N{zev školy Číslo šablony/číslo sady
Gymnázium J. V. Jirsíka, Fráni Šrámka
,
České Budějovice
VI/2/
Poř. číslo v sadě 1 Jméno autora Období vytvoření materi{lu N{zev souboru Zařazení materi{lu podle ŠVP
RNDr. Petr Sokol 1/2013 – 4/2014
Produkty finanční matematiky. Podle standardů finanční gramotnosti pro střední školy. Předmět – matematika
Téma
Praktické využití posloupností a řad
Druh výukového materi{lu
Pracovní list – přímá práce žáků
Anotace Použitý zdroj
Finanční matematika
Prezentace pro projekci – pomůcka pro výklad
Výukový materiál je určen ke zvládnutí základních pojmů finanční matematiky. Může být použit pro nižší i vyšní stupeň gymnázia.
Radová J. a kolektiv: Finanční matematika pro každého. . aktualizované vydání, Grada Publishing a. s. Praha 2009. ISBN 97880-247-3291-6
Bohanesová E.: Finanční matematika I. Univerzita Palackého Olomouc 2006. ISBN 80-244-1294- . Dostupné na www.upol.cz/fileadmin/user_upload/knihovna/Skripta_FF/finan.pdf Souhrn vzorců finanční matematiky. Dostupné na www.pf.jcu.cz/stru/katedry/m/petraskova/fm-souhrn_vzorcu.pdf
Základní pojmy, úrok. 1 Základní pojmy
Úrok je finanční obnos, který získ{v{ věřitel od dlužníka jako odměnu za zapůjčení peněz. Z pohledu dlužníka je to cena, kterou platí za získ{ní úvěru. Úrokov{ míra úrokov{ sazba je podíl získaného úroku a zapůjčené č{stky. Zpravidla za jeden rok při jednoduchém úročení. Označuje se p. a. per annum a ud{v{ se v procentech (p) nebo jako desetinné číslo (i) ≤ i ≤ . Další možnosti jsou:
– pololetní, per semestre (p.s.), – čtvrtletní, per quartale (p.q.), – měsíční, per mensem (p.m.),
Daň z úroku je č{st úroku, kter{ se nevypl{cí věřiteli a odv{dí se st{tu. Úrok placený bance se nezdaňuje. Úrokov{ doba (d) je doba, po kterou je vklad nebo úvěr úročen. Jsou zn{mé různé metody pro stanovení počtu dnů úrokové doby. o Anglick{ metoda je založena na skutečném počtu dnů úrokovacího období a délce roku
res.
dnů.
o Francouzsk{ mezin{rodní metoda je založena opět na skutečném počtu dnů, ale délka roku se započít{v{ jako
dnů.
o Německ{ obchodní metoda, dnes označov{na v EU jako standard 30E/360, je založena na započít{v{ní celých měsíců jako roku
dnů a délky
dnů. Pro jednoduchost budeme používat tuto metodu.
2 Typy úročení
Jednoduché úročení - vypl{cené úroky se k původnímu kapit{lu nepřičítají a d{le se neúročí. Složené úrokov{ní – úroky se připisují k peněžní č{stce a spolu s ní se d{le úročí. Úročení polhůtné – úroky se platí na konci úrokovaného období Úročení předlhůtné – k placení úroků doch{zí na zač{tku úrokového období.
2.1 Jednoduché úročení
Předpoklady pro výpočet jednoduchého úroku: Použív{ se nejčastěji uvnitř jednoho úrokovacího období. Nejčastěji v r{mci jednoho roku. Doba splatnosti býv{ obvykle kratší než jeden rok, je-li delší, počít{me pak úrok ze st{le stejného poč{tečního kapit{lu nepočít{me tedy úroky z úroku . Při stanovení počtu dnů uloženého kapit{lu se dodržuje pravidlo, že ze dnů vkladu a výběru se počít{ pouze jeden z těchto dnů. Předpokl{dejme, že den uložení počítat nebudeme a den výběru započít{vat budeme.
2.2 Výpočet jednoduchého úroku u – jednoduchý úrok u = K0 . i·. t
nebo u = K0
Kde K0 je poč{teční kapit{l, i je úrokov{ míra vyj{dřen{ desetinným číslem, t je doba. V rozepsaném případě je p úrokov{ míra v procentech a d je počet dnů uložení. Příklad . Jaké jsou úrokové n{klady úvěru ve výši měsíců, je-li úrokov{ sazba
Kč jednor{zově splatného za
, % p.a. ?
Řešení: K0 = 80 u = K0
Kč = 80 000
Úrokové n{klady jsou
p = 14,5 =8
Kč
Kč
d = 9 . 30 = 270
Příklady pro samostatnou pr{ci: Příklad . Kolik Kč si může půjčit z{kazník na půl roku, jestliže ví, že bude moci na zaplacení úroků použít č{stku
Kč při úrokové míře
, %?
Příklad . Z{kazník uložil 75
. května na účet úročený ,
% p. a. jedenkr{t za rok č{stku
Kč. Peníze si vybral před V{nočními sv{tky . prosince. Jak{ č{stka na úrocích
od banky mu n{leží? Vezměte v úvahu
% daň z úroků.
Výsledky příkladů pro samostatnou pr{ci: Příklad . Vzorec
u=5
u = K0 . i·. t
nebo u = K0
Kč
p = 12,5 d = 180 K0 = ?
Kč
K0 = 89
Z{kazník si může půjčit
Kč.
Příklad . Vzorec
K0 = 75
u = K0
. 0,85
Kč
p = 2,15 d = 18 + 6 . 30 + 8 = 206 u=
u=? Z{kazníkovi n{leží
,
Kč.
,
Kč
Základní rovnice pro jednoduché úročení polhůtné
K jednoduchému úročení doch{zí v r{mci jednoho úrokovacího období. Může to být nejčastěji jeden rok například u vkladních knížek nebo i jeden měsíc např. u běžných účtů . V našich příkladech budeme používat nejčastěji roční úrokovací období. Pro výši kapit{lu v čase Kt platí vztah Kt = K0 + u, kde K0 je poč{teční kapit{l, u je připočtený úrok. Po dosazení za úrok a vytknutí K0 dostaneme n{sledující výpočetní vztahy. Kt = K0 . (1 + i·. t)
popřípadě
Kt = K0 (1 +
i je úrokov{ míra vyj{dřen{ desetinným číslem p úrokov{ míra v procentech) t je doba d je počet dnů uložení .
Příklad 1. Jaký je stav vkladu
200 Kč za
měsíců při úrokové sazbě , % ? Jak{ byla výše
úroku před zdaněním a po zdanění? Zdanění činí
% ze získaného úroku.
Řešení: i = 0,032
K0 = 14 200
Kt = 14 200 . 1,021 = 14
t=
= 0,667
, Kč před zdaněním
Úrok u před zdaněním, činil
, Kč. Po zdanění činil
,
Kč.
Příklady pro samostatnou práci: Příklad . Z{kazník si uložil . dubna na spořicí účet úročený úrokovou sazbou , 15
Kč, kterou chtěl použít na v{noční d{rky. Hotovost si vybral
Jak{ č{stka mu byla vyplacena? Daň z úroků činí
% č{stku
. listopadu.
%.
Příklad . Kolik dní byl uložen z{kladní kapit{l K0, Jestliže se jeho hodnota změnila z hodnoty 9
Kč na č{stku 2
Kč před zdaněním, při úrokové míře , %?
Příklad . Z{kazník si kr{tkodobě vypůjčil 11
Kč. Za
Kč. V jaké výši byla půjčka úročena?
měsíců měl podle smlouvy zaplatit
Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad . Vzorec Kt = K0 . (1 + i·. t)
popřípadě
K0 = 15 000 ,
p = 2,35 ,
Kt = ?
Kt = 15 219,33
Kt = K0 (1 + d = 29 +6 . 30 + 15 = 224
Kt před zdaněním 15 219,33 Kč, úrok před zdaněním po zdanění
,
Kč. Byla vyplacena č{stka
Příklad . Vzorec Kt = K0 (1 + K0 = 9 000,
Kt = 9 200,
d=?
d = 320
Počet dní d=
p = 2,5
.
Příklad . Vzorec Kt = K0 . (1 + i·. t) K0 = 10 000,
Kt = 11 275,
i=?
i = 0,17
Půjčka byla úročena
% p. a.
d = 0,75
,
, Kč
Kč,
Jednoduché úročení předlhůtné
Vedle nejčastěji používaného úročení polhůtního, kdy je úrok vypl{cen na konci úrokového období, se můžeme setkat také s úročením předlhůtným. Při tomto úročení je úrok placen na zač{tku úrokovacího období. Příjemce kapit{lu nedost{v{ celou nomin{lní č{stku, ale obnos snížený o úrok. Vyplacen{ č{stka = nomin{lní hodnota kapit{lu – úrok Předpokl{dejme, že doba splatnosti je jeden rok a proto předem zaplatíme úrok za jeden rok. K1
kapit{l splatný za jeden rok
I
úrokov{ sazba v setin{ch p.a.
K0
vyplacen{ č{stka,
Potom platí K0 = K1 – K1 . I = K1 . (1 – I) Chceme-li vyj{dřit hodnotu kapit{lu Kt v čase t, můžeme symbolicky ps{t Kt = K0 + K1 . I . t Po dosazení za K0 dost{v{me Kt = K1 – K1 . I + K1 . I . t = K1 . (1 + (t – 1) . I) Příklad 1. Předpokl{dejme úvěr ve výši sazbě
Kč, splatný najednou za jeden rok při úrokové
% p.a. Ukažme rozdíl mezi polhůtným a předlhůtným úročením.
Polhůtné úročení: K0=1 000 i=0,1 t=1 K1=? Podle vzorce pro jednoduché polhůtné úročení Kt = K0 . (1 + i)=1 000 . 1,1=1 100 Na konci je potřeba zaplatit celkem Předlhůtné úročení:
Kč.
Kč úvěru a
Kč úroku.
K1=1 000 I=0,1 t=1 K0=? Podle z{kladního vzorce pro jednoduché úročení předlhůtné K0 = K1 . (1 – I)=1 000 . 0,9=900 Při předlhůtném úročení z úvěru
Kč dostaneme ve skutečnosti 9
Nomin{lní hodnota úroku zůst{v{ stejn{
Kč.
Kč.
Příklady pro samostatnou práci: Příklad 2. Kolik dostane vyplaceno dlužník, který si vypůjčil na rok
0
Kč při
%
předlhůtní úrokové sazbě? Kolik splatí věřiteli, jestliže se rozhodne dluh vr{tit za 9 měsíců?
Příklad 3. Klient potřebuje získat od banky úvěr
Kč na jeden rok. Banka nabízí dvě
možnosti splacení úvěru: 1) Úrokov{ sazba je
% p.a. při splatnosti úroku na konci roku
2) Úrokov{ sazba je 9, % p.a., úrok je splatný při poskytnutí úvěru
Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec Kt = K1 – K1 . I + K1 . I . t = K1 . (1 + (t – 1) . I) K1 = 20 000,
I = 0,12,
Kt = ?
Kt = 17 600
K1 = 20 000,
I = 0,12,
Kt = ?
Kt = 19 400
t=0
t = 0,75
Dlužník dostane vyplaceno
Kč, za 9 měsíců by vr{til 9
Kč.
Příklad 3. 1) Kt = K0 . (1 + i·. t)
popřípadě
Kt = K0 (1 +
K0 =100 000,
t = 1,
i = 0,1
Kt = ?
Kt = 110 000
2) Vzorec Kt = K1 – K1 . I + K1 . I . t = K1 . (1 + (t – 1) . I) Kt = 100 000,
I = 0,095,
K1 = ?
K1 = 110 497,24
Z výpočtu je patrné, že výhodnější je varianta ). Z{kazník zaplatí bance méně na úrocích.
Jednoduchý diskont
Převezme-li banka nebo jiný subjekt nějakou pohled{vku před dobou splatnosti, nevyplatí celou výši pohled{vky, ale odečte úroky za příslušnou dobu do doby splatnosti. Diskont je úrok ode dne výplaty do dne splatnosti. Ve finanční matematice rozlišujeme diskont obchodní počít{ se z nomin{lní hodnoty pohled{vky a diskont matematický počít{ se ze současné hodnoty pohled{vky . Diskont se počít{ podle vzorce pro jednoduché úročení. Uk{žeme si výpočet obchodního diskontu: Dob
obchodní diskont
Kt
nomin{lní hodnota pohled{vky
iD
diskontní sazba v setin{ch
t
čas od doby výplaty do doby splatnosti
Píšeme: Dob = Kt . iD . t Po odečtu obchodního diskontu se bude vypl{cet č{stka Kob rovnat Kob = Kt - Dob = Kt - Kt . iD . t = Kt (1 - iD . t).
Příklad 1. Určete, kolik dostane vyplaceno klient , jemuž banka eskontuje směnku o nomin{lní hodnotě
Kč
dní před dobou splatnosti při diskontní sazbě 9% p.a. Banka
neúčtuje ž{dné další provize. Kt = 50 000 t= iD = 0,09 Kob = Kt (1 - iD . t) = 50 000 . (1 – 0,09.
) = 49
,
Kč
Příklady pro samostatnou práci:
Příklad 2. Majitel se rozhodne odprodat roční st{tní dluhopis o nomin{lní hodnotě
Kč
dva měsíce před dobou splatnosti. Kolik za ni dostane vyplaceno, je-li diskontní sazba 7% p.a.?
Příklad 3. Majitel dlužního úpisu v nomin{lní hodnotě
Kč potřebuje hotovost a tak se
rozhodl dlužní úpis prodat třetí osobě tři měsíce před dobou splatnosti. Kolik může dostat, jestliže je výše diskontní sazby % p. a.?
Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec Kob = Kt - Dob = Kt - Kt . iD . t = Kt (1 - iD . t). Kt = 10 000,
iD = 0,07,
Kob = ?
Kob = 9 883,31
t = 0,1667
Bude vyplaceno 9 883,31 Kč.
Příklad 3. Vzorec Kob = Kt - Dob = Kt - Kt . iD . t = Kt (1 - iD . t). Kt = 56 000,
iD = 0,06,
Kob = ?
Kob = 55 160
t = 0,25
Majitel dlužního úpisu může požadovat
Kč.
Složené úročení polhůtní
Složené úročení vych{zí z toho, že vyplacené úroky se připočít{vají k původnímu kapit{lu a v dalším období se d{le úročí společně s původním kapit{lem. Složené úročení je možno stejně jako jednoduché úročení rozdělit podle toho, kdy se platí úrok, na složené úročení polhůtné a předlhůtné. Vzhledem k tomu, že nejsou zn{mé aplikace složeného předlhůtního útočení, nebudeme se jím zabývat. K0 – původní kapit{l i – úrokov{ sazba v setin{ch t – doba splatnosti kapit{lu v letech Kt – výše kapit{lu na konci t – ho roku Pro složené úročení lze odvodit vzorec Kt = K0 . Tento způsob úročení se použív{ například u dříve velmi oblíbených vkladních knížek. V průběhu roku se pak použív{ jednoduché úročení.
Příklad 1. Uložili jsme č{stku
Kč. Jak{ bude výše kapit{lu za
let při složeném úročení
polhůtném, jestliže úrokové období je roční a úrokov{ sazba je , % p.a.? K0 = 15 000 i = 0,035 t=5 Kt = ? Kt = K0 .
= 15 000 .
= 17 815,29 Kč
V praxi se často setk{v{me s případy, že úrokové období je kratší než jeden rok. Nejčastěji se setk{v{me, například u oblíbených běžných účtů, že úrokové období je jeden měsíc. Potom platí pro výpočet kapit{lu vztah:
Kt = K0 . K0 – původní kapit{l i – úrokov{ sazba v setin{ch t – doba splatnosti kapit{lu v letech m – počet úrokovacích období za rok Kt – výše kapit{lu na konci t–ho roku V r{mci jednoho úrokovacího období se využív{ jednoduché úročení.
Příklady pro samostatnou práci:
Příklad 2. Uložili jsme č{stku
Kč. Jak{ bude výše kapit{lu za
let při složeném úročení
polhůtném, jestliže úrokové období je pololetní a úrokov{ sazba je , % p.a.?
Příklad 3. Jak{ bude výše úroku z kapit{lu
Kč za
roky při úrokové sazbě
, % p.a.,
jsou-li úroky připisov{ny čtvrtletně, ponech{ny na účtu a d{le úročeny jako vklad.
Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec Kt = K0 . K0 = 15 000 i = 0,035 t=5 m=2 Kt = ? Kt = K0 .
= 15 000 .
Výše kapit{lu bude
,
= 17 841,67 Kč.
Příklad 3. K0 = 200 000 i = 0,105 t=3 m=4 Kt = ? Kt = K0 . Výše úroku bude
= 200 000 . ,
= 272 940,53
Kč před zdaněním.
Kombinace jednoduchého a složeného úročení
Jestliže je kapit{l uložen uprostřed úrokovacího období pro složené úročení, je nutné pro výpočet konečné č{stky kombinovat jednoduché a složené úročení.
Při polhůtném úročení pak dostaneme obecný vzorec pro výpočet kapit{lu v n{sledujícím tvaru: Kt = K0 . (1 + i·. t1) .
. (1 + i·. t2)
Kde K0 – původní kapit{l i – úrokov{ sazba v setin{ch t1 – doba pro jednoduché úročení v prvním období, pokud existuje t2 – doba pro jednoduché úročení ve druhém období, pokud existuje n – počet období složeného úročení m – počet úrokovacích období za rok Kt – výše kapit{lu na konci období
Příklad 1. Na běžný účet úročený jedenkr{t za měsíc na konci období jsme si uložili Kč. Č{stku včetně úroků si chceme vyzvednout na v{noční n{kupy
10
30. listopadu. Jakou č{stku si vybereme, je-li úrokov{ sazba , % p.a.? K0 = 10 000 (jednoduché úročení použijeme v r{mci jednoho měsíce
t1 = n=
osm celých měsíců složeného úročení
m = 12 Kt = ? i = 0,025
. března
Kt = K0 . (1 + i·. t1) .
= 10 000 . (1 + 0,025·.
).
= 10 178,4 Kč
Příklady pro samostatnou práci:
Příklad 2. Na vkladní knížku, kter{ je úročen{ jedenkr{t za rok na konci období neměnnou úrokovou sazbou , % jsme uložili . června
při narození dítěte 100
Kč.
Předpokl{d{me, že bude potřebovat peníze na vysokoškolsk{ studia. Peníze budeme chtít vybrat
. srpna
. S jakou č{stkou můžeme počítat?
Příklad 3. Kolik musíme uložit, abychom za
let a
měsíce měli obnos
Kč při úrokové
sazbě , % p.a.? Úroky jsou připisov{ny jednou za rok, ponech{v{ny na účtu a d{le úročeny.
Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec Kt = K0 . (1 + i·. t1) . K0 = 100 000, Kt = ?
i = 0,025,
. (1 + i·. t2) m = 1,
n = 18,
t1 = 0,58,
n = 5,
t = 0,25
Kt = 160 877,69
Můžeme počítat s č{stkou
,
Kč.
Příklad 3. Vzorec Kt = K0 . (1 + i·. t) . Kt = 100 000, K0 = ?
i = 0,096,
m = 1,
K0 = 61 751,47
Musíme uložit nejméně
Kč.
t2 = 0,67
Spoření krátkodobé předlhůtní Základní pojmy spoření
Dalším produktem na finančním trhu je spoření. Spořením rozumíme pravidelné ukl{d{ní určité č{stky po dobu konečné délky. Součet všech úložek se nazýv{ částka uložená. Součet uložené č{stky a příslušných úroku se nazýv{ č{stka naspořen{. Ta býv{ obvykle cílem výpočtu v oblasti spoření. Klasifikace spoření: 1. Z hlediska počtu úrokových období – spoření kr{tkodobé, – spoření dlouhodobé, – spoření kombinované. U kr{tkodobého spoření se doba spoření rovn{ pr{vě jednomu úrokovému období, na jehož konci se připíše úrok z úložek. V případě dlouhodobého spoření spoříme po dobu několika úrokových období, úrok z úložky je přips{n na konci období a v dalším období znovu úročen. Vznikají tedy úroky z úroku. 2. z hlediska toho, spoříme-li stanovenou částku na počátku pravidelného časového intervalu nebo na jeho konci – spoření předlhůtní, č{stka se ukl{d{ na poč{tku období – spoření polhůtní, č{stka se ukl{d{ na konci období N{zev je tedy odvozen od úložky, nikoliv od výpočtu úroku. Ten se připisuje vždy na konci období.
Spoření krátkodobé předlhůtní Pro kr{tkodobé spoření předlhůtní se d{ odvodit vzorec
m 1 S x m x 1 i . 2m
Předpoklady: Sx – naspořen{ č{stka x – hodnota pravidelně ukl{dané č{stky m – počet úložek za rok i – úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem Č{stka x je pravidelně ukl{dan{ vždy na zač{tku období měsíce, kvart{lu, pololetí . Pozn{mka: Všechny zde uv{děné vzorce slouží k výpočtu „čistých“ finančních č{stek. Neobsahují v sobě
% daň, kterou příjemce úroků musí odv{dět st{tu.
Příklad . Jakou č{stku naspoříme během roku, ukl{d{me-li pravidelně na zač{tku měsíce č{stku
Kč. Úrokov{ sazba na spořicím účtu je , % ročně.
12 1 S x 12.1500 1 0,021 24
Sx = 18
,
Kč
Během roku naspoříme č{stku
,
Kč.
Příklady pro samostatnou práci: Příklad . Jakou č{stku musíme ukl{dat pravidelně na zač{tku měsíce, abychom za rok naspořili více jak
Kč. Při roční úrokové míře ,
%.
Příklad . Střadatel ukl{dal pravidelně na zač{tku měsíce
Kč. Za rok naspořil 38
Kč.
Jak{ byla v tomto roce roční úrokov{ sazba?
Příklad . Kolik musíme ukl{dat poč{tkem každého čtvrtletí, abychom za rok uspořili při úrokové míře % p.a.?
Kč
Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad . m 1 Vzorec S x m x 1 i . 2m
Sx = 100 000,
m = 12,
i = 0,0245
x = 8 224,19 Musíme spořit nejméně
Kč.
Příklad 3. m 1 Vzorec S x m x 1 i . 2m
Sx = 38 000, i=?
x = 3 000,
m = 12
i = 0,1025
Roční úrokov{ sazba byla 10,25% p. a.
Příklad 3. m 1 Vzorec S x m x 1 i . 2m
Sx = 10 000, x=?
m = 4,
i = 0,04
x = 2 439,02
Musíme ukl{dat alespoň
Kč.
Spoření krátkodobé polhůtní
Č{stka x je pravidelně ukl{dan{ vždy na konci období měsíce, kvart{lu, pololetí . m 1 S x' m x 1 i 2m
Předpoklady: Sx‘ – naspořen{ č{stka x – hodnota pravidelně ukl{dané č{stky m – počet úložek za rok i – úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem Příklad 1. Kolik uspoříme do konce roku, ukl{d{me-li koncem každého měsíce úrokové sazbě.
Kč při 9%
Sx‘ = ? x = 1 200 m = 12 i = 0,09 m 1 12 1 S x' m x 1 i = 12 1200 1 0,09 = 14 994 Kč 2m 24
Uspoříme č{stku
99 Kč.
Příklady pro samostatnou práci:
Příklad 2. Při kolika procentní úrokové sazbě uspoříme za jeden rok každého čtvrtletí ukl{d{me Kč? , %] Příklad 3.
Kč, jestliže koncem
Jakou č{stku musíme ukl{dat koncem každého měsíce, abychom během toku naspořili
Kč při , % úrokové sazbě?
Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. m 1 Vzorec S x' m x 1 i 2m
Sx‘ = 10 000, i=?
m = 4,
x = 2 400
i = 0,111
Při úrokové míře
, % p. a.
Příklad 3. m 1 Vzorec S x' m x 1 i 2m
Sx‘ = 54 000, x=?
m = 12, x = 4 449,02
Musíme ukl{dat
Kč.
i = 0,025
Spoření dlouhodobé předlhůtní
O dlouhodobém spoření hovoříme, jestliže jde o spoření za několik úrokových období. Podle toho, zda č{stka bude uložena na poč{tku či na konci úrokovacího období, budeme opět rozlišovat spořené předlhůtní a polhůtní.
Spoření dlouhodobé předlhůtní S a (1 i )
(1 i) n 1 i
S – naspořen{ č{stka a – hodnota pravidelně ukl{dané č{stky i – úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem n – počet úrokovacích období Č{stka a je pravidelně ukl{dan{ vždy na zač{tku období měsíce, kvart{lu, pololetí .
Příklad . Kolik uspoříme za neměnné
let, budeme-li ukl{dat na poč{tku každého roku
% úrokové sazbě p.a.?
S=? a=5
Kč
i = 0,12 n=8
S 5000 (1 0,12)
(1 0,12) 8 1 = 0,12
,
Kč
Kč při
Za osm let uspoříme č{stku
,
Kč.
Příklady pro samostatnou práci:
Příklad . Kolik uspoříme za deset let, spoříme-li zač{tkem každého roku 10 0 neměnné 4% úrokové sazbě?
Kč při
Příklad . Kolik musíme spořit poč{tkem každého roku, abychom za deset let uspořili 1 000 000. Kč při neměnné roční úrokové sazbě 3,5%?
Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec S a (1 i )
a = 10 000, S=?
(1 i) n 1 i
i = 0,04,
n = 10
S = 124 863,51
Naspoříme č{stku
,
Kč.
Příklad 3. Vzorec S a (1 i )
S = 1 000 000, a=?
(1 i) n 1 i
n = 10, a = 82 358,81
Musíme ukl{dat
Kč.
i = 0,035
Spoření dlouhodobé polhůtní Spoření dlouhodobé polhůtní S a
(1 i ) n 1 i
S´ – naspořen{ č{stka a – hodnota pravidelně ukl{dané č{stky i – úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem n – počet úrokovacích období Č{stka a je pravidelně ukl{dan{ vždy na konci období.
Příklad . Jakou č{stku musíme ukl{dat koncem každého roku, abychom za 50
Kč při neměnné úrokové sazbě % p.a.?
S´ =
Kč
a=? i = 0,03 n = 10 =
Musíme ukl{dat č{stku
,
=4
Kč
Kč
let naspořili
Příklady pro samostatnou práci:
Příklad . Otec ukl{d{ synovi od jeho narození pravidelně č{stku roku. Kolik mu naspoří do jeho
Kč koncem každého
let při průměrné úrokové míře , %.?
Příklad . Koncem každého roku můžeme ukl{dat č{stku abychom naspořili č{stku
Kč. Jak dlouho musíme spořit,
Kč, při úrokové míře ,
%?
Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec S a
a = 30 000, S´ = ?
(1 i ) n 1 i
n = 18,
i = 0,035
S´ = 734 990,74
Bude naspořena č{stka
,
Kč.
Příklad 2. Vzorec S a S´ = n=?
000,
(1 i ) n 1 i
a = 40 000, n = 12,73,
Musíme spořit
let a
to je měsíců.
i = 0,0275 let a ,
měsíce.
Kombinace dlouhodobého a krátkodobého spoření předlhůtního
Jestliže ukl{d{me č{stku pravidelně v průběhu úrokovacího období, několik úrokovacích období doch{zí ke kombinaci kr{tkodobého a dlouhodobého spoření. Dlouhodob{ složka spoření může být pouze z dlouhodobého polhůtního spoření, protože v těchto případech můžeme připisovat úroky pouze na konci období. Měnit se může pouze složka kr{tkodob{, podle toho, kdy č{stku ukl{d{me. N{zev je tedy odvozen od kr{tkodobé složky spoření. n m 1 (1 i) 1 S m x 1 i 2m i
S – naspořen{ č{stka x – hodnota pravidelně ukl{dané č{stky na zač{tku období m – počet úložek za úrokovací období i – úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem n – počet celých úrokovacích období
Příklad . Kolik uspoříme za deset let, spoříme-li zač{tkem každého čtvrtletí neměnné % úrokové sazbě? S=? x = 2 500 4 – počet úložek za úrokovací období i = 0,08 n = 10 10 (1 0,08) 1 5 S 4 2500 1 0,08 0,08 8
S = 152
,
Kč
Kč při
Za deset let uspoříme
,
Kč
Příklady pro samostatnou práci:
Příklad . Kolik musíme spořit poč{tkem každého měsíce, abychom za deset let uspořili 1 000 000 Kč, při neměnné roční úrokové sazbě %?
Příklad . Prarodiče pravidelně ukl{dají vnoučeti
Kč na zač{tku každého měsíce od jeho
narození. Naspořené peníze mu chtějí předat při jeho
. narozenin{ch. Jakou č{stku
mu naspoří, jestliže počít{me se st{lou úrokovou mírou ,
%?
Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. n m 1 (1 i) 1 Vzorec S m x 1 i i 2m
S = 1 000 000, x=?
m = 12,
n = 10,
i = 0,09
x = 5 230,04
Musíme spořit alespoň
Kč.
Příklad 3. n m 1 (1 i) 1 Vzorec S m x 1 i i 2m
x = 1 000,
m = 12,
S=?
S = 512 514,23
Prarodiče naspoří č{stku
n = 30,
,
i = 0,0225
Kč.
Kombinace dlouhodobého a krátkodobého spoření polhůtního n m 1 (1 i) 1 S´ m x 1 i i 2m
S´ – naspořen{ č{stka x – hodnota pravidelně ukl{dané č{stky na konci období m – počet úložek za úrokovací období i – úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem n – počet celých úrokovacích období
Příklad . Kolik uspoříme za deset let, spoříme-li koncem každého čtvrtletí neměnné % roční úrokové sazbě? S´ = ? x = 2500 m=4 i = 0,08 n = 10 10 (1 0,08) 1 3 S´ 4 2500 1 0,08 0,08 8 S´ = 149 , Kč
Uspoříme č{stku
,
Kč.
Kč při
Příklady pro samostatnou práci:
Příklad . Kolik musíme spořit koncem každého měsíce, abychom za při neměnné úrokové sazbě 3% p.a.?
let uspořili mil. Kč
Příklad . Jak dlouho je nutno spořit koncem každého měsíce Kč, aby uspořen{ č{stka byla ve výši Kč při neměnné % roční úrokové sazbě?
Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. n m 1 (1 i) 1 Vzorec S´ m x 1 i 2m i
S´ = 000 000, x=?
m = 12,
n = 10,
i = 0,03
x = 7 170,61
Musíme spořit
Kč.
Příklad 3. n m 1 (1 i) 1 Vzorec S´ m x 1 i 2m i
S´ = n=?
000,
m = 12, n = 6,4523,
Musíme spořit
let a
to je dnů.
x = 500,
i = 0,08
n = 6 let 162,83 dne
Problematika důchodů, důchod bezprostřední polhůtný
Důchodem rozumíme pravidelné platby, které obvykle nazýv{me anuity a označujeme „a“. Rozlišujeme: Důchod předlhůtný – anuity jsou vypl{cena na vždy na poč{tku určitého časového intervalu. Důchod polhůtný – anuity jsou vypl{cena na vždy na konci určitého časového intervalu. Důchod dočasný – vypl{cený jen po určitou pevně stanovenou dobu. Důchod věčný – teoreticky vypl{cený neomezeně dlouho. Důchod bezprostřední – začne se s výplatou okamžitě. Důchod odložený – s výplatou začneme až po určitém období. D – poč{teční hodnota důchodu, kter{ n{m zajišťuje výplatu anuity po určitou dobu. Pro bezprostřední důchod polhůtný roční lze odvodit vztah: kde
je tzv. diskontní odúročitel, i je úrokov{ sazba vyj{dřen{
desetinným číslem a – roční důchod n – počet let Nahradíme-li roční důchod „a“. č{stkami vypl{cenými m kr{t do roka, podobně jako u spoření. Dostaneme z{kladní rovnici ve tvaru: m 1 1 v D m x 1 i 2m i
n
kde x je č{stka pravidelně vypl{cen{ na konci období
m kr{t do roka.
Příklad . Jak{ č{stka n{m zajistí roční bezprostřední polhůtný důchod ve výši dobu let při neměnné roční úrokové sazbě %?
Kč po
a = 16000 n = 20 i = 0,04 v= = 217 445,
Potřebujeme č{stku
Kč.
Kč
Příklady pro samostatnou práci:
Příklad . Jak{ je poč{teční hodnota důchodu Kč, který se vypl{cí na konci každého čtvrtletí po dobu let při neměnné roční úrokové sazbě 5%?
Příklad . Jak{ č{stka zajistí důchodci přilepšení ke st{tnímu důchodu ve výši si nech{ vypl{cet koncem každého měsíce po dobu
Kč, kterou
let? Úrokov{ sazba je , % p.a.
Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. m 1 1 v Vzorec D m x 1 i 2m i
m = 4,
x = 6 000,
D=?
D = 189 995,07
n
n = 10,
Potřebujeme č{stku
i = 0,05
= 0,952
i = 0,035
= 0,966
Kč.
Příklad 3. m 1 1 v Vzorec D m x 1 i 2m i
m = 12
x = 2 000,
D=?
D = 347 897,61
Potřebujeme č{stku
n = 20,
Kč.
n
Důchod bezprostřední předlhůtný
Jestliže chceme, aby n{m č{stka byla vypl{cena na zač{tku období, hovoříme o důchodu předlhůtném.
Pro roční důchod bezprostřední předlhůtný pak lze odvodit výpočetní vztah:
- poč{teční hodnota bezprostředního předlhůtného důchodu a – roční důchod n – počet let i – úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem - diskontní odúročitel
Jestliže chceme vypl{cet č{stku několikr{t v r{mci jednoho úrokovacího období, po více období za sebou, musíme opět kombinovat kr{tkodobou a dlouhodobou složku obdobně jako u spoření. I zde z hlediska dlouhodobého použijeme vzorec pro polhůtný důchod. N{zev je tak opět odvozen od kr{tkodobé složky. Výpočetní vztah pak vypad{ n{sledovně: m 1 1 v i D´ m x 1 2m i
kde v je opět
n
a x je č{stka pravidelně vypl{cen{ na zač{tku období m kr{t do roka,
i je úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem.
Příklad 1. Jak{ č{stka n{m zajistí roční bezprostřední předlhůtný důchod ve výši dobu let při neměnné roční úrokové sazbě %? D´= ?
Kč po
a = 16000 i = 0,04 v=
= 226
Potřebujeme č{stku
,
Kč.
Kč
Příklady pro samostatnou práci:
Příklad . Jak{ je poč{teční hodnota důchodu Kč, který se vypl{cí na poč{tku každého čtvrtletí po dobu let při neměnné roční úrokové sazbě %?
Příklad . Jak{ č{stka zajistí důchodci přilepšení ke st{tnímu důchodu ve výši si nech{ vypl{cet koncem každého měsíce po dobu
Kč, kterou
let? Úrokov{ sazba je , % p.a.
Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. m 1 1 v Vzorec D´ m x 1 i 2m i
m = 4,
x = 6 000,
D´ = ?
D´ = 192 326,30
n
n = 10,
i = 0,05
Musíme mít k dispozici č{stku
= 0,952
327 Kč.
Příklad 3. m 1 1 v Vzorec D´ m x 1 i 2m i
m = 12
x = 2 000,
D´ = ?
D´ = 348 896,29
Potřebujeme č{stku
n = 20,
897 Kč.
n
i = 0,035
=.0,966
Důchod odložený polhůtný
Jestliže nezačneme vypl{cet důchod ihned, ale až po uplynutí „k“ let, hovoříme o důchodu odloženém. Opět rozlišujeme dvě varianty. Důchod odložený polhůtný je vždy vypl{cen na konci období. Důchod odložený předlhůtný je vždy vypl{cen na poč{tku období. Důchod odložený polhůtný roční odložený „k“ let.:
K – poč{teční hodnota odloženého polhůtního důchodu a – roční důchod k – počet let odložení výplaty důchodu n – počet let výplaty důchodu i – úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem - diskontní odúročitel Důchod odložený polhůtný vypl{cen m – kr{t do roka odložený „k“ let.:
Příklad . M{me č{stku 100
Kč. Touto č{stkou si chceme zajistit roční polhůtný důchod na
15 let s tím, že s jeho výplatou začneme za
let. Jak vysok{ bude č{stka při
neměnné roční úrokové sazbě % ? Vzorec
K = 100 000, a=?
n = 15,
k = 10,
a = 11 282,37
Můžeme počítat s č{stkou
,
Kč.
i = 0,03,
v = 0,971
Příklady pro samostatnou práci:
Příklad . M{me k dispozici Kč. Tuto č{stku si chceme zajistit roční polhůtný důchod na 5 let s tím, že s jeho výplatou začneme za dva roky. Jak vysoké budou platby při neměnné % roční úrokové sazbě?
Příklad . Jak velkou č{stku musíme dnes při neměnné roční úrokové sazbě % uložit novorozenému dítěti, aby v -ti letech mělo takový kapit{l, který by mu zabezpečoval po dobu let čtvrtletní polhůtný důchod ve výši Kč?
Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec K = 30 000, a=?
n = 5,
k = 2,
i = 0,08,
v = 0,926
a = 8 770,05
Platba bude ve výši
,
Kč.
Příklad 3. Vzorec
m = 4,
x = 1 400,
K=?
K = 4 308,89
Musíme uložit č{stku
i = 0,12,
Kč.
n = 10,
k = 18,
v = 0,893
Důchod odložený předlhůtný Důchod odložený předlhůtný roční:
K´ – poč{teční hodnota odloženého předlhůtního důchodu a – roční důchod k – počet let odložení výplaty důchodu n – počet let výplaty důchodu i – úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem - diskontní odúročitel
Důchod odložený předlhůtný vypl{cený „m“ kr{t za rok odložený „k“ let.
Při kombinaci kr{tkodobě a dlouhodobé složky opět vidíme, že dlouhodob{ složka podobně jako u spoření poch{zí z ročního polhůtního důchodu. Důvodem je opět připisov{ní úroků na konci období.
Příklad . Jak{ č{stka n{m zajistí přilepšení ke starobnímu důchodu ve výši
Kč po dobu
10 let, vypl{cen{ vždy na zač{tku roku, jestliže jsme schopni odložit vypl{cení o let při roční úrokové míře % ? Vzorec
a = 24 000, K´ = ?
n = 10, K´ = 156 494,01
k = 10,
i = 0,03,
v = 0,971
Budeme potřebovat č{stku
Kč.
Příklady pro samostatnou práci:
Příklad . Jak{ č{stka n{m zajistí přilepšení ke starobnímu důchodu ve výši
Kč měsíčně
po dobu 15let, vypl{cen{ vždy na zač{tku měsíce, jestliže jsme schopni odložit vypl{cení o
let při roční úrokové míře % ?
Příklad . Jak velkou č{stku musíme dnes uložit novorozenci, abychom zabezpečili přilepšení na studium, předpokl{dejme, že začne studovat v
letech , ve výši
Kč.
Č{stka bude vypl{cena vždy zač{tkem měsíce při neměnné úrokové míře , % ? Předpokl{dejme, že délka studia bude
let.
Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec
m = 12,
x = 2 000,
K´ = ?
K´ = 216 177,99
Potřebujeme č{stku
n = 15,
k = 10,
i = 0,03,
v = 0,971
k = 19,
i = 0,025,
v = 0,9756
Kč.
Příklad 3. Vzorec
m = 12,
x = 6 000,
K´ = ?
K´ = 212 112,63
Musíme uložit č{stku
n = 5,
112,6 Kč.
Důchod bezprostřední věčný předlhůtný Pro uk{zku této varianty důchodu uvedeme nejběžnější varianty důchodů vypl{cených vždy na zač{tku období m – kr{t do roka.
Poč{teční hodnotu D´ popřípadě K´ věčného důchodu vypočít{me jako limitu vztahu pro poč{teční hodnotu bezprostředního popřípadě odloženého důchodu předlhůtního, kde proměnn{ „n“ se blíží nekonečnu a tudíž výraz „vn „ se bude blížit nule. Tento typ důchodu užívají např. některé nadace, které uloží určitou č{stku a předpokl{dají, že se z ní bude vypl{cet ročně určit{ č{stka teoreticky nekonečně dlouhou dobu. Např. Nobelova cena. Pro uk{zku této varianty důchodu uvedeme nejběžnější variantu bezprostřední důchod věčný předlhůtný vypl{cený „m“ kr{t za rok.
Důchod odložený věčný předlhůtný
Pro důchod odložený věčný předlhůtný vypl{cený „m“ kr{t za rok a odložený „k“ let pak dost{v{me obdobně vztah:
Příklad . Jak{ č{stka n{m a našim pozůstalým zajistí čtvrtletní předlhůtný věčný důchod ve výši
Kč při neměnné roční úrokové sazbě % ?
Vzorec
m=4 x = 15 000 i = 0,03 = 2 037 99,9 Kč Potřebujeme č{stku
037
Kč.
Příklady pro samostatnou práci:
Příklad . Jak vysok{, dnes složen{ č{stka, n{m zajistí výplatu věčného předlhůtného důchodu čtvtletního ve výši Kč od našeho . roku, je-li n{m dnes let a úrokov{ sazba je 4% p.a.?
Příklad . V našich
letech se n{m podařilo naspořit
000
Kč. V 63 letech si začneme
čerpat měsíční předlhůtný důchod věčný. S jakou č{stkou můžeme počítat, je-li úrokov{ sazba , % p. a. ?
Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec
m = 4,
x = 10 000,
K´ = ?
K´ = 269 773,74
Potřebujeme č{stku
k = 34,
9
i = 0,04,
v = 0,9615
Kč.
Příklad 3. Vzorec
K´ = 000 000, x=?
m = 12,
k = 12,
x = 4 335,16
Můžeme počítat s č{stkou
,
Kč.
i = 0,035,
v = 0,966
Umořování dluhů, úmor dluhu nestejnými splátkami
Úvěr, dluh, půjčka je důležitý finanční n{stroj. Rozumíme jím poskytnutí určité č{stky na určitou dobu za odměnu zvanou úrok. Dluh je možné z pohledu věřitele považovat za příjem důchodu. Uk{žeme si ale i některé odlišnosti. Kromě úroku se u dluhů a půjček ještě uv{dí doplňují informace, kter{ se označuje RPSN – roční procentu{lní sazba n{kladů. Ud{v{ se opět v procentech a obsahuje v sobě informaci o celkových n{kladech na spl{cení úvěru.
Podle doby splatnosti můžeme úvěry dělit na: -
Kr{tkodobé, kdy doba splatnosti nepřesahuje jeden rok
-
Střednědobé, kdy je doba splatnosti od jednoho do pěti let
-
Dlouhodobé, kdy doba splatnosti je delší než pět let
Podle způsobu umořování dluhu: -
Půjčka je uzavřena na neurčitou dobu a musí být splacena najednou po výpovědi při zachov{ní výpovědní lhůty. Úroky se platí pravidelně v dohodnutých lhůt{ch.
-
Umořov{ní dluhu se prov{dí od zač{tku pravidelnými platbami (anuitami). Ty se skl{dají z č{stky, o kterou se snižuje dluh úmor a úroků za určité období. Tyto platby mohou být st{le stejné nebo jejich výše nemusí být stejné.
Pro přehled výše spl{tek úvěru včetně úroků z hlediska jejich časové posloupnosti sestavujeme tzv. umořovací pl{ny.
Umořovací plán obsahuje: Výši anuity spl{tky Výši úroku z dluhu Výši úmoru Stav dluhu po odečtení úmoru
Příklad . Úvěr ve výši 10
Kč m{ být splacen polhůtními spl{tkami. První spl{tka m{ výši
Kč a každ{ další je o
Kč vyšší. Kromě toho je nutné platit běžný úrok
%. Sestavte umořovací pl{n. Umořovací pl{n období
úmor
úrok
anuita
0
stav dluhu 200 000
1
10 000
16 000
26 000
190 000
2
20 000
15 200
35 200
170 000
3
30 000
13 600
43 600
140 000
4
40 000
11 200
51 200
100 000
5
50 000
8 000
58 000
50 000
6
50 000
4 000
54 000
0
Je zřejmé, že v posledním období vypočít{me výši úroku a připočít{me zbytek dlužné č{stky, čímž získ{me výši poslední spl{tky.
Příklady pro samostatnou práci:
Příklad . Sestavte umořovací pl{n pro splacení dluhu
Kč, který m{ být splacen
polhůtními spl{tkami. Výše úmoru m{ být v každém období stejn{ ve výši
Kč.
Sestavte umořovací pl{n, určete výši poslední spl{tky. Určete, kolik peněz bance celkově zaplatíme. Běžný úrok je ve výši
%.
Příklad . Úvěr ve výši 000
Kč m{ být splacen celkem za 8 let stejně vysokým úmorem
výši úmoru zaokrouhlete na celé desetitisíce . Stanovte výši jednotlivých spl{tek, sestavte umořovací pl{n a určete výši poslední spl{tky. První spl{tka bude odložena o tři roky. Úrok byl stanovený ve výši %.
Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Umořovací pl{n období
úmor
úrok
anuita
0
stav dluhu 200 000
1
30 000
28 000
58 000
170 000
2
30 000
23 800
53 800
140 000
3
30 000
19 600
49 600
110 000
4
30 000
15 400
45 400
80 000
5
30 000
11 200
41 200
50 000
6
30 000
7 000
37 000
20 000
7
20 000
2 800
22 800
0
anuita
stav dluhu
Příklad 3. Umořovací pl{n období
úmor
úrok
0
1 000 000
1
0
70 000
0
1 070 000
2
0
74 900
0
1 144 900
3
0
80 143
0
1 225 043
4
250 000
85 753,01
335 753,01
975 043
5
250 000
68 253,01
318 253,01
725 043
6
250 000
50 753,01
300753,01
475 043
7
250 000
33 253,01
283 253,01
225 043
8
225 043
15 753,01
240 796,01
0
Úmor dluhu stejnými splátkami
Pro umořování dluhu stejnými splátkami používáme stejný vzorec jako pro důchod
bezprostřední polhůtný. Dlužník se vlastně stává z pohledu věřitele zdrojem důchodu. Kde D0 - je poč{teční hodnota dluhu a – roční spl{tka n – počet let i – úrokov{ sazba vyj{dřen{ desetinným číslem - diskontní odúročitel Jestliže se rozhodneme spl{cet dluh „m“ kr{t ročně č{stkou x, vždy na konci období použijeme analogicky vzorec . Při spl{cení dluhu na zač{tku období budeme spl{cet menší č{stku a použijeme vzorec .
Příklad . Dluh roční
Kč m{ být umořen polhůtnými ročními anuitami za
% úrokové sazbě. Určeme výše anuity a sestavme umořovací pl{n.
Vzorec D0 = 40 000 i = 0,12 n=6
let při neměnné
v = 0,893
a=? =
Musíme spl{cet
= 9 738,63
,
Kč.
Příklady pro samostatnou práci:
Příklad . Dluh spl{tky při
Kč se m{ spl{cet na konci roku ročními anuitami
let. Jak{ bude výše
% roční úrokové sazbě.
Příklad . Hypotéku ve výši 000
Kč, splatnou za
let, m{me spl{cet pravidelně stejně
vysokými anuitami vždy zač{tkem měsíce. Jak vysok{ bude spl{tka, při hypotéční úrokové sazbě 3,75 % p. a. Kolik peněz ve skutečnosti bance zaplatíme.
Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 2. Vzorec
D0 = 45 000, a=?
n = 12,
i = 0,14,
v = 0,877
a = 7 944,63
Budeme spl{cet č{stku
,
Kč.
Příklad 2. Vzorec . D0 = 2 000 000, x=?
m = 12,
n = 20,
i = 0,0375,
v = 0,9638
x = 11 778,58
Celkem 2 826
,
Kč.
Spl{tka bude ve výši
,
Kč a bance zaplatíme celkem
826
,
Kč.
Shrnutí, opakování Přehled použitých vzorců Jednoduchý úrok
u = K0
Z{kladní rovnice pro
Kt = K0 (1 +
jednoduché úročení polhůtné Jednoduché úročení
Kt= K1 . (1 + (t – 1) . I)
předlhůtné Jednoduchý diskont
Kob = Kt (1 - iD . t).
obchodní Složené úročení
Kt = K0 .
Kombinace jednoduchého
Kt = K0 . (1 + i·. t1) .
. (1 + i·.
a složeného úročení t 2) Spoření kr{tkodobé předlhůtní Spoření kr{tkodobé polhůtní Spoření dlouhodobé předlhůtní Spoření dlouhodobé polhůtní Kombinace dlouhodobého a kr{tkodobého spoření
m 1 S x m x 1 i 2m m 1 S x' m x 1 i 2m
S a (1 i ) S a
(1 i) n 1 i
(1 i ) n 1 i
n m 1 (1 i) 1 S m x 1 i i 2m
předlhůtního Kombinace dlouhodobého a kr{tkodobého spoření polhůtního
n m 1 (1 i) 1 S´ m x 1 i 2m i
Důchod bezprostřední polhůtný Důchod bezprostřední předlhůtný
m 1 1 v D m x 1 i 2m i
n
m 1 1 v i D´ m x 1 2m i
n
Důchod odložený polhůtný
Důchod odložený předlhůtný
Důchod bezprostřední věčný předlhůtný Důchod odložený věčný předlhůtný Úmor dluhu stejnými
.
spl{tkami na zač{tku období Úmor dluhu stejnými spl{tkami na konci období
.
Příklady k samostatnému procvičení 1. Dne
. března
jsme si uložili na vkladní knížku, kter{ je úročen{ na
konci roku roční úrokovou sazbou , %, jestliže budeme potřebovat peníze
Kč. Jakou č{stku vybereme,
. listopadu
?
2. Kolik musíme koncem každého měsíce ukl{dat po dobu zajistili po dalších
let čtvrtletní polhůtný důchod
let, abychom si Kč při 3% úrokové
sazbě p.a.?
3. Od svých
let si pravidelně spoříme koncem měsíce
Kč. V 50 letech
nech{me peníze na účtu a d{le již nespoříme. Ve svých 65 letech si z této č{stky budeme na zač{tku měsíce vybírat na přilepšenou k důchodu určitou č{stku. Jak vysok{ bude tato č{stka, jestliže si chceme peníze vypl{cet průměrn{ úrokov{ sazba je % p. a.?
let a
Výsledky příkladů pro samostatnou práci: Příklad 1. Vzorec: Kt = K0 . (1 + i·. t1) .
. (1 + i·. t2)
m = 1,
K0 = 50 000, i = 0,025,
Kt = ?
Kt = 94 365,06
Budeme mít k dispozici č{stku
t1 =
,
,
n = 24,
t2 =
Kč.
Příklad 2. Vzorce: m 1 1 v D m x 1 i 2m i
n
m = 4,
x = 5 000,
D=?
D = 241 269,45
Potřebujeme naspořit
důchod bezprostřední polhůtný
i = 0,03,
,
n = 15,
v = 0,9709
Kč. Abychom toho dos{hli, musíme ukl{dat určitou
č{stku x. n m 1 (1 i) 1 kombinace dlouhodobého a kr{tkodobého spoření i S´ m x 1 2m i
polhůtního m = 12,
i = 0,03,
x=?
x = 1 730,05
n = 10,
S´ = D
Abychom si zajistili výše zmíněný důchod, musíme ukl{dat měsíčně
,
Kč.
Příklad 3. Vzorce: n m 1 (1 i) 1 kombinace dlouhodobého a kr{tkodobého spoření S´ m x 1 i 2m i
polhůtního m = 12,
x = 2 500,
S´ = ?
S´ = 817 195,26 = K´
Spořením získ{me č{stku
i = 0,03,
,
n = 20
Kč. To bude výchozí č{stka pro n{š budoucí
důchod.
důchod odložený předlhůtný K´ = S´ = 817 195,26
m = 12,
n = 15,
v = 0,9709 x=?
x = 8 748,08
Přilepšení k důchodu bude ve výši
,
Kč.
k = 15,
i = 0,03
