo,ozsz 4,62 | 0,0384 4,62 10,0416 4.62 | a,o448
5030 5488 5945 MO2
6,35 6,93
576
B
192
1,51
8874
1
109
8.08
9557
1
194.
4,04
4,M
4M
ro ,18
18 20 ?2
324 360 396
18 18 1B
26 2A
468 504
i2000 15972 20136 26364
32928
JJJJ
1200 1452 1728
2028 2352 333
5,20
6.35 I 10692
2A
24
480
17746 23040
20 20
26
520
29293
an(c
7,51
AQ
560
36586
2613
8,08
aa
1')
M
19521
22
25344 32222 40245
6,35 6,93
26 28
528 572 616
1114 2112 2478 2874
24
24
576
27&,8
24 24
26
624 672
22
28
rs6o8 3333 1 4666 16000 1 7333 1 8666
5,77 6,35 6,93
MO
22
18B
1512
22
920
1
e,oe I
20
1
080
r296
20
1613
r
6,s3 I I r6M t ,51 | 12636
20
1
all
8748
sr I stzo
400
I
I
1
1404
333 1466
t600 r 733 r866
19521
1714 1936
7,51
21296 23070
8,08
248M
23M
6,93
276/€
351 52
27M
7,51
43904
31
36
8.08
:
2097 alaQ
l2w 29952 I 24%
322s6 I 2683
5,20 5,20 5,20 5,20 5,20 5,24 5,77 5,71
Raa 5,77 5,17
6,35 6,35 6,35 6,35 6,93 6.93 6,93
:
panjang tekung
:
menurut Euler
0,0280 0,0308
1,.
=
i
2t
t
0.7
Pada gaya batang S atas dasar beban tetap (induk) H
0,4324 0,0360 0,0396 0,0432
0,M68
"
;;
| I
'
t
q
10 20 30
1400 I 330
40 50 60
1180
regangan vang diizinkan dalam
't2& 11m 1030
0,0440 0,0480
0,0520 0.0560
0,04&l 0,0528
0,0572 0.0616
0,0576 0,0624 o.C512
1380 I 310 1230
1380 1 300 1720
1370 1290
60 1090 1020
1't60 1080 1010
1150 1080 1000
1140
1
1170 1100 1020
1't
't220
1070
992
m
+I
kg/cm2
"
-
't340
'1340
1270 1200
1
120 1040 1970
't110
827
895 820
745
887 812 737
670
662
350 1280 1200
360 1 280 1210
1
1140 1060 985
1130 1050
910 835
n2
'r
9'n
260 1190
'1040
962
70 80 90
955 880 805
947
9Q
,32
925
g'.t7
872
855
857
850
842
797
790
782
Tt5
767
760
752
100
730
722
715
707
700
692
685
6n
1r0
655
649
637
626
604
594
584
120 130 140
555
546 456
s:z
528
61s | s20 I
512
+ra
503 432
496 426
488 420
480 414
0,0504 0.0400
390 1 320 124o
1400 1320 1250
t
tie" \
}
0.0392
kelanosrnoan ^--
0.5
L
I !
angkakelangsingan !
0,0336 0,0364
I
't8
Kondisi-kondisi tekuk
o,a2N
588 b5J 718
4573
5,7V
528
0,0168I 0,0192 0.0216
473 408
150 170 180 190
m
I|
4s8
jembata k max Pa( ,a
452
35s 312
3s1
309 273 244 219
746 LZ1
200
210 270
165
230
151
240
138
181
I
l:+e lur iembatan lalu linta
386
337
380 333
375 329
370 324
365 320
360 316
I I | I
286 255 229 206
?83
280 249
D6 2U
224
186 169 155
185 163 153 141 130
183
,tk max pada
776
2m
41,6
564
kereta at
t$7 40713971391 I 397 391
'140
150 160
I
,t1
304
301
797
293
2X)
270
267 238
2&
261 233
258 231 208
190 173 158 145 133
188
241 217
214
236 a1a
1?4 176 160 147 135
1?2 174 15? 146 134
vo
E2
NI
max pada bangunan 198 179 163 150 t5t
196 162
148 136
17'.|
156 143
't32
142 131
't66 15?
1Q 129
! Pada gaya batang S atas dasar beban tetap dan hidup (HZ)
r'lz
t.
i" - i
rl4
= angkakelangsingan
Tegangan yang diizinkan dalam kg/cm2 10 20 30
1
600 1510
1
590 1500
1
580
1
1420
1420
1490 1410
't
40 50 60
1
70 80 90
1080 1000
1080
915
906
340
1
1260 1170
330
1
1250 1't
320
1244 't150
60
"t070 983 898
9r1
560
1480 390
1310 1230
I 310 "t220
1140
1110
1060 974 889
1050 881
804
796
966
1
550
1470 1
380
540
15{o
'1520
1460
1450
1430
370
1370
1
280 1 200
1
1
350
129t) 1200
1
12@
1120
1110
1180 1090
1030
1030
9Q
872
949 864
855
101o 923 838
787
Tt9
7:10
753
13@ 1210 1130 1040 957
Faktor tekuk
itt (o
745 I
110
7301ti 717 I
705
62s | 5141 604l se4 53215241516'509
't20 130 140
459
l1 max paoa lembatan kereta
150 160
351 ik max pada
160 110 180 190 200
zu '185
230
't70
?40
155
558
549
4T'
472
434 379
428
422
46
410
3'14
370
:t55
3@
339
334
330
326
322
319
304
3m
297
290
265 139
287 257
2U
268
293 763 236
232
229
225 Ik max pada bangunan
220
567 486
343
2771274127',1 24912461244
210
493
540
45 405 3s6
iembatan lalu lintas
347 307
2m
576
501 apr
4ool14s31447144o rssl:asl:s4
1/tO
585
?41
223 202
2n
218
2@
198
216 196
184 168
1g?.
181
179
167
165
14
153
152
't 51
1y
214 194
1n
162 149
7&
2v 211 192 176 't61 148
2v
315 280
1v'l
1
8[] 173
158
187 171 157
147
1$
145
untuk kayu
Kondisi-kondisi tekuk
&
488
=
panjang tekung menurut Euler =
5
o
1,U
4
7
1,05
8 o
1,06
10
1,07 1.08
L
0.7
L
'1,06
13
1,09 1,09
14
1.10
'15
45 45 45 44 44 44 43 43 43 43
127
126 126 125 124 123 122 121
120
1t9 119 118
83 83 82 82 81
80 80 79 79 78 78 77 77
59 59 58 58 58 57 57 57 56 56 55 55 55
u il
75 75 74 74 73
53 53 52 52 52
'111
73
51
110 109
72
5l
71
108
71
1,21
107
70 70
50 50 50
117
116 115
114
19
1,14 1,15
113
20
1,15
113
21
1,16
112
22 23 24 25 26 27 28 29
1
17
u u
76
,11
1,12 1,13
16
30
2l
'1,0'l
1,02 1,03 1,03
18
1.2.6. Faktor tekuk dan tegangan tekuk yang diperkenankan
60 60
129 128
12
174 'r60
85
130
227
206
IV
kg/cm2
1,00
11
2S
ilt
kg/cm2
i,01
752
210
il
kg/cm2
1
3
64$
I
kg/cm2 0 .)
't00
Tegangan tekuk yang diperkenankan untuk kayu dengan kelas kuat:
1
,17 1,18
1,19 1,20 1,22
107
1,23
106
1,24
105
1,25
104
69 69 68
49 49 48
I
42
42 41 41 41 41
N N Q 39 39
39 38 38
38 38 37 37
37 36
36
0.5 t
ZE9
T\
Faktor tekuk Tegangan tekuk yang diperkenankan untuk kayu dengan kelas kuat:
lr
trtt G)
31
32
33
u
35 36 37
38 39 40 41
42 43 44 45 46 47
B
1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,32 1,33
1,4 1,35 1,36 1,38 1,39 1,40 1,42 1,43
1,4 1,46 1,47
50
1,49 1,50
51
1,52
52 53
1,53 1,55 1,56 1,58 1,60
49
u 55
56 57 58
1,61
59 60
1,65 1,67 1,69 1,70 1,72 1,74 1,76 1,79
61
62 63
&l 65 66 67 68 69
Tegangan tekuk yang diperkenankan untuk kayu dengan kelas kuat;
't,63
1,81
1,83 1,85 1,87
I
il
ilt
IV
kg/cm2
kg/cm2
kg/cm2
kg/cm2
103
67
102 102
67 66 66 65
48 47 47 47 46 46 45 45
36 35 35 35 35
101
100
99 98 97 96 95 94
gt
u u 63 63 62 62 61
93 92
61
91
59 59 58 58 57
90 89 88 87
86 85 85
u 83 82 81 81
80 79 78 77 77 76 75 74 73 72 71
70 70
60
57, 56 56 55 55
il
53 53 52 52
4 4 4
33 33 33 32
41
31
41
31
40 40 39 39 38
30 30 30 29 29 29
38
28
38
28 28 28 27
39
51
50 50
36 35
49 49
35 35
v
I
u
47
33 33 32
46 46 45
v
43 43 42 42 42
37 37 36 36
B
u u
a,
32 32 31 31
27 27
26 26 26 26 25 25 25
24 24
Faktor tekuk
(,
71
1,90 1,92 1,95 1,97
I
il
kg/cm2
kg/cm2
69
45 44
68 67 66 65
72 73 74 75
2,N
re
2,O3
77 78 79
2,05 2,11
63 62
80
2,14
61
81
2,17
82 83 84 85 86 87 88 89 90
2,21
60 59
2,08
2,24 2,27
58
2,31
56 56 55 54 53 52
2,v 2,38 2,42 2,46
92
2,fi 2,9 2,8
93
2,63
95
2.68 2,73
91
gl
64 63
5l
98
2,8
99 101
2,91 3,00 3,07
102
3,14
41
103 104 105 106
3,21
41
100
107
108 'r09 110
3,28 3,35 3,43 3,50 3,57 3,65 3"73
q
39 39 38 37 37 36 36 35
.35
v
3'r
47
31
46 45 44 43
30 30 29 28 28 27 26 26 25 25 24 24 23 23
42
N 39 38 37 36 36 35
23 23 23
31
29 28 28
N
33 32 32
97
24
31
41
50
I
32
30
33
49 49
kglcm2
43 43 42 42
5'r
2,78 2,83
96
4
lll kg/cm2
30
30 29
IV
23 22 22 22 21 21
28
21
27 27 26
20 20
26 26 25 25 24
20 20 19 19 19 18
24
18
24 23 22 22 22 22
18
21 21
17 17 17 17 16 16 '16
20 20
15
20
15
15
19
14
19
14
18
14
18
'r3
18
13
17
13
17
13
16
12
16
12
Tegangan tekuk yang diperkenankan untuk kayu dengan kelas kuat: ,Itr
Faktor tekuk (n
I
il
ilt
IV
kg/cm2
kglcm2
kg/cm2
kg/cm2
22 22
16 15
12 11
1t1 112
3,81
u
3,89
33
'113
3,97
21
15
114
4,05 4,13
33 32
21
15
32
21
15
't1
4,21
31
11
30 30
20 20 19
14
14
11
14
10
29 29
19
13
10
120
4,29 4,38 4,46 4,55
19
13
't0
121
4,U
18
13
122 123 124 125 126
4,73 4,82
28 28
18
13
10 10
27 27
18
12
9
17 17 17
12 12 12
25 25
16
12
16
't1
24 24
16
11
16
11
I
23
'15
11
a
115 116 117 118 119
4,91
5,00
128 129
5,09 5,19 5,28 5,38
130
5,48
127
131
132 133
1y
5,57 5,67 5,77
135 136 137 138 139
5,88 5,98 6,08 6.19 6,29 6,40
140
6,51
141
6,62
142
143 144 145
6.73 6,84 6,95 7,07 7,18
146 147
7,30
14€!
7,41
149 150
7,53 7,65
26 26
4.2.7. Penentuan tegangan
omax
pada konstruksi batang
Gaya luar seperti P dan Q diisi dalam f Panjangnya /, ukuran c dan x, tingginya batang h dan lendutan /diisi dalam cm. Tegangan o,r dan modul elastis Ediisi dalam t/cm2,lpadabaja E : 2' 100t/ cmzl, momen lembam / : cma dan momen tahanan W : cm3
12 '11
Pl!
:
3,17
qt1
:
2,3s
-
9,794
:
3,r7
8EI
Pt3
aEt
I 9 I I 9
8
i
I
9I"t l'
iel
t"il 8Et
q.3r
r1
r1 '1
o-Y
9M
12
,;
cr cr r;
:r,rgd'1*r'') h
I
23 23
15
11
15
10
8 8
22 22
15 14
10 10
8 8
21
14
10
21
14
10
21
14
r0
20 20 20
13
9
7 7 7 7 7 7 7
19
13 13 13
19
12
19
12
18
12
18 18 18
12
17 17
12 1',I '11
11
I
9 o
I I 9
I
8 8
I
8
7
6 6 6 b 6 6 6
I t ti t.+ 3l\: I| 3Er\ 2.t
Ol
sQl3
8W
Pada A'B '
384Et
r.1romar(c.
o,ee2
F 1'5-l)g
h
,.)
qIgI-I1 !) h
pada c. 3/ 2w'r I -L lor, 1s 5c +5 -( (;)i.(;) ,. :)'] lzaerlre-zr ^ ' I .1,;(.-.)
o
lvv \ 4
,
i
I
Qr3-. ar] c l=1600Et ,.1;1.:t^^^-. K€rtoUc:o.2o7t:* o)*1
Pada,a 3pr
j I
16W I A = 11 p/16';'t: t rl1, |
pada,i QI
A:5Q/8;
8w
B::Q/a
paOa,
I
oj13I
11 1)
x:0,447t
,,,
+e[s'tt
I p.dr,,:or; QI'
I
e,26s
raser
s,473
o:!11P- 1) h
g.a12
9-u ! h
1)
('r
5 (o
5 (0 5
I
il11
9i
il
NNN
DDO
ll
Y
3
!
.
gsE
nIn l++ ooo b60@ b'o
1:
ES
o@ [il -o 'oL 6+
il
N
B
il
N
NNN
o:o
)
l++
IJXUX 6xil! r€ElrH *cl I
a
IECA3
Elqra bqlaH qN]t! , l.FgtH r,Rr g
l-ll-
o+-{fl.^. i- fl li'ti-
/
0,1250 / 0,1465 /
c,1250 /
0,1465 /
,
1 0.1465 / 2 0,1?fl I
))= o,*u
o
:
o
3
o
CL
3
o
tac
!O
Oo o *o o3 *6 LA
0,4142 1,1090 0.9768 1,0000 1,0625 0,4375
/ / /
q / q / q I
q'
q q
q 2 q 2 q 4 q E Mcl =-0,0858 q 2 Mc24=*0,0025 q 2
C)
Cj
C2
Cl
A.B
0,4375 1,0625 1,0000
13 = 1,66
I1 =1,79
M3 /
1,79 Ml / 13 = 1,66 M3 /
t2=1,66M2/
It =
/
[41 /
M3
M1
1=s641=6
200
L
Momen lembam I untuk lendutan
Ir,
,lll3
{
€ lq
-o
T
-t
-t Sl-
I2 =
1,66 lv13 /
r1 = 1,90 M1 /
I1 = 1,90 M1 / M1 =+0,0957'q 2 M2 =M3=+0,0625q I Mcl 3 =-0p625q n 13 = 1,66 M3 i
M1 = +0,@58 q 2 M2 = +0.051 t q 2 M3 = +0.0625q ( Mcl =-0,0858q/2 Mc2-3=-0'0625qP
q i Mr ='0,0951 q R q / MZ =+A,0625 q 2 q / Mc1 z= -0.0625 ' q 2
0,4375 q. / 1,0625 q / 1,0000 q /
cr =r,1o9o a / c2 =0,9768q/ c3 =l,ooooq/
A=B=0,4142q./
lx g-
,llt!l
€ @ lq
-o N
T
-t
ml--
Blo
ul
Mt =MA=+0,0957 q I l1 = 1,90 M2 =Mg= +0,0625 q I l!'1cr-4 =-0,06.25 q /, 13 = 1,66
Mt =+0,0858 M2 =+0,0511 N43 =+a.0625 M4 =+0.0957
A.=B =0,4375q/ Ml =+0,0951 q 2 Cr = 1,0625 q'/ M2 =+0,o625"q 2 C2 =1.0000q/ Mc1 2= -0,0625 q P
A =B =0,4375q/ Ct=Ca=1,0625q/ Cz=C:=i,m00q/
B
Ca C4
Cl a2
A
m
0r_
6'
l
a
=
o-
c-&
Gt^ th
J
x; ot
qr' a(o q,
M= kgm,L= m
o
ET
o o
q = kg/m,L:
'1
a\ L* o6
J=
9e
c trf o ola c J
r
0)
Oa =3
Ny'omen maxrmal
3
!
.'^81-;g
f
l
il tr E< c-3 q -l
36
-
-O @> fe
1l
>o 3)
F
.,
@
CL
!,0) !q.
@o,
NE
Tumouan
-
! @
il
NN
oo
ss
B8
l+
ilx
?Y
!l
0,1570 i 0'1465 i 0.1250 '
C,2035
In JO '-$
lt
o
P
O@
0.2035 / = A,1570 / X3 .01465 /
-
= .
x1 x2
x2
x1
iiI
(t \2 .13 = x4 -
Jarak engsei
! @
ll
NNN
ooo
888 gsg
-o.o.o
ilil|
8r 9* lo
-o
I O@ ll --o
l
"lr'
1++ ooo HEH oo!
*Pt'|l Aaratrdrdt6rc,l t.+'i' !CEJ
I t-
IH 't-i-iti
'1-
lt ill
AO
BS
o@ ilil JO
9el.AI{ J(AqH 6EX,P, ICB|H clts 5
M uata n
Bs oJ
Ill
EE
N,NNNNN
oo!or@ !40000
8888S8 tuNON-O
| oooooo
ooSoNJ
<<<3<< f,nrrrr !++++
DOOOO
;388S
@ooo> [[nnil -o--o:r-o o6!or
---
ooo
!
NOO @
I
9
n
9
tlt il .o.o I
ll I
N J\,N
oo! o aD
8 88
-o -o.o
l++
[
gNol
ooD
88& 8Bd
il ill :--.o
O@
o o> nil
83 --
9-o
+JLr-
n[ffi1.
:i+i
&
t. 2. 9. Nitai-nilai alat sambungan besi seperti keling, baut dan las 1. Penentuan garis tengah d dari keling atau baut menurut tebalnya
t
;n terkecil
Daftar faktor reduksi fpada barisan-barisan baut atau keling:
banyalnya keling/baut
18 ...20
kg/cm2
23l' zsl za 11 I,rlnL,'t MnlMelMrclM20 M22lM25lM27
1ut00
1330
1858
3180
4850
5820
8620
6870
tetap dan hidup angin dsb.)HZ
1600
1521
2120
3630
5540
terhadap
o lobang (keling) dan o baut dalam mm
11
dengan:
kglcm2
2800
3080
rc lM 20 lM 22lM
3@0
4760
5880
6/40
7000
lM
496
3520
0"321
4,22m
0,m0
o,278
0,2381
0,N2
0,245 0,219
0,2143 0,1944
0,267 0,227 0,198 0,175
o,x7
0,1s
AjTE
0.1 57
0.1ix}3
0,321
s
0,533
10
o,'t91
0,ru
0,zts
0,r80
0,1636
0,142
o,1xt7
1t
0,r85
0,227
0,1410
13 14
0,4,8
0,qcl
0,212 0,r98
0,1im 0,120
0, I 139
o,4B
0,165 0,153
0,1 51 5
12
0,280 0,239
0,1t12
0,
t3t9
0,111
0,09*r
0,371 0,350
0,208
0,1
0,1ait
0,1338
0.r93
0,175
0,124
0,1 167
0,181
0,165 0,157
0,1 17
0.1 103
0,0929 0,0€r/6 0.0827
17
0,331 0,3'14
0,103 0,097 0,00'l
0,11
o,glu
0,296 0,284
0,1048 0,@94 0,@47
0,@
18 19
0,81
0,0746
a,on
0,071
20
0,1rS
?2
0,271 0,260 0,249
B
0,29,
0,1
0,0679 0,0650 0,0623 0,0598
24 25
0.230
0,1D.
o,).,
0.1
0,800
7
0,643
7UO
5.
0,714 0,8&r
0,171 0,162 0,154
0,1
86
4t)
0,139 0,133 28
l8
0,1
1
06
o,142
0,t00
0,136 0,130
0,0s 0,091
0,0905 0;0866
0,073 0,070
0,r25
0,087
0,ffip
0,m7
0,120
0,0&,
0,crc,
r5
0,m
0,044 0,06'l
0,111
0,0n
0,0m7 0,onts
0,1
0,0s
0,1786 0,1607
0,1.s8
0,1058
1
0,0sr5 0,0584
Daftar bataesn togangan pada bahan baia:
4160
54/;0
6720
7360
8000
8960
Jenis baja
Tegangan
o dan 3200
0.3t 00 0,2667
0,44
27
gaya batang .S atas dasar beban
tetap dan hidup (angin dsb. ) HZ
0,25m
0,375 0,320
0,5m
0,500 0,450 0,400 0.357
,l)
I ''s I 't, I ,, I ,, I ,u24 I ,t
M n lM plM
gaya batang .S atas dasar beban
tetap (induk) H
0,2500
0,400
0,5m
6 6
21
tekanan dinding lobang pada plat baja setebal 10 mm:
pada bangunan
0,5m
0,333
1,m
r,0@ 0,m0
9850
7850
3. Daftar beban yang diperkenankan dalam kg per keling atau baut
0,33tr1
t,0m
,
0,800 0,e43 0,533 0,455 0,396 0,350 0,314
r6
6650
,p
fry
? 3
15
gaya batang S atas dasar beban
fry
hv
f,
I
gaya batang S atas dasar beban
tetap (induk) H
ompdt barts
6-d
n
4
o lobang (keling) dan 0 caut dalam mm
dengan:
tiga baris
dahm
2. Daftar beban yang diperkenankan dalam kg per keling atau baut terhadap pergeseran (tampang satu, iikalau tampang dua boleh mengambil dua kali tampang satu):
pada bangunan
dua baris
satu boris
yang msk6im6l poda baris
pada plat baja:
t ...5 5 ... 8 7 ...12 1o ... 14 12...20 14 ...20 d1l172123252831
4.
o+
t/7
sT37 I + "r!, masing-masing
'/7+4
950 kg/cm2
1350 kg/cm2
Sr52
l2([
kg/cm2
1700 kg/cm? 497
6.
!.2. 10. Nilai-nilaialat sambungan kayu
Daftar tegangan-tegangan yang diperbolehkan pada bahan baia:
1. Daftar beban yang diperkenankan per paku untuk kayu dengan berat ienis rata-rata 0.5 gr/cm3 kering udara:
Pada bahan baja ST 37 dan ST 52
Jenis tegangan
Bentuk sambungan las
1r
5'/ il
o=tr
Semua
I
nn
tetap (induk) H ST 37
tekanan lentur
1600
sambungan
@ paku
mm mm
kg/cmz
1800
kg/cm2
ST 52 2400 kg/cm2
ST 52
ST 37
ST 37
1600 kg/cm2
2700kglcmz
*) 1800 kg/cm2
*)
ST 52
ST 52
22100
27C/:.kglcm2*l
kg/cm2 *)
ST 37
Tekanan dan tekanan lentur, Tarikan dan tarikan lentur
1350
ST 37
kg/cm2
1500
ks/cm2
ST 52
ST 52
1700'kglcm2
1900
ST 37
ST 37
1350
kg/cm2
St52 1700
1500
i
kglcmz
kg/cm2
kg/cmz
3"BWG
10
3%" BWG I 4".BWG
I
4%" BWG
5" BWG 6
6
4.19
5.20
5.20
63
73
89
102
114
130
20
25
30
35
40
40
31
40 80
50 100
61
94
94
62
122
188
r88
keperluan ukuran sambungan per paku min. cm2
6.2
8.0
10.0
12.2
18.8
18.8
Jumlah paku kira-kira per kg
2W
185
r30
93
53
47
Kekuatan 1 paku tampang satu tampang dua
kg kg
paku
2.
ptg
Daftar beban yang diperkenankan per baut untuk k6yu dengan beral jenis rata-rata 0.5 grlcm3 kering udara:
Baut garis tengah O
Garis tengah di dalam drat/snail
mm
Cincin minimum g Cincin segiempat Cincin tebalnya
mm mm mm
Ukuran kayu rhinimal
dengan satu tarisan Papan pengapit Kayu tengah
ST 37 1500
kg/cmz
1700
kg/cm2
ST 52 1900
kg/cm2
mm
12
14
1/2"
1900 kg/cm2
'1350
kg/cmz
sampai mm
ST 52
ST 37
ST 52
Kekuatan
1
9
16
18
5/8"
r05
12.5
14
58
63
68
74
50/50
55/55 5.5
60/60
65/65
5
6
N
22
7
16
18
80
o')
70/70 80/80
I
,E
t"
3/4"
I
20.5 105
95/95
I
bar t:
cm cm
3.6/B 4.5/ 10 5/ 10 8/8 10/10 10/10
6/
6112
6/12
12/ 12
12/ 12
14/14
't6i 16
il4
626
t11
856
1088
1253 1096
1422 1244
1713
952 816
940
1067
1499 1285
l5@
2W
2500
3200
14]|
6/
1A
baut
g =0o
kg
308
384
463
kg kg kg
615 538
768
461
576
925 809 694
kg
625
850
12m
Kekuatan 1 baut
tampangdua
9 = 0' 9=45(
9=90'
672
Sambungan las sudut K bersela, jikalau mungkin diabaikan Kekualan
498
11
3.76
tampangsatu
*)
2Yz" BWG 3.05
3.40
papan tebalnya
ST 37
Tarikan dan tarikan lentur siku dengan jurusan sambungan
Pergeseran
Ukuran paku Paku garis tengah Panjangnya
Dapat digunakan untuk
Tekanan dan
Tarikan dan tarikan lentur siku dengan jurusan
gaya batang S atas dasar beban tetap dan hiduP HZ
gaya batang S atas dasar beban
gaya tarik
I baut untuk
3.Daftarbebanyangdiperkenankanperbautpasakkhususuntukkayu berat.ienis rata-rata 0.5 grlcm3 kering udara:
d
mm
tampang dua dan lebih pada batang tengah
d
tampang satu
tet ral kayu a dalam :m
tebal kayu a dalam cl n
4 I 6 | 8 I roi',
14
16
18
I
8
128
147
147
147
147
147
147
147
10
160
2n
230
2n
23t)
230
2n
2n
4
6
8
lol
12
t4
16
18
326
326
326
3fr
3il6
326
12
192
248
331
3:}t
381
331
33t
272
326
331
8 10
340
5lo
510
510
510
510
510
5ro
t4
224
3i:16
44
450
450
450
450
450
12
4(}8
612
7U
7v
7v
7U
7y
?vl
l6
266
384
512
589
589
589
589
589
t4
476
714
952
1(m
tflx)
1(m
1fi)O
t(m
w
t8
288
432
576
7n
745
745
745
745
16
816
1088
13(m
13{E
138
r3(D
r3(E 320
480
640
8m
920
920
920
920
612
918
1224
r530.
1652
1652
1652
1652^
20
18
20
680
r020
13fl)
17m
2M
2fiO
2(XO
2Dt()
22
352
52f3
7M
880
r056
113
1113
tlt3
x2
78
tlzt
t4$
187O
2,24,4.
2&
2468
2tm
24
384
576
768
960
1
325
1325
24
816
1224
1632
20{0
24{/8
2456
2938
2938
x)
416
624
832
n
884
1826
t768
2it10
m52
c,o4
34/t8
3|{8
896
1
t9(x
2Ag8
3UB
3m
672
142tr
3gIr
4$
952
xm
28
8
ro:lo
?550
nEo
3570
txE
tl8)
c)
'180
9d)
1530
v040
720
3t}
tl[n
r
152
r325
1
lorto
124a
1456
1555
1
120
1344
1
568
1792
1803
1200
144D
1680
1920
2070
555
pada papan p6ngarrit
tel ral kayu
d
8
dalam :m
4
6
I
10
12
t4
r6
t8
176
211
211
211
211
?11
211
211
3:n
10
2?f)
330
3[n
3A)
33)
f,p
an
12
2A4
396
478
475
4t5
475
175
475
14
308
62
6r6
u7
ill
ill
u7
u:t
16
352
524
7M
845
845
845
845
845
t8
3S
594
792
9g)
1(89
1069
1(E9
1(f,g
20
m
660
8g)
nm
r320
r320
t32()
r320
?2
Qtl
7m
968
1210
1452
r597
r507
1697
r848
1901
1901
2231
24
528
7gt
1056
r320
r5B4
26
572
858
114,.
lrlil0
1716
Zffit
zB1
2A
616
924
1232
r5|{)
1848
2156
24li,
2fi87
660
gso
23ro
zffi
29'tO
3)
1320
1650
r9€D
501
500
4.
5.
Daftar beban yang diperkenankan pada pasak cincin untuk kayu dettgm berat jenis rata-rata 0.5 grlcm3'kering udara:
Pasak geris
tengah
6 luar Dl a dalam Dd
Bulldoglconnector
@
Pasak lebarnya b Baut pegang tengah Cincin segi empat Cincin tebalnya
6
mm mm mm
60
mm mm mm
12
52 18
1N
160
88
120 108
1X
22
26
30
14
14
16
80 70
100
50/5( IJl
OL
5
6
200
14
180 164
36
zm
46
50
16
18
18
to/7c t0l7c t0t7( 7
7
7
Daftar beban yang diperkenankan per Bulldog Connector untuk kayu dengan berat ienis rata-rata 0.5 grlcm3 kering udara:
7
7
lU
n
VA 8
Garis tengah D
Tingginya Tebal
seng
b s
Baut pegang tengah Cincin segiempat
mrn mm mm mm mm
50
62
75
10
17
19
1.3
1.3
1.3
12
16
't6
50/50
95 25
r.3 't6
117 30 1.5
n
140 31
1.5
n
165
33 '1.8
25
60/60 70/70 70t70 80/80 90/90 lm/100
Ukuran kayu minimal: Ukuran kayu minimal: Papan pengapit
I = s/d 30o I = lebih dari 30o
cm cm
6/12 6/14 6/1t 6t 2t 8t22 8t 24 \J/ J\J 10/32 6/10 611i BlU 6/ 1€ 8/18 6l N 8/24 8t26
= I:
s/d
30o
lebih dari 30o
cm cm
8/12 8114
Jarak antara baut dan ujur rg kayu (kayu muka) cm
v
Jarak antara dua
baut
Jarak antara pinggir Pasak dan tepi kayu:
yang dibebani
a
yang tidak dibebani Diperkecilnya luas kayu tanpa baut
I
i
502
6/ 10
6/12
6/12
6/8
6/ 10
6/ 10
6/14 6/12
8/ 18
10/20 8/ 18
10/24
8/16
Bl20
10/24 r0/m 10t32 8118 gl20 tot24 rcl26
8t2{ 10/22
ule
Jarak antara baut dan ujung kayu, dan antara
dua baut
cm
12
12
14
14
17
20
23
kg kg kg
350 300
550 475 400
7W
1000
1350
17fl
24C0
650
875
1175
1525
21n
550
750
1000
1300
1800
Kekuatan 1 Bulldog
I
12
15
18
21
24
27
30
.n
24
28
32
3
3 2
4 2
4
4
2
2
2
cm?
4.3
7.1
1'-t.2
't5.6
22.3
28.4
kg kg kg
420 315 210
7W
1140 1620 2m 2880 3780 4600 855 1215 1695 21ffi 2835 3450 570 810 1 130 1M 1890 2m
36
40
4
6
6
2
.,
3
9=0o 9:45' ? =96o
2N
i
]
i
Kekuatan 1 pasak
9:0o 9:45o 9:9go
8llt
8t'ti 8llt
16
cm
b
8/1A
t2
cm
cm
I
Kayu tengah
9
I = s/d 30o i = lebih dari 30o
585
3m
37.3 45.0
503
6.
Oaftbr beban yang diperlenankan per plat paku-paku untuk kayu dengan berat jenis rota-rata 0.5 grlcm3 kering udara:
Pelat paku-paku let'arnya paniangnya
cm cm
'l
Kepsrluan tekanan untuk pasang
kg
50
kekuatan terhadap penc&utan
kg
Ukuran kayu minimal: tebalnya
0o
i=90o
5
10
5
10
10
1250
25m
5m0
16
ll()0
800
16m
cm
3
3
3
3
kg kg
10
250
5m
lm
r88
375
760
7.5
Kekuatan tampang
dua ?=
0o
9=30o 9=69o ?=90o
kg kg kg kg
Xt
6m
18.5
$2
17
4N 3E
15
Tabel untuk monentukan iepitan pada bolok tar-
iopit sebelah
5
1
Kekuatan tampang
satu 9 =
1.2. 11. 1.
lm
m
925 8S0
1850 1700
750
l6m
r.-l Momen japitan
r'l- rj
ffi
ffi
Mao
fia
u,=
*l; - *l "
*,= 1k*
iln
*r**L,
Mr=t#s
ffi
*,*
*(,-$l "
Ma=
!u
NB=
-1,5lr:'ft
Perubahan suhu 504
o
t= L--Hrart.r to,lo
w
W
ffi
w ffi
ffi
1.2. 11.2. Tabel untuk menentukan momen iepltan pada balok torlopit
Momen jepitan
,f
*r=+
,,=+(r-+l
ffi L,*L-,,
Ma=
qc'' 8
(r*f)'
u,=*k-+l
IP IP t t
! ,
M^=# J
IP
t*,**i
u,=sk* rt
Ma
-
Mn:
,r:# io ,,,
Me= Ma=
Ma=Ma=prlr-+l
I
uu:
"ffi
Momen jepitan
Ma
=
"l**'u ,
Me:'i;r'
,^-#(+-)
, '= +(t-t' - 'l
Perubahan suhu
w::;,
Ma=Me=-r,o'io'
MA=
{ rze- nr
llB -
]
rzn
-sr
,rffin,
tu
Momen jepitan
Persamaan tiga momen menurut Clapeyron:
12
.,rl,rfrfu.
LJ*-.-J-dJ
n
Bidangmomen M
un=#tBc'2+4cc'+c)
l-r_-l-.J
nd.rl" b.,,h l-l-l
Mtlc + 2Mzltc + l'"1 +
M1= ft4, = s!:
fuw fuw l-i .l i-t %.
1.2.12. Tabel-tabel untuk menentukan bagian beban @a eyarat persamaan tiga momen (Chpsyronl dan luasnya bidang momen ili
*, = #(4cc'+
Mzl'c: -9 M
r-+r:.l-o*--b--1 l--z
c2)
* 8' l'"
= i M,' x' dx
Beban:
I
' l"
8
[tm2]
tub
ffo
?
---_-{
2
H1
3
u,**0,,
tult
-
al
ffu*"t
"fih LLI
',nw
#Bt -
Ma=Me*#t ,-#
L'.1
U".,rqrffnff,n,*.,l
b- |t) tL.P
M4=Mr=
M^=*
*
d*ffi
0,,
Jfa
'fi
fia
fin
Hh- *l
nil, - |,1
nil, - )l
Tl,.*l
nih. *l
a ih.';Fl
{u,-,'t
{v,-",t
n,
D
i u'- c'l
ffi
t0
la*-b-4 b_ L-------4
*
-,1
ffa
9
*r=#
3+v
ftn, 6
zct
$a
tn
J
Ma =
ffo+n
!a
Ma=Ma=#(3/,-c)
Me:
ltml
f,n,
4 W,
*,t
f,n
I
mn=Sot
n
ttml
,{ro-
hanyapadan = godil
ll
'fro
l,'-o'- f",
' ,?'"
(u-"- f
"' "r) 5@
M
beban
tt
B
ttmrl
p4
P12
ar. za
$
pl'3
r3
t1
DC
'
24
.
l3ab- c'l
pflltnud?
a5
-
et
fr
ct'
(3/2
24
r6
-
c2)
I
of,l''-o' *{) l3lt
13
13
Dl5
17
ffiilflll fiilfltte ?w*us*wi F-! ------r
r8
r9
L
fiinm fiilllhr I
l-Lt2-?-112-i.
p
Pc 1911'-ut1*" 12
c
13 lt?
pl'
L
60'
!:'
l2l - cl
24
P"'
2i,
24
l4t
-
g"l
pcl
a2l
-
u
'f
lZJ
-
al
37 p2l
L h'-u * 4
i)
*..r* L
(,,
4
-2a2
.+t
t2
lP'
+
Pzl
fit
o,*ros
*
(7P, + 8Pr)
-
czl
-
3r
2al
c
t2
D[3(/2-a2)-c2l '41
I
ffil*,-.ou,*,ri
ffi12
ol'/
3
(frt2 -15ic +3c
SG,-' ";r
v
, \a-b\
ll2
l+
r
35
q(6n)xt -l--, ----l
ffi;; rgElro
!,
-
3b2\
ff w'-
M
M
0
4
4
I*,
M
luz*uz4
60' 3c2)
M
M
r.fnr\fl
+*
)D pt'
.eL
,01, n
,rt
zMr +
r'r
2M
Mz
6Et
V (vz- vi
M, + 2M,
6El (Y, l7
-
Yrl
f
z3
510
-21a2 + a3l
+
#,*r,
15
l3l
2t
pcz
-
9
il'
I
A
l3
Dl.
ail
ot'
(10/2
6012
:,*
"l
108'
$,n-*' Pqt
-
-
*'
24
2l
Dlt
It3
12
19
13
Lor
ot3
162',
n
czl
-
-
ffe,-*t TLc.l I.c,lt l*a4
-P" lgl'_ at
108'
--324'
ttml
^r2 g2 u'
ffw-"t
or*,r
!) s, * o,t
'f,("*u'- "') 4
4
8l
*
0,,
n
64 Pl'
t,
pc
pc
32
$'
28
r5
ltml
3
pl'
f*uz-lttz-l l---:- L
s
---{
El
czl
,,,
*
24
-
,rtz
#
M [tm!l
beban:
ltml
p4l1
lz
1t
l,
n
ttml
*,,, TP
Lo*-t--l l-- t -----l
ffv'+aot
*
$(,.f)
0,,
G-t'oi
*0,,
fft,.11t,-'S
t ,il
,(
suhu rrubahan '
ruH -htb
SElo,Lt
3ElarLt
h
h
511
l. e" 13.
Pensntran rekei
t
mpuan dan momen pada belok
2.
Balok terusan dengan gaya pusat
torusan Momenmax.=MPl
lvluatan
1. Batot teruean dengan b€ban m€iata
Ml
rft';
Momnmor - Mql2
.rdrth J--tt
).
M3
M4
l55i ),1562
).2031
1751
).162t
.L-J_ .Lr,-+
),1697
J--
512
0,6875 0,6875
-
0.0938
o.M2
0,5s€8 0.@88 0,6500 0,5000
-
0.0750
-
0,0750
0,425(
115i.
-
0.0750
-
0,0750
),137t
-
0,1750
-
0,0500
-
0,1m0
+ 0,0250
-
0,1607
-
0,1071
-
-
0.0804
*
0.0536
-
0.1808
-
-
0.053[
-
-
-
I 161
l16l
),1697
),183(
,1596 ),1462
1428
.1998
).2065
.'t42t
c kiri
kiri
0,312t
0,3500
),212t
B
0,1875
0,1500
1130 0,5715 0.3715
A
-
,2W
.-r-r-
MD
-
17y.
A+'+-++
MC
MB
0,1 500
),100c
).2121
-+J-I--
M2
Tumpuan
I
c
P
D kiri D kdnan
0,3125
-
0,0938
0,50m
0.3500
0,6500
0,5750
0
0
0.5750
0.075r
0,0750 0,5000
0,5000 0,0750
-
0,0750
o,325/.
0,6750 0,6250
0.3750 0.0500
-
0,05m
0,40J
0,6000 0,1250
0,1607
0.3391
0,6607 0,5536
-
0,@0
0_419(
0,5801 0,0268
0.0268
-
0.0871
0,319i
0,1m7
-
0.05&
0.1001
+ 0,0268
-
0,006
o,o737
-
-
0,G01 + 0.0201
-
0.053(
0,3s9(
-
o.o737
-
0,1250 0,0250
0,0250
0,5636 0,6607
o,4404
*
0,0268
0,5268 0.0804
0,4732 0,3460
-
0,m7r
),392€
0,m71
-
0,3929 0,0536
o,1272
0,03t6
0,c836
0,0067
0,0737
0,5067
c,4*,3
0,1m5
0.3393
-
0,0603 0.5871
0.mG3
),053(
),6@4 ),1272
o,4m
4,4&
);680€ ).654C
E
-*
0,1m6 0,0201
o,Bot
0,4129
-
0,0636
-
0.m67
0,0201
513
\
I
3. Balok terusan dengan dua gaya yang simetris
4.
Belok terusan dengan beban merata dengan jarak tumpuan yang berlainan
Momnmax.=MPl
Muatan
M,
M2
Mg
Tumpuan
Md
M4
MC
I riri
MD
B kanan
/+tr
o,2/.
-
0,333
0.666;
"$-
),2771
-
0,r667
0_83r
C+rtlrih
-qm1 -
t,2444
-
),28&
J-rl--
0, t333
-
0,866;
0_1333
-
0,1333
-
0,133
-
0,311
-
0,G89
1
0,739
0,m67
-
0.133(
0,6888
c
r,3133 r.3333 1,1667
0,r667
=
...
P
D kanan
D
tia
E
kaMn
0_6667
-
0,1667
1,M7
1,0000
1,m00
1,2ffi1 0
1,'1333
0
1,m00
t.0m
0,1333
1,3111
0.7778
1.2222
0.0889
loll
Reaksi tumpuan (kg)
0,4
A - - 0,0375.q.t 8 = 0,40fi.q.t
0,8667
t.1333
),'t333
perbandingan
0.733
-
0.1333
-
0,0889
0,5
rll,...*
d\#Jts
),238r
.il--Jt--
t,2ffii
#JIJ{ --axJfn
t't 1'l
514
,,2381
J.m ),r94
174t
J-.-. -*-
lltt
),19&
).2811
1741
-
o,17n + 0,U44
-
0.2857
-
o.w2 1,1718 ).2U 0.2857
-
0,1429
0.857r
-
0,u76 -
0.154a
0,6786
0,0052
*
0,2857
-
0,0952
-o.w2
-
0,1786
+ 0,0476
-
0,01 19
0,4214
-
0,1310
-
0,1906
0,142s
-
0,0962
-
0.3214
-
0.1423 + 0.0357
-
1.2S57
-
-
-
o_7143 't,G52
-
0.1310
1,r421
),u7i 1,3214 1.273E
-
0,2222
o.0444
o,M44 0,9048 0,9048
1.0952 1.2857
0,c471 0,9523
1,0/77 o,1429
0,7
o,1072
2
o.'1o72
l.1548
,,@5'
1,1905
),8094
1,r905
0,80s5 0,0s62
,
r786
t,2262
-
0,05s5
0.2262 0.0595
,1310
1,0tt9
,9881
0,1 786
0,01
-
l9
0,1786 0,0357
= A= 8= C= C
A
0,7143
0,6 -
0.1429
0,u52
0,7
0.0952
-
0,01 19
0,035i
0,8
Mlkgml Mr4 M, Mz
=
O,0[l2O'q'12
1,0325.q.t
M"= *0,0950'g'lr
0,625.q.t
Mr
Mt
= =
0,00'195.q./
0,4ffi3.s.t
M"= -0,W7'q'lz
0,1420.q.t
Mr
0,40fi.q.l
= Mt-
C
1,0530.q./
Mc=
0,2f00'q.t 0,4o10.q.t 1,0900.q./
Mr= Mt= Mc=
A
0,26fi.q.t
Mt
B
0,3950.q'l
Mz
1,13fi.q.t
= =
Mc
=
=
A= B=
-
= = C=
2
0,828'q'l'2
1,0312.q.t
fl =
C
-
=
Momen maksimal
'q'l z 0,ff]2o'q'lz 0,0101
-
0,0950'g'/z
0,02t8'q't
-
z
0,0805 'q'l I 0,09X).q.t z
0,0362'q'l z 0,0980'q'/ I 0.1050'g'/z
515
-'(r'
'1
|
.2.14, Tabel-taber hasil peng-integrat-an pada kerja virtual Segiempat ,r.
IIIIIIIIIII,.
Segitiga
sM;Mp
@
ffiffi l-r
|sm;mp
#
lsMiup
fsfr
lsuiml,
t:*'*r
fs{r
fsfr + alM1M1
+ M;,t M1
tor,,
+ 2M;,t
M1
lrsutux
lsuiu2
!su;ur
lsuiup
i"MiMx
#,u- o-rtlwink
frsfr+
keuo+sMizr tz
$au^ + tM;2r M1
lrsM;Mr'
*'u'*r
#,,,r
ftsuu2
nsMiM*
#*,'r
i"Mi
lms + 3 Mp2l
lsu;rttp
ftsu1up
{su1u1
,lr't' (3 Mp + Mp2l
I su1ul
lsuiup
$suiul
Ml, lstul,. r M21Mp2l
lrsuPl
?r'*r'r
lsu1,Mp
+ alMiM1,
{smfiuy, + M22t + 0l MiMk
lsmlmp
t'',u1 I
tt*rr11 + fi) Mi, +
11
+ al Mi,l
Parabel
ftsu;tvrl
,1sts- 0-0\tt,rttr
f,suiup
*Ou-
a-o2tM1Mp
Parabel
lsmiup
lsu;rvrl
,1s{t
+o*
{ urura,
lsniux sMpMp
$sm;nt1,
lsupup
frsfr + P+B2lM;Mp
lstaeup
]s{r
+ oB)M;Mp
a*o2lsM1M1
+ M;rMp + M;rMp1 + 2Mi,Mpl
*^r^
+
M;2r M1
Mk
13
-
Mr, + 5 Mprl
|'ut
1'
I
a2lM1M1
Parabel
4h,r'r
+ olM*zl
$Mp + 3Mpl
lsm1u1,
$r
M21
1
Parabel ,&tlliT,nrr*
fi
+ {lt
t
sQsM1,Ms,
';sMi
'' lsu;rttp
-4
tsu1u1
Trapesium
trr,,
+ Mr,l
sMlMy, + 2Mp2l
+
lsu;u1
4ffffn,
fi:[tttfr+
lsu;up
Segitiga
c,tfirrflT-flla,,
@'
lsu1u1
tsMlMp
Segitiga
,r@L
a,1fiil,fffltrr,
Parabol
lsu1u1
I lsuiup
Parabol
lsMitup,
Segitiga
tt
Parabol
Segitiga
Segiempat
,,W,
Trapisium
517
l.
3. Daftar kependekan D E
F G
H HZ
lK N
M
o P
o R
s T U V
w z abd
f9hik-
tgsuv-
xY_
batang diagonal pada konstruksi rangka batang modul elastis gaya pengikat horisontal modul pergeseran gaya horisontal penentuan beban atas dasar beban tetap (induk) penentuan beban atas dasar beban tetap dan hidup (angin dsb. momsn lembam titik potong pada sistim titik potong titik potong pada siatim titik potong gaya normal momen lentur, momen jepitan batang tepi atas pada konstruksi rangka batang gaya, gaya pusat, gaya tekan, gaya tarik gaya lintang
A
delta sigma
diferensi jumlah
q-
alpha beta
sudut putar tumpuan sudut putar tumpuan koefisien induksi
T_
av* 6)
reEultante gaya batang pada konstruksi rangka batang
momen torsi batang tepi bawah pada konstruksi rangka batang gaya vertikal, batang vertikal pada konstruksi rangka batang momen tahanan, bobot-beban momen sentrifugal
gamma delta
€
epsilon
4 x,
eta kappa
I
lambda my
'l-
aoT_ q
pi
rho sigma
tau phi
w
psi
@
omega
pergeseran
ukuran penurunan tumpuan lendutan pada batang atau konstruksi rangka batang. ukuran jepitan. ukuran penguluran ordinat garis pengaruh faktor koreksi pada gaya lintang angka kelangsingan jarak balok melintang pada beban yang tidak langsung koefisien distribusi faktor pergoyangan
faktor3.
14159 jarr-jari lingkaran pada kerja virtual
tegangan normal tegangan geser sudut antara dua batang sudut pada penentuan kerja virtual faktor tekuk
farak titk potong J jarak titik potong K dalamnya gigi tunggal, garis tenEah paku, baut, pasak dsb., suatu potongan yang sangat kecil, muatan gempa lendutan berat atau bobot sendiri tingginya batang atau konstruksi rangka batang besaran inti
angka kekakuan panjangnya batang, lebar batang beban merata. beban berguna panjangnya batang pada konstruksi rangka batang sistim koordinat terputar sistim koordinat terputar tekanan angin koordinat yang horisontal koordinat yang vertikal lsndutan ke samping pada tiang teklk
518
519
-'
:
,(
1" 4. Daftar istilah penting Gambar, situasi 23
-, kayu 226 Arigka, kelangsingan 84 '-, kekakuan k 291
gaya 23 Garis bersilang 268 Garis olastis, 96, 372
Balok teriepit, 102, 253 * . sebelah 2&3 - , elastis 265 Balok terusaR, 103,253 , garis pengaruh zl49 Balok tunggal, 102, 103 *, dengan gaya 103, 105 - , dengan beban merata 108, I , dengan beban segitiga 1 13
-,
-, *,
, dengan konsole 123,407 , bersudut 134. 143 , dengan lengkungan miring 152 , garis pengaruh 333 Batang dengan engsel pada uiungnya 290 Baut, 203,230
pasak khusus 231 Beban, yang tetap 16
-.,
. yang bergerak
penontuan dengan bobot-beban W 374 pada konstruksi rangka batang 379
Garis kerla 2l Garis pengaruh, 3&9 -, pen€ntuan 390 - , penggunaan 391 balok tunggal 3!13 -, pada -, psd€ reaksi tumpuan 393, 417, 452 -', pada gaya lintang 394, 419, 452
t0
l6
berguna 16 . yang berulang-ulang 79 Berat sendiri 16 Bernoulli, Jakob 59 Besaran inti 65 Betti (Syarat) 354 Bobot-beban W 372 Bulldog connector 237
-,
Castigliano { Syarat} 356
Clapeyron, Syarat persamatn tiga momen
ao,
Cremona l83 Cross (lihat: Sistem Cross) Culmann, Karl 176, 185
Distribusi momen, persiapan 292 -- , menrut Cross 292, $4
-, -, -,
, 6rada momen lentur 395, 418,452 , pada beban yang tidak langsung 396
pada pada pada , pada - , pada -, pada --, pada -, pada --, pada
lendutan
3S
konsole 406 balok tunggal dengan konsole 407 balok rusuk Gerberzl09 busur tiga ruas 41 5 gaya normal 419 konstruksi rangka batang 424 balok rerusan 449 reaksi tumpuan statis berlebih 450 --, penentuan secara grafis 452 Garis sumbu nol 61
Gaya,20,21 titik tangkap bersama 23 -, dengan - , yang seiajar 30 --, yang tidak seiaiar 31
-, -, -, -, -, -, -,
ganda 37
tarik G3 tekan 63 lintang 45 , normal 44 dalam
€
torsi 72 yang berbahaya 83 , pengikat horisontal 312,325 Gerber, Heinrich 153 Gigi tunggal 226 Hetzer 239
Hook (Syarat) 20, 59 Engesser 88 Euler, Leonhard 83
520
Mohr, lingkaran 55, 75
-, -,
p€nentuen lendutan 97 (Syarot) 81,357,372
-, -, -, -, -, -, -, -, -,
satu gays 35 kumpulan gaya 35 lentur 45, 63 lembang tt9, 5O, 52
Keamanan 79
Alat sambungan, bafa 203
Balok rusuk Gerber, 103,253 , garis pengaruh 409
Jari-lari lembang 84
Jepitan, sendiri 27 1, 272 - , asing271,273
lnti, besaran 65
Keling 203 Kerja virtual, 343 hasil pengintegralan 351 Koefisien, distribusi 274 induksi 289 pergoyangan 3?2
-, -, -, Konsole, 102,120 dengan gaya l?0, 121 -, dengan beban merata 121 -, garis pengaruh 406 -, Konstruksi batang, 14, 101 *, pergeseran dan perputaran 359 Konstruksi berlapis maiemuk dengan perekat 239
Konstruksi bingkai 15 Konstruksi busur tiga ruas 103, lm, 168,415 Konstruksi parabol 109, 110 Konstruksi portal, tiga ruas 103, 160, 161 statis tidak tertentu 304 dengan titik simpul yang kaku 3O4 pertingkct 318, 3lil2 dengan titik simpul yang goyah 322 Konstruksi rangka batang, 15, 176 pembangunan 178 kestabilan 180 bentuk 181 p6n6ntuan gaya batang 1&l belah ketupat 188 berbentuk K 189
-, -, -, -,
-, *, -, -, -, -, pergeseran 369 -, garis pengaruh 424 -, Konstruksi tangga 149
Lagrange (Asas tentang kerja virtual) 343 Las (sambungan),207 sudut 207 tumpul 208 tepi 208 --, cekung 207 pipi207
-, -, -, -, 207 -, cembung kepala 208 -, sela 208 -, Lendutan, 96,262. Y2 -, penentuan menerut Mohr97 Maxwelt (Syarat) 355 Modul elastis 59
Momen,35
-',
sentrilwal 49 tahanan 64 jepitan 287, 289 distribusi 288) koreksi pergoyangan 322 residu 288
Navier, Louis 59, 92 Paku227 Pasak cincin 235 Pelat paku 235
Penurunan tumpuan pada baiok terjepit
V')
Perekat 239 Perjanjian tanda tl4 Persamaan kerja, poda konstruksi batang 3{5 pada konstruksi rangka batang 350 Perubahan bentuk, 59 elastis 342, 354 Polygon batang tarik 26
-,
-,
Pytagoras (hukum)
2
Ritter, A", sYarat persamaan momen 34 perhitungan gaya batang 186
-,
Sifat-sifat bahan bangunan 19 Sistim Cross, pada balok terr:san 286
--,
perianiian randa 286
momen 292, 3C$ -, distribu3i pada konstrukli portal, dengan titik sim-, pul yang kaku 3&l - , -, dengan titik simpul yang goyah 324 potong,
Sistim titik 266, 453 --, jarak penting 270 pada balok terusan 274 --, penentuan secara analytis 275 , penentuan secara grafis 277 Stegtrdger 239 Sudut putar tumpuan 255 Syarat, tangkai pengungkit 29, 1 19 keseimbangan 38, tl0, 253
-, -
-, -, -,
elastis 265 persamaan tiga rnornen (Clapeyron) 282 , dari Betti 354 --, dari Maxwell 355
521
t:/
-, -,
dari Castigliano 356 dari Mohr 357, 372
Tegangan,20,80
-, -, -, -,
normal57, fl) geser 58, @, 72 linear 73
dalam bidang 76
-,las2G
Tekukan, 81, 87 - , ex-sentris 91, 93 Tetmajer, L. von 85 Tiang terbengkok, 91 dengan beban lintang 95 Titik berat 4,6
-,
Titik patah {teoril 81 Titik simpul, macam-macam jephan 271 momen 288 Topang ganda,8l konstruksi baia 88 konslruksi kayu 90 Tumpuan, sendi 17
-,
-, -, -, -, -, -,
rd
17
1.5. Pustaka 1.
Bochmann, Fritz
iodtan 18,87
Statik im Bauwesen Jilid 2, edisi ke-9, Frankfurt/Basel 1976 Statik im Bauwesen Jilid 3, edisi ke-6. Frankfurt/Basel 1977
engsel 87
porhitung€n reaksi 40, 44
Urat nisbi 134 UYilliot (Diagram pergeseranl 379
Statik im Bauwesen
Jilid 1, edisi ke-12, Berlin 1976
2.
Darmawan, Loa W.
Konstruksi Baja ll 2. revised edition, Bandung 1976
3.
Dirdjosapoetro, Soad.
Pengantar menghitung balok gelagar pada konstruksi bangunan, edisi pertama, Jakarta 1972
4.
Frick, Heinz
5.
Gattnar/Trysna
llmu konstruksi kayu edisi pertama, Yogyakarta 1977 Htilzerne Dach- und Hallenbauten edisi ke-7, Berlin'196'l
Harasim. Alfons
Statik edisi pertama, Wtirzburg 1970
Hempel, G.
Freigespannte Holzbinder, BauFachschriften No. I edisi ke-10, Karlsruhe 1973
8.
Hirschfeld, Kurt
9.
Hofsteede/ Kramer/ Soemargono
Baustatik edisi ke-2, Berlin-GOttingen-Heidelberg 1965 llmu Mekanika Teknik Jilid A, edisi ke-2, Jakarta 1976 llmu Mekanika Teknik Jilid B, edisi ke-3, Jakarta 1976 llmu Mekanika Teknik Jilid C, edisi ke-2, Jakarta 1977
10.
H
ofsteede/ Kramer/ Baslim
11.
H
olsteede/ Kramer/Zeiruddin
llmu Mekanika Teknik
Jilid D, edisi ke-2, Jakarta 1977 12.
Johannson, Johannes
r3.
Kaufmann, W.
Das Cross-Verfahren edisi ke-2, Berlin-Gottingen-Heidelberg 1955
Statik der Tragwerke edisi ke-4, Berlin 1957
522
14.
Kirchhoff, R.
15.
Ktiderli + Co.
Die Statik der Eauwerke Jilid 1, edisike-6, 1960 Handbuch l, Tabellen edisi ke-2, 1963, Ztirich, Basel
E-I {l
'lB.
I
17.
Mriller_Breslau, H.
18. Salinger, R. 19. Soemono. B.
20. 21
.
I
I
I lCNtrM, Arlrcitslyr;rnci,,s.,l-raf lirr r[rs Holz
St0ssi, F.
Wagner/Erlhof
I
t
Dokunrerftation Holz Jilid 2 dan 3 (hiiau), Ztirich .1960
.
Die graphische Statik t edisi ke-6, Leibzig,rrl"'',rronstruktionen
Praktische.Sfatlk, Wien g5l I
Statika
I
edisi pertama, Bandung 1g77
Baustatik
I
edisi ke-3, Basel 1962
Praktische Baustatik
Jilid 1, edisi ke-16, Stuttga rt1975
Piaktische Baustatik ke_12, Sturtga rt1977 Praktrbche Baustatik Jilid 3, edisi ke_6. Stuttgart 1977
Jilid2, edisi
22.
Wendehorst/Muth
B a.u te ch n is c h e Za h le nta
23.
Yayasan Dana Normalisasi tndonesia
eorsr ke-19,
{
feln
Stuttgart 1976
P::?.tr:gl Konstruksi Kayu tndonesia, Nt-i P! K /. I 96 t, ke_8, Bandung
1 976 Pe:a.t:tra n M-edisi ua ta n t ndo nesia, Nl_1g edisi ke-2, Bandung ,l976
(
x I
_:-
I I
{
t' I I
522
I
( i
