PROBABILITAS Disajikan oleh: Bernardus Budi Hartono Web : http://pakhartono.wordpress.com E-mail : pakhartono at gmail dot com budihartono at acm dot org
Teknik Informatika [Gasal 2009 – 2010] FTI - Universitas Stikubank Semarang
Probabilitas… z
z z
Nilai probabilitas adalah sebuah bilangan di antara 0 dan 1 (0,1) yang terkait dengan suatu peristiwa (event) tertentu. Probabilitas = 0 → peristiwa mustahil terjadi Probabilitas = 1 → peristiwa pasti terjadi
Probabilitas peristiwa sederhana z
Peristiwa sederhana (simple event) → peristiwa yang berdiri sendiri tidak berhubungan dengan peristiwa lain (peristiwa tunggal).
z
Peristiwa A dapat terjadi dengan fA cara dari sejumlah total N cara yang masing-masing memiliki kesempatan yang sama untuk terjadi, maka probabilitas terjadinya peristiwa A (dinotasikan dengan P(A)) adalah: P(A) = fA / N
Probabilitas peristiwa sederhana (2) z
Sedangkan probabilitas untuk tidak terjadinya suatu peristiwa A atau disebut dengan kegagalan A (atau komplemen A), adalah: P(~A) = (N - fA ) / N = 1- (fA / N) = 1 - P(A)
z
Contoh probabilitas tunggal: Permainan (undian) menebak kemungkinan munculnya kartu As dari satu set kartu bridge. Diketahui 1 set kartu berjumlah 52 kartu dengan 4 diantaranya adalah kartu As. Probabilitas pengambilan satu kartu mendapatkan kartu As, adalah: P(As) = 4/52 = 1/13 = 0,077
Probabilitas peristiwa majemuk (1) z
Peristiwa majemuk (compound event) → peristiwa gabungan atau kombinasi dari dua atau lebih peristiwa sederhana
z
Probabilitas bersyarat (conditional probability) adalah probabilitas dari sebuah peristiwa yang akan terjadi jika sebuah peristiwa lainnya telah terjadi (peristiwa bersyarat). Probabilitas bersyarat peristiwa A akan terjadi, jika peristiwa B telah terjadi, adalah: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) P(B) > 0
Probabilitas peristiwa majemuk (2) z
Contoh probabilitas bersyarat: Diketahui, sebuah toko komputer telah menjual PC yang dilengkapi dengan perangkat lunak, sebagai berikut: word processor sebesar 60%, spreadsheet 40%, dan yang dilengkapi dengan kedua perangkat lunak tersebut 30%. Misalkan seseorang membeli komputer dengan word processor = A, dan seseorang membeli komputer dengan spread sheet = B. Maka: P(A) = 0,6 P(B) = 0,4 P(A ∩ B) = 0,3
Probabilitas peristiwa majemuk (3) z
(?) Jika komputer yang dibeli seseorang telah dilengkapi dengan spread sheet, hitunglah probabilitas komputer tersebut juga dilengkapi dengan word processor. P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0,3 / 0,4 = 0,75 Dengan kata lain, dari seluruh penjualan komputer yang dilengkapi spread sheet, maka 75% -nya dilengkapi juga dengan word processor.
Probabilitas peristiwa majemuk (4) z
(??) Jika komputer yang dibeli seseorang telah dilengkapi dengan word processor, hitunglah probabilitas komputer tersebut juga dilengkapi dengan spread sheet. P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 0,3 / 0,6 = 0,5 Dengan kata lain, dari seluruh penjualan komputer yang dilengkapi word processor, maka 50% -nya dilengkapi juga dengan spread sheet.
Peristiwa saling bebas dan tidak saling bebas z
Dua buah peristiwa A dan B dikatakan saling bebas (independent) apabila terjadinya peristiwa A tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa B, atau sebaliknya. P(A|B) = P(A) dan juga P(B|A) = P(B)
z
Jika terjadinya peristiwa A mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa B maka disebut peristiwa tidak saling bebas (dependent), hal ini merupakan probabilitas bersyarat.
Peristiwa saling meniadakan (mutually exclusive atau disjoint events) z
Peristiwa A dan B tidak mungkin terjadi secara bersamaan. Peristiwa A dan B adalah saling meniadakan jika terjadinya salah satu peristiwa tersebut dalam sebuah eksperimen probabilitas, mencegah terjadinya peristiwa yang lainnya. P(A dan B) = P(A ∩ B) = 0 atau P(A|B) = P(B|A) = 0
z
Sebaliknya, jika peristiwa A dan B dapat terjadi secara bersamaan dalam sebuah eksperimen probabilitas, maka A dan B tidak mutually exclusive.
Hukum-hukum probabilitas peristiwa majemuk (1) Hukum perkalian (multiplication law) z
Peristiwa saling bebas (independent event) Hukum perkalian untuk peristiwa A, B, C, D, … yaitu peristiwa yang saling bebas (independent event), maka probabilitas bahwa seluruh peristiwa itu terjadi (probabilitas gabungan atau joint probability) dari P(A ∩ B ∩ C ∩ D...), adalah perkalian dari probabilitas masing-masing peristiwa. P(A dan B dan C dan D …) = P(A ∩ B ∩ C ∩ D …) = P(A) · P(B) · P(C) · P(D) ...
Hukum-hukum probabilitas peristiwa majemuk (2) Hukum perkalian (multiplication law) z
Peristiwa tidak saling bebas (dependent event) Hukum perkalian untuk dua peristiwa A dan B yang tidak saling bebas, adalah: P(A dan B) = P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B) = P(B|A) · P(A) (*) keterangan: P(A|B) = probabilitas bersyarat terjadinya peristiwa A setelah B terjadi P(B|A) = probabilitas bersyarat terjadinya peristiwa B setelah A terjadi
Hukum-hukum probabilitas peristiwa majemuk (3) Hukum perkalian (multiplication law) z
Persamaan (*) dapat diperluas (digeneralisasi) untuk peristiwa majemuk yang terdiri dari beberapa peristiwa yang terjadi secara berurutan P(A1 ∩ A2 ∩ A3)
= P(A3|A1 ∩ A2) · P(A1 ∩ A2) = P(A3|A1 ∩ A2) · P(A2|A1) · P(A1)
Dalam hal ini, peristiwa A1 terjadi pertama kali, diikuti peristiwa A2, dan terakhir peristiwa A3.
Hukum-hukum probabilitas peristiwa majemuk (4) Hukum penjumlahan (addition law) z
Hukum penjumlahan pada probabilitas peristiwa majemuk adalah: P(A atau B) = P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) (**) Persamaan di atas menunjukkan probabilitas peristiwa A atau peristiwa B atau kedua-duanya sama-sama terjadi. Selama diketahui probabilitas gabungannya P(A ∩ B) maka A dan B tidak perlu saling bebas.
Hukum-hukum probabilitas peristiwa majemuk (5) Hukum penjumlahan (addition law) z
Jika peristiwa A dan B adalah mutually exclusion (jika salah satu peristiwa terjadi maka peristiwa lainnya mustahil terjadi), maka P(A ∩ B) = 0 sehingga: P(A atau B) = P(A U B) = P(A) + P(B) Persamaan (**) dapat diperluas untuk berapapun jumlah peristiwa dengan proses penerapan kembali berkanjut (continued reapplication) , yaitu: P(A atau B atau C) = P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
Referensi ✔
“Prinsip-Prinsip Statistik Untuk Teknik dan Sains”, Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng., Penerbit Erlangga, Jakarta, 2005.
✔
“Introduction to Management Science (Sains Manajemen)” Edisi 8, Bernard W. Taylor III, Penerbit Salemba Empat, Jakarta, 2005.
