Prednáška 7. Derivácia funkcie

Prednáška 7. Derivácia funkcie. Definícia Nech funkcia f (x) je definovaná v istom okolí (ľavom okolí, pravom okolí) čísla x0 . Hovoríme, že funkcia f (x) má v bode x0 deriváciu (deriváciu zľava, deriváciu sprava) , keď existuje limita funkcie f ( x)  f ( x0 ) (1) lim x  x0 x  x0 f ( x)  f ( x0 ) f ( x)  f ( x0 ) resp. lim (derivácia zľava) alebo lim (derivácia sprava). x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 Ak označíme rozdiel h  x  x0 , potom ekvivalentný tvar derivácie funkcie v bode je f ( x0  h)  f ( x0 ) lim . h 0 h Limitu (1) nazývame deriváciou [derivácia zľava, derivácia sprava] funkcie f (x) v bode x0 .   Označujeme ju znakom f ( x0 ) , resp. ( f  ( x0 ), f  ( x0 ) ). Deriváciu funkcie f (x) v čísle x0 df ( x0 ) označujeme niekedy aj  f ( x)  x  x0 alebo . dx Ak použijeme označenie y  f (x) , potom deriváciu označujeme y( x0 ) . Deriváciu funkcie f (x) df df ( x) na množine M budeme označovať napríklad aj takto: y ; ; f ( x), . dx dx f ( x)  f ( x0 ) Ak funkcia má v čísle x0 nevlastnú limitu resp. (nevlastnú limitu zľava, nevlastnú x  x0 limitu sprava), potom budeme hovoriť, že funkcia f (x) má v čísle x0 nevlastnú deriváciu , resp. (nevlastnú deriváciu zľava, nevlastnú deriváciu sprava). Veta Funkcia f (x) má v čísle x0 deriváciu vtedy a len vtedy, ak má v čísle x0 deriváciu zľava a deriváciu sprava a platí, že f  ( x0 )  f  ( x0 ) . Veta Ak funkcia f (x) má v čísle x0 deriváciu (deriváciu zľava, deriváciu sprava), potom je v bode x0 spojitá (spojitá zľava, spojitá sprava). Dôkaz: Treba dokázať, že platí: lim f ( x)  f ( x0 ) . x  x0

Platí: f ( x)  f ( x0 )  Potom

f ( x)  f ( x0 ) f ( x)  f ( x0 ) . ( x  x0 ) ; z toho f ( x)  f ( x0 )  ( x  x0 ) ( x  x0 ) x  x0 f ( x)  f ( x0 ) . lim ( x  x0 )  f ( x0 )  f ( x0 ).0  f ( x0 ) x  x0 x  x0 x  x0

lim f ( x)  lim f ( x0 )  lim

x  x0

x  x0

Niektoré vety pre počítanie derivácií Veta Nech funkcie f (x) a g (x) majú na množine M deriváciu a nech c je ľubovoľné je číslo. Potom aj f ( x) funkcie c. f ( x) , f ( x)  g ( x) , f ( x).g ( x) a , ( g ( x)  0 ) majú na M deriváciu a platí: g ( x)  a) c. f ( x)  c. f ( x)  b)  f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)  c)  f ( x).g ( x)  f ( x) g ( x)  f ( x) g ( x) Dôkaz:

cf ( x0  h)  cf ( x0 ) f ( x0  h)  f ( x0 )  c. lim  c. f ( x0 ) h  0 h h  f ( x0  h)  g ( x0  h)   f ( x0 )  g ( x0 )  lim  f ( x0  h)  f ( x0 )  g ( x0  h)  g ( x  b)  f ( x)  g ( x) x  x0  lim h 0 h 0 h h f ( x0  h)  f ( x0 ) g ( x0  h)  g ( x0 )  lim  lim  f ( x0 )  g ( x0 ) h 0 x  x0 h x  x0 f ( x0  h) g ( x0  h)  f ( x0 ) g ( x0 )   c)  f ( x).g ( x) x  x0  lim h 0 h f ( x0  h) g ( x0  h)  f ( x0 ) g ( x0  h)  f ( x0 ) g ( x0  h)  f ( x0 ) g ( x0 )  lim  h 0 h f ( x0  h)  f ( x0 ) lim ( g ( x0  h)  h 0 h g ( x0  h)  g ( x0 ) f ( x0  h)  f ( x0 )  f ( x0 ))  lim lim g ( x0  h)  h 0 h 0 h x  x0 g ( x0  h)  g ( x0 ) lim f ( x0 )  h0 h  f ( x0 ).g ( x0 )  g( x0 ). f ( x0 )  f ( x0 ).g ( x0 )  f ( x0 ).g( x0 ) a)

c. f ( x)x  x

0

 lim

h 0

Veta Nech funkcie f (x) a g (x) majú na množine M deriváciu a nech g ( x)  0 na množine M . f ( x) Potom funkcia má na M deriváciu a platí: g ( x) Dôkaz: 1 1 g ( x0 )  g ( x)  '  g ( x)  g ( x0 )   1  1 g ( x) g ( x0 ) g ( x).g ( x0 )  lim  lim  lim  .   g ( x)  x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 g ( x).g ( x0 )    x  x0 x  x0  1  g ( x0 )  . g ( x0 )2

  f ( x)  1  vypočítame ako deriváciu súčinu funkcií f (x) a Deriváciu podielu funkcií  . g ( x)  g ( x)  Máme teda:    f ( x)    g ( x)  1  1     f ( x).   f ( x).  f ( x).  2   g ( x)  g ( x)  g ( x)    g ( x)  g ( x) g ( x) f ( x) g ( x)  f ( x).g ( x)  f ( x). 2  f ( x). 2  , g ( x) g ( x) g 2 ( x)   u  uv  uv vo formálnej symbolike    . v v2  Podobne sa formálne používa pre deriváciu súčinu vzťah: uv   uv  uv . Veta (Derivácia zloženej funkcie) Nech funkcia u  g (x) má na množine M deriváciu g (x) . Nech H je obor hodnôt funkcie u  g (x) definovanej na M . Nech funkcia f (u ) má na množine H deriváciu f (x) . Potom zložená funkcia f g (x) má na M deriváciu a platí:  f g ( x)   f (u)u  g ( x) . g( x)  f g ( x) . g( x) , čo sa často zapisuje aj takto: df g ( x)  df du . dx du dx Veta (Derivácia inverznej funkcie) Nech funkcia f (x) je definovaná na intervale (a, b) . Nech funkcia f (x) je na intervale (a, b) rýdzo monotónna a nech má na intervale tomto intervale deriváciu f (x) a nech pre každé x  (a, b) je f ( x)  0 . Potom inverzná funkcia f 1 (u ) má na svojom definičnom obore deriváciu a platí 1 1 ( f 1 (u ))   .  f ( x)x  f 1 (u ) f  f 1 (u)





Príklad. Odvoďte vzťah pre výpočet derivácie funkcie arctg (x) . Riešenie:

   Funkcia u  f ( x)  tgx je rýdzo monotónna na intervale   ,  . Má teda inverznú funkciu  2 2 1 x  f (u)  arctgu . Pre jej deriváciu platí:

(arctgu ) 

1  (tgx )x  arctgu (

  1 cos 2 x   (cos 2 x) x  arctgu   2  2  1 sin x  cos x   x  arctgu ) cos 2 x x  arctgu  1  1    2  2  tg x  1  x  arctgu u  1

Derivácie elementárnych funkcií. Pre každé x z definičného oboru elementárnych funkcií platí:

c  0 , kde c je ľubovolná konštanta, teda cc 0  Dôkaz: c x  x  lim  lim  0; x x x x 1.

0

0

x  x0

0

f ( x)  c .

x  x0

x  1 , f ( x)  x . Dôkaz: x x  x0  lim 2.

x  x0  lim 1  1 x  x0 x  x0 x  x0

x   n.x , kde n je ľubovolné číslo, n  1 a  n Dôkaz: x   e   e (n ln x)  x    nx x 3.

n 1

n

n

n ln x

n ln x

n 1

n

 

x  0. .

Poznámka. Využili sme skutočnosť, že derivácia (ln x) 

e   e  5. a   a . ln a , kde a  0; a  1;   Dôkaz: a   e   e .( x. ln a)  a . ln a 4.

x

1 . x

x

x

x

x

x ln a

x ln a

x

1 . x Dôkaz: poznáme (e x )  e x ; podľa vzťahu pre deriváciu inverznej funkcie máme: 1 1 1 1 (ln x)   y  ln x  e y  y ln x e (e ) x 6. (ln x) 

log a x 

1 , kde a  0; a  1 . x. ln a  1 1 1   ln x  .  Dôkaz: log a x    .    ln a  ln a x x. ln a 8. sin x  cos x 7.

Dôkaz:

sin( x0  h)  sin x0 sin x0 cosh  cos x0 sinh  sin x0  lim  h  0 h h sin x0 cosh  cos x0 sinh  sin x0 sin x0 .1  cos x0 sinh  sin x0  lim  lim  h 0 h  0 h h sinh  cos x0 lim  cos xx  x0 h 0 h

(sin x)x  x0  lim

h 0

9.

cos x    sin x

cos( x0  h)  cos x0 cos x0 cosh  sin x0 sinh  cos x0  lim  h 0 h 0 h h cos x0 .1  sin x0 sinh  cos x0 sinh lim   sin x0 lim  [ sin x]x  x0 h 0 h 0 h h 1 10. (tgx )  cos 2 x  2 2 1  sin x  (sin x). cos x  sin x.(cos x) sin x  cos x    Dôkaz: (tgx )   .   cos x  cos 2 x cos 2 x cos 2 x 1  11. cot gx   2 sin x  sin 2 x  cos 2 x 1   cos x   2 . Dôkaz: cot gx      ...   2 sin x sin x  sin x  1 12. (arcsin x)  pre x  1 2 1 x Dôkaz: y  arcsin x x  sin y 1 1 1 1 (arcsin x)     2 (sin y) cos y 1  sin y 1  x2 (cos x)x  x0  lim

Základné vzorce na derivovanie elementárnych funkcií. 1. 3. 5.

c  0 , kde c je konštanta ( x n )  nx n 1 , kde n je reálne číslo (a x )  a x ln a

1 x ln a  8. (sin x)  cos x 1 10. (tgx )  cos 2 x 7.

12.

4.

x  1 (e x )  e x

6.

(ln x) 

2.

1 x

(ln a x) 

(arcsin x) 

(cos x)   sin x 1 11. (cot gx)   sin 2 x 1 13. (arccos x)   , pre x  1 1  x2 1 15. (arc cot gx)   1  x2 9.

1

1  x2 1 14. (arctgx )  1  x2

,

pre x  1