Práce, energie a další mechanické veličiny
Úvod • V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, …) • Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních veličin • Takovými veličinami jsou např. práce, výkon, energie (potenciální, kinetická, atd.)
Práce • V předchozím výkladu jsme zmiňovali časový účinek síly – tzv. impulz síly • Dráhovým účinkem síly nazýváme práci • Práce je skalární veličina • Pro vystižení úhrnného působení síly na hmotný bod, který vykonal pohyb po zadané dráze, se zavádí veličina práce
Práce
• Jednotka práce
Práce
Výkon • Často je důležité kromě celkového množství vykonané práce znát též, jak rychle je práce konána • Proto se zavádí další veličina výkon P vztahem:
• Výkon P je zaveden tedy jako časová derivace práce • Jednotka výkonu:
Výkon • Pokud dosadíme za dW, dostaneme následující vztah:
• S výkonem úzce souvisí pojem účinnosti • Jedná se o poměr výkonu (např. nějakého stroje) k příkonu (tedy výkonu stroji dodávanému)
Konzervativní a disipativní síly • Konzervativní síly (potenciálové) – Víme, že práce vykonaná vnějšími silami na HB je závislá na hodnotách těchto sil v bodech dané dráhy – Ve fyzice ovšem mohou nastat případy, kdy silové pole je takového charakteru, že práce vykonaná silami na hmotný bod nezávisí na volbě cesty mezi určitými body v tomto poli – Silová pole, ve kterých práce mezi libovolnými body nezávisí na cestě, kterou tyto body spojíme, nazýváme konzervativními – Jestliže práce síly nezávisí na trajektorii, ale pouze na počátečním a koncovém bodě trajektorie, nazývají se tyto síly silami konzervativními
Konzervativní a disipativní síly • Je-li silové pole konzervativní, musí být práce stejná pro všechny tři dráhy • V konzervativním silovém poli je práce po libovolné uzavřené křivce nulová
• Příkladem konzervativních sil je např. gravitační síla nebo normálová síla působící na HB při rovnoměrném pohybu po kružnici
Konzervativní a disipativní síly • Disipativní síly – Pokud práce síly závisí na trajektorii, mluvíme nekonzervativní nebo také disipativní
o síle
– Tuto sílu nelze vyjádřit z potenciální energie (tyto síly tedy nejsou silami potenciálovými) – Jako příklad těchto sil je možné uvést síly tření a odporu prostředí
Kinetická energie • Ze zkušenosti víme, že pokud se změnila rychlost tělesa vzhledem k inerciální soustavě musela být na těleso vykonána práce jiným tělesem • Vykonaná práce se projevila změnou pohybu tělesa • Dynamická veličina, která souvisí s pohybem a která se prací vykonanou na tělese změnila se nazývá kinetická energie • Kinetickou energií HB o hmotnosti m nazýváme výraz:
Kinetická energie • Těleso naopak může konat práci na úkor kinetické energie
• Kinetická energie a práce jsou dvě fyzikální veličiny se stejným rozměrem, proto jsou i jednotky stejné
Potenciální energie • Na úvod je třeba definovat pojem systém • Systém je tvořen tělesem, jehož pohyb popisujeme, a dále těmi částmi okolí tělesa, které na těleso působí silou • Konzervativní systém je takový systém, kde všechny síly v systému jsou konzervativní • V konzervativních silových polích závisí práce vykonaná na určitý hmotný bod, přejde-li z jednoho bodu pole do druhého bodu pole, pouze na poloze těchto bodů. • Můžeme zavést veličinu závislou na polohách (tj. na souřadnicích) bodů pole, které nám tuto práci udává.
Potenciální energie • V konzervativním systému potenciální energie Ep
definujeme
veličinu
– Práce vykonaná v konzervativním systému je rovna úbytku potenciální energie systému Ep. V konzervativním systému definujeme veličinu potenciální energie Ep
• Formálně zapsáno jako:
• Změna potenciální energie tedy souvisí s prací konzervativních sil
Potenciální energie • Síly konají nenulovou práce, pokud pod jejich účinkem dochází k přemístění daného tělesa • Pokud upravíme předchozí vztah, dostaneme:
• Potenciální energie systému, kdy těleso je v místě o polohovém vektoru r, je rovna práci, kterou síly konzervativního systému vykonají při přemístění tělesa z místa o polohovém vektoru r do místa s nulovou potenciální energií
Vnitřní a vnější síly • Síly konzervativního systému můžeme chápat jako síly vnitřní • Pokud uvážíme další sílu, která není součástí systému, nazveme jí silou vnější • Pokud je tato síla v rovnováze s výslednicí vnitřních sil, pak můžeme dostat další vyjádření pro potenciální energii:
Zákon zachování mechanické energie konzervativní systém • Pokud uvážíme nejdříve těleso, které je součástí systému s konzervativními silami. Pro takový systém je možné zavést potenciální energii ve tvaru:
• Po dalších úpravách dostáváme:
• Platí tedy zákon zachování energie v konzervativních systémech – součet potenciální a kinetické energie v libovolných dvou stavech konzervativního systému je stejný, čili mechanická energie v konzervativních systémech se zachovává
Zákon zachování mechanické energie disipativní systém • Uvážíme systém, kde na těleso působí i síla nekonzervativní – disipativní (např. třecí síla) • Potom platí:
• Což nám říká, že změna mechanické energie je rovna práci disipativních sil:
Pohyby za působení odporujících sil • Pozorujeme-li pohyb reálných hmotných objektů, zjišťujeme, že jejich vzájemné působení zabraňuje vzájemnému pohybu objektů při malých vnějších silách a zpomaluje tento pohyb, působí-li větší síly • Pozorujeme-li pohyb tělesa v kapalném nebo plynném, zjistíme, že pohyb je je vždy „bržděn“ silou, která se nazývá odporem prostředí
Smykové tření • Jde o fyzikální jev, který vzniká při posouvání (smýkání) jednoho tělesa po povrchu jiného tělesa • Jeho původ je především v nerovnosti obou styčných ploch, kterými se tělesa vzájemně dotýkají • Experimentálně lze odvodit následující vlastnosti třecí síly: – velikost třecí síly nezávisí na obsahu styčných ploch – její velikost podstatně nezávisí na rychlosti – její velikost je přímo úměrná velikosti tlakové (normálové) síly kolmé k podložce, po níž se těleso pohybuje
Smykové tření a tření při pohybu po nakloněné rovině
Valivé tření • Valivý odpor vzniká vždy, když se těleso kruhového průřezu (válec, koule, …) valí po pevné podložce • Příčinou tohoto jevu je neexistence absolutně tuhého tělesa, tj. tělesa, které se nedeformuje účinkem jakkoliv velké síly
Intenzita a potenciál silového pole • Obdobné vztahy jako mezi potenciální energií a silou platí i mezi dalšími často užívanými charakteristikami silového pole – intenzitou silového pole a potenciálem silového pole
• Jestliže známe průběh potenciální energie, můžeme určit sílu, s níž je tato energie spojena
Gradient potenciální energie, ekvipotenciální plocha • Je-li funkcí, jejíž gradient určujeme, potenciální energie Ep , míří grad Ep ve směru jejího maximálního růstu a je kolmý k ploše stálé (konstantní) hodnoty této energie, kterou nazýváme ekvipotenciální plochou
• Předchozí rovnici pak může-me interpretovat tak, že síla míří přesně proti směru maximálního růstu potenciální energie
Potenciální energie a stabilita rovnováhy • Jestliže je výslednice sil působících na těleso nulová, pak říkáme, že těleso je v rovnováze • Stabilní rovnováha – Jakákoliv výchylka z této polohy má za následek silové působení, které vyvolává návrat do polohy stabilní rovnováhy
• Nestabilní (labilní) rovnováha – Vychýlení tělesa z rovnovážné polohy vede ke vzdalování z rovnovážné polohy
• Neutrální (indiferentní) rovnováha – Výchylka z polohy neutrální rovnováhy nevede ke vzniku nenulové síly, tato síla zůstává konstantní
Potenciální energie a stabilita rovnováhy
Moment síly • Mějme sílu F působící v bodě B. Poloha bodu B je dána polohovým vektorem rb. Dále mějme bod A, jehož poloha je dána vektorem ra
• Momentem M síly F vůči bodu A nazýváme výraz:
Moment hybnosti • Obdobně jako moment síly zavádíme i moment hybnosti. Hmotný bod, jehož hybnost je p , se nachází v bodě B o polohovém vektoru rb • Momentem hybnosti b tohoto hmotného bodu vůči bodu A, jehož polohový vektor je ra, nazveme výraz:
Vztah mezi momentem síly a momentem hybnosti • Působí-li na hmotný bod síla F, jsou moment M této síly a moment hybnosti b hmotného bodu počítané vůči témuž vztaženému bodu vázány rovnicí:
