PROSIDING KONFERENSI NASIONAL MATEMATIKAA XVI Bandung, 3-6 Juli Matematika sebagai Bahtera Pendidikan untuk Mencerdaskan Kehidupan Bangsa

ISBN No. 978-602-19590-2-2

PROSIDING KONFERENSI NASIONAL MATEMATIKA XVI Bandung, 3-6 Juli 2012

“Matematika sebagai Bahtera Pendidikan untuk Mencerdaskan Kehidupan Bangsa”

Diselenggarakan oleh : Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Padjadjaran Bekerjasama dengan : The Indonesian Mathematical Society (IndoMS)

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

DAFTAR ISI PROSIDING halaman

COVER ....................................................................................... i DAFTAR ISI ............................................................................... ii TIM PROSIDING KNM XVI ................................................... xxi TIM PENILAI MAKALAH KNM XVI .................................. xxiii KATA PENGANTAR PRESIDEN INDOMS .......................... xxv KATA PENGANTAR KETUA PANITIA ............................... xxvii DAFTAR NAMA PEMBICARA UTAMA KNM XVI .......... xxviii DAFTAR TOPIK PEMBICARA UTAMA KNM XVI .......... xxix DAFTAR MAKALAH ............................................................. xxx

MAKALAH PEMBICARA UTAMA KNM XVI Pelabelan Graf dan Matriks Ketetanggaan ............................................. Kiki A. Sugeng

1-14

Calculus on The Family of Continuous Functions ................................. Soeparna Darmawijaya

15-32

Customer Comparative Benchmarking of Penang Beach Hotels’ Service Performance Using Analytic Hierarchy Process ...................... Engku Muhammad Nazri Bin Engku Abu Bakar

33-42

BIDANG ALJABAR Pembangkitan S-Box 8x8 yang Kuat Secara Kriptografis dengan Menggunakan Metode Gao .................................................................... Sari Agustini Hafman, Arif Fachru Rozi Submodul Prima Terasosiasi .................................................................. Sutopo, Indah Emilia Wijayanti,Sri Wahyuni

43-50

51-56

ii

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Analisis Konstruksi dan Sifat BCH Code .............................................. Achmad Fahrurozi, Sri Mardiyati Sifat-Sifat Modul Hasil Bagi Atas Ring Hasil Bagi dari Suatu Himpunan Multiplikatif ......................................................................... Atun Ismarwati, Sri Wahyun, Indah Emilia Wijayanti

57-64

65-74

Ideal Mendasar dalam Aljabar Lintasan Leavitt .................................... Khurul Wardati, Indah Emilia Wijayanti, Sri Wahyuni

75-84

Nilai Eigen dari Beberapa Matriks Tridiagonal ..................................... Euis Hartini

85-94

Nonexistence of Integral Hypergraphs C (K ; M; N) ............................ Mulia Astuti, A.N.M. Salman, Hanni Garminia, Irawati

95-98

Suatu Sifat dari Gelanggang Prima Dedekind ........................................ Elvira Kusniyanti, Hanni Garminia Y,Pudji Astuti

99-106

Karakterisasi Gelanggang Prima Dedekind Melalui Sifat Herediter ..... Mahmudi, Hanni Garminia, Pudji Astuti

107-114

Aljabar Graf sebagai Produk Silang Atas Semigrup .............................. Rizky Rosjanuardi

115-120

Aljabar Bersih ........................................................................................ Indah Emilia Wijayanti

121-130

BIDANG ANALISIS Teorema Titik Tetap di Ruang Norm-2 Standar .................................... Muh Nur Sifat-Sifat Barisan dan Fungsi dari Klas P-Mean Value Bounded Variation ................................................................................................ Moch. Aruman Imron, Ch. Rini Indrati, Widodo

131-136

137-148

iii

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Beberapa Sifat Himpunan dan Fungsi Lunak Kabur pada Ruang Topologi Lunak Kabur ........................................................................... Budi Nurwahyu Kompak Gauge-S yang Dibangkitkan Gauge Simetri ........................... Dewi Kartika Sari, Ch. Rini Indrati Aproksimasi Polinomial Terbaik Berderajat Satu pada Ruang C[A,B] dengan Metode Jajargenjang Terkecil ................................................... Dadang Amir Hamzah, Hendra Gunawan

149-158

159-164

165-168

Continuously Translated Wavelet .......................................................... Dylmoon Hidayat

169-172

Estimasi Energi untuk Persamaan Gelombang Nonlinear ..................... Ratno Bagus Edy Wibowo

173-176

Lemma Henstock pada Integral Muslich

................

177-184

Tipe Henstock Integral Young-Stieltjes Fungsi dari [A,B] Ke Ruang Hilbert X ................................................................................................. Ch. Rini Indrati

185-194

di Ruang Berdimensi-

BIDANG GRAF DAN KOMBINATORIK Menentukan Parameter Enumerasi dan Jalur Hamiltonian pada Topologi Jaringan Interkoneksi Cartesian Product Torus-Butterfly ..... Latifah, Ernastuti, Djati Kerami Pelabelan Harmonis-Ganjil pada Graf Korona .................................. Rismayati, Surip, Junita Fauziah, Kiki A Sugeng Pelabelan Total Simpul Anti Ajaib Super pada Graf Unisiklik dan Graf Matahari ......................................................................................... Gusti Ayu Saputri, Lucy Kurniadini, Khoirunnisa, Kiki Ariyanti Sugeng

195-200

201-208

209-214

iv

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Indeks Kromatik untuk Graf Fuzzy Lingkaran, Graf Fuzzy Lengkap dan Graf Fuzzy Bipartisi Lengkap ......................................................... Isnaini Rosyida, Widodo, Ch Rini Indrati, Kiki A. Sugeng

Digraf Eksentrik dari Graf Musik(M n ) dan M n Sri Kuntari

215-226

K 1 ...........................

227-232

Pelabelan Total Busur Ajaib B-Busur Berurutan pada Graf Lobster Ln(2; R) dan Ln(2; R, S) .......................................................................... Syarifani Rachmawati, Denny Riama Silaban

233-240

Pelabelan Total Busur Ajaib B-Busur Berurutan pada Graf Lobster Semi Teratur dan .......................................... Sri Wahyuni Wulandari, Denny Riama Silaban

241-250

Karakterisasi Graf Bipartit Lengkap Kn,N yang Memiliki Pelabelan Sisi (A;D)-Titik-Anti Ajaib ........................................................................... Alfan Sukmana Praja, A.N.M. Salman

251-258

BIDANG KOMPUTER Digital Watermarking Berbasis Dct-Svd pada Media Citra Digital Berwarna (RGB) dan Bagaimana Ketahanan pada Serangan Kompresi JPEG ....................................................................................................... Anggrahito, Megi Paramitha P. Aplikasi Pengenalan Tulisan Tangan untuk Ekspresi Matematika Berbasiskan Komputer ........................................................................... Wikaria Gazali, Nilo Legowo, Harry Tedja Sukmana Segmentasi Citra Digital Menggunakan Algoritma Watershed ............. S.Hadi, D. Nursantika, A. Sholahuddin, Yislam Implementasi Data Warehouse untuk Mendukung Business Intelligence di PLN Sulselrabar ............................................................. Sylvia Jane A. Sumarauw, Edi Winarko

259-268

269-274

275-282

283-292

v

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Aplikasi Algoritma Rivest Code 6 dalam Pengamanan Citra Digital .... Anisah Muharini, Suryadi MT

293-299

Pengenalan Wajah Menggunakan Metode Adjacent Pixel Intensity Difference Quantization Termodifikasi ................................................. Daryono Budi U, Soetrisno, Yuliono

301-308

Pengenalan Pola Aksara Jawa/Hanacaraka dengan Menggunakan Self Organizing Maps (SOM) ....................................................................... Akik Hidayat, Samsudin

309-318

Penerapan Operator Fuzzy Linguistic Ordered Weighted Averaging (Flowa) untuk Asesmen Aspek Afektif .................................................... Sri Andayani, Sri Hartati

319-328

Algoritma Possibilitic Kernel C-Means untuk Klasifikasi Data Multikelas ............................................................................................... Zuherman Rustam

329-334

Intrusion Detection Systems Menggunakan Fuzzy Kernel C-Means ..... Zuherman Rustam

335-342

Optimasi Query CBIR Menggunakan Klaster Indeks K-Means ............ Juli Rejito, Retantyo Wardoyo, Sri Hartati, Agus Harjoko

343-350

Uji Validitas dan Waktu Akses Klaster K-Means Database Citra ........ Juli Rejito, Retantyo Wardoyo, Sri Hartati, Agus Harjoko

351-358

Aplikasi Multimedia Menggunakan Image Query dengan Wavelet Haar ........................................................................................................ Rudi Rosadi, Atje Setiawan Abdullah, Henry Sundany

359-362

Implementasi Konsep Visi Komputer Menggunakan Roborealm ......... Setiawan Hadi

363-374

Steganografi pada Audio Mp3 Menggunakan Teknik Parity Coding .... Ino Suryana, Akik Hidayat, Prima Aulia Rachman

375-390

Sistem Pakar Diagnosa Kerusakan Mesin Diesel .................................. Alit Kartiwa, Ino Suryana, Sisca Sarach

391-404

vi

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Analisis Manifold Learning dan Robust Regression pada Perkiraan Usia Manusia Berbasis Gambar Wajah .................................................. Arief Fatchul Huda, Reli Roliani, Ade Romadhony

405-412

Peningkatan Proses Pruning dan Keakurasian Klasifikasi Algoritma CBS Menggunakan Feat dan Reduksi Akurasi CLEDM ....................... Mohammad Iqbal, Imam Mukhlash

413-420

BIDANG KEUANGAN Analisa Model Market of Risk Terkait Model Tingkat Bunga Satu Faktor ............................................................................................. Feni Andriani, Bevina D. Handari, Gatot F. Hertono Aplikasi Model Katastrofe Cusp Stokastik pada Krisis Pasar Saham .... Fathin Chamama, Bevina D. Handari, Hengki Tasman

421-430

431-438

Aplikasi Model Indeks Tunggal pada Pembentukan Portofolio Optimal.................................................................................................... Elis Ratna Wulan

439-442

Penentuan Nilai Opsi Saham Karyawan Multiple Barrier dengan Metode Monte Carlo .............................................................................. Dila Puspita, Kuntjoro Adji Sidarto

443-448

Value-At-Risk Perubahan Kurs IDR Terhadap Mata Uang Asing Menggunakan Pendekatan Ekonometrik Time Series ............................ Sukono

449-456

Dampak Investasi Asing Langsung untuk Tabungan Domestik dan Pertumbuhan Ekonomi di Negara Indonesia dan Malaysia ................... Yusup Supena

457-474

The Stochastic Control Problems Arising in Pricing Barrier Options ... Komang Darmawan

475-482

vii

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Pengaruh Laju Inflasi dan Pertumbuhan Ekonomi Terhadap Indeks Harga Saham Gabungan di Bursa Efek Indonesia ................................. Endang Soeryana, Bayu Ar-Rab’ul Chali, Helvina Rachmanissa, Elfa Azizah

483-490

BIDANG TEORI SISTEM KENDALI Analisa Keamanan Sistem Diskrit ......................................................... Noorma Yulia Megawati, Salmah Pengendali Umpan Balik Berorde Rendah pada Sistem Bilinear Melalui Pertidaksamaan Matriks Linear ................................................ Solikhatun, Roberd Saragih, Endra Joelianto

491-498

499-508

BIDANG STATISTIKA Reserve Estimation ................................................................................. Sutawanir Darwis, Agus Yodi Gunawan, Asep K Permadi, Nina Fitriyati Pemetaan SMP-SMP di Kabupaten Minahasa Tenggara, Sulawesi Utara Berdasarkan Standar Kompetensi Lulusan, Standar Isi dan Standar Proses dengan Menggunakan Analisis Biplot ........................... Djoni Hatidja, Roland Take Pohon Binomial Suku Bunga Model Cox, Ingersoll, and Ross (CIR) .... Yunita Wulan Sari, Dedi Rosadi

509-516

517-526

527-534

Algoritma Newton-Rhapson untuk Pencarian Estimator Parameter Optimal Fungsi Korelasi Gaussian dalam Prediktor Kriging ................ Elmanani Simamora, Subanar, Sri Haryatmi Kartiko

535-544

Analisa Pengaruh Intensitas Pancaran Gelombang Radio Elektromagnetik Mobile Phone Terhadap Chronic Fatigue Syndrome pada Remaja di Surabaya Pusat ............................................................. Nur Silviyah Rahmi, Laili Zaidiyah Nihayatin, Riza Inayah, Zainuddin

545-554

viii

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Peramalan Jumlah Penggunaan Tempat Tidur di Rumah Sakit dengan Pendekatan Rantai Markov Waktu Diskrit (Studi Kasus pada Unit Rawat Inap Ruang III RSU Haji Surabaya) ........................................... Laksmi Prita Wardhani, Nuri Wahyuningsih, Enjela P Convergence Visualization of ENKF for Linear Dynamical System .... Nina Fitriyati, Sutawanir Darwis, Agus Yodi Gunawan, Asep Kurnia Permadi Perbandingan Tingkat Kemudahan Tiga Metode Konjoin pada Preferensi Mahasiswa Terhadap Kualitas Dosen Sekolah Tinggi Ilmu Statistik ................................................................................................... Fitri Catur Lestari Perbandingan Estimator Kernel dan Estimator Spline dalam Model Regresi Nonparametrik .......................................................................... I Komang Gde Sukarsa, I Gusti Ayu Made Srinadi, Ni Luh Ayu Puspa Lestari

555-564

565-572

573-580

581-590

Analisis Faktor-Faktor Yang Mempengaruhi Kemiskinan Di Jawa Tengah Melalui Model Regresi Spasial .................................................. Elza Ardia Delavita, Irwan Susanto, Purnami Widyaningsih

591-598

Rancangan D-Optimal untuk Model Regresi Eksponensial dengan Mean Terboboti ...................................................................................... Tatik Widiharih, Sri Haryatmi, Gunardi

599-608

Aplikasi Algoritma MCD Pada Diagram Kontrol Mewma ................... J. K. Wororomi, M. Mashuri, Irhamah, A. Z. Arifin

609-616

Aplikasi Integral Riemann-Stieltjes pada Bidang Ilmu Statistika .......... Rini Cahyandari

617-624

Model Linear Campuran Spasial Rancangan Acak Kelompok .............. Mohammad Masjkur

625-632

Penentuan Bobot Model Neural Network untuk Data Time Series Menggunakan Algoritma Genetika ........................................................ Budi Warsito, Subanar, Abdurakhman, Widodo

633-644

ix

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Estimasi Parameter Model Cox Bivariat Bersyarat dengan Metode Maximum Partial Likelihood Estimation ............................................... Irfan Wahyudi, Purhadi, Sutikno, Irhamah

645-654

Aplikasi Analisis Regresi Logistik untuk Mendiagnosis Penyakit Mata Katarak ................................................................................................... Julius Hendrik Lolombulan, Yopi F. Thungari

655-662

Evaluasi Jumlah Suara Tidak Sah pada Pemilihan Kepala Daerah (Contoh Kasus Kabupaten Ogan Ilir Tahun 2005) ................................ Eriga

663-666

Korelasi Hidrodinamika dengan Penyebaran Polutan di Sungai ........... Bambang Agus S., Basuki Widodo, Setiawan Log-Logistik Hierarchical Bayesian Model pada Estimasi Pengeluaran Perkapita Rumah Tangga .................................................. Pudji Ismartini, Nur Iriawan, Setiawan, Brodjol Sutijo Suprih Ulama Pemodelan Persamaan Struktural dengan Hubungan Kuadratik ........... Widya Irmaningtyas, Dedi Rosadi Simulasi Model Regresi Logistik dengan Penambahan Konstanta untuk Memprediksi Peluang Suatu Kasus ............................................. Ratna Christianingrum Aplikasi Metode Lean Six Sigma dalam Usaha Mengurangi Ketidaksesuaian Volume dan Kegagalan Proses Penutupan Botol pada Pengisian Produk Cair di PT. Kimia Farma (Persero) tbk Plant Bandung ................................................................................................. Ekasatya Aldila Afriansyah, Bambang Avip Priatna Martadiputra, Rini Marwati Model Long-Memory Farima dan Aplikasinya pada Pemodelan Data Asset Returns di Indonesia ..................................................................... Iqbal Kharisudin, Dedi Rosadi, Abdurakhman, Suhartono Pengembangan dan Penerapan Model Space Time ................................ Budi Nurani Ruchjana

667-670

671-678

679-688

689-694

695-704

705-712

713-722

x

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Extension Periodic Padding pada Spektrum dan Matriks Ortogonal dengan Wavelet Daubechies .................................................................. Nurwiani, Sony Sunaryo, Setiawan, Bambang Widjanarko Otok Perbandingan Regresi Bertatar (Stepwise Regression) dan Regresi Komponen Utama (RKU) dalam Mengatasi Multikolinieritas pada Model Regresi Linier Berganda ............................................................. Made Susilawati, I Komang Gde Sukarsa, I Dewa Ayu Hari Krisna

723-728

729-738

Pemodelan Kurva Pertumbuhan Balita pada Kartu Menuju Sehat Berdasarkan Estimator P-Spline (Studi Kasus Balita di Surabaya) ....... Toha Saifudin, Nur Chamidah

739-748

Metode Maksimum Likelihood Penaksiran Parameter Model Time Series Asumsi Heteroskedastik .............................................................. Nelson Nainggolan

749-756

Estimasi Risiko Kerugian Asuransi Melalui Generalized Extreme Value Distribution .................................................................................. Lienda Noviyanti

757-764

Estimator Polinomial Lokal dalam Regresi Nonparametrik Birespon untuk Kasus Korelasi Error Berbeda ...................................................... Nur Chamidah, I Nyoman Budiantara, Sony Sunaryo, Ismaini Zain

765-774

Model Space Time Autoregresi Orde 1 dalam Lokasi dan Orde 2 dalam Waktu, (Star (1;2)) ...................................................................... Emah Suryamah, Budi Nurani Ruchjana, Sugihartini

775-784

Peluang Kegagalan (Problem Loans) Menggunakan Analisis Regresi Logistik .................................................................................................. Khafsah Joebaedi, Sukono,Yesi Rahmawati

785-792

Ketaksamaan Harnack dalam Konteks Graf .......................................... Baiq Rika Ayu Febrilia, Sapto Wahyu Indratno Aplikasi Logika Fuzzy Pada Data Runtun Waktu Terhadap Tingkat Ketelitian Peramalan ....................................................................... Georgina M. Tinungki

793-800

801-810

xi

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Perbandingan LSE dan SLSE pada Model ARCH dengan Studi Monte Carlo ....................................................................................................... Herni Utami, Subanar, Dedi Rosadi

811-814

BIDANG TERAPAN Kebijakan Pemanenan Optimal pada Model Kompetisi Dua Populasi ................................................................................................... Syamsuddin Toaha

815-824

Analisa Kestabilan Gerak Gelombang Air pada Bidang Miring dengan Metode Kedua Liapunov ........................................................................ Bambang Agus S, Lukman Hanafi

825-828

Maximum Likelihood Estimation (MLE) pada Model Logistik Exponensial ............................................................................................ Desi Rahmatina

829-836

Konstruksi Algoritma RSA dan Elgamal Berbasis Grup Kurva Eliptik ..................................................................................................... Is Esti Firmanesa

837-846

Aplikasi Metode Elemen Hingga dalam Menganalisis Sifat-Sifat Akustik dari Busa Poliuretan ................................................................. Zeth Arthur Leleury, Basuki Widodo, Yono Hadi Pramono

847-858

Pemanfaatan Theorema Chinese Remainder Sebagai Pembangkit Key Broadcasting pada Protokol Pertukaran Kunci ...................................... Aprita Danang Permana

859-864

Eksistensi Titik Ekuilibrium pada Pemodelan Natural History of Cervical Cancer ..................................................................................... Tri Sri Noor Asih, Lina Aryati, Fajar Adi Kusumo, Mardiah Suci Hardianti Analisis Perambatan Soliton pada Medium Nonlinear Kerr Nonlokal Melalui Evolusi Nilai Eigen ................................................................... Isnani Darti, Suhariningsih, Marjono

865-872

873-878

xii

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Skema Beda Hingga Tak-Standar untuk Model Epidemi dengan Laju Penularan Tersaturasi yang Dimodifikasi .............................................. Agus Suryanto

879-888

Metode Heuristik pada Penempatan Murid-Murid Baru ke Dalam Grup-Grup Tutor di Sekolah Menengah ................................................ Zulfalah Zainudin, Sri Mardiyati

889-896

Formulasi Matematika pada Vibrasi Mikrokantilever untuk Aplikasi Biosensor ................................................................................................ Ratno Nuryadi

897-904

Perluasan Sistem Dinamik Proses Metanolisis pada Pembentukan Biodiesel dari Minyak Jelantah .............................................................. Rina Ratianingsih, Agus Indra Jaya

905-912

Analisa Kestabilan Dinamika Makrofag yang Terinfeksi Virus HIV dan Limfosit CTLS ................................................................................ Diny Zulkarnaen, Trisna Taufik D.

913-920

Simulasi Pengaruh Tegangan Permukaan Terhadap Perubahan Nilai Resistansi dan Defleksi pada Sensor Mikrokantilever ........................... Lia Aprilia, Ratno Nuryadi

921-930

Model Restocking pada Populasi Jalak Bali di TNNB ........................... I Made Eka Dwipayana

931-938

Model Prediksi Kecelakaan Sepeda Motor pada Ruas Jalan dengan Pendekatan GLM (Studi Kasus di Kabupaten Malang) ......................... Sobri A.

939-948

Metode Beda–Hingga Orde Dua untuk Harga Opsi Menurut Model Jump-Difusi ............................................................................................ Betty Subartini, Dianne Amor

949-958

Deteksi Gangguan Konduksi Panas pada Keping Logam Lingkaran dengan Metode Ensemble Kalman Filter................................................ Lukman Hanafi, Erna Apriliani, Sulistyowati, Sri Suprapti Hartatiati

959-966

xiii

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Automatisasi Timetabling Pengajar Menggunakan Harmony Search di Universitas XYZ .................................................................................... Rojali, Ngarap Im. Manik, Niko Sutiono

967-976

Bifurkasi Hopf pada Model Epidemik HIV/AIDS Dua Fase Infeksi dengan Pengobatan dan Waktu Tunda ................................................... Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, Suhermin

977-986

Pemodelan Fuzzy Untuk Data Time Series dengan Metode Dekomposisi Nilai Singular dan Penerapannya untuk Prediksi Nilai Tukar Rupiah Terhadap Yen Jepang ...................................................... Agus Maman Abadi, Dhoriva Uw, Hari Purnomo Susanto Konstruksi Model Fuzzy untuk Data Time Series dan Aplikasinya untuk Prediksi Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) ........................ Hari Purnomo Susanto, Agus Maman Abadi

987-996

997-1004

Aplikasi Metabolic Control Analysis pada Percabangan Piruvat dalam Sistem Reaksi Fermentasi Etanol oleh Sel Ragi Saccharomyces Cerevisiae ............................................................................................... 1005-1012 Kasbawati, A.Y. Gunawan, R. Hertadi, K.A. Sidarto Dinamika Fluida Lapis Tipis yang Berada di Antara Drop dan Permukaan Datar .................................................................................... 1013-1022 K. Yulianti, A.Y. Gunawan Kestabilan Interaksi Unsur – Unsur Utama Iklim pada Kondisi Mantap Pertumbuhan Konsentrasi Co2 di Atmosfer .............................. 1023-1032 Agus Indra, Rina Ratianingsih Model Economic Order Quantity dengan Mengijinkan Adanya Penundaan Pelunasan Pembayaran (Delay Payments) .......................... 1033-1042 Sudradjat S, Stanley P.D, Rahmi F

Analisis Kestabilan Model Matematika dari Populasi Penderita Diabetes Mellitus ................................................................................... 1043-1052 Nanik Listiana, Widowati, Kartono

xiv

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Pengelompokan Pasien Kanker Liver Berdasarkan Data Ekspresi Gen dengan Struktur Papan Catur ................................................................. 1053-1062 Evi Noviani, Kuntjoro Adji Sidarto,Yoga Satria Putra

BIDANG PENDIDIKAN Penerapan Pembelajaran Aktif untuk Meningkatkan Hasil Belajar Mata Kuliah Kalkulus II ........................................................................ 1063-1070 Desyarti Safarini TLS Penalaran Analogi Klasik Matematik Guru Sekolah Dasar (Tinjauan Pada PLPG Rayon 36 Tahun 2010) ....................................................... 1071-1078 Supratman Pengembangan Bahan Ajar Berbasis Lembar Aktivitas dengan Menggunakan Model Four-D (Define, Design, Develop, and Disseminate) pada Mata Kuliah Aljabar Matriks untuk Meningkatkan Hasil Belajar Mahasiswa ........................................................................ 1079-1100 Rahayu Kariadinata Peningkatan Kemampuan Pemahaman, Penalaran, dan Komunikasi Matematis Siswa Madrasah Aliyah dengan Pendekatan RME .............. 1101-1110 Ervin Azhar Pembelajaran Operasi Pembagian Menggunakan Permainan Tradisional Tepuk Bergambar di Kelas III Sekolah Dasar .................... 1111-1120 Rully Charitas Indra Prahmana, Zulkardi, Yusuf Hartono Rectangular Array Model Supporting Students’ Spatial Structuring in Learning Multiplication ......................................................................... 1121-1130 Nenden Octavarulia Shanty, Surya Wijaya

Pengaruh Penggunaan Model Pembelajaran Kooperatif Tipe Team Game Tournament Terhadap Hasil Belajar Siswa Sekolah Dasar dalam Konsep Perkalian Bilangan Cacah ............................................. 1131-1138 Epon Nur’aeni, Iis Insani

xv

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Analisis Kemampuan Pemecahan Masalah Matematika Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika untuk Pengembangan Desain Pembelajaran Berkarakter UIN Sunan Kalijaga .................................... 1139-1148 Mulin Nu’man, Sintha Sih Dewanti Tarif Taxi dan Biaya Fotocopy untuk Pengenalan Konsep Fungsi Linear di SMPN 12 Bandung: Lesson Study .......................................... 1149-1160 Turmudi, Ratnaningsih Kemampuan Berpikir Reflektif Matematis Siswa dalam Pembelajaran Open-Ended di SMPN 4 Kota Bengkulu ............................................... 1161-1168 Risnanosanti Asessment Probes dalam Pembelajaran Matematika ............................. 1169-1172 Abdulloh Jaelani Implementasi Problem Based Learning pada Pembelajaran Matematika ............................................................................................. 1173-1180 Nursiwi Nugraheni Pengembangan Materi Pembelajaran Pokok Bahasan Geometri Berdasarkan Teori Bruner di Kelas IX SMPN 14 Palembang ............... 1181-1188 Renny Sendra Wahyuni Implementasi Blended E-Learning pada Kuliah Komputasi Saintifik: Suatu Lesson Learned dari Kuliah Bersama Departemen Matematika UI dan Jurusan Matematika Unpar ........................................................ 1189-1198 Bevina D. Handari, Ferry J. Permana, Erwinna Chendra Penerapan Lesson Study untuk Meningkatkan Kualitas Pembelajaran Matematika dengan Pendekatan Tematik .............................................. 1199-1206 Wahyuningsih Suatu Gambaran Bayangan Konsep dan Definisi Konsep Turunan Fungsi dari Mahasiswa Program Studi Matematika .............................. 1207-1216 Budi Nurwahyu Analisis Pengetahuan Awal Matematika (PAM) Mahasiswa Semester Awal Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas PGRI

xvi

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Palembang .............................................................................................. 1217-1222 Nila Kesumawati Conjecturing Melalui Penalaran Analogi untuk Pemecahan Masalah Matematika ........................................................................................... 1223-1230 Supratman, Subanji, Toto Nusantara Implementasi Lesson Study Melalui Pendekatan PMRI pada Mata Kuliah Metode Statistika I ..................................................................... 1231-1238 Ratu Ilma Indra Putri Metakognisi dalam Pembelajaran Matematika di SD ............................ 1239-1248 Theresia Kriswianti Nugrahaningsih Pengaruh Computer-Based Problem Solving Terhadap Kemampuan Penalaran dan Komunikasi Matematis pada Siswa SMP di Jakarta Timur ....................................................................................................... 1249-1256 Yurniwati Kajian Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Siswa SMP di Kota Gorontalo ....................................................................................... 1257-1264 Tedy Machmud

Meningkatkan Self-Efficacy dalam Pembelajaran Matematika ............. 1265-1270 Maria Ulpah Pengembangan Instrumen Penilaian Ranah Psikomotorik Pembuatan Jaring-Jaring Kubus dan Balok pada Sekolah Menengah Pertama ....... 1271-1270 Ika Yuniwati, Zainul Imron Mathematics Active Learning Workshop; Primary School Teachers’ Perception .............................................................................................. 1277-1282 Restu Arisanti Pengembangan Model untuk Membantu Siswa dalam Menyelesaikan Pengurangan Bilangan Dua Angka ........................................................ 1283-1288 Nila Mareta Murdiyani, Zulkardi, Ratu Ilma Indra Putri, Dolly Van Eerde, Frans Van Galen

xvii

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Perbedaan Hasil Kerja Siswa Secara Kelompok dan Individu Terhadap Nilai Rata-Rata Kelas pada Topik Logika Matematika Kelas X SMA Negeri di Jakarta ....................................................................... 1289-1296 Jefri Saputra, Eli Zulkatri Develop Students’ Graph Interpretation Skills of Line Graph: “A Study of Fifth Grade Students Using KMS (Kartu Menuju Sehat) as The Context” .......................................................................................... 1297-1304 Achmad Badrun Kurnia, Supervised By: Dolly Van Eerde, Frans Van Galen, Yusuf Hartono, Darmawijoyo Konsep Nilai Tempat pada Operasi Penjumlahan Bilangan Desimal .... 1305-1314 Ekasatya Aldila Afriansyah, Ratu Ilma Indra Putri, Yusuf Hartono, Barbara Van Amerom Intervensi Guru Terhadap Siswa dalam Pembelajaran Matematika Berbasis Masalah yang Menghadirkan Kecerdasan Emosional ............ 1315-1322 Ibrahim Memberdayakan Potensi Kecerdasan Majemuk Siswa dalam Pembelajaran Matematika ...................................................................... 1323-1330 Djamilah Bondan Widjajanti Analisis Kemampuan Siswa Kelas V SDN 117 Kenten Palembang dalam Menyelesaikan Soal-Soal Perbandingan dan Skala .................... 1331-1336 Farah Diba Keefektifan Pembelajaran Matematika Melalui Pembelajaran Berbasis Kontekstual di SMP Negeri 3 Palembang ............................................. 1337-1342 Nyiayu Fahriza Fuadiah Mengidentifikasi Kemampuan Berpikir Reflektif Matematik ............... 1343-1350 Abdul Muin, Yaya S Kusumah, Utari Sumarmo Domain Afektif dalam Pembelajaran Matematika ................................ 1351-1358 Sri Hastuti Noer Pengembangan Bahan Ajar Persamaan Diferensial Berbasis Pendekatan Reciprocal Teaching ........................................................... 1359-1368 Misdalina

xviii

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Penalaran dan Komunikasi Matematika serta Pemecahan Masalah dalam Proses Pembelajaran Kalkulus .................................................... 1369-1374 Aning Wida Yanti Perbedaan Kemampuan Siswa Menjawab Soal Matematika yang Ditulis dalam Dwibahasa ....................................................................... 1375-1384 D.P.E. Nilakusmawati, Komang Dharmawan Pengaruh Penggunaan Model Pembelajaran Terhadap Hasil Belajar Matematika (Studi Eksperimen pada Siswa Kelas VIII SMP Negeri di Kota Manado) ........................................................................................ 1385-1392 Jackson V.A. Tambelu Hubungan Self Efficacy Terhadap Matematika dengan Prestasi Akademik Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UMB ...................................................................................................... 1393-1398 Nyayu Masyita Ariani Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis dalam Pembelajaran Connected Mathematics Project Siswa SMPN 3 Kota Bengkulu ......... 1399-1404 Ristontowi Internalisasi Nilai-Nilai Berpikir Kritis Melalui Pembelajaran Konsep Matematika Kreatif pada Anak Usia Dini ............................................. 1405-1416 Yulis Jamiah Pendidikan Karakter Melalui Pembelajaran Matematika di Sekolah Dasar ........................................................................................ 1417-1426 Fathul Hidayat Mengintegrasikan Konteks Kesetimbangan dan Model Garis Bilangan untuk Menyelesaikan Soal Kontekstual pada Topik Penjumlahan yang Melibatkan Bilangan Negatif ................................................................. 1427-1438 Fajar Arwadi, Darmawijoyo, Ratu Ilma Indra Putri

xix

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

TIM PROSIDING Penanggung Jawab Prosiding: Dr. Endang Rusyaman

Editor: Dr. Stanley PD, M.Pd Dr. Ema Carnia, M.Si Dr. Nursanti Anggriani, M.Si Bendahara : Betty Subartini, MS.

Bidang IT : Dr. Setiawan Hadi

Koordinator : Bidang Aljabar

: Edi Kurniadi, M.Si

Bidang Analisis

: Alit Kartiwa, M.Si

Bidang Graf dan Kombinatorika

: Akmal, MT

Bidang Komputer

: Erick Paulus, M.Komp

Bidang Keuangan

: Riaman, M.Si

Bidang Teori dan Sistem Kendali

: Anita Triska, M.Si

Bidang Statistika

: Nurul Gusriani, M.Si

Bidang Terapan

: Firdaniza, M.Si

Bidang Pendidikan

: Diane Amor K, M.Pd

xx

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Staf Pendukung : Firas Atqiya Fahmi Chandra P. Nurul Hanifa Siti Dwi Setiarini Risna Wulantini

Layout dan Cover Reza Purwadi Dr. Sukono

xxi

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

TIM REVIEWER NO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

NAMA

Dr. Ema Carnia Dr. Intan Muchtadi Dr. Indah Emilia Wijayanti Dr. Andi Rudhito Prof. Dr. Hendra Gunawan Prof. Dr. Mashadi Dr. Ch. Rini Indrati Dr. Supama Dr. Ida Silhwaningrum Dr. Dylmoon Hidayat Prof. Dr. Soeparna Dr. Endang Rusyaman, M.S Prof. Dr. Sudradjat Prof. Dr. Asep K Supriatna Dr. Diah Chaerani Dr. Fajar Adikusumo Prof. Dr. Ivan Aziz Dr. Erna Apriliani Prof. Dr. Tulus Dr. Hartono Dr. Nuning Nuraini Dr. Rieske Hadiyanti Dr. Hengki Tasman Dr. Alhaji Akbar Prof. Dr. SyamsudinToaha Dr. Nursanti Anggriani Dr. Darmo Lesmono Prof. Dr. Toto Nusantara Prof. Dr. Roberd Saragih Dr. Widowati Dr. Salmah Dr. Fatmawati Dr. Sony Sunaryo Prof. Dr. Purwanto Dr. Hazrul Iswadi

INSTANSI

Unpad ITB UGM Universitas Sanata Dharma ITB Unri UGM UGM Unsoed UPH UGM Unpad Unpad Unpad Unpad UGM UNHAS ITS USU UNY ITB ITB UI UI Unhas Unpad Unpar UM ITB Undip UGM Unair Stat ITS UM UBAYA

xxii

KNM XVI

36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

3-6 Juli 2012

Dr. Anak Agung Gede Ngurah Dr. Syafrizal SY Prof. Dr. Sutawanir Prof. Dr. Budi Nurani Prof. Dr. Nyoman Budiantara Dr Lienda Noviyanti Dr. Ferry J. Permana Dr. Dadan Kusnandar Dr. Suhartono Prof. Dr. Ahmad Fauzi Dr. Atje Setiawan Abdullah, M.Kom. Dr. Setiawan Hadi Prof. Dr. Iping Supriana S Dr. Mhd. Reza Pulungan Dr. Widodo Budiharto Wikaria Gazali, M.Sc Dr. Stanley P. Dewanto Dr. Djamilah Bondan Prof. Dr.J. H. Lolombulan Prof. Dr. Zulkardi Dr. Ratu Ilma Prof. Dr. Rahayu Dr. Zaenal Dr. Kadir, S.Pd, M.Si Dr. Yayuk Dr. Ali Mahmudi Dr. Euis Dr. Dwiyanto Dr. Elvis Napitupulu Prof. Dr. Bambang Hudiono Prof. Dr. Sutarto Hadi Dr. Sugiman Dr. Endang Rusyaman

UNPAD, Jatinangor

Universitas Merdeka Unand ITB Unpad ITS Unpad Unpar Untan ITS UII Unpad Unpad ITB UGM Ubinus Ubinus Unpad UNY UNIMA Unsri Unsri UIN Unida Unhalu UNJ UNY SKIP Unes Unimed Untan Unlam UNY Unpad

xxiii

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

KATA PENGANTAR DARI PRESIDEN INDOMS Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Salam sejahtera bagi kita semua Puji dan syukur kita panjatkan ke Hadlirat Allah SWT, atas semua rakhmat dan karunia-Nya, sehingga kami telah dapat menyelesaikan Prosiding Konferensi Nasional Matematika (KNM) XVI yang telah diselenggarakan di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran, pada tanggal 3-6 Juli 2012 bertempat di Kampus Jatinangor-Sumedang. KNM XVI ini terselenggara atas kerja sama antara IndoMS dengan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran dengan tema “Matematika sebagai Bahtera Pendidikan untuk Mencerdaskan Kehidupan Bangsa”. Oleh karena itu, kami mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya dan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada Rektor Universitas Padjadjaran yang telah mengusulkan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran sebagai penyelenggara KNM XVI serta Kongres IndoMS tahun 2012. Tema yang dipilih panitia konferensi, sangatlah tepat, mengingat matematika merupakan bidang ilmu yang menjadi landasan dari basic science yang merupakan dasar untuk berfikir logis, sistematis serta kritis dan karenanya akan sangat berperan dalam mencerdaskan kehidupan suatu bangsa. Kita menyadari sepenuhnya bahwa kehidupan suatu bangsa dipengaruhi oleh pola pendidikan masyarakatnya dan secara langsung ataupun tidak langsung pendidikan berpengaruh terhadap upaya pencapaian cita-cita kemajuan dan kesejahteraan bangsa dan masyarakat Indonesia. Dalam mengisi pembangunan di Indonesia ini, IndoMS (Himpunan Matematika Indonesia) yang dibentuk tanggal 15 Juli 1976 di Bandung, sebagai organisasi profesi yang bersifat ilmiah dan non-profit senantiasa dituntut peran sertanya melalui berbagai aktivitas segenap anggota serta pengurus baik di tingkat pusat maupun wilayah. IndoMS merupakan suatu forum bagi matematikawan, pengguna matematika maupun penggemar dan pemerhati matematika di seluruh Indonesia. Melalui kegiatan Konferensi Nasional Matematika ke-16 yang diikuti oleh peserta dari seluruh Indonesia, diharapkan IndoMS dapat membantu mensosialisasikan berbagai informasi terkait kegiatan bidang matematika, pendidikan matematika, statistika serta ilmu xxivomputer maupun potensi-potensi yang dimiliki Provinsi Jawa Barat, khususnya di Kecamatan Jatinangor Kabupaten Sumedang sebagai wilayah pendidikan tinggi dengan beberapa perguruan tinggi berupa Institut maupun Universitas. Dalam KNM XVI ini telah dipaparkan berbagai hasil penelitian dalam bidang matematika. Tentunya hasil konferensi ini diharapkan dapat memberikan kontribusi peningkatan ilmu pengetahuan dan teknologi, mengingat penelitian

xxiv

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

bidang matematika memberikan dukungan pada struktur dan penalaran serta aplikasinya dalam berbagai ilmu lainnya. Paparan disampaikan oleh para anggota IndoMS, yang tercatat sampai akhir tahun 2012 sebanyak 1.283 dengan kualifikasi lebih dari 60 guru besar, sekitar 300 orang berkualifikasi xxvomput terdiri dari dosen, guru, peneliti, yang tersebar di 9 wilayah kepengurusan IndoMS. Pengurus Pusat IndoMS periode 2012-2014 mengucapkan terima kasih kepada semua reviewer, editor, tim prosiding serta semua pihak yang tidak dapat kami sebutkan satu per satu atas peran sertanya dan dukungannya dalam penerbitan prosiding ini. Ucapan terima kasih juga kami sampaikan kepada semua penulis yang telah mempresentasikan dan mengirimkan naskah makalahnya untuk diterbitkan pada Prosiding KNM XVI ini. Akhirul kalam, kami harapkan bahwa Prosiding KNM XVI ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca, pemakalah serta kemajuan ilmu matematika, pendidikan matematika, statistika dan ilmu xxvomputer di tanah air tercinta, Indonesia. Wassalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh Jatinangor, 12 Desember 2012 Presiden IndoMS 2012-2014,

Prof. Dr. Budi Nurani Ruchjana

xxv

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

KATA PENGANTAR DARI PANITIA KNM XVI Puji syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberi kelancaran dalam pelaksanaan Konferensi Nasional Matematika XVI 2012 di Jurusan Matematika FMIPA Unpad pada tanggal 3-6 Juli 2012. Konferensi Nasional Matematika ini adalah kegiatan rutin yang dilakukan secara bergiliran oleh Jurusan / Program Studi Matematika di Indonesia bekerjasama dengan IndoMS setiap 2 tahun sekali. Merupakan suatu kehormatan bagi kami dari jurusan Matematika FMIPA Unpad yang mendapat kepercayaan sebagai penyelenggara Konferensi Nasional Matematika yang ke-16 (KNM XVI), yang diselenggarakan di Gedung Pusat Studi Bahasa Jepang dan Fakultas Ilmu Budaya Unpad, di kampus Unpad Jatinangor. Tema dari konferensi ini adalah Matematika sebagai Bahtera Pendidikan untuk Mencerdaskan Kehidupan Bangsa. Tujuan diadakannya KNM XVI 2012 ini, salah satunya adalah untuk mendiseminasikan hasil-hasil penelitian dan karya tulis bidang Matematika dan Pendidikan Matematika. Perkembangan Matematika yang semakin pesat perlu disampaikan pada berbagai forum dan kesempatan, salah satunya dalam bentuk konferensi sebagai upaya mengkomunikasikan hal-hal yang baru baik dalam perkembangan keilmuan, proses pembelajaran maupun dalam penerapannya di berbagai bidang. Pada KNM XVI tersebut telah dipresentasikan 5 makalah pada studium generale dan 10 makalah pada sidang pleno serta 478 makalah pada sidang paralel. Sebagai tindak lanjut dari pelaksanaan konferensi ini serta setelah melalui proses review yang seksama, panitia KNM bersama dengan tim editor yang diketuai Dr. Endang Rusyaman telah menyusun prosiding KNM XVI yang alhamdulillah saat ini sudah dapat dituntaskan. Kami dari pihak panitia mengucapkan banyak terima kasih kepada semua peserta yang telah mengirimkan makalah untuk diterbitkan pada prosiding konferensi ini, kepada Tim Editor dan Tim Reviewers. Akhirnya, kami juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu kegiatan konferensi ini terutama kepada Rektor Unpad, pihak Fakultas MIPA Unpad, Pihak sponsor dan Panitia baik dari staf dosen, karyawan maupun para mahasiswa yang telah bekerja keras untuk mempersiapkan kesuksesan Konferensi Nasional Matematika ini. Wabillahitaufik wal hidayah Wassalaamu’alaikum warahmatullaahi wabarakatuh

Ketua Panitia KNM XVI Prof. Dr. Asep K Supriatna

xxvi

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

ALJABAR BERSIH INDAH EMILIA WIJAYANTI 1 1

Jurusan Matematika FMIPA UGM, ind [email protected]

Abstrak Dalam paper ini diberikan definisi R-aljabar bersih A, yaitu jika setiap elemen di A dapat dinyatakan sebagai jumlahan suatu elemen idempoten dan suatu elemen unit yang masingmasing berada di A. Jika diketahui R-aljabar A bersifat bersih, maka sifat-sifat yang diselidiki kemudian adalah kaitan antara sifat bersih dari struktur yang terkait, yaitu ring R dan modul M atas aljabar A. Kata Kunci: ring bersih, elemen idempoten, modul bersih, aljabar bersih, modul atas aljabar bersih.

1. Pendahuluan Salah satu sifat ring yang sudah banyak diselidiki adalah ring bersih. Suatu ring disebut ring bersih jika setiap elemennya dapat dinyatakan sebagai jumlahan sebuah elemen idempoten dan sebuah elemen unit. Selain itu dengan melihat sifat ring endomorfismanya, definisi modul bersih pun sudah diperkenalkan oleh peneliti-peneliti terdahulu. Suatu modul disebut modul bersih jika ring endomorfismanya merupakan ring bersih. Dari beberapa hasil penelitian terdahulu disimpulkan bahwa jika R adalah ring bersih, maka matriks bujursangkar berukuran n × n atas R juga akan bersih. Selain itu jika R adalah ring bersih, maka ring deret pangkat formal R[[x]] ataupun ring polinomial atas R juga merupakan ring bersih. Sudah diketahui bahwa himpunan matriks bujursangkar, himpunan deret pangkat formal maupun himpunan polinomial tersebut mempunyai struktur sebagai ring dan sebagai modul atas R sekaligus. Struktur yang merupakan ring dan modul sekaligus dikenal sebagai aljabar. Hal ini memotivasi pemikiran untuk mengembangkan penelitian sifat-sifat bersih pada R-aljabar. Karena dalam sebuah R-aljabar banyak struktur yang terlibat, maka penelitian sifat Raljabar bersih cukup menarik untuk dilakukan. Dalam penelitian ini akan didefinisikan sifat bersih dalam R-aljabar, kemudian diselidiki keterkaitan sifat bersih aljabar dengan ring dasarnya maupun aljabar itu sendiri sebagai modul atas ring.

ISBN : 978-602-19590-2-2

121

Wijayanti I.E.

Aljabar Bersih ...

2. Tinjauan Pustaka Elemen bersih dan ring bersih pertama kali dikenalkan dalam kaitannya dengan endomorfisma ring modul kontinu. Setelah itu beberapa penelitian tentang ring bersih maupun kasuskasus yang lebih umum dan khusus banyak dilakukan. Pengembangan definisi ”bersih” menjadi ”bersih-n” yang melibatkan n buah elemen unit dikenalkan oleh Khaksari-Moghimi [6]. Sementara itu C˘alug˘areanu [4] membahas sifat-sifat ring bersih kanan. Perumuman pada definisi ring bersih kanan menjadi ring bersih-n kanan sudah dilakukan oleh Wijayanti [8]. Di samping penelitian sifat bersih pada ring, sifat bersih pada ideal maupun elemen suatu ring juga banyak dilakukan antara lain oleh Chen dan Cui [3] serta Chen dan Chen [2]. Pembicaraan ring bersih-n maupun ring bersih kanan bisa memberi motivasi untuk mendefinisikan modul bersih-n (kanan). Definisi modul bersih-n (kanan) dikaitkan dengan sifat ring endomorfismanya. Modul M disebut modul bersih-n (kanan) jika EndR (M ) merupakan ring bersih-n (kanan). Beberapa penelitian terdahulu tentang sifat bersih suatu modul dilakukan oleh Khaksari-Moghimi [6], Zhang [10], C˘alug˘areanu [4] dan Wijayanti [7]. Dari beberapa penelitian terdahulu baik yang sudah dilakukan peneliti lain maupun oleh pengusul sendiri terlihat bahwa sejauh ini belum ada yang meneliti sifat bersih pada Raljabar. Penelitian sifat bersih pada ring dan modul yang sudah ada merupakan dasar bagi pengusul untuk melanjutkan penelitian ke ranah R-aljabar. Untuk mendukung penelitian ini sifat-sifat aljabar maupun modul atas aljabar yang dibahas di buku Wisbauer [9] dan Assem et.al. [1] digunakan sebagai rujukan.

3. Aljabar dan Modul atas Aljabar Aljabar atas ring R adalah struktur yang melibatkan sifat-sifat ring dan modul sekaligus. Suatu R-modul A disebut R-aljabar jika dapat didefinisikan pemetaan R-bilinear µ : A × A → A dengan µ(a, b) := ab untuk setiap a, b ∈ A, dan untuk setiap a, b, c ∈ A, r ∈ R berlaku a(b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca, r(ab) = (ra)b = a(rb). Aljabar A dikatakan asosiatif jika (ab)c = a(bc) untuk setiap a, b, c ∈ A. Pada dasarnya suatu R-aljabar A adalah suatu R-modul yang dilengkapi dengan operasi perkalian antar anggotanya. Oleh karena itu sifat dari masing-masing himpunan terstruktur yang terlibat dalam sebuah aljabar bisa saling terkait. Himpunan-himpunan itu antara lain ring R, kemudian A sebagai R-modul, ring endomorfisma EndR (A) dan A sebagai Raljabar itu sendiri. Pada sebarang R-aljabar A terdapat kaitan yang cukup erat antara struktur A sebagai aljabar asosiatif dan sebagai sebuah modul atas dirinya sendiri. Diberikan suatu R-aljabar A. Didefinisikan multiplikasi kiri dan multiplikasi kanan relatif terhadap suatu elemen a di A sebagai berikut : La : A → A, x 7→ ax dan Ra : A → A, x 7→ xa yang masing-masing merupakan endomorfisma pada A. Dengan kata lain La , Ra ∈ EndR (A).

KNMXVI–3-6Juli2012–UNPAD,Jatinangor

122

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Kemudian R-subaljabar dalam EndR (A) yang dibangun oleh semua multiplikasi kiri di A disebut ideal multiplikasi kiri . Jika ideal tersebut ditambah satu elemen lagi yaitu pemetaan identitas idA , maka himpunan tersebut dinamakan aljabar multiplikasi kiri.Jelasnya adalah sebagai berikut : L∗ (A) =< {La | a ∈ A} >, L(A) =< {La | a ∈ A} > ∪{idA }. Hal yang sama dilakukan juga untuk memperoleh definisi ideal multiplikasi kanan dan aljabar multiplikasi kanan. Adapun R-subaljabar EndR (A) yang dibangun oleh semua multiplikasi kiri dan kanan disebut ideal multiplikasi, sedangkan aljabar multiplikasi diperoleh dari ideal multiplikasi yang digabung dengan idA . Himpunan-himpunan tersebut adalah sebagai berikut M ∗ (A) = < {La , Ra | a ∈ A} >; M (A) = < {La , Ra | a ∈ A} > ∪{idA }. Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa La , Ra dan Ma masing-masing merupakan Raljabar dengan elemen satuan. Sementara itu M ∗ (A) ideal di M (A). Jika (M, +) suatu grup Abel dan dapat didefinisikan perkalian skalar α : A × M → M , maka M membentuk suatu modul atas R-aljabar A. Dalam bagian ini akan disajikan beberapa fakta terkait dengan modul atas aljabar yang dirujuk dari buku Wisbauer [9]. Sebarang modul atas R-aljabar dapat dipandang sebagai Rmodul. Modul kiri M atas R-aljabar A dapat dipandang sebagai sebuah grup Abel (M, +) dengan homomorfisma ring ϕ : A → EndZ (M ), dengan ϕ(a)m := am untuk setiap a di A dan m di M . Kemudian dengan menggunakan definisi pemetaan R → A, dengan r 7→ r1, maka diperoleh suatu homomorfisma ring berikut R → A → EndZ (M ) yang mengakibatkan M menjadi R-modul kiri. Jika homomorfisma modul ditulis dari kanan, maka M dapat dipandang sebagai EndA (M )-modul kanan. Selanjutnya didefinisikan endomorfisma pada M sebagai berikut. Ambil suatu elemen r di ring R, kemudian elemen tersebut digunakan untuk mendefinisikan pemetaan Lr : M → M dengan Lr (m) := rm untuk setiap m ∈ M . Untuk sebarang a di A dan untuk sebarang m1 , m2 di M berlaku : Lr (m1 + m2 ) = r(m1 + m2 ) = rm1 + rm2 = Lr (m1 ) + Lr (m2 ) Lr (am1 ) = r(am1 ) = a(rm1 ) = aLr (m1 ). Hal ini mengakibatkan terbentuknya homomorfisma ring berikut α : R → EndA (M ), r 7→ Lr , yang memetakan elemen identitas 1R di R ke elemen identitas di EndA (M ) yaitu L1 . Pusat (center ) pada EndA (M ) dinotasikan dengan Z(End(A M )), yaitu himpunan Aendomorfisma di EndA (M ) yang komutatif dengan setiap A-endomorfisma di EndA (M ). Ambil sebarang β di EndA (M ) dan sebarang m di M . Diperoleh (m)(βLr ) = ((m)β)Lr = r((m)β) = (rm)β = ((m)Lr )β,

ISBN : 978-602-19590-2-2

123

Wijayanti I.E.

Aljabar Bersih ...

yang berarti Lr berada di pusat EndA (M ). Lebih jauh, bayangan α terletak dalam pusat EndA (M ) atau sama artinya dengan α(R) ⊆ Z(EndA (M )). Secara mudah dapat disimpulkan beberapa hal seperti yang termuat dalam lemma berikut ini. Lemma 3..1 Jika M adalah modul atas R-aljabar, maka : 1. EndA (M ) adalah R-aljabar. 2. Elemen idempoten di R merupakan elemen idempoten pusat di EndA (M ). Lebih jauh lagi dapat disimpulkan bahwa terdapat kaitan antara R-aljabar A dan EndR (M ) seperti yang dinyatakan dalam lemma berikut. Lemma 3..2 Suatu R-modul M merupakan modul atas R-aljabar A jika dan hanya jika terdapat morfisma R-aljabar ϕ : A → EndR (M ). Bukti. (⇒) Diketahui R-modul M merupakan modul atas R-aljabar A. Kemudian dibentuk pemetaan ϕ : A → EndR (M ), a 7→ ϕ(a), dengan ϕ(a) : M → M , ϕ(a)m := am. Fungsi ϕ(a) ini merupakan suatu endomorfisma karena untuk setiap m1 , m2 ∈ M dan r ∈ R berlaku ϕ(a)(m1 , m2 ) = a(m1 + m2 ) = am1 + am2 = ϕ(a)(m1 ) + ϕ(a)(m2 ) ϕ(a)(rm1 ) = a(rm1 ) = r(am1 = rϕ(a)(m1 ). (⇐) Diketahui terdapat morfisma R-aljabar ϕ : A → EndR (M ). Selanjutnya dibentuk perkalian skalar yang memanfaatkan morfisma R-aljabar tersebut : A×M → M, (a, m) 7→ ϕ(a)(m) = am. Adapun aksioma sebagai modul atas R-aljabar A dipenuhi karena untuk setiap m, n ∈ M dan a1 , a2 ∈ A berlaku (a1 + a2 )m = ϕ(a1 + a2 )(m) = (ϕ(a1 ) + ϕ(a2 ))(m) = (ϕ(a1 )(m) + ϕ(a2 ))(m) = a1 m + a2 m; a1 (m + n) = ϕ(a1 )(m + n) = a1 (m + n) = a1 m + a1 n; (a1 a2 )m = ϕ(a1 a2 )(m) = ϕ(a1 )ϕ(a2 )(m) = ϕ(a1 )(a2 m) = a1 (a2 m); 1A m = ϕ(1A )(m) = iM (m) = m; dengan ϕ(1A ) = iM , yaitu homomorfisma identitas di M . ♠

4. Modul atas Aljabar Bersih Aljabar bersih didefinisikan sebagai berikut. Definisi 4..1 Suatu R-aljabar A disebut aljabar bersih jika untuk setiap a ∈ A terdapat elemen idempoten eA ∈ A dan unit uA ∈ A sehingga a = eA + uA .

KNMXVI–3-6Juli2012–UNPAD,Jatinangor

124

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Pertama akan dilihat hubungan R-aljabar A dan ring endomorfisma M sebagai modul atas R. Proposisi 4..1 Diketahui M adalah modul atas R-aljabar A. Jika ring R adalah ring bersih, maka M merupakan modul atas subaljabar bersih di EndA (M ). Bukti. Himpunan semua annihilator kiri M atas R dinotasikan dengan AnnlR (M ). Hal ini bisa dilakukan karena sesuai keterangan sebelumnya, M juga menjadi R-modul kiri. Perhatikan kembali homomorfisma ring α : R → EndA (M ) dan diagram berikut ini: R p

²

α

/ EndA (M ) o7 ooo o o oo ooo αe

R/AnnlR (M )

Selanjutnya diperoleh Ker(α) = {r ∈ R | α(r) = 0} = {r ∈ R | rm = 0} ⊆ AnnlR (M ) yang berakibat Ker(α) = AnnlR (M ). Menurut Teorema Utama Homomorfisma Ring, pemetaan α e : R/AnnlR (M ) → EndA (M ) bersifat satu-satu. Jadi R/AnnlR (M ) isomorfis dengan suatu subaljabar di A. Karena R adalah ring bersih, maka R/AnnlR (M ) juga merupakan ring bersih. Oleh karena itu, karena M adalah modul atas R-aljabar A, maka M juga modul atas ring (aljabar) bersih R/AnnlR ' Im(α) ˜ ⊆ EndA (M ). ♠ Proposisi 4..2 Diketahui A adalah R-aljabar. Jika ring R adalah ring bersih, maka A memuat subaljabar bersih. Bukti. Dengan menggunakan definisi pemetaan η : R → A, dengan r 7→ r1A , maka diperoleh suatu homomorfisma ring berikut R → A. Ambil sebarang elemen r di R. Karena R ring bersih, terdapat elemen idempoten e di R dan unit u di R sehingga r = e + u. Oleh η, r tersebut dipetakan sebagai berikut η(r) = η(e + u) = η(e) + η(u). Selanjutnya η(e) = e1 = (ee)1 = (e1)(e1) = η(e)η(e) dan η(1R ) = η(uu−1 ) = (uu−1 )1 = (u1)(u−1 1) = η(u)η(u−1 ). Di pihak lain η(1R ) = 1R 1A = 1A . Jadi η(u)η(u−1 ) = 1A , dengan kata lain, η(u) juga unit di A. Jadi Im(η) merupakan subring (subaljabar) bersih di A. ♠ Lemma 3..2 memegang peranan cukup penting karena memberikan penjelasan hubungan antara R-aljabar A dan EndR (M ) yang memang dibutuhkan untuk menganalisa sifat bersih. Proposisi berikut merupakan konsekuansi jika A adalah aljabar bersih. Proposisi 4..3 Diketahui M adalah modul atas R-aljabar A. Jika M adalah R-modul setia dan A aljabar bersih, maka EndR (M ) memuat subring bersih. Definisi modul bersih melibatkan sifat bersih ring endomorfismanya. Sudah dibuktikan syarat perlu dan cukup elemen bersih dalam suatu ring endomorfisma dalam Lemma 2.1 paper Camillo et.al [5] yang diberikan di sini beserta bukti lengkapnya.

ISBN : 978-602-19590-2-2

125

Wijayanti I.E.

Aljabar Bersih ...

Lemma 4..1 Diberikan M suatu modul kiri atas R, S = EndR (M ), e, f ∈ S dengan e suatu homomorfisma idempoten, A = Ker(e) dan B = Im(e). Homomorfisma f − e merupakan anggota U (S), yaitu himpunan unit-unit di S, jika dan hanya jika M sebagai R-modul dapat didekomposisikan menjadi M = C ⊕ D yang memenuhi f (A) ⊆ C, (1 − f )(B) ⊆ D, serta f : A → C dan 1 − f : B → D keduanya isomorfisma. Bukti. (⇒) Asumsikan berlaku f − e ∈ U (S) yang berarti f = e + u dengan f, e ∈ S, e idempoten dan u ∈ U (S). Terlebih dahulu akan dibuktikan bahwa Im(1 − e) = Ker(e) sebagai berikut. Ambil x ∈ Im(1 − e), artinya terdapat y ∈ M sehingga x = (1 − e)y = y − e(y). Jika dikenai homomorfisma e diperoleh e(x) = e(y) − e2 (y) = e(y) − e(y) = 0. Dengan kata lain x ∈ Ker(e). Sebaliknya, untuk sebarang x ∈ Ker(e) berlaku e(x) = 0. Akibatnya (1 − e)x = x − e(x) = x − 0 = x, yang berarti x ∈ Im(1 − e). Selanjutnya diambil C = u(A), D = u(B), A = Ker(e) dan B = Im(e). Diperoleh f (1 − e) = (e + u)(1 − e) = e − e2 + u − ue = e − e + u(1 − e) = 0 + u(1 − e) = u(1 − e), yang berarti dan

f (1 − e) = u(1 − e),

(1)

(1 − f )e = e − f e = e2 − f e = (e − f )e = −ue.

(2)

Karena u unit dan mengingat kesamaan dua fungsi, maka dari persamaan (1) dan (2) disimpulkan bahwa f dan 1 − f masing-masing isomorfisma. (⇐) Untuk bukti sebaliknya, dimisalkan terdapat dekomposisi pada M sebagai berikut M = C ⊕ D. Selain itu juga dipenuhi f (A) ⊆ C, (1 − f )(B) ⊆ D, serta f : A → C dan 1−f : B → D keduanya isomorfisma. Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh f −e ∈ U (S). ♠ Akibat langsung Lemma (4..1) adalah pernyataan yang merupakan syarat perlu dan cukup suatu elemen bersih dalam ring endomorfisma yang dirujuk dari Proposisi 2.2 paper Camillo et.al. [5]. Proposisi 4..4 Diberikan M suatu modul kiri atas R dan S = EndR (M ). Suatu f ∈ S merupakan elemen bersih jika dan hanya jika M sebagai R-modul dapat didekomposisikan menjadi M = A ⊕ B = C ⊕ D sehingga f (A) ⊆ C, (1 − f )(B) ⊆ D, serta f : A → C dan 1 − f : B → D keduanya isomorfisma. Selanjutnya, syarat perlu dan cukup suatu modul bersih adalah sebagai berikut. Akibat 4..1 Diberikan M suatu modul kiri atas R dan S = EndR (M ). Modul M bersih jika dan hanya jika setiap f ∈ S menyebabkan M = A ⊕ B = C ⊕ D dan memenuhi f (A) ⊆ C, (1 − f )(B) ⊆ D, serta f : A → C dan 1 − f : B → D keduanya isomorfisma.

KNMXVI–3-6Juli2012–UNPAD,Jatinangor

126

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

Untuk kasus khusus yaitu ring bersih diperoleh pernyataan-pernyataan yang ekuivalen berikut ini. Akibat 4..2 Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen : a. R adalah ring bersih; b. R adalah modul bersih; c. Untuk setiap f ∈ EndR (R) menyebabkan R = S ⊕ T = W ⊕ V , dengan S, T , W , V submodul-submodul dan memenuhi f (S) ⊆ W , (1 − f )(T ) ⊆ V , serta f : S → W dan 1 − f : T → V keduanya isomorfisma. d. Untuk setiap r0 ∈ R, ring R terdekomposisi sebagai berikut R = S ⊕ T = W ⊕ V , dengan S, T , W , V ideal-ideal di R dan memenuhi r0 (S) ⊆ W , (1 − r0 )(T ) ⊆ V . Lebih jauh, r0 dan 1 − r0 unit di R. Bukti. Perhatikan bahwa R ' EndR (R) dengan isomorfisma r 7→ fr dan definisi untuk fr adalah fr (s) = rs untuk setiap s di R. (a) ⇔ (b) Jelas dari fakta bahwa R ' EndR (R). (b) ⇔ (c) Jelas dari Akibat 4..1. (c) ⇒ (d) Jelas dari Akibat 4..1 dan fakta bahwa R ' EndR (R). (d) ⇒ (c) Untuk membuktikan pernyataan (c) cukup dibuktikan bahwa untuk setiap endomorfisma f : M → M pernyataan (c) berlaku. Karena R ' EndR (R), maka untuk setiap endomorfisma f terdapat r0 ∈ R sehingga f (m) = r0 m. Jadi pernyataan terbukti. ♠ Proposisi 4..5 Diberikan modul kiri M atas ring R yang setia (faithful). Jika R adalah ring bersih dan tidak memuat pembagi nol, maka terdapat submodul M1 dan M2 di M sehingga M = M1 ⊕ M2 . Bukti. Karena M adalah modul atas R, maka terdapat perkalian skalar berikut R × M → M , (r, m) 7→ rm ∈ M . Karena R adalah ring bersih, maka R = S ⊕ T , sehingga untuk setiap m di M terdapat s di S dan t di T dan berlaku 1m = (s + t)m = sm + tm = m. Jadi disimpulkan bahwa M = sM + tM . Tinggal dibuktikan bahwa sM ∩ tM = 0. Ambil sebarang x ∈ sM ∩ tM , artinya terdapat m1 , m2 ∈ M sehingga x = sm1 = tm2 . Akibatnya diperoleh kombinasi linear berikut sm1 − tm2 = 0. Jika m1 6= m2 dan saling bebas linear, maka jelas s = t = 0. Jika m1 6= m2 dan tak bebas linear, maka terdapat 0 6= k ∈ R sehingga m1 = km2 . Sebagai konsekuensi, skm2 −tm2 = 0 dan (sk −t)m2 = 0. Dengan kata lain sk − t ∈ AnnR (M ). Karena M setia, yaitu AnnR (M ) = 0, maka sk − t = 0 dan berakibat sk = t. Hal ini hanya dipenuhi t = s = 0 karena T ∩ S = 0 dan R tidak memuat pembagi nol. Sebagai kesimpulan terbukti x = 0. Dengan mengambil M1 = sM dan M2 = tM , terbukti M = M1 ⊕ M2 . ♠

ISBN : 978-602-19590-2-2

127

Wijayanti I.E.

Aljabar Bersih ...

Perhatikan sekarang untuk sebarang m ∈ M , r ∈ R dan endomorfisma f ∈ EndR (M ) berlaku f (rm) = rf (m) ∈ rM . Akibatnya diperoleh pernyataan berikut. Akibat 4..3 Diberikan modul kiri M atas ring R yang setia (faithful). Jika R adalah ring bersih dan tidak memuat pembagi nol, maka terdapat dekomposisi berikut EndR (M ) = EndR (M1 ) ⊕ EndR (M2 ), dengan M1 dan M2 adalah submodul-submodul di M . Bukti. Dari yang diketahui, menurut Proposisi (4..5) modul M terdekomposisi menjadi M = M1 ⊕ M2 . Akibatnya EndR (M ) = EndR (M1 ⊕ M2 ) = EndR (M1 ) ⊕ EndR (M2 ). ♠ Berikut adalah akibat dari Akibat 4..2 dan 4..3. Proposisi 4..6 Diberikan R ring komutatif dan A adalah R-aljabar. 1. Jika R ring bersih, maka terdapat subaljabar A1 dan A2 sehingga EndR (A) = EndR (A1 ) ⊕ EndR (A2 ). 2. Jika A merupakan R-modul bersih, maka A = B ⊕ C = D ⊕ E dengan ketentuan untuk semua f ∈ EndR (A) berlaku f (B) ⊆ D dan (1 − f )(C) ⊆ E. Selain itu, f dan 1 − f merupakan isomorfisma. 3. Jika A R-aljabar bersih, maka untuk setiap f ∈ EndA (A) menyebabkan A = A1 ⊕ A2 = B1 ⊕B2 , dengan A1 , A2 , B1 , B2 submodul-submodul dan memenuhi f (A1 ) ⊆ B1 , (1 − f )(A2 ) ⊆ B2 , serta f : A1 → B1 dan 1 − f : A2 → B2 keduanya isomorfisma. Ucapan Terima Kasih. Paper ini merupakan sebagian dari hasil penelitian yang dibiayai oleh Jurusan Matematika FMIPA UGM melalui dana Hibah Penelitian Jurusan Matematika FMIPA UGM Tahun Anggaran 2011/2012 dengan nomor kontrak 29/J01.1.28/PL.06.02/2011.

Daftar Pustaka [1] Assem, I., Simson, D., Skowro’nski, A., Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, Cambridge University Press, 2006. [2] Chen, H., Chen, M., On Clean Ideals, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences (IJMMS) 2003:62, 3949 - 3956, 2002. [3] Chen, W., Cui S., On Clean Rings and Clean Elements, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 32, 855 - 861, 2008. [4] C˘alug˘areanu, G., One-sided Clean Rings, Studia Universitatis Babes-Bolyai, Vol. 55, No. 3, 2010. [5] Camillo, V.P., Khurana, D., Lam, T.Y., Nicholson, W.K., Zhou, Y., Continuous Modules are Clean, Journal of Algebra, 304, 94-111, 2006. [6] Khaksari, A., Moghimi, G., Some Results on Clean Rings and Modules, World Applied Sciences Journal, vol. 6 (10), 1384 - 1387, 2009. [7] Wijayanti, I.E., Seputar Modul Bersih-n Kuat, Prosiding Konferensi Nasional Matematika (KNM) XV Manado 2010.

KNMXVI–3-6Juli2012–UNPAD,Jatinangor

128

KNM XVI

3-6 Juli 2012

UNPAD, Jatinangor

[8] Wijayanti, I.E., 2011, On Right n-Clean Rings, submit di Jurnal Matematika dan Sains, ITB. [9] Wisbauer, R., Modules and algebras : bimodule structure and group action on algebras, Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, Addison Wesley Longman Limited, Essex, England, 1996. [10] Zhang,H., 2009, On Strongly Clean Modules, Communications in Algebra 37(4), 1420-1427.

ISBN : 978-602-19590-2-2

129

Wijayanti I.E.

KNMXVI–3-6Juli2012–UNPAD,Jatinangor

Aljabar Bersih ...

130

3 – 6 Juli 2012

Kampus Jatinangor