PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA. Yogyakarta, 14 November Penyelenggara : FMIPA UNY

ISBN : 978-602-73403-0-5

PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

Mengembangkan Kecakapan Abad 21 Melalui Penelitian Matematikadan Pendidikan Matematika

Yogyakarta, 14 November 2015

Penyelenggara : Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta 2015 i

PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 14 November 2015 FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta

pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika pada tanggal 14 November 2015 di Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta

Tim Penyunting Artikel Seminar : 1. Prof. Dr. Marsigit 2. Dr. Sugiman 3. Dr. Ali Mahmudi 4. Dr. Rosnawati 5. Dr. Heri Retnawati 6. Endah Retnowati, Ph.D. 7. Dr. Ariyadi Wijaya 8. Dr. Agus maman Abadi 9. Dr. Karyati 10. Dr. Hartono 11. Dr. Dhoriva UW 12. Kuswari Hernawati, M.Kom. 13. Ilham Rizkianto, M.Sc.

Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta 2015 ii

PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2011 Mengembangkan Kecakapan Abad 21 Melalui Penelitian Matematikadan Pendidikan Matematika 14 November 2015

Diselenggarakan oleh: Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta

Diterbitkan oleh Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta Kampus Karangmalang, Sleman, Yogyakarta

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam UNY, 2015

Cetakan ke 1 Terbitan Tahun 2015 Katalog dalam Terbitan (KDT) Seminar Nasional (2015 November 15: Yogyakarta) Prosiding/ Penyunting: Marsigit [et.al] Yogyakarta: FMIPA Editor : Nur Hadi W [et.al] Yogyakarta: FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta, 2015 ISBN. 978-602-73403-0-5

978-602-73403-0-5 Penyuntingan semua tulisan dalam prosiding ini dilakukan oleh Tim Penyunting Seminar Nasional MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2015 dari Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Prosiding dapat diakses: http://eprints.uny.ac.id/view/subjects/prosiding.html iii

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 T - 43

Produk Kartesius dari Ideal Fuzzy Near-ring Saman Abdurrahman Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lambung Mangkurat [email protected]

Abstrak Penelitian terkait dengan struktur aljabar fuzzy, khususnya struktur nearring fuzzy telah banyak dilakukan oleh peneliti-peneliti sebelumnya. Near-ring merupakan salah satu perluasan dari ring, di mana beberapa aksioma yang ada pada ring tidak harus diberlakukan pada near-ring. Operasi pertama pada near-ring sebarang tidak harus membentuk grup abelian, terhadap operasi kedua membentuk semigrup, dan terhadap operasi pertama dan kedua, cukup dipenuhi salah satu sifat distributif kiri atau distributif kanan. Ide penelitian ini dimotivasi oleh tulisan Malik at al [1] yang membicarakan produk kartesius pada struktur subgrup fuzzy, dan ideal fuzzy pada ring, sehingga definisi dan sifat-sifat yang dihasilkan dari penelitian ini, akan dijadikan dasar untuk membangun sifat-sifat baru pada produk kartesius dari ideal fuzzy near-ring. Dalam tulisan ini akan dibicarakan produk kartesius antara dua (lebih) ideal fuzzy dari near-ring. Penelitian ini dilakukan berdasarkan studi literatur dari berbagai sumber baik berupa buku, ataupun jurnal ilmiah, khusunya yang berkaitan dengan near-ring, subnear-ring, ideal near-ring, near-ring fuzzy, subnearring fuzzy, dan ideal fuzzy near-ring. Pada tahap awal dipelajari konsep dasar nearring, subnear-ring, dan ideal near-ring. Konsep dasar ini yang nantinya akan banyak membantu dalam memahami konsep near-ring fuzzy, subnear-ring fuzzy, dan ideal fuzzy near-ring. Setelah memahami konsep near-ring fuzzy, subnear-ring fuzzy, dan ideal fuzzy near-ring, selanjutnya didefinisikan produk kartesius dari dua subset fuzzy, membuktikan beberapa lemma atau teorema yang terkait, dan menentukan asumsiasumsi sehingga terbentuk sifat baru, yang mendukung pada pembuktian produk kartesius antara ideal fuzzy near-ring. Hasil yang diperoleh dari penelitian ini adalah produk kartesius antara dua (lebih) ideal fuzzy near-ring adalah ideal fuzzy near-ring. Kata kunci: Near-ring, ideal fuzzy, produk kartesius

I.

PENDAHULUAN

Penelitian terkait dengan aljabar fuzzy telah banyak dilakukan oleh peneliti-peneliti sebelumnya, diantarannya [2] memperkenalkan konsep ideal fuzzy dari near-ring, yang meliputi hubungan antara ideal dengan ideal fuzzy. Menurut [3], near-ring merupakan salah satu perluasan dari ring, dimana beberapa aksioma yang ada pada ring tidak harus diberlakukan pada near-ring. Operasi pertama pada near-ring sebarang tidak harus membentuk grup abelian, terhadap operasi kedua membentuk semigrup, dan terhadap operasi pertama dan kedua, cukup dipenuhi salah satu sifat distributif kiri atau kanan. Dalam tulisan ini akan disajikan produk kartesius ideal fuzzy dari suatu near-ring. Ide tulisan ini, dimotivasi dari tulisan [1] yang membicarakan produk kartesius pada struktur subgrup fuzzy, dan ideal fuzzy ring, sehingga sifat-sifat yang dihasilkan dari produk kartesius dari subgrup fuzzy, dan produk kartesius ideal fuzzy ring, akan dijadikan dasar untuk membangun sifat-sifat pada produk kartesius dari ideal fuzzy nearring. II.

METODE PENELITIAN

Penelitian ini dilakukan berdasarkan studi literatur dari berbagai sumber baik berupa buku, atau jurnal ilmiah, khususnya yang berkaitan dengan near-ring, subnear-ring, ideal near-ring, near-ring fuzzy, subnear-ring fuzzy, dan ideal fuzzy near-ring. Berikut diberikan beberapa definisi, dan lemma yang mendukung pada pembahasan produk kartesius dari ideal fuzzy near-ring. Definisi 2.1. [3] Himpunan R tidak kosong dengan dua operasi biner + dan disebut near ring, jika memenuhi: (1) (R, +) adalah grup (tidak harus grup abelian), (2) (R, .) adalah semigrup, (3) untuk setiap x,y,z R berlaku salah satu sifat distributif kanan atau kiri (i). distributif kanan : (x + y) . z = x . z + y . z

479

ISBN. 978-602-73403-0-5

(ii). distributif kiri : x . (y + z) = x . y + x . z Suatu near-ring disebut near-ring kanan jika memenuhi aksioma (1), (2), dan (3) bagian (i), dan disebut near-ring kiri jika memenuhi aksioma (1), (2), dan (3) bagian (ii). Selanjutnya yang dimaksud near-ring adalah near-ring kiri, kecuali ada keterangan lebih lanjut, dan x y dapat juga ditulis xy. Pada near-ring, grupnya tidak harus abelian terhadap operasi +, maka dalam mendefinisikan ideal, subgrupnya harus merupakan subgrup normal. Definisi 2.2. [3] Diberikan near-ring R. Subgrup normal dari R disebut ideal dari R, jika (1). RI I (2). (r + i)s rs I untuk setiap r, s R dan i I. Subgrup normal I dari R, memenuhi kondisi (1) disebut ideal kiri dari R, dan memenuhi kondisi (2) disebut ideal kanan dari R. Definisi 2.3. [5, 6] Diberikan X adalah himpunan tidak kosong. Suatu pemetaan disebut subset fuzzy dari X jika . Selanjutnya himpunan semua subset fuzzy dari X dinotasikan dengan (X). Definisi 2.4. [5, 6] Diberikan (X) dan t [0, 1]. Didefinisikan t {x X| (x) t}. Selanjutnya t disebut t-cut atau t-level set dari . Definisi 2.5. [7] Diberikan near-ring R dan (R). Subset fuzzy disebut subnear-ring fuzzy dari R jika (x y) min{ (x), (y)}, dan (xy) min{ (x), (y)} untuk setiap x,y R. Definisi 2.6. [7] Diberikan near-ring R dan (R). Subset fuzzy disebut ideal fuzzy dari R, jika untuk setiap x, y, z R berlaku: (1) (x y) min{ (x), (y)}, (2) (x) (y + x y), (3) (xy) (y), dan (4) ((x + z)y xy) (z). Subset fuzzy disebut ideal kiri fuzzy dari R jika memenuhi kondisi (1), (2), dan (3), sedangkan disebut ideal kanan fuzzy dari R jika memenuhi kondisi (1), (2), dan (4). Lemma 2.7. [2] Diberikan near-ring R. Jika adalah subnear-ring fuzzy dari R, maka (0R) (x), dan ( x) (x) untuk setiap x R. Definisi 2.8. [1, 5, 6] Diberikan near-ring R, dan , (R). Produk kartesius dari dan adalah ( )(x, y) : min{ (x), (y)} untuk setiap x, y R. III. HASIL DAN PEMBAHASAN Berdasarkan definisi produk kartesius antara dua subset fuzzy, dan sifat nilai keanggotaan dari elemen identitas pada operasi pertama, selanjutnya dikontruksi nilai keanggotaan dari produk kartesius dari dua subnear-ring fuzzy yang disajikan dalam lemma berikut: Lemma 3.1. Jika dan adalah subnear-ring fuzzy dari near-ring R, maka ( )(0R, 0R) ( )(x, y), dan ( )[ (x, y)] ( )(x, y) untuk setiap x, y R. Bukti: Diambil sebarang x, y R, dengan 0R adalah elemen identitas dari (R, +), maka ( )(0R, 0R) min{ (0R), (0R)}, dan ( )[ (x, y)] min{ ( x), ( y)}. Mengingat dan adalah subnear-ring fuzzy dari near-ring R, maka menurut Lemma 2.7, ( )(0R, 0R) min{ (x), (y)} ( )(x, y), dan ( )[ (x, y)] min{ (x), (y)} ( )(x, y). Teorema 3.2. Diberikan near-ring R dengan , (R). Jika adalah ideal fuzzy dari R R, maka untuk setiap x R: i) (0R) (x) atau (0R) (x); ii) jika (0R) (x) maka, (0 R) (x) atau (0R) (x); iii) jika (0R) (x) maka, (0R) (x) atau (0R) (x); iv) atau adalah ideal fuzzy dari R. Bukti: i) Andaikan ada x, y R sedemikian hingga (0R) (x) dan (0R) (x), maka ( )(x, y) = min{ (x), (y)} min{ (0R), (0R)} = ( )(0 R, 0R). Kondisi ini kontradiksi dengan adalah ideal fuzzy dari R R, sehingga pengandaian salah, seharusnya (0R) (x) atau (0 R) (x). ii) Andaikan ada x, y R sedemikian hingga (0R) (x) dan (0R) (y), maka ( )(x, y) = min{ (x), (y)} min{ (0R), (0 R)} = (0R) = min{ (0 R), (0R)} = ( )(0R, 0 R). Kondisi ini kontradiksi dengan adalah ideal fuzzy dari R R, sehingga pengandaian salah, seharusnya (0R) (x) atau (0R) (x). iii) Bukti analog dengan bagian (ii).

480

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015

iv) Dari kondisi (i) dan (ii), jika (0R) (x) maka, (0R) (x) atau (0R) (x) untuk setiap x R. Kasus 1. (0R) (x) untuk setiap x R, maka ( )(x, 0R) = (x). Selanjutnya diambil sebarang x, y, z R, maka (x y) = min{ (x y), (0R)} = ( )[(x y), 0 R] = ( )[(x, 0R) (y, 0R)] min{( )(x, 0R), ( )(y, 0R)} = min{min{ (x), (0R)}, min{ (y), (0R)}} = min{ (x), (y)}, (y + x y) = min{ (y + x y), (0R)} = ( )(y + x y, 0R) = ( )[(y, 0R) + (x, 0R) (y, 0R)]= ( )(x, 0R) = min{ (x), (0R)} = (x), (xy) = min{ (xy), (0R)} = ( )[(x, 0R)(y, 0R)] ( )(y, 0R) = min{ (y), (0R)} = (y), dan [(x + z)y xy] = min{ [(x + z)y xy], (0R)} = ( )[(x + z)y xy, 0R] = ( )([(x, 0R) + (z, 0R)](y, 0R) (x, 0R)(y, 0R)] ( )(z, 0R) = min{ (z), (0R)} = (z). Dari analisa di atas, maka adalah ideal fuzzy dari R. Kasus 2. (0R) (x) untuk setiap x R. Andaikan kondisi pada kasus 1 tidak berlaku, maka ada y R sedemikian hingga (0R) (y), akibatnya (0R) (y) (0R), maka ( )(0, x) = (x) untuk setiap x . Selanjutnya diambil sebarang x, y, z R, maka (x y) = min{ (0R), (x y)} = ( )(0R, x y) = ( )[(0R, x) (0R, y)] min{( )(0R, x), ( )(0R, y)} = min{min{ (0R), (x)}, min{ (0R), (y)}} = min{ (x), (y)}, (y + x y) = min{ (0R), (y + x y)} = ( )(0R, y + x y)= ( )[(0R, y) + (0R, x) (0R, y)] =( )(0R, x) = min{ (0R), (x)} = (x), (xy) = min{ (0R), (xy)} = ( )[(0R, x)(0R, y)] ( )(0R, y) = min{ (0R), (y)} = (y), dan [(x + z)y xy] = min{ [(x + z)y xy], (0R)} = ( )[(0 R, x + z)y xy] = ( )([(0R, x) + (0R, z)](0R, y) (0R, x)(0R, y)] ( )(0R, z) = min{ (0R), (z)} = (z). Dari analisa di atas, maka adalah ideal fuzzy dari R. Akibat 3.3. Diberikan subset fuzzy dan dari near-ring R sedemikian hingga adalah ideal fuzzy dari R R. Jika (0R) = (0 R), (0R) (x), dan (0 R) (x) untuk setiap x R, maka atau adalah ideal fuzzy dari R. Teorema 3.4. Jika ideal fuzzy dari near-ring R R, maka (x y, z) = (y, 0R), (x y, z) = (x, z), dan (x, z) = (y, 0R) untuk setiap x, y, z R. Bukti: Misalkan (x y, z) = a, (y, 0R) = b, dan (x, z) = c. Mengingat ideal fuzzy dari R R, maka untuk setiap x, y, z R berlaku: (x y, z) = [(x, z) (y, 0R)] min{b, c} a b dan a c, (y, 0R) = [(x y, z) (x, z)] min{a, c} b a dan b c, dan (x, z) = [(x y, z) + (y, 0R)] min{a, b} c a dan c b. Jadi, (x y, z) = (y, 0R), (x y, z) = (x, z), dan (x, z) = (y, 0R). Teorema 3.5. Diberikan near-ring R. Jika dan adalah ideal fuzzy dari near-ring R, maka adalah ideal fuzzy dari R R. Bukti: Diambil sebarang x, y, z, w, m, n R, maka: ( )[(x, y) (z, w)] ( )(x z, y w) min{ (x z), (y w)} min{min{ (x), (z)}, min{ (y), (w)}} min{min{ (x), (y)}, min{ (z), (w)}} min{( )(x, y), ( )(z, w)}, ( )[(x, y)(z, w)] ( )(xz, yw) min{ (xz), (yw)} min{min{ (x), (z)}, min{ (y), (w)}} min{min{ (x), (y)}, min{ (z), (w)}} min{( )(x, y), ( )(z, w)} ( )[(x, y) + (z, w) (x, y)] ( )(x + z x, y + w y) min{ (x + z x), (y + w y)} min{ (z), (w)} ( )(z, w), dan ( )([(x, y) + (z, w)](m, n) (x, y)(m, n)] ( )[(x + z)m xm, (y + w)n yn] min{ (x + z)m xm), (y + w)n yn)} min{ (z), (w)} ( )(z, w). Akibat 3.6. Jika 1, 2, ..., n adalah ideal fuzzy dari near-ring R, maka 1 2 ... n adalah ideal fuzzy dari . Lemma 3.7. Jika adalah ideal fuzzy dari near-ring R R, maka untuk setiap x, y, z, w R: (1) [(x, y) + (z, w)] [(z, w) + (x, y)], dan (2) [(x, y) (z, w)] (0R, 0R) maka (x, y) (z, w). Bukti: (1) Diambil sebarang x, y, z, w R, maka

481

ISBN. 978-602-73403-0-5

((x, y) + (z, w))

( (x, y) + [(x, y) + (z, w)] + (x, y)) ([ (x, y) + (x, y)] + (z, w) + (x, y)) [(z, w) + (x, y)], (2) Diambil sebarang x, y, z, w R, maka a). (x, y) [(x, y) + (0R, 0 R)] ((x, y) + [ (z, w) + (z, w)]) ([(x, y) (z, w)] [ (z, w)]) min{ [(x, y) (z, w)], [ (z, w)]} min{ (0R, 0R), (z, w)} (z, w) b). (z, w) [ (z, w)] ([ (x, y) + (x, y)] (z, w)) ( (x, y) + [(x, y) (z, w)]) ( (x, y) [ ((x, y) (z, w))]) min{ ( (x, y), ( [(x, y) (z, w)])} min{ (x, y), [(x, y) (z, w)]} min{ (x, y), (0R, 0R)} (x, y) Berdasarkan a) dan b), maka (x, y) (z, w) untuk setiap x, y, z, w R. Lemma 3.8. Diberikan dan adalah ideal fuzzy dari near-ring R. Produk kartesius dari dan adalah ideal fuzzy dari R jika dan hanya jika t R untuk setiap t [0, 1]. t adalah ideal dari R Bukti: ( ) Mengingat adalah ideal fuzzy dari R R, maka menurut [2], Teorema 4.1.6, ( )t adalah ideal dari R R untuk setiap t [0, 1]. Untuk membuktikan t R untuk setiap t adalah ideal dari R t [0, 1], cukup dibuktikan ( )t = t t. Selanjutnya, ( )t = {(x, y) | ( )(x, y) t} = {(x, y) | min{ (x), (y) t}= {(x, y) | (x) t dan (y) t} = {(x, y) | x t dan x t} = t t. ( ) Mengingat t R, dan ( )t = t t adalah ideal dari R t, maka menurut [2], Teorema 4.1.6, adalah ideal fuzzy dari R R. Akibat 3.9. Diberikan 1, 2, ..., dan n adalah ideal fuzzy dari near-ring R. Produk kartesius dari 1, jika dan hanya jika 1 ... 2, ..., dan n adalah ideal fuzzy dari 2 n adalah ideal dari

untuk setiap t [0, 1]. IV.

SIMPULAN DAN SARAN

Hasil penting yang dapat dijadikan sebuah kesimpulan dari tulisan ini adalah, produk kartesius dari dua(lebih) ideal fuzzy dari near-ring R, adalah ideal fuzzy dari near-ring . Pada penelitian ini, belum diulas produk kartesius dari ideal-ideal fuzzy dari near-ring R yang mempunyai sifat normal, sehingga penulis mengajukan saran agar dapat dilakukan penelitian lebih lanjut pada ideal-ideal fuzzy near-ring yang bersifat normal. Daftar Pustaka [1]

D. S. Malik, and J. N.

[2]

S. Abdurrahman, Thresye, dan N. Hijriati Ideals fuzzy near-ring , Jurnal Matematika Murni dan Terapan Epsilon, Vol. 6(2), 2012, pp. 13 19.

[3]

Bh. Satyanarayana, and K. S. Prasad,

[4]

J. N. Mordeson, K. R. Bhutani, and A. Rosenfeld, Fuzzy group theory , Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2005.

[5]

J. N. Mordeson,

[6]

Y. M. Feng, Q. S. Zeng, L. M. Zou, and and Engineering, vol. 4(2), 2010, pp. 413

[7]

Fuzzy relation on rings and groups , Fuzzy Set and Systems, vol. 43, 1991, pp. 117

-

123.

, Taylor and Francis Group, LLC, 2013. , vol. 18(3), 2011, pp. 596 , )

422.

W. B. V. Kandasamy, Smarandache fuzzy algebra , American Research Press Rehoboth, 2003.

482

601. , Fuzzy Information