Praktický výpočet mechanického namáhání vinutí vzduchových tlumivek při zkratu Ing.Vítězslav Pankrác,CSc. Ing.Jan Mikeš ČVUT Praha, Fakulta elektrotechnická
Úvod Tlumivky a transformátory, stejně jako ostatní součásti elektrických rozvodných sítí a zařízení v silnoproudé elektrotechnice, jsou obvykle navrženy tak, aby odolávaly tepelným i dynamickým účinkům zkratových proudů. Pro omezení zkratových proudů se konkrétně tlumivky také velice často používají [3]. Vlivem zkratových proudů je vinutí tlumivek namáháno mechanicky dynamickými silami a současně i tepelně uvolněnou ztrátovou energií. Velikost mechanického namáhání je dána maximální možnou okamžitou hodnotou zkratového proudu (nárazový zkratový proud) [1]. Velikost nárazové hodnoty zkratového proudu se určuje v závislosti na podmínkách v daném místě sítě metodami popsanými například v [1]. Vzduchové tlumivky [2] jsou konstrukčně relativně jednoduché elektrické stroje (Obr.1), přesto je však přesný výpočet magnetického pole, indukčností a sil poměrně komplikovaný.
Obr.1) Typické konstrukční uspořádání vzduchové tlumivky Z matematického hlediska se jedná o problém, který je možné dobře popsat. Magnetické pole tlumivek je válcově symetrické, okolní vzduch představuje lineární homogenní prostředí. Analýza však vede na řešení, jehož přesné výsledky lze získat pouze numericky pomocí výpočetní techniky [4],[5]. V článku jsou popsány základní fyzikální zákonitosti a vztahy, jejichž znalost je nutná k pochopení povahy a účinků sil působících na vinutí. Vztahy jsou pro ilustraci demonstrovány na příkladu cívek s jednoduchým tvarem magnetického pole. Výsledek je porovnán s rozložením magnetického pole a sil v reálné válcové vzduchové cívce. Pro přesný numerický výpočet sil v obecné vzduchové cívce byl sestaven počítačový program [6], který je čtenářům předložen k posouzení a volnému použití. Tento článek tak volně navazuje na [2], kde jsou popsány základní typy konstrukčního uspořádání tlumivek, [3] kde jsou popsány často používané aplikace tlumivek a [4], kde je popsán výpočet vlastních a vzájemných indukčností vzduchových cívek a rovněž předložen počítačový program [5].
Síly působící na vodiče v magnetickém poli Průchodem elektrického proudu vinutím tlumivek se vybudí magnetické pole jak ve vodičích, tak i vně vodičů. Důsledkem zpětného působení magnetického pole na vodiče se objeví síly, které vinutí mechanicky namáhají. Pokud vodiče vinutí pomyslně rozdělíme na délkové elementy d l (Obr.2) a známe velikost magnetické indukce B v každém místě vinutí, potom je síla působící na délkový element vodiče úměrná jeho délce, magnetické indukci v místě elementu a velikosti
procházejícího proudu. Směr působící síly je kolmý na element vodiče a současně i na magnetickou indukci (Obr.2). Orientace síly je dána „pravidlem levé ruky“. Prsty levé ruky ukazují směr proudu, siločáry magnetické indukce vstupují do dlaně, palec ukazuje směr síly Velikost síly je největší, pokud magnetická indukce svírá s vodičem úhel α=π/2 a nulová, pokud je vektor magnetické indukce s vodičem rovnoběžný: α=0. Pro obecný úhel α platí: d F = B I d l sin(α ) dF B I
α
(1)
absolutní hodnota síly působící na délkový element absolutní hodnota magnetické indukce v místě elementu vodiče elektrický proud procházející vodičem úhel mezi elementem vodiče a magnetickou indukcí v daném místě
Uvedená fyzikální skutečnost je obecně a jednoznačně popsána pomocí vektorového součinu za předpokladu, že za délkový element vodiče označíme vektor, který je v daném místě tečný k vodiči a má stejnou orientaci jako procházející proud. Absolutní hodnota tohoto vektoru souhlasí s délkou vytknutého elementu: d F = I (d l × B ) dl B
(2)
vektorový délkový element vodiče vektor magnetické indukce B I dF
dl
Obr.2) Síla působící na element vodiče v magnetickém poli
Na každý úsek vodiče může působit obecně jiná síla.. Celková síla je dána sečtením (integrací) dílčí síly působící na všechny části vodiče:
∫
F = I dl×B
(3)
l
Pro stanovení síly (3) tedy potřebujeme znát magnetickou indukci B , kterou soustava vodičů protékaných proudem (cívka) vybudí v libovolném místě vinutí. Velikost magnetické indukce je možné stanovit následujícím postupem (Obr.3): Každý element vodiče d l vybudí v místě vzdáleném r a orientovaném od elementu d l ve směru jednotkového vektoru r0 magnetickou indukci d B , jejíž směr je kolmý současně na element d l i na vektor r0 .
dl
I r0 dB
r
I Obr.3) Magnetické pole vybuzené elementem vodiče µ 0 I d l × r0 4π r 2 magnetická indukce vybuzená elementem d l dB =
dB
(4)
µ0
permeabilita vakua µ 0 = 4π ⋅10 −7 H / m vzdálenost proudového elementu vinutí od místa výpočtu pole r r0 jednotkový vektor směřující po spojnici od elementu vinutí k místu výpočtu pole Směr a orientace magnetické indukce je opět přesně stanovena na základě vlastností vektorového součinu. Jako mnemotechnickou pomůcku lze například použít pravidlo pravé ruky: Pravá ruka obemyká vodič, palec ukazuje směr proudu, prsty ukáží směr siločar magnetického pole. Výsledná magnetická indukce v určitém bodě je dána vektorovým součtem (integrací) příspěvku všech elementů celého uvažovaného vodiče (cívky): B=
µ0 I 4π
∫
d l × r0 r
l
(5)
2
Obecné vztahy (3),(5) nevypadají na první pohled příliš složitě, jejich praktické použití je však komplikované. Je třeba uvážit, že by se měly sčítat (integrovat) vektorové příspěvky veličin v každém bodě jinak veliké a jinak natočené. Určitého zjednodušení se v tomto případě dosáhne použitím vektorového potenciálu A : B = rot A A
(6)
Magnetický vektorový potenciál
Magnetická indukce B je nahrazena jinou vektorovou veličinou A - vektorovým potenciálem. Pro vektorový potenciál buzený vodičem protékaným elektrickým proudem platí vztah: (7) µ I dl A= 0 4π r
∫ l
Vektorový potenciál proudového elementu d l má stejný směr jako tento element. Pokud se pro výpočet umístí vzduchová cívka do válcové souřadné soustavy (Obr.5), směřují vodiče a tedy i potenciál pouze v tangenciálním směru. Potenciál má pouze jednu složku a lze s ním prakticky pracovat jako se skalární veličinou. Souřadnice vektoru magnetické indukce v každém bodě se získají zpětně derivací funkce vektorového potenciálu. Magnetická indukce bude mít ve válcové soustavě radiální a axiální složku. Sílu lze stanovit i z energetického principu. Pokud vybudí soustava n prvků protékaných
elektrickým proudem I (cívek) magnetické pole s celkovou energií Wm , je tato energie vázána s indukčnostmi vztahem ( energetická definice indukčnosti): Wm = Wm
B ,H Lik
1 2
∫∫∫ V
B ⋅ H dV =
1 2 I 2
n
(8)
n
∑∑
Lik
i =1 k =1
Energie magnetického pole Vektory magnetické indukce a intenzity magnetického pole v celém objemu, kde je pole nenulové Vlastní a vzájemné indukčnosti prvků soustavy
Na každý prvek v této soustavě působí v určitém směru síla, jejíž velikost je dána změnou (derivací) energie magnetického pole v tomto směru a potažmo i derivací vzájemných indukčností mezi daným prvkem a všemi ostatními prvky. Tato skutečnost je někdy označována jako princip virtuálních prací: Fi ( x ) =
Fi (x )
∂Wm 1 2 ∂ = I ∂x 2 ∂x
(9)
n
∑
Lik
k =1 k ≠i
Síla působící ve směru x na i-tý element
Problém výpočtu sil se transformuje na výpočet vlastních a vzájemných indukčností a jejich derivací. Tento způsob výpočtu využívá i počítačový program [6]. Indukčnost lze stanovit i jinými způsoby, než pomocí energetické definice, viz například [4],[5].
Zjednodušený ilustrační výpočet magnetického pole a sil magneticky stíněné cívky Výpočet magnetických polí, indukčností [4],[5] a sil vzduchové cívky obecných rozměrů je poměrně komplikovaný. Platnost vztahů, které byly popsány v předchozí části, je však možné ukázat na speciálním případu cívek, u kterých má magnetické pole (intenzita magnetického pole a magnetická indukce) pouze axiální složku a tato složka je po celé výšce vinutí konstantní. Řešení se velice zjednoduší, na vinutí cívky bude působit pouze síla v radiálním směru. Dobře to platí u cívky, která je obklopena relativně dokonale vodivým feromagnetickým stínícím pláštěm ( µ r → ∞ ). Pokud bude stínění doléhat těsně k čelním plochám cívky, siločáry magnetického pole budou procházet rovnoběžně se stěnami cívky a vstupovat kolmo do magnetického obvodu (Obr.4). Magneticky stíněné cívky se běžně používají [2],[3], slučují v sobě lineární vlastnosti vzduchové cívky a stínící účinek feromagnetického obvodu. S určitým přiblížením platí stejné úvahy rovněž u dostatečně dlouhé cívky, která je idealizací reálné cívky. V tomto případě se siločáry magnetického pole sice na konci cívky zakřivují, dojde k tomu však v relativně malém objemu a dalo by se předpokládat, že to nebude mít na přesnost výsledku podstatný vliv. Nakolik je tento předpoklad oprávněný, bude ukázáno pro konkrétní tlumivku v závěrečné části při porovnání výsledků orientačního a přesného výpočtu.
Pro výpočet veličin magnetického pole není nutné použít vztahů podobných jako (5),(6),(7), v tomto případě postačí prostá aplikace Ampérova zákona celkového proudu (Obr.4).
N
B
A
µr → ∞
I h
r1
dr r2
H H (r )
Obr.4) Intenzita magnetického pole v cívce s feromagnetickým pláštěm Při integraci po dráze, která prochází dutinou cívky (integrační dráha A – Obr.4 ), obemkne tato dráha všechny „ampérzávity“ cívky: (10)
∫
H ⋅dl = Hh = N I
l
Intenzitu magnetického pole v magnetickém stínění a rovněž vně dlouhé cívky, lze považovat přibližně za nulovou. Intenzita magnetického pole v dutině cívky je potom: NI (11) H (r ) =
N ,h
h
= konst
Počet závitů a výška cívky (Obr.4)
Při integraci po dráze, která prochází stěnou cívky (integrační dráha B – Obr.4), obemyká dráha poměrnou část proudu a platí:
∫
(12)
r − r1 H ⋅ d l = H (r ) ⋅ h = N I ⋅ 1 − r 2 − r1
l
r1 , r2
Vnitřní a vnější poloměr cívky (Obr.4)
Intenzita magnetického pole ve stěně cívky jako funkce poloměru je potom: H (r ) =
N I r2 − r ⋅ h r2 − r1
(13)
Ze známé velikosti axiální složky magnetického pole je potom možné vypočítat radiální sílu působící na vinutí. Každý závit vinutí o poloměru r se nachází v magnetickém poli s magnetickou indukcí B(r ) : (14) N I r2 − r B(r ) = µ 0 ⋅ h
r2 − r1
Ve výpočtové vrstvičce široké d r (Obr.4) je celkový počet závitů
N d r , každý závit r2 − r1
v této vrstvičce je tvořen vodičem o délce 2π r a je protékán proudem I . Celková radiální
síla bude v souladu s (3): r = r2
Frad =
∫
B(r )
r = r1
NI N2 I2 2π 2π r d r = µ 0 r2 − r1 h (r2 − r1 )2
Frad = µ 0
r = r2
∫
r (r2 − r ) d r
(15)
r = r1
π N 2 I 2 (2r1 + r2 )
(16)
3h
Při použití alternativního postupu pro výpočet síly - principu virtuálních prací (9) - je nutné stanovit indukčnost a tu potom derivovat v příslušném směru. Pokud při výpočtu vyjdeme z energetické definice indukčnosti (8), bude energie magnetického pole v dutině cívky:
Wm1
1 = 2
r = r1
∫
µ0
r =0
(17)
2 NI NI 1 µ π N 2 r1 ⋅ ⋅2π r d r ⋅ h = I 2 0 h h 2 h
Energie magnetického pole ve stěně cívky bude: Wm 2 =
1 2
r = r2
∫
r = r1
N I r2 − r 1 µ π N 2 (r2 − r1 )(3r1 + r2 ) 2π r h d r = I 2 0 ⋅ 2 6h h r2 − r1 2
µ 0
(18)
Celková energie magnetického pole: Wm = Wm1 + Wm 2 =
Indukčnost cívky je tedy: L=
(
2 2 1 2 µ 0π N 2 3r1 + 2r1r2 + r2 I 2 6h
(
µ 0π N 2 3r12 + 2r1r2 + r2 2
)
(19)
)
(20)
6h
Radiální sílu lze potom získat derivací indukčnosti v radiálním směru (9) . Po dosazení za r2 = r1 + t bude potom stejně jako v (16): 2 (21) 3r + t 1 dL d µ 0π N 2 6r1 + 4r1t + t 2 Frad = I 2 = = µ 0π N 2 I 2 1 2
t
d r1
d r1
(
)
6h
Tloušťka stěny cívky : t = r2 − r1 (Obr.4)
3h
Magnetické pole a síly v reálné cívce válcového tvaru V reálné válcové cívce protékané elektrickým proudem se siločáry magnetického pole zakřivují a mají tvar jako na obrázku (Obr.5). Magnetická indukce má kromě axiální složky i složku radiální. Pro předpokládaný smysl elektrického proudu je na (Obr.5) naznačena orientace vektoru magnetické indukce B. Vektor síly bude v každém bodě kolmý na proudový element i magnetickou indukci a jeho orientace bude dána pravidlem „levé ruky“. Síla bude tedy působit šikmo vně ke středu vinutí (Obr.5). B
Bax B
B
F
F Brad
I
I
B B
F
Frad
F Fax
F
Obr.5) Magnetické pole a síly reálné válcové cívky Podobně jako magnetickou indukci lze i sílu rozdělit na axiální a radiální složku (Obr.5). Axiální složce síly odpovídá radiální složka magnetické indukce a naopak. Síly působící v jednotlivých místech vinutí se označují jako lokální. Skutečné rozložení velikosti radiální a axiální složky magnetické indukce a potažmo i lokálních sil je znázorněno na obrázcích (Obr.6,7). Na (Obr.6) je pomocí šipek a grafických průběhů zobrazeno rozložení axiální složky magnetické indukce ve stěně cívky. Největší hodnota je na vnitřním poloměru uprostřed výšky vinutí (zvýrazněný bod) a v tomto místě je i největší lokální radiální síla (Obr.6). z
Ba x ( z , r = r1 )
z r2
r1 0,0
r
Ba x (r , z = 0) r
Obr.6) Velikost axiální složky magnetické indukce v cívce
Na (Obr.7) je rozložení radiální složky magnetické indukce ve stěně cívky. Největší hodnota je na koncích vinutí přibližně v polovině tloušťky stěny (zvýrazněný bod). V tomto místě je také největší lokální axiální síla (Obr.7).
Brad ( z , r = z
z
r1 + r2 ) 2
r2 r1 r
h
0,0
Brad (r , z = h / 2) r
Obr.7) Velikost radiální složky magnetické indukce v cívce
Mechanické namáhání vinutí tlumivky Lokální axiální síly stlačují závity směrem od okrajů ke středu cívky. Pokud bude v axiálním směru ležet jeden závit na druhém bez axiálních mezer, budou se síly mezi závity přenášet stykovou plochou po celém obvodu závitu, izolace vodičů bude namáhána tlakem. Největší tlakové namáhání bude uprostřed výšky vinutí, kde se sečtou lokální axiální síly závitů celé poloviny vinutí. Pokud budou mezi závity vloženy axiální kanály jako na (Obr.8), budou vodiče mezi dvěma distančními vložkami navíc namáhány na ohyb spojitým zatížením lokální axiální síly podobně jako nosník vetknutý na obou koncích. Zvětší se rovněž tlakové namáhání vodičů, axiální síla se bude přenášet menší plochou na stykových místech distančních vložek ve vinutí.
pax =
Fax S
Obr.8) Deformace vinutí tlumivky axiální silou Lokální radiální síly působí ve směru zvětšení poloměru závitů, namáhají vinutí tahem. Nejvíce jsou namáhány vodiče na vnitřním poloměru, nejméně na vnějším. V případě pružné izolace mezi vrstvami u vícevrstvé cívky (Obr.1), se síly v radiálním směru nepřenášejí, limitujícím prvkem je mechanické namáhání vnitřní vrstvy. Pokud lze izolaci považovat za tuhou, síla se bude přenášet v místě axiálních lišt z jedné vrstvy na druhou. Vinutí by bylo opět namáháno lokální silou na průhyb mezi lištami (Obr.9). Namáhání v tahu se v tomto případě obvykle počítá zjednodušeně jako střední hodnotu namáhání
všech vrstev.
Fx =
Frad 2π
Fx
Fx
Obr.9) Deformace vinutí radiální silou Detailní popis výpočtu mechanického namáhání vinutí je v popisu vstupních a výstupních parametrů programu [6].
Počítačový program pro výpočet silového působení Počítačový program [6] určený pro výpočet sil působících na vzduchovou cívku je založen na principu virtuálních prací (9). Pro výpočet vlastních a vzájemných indukčností prvků vinutí byl použit postup popsaný v [4], [5]. V programu jsou zadány rozměry, počet závitů cívky a protékající zkratový proud. Pro libovolnou vymezenou výpočtovou část cívky, která odpovídá například jednomu závitu (skupině závitů, vrstvě vinutí ...) je programem vypočtena celková radiální a axiální síla působící na tuto část vinutí. Z doplňujících údajů o průřezu dané části vinutí, celkové ploše pro přenos axiální síly či volné vzdálenosti mezi dvěma distančními vložkami, je vypočteno mechanické namáhání odpovídající části vinutí. Pokud se například jako element zvolí celá cívka (vyznačená část 1 – Obr.10), výsledkem výpočtu je součtová radiální a axiální síla působící na celou cívku bez ohledu na to, ve kterém místě působí větší a ve kterém menší lokální síla. Z celkové radiální síly lze vypočítat v tomto případě střední hodnotu tahového namáhání v celém vinutí. Vzhledem k tomu, že proti sobě působí stejně veliké axiální síly obou polovin vinutí,je výsledná axiální síla nulová. Pokud se jako výpočtový element zvolí polovina vinutí cívky (vyznačená část 2 – Obr.10), výsledkem výpočtu je celková axiální síla, která namáhá izolaci závitů uprostřed vinutí na tlak. Pokud se jako element zvolí závit na vnitřním poloměru uprostřed výšky vinutí (vyznačená část 4 – Obr.10), bude radiální namáhání odpovídat nejvíce namáhanému bodu ve vinutí. Pokud se jako element zvolí závit na koncích vinutí (vyznačená část 5 – Obr.10), bude vypočtená axiální síla souhlasit s maximální lokální silou, která se snaží prohnout vodiče mezi sousedními vložkami. 5
1
3
4 2
Obr.10) Výpočtová místa
V tabulce (Tab.1) jsou pro ilustraci porovnány hodnoty sil a silového namáhání reálné vzduchové tlumivky počítané pomocí [5],[6] s hodnotami stanovenými za zjednodušených předpokladů pro relativně dlouhou cívku(16),(20),(21). Tlumivka má dvakrát větší výšku, než průměr a i v tomto případě platí zjednodušené úvahy pouze orientačně, jak je z tabulky parné. Parametry tlumivky – jednovrstvá vzduchová cívka: r1=0.3m, r2=0.323m, h=1.2m, N=160 závitů, činitel plnění vnutí 0.81, nárazová hodnota zkratového proudu Ikm=15kA [1]. podle podle odchylka Vypočtené hodnoty (16),(20), [4],[5], % (21) [6] Indukčnost mH 7.98 6.44 24 Celková radiální síla Střední hodnota namáhání vinutí v tahu způsobené radiální silou Maximální namáhání vinutí v tahu způsobené radiální silou (v polovině výšky vinutí ) Celková axiální síla Namáhání vodičů tlakem způsobené axiální silou (v polovině výšky vinutí)
⋅ 10 6 N
5.84
4.26
37
MPa
41.6
30.4
37
34.2
-
nelze
0.62
-
nelze
13.8
-
MPa ⋅ 10 6 N
MPa
nelze
Tab.1 Porovnání hodnot silového působení na reálnou tlumivku
Literatura [1]
ČSN 33 3022-1,2,3 Zkratové proudy v trojfázových střídavých soustavách
[2]
Pankrác,V.: Základní druhy konstrukčního uspořádání tlumivek, Elektrorevue 2009/2, dostupný z www.elektrorevue.cz
[3]
Pankrác,V.: Často používané aplikace tlumivek v silnoproudé elektrotechnice, Elektrorevue 2010/9, dostupný z www.elektrorevue.cz
[4]
Pankrác,V.: Výpočet vlastních a vzájemných indukčností koaxiálních válcových vzduchových cívek , Elektrorevue 2010/10, dostupný z www.elektrorevue.cz
[5]
Pankrác,V.: Počítačový program pro výpočet vlastních a vzájemných indukčností koaxiálních válcových cívek, dostupný z: http://www.elmag.org//doku.php/wiki:user:pankrac
[6]
Pankrác,V.: Počítačový program pro výpočet mechanického namáhání vzduchových cívek při zkratu, dostupný z: http://www.elmag.org//doku.php/wiki:user:pankrac
