ISBN No. 978-602-19590-2-2
PROSIDING KONFERENSI NASIONAL MATEMATIKA XVI Bandung, 3-6 Juli 2012
“Matematika sebagai Bahtera Pendidikan untuk Mencerdaskan Kehidupan Bangsa”
Diselenggarakan oleh : Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Padjadjaran Bekerjasama dengan : The Indonesian Mathematical Society (IndoMS)
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
DAFTAR ISI PROSIDING halaman
COVER ....................................................................................... i DAFTAR ISI ............................................................................... ii TIM PROSIDING KNM XVI ................................................... xxi TIM PENILAI MAKALAH KNM XVI .................................. xxiii KATA PENGANTAR PRESIDEN INDOMS .......................... xxv KATA PENGANTAR KETUA PANITIA ............................... xxvii DAFTAR NAMA PEMBICARA UTAMA KNM XVI .......... xxviii DAFTAR TOPIK PEMBICARA UTAMA KNM XVI .......... xxix DAFTAR MAKALAH ............................................................. xxx
MAKALAH PEMBICARA UTAMA KNM XVI Pelabelan Graf dan Matriks Ketetanggaan ............................................. Kiki A. Sugeng
1-14
Calculus on The Family of Continuous Functions ................................. Soeparna Darmawijaya
15-32
Customer Comparative Benchmarking of Penang Beach Hotels’ Service Performance Using Analytic Hierarchy Process ...................... Engku Muhammad Nazri Bin Engku Abu Bakar
33-42
BIDANG ALJABAR Pembangkitan S-Box 8x8 yang Kuat Secara Kriptografis dengan Menggunakan Metode Gao .................................................................... Sari Agustini Hafman, Arif Fachru Rozi Submodul Prima Terasosiasi .................................................................. Sutopo, Indah Emilia Wijayanti,Sri Wahyuni
43-50
51-56
ii
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
Analisis Konstruksi dan Sifat BCH Code .............................................. Achmad Fahrurozi, Sri Mardiyati Sifat-Sifat Modul Hasil Bagi Atas Ring Hasil Bagi dari Suatu Himpunan Multiplikatif ......................................................................... Atun Ismarwati, Sri Wahyun, Indah Emilia Wijayanti
57-64
65-74
Ideal Mendasar dalam Aljabar Lintasan Leavitt .................................... Khurul Wardati, Indah Emilia Wijayanti, Sri Wahyuni
75-84
Nilai Eigen dari Beberapa Matriks Tridiagonal ..................................... Euis Hartini
85-94
Nonexistence of Integral Hypergraphs C (K ; M; N) ............................ Mulia Astuti, A.N.M. Salman, Hanni Garminia, Irawati
95-98
Suatu Sifat dari Gelanggang Prima Dedekind ........................................ Elvira Kusniyanti, Hanni Garminia Y,Pudji Astuti
99-106
Karakterisasi Gelanggang Prima Dedekind Melalui Sifat Herediter ..... Mahmudi, Hanni Garminia, Pudji Astuti
107-114
Aljabar Graf sebagai Produk Silang Atas Semigrup .............................. Rizky Rosjanuardi
115-120
Aljabar Bersih ........................................................................................ Indah Emilia Wijayanti
121-130
BIDANG ANALISIS Teorema Titik Tetap di Ruang Norm-2 Standar .................................... Muh Nur Sifat-Sifat Barisan dan Fungsi dari Klas P-Mean Value Bounded Variation ................................................................................................ Moch. Aruman Imron, Ch. Rini Indrati, Widodo
131-136
137-148
iii
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
Beberapa Sifat Himpunan dan Fungsi Lunak Kabur pada Ruang Topologi Lunak Kabur ........................................................................... Budi Nurwahyu Kompak Gauge-S yang Dibangkitkan Gauge Simetri ........................... Dewi Kartika Sari, Ch. Rini Indrati Aproksimasi Polinomial Terbaik Berderajat Satu pada Ruang C[A,B] dengan Metode Jajargenjang Terkecil ................................................... Dadang Amir Hamzah, Hendra Gunawan
149-158
159-164
165-168
Continuously Translated Wavelet .......................................................... Dylmoon Hidayat
169-172
Estimasi Energi untuk Persamaan Gelombang Nonlinear ..................... Ratno Bagus Edy Wibowo
173-176
Lemma Henstock pada Integral Muslich
................
177-184
Tipe Henstock Integral Young-Stieltjes Fungsi dari [A,B] Ke Ruang Hilbert X ................................................................................................. Ch. Rini Indrati
185-194
di Ruang Berdimensi-
BIDANG GRAF DAN KOMBINATORIK Menentukan Parameter Enumerasi dan Jalur Hamiltonian pada Topologi Jaringan Interkoneksi Cartesian Product Torus-Butterfly ..... Latifah, Ernastuti, Djati Kerami Pelabelan Harmonis-Ganjil pada Graf Korona .................................. Rismayati, Surip, Junita Fauziah, Kiki A Sugeng Pelabelan Total Simpul Anti Ajaib Super pada Graf Unisiklik dan Graf Matahari ......................................................................................... Gusti Ayu Saputri, Lucy Kurniadini, Khoirunnisa, Kiki Ariyanti Sugeng
195-200
201-208
209-214
iv
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
Indeks Kromatik untuk Graf Fuzzy Lingkaran, Graf Fuzzy Lengkap dan Graf Fuzzy Bipartisi Lengkap ......................................................... Isnaini Rosyida, Widodo, Ch Rini Indrati, Kiki A. Sugeng
Digraf Eksentrik dari Graf Musik(M n ) dan M n Sri Kuntari
215-226
K 1 ...........................
227-232
Pelabelan Total Busur Ajaib B-Busur Berurutan pada Graf Lobster Ln(2; R) dan Ln(2; R, S) .......................................................................... Syarifani Rachmawati, Denny Riama Silaban
233-240
Pelabelan Total Busur Ajaib B-Busur Berurutan pada Graf Lobster Semi Teratur dan .......................................... Sri Wahyuni Wulandari, Denny Riama Silaban
241-250
Karakterisasi Graf Bipartit Lengkap Kn,N yang Memiliki Pelabelan Sisi (A;D)-Titik-Anti Ajaib ........................................................................... Alfan Sukmana Praja, A.N.M. Salman
251-258
BIDANG KOMPUTER Digital Watermarking Berbasis Dct-Svd pada Media Citra Digital Berwarna (RGB) dan Bagaimana Ketahanan pada Serangan Kompresi JPEG ....................................................................................................... Anggrahito, Megi Paramitha P. Aplikasi Pengenalan Tulisan Tangan untuk Ekspresi Matematika Berbasiskan Komputer ........................................................................... Wikaria Gazali, Nilo Legowo, Harry Tedja Sukmana Segmentasi Citra Digital Menggunakan Algoritma Watershed ............. S.Hadi, D. Nursantika, A. Sholahuddin, Yislam Implementasi Data Warehouse untuk Mendukung Business Intelligence di PLN Sulselrabar ............................................................. Sylvia Jane A. Sumarauw, Edi Winarko
259-268
269-274
275-282
283-292
v
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
Aplikasi Algoritma Rivest Code 6 dalam Pengamanan Citra Digital .... Anisah Muharini, Suryadi MT
293-299
Pengenalan Wajah Menggunakan Metode Adjacent Pixel Intensity Difference Quantization Termodifikasi ................................................. Daryono Budi U, Soetrisno, Yuliono
301-308
Pengenalan Pola Aksara Jawa/Hanacaraka dengan Menggunakan Self Organizing Maps (SOM) ....................................................................... Akik Hidayat, Samsudin
309-318
Penerapan Operator Fuzzy Linguistic Ordered Weighted Averaging (Flowa) untuk Asesmen Aspek Afektif .................................................... Sri Andayani, Sri Hartati
319-328
Algoritma Possibilitic Kernel C-Means untuk Klasifikasi Data Multikelas ............................................................................................... Zuherman Rustam
329-334
Intrusion Detection Systems Menggunakan Fuzzy Kernel C-Means ..... Zuherman Rustam
335-342
Optimasi Query CBIR Menggunakan Klaster Indeks K-Means ............ Juli Rejito, Retantyo Wardoyo, Sri Hartati, Agus Harjoko
343-350
Uji Validitas dan Waktu Akses Klaster K-Means Database Citra ........ Juli Rejito, Retantyo Wardoyo, Sri Hartati, Agus Harjoko
351-358
Aplikasi Multimedia Menggunakan Image Query dengan Wavelet Haar ........................................................................................................ Rudi Rosadi, Atje Setiawan Abdullah, Henry Sundany
359-362
Implementasi Konsep Visi Komputer Menggunakan Roborealm ......... Setiawan Hadi
363-374
Steganografi pada Audio Mp3 Menggunakan Teknik Parity Coding .... Ino Suryana, Akik Hidayat, Prima Aulia Rachman
375-390
Sistem Pakar Diagnosa Kerusakan Mesin Diesel .................................. Alit Kartiwa, Ino Suryana, Sisca Sarach
391-404
vi
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
Analisis Manifold Learning dan Robust Regression pada Perkiraan Usia Manusia Berbasis Gambar Wajah .................................................. Arief Fatchul Huda, Reli Roliani, Ade Romadhony
405-412
Peningkatan Proses Pruning dan Keakurasian Klasifikasi Algoritma CBS Menggunakan Feat dan Reduksi Akurasi CLEDM ....................... Mohammad Iqbal, Imam Mukhlash
413-420
BIDANG KEUANGAN Analisa Model Market of Risk Terkait Model Tingkat Bunga Satu Faktor ............................................................................................. Feni Andriani, Bevina D. Handari, Gatot F. Hertono Aplikasi Model Katastrofe Cusp Stokastik pada Krisis Pasar Saham .... Fathin Chamama, Bevina D. Handari, Hengki Tasman
421-430
431-438
Aplikasi Model Indeks Tunggal pada Pembentukan Portofolio Optimal.................................................................................................... Elis Ratna Wulan
439-442
Penentuan Nilai Opsi Saham Karyawan Multiple Barrier dengan Metode Monte Carlo .............................................................................. Dila Puspita, Kuntjoro Adji Sidarto
443-448
Value-At-Risk Perubahan Kurs IDR Terhadap Mata Uang Asing Menggunakan Pendekatan Ekonometrik Time Series ............................ Sukono
449-456
Dampak Investasi Asing Langsung untuk Tabungan Domestik dan Pertumbuhan Ekonomi di Negara Indonesia dan Malaysia ................... Yusup Supena
457-474
The Stochastic Control Problems Arising in Pricing Barrier Options ... Komang Darmawan
475-482
vii
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
Pengaruh Laju Inflasi dan Pertumbuhan Ekonomi Terhadap Indeks Harga Saham Gabungan di Bursa Efek Indonesia ................................. Endang Soeryana, Bayu Ar-Rab’ul Chali, Helvina Rachmanissa, Elfa Azizah
483-490
BIDANG TEORI SISTEM KENDALI Analisa Keamanan Sistem Diskrit ......................................................... Noorma Yulia Megawati, Salmah Pengendali Umpan Balik Berorde Rendah pada Sistem Bilinear Melalui Pertidaksamaan Matriks Linear ................................................ Solikhatun, Roberd Saragih, Endra Joelianto
491-498
499-508
BIDANG STATISTIKA Reserve Estimation ................................................................................. Sutawanir Darwis, Agus Yodi Gunawan, Asep K Permadi, Nina Fitriyati Pemetaan SMP-SMP di Kabupaten Minahasa Tenggara, Sulawesi Utara Berdasarkan Standar Kompetensi Lulusan, Standar Isi dan Standar Proses dengan Menggunakan Analisis Biplot ........................... Djoni Hatidja, Roland Take Pohon Binomial Suku Bunga Model Cox, Ingersoll, and Ross (CIR) .... Yunita Wulan Sari, Dedi Rosadi
509-516
517-526
527-534
Algoritma Newton-Rhapson untuk Pencarian Estimator Parameter Optimal Fungsi Korelasi Gaussian dalam Prediktor Kriging ................ Elmanani Simamora, Subanar, Sri Haryatmi Kartiko
535-544
Analisa Pengaruh Intensitas Pancaran Gelombang Radio Elektromagnetik Mobile Phone Terhadap Chronic Fatigue Syndrome pada Remaja di Surabaya Pusat ............................................................. Nur Silviyah Rahmi, Laili Zaidiyah Nihayatin, Riza Inayah, Zainuddin
545-554
viii
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
Peramalan Jumlah Penggunaan Tempat Tidur di Rumah Sakit dengan Pendekatan Rantai Markov Waktu Diskrit (Studi Kasus pada Unit Rawat Inap Ruang III RSU Haji Surabaya) ........................................... Laksmi Prita Wardhani, Nuri Wahyuningsih, Enjela P Convergence Visualization of ENKF for Linear Dynamical System .... Nina Fitriyati, Sutawanir Darwis, Agus Yodi Gunawan, Asep Kurnia Permadi Perbandingan Tingkat Kemudahan Tiga Metode Konjoin pada Preferensi Mahasiswa Terhadap Kualitas Dosen Sekolah Tinggi Ilmu Statistik ................................................................................................... Fitri Catur Lestari Perbandingan Estimator Kernel dan Estimator Spline dalam Model Regresi Nonparametrik .......................................................................... I Komang Gde Sukarsa, I Gusti Ayu Made Srinadi, Ni Luh Ayu Puspa Lestari
555-564
565-572
573-580
581-590
Analisis Faktor-Faktor Yang Mempengaruhi Kemiskinan Di Jawa Tengah Melalui Model Regresi Spasial .................................................. Elza Ardia Delavita, Irwan Susanto, Purnami Widyaningsih
591-598
Rancangan D-Optimal untuk Model Regresi Eksponensial dengan Mean Terboboti ...................................................................................... Tatik Widiharih, Sri Haryatmi, Gunardi
599-608
Aplikasi Algoritma MCD Pada Diagram Kontrol Mewma ................... J. K. Wororomi, M. Mashuri, Irhamah, A. Z. Arifin
609-616
Aplikasi Integral Riemann-Stieltjes pada Bidang Ilmu Statistika .......... Rini Cahyandari
617-624
Model Linear Campuran Spasial Rancangan Acak Kelompok .............. Mohammad Masjkur
625-632
Penentuan Bobot Model Neural Network untuk Data Time Series Menggunakan Algoritma Genetika ........................................................ Budi Warsito, Subanar, Abdurakhman, Widodo
633-644
ix
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
Estimasi Parameter Model Cox Bivariat Bersyarat dengan Metode Maximum Partial Likelihood Estimation ............................................... Irfan Wahyudi, Purhadi, Sutikno, Irhamah
645-654
Aplikasi Analisis Regresi Logistik untuk Mendiagnosis Penyakit Mata Katarak ................................................................................................... Julius Hendrik Lolombulan, Yopi F. Thungari
655-662
Evaluasi Jumlah Suara Tidak Sah pada Pemilihan Kepala Daerah (Contoh Kasus Kabupaten Ogan Ilir Tahun 2005) ................................ Eriga
663-666
Korelasi Hidrodinamika dengan Penyebaran Polutan di Sungai ........... Bambang Agus S., Basuki Widodo, Setiawan Log-Logistik Hierarchical Bayesian Model pada Estimasi Pengeluaran Perkapita Rumah Tangga .................................................. Pudji Ismartini, Nur Iriawan, Setiawan, Brodjol Sutijo Suprih Ulama Pemodelan Persamaan Struktural dengan Hubungan Kuadratik ........... Widya Irmaningtyas, Dedi Rosadi Simulasi Model Regresi Logistik dengan Penambahan Konstanta untuk Memprediksi Peluang Suatu Kasus ............................................. Ratna Christianingrum Aplikasi Metode Lean Six Sigma dalam Usaha Mengurangi Ketidaksesuaian Volume dan Kegagalan Proses Penutupan Botol pada Pengisian Produk Cair di PT. Kimia Farma (Persero) tbk Plant Bandung ................................................................................................. Ekasatya Aldila Afriansyah, Bambang Avip Priatna Martadiputra, Rini Marwati Model Long-Memory Farima dan Aplikasinya pada Pemodelan Data Asset Returns di Indonesia ..................................................................... Iqbal Kharisudin, Dedi Rosadi, Abdurakhman, Suhartono Pengembangan dan Penerapan Model Space Time ................................ Budi Nurani Ruchjana
667-670
671-678
679-688
689-694
695-704
705-712
713-722
x
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
Extension Periodic Padding pada Spektrum dan Matriks Ortogonal dengan Wavelet Daubechies .................................................................. Nurwiani, Sony Sunaryo, Setiawan, Bambang Widjanarko Otok Perbandingan Regresi Bertatar (Stepwise Regression) dan Regresi Komponen Utama (RKU) dalam Mengatasi Multikolinieritas pada Model Regresi Linier Berganda ............................................................. Made Susilawati, I Komang Gde Sukarsa, I Dewa Ayu Hari Krisna
723-728
729-738
Pemodelan Kurva Pertumbuhan Balita pada Kartu Menuju Sehat Berdasarkan Estimator P-Spline (Studi Kasus Balita di Surabaya) ....... Toha Saifudin, Nur Chamidah
739-748
Metode Maksimum Likelihood Penaksiran Parameter Model Time Series Asumsi Heteroskedastik .............................................................. Nelson Nainggolan
749-756
Estimasi Risiko Kerugian Asuransi Melalui Generalized Extreme Value Distribution .................................................................................. Lienda Noviyanti
757-764
Estimator Polinomial Lokal dalam Regresi Nonparametrik Birespon untuk Kasus Korelasi Error Berbeda ...................................................... Nur Chamidah, I Nyoman Budiantara, Sony Sunaryo, Ismaini Zain
765-774
Model Space Time Autoregresi Orde 1 dalam Lokasi dan Orde 2 dalam Waktu, (Star (1;2)) ...................................................................... Emah Suryamah, Budi Nurani Ruchjana, Sugihartini
775-784
Peluang Kegagalan (Problem Loans) Menggunakan Analisis Regresi Logistik .................................................................................................. Khafsah Joebaedi, Sukono,Yesi Rahmawati
785-792
Ketaksamaan Harnack dalam Konteks Graf .......................................... Baiq Rika Ayu Febrilia, Sapto Wahyu Indratno Aplikasi Logika Fuzzy Pada Data Runtun Waktu Terhadap Tingkat Ketelitian Peramalan ....................................................................... Georgina M. Tinungki
793-800
801-810
xi
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
Perbandingan LSE dan SLSE pada Model ARCH dengan Studi Monte Carlo ....................................................................................................... Herni Utami, Subanar, Dedi Rosadi
811-814
BIDANG TERAPAN Kebijakan Pemanenan Optimal pada Model Kompetisi Dua Populasi ................................................................................................... Syamsuddin Toaha
815-824
Analisa Kestabilan Gerak Gelombang Air pada Bidang Miring dengan Metode Kedua Liapunov ........................................................................ Bambang Agus S, Lukman Hanafi
825-828
Maximum Likelihood Estimation (MLE) pada Model Logistik Exponensial ............................................................................................ Desi Rahmatina
829-836
Konstruksi Algoritma RSA dan Elgamal Berbasis Grup Kurva Eliptik ..................................................................................................... Is Esti Firmanesa
837-846
Aplikasi Metode Elemen Hingga dalam Menganalisis Sifat-Sifat Akustik dari Busa Poliuretan ................................................................. Zeth Arthur Leleury, Basuki Widodo, Yono Hadi Pramono
847-858
Pemanfaatan Theorema Chinese Remainder Sebagai Pembangkit Key Broadcasting pada Protokol Pertukaran Kunci ...................................... Aprita Danang Permana
859-864
Eksistensi Titik Ekuilibrium pada Pemodelan Natural History of Cervical Cancer ..................................................................................... Tri Sri Noor Asih, Lina Aryati, Fajar Adi Kusumo, Mardiah Suci Hardianti Analisis Perambatan Soliton pada Medium Nonlinear Kerr Nonlokal Melalui Evolusi Nilai Eigen ................................................................... Isnani Darti, Suhariningsih, Marjono
865-872
873-878
xii
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
Skema Beda Hingga Tak-Standar untuk Model Epidemi dengan Laju Penularan Tersaturasi yang Dimodifikasi .............................................. Agus Suryanto
879-888
Metode Heuristik pada Penempatan Murid-Murid Baru ke Dalam Grup-Grup Tutor di Sekolah Menengah ................................................ Zulfalah Zainudin, Sri Mardiyati
889-896
Formulasi Matematika pada Vibrasi Mikrokantilever untuk Aplikasi Biosensor ................................................................................................ Ratno Nuryadi
897-904
Perluasan Sistem Dinamik Proses Metanolisis pada Pembentukan Biodiesel dari Minyak Jelantah .............................................................. Rina Ratianingsih, Agus Indra Jaya
905-912
Analisa Kestabilan Dinamika Makrofag yang Terinfeksi Virus HIV dan Limfosit CTLS ................................................................................ Diny Zulkarnaen, Trisna Taufik D.
913-920
Simulasi Pengaruh Tegangan Permukaan Terhadap Perubahan Nilai Resistansi dan Defleksi pada Sensor Mikrokantilever ........................... Lia Aprilia, Ratno Nuryadi
921-930
Model Restocking pada Populasi Jalak Bali di TNNB ........................... I Made Eka Dwipayana
931-938
Model Prediksi Kecelakaan Sepeda Motor pada Ruas Jalan dengan Pendekatan GLM (Studi Kasus di Kabupaten Malang) ......................... Sobri A.
939-948
Metode Beda–Hingga Orde Dua untuk Harga Opsi Menurut Model Jump-Difusi ............................................................................................ Betty Subartini, Dianne Amor
949-958
Deteksi Gangguan Konduksi Panas pada Keping Logam Lingkaran dengan Metode Ensemble Kalman Filter................................................ Lukman Hanafi, Erna Apriliani, Sulistyowati, Sri Suprapti Hartatiati
959-966
xiii
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
Automatisasi Timetabling Pengajar Menggunakan Harmony Search di Universitas XYZ .................................................................................... Rojali, Ngarap Im. Manik, Niko Sutiono
967-976
Bifurkasi Hopf pada Model Epidemik HIV/AIDS Dua Fase Infeksi dengan Pengobatan dan Waktu Tunda ................................................... Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, Suhermin
977-986
Pemodelan Fuzzy Untuk Data Time Series dengan Metode Dekomposisi Nilai Singular dan Penerapannya untuk Prediksi Nilai Tukar Rupiah Terhadap Yen Jepang ...................................................... Agus Maman Abadi, Dhoriva Uw, Hari Purnomo Susanto Konstruksi Model Fuzzy untuk Data Time Series dan Aplikasinya untuk Prediksi Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) ........................ Hari Purnomo Susanto, Agus Maman Abadi
987-996
997-1004
Aplikasi Metabolic Control Analysis pada Percabangan Piruvat dalam Sistem Reaksi Fermentasi Etanol oleh Sel Ragi Saccharomyces Cerevisiae ............................................................................................... 1005-1012 Kasbawati, A.Y. Gunawan, R. Hertadi, K.A. Sidarto Dinamika Fluida Lapis Tipis yang Berada di Antara Drop dan Permukaan Datar .................................................................................... 1013-1022 K. Yulianti, A.Y. Gunawan Kestabilan Interaksi Unsur – Unsur Utama Iklim pada Kondisi Mantap Pertumbuhan Konsentrasi Co2 di Atmosfer .............................. 1023-1032 Agus Indra, Rina Ratianingsih Model Economic Order Quantity dengan Mengijinkan Adanya Penundaan Pelunasan Pembayaran (Delay Payments) .......................... 1033-1042 Sudradjat S, Stanley P.D, Rahmi F
Analisis Kestabilan Model Matematika dari Populasi Penderita Diabetes Mellitus ................................................................................... 1043-1052 Nanik Listiana, Widowati, Kartono
xiv
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
Pengelompokan Pasien Kanker Liver Berdasarkan Data Ekspresi Gen dengan Struktur Papan Catur ................................................................. 1053-1062 Evi Noviani, Kuntjoro Adji Sidarto,Yoga Satria Putra
BIDANG PENDIDIKAN Penerapan Pembelajaran Aktif untuk Meningkatkan Hasil Belajar Mata Kuliah Kalkulus II ........................................................................ 1063-1070 Desyarti Safarini TLS Penalaran Analogi Klasik Matematik Guru Sekolah Dasar (Tinjauan Pada PLPG Rayon 36 Tahun 2010) ....................................................... 1071-1078 Supratman Pengembangan Bahan Ajar Berbasis Lembar Aktivitas dengan Menggunakan Model Four-D (Define, Design, Develop, and Disseminate) pada Mata Kuliah Aljabar Matriks untuk Meningkatkan Hasil Belajar Mahasiswa ........................................................................ 1079-1100 Rahayu Kariadinata Peningkatan Kemampuan Pemahaman, Penalaran, dan Komunikasi Matematis Siswa Madrasah Aliyah dengan Pendekatan RME .............. 1101-1110 Ervin Azhar Pembelajaran Operasi Pembagian Menggunakan Permainan Tradisional Tepuk Bergambar di Kelas III Sekolah Dasar .................... 1111-1120 Rully Charitas Indra Prahmana, Zulkardi, Yusuf Hartono Rectangular Array Model Supporting Students’ Spatial Structuring in Learning Multiplication ......................................................................... 1121-1130 Nenden Octavarulia Shanty, Surya Wijaya
Pengaruh Penggunaan Model Pembelajaran Kooperatif Tipe Team Game Tournament Terhadap Hasil Belajar Siswa Sekolah Dasar dalam Konsep Perkalian Bilangan Cacah ............................................. 1131-1138 Epon Nur’aeni, Iis Insani
xv
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
Analisis Kemampuan Pemecahan Masalah Matematika Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika untuk Pengembangan Desain Pembelajaran Berkarakter UIN Sunan Kalijaga .................................... 1139-1148 Mulin Nu’man, Sintha Sih Dewanti Tarif Taxi dan Biaya Fotocopy untuk Pengenalan Konsep Fungsi Linear di SMPN 12 Bandung: Lesson Study .......................................... 1149-1160 Turmudi, Ratnaningsih Kemampuan Berpikir Reflektif Matematis Siswa dalam Pembelajaran Open-Ended di SMPN 4 Kota Bengkulu ............................................... 1161-1168 Risnanosanti Asessment Probes dalam Pembelajaran Matematika ............................. 1169-1172 Abdulloh Jaelani Implementasi Problem Based Learning pada Pembelajaran Matematika ............................................................................................. 1173-1180 Nursiwi Nugraheni Pengembangan Materi Pembelajaran Pokok Bahasan Geometri Berdasarkan Teori Bruner di Kelas IX SMPN 14 Palembang ............... 1181-1188 Renny Sendra Wahyuni Implementasi Blended E-Learning pada Kuliah Komputasi Saintifik: Suatu Lesson Learned dari Kuliah Bersama Departemen Matematika UI dan Jurusan Matematika Unpar ........................................................ 1189-1198 Bevina D. Handari, Ferry J. Permana, Erwinna Chendra Penerapan Lesson Study untuk Meningkatkan Kualitas Pembelajaran Matematika dengan Pendekatan Tematik .............................................. 1199-1206 Wahyuningsih Suatu Gambaran Bayangan Konsep dan Definisi Konsep Turunan Fungsi dari Mahasiswa Program Studi Matematika .............................. 1207-1216 Budi Nurwahyu Analisis Pengetahuan Awal Matematika (PAM) Mahasiswa Semester Awal Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas PGRI
xvi
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
Palembang .............................................................................................. 1217-1222 Nila Kesumawati Conjecturing Melalui Penalaran Analogi untuk Pemecahan Masalah Matematika ........................................................................................... 1223-1230 Supratman, Subanji, Toto Nusantara Implementasi Lesson Study Melalui Pendekatan PMRI pada Mata Kuliah Metode Statistika I ..................................................................... 1231-1238 Ratu Ilma Indra Putri Metakognisi dalam Pembelajaran Matematika di SD ............................ 1239-1248 Theresia Kriswianti Nugrahaningsih Pengaruh Computer-Based Problem Solving Terhadap Kemampuan Penalaran dan Komunikasi Matematis pada Siswa SMP di Jakarta Timur ....................................................................................................... 1249-1256 Yurniwati Kajian Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Siswa SMP di Kota Gorontalo ....................................................................................... 1257-1264 Tedy Machmud
Meningkatkan Self-Efficacy dalam Pembelajaran Matematika ............. 1265-1270 Maria Ulpah Pengembangan Instrumen Penilaian Ranah Psikomotorik Pembuatan Jaring-Jaring Kubus dan Balok pada Sekolah Menengah Pertama ....... 1271-1270 Ika Yuniwati, Zainul Imron Mathematics Active Learning Workshop; Primary School Teachers’ Perception .............................................................................................. 1277-1282 Restu Arisanti Pengembangan Model untuk Membantu Siswa dalam Menyelesaikan Pengurangan Bilangan Dua Angka ........................................................ 1283-1288 Nila Mareta Murdiyani, Zulkardi, Ratu Ilma Indra Putri, Dolly Van Eerde, Frans Van Galen
xvii
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
Perbedaan Hasil Kerja Siswa Secara Kelompok dan Individu Terhadap Nilai Rata-Rata Kelas pada Topik Logika Matematika Kelas X SMA Negeri di Jakarta ....................................................................... 1289-1296 Jefri Saputra, Eli Zulkatri Develop Students’ Graph Interpretation Skills of Line Graph: “A Study of Fifth Grade Students Using KMS (Kartu Menuju Sehat) as The Context” .......................................................................................... 1297-1304 Achmad Badrun Kurnia, Supervised By: Dolly Van Eerde, Frans Van Galen, Yusuf Hartono, Darmawijoyo Konsep Nilai Tempat pada Operasi Penjumlahan Bilangan Desimal .... 1305-1314 Ekasatya Aldila Afriansyah, Ratu Ilma Indra Putri, Yusuf Hartono, Barbara Van Amerom Intervensi Guru Terhadap Siswa dalam Pembelajaran Matematika Berbasis Masalah yang Menghadirkan Kecerdasan Emosional ............ 1315-1322 Ibrahim Memberdayakan Potensi Kecerdasan Majemuk Siswa dalam Pembelajaran Matematika ...................................................................... 1323-1330 Djamilah Bondan Widjajanti Analisis Kemampuan Siswa Kelas V SDN 117 Kenten Palembang dalam Menyelesaikan Soal-Soal Perbandingan dan Skala .................... 1331-1336 Farah Diba Keefektifan Pembelajaran Matematika Melalui Pembelajaran Berbasis Kontekstual di SMP Negeri 3 Palembang ............................................. 1337-1342 Nyiayu Fahriza Fuadiah Mengidentifikasi Kemampuan Berpikir Reflektif Matematik ............... 1343-1350 Abdul Muin, Yaya S Kusumah, Utari Sumarmo Domain Afektif dalam Pembelajaran Matematika ................................ 1351-1358 Sri Hastuti Noer Pengembangan Bahan Ajar Persamaan Diferensial Berbasis Pendekatan Reciprocal Teaching ........................................................... 1359-1368 Misdalina
xviii
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
Penalaran dan Komunikasi Matematika serta Pemecahan Masalah dalam Proses Pembelajaran Kalkulus .................................................... 1369-1374 Aning Wida Yanti Perbedaan Kemampuan Siswa Menjawab Soal Matematika yang Ditulis dalam Dwibahasa ....................................................................... 1375-1384 D.P.E. Nilakusmawati, Komang Dharmawan Pengaruh Penggunaan Model Pembelajaran Terhadap Hasil Belajar Matematika (Studi Eksperimen pada Siswa Kelas VIII SMP Negeri di Kota Manado) ........................................................................................ 1385-1392 Jackson V.A. Tambelu Hubungan Self Efficacy Terhadap Matematika dengan Prestasi Akademik Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UMB ...................................................................................................... 1393-1398 Nyayu Masyita Ariani Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis dalam Pembelajaran Connected Mathematics Project Siswa SMPN 3 Kota Bengkulu ......... 1399-1404 Ristontowi Internalisasi Nilai-Nilai Berpikir Kritis Melalui Pembelajaran Konsep Matematika Kreatif pada Anak Usia Dini ............................................. 1405-1416 Yulis Jamiah Pendidikan Karakter Melalui Pembelajaran Matematika di Sekolah Dasar ........................................................................................ 1417-1426 Fathul Hidayat Mengintegrasikan Konteks Kesetimbangan dan Model Garis Bilangan untuk Menyelesaikan Soal Kontekstual pada Topik Penjumlahan yang Melibatkan Bilangan Negatif ................................................................. 1427-1438 Fajar Arwadi, Darmawijoyo, Ratu Ilma Indra Putri
xix
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
TIM PROSIDING Penanggung Jawab Prosiding: Dr. Endang Rusyaman
Editor: Dr. Stanley PD, M.Pd Dr. Ema Carnia, M.Si Dr. Nursanti Anggriani, M.Si Bendahara : Betty Subartini, MS.
Bidang IT : Dr. Setiawan Hadi
Koordinator : Bidang Aljabar
: Edi Kurniadi, M.Si
Bidang Analisis
: Alit Kartiwa, M.Si
Bidang Graf dan Kombinatorika
: Akmal, MT
Bidang Komputer
: Erick Paulus, M.Komp
Bidang Keuangan
: Riaman, M.Si
Bidang Teori dan Sistem Kendali
: Anita Triska, M.Si
Bidang Statistika
: Nurul Gusriani, M.Si
Bidang Terapan
: Firdaniza, M.Si
Bidang Pendidikan
: Diane Amor K, M.Pd
xx
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
Staf Pendukung : Firas Atqiya Fahmi Chandra P. Nurul Hanifa Siti Dwi Setiarini Risna Wulantini
Layout dan Cover Reza Purwadi Dr. Sukono
xxi
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
TIM REVIEWER NO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
NAMA
Dr. Ema Carnia Dr. Intan Muchtadi Dr. Indah Emilia Wijayanti Dr. Andi Rudhito Prof. Dr. Hendra Gunawan Prof. Dr. Mashadi Dr. Ch. Rini Indrati Dr. Supama Dr. Ida Silhwaningrum Dr. Dylmoon Hidayat Prof. Dr. Soeparna Dr. Endang Rusyaman, M.S Prof. Dr. Sudradjat Prof. Dr. Asep K Supriatna Dr. Diah Chaerani Dr. Fajar Adikusumo Prof. Dr. Ivan Aziz Dr. Erna Apriliani Prof. Dr. Tulus Dr. Hartono Dr. Nuning Nuraini Dr. Rieske Hadiyanti Dr. Hengki Tasman Dr. Alhaji Akbar Prof. Dr. SyamsudinToaha Dr. Nursanti Anggriani Dr. Darmo Lesmono Prof. Dr. Toto Nusantara Prof. Dr. Roberd Saragih Dr. Widowati Dr. Salmah Dr. Fatmawati Dr. Sony Sunaryo Prof. Dr. Purwanto Dr. Hazrul Iswadi
INSTANSI
Unpad ITB UGM Universitas Sanata Dharma ITB Unri UGM UGM Unsoed UPH UGM Unpad Unpad Unpad Unpad UGM UNHAS ITS USU UNY ITB ITB UI UI Unhas Unpad Unpar UM ITB Undip UGM Unair Stat ITS UM UBAYA
xxii
KNM XVI
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68
3-6 Juli 2012
Dr. Anak Agung Gede Ngurah Dr. Syafrizal SY Prof. Dr. Sutawanir Prof. Dr. Budi Nurani Prof. Dr. Nyoman Budiantara Dr Lienda Noviyanti Dr. Ferry J. Permana Dr. Dadan Kusnandar Dr. Suhartono Prof. Dr. Ahmad Fauzi Dr. Atje Setiawan Abdullah, M.Kom. Dr. Setiawan Hadi Prof. Dr. Iping Supriana S Dr. Mhd. Reza Pulungan Dr. Widodo Budiharto Wikaria Gazali, M.Sc Dr. Stanley P. Dewanto Dr. Djamilah Bondan Prof. Dr.J. H. Lolombulan Prof. Dr. Zulkardi Dr. Ratu Ilma Prof. Dr. Rahayu Dr. Zaenal Dr. Kadir, S.Pd, M.Si Dr. Yayuk Dr. Ali Mahmudi Dr. Euis Dr. Dwiyanto Dr. Elvis Napitupulu Prof. Dr. Bambang Hudiono Prof. Dr. Sutarto Hadi Dr. Sugiman Dr. Endang Rusyaman
UNPAD, Jatinangor
Universitas Merdeka Unand ITB Unpad ITS Unpad Unpar Untan ITS UII Unpad Unpad ITB UGM Ubinus Ubinus Unpad UNY UNIMA Unsri Unsri UIN Unida Unhalu UNJ UNY SKIP Unes Unimed Untan Unlam UNY Unpad
xxiii
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
KATA PENGANTAR DARI PRESIDEN INDOMS Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Salam sejahtera bagi kita semua Puji dan syukur kita panjatkan ke Hadlirat Allah SWT, atas semua rakhmat dan karunia-Nya, sehingga kami telah dapat menyelesaikan Prosiding Konferensi Nasional Matematika (KNM) XVI yang telah diselenggarakan di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran, pada tanggal 3-6 Juli 2012 bertempat di Kampus Jatinangor-Sumedang. KNM XVI ini terselenggara atas kerja sama antara IndoMS dengan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran dengan tema “Matematika sebagai Bahtera Pendidikan untuk Mencerdaskan Kehidupan Bangsa”. Oleh karena itu, kami mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya dan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada Rektor Universitas Padjadjaran yang telah mengusulkan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran sebagai penyelenggara KNM XVI serta Kongres IndoMS tahun 2012. Tema yang dipilih panitia konferensi, sangatlah tepat, mengingat matematika merupakan bidang ilmu yang menjadi landasan dari basic science yang merupakan dasar untuk berfikir logis, sistematis serta kritis dan karenanya akan sangat berperan dalam mencerdaskan kehidupan suatu bangsa. Kita menyadari sepenuhnya bahwa kehidupan suatu bangsa dipengaruhi oleh pola pendidikan masyarakatnya dan secara langsung ataupun tidak langsung pendidikan berpengaruh terhadap upaya pencapaian cita-cita kemajuan dan kesejahteraan bangsa dan masyarakat Indonesia. Dalam mengisi pembangunan di Indonesia ini, IndoMS (Himpunan Matematika Indonesia) yang dibentuk tanggal 15 Juli 1976 di Bandung, sebagai organisasi profesi yang bersifat ilmiah dan non-profit senantiasa dituntut peran sertanya melalui berbagai aktivitas segenap anggota serta pengurus baik di tingkat pusat maupun wilayah. IndoMS merupakan suatu forum bagi matematikawan, pengguna matematika maupun penggemar dan pemerhati matematika di seluruh Indonesia. Melalui kegiatan Konferensi Nasional Matematika ke-16 yang diikuti oleh peserta dari seluruh Indonesia, diharapkan IndoMS dapat membantu mensosialisasikan berbagai informasi terkait kegiatan bidang matematika, pendidikan matematika, statistika serta ilmu xxivomputer maupun potensi-potensi yang dimiliki Provinsi Jawa Barat, khususnya di Kecamatan Jatinangor Kabupaten Sumedang sebagai wilayah pendidikan tinggi dengan beberapa perguruan tinggi berupa Institut maupun Universitas. Dalam KNM XVI ini telah dipaparkan berbagai hasil penelitian dalam bidang matematika. Tentunya hasil konferensi ini diharapkan dapat memberikan kontribusi peningkatan ilmu pengetahuan dan teknologi, mengingat penelitian
xxiv
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
bidang matematika memberikan dukungan pada struktur dan penalaran serta aplikasinya dalam berbagai ilmu lainnya. Paparan disampaikan oleh para anggota IndoMS, yang tercatat sampai akhir tahun 2012 sebanyak 1.283 dengan kualifikasi lebih dari 60 guru besar, sekitar 300 orang berkualifikasi xxvomput terdiri dari dosen, guru, peneliti, yang tersebar di 9 wilayah kepengurusan IndoMS. Pengurus Pusat IndoMS periode 2012-2014 mengucapkan terima kasih kepada semua reviewer, editor, tim prosiding serta semua pihak yang tidak dapat kami sebutkan satu per satu atas peran sertanya dan dukungannya dalam penerbitan prosiding ini. Ucapan terima kasih juga kami sampaikan kepada semua penulis yang telah mempresentasikan dan mengirimkan naskah makalahnya untuk diterbitkan pada Prosiding KNM XVI ini. Akhirul kalam, kami harapkan bahwa Prosiding KNM XVI ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca, pemakalah serta kemajuan ilmu matematika, pendidikan matematika, statistika dan ilmu xxvomputer di tanah air tercinta, Indonesia. Wassalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh Jatinangor, 12 Desember 2012 Presiden IndoMS 2012-2014,
Prof. Dr. Budi Nurani Ruchjana
xxv
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
KATA PENGANTAR DARI PANITIA KNM XVI Puji syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberi kelancaran dalam pelaksanaan Konferensi Nasional Matematika XVI 2012 di Jurusan Matematika FMIPA Unpad pada tanggal 3-6 Juli 2012. Konferensi Nasional Matematika ini adalah kegiatan rutin yang dilakukan secara bergiliran oleh Jurusan / Program Studi Matematika di Indonesia bekerjasama dengan IndoMS setiap 2 tahun sekali. Merupakan suatu kehormatan bagi kami dari jurusan Matematika FMIPA Unpad yang mendapat kepercayaan sebagai penyelenggara Konferensi Nasional Matematika yang ke-16 (KNM XVI), yang diselenggarakan di Gedung Pusat Studi Bahasa Jepang dan Fakultas Ilmu Budaya Unpad, di kampus Unpad Jatinangor. Tema dari konferensi ini adalah Matematika sebagai Bahtera Pendidikan untuk Mencerdaskan Kehidupan Bangsa. Tujuan diadakannya KNM XVI 2012 ini, salah satunya adalah untuk mendiseminasikan hasil-hasil penelitian dan karya tulis bidang Matematika dan Pendidikan Matematika. Perkembangan Matematika yang semakin pesat perlu disampaikan pada berbagai forum dan kesempatan, salah satunya dalam bentuk konferensi sebagai upaya mengkomunikasikan hal-hal yang baru baik dalam perkembangan keilmuan, proses pembelajaran maupun dalam penerapannya di berbagai bidang. Pada KNM XVI tersebut telah dipresentasikan 5 makalah pada studium generale dan 10 makalah pada sidang pleno serta 478 makalah pada sidang paralel. Sebagai tindak lanjut dari pelaksanaan konferensi ini serta setelah melalui proses review yang seksama, panitia KNM bersama dengan tim editor yang diketuai Dr. Endang Rusyaman telah menyusun prosiding KNM XVI yang alhamdulillah saat ini sudah dapat dituntaskan. Kami dari pihak panitia mengucapkan banyak terima kasih kepada semua peserta yang telah mengirimkan makalah untuk diterbitkan pada prosiding konferensi ini, kepada Tim Editor dan Tim Reviewers. Akhirnya, kami juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu kegiatan konferensi ini terutama kepada Rektor Unpad, pihak Fakultas MIPA Unpad, Pihak sponsor dan Panitia baik dari staf dosen, karyawan maupun para mahasiswa yang telah bekerja keras untuk mempersiapkan kesuksesan Konferensi Nasional Matematika ini. Wabillahitaufik wal hidayah Wassalaamu’alaikum warahmatullaahi wabarakatuh
Ketua Panitia KNM XVI Prof. Dr. Asep K Supriatna
xxvi
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
ALJABAR BERSIH INDAH EMILIA WIJAYANTI 1 1
Jurusan Matematika FMIPA UGM, ind
[email protected]
Abstrak Dalam paper ini diberikan definisi R-aljabar bersih A, yaitu jika setiap elemen di A dapat dinyatakan sebagai jumlahan suatu elemen idempoten dan suatu elemen unit yang masingmasing berada di A. Jika diketahui R-aljabar A bersifat bersih, maka sifat-sifat yang diselidiki kemudian adalah kaitan antara sifat bersih dari struktur yang terkait, yaitu ring R dan modul M atas aljabar A. Kata Kunci: ring bersih, elemen idempoten, modul bersih, aljabar bersih, modul atas aljabar bersih.
1. Pendahuluan Salah satu sifat ring yang sudah banyak diselidiki adalah ring bersih. Suatu ring disebut ring bersih jika setiap elemennya dapat dinyatakan sebagai jumlahan sebuah elemen idempoten dan sebuah elemen unit. Selain itu dengan melihat sifat ring endomorfismanya, definisi modul bersih pun sudah diperkenalkan oleh peneliti-peneliti terdahulu. Suatu modul disebut modul bersih jika ring endomorfismanya merupakan ring bersih. Dari beberapa hasil penelitian terdahulu disimpulkan bahwa jika R adalah ring bersih, maka matriks bujursangkar berukuran n × n atas R juga akan bersih. Selain itu jika R adalah ring bersih, maka ring deret pangkat formal R[[x]] ataupun ring polinomial atas R juga merupakan ring bersih. Sudah diketahui bahwa himpunan matriks bujursangkar, himpunan deret pangkat formal maupun himpunan polinomial tersebut mempunyai struktur sebagai ring dan sebagai modul atas R sekaligus. Struktur yang merupakan ring dan modul sekaligus dikenal sebagai aljabar. Hal ini memotivasi pemikiran untuk mengembangkan penelitian sifat-sifat bersih pada R-aljabar. Karena dalam sebuah R-aljabar banyak struktur yang terlibat, maka penelitian sifat Raljabar bersih cukup menarik untuk dilakukan. Dalam penelitian ini akan didefinisikan sifat bersih dalam R-aljabar, kemudian diselidiki keterkaitan sifat bersih aljabar dengan ring dasarnya maupun aljabar itu sendiri sebagai modul atas ring.
ISBN : 978-602-19590-2-2
121
Wijayanti I.E.
Aljabar Bersih ...
2. Tinjauan Pustaka Elemen bersih dan ring bersih pertama kali dikenalkan dalam kaitannya dengan endomorfisma ring modul kontinu. Setelah itu beberapa penelitian tentang ring bersih maupun kasuskasus yang lebih umum dan khusus banyak dilakukan. Pengembangan definisi ”bersih” menjadi ”bersih-n” yang melibatkan n buah elemen unit dikenalkan oleh Khaksari-Moghimi [6]. Sementara itu C˘alug˘areanu [4] membahas sifat-sifat ring bersih kanan. Perumuman pada definisi ring bersih kanan menjadi ring bersih-n kanan sudah dilakukan oleh Wijayanti [8]. Di samping penelitian sifat bersih pada ring, sifat bersih pada ideal maupun elemen suatu ring juga banyak dilakukan antara lain oleh Chen dan Cui [3] serta Chen dan Chen [2]. Pembicaraan ring bersih-n maupun ring bersih kanan bisa memberi motivasi untuk mendefinisikan modul bersih-n (kanan). Definisi modul bersih-n (kanan) dikaitkan dengan sifat ring endomorfismanya. Modul M disebut modul bersih-n (kanan) jika EndR (M ) merupakan ring bersih-n (kanan). Beberapa penelitian terdahulu tentang sifat bersih suatu modul dilakukan oleh Khaksari-Moghimi [6], Zhang [10], C˘alug˘areanu [4] dan Wijayanti [7]. Dari beberapa penelitian terdahulu baik yang sudah dilakukan peneliti lain maupun oleh pengusul sendiri terlihat bahwa sejauh ini belum ada yang meneliti sifat bersih pada Raljabar. Penelitian sifat bersih pada ring dan modul yang sudah ada merupakan dasar bagi pengusul untuk melanjutkan penelitian ke ranah R-aljabar. Untuk mendukung penelitian ini sifat-sifat aljabar maupun modul atas aljabar yang dibahas di buku Wisbauer [9] dan Assem et.al. [1] digunakan sebagai rujukan.
3. Aljabar dan Modul atas Aljabar Aljabar atas ring R adalah struktur yang melibatkan sifat-sifat ring dan modul sekaligus. Suatu R-modul A disebut R-aljabar jika dapat didefinisikan pemetaan R-bilinear µ : A × A → A dengan µ(a, b) := ab untuk setiap a, b ∈ A, dan untuk setiap a, b, c ∈ A, r ∈ R berlaku a(b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca, r(ab) = (ra)b = a(rb). Aljabar A dikatakan asosiatif jika (ab)c = a(bc) untuk setiap a, b, c ∈ A. Pada dasarnya suatu R-aljabar A adalah suatu R-modul yang dilengkapi dengan operasi perkalian antar anggotanya. Oleh karena itu sifat dari masing-masing himpunan terstruktur yang terlibat dalam sebuah aljabar bisa saling terkait. Himpunan-himpunan itu antara lain ring R, kemudian A sebagai R-modul, ring endomorfisma EndR (A) dan A sebagai Raljabar itu sendiri. Pada sebarang R-aljabar A terdapat kaitan yang cukup erat antara struktur A sebagai aljabar asosiatif dan sebagai sebuah modul atas dirinya sendiri. Diberikan suatu R-aljabar A. Didefinisikan multiplikasi kiri dan multiplikasi kanan relatif terhadap suatu elemen a di A sebagai berikut : La : A → A, x 7→ ax dan Ra : A → A, x 7→ xa yang masing-masing merupakan endomorfisma pada A. Dengan kata lain La , Ra ∈ EndR (A).
KNMXVI–3-6Juli2012–UNPAD,Jatinangor
122
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
Kemudian R-subaljabar dalam EndR (A) yang dibangun oleh semua multiplikasi kiri di A disebut ideal multiplikasi kiri . Jika ideal tersebut ditambah satu elemen lagi yaitu pemetaan identitas idA , maka himpunan tersebut dinamakan aljabar multiplikasi kiri.Jelasnya adalah sebagai berikut : L∗ (A) =< {La | a ∈ A} >, L(A) =< {La | a ∈ A} > ∪{idA }. Hal yang sama dilakukan juga untuk memperoleh definisi ideal multiplikasi kanan dan aljabar multiplikasi kanan. Adapun R-subaljabar EndR (A) yang dibangun oleh semua multiplikasi kiri dan kanan disebut ideal multiplikasi, sedangkan aljabar multiplikasi diperoleh dari ideal multiplikasi yang digabung dengan idA . Himpunan-himpunan tersebut adalah sebagai berikut M ∗ (A) = < {La , Ra | a ∈ A} >; M (A) = < {La , Ra | a ∈ A} > ∪{idA }. Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa La , Ra dan Ma masing-masing merupakan Raljabar dengan elemen satuan. Sementara itu M ∗ (A) ideal di M (A). Jika (M, +) suatu grup Abel dan dapat didefinisikan perkalian skalar α : A × M → M , maka M membentuk suatu modul atas R-aljabar A. Dalam bagian ini akan disajikan beberapa fakta terkait dengan modul atas aljabar yang dirujuk dari buku Wisbauer [9]. Sebarang modul atas R-aljabar dapat dipandang sebagai Rmodul. Modul kiri M atas R-aljabar A dapat dipandang sebagai sebuah grup Abel (M, +) dengan homomorfisma ring ϕ : A → EndZ (M ), dengan ϕ(a)m := am untuk setiap a di A dan m di M . Kemudian dengan menggunakan definisi pemetaan R → A, dengan r 7→ r1, maka diperoleh suatu homomorfisma ring berikut R → A → EndZ (M ) yang mengakibatkan M menjadi R-modul kiri. Jika homomorfisma modul ditulis dari kanan, maka M dapat dipandang sebagai EndA (M )-modul kanan. Selanjutnya didefinisikan endomorfisma pada M sebagai berikut. Ambil suatu elemen r di ring R, kemudian elemen tersebut digunakan untuk mendefinisikan pemetaan Lr : M → M dengan Lr (m) := rm untuk setiap m ∈ M . Untuk sebarang a di A dan untuk sebarang m1 , m2 di M berlaku : Lr (m1 + m2 ) = r(m1 + m2 ) = rm1 + rm2 = Lr (m1 ) + Lr (m2 ) Lr (am1 ) = r(am1 ) = a(rm1 ) = aLr (m1 ). Hal ini mengakibatkan terbentuknya homomorfisma ring berikut α : R → EndA (M ), r 7→ Lr , yang memetakan elemen identitas 1R di R ke elemen identitas di EndA (M ) yaitu L1 . Pusat (center ) pada EndA (M ) dinotasikan dengan Z(End(A M )), yaitu himpunan Aendomorfisma di EndA (M ) yang komutatif dengan setiap A-endomorfisma di EndA (M ). Ambil sebarang β di EndA (M ) dan sebarang m di M . Diperoleh (m)(βLr ) = ((m)β)Lr = r((m)β) = (rm)β = ((m)Lr )β,
ISBN : 978-602-19590-2-2
123
Wijayanti I.E.
Aljabar Bersih ...
yang berarti Lr berada di pusat EndA (M ). Lebih jauh, bayangan α terletak dalam pusat EndA (M ) atau sama artinya dengan α(R) ⊆ Z(EndA (M )). Secara mudah dapat disimpulkan beberapa hal seperti yang termuat dalam lemma berikut ini. Lemma 3..1 Jika M adalah modul atas R-aljabar, maka : 1. EndA (M ) adalah R-aljabar. 2. Elemen idempoten di R merupakan elemen idempoten pusat di EndA (M ). Lebih jauh lagi dapat disimpulkan bahwa terdapat kaitan antara R-aljabar A dan EndR (M ) seperti yang dinyatakan dalam lemma berikut. Lemma 3..2 Suatu R-modul M merupakan modul atas R-aljabar A jika dan hanya jika terdapat morfisma R-aljabar ϕ : A → EndR (M ). Bukti. (⇒) Diketahui R-modul M merupakan modul atas R-aljabar A. Kemudian dibentuk pemetaan ϕ : A → EndR (M ), a 7→ ϕ(a), dengan ϕ(a) : M → M , ϕ(a)m := am. Fungsi ϕ(a) ini merupakan suatu endomorfisma karena untuk setiap m1 , m2 ∈ M dan r ∈ R berlaku ϕ(a)(m1 , m2 ) = a(m1 + m2 ) = am1 + am2 = ϕ(a)(m1 ) + ϕ(a)(m2 ) ϕ(a)(rm1 ) = a(rm1 ) = r(am1 = rϕ(a)(m1 ). (⇐) Diketahui terdapat morfisma R-aljabar ϕ : A → EndR (M ). Selanjutnya dibentuk perkalian skalar yang memanfaatkan morfisma R-aljabar tersebut : A×M → M, (a, m) 7→ ϕ(a)(m) = am. Adapun aksioma sebagai modul atas R-aljabar A dipenuhi karena untuk setiap m, n ∈ M dan a1 , a2 ∈ A berlaku (a1 + a2 )m = ϕ(a1 + a2 )(m) = (ϕ(a1 ) + ϕ(a2 ))(m) = (ϕ(a1 )(m) + ϕ(a2 ))(m) = a1 m + a2 m; a1 (m + n) = ϕ(a1 )(m + n) = a1 (m + n) = a1 m + a1 n; (a1 a2 )m = ϕ(a1 a2 )(m) = ϕ(a1 )ϕ(a2 )(m) = ϕ(a1 )(a2 m) = a1 (a2 m); 1A m = ϕ(1A )(m) = iM (m) = m; dengan ϕ(1A ) = iM , yaitu homomorfisma identitas di M . ♠
4. Modul atas Aljabar Bersih Aljabar bersih didefinisikan sebagai berikut. Definisi 4..1 Suatu R-aljabar A disebut aljabar bersih jika untuk setiap a ∈ A terdapat elemen idempoten eA ∈ A dan unit uA ∈ A sehingga a = eA + uA .
KNMXVI–3-6Juli2012–UNPAD,Jatinangor
124
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
Pertama akan dilihat hubungan R-aljabar A dan ring endomorfisma M sebagai modul atas R. Proposisi 4..1 Diketahui M adalah modul atas R-aljabar A. Jika ring R adalah ring bersih, maka M merupakan modul atas subaljabar bersih di EndA (M ). Bukti. Himpunan semua annihilator kiri M atas R dinotasikan dengan AnnlR (M ). Hal ini bisa dilakukan karena sesuai keterangan sebelumnya, M juga menjadi R-modul kiri. Perhatikan kembali homomorfisma ring α : R → EndA (M ) dan diagram berikut ini: R p
²
α
/ EndA (M ) o7 ooo o o oo ooo αe
R/AnnlR (M )
Selanjutnya diperoleh Ker(α) = {r ∈ R | α(r) = 0} = {r ∈ R | rm = 0} ⊆ AnnlR (M ) yang berakibat Ker(α) = AnnlR (M ). Menurut Teorema Utama Homomorfisma Ring, pemetaan α e : R/AnnlR (M ) → EndA (M ) bersifat satu-satu. Jadi R/AnnlR (M ) isomorfis dengan suatu subaljabar di A. Karena R adalah ring bersih, maka R/AnnlR (M ) juga merupakan ring bersih. Oleh karena itu, karena M adalah modul atas R-aljabar A, maka M juga modul atas ring (aljabar) bersih R/AnnlR ' Im(α) ˜ ⊆ EndA (M ). ♠ Proposisi 4..2 Diketahui A adalah R-aljabar. Jika ring R adalah ring bersih, maka A memuat subaljabar bersih. Bukti. Dengan menggunakan definisi pemetaan η : R → A, dengan r 7→ r1A , maka diperoleh suatu homomorfisma ring berikut R → A. Ambil sebarang elemen r di R. Karena R ring bersih, terdapat elemen idempoten e di R dan unit u di R sehingga r = e + u. Oleh η, r tersebut dipetakan sebagai berikut η(r) = η(e + u) = η(e) + η(u). Selanjutnya η(e) = e1 = (ee)1 = (e1)(e1) = η(e)η(e) dan η(1R ) = η(uu−1 ) = (uu−1 )1 = (u1)(u−1 1) = η(u)η(u−1 ). Di pihak lain η(1R ) = 1R 1A = 1A . Jadi η(u)η(u−1 ) = 1A , dengan kata lain, η(u) juga unit di A. Jadi Im(η) merupakan subring (subaljabar) bersih di A. ♠ Lemma 3..2 memegang peranan cukup penting karena memberikan penjelasan hubungan antara R-aljabar A dan EndR (M ) yang memang dibutuhkan untuk menganalisa sifat bersih. Proposisi berikut merupakan konsekuansi jika A adalah aljabar bersih. Proposisi 4..3 Diketahui M adalah modul atas R-aljabar A. Jika M adalah R-modul setia dan A aljabar bersih, maka EndR (M ) memuat subring bersih. Definisi modul bersih melibatkan sifat bersih ring endomorfismanya. Sudah dibuktikan syarat perlu dan cukup elemen bersih dalam suatu ring endomorfisma dalam Lemma 2.1 paper Camillo et.al [5] yang diberikan di sini beserta bukti lengkapnya.
ISBN : 978-602-19590-2-2
125
Wijayanti I.E.
Aljabar Bersih ...
Lemma 4..1 Diberikan M suatu modul kiri atas R, S = EndR (M ), e, f ∈ S dengan e suatu homomorfisma idempoten, A = Ker(e) dan B = Im(e). Homomorfisma f − e merupakan anggota U (S), yaitu himpunan unit-unit di S, jika dan hanya jika M sebagai R-modul dapat didekomposisikan menjadi M = C ⊕ D yang memenuhi f (A) ⊆ C, (1 − f )(B) ⊆ D, serta f : A → C dan 1 − f : B → D keduanya isomorfisma. Bukti. (⇒) Asumsikan berlaku f − e ∈ U (S) yang berarti f = e + u dengan f, e ∈ S, e idempoten dan u ∈ U (S). Terlebih dahulu akan dibuktikan bahwa Im(1 − e) = Ker(e) sebagai berikut. Ambil x ∈ Im(1 − e), artinya terdapat y ∈ M sehingga x = (1 − e)y = y − e(y). Jika dikenai homomorfisma e diperoleh e(x) = e(y) − e2 (y) = e(y) − e(y) = 0. Dengan kata lain x ∈ Ker(e). Sebaliknya, untuk sebarang x ∈ Ker(e) berlaku e(x) = 0. Akibatnya (1 − e)x = x − e(x) = x − 0 = x, yang berarti x ∈ Im(1 − e). Selanjutnya diambil C = u(A), D = u(B), A = Ker(e) dan B = Im(e). Diperoleh f (1 − e) = (e + u)(1 − e) = e − e2 + u − ue = e − e + u(1 − e) = 0 + u(1 − e) = u(1 − e), yang berarti dan
f (1 − e) = u(1 − e),
(1)
(1 − f )e = e − f e = e2 − f e = (e − f )e = −ue.
(2)
Karena u unit dan mengingat kesamaan dua fungsi, maka dari persamaan (1) dan (2) disimpulkan bahwa f dan 1 − f masing-masing isomorfisma. (⇐) Untuk bukti sebaliknya, dimisalkan terdapat dekomposisi pada M sebagai berikut M = C ⊕ D. Selain itu juga dipenuhi f (A) ⊆ C, (1 − f )(B) ⊆ D, serta f : A → C dan 1−f : B → D keduanya isomorfisma. Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh f −e ∈ U (S). ♠ Akibat langsung Lemma (4..1) adalah pernyataan yang merupakan syarat perlu dan cukup suatu elemen bersih dalam ring endomorfisma yang dirujuk dari Proposisi 2.2 paper Camillo et.al. [5]. Proposisi 4..4 Diberikan M suatu modul kiri atas R dan S = EndR (M ). Suatu f ∈ S merupakan elemen bersih jika dan hanya jika M sebagai R-modul dapat didekomposisikan menjadi M = A ⊕ B = C ⊕ D sehingga f (A) ⊆ C, (1 − f )(B) ⊆ D, serta f : A → C dan 1 − f : B → D keduanya isomorfisma. Selanjutnya, syarat perlu dan cukup suatu modul bersih adalah sebagai berikut. Akibat 4..1 Diberikan M suatu modul kiri atas R dan S = EndR (M ). Modul M bersih jika dan hanya jika setiap f ∈ S menyebabkan M = A ⊕ B = C ⊕ D dan memenuhi f (A) ⊆ C, (1 − f )(B) ⊆ D, serta f : A → C dan 1 − f : B → D keduanya isomorfisma.
KNMXVI–3-6Juli2012–UNPAD,Jatinangor
126
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
Untuk kasus khusus yaitu ring bersih diperoleh pernyataan-pernyataan yang ekuivalen berikut ini. Akibat 4..2 Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen : a. R adalah ring bersih; b. R adalah modul bersih; c. Untuk setiap f ∈ EndR (R) menyebabkan R = S ⊕ T = W ⊕ V , dengan S, T , W , V submodul-submodul dan memenuhi f (S) ⊆ W , (1 − f )(T ) ⊆ V , serta f : S → W dan 1 − f : T → V keduanya isomorfisma. d. Untuk setiap r0 ∈ R, ring R terdekomposisi sebagai berikut R = S ⊕ T = W ⊕ V , dengan S, T , W , V ideal-ideal di R dan memenuhi r0 (S) ⊆ W , (1 − r0 )(T ) ⊆ V . Lebih jauh, r0 dan 1 − r0 unit di R. Bukti. Perhatikan bahwa R ' EndR (R) dengan isomorfisma r 7→ fr dan definisi untuk fr adalah fr (s) = rs untuk setiap s di R. (a) ⇔ (b) Jelas dari fakta bahwa R ' EndR (R). (b) ⇔ (c) Jelas dari Akibat 4..1. (c) ⇒ (d) Jelas dari Akibat 4..1 dan fakta bahwa R ' EndR (R). (d) ⇒ (c) Untuk membuktikan pernyataan (c) cukup dibuktikan bahwa untuk setiap endomorfisma f : M → M pernyataan (c) berlaku. Karena R ' EndR (R), maka untuk setiap endomorfisma f terdapat r0 ∈ R sehingga f (m) = r0 m. Jadi pernyataan terbukti. ♠ Proposisi 4..5 Diberikan modul kiri M atas ring R yang setia (faithful). Jika R adalah ring bersih dan tidak memuat pembagi nol, maka terdapat submodul M1 dan M2 di M sehingga M = M1 ⊕ M2 . Bukti. Karena M adalah modul atas R, maka terdapat perkalian skalar berikut R × M → M , (r, m) 7→ rm ∈ M . Karena R adalah ring bersih, maka R = S ⊕ T , sehingga untuk setiap m di M terdapat s di S dan t di T dan berlaku 1m = (s + t)m = sm + tm = m. Jadi disimpulkan bahwa M = sM + tM . Tinggal dibuktikan bahwa sM ∩ tM = 0. Ambil sebarang x ∈ sM ∩ tM , artinya terdapat m1 , m2 ∈ M sehingga x = sm1 = tm2 . Akibatnya diperoleh kombinasi linear berikut sm1 − tm2 = 0. Jika m1 6= m2 dan saling bebas linear, maka jelas s = t = 0. Jika m1 6= m2 dan tak bebas linear, maka terdapat 0 6= k ∈ R sehingga m1 = km2 . Sebagai konsekuensi, skm2 −tm2 = 0 dan (sk −t)m2 = 0. Dengan kata lain sk − t ∈ AnnR (M ). Karena M setia, yaitu AnnR (M ) = 0, maka sk − t = 0 dan berakibat sk = t. Hal ini hanya dipenuhi t = s = 0 karena T ∩ S = 0 dan R tidak memuat pembagi nol. Sebagai kesimpulan terbukti x = 0. Dengan mengambil M1 = sM dan M2 = tM , terbukti M = M1 ⊕ M2 . ♠
ISBN : 978-602-19590-2-2
127
Wijayanti I.E.
Aljabar Bersih ...
Perhatikan sekarang untuk sebarang m ∈ M , r ∈ R dan endomorfisma f ∈ EndR (M ) berlaku f (rm) = rf (m) ∈ rM . Akibatnya diperoleh pernyataan berikut. Akibat 4..3 Diberikan modul kiri M atas ring R yang setia (faithful). Jika R adalah ring bersih dan tidak memuat pembagi nol, maka terdapat dekomposisi berikut EndR (M ) = EndR (M1 ) ⊕ EndR (M2 ), dengan M1 dan M2 adalah submodul-submodul di M . Bukti. Dari yang diketahui, menurut Proposisi (4..5) modul M terdekomposisi menjadi M = M1 ⊕ M2 . Akibatnya EndR (M ) = EndR (M1 ⊕ M2 ) = EndR (M1 ) ⊕ EndR (M2 ). ♠ Berikut adalah akibat dari Akibat 4..2 dan 4..3. Proposisi 4..6 Diberikan R ring komutatif dan A adalah R-aljabar. 1. Jika R ring bersih, maka terdapat subaljabar A1 dan A2 sehingga EndR (A) = EndR (A1 ) ⊕ EndR (A2 ). 2. Jika A merupakan R-modul bersih, maka A = B ⊕ C = D ⊕ E dengan ketentuan untuk semua f ∈ EndR (A) berlaku f (B) ⊆ D dan (1 − f )(C) ⊆ E. Selain itu, f dan 1 − f merupakan isomorfisma. 3. Jika A R-aljabar bersih, maka untuk setiap f ∈ EndA (A) menyebabkan A = A1 ⊕ A2 = B1 ⊕B2 , dengan A1 , A2 , B1 , B2 submodul-submodul dan memenuhi f (A1 ) ⊆ B1 , (1 − f )(A2 ) ⊆ B2 , serta f : A1 → B1 dan 1 − f : A2 → B2 keduanya isomorfisma. Ucapan Terima Kasih. Paper ini merupakan sebagian dari hasil penelitian yang dibiayai oleh Jurusan Matematika FMIPA UGM melalui dana Hibah Penelitian Jurusan Matematika FMIPA UGM Tahun Anggaran 2011/2012 dengan nomor kontrak 29/J01.1.28/PL.06.02/2011.
Daftar Pustaka [1] Assem, I., Simson, D., Skowro’nski, A., Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, Cambridge University Press, 2006. [2] Chen, H., Chen, M., On Clean Ideals, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences (IJMMS) 2003:62, 3949 - 3956, 2002. [3] Chen, W., Cui S., On Clean Rings and Clean Elements, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 32, 855 - 861, 2008. [4] C˘alug˘areanu, G., One-sided Clean Rings, Studia Universitatis Babes-Bolyai, Vol. 55, No. 3, 2010. [5] Camillo, V.P., Khurana, D., Lam, T.Y., Nicholson, W.K., Zhou, Y., Continuous Modules are Clean, Journal of Algebra, 304, 94-111, 2006. [6] Khaksari, A., Moghimi, G., Some Results on Clean Rings and Modules, World Applied Sciences Journal, vol. 6 (10), 1384 - 1387, 2009. [7] Wijayanti, I.E., Seputar Modul Bersih-n Kuat, Prosiding Konferensi Nasional Matematika (KNM) XV Manado 2010.
KNMXVI–3-6Juli2012–UNPAD,Jatinangor
128
KNM XVI
3-6 Juli 2012
UNPAD, Jatinangor
[8] Wijayanti, I.E., 2011, On Right n-Clean Rings, submit di Jurnal Matematika dan Sains, ITB. [9] Wisbauer, R., Modules and algebras : bimodule structure and group action on algebras, Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, Addison Wesley Longman Limited, Essex, England, 1996. [10] Zhang,H., 2009, On Strongly Clean Modules, Communications in Algebra 37(4), 1420-1427.
ISBN : 978-602-19590-2-2
129
Wijayanti I.E.
KNMXVI–3-6Juli2012–UNPAD,Jatinangor
Aljabar Bersih ...
130
3 – 6 Juli 2012
Kampus Jatinangor